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II

El lenguaje de la lógi a proposi ional

Ad astra per aspera

1

En este apítulo desarrollamos on toda formalidad el ál ulo proposi ional, mismo que ya

fue introdu ido en el apartado previo. Empezaremos por de�nir lo que es un lenguaje formal

y, omo aso parti ular de éste, de�nimos el lenguaje proposi ional. A partir de un alfabeto

introdu imos la sintaxis de nuestro lenguaje y la semánti a. Después de revisar brevemente

las tablas de verdad, de�nimos tautología, equivalen ia y la importante no ión de onse uen ia

lógi a. Es importante estable er algunos he hos relativos a la historia de las no iones que aquí

apare erán.

1

A las estrellas por el amino difí il.

31

32 II. El lenguaje de la lógica proposicional

Podemos de ir que la línea divisoria entre la lógi a lási a y la moderna se en uentra en 1847,

uando George Boole (1815-1864) publi ó una obra tratando on gran antidad de esquemas

de argumentos válidos de enorme omplejidad (véase [Bo47℄ y [Bo54℄). A tualmente se ono e

al ál ulo de Boole omo ál ulo Proposi ional. Otros estudiosos er anos a la épo a de Boole

fueron Augustus De Morgan (1806-1871) y C. S. Peir e (1839-1914).

Otro grupo relevante para el origen de la lógi a matemáti a lo onstituyen los matemáti os

dedi ados a la teoría de la demostra ión, entre quienes se uenta a Gottlob Frege (1848-1925),

Giuseppe Peano (1858-1932), David Hilbert (1862-1943), Bertrand Russell (1872-1970), Ja ques

Herbrand (1908-1931) y el alemán muerto trági amente Gerhard Gentzen (1909-1945). Su

objetivo fue sistematizar el razonamiento matemáti o, de tal suerte que ualquier hipótesis se

hi iera explí ita y ada etapa fuera rigurosamente fundamentada. Para Hilbert la meta fue

ha er el razonamiento matemáti o mismo parte del estudio de las matemáti as, tanto para

justi� ar el in�nito en esta ien ia omo para estable er un nuevo método en la investiga ión

matemáti a.

Las tablas de verdad fueron introdu idas por C. S. Peir e (véase Pe02). Fue E. Post, uno de

II.2. Lenguajes formales 33

los fundadores de la teoría de lenguajes formales, quien en 1921 introdujo la no ión de prueba

por indu ión en la onstru ión de una fórmula. El lema de interpola ión, publi ado en 1957,

se debe a Craig y mu ha de la nota ión y métodos de trabajo apare en en [HiBe34℄.

II.1 Introdu ión

En el apítulo previo el le tor en ontró ejemplos de ómo tradu ir el lenguaje otidiano a un

lenguaje simbóli o. El objeto de este pro eso es eliminar ambigüedades que suelen o urrir en

el lenguaje oloquial.

Como veremos, el lenguaje proposi ional es un aso parti ular de un lenguaje formal. Es su-

� ientemente poderoso para expresar mu has situa iones de la vida diaria, varios enun iados

matemáti os y representar situa iones físi as. Sin embargo, mu has a�rma iones matemáti as

son inexpresables a través de él. Es por ello que más adelante extenderemos nuestro lenguaje y

onsideraremos on toda generalidad los lenguajes formales. Por ahora, es onveniente famil-

iarizarnos on ellos mediante un lenguaje más simple, omo lo es el lenguaje proposi ional.

Es más fá il tratar y operar on él. De he ho, mu has de las propiedades relevantes de los

lenguajes formales se re�ejan en él. Pero desde su de�ni ión quedará en eviden ia que no uenta

on todos los elementos requeridos, impres indibles, para expresar las posibles proposi iones

que podamos en ontrar.

II.2 Lenguajes formales

Para omenzar de�nimos lenguaje formal en toda su generalidad, aunque en el resto del apí

tulo trabajeremos on un aso parti ular, on un lenguaje formal muy espe ial.

De�ni ión II.2.1. El alfabeto de un lenguaje formal onsiste en:

➩ Una antidad numerable de variables

v0, v1, v2, . . . , x0, x1, x2, . . . , y0, y1, y2, . . .

➩ Cone tivos lógi os

→,↔,¬,∧,∨.

➩ Paréntesis izquierdo y dere ho

(, )

➩ Cuanti� adores

∃ , ∀ .

➩ Símbolos de predi ados

P = {Pi : i ∈ I}.


➩ Símbolos de onstantes:

C = {cj : j ∈ J}.

➩ Símbolos de fun ión

F = {fk : k ∈ K}.

Antes de ontinuar, el le tor debe estar ons iente de que lo re ién des rito no es otra osa que

una ole ión de símbolos, sin ningún signi� ado intrínse o. Por supuesto, después se verá, que

ada símbolo se usará on un signi� ado intuitivo obvio. Con ada símbolo de predi ado Pi y ada símbolo de fun ión fk está aso iado un número entero positivo: la antidad de variables

permitidas por f o P .Esta es la de�ni ión general de lenguaje formal. Restringiendo los posibles símbolos, se obtienen

lenguajes parti ulares omo el lenguaje de la aritméti a, de la teoría de grupos o de la teoría

de anillos. En apítulos posteriores se estudiará esto on detalle. Por lo pronto obtenemos un

aso parti ular de lenguaje formal: el lenguaje proposi ional.

II.3 El lenguaje

De�ni ión II.3.1. El lenguaje del ál ulo proposi ional es un lenguaje formal en el que no hay

símbolos de predi ado, tampo o de fun ión o onstante. Además, are emos de uanti� adores.

En este lenguaje las variables se denotan generalmente on mayús ulas P,Q,R, . . . y se llaman

variables proposi ionales. En resumen, el alfabeto del ál ulo proposi ional onsiste en:

➨ Variables proposi ionales

P,Q,R, . . .

➨ Cone tivos lógi os

∧,∨,→,↔,¬.

➨ Paréntesis

(, ).

II.3.1 Sintaxis del lenguaje proposi ional

Ya que ono emos nuestro alfabeto, de�niremos ómo onstruir sus palabras, es de ir, debemos

des ribir la sintaxis de nuestro lenguaje. Con este alfabeto se onstruyen palabras, que no

son otra osa que iertas adenas de símbolos del alfabeto. Pero no toda adena puede ser

admisible omo palabra. Por ello des ribimos uáles palabras son a eptables. Las palabras

a eptables se ono en omo fórmulas o proposi iones. Las reglas que espe i� an qué se uen ias

son admisibles onstituyen la sintaxis de nuestro lenguaje.

Las proposi iones más simples son las variables proposi ionales, que se llaman fórmulas primi-

tivas o atómi as. De�namos formalmente las fórmulas.

II.3. El lenguaje 35

De�ni ión II.3.2. Una fórmula atómi a o primitiva es ualquier variable proposi ional.

