تﺎﯿﺿﺎﯾر هﮋﯾو ﺖﯾﺎﺳ …dl.riazisara.ir/download/darsnameh/r10/r10-f2......

www.riazisara.ir سایت ویژه ریاضیات

یـزوه هاي ریاضـنامه ها و جـدرس اسخنامه تشریحی کنکورسواالت و پ

نمونه سواالت امتحانات ریاضی نرم افزارهاي ریاضیات

و...

ریاضی سرا در تلگرام: کانال سایت

https://t.me/riazisara (@riazisara)

1

t.me/@ riazi_khodabakhshi Tel: 43394300390 مهندس محمدرضا خدابخشی

مثلثات

تهیه و تنظیم: محمدرضا خدابخشی

www.riazisara.irاز سايت رياضي سرادانلود

2


:تشابه دو مثلث

.های نظیر با هم مساوی و اضالع نظیر متناسب باشند مثلث را متشابه گوییم اگر زاویه دو

اند هرگاه:متشابه 𝐷𝐸𝐹و 𝐴𝐵𝐶دو مثلث

1) 𝐴𝐵

𝐷𝐸=

𝐴𝐶

𝐷𝐹=

𝐵𝐶

𝐸𝐹

2) �̂� = �̂� , �̂� = �̂� , �̂� = �̂�

های تشابه دو مثلث:حالت

اندازه باشند، دو زاویه از مثلثی با دو زاویه از مثلث دیگر همهرگاه دو (1

اند.مثلث متشابه

→ ∆ABC ~ ∆ DEF �̂� = �̂� , �̂� = �̂�

ن آنها ی بیاگر دو ضلع از مثلثی با دو ضلع از مثلث دیگر متناسب و زاویه (2

اند.برابر باشند دو مثلث متشابه


3


{

𝐴𝐵

𝐴𝐹=

𝐴𝐵

𝐴𝐸

�̂�زاویهی مشترک → ∆ABC ~ ∆ AEF

:های مثلثاتینسبت

sin𝐴 =A طول ضلع مقابل به زاویهی

طول وتر=

𝐵𝐶

𝐴𝐵

cos𝐴 =A طول ضلع مجاور به زاویهی

طول وتر=

𝐴𝐶

𝐴𝐵

tan𝐴 =A طول ضلع مقابل به زاویهی

A طول ضلع مجاور به زاویهی=

𝐵𝐶

𝐴𝐶

cot 𝐴 =A طول ضلع مجاور به زاویهی

A طول ضلع مقابل به زاویهی=

𝐴𝐶

𝐵𝐶

یری گتوان روابط زیر را نتیجههای مثلثاتی بیان شده میالزاویه فوق و نسبتبا توجه به مثلث قائم

کرد:

tan 𝜃 =sin 𝜃

cos 𝜃cot و 𝜃 =

cos 𝜃

sin 𝜃

tan𝜃 =1

cot 𝜃cot و 𝜃 =

1tan 𝜃

→ tan 𝜃. cot 𝜃 = 1

www.riazisara.irاز سايت رياضي سرادانلود www.riazisara.irاز سايت رياضي سرادانلود

4


را بدست آورید. 𝐵ی های مثلثاتی زاویهی زیر نسبتالزاویهدر مثلث قائممثال:

𝛼اگر نکته: + 𝛽 = متمم یکدیگر باشند داریم: 𝛼 و 𝛽باشد به عبارتی 34°

{

sin 𝛼 = cos 𝛽cos 𝛼 = sin 𝛽tan 𝛼 = cot 𝛽cot 𝛼 = tan𝛽

tan، زیری شکل الزاویهدر مثلث قائم: مثال 𝐴 =35

را بیابید. sin𝐴مقدار

های حاده آن و سینوس یکی از زاویه 24ه الزاویقائم طول وتر یک مثلث: مثال35

است محیط مثلث

را بدست آورید.

