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H. Weber, FHW, OR SS07, Teil 6, Seite 1

III. Transportaufgaben 1. Problemstellung 2. Analyse 3. Bestimmung der Startecke 4. Eckenaustausch 5. Umladeprobleme 6. Zuordnungsprobleme


1. Problemstellung

Wir beschäftigen uns hier mit einer speziellen Form von linearen Optimierungsproblemen, den sog. Transportproblemen. Hierbei sollen die Kosten für den Transport von Gütern von einer Reihe von Lagerplätzen zu Verbrauchsplätzen minimiert werden. Annahme: es existieren m Lagerplätze R1, R2, ..., Rm (z.B. Lagerhäuser) n Verbrauchsplätze D1, D2, ..., Dn (z.B. Fabriken) ai bezeichne die Anzahl der vorrätigen Waren am Lagerplatz Ri . bj bezeichne die Zahl der benötigten Waren am Verbrauchsplatz Dj . cij seine die Kosten pro Einheit für den Transport von Ri nach Dj . C = (cij) ist die Kostenmatrix.


Gesucht sind die Anzahlen xij der von Ri nach Dj zu transportierenden Waren, so daß die Kosten minimiert werden. X = (xij) ist die Transport-matrix. Mathematisch kann das Problem folgendermaßen formuliert werden: m n Minimiere f = ∑ ∑ cij xij (1) i=1 j=1 n unter den Nebenbedingungen ∑ xij = ai , i = 1, ..., m (2) j=1 m ∑ xij = bj , j = 1, ..., n (3) i=1 und Vorzeichenbedingungen xij ≥ 0, i = 1, ..., m, j = 1, ..., n. (4)


Dies ist ein LOP mit m*n Variablen und m+n Nebenbedingungen. Wir nehmen ferner an, daß der totale Bedarf gleich dem totalen Vorrat an Waren ist (Geschlossenheitsbedingung): n m ∑ ai = ∑ bj = c i=1 j=1 Man kann jedes Transportproblem in ein geschlossenes Transport-problem überführen. Im Fall n m ∑ ai > ∑ bj i=1 j=1 führt man einen fiktiven Kunden Dn+1 mit dem Bedarf n m bn+1 = ∑ ai - ∑ bj ein. c i,n+1 sind dann die Lagerkosten des Lagers Ri. i=1 j=1


Im Fall n m ∑ ai < ∑ bj i=1 j=1 führt man ein fiktives Lager Rm+1 mit dem Vorrat m n am+1 = ∑ bj - ∑ ai ein. c m+1,j sind dann die Kosten der j =1 i =1 Nichtbelieferung. Wir legen also in Zukunft o.B.d.A. ein geschlossenes Transportproblem zugrunde.


2. Analyse Dieses Transportproblem wurde erstmals von Hitchcock (1941) und Koopmans (1947) betrachtet. Es weist gegenüber „normalen“ LOPs einige Besonderheiten in der Struktur der Nebenbedingungen auf:

• Nur Gleichungsnebenbedingungen. • Alle Nichtnull-Koeffizienten der Nebenbedingungen sind gleich 1. • Die Koeffizienten erscheinen in einer Dreiecksform. • Jede Variable erscheint nur einmal in den ersten m Gleichungen und

einmal in den folgenden n Gleichungen.


Das Transportproblem hat also die Form x11+x21+ ... +x1n = a1 x21+x22+ ... +x2n = a2 ... … ... … xm1+xm2+ ... + xmn = am x11 +x21 +xm1 = b1 x12 +x22 +xm2 = b2 ... ... ... ... ... ... ... ... x1n +x2n +xmn = bn

c11x11 +c12x12+...+c1nx1n + ... + cm1xm1 +cm2xm2+...+cmnxmn = f


Transportprobleme können leicht als Graphen dargestellt werden:

Lagerplätze I, II, III, Verbrauchsplätze A, B, C, D


Das oben definierte Transportproblem kann mit einem ganz „normalen“ Programm für den Simplex-Algorithmus aufgelöst werden (2 Phasen). Jedoch ist dies wegen der Grösse der üblichen Probleme sehr aufwendig und nicht optimal. Vielmehr gibt es wegen der genannten besonderen Struktur sog. Transport-Techniken bzw. -Algorithmen, die speziell ange-passte Simplex-Algorithmen darstellen. Satz 1: Die mxn Matrix der Nebenbedingungen

11...1 11...1

...... 11...1

1 1 1 1 1 1

... ... ... 1 1 1


des Transportproblems hat den Rang m+n-1, da die Summe der Zeilen 1 bis m gleich der der Zeilen m+1 bis m+n ist. Satz 2: Sind alle ai und bj positiv, also auch c, so besitzt das Transportproblem mindestens eine zulässige Lösung, nämlich

xij = aibj/c Dies ist allerdings keine Ecke ! Da der zulässige Bereich wegen 0 ≤ xij ≤ min(ai, bj) beschränkt ist, existiert ein Optimum der Zielfunktion, es liegt in einer Ecke.


Vorgehensweise bei der Lösung des Transportproblems:

1. Bestimmung einer zulässigen Startlösung (Ausgangsecke). 2. Optimalitätstest für die gegenwärtige zulässige Lösung:

falls die Lösung optimal ist, gehe nach 6, andernfalls nach 3. 3. Auswahl einer Variablen, die Basisvariable werden soll. 4. Auswahl einer Variablen, die Nichtbasisvariable werden soll. 5. Bestimmung einer neuen zulässigen Lösung, dann nach 2.

6. Fertig!


3. Bestimmung der Startecke

Zur Bestimmung der Anfangsecke gibt es eine Reihe von Verfahren, unter anderem:

• die Nordwesteckenregel, • die Vogel’sche Approximationsmethode, • die Spaltenminimum-Methode, • die Matrixminimum-Methode

und andere mehr. Am einfachsten ist die Nordwesteckenregel, da sie die Kostenmatrix nicht beachtet.

Die Nordwesteckenregel Hier ermittelt man im Transporttableau von links oben nach rechts unten fortschreitend die anfänglichen Basisvariablen.


Start : i := j := 1. Iteration:

xij = min { ai , bj } ; ai:= ai - xij ; bj := bj - xij ; if ai = 0 then i:= i+1 else j:= j+1; Gehe zu nächsten Iteration.

Abbruch: Falls i = m und j=n, wird nach der ersten Zeile der Iteration abgebrochen. xij ist jeweils ein „größtmöglicher Transport“ von Ri nach Dj. In der ersten Zeile der Iteration werden Vorrat und Bedarf neu berechnet. Wenn ai = 0 ist, ist der Vorrat in Ri aufgebraucht, man geht zur nächsten Zeile, i+1, weil aus Ri kein Transport mehr erfolgen kann. Wenn bj = 0 ist, ist der Bedarf von Dj gedeckt, man geht zur nächsten Spalte, j+1, weil zum Kunden Dj kein Transport mehr erfolgen soll. Werden zwischendurch nie ai und bj beide Null, so werden m+n-1 Plätze


in der Transportmatrix mit positiven Zahlen besetzt, darunter x11 und xmn. Sie sind die Basisvariablen. Die übrigen Werte werden implizit gleich Null gesetzt. Wird bei diesem Verfahren zwischendurch zugleich ai = 0 und bj = 0, so fährt man bei Ri+1 und Dj+1 fort, nimmt aber xi+1,j oder xi,j+1 als Basis-variable mit Wert 0 in die Basis auf. Die Ecke ist dann entartet. Beispiel: Ausgangspunkt

D1 D2 D3 D4 ai i=1, j=1

R1 4000 R2 7000

bj 2000 3000 5000 1000


D1 D2 D3 D4 ai x11 = 2000, a1 = 2000, b1 = 0

R1 2000 2000 i=1, j = 2 R2 7000

bj 0 3000 5000 1000

D1 D2 D3 D4 ai x12 = 2000, a1 = 0, b2 = 1000

R1 2000 2000 0 i=2, j = 2 R2 7000

bj 0 1000 5000 1000


D1 D2 D3 D4 ai x22 = 1000, a2 = 6000, b2 = 0

R1 2000 2000 0 i=2, j = 3

R2 1000 6000

bj 0 0 5000 1000

D1 D2 D3 D4 ai x23 = 5000, a2 = 1000, b3 = 0

R1 2000 2000 0 i=2, j = 4

R2 1000 5000 1000

bj 0 0 0 1000


D1 D2 D3 D4 ai x24 = 1000, a2 = 0, b4 = 0

R1 2000 2000 0

R2 1000 5000 1000 0

bj 0 0 0 0

Insgesamt ergibt sich so ein Zickzackweg von links oben nach rechts unten. Die Nordwesteckenregel ist ein sehr einfaches, heuristisches Verfahren zur Bestimmung der Anfangsecke. Sie benutzt die Werte cij der Kostenmatrix überhaupt nicht. Dadurch ergibt sich meist keine besonders gute Startlösung.


4. Eckenaustausch Die MODI–Methode (u-v-Methode) von Vajda Die zum Transportproblem (1)-(4) duale Aufgabenstellung lautet m n Maximiere z = ∑ aiui + ∑ bjvj i=1 j=1 unter den Nebenbedingungen ui + vj ≤ cij, i=1,…,m, j=1,…n mit nicht vorzeichenbeschränkten, reellen Variablen ui, vj . Seien x = (x11, ...,xij, ... xmn)T und (uT, vT)T optimale, zulässige Lösungen von Primal- und Dualproblem. Dann entsprechen den Problemvariablen xij des Primalproblems die Schlupfvariablen dij = cij – ui – vj des Dualproblems.


Nach dem Satz über den komplementären Schlupf gilt xij * dij = 0 . D.h. für Basisvariable xij > 0 gilt dij = cij – ui – vj = 0, und aus dij ≠ 0, d.h. cij – ui – vj ≠ 0 folgt xij = 0. Satz 3: Für die Indizes (i,j) der Basisvariablen xij stellen ui + vj = cij

m+n-1 lineare (unterbestimmte) Gleichungen für die m+n Unbekannten ui , vj dar.

Setzt man etwa u1 = 0 (oder v1 = 0), so kann man alle ui, vj eindeutig berechnen. Für die Indizes (i,j) der Nichtbasisvariablen xij berechnet man daraus die Koeffizienten dij = cij – ui – vj , die den Werten der Zielfunktionszeile im üblichen Simplextableau entsprechen. Falls alle dij ≥ 0 sind, i=1,...,m, j=1,...,n, so ist die Basislösung optimal.


Andernfalls wird diejenige Nichtbasisvariable aufgenommen xrs, für die

drs = min {dij } < 0 . i, j xrs soll nun Basisvariable werden und einen möglichst großen Wert xrs(θ) = θ > 0 bekommen. Die übrigen Nichtbasisvariablen sollen den Wert 0 behalten. Die Basisvariablen sind neu zu berechnen, so daß alle Nebenbedingungen erfüllt sind. Die aus der Basis zu eliminierende Variable wird bei Simplex-Algorith-mus durch Minimumbildung von Quotienten im Tableau bestimmt. Dies ist hier nicht möglich. Man bestimmt hier dazu im Transport-Tableau einen Pfad aus jenen Basiselementen, deren Wert sich bei Erhöhung des Wertes von xrs ändert, damit die Gleichungen der Nebenbedingungen eingehalten werden (Stepping Stone Path). Durch Hinzufügen von xrs entsteht ein Zyklus.


Für die xij des geschlossenen Zickzackweges, der von xrs ausgeht und durch Basisvariable zu xrs zurückführt, setzt man abwechselnd

x*ij(θ) = xij – θ und x*ij(θ) + θ Dann sind die Nebenbedingungen erfüllt, weil in einer Zeile bzw. Spalte jeweils θ addiert und subtrahiert wird. Nun suchen wir das grösst-mögliche θ so, daß noch alle Vorzeichenbedingungen erfüllt sind, d.h. es darf beim Subtrahieren nie etwas Negatives entstehen. Es ergibt sich θ = min { xij alte Basisvar. in Zickzackweg}. Ein x*ij(θ), das Null wird, wird neue Nichtbasisvariable, also gegen xrs mit Wert θ ausgetauscht. Der Zielfunktionswert verbessert, d.h. verringert sich bei diesem Basis-tausch um drs*θ. Im Tableau wird der Zyklus durch Einzeichnen von + und – markiert.


Beispiel: Es sei der optimale Transportplan zu finden für folgendes Problem: Lager R1, R2 und R3 mit Vorräten a1 = 20, a2 = 25 und a3 = 40 des Produktes P, Verbraucher D1, D2, D3 und D4 mit Nachfragen b1 = 10, b2 = 25, b3 = 15, b4 = 35 Die Transportkosten ergeben sich aus der Matrix

D1 D2 D3 D4

R1 1 8 4 7 R2 9 0 5 7 R3 3 6 8 1


Die Nordwestecken-Regel führt zur Ausgangslösung:

D1 D2 D3 D4 ai

R1 10 10 20 R2 15 10 25 R3 5 35 40

bj 10 25 15 35 215 Basisvariablen sind: x11, x12, x22, x23, x33, x34. Zur Bestimmung der dij ist das folgende Gleichungssystem für die Basisvariablen (mit v1 = 0) zu lösen: u1 + v1 = c11 = 1 u2 + v3 = c23 = 5 => u1 = 1, u2 = -7, u3 = -4, u1 + v2 = c12 = 8 u3 + v3 = c33 = 8 v1 = 0, v2 = 7, v3 = 12, u2 + v2 = c22 = 0 u3 + v4 = c34 = 1 v4 = 5


Nun wird für alle Nichtbasisvariablen dij = cij – ui – vj berechnet. Die jeweils zweite Zahl im Tableau ist dij.

D1 D2 D3 D4 ui

R1 1/0 8/0 4/-9 7/1 1 R2 9/16 0/0 5/0 7/9 -7 R3 3/7 6/3 8/0 1/0 -4

vj 0 7 12 5 Die durch die Nordwestecken-Regel gefundene Ausgangslösung ist nicht optimal, wie d13 = -9 < 0 aussagt. Die Nichtbasisvariable x13 ist also in die Basis aufzunehmen. Das folgende Tableau zeigt den Zickzackweg, der x13 enthält.


D1 D2 D3 D4 ai

R1 10 10 - +

20 R2 15 + 10 - 25 R3 5 35 40

bj 10 25 15 35 215

Es ergibt sich θ = 10 und damit der neue Plan :

D1 D2 D3 D4 ai

R1 10 10 20 R2 25 0 25 R3 5 35 40

bj 10 25 15 35 125


Wegen der Entartung konnten wir hier wählen, ob x23 oder x12 Basisvariable mit Wert Null bleiben sollten. Wir haben uns für x23 entschieden.

Ist dieser Plan optimal? Es müssen wieder die dualen Vektoren u und v berechnet werden und aus ihnen die dij. Basisvariablen sind: x11, x13, x22, x23, x33, x34. Zur Bestimmung der dij ist das folgende Gleichungssystem für die Basisvariablen (mit v1 = 0) zu lösen: u1 + v1 = c11 = 1 u2 + v3 = c23 = 5 => u1 = 1, u2 = 2, u3 = 5, u1 + v3 = c13 = 4 u3 + v3 = c33 = 8 v1 = 0, v2 = -2, v3 = 3, u2 + v2 = c22 = 0 u3 + v4 = c34 = 1 v4 = -4 Im Tableau stehen wieder die dij = cij – ui – vj rechts neben den cij.


D1 D2 D3 D4 ui

R1 1/0 8/9 4/0 7/10 1 R2 9/7 0/0 5/0 7/9 2 R3 3/-2 6/3 8/0 1/0 5

vj 0 -2 3 -4

Wegen d31 = -2 < 0 ist diese Lösung noch nicht optimal, wir müssen x31 neu in die Basis aufnehmen. Die Schleife ist wie üblich bezeichnet:

D1 D2 D3 D4 ai

R1 10- 10+ 20 R2 25 0 25 R3

+ 5- 35 40

bj 10 25 15 35 125


Mit θ = 5 verläßt x33 die Basis. Es ergibt sich der neue Plan

D1 D2 D3 D4 ai

R1 5 15 20 R2 25 0 25 R3 5 35 40

bj 10 25 15 35 115 Wir überprüfen die Optimalität:

Basisvariablen sind: x11, x13, x22, x23, x31, x34. Aufzulösen ist (v1 = 0!): u1 + v1 = c11 = 1 u2 + v3 = c23 = 5 => u1 = 1, u2 = 2, u3 = 3, u1 + v3 = c13 = 4 u3 + v1 = c31 = 3 v1 = 0, v2 = -2, v3 = 3, u2 + v2 = c22 = 0 u3 + v4 = c34 = 1 v4 = -2


Die dij stehen rechts neben den cij im neuen Tableau:

D1 D2 D3 D4 ui

R1 1/0 8/9 4/0 7/8 1 R2 9/7 0/0 5/0 7/7 2 R3 3/0 6/5 8/2 1/0 3

vj 0 -2 3 -2 Alle dij sind positiv. Dies zeigt die Optimalität der Lösung: x11 = 5, x13 = 15, x22 = 25, x23 = 0, x31 = 5, x34 = 5 mit Zielfunktionswert 115.


5. Umladeprobleme

Es gibt verschiedene, kompliziertere Varianten von Transportproblemen, darunter Umladeprobleme. Hier wird ein Produkt nicht direkt zu den Bedarfsorten, sondern zunächst zu Umladeorten versandt. Von dort erfolgt der Transport zu den Bedarfsorten. An den Umladeorten kann u.U. auch eine Lagerung bzw. Bearbeitung des Produkts stattfinden. Zur Lösung von Umladeproblemen verwendet man ganz ähnliche Methode wie bei Transportproblemen. Beispiel: In Rohstoffbetrieben A und B wird ein Produkt zu Kosten von 50 Euro bzw. 60 Euro je ME hergestellt. Die Kapazitäten betragen 2000 bzw. 1500 ME pro Woche. In den Betrieben C, D und E wird das Produkt weiterbearbeitet, wobei die Kosten von 40, 55 bzw. 48 Euro pro ME entstehen. Die Kapazitäten sind durch 1000, 1200 und 1800 ME pro Woche begrenzt.


Die Transportkosten von A nach C,D und E betragen 8, 4 und 3 Euro/ME. Die Transportkosten von B aus sind 4, 6 und 7 Euro/ME. Von den Betrieben C,D und E aus sind Kunden I bis IV mit den Mengen 800, 600, 500 bzw. 1200 ME zu beliefern. Die Transportkosten sind in der folgenden Tabelle enthalten. C D E I II III IV Leerlauf | ai A | 98 100 101 ∞ ∞ ∞ ∞ 0 | 2000 B | 104 121 115 ∞ ∞ ∞ ∞ 0 | 1500 C | 0 ∞ 0 28 44 20 50 ∞ | 1000 D | ∞ 0 ∞ 16 20 10 20 ∞ | 1200 E | ∞ ∞ 0 15 22 24 23 ∞ | 1800 bj | 1000 1200 1800 800 600 500 1200 400 | 7500


6. Zuordnungsprobleme Eine Sonderform der Transportprobleme bilden die Zuordnungs-probleme. Bei ihnen sind die Angebots- und Bedarfsmengen alle gleich Eins. Ferner sind die Anzahlen der Anbieter und Nachfrager gleich. Zuordnungsprobleme sind solche, bei denen je einem Element einer Menge je ein Element einer anderen Menge zuzuordnen ist, wobei die Eignung einer Einzelzuordnung in Kosten oder einer anderen sinnvollen Größe anzugeben ist.


Beispiel: Heiratsproblem \ Tochter | Karin Ingrid Elke Sigrid Freier \ | Oskar | 9 4 2 4 Willi | 7 5 0 3 Emil | 6 4 5 7 Hugo | 9 6 5 7 Antipathieziffern: 0 (volle Symp.) ... 9 (volle Antipathie) Zur Heirat sind die Freier nur bereit, wenn die Mitgift der Antipathieziffer entspricht. Das Problem kann mit dem Transportalgorithmus gelöst werden.

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