Se a ostumbra usar letras griegas ψ, ϕ, θ, α, . . . para denotar fórmulas. Ya que tenemos de�nidas

las fórmulas más simples, podemos onstruir fórmulas más omplejas.

De�ni ión II.3.3. Si ϕ, ψ son fórmulas, también lo son

(ϕ ∧ ψ), (ϕ ∨ ψ), (¬ψ), (ψ → ϕ), (ψ ↔ ϕ).

¾Cómo se debe entender esta onstru ión? Supongamos que P,Q son variables proposi ionales,

es de ir, son fórmulas primitivas o atómi as. Según la de�ni ión, las adenas de símbolos

(tomando, por ejemplo, a P omo ϕ y a Q omo ψ):

(P ∨Q), (P ∧Q)

son fórmulas, omo también lo son

(P → Q), (P → (P ∨Q)), (¬P → ¬Q).

Podemos onstruir fórmulas aun más ompli adas, que involu ren más variables proposi ionales:

(P → (Q ∧ ¬R)), (Q ∨ (P ∧ R))↔ (T ∨ V ∨W ),W → (¬U ∧ ¬R).

Como también lo son

¬(R),¬¬(R),¬¬¬(R),¬¬¬¬¬¬(P ).y, por supuesto, otras mu has posibles adenas.

Sólo aquellas expresiones que podamos obtener a partir de nuestro alfabeto mediante la de�ni-

ión II.3.2 o II.3.3 se onsideran fórmulas. Ejemplos de adenas de sí mbolos de nuestro alfabeto

que no son fórmulas:

¬ ∧ P → ∨, P ∨Q→, R ∨ P¬, ¬¬ → P.

N Si denotamos on C(L) al onjunto de todas las posibles adenas �nitas de símbolos de

nuestro alfabeto L, es laro que el onjunto de fórmulas es un sub onjunto propio de C(L).Formalmente:

De�ni ión II.3.4. El onjunto Fml de fórmulas proposi ionales en el alfabeto L es el sub on-

junto más pequeño de C(L) tal que

➀ Cada variable proposi ional pertene e a Fml.

➁ Si ϕ ∈ Fml, también ¬ϕ pertene e a Fml.

➂ Si ϕ, ψ pertene en a Fml, también pertene en a Fml:

(ϕ ∧ ψ), (ϕ ∨ ψ), (ϕ→ ψ), (ϕ↔ ψ).


En otras palabras, Fml es el sub onjunto más pequeño de C(L) que ontiene a todas las

variables proposi ionales y es errado respe to a las opera iones:

ϕ 7→¬ϕ(ϕ, ψ) 7→(ϕ ∧ ψ)(ϕ, ψ) 7→(ϕ ∧ ψ)(ϕ, ψ) 7→(ϕ→ ψ)

(ϕ, ψ) 7→(ϕ↔ ψ).

Observe que C(L) tiene estas propiedades, pero Fml es el menor que también satisfa e estas

propiedades.

Después veremos que es posible simpli� ar la nota ión y es ribir, por ejemplo,

P ∨Q

en lugar de

(P ∨Q).

Mn Aun podemos ser más pre isos en uanto a la de�ni ión de Fml. Una vez que demos otra

de�ni ión de Fml, la pregunta natural será ¾para qué ompli ar más las osas? La respuesta

es que mientras más pre isa sea una de�ni ión, es más fá il trabajar on ella o orroborar que

algo la umple. Será más simple des ribir propiedades de fórmulas si se uenta on la siguiente

de�ni ión:

De�ni ión II.3.5. Por re ursión en n de�nimos una su esión de sub onjuntos de C(L). Em-

pezamos on las variables proposi ionales:

Fml0 = {P,Q,R, . . .}

En general

Fmln+1 =Fmln ∪ {¬ϕ : ϕ ∈ Fmln}∪{(ϕ⊚ ψ) : ϕ, ψ ∈ Fmln,⊚ ∈ {∨,∧,→,↔}}.

Note que

Fml0 ⊆ Fml1 ⊆ · · · ⊆ Fmln ⊆ Fmln+1 ⊆ · · ·

Proposi ión II.3.6.

Fml =⋃

n∈NFmln

Demostra ión. Sea F =⋃n∈N Fmln. Debemos veri� ar que este onjunto umple on las

propiedades que exigimos a Fml. Es laro que F ontiene a las variables proposi ionales, pues


éstas se en uentran en Fml0 ⊆ F . Si ϕ, ψ ∈ F , existen n,m ∈ N tales que ϕ ∈ Fmln, ψ ∈Fmlm, por lo que si n ≤ m, ϕ, ψ ∈ Fmlm; se sigue que

(ϕ ∧ ψ), (ϕ ∨ ψ), (¬ϕ), (ϕ→ ψ), (ϕ↔ ψ)

pertene en a Fmlm+1 ⊆ F . En onse uen ia, F es errado respe to a las opera iones men-

ionadas. Puesto que Fml es el sub onjunto menor on tales propiedades, dedu imos que

Fml ⊆ F.

Ahora debemos probar que F ⊆ Fml. Para ello basta probar que Fmln ⊆ Fml para toda

n ∈ N. Pro edemos por indu ión en n. Para n = 0, Fml0 onsiste en variables proposi ionales

que por de�ni ión están en Fml.

Supongamos que Fmln ⊆ Fml. Debemos orroborar que Fmln+1 ⊆ Fml. Si ϕ ∈ Fmln+1,

quiere de ir que:

1) ϕ ∈ Fmln, en uyo aso ϕ ∈ Fml por hipótesis de indu ión.2) Existen ϕ1, ϕ2 ∈ Fmln tales que

ϕ ≡ (ϕ1 ⊚ ϕ2) para ⊚ ∈ {∨,∧,→,↔}

o

ϕ ≡ ¬(ϕ1).

En ambos asos, por de�ni ión de Fml, ϕ ∈ Fml.Por lo tanto, Fmln ⊆ Fml para toda n ∈ N, por lo que F =

⋃n∈N Fmln ⊆ Fml y junto on lo

ya probado arroja la on lusión

F = Fml.