.را بدست آورید θی نسبتهای مثلثاتی زاویه زیر در مثلث: مثال


5


ی روبه رو را بدست آورید.مساحت ذورنقه: مثال

A حاصل عبارت: مثال = tan 1° tan 2° tan 3° …… . . tan 44° tan را بدست آورید. 43°

sin حاصل عبارت تست: 1°

cos 1°×

sin 2°

cos 2° × …… .×sin 43°

cos کدام است؟ 43°

1) 1 2 )4 3 )1- 0 )∞


6


: °𝟔𝟎و °𝟑𝟎های مثلثاتی نسبت

را °94و °34های های مثلثاتی زاویهاالضالع دلخواه نسبتبا استفاده از یک مثلث متساوی: مثال

بدست آورید.

: °𝟒𝟓های مثلثاتی نسبت

را بدست آورید. °05های های مثلثاتی زاویهدلخواه نسبت مربعبا استفاده از یک : مثال


7


94° 05° 34° 𝜃 نسبت

√32

√22

12 sin 𝜃

12 √2

2 √3

2 cos 𝜃

√3 1 √33

tan 𝜃

√33

1 √3 cot 𝜃

حاصل عبارت داده شده را بیابید.: مثال

𝐴 = 2 sin 34 + cos 34(1

𝐵 =1

1+tan2 94(2

𝐶 = √3 tan 34 + √2 cos 05 + sin 94 (3


8


𝐷 = 2 tan 34 cot 34 − 3 cot 05 tan 05 (0

ABC، �̂�الزاویه در مثلث قائم: مثال = 34° ،�̂� = 𝑏و 94° = را 𝑐و 𝑎ی اضالع اندازه 0

محاسبه کنید.

را بدست آورید. 𝑧و 𝑥 ،𝑦 در مثلث زیر مقادیر: مثال


9


را بیابید. 𝑎در شکل رو به رو مقدار : مثال

سازد می °34ی افق زاویهمتر است و با 94طول طناب بادبادکی که کامالً کشیده شده است : مثال

ک تا سطح زمین را محاسبه کنید.ی بادبادفاصله

کاربردهای مثلثات:

ی مساحت: محاسبه -1

= 1

2𝐴𝐻 × 𝐵𝐶 =

1

2𝑎. ℎ مساحت مثلثABC


11


𝐴𝐻 = ℎ = 𝑐 sin𝐵 = sin𝐵 =𝐴𝐻

𝐴𝐵 ABCمثلث در

در رابطه باال: ℎپس از جایگذاری

𝐒 =12𝒂𝒄 𝐬𝐢𝐧𝑩

یمساحت هر مثلث برابر است با حاصل ضرب دو ضلع در سینوس زاویهنکته:

بین آنها.

𝐒 =12𝒂𝒄 𝐬𝐢𝐧𝑩 =

12𝒂𝒃𝐬𝐢𝐧𝑪 =

12𝒃𝒄 𝐬𝐢𝐧𝑨

برابر است با حاصل ضرب دو ضلع در االضالعتوازیمساحت هر منکته:

ی بین آنها.سینوس زاویه

حاصل نصف برابر است با چهارضلعی محدبمساحت هر نکته:

ی بین آن دو قطردر سینوس زاویه قطرضرب دو

𝐒 =12𝑨𝑪.𝑩𝑫. 𝐬𝐢𝐧 𝛉

را بدست آورید. 𝑎 االضالع به ضلعمساحت مثلث متساوی: مثال


11


را بدست آورید. 𝑎 به ضلع شش ضلعی منتظممساحت : مثال

درجه است . 135ی بین دو قطر است و زاویه 4و 12ی دو قطر االضالعی ، اندازهدر متوازی: مثال

است؟2√االضالع چند برابر مساحت متوازی

𝑎 مساحت مثلثی با معلومات تست: = 𝑏و 0 = �̂�و 5 + �̂� = کدام است؟ 154°

1) 5 2 )5√3 3 )14 0 )14√3

و 𝐴𝐵های ی هندسی بین ضلعمتر مربع و واسطهسانتی 90برابر ABCاگر مساحت مثلث تست:

𝐴𝐶 متر باشد آنگاه سانتی 12برابرsin𝐴 :برابر است با

1) √3

2 2 )3

0 3 )0

5 0 )4

3

12


واحد کمان و زاویه:

ای مرکزی که به زاویه درجه:1

394درجه گفته 1محیط دایره را دربر میگیرد

شود.می

اش برابر شعاع دایره باشد.طول کمانی از دایره که اندازه رادیان:

رادیان است یعنی هر نیم دور از دایره 10/3هر نیم دور از یک دایره تقریباً

رادیان میباشد. πبرابر

𝜋زاویه را در رادیان:تبدیل درجه به

144 ضرب می کنیم.

