iia rad energija sudari predavanje

V. Pavlović – PREDAVANJA IZ FIZIKE, Mašinski fakultet Univerziteta u Beogradu

1

RAD U MEHANICI

Ukoliko se usled dejstva sile Fr

vrši promena položaja tela, ili ukoliko dejstvo sile Fr

na bilo koji način

utiče na kretanje tela (bilo da ta sila uzrokuje i podstiče kretanje tela, ili dejstvo te sile usporava već

uspostavljeno kretanje tela), kažemo da tokom tog pomeranja sila Fr

vrši rad. Zavisno od toga da li data sila:

1) uzrokuje i podstiče kretanje tela (ima komponentu čiji je smer paralelan smeru pomeranja tela), ili 2)

ometa postojeće kretanje tela (ima komponentu čiji je smer suprotan od smera pomeranja tela) rad date

sile može imati pozitivnu ili negativnu vrednost.

Primer 1 – Slučaj pravolinijskog kretanja tela pod dejstvom konstantne sile ( constF =

r

).

U slučaju pravolinijskog kretanja tela pod dejstvom sile koja je konstantna kao vektor (intenzitet, pravac i smer sile su konstantni), učinak sile, tj. rad koji sila izvrši, određuje

se skalarnim proizvodom vektora sile ( Fr

) i vektora pomeraja tela:

θ∆∆∆∆ coscos rF))r,F((rFrFA =∠=⋅=r

r

r

r

,

gde je θ ugao između pravca vektora sile i pravca vektora pomeraja.

Navedeni slučaj ( constF =

r

) podrazumeva da se telo kreće pravolinijski u jednom smeru, pa važi: sr =

r

∆ ,

gde je s – put koji telo pređe tokom dejstva sile constF =

r

. Zato je u jednom delu udžbeničke literature

(naročito u literaturi za tehničke fakultete) prihvaćeno da se vektor pomeraja u tom slučaju može označiti i

kao: sr

, pa se onda za rad može pisati i:

sFcossF))s,F((cossFsFAs

==∠=⋅= θr

r

r

r

.

Veličina s

F je projekcija vektora sile Fr

na pravac vektora pomeraja, pa važi: θcosFFs= .

Rad je skalarna veličina. Vidi se da je merna jedinica za rad: Nm, što se naziva džul i označava

sa: J. Džul je jednak radu sile od 1 N na putu od 1m.

Obzirom na to da je intenzitet sile uvek pozitivna veličina, kao i pređeni put (važi: 0>= FF

r

i

0>= ss

r

), vrednost kosinusa ugla između pravaca vektora Fr

i vektora sr

određuje da li će rad date sile

imati nultu, pozitivnu ili negativnu vrednost. Važi sledeće:

Posmatrajmo primer prikazan na slici 1, gde sila Fr

uzrokuje kretanje tela. Ako se vektor Fr

razloži

na: komponentu s

F

r

duž pravca vektora pomeraja i komponentu n

F

r

normalnu na pravac pomeraja, onda s

F

r

predstavlja aktivnu komponentu sile Fr

, jer se u stvari pod njenim dejstvom telo kreće. Projekcija s

F u

navedenom primeru sa slike 1 ima pozitivnu vrednost i rad sile Fr

je pozitivan.

Ukoliko bi se pri kretanju tela posmatralo i

dejstvo sile trenja na dato telo (reč je o sili trenja pri

klizanju), onda bi se rad sile trenja mogao predstaviti

kao: sFsFcossFsFAtstttt

=−==⋅= π

r

r

. Treba

primetiti da projekcija vektora sile trenja na pravac

vektora pomeraja ima negativnu vrednost

( 0<−==tttsFcosFF π ). Rad sile trenja je negativan,

jer se sila trenja suprotstavlja uspostavljenom kretanju.

0>A za 2

0 πθ <≤ , jer je: 0>θcos

0=A (sila ne vrši rad) za 2πθ = , jer je: 0=θcos (npr. rad sile Nr

je uvek 0=N

A ).

0<A za πθπ ≤<2

, jer je: 0<θcos (npr. rad sile trenja je negativan).

sF

r

s

r

F

r

nF

r

θ

tF

r

Slika 1


2

Ukoliko u gornjem slučaju pravolinijskog jednosmernog kretanja tela koje prelazi put s, na telo deluje

sila rezF

r

koja predstavlja rezultantu više sila (npr. n sila), onda važi: ∑=

=

n

i

irezFF

1

rr

. Ako rad sile iF

r

obeležimo

sa i

A∆ , onda je: sFAii

r

r

⋅=∆ , pa sledi:

( ) ∑∑∑===

=⋅=⋅

=⋅=

n

i

i

n

i

i

n

i

irezAsFsFsFA

111

∆r

r

r

r

r

r

.

Ovde je u drugom koraku iskorišćeno pravilo distributivnosti za skalarni proizvod. Dakle, može se reći:

Rad je aditivna veličina. Rad rezultantne sile je jednak sumi radova pojedinačnih sila.

Primer 2 – Slučaj krivolinijskog kretanja tela pod dejstvom promenljive sile ( constF ≠

r

).

Posmatraćemo slučaj kada se kretanje tela može aproksimirati modelom kretanja materijalne tačke.

Krivolinijsku putanju (npr. od položaja 1 do položaja 2, kao na slici) možemo u mislima izdeliti na konačno

veliki broj vrlo malih delova (elemenata putanje), koji su dovoljno mali da se: a) oni mogu smatrati približno

pravolinijskim i b) vektor sile na tom deliću putanje može smatrati približno konstantnim (na i-tom deliću

putanje vektor sile ima neku vrednost iF

r

koja je približno ista u svim tačkama tog delića putanje). Put koji

telo pređe duž i-tog delića putanje se može označiti sa is∆ . Ako je

broj tih delića putanje n, onda važi: ∑=

=

n

i

iss

1

∆ .Pri tome je svaki

delić puta približno jednak intenzitetu vektora pomeraja od jednog

do drugog kraja tog delića: ( ) ( )trttrrsi

rrr

−+=≈ ∆∆∆ . Zato se

tada za vektor pomeraja, pored oznake r

r

∆ može koristiti i oznaka

is

r

∆ . Sila koja ima vrednost iF

r

na deliću puta is∆ , izvrši na tom

deliću puta rad i

A∆ i taj rad se može izraziti kao:

( )( )iiiiiii sFsFsFAr

r

r

r

∆∠∆=∆⋅≈∆ ,cos .

Ovde je iskorišćen izraz za rad konstantne sile na pravolinijskoj putanji, koji je dat u primeru 1. Znak

„približno“ je stavljen jer je sila iF

r

približno konstantna na deliću puta is∆ , a taj delić puta je približno

pravolinijski.

Ukupni rad promenljive sile na celoj krivolinijskoj putanji je jednak zbiru svih radova i

A∆ , što sledi

iz svojstva aditivnosti rada. Važi:

∑∑==

⋅≈=

n

i

ii

n

i

isFAA

11

r

r

∆∆ .

Ako broj delića na koji smo izdelili celu putanju teži beskonačnosti (n→∞), onda važi: 0→is

r

∆ , pa u tom

graničnom slučaju može da se piše:

∑∑ ⋅==

→

∞→

=

→ii

s

n

i

is

sFlimAlimAii

r

r

∆∆∆∆ 0

10

.