❒

mEsta proposi ión nos da una idea de ómo se onstruyen las fórmulas "desde abajo": se ini ia on

variables proposi ionales, se vin ulan éstas mediante one tivos y las fórmulas así onstruidas

se vuelven a ligar mediante one tivos, et . Por ejemplo

(P ∨Q)

apare e en Fml1, mientras que [(P ∨Q)→ P ]↔ [(R ∨ S)→ (P ∧Q)] apare e en Fml3. Paravisualizar la onstru ión de una fórmula, es útil elaborar su árbol de forma ión: tales árboles

(en realidad árboles invertidos) tienen omo raíz una fórmula dada ϕ y omo hojas, las variables

proposi ionales que apare en en ϕ. Los nodos se forman de a uerdo a ómo se onstruye ϕ.Un ejemplo a lara ompletamente la onstru ión del árbol:


(P ∨Q) ↔ [(¬R ∨ ¬W ∨ ¬V ) → ((P ∧R) ↔ (V ∨W ))]

P ∨Q

P Q

(¬R ∨ ¬W ∨ ¬V ) → ((P ∧ R) ↔ (V ∨W ))

¬R ∨ ¬W ∨ ¬V

¬R ∨ ¬W

¬R

R

¬W

W

¬V

V

((P ∧ R) ↔ (V ∨W ))

P ∧R

P R

V ∨W

V W

N Esta observa ión nos permite aso iarle un rango

2

a ada fórmula ϕ:

De�ni ión II.3.7. El rango de una fórmula, en símbolo rg(ϕ), es el menor natural n tal que

ϕ ∈ Fmln.Como ya vimos

rg(P ∨Q) = 1

rg((P ∨Q)→ (R ∨ S)) = 2

rg(¬¬¬(P ∨Q)) = 4.

Note que, on la no ión de rango a nuestra disposi ión, podemos distinguir al estrato Fmln omo aquellas fórmulas de rango ≤ n. Además,

rg(¬ϕ) ≤rg(ϕ) + 1

rg(ϕ⊚ ψ) ≤max(rg(ϕ), rg(ψ)) + 1,

donde ⊚ ∈ {∨,∧,→,↔}.La no ión de rango tiene gran utilidad omo a ontinua ión veremos. Suponga que queremos

veri� ar si ierta propiedad P está presente en ada fórmula ϕ. La forma natural de pro eder es

tomar una fórmula arbitraria ϕ y tratar de probar que tiene la propiedad P. En raras o asiones

tendrá éxito este pro eder, pues hay po as ara terísti as de la fórmula genéri a a las que

podamos apelar. Pero podemos re urrir a un método ono ido usando la no ión de rango. El

le tor sabe ómo probar si una propiedad es ierta para todo número natural. Se pro ede por

indu ión aprove hando el he ho de que los números naturales son un onjunto bien ordenado,

pero también de la forma tan espe ial en la que se onstruyen. De he ho, ada natural es ero

o el su esor de otro natural. Esta ara terísti a es sus eptible de trasladarse al dominio de las

fórmulas on las modi� a iones apropiadas.

Suponga que P es la propiedad en uestión y que queremos probar que ada fórmula ϕ tiene

esta propiedad, lo ual es ribiremos omo P(ϕ). Primero probamos P(P ) para toda variable

2

En el di ionario de M. Moliner: rango es una de las ategorías en las que se dividen determinados datos

en una lasi� a ión.


proposi ional P , es de ir, probamos P(ψ) para toda ψ ∈ Fml0. Después suponemos P(ϕ) paratoda fórmula en Fmln. Con esta hipótesis probamos P(ψ) para toda fórmula ψ ∈ Fmln+1, y

habremos veri� ado que toda fórmula ϕ tiene la propiedad P. Esto se justi� a en el siguiente

lema.

La úni a di� ultad on el pro edimiento re ién des rito es lo ambiguo que suena la palabra

"propiedad". Formalizar qué entendemos por propiedad requiere subir una etapa en nuestro

desarrollo, y de�nir propiedad omo algo expresable mediante una fórmula en un lenguaje

formal. Aquí apare e por primera vez la pobreza de nuestro lenguaje proposi ional, pues no

podemos expresar propiedades generales que in luso se re�eren a nuestro lenguaje. Por ello,

dejamos un tanto vaga nuestra no ión de propiedad, pero el le tor no tendrá di� ultad en

dis riminar, dada una propiedad, si ésta tiene sentido para fórmulas proposi ionales o no.

Lema II.3.8. Sea P una propiedad apli able a fórmulas. Suponga que

➀ Se umple P(P ) para toda variable proposi ional.

➁ Si se umple P(ϕ) para toda ϕ ∈ Fmln, enton es se umple P(ψ) para toda ψ ∈ Fmln+1,

para todo natural n.

Enton es P(ϕ) para toda fórmula ϕ.

Demostra ión. Supongamos iertas las ondi iones ➀ y ➁, pero que P no se umple para toda

fórmula. Puesto que ada fórmula tiene aso iado un rango, que es un número natural, de

entre las fórmulas que no umplen P podemos elegir alguna que tenga el menor rango posible,

digamos que es ogemos ϕ on rango mínimo k. Esto quiere de ir, entre otras osas, que k > 0pues P se umple para toda variable proposi ional, y que P se umple para toda fórmula ψ en

Fmll para l < k.Puesto que k > 0, sabemos que k tiene la forma k = l + 1 para alguna l ∈ N. Pero enton es P

se umple para toda fórmula en Fmll, por lo que de ➁ se dedu e que P se umple para toda

fórmula ψ ∈ Fmll+1, lo que impli a que se umple para ϕ. Una ontradi ión que prueba la

validez de P para toda fórmula. ❒

Sea l(ϕ) la longitud de la fórmula ϕ sin ontar los paréntesis, es de ir, la antidad de sí mbolos

de nuestro alfabeto que apare en en ϕ. Por ejemplo ϕ ≡ (P ∧Q↔ R) tiene longitud 5, mientras

que ψ ≡ ¬(R) tiene longitud 2.

Lema II.3.9. El rango de una fórmula es estri tamente menor que su longitud. En símbolos

rg(ϕ) < l(ϕ) para toda fórmula ϕ.

Demostra ión. Re urrimos al lema II.3.8 para probar nuestra a�rma ión. En orresponden ia,

debemos er iorarnos de que se umplen las ondi iones ➀ y ➁ de aquél.

Si P una variable proposi ional, rg(P ) = 0 mientras que su longitud es 1.

Ahora supongamos que la a�rma ión se umple para toda fórmula en Fmln. Debemos orrobo-

rar que también esto o urre en Fmln+1. Sea ϕ ∈ Fmln+1. Por la de�ni ión de Fmln+1 sabemos

que ϕ ∈ Fmln o ϕ se onstruye a partir de fórmulas en Fmln. No vale la pena onsiderar la


primera alternativa, pues ya sabemos que en tal aso nuestra a�rma ión se umple. Así que

asumamos que ϕ ≡ ¬ψ o que ϕ ≡ ϕ1 ⊚ ϕ2 para ψ, ϕ1, ϕ2 ∈ Fmln y ⊚ ∈ {∨,∧,→,↔}.Por hipótesis rg(ψ) < l(ψ) así omo rg(ϕ1) < l(ϕ1) y rg(ϕ2) < l(ϕ2). Si ϕ ≡ ¬ψ, enton esrg(ϕ) = n + 1 < l(ψ) + 1 = l(ϕ). Si ϕ ≡ ϕ1 ⊚ ϕ2, enton es rg(ϕ) = n+ 1, rg(ϕi) < l(ϕi) parai = 1, 2. Además, rg(ϕ) = max(rg(ϕ1), rg(ϕ2))+1, por lo que rg(ϕ) < l(ϕ1)+l(ϕ2)+1 = lg(ϕ).Con lo anterior hemos orroborado las hipótesis del lema II.3.8, lo que nos permite asegurar

que la a�rma ión es ierta para toda fórmula. ❒

MYa que hemos des rito la sintaxis de nuestro lenguaje, el paso siguiente será otorgarle signi� ado

a las fórmulas. To a enton es el turno a la semánti a del ál ulo proposi ional.