𝜋زاویه را در :رادیان به درجه تبدیل

144 ضرب می کنیم.

144𝜋

×

رادیان درجه

×𝜋

144

چند رادیان است؟ °194 تست:


13


1) 0π

3 2 )

4π

3 3 )

3π3

0 )3π19

دایره مثلثاتی:

ای به مرکز مبدا مختصات و شعاع واحد است در این دایره جهت مثبت، خالف جهت حرکت هدایر

های ساعت است.عقربهو جهت منفی، در جهت های ساعت عقربه

14


را روی دایره مثلثاتی مشخص کنید. °144−و °214و °135و °05−های هریک از زاویهمثال:

ی زیر در دایره مثلثاتی منطبق است؟بر کدام زاویه °35− زاویه تست:

2) 135° 2 )−235° 3 )325° 0 )−135°

های مثلثاتی در دایره مثلثاتی:نسبت

,𝑝(𝑥مطابق شکل فرض کنیم 𝑦) ی انتهای کمان روبه رو به زاویهθ های مثلثاتی نسبتباشد

به صورت زیر است. θی زاویه

sin 𝜃 =𝑝𝐻

𝑂𝑃=

𝑦

1= 𝑦

cos 𝜃 =𝑜𝐻

𝑂𝑃=

𝑥

1= 𝑥

𝑝(𝑥, 𝑦) = 𝑝(cos 𝜃, sin 𝜃) → {𝑥 = cos 𝜃

y = sin 𝜃

tan 𝜃 =𝑦

𝑥 , cot 𝜃 =

𝑥

𝑦


15


های مثلثاتی در ناحیه اول مثلثاتی باشدطول عرض آن مثبت است و تمام نسبت 𝑝اگر

𝜃 اندمثبت.

-می 𝜃 یزاویه های مثلثاتینسبت مثلثاتی باشد دوم، سوم و چهارمدر ناحیه 𝑝اگر

تواند مثبت ها میدر این ناحیه 𝑝ی زیرا طول و عرض نقطه، ندیا منفی باش مثبتتوانند

یا منفی باشد.

𝑝ی ی مثلثاتی نقطهبرروی دایره 𝜃ی اگر زاویه: مثال (−13

,2√2

3آنگاه وجود آوردرا به (

را بدست آورید. 𝜃های مثلثاتی نسبت

به طول 𝑝ی نقطه: مثال1

3 زاویه 𝜃و در ناحیه چهارم قرار دارد. اگر روی دایره مثلثاتی

را بدست آورید. 𝜃های مثلثاتی باشد نسبت 𝑥و محور 𝑜𝑝⃗⃗⃗⃗بین نیم خط


16


ی روی دایره مثلثاتی نقطه 𝜃در موقعیت استاندارد و انتهای کمان 𝜃ی ویهزا: مثال

𝑝(4/9, 𝑏) است، مقدار sin2 𝜃 + tan2 𝜃 .را بدست آورید

tan اگر تست: 𝛼 =1

3ی سوم دایره در ناحیه 𝛼ی انتهای کمان روبه رو به زاویه 𝑝و

کدام است؟ 𝑝مثلثاتی باشد، مختصات

1) (−12,−13) 2 )(−

1

√14, −

3

√14) 3 )(−

3

√14, −

1

√14) 0 )(

−13

,−12)

,𝑝(𝑥ی اگر نقطه: تست 𝑥 − مبدا مختصات باشد و oروی دایره به مرکز (1

tan 𝜃 ی بین خط زاویه𝑜𝑝 و محور𝑥 ها برابر 30

باشد، مقدار −(cos𝜃−sin𝜃)

𝑥−3کدام

است؟


17


1) 15

2 )−15

3 )75

0 )−75

مثلثاتی از روی دایره مثلثاتی: به دست آوردن مقدار یک نسبت

این دایره شامل چهار محور مطابق شکل است.

بر این Mاز نقطه ی Cosxو Sinxبرای محاسبه ی

محورها عمود رسم نموده پای عمودها را می خوانیم.

