III – دراسة حركة السقوط الشاقولي لجسم صلب في الهواء

دافعة أرخميدس*

حقل الجاذبية*

السقوط الشاقولي في مائع بوجود احتكاك*

السقوط الحر الشاقولي لجسم صلب *

الحركة المستقيمة المتغيرة بانتظام*

:نشاطات

دافعة أرخميدس– 1

افعة أرخميدس؟كيف يتم تعيين خواص د .نقيس بعد ذلك ثقل الجسم. نعلق جسما صلبا بواسطة خيط في جهاز دينامومتر

نغمر اآلن هذا الجسم بأكمله في أنبوب اختبار يحتوي على الماء ثم في أنبوب اختبار آخر يحتوي على

ليها جهاز نقرأ في كل مرة القيمة التي يشير إ). 3cm/g 800كتلته الحجمية(كحول .الدينامومتر و كذلك حجم الماء و الكحول الذي يزيحه الجسم الصلب

. بين أن دافعة أرخميدس هي قوة موجهة نحو األعلى–1 . كيف يمكن تعيين قيمة دافعة أرخميدس– 2

ر في قارن بين القيمتين اللتين يشير إليهما الدينامومتر لما يغمر الجسم في الماء و لما يغم– 3 ماذا تستنتج؟. الكحول

. بين كيف تتغير قيمة دافعة أرخميدس مع الكتلة الحجمية للمائع– 4 . قارن قيمة هذه القوة مع قيمة ثقل المائع الذي يزيحه الجسم الصلب لما يغمر فيه– 5 استنتج خواص دافعة أرخميدس– 6

:تحليل النشاط القيمة التي يشير إليها الدينامومتر تكون أصغر لما يكون نالحظ أن الخيط يبقى شاقوليا، كما أن– 1

.نستنتج إذن أن دافعة أرخميدس هي قوة موجهة نحو األعلى. الجسم مغمورا في المائع الفرق بين القيمتين اللتين يشير إليهما الدينامومتر قبل أن يغمر الجسم في المائع و عندما يغمر، – 2

.يعطي قيمة دافعة أرخميدس نالحظ أن القيمة التي يشير إليها الدينامومتر عندما يغمر الجسم في الماء أصغر من القيمة التي – 3

.نستنتج إذن أن دافعة أرخميدس تتعلق بطبيعة المائع. يشير إليها لما يغمر الجسم في الكحولين التجربة بأن كلما كانت الكتلة الحجمية للمائع كبيرة كلما كانت دافعة أرخميدس كبيرة، وتب– 4

.النسبة بينهما ثابتة، فدافعة أرخميدس تتناسب طردا مع الكتلة الحجمية عندما نقارن قيمة دافعة أرخميدس مع قيمة ثقل المائع الذي يزيحه حجم الجسم الصلب، نرى أن – 5

.القيمتين متساويتان

شاقولية موجهة نحو AF يخضع كل جسم يغمر في مائع يخضع من قبل هذا األخير إلى قوة – 6 :األعلى و قيمتها تعطى بالعالقة

gVgmF fluideA

g و3m حجم الجسم الصلب 3m/Kg ،V هي الكتلة الحجمية للمائع حيث N ، و بهذا تقدر دافعة أرخميدس بالنيوتن 2s/mقيمة الجاذبية األرضية

: نشاط )glycérol / eau( ماء / سقوط كرية في مزيج من الجليسيرول

ماء / نترك كرية تسقط بدون سرعة ابتدائية في خليط يتكون من جليسيرول

الكتلة الحجمية . mm00,5r و نصف قطرها g13,4mالكرية تقدر بـ كتلة

.3m/Kg19,1للجليسيرول المخفف تقدر بـ .نترك الكرية تسقط و نسجل حركتها بواسطة آلة تصوير فيديو

. مثالAvistepنعالج هذا التصوير بواسطة برنامج :س التي يقدمها البرنامج نلخصها في الجدول التالينتائج القيا

tfv ، ثم أرسم البيان Excelمج أعرض هذه النتائج على برنا– 1 استنتج من خالل هذا المنحنى هل تسارع الحركة يتغير بالزيادة أم بالتناقص؟– 2 . مثل القوى الخارجية المؤثرة على الكرية أثناء حركتها– 3 ما هي القوى التي تبقى ثابتة أثناء الحركة ؟– 4

و كذلك قيمتها v تكون معاكسة لشعاع السرعة F بأن قوة االحتكاك لماذا يمكن االستنتاج– 5vfF تتزايد مع قيمة السرعة v.

أعط . تدعى السرعة الحدية وimv نالحظ أن السرعة تؤول إلى قيمة ثابتة، نرمز لها بـ – 6 . بداللة القوتين اُألخريتينimvfFعبارة

.0t في اللحظة االبتدائية Fما هي قيمة – 7 : ، تعطى بالعالقةa باستعمال القانون الثاني لنيوتن، بين أن القيمة االبتدائية للتسارع – 8

mgmma fluide

0

. هي كتلة السائل المزاح من طرف الكريةfluidem هي كتلة الجسم و mحيث

3r: للكرية يعطى بالعالقةV إذا علمت أن الحجم – 934V استنتج قيمة ،fluidem و

.0aكذلك قيمة

t(ms) 0 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 440 Y(mm) 0 6,8 20,9 40,3 63,7 89,2 115,7 142,5 169,7 196,5 223,7 250,5

V(mm/s) 0 261 419 532 611 650 666 675 675 675 675 675

مع الخط المقارب األفقي الذي يقبل 0t نعتبر نقطة تقاطع المماس للمنحنى عند اللحظة – 10 : تدعى وفاصلة هذه النقطة، ونرمز لها بـ . imvv و الذي معادلته tfvالدالة

.أحسب قيمة المقدار . imv و 0a بداللة أعط عبارة. الزمن المميز للحركة

:تحليل النشاطلذي يمثل تغير سرعة و نرسم البيان اExcel نعرض النتائج التي تحصلنا عليها على برنامج – 1

:مركز عطالة الكرية بداللة الزمن فنحصل على البيان التالي

من خالل البيان نالحظ أن تسارع الكرية يتغير بالتناقص ألن ميل المماسات التي يمكن رسمها – 2

على المنحنى في تناقص من لحظة ألخرى

:ء حركتها مبينة على الشكل التالي القوى الخارجية المؤثرة على الكرية أثنا– 3

الحركة هي قوة الثقل و كذلك دافعة أرخميدس ألن هاتين القوتين ال ء القوى التي تبقى ثابتة أثنا– 4

.تتعلقان بسرعة الكرية، والقوة المقاومة هي التي تتغير ألنها تتعلق بسرعة الكرية

بما أن قيمة. AFP نفس اتجاه المحصلة لهa شعاع التسارع – 5

بينما قيمتها تزداد مع . v تعاكس F تتناقص هذا يعني أن aالتسارع

.v لشعاع السرعة vزيادة القيمة : من مالحظة البيان، يمكن كتابة– 6

0dtdvimaim

tt

:إذن0vFFmg imA

:و منه نجدmgFvF Aim

P

AFF

P

AFfF

.F = 0 و بالتالي v = 0 في اللحظة االبتدائية – 7 : باستعمال القانون الثاني لنيوتن يمكن كتابة– 8

0A maFmg : بقيمتها في المعادلةFAنعوض

0fluide magmmg :ومنه نجد

mgmma fluide

0

: نعلم أن الكتلة الحجمية تعطى بالعالقة– 9Vm

37333: حجم الكرة m10.25,510.514,334r

34V

:كتلة السائل التي توافق هذا الحجم هي

g 63,0Kg10.27.62510,510.19,1Vm 473fluide

:نه نجدو م

20 s/m31,8

13,481,963,013,4a

0im: يمكن كتابة معادلة المماس على الشكل التالي– 10 av

s/mm673vمن البيان أو الجدول تالحظ أن im.