U stvari, granični slučaj, u kojem smo putanju izdelili na beskonačno mnogo (n→∞) infinitezimalno malih

delića, se svodi na pretpostavku da se umesto pomeraja isr

rr

∆≡∆ na takvom deliću puta može pisati

elementarni pomeraj: sdrdrr

≡ , pri čemu sila u toku tog elementarnog pomeraja izvrši elementarni rad:

sdFdAr

r

⋅=

1. Tada suma u prethodnom izrazu prelazi u integral. Dakle, ukupni rad sile F

r

na putu od

položaja 1 do položaja 2 se može izraziti kao:

( )( )sdFdsFsdFdAA

s

r

r

r

r

,cos

0

2

1

2

1

∠=⋅== ∫∫∫ .

1 Ovde bi bilo pravilnije koristiti oznaku δA umesto dA, jer veličina sdFr

r

⋅ nije uvek totalni diferencijal.

iF

r

is

r

∆

( )trr

( )ttr ∆+

r

0→t∆

1

2

Slika 2


3

Grafički prikaz rada

Na slici sa desne strane je dat grafički prikaz zavisnosti

intenziteta komponente sile u pravcu elementarnog pomeraja (s

F ) od

pređenog puta, za slučaj promenljive sile. Pošto po definiciji

elementarnog rada (na deliću puta ds) važi: dsFdAs

= , onda je taj

elementarni rad brojno jednak površini osenčenog pravougaonika

širine ds i visine s

F . Sabiranjem svih takvih površina na putu s , od

tačke 1 do tačke 2, dobija se ukupan rad na putu s i taj rad je brojno

jednak celokupnoj osenčenoj površini ispod krive zavisnosti ( )sfFs= .

Različiti ekvivalentni izrazi za elementarni rad:

Ako se u izraz koji definiše elementarni rad rezultujuće spoljašnje sile: sdFdAex

rez

exr

r

⋅= , uvrsti izraz za

silu prema osnovnom zakonu dinamike (II Njutnovom zakonu): dtpdF ex

rez

r

r

= , dobija se:

υ

rr

r

r

r

rr

r

r

r

⋅=⋅=⋅=⋅=⋅= pddt

rdpd

dt

sdpdsd

dt

pdsdFdA ex

rez

ex

.

Sledi da se ukupni rad, na putu od položaja 1 do položaja 2, može izraziti i kao:

∫∫ ⋅==

2

1

2

1

pddAAexex

rr

υ ,

gde je υr

brzina tela. Rad zavisi od izbora koordinatnog sistema u odnosu na koji se posmatra kretanje tela.

Napomena: Treba imati u vidu da sila vrši mehanički rad i u slučaju kada pod njenim dejstvom telo (ili deo

tela) menja oblik. I u tom slučaju za ukupan rad važi izraz: ∫∫∫ ⋅=⋅==

2

1

2

1

2

1

pdsdFdAArrr

r

υ . Pri tome, dA

predstavlja elementarni rad koji se izvrši pri pomeranju nekog delića tela, a ukupan rad se dobija

integracijom po svim delićima tela (različiti delići mogu imati različito elementarno pomeranje, a i sila koja

vrši pomeranje datog delića se može razlikovati od delića do delića).

Neki primeri proračuna rada

Rad gravitacione sile

Primer 1: Rad gravitacione sile pri horizontalnom pomeranju tela mase m, iz

položaja 1 u položaj 2 (videti sliku sa desne strane), je jednak nuli. Važi:

02

0

2

1

2

1

==⋅=⋅= ∫∫∫=hs

gg dsπ

cosmgsdgmsdFArrr

r

Primer 2:

a) Rad gravitacione sile pri pomeranju tela mase m vertikalno naviše, iz položaja 1

u položaj 2, je negativan i iznosi: mgh−2. Važi:

0

000

2

1

2

1

<−=−=−==⋅=⋅= ∫∫∫∫∫===

mghdsmgdsmgdscosmgsdgmsdFA

hshshs

gg π

rrr

r

2 Razmatrani primer se odnosi i na slučaj kada se telo kreće vertikalno naviše usled dejstva neke vučne sile i na slučaj kada je telo bačeno

vertikalno naviše nekom početnom brzinom.

sF

s

s

A

dA

ds1 2

Slika 3

N

r

trF

rvuč

Fv

1 2

gmr

Slika 4

gmr

1

2

h a) sdr

: ↑

b) sdr

: ↓

Slika 5


4

b) Rad gravitacione sile pri vertikalnom spuštanju tela mase m iz položaja 2 u položaj 1 (npr. pri slobodnom padu) je

pozitivan i iznosi: mgh . Važi:

00

000

1

2

1

2

>====⋅=⋅= ∫∫∫∫∫===

mghdsmgdsmgdscosmgsdgmsdFA

hshshs

gg

rrr

r

Primer 3:

a) Rad gravitacione sile pri podizanju tela mase m duž strme ravni, iz

položaja 1 u položaj 2 (telo se podiže usled dejstva neke vučne sile Fr

) je negativan i iznosi: mgh− . Važi:

b) Rad gravitacione sile pri spuštanju tela mase m niz strmu ravan, iz položaja 2 u položaj 1 je pozitivan i iznosi: mgh .

Iz primera 2 i 3 sledi da: • ukoliko je došlo do podizanja tela na položaj koji je od početnog položaja viši za neko h, onda je rad gravitacione

sile negativan i iznosi 0<−= mghAg , nezavisno od konkretne putanje tela.

• ukoliko je došlo do spuštanja tela na položaj koji je od početnog položaja niži za neko h, onda je rad gravitacione

sile pozitivan i iznosi 0>=mghAg

, nezavisno od konkretne putanje tela.

Rad sile reakcije podloge

Bez obzira na to da li je nagib podloge jednak nuli ili ne (u odnosu na horizontalni pravac), uvek važi:

02

00

2

1

===⋅= ∫∫∫ss

NcosdsN)sd,Ncos(dsNsdNA

πr

r

r

r

.

Rad sile trenja pri klizanju

Smer sile trenja je uvek suprotan od smera kojim se telo kreće u odnosu na posmatranu površinu. Sledi da za proizvoljan

slučaj kretanja tela (npr. kretanje prikazano na slici 1 i na slici 3) važi:

0

0000

2

1

<−=−===⋅= ∫∫∫∫∫ss

tr

s

tr

s

trtrtrtrdsNdsFcosdsF)sd,Fcos(dsFsdFA µπ

r

r

r

r

.

Rad sile elastičnosti

Sila elastičnosti3 je suprotno usmerena od smera porasta deformacije (npr. smera istezanja, ili smera sabijanja). Intenzitet

ove sile je proporcionalan brojnoj vrednosti deformacije, tako da pri sabijanju ili istezanju za l∆ važi: lkFe

∆=

r

. Rad sile

elastičnosti se tada može predstaviti kao:

2

2

00000

2

1

)l(kdxxkdxkxdsFcosdsF)sd,Fcos(dsFsdFA

lls

e

s

e

s

eeeFe

∆π

∆∆

−=−=−=−===⋅= ∫∫∫∫∫∫r

r

r

r

Treba primetiti da je rad sile elastičnosti uvek negativan.

3 O sili elastičnosti, kao i o elastičnim deformacijama tela uopšte, će biti više reći u jednom od sledećih poglavlja.

0

2

00

0

2

1

2

1

<−=−=−=−

=+=⋅=⋅=

∫∫

∫∫∫

mghssinmgdssinmgdssinmg

ds)cos(mgsdgmsdFA

ss

s

gg

θθθ

θπrrr

r

02

000

1

2

1

2

>====−=⋅=⋅= ∫∫∫∫∫ mghsθsinmgdsθsinmgdsθsinmgds)θπ

cos(mgsdgmsdFA

sss

gg

rrr

r

trF

r

1

F

r

m

hµ

θ

2

gmr

N

r

a) sdr

:

b) sdr

:

Slika 6


5

SNAGA

Snaga je fizička veličina koja ukazuje na efekat vršenja rada. Može se reći:

Srednja snaga je brojno jednaka radu koji se izvrši u jedinici vremena:

t

APsr

∆= .

Snaga je, kao i rad, skalarna veličina. Merna jedinica za snagu je vat: 1 W= 1 J/s.

Ukoliko se srednja snaga posmatra u beskonačno malom vremenskom intervalu, onda se ona svodi na

trenutnu snagu. Može se reći:

Trenutna snaga je brojno jednaka brzini vršenja rada od strane sile4:

υ

r

r

r

r

r

r

r

r

⋅=⋅=⋅=

⋅

== Fdt

rdF

dt

sdF

dt

sdF

dt

dAP .

Rad se može predstaviti i preko obrasca:

∫=2

1

t

t

PdtA.

NEKONZERVATIVNE I KONZERVATIVNE SILE

Konzervativne sile

Sila je konzervativna ako ispunjava svako od sledećih tvrđenja:

1. Sila Fr

, koja deluje na telo, zavisi samo od položaja tela i za dati položaj tela se ne menja u

vremenu. Ova sila ne zavisi od brzine tela.

2. Vektor sile Fr

se može izraziti u obliku: ( )kjiFz

E

y

E

x

Eppp

rrrr

∂

∂

∂

∂

∂

∂

++−= ,

gde je p

E skalarna veličina koja zavisi samo od položaja tela;

3. Rad sile ne zavisi od oblika putanje koju telo prelazi, već samo od

početnog i krajnjeg položaja tela (2121 ba

AA = ). Iz toga proizilazi da

je rad te sile po zatvorenoj putanji jednak nuli: ∫ =⋅= 0121

sdFAr

r

;

Jedan od primera konzervativnih sila su centralne sile. Centralne sile deluju duž radijalnih

pravaca koji se seku u jednoj nepokretnoj tački u prostoru. Ta tačka se naziva centar sile. Centralna sila može

imati smer ka centru sile, ili od njega. Intenzitet centralne sile zavisi samo od rastojanja napadne tačke sile od

izvora sile, pa važi: ( )0rrFFr

r

⋅= , gde je r rastojanje napadne tačke sile od izvora sile, a 0r

v

je jedinični vektor u

radijalnom pravcu. Na donjim slikama je šematski prikazano polje privlačne centralne sile (leva sl.) i polje

odbojne centralne sile (desna sl.). U centralne sile spada npr.: 1) gravitaciona sila i 2) Kulonova sila

elektrostatičke interakcije, koja se javlja između dva tačkasta naelektrisanja.

4 Može se poći i od izraza pddArr

⋅=υ , odakle sledi: υυ

υ r

rr

r

rr

⋅=⋅=

⋅

== FFdt

pd

dt

dAP

1

2a

b

Slika 7

F

r

F

r

F

r

F

r

F

r

F

r

F

r

F

r

0r

r

0r

r

Slika 8a

F

r

F

r

F

r

F

r

F

r

F

r

F

r

F

r

0r

r

0r

r

Slika 8b


6

Nekonzervativne sile

Sile čiji rad zavisi od puta na kojem deluju su nekonzervativne sile. Primer za nekonzervativne

sile su tzv. disipativne sile. Te sile imaju isti pravac kao vektor relativne brzine tela u odnosu na sredinu u

kojoj se telo kreće, ali imaju suprotan smer od smera vektora relativne brzine tela. Intenzitet ovih sila je

određen izrazom oblika: υkFr

r

−= , gde je k - pozitivna skalarna veličina koja može biti funkcija brzine tela i

može zavisiti od svojstava sredine kroz koju se telo kreće. Primer disipativnih sila su sile trenja (uključujući i silu otpora sredine).

Polje sila

Ako na česticu u svakoj tački prostora deluje neka određena sila (u smislu jednog tipa sile, kao što je

npr. sila Zemljine teže), onda skup vektora te sile u svakoj tački prostora nazivamo poljem te sile i kažemo da se

telo nalazi u polju date sile. Fizičko polje je realni geometrijski prostor u kojem se odvijaju fizički procesi. U

opštem slučaju, vektorsko polje neke sile može zavisiti i od prostornih koordinata i od vremena. Polje onih sila

koje se ne menjaju sa vremenom (stacionarnih sila) je stacionarno polje. Polje konzervativne sile se zove potencijalno polje.

POJAM ENERGIJE. MEHANIČKA ENERGIJA TELA

Energija je skalarna fizička veličina koja se može smatrati merom različitih oblika kretanja materije.

U fizici se izučavaju različite forme kretanja materije, pa se za njih uvode i odgovarajuće vrste energije:

mehanička, toplotna, hemijska, električna i dr. Sve ove vrste energija se u suštini mogu svesti na tri osnovna

tipa: gravitacionu, elektromagnetsku i nuklearnu energiju.

Ako se telo nalazi u nekom potencijalnom polju i/ili ako ima nenultu brzinu (u datom koordinatnom

sistemu), onda to telo, zahvaljujući svom položaju u datom potencijalnom polju i/ili zahvaljujući brzini koju

ima, raspolaže nekom energijom koju nazivamo »mehanička energija« tela.

Na račun energije koju ima, telo može izvršiti rad delujući silom na druga tela, pa se može reći:

Energija je mera sposobnosti tela da izvrši rad.

Pri tome važi:

Mehanička energija je mera sposobnosti tela da izvrši rad usled toga što ima određeni

položaj u nekom potencijalnom polju i/ili usled toga što ima neku brzinu.

Osnovni oblici mehaničke energije tela su: a) tzv. kinetička energija tela, koja je određena impulsom tela

(količinom kretanja tela) i b) potencijalna energija tela, koja je određena položajem tela u polju neke

konzervativne sile. Ukupna mehanička energija tela se može predstaviti kao zbir kinetičke i potencijalne

energije tela. Takođe, ukupna mehanička energija sistema tela je jednaka zbiru kinetičkih i potencijalnih

energija svih tela u sistemu.

Sa druge strane važi:

Rad, koji neka spoljašnja sila izvrši pri pomeranju tela ili sistema tela, dovodi do promene energije tog tela (sistema), tj. menja neki od oblika energije tela (sistema), za onoliki iznos

kolika je vrednost izvršenog rada.

Sledi zaključak da je rad uvek jednak promeni nekog oblika energije tela, ili datog sistema tela. Onda je logično da se energija i rad izražavaju istom mernom jedinicom. Međutim, iako su dimenziono

jednaki, energija i rad se kvalitativno razlikuju. Možemo reći da telo ima neku energiju, ali ne možemo reći

da to telo ima neki iznos rada. Rad, kao fizička veličina, karakteriše proces u kojem: 1) energija datog tela

prelazi iz jednog oblika u drugi, ili 2) telo razmenjuje energiju sa okolinom, odnosno sa drugim telima.

KINETIČKA ENERGIJA TELA

Kinetička energija je energija koju telo ima usled toga što poseduje neku brzinu, odnosno neki impuls.

Može se reći i:

Kinetička energija je mera sposobnosti tela da izvrši rad usled toga što se to telo kreće.


7

Npr. ukoliko razmatramo samo horizontalne vodene tokove i horizontalna strujanja vazdušnih masa,

onda možemo reći da oni pri delovanju na neka druga tela vrše rad zahvaljujući svom impulsu, odnosno

zahvaljujući svojoj kinetičkoj energiji (voda pomera kamenje sa dna reke, ili okreće točak vodenice, vetar

okreće krake vetrenjače...).

Sa druge strane, u okviru II Njutnovog zakona se ističe da se dejstvo rezultujuće spoljašnje sile ( ex

rezF

r

)

na telo mase m manifestuje u promeni brzine tela. Rad koji pri tome vrši ta sila se ulaže u promenu brzine

tela, a mera tog uloženog rada je promena kinetičke energije tela. Matematički izraz za kinetičku energiju se

upravo dobija iz izraza za elementarni rad rezultujuće spoljašnje sile pod čijim se dejstvom telo kreće nekom

brzinom. Naime, matematički izraz za elementarni rad sile ex

rezF

r

je:

pddAexrr

⋅=υ

i on se u slučaju kada je masa tela konstantna svodi na5:

( ) ( ) ( ) ( )22

1

2

1 222/mddmdmdmmddA

ex

υυυυυυυ ====⋅=

rrrrr

⇒ ( )22υmddA

ex

= .

Pošto elementarni rad mora biti jednak elementarnoj promeni nekog oblika energije, onda veličina koja je

prikazana u zagradi (u poslednjem obrascu) predstavlja neki oblik energije koji zavisi od brzine tela. To je zapravo kinetička energija tela. Važi:

22/mE

kυ= .

Matematički izraz za kinetičku energiju tela ukazuje da ona zavisi od brzine tela i od inercijalnih svojstava

tela. Merna jedinica je: kg⋅m2/s2 = N⋅m = J. Pošto vrednost brzine tela zavisi od izbora referentnog

koordinatnog sistema, onda i vrednost kinetičke energije tela zavisi od toga. Opštiji izraz za kinetičku energiju se dobija kada se ona izrazi preko impulsa tela. Važi:

⇒=⇒=222

υυ mpmp m/pEk

22

= .

Integracijom izraza ( )22υmddA

ex

= , na putu od položaja 1 do položaja 2, dobija se: ∫∫ =

2

1

2

1

k

exdEdA , odnosno:

kkk

exE

mmEEA ∆

υυ=−=−=

22

2

1

2

2

1212

⇒ k

exEA ∆=

Rad rezultantne spoljašnje sile koja deluje na neko telo jednak je promeni kinetičke energije

tog tela.

Posmatrajmo slučaj kada je: 01=

kE i 2

2

2/mE

kυ= . Tada je:

ex

kkAEE

12

02

=−=∆ ⇒ ex

kAE

122= .

Zaključujemo:

Kinetička energija tela je brojno jednaka radu koji izvrši sila da bi uočeno telo ubrzala na

nekom putu, tako da iz stanja mirovanja pređe u stanje sa brzinom υ.

Ako je rezultantna sila na telo jednaka nuli (slučaj izolovanog tela), onda je njen rad jednak nuli, pa važi:

constEEAkk

ex=⇒=⇒= 00 ∆

Kinetička energija izolovanog tela (materijalne tačke) ostaje konstantna.

POTENCIJALNA ENERGIJA TELA

Ispostavlja se da telo može imati mehaničku energiju i kada mu je brzina jednaka nuli, ukoliko se

nalazi u polju konzervativne sile. Tada se mehanička energija tog tela svodi na tzv. potencijalnu energiju.

5 Važi: ( ) ( ) υυυυυυυυυυυυυ

rrrrrrrrrrrrr

ddddddd ⋅=⋅+⋅=⋅+⋅=⋅= 22 . Sledi: ( ) 2

2/dd υυυ

rrr

=⋅ .

Takođe važi: 22

0 υυυυυυ =⋅⋅=⋅= cos

rrr

, pa sledi: ( ) ( )22υυ dd =

r

.


8

Potencijalna energija je energija koju telo ima usled toga što se nalazi na nekom

određenom položaju u polju konzervativne sile (npr. u polju gravitacione sile, ili u polju elastične sile, kao i u električnom polju ili magnetnom polju...).

Reč je zaparavo o položaju tog tela u odnosu na položaj drugog tela sa kojim interaguje u pomenutom polju. Prema datoj definiciji, potencijalna energija zavisi samo od položaja tela u potencijalnom polju i

predstavlja neku funkciju prostornih koordinata, pa je možemo obeležiti kao: ( )rEp

r

, tj. kao ( )z,y,xEp

.

Npr., telo neke mase, koje se nalazi u stanju mirovanja na nekoj visini h iznad Zemlje (u

gravitacionom polju Zemlje, gde postoji konzervativna gravitaciona sila između tela i Zemlje) ima energiju

koja se svodi samo na potencijalnu energiju, u odnosu na neki referentni (nulti) nivo. Na račun smanjenja te

potencijalne energije, telo može izvršiti rad nad nekom drugim telima. Npr. ako pri pri kretanju vodenih

tokova i vazdušnih masa, dolazi i do njihove visinske promene (u polju gravitacione sile Zemlje), onda oni pri

delovanju na neka druga tela (npr. na lopatice vodenice ili vetrenjače) vrše rad, ne samo zahvaljujući svojoj

kinetičkoj energiji, već i svojoj potencijalnoj energiji.

Takođe, opruga može imati potencijalnu energiju samo ako je elastično deformisana pod uticajem

nekog drugog tela, tj. ako se nalazi u polju elastične sile. Tada opruga deluje na to telo elastičnom

konzervativnom silom i obrnuto (telo deluje na oprugu silom istog intenziteta i pravca, a suprotnog smera).

Pri tome, elastično deformisana opruga raspolaže nekim iznosom potencijalne energije zbog svog položaja u

odnosu na položaj nedeformisane opruge. Zahvaljujući tome, elastično deformisana opruga može izvršiti neki

rad nad telom koje je zakačeno za nju (npr. ako sabijenu oprugu pustimo, ona će težiti da se vrati u ravnotežni

položaj i pri tome će gurati telo koje je zakačeno za nju). Zato se može reći sledeće:

Potencijalna energija je mera sposobnosti tela da izvrši rad zahvaljujući svom položaju u polju konzervativne sile.

Izraz za potencijalnu energiju se upravo i dobija pri razmatranju elementarnog rada konzervativne

sile pri pomeranju nekog tela. Naime, rečeno je da potencijalna energija zavisi samo od položaja tela u polju

date konzervativne sile. Sa druge strane, rad konzervativnih sila zavisi samo od početnog i krajnjeg položaja

tela i može se predstaviti kao negativna promena neke skalarne fizičke veličine koja zavisi od položaja tog tela

u polju date konzervativne sile. Sledi da ta veličina mora biti potencijalna energija tela.

( ) ppp

Ep

Ep

p

r

r

exkonz

exkonz

exkonz EEEdErdFdAA ∆−=−−=−=⋅== ∫∫∫ 12

2

1

12

2

1

2

1

r

r

.

Može se reći da se rad konzervativne sile vrši na račun smanjenja potencijalne energije tela, ( )rEp

, pri

pomeranju tela od položaja definisanog sa 1r

r

do položaja definisanog sa 2r

r

, u polju neke konzervativne sile.

Dakle važi:

pexkonz dEdA −= 6 i p

exkonz EA ∆−=

Rad konzervativnih sila je jednak negativnoj promeni potencijalne energije tela.

Posmatrajmo slučaj kada je 01 =pE . Tada je: ( ) ex

konzppp AEEE =−=−−=−22

0∆ ⇒ exkonzp AE −=

2

.

Zaključujemo:

Potencijalna energija tela u nekom položaju u polju konzervativne sile, brojno je jednaka negativnoj vrednosti rada koji izvrši ta konzervativna sila pri premeštanju datog tela iz

položaja nulte potencijalne energije do tog uočenog položaja, bez promene brzine tog tela.

Za razliku od kinetičke energije tela, za koju postoji jasan matematički izraz, koji je povezuje sa

masom tela i kvadratom brzine tela, za potencijalnu energiju nema opšteg izraza, već konkretni oblik izraza

za potencijalnu energiju zavisi od:

a) tipa konzervativnih sila koje deluju (npr. gravitaciona sila, sila elastičnosti, ili Kulonova sila, itd.)

b) izbora nultog (referentnog) nivoa potencijalne energije.

U vezi konstatacije pod b) može se reći da potencijalna energija nije jednoznačno određena, već je određena

do neke proizvoljne konstante. Naime, vrednost aditivne konstante u izrazu za potencijalnu energiju zavisi od

izbora referentnog nivoa koji se uzima kao nivo na kojem je potencijalna energija jednaka nuli.

U primerima koji su dati u daljem tekstu, prikazano je izvođenje izraza za potencijalnu energiju tela u

polju gravitacione sile (za dva različito izabrana referentna nivoa), kao i izvođenje izraza za potencijalnu

energiju elastično deformisane opruge.

6 Ovde dA jeste totalni diferencijal, jer je sila konzervativna.


9

Primeri proračuna potencijalne energije tela

Primer 1 - potencijalna energija tela u gravitacionom polju

U tekstu ispod su izvedeni izrazi za potencijalnu energiju tela koje se nalazi u polju gravitacione sile Zemlje,

na visini h iznad površine Zemlje, ako se referentni (nulti) nivo izabere: a) u beskonačnosti i b) na površini

Zemlje.

a) Referentni nivo za gravitacionu potencijalnu energiju je u beskonačnosti

Posmatramo telo mase m, koje se nalazi u tački P, na rastojanju r

od centra Zemlje (telo se nalazi u gravitacionom polju Zemlje). Treba da

odredimo njegovu potencijalnu energiju u tom polju. Logično je

pretpostaviti da je gravitaciona potencijalna energija jednaka nuli onda

kada je gravitaciona sila između tela jednaka nuli, a to znači onda kada su

tela na beskonačnoj međusobnoj udaljenosti. Zato razmatramo opciju

kada je referentni (nulti) nivo za pE stavljen u beskonačnost.

Po Njutnovom zakonu opšte gravitacije, Zemlja mase Mz privlači telo

mase m gravitacionom silom koja se može predstaviti kao:

02r

r

mMF

z

g

r

r

γ−= .

Ta gravitaciona sila pri pomeranju tela mase m po elementarnom putu

rdr

, usmerenom od Zemlje ka telu, izvrši elementarni rad:

drr

mMrdr

r

mMrdFdA

zzgkonz 202

γγ −=⋅−=⋅=

rrr

r

. (jer je: 0rrdrr

i važi: ( ) rdrd,rcosrdrrdr ==

rrrrrr

000).

Gravitaciona sila je konzervativna, a elementarni rad konzervativnih sila je jednak negativnoj vrednosti

elementarne promene potencijalne energije, pa važi: pkonz dEdA −= . Sledi: 2

r

rdmMEd

zpγ= .

Pri pomeranju tela od položaja gde je: hRrz+= do položaja gde je: ∞→r , potencijalna energija tela se

menja od neke vrednosti pE koju treba da odredimo, do nulte vrednosti. Onda sledi:

∫∫∞

=

r

z

E

p drr

mMγdE

p

2

0

−=∫ xx

xd:jegde

1

2

Konačno se za potencijalnu energiju tela koje ima nultu potencijalnu energiju u beskonačnosti dobija:

r

mM

rmM

rmME

z

z

r

zp γγγ =

−

∞−=

−=−

∞

111 ⇒

r

mME

z

pγ−= ⇒

r~E

p

1− .

U ovde razmatranom slučaju je: hRrz+= , pa može da se piše i:

( )hR

mME

z

z

p

+

−= γ .

Grafik zavisnosti gravitacione potencijalne energije tela od rastojanja

Gravitaciona sila je privlačna (važi: 0<F , što je istaknuto znakom

»minus« u formuli za silu opšte gravitacije).

Gravitaciona potencijalna energija tela mase m, u gravitacionom

polju tela M, je negativna i obrnuto je proporcionalna

međusobnom rastojanju tela između kojih se javlja gravitaciona

sila ( r/~Ep

1− ).

Grafik zavisnosti gravitacione potencijalne energije tela m (u polju

tela M) od rastojanja, je oblika kao na slici desno, gde je r

rastojanje izmedju centara tela m i M.

1 1

0r

r

zM

m

PgF

r

h

r

zR

Slika 9

F < 0

Ep < 0

r

pE

Slika 10


10

b) Referentni nivo za gravitacionu potencijalnu energiju je na površini Zemlje

Pri pomeranju tela od položaja na površini Zemlje do položaja za koji važi: hRrz+= , potencijalna energija

tela se menja od nulte vrednosti do neke vrednosti pE koju treba da odredimo. Iz gore izvedene

relacije,2

r

rdmMEd

zpγ= , sledi:

∫∫+

=

hR

R

z

E

p

z

z

p

r

rdmMEd

2

0

γ

−=∫ xx

xd:jegde

1

2

Sledi: ( )

+

=

+

⋅=+

=

−

+−=

−=

+

zz

z

z

zz

z

zz

z

hR

R

zp

R

h

mgh

R

h

mh

R

M

hRR

hmM

RhRmM

rmME

z

z 11

111

2γγγγ

Ako je z

Rh<< , onda je 1<<z

Rh , pa se dobija: mghEp≈

.

Zaključak na osnovu slučajeva a) i b):

Dobili smo da se vrednost gravitacione potencijalne energije jednog istog tela u jednom istom

položaju u gravitacionom polju Zemlje (na rastojanju r od centra Zemlje) razlikuje, zavisno od toga gde smo

postavili nulti (referentni) nivo za proračun p

E . Međutim, pri rešavanju problema u oblasti dinamike, uvek je

zapravo jedino bitna promena (razlika) potencijalne energije nekog tela koja se javlja usled delovanja sile, a ta

promena ne zavisi od izbora referentnog nivoa.

Promena potencijalne energije tela pri pomeranju tela iz jednog konkretnog položaja u drugi je uvek ista (za data dva položaja), bez obzira na to gde postavimo nulti (referentni) nivo za

proračun p

E tela.

Npr., pri pomeranju tela iz položaja koji se nalazi na visini h (u odnosu na površinu Zemlje) u položaj na

površini Zemlje, dobijamo:

a) u slučaju da je referentni nivo za proračun p

E u beskonačnosti:

( )( )

( ) ( )mgh

R

hh

R

mM

R

hR

mhMhRR

mhMhRR

hmM

hRR

hRRmM

RhRmM

R

mM

hR

mMEEE

z

z

z

z

z

z

zz

z

zz

z

zz

zz

z

zz

z

z

z

z

z

ppp

=

+

=

+

=

+=

+

−−=

=

+

+−−=

−

+−=

−−

+−=−=

1

1

1

11

11

2

2

12

γγγγ

γγγγ∆

b) u slučaju da je referentni nivo za proračun p

E na površini Zemlje:

mghmghEEE ppp =−=−= 012∆ .