𝑆𝑖𝑛𝑥 = 𝑂𝐻̅̅ ̅̅

𝐶𝑜𝑠𝑥 = 𝑂𝐾̅̅ ̅̅

را امتداد می OMشعاع Cotgو tgبرای محاسبه ی

دهیم تا این دو محور را قطع کند، محل تالقی نشان

می باشد. Cotgو tgدهنده ی

𝑡𝑔𝑥 = 𝐴𝐶̅̅ ̅̅

𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥 = 𝐸𝐵̅̅ ̅̅


18


در مرز نواحی مختلف: 𝐜𝐨𝐬و 𝐬𝐢𝐧مقدار


19


های مثلثاتی:حدود تغییرات عبارت

−1 ≤ sin 𝑥 ≤ 1

−1 ≤ cos 𝑥 ≤ 1 tan 𝑥 ∈ 𝑅 cot 𝑥 ∈ 𝑅

مثلثاتی در دایره مثلثاتی: هایعالمت نسبت

قانون هستک:

هستک در ربع چهارم در ربع سوم در ربع دوم در ربع اول

21


کسینوس مثبت تانژانت و کتانژانت مثبت سینوس مثبت مثبت همه

sin اگر: مثال 𝛼 cos 𝛼 < cotو 4 𝛼 < در کدام ربع مثلثاتی قرار دارد؟ 𝛼باشد 4

sin اگر: مثال 𝛼 cos 𝛼 > cosو 4 𝛼 tan 𝛼 < در کدام ربع مثلثاتی قرار 𝛼باشد 4

دارد؟

sin اگر: تست 𝛼 cos 𝛼 > cosو 4 𝛼 cot 𝛼 < در کدام ناحیه مثلثاتی 𝛼باشد 4

قرار دارد؟

( چهارم 0( سوم 3( دوم 2اول (1

cos که در صورتی :تست 𝛼(1 + tan2 𝛼) > در کدام ناحیه 𝛼باشد انتهای کمان 4


21


تواند باشد؟مثلثاتی می

( اول و چهارم 0( اول و سوم 3( دوم 2اول (1

sin اگر: تست 𝑥 + tan 𝑥 > 1و 4cos 𝑥

− sin 𝑥 tan 𝑥 < در 𝑥باشد انتهای کمان 4

کدام ناحیه مثلثاتی قرار دارد؟

( چهارم 0( سوم 3( دوم 2اول (1

𝑘های مثلثاتی معروف محاسبه سریع کمان𝜋

9𝑘و

𝜋

0𝑘و

𝜋

3 :


22


ابتدا با استفاده از اینکه زاویه مربوطه در کدام ناحیه قرار دارد عالمت را مشخص کرده سپس بدون

𝜋های حاصل نسبت 𝑘درنظر گرفتن

9 ،𝜋

0𝜋و

3 دهیم.را قرار می

: مثال

sin5𝜋

9= sin

2𝜋3

=

cot11𝜋9

= tan0𝜋

3=

tan7𝜋

9= cot

5𝜋

3=

cos5𝜋

0= cot

7𝜋

0=

cos0𝜋

3= sin

3𝜋

0=


23


𝜋 اگر: مثال

9< 𝑥 <

3𝜋

0sin حدود باشد 𝑥 را بیابید؟

𝜋 اگر: مثال

9< 𝑥 <

5𝜋

9sin حدود باشد 𝑥 را بیابید؟

4 اگر: تست < 𝑥 < 𝜋 باشد وA = cos𝑥

0آنگاه کدام نامساوی صحیح باشد

است؟

1) √22

< 𝐴 < 1 2 )4 < 𝐴 <√22

3 )4 < 𝐴 <12

0 )12< 𝐴 <

√22

:برخی از کمان های معروفنسبت مثلثاتی


24


: (𝛂−) یکمان ها یمثلثات ینسبت ها

اگر منفی خور است 𝐜𝐨𝐬فقط توان متوجه شد که با توجه به دایره مثلثاتی زیر می

منفی جلویش بیاید تاثیری ندارد.