En el resto del apítulo, uando hablemos de fórmulas, entenderemos que se trata de fórmulas

proposi ionales.

II.3.2 Semánti a del ál ulo proposi ional

Ya sabemos ómo onstruir fórmulas (proposi iones), pero no sabemos qué signi� an ada una

de ellas. Pro ederemos a dotar de signi� ado a nuestro lenguaje. Es ogemos la forma más

simple de ha erlo: dada una proposi ión debemos ser apa es de de idir si es verdadera o falsa;

más que de idir, debemos a ordar uándo la fórmula es verdadera o falsa. La forma más simple

de pro eder es mediante tablas de verdad, mismas que el le tor ya en ontró en el apítulo

previo. A ontinua ión damos un breve repaso de las mismas.

El lenguaje de la lógi a proposi ional ontiene símbolos para "no", "y", "o", "impli a" y "si y

sólo si". Estas palabras se representan mediante los siguientes símbolos:

¬ ≡ no ∨ ≡ o ↔ ≡ si y sólo si

∧ ≡ y → ≡ impli a

Considere el ejemplo: Ella se enfermó y ella fue al hospital, que no tiene el mismo signi� ado,

en lenguaje otidiano, que: Ella fue al hospital y ella se enfermó.

En la lógi a proposi ional A ∧ B es equivalente a B ∧ A. También A ∨ B es igual a B ∨ A.Además A ∨B signi� a A o B, pero también A o B o ambas son verdaderas.

Puesto que pretendemos que nuestras fórmulas sólo puedan ser verdaderas o falsas, lo mismo

debe o urrir on las variables proposi ionales, por lo que si P es una variable proposi ional, sólo

puede ser verdadera, V, o falsa, F . Con esto onstruimos las tablas de verdad para fórmulas

más omplejas, para ello sólo requerimos ono er el valor de verdad de iertas subfórmulas,

es de ir, adenas de nuestro alfabeto que son segmentos de la fórmula dada y por sí mismas

onstituyen fórmulas.

De�ni ión II.3.10. Las siguientes reglas de�nen las subfórmulas de una fórmula:

❶ Cualquier fórmula es una subfórmula de sí misma.

❷ Cualquier subfórmula de F es una subfórmula de ¬F .


❸ Cualquier subfórmula de F oG es una subfórmula de (F∧G), lo mismo para (F∨G), (F ↔G) y (F → G).

Ejemplo II.3.11. Sean A,B atómi as y ϕ la fórmula ¬((¬A ∧ ¬B) ∧ ¬(¬P ↔ Q)).La su esión (A∧¬B)∧(¬ es una sub adena, pero no una subfórmula de ϕ, pues no hay manera

de onstruir ϕ a partir de A ∧ ¬B) ∧ (¬ mediante las reglas dadas.

Las subfórmulas de ϕ son A,B, ¬A, ¬B, (¬A ∧ ¬B), (¬P ↔ Q), ¬P , P , Q, ((¬A ∧ ¬B) ∧¬(¬P ↔ Q)), ¬(¬P ↔ Q) y ϕ.

Así, si ϕ ≡ (ϕ1 ⊚ ϕ2), donde ⊚ ∈ {∧,∨,→,↔}, sólo requerimos ono er el valor de verdad de

ϕ1 y ϕ2 para ono er el de ϕ, re urriendo a las tablas de verdad del one tivo que representa

⊚. Lo mismo o urre si ϕ ≡ ¬(ψ).Ahora las tablas de verdad de los one tivos:

Empezamos on la nega ión:

ϕ ¬ϕV F

F V

Esta tabla se debe leer de la siguiente forma: si ϕ es verdadera, ¬ϕ es falsa, y si ϕ es falsa, ¬ϕes verdadera. En forma análoga se leen las tablas de los demás one tivos:


La onjun ión

ϕ ψ ϕ ∧ ψV V V

V F F

F V F

F F F

La disyun ión

ϕ ψ ϕ ∨ ψV V V

V F V

F V V

F F F

La ondi ional

ϕ ψ ϕ→ ψV V V

V F F

F V V

F F V

La ondi ional P → Q se lee: si P enton es Q; otras posibles formas de expresarla son: Pimpli a Q, Q si P , Q es una onse uen ia de P , Q suponiendo P , P es una ondi ión su� iente

para Q, Q es una ondi ión ne esaria para P .Si P → Q es la ondi ional, Q → P es su onversa, ¬P → ¬Q su inversa y ¬Q → ¬P su

ontrapositiva.

La bi ondi ional (si y sólo si)

ϕ ψ ϕ↔ ψV V V

V F F

F V F

F F V

En la bi ondi ional P ↔ Q, P es una ondi ión ne esaria y su� iente para Q. Lo mismo puede

de irse de Q respe to a P .Una vez que tenemos a nuestra disposi ión estas tablas, podemos onstruir la tabla de ualquier

fórmula, al menos teóri amente. Si β es la fórmula ((P ∧ ¬Q) ∨ ¬(P ∧ R)), enton es la tabla

de verdad de β es:


P Q R ¬Q P ∧ ¬Q P ∧ R ¬(P ∧R) βV V V F F V F FV V F F F F V VV F V V V V F VV F F V V F V VF V V F F F V VF V F F F F V VF F V V F F V VF F F V F F V V

En lo su esivo quitaremos los paréntesis de las nega iones, es de ir, en lugar de es ribir ¬(ϕ),es ribiremos simplemente ¬ϕ.Con seguridad el le tor observó que teniendo la fórmula sólo tres variables proposi ionales, la

tabla ontiene o ho renglones. Si involu ramos n variables, la tabla tendrá 2n renglones. Para

n grande, onstruir la tabla se vuelve laborioso, omo lo ilustra el ejemplo previo.

ϕ ψ ϕ→ ψ ψ → ϕ (ϕ→ ψ) ∧ (ψ → ϕ) ϕ↔ ψV V V F V VV F F F F FF V V F F FF F V F V V

Las últimas dos olumnas son idénti as. En este aso, de imos que las fórmulas (ϕ→ ψ)∧(ψ →ϕ) y (ϕ ↔ ψ) son equivalentes, que representan lo mismo. Igualmente (A → B) y (¬A ∨ B)son equivalentes (½veri� arlo!).

