予定 （川口担当分）

（１）４月１３日 量子力学・固体の性質の復習

（２）４月２０日 自由電子モデル

（３）４月２７日 結晶中の電子

（４）５月１１日 半導体・輸送現象

（５）５月１８日 金属絶縁体転移

（６）５月２５日 磁性の基礎

（７）６月１日 物性におけるトポロジー

今日（４/２７）の内容

結晶中の電子の状態

• クローニッヒ・ペニーモデル

• ブロッホの定理

• 準自由電子近似 ｖｓ 強束縛モデル

結晶中の電子のふるまい

• 電子・正孔・有効質量

• 単純な金属のフェルミ面

• ブロッホ電子の運動

• ランダウ量子化（次回）

結晶中の電子の状態

クローニッヒ・ペニーモデル

一次元周期ポテンシャル中の電子

波動関数

周期 ： （Ｂｌｏｃｈの定理）

境界での連続性

同じ条件→ ４つの式（変数４つ）

解の条件

バンド構造

家泰弘『物性物理』（産業図書）

レポート問題１

クローニッヒ・ペニーモデルを解いてみよう。

1. 波動関数の境界条件を具体的に書き下して、ABCDに対する4つの方程式を求めよ。

2. 1. で得た境界条件から、エネルギーと波数qの関係を求めよ。

3. この関係から、エネルギーバンドを図示しなさい。具体的に、パラメータをいろいろと変化させて、数値計算を行ってグラフを描きなさい。フェルミエネルギー（化学ポテンシャル）の位置がどこにあると金属になるのかをグラフ中で示しなさい。

ブロッホの定理ハミルトニアンが周期性を持つとき

その固有関数は

を満たす

いいかえると、 を満たす

周期関数 を用いて、波動関数は

とかける

ブロッホの定理の証明

はすべて同じエネルギー固有値を持つ

規格化：

周期境界条件：

２つの近似法

：小

準自由電子近似

：大

強束縛模型（tight-binding model）

準自由電子近似

自由電子：

＋弱い結晶場ポテンシャル（摂動）

→ ブロッホ波動関数 逆格子ベクトル

準自由電子近似

シュレディンガー方程式に代入

のみ残す

準自由電子近似

を満たす が存在するときは

準自由電子近似：エネルギーバンド

自由粒子

準自由電子近似：エネルギーバンド

弱い結晶場

準自由電子近似：エネルギーバンド

第一ブルリアンゾーン弱い結晶場

準自由電子近似：エネルギーバンド

弱い結晶場

２つの近似法

：小

準自由電子近似

：大

強束縛模型（tight-binding model）

強束縛模型

１つの原子に束縛された電子の波動関数

ブロッホ波動関数

強束縛模型

摂動

強束縛模型

1次元自分自身および隣のサイトとのみ重なりがある

強束縛模型：エネルギーバンド

強束縛模型：状態密度（１Ｄ）

特異点

特異点

強束縛模型：２Ｄ

家泰弘『物性物理』（産業図書）

レポート問題２

2次元、および、3次元の正方格子について強結合模型で考える。

1. 波数とエネルギーの関係を2次元、3次元それぞれについて求めなさい。（ヒント）1次元の計算に対して、最近接原子の数と位置を2次元・3次元の場合にすればよい。

2. 1. で得た分散関係から、 2次元、3次元それぞれについて、状態密度を計算し、横軸をエネルギー、縦軸を状態密度としてグラフに描きなさい。

レポート問題３

1. 8個の最近接原子を持つbcc構造に対して、強結合模型を用いて、分散関係を求めなさい。

2. 12個の最近接原子を持つfcc構造に対して、強結合模型を用いて、分散関係を求めなさい。

結晶中の電子のふるまい

電子の運動？

• ブロッホ状態：バンドインデックス 、波数

•波数 の時間発展： （外力）

•不確定性原理： と を同時に決めれない

•波束：

→ 座標と運動量で電子の状態を記述（半古典モデル）

ブロッホ電子の性質

•群速度

•有効質量

•自由電子では、

ブロッホ電子 ｖｓ 自由電子

家泰弘『物性物理』（産業図書）

伝導とバンド

• あるバンドが過不足なく電子で埋められた時には、そのバンドは伝導に寄与しない。完全に詰まったバンドでは電子系の全運動量の変化（上の空いたバンドに電子をあげない限り）はない。

•電子系が運ぶ全電流は、占有された状態について群速度を足し合わせることによって求められる。完全に詰まったバンドではこの和はゼロになる。

•部分的に詰まったバンドは電場に応答して電子分布を変えて全体として運動量を持つようになる。

伝導とバンド

家泰弘『物性物理』（産業図書）

金属 ｖｓ 絶縁体

ある物質が金属になるか絶縁体になるかは最外殻の価電子が作るバンドが部分的につまっているか完全に詰まっているかの違いによる。

家泰弘『物性物理』（産業図書）

有効質量（電子と正孔）

正の有効質量 負の有効質量

正孔による描像

電流

運動方程式

負の有効質量

正の電荷をもつ粒子としてふるまう

結晶場中の電子のフェルミ面

•準自由電子近似：ブルリアンゾーンの境界で分散関係がひずむ

フェルミ面２次元正方格子 準自由電子近似

Na, K

Be, Mg

1原子あたり1個の電子

電子とホールが同数ある物質半金属

家泰弘『物性物理』（産業図書）

フェルミ面２次元正方格子 準自由電子近似

家泰弘『物性物理』（産業図書）

開いたフェルミ面

家泰弘『物性物理』（産業図書）

→ 伝導現象に影響