𝐬𝐢𝐧(−𝛂) = −𝐬𝐢𝐧𝜶

𝐜𝐨𝐬(−𝜶) = 𝐜𝐨𝐬𝜶

𝐭𝐚𝐧(−𝜶) = −𝐭𝐚𝐧𝜶

𝐜𝐨𝐭(−𝛂) = −𝐜𝐨𝐭𝜶

2kπ) یکمان ها یمثلثات ینسبت ها ± α):

های مثلثاتی قابل حذف است.از همه نسبت 𝟐𝒌𝝅کمان با توجه به دایره مثلثاتی زیر

𝐬𝐢𝐧(2kπ − 𝛂) = −𝐬𝐢𝐧𝜶

𝐜𝐨𝐬(2kπ − 𝜶) = 𝐜𝐨𝐬𝜶

𝐭𝐚𝐧(2kπ − 𝜶) = −𝐭𝐚𝐧𝜶

𝐜𝐨𝐭(2kπ − 𝛂) = −𝐜𝐨𝐭𝜶

𝐬𝐢𝐧(2kπ + 𝛂) = 𝐬𝐢𝐧𝜶

𝐜𝐨𝐬(2kπ + 𝜶) = 𝐜𝐨𝐬𝜶

𝐭𝐚𝐧(2kπ + 𝜶) = 𝐭𝐚𝐧𝜶


25


𝐜𝐨𝐭(2kπ + 𝛂) = 𝐜𝐨𝐭𝜶

: مثال

sin(0𝜋 −𝜋

9) = sin(12𝜋 +

𝜋

0) =

cot(𝜋 +𝜋

9) = tan(4𝜋 +

𝜋

3) =

tan11𝜋9

= cot7𝜋

3=

cos5𝜋

3= cot

7𝜋

0=

π) یکمان ها یمثلثات ینسبت ها ± α):

اینکه زاویه در کدام ناحیه قرار دارد عالمت را پیدا کرده و نسبت مثلثاتی را با توجه به

کنیم.محاسبه می αی برای زاویه

𝐬𝐢𝐧(π − 𝛂) = 𝐬𝐢𝐧𝜶 𝐜𝐨𝐬(π − 𝜶) = −𝐜𝐨𝐬𝜶

𝐭𝐚𝐧(π − 𝜶) = −𝐭𝐚𝐧𝜶

𝐜𝐨𝐭(π − 𝛂) = −𝐜𝐨𝐭𝜶

𝐬𝐢𝐧(π + 𝛂) = −𝐬𝐢𝐧𝜶

𝐜𝐨𝐬(π + 𝜶) = −𝐜𝐨𝐬𝜶


26


𝐭𝐚𝐧(π + 𝜶) = 𝐭𝐚𝐧𝜶

𝐜𝐨𝐭(π + 𝛂) = 𝐜𝐨𝐭𝜶

: مثال

sin(7𝜋 +𝜋

9) = sin

17𝜋

9=

cot(𝜋 +𝜋

9) = tan(5𝜋 + 𝜃) =

tan7𝜋

9= cot(3𝜋 − 𝛼) =

cos(−13𝜋 +5𝜋

9) = cot

5𝜋

0=

) یکمان ها یمثلثات ینسبت هاπ

2± α):

اینکه زاویه در کدام ناحیه قرار دارد عالمت را پیدا کرده سپس نسبت با توجه به

sinکنیم یعنی مثلثاتی را عوض می ↔

cos وtan ↔ cot :

𝐬𝐢𝐧 (π

2− 𝛂) = 𝐜𝐨𝐬𝜶

𝐜𝐨𝐬(π

2− 𝜶) = 𝐬𝐢𝐧𝜶

𝐭𝐚𝐧 (π

2− 𝜶) = 𝐜𝐨𝐭 𝜶


27


𝐜𝐨𝐭 (π

2− 𝛂) = 𝐭𝐚𝐧𝜶

𝐬𝐢𝐧 (π

2+ 𝛂) = 𝐜𝐨𝐬𝜶

𝐜𝐨𝐬(π

2+ 𝜶) = −𝐬𝐢𝐧𝜶

𝐭𝐚𝐧 (π

2+ 𝜶) = −𝐜𝐨𝐭 𝜶

𝐜𝐨𝐭 (π

2+ 𝛂) = − 𝐭𝐚𝐧𝜶

: مثال

cot(17𝜋

2−

𝜋

0) = sin(

3𝜋

2−

5𝜋

9) =

cos(17𝜋

2+

0𝜋

3) = tan(

5𝜋

2+

3𝜋

0) =

tan(3𝜋2

+𝜋

0) = cos (

27𝜋

2+

𝜋

3) =

) یکمان ها یمثلثات ینسبت ها3𝜋

2± α):