II.3.3 Conven iones

A ontinua ión estable emos reglas que simpli� an la es ritura de fórmulas, en parti ular,

eliminan la mayor parte de los paréntesis requeridos, hasta ahora, para es ribir una fórmula.

La nega ión es más fuerte que ualquier otro one tivo, es de ir, a túa de inmediato sobre la

fórmula más próxima a la dere ha, antes que ualquier otro one tivo involu rado. Por ejemplo,

¬(ϕ)→ β se simpli� a a ¬ϕ→ β.

La onjun ión y la disyun ión son más fuertes que → y ↔. Con esta onven ión podemos

eliminar paréntesis en fórmulas. Por ejemplo,

(¬ϕ ∧ ψ) se abrevia omo ¬ϕ ∧ ψ.((ϕ ∧ ¬ψ)→ α) se redu e a ϕ ∧ ¬ψ → α.

((ϕ ∧ ψ) ∨ (¬α)) es (ϕ ∧ ψ) ∨ ¬α.¬(ϕ→ ψ)→ (α ∨ β) se abrevia ¬(ϕ→ ψ)→ α ∨ β.


II.4 Argumentos válidos

Ya vimos que a ada fórmula del ál ulo proposi ional se le puede aso iar una tabla de verdad.

Si la última olumna de esta tabla onsiste ex lusivamente en V , la fórmula se ono e omo

una tautología.

De�ni ión II.4.1. Una fórmula del ál ulo proposi ional es una tautología si es verdadera

para ualquier valor de verdad de sus variables proposi ionales.

Ejemplos de tautología los onstituyen las siguientes fórmulas: A∨¬A, A∧¬A→ (B∨C → D),¬(A ∧ B)↔ ¬A ∨ ¬B.Si una fórmula es falsa para todos los valores de verdad de sus variables proposi ionales, es una

ontradi ión. La nega ión de una tautología es una ontradi ión y vi eversa. Las fórmulas

A ∧ ¬A y A↔ ¬A son ontradi iones.

Si ϕ y ψ son fórmulas tales que ϕ → ψ es una tautología, de imos que ϕ impli a tautológi a-

mente a ψ, en símbolos ϕ⇒ ψ.Si ϕ ↔ ψ es una tautología, de imos que ϕ es tautológi amente equivalente a ψ, en símbolos

ϕ⇔ ψ.Por ejemplo, A⇔ A ∧ A y A⇒ A ∨ B.Si ϕ1, . . . , ϕn y ψ son fórmulas, de imos que ϕ1, . . . , ϕn impli an tautológi amente a ψ, siϕ1 ∧ ϕ2 ∧ ϕ3 ∧ . . . ∧ ϕn → ψ es una tautología, en símbolos ϕ1 ∧ · · · ∧ ϕn ⇒ ψ.

Teorema II.4.2.

ϕ1, . . . , ϕn impli an tautológi amente a ψ si y sólo si siempre que ϕ1, . . . , ϕn son

verdaderas también lo es ψ.

Teorema

Demostra ión. Supongamos que ϕ1, . . . , ϕn impli an tautológi amente a ψ. Enton es ϕ1∧ϕ2∧ϕ3 ∧ . . . ∧ ϕn → ψ es una tautología. Si ϕ1, . . . , ϕn son verdaderas, ψ también tiene que ser

verdadera.

Re ípro amente, supóngase que ψ es verdadera siempre que ϕ1, . . . , ϕn lo son.

La úni a forma en que ϕ1∧ϕ2∧ϕ3∧ . . .∧ϕn → ψ sea falsa es uando ϕ1, · · · , ϕn son verdaderas

y ψ es falsa, lo ual no puede pasar por nuestra hipótesis, así que ϕ1 ∧ ϕ2 ∧ ϕ3 ∧ · · · ∧ ϕn → ψ,es una tautología.

❒

Con este teorema se redu e un po o nuestro trabajo para determinar si una fórmula ondi ional

es una tautología, pues sólo debemos er iorarnos que en la tabla de verdad, en la última

olumna, sólo aparez a V en aquellos renglones donde el ante edente es verdadero.

Ejemplo II.4.3. Considere las fórmulas P1 ≡ A→ B, P2 ≡ ¬A→ C, P3 ≡ C → B, Q ≡ B.Para dis ernir si P1 ∧ P2 ∧ P3 ⇒ Q, onstruimos la tabla de verdad orrespondiente:

II.4. Argumentos válidos 45

A B C A→ B ¬A→ C C → B BV V V V V V VV V F V V V VV F V FV F F FF V V V V V VF V F V FF F V V V FF F F V F

No tenemos que llenar toda la tabla, sino sólo aquellos renglones en los que las premisas son

todas verdaderas simultáneamente.

Puesto que siempre que las premisas son simultáneamente verdaderas, la on lusión también

es verdadera, se on luye que P1, P2, P3 impli an tautológi amente a Q: P1 ∧ P2 ∧ P3 ⇒ Q.

Ahora suponga que tenemos:

➊ P1 ≡ A→ B.

➋ P2 ≡ C → ¬A.

➌ P3 ≡ C → B.

➍ Q ≡ B.

De alguna manera sabemos que P1, P2, P3 no impli an tautológi amente a Q.Tratamos de bus ar un aso en que las premisas sean verdaderas, pero que la on lusión sea

falsa.

Comenzamos suponiendoQ falsa, es de ir, B es F. Tratemos de en ontrar valores de verdad para

las variables proposi ionales de P1, P2, P3 que hagan a estas fórmulas verdaderas simultánea-

mente, suponiendo que B es falsa.

En tal aso, de P1 sabemos que A debe ser F. De P3, C debe ser F.

Llegamos a :

A B C A→ B C → ¬A C → B BF F F V V V F

Logramos, enton es, exhibir un renglón de la tabla en el que las premisas son simultáneamente

verdaderas y la on lusión es F, por lo que P1, P2, P3 no impli an tautológi amente a Q.

De�ni ión II.4.4. Un argumento es un onjunto de premisas ϕ1, ϕ2, . . . ϕn y una on lusión

ψ.El argumento es válido si

ϕ1 ∧ . . . ∧ ϕn ⇒ ψ


Ejemplo II.4.5. Determine la validez del siguiente argumento: Si el perro ladra, enton es el

perro no está en la asa. Si el perro está en la asa, enton es alguien está en la puerta si el

perro ladra. Una ondi ión ne esaria para que el perro esté en la asa es que el perro ladre.

Por lo tanto, si el perro no ladra, nadie está en la puerta.

➊ B ≡ el perro ladra.

➋ H ≡ el perro está en la asa.

➌ D ≡ alguien está en la puerta.

Premisas: B → ¬H , H → (B → D), H → B.Con lusión: ¬B → ¬D (o ¬D ∨B).Tratemos de probar que el argumento no es válido. De no lograrlo, trataremos de probar que

el argumento es válido. Pero por supuesto, no puede ser ambas osas a la vez.

