iii bimestre

I.E.P. SANTO TORIBIO MATEMATICAS

CONTENIDO III BIMESTRE

RAZON O RELACION.PROPORCION.MAGNITUDESPROPORCIONALES.REGLA DE TRES SIMPLES.TANTO POR CIENTO.APLICACIÓN DEL TANTO POR CIENTO.INTERES COMERCIAL.SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (SIU)UNIDADES DE LONGITUD.UNIDADES DE MASA.UNIDADES DE TIEMPO.UNIDADES DE AREA.UNIDADES DE VOLUMEN Ó CAPACIDAD.INTRODUCCION A LA ESTADISTICA.MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL.INTRODUCCION A LA PROBABILIDAD.CONJUNTO DE NUMEROS ENTEROS.ADICION Y SUTRACCION DE NUMEROS ENTEROS.MULTIPLICACION Y DIVISION DE NUMEROS ENTEROS.POTENCIACION Y RADICACION DE NUMEROS ENTEROS.RADICACION DE NUMEROS ENTEROS.

RAZÓN O RELACIÓNRAZÓN O RELACIÓN

Se denomina razón o relación a la comparación que se hace entre dos cantidades. Esta comparación se puede realizar de dos maneras: por diferencia o por cociente.

1. Razón Aritmética: Es aquella que se obtiene cuando comparamos dos cantidades por diferencia.

Ejm: Compara la edad de un profesor con la de su alumno, si el profesor tiene 36 años y el alumno tiene 12 años.

36 años – 12 años = 24 años

Luego podemos decir que la edad del profesor excede en 24 años a la de su alumno o que el profesor tiene 24 años más que su alumno.

Conclusión: si comparamos por diferencia dos cantidades “a” y “b” tendremos:

2. Razón Geométrica: Es aquella que se obtiene al comparar dos cantidades por cociente, con la cual determinamos cuantas veces una de las cantidades contiene a la otra.

Ejm 1: Compara el dinero de Janelly con el dinero de Víctor, sabiendo que Janelly tiene 48 soles y Víctor tiene 16 soles.

Luego se puede afirmar que el dinero que tiene Janelly es el triple del dinero que tiene Víctor.

Ejm 2: En el aula de 6to grado del Colegio de Ciencias “Lord Kelvin” hay 35 alumnos, de los cuales 20 son varones. Hacer la comparación entre el números de alumnos y alumnas.

Esta razón nos da a entender que por cada 4 alumnos hay 3 alumnas.

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Conclusión: Si comparamos por cociente dos cantidades “a” y “b” tendremos:

Observación:

La Razón Geométrica: se lee: “a” es a “b”

PRÁCTICA DE CLASE

01. Compara por diferencia las edades de José y Jaime, si José tiene 24 años y Jaime tiene 26 años; e interpreta el resultado.

02. Compara por diferencia la cantidad de naranjas que tiene Víctor con las que tiene Alfredo, si Víctor tiene 12 y Alfredo tiene 7. Interpreta el resultado.

03. Halla la razón aritmética entre el dinero de Wendy con el dinero de Mónica, si Wendy tiene S/.80.00 y Mónica tiene 67 soles. Interpreta el resultado.

04. Entre las aulas de Primaria III y Pre–Secundaria hay en total 67 alumnos, si en Pre–Secundaria hay 35 alumnos. Hallar la razón aritmética entre dichas cantidades e interpreta el resultado.

05. Compara por cociente la edad de un Padre y la de su hijo sabiendo que la edad del Padre es 36 años y la del hijo es de 12 años. Interpreta el resultado.

06. La edad de Janelly es 5 años y la de su mamá es 30 años. Hallar la razón Geométrica entre dichas edades e interpreta dicho resultado.

07. Janett tiene 12 naranjas y 20 mandarinas. Halle la razón geométrica entre dichas cantidades e interpreta el resultado .

08. Virginia tiene 80 aves entre patos y gallinas, si el número de patos es 35 hallar la razón entre el número de gallinas y el número de patos e interpreta el resultado.

09. Doroteo tiene en total 48 animales entre perros y patos si se sabe que por cada 3 perros hay 5 patos. Hallar cuántos animales de cada tipo tiene.

10. Por cada 7 manzanas que tiene Marlene, Carla tiene 5. Hallar cuántas manzanas tiene cada una si entre las dos tienen 108 manzanas.

EJERCICIOS PROPUESTOS N° 01

01. La suma del dinero de Alfredo y Víctor es de S/. 40. Si la razón aritmética del dinero de Víctor y el de Alfredo es 8. ¿Cuánto tiene cada uno?:

a) 24 y 16 b) 32 y 8 c) 22 y 18 d) N.a.

02. El número de taps de Kevin es al de Joseph como 7 es a 5. Si Kevin tiene 12 taps más que Joseph. ¿Cuántos taps tiene Joseph?

a) 42 b) 36 c) 30 d) N.a.

03. Una señora tuvo su hijo a los 18 años, ahora su edad es a la de su hijo como 17 es a 11. ¿Cuántos años tiene el hijo?.

a) 11 b) 33 c) 45 d) 50 e) 28

04. La razón de dos números es 3/8 y su suma 2497. ¿Qué números son esos?.Dar el menor.

a) 720 b) 730 c) 475 d) 180 e) 681

05. Dos números enteros son entre si como 10 es a 9. Si la suma de la mitad del mayor y la tercera parte del menor es 72. Hallar el mayor de los dos números.

a) 80 b) 160 c) 90 d) 45 e) 40

TAREA DOMICILIARIA

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01. Hallar la razón aritmética entre las siguientes cantidades.

a) 12 y 7 b) 13 y 19 c) 108 y 41d) 15 y 37 e) 112 y 53 f) 1237 y 715

02. Hallar la razón geométrica entre las siguientes cantidades:

a) 108 y 36 b) 15 y 60 c) 32 y 1024d) 48 y 32 e) 121 y 341 f) 1200 y 7200

03. Jaimito tiene 72 frutos entre manzanas y naranjas, si por cada 7 manzanas tiene 5 naranjas. Hallar el número de frutos de cada clase.

04. Hallar la razón aritmética entre el número de varones y mujeres asistentes a un evento sabiendo que el número de varones es 48 y el total de asistentes fue de 76. Interpreta el resultado.

05. Hallar la media geométrica entre el total de frutas que tiene Elena y la cantidad de manzanas sabiendo que solo posee: 18 manzanas y 12 mandarinas.

PROPORCIÓNPROPORCIÓN

Se denomina Proporción a la igualdad de dos razones. Si la igualdad se da entre dos razones aritméticas, la proporción se denominará PROPORCIÓN ARITMÉTICA y si la igualdad se da entre dos razones geométricas, la proporción se denominará PROPORCIÓN GEOMÉTRICA.

1. Proporción Aritmética: Es la igualdad de dos razones aritméticas tales

como:

En dicha proporción denominaremos:

antecedentes : a y cconsecuentes : b y d

Términos externos : a y dTérminos medios : b y c

1er término : a2do término : b3er término : c4to término : d

Observación:

En toda proporción aritmética se cumple que la suma de los términos medios es igual a la suma de los términos extremos.

Ejm: Hallar “m” si: 42 – a = 32 – 5

Si aplicamos lo observado anteriormente tendremos:

a + 32 = 42 + 5

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CLASIFICACIÓN DE LAS PROPORCIONES ARITMÉTICAS:

1.1. Proporción Aritmética Discreta: Es aquella proporción aritmética en donde sus cuatro términos son diferentes simbólicamente tenemos:

Observación:Al cuarto término de esta proporción, es decir al valor “d” se le conoce con el nombre de CUARTA DIFERENCIAL o CUARTA ARITMÉTICA.

Ejm: Hallar la cuarta diferencial de 12; 8 y 11.

Resolución:Para hallar la cuarta diferencial se ubican los términos en el orden que han sido mencionados y el cuarto término es nuestra incógnita. Así:

12 – 8 = 11 – x 4 + x = 11 x = 11 – 4

1.2. Proporción Aritmética Continua: Es aquella proporción aritmética que presenta como característica que sus términos medios son iguales.Simbólicamente tenemos:

Observación:

- Al término “b” es decir al término que se repite se le conoce como MEDIA ARITMÉTICA o MEDIA DIFERENCIAL.

- Al término “c”, es decir al cuarto término o mejor dicho al tercer término diferente se le conoce como: TERCERA ARITMÉTICA o TERCERA DIFERENCIAL.

Ejm 1: Hallar la media diferencial de 14 y 6.

Resolución: Para hallar la media diferencial solo necesitamos dos valores como datos, el primero y el último, ubicamos nuestros datos en dicho orden y nuestra incógnita es el término que se repite. Así:

14 – x = x – 6

20 = 2x

Ejm 2: Hallar la tercera diferencial de 17 y 15.

Resolución: Para hallar la tercera diferencial debemos formar nuestra proporción aritmética continua en donde el segundo término dado debe ser el que se repite como término medio. Así:

17 – 15 = 15 – x 2 = 15 – x x = 15 – 2

2. Proporción Geométrica: Es la igualdad de dos razones geométricas tales como:

Se lee: “a” es a “b” como “c” es a “d”.

En dicha proporción denominaremos:

- antecedentes : a y c - 1er término : a- consecuentes : b y d - 2do término : b- términos extremos : a y d - 3er término :c- términos medios: b y c - 4to término : d

Observación:En toda proporción geométrica se cumple que el producto de los términos extremos es igual al producto de los términos medios.

Ejm: Hallar “x” en:

Si aplicamos lo observado tendremos:

4 m = 3 (12)

CLASIFICACIÓN DE LAS PROPORCIONES GEOMÉTRICAS:

2.1. Proporción Geométrica Discreta: Es aquella proporción geométrica en donde sus cuatro términos son diferentes.

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Simbólicamente tenemos:

Observación:Al cuarto término de esta proporción, es decir al término “d” se le conoce con el nombre de CUARTA GEOMÉTRICA ó CUARTA PROPORCIONAL.

Ejm: Hallar la cuarta proporcional de 24 ; 12 y 8

Resolución: Para hallar la cuarta proporcional, debemos formar la proporción geométrica discreta con los tres valores dados (en el orden indicado) y nuestra incógnita, la cual debe ser el cuarto término. Así:

24x = 12 . 8

x =

2.2. Proporción Geométrica Continua: Es aquella proporción geométrica que presenta como característica que sus términos medios son iguales.Simbólicamente tenemos:

Observación:

- Al término “b” es decir al término que se repite se le conoce como MEDIA GEOMÉTRICA ó MEDIA PROPORCIONAL.

- Al término “c” es decir al cuarto término o mejor dicho al tercer término diferente se le conoce como TERCERA GEOMÉTRICA o TERCERA PROPORCIONAL.

Ejm 1: Hallar la media proporcional de 12 y 3.

Resolución:Para hallar la media proporcional formamos nuestra proporción geométrica continua siendo los valores dados el primer y cuarto término y nuestra incógnita será el término que se repite, es decir el término medio. Así:

36 = x2

Ejm. 2: Hallar la tercera proporcional de 48 y 12.

Resolución: Para hallar la tercera proporcional debemos formar nuestra proporción geométrica continua con los dos valores dados y nuestra incógnita, repitiéndose como término medio el segundo de los dos números dados. Así:

48 x = 12 . 12

CUADRO RESUMEN DE LA CLASIFICACIÓN DE LAS PROPORCIONES

PROPORCIÓN ARITMÉTICA PROPORCIÓN GEOMÉTRICADISCRETA

a – b = c – d

d = cuarta diferencial.

d = cuarta proporcional

CONTINUA

a – b = b – c

b = Media diferencialc = Tercera diferencial b = Media Proporcional

c = Tercera Proporcional

PRÁCTICA DE CLASE

01. Escribe 3 proporciones aritméticas discretas y 3 proporciones geométricas

discretas.

......................... = ........................... ......................... = ...........................

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......................... = ........................... ......................... = ...........................

......................... = ........................... ......................... = ...........................

02. Escribe 3 proporciones aritméticas continuas y 3 proporciones geométricas continuas:

......................... = ........................... ......................... = ...........................

......................... = ........................... ......................... = ...........................

.......................... = .......................... ......................... = ...........................

03. Calcular el valor de x en las proporciones geométricas dadas:

a) b)

c) d)

e) f)

g) h)

04. Escribe si la proporción es discreta o continua:

a) ............................................ b) 5 : 7 : : 15 :

21 ...............................

c) ............................................ d) 3 : 6 : : 6 :

12 ................................

e) "a es a b como c es a d" ....................... f) "m es a x como x es a n" ...................

05. Escribe "V" o "F" donde corresponda:

a) ( ) b) ( )

c) ( ) d) ( )

e) ( ) f) ( )

06. Hallar el valor de x:

a) b)

07. Resuelve los siguientes problemas:

a) En una fiesta hay tantos varones como mujeres, es decir, la razón del

número de varones al de mujeres es si en la fiesta hay 16 personas

¿Cuántos varones y cuantas mujeres hay?

b) La razón de plantas de naranjas y plantas de paltos es de , si hay 30

árboles en total. ¿Cuántas paltas y cuantas naranjas hay?

c) La razón de libros y revistas es de . Si hay 28 libros. ¿Cuántas revistas

hay?

d) En un corral la razón entre el número de gallinas y pavos es de 7 a 4 si hay 35 gallinas. ¿ Cuantos pavos hay?

08. Hallar la cuarta proporcional y cuarta diferencial de:

a) 3; 2 y 24 b) 9; 12 y 3 c) 30; 55 y 6

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09. Hallar la media proporcional y media diferencial de:

a) 3 y 48 b) 5 y 20 c) 7 y 28

10. Hallar la tercera proporcional de:

a) 8 y 4 b) 10 y 20 c) 12 y 8


01. Hallar el valor de x en:

; si 2m – 1 = 33

a) 17 b) 11 c) 15 d) N.a.

02. Calcular el valor de x e y en : ; si x + y = 9

a) 3 y 6 b) 6 y 3 c) 3 y 5 d) N.a.

03. Los valores de x , y cm ; si x - y = 4,7 son :

a) 7 y 2,3 b) 6 y 1,3 c) 9 y 4,3 d) N.a.

04. Hallar la cuarta proporcional entre , y

a) b) c) d) N.a.

05. Hallar el termino desconocido en 25 : : x : : x :

a) b) c) d) N.a.

TAREA DOMICILIARIA

01. Hallar la media proporcional de:

a) 81 y 4 b) 49 y 0,25 c) 64 y 25 d) 16 y 81 02. Hallar la cuarta proporcionalidad de :

a) 5, 6 y 10 b) 4, 6 y 9 c) 4, 6 y 9 d) 7, 3 y 21

03. Hallar la tercera proporcional de :

a) 4 y 8 b) 12 y 3 d) 6 y 3 d) 8 y 2

04. Calcular el valor de x:

a) b) c)

d) e) f) si x - y =5

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MAGNITUDES PROPORCIONALESMAGNITUDES PROPORCIONALES

MAGNITUD: Es todo aquello que presenta como característica el ser susceptible de medición. Así por ejemplo: la longitud, la masa, el peso, el tiempo, etc.

MAGNITUDES PROPORCIONALES: Se dice que dos magnitudes son proporcionales cuando si una varía la otra también varía en la misma proporción.

CLASIFICACIÓN DE LAS MAGNITUDES PROPORCIONALES:

1. Magnitudes Directamente Proporcionales: Se dice que dos magnitudes son directamente proporcionales cuando al multiplicar o dividir una de ellas por un número, la otra resulta multiplicada o dividida por el mismo número. Es decir que si una aumenta, la otra también aumenta en la misma proporción y si una disminuye, la otra también disminuye en la misma proporción.

Ejm 1: El número de objetos y el precio total a pagar:

Podemos observar que si aumenta el número de gaseosas, aumentará también el pago, en la misma proporción.

Podemos observar que si disminuye el número de gaseosas, disminuirá también el pago, en la misma proporción.

Ejm 2: El número de horas trabajadas y el pago a recibir.

* Si:

* Si:

Observación:Podemos afirmar que si dos magnitudes son directamente proporcionales entonces el cociente de ellos será siempre una cantidad constante.

# objetos 1 2 3 ...

costo 3 6 9 ...

Luego:

2. Magnitudes Inversamente Proporcionales: Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando al multiplicar una de ellas por un número, la otra resulta dividida por el mismo número y viceversa. Es decir que si una aumenta, la otra disminuye en la misma proporción.

Ejm: El número de obreros y el tiempo necesario para hacer una obra.

Si:

Observemos:

# obreros 1 2 3 4 ...

días trabajados

48 24 16 12 ...

Podemos concluir en que si dos magnitudes son inversamente proporcionales, entonces el producto de ella será siempre una cantidad constante.

1 . 48 = 2.24 = 3.16 = 4.12 = k

PRÁCTICA DE CLASE

01. Escriba 3 ejemplos de Magnitudes Directamente Proporcionales:

.........................................................................................................................

.........................................................................................................................

.........................................................................................................................8


02. Escriba 3 ejemplos de magnitudes inversamente proporcionales:

.........................................................................................................................

.........................................................................................................................

.........................................................................................................................

03. Se sabe que A es D.P. a B, cuando A = 24, B es 8. Hallar A cuando B es 3.

04. Se sabe que A es I.P. a B, cuando A = 7, B = 8. Hallar A cuando B = 32.

05. Se sabe que A es D.P. a B2, cuando A = 36, B = 3. Hallar B cuando A es 64.

06. A es I.P. a . Hallar A cuando B = 36. Si cuando A es 50 B es 100.

07. Si A es D.P. a B e I.P. a C. Halle el valor de “C” cuando A = 10 y B = 8, si cuando A = 8; B = 6 y C = 30.

08. A es D.P. a e I.P. a C2. Cuando A = 10; B = 25 y C = 4. Hallar A cuando B = 64 y C = 8.

09. Si: “x + 2” varía en forma directamente proporcional a “y – 2”. Si x = 10 cuando y = 6. Hallar “x” cuando y = 10.

10. El sueldo de un obrero es D.P. al cuadrado de sus años de servicio, si un obrero con 6 años de servicio gana S/. 1800. ¿Cuánto ganará otro obrero que tiene 5 años de servicio?

11. Si sabe que “M” es directamente proporcional con el cuadrado de P y con el cubo de V, si el valor de M se duplica y el de V también, ¿qué sucede con P?.

12. Una rueda de 50 dientes engrana con otra de 45 dientes y está con una tercera de 35 dientes. Cuando la primera da 7 vueltas. ¿Cuántas vueltas da la tercera?


01. Si “x” varía en razón directa a “y” e inversa al cuadrado de “z”. Cuando x = 10 entonces y = 4 y z = 14. Hallar “x” cuando y = 16 y z = 7.

a) 180 b) 160 c) 154 d) 140 e) 120

02. ¿Cuál es el peso de un diamante que vale 55 000 dólares, si uno de 6 kilates cuesta 19 800 dólares y el precio es directamente proporcional al cuadrado de su peso. (1 kilate = 0,.25g).

a) 6 g b) 6,25 g c) 2,5 g d) 25 g e) 62,5 g

03. El precio de un cuaderno varía en razón directa al número de hoja e inversa al número de cuadernos que se compran. Si cuando se compran 10 cuadernos de 50 hojas c/u de estos valen S/. 4,20 la unidad. ¿Cuántos cuadernos de 80 hojas saldrán al precio de 10,50?

a) 10 b) 20 c) 30 d) 5 e) 8

04. Una rueda “A” con 90 dientes engrana con otra B de 60 dientes, fija al eje de B hay otra rueda C de 20 dientes que engrana con otra D de 45 dientes. Si A da 60 vueltas. ¿Cuántas vueltas dará D?

a) 20 b) 40 c) 60 d) 80 e) 160

05. Si:

Magnitud Valores Asignados

A 36 144 324 9 4

B 6 3 2 12 18

Determinar la relación correcta entre A y B.

a) A D.P. b) A2 D.P. c) A I.P. B2

d) I.P. B e) I.P. B2

TAREA DOMICILIARIA

01. Completa cada una de las siguientes expresiones con: Directamente Proporcional e Inversamente Proporcional, según corresponda:

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a) El volumen de un cubo es .................................................. a su arista elevada al cubo.

b) El número de raciones de un batallón es ...................................................... al número de personas.

c) La velocidad de un automóvil es ....................................................... al tiempo transcurrido.

d) El precio de una pieza de casimir es ...................................................... a su calidad.

e) El área de un cuadrado es .............................................. al cuadrado de su lado.

02. Si “y” varía en proporción inversa al cuadrado de “x”. Cuando y = 16, x = 1; cuando x = 8. ¿Cuánto valdrá y?

03. A varía directamente con e inversamente con C 3. Si A = 3 cuando B =

256 y C = 2. Hallar B cuando A = 24 y C = .

04. El precio de un pasaje varía inversamente con el número de pasajeros, si para 14 pasajeros el pasaje cuesta S/. 15. ¿Cuántos pasajeros serán necesarios para que el valor del pasaje sea S/. 6?

05. De las siguientes afirmaciones:

I. El área de un cuadrado es D.P. a su lado.II. Si “A” y “B” son magnitudes I.P. entonces el cociente entre sus valores

correspondientes es constante.III. Si “A” es D.P. a “B”, “B” es D.P. a “C” entonces “A” es D.P. a “C”.

Señalar cuáles son verdaderas.

...................................................

REGLA DE TRES SIMPLE

Se caracteriza por que en ella intervienen tres cantidades conocidas o datos y una desconocida o incógnita.

La regla de tres simple puede ser a su vez DIRECTA o INVERSA.

a) Regla de Tres Simple Directa: Se caracteriza porque las magnitudes que intervienen son directamente proporcionales.

Ejemplo 1: Si 80 biscochos frutados cuestan S/.40. ¿Cuánto costarían 75 de estos mismos biscochos?.

Esquema:#Biscochos Costo

80 4075 x

Primer Método:

Segundo Método: Como las magnitudes son directamente proporcionales se multiplican los valores en aspa y se despeja el valor de la variable o incógnita.

#Biscochos Costo80 4075 x

b) Regla de Tres Simple Inversa: Se caracteriza porque las cantidades que intervienen son inversamente proporcionales.

Ejemplo 2: Un automóvil tarda 8 horas en recorrer un trayecto yendo a 90 Km/h. ¿Cuánto tardará en recorrer el mismo trayecto yendo a 60 Km/h?.

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Esquema:

Velocidad Tiempo (Km/h) (horas)

90 860 x

1er Método:

horas.

2do Método: Como las magnitudes son inversamente proporcionales se multiplican los valores en línea horizontal y se despeja el valor de la variable o incógnita.

Velocidad Tiempo (Km/h) (horas) 90 8 60 x

PRÁCTICA DE CLASE

01. Una cuadrilla de obreros ha hecho una obra en 20 días trabajando 6 horas diarias. ¿En cuántos días habrían hecho la obra si hubieran trabajado 8 horas diarias?

02. Si media docena de una mercancía cuesta s/14,50. ¿Cuánto costará 5 docenas de la misma?

03. Un motor consume 3 galones de gasolina cada 8 horas de funcionamiento. ¿Cuántos galones de gasolina se necesita para el motor funcione 20 horas?

04. En un cuartel, 112 soldados tienen provisiones para 30 días. Si aumentan 8 soldados ¿Para cuántos días tendrán provisiones el nuevo contingente?

05. El precio de 14 revistas es de s/42. ¿Cuánto costarán 6 revistas?

06. El corazón de un hombre adulto bombea 15 litro de sangre en tres minutos. ¿En cuantas horas bombea 1200 litros?

07. Un vehículo que viaja a 80 Km./h tarda 4 horas en ir de una ciudad a otra. ¿Cuánto tardará si viaja a 40 Km./h?

08. Un total de 1200 pollos tienen alimento para 15 días. Si se venden 480 pollos y no se varia la ración diaria por pollo ¿ Para cuantos días alcanzará el alimento?

09. Un batallón 90 soldados tienen raciones para 20 días. Si se dan de baja a 15 soldados y no se varía la razón diaria. ¿Para cuántos días alcanzaran las raciones?

10. Un automóvil recorre 320 Km./ en 4 horas. ¿Cuántos Km. recorrerá en 15 minutos?

11. 33 soldados tienen raciones para 12 días, si aumentan 11 soldados. ¿Para cuántos días alcanzarán las raciones?

12. El número de estudiantes varones al de mujeres de un colegio es como 8 a 9. si hay 416 varones. ¿Cuántos estudiantes hay en el colegio?

13. Una mecanógrafa puede completar una tarea en 3 horas. ¿Qué parte de su tarea puede hacer desde las 08:55 h hasta las 09:15 h?

14. Sabiendo que un buey atado a una cuerda de 3m de largo tarda 5 días en comerse toda la hierba que se encuentra a su alcance. ¿Cuánto tardará si la cuerda fuera de 6 m?

15. Luis pinta un cubo de 4 mt de arista en 2 días. ¿En qué tiempo pintará otro cubo de 12 mt de arista?.

16. Un ladrillo de los utilizados en la construcción pesa 4 kg. ¿Cuánto pesará un ladrillo cuyas dimensiones sean la cuarta parte de las normales?

17. Si “a” albañiles construyen una pared en 5 días ¿Cuántos días demoraría en construirla un sólo hombre?

18. Una pared cuadrada de 10m de lado es pintada y se pagó por dicho trabajo S/. 120. ¿ Cuánto se pagaría si el lado fuera de 5m. ?

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19. 15 obreros han hecho la mitad de un trabajo en 20 días. En ese momento abandonan el trabajo 5 obreros. ¿ Cuántos días tardarán en terminar el trabajo los obreros que quedan ?

20. En un destacamento; a la semana cada soldado recibe 18 panes, luego de un ataque enemigo mueren 40 soldados, ahora cada uno recibe 28 panes. Si semanalmente se reparten la misma cantidad de panes. ¿Cuántos soldados quedan?.


01. Un regimiento debe tardar 5 días con marcha regular para llegar a su destino, pero en el momento de salir recibió la orden de que se hiciese el recorrido en 2 días menos lo que obligó a aumentar la marcha diaria en 20 km. ¿De cuántos kilómetros fue el recorrido?.

a) 200 km b) 120 km c) 180 km d) 150 km e) 160 km

02. Una guarnición de 2200 hombres tienen provisiones para 62 días; al terminar el día 23 se retiran 250 hombres. ¿Cuánto tiempo podrán durar las provisiones que quedan al resto de la guarnición?.

a) 40 días b) 42 días c) 44 días d) 46 días e) 48 días.

03. 8 obreros pueden hacer una obra en 20 días. Después de 5 días de trabajo se retiran 3 obreros. ¿Con cuántos días de atraso se entregará la obra?.

a) 8 días b) 9 días c) 10 días d) 12 días e) 6 días

04. Un buey atado a una cuerda de 7,5 m de longitud puede comer la hierba que está a su alcance en 2 días. ¿Qué tiempo demoraría para comer la hierba que está a su alcance, si la longitud de la cuerda fuera de 15m?.

a) 10 días b) 8 días c) 12 días d) 9 días e) 11 días

05. Si N hombres tienen alimentos para d días. si estos alimentos deben alcanzar 3d días. ¿Cuántos hombres deben disminuir?.

a) N/3 b) N/6 c) 2N/3 d) 3N/4 d) N/2

06. Dos individuos arriendan una finca. El primero ocupa los 5/11 de la finca y paga 60500 dólares de alquiler al año. ¿Cuánto paga de alquiler bianual el segundo?

a) 72600 b) 96 400 c) 145 200 d) 84 600 e) N.a.

07. Un cuartel tiene provisiones para 90 días, si se desea que duren 20 días más. ¿En cuánto debe disminuirse la ración?

a) 3/11 b) 2/11 c) 2/9 d) 4/7 e) N.a.

08. En una plaza hay 1500 hombres provistos de víveres para 6 meses. ¿Cuántos hombres habrá que despedir, para que los víveres duren dos meses más, dando a cada hombre la misma ración?

a) 360 b) 350 c) 375 d) 340 e) 320

09. Un barco lleva víveres para 22 días y 39 tripulantes, pero estos son sólo 33 ¿Cuántos días puede durar la navegación?.

a) 22 b) 24 c) 26 d) 28 e) 25

10. Un grupo de hombres tienen víveres para un viaje de varios días. Hallar dicho número de hombres sabiendo que si la tripulación se aumenta en 6 hombres, la duración del viaje se reduce a las 2/3 de la duración inicial del viaje.

a) 9 b) 10 c) 12 d) 15 e) 18

TAREA DOMICILIARIA

01. Un ciclista recorre 36 Km./ en una hora. ¿Cuántos Km. recorrerá en 3 h 20 min.?

02. 12 exploradores tienen provisiones para 18 días. Si desisten de partir 4 de ellos. ¿Para cuántos días tendrán provisiones el resto?

03. 12 obreros consumen 42 Kg. de arroz en 10 días. ¿Cuántos Kg. de arroz consumirán 9 obreros en el mismo tiempo?

04. Un persona camina 6 Km. en 45 min. ¿Qué distancia recorrerá en una hora y media?

05. 40 carneros tienen forraje para 25 días. Si se aumenta 10 carneros. ¿para cuántos días alcanzará el forraje?

06. Si leo una novela 30 minutos diarios, la concluyo en 12 días. Si quiero concluirla en 8 días. ¿Qué tiempo debo leer al día?

12


TANTO POR CIENTOTANTO POR CIENTO

DEFINICIÓN: Se denomina porcentaje o tanto por ciento a una determinada cantidad con relación a 100 unidades. Así por ejemplo si decimos que el 70 por ciento de las respuestas de un examen son correctas, significa que de 100 preguntas, 70 son correctas.

Se puede utilizar también la expresión 70% o 70/100 en vez de la frase 70 por ciento.

Ejemplo:

De 100 personas que viajan en un ómnibus; 30 son blancosLuego:

En general : 100 < > N a < > P

de donde : P = x N

P = El “a” por ciento de “N”

a% : tanto por ciento

N : cantidadP : porcentaje

CASOS PARA EL CÁLCULO DEL PORCENTAJE

I. Dados el tanto y la cantidad, hallar el porcentaje.

Ejemplo 1: Hallar el 28% de 50.

28% de 50 = x 50 = 14

Ejemplo 2: Hallar el 15% de 60.

El 15% de 60 = x 60 = 9

II. Dados el tanto y el porcentaje, hallar la cantidad.

Ejemplo 1: ¿El 28% de qué número es 14?.

Ejemplo 2: ¿De qué número, será 9, el 15%?.

III. Dados la cantidad y el porcentaje, hallar el tanto.

Ejemplo 1: ¿ ¿Qué porcentaje de 3 000 representa 45?

x = 1,5

Porcentaje de Porcentaje:

* El 20% del 10% de 40% es:

13P = a % de N

P = a % de N

30 por cada 100 personas son blancas30 por cada ciento de personas son blancas30 por ciento de personas son blancas

30% del # de personas son blancas (# personas) son blancas


* El 50% del 30% de 60% es:

* El a% del b% de c%

Tanto por ciento de una cantidad:

* El 20% de 30 =

* El 60% del 10% de 500 es =

OPERACIONES CON PORCENTAJE

* 20% A + 30%A = 50%A

* 70%B – 30%B = 40%B

* m + 10%m = m + 10%m = 110%

* N – 30%N = 70%N

* 2A + 10%A = 210%A

* 20% más = 120%

* 5% menos = 95%

* 3(20% a) = (3 x 20)% a = 60% a

* 20% (a + b) = 20% a + 20% b

* 80% b 20% b = = 4

* 60% a 2 = (60 2) % a = 30% a

Observación:

Pierdo Queda Gano Tengo

10% 90% 20% 120%

75% 25% 30% 130%

8% 92% 80% 180%

40% 60% 100% 200%

PRACTICA DE CLASE

01. Hallar el 48% de 625

02. Hallar el 30% de 20% de 800

03. Hallar el 25% menos de 120

04. Hallar el 40% más de 60

05. ¿El 80% de que número es 72?

06. ¿Qué % de 625 es 25?

07. De los 150 alumnos de un colegio particular , 27 son niñas. Hallar el porcentaje de varones.

08. El año pasado el equipo de fútbol de la escuela ganó 60 partidos. Este año ganó 90 partidos. ¿Cuál fue el tanto por ciento de aumento?

09. El 8% de los 2400 alumnos de un colegio, se moviliza en bicicleta ¿ cuantos alumnos de ese colegio se movilizan en bicicleta?

10. En un desfile escolar participan 396 alumnos, que representan el 22% de la totalidad de alumnos del colegio. ¿Cuántos alumnos tiene el colegio?

14


11. De los 1800 socios de una cooperativa sólo 252 tienen casa propia. ¿Qué porcentaje de los socios de esa cooperativa tienen casa propia?

12. Sergio ha leído 60 páginas de un libro de 500 páginas. ¿Qué tanto por ciento del libro ha leído?


01. Hallar el 10 % más del 20% menos del 30% más de 4000.

a) 144 b) 4576 c) 4567 c) N.a.

02. Hallar el 20% de 40% de 200

a) 16 b) 18 c) 20 c) N.a.

03. Luis compra un par de zapatos en s/150 y los vende por s/120Hallar el % de perdida

a) 40% b) 30% c) 20% c) N.a.

04. Tenía 40 cuadernos, mi amigo Franco le di el 20% , a mi amigo Enrique el 30% y a mi amiga Milagros el 40% . ¿Cuántos cuadernos me quedan?

a) 6 b) 8 c) 4 d) N.a.

05. De 460 frutas, 115 son papayas. ¿Qué % de las frutas no son papayas?

a) 25% b) 75% c) 45% d) N.a.

TAREA DOMICILIARIA

01. Hallar el 40% de 320

02. ¿240 es el 30% de que número?

03. ¿80, que porcentaje representa de 400?

04. El 80% del 175 por mil de N. ¿ Qué porcentaje del 36% del 4 por 9 de N es ?

05. Si un tirador convierte 17 blancos consecutivos. ¿Cuántos tiros consecutivos debe fallar enseguida para que su eficiencia sea del 85% ?

06. En una granja el 25% de pavos es igual al 70% de los conejos . Si se cuentan las patas de los conejos y pavos se halla un total de 480 . ¿ Cuántos conejos hay en la granja ?

15


APLICACIONES DEL TANTO POR CIENTO

I. APLICACIONES COMERCIALES:

Pv : precio de ventaPc : precio de costoGBRUTA : ganancia

Ejemplo:

Una sortija se vende en 250 soles; ganando el 25% del costo. ¿Cuál fue su costo?

Resolución:

250 = Pc + 25% Pc

250 = 125% Pc

250 = Pc

200 = Pc

Ejemplo:Un reloj se vendió en 56 soles; perdiendo el 30% del precio de costo. ¿Cuánto costó el reloj?

Resolución:

56 = Pc – 30% Pc

56 = 70% Pc

56 = Pc

80 = Pc

Ejemplo:

¿ Qué % se gana lo que se vende en 120 soles lo que ha costado 96 soles?

Resolución:

* G BRUTA = 120 – 96 = 24 soles* x% (Pc) = GBRUTA

* x % (96) = 24

(96) = 24

x = 25% Se gana el 25%

PL : Precio fijado ó marcadoPV : Precio de venta

Ejemplo:

¿Cuál fue el precio de lista de una muñeca que se vendió en 160 soles; habiéndose efectuado un descuento del 20%.

Resolución:

PL = 160 + 20% PL

80% PL = 160

PL =160

PL = 160

Nota: Se descuenta un % del precio de lista (PL).

Ejemplo:

Se vende un articulo en 360 soles ganando el 20% del costo; si la ganancia neta es de 50 soles.Calcular los gastos que producen la venta

Resolución:

360 = PC + 20% PC

360 = 120% PC

360 = PC

300 = PC

* GBRUTA = 20% (300) = (300) = 60

pero:

60 = 50 + GASTOS

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PV = PC + GBRUTA

PV = PC - PERDIDA

Nota: Se gana o se pierde un % del precio de costo (Pc).

PL = PV + DESCUENTO

GBRUTA = GNETA + GASTOSGBRUTA = GNETA + GASTOS

PV = PC + GBRUTA

PV = PC + GBRUTA

GBRUTA = GNETA + GASTOSGBRUTA = GNETA + GASTOS


10 = GASTOS

PRACTICA DE CLASE

01. ¿A cómo hay que vender lo que ha costado S/. 7200 para ganar el 25% del precio de costo?

a) S/. 8000 b) S/. 9000 c) S/. 10000 d) S/. 9600 e) N.A

02. ¿ A cómo hay que vender lo que ha costado S/. 12000 para ganar el 20% del precio de venta ?

a) S/. 14400 b) S/. 15000 c) S/. 15600 d) S/. 13600 e) N.A

03. El precio de costo de un artículo es el 75% del precio de venta. ¿Qué porcentaje de la ganancia es el precio de venta?

a) 25% b) 75% c) 200% d) 400% e) 500%

04. ¿En qué porcentaje se debe aumentar el costo de un artículo, de tal manera que aún haciendo un descuento del 20% del precio, fijado se gane el 40% del costo ?

a) 60% b) 50% c) 70% d) 55% e) 75%

05. Los 2/5 de una mercancía se vende con un 6% de pérdida, la mitad del resto con un 2% de ganancia. ¿ Cuánto debe ganar en la venta del resto para ganar el 9% sobre el total de las mercancías ?

a) 13% b) 17% c) 36% d) 24% e) 25%

06. Una persona vendió dos autos en 16800 nuevos soles cada uno. En el primero ganó el 20% y en el segundo perdió el 30%. Ganó o perdió?. ¿y cuánto ?

a) ganó S/. 4400 b) perdió S/. 4400 c) perdió S/.4000d) ganó S/. 4000 e) N.a.

07. Se vende 2 artículos en S/. 1200 cada uno. En uno de los objetos se ganó el 15 por 75 de su costo y en el otro se pierde el 10 por 70 de su costo. ¿ Cuánto se ganó o perdió ?

a) Ganó S/. 120 b) Ganó S/. 85 c) Perdió S/. 90d) Perdió S/. 100 e) Ni ganó ni perdió

08. Se estima que una mezcladora de concreto sufre una depreciación de 10% por cada año de uso respecto al precio que tuvo al comenzar cada año. Si al cabo de 4 años su precio es $ 131220, entonces el costo original de la mezcladora fue de:

a) $ 300 000 b) $ 200 000 c) $ 150 000 d) $ 250 000 e) $ 170 000

09. Un comerciante compra un artículo S/. 8000 ¿Cuál debe ser el precio a que debe fijarlo para que rebajando el 20% de este precio aún gane el 30% del precio de costo ?

a) 11 100 b) 12 250 c) 13 000 d) 13 400 e) 13 350

10. Un trabajador observa que su salario ha sido descontado en un 20%. ¿ Cuál debe ser el porcentaje de aumento para que reciba su salario original ?

a) 20% b) 25% c) 30% d) 22% e) 27,5%


01. Un artículo se vende ganando el 24% de su costo; si el precio de venta fue de S/. 744. Hallar su costo.

a) 560 b) 580 c) 600 d) 620 e) 610

02. Un artículo se vende perdiendo el 8% de su costo; si el precio de venta fue S/. 575. Hallar su costo.

a) 625 b) 630 c) 644 d) 640 e) 620

03. En qué porcentaje se debe aumentar el costo de un artículo, de tal manera que aún haciendo un descuento del 20% del precio fijado se gane el 40% del costo ?

a) 60% b) 50% c) 70% d) 55% e) 75%

04. El precio de costo de un artículo es el 75% del precio de venta. ¿ Qué porcentaje de la ganancia es el precio de venta ?

a) 25% b) 75% c) 200% d) 400% e) 500%

17


05. Un artículo cuyo precio de costo es 28000 soles se vende, ganando el 20% del precio de venta más el 20% del precio de costo. ¿Cuál es el precio de venta ? (en soles)

a) 38000 b) 36000 c) 40000 d) 42000 e) N.a.

TAREA DOMICILIARIA

01. Un vendedor recibe 168 soles de comisión por la venta de un automóvil que logró vender por la suma de 4200 soles. ¿Cuál es el porcentaje de comisión?

02. Compré una casa. Entregué S/.2380 de inicial. Si dicha cantidad es el 35% del precio ¿Cuál es el precio de la casa?

03. Una fábrica de conservas de pescado produce 2,600 000 latas de sardinas. Exporta el 65% de su producción. ¿Cuál es el número de sardinas que exporta?

04. Rosario gastó 308 soles de los 880 soles que tenía. ¿Qué porcentaje gastó?

05. Claudia gastó 6480 soles de lo que tenía. Esta suma equivale al 36% de lo que tenía. ¿Cuánto tenía?

06. Vendí un artículo en S/. 600 ganando el 20% del costo. ¿Cuánto me costo este artículo?

07. Un artículo cuyo precio de costo es S/. 2100 se vende, ganando el 30% del precio de venta. ¿A qué precio se vendió? (en soles).

08. ¿Qué porcentaje se pierde cuando se vende en 13 soles, lo que había costado 65 soles?

09. Se vende una lavadora un S/. 90 por debajo de su precio de costo. Sabiendo que esta venta ocasionó una pérdida del 30% del precio de venta. ¿Cuál fue su costo?

10. Una persona vendió dos departamentos en 8800 dólares cada uno, en el primero perdió el 20% y en el segundo ganó el 10%. En este negoció ganó o perdió?. ¿Cuánto?.

II. DESCUENTOS Y AUMENTOS SUCESIVOS:

Ejemplo 1:

¿A que descuento único equivale dos descuentos sucesivos del 10 % y 30% de una cantidad?

Resolución:

Sea “N” la cantidad inicial:

Descuento = 100 % – 63% = 37%

Otra forma:

(-) (-)10% y 30% de N 90% . 70% N = 63%N

Du = 100% – 63% = 37%

Ejemplo 2:

¿A que aumento único equivalen tres aumentos sucesivos del 10%; 20% y 50% de una cantidad?

Resolución:

(+) (+) (+)10% ; 20% y 50%

Aumento único = 198% – 100% = 98%

PRACTICA DE CLASE

01. Dos aumentos sucesivos del 20% y 20% respectivamente, equivale a uno solo de:

a) 40% b) 20% c) 44% d) 38% e) N.a.

18


02. Tres descuentos sucesivos del 10%, 20% y 30%, equivalen a un descuento único de:

a) 60% b) 40% c) 50,4% d) 49,6% e) N.a.

03. Si el precio de un par de zapatos luego de habérsele hecho dos descuentos sucesivos del 10% y 30% es de 63 soles. ¿Cuál fue el precio que tenía antes de dichos descuentos?.

a) 120 b) 150 c) 100 d) 200 e) N.a.

04. Si a un artículo que tiene un precio de 15000 soles, se le hacen dos descuentos sucesivos del 30% y el 20%, se obtienen finalmente un precio de: (en soles).

a) 12000 b) 9600 c) 7800 d) 8400 e) N.a.

05. El precio de un artículo es 1200 soles y se le hacen 2 recargos sucesivos del 20% y del 30%. ¿Cuál será el nuevo precio del artículo luego de los recargos ? (en soles )

a) 1872 b) 672 c) 1800 d) 1672 e) N.a.

06. Roxana compra un artículo por el cual le ofrecen realizar dos descuentos sucesivos del 20% y 30%. Calcule cuanto pagó si inicialmente el artículo tenía como precio de S/. 700.

a) 308 b) 306 c) 300 d) 400 e) N.a.

07. Si el precio de un bolso, luego de habérsele hecho dos aumentos sucesivos del 10% y 20% es de 1320 soles. ¿Cuál fue el precio del bolso antes de los aumentos ?. (en soles ).

a) 1200 b) 1000 c) 1100 d) 1050 e) N.a.

08. Si un objeto cuesta $ 4 280 y me hacen 2 descuentos sucesivos del 15% y 10%, entonces finalmente me descontarán.

a) $ 1008,50 b) $ 1000 c) $ 1005,80 d) $ 1322 e) N.a.

09. ¿A qué aumento único equivale los aumentos sucesivos del 5%, 10% y 20% respectivamente?

a) 40% b) 38,6% c) 37,6% d) 38% e) 39,5%

10. Cecilia compra una bolsa y le hacen dos descuentos sucesivos del 40% y del 30% del precio de venta ahorrándose así $1160. ¿ Cuál era el precio de venta inicial del bolso ?

a) $1560 b) $3160 c) $2320 d) $2000 e) N.a.


01. ¿A qué aumento único equivale los aumentos sucesivos del 5%, 10% y 20% respectivamente ?

a) 40% b) 38,6% c) 37,6% d) 38% e) 39,5%

02. Una persona gasta el 20% de lo que tiene, luego el 30% de lo que le queda y por último gasta el 40% del nuevo resto, quedándose con tan sólo 33600 soles ¿Cuánto tenia al principio ?

a) 85000 soles b) 87000 c) 89500 d) 96000 e) 100000

03. Un trabajador observa que su salario ha sido descontado en un 20%. ¿ Cuál debe ser el porcentaje de aumento para que reciba su salario original ?

a) 20% b) 25% c) 30% d) 22% e) 27,5%

04. Janelly compra una bolsa y le hacen dos descuentos sucesivos del 40% y del 30% del precio de venta ahorrándose así $116. ¿ Cuál era el precio de venta inicial del bolso ?

a) $ 156 b) $316 c) $232 d) $200 e) N.a.

05. El precio de un artículo aumenta en “n”% y al nuevo precio se le disminuye en un (100 – n)%. Calcular el valor de n, si el precio final es el 96% del inicial.

a) 50 b) 60 c) 63 d) 68 e) 70

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TAREA DOMICILIARIA

01. Dos descuentos sucesivos del 20% y 40%, ¿a qué único descuento equivalen?

02. Tres descuentos sucesivos del 10%, 30% y 50% equivalen a un único descuento de:

03. Dos incrementos sucesivos del 20% y 30%, ¿a qué aumento equivale?04. Tres aumentos sucesivos del 10%, 60% y 80% equivalen a un único

incremento de:05. Un artículo cuyo precio al público es 400 soles se oferta con 20% de

descuento. Al no tener salida, se vuelve a descontar en 30% del último precio. ¿En cuánto se oferta ahora?

06. Hallar un descuento único equivalente a dos descuentos sucesivos del 20% y 25%

07. El precio de un artículo ha sufrido aumentos sucesivos durante los últimos tres meses del 10%, 15% y 20%, de modo que actualmente se vende en 759 soles. ¿A cómo se vendía hace tres meses?

III.VARIACIÓN PORCENTUAL:

Ejemplo 1:

Si el lado de un cuadrado aumenta en 20% ¿En que porcentaje aumenta su área?

Resolución

Otra forma:

* Se asume al lado inicial diez

El área:

A1 =102 A1 = 100

A2 = 122 A2 = 144

Aumentó en 44%

20


Ejemplo 2:

Si el radio de un círculo aumenta en 100%, ¿en que porcentaje aumenta su área?

El área:

A1 = (102) A2 = (202)

PRACTICA DE CLASE

01. Si el lado de un cuadrado aumenta en 20%. ¿En qué porcentaje aumenta su área?

a) 20% b) 30% c) 36% d) 44% e) 48%

02. Si la base de un triángulo se triplica y su altura se duplica. ¿En qué porcentaje aumenta su área?

a) 200% b) 300% c) 400% d) 500% e) 600%

03. Si el largo de un rectángulo se aumenta en 30%. ¿En qué % debe disminuir el ancho para que el área disminuya en 9%?

a) 28% b) 25% c) 32% d) 30% e) 35%

04. ¿En qué porcentaje varía el volumen de un cilindro cuando su altura se reduce en 25% y la longitud del radio de la base aumenta en 20%?

a) aumenta en 8% b) disminuye en 8% c) aumenta en 12%d) disminuye en 8% e) no varía

05. Al lado de un cuadrado le disminuyo sucesivamente su 25% y 28%, entonces la variación que experimenta su área será:

a) aumenta en 70,84% b) 78,4% c) disminuye en 46%d) disminuye en un 70,84% e) ninguna de las anteriores

06. El largo de un rectángulo se disminuye en un 20% de su longitud. En cuánto tendrá que aumentarse el valor de la longitud del ancho, para que el área permanezca invariable?

a) 40% b) 50% c) 35% d) 37,5% e) 25%

07. La expresión E = 2x2y3, que variación sufre cuando “x” disminuye hasta su 75% e “y” aumenta en un 10%.

a) aumenta en un 5% b) disminuye en un 5% c) aumenta en sus 7/40d) disminuye en 7/40 e) N.A.

08. Se tienen 5 litros de alcohol al 80%. ¿Cuántos litros de agua se necesitan aumentar para rebajarlo al 25%?

a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14

09. En un depósito de forma cilíndrica el radio se aumenta el 10%. ¿En qué porcentaje será necesario disminuir su longitud para que el volumen no varíe?

a) 13,7% aproximadamente b) 12% aproximadamentec) 17,4% aproximadamente d) 14,2% aproximadamentee) N.A.

10. Si un cuadrado de 100 m2 de área se reduce a uno de 16 m2, el perímetro del nuevo cuadrado será el:

a) 16% del anterior b) 36% del anterior c) 240% del anterior d) 40% del anterior e) N.A.


01. Al aumentar el precio de la localidad de un espectáculo en 20% la asistencia bajó en el 10%, entonces la recaudación :

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a) no varió b) aumentó en el 10% c) aumentó en el 20%d) bajó en el 10% e) aumentó en el 8%

02. La expresión : A = x2 y en que porcentaje varía cuando “x” aumenta hasta su 150% e “y” aumenta en un 30% .

a) +65% b) +225% c) +125% d) +95% e) Ninguna

03. El número de artículos que se pueden comprar con una suma de dinero aumentaría en 5, si se variase en 20% el precio de compra de cada artículo. ¿ Cuál es dicho número de artículos ?

a) 20 b) 18 c) 22 d) 25 e) 20

04. En qué porcentaje varía el área de un triángulo equilátero si la mitad de su lado se aumenta en un 50%.

a) 50% b) 56,25% c) 37,85% d) 52,65% e) Ninguna

05. Si el largo y el ancho de un rectángulo aumenta en 20% y 25% respectivamente. Su área aumenta en 2400 m2. Hallar el área inicial del rectángulo.

a) 3600 m2 b) 4800 m2 c) 3200 m2 d) 4500 m2 e) 7200 m2

TAREA DOMICILIARIA

01. ¿En qué tanto por ciento aumenta el área de un cuadrado, cuando su diagonal aumenta en un 10%?

02. En una conferencia, el 20% del total de hombres equivale al 40% del total de mujeres asistentes. Si se retira el 60% de mujeres, ¿Qué tanto por ciento del total de asistentes iniciales, quedará en la conferencia?

03. La mitad de un número es el 20% de A, pero la tercera parte del mismo número es el 40% de N. si A y B suman 357, ¿Cuál es el valor del número indicado?

04. Si la base de un triángulo se incrementa en 30% y la altura disminuye en un 20%, ¿cómo varía el área?

05. Si el lado de un triángulo equilátero aumenta 30%, ¿cuál es la variación del área?

06. Si el largo de un rectángulo lo aumenta en 30%. ¿En qué % debe disminuir el ancho para que el área disminuya en 9%?

07. Si la longitud de una circunferencia aumenta 40%, que ocurre con el área del circulo.

08. Si a un circulo le disminuyen 35% de su área, ¿en qué porcentaje habrá disminuido su radio?

09. Un boxeador debe retirarse cuando tenga un 90% de triunfos. si hasta el momento ha peleado 100 veces y ha obtenido 85 victorias, ¿cuántas peleas como mínimo debe realizar para poder retirarse?

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INTERES COMERCIALINTERES COMERCIAL

Se denomina interés o rédito a la ganancia o beneficio que se obtiene al prestar una cantidad de dinero, llamada Capital, durante cierto tiempo y bajo cierta tasa de interés.El interés puede ser simple o compuesto.

INTERÉS SIMPLE:

Se presenta cuando al culminar el periodo se retiran los intereses permaneciendo el capital primitivo sin alteración.

INTERÉS COMPUESTO:

Se presenta cuando los intereses producidos por el capital al culminar el periodo, no se retiran sino por el contrario se añaden al capital primitivo, formándose de este modo un nuevo capital.

Magnitudes que intervienen en el Interés

1) Capital ( C): Es la cantidad de dinero prestado

2) Tiempo (t ): Es el lapso durante el cual se va a imponer el capital

3) Tasa de interés, rédito o rata ( r ): Es el interés que se percibe por cada 100 unidades monetarias en el periodo de tiempo.Ejemplo: Una tasa del 15% anual significa que de cada 100 soles que se prestan en un año se recibe 15 soles adicionales, es decir se convierte en 15 soles.

4) Monto ( M) : Es la suma del capital con sus interés.

M = C + I0BSERVACION 1:

Se considera que cada mes tiene 30 días ( mes comercial), así mismo se trabajará con años comerciales, es decir aquellos que tienen 360 días.

Fórmulas de Interés simple :

t años t meses t días

OBSERVACION 2:

Para poder aplicar estas tres fórmulas, la tasa ( t) deberá ser anual, en caso contrario se efectuará las conversiones siguientes: Si: % (mensual) .............. x 12 = % anual Si: % (bimestral) .............. x 6 = % anual Si: % (trimestral) .............. x 4 = % anual Si: % (cuatrimestral) .............. x 3 = % anual Si: % (semestral) .............. x 2 = % anual

Ejemplo:

3% trimestral < > 12% anual

5% bimestral < > 30% anual

PRACTICA DE CLASE

01. ¿Cuál será el interés que producirá s/960 colocados al 30% anual durante 2 años?

I = 576

Respuesta: El interés será de 576 soles.

02. ¿Cual será el interés que producirá s/3200 colocados al 4% durante 1 año, 6 meses?

03. ¿Qué interés produce un capital de s/ 4800 prestado al 36% durante 1 año 3 meses y 10 días?

04. ¿A qué tanto por ciento debe colocarse s/3600 para que produzca s/2160 del interés en 2 años?

05. ¿Qué capital se ha colocado al 32% para que produzca un interés de s/ 1568 durante 7 meses?

06. ¿Cuál es el capital que ha producido un interés de s/360 a un 8% anual durante 1 año 4 meses?

07. ¿A que % anual se prestó un capital de s/ 850 que en 1 año 3 meses ha producido s/127,50 de interés?

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08. Hallar el tiempo que estuvo prestado s/7200 que al 5% ha producido s/1800 de interés.

09. ¿Qué monto al 25% anual en 15 meses ha producido s/131,25?

10. ¿Cuántos meses estuvieron colocados s/9600 al 25% anual para que nuestro capital sea ahora de s/10.000?

11. ¿Qué tiempo en meses han estado S/.960 colocados al 0,05% diario, si han producido S/. 129,60 de interés?

12. ¿Cuál es el interés que ha producido S/.800, colocados durante 4 años y 5 meses al 3% mensual?

13. Un capital se impone al 5% mensual. ¿En qué tiempo se quintuplica?

14. Un capital se presta al 50%. ¿En qué tiempo producen el 25% del monto?

15. Un capital con sus intereses de 10 meses es S/. 297600, el mismo capital disminuido en sus intereses de 17 meses es S/.271680. ¿Cuál es el capital?

16. En el ejercicio anterior. ¿Cuál es la tasa de interés?

17. ¿Cuánto tiempo estuvo depositado un capital al 80% de interés simple, si el monto es el 125% del interés ?.

18. Un capital impuesto a interés simple durante 7 meses produjo un monto de 41040 soles. Si el mismo capital se hubiera impuesto al mismo rédito por 10 meses, el monto hubiera sido S/. 43200. Determinar la tasa.

19. Hallar un capital, sabiendo que si se impone al 2% anual durante 2 años, produce un interés que es S/. 600 menos que el 5% del monto obtenido.

20. La tercera parte de un capital se coloca al 18% anual de interés simple. ¿A qué tanto por ciento deberá colocarse el resto para obtener un beneficio total del 20% anual de dicho capital ?.


01. ¿Cuántos años deben colocarse s/ 895 al 27 % anual para que nos

produzca S/.492,25 de interés?

a) 2 años b) 3 años c) 4 años d) N.a.

02. Por S/.48000 que preste durante un año, 2 meses y 15 días he recibido de intereses s/18792 ¿A que % hice el préstamo?

a) 2% mensualesb) 2,5% mensual c) 2,7% mensual d) N.a.

03. Halla el interés de s/4200 al 0,08% diario en un año y 20 días.

a) 1270,86 b) 1276,80 c) 1267,80 d) N.a.

04. ¿Cuál es la suma que impuesta al 4% en 2 años se ha convertido en s/43200?

a) 4000 b) 40002 c) 40000 d) N.a.

05. ¿Qué tiempo en días han estado impuestos s/8000 que al 6% han producido s/56?

a) 40 b) 42 c) 41 d) N.a

TAREA DOMICILIARIA

01. Hallar interés de S/. 4500 al 31,5% anual durante 4 años.

02. Hallar el interés de S/. 1800 al 3% mensual en 2 años, 4 meses y 15 días.

03. ¿Qué capital al 0,04 % diario en 9 meses ha ganado S/. 86,4?

04. Si S/.2700 han producido S/.144 en 5 meses y 10 días. ¿A que % fueron impuestos?

05. ¿Cuantos días estuvieron colocados s/3750 al 4% mensual para que nuestro capital sea ahora de S/.4150?

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SISTEMA INTERNACIONAL DE SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (S.I.U.)UNIDADES (S.I.U.)

Es la estructura o conjunto de unidades correctamente organizados, ordenados y distribuidos, que se utilizan para medir las magnitudes y fenómenos físicos de los cuerpos. Está en vigencia en el Perú desde el año 1982 y su enseñanza es obligatoria en todos los centros y niveles del sistema educativos a partir del PRIMERO DE ENERO DE 1985, según LEY Nº 23560.

El SIU está constituido por :a) Unidades de Baseb) Unidades suplementarias c) Unidades derivadas

UNIDAD DE BASEMAGNITUD UNIDAD SIMBOLO

LongitudMasaTiempoIntensidad de Corriente EléctricaTemperatura TermodinámicaIntensidad LuminosaCantidad de sustancia

MetroKilogramoSegundoAmpereKelvinCandelaMol

mKgsAKcd

mol

UNIDADES SUPLEMENTARIAS

MAGNITUD UNIDAD SIMBOLO

Angulo planoAngulo sólido

RadiánEsteroradián

Radsr

UNIDADES DERIVADASMAGNITUD UNIDAD SIMBOLO

ÁreaVolumenDensidadVelocidadFuerza (peso)Presión

Metro cuadradoMetro cúbicoKilogramo por metro cúbicoMetro por segundoNewtonPascal

m2

m3

Kg/m3

m/sNPa

Para hacer las CONVERSIONES de cualquier magnitud debe tenerse presente los siguientes prefijos con sus equivalencia.

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UNIDADES DE LONGITUD

La unidad principal de las medidas de longitud es el metro, que se representa por m. Hay unidades mayores que el metro que se llaman múltiplos, y unidades menores que se llaman submúltiplos.

Estas son las unidades de longitud:

NOMBRE DE LA UNIDAD

SIMBOLO EQUIVALENCIAS

MÚLTIPLOSMÚLTIPLOS

Megámetro Mm 106 mkilómetro Km 1000 mhectómetro hm 100 mdecámetro dam 10 m

UNIDADUNIDAD PRINCIPALPRINCIPAL

metro M 1 m

SUBMULTIPLOSSUBMULTIPLOSdecímetro dm 0,1 mcentímetro cm 0,01 mmilímetro mm 0,001 m

Observa como pasamos de una unidad a otra unidad superior o inferior.

Ejm. 1: Convertir 27 km. a m. Ejm. 2: Convertir 128 cm. a hm.27 x 1 000 = 27 000 128 : 10 000 = 0,012827 km. = 27 000 m. 128 cm. = 0,0128 hm.

Ejm.3: ¿Cuántos dm hay en 12km?12 x 10 000= 120 000

12 km = 120 000 dm.

PRÁCTICA DE CLASE

01. Realiza las sgtes. Conversiones:

a) 0,8 Km. a m. b) 375 m. a Km.

c) 8370,5 m. a Km. d) 23 mm. a m.

e) 8 m. a mm. f) 1,5 Km. a mm.

g) 87446 mm. a Km. h) 0,15 m. a mm.

i) 3,5 Km. a mm. j) 2,80 m. a mm.

k) 45 Km. a m. l) 800 m. a Km.

m) 3476 m. a Km. n) 47 m. a Km.

02. Convertir:

a) 560 cm 30m 47 dam a Km b) 47,2 hm 5,6 dam 124,5 m a m

03. Por 800 mm. de cinta pagué S/. 24. ¿Cuánto se pagará por 2,5 m.?

04. Se ha cortado los 2/5 partes de una pieza de tela de 180 metros. ¿Cuántos mm. mide el trozo restante?

05. Se ha cortado las 5/8 partes de un rollo de alambre de 240 m. ¿cuántos cm. mide el trozo restante?

06. Los excursionistas de un colegio recorrieron 580 hm. en ómnibus, 80,5 dam. en auto y 15450 m a pie. ¿Cuántos metros recorrieron en total?

07. Dos metros de casimir cuestan s/. 502,80. ¿ Cuánto se pagará por 0,5 m.?

08. Una persona da 200 pasos de 75cm cada paso ¿Cuántos Km. ha recorrido?

09. La longitud de la rueda de una bicicleta es 1,884 m. ¿Cuántas vueltas dará dicha rueda en un recorrido de 6594 km.?

10. Janelly tiene su colegio a una distancia de 4hm 7dam 9m de su casa, si recorre el camino dos veces al día. ¿Cuántos m anda diariamente?

11. Calcular el perímetro de un cuadrado, en cm. cuyo lado mide 3m 4dm.

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12. En una distancia de 20 hm 4 dam 7m se han colocado cuatro árboles. la distancia entre el primero y el segundo es de 8dam 7m; entre el segundo y el tercero, 6 dam. ¿Cuántos metros están separados entre sí el tercero y el cuarto árbol?


01. Un pedestal y tiene 7,5 dm de altura. ¿Cuántos cm le faltan para medir 1 metro?

a) 75cm b) 20cm c) 25cm d) N.a.

02. Convierte 9 Mm. 3Km. 7hm 8 dm 7 mm a mm.

a) 9003700807 b) 900370087 c) 9003787 d) N.a.

03. Para instalar una red telefónica se han colocado entre dos ciudades postes que distan entre si 48m; si la distancia entre las ciudades es 19,2 Km. ¿cuántos postes habrá?

a) 402 b) 401 c) 400 d) N.a.

04. Las ruedas de un auto tienen una circunferencia de 2m 62cm ¿Cuántas vueltas dará cada rueda si el auto recorre una distancia de 2Km 132m 68cm?

a) 813 b) 815 c) 814 d) N.a.

05. Cuanto costará cercar un potrero rectangular de 8hm 6m 14cm de largo por 316 m 28 cm de ancho, si el metro de cerco incluyendo la mano de obra, se cobra $0,60?

a) 1346 b) 1346,09 c) 1346,90 d) N.a.

TAREA DOMICILIARIA

01. Convertir:

a) 14 Km. 10 dam 8 cm a mm b) 480cm 53 dam 40hm a Km.

c) 12,5 Km. 8,2 hm 2 dam a m d) 57 hm 52 dam 12 m a m

e) 5,9 dm 35,8 cm a m f) 4,52 Km. 36m a m

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UNIDADES DE MASA

Observa los múltiplos y submúltiplos del kilogramo.

NOMBRES SIMBOLO EQUIVALENCIA

MULTIPLOS Megágramo o tonelada Mg. o t 1 000 Kg.

UNIDAD PRINCIPAL

kilogramo Kg 1 Kg.

SUBMULTIPLOS

hectogramo hg 0,1 Kg.

decagramo dag 0,01 Kg.

gramo g 0,001 Kg.

decigramo dg 0,0001 Kg.

centigramo cg 0,00001 Kg.

miligramo mg 0,000001 Kg.

Observemos en el siguiente diagrama como se pasa de una unidad a otra:

Ejm. 1: Convertir 6 Kg. a g. Ejm.2: Convertir 2350 Kg. a Mg.

6 x 1 000 = 6 000 2 350 : 1 000 = 2,350

6 Kg. = 6 000 g. 2 350 Kg. = 2,350 Mg.

PRÁCTICA DE CLASE

01. Convertir:

a) 45 g a mg b) 16,8 g a mg

c) 148,64 Kg. a mg d) 12 dag a hg

e) 12000 Kg a t f) 15,6 dag a dg

g) 35 Kg. 9,7 hg. a g h) 5 dag a dg

i) 125 mg 395 cg a kg j) 135 dg a g

02. Un comerciante compro 2t de papayas y vendió los . ¿Cuántos Kg. le

quedan?

03. 20 barras de metal, cada una de igual peso, pesan en total 2,8 toneladas. ¿Cuál es peso de cada barra en Kg.?

04. Vitucho tiene 2,5 t de azúcar. Para vender el azúcar prepara bolsas de 5Kg. cada uno. ¿Cuántos de estas bolsas tendrá que llevar?

05. Un agricultor vendió en las primeros días de la semana la siguiente cantidad de arroz: Lunes 0,4 y 350Kg, Miércoles 0,6 t y 120 Kg. , Jueves 1,3 t y 200 Kg. ¿Cuántos Kg. vendió en los tres días?

06. Quiero dividir un queso que pesas 6Kg. en tres partes iguales. ¿Cuál es el peso de cada trozo en mega gramos?

07. Tenemos 4 Kg. de masa para hacer panes. ¿Cuántos panes podemos obtener si cada uno pesa 80g.?

08. Se han vendido 3t 5 Mg 895Kg de remolacha a razón de 3 soles el Kg. ¿Cuánto se debe cobrar?

09. Un comerciante compra 0,4 Mg de pallar por S/. 880. ¿Cuánto le costó cada Kg.?

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En el Sistema Internacional de Unidades (S.I.) la unidad principal de masa es el kilogramo cuyo símbolo es Kg.


10. Un comerciante compró 20 sacos de maíz de 50 Kg cada uno por S/. 1400. ¿Cuánto gana en cada Kg si lo vende a S/. 1,70 el Kg.?


01. Por 75 Kg. de azúcar pagué S/. 375 ¿Cuánto pagaré por 3,5 Kg.?

a) 17,5 b) 175 c) 15,7 d) N.a.

02. Un Kg. de arroz cuesta S/. 2,40 ¿Cuánto se pagará por 750 gramos?

a) 18 b) 1,8 c) 1,6 d) N.a.

03. Un kilogramo de pescado cuesta S/. 4.00. ¿cuánto se pagará por 750 g.?

a) 2 b) 3 c) 5 d) N.a.

04. Compré unos Kilogramos de metal por S/. 285 y los vendí en S/. 345,60 ganando s/20,2 por cada Kg. ¿Cuántos Kg. compré y cuánto costó cada Kg.?

a) 3 Kg y S/. 95 b) 30 Kg y S/. 9,50 c) 30 Kg y S/. 9 d) N.a.

05. El flete por kg. cuesta S/. 0,75. ¿Cuánto se pagará por el transporte de 3,5 toneladas?

a) 2625 b) 2652 c) 2650 d) N.a.

TAREA DOMICILIARIA

Convertir:

a) 2,8t a g b) 250g a Kg.c) 15650g a t d) 0,5kg a ge) 125 Kg. a Mg. f) 8950Kg. a Mg.

g) 5Kg Kg. Kg a g h) 1Kg Kg. Kg a g

UNIDADES DE TIEMPO

La unidad principal de las medidas de tiempo es el segundo.Otras unidades también importantes son:

Nombre Símbolo Equivalenciasegundo S 1sminuto min 1min = 60shora h 1h=60min=3600sdía d 1d=24h

Otras equivalencias importantes son:

1 semana = 7 días1 mes (comercial)= 30 días1 año = 12 meses1 bimestre = 2 meses1 trimestre = 3 meses1 semestre = 6 meses1 lustro = 5 años1 década = 10 años1 siglo = 100 años 1 milenio = 1000 años

Observa como podemos pasar de una unidad a otra:

Ejm. 1 ¿A cuántos minutos equivalen 24 horas?

24 horas = 24 x 1 hora = 24 x 60min = 1440 min.

Rpta. 24h=1440 min

Ejm. 2 ¿A cuántos segundos equivalen 2 horas?29


2h = 2 x 1h = 2 x 60 min = 120 min = 120 x 1 min= 120 x 60s = 7200 s

Rpta. 2h= 7200 seg.

Ejm. 3 ¿A cuántas horas equivalen 150 min?

150 min = 150 x = 2,5h

Rpta. 150 min = 2,5 h

PRÁCTICA DE CLASE

01. Realiza las siguientes operaciones:

a) b)

c) d)

02. Realiza las conversiones :

a) 27,8 min a s b) 35,4 min a s

c) 27 h a min d) 36 ms a d

e) 2 a 5 ms a ms f) 4 a 3 ms a d

g) 905 ms a años h) 1528 h a años, ms y d

i) 2400s a min j) 900 min a h

k) 2940d a ms l) 24 d a h

03. ¿Cuántos días son 4920 horas?

04. ¿Cuántos días hay en 24 semanas?

05. Un ómnibus que va de Lima a Piura recorre en cierto tramo, 12Km en 2h 40 min. ¿Cuántos metros recorre por minuto en dicho tramo?

06. Un tren recorrió 248 Km. en 8 horas. ¿Qué distancia recorrió por hora?

07. Una atleta empleó 6 horas en recorrer un trayecto de 300 Km. ¿Cuánto tiempo empleará para recorrer el triple del trayecto con la misma velocidad?

08. Un niño dice a su amigo “Hoy cumplo dos lustros” ¿Cuántos años tiene?

09. Una persona nació el 23 de mayo de 1980. ¿cuál será su edad el 31 de julio de 1998?

10. ¿Cuántos días y meses hay desde el 5 de agosto al 27 de noviembre del mismo año?


01. Janelly salió de su casa para ir al Colegio Lord Kelvin a las 7:58 a.m. y llegó a las 8:19 min. ¿Cuántos minutos caminó Janelly hasta llegar al Colegio?

a) 17 min b) 21 min c) 23 min d) 15 min

02. Víctor tiene que viajar a la ciudad de Chimbote. Se sabe que el viaje tarda 2 horas y 23 min. Si sale a las 5:30 pm. a que hora llegará a su destino?

a) 7:53 pm. b) 7:35 pm. c) 6:35 pm. d) N.A.

03. Alfredo sabe que para ir a visitar a su mejor amiga tarda 2 horas y 7 min. ¿A qué hora debe salir si desea llegar a su destino a las 4:00 pm.?

a) 1:35 pm. b) 1:53 pm. c) 2:53 pm. d) 2:35 pm.

04. Un examen de Admisión a la Universidad Nacional de Trujillo cuenta con 100 preguntas y el tiempo para el desarrollo es de 3 horas. Si cada pregunta se desarrollará en el mismo tiempo ¿Cuál será el tiempo de desarrollo de cada pregunta?

a) 180 s b) 108 s c) 18 min d) N.A.

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05. Una maquina produce 27 tornillos por minuto. ¿Cuántos tornillos producirá en 8,5 horas?

a) 13 770 b) 185 840 c) 1 377 d) N.A.

TAREA DOMICILIARIA

Convertir:

a) 3 h 26 min a min

b) 297005 en h y min.

c) 6 h 25 min a min

d) 0,4 h 20 min 10s a s

e) 0,04 a 2 ms 2 d a h

f) 4 semanas 72h en d

g) 2h 5 min 30s a s

UNIDADES DE ÁREA

Las unidades de superficie o de área se utilizan para medir regiones planas como el piso de la sala, un campo de fútbol, el tablero de la pizarra, etc.

La unidad principal de medida es el metro cuadrado: m2, la cual representa la Superficie de un cuadrado que tiene 1m de lado.

En las unidades de superficie también hay unidades mayores que el metro cuadrado que son los MÚLTIPLOS y unidades menores que son los SUBMÚLTIPLOS

MÚLTIPLOS Y SUBMULTIPLOS:

NOMBRE DE LA UNIDAD

SIMBOLO EQUIVALENCIA


kilómetro cuadrado km2 1 000 000 m2

hectómetro cuadrado hm2 10 000 m2

decámetro cuadrado dam2 100 m2


metro cuadrado m2 1 m2

SUBMULTIPLOSUBMULTIPLOSS

decímetro cuadrado dm2 0,01 m2

centímetro cuadrado cm2 0,000 1 m2

milímetro cuadrado mm2 0,000 001 m2

OJO: al hm2 se le llama también hectárea ha.

En el siguiente diagrama podemos observar cómo se pasa de una unidad a otra.

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Ejm.1 Convertir 6 km2 a m2.6 x 1 000 000 = 6 000 0006 km2 = 6 000 000 m2.

Ejm.2 Convertir 16 000 cm2 a m2.16 000 : 10 000 = 1,616 000 cm2 = 1,6 m2.

PRACTICA DE CLASE

01. Convertir:

a) 32 a b) 8 a

c) 82 a d) 9 a

e) 5484 324 a f) 47,3 184 a ha

g) 84 5 a h) 524 284 a

02. El piso de una sala tiene 3,6m de ancho por 4,2 m de largo. Si se quiere cubrir dicho piso con losetas de 30 cm de lado. ¿cuántas losetas serán necesarias?

03. Miguel compra 3 ha de terreno por S/. 1 800,000. ¿Cuánto le costo cada ?

04. Un huerto de 52 ha. Se cultivan 10 de paltas; 18 de papayas y en

el resto se cultiva naranjas. ¿ Cuantos de naranjas se cultiva?

05. El de un terreno cuesta S/. 65, si el terreno mide 12 ha. ¿Cuánto es el precio del terreno?

06. Por un terreno de cultivo de 25 ha. Se pagó S/. 3 600 000. ¿Cuánto se pagó por ?

07. Una avioneta es contratada para fumigar un campo de 2,6 , fumiga el 1er día solamente la mitad, pues se termina el combustible. ¿Cuántas ha. quedaron sin fumigar?

08. De un campo de deporte que mide 16 se han quitado 2 73 . ¿Con que extensión ha quedado dicho campo?

09. Una hacienda tiene 32 ha. 12 16 de extensión, se quiere dividir en

4 parcelas iguales. ¿Cuántos tendrá cada parcela?

10. De un patio de recreo que medía 16 , se ha hecho 3 divisiones; 5

60 para jugar baloncesto, 6 para jugar voley; el resto para jardín. ¿Qué terreno se ha dejado para el jardín?


01. El m2 de un terreno cuesta s/. 65, si el terreno mide 12 ha, ¿Cuál es el precio total del terreno?

a) S/. 78 000 b) S/. 7 800 000 c) S/. 120 000 d) 78 000 000

02. La hectárea de un terreno cuesta 5000 soles. Si el terreno mide 450 000 m2, ¿Cuál es el precio total del terreno?

a) S/. 2 250 b) S/. 22 500 c) S/. 225 000 d) S/. 225

03. Por un terreno de cultivo de 50 ha. se pagó S/. 7 200 000. ¿Cuánto se pagó por m2?

a) S/. 14, 4 b) S/. 12 , 2 c) S/. 43 , 20 d) N.A.

04. En un huerto de 20 ha. se cultivan 1200 dam2 de mango; 25 000 m2 de manzana y el resto del terreno se cultivan plátanos. ¿Cuántas hectáreas de plátano se cultivan?

a) 5,5 b) 6,6 c) 6,8 d) 7,7

05. Una avioneta es contratada para fumigar un campo de 2,6 km2. El primer día fumiga solamente la mitad, pues se termina el combustible. ¿Cuántas ha. quedarán sin fumigar?

a) 1,3 b) 13 c) 130 d) 1 300

TAREA DOMICILIARIA Convertir:

a) 35 a

b) 68 a

c) 5,2 a

d) 6,25 a

e) 4256 a

32


f) 1382,6 a

g) 42,3 185 a ha.

h) 1256 a ha.

i) 2345 a ha.

UNIDADES DE VOLUMEN O CAPACIDAD

La unidad principal de las medidas de volumen o capacidad es el metro cúbico. Se escribe m3.El metro cúbico es el volumen de un cubo cuya arista tiene por longitud 1 metro

Existen medidas mayores que el metro cúbico llamadas Múltiplos y medidas menores que el metro cúbico llamadas Submúltiplos, tales como observamos en la siguiente tabla:

NOMBRE DE LA UNIDAD

SIMBOLO EQUIVALENCIA


kilómetro cúbico km3 1 000 000 000 m3

hectómetro cúbico hm3 1 000 000 m3

decámetro cúbico dam3 1 000 m3


metro cúbico m3 1 m3

SUBMULTIPLOSSUBMULTIPLOS

decímetro cúbico dm3 0,001 m3

centímetro cúbico cm3 0,000 001 m3

milímetro cúbico mm3 0,000 000 001 m3

En el siguiente diagrama podemos observar cómo se pasa de una unidad a otra:

Ejm. 1 Convierte 23 dm3 a cm3 Ejm. 2 Convierte 300 dam3 a km3 23 x 1 000 = 23 000 300 : 1 000 000 = 0,000

323 dm3 = 23 000 cm3 300 dam3 = 0,000 3 km3.

Una de las unidades, muy utilizadas comercialmente, para medir volumen o capacidad es el libro que no es otra cosa que 1dm3, es decir el volumen de un cubo es 1dm de arista.

También existen los múltiplos y submúltiplos del litro como observación en la siguiente tabla.

Nombre de Unidad Símbolo Equivalencia

MúltiplosMegalitro Ml 1 000 000 l

Kilolitro Kl 1 000 l

Unidad Principal Litro l 1 lSubmúltiplos mililitro ml 0,001 l

En el siguiente cuadro observamos cómo se pasa de una unidad a otra:

Ejm. 1 Convertir 4,12 kl a l4,12 x 1000 = 4120

Rpta. 4,12 Kl = 4120 l

Ejm. 2 Convertir 5l a cm3.5 l = 5dm3 = 5 x 100 cm3.

33

1dm3=1litro


Rpta. 5 l =500 cm3

PRÁCTICA DE CLASE

01. Convertir:

a) 16 a b) 36,2 a

c) 4,2 a d) 540 a l

e) 12 a f) 0,002 a

g) 43 360 a h) 2560 a K

i) 3460 m a j) 349,50 a K

02. Si A = 0,72 B = 84 C = 375Hallar 2 A - 5 B + C en litros

03. En una casa han gastado en un año 1 y 32 de agua. ¿Cuánto habrá

que pagar a razón de s/1,20 el ?

04. ¿Cuántas botellas de medio litro llenarás con 2 y 15 d de agua?

05. Si un litro de leche cuesta s/1,80. ¿Cuánto costará un K ?

06. Si una ampolla de inyección cuesta s/4,30 el milímetro . ¿A como resultará el precio del litro?


01. ¿Cuántos cm3 hay en 28 dm3?

a) 28 000 b) 0,028 c) 2 800 d) 0,28

02. ¿Cuántos km3 hay en 300 dam3?

a) 300 000 b) 0,0003 c) 3 000 d) 0,003

03. ¿Cuántos m3 son 8 hm3 y 12 dam3?

a) 8 012 000 b) 812 000 c) 8012 d) N.A.

04. ¿Cuántas cucharadas de 5cm3 puedo tomar de un frasco que contiene 1/4

de litro?

a) 25 b) 50 c) 100 d) 150

05. ¿Cuántas botellas con capacidad para 905 cm3 se pueden llenar con 362

litros de vino?

a) 100 b) 200 c) 300 d) 400

TAREA DOMICILIARIA

Convertir:

a) 6 a d b) 436 c a d c) 26 d a c

d) 6054 m a c e) 68 d a c f) 302,6 d a

g) 0,7 a h) 6046 a i) 726,5 m a

j) 345,6 a k k) 42 k a

INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA

La palabra ESTADÍSTICA se deriva de la palabra ESTADO. Desde mucho tiempo atrás los gobernantes realizan censos a fin de averiguar la cantidad de habitantes, de viviendas, de centros médicos, etc. a fin de atender mejor a sus gobernados.

La ESTADÍSTICA es una ciencia cada vez más importante en la vida diaria. Estoy seguro que más de una vez escuchaste frases como ésta :

“No voy al centro de Lima en Horas punta para ahorrar tiempo”

“Estas son las estadísticas para el primer tiempo: Alianza Lima, disparos al arco once , errados 8 y acertados 3, tiros de esquina, siete”

“Según la encuesta el candidato favorito, lleva una ventaja de 20 puntos a su más cercano contenedor ”.

“César es el más alto que el promedio de la clase”

“las estadísticas del primer tiempo son: Cesar vallejo, tiros al arco, 5 …. Real Madrid, tiros al arco, 2 … “

El promedio de las edades de los alumnos es 13 años

El más alto de la sección mide 1,56m

Los dueños de la fábrica de ropa donde trabaja mi hermano necesitan saber las preferencias del público para sus nuevos diseños.

Las calificaciones de los alumnos del primer grado en Matemática varían entre 12 y 15.

El gobierno necesita conocer las necesidades de colegios, postas médicas y carreteras para atender mejor al país.

34


Según las estadísticas el 7% de la población, aprueba la gestión del presidente Alejandro Toledo.

ESTADÍSTICA

DEFINICIÓN: Estadística, es la ciencia que proporciona un conjunto de métodos que se utilizan para recolectar, resumir, clasificar, analizar e interpretar el comportamiento de los “datos” con respecto a una característica materia de estudio o investigación. En primera instancia se encarga de obtener información, describirla y luego usa esta información a fin de predecir “algo” respecto a la fuente de información.

Encuesta y Tabla de Datos:

Para obtener información sobre la edad que tienen los alumnos de 6to. grado del Colegio Lord Kelvin, se ha entregado a cada niño un papel como el que se muestra en el recuadro.

La encuesta es un instrumento que puede contener una o más preguntas para recoger información sobre cualquier asunto

La información recogida por la encuesta la organizamos en un tabla de datos y en un Gráfico de Barras u otros gráficos.

Interpreto:

1. ¿Cuántos alumnos tienen 11 años?

.......................................................................................................................

.....

2. ¿Cuántos tienen 10 años?

.......................................................................................................................

.....

3. ¿Cuántos alumnos hay en 6to grado?

.......................................................................................................................

.....

4. ¿Cuántos alumnos tienen menos de 12 años?

.......................................................................................................................

.....

5. ¿Cuántos alumnos tienen más de 11 años?

.......................................................................................................................

.....

1. Observa el gráfico que muestra la cantidad de animales de cada especie que hay en un Zoológico y responde.

35

Tabla de DatosEdad Cantidad de

alumnas10 1011 2012 2513 5


a) ¿Cuantos anfibios hay en el Zoológico?

.......................................................................................................................

.....

b) ¿Cuál es la especie que tiene mayor número de animales?

.......................................................................................................................

.....

c) ¿Cuántos mamíferos más que peces hay en el Zoológico?

.......................................................................................................................

.....

d) ¿Cuantos animales hay en total?

.......................................................................................................................

.....

DATOS ESTADÍSTICO Y DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIA

Una profesora hizo una encuesta a los alumnos de 1° de secundaria les pregunto su edad y sexo.

Los 20 alumnos que ese día estuvieron en clase contestaron así :

Para poder estudiar los datos con facilidad, es conveniente ordenarlos y agruparlos.

Edad ConteoFrecuencia

F

11 1

12 10

13 7

14 2

Total 20

Ahora realizamos un gráfico de barras:frecuencia

36


MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

MEDIA ARITMÉTICA

La media aritmética es el valor promedio de una serie de datos estadísticos.Ejm. Calcular la media aritmética de las notas de Matemática de Enrique; siendo

éstos:

12, 17, 14, 13.

LA MEDIANA

La mediana de un conjunto de datos ORDENADOS es el valor que tiene el mismo número de datos antes de él que después de él; es decir la mediana es el término central.

Ejemplo:

Hallar la mediana de los pesos de 5 miembros de una familia:

52; 48; 60; 74; 28 Kg.

1° Ordenamos

2° Hallamos el término central; la mediana es 52 Kg

Si el número de datos fuera impar, la mediana se calcula hallando el promedio de los dos valores que ocupan el lugar central.

LA MODA

En un conjunto de datos, el que más se repite es la moda.

Ejemplo:

SEXO F

H 8

M 12

La moda es mujer por que es el que más se repite.

PRÁCTICA DE CLASE

01. Observa la tabla de datos y calcula la media aritmética, la mediana y la moda. Construye un gráfico de barras.

HORAS TRABAJADASDías HorasLunesMartesMiércolesJuevesViernesSábado

1089765

02. Observa:Las notas que obtuvieron 25 alumnos

en este curso son:

1510121315

1618161215

1413121618

1310111311

1516131012

a) Ordena los datos anteriores, elabora la tabla de distribución de frecuencias, y el gráfico de barras.

03. Observa el gráfico y luego calcula la media, la medida y la moda

37


04. Registra en una tabla de frecuencias. Luego indica la moda y la mediana, construye un gráfico.

a) En un estuche se tienen 22 lápices de colores 3 son verdes, 2 son azules, 4 son rojos, 6 marrones, 5 amarillos y 2 rozados.

05. Las edades de un grupo de alumnos son 12; 14; 12; 13; 12; 11; 14; 10; y 13 años. Registra en una tabla de frecuencias, construye un gráfico, Halla la media, la mediana y la moda.


01. Un alumno obtuvo las siguientes notas en Matemática: 16; 12; 10; 15 y una quinta nota que no recuerda. Si su promedio fue 13,4 calcular la nota que falta.

a) 13 b) 14 c) 12 d) N.a.

02. Diana obtuvo las siguientes notas en Comunicación: 12; 16; 18; 14; 16 y una sexta nota que no recuerda. Si su promedio fue 15,5 Calcular la mediana.

a) 16 b) 32 c) 14 d) N.a.

03. Calcula mediana en 3; 5; 2; 6; 5; 9; 2; 8; 6.

a) 7 b) 10 c) 5 d) N.a.

04. La moda en 2; 3; 5; 3; 8; 3 es:

a) 9 b) 5 c) 3 d) N.a.

05. Si el promedio de 10 números tomados de los 50 primeros enteros positivos es 27,5. Calcular el promedio de los 40 números restantes.

a) 22 b) 24 c) 25 d) N.a.

TAREA DOMICILIARIA

1. Observa las edades que tienen 40 alumnos de un aula:

10 12 13 10 9 13 12 10

12 13 10 11 10 13 10 9

10 10 9 12 11 12 11 10

13 11 11 9 10 11 10 10

11 10 12 10 12 10 11 10

a) Ordena los datos anteriores y determina la frecuencia de c/u. b) Elabora un gráfico de barras.c) Halla la media, mediana y moda de las edades.

38


INTRODUCCIÓN A LA PROBABILIDAD

El lanzamiento de las tres monedas es un experimento aleatorio.Al responder preguntas como:

1. ¿Se obtendrá al menos un sello?2. ¿Es muy posible que se obtengan dos caras?

Damos lugar a sucesos los cuales pueden tener uno o varios resultados.

Veamos otro ejemplo:Lancemos un dado sobre una mesa. Aquí nos podremos preguntar ¿Saldrá el resultado menor que 4? ¿Saldrá impar? De cada una de estas preguntas surge un suceso.

SUCESOS RESULTADOS

“menor que 4” (1, 2, 3 )

“obtener impar” (1, 3, 5)

“sacar 3” (3)

“tres o mas” (3, 4, 5, 6)

REVISEMOS EL DICCIONARIO :

1. Experimento Aleatorio :

Es un experimento en el que no se puede predecir resultado. Decimos entonces que el experimento está sujeto al azar.

Ejemplos :

tirar un dado lanzar una moneda al aire extraer al azar una bola de una urna donde hay bolas de igual tamaño

pero de distintos colores.

2. Espacio Muestral :

Es el conjunto de todos los resultados que se obtiene al realizar un experimento.

Cada subconjunto del espacio muestral se llama sucesoSi este último consta de un solo elemento se llama suceso elemental.

Ejemplo :

Cuando lanzamos un dado, el espacio muestral E es :

E = { 1; 2; 3; 4; 5; 6 }

Este espacio muestral tiene 6 sucesos elementales.“Obtener par” es un suceso cuyo resultado es el conjunto {2; 4; 6}

PROPIEDADES DE LA FRECUENCIA Y DE LA PROBABILIDAD

Frecuencia Absoluta y Frecuencia Relativa de un Suceso

Digamos que tenemos un experimento aleatorio realizado N veces.

= frecuencia absoluta de A = n

= frecuencia relativa de A =

Propiedad Fundamental

Si f (s) es la frecuencia relativa de un suceso S se comprueba que :

Demostración :

De la definición de frecuencia resulta que el número de veces que se presenta el suceso S en N pruebas cumple con:

; dividiendo todo por N :

Probabilidad de un Suceso (p) :

Sigamos con el dado. El suceso “salir impar” se verifica al obtener 1 ó 3 ó 5.

Resultados favorables = 3Resultados posibles = 6

Entonces esperamos que salga impar 3 de cada 6 veces es decir :

Probabilidad de que salga impar

o también P {1; 3; 5} = 0,5

39


Más ejemplos regresamos a la TABLA N° 5

SUCESO PROBABILIDAD“menor que 4”

ó {1; 2; 3}

“obtener impar”ó {1; 3; 5}

“sacar 3”ó {3}

“tres o más”ó {3; 4; 5; 6}

3/6 = 0,5 = 50%

3/6 = 0,5 = 50%

1/6 = 0,17 = 17%

4/6 = 0,67 = 67%

Sucesos Equiprobables :

Son aquellos que tienen la misma probabilidad de ocurrencia.Al tirar el dado existen 6 posibilidades de resultado; cada una con p = 1/6

Regla de Laplace :

Cuando los resultados son Equiprobables:

Ejemplo :En una urna se tienen 8 bolas numeradas del 1 al 8. todas del mismo peso, tamaño y color. ¿Cuál es la probabilidad de extraer al azar bolas numeradas menores que 6?

Suceso : “menor que 6” ó {1; 2; 3; 4; 5}

N° de resultados favorables = 5N° de resultados posible = 8Probabilidad = p = 5/8

ó p = 0,625

Si p = 0 suceso imposible; si p = 1 suceso seguro.

Diagrama del Árbol

Veamos un caso, lanzamos dos monedas al aire.Se nos pide calcular la probabilidad de obtener alguna cara.

Moneda 1 Moneda 2

N° de casos favorables = 3

N° de casos posibles p (alguna cara) =

PRÁCTICA DE CLASE

01. Se lanza un dado sobre la mesa. ¿Cuántos elementos tiene el espacio muestral de este experimento ?

02. ¿Cuál es la probabilidad que al lanzar un dado sobre una mesa, resulte un número menor que 5 ?

03. ¿Cuál es la probabilidad que al lanzar un dado sobre una mesa, resulte un número menor que 2 ?

04. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un as al extraer una carta de una baraja de 52?

05. En una urna hay 12 bolas del mismo tamaño y hechas del mismo material, de las cuales 5 son de color rojo, 3 blancas y el resto negras. ¿Cuál es la probabilidad de al extraer una resulte negra?

06. Vitucho, tiene 4 pares de zapatos del mismo modelo pero de diferentes colores, todos colocados en una caja y en forma desordenada.¿Cuál es la probabilidad de que, a oscuras, pueda extraer un par del mismo color?

07. Se lanzan dos monedas, simultáneamente. ¿Cuántos elementos tiene el espacio muestral de este experimento?

40

La probabilidad de un suceso es un número comprendido entre 0 y 1


08. Se lanzan dos monedas simultáneamente. ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos caras?

09. Al lanzar simultáneamente dos monedas. ¿Cuál es la probabilidad de obtener por lo menos una cara?

10. Se lanzan dos dados simultáneamente y se anotan los resultados. ¿Cuántos elementos tiene el espacio muestral de este experimento?

11. Al lanzar dos dados simultáneamente, ¿Cuál es la probabilidad de que resulten dos números iguales?

12. En simultaneo se lanzan dos dados sobre la mesa. ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos números que sumen más de 9?

13. ¿Cual es la probabilidad que al lanzar dos dados simultáneamente, resulten dos números que sumen más de 7?

14. ¿Cual es la probabilidad que al lanzar dos dados simultáneamente, los números obtenidos tengan por suma 10?

15. Al lanzar dos dados, ¿Cuál es la suma más probable para los números obtenidos?


01. Se lanza un dado y una moneda sobre la mesa. ¿Cuántos elementos tiene el espacio muestral de este experimento?

a) 6 b) 12 c) 18 d) 24 e) NA

02. Se lanzan 3 monedas sobre la mesa. ¿Cuántos elementos tiene el espacio muestral de este experimento?

a) 6 b) 12 c) 8 d) 24 e) NA

03. Se saca una carta de una baraja. ¿Cuántos elementos tiene el espacio muestral de este experimento?

a) 56 b) 48 c) 52 d) 44 e) NA

04. Se lanza un dado y una moneda sobre la mesa. Calcule la probabilidad de obtener un sello acompañado de puntaje par

a) 1/2 b) 1/4 c) 1/8 d) 1/3 e) NA

05. Se lanza un dado y una moneda sobre la mesa. Calcule la probabilidad de obtener una cara acompañado de un puntaje no menor de 3.

a) 1/2 b) 1/4 c) 1/8 d) 1/3 e) NA

TAREA DOMICILIARIA

01. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número primo al lanzar un dado?

02. ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos caras al lanzar al aire dos monedas?

03. Se lanzan dos dados sobre una mesa ¿Cuál es la probabilidad que la diferencia de los puntos sea menor que 3?

04. En una fiesta por cada tres varones habían dos mujeres. A la media noche se retira una persona. ¿Cuál es la probabilidad que sea mujer?

05. En una urna colocamos 15 bolas, de las cuales 7 son rojas. ¿Cuál es la probabilidad de obtener una bola que no sea roja al extraer una bola de la urna?

06. Se lanza un dado y se desea saber, ¿Cuál es la probabilidad que el número sea compuesto?

07. Se lanzan tres monedas, ¿Cuál es la probabilidad de obtener 3 sellos?

08. Del problema anterior , ¿Cuál es la probabilidad de obtener solo dos caras?

09. ¿Cuál es la probabilidad que el producto de puntos sea mayor que 12?

10. ¿Cuál es la probabilidad que la suma de los puntos sea múltiplo de 5?

41


CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROSCONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS

INTRODUCCIÓN HISTÓRICA

La primera consideración sobre el número entero negativo no llega en el mundo occidental sino hasta el siglo XVI como consecuencia de la solución de ecuaciones algebraicas. En oriente, en cambio, durante el siglo IV ya manipulaban números positivos y negativos en los ábacos usando bolas de diferentes colores.

El matemático alemán Kronecker afirmó: “El número natural lo creó Dios y todo lo demás es obra de los hombres”. Si nos remitimos a tiempos remotos podemos encontrar que nuestros antepasados utilizaban los números, según su necesidad, cuál era el contar los animales que poseían, la cantidad de grano que almacenaban, etc. para lo cual era suficiente el conjunto de los números naturales. Posteriormente el hombre ha ido ampliando sus necesidades en la utilización de los números y se ha visto en la necesidad de ampliar el conjunto de los números naturales, como veremos más adelante.

JUSTIFICACIÓN PARA LA EXTENSIÓN DEL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES

Por lo aprendido, en el módulo anterior: N = {0; 1; 2; 3; 4; 5;........}; cuya representación en la semirecta es:

También, quedó establecido que las operaciones de adición y multiplicación siempre son posibles en N (definidas en N), esto es:

Sin embargo, la operación de sustracción existe solamente en una forma muy restringida, es decir sólo cuando el minuendo es mayor o igual que el sustraendo, y por lo tanto la sustracción no verifica la clausuratividad en N. Por ejemplo:

Propiedad de Clausura o cerradura:

a; b N (a + b) N a; b N (a . b) N15 – 7 = 8; 8 N M > S12 – 12 = 0; 0 N M = S21 – 36 = x; x N M < S

Se concluye:

- Con el conjunto de los números naturales (N), no es suficiente para realizar todas las operaciones.

- Para que la sustracción siempre sea posible se hace necesario extender o ampliar el conjunto N a otro conjunto de números en el cual la sustracción sea clausurativa.

- Se construye un nuevo conjunto de números que incluye al conjunto N. Cumpliéndose en este nuevo conjunto las operaciones y propiedades de los naturales.Además en este conjunto se establecen otras propiedades con las que será posible ampliar el campo operatorio.

- Este nuevo conjunto de números se denomina conjunto de los números enteros, cuya notación es Z.

1. CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS

Veamos los siguientes ejemplos:

37 – 29 = 8 37 = 8 + 2925 – 25 = 0 25 = 2512 – 56 = -44 12 = -44 + 56

1.1. Conjunto de los números enteros positivosAl conjunto de los números enteros positivos se denota por , siendo sus elementos las diferencias de números naturales (a-b), tales que a > b.

NOTACIÓN POR COMPRENSIÓN

= {a-b/a; b N a > b}

NOTACIÓN POR EXTENSIÓN

= { }

NOTACIÓN POR CONVENIO MATEMATICO

= {1; 2; 3; 4; 5; ....}

1.2. Conjunto unitario, elemento cero.

Este conjunto tiene como elemento al número cero (0), que se obtiene de la diferencia de números naturales (a-b), tales que a = b.

{0} = {a-b/a; b N a = b}

42


El número entero cero no es positivo ni negativo, es decir:

0

0 1.3. Conjunto de los números enteros negativos

NOTACION POR COMPRENSIÓN

= {a-b/a; b N a < b}

NOTACIÓN POR EXTENSIÓN= { ...; }

1.4. Conjunto de los números enterosAl conjunto de los números enteros se denota por Z, siendo sus elementos todas las diferencias de números naturales, es decir, la reunión de los conjuntos antes mencionados, cuya notación son:

POR COMPRENSIÓNZ = Z- U {0} U

POR EXTENSIÓN

Z = { ..... ; ; ......}COROLARIO

Los números naturales forman un subconjunto de los números enteros.

Luego:

Todo número natural es entero, pero no todo número entero es natural.

Ejemplo:

7 N 7 Z-15 Z -15 N

REPRESENTACIÓN GRAFICA DE Z

2. REPRESENTACIÓN DE LOS NÚMEROS ENTEROS EN LA RECTA

NUMÉRICA

Se elige en la recta numérica un punto de origen, el que se le hace corresponder el número entero cero.

A la derecha de cero se ubican a distancias iguales, los números enteros positivos.

A la izquierda de cero se ubican a distancias iguales, los números enteros negativos.

3. NUMEROS ENTEROS OPUESTOS

Establecida la correspondencia de cada número entero, con un punto de la recta, se observa que los números enteros simétricos u opuestos , equidistan de cero (expresan igual distancia al origen).

-2 y 2 son # Z opuestos.

4. VALOR ABSOLUTO: | |

El valor absoluto de un número es la distancia de dicho número al origen.

|a| se lee: valor absoluto de a.

Ejemplos:

43


|7| = 7; (7 > 0)|0| = 0|-7| = 7; (-7 < 0)

De los ejemplos se concluye:

|a| nunca es un número negativo.|a| es mayor o igual que cero.|a| 0

4.1. APLICACIONES

1) Si |x| = 3, a qué números enteros representa x ?

Solución:X es un número que dista 6 unidades del origen. Luego: X = {- 3; 3}

2) Si |x| < 5, a qué números enteros representa X?

Solución:X representa a todos los números enteros cuyas distancias al origen son menores que cinco.

Del gráfico: X = {-4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4}

3) Cuando afirmamos que |X| 5, a qué números enteros representa X?

Solución:X representa a todos los números enteros cuyas distancias al origen son iguales o menores que 5.

Del gráfico: X = {-5; -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; 5}

4) Si |X| > 2, a qué números enteros representa X?

SoluciónX representa a todos los enteros cuyas distancias al origen son mayores que 2.

Del gráfico: X = {.....; -5; -4; -3; 3; 4; 5; .....}

5) Cuando afirmamos que |X| 2. ¿A qué números representa X?

SoluciónX representa a todos los enteros cuyas distancias al origen son mayores o iguales que 2.

Del gráfico: X = {.....; -4; -3; -2; 2; 3; 4; .....}

5. COMPARACION ENTRE NUMEROS ENTEROS

En la recta numérica para los números enteros:

De aquí se deducen las siguientes propiedades de comparación entre

números enteros:

Propiedad 1: Cualquier número positivo es mayor que cero.

Propiedad 2: Cualquier número negativo es menor que cero.

Propiedad 3: Cualquier número positivo es mayor que cualquier número

negativo.

Ejemplo: +1 > -1 000 000.

Propiedad 4: De dos números positivos es mayor el que tiene mayor

valor absoluto.

Ejemplo: +50 > +12

Propiedad 5: De dos números negativos es mayor el que tiene menor valor absoluto.

44


Ejemplo: -16 > -58.

Escribe los símbolos <, = , > en el espacio que corresponde.

+127 ........ +132 +127 ........ +132

+19 ........ +7 |-7| ........ |7|

-11 ........ 0 -27 ........ -38

0 ........ -16 -124 ........ -178

8 ........ -26 -18 ........ 18

PRÁCTICA DE CLASE

A continuación proponemos una serie de ejercicios que te permitirán plasmar lo aprendido en la sesión. ADELANTE.

01. Colocar verdadero (V) o falso (F), según corresponda:

-3 N ........ ( ) 5 N ........ ( ) N Z ........ ( )

-8 Z ........ ( ) 7 Z ........ ( ) 0 Z ........ ( )

02. Ordenar de menor a mayor:

–104; -26; -5; 0; -1; +1; +3; +30; -60; -24

………………………………………………………………………..

03. Ordenar en forma decreciente.

–26; -32; -5; 0; -1; +1; +3; +30; +19

………………………………………………………………………….

04. Determine el valor absoluto de:

|-5| = ....................... |+5| = .......................

|-7| = ....................... |0| = .......................

|-50| = ....................... |-16|+|-5| = .......................

|-7| - |3| = ....................... |-233|+|+10| = .......................

05. Escribir 6 pares de números opuestos:

a) ...................................... b) ......................................

c) ...................................... d) ......................................

e) ...................................... f) ......................................

06. En la recta numérica:

Suponiendo que cada espacio mide 1 centímetro, entonces la distancia del punto:

D a cero es ......................... R es acero es .........................

M a cero es ......................... B es acero es .........................

E a cero es ......................... Q a cero es .........................

07. Dado |X| = 5. ¿Qué números enteros representa X? ¿Por qué?

08. Si |X| < 4. ¿A qué números enteros representa X? ¿Por qué?

09. Si |X| > 6. ¿A qué números enteros representa X? ¿Por qué?

10. Escribe el signo >, = ó <. Según corresponda en los espacios punteados.

a) –15 ........ -7 g) |-5| ........ |5|

b) 20 ........ +20 h) |-12| ........ |-18|

c) 12 ........ -12 i) |-15| ........ |+12|

d) -32 ........ 20 j) 0 ........ -9

45


e) –1 ........ 0 k) -32 ........ -1

f) 0 ........ 11 l) |0| ........ |-3|


01. Dados los siguientes números enteros: -5 ; -12 ; -1 ; -18. determine el mayor de ellos.

a) -18 b) -5 c) -12 d) -1

02. Dados los siguientes números enteros determine el menor de ellos:

-8 ; -123 ; -15 ; -1

a) -123 b) -15 c) -8 d) -1

03. Luego de ordenar los siguientes números enteros, determine el que ocupa el lugar central: -8 ; 5 ; -2 ; -3 ; -9 ; 12 ; -18

a) -2 b) -3 c) 5 d) -8

04. Si |x| = 3 ¿Cuántos valores puede tomar “x”?

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3

05. Si |x-5| = 3 determine el menor valor que puede tomar “x”.

a) 8 b) 3 c) 2 d) -8

TAREA DOMICILIARIA

01. Ordenar de menor a mayor:

a) 10 ; -1 ; -8 ; +4 ; +7 ; -6 ; -9 b) –12 ; 13 ; +14 ; -7 ; -10 ; -1 ; 0

02. Ordenar en forma decreciente.

a) –4 ; -8 ; -13 ; 0 ; -7 ; +7 ; +16 ; -1

03. Si |X| 4. ¿A qué números enteros representa X? ¿Por qué? 04. Si |X| 3. ¿A qué números enteros representa X? ¿Por qué? 05. Si |X| = 6. ¿A qué números enteros representa X? ¿Por qué? 06. Si |X| < 5. ¿A qué números enteros representa X? ¿Por qué? 07. Si |X| > 4. ¿A qué números enteros representa X? ¿Por qué?

08. Aplicando las propiedades de la Igualdad y Desigualdad, escribir la conclusión en cada proposición?

a) Si: a = b y b = c. Se concluye: .................................

b) Si: -8 < -2 y -2 < 5. Se concluye: .................................

c) Si: -1 > -2 y -2 > -3. Se concluye: .................................

09. Escribe los símbolos <, =, > en el espacio que corresponde:

a) -152 ......... 0 g) |15| ......... |-15|

b) 22 ......... 4 h) |-21| ......... |-8|

c) 5 ......... -60/-12 i) |-1| ......... |2|

d) –32 ......... 23 j) 53 ......... -999

e) 03 ......... k) -39 ......... 2

f) 0 ......... -58 l) |10| ......... |-31|

10. En la recta numérica:

Suponiendo que cada espacio mide 1 centímetro, entonces la distancia del punto:

46


E a cero es ..................... H a cero es .....................

I a cero es ..................... B a cero es .....................

A a cero es ..................... J a cero es .....................

E al punto J ..................... C al punto F .....................

F al punto J ..................... A al punto J .....................

B al punto H ..................... C al punto I .....................

OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROSADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS

ENTEROS

I. ADICIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

SUMAR números enteros, significa combinarlas para obtener un solo número que represente el total de ellos o su efecto total.Veamos el siguiente ejemplo:

Janelly dirige un negocio y diariamente ejecuta ventas donde se le podrían presentar las siguientes situaciones: GANANCIAS y PÉRDIDAS.Lo ejecutado por Elena lo detallamos en el cuadro adjunto, advirtiendo que a las ganancias y pérdidas le asignamos números enteros positivos y negativos respectivamente.

DIA SITUACIONESSUMANDO

ALGEBRAICAMENTEEFECTO

Lunes +15 +32 (+15) + (+32) = +47 Ganó

Martes -21 -10 (-21) + (-10) = -31 PerdióMiércole

s+52 -75 (+52) + (-75) = -23 Perdió

Jueves +127 -46 (+127) + (-46) = +81 Ganó

Viernes +89 -89 (+89) + (-89) = 0 Ni ganó Ni perdió

Del cuadro extraemos las siguientes reglas:

1. Para sumar números enteros que tienen el mismo signo, se suman sus valores absolutos y el signo del resultado es el mismo que el de los sumandos.Ejemplos:

(+15) + (+32) = +15 + +32 = +47(-21) + (-10) = -21 + -10 = -31

2. Para sumar números enteros de distinto signo, se restan los valores absolutos de los números dados (el mayor menos el menor) y se coloca al resultado el signo del número del mayor valor absoluto.Ejemplos:

(+52) + (-75) = +52 + -75 = -23(+127) + (-46) = +127 + -46 = +81

De los ejemplos anteriores podemos extraer la siguiente conclusión:

a) Cuando sumamos enteros de igual signo, el resultado es otro número entero del mismo signo.

FORMA PRÁCTICA

(+ ) + (+ ) = + 1. (+15) + (+32)

Suprimimos el operador y

paréntesis.

+15 + 32 = +47

47


(- ) + (- ) = - 2. (-25) + (-10)Suprimimos el operador y

paréntesis.-25 - 10 = -35

b) Cuando sumamos números enteros de distinto signo, el resultado lleva el signo del número de mayor valor absoluto.

FORMA PRÁCTICA

(+ ) + (- ) = ? 1. (+52) + (-75)Suprimimos el operador y

paréntesis.+52 - 75 = -23

(- ) + (+ ) = ? 2. +127 + -46Suprimimos el operador.127 - 46 = +81

c) Cuando sumamos números enteros, el resultado que se obtiene es otro número entero. (La adición es cerrada en Z).

II. SUSTRACCION DE NÚMEROS ENTEROS

Enunciemos la siguiente regla: para efectuar la sustracción de dos números enteros, basta sumar al minuendo el opuesto del sustraendo.

1) (-15) – (-7) 2) (+39) – (- 58)

La sustracción convertida en adición: Transformando la sustracción en adición:

(-15) + (+7) = -8 (+39) + (+58) = +97

Así, la sustracción queda transformada en una adición de números enteros y la regla para resolverla se dio anteriormente.

De los ejemplos expuestos podemos extraer la siguiente conclusión:

a) En la sustracción de números enteros, el resultado que se obtiene es otro número entero (la sustracción es cerrada en Z).

b) En la sustracción de números enteros, no se cumple la propiedad conmutativa.Ejemplo:

(-15) – (-7) (-7) – (-15)

(-15) + (+7) (-7) + (+15)

- 8 +8

c) Ampliamos afirmando que en la sustracción de números enteros, no se cumple la propiedad asociativa:Ejemplo:

[ (+7) – (-11) ] – (-32) (+7) – [ (-11) – (-32) ][ (+7) + (+11) ] – (-32) (+7) – [ (-11) + (+32) ]

(+18) – (-32) (+7) – (+21)(+18) + (+32) (+7) + (-21)

50 -14

OPERACIONES COMBINADAS DE ADICION Y SUSTRACCION EN Z

Veamos los ejemplos:

1) Efectuar: (+15) + (-11) – (+17) + (+5) – (-21)

Solución:Expresando las sustracciones como adiciones:

OTRA FORMA:(+15) + (-11) – (+17) + (+5) – (-21)

Expresando las sustracciones como adiciones:(+15) + (-11) + (-17) + (+5) + (21)

Suprimiendo los operadores y paréntesis:+15 – 11 – 17 + 5 + 21

48


Agrupamos los números positivos y negativos.

2) Efectuar: -15 + {7 – 29 – [-16 – (8 – 3 – 5 + 7)] – 4}

Solución:Suprimimos el paréntesis (signo colector ubicado en la parte más interna); efectuando antes las operaciones del interior, lo mismo aplicamos con el corchete y llave.

OTRA FORMA

Podemos ir suprimiendo los signos corchetes comenzando por la parte más interna y antes de operar los números que se encuentran en su interior, así:

a) Si delante del paréntesis está el signo +, se suprime el paréntesis y los números del interior no alteran su signo.

+ (+7 – 10 – 8) = +7 – 10 – 8

b) Si delante del paréntesis está el signo, se suprime el paréntesis y los números del interior se alteran en su signo.

- (+7 – 10 – 8) = -7 + 10 + 8

Luego tenemos:

- 15 + {7 – 29 – [-16 – (8 – 3 – 5 + 7)] – 4}

- 15 + {7 – 29 – [-16 – 8 + 3 + 5 - 7)] – 4}

- 15 + {7 – 29 + 16 + 8 – 3 – 5 + 7 – 4}

- 15 + 7 – 29 + 16 + 8 – 3 – 5 + 7 – 4

Operamos los positivos y negativos por separado. (no se observa opuestos).

PRÁCTICA DE CLASE

01. Resuelve :

a) +4 + +3 = b)

c) d)

e) f)

02. Halle el resultado de : 5 – 12 + 6 – 4 + 9 – 1 + 14

03. Efectuar: 20 – 15 + 8 – 12 + 4 – 8 + 16 – 30

04. Efectuar: – 6 – 4 + 8 + 3 + –5

05. Efectuar: –5 + 8 –12 + 4 + 5 –13 + 7 –11 + 16

06. Efectuar: +13 + –6 + +2 + –8

07. Efectuar: +4 + +3 + –5 + –7 + –10 + +9

08. Efectuar: 4 – 7 – 6 + 8 – 9 +5

09. Efectuar: 3 – 6 – 8 + 4 – 1210. Efectuar: +4 + –6 – 7 + –5 – –3 + –8 – +5 – –10

11. Efectuar: (20 – 5) + (–6 + 18)

12. Efectuar: 7– (+3 – 4 – 2)

49


13. Efectuar: +4 +

14. Efectuar: –4 + –8 + –3 – (+5 – –3)


01. ¿Cuántos enteros hay comprendidos entre -4 < x < 2?

a) 4 b) 5 c) 6 d) N.a.

02. Un submarino navega a una profundidad de 134 metros, asciende 40 metros, luego desciende 60 metros. ¿A que profundidad se encuentra?

a) 142m b) 124m c) 214m d) N.a.

03. ¿Cuál es el número que al restarle -3 da 5?

a) 6 b) -2 c) 2 d) N.a.

04. Halle el resultado de : E = 32 - {-16 - (-8 + 2) - (- 10 + 6) + 12 }

a) 22 b) 24 c) 26 d) N.a.

05. Si la suma de tres números es -20 y dos de ellos son -9 y -13 ¿Cuál es el otro número?

a) 1 b) 2 c) -2 d) N.a.

TAREA DOMICILIARIA Resuelve:

–4 + (–3 +6) – (+4 + –8) (–2 – 7) – (–1 – 2) + (–31 + 1)

+12 – 6 +7 –5 –8 + 5 – 2 + 4 – 3

–6 + -4 – –6 + –5 + –4 + +6 +6 + –4+ –5 + +8 + –4 + –8

+3 – [+6 + (+7 – +2 + –9)]

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

Veamos: 13 + 13 + 13 + 13 + 13 = 5 . 13 = 65

5 veces

(-24) + (-24) + (-24) + (-24) + (-24) + .... + (-24) = 100 x (-24) = (100) (-24) = - 2400

100 veces

Se observa que la adición de sumandos iguales, se puede expresar como una multiplicación del sumando en referencia con las veces que éste se repite.

En la multiplicación de números enteros se pueden presentar distintas situaciones:

1. (+7) . (+8) = +56(-11) . (-7) = +77

Si dos números enteros tienen el mismo signo, para multiplicarlos se multiplican sus valores absolutos y el resultado es un número entero positivo.

2. (-15) (+7) = -105(+13) (-6) = -78

Para multiplicar dos números enteros que tienen distinto signo, se multiplican sus valores absolutos y el resultado es un número entero negativo.

En resumen:

Observaciones: Cuando existen más de dos factores, contamos cuántos de ellos son negativos. Luego:

a) Si el resultado del conteo es impar, el resultado será negativo (-). Ejemplo:

50


(-2)(-3)(5)(- 4) = - 120

b) Si el resultado del conteo es un número par, el resultado será positivo (+). Ejemplo:

(-3)(3)(-4) = 60DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

Veamos las divisiones:

15 -3 = -5; porque 15 = (-5)(-3) 15 es múltiplo de - 3

11 760 245 = 48; porque 11 760 = (245)(48) 11 760 es múltiplo de 245.

72 7 = x Z; porque no existe númer0000o entero que multiplicado por 7 nos de como producto 72. Por lo tanto 72 no es múltiplo de 7.

De los ejemplos anteriormente expuestos se concluye:

* La operación de división de números enteros no es clausurativa; no siempre se encuentra el entero que multiplicado por el divisor, dé el dividendo.

* La división en el conjunto de los números enteros sólo será posible cuando el dividendo (D) sea múltiplo del divisor (d) y éste diferente de CERO, con esta referencia se encontrará un número q (cociente) tal que multiplicado por d, nos dé por producto el número D.

Simbólicamente:

Si D, d, q Z; = q D = dq

Los elementos de la división son:

Dividendo (D).- Es la cantidad a ser dividida.

Divisor (d).- Indica el número de partes iguales en que debe dividirse el dividendo.

Cociente (c).- Es el número de elementos que resultan para cada una de las partes indicadas por el divisor.

Además para indicar la operación de división se acostumbra usar:

__ ; / ; estos signos representan al operador de la división leyéndose como “entre”.

Los números enteros pueden ser positivos o negativos, a efectos de realizar correctamente una operación de división, es preciso tener en cuenta las siguientes reglas:

1. Para dividir dos números enteros del mismo signo se dividen sus valores absolutos del primero por el segundo, y se antepone al cociente el signo más (+).

Ejemplos:(+16) (+4) = +4(-54) (-3) = +18

2. Para dividir dos números enteros de distintos signos se dividen sus valores absolutos del primero por el segundo, y se antepone al cociente el signo menos (-).Ejemplos:

(+52) (-4) = -13(-16) (+2) = -8

Recordar:

Al dividir dos números enteros:

- Del mismo signo, el cociente es positivo.- De distinto signo, el cociente es negativo.

Observaciones:

* El cero dividido por cualquier número entero distinto de cero es cero. Ejemplo:

* Un número entero (distinto de cero) dividido por cero es una operación que carece de sentido.

Ejemplo:

Carecen de sentido

51


PRÁCTICA DE CLASE01. Completa el cuadro:

X – 1 + 2 – 3 + 4 – 5 +6

+ 5

– 7

+ 8

– 9

+ 4

02. Completa el cuadro

: + 3 – 5 – 6 + 10

+ 60

– 180

+ 120

– 720

+ 360

03. Efectuar: (– 7) (+ 3) (– 2)

04. Efectuar: (– 1) (– 7) (+ 3) (– 10)

05. Efectuar: =

06. Efectuar:

07. Efectuar:

08. Efectuar: =

09. Efectuar:

10. Efectuar: – 7 (– 8 + – 6) =

11. Efectuar: (+ 3 – 6 + 2) x 5 =

12. Efectuar: +6 (– 1 + – 2 – +4 – –5) =

13. Efectuar: (– 3) (– 2) + 8 : (– 2) =

14. Efectuar: +72 : – 9 + – 45 : – 15

15. Efectuar: +72 : – 9 + – 45 : – 15

16. Efectuar: (– 9 – + 15) : (– 10 + + 8)

17. Efectuar: –2 x – 3


01. Identifica la propiedad aplicada en :

a) Elemento Neutro b) Asociativa c) Elemento Absorbente d) N.a.

02. Señale el menor de los números:

M = (–2) . (+ 3) ; N = (+ 6) : (– 1) ; P = (–2) + (–2) – (– 5)

a) Sólo M b) M ó N c) N ó P d) sólo P

52


03. Antonio, que colecciona llaveros, les dijo a sus amigos Ana y José: “Si agrupo mis llaveros en grupo de 11 me sobran 7; y si los agrupo en grupos de 23 me sobran 3. ¿Cuántos llaveros tengo si son más de 50 y menos de 100?”

a) 95 b) 86 c) 96 d) 99

04. La suma de los cuatro primeros primos impares es :

a) 17 b) 26 c) 24 d) 15

05. Si el promedio de tres números consecutivos es impar, el número intermedio es:

a) múltiplo de 3 b) Primo absoluto c) número par d) número impar

TAREA DOMICILIARIA

Resolver:

01. –60 : (– 2 x – 3 x – 5) 07. (– 2) (–3) (– 2) (– 1) (– 4) (–5)

02. 200 : 08. – 12 x [– 6 – 10 x (– 2 – 3)]

03. (+ 12 + 8 – 4) : + 4 09. –5 + 3 x 8 – (4 – 1 x 5)

04. (21 + 70 – 42) : 7 10. (8 – 3) x 4 – 1

05. (105 + 75 – 125) : 5 11. (– 13 + 6) x (– 3) + 4 x (– 1)

06. – 3 (– 2) (5) (7) (– 1) 12.

POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

POTENCIACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

Es una operación que consiste en elevar un número entero “b” a un exponente natural “n”, el cual nos indica la cantidad de veces que se repite la base entera como factor, hallando así el resultado llamado Potencia.

Ejemplos:

= (+7)(+7) = +49

2 veces

= (+3) (+3) (+3) (+3) (+3) = +243

5 veces

= (-2) (-2) (-2) (-2) (-2) (-2) = +64

6 veces

= (-3)(-3)(-3) = -27

3 veces

Por lo mostrado en los grupos anteriores, es preciso tener en cuenta las siguientes reglas:

1) Si la base es positiva y el exponente cualquier número natural, el resultado es positivo:

Ejemplo: = + 625

= + 216

2) Si la base es negativa y el exponente un número natural par, el resultado es positivo:

Ejemplo: = + 64

53


3) Si la base es negativa y el exponente un número natural impar, el resultado es negativo.Ejemplo:

= - 125

= - 128

RADICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

La radicación es la operación inversa a la potenciación que consiste en encontrar un número entero “b”, llamado raíz, el cual elevado a un exponente natural “n”, llamado índice nos reproduzca el valor P, llamado radicando o cantidad subradical.

b : base b: raíz enésima (b Z)n : exponente n: índice (n N, n > 1)P : potencia P: radicando o cantidad subradical.(P Z)

Nota:

- La potenciación es la operación que permite hallar la potencia conociendo la base y el exponente.

- La radicación es la operación que permite hallar la raíz enésima, conociendo el radicando y el índice.

La raíz enésima de un número P es otro número b que elevado al exponente “n” nos reproduce P.

Simbólicamente:

Ejemplos:

Por lo mostrado en los ejemplos anteriores, es preciso tener en cuenta las siguientes reglas:

1. Cuando el radicando es un número entero positivo y el índice es un número natural par, hay dos resultados que tienen el mismo valor absoluto y distinto signo. Ejemplos:

Porque

Porque

Recordar: Cuando el radicando es positivo y el índice par, se utiliza sólo la RAIZ POSITIVA (por conveniencia) que se le conoce con el nombre de RAIZ ARITMETICA.

Es decir:

2. Cuando el radicando es un número entero positivo y el índice es un número impar, el resultado o raíz hallada es positiva. Ejemplos:

Porque

Porque

3. Cuando el radicando es un número entero negativo y el índice es un número impar, el resultado es un número negativo. Ejemplos:

Porque

Porque

4. Cuando el radicando es un número entero negativo y el índice es un número par, no tiene solución en el conjunto de los números enteros. Ejemplos:

, no tiene solución en Z, porque:

PASAJE DE EXPONENTE E INDICE DE UN MIEMBRO A OTRO

La operación contraria a la potenciación. Si en una igualdad uno de los miembros tiene una raíz enésima, pasa al otro miembro con la operación contraria; es decir, como potencia indicada y viceversa.

54


a) Por definición:

Ejemplo:

x = = 125

b) Por definición

Ejemplo:

= 32 x = = 2

PRÁCTICA DE CLASE01. Efectuar:

a)

b)

c)

d)

e)

02. Resolver :

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

03. Efectuar:

04. Efectuar:

05. Efectuar:

06. Efectuar:

07. Efectuar:

TAREA DOMICILIARIAEfectuar:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

55

iii bimestre

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