در این نسبت مثلثاتی دقیقاً مانند نسبت مثلثاتی π

2± α کنیم به طور کل در عمل می

πضرایب فرد

2سپس نسبت ، عالمت زاویه رو با توجه به قانون هستک پیدا کرده

sinکنیم یعنی مثلثاتی را عوض می ↔ cos وtan ↔ cot

3√ حاصل عبارت: مثال sin (21𝜋 −𝜋

3) + cos(22𝜋 +

𝜋

3 را بدست آورید. (


28


3√ حاصل عبارت: مثال tan(−204) + cot(−334) .را بدست آورید

0حاصل : تست sin5𝜋

9× cos

2𝜋3

+ 2 tan2 3𝜋0

کدام است؟

1) 1 2 )2 3 )3 0 )0

sinحاصل : تست 24 + sin 24 4 + sin 304 + sin کدام است؟ 194

1) 4 2 )sin 04 3 )2sin 24 0 )sin 24

www.riazisara.irاز سايت رياضي سرادانلود www.riazisara.irاز سايت رياضي سرادانلود

29


حاصل عبارت : تست

sin(01𝜋

14)+sin(

23𝜋14

)−2 sin(11𝜋14

)

cos(−𝜋

14).tan(

21𝜋14

)+2 cos(2𝜋5

) کدام است؟

1) 4 2 )03

3 )−0 0 )10

tanاگر مقدار : تست 𝜃 =214

باشد آنگاه مقدار cos(

3𝜋

2+𝜃)−cos(𝜋+𝜃)

sin(𝜋−𝜃)−sin(3𝜋+𝜃)کدام

است؟

1) −2 2 )1/2 3 )2 0 )3

باتوجه به تساوی : تستcos(𝛼−

𝜋

2)+2 sin(𝛼−3𝜋)

sin(3𝜋

2+𝛼)

= tanمقدار 2 𝛼

کدام است؟

1) −2 2 )−1/5 3 )2 0 )5/1


31


شیب ومعادله خط به کمک تانژانت زاویه:

برابر است با: 𝒎و شیب (𝒚𝟎 و 𝒙𝟎)معادله خط گذرنده از نقطه نکته:

𝒚 − 𝒚𝟎 = 𝒎(𝒙 − 𝒙𝟎)


31


برابر (𝒚𝑩 و 𝒙𝑩)و (𝒚𝑨 و 𝒙𝑨)نقطه دو خط گذرنده از نکته: شیب

است با:

𝒎 =𝒚𝑩 − 𝒚𝑨

𝒙𝑩 − 𝒙𝑨= 𝐭𝐚𝐧𝜽

ی بین خط وزاویه تانژانتتوان نتیجه گرفت شیب هر خط برابر است با: از رابطه باال می

محور افقی مثبتجهت

3𝒙√زاویه ای که خط : مثال − 3𝑦 = سازد چند درجه است؟ها می 𝑥محور با جهت مثبت 5

گذرد.می (2 و 1−)سازد و از نقطه می °34ی ها زاویه 𝑥معادله خطی بنویسید که با محور : مثال

-1ی ها در نقطهبسازد و محور عرض °34ی زاویه ها 𝑥طول از مبدا خطی که با جهت مثبت محور : مثال


32


قطع کند بدست آورید.

2ی ها در نقطهبسازد و محور طول °94ی زاویه ها 𝑥عرض از مبدا خطی که با جهت مثبت محور : مثال

کند بدست آورید.قطع

𝑎𝑥خط : تست − 3𝑦 = کدام 𝑎درجه میسازد، 05ی با جهت مثبت محور افق زاویه 2

است؟

1) 3 2 )2 3 )−3 0 )2-


33


]=Aی معادله خطی که از نقطه: تست3ی ها زاویه𝑥گذرد و با جهت مثبت محور می [1−

سازدکدام است؟می 05

1) 𝑦 = 2𝑥 + 3 2 )y = x − 0 3)y + x = 0 0 )y = x − 1

های مثلثاتی:روابط بین نسبت


34


و قضیه فیثاغورس داریم: زیر با توجه به دایره مثلثاتی

𝑥 = cos 𝜃 , 𝑦 = sin 𝜃

𝑥2 + 𝑦2 = 1 →

cos2 𝜃 + sin2 𝜃 = 1

→ {sin2 𝜃 = 1 − cos2 𝜃cos2 𝜃 = 1 − sin2 𝜃

→

1) {sin 𝜃 = ±√1 − cos2 𝜃

cos 𝜃 = ±√1 − sin2 𝜃

2) tan 𝜃 =sin𝜃

cos𝜃 , cot 𝜃 =

cos 𝜃

sin𝜃

3) 1 + tan2 𝜃 =1

cos2 𝜃

0) 1 + cot2 𝜃 =1

sin2 𝜃

5) (sin𝜃 ± cos 𝜃)2 = 1 ± 2 sin𝜃 cos𝜃

9) tan 𝜃 + cot 𝜃 =1

sin𝜃 cos𝜃


35


sinدر ربع سوم مثلثاتی و 𝜃اگر : مثال 𝜃 = −1

3 .را بیابید 𝜃های مثلثاتی سایر نسبت

cosمثلثاتی و دومدر ربع 𝜃اگر : مثال 𝜃 = −1213

.را بیابید 𝜃های مثلثاتی سایر نسبت

tanمثلثاتی و سومدر ربع 𝜃اگر : مثال 𝜃 = −23

را 𝜃های مثلثاتی سایر نسبت

.بیابید


36


های زیر را ثابت کنید:تساوی: مثال

1) (1 + sin 𝜃)(1 − sin 𝜃) = cos2 𝜃

2) (1

cos 𝛼+ tan𝛼)(1 − sin𝛼) = cos 𝛼

3) (1

cos𝛼+ tan𝛼)(1 − sin 𝛼) = cos 𝛼

0) 1 − cos2 𝜃

1+sin𝜃= sin 𝜃

5) 1

1+cos𝜃+

11−cos𝜃

− 2 = 2 cot2 𝜃


37


9) (1+tan2 𝜃) cos2 𝜃

cot𝜃= tan𝜃

7) cos𝜃

1+sin𝜃+

1+sin𝜃

cos𝜃=

2cos𝜃

4) 1 − sin2 𝜃

1+cos𝜃= cos𝜃

3) sin0 𝜃 − cos0 𝜃 = sin2 𝜃 − cos2 𝜃

38


sinاگر : تست 𝑥 − cos 𝑥 =√57

2sinباشد مقدار 𝑥 cos 𝑥 کدام است؟

1) −00

03 2 )

−503

3 )5

03 0 )

0003

1)حاصل : تست + tan 𝜃)(1 + cot 𝜃)−1

sin𝜃 cos𝜃 کدام است؟

1) 2 2 )1 3 )4 0 )−1

1)حاصل عبارت : تست − 1

sin2 𝛼)(1 − 1

cos2 𝛼 کدام است؟ (

1) tan 𝛼 2 )cot 𝛼 3 )1 0 )−1


39


1)حاصل : تست + tan2 𝑥)(cos 𝑥 −1

cos 𝑥 )(sin 𝑥 −

1

sin 𝑥 کدام است؟ (

1) tan 𝑥 2 )cot 𝑥 3 )sin 𝑥 0 )cos 𝑥

sin2حاصل : تست 𝑥 cos0 𝑥 (2 + tan2 𝑥 + cot2 𝑥 )+1 کدام است؟

1) 1 2 )2 3 )1 + cos2 𝑥 0 )1 + sin0 𝑥

sin اگراگر : تست 𝐴 =05

tan𝐴ای حاده باشد، زاویه 𝐴و +1

cosAبرابر است

با:

1) 1 2 )2 3 )3 0 )0


41


حاصل : تست1

1+sin𝑥+

11−sin𝑥

برابر کدام است؟

1) 2

cos𝑥 2 )2(1 + tan2 𝑥) 3 )2(1 + cot2 𝑥) 0 )1


تﺎﯿﺿﺎﯾر هﮋﯾو ﺖﯾﺎﺳ …dl.riazisara.ir/download/darsnameh/r10/r10-f2......

Documents