Ha emos falsa la on lusión y tratamos de ha er verdaderas a las premisas:

B D H B → ¬H H → (B → D) H → B ¬B → ¬DF V F V V V F

Así que el argumento es inválido.

Ejemplo II.4.6. Si el perro ladra, enton es el perro está en la asa. Si el perro está en la asa,

y si el perro ladra, alguien está en la puerta. En efe to, el perro ladra. Por lo tanto, alguien

está en la puerta.

Premisas: B → H , H → (B → D), B.Con lusión: D.

En este aso "intuimos" que el argumento es válido, por lo que onstruimos la tabla de verdad

aso iada:

B D H B → H H → (B → D) B DV V V V V V VV V F FV F V V FV F F FF V V V V FF V F V V FF F V V V FF F F V F F

Así, el argumento es válido.

Es muy importante observar que la validez de un argumento depende sólo de su estru tura y

no de la interpreta ión o erteza de las premisas en la "vida real".

II.5. Validez, satisfacibilidad y contradicción 47

También note que si un argumento involu ra mu has variables proposi ionales, la tabla de

verdad re e exponen ialmente y se vuelve intratable en la prá ti a. Por ello requerimos de-

sarrollar un método alternativo para veri� ar la validez de un argumento. Este método será el

de prueba formal.

Para ha er más asequible la no ión de prueba formal y su rela ión on la validez de argumentos,

requerimos aislar iertas no iones importantes que ya apare ieron en nuestro tratamiento de

tablas de verdad.

II.5 Validez, satisfa ibilidad y ontradi ión

Sea S = {A1, . . . , An} un onjunto de fórmulas atómi as. Sea F(S) el onjunto de todas las

fórmulas que se pueden onstruir on las fórmulas de S.

De�ni ión II.5.1. Una asigna ión en S es una fun ión A : S −→ {V, F}.

Esto es, una asigna ión A en S aso ia valores de verdad a ada fórmula atómi a (variable

proposi ional) de S. Una asigna ión A en S se extiende de manera natural a F(S).

De�ni ión II.5.2. Dada una fórmula ϕ en F(S) y una asigna ión A en S, podemos obtener

el valor de A(ϕ), es de ir, extendemos A simplemente al ulando el renglón de la tabla de

verdad de ϕ orrespondiente a la asigna ión A. Si bien obtenemos una nueva fun ión A uyo

dominio es más grande que el de A (pues el dominio de A es el onjunto de todas las fórmulas),

preferimos llamar A a la nueva fun ión A.

Esta de�ni ión que puede pare er ompli ada, en realidad es muy sen illa: si tenemos ϕ pode-

mos onstruir su tabla de verdad T . Resta notar que ada renglón de T representa una asig-

na ión A, nos referimos a aquellas olumnas que involu ran sólo variables proposi ionales.

Puesto que ya tenemos la asigna ión A, la extensión A está representada por el resto de las

olumnas y el valor A(ϕ) es pre isamente la última olumna. Dado que el valor de la última

olumna está ompletamente determinado por los valores de verdad de las variables proposi-

ionales en ϕ, es de ir, por A, podemos abusar de la nota ión y ha er lo ya men ionado: llamar

A a A.Por supuesto, si tenemos el valor de verdad de ada variable proposi ional involu rada en ϕ,no ne esitamos onstruir toda la tabla de verdad de ϕ para determinar A(ϕ). Basta onstruir

el renglón orrespondiente, usando la de�ni ión de los one tivos que apare en en ϕ.En iertos asos una asigna ión A en S también se puede extender a fórmulas que no están en

F(S). Suponga que ϕ0 /∈ F(S). Sea S0 el onjunto de subfórmulas atómi as de ϕ0. Si toda

extensión de A a S∪S0 toma el mismo valor para ϕ0, enton es de�nimos A(ϕ0) omo ese valor.

Ejemplo II.5.3. Sean A y B fórmulas atómi as. Sean A la asigna ión en {A,B} de�nida omo A(A) = V y A(B) = F . Enton es:

A(A ∧ B) = F A(A ∨ B) = VA(A ∧ (C ∨ ¬C)) = V A(B ∨ (C ∧ ¬C)) = F


La razón de que A(A ∧ (C ∨ ¬C)) = V , es porque A(A) = V y que no importa el valor de

verdad de C, (C ∨ ¬C) siempre toma el valor de verdad V.

Igualmente A(B ∨ (C ∧ ¬C)) = F , pues AB = F y (C ∧ ¬C) toma el valor F, sin importar

qué valor adopte C.

En lo su esivo, asigna ión es una fun ión uyo dominio es el onjunto de fórmulas Fml y tiene

omo ontradominio el onjunto {V, F}, es de ir, nuestras asigna iones están de�nidas en toda

fórmula, de tal forma que A(ϕ) 6= A(¬ϕ).Por lo anterior, las asigna iones se de�nen ex lusivamente en todas las variables y se extienden,

ne esariamente en forma úni a, a toda fórmula.

Sean A una asigna ión y ϕ una fórmula. Si A(ϕ) = V , de imos que ϕ se umple respe to a A.En forma equivalente, de imos que A es un modelo de ϕ. Para esto es ribimos:

A � ϕ

De�ni ión II.5.4. Una fórmula es válida si se umple respe to a toda asigna ión. Usamos

� ϕ para de ir esto. Una fórmula válida es una tautología.

Ejemplo II.5.5. La fórmula (C ∨ ¬C) es una tautología. Otros ejemplos de tautologías son

A→ A y B ↔ B.

De�ni ión II.5.6. Una fórmula es satisfa ible si se umple para alguna asigna ión.

Las fórmulas A → B y A ∧ ¬B son satisfa ibles: la primera mediante la asigna ión A(A) =F,A(B) = F (hay otras que también la satisfa en), y la segunda mediante la asigna iónA′(A) =V,A′(B) = F .

De�ni ión II.5.7. Una fórmula no es satisfa ible uando no se umple respe to a ninguna

asigna ión. Ya vimos que tales fórmulas se ono en omo ontradi iones.

Ejemplo II.5.8. La fórmula (C∧¬C) es una ontradi ión, lo mismo que la fórmula A↔ ¬A.Suponga que queremos determinar si una fórmula dada es válida o no. Este es un ejemplo

de un problema de de isión. Un problema de de isión es ualquier problema que, dada ierta

entrada, plantea una pregunta que se debe responder on sí o no.

Dada una fórmula ϕ omo entrada, la pregunta es

¾es ϕ válida?

Nos referimos a esto omo el problema de validez. Igualmente, podemos preguntar

¾es ϕ satisfa ible?

y referirnos a esto omo el problema de satisfa ibilidad.

Para la lógi a proposi ional, las tablas de verdad propor ionan una posibilidad de resolver tales

problemas.