ms81: نعوض فنجد831

10.675 3

حقل الجاذبية– 1

ثقل جسم– 1 – 1 ف التجريبيالتعري/ أ

في حالة إهمال . Fالقوة التي يؤثر بها الجهاز على الجسم هي . نعلق جسما في جهاز دينامومتر

.FP: معرفا تجريبا بالعالقةPدافعة أرخميدس، يكون ثقل الجسم

:تفسير هذه النتيجة / ب

في حالة إهمال دافعة أرخميدس و بالنسبة للمرجع . لمعلق في الدينامومتر يكون متزناالجسم ا : األرضي، يمكن كتابة

0FP :نستنتج أن ثقل الجسم معرف تجريبيا بالعالقة

FP

: عبارة حقل الجاذبية األرضية – 2 – 1 بالنسبة لسطح zيوجد هذا الجسم على ارتفاع . G و مركز عطالته mنفرض جسما صلبا كتلته

.األرض

.R و نصف قطرها Oنعتبر أن الكرة األرضية ممثلة بكرة مركزها :لجاذبة التي تطبقها األرض على جسم معين بفرضكما أنه يمكن حساب القوة ا

( ، هذا يعني أن لتوزيع كتلة األرض تناظر كروي Oأن كل كتلة األرض مركزة في مركزها –symétrie sphérique.(

مركزة أن أبعاد الجسم مهملة أمام نصف قطر الكرة األرضية و هو ما يجعلنا نعتبر أن كتلته تكون – .في مركز عطالته

في هذه الحالة ، و حسب القانون الثالث لنيوتن، فإن القوة التي تجذب بها األرض الجسم تعطى :بالعالقة

u

gmP

m

z

M

uzR

mGmP 2T

هو ثابت الجذب G و O شعاع الوحدة موجه من وضع الكتلة نحو مركز األرض uحيث .العام

: مع gmP: يمكن كتابة العالقة السابقة على الشكل

uzR

mGg 2T

، الذي بدوره يتعلق بوضع u يتعلق بشعاع الوحدة gنرى بوضوح أن شعاع الجاذبية األرضية

g، وبهذا نعرف حقل الشعاع Mg للكتلة ننسب له شعاعا Mإذن لكل وضع . mتلة الك .حقل الجاذبية: ويدعى

. حقل الجاذبية المنتظم– 3 – 1

مهملة أمام نصف قطر zدمت قيمة االرتفاع يهمل التناقص في قيمة شعاع الجاذبية األرضية ما. كما أن تغير اتجاه شعاع الجاذبية األرضية يهمل في مجال محدود من الكرة األرضية. الكرة األرضية

.شعاع حقل الجاذبية األرضية يكون محموال على الشاقول المار من وضع الجسم

رضية في منطقة محدودة من سطح الكرة األرضية نفس المنحى، نفس و عليه يكون لحقل الجاذبية األ .االتجاه و نفس الشدة

kgg: يمكن كتابة OZبالنسبة للمحور

السقوط الشاقولي في مائع بوجود احتكاك– 2 : دافعة أرخميدس– 1 – 2

فإن هذا الجسم ) سائل أو غاز(ركة أو في حالة سكون في مائع عندما يكون جسم صلب في حالة حيتعرض لقوى ضاغطة من قبل هذا المائع، وهذه القوى هي عبارة عن قوى تالمسية تؤثر على كامل

.سطح الجسم الصلبتكون هذه القوى عمودية على سطح الجسم الصلب في كل نقطة من نقاطه، و تكون موجه نحوه،

.دافعة أرخميدس: لهذه القوى ال تكون منعدمة و تدعىAFوالمحصلة

مغمور كلية في المائع تساوي عكس ثقل SV التي تؤثر على جسم حجمه AFدافعة أرخميدس :كمية من مائع لها نفس حجم الجسم

gVgmF SfluidefluideA

. مغمور يساوي المجموع الشعاعي لثقله و دافعة أرخميدسS لجسم aP الثقل الظاهري

Aa FPP :أي

gVP SfluideSa ، فإن الجسم يكون أكثر fluideS لما يكون –

AF

P

aP

موجها نحوالثقل الظاهري يكون. كثافة من المائع . األسفل مما يجعل الجسم ينزل

فإن الجسم يكون أقل كثافةfluideS لما يكون – الثقل الظاهري يكون موجها نحو األعلى. من المائع

. مما يجعل الجسم يصعد . االحتكاك مع المائع– 2 – 2

( نغمر جسما صلبا في هذا المائع، فإنه عندما. نفرض مائعا في حالة سكون بالنسبة للمرجع األرضي

. في هذا المرجعvيقوم بحركة انسحابية بسرعة لحظية ) الجسم يؤثر المائع على الجسم الصلب بقوى تالمسية تختلف عن تلك التي يمارسها نفس المائع على نفس

.الجسم لو كان هذا األخير ساكناقوى احتكاك للمائع، وهذا طبعا زيادة على دافعة : القوى بقوى تدعىيمكن تجسيد مختلف هذه

.أرخميدس

لها نفس حامل شعاع السرعة و fFمحصلة قوى احتكاك المائع هي عبارة عن شعاع نرمز له بـ .لكن تعاكسه في اإلتجاه

: و نكتبv لشعاع سرعة الجسم v بالقيمة fFع لشعاع قوة احتكاك المائfFتتعلق القيمة

vfFf . .0vتعتبر هذه الدالة، دالة متزايدة كما أنها تنعدم من أجل

: يفة، أن قوة احتكاك المائع تعطى بالعالقةنعتبر ،من أجل سرعات ضع

vFf في هذه الحالة تتناسب قيمة قوة . m/sN معامل يقدر في جملة الوحدات الدولية بـ يث ح

.احتكاك المائع طردا مع قيمة سرعة الجسم

AF

P

aP

:قوة احتكاك المائع تعطى بالعالقة نعتبر ،من أجل سرعات كبيرة، أن 2

f KvF

22 يقدر في جملة الوحدات الدولية بـ Kحيث m/sN . في هذه الحالة تتناسب قيمة قوة .احتكاك المائع طردا بمربع قيمة سرعة الجسم

. بشكل الجسم و حجمهK و يتعلق كل من .viscositéلُزوجة المائع : تتناسب مع خاصية من خواص المائع و هييمة ق

. بلُزوجة المائع، بل تتناسب مع الكتلة الحجمية للمائعKال تتعلق قيمة

: المعادلة التفاضلية لحركة السقوط – 3 – 2

. موجه نحو األسفلOZحور حيث يكون فيه المk,j,i,0نعتبر معلما

، ثم نحرره بدون بكامله في مائع كتلته الحجمية SV و حجمه m كتلته Sنغمر جسما صلبا في الوضع S للجسم Gعند هذه اللحظة يكون مركز العطالة . 0tسرعة ابتدائية في اللحظة

O.

، كما تتميز حركة OZنفرض بأن مسار مركز عطالة الجسم يكون مسارا مستقيما يوازي المحور

: بـ هذا الجسم في كل لحظة

kzOG: ،يعطى بالعالقةGشعاع موضع مركز العطالة –

k: شعاع سرعة مركز العطالة، يعطى بالعالقة–dtdzv.

k: عالقةل يعطى با، شعاع تسارع مركز العطالة–dtdva

:شعاع الموضع الشرط االبتدائي للسرعة ول : لدينا0tلما

k0OG ، k0v

:إحصاء القوى الخارجية المؤثرة على الجسم

gmP: قوة جذب األرض للجسم، و التي تتمثل في قوة الثقل لدينا –

kgmF: قوة دافعة أرخميدس– fluideA

kvfFA: قوة احتكاك المائع – :تطبيق القانون الثاني لنيوتن

:عند كل لحظة من لحظات حركة الجسم، تتحقق العالقة

fA FFPam

: يمكن كتابةOZبالنسبة للمحور

vfg mmdtdvm fluide

ة التفاضلية التي تعبر عن حركة السقوط الشاقولي لجسم في مائع و هذا بدون سرعة و هي المعادل .ابتدائية

Sfluide: يمثل المقدار Vm كتلة المائع التي يزيحها الجسم S و vf هي قيمة .قوة احتكاك المائع

الذي تحصلنا عليه في النشاط، نالحظ أن قيمة السرعة تؤول إلى v = f(t)لبياني من خالل المنحنى ا .imvقيمة حدية نرمز لها بـ

.f (v)أثنا السقوط تتزايد قيمة سرعة الجسم و بالتالي تتزايد معها قيمة احتكاك المائع

).Régime permanent( الحالة الدائمة

0السرعة قيمتها الحدية فإن المقدار عندما تبلغ dtdv

، ألن السرعة تصبح ثابتة و ال تتغير مع

و بالتالي مجموع القوى الخارجية المؤثرة على الجسم أثناء سقوطه الشاقولي يصبح . مرور الوقت :و من خالل هذا نكتب. imvvمساويا الصفر لما تصبح 0vfg mm imfluide

:و منه نجد

g mmvf fluideim

:التسارع االبتدائي : الحالة االبتدائيةقبل أن يترك الجسم لحاله في المائع كان في حالة سكون، هذا يعني أن محصلة القوى الخارجية التي

و أصبحت محصلة القوى الخارجية حرر الجسم 0tفي اللحظة . كانت تؤثر عليه كانت منعدمةالمرحلة تدعى هذه المرحلة . غير منعدمة، عندها يبدأ الجسم في السقوط و تتزايد بذلك سرعته

régime ( حالة دائمةخالل هذه المرحلة تتطور حركة الجسم إلى ). phase transitoire ( االنتقالية

permanent ( منعدمة و السرعة ثابتةحيث تصبح من جديد محصلة القوى الخارجية. ، N00vf و بالتالي تكون قوة احتكاك المائع 0v كانت 0tفي اللحظة

تستنتج من 0aوعليه فالقيمة االبتدائية للتسارع :المعادلة التفاضلية للحركة

mgmms 0t

dtdva fluide0

مادامت قوة 0a تساوي aنعتبر أن قيمة التسارع . قيمة قوة االحتكاك تتزايد مع سرعة الجسم .االحتكاك مهملة أمام الثقل الظاهري للجسم

:تعيين الزمن المميز للحركة

tav: معادلة هذا المماس هي. 0t في اللحظة v (t)نقوم برسم المماس للمنحنى 0 . الزمن المميز imvvتمثل فاصلة نقطة تقاطع المماس مع الخط المقارب األفقي الذي معادلته

.( s )ثانية و يقدر في جملة الوحدات الدولية بالنرمز لهذا الزمن بـ . للحركة : بالعالقةتعطى قيمة

0im av إحداثيات شعاع التسارع– 5 – 2

:نعلم أن

g mmvf fluideim :و كذلك

mgmma fluide0

: أي أن

0im amvf :و بما أن

vfg mmam fluide :إذن

im0 vf

vf1aa

:إذن، من أجل سقوط حر جسم بدون سرعة ابتدائية

:vvfقوة االحتكاك كون فيها ت في الحالة التي –

im0 v

v1aa

:2vKvfفي الحالة التي تكون فيها قوة احتكاك المائع

2

2

0im

vv1aa

).méthode d’Euler( طريقة أويلر – 6 – 2 :تعطي طريقة أويلر حال تقريبيا للمعادلة التفاضلية

im0 vf

vf1adtdva

. أثناء سقوط الجسمtvالتي تحققها .vfلكي يمكن استعمل هذه الطريقة يجب معرفة عبارة قوة احتكاك المائع

، من خالل مقارنة 2vKvf أو vvfنتأكد من النموذج المقترح لهذه القوة، إذا كان هناك تطابق بين المنحنيين : التجريبي مع المنحنى الذي تعطيه هذه الطريقةtvالمنحنى

ذلك، فالنموذج المقترح يرفض، و هذا طبعا باألخذ بعين فإننا نقبل النموذج المقترح و إذا لم يكن ك .االعتبار أخطاء القياس

عند v قيمة السرعة ivلتكن . t يفصلهما مجال زمني ثابت 1it و itنعتبر لحظتين : عند هذه اللحظةiaيمكن إذن كتابة عبارة . itللحظة ا

im

i0i vf

vf1aa

ttt عند اللحظة 1ivتعطى قيمة السرعة i1iبالعالقة التقريبية : tavv ii1i

. it خطوة بخطوة عند مختلف اللحظات v لـ ivي إيجاد القيمة التقريبية تتمثل طريقة أويلر فر نفهم من خالل هذا أن طريقة أويل. 0t عند اللحظة vلكي يكون هذا ممكنا يجب معرفة قيمة

.ال تصلح إال إذا كانت قيمة السرعة االبتدائية معلومة t التي تحسب بطريقة أويلر أكثر من القيم التجريبية كلما كان المجال الزمني ivتقترب قيم .صغيرا جدا

: السقوط الحر الشاقولي لجسم صلب – 3

مركز عطالته يقوم بحركة سقوط حر في مرجع أرضي إذا كان هذا الجسم ال نقول عن جسم صلب بأن .يخضع إال لقوة جذب األرض له

إذا تم هذا السقوط في الهواء فإننا . يتحقق هذا في الفراع أي في مكان ال يحتوي على أي مائع كانبالنسبة لدافعة نفرض بأن قوة احتكاك الهواء تكون مهملة أمام قوة الثقل، و نقول الشيء نفسه

.أرخميدس G شعاع تسارع مركز العطالة – 1 – 3

.يمثل الشكل المقابل القوى الخارجية المؤثرة على الجسم

:بتطبيق القانون الثاني لنيوتن نجد

amP :، نستنتج إذن أنgmPو بما أن

ga لمركز عطالته يساوي شعاع الجاذبية aأثناء السقوط الحر لجسم صلب، فإن شعاع التسارع

.هذه النتيجة ال تتعلق بكتلة الجسم. األرضية الموافق للمكان الذي يتم فيه السقوط

gmP

معادلة الحركة– 2 – 3 :اختيار المعلم

. k,j,i,0 الحر الشاقولي نختار مرجعا مخبريا و معلما كارتيزيا لدراسة حركة السقوط

. شاقولياOZيكون في هذا المعلم المحور .نختار في هذا التحليل توجيه هذا المحور نحو األعلى

قيمة حقل الجاذبية الذي نفرض أنه منتظم في g ، حيث تمثل kgg: في هذه الحالة

.مكان السقوط الحر

kga: موجب فإنه يكونgبما أن المقدار

:الشروط االبتدائية للسقوط يترك بدون سرعة ، يقذف الجسم نحو األعلى أو نحو األسفل، أو 0tنفرض أنه في اللحظة

:في هذه الحالة يمكن كتابة شعاع السرعة في اللحظة االبتدائية على الشكل التالي. ابتدائية

kvv oz ).يمكن أن تكون موجبة أم سالبة ( هي القيمة الجبرية للسرعة في اللحظة االبتدائية ozvحيث

، وعليه فشعاع الموضع في 0 يكون مركز عطالة الجسم في الوضع 0tكما أنه في اللحظة :اللحظة االبتدائية يكون

kzy0i0OG 0 . فقط، و يكون بذلك تابعا للزمنzأثناء الحركة الشاقولية للجسم يحدث تغير لإلحداثي

:عبارة تسارع الحركة : التفاضلية للحركةالمعادلة : هي اإلحداثي الشاقولي لشعاع سرعة مركز عطالة الجسم، فإنzvإذا اعتبرنا أن

dtdva z

z

.و هي المعادلة التفاضلية لحركة مركز عطالة الجسم

: األعلى، يمكن كتابة الموجه نحوOZبالنسبة للمحور

gdt

dv z

:المعادلة الزمنية للسرعة : حل المعادلة التفاضلية :لدينا

gdt

dvz

:و منه نجد gdtdvz

:و بعد إجراء التكامل نجد

1z Cgttv

. ثابت يعين اعتمادا على الشروط االبتدائية1Cحيث

: لدينا0tلما

10zz C0gv0tv

0z1هذا يجعل vC.

g: و منه نتوصل إلى الحل الذي تقبله المعادلة التفاضليةdt

dv z

z0z vgttv هي دالة من الدرجة األولى للزمن، وبالتالي المنحنى المميز لها يكون عبارة tvzنالحظ أن الدالة

عند zvعن مستقيم يقطع محور السرعة g و ميله سالب و يساوي 0zvالقيمة

:المعادلة الزمنية للحركة

نعلم أن dtdzvz و منه :dtvdz z و بعد تعويض zvبقيمته نجد :

dtvgtdz z0 :بعد إجراء التكامل نجد

2z02 Ctvgt

21tz

C2بتدائي على شعاع الموضع ثابت يعين من الشرط االOG:

2z02

0 C0v0g21z0tz

:و منه نجد

02 zC :و منه تصبح المعادلة الزمنية للحركة

0z02 ztvgt

21tz

و هي معادلة من الدرجة الثانية في الزمن

. الحركة المستقيمة المتغيرة بانتظام– 4

.OX بحركة مستقيمة في مرجع أرضي وفق المحور mيقوم مركز عطالة جسم صلب كتلته

.k,j,i,0لدراسة هذه الحركة نختار معلما كارتيزيا

:تكتب عبارة شعاع تسارع مركز العطالة في هذا المعلم على الشكل

iaa

ثابتة أثناء a لشعاع التسارع aنقول عن الحركة بأنها مستقيمة متغيرة بانتظام إذا كانت القيمة

.الحركة :بتطبيق القانون الثاني لنيوتن نجد

imaF

و على شعاع سرعة Gلى شعاع موضع مركز العطالة في هذه الدراسة نعتبر أن الشرط االبتدائي ع

:مركز العطالة هما

k0j0ixOG k0j0ivv و 00 x00 :عبارة قيمة تسارع مركز عطالة الجسم : المعادلة التفاضلية للحركة– 1 – 4

:لب تبقى ثابتة، فإننا نكتببما أن قيمة شعاع تسارع مركز عطالة الجسم الص

cstdtdva

.و هي المعادلة التفاضلية للحركة المعادلة الزمنية لقيمة سرعة مركز العطالة: حل المعادلة التفاضلية للحركة– 2 – 4

:من المعادلة التفاضلية نجد adtdv

: إجراء التكامل نجدو بعد

1Catv : من الشرط االبتدائي على السرعةC1يعين الثابت

0x01 vvC0a0tv

:و منه نجد عبارة قيمة سرعة مركز العطالة

0vatv

: المعادلة الزمنية للحركة – 3 – 4

:انطالقا من العبارة

dtdxv

:نجد

vdtdx : و بعد إجراء التكامل على العبارة

dtvatdx 0 :نجد

202 Ctvat

21x

: يعين من الشرط االبتدائي على شعاع الموضعC2الثابت

0202 xC0v0a

210tx

:لمعادلة الزمنية للحركةو منه نجد ا

002 xtvat

21x