Napomena: Kada se posmatra kretanje onih tela koja se nalaze u blizini površine Zemlje, uglavnom se za

gravitacionu potencijalnu energiju tela koristi izraz mghEp= , koji se dobija ako se nulti nivo za proračun

pE stavi na površinu Zemlje. Međutim, treba primetiti da ovaj izraz važi i ako se za nulti (referentni) nivo ne

izabere površina Zemlje, već se izabere nivo na nekoj visini H iznad površine Zemlje, ali tako da je taj nivo

paralelan sa tangentnom ravni na površinu Zemlje u datoj tački. Tada veličina h u izrazu mghEp=

predstavlja visinski položaj tela u odnosu na taj novi nivo.

Primer 2 - potencijalna energija elastično deformisane opruge

Sila elastičnosti, koja se javlja npr. pri elastičnoj deformaciji (izduženju ili sabijanju) opruge, je

konzervativna sila. Zato je rad sile elastičnosti jednak negativnoj promeni potencijalne energije elastično

g=


11

deformisane opruge. Pošto elastično deformisana opruga ima potencijalnu energiju uzrokovanu

deformacijom, onda i telo koje je zakačeno za slobodni kraj opruge takođe raspolaže (bar) takvom istom

potencijalnom energijom (telo može raspolagati i dodatnom potencijalnom energijom koja potiče od njegovog

položaja u gravitacionom polju Zemlje).

Posmatrajmo slučaj tela zakačenog za horizontalnu oprugu, čiji

je drugi kraj fiksiran. Neka se deformacija opruge vrši duž

horizontalnog pravca, tj. duž x ose, tako da pri istezanju opruge važi:

xdsdrr

= . Neka je nulti nivo za potencijalnu energiju postavljen u

položaj nulte deformacije opruge. Tada važi:

( ) xdkxdxFcosxdFxd,FcosxdFxdFAdEdeeeeepe

−=−===⋅==− π

r

r

r

r

⇒ ∫−=

x

0

pe dxxkE ⇒ 2

2kx

Epe= ,

gde je x deformacija opruge (istezanje ili sabijanje).

Potencijalna energija elastično deformisane opruge (peE ) se zove još i energija elstične deformacije

opruge, pa se obeležava i sa edefE .

KINETIČKA I POTENCIJALNA ENERGIJA SISTEMA

OD DVA ILI VIŠE TELA

Ukoliko posmatramo sistem koji se sastoji od n tela, onda je za promenu brzina tih tela potrebno

uložiti odgovarajući rad za svako od tih tela, pa će kinetička energija sistema biti jednaka zbiru kinetičkih

energija svih tela u sistemu: ∑∑==

==

n

i

ii

n

i

ikk

mEE

1

2

12

υ

(kinetička energija je aditivna veličina).

U slučaju sistema tela, leva strana ranije pomenutog matematičkog izraza za elementarni rad,

( )22/mddA υ= , se odnosi na elementarni rad rezultante svih unutrašnjih i spoljašnjih sila koje deluju na taj

sistem: ( )exintdAdAdA += . Integracijom na putu od položaja 1 do položaja 2, se dobija:

( ) ∫∫ =+

2

1

2

1

k

exintdEdAdA , odnosno:

22

2

1

2

2

121212

υυ mmEEAA

kk

intex−=−=+ ⇒ k

intexEAA ∆=+

Promena kinetičke energije sistema tela u toku nekog intervala vremena je jednaka zbiru

radova svih unutrašnjih i spoljašnjih sila koje deluju na sistem u tom intervalu.

Promena kinetičke energije izolovanog sistema tela (sistema za koji je rezultanta spoljašnjih sila jednaka nuli) je jednaka radu svih unutrašnjih sila za taj sistem.

Treba imati u vidu da kada govorimo o radu konzervativnih sila kod sistema od n tela, onda možemo

govoriti o radu svih spoljašnjih konzervativnih sila i o radu svih unutrašnjih konzervativnih sila za taj sistem,

pa je: int

konz

ex

konzkonzdAdAdA += , tj. int

konz

ex

konzkonzAAA += . Pri tome je ukupna potencijalna energija sistema

jednaka zbiru potencijalne energije sistema u spoljašnjim fizičkim poljima i unutrašnje potencijalne energije

sistema. Dakle, za sistem tela važi:

pintkonz

exkonz EAA ∆−=+ ,

odnosno, može se reći:

Rad svih konzervativnih sila (i unutrašnjih i spoljašnjih konzervativnih sila) koje deluju na sistem tela je jednak negativnoj promeni ukupne potencijalne energije sistema.

eF

r

( )oprugeistezanjex

0=x

osax

ravnotežni

položaj sistema zid

xdr

Slika 11


12

ZAKON ODRŽANJA MEHANIČKE ENERGIJE I ZAKON ODRŽANJA UKUPNE ENERGIJE

Slučaj kada i konzervativne i nekonzervativne sile deluju na telo i vrše rad

U opštem slučaju, na telo deluju i konzervativne i nekonzervativne sile.

Pošto je rad aditivna fizička veličina, onda je ukupan rad u pomenutom opštem slučaju jednak zbiru

radova konzervativnih i nekonzervativnih sila:

ex

nekonz

ex

konz

exAAA +=

Možemo poći od ranije izvedenih tvrđenja:

• da je ukupni rad svih sila koje deluju na dato telo jednak promeni kinetičke energije tog tela:

k

exEA ∆= i

• da je rad svih konzervativnih sila koje deluju na dato telo jednak negativnoj promeni potencijalne

energije tog tela: pexkonz EA ∆−= .

Ako se poslednje dve relacije zamene u jednačini: ex

nekonz

ex

konz

exAAA += , dobija se:

exnekonzpk AEE +−= ∆∆

⇒ ( )pkpkexnekonz EEEEA +=+= ∆∆∆

⇒ 12 mehmehmeh

ex

nekonz EEEΔA −==

Ako na telo deluju nekonzervativne sile7, promena mehaničke energije tog tela

jednaka je radu nekonzervativnih sila.

Znači da ukoliko na telo deluju nekonzervativne sile, ukupna mehanička energija tela nije konstantna. Tada

deo mehaničke energije tela prelazi u neki drugi oblik energije, npr. u toplotu.

Slučaj kada samo konzervativne sile deluju na telo i vrše rad

U slučaju kada su konzervativne sile jedine sile koje vrše rad nad datim telom, možemo pisati: ex

konz

exAA = , tj. 0=

ex

nekonzA . Iz te konstatacije i relacije meh

ex

nekonz EΔA = , koja je izvedena u prethodnom

pasusu, sledi da tada važi:

0=mehEΔ ,

tj. da je ispunjeno:

constEmeh = .

U stvari, tada je promena kinetičke energije tela jednaka negativnoj promeni potencijalne energije tela:

.EE pk ∆∆ −=

Dakle, može se reći:

U slučaju kada su konzervativne sile jedine sile koje pri dejstvu na dato telo vrše

rad, promena ukupne mehaničke energije tela je jednaka nuli, tj. ukupna mehanička energija se održava konstantnom.

Poslednje tvrđenje izražava zakon o održanju mehaničke energije (ZOME). Može se reći i:

Ukupna mehanička energija tela na koje deluju samo konzervativne sile se ne menja u toku vremena.

Konzervativne sile su i dobile ime po tome što očuvavaju (konzerviraju) mehaničku energiju.

7 Ovo se odnosi i na slučaj kada na telo deluju samo nekonzervativne sile i na slučaj kada na telo pored nekonzervativnih deluju i

konzervativne sile.


13

Slučaj kada i konzervativne i nekonzervativne sile deluju na sistem tela i vrše rad

U slučaju kada se posmatra sistem tela, onda se i pod konzervativnim silama i pod nekonzervativnim

podrazumevaju ne samo spoljašnje sile koje deluju na sistem, već i unutrašnje sile (sile koje deluju unutar

sistema, između tela u njemu). Sledi da za sistem tela važi:

meh

int

nekonz

ex

nekonz EΔAA =+ .

Slučaj kada samo konzervativne sile deluju na sistem tela i vrše rad

U slučaju kada su konzervativne sile jedine sile koje vrše rad nad datim sistemom tela (spoljašnje

sile) i jedine sile koje vrše rad u okviru datog sistema tela (unutrašnje sile za sistem), možemo pisati:

0=ex

nekonzA i 0=int

nekonzA . Onda, iz gornje relacije: meh

int

nekonz

ex

nekonz EΔAA =+ sledi da tada za sistem važi:

0=mehEΔ ,

tj. sledi da je tada za sistem kao celinu ispunjeno:

constEmeh = .

Dakle, ukoliko na telo ili sistem tela deluju samo konzervativne sile, može doći do pretvaranja

kinetičke energije tela (sistema) u potencijalnu energiju tela (sistema) i obrnuto, ali se pri tome ukupna

mehanička energija održava konstantnom. Takav je slučaj npr. 1) kod slobodnog pada tela, ili kod oscilovanja

klatna uz pretpostavku da se sila otpora vazduha može zanemariti, kao i 2) kod oscilovanja tela zakačenog za

oprugu koja se nalazi na horizontalnoj glatkoj podlozi, ili 3) kod spuštanja tela niz glatku strmu ravan ili

drugu glatku podlogu proizvoljnog oblika pri čemu ta podloga zaklapa neki ugao sa horizontalom (činjenica

da je podloga glatka ukazuje da je dejstvo sile trenja zanemarljivo malo), itd.

Ukupna energija izolovanog sistema - Izolovani sistem je sistem za koji je rezultujuća

spoljašnja sila jednaka nuli, pa on stoga ne razmenjuje ni masu, ni energiju sa okolinom. Zbog toga,

Ukupna energija izolovanog sistema ostaje konstantna, iako su moguće transformacije

jednih oblika energije sistema u druge oblike. Ta konstatacija predstavlja zakon

održanja energije (ZOE).

Tako je ukupna energija u prirodi konstantna (ovde se priroda posmatra kao celoviti sistem), tj. energija

stalno prelazi iz jednog oblika u drugi, ali ukupna vrednost energije (koja obuhvata sve oblike energije) ostaje

ista.

Pregled najvažnijih relacija između rada i promene energije

SUDARI KAO PRIMER VAŽENJA ZAKONA ODRŽANJA ENERGIJE I ZAKONA ODRŽANJA IMPULSA

Sudari su tipičan primer međusobne interakcije tela (makroskopskih tela, ili mikročestica) pri kojoj

dolazi do prenosa impulsa i energije sa jednog tela na drugo (npr. sudari bilijarskih kugli, sudari pločica ili

lopti sa većim blokovima, odbijanje tela od zida, zarivanje metka u drugo čvrsto telo, interakcije čestica u

mikrosvetu, itd...). Sudari se odvijaju veoma brzo, pa se mogu razmatrati kao približno trenutne interakcije.

za telo:

pexkonz EA ∆−=

meh

ex

nekonzEA ∆=

k

exEA ∆=

za sistem tela:

pintkonz

exkonz EAA ∆−=+

meh

int

nekonz

ex

nekonzEAA ∆=+

k

intexEAA ∆=+


14

Pri sudaru može doći do prelaska jednog oblika energije u drugi (npr. do prelaska mehaničke

energije tela u toplotu ili unutrašnju energiju tela), ali se ukupna energija razmatranog sistema tela (kao širi

pojam od ukupne mehaničke energije sistema tela) održava konstantnom (važi zakon održanja ukupne

energije u prirodi - ZOE).

Takođe, pri sudarima, kao i pri svim drugim procesima u mehanici, ostaje konstantan i ukupni impuls

(količina kretanja) sistema tela duž pravca u kojem je komponenta rezultujuće spoljašnje sile na dati sistem

jednaka nuli. Npr., ukoliko rezultujuća spoljašnja sila koja deluje na sistem od dva ili više tela nema

komponentu duž x pravca, već samo duž y pravca i duž z pravca, onda važi:

( ) 0=xrez

F

r

, ( ) 0≠yrezF

r

, ( ) 0≠zrez

F

r

,

odakle sledi:

0=dt

dpx

, 0≠

dt

dp y, 0≠

dt

dpz

tj. xx

pconstp ′== , yy pp ′≠ , zz

pp ′≠ .

Ovde su bez primova označene komponente impulsa sistema neposredno pre sudara, dok su primovima

označene komponente impulsa sistema neposredno posle sudara.

Ako je rezultujuća spoljašnja sila koja deluje na sistem jednaka nuli: ( ) ( ) ( )zrezyrezxrez

FFF

rrr

=== 0 ,

onda važi:

xx

pconstp ′== , yy

pconstp ′== , zz

pconstp ′== ⇒ pconstp ′==rr

.

Takav je npr. slučaj sudara koji se odigrava u horizontalnoj ravni (tj. u x-y ravni, gde je zz

pp ′== 0 ), kada su

x i y komponenta rezultujuće spoljašnje sile na sistem jednake nuli. Iz zz

pp ′== 0 sledi: jpippyx

rr

r

+= i

jpippyx

rr

r

′+′=′ , pri čemu važi: pconstp ′==rr

. U slučaju sistema od dva tela, ovo se svodi na:

2121

pppp ′+′=+rrrr

,

gde su indeksima 1 i 2 označeni vektori impulsa prvog i drugog tela respektivno.

Za sudare se zakon održanja impulsa (ZOI) može formulisati na sledeći način:

Ukupni impuls sistema (sistema koji čine tela koja se sudaraju) neposredno pre i

neposredno posle sudara ostaje isti (konstantan) duž pravca u kojem je komponenta rezultujuće spoljašnje sile na dati sistem tela jednaka nuli.

Idealno elastičan sudar, tj. apsolutno elastičan sudar je sudar u kojem se ukupna mehanička

energija sistema tela ne menja tokom sudara, tj. ukupna mehanička energija sistema se održava konstantnom

tokom sudara.

Pri neelastičnom sudaru se deo mehaničke energije tela transformiše tokom sudara u unutrašnju

energiju tog sistema tela. Dakle, pri neelastičnim sudarima mehanička energija sistema se ne održava

konstantnom tokom sudara. Ipak, ukupna energija sistema tela ostaje konstantna tokom sudara. Pri idealno

neelastičnom (apsolutno neelastičnom) sudaru, tela ostaju spojena u jedno telo posle sudara, pa se tada

kreću nekom zajedničkom brzinom.

Idealno elastičan sudar i idealno neelastičan sudar su aproksimacije, jer u realnim situcijama ne

postoji ni idealno elastičan ni idealno neelastičan sudar.

REZIME ZA SUDARE:

• Kod idealno elastičnog sudara, tj. apsolutno elastičnog sudara, za sistem tela koja se sudaraju važi:

- tokom sudara ukupna mehanička energija sistema ostaje konstantna;

- tokom sudara ukupni impuls sistema ostaje konstantan duž pravca u kojem je

komponenta rezultujuće spoljašnje sile na dati sistem tela jednaka nuli.

• Kod neelastičnog sudara, za sistem tela koja se sudaraju važi:

- tokom sudara ukupna mehanička energija sistema se menja;

- tokom sudara ukupni impuls sistema ostaje konstantan duž pravca u kojem je

komponenta rezultujuće spoljašnje sile na dati sistem tela jednaka nuli.


15

Primeri sudara

Primer 1 - neelastičan čeoni sudar

Metak mase m1 se zariva u blok mase m2, koji se nalazi na glatkoj horizontalnoj podlozi.

Posmatramo sistem koji čine telo 1 i telo 2. Vektori brzina pre i posle sudara su orijentisani duž

horizontalnog pravca, pa su tako orijentisani i vektori impulsa tela. Rezultujuća spoljašnja sila koja deluje na

sistem duž horizontalnog pravca je jednaka nuli (nema trenja), pa se vektor impulsa sistema održava

konstantnim tokom sudara (vektor impulsa sistema pre sudara je jednak vektoru impulsa sistema posle

sudara): constpp =′=rr

. Sudar je neelastičan i tela posle sudara nastavljaju da se kreću kao jedno kruto telo,

tj. posle sudara sistem kao celina ima jedinstvenu brzinu /

sυ

r

.

Zato se zakon održanja impulsa (ZOI) sistema može pisati kao:

/

s)mm(m υυ

rr

2111+= .

Nakon projekcije vektorskog izraza na pozitivan smer x-ose, sledi:

/

s)mm(m υυ

2111+= .

Primer 2 – apsolutno elastičan čeoni sudar

Telo 1 i 2 se kreću u susret jedno drugom, po horizontalnoj glatkoj podlozi, ili se sudaraju pri letu

kroz vazduh, pri čemu je sila otpora vazduha zanemarljivo mala, a vektori brzina neposredno pre i

neposredno posle sudara leže u horizontalnoj ravni:

Tokom kretanja, na sistem kao celinu deluje gravitaciona sila: g)mm(Fg

r

r

21+= .

� Ako se sudar odvija pri letu kroz vazduh, onda je gravitaciona sila jedina spoljašnja sila koja deluje

na sistem u ovom primeru. Ona nema komponentu duž horizontalnog pravca, pa važi: 0=xrez)F(

r

,

odakle sledi: constpx= , tj.

xxpp ′= . Sudar je trenutan, a vektori brzina neposredno pre i

neposredno posle sudara imaju baš pravac x-ose, pa sledi da se impuls sistema održava tokom

sudara i kao vektor. Onda se za trenutak neposredno pre i neposredno posle sudara može pisati i:

pprr

′= .

� Ako se sudar odvija na podlozi, na sistem tela takođe deluje i sila reakcije podloge (sile trenja

nema, jer je podloga glatka). Onda je rezultujuća sila koja deluje na sistem tokom kretanja jednaka

nuli 0=rezFr

, odakle sledi:

constp =r

⇒ pprr

′= .

Projekcijom relacije pprr

′= na x-osu, dobija se:

xx

pp ′= , tj. 22112211

υυυυ ′+′−=− mmmm .

1m 2m

horizontalna ravan

1υ

r

2υ

r

osax −

1m 2m

horizontalna ravan

1υ′r

2υ′r

osax −

1m2m

1υ

r

neposredno pre sudara:

12 mm +

sυ ′r

neposredno posle sudara:

neposredno

pre sudara:

neposredno

posle sudara:

Vektor impulsa sistema koji čine telo 1 i telo 2

ima pravac x-ose i jednak je: 2211

υυ

rrr

mmp += .

Vektor impulsa sistema koji čine telo 1 i telo 2

ima pravac x-ose i jednak je: 2211

υυ ′+′=′rrr

mmp .


16

Napomena 1: Da je drugo telo pre sudara mirovalo ( 02=υ ), bilo bi:

11υmp

x= .

Napomena 2: Da su oba tela pre sudara imala isti smer kretanja (udesno), bilo bi: 2211

υυ mmpx

+=

Napomena 3: Pretpostavljeni smerovi kretanja tela 1 i tela 2 posle sudara (smerovi prikazani na slici) su

mogući za određeni odnos masa tela. Zavisno od odnosa masa tela, moguća je i druga kombinacija smerova

kretanja tela nakon sudara (oba tela se mogu kretati ulevo, ili oba tela udesno...).

U slučaju kada drugo telo pre sudara miruje, primenom ZOME (važi samo kod elastičnih sudara) i ZOI

dobijamo da važi:

- za 21

mm > , oba tela će se posle sudara kretati udesno;

- za 21

mm = , telo 1 će se zaustaviti, a telo 2 će se posle sudara kretati udesno brzinom koju je imalo telo 1

pre sudara;

- za 21

mm < , telo 1 će se posle sudara kretati ulevo, a telo 2 udesno;

Primer 3:

a) apsolutno elastičan sudar sa raštrkavanjem, u horizontalnoj ravni:

Telo 1 udara u telo 2 koje se nalazi u stanju mirovanja. Oba tela se nalaze na horizontalnoj glatkoj podlozi.

Vektori brzina tela 1 i tela 2 se pre i posle sudara nalaze u horizontalnoj ravni.

Rezultujuća spoljašnja sila koja deluje na sistem u horizontalnoj ravni je jednaka nuli (nema trenja),

pa važi ZOI sistema u horizontalnoj ravni, u vektorskom obliku (vektor impulsa sistema pre sudara je

jednak vektoru impulsa sistema posle sudara):

//mmm

221111υυυ

rrr

+= .

Projekcija na x-osu je: θυϕυυ cosmsinmm//

221111+=

Projekcija na y-osu je: θυϕυ sinmsinm//

22110 +−= .

b) rasprskavanje granate (hipotetički slučaj raspada u horizontalnoj ravni, na dva dela):

U ovom primeru, vektor brzine granate neposredno pre rasprskavanja i vektori brzina delova

granate neposredno posle rasprskavanja se nalaze u horizontalnoj ravni (ovo važi uz aproksimaciju da se

rasprskavanje odvija trenutno, pa gravitaciona sila u toku tog beskonačno malog vremenskog intevala ne

može uticati na pravac vektora brzine tela).

Rezultujuća spoljašnja sila koja u horizontalnoj ravni deluje na granatu, odnosno na delove granate

nakon rasprskavanja, je jednaka nuli, pa vektor impulsa sistema ostaje konstantan tokom rasprskavanja

(vektor impulsa sistema neposredno pre rasprskavanja je jednak vektoru impulsa sistema neposredno posle

raspskavanja):

//mmm

2211υυυ

rrr

+= .

Projekcija na x-osu je: θυϕυυ cosmcosmm//

2211+= .

Projekcija na y-osu je: θυϕυ sinmsinm//

22110 +−= . θυϕυ sinmsinm

//

22110 +−= .

1m

osay −

2m

osax −

horizontalna ravan

1υ

r

02=υ

r

neposredno

pre sudara:

neposredno

posle sudara:

θ

/

1υr

osay −

/

2υr

ϕ osax −

horizontalna ravan

m

osay −

osax −

horizontalna ravan

υ

r

neposredno pre

rasprskavanja:

θ

/

1υr

osay −

/

2υr

ϕ osax −

horizontalna ravan

neposredno posle

rasprskavanja:

iia rad energija sudari predavanje

Documents