Si todos los valores de verdad de ϕ son V, enton es ϕ es válida; si algún valor es V, es satisfa ible.

En aso ontrario, uando ningún valor es V, ϕ no es satisfa ible, es una ontradi ión.

II.6. Consecuencia y equivalencia 49

Ejemplo II.5.9. Considere la fórmula (A ∧ (A→ B)) → B. Para determinar si esta fórmula

es satisfa ible, elaboramos su tabla de verdad.

A B A→ B A ∧ (A→ B) (A ∧ (A→ B)→ B)F F V F V

F V V F V

V F F F V

V V V V V

La fórmula es satisfa ible, más aun, es válida.

Ejemplo II.5.10. Considere la fórmula ((A → B) → A) ∧ ¬A. Suponga que queremos

determinar si esta fórmula es satisfa ible o no. Ha emos la tabla:

A B A→ B (A→ B)→ A ¬A ((A→ B)→ A) ∧ ¬AF F V F V F

F V V F V F

V F F V F F

V V V V F F

La fórmula no es satisfa ible, es una ontradi ión.

Teóri amente, podemos determinar si ualquier fórmula ϕ es válida, satisfa ible o no satisfa ible,

onstruyendo su tabla de verdad; sin embargo, omo ya se eviden ió en varias oportunidades,

el método no es e� iente. Si ϕ ontiene n fórmulas atómi as, enton es tenemos 2n renglones enla tabla de verdad de ϕ.Re uerde que nuestro objetivo es en ontrar métodos alternativos para determinar la validez y

satisfa ibilidad sin usar tablas de verdad. En forma más general, queremos determinar si una

fórmula dada es una onse uen ia de un ierto onjunto de fórmulas, no ión que a ontinua ión

de�nimos.

II.6 Conse uen ia y equivalen ia

De�ni ión II.6.1. Una fórmula ψ es una onse uen ia lógi a

3

de una fórmula ϕ si para toda

asigna ión A, tal que A � ϕ, se umple A � ψ. Denotaremos esto por: ϕ � ψ.

Note que el símbolo � se usa en tres formas. Siempre hay una fórmula o un onjunto de ellas

a la dere ha del símbolo. Cuando es ribimos:

· · · � ϕ3

En o asiones es ribiremos simplemente onse uen ia.


la interpreta ión de � depende de lo que haya a la izquierda. Puede estar una asigna ión A,una fórmula ψ, un onjunto de fórmulas o va ío.

Esto da lugar a lo siguiente:

◗ A � ϕ signi� a A(ϕ) = V ; A modela ϕ, A es un modelo de ϕ.

◗ ψ � ϕ signi� a que todo modelo de ψ, también lo es de ϕ; ϕ es una onse uen ia lógi a

de ψ.

◗ � ϕ signi� a que toda asigna ión modela a ϕ: ϕ es una tautología.

◗ A |= Σ, que impli a que ada fórmula ψ ∈ Σ se satisfa e por A ( omo se de�nirá en

breve).

Así que, aunque � tenga mu has interpreta iones, el ontexto elimina la ambigüedad.

Proposi ión II.6.2. Para ualesquiera fórmulas, ϕ y ψ, ψ es una onse uen ia lógi a de ϕ si

y sólo si ϕ→ ψ es una tautología.

Demostra ión. Supongamos que ϕ |= ψ. Sea A una asigna ión. Debemos veri� ar que A(ϕ→ψ) = V . La úni a posibilidad para que esto no o urra es que A(ϕ) = V y A(ψ) = F . Pero si

A(ϕ) = V , A(ψ) = V por hipótesis.

Para la otra dire ión onsidere una asigna ión A tal que A(ϕ) = V . Puesto que ϕ → ψ es

una tautología, se debe umplir que A(ϕ → ψ) = V y por el valor de A en ϕ que ono emos,

sólo es posible que A(ψ) = V , lo que demuestra ϕ |= ψ.

❒

El ín lito le tor notó que ahorrarnos esta demostra ión es sólo uestión de una sen illa re�exión:

ϕ |= ψ si y sólo si ϕ⇒ ψ.

Realizado lo anterior, resta sólo re urrir al teorema II.4.2. Aun admitiendo esta prueba más

simple, valió la pena presentar una demostra ión usando asigna iones.

Suponga que queremos determinar si ierta fórmula ψ es onse uen ia lógi a de una fórmula

ϕ. Este es el problema de la onse uen ia lógi a, que en el fondo se redu e al problema de

validez, ya que ψ es onse uen ia de ϕ si y sólo si ϕ → ψ es válida. Tal problema se resuelve

elaborando la tabla de verdad. Si los valores de ϕ → ψ son todos V, ψ es onse uen ia de ϕ.En otro aso, no lo es.

En parti ular, si ϕ es una ontradi ión, enton es ψ es una onse uen ia de ϕ sin importar qué

es ψ.

Ejemplo II.6.3. Sean ϕ, ψ fórmulas. Se veri� a fá ilmente mediante tablas de verdad que:

ϕ ∧ ψ � ϕ ϕ � ϕ ∨ ψ ϕ ∧ ¬ϕ � ψ


De�ni ión II.6.4. Si ψ es onse uen ia de ϕ y ϕ es onse uen ia de ψ, de imos que ϕ y ψson equivalentes. Denotamos esto on:

ϕ ≡ ψ o también on ϕ⇔ ψ.

Se sigue que dos fórmulas ϕ y ψ son equivalentes si y sólo si ϕ↔ ψ es una tautología. Podemos

determinar si dos fórmulas son equivalentes por medio de la tabla de verdad.

Ejemplo II.6.5. Para ualesquiera fórmulas ϕ, ψ:

ϕ ∧ ψ ≡ ψ ∧ ϕ ϕ ∨ ψ ≡ ψ ∨ ϕ.

Ejemplo II.6.6. Para ualquier fórmula ϕ y ualquier tautología ⊤,

ϕ ∧ ⊤ ≡ ϕ ϕ ∨ ⊤ ≡ ⊤.

Ejemplo II.6.7. Para ualquier fórmula ϕ y ualquier ontradi ión ⊥,

ϕ ∧ ⊥ ≡ ⊥ ϕ ∨ ⊥ ≡ ϕ.

Ejemplo II.6.8. (Leyes distributivas) Las dos siguientes equivalen ias exhiben las leyes

distributivas para ∧ y ∨. Para ualesquiera fórmulas ϕ, ψ y α:

(ϕ ∧ (ψ ∨ α)) ≡ ((ϕ ∧ ψ) ∨ (ϕ ∧ α)) y(ϕ ∨ (ψ ∧ α)) ≡ ((ϕ ∨ ψ) ∧ (ϕ ∨ α)).

