Lista 1

1. Seja v um vetor arbitrario e n um vetor unitario arbitrario. Mostre que:

(a) v = (v n)n (v n) n,(b) v = (v n)n+ (vn) n (nv) n.

2. Dados dois vetores a e b, e um tensor de segunda ordem S, mostre que:

(a) S (ab) = (S a)b,(b) (ab) S = a(ST b),(c) (ab)T = ba.

[Dica: Dois tensores de segunda ordem A e B sao iguais se e somente se A v = B v paraqualquer vetor v.]

3. Dado que aij = ijbkk + bij , em que 6= 0 e 3+ 6= 0, determine bij em termos de aij .4. Mostre que o traco de um tensor e igual ao traco de sua parte simetrica (o que significa que o

traco de um tensor anti-simetrico e igual a zero).

5. Mostre que, se w e o vetor axial associado ao tensor anti-simetrico W, entao:

|w| = 12|W|.

6. Sejam r o vetor de coordenadas espaciais e uma funcao real f(r), com r = |r|. Mostre que

[rf(r)] = 3f(r) + rdfdr.

7. Prove as seguintes identidades utilizando notacao indicial. Nas expressoes abaixo, e umcampo escalar, u e v sao campos vetoriais.

(a) (u) = u+ u (b) (u) = u+ u(c) (u v) = v u u v(d) = 0(e) u = 0(f) u u = ( u) u+(12 |u|2)(g) (uu) = u u+ u[ (u)]

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