Ejemplo II.6.9. (Leyes de De Morgan) Para ualesquiera fórmulas ϕ y ψ,

¬(ϕ ∧ ψ) ≡ (¬ϕ ∨ ¬ψ)¬(ϕ ∨ ψ) ≡ (¬ϕ ∧ ¬ψ)

Ejemplo II.6.10. Si usamos las equivalen ias re ién des ritas, podemos mostrar que

(((γ ∧ δ) ∨ α) ∧ ((γ ∧ δ) ∨ β) ∧ (θ ∨ ¬θ)) ≡ (α ∧ β) ∨ (γ ∧ δ)

Sea Ψ la fórmula a la izquierda. Note que θ ∨ ¬θ es una tautología, así que Ψ es equivalente a

((γ ∧ δ) ∨ α) ∧ ((γ ∧ δ) ∨ β). Por la distributividad, esto es equivalente a (γ ∧ δ) ∨ (α ∧ β) quees equivalente a (α ∧ β) ∨ (γ ∧ δ).Si lo hubiéramos demostrado por tablas, hubiéramos requerido 25 = 32 renglones.

Otro método para probar que una fórmula es onse uen ia de otra, es el de prueba formal, que

ya pronto des ribiremos.

De�ni ión II.6.11. Sea Σ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3, . . .} un onjunto de fórmulas. Para toda asigna ión

A, de imos que A modela Σ o que A es un modelo de Σ, lo que denotamos por A � Σ, siA � ϕi para ada fórmula ϕi en Σ, en este aso también es ribimos A(Σ) = V .De imos que una fórmula ψ es una onse uen ia de Σ y lo denotamos por Σ � ψ, si A � Σimpli a A � ψ para toda asigna ión A.


Suponga que queremos determinar si una fórmula ψ es una onse uen ia de un onjunto de

fórmulas Σ. Si Σ es �nito, obviamente podemos onsiderar la onjun ión ∧Σ de todas las

fórmulas en Σ (es de ir, si Σ = {ϕ1, . . . , ϕl}, ∧Σ es ϕ1 ∧ ϕ2 ∧ · · · ∧ ϕl) y al ular la tabla de

verdad de ∧Σ → ψ. Sin embargo, si el onjunto Σ es grande, el ál ulo de di ha tabla no es

prá ti o. Si el onjunto es in�nito, el método ni siquiera es apli able.

Como otra posibilidad de dedu ir ψ a partir de Σ, onsidere el siguiente ejemplo:

Ejemplo II.6.12. Sea Σ el siguiente onjunto de fórmulas:

{A,A→ B,B → C,C → D,D→ E,E → F, F → G}.

Suponga que ada una de las fórmulas en Σ es verdadera. Enton es, en parti ular, A y A→ Bson verdaderas, se sigue que B debe ser verdadera. Similarmente, omo B y B → C son

verdaderas, C debe ser verdadera, et étera.

Si ada fórmula en Σ es verdadera, enton es A,B,C,D,E, F y G son verdaderas. Cada una de

estas fórmulas es onse uen ia de Σ. No ne esitamos una tabla de verdad para probar esto.

Sea

∧Σ la onjun ión de las fórmulas en Σ. Esto es,

∧Σ = A ∧ A→ B ∧ B → C ∧ C → D ∧D → E ∧ E → F ∧ F → G.

La tabla de verdad para ∧Σ→ G ontiene 128 renglones. Sin al ular un solo renglón, podemos

dedu ir que ada uno de ellos tiene valor de verdad V. La fórmula ∧Σ→ G es una tautología,

por lo que G es una onse uen ia de Σ.

En este ejemplo usamos repetidamente el he ho de que si ϕ y ϕ→ ψ son verdaderas, enton es

ψ también es verdadera, es de ir, usamos el he ho de que ψ es una onse uen ia de ϕ∧(ϕ→ ψ).Re uerde que:

1. Una proposi ión es una tautología si y sólo si su nega ión es una ontradi ión.

2. Una proposi ión es satisfa ible si y sólo si su nega ión no es una tautología.

3. Una proposi ión que es una tautología es satisfa ible, mientras que una proposi ión sa-

tisfa ible no es ne esariamente una tautología.

4. Hay iertas tautologías "bási as" de uso fre uente:

(a) ¬(A ∧ B)↔ (¬A ∨ ¬B) (Ley de De Morgan l).

(b) ¬(A ∨ B)↔ (¬A ∧ ¬B) (Ley de De Morgan ll).

( ) ¬(¬A)↔ A (Ley de la doble nega ión).

(d) (A→ B)↔ (¬B → ¬A) (Contrapositiva).

(e) (B → C)→ ((A→ B)→ (A→ C)) (Primer silogismo).

(f) (A→ B)→ ((B → C)→ (A→ C)) (Segundo silogismo).

(g) (A→ (B → C))↔ ((A ∧B)→ C) (Transposi ión).

(h) A ∨ ¬A (Ley del ter ero ex luido).


En ualquiera de estas fórmulas, en general en ualquier tautología, se pueden sustituir en una

o más de las variables proposi ionales una fórmula arbitraria ϕ, y la fórmula resultante sigue

siendo una tautología. Esto es ierto siempre y uando se sustituya toda apari ión de la variable

proposi ional por la misma fórmula ϕ, algo que a ontinua ión demostramos.

NDemostremos enton es la a�rma ión �nal en el ejemplo previo. Aquí ψ[A/ϕ] signi� a que en

ψ sustituimos ada apari ión de A por ϕ.

Lema II.6.13. Supongamos que la fórmula α es una tautología ( ontradi ión). Si sustituimos

la fórmula ϕ por una variable A de α en ada una de las apari iones de A en α, la fórmula

resultante sigue siendo una tautología ( ontradi ión).

Demostra ión. Pro edemos por indu ión en la onstru ión de α. Trataremos simultánea-

mente los asos tautología y ontradi ión.

Si α fuese atómi a, no podría ser tautología o ontradi ión, por lo que este aso no o urre.

Supongamos ierta la a�rma ión para ψ y que α ≡ ¬ψ es una tautología ( ontradi ión). Se

sigue que ψ es una ontradi ión (tautología). Por hipótesis de indu ión, al sustituir ϕ por

ada apari ión de A en ψ, la fórmula resultante sigue siendo una ontradi ión (tautología), de

donde se dedu e que ψ[A/ϕ] es una tautología ( ontradi ión).

Considere ahora α ≡ β ∧γ y que la a�rma ión se umple para β y γ. Al sustituir A por ϕ en βy γ, se sigue de la hipótesis de indu ión que β[A/ϕ]∧γ[A/ϕ] es una tautología ( ontradi ión),por lo que α[A/ϕ] es una tautología ( ontradi ión). ❒

MRegresemos a la no ión de onse uen ia. Si Σ es un onjunto de fórmulas, M(Σ) denota al

onjunto de todas las asigna iones que modelan a Σ, es de ir, de todos los modelos de Σ;Cn(Σ) representa al onjunto de onse uen ias de Σ y Tau al onjunto de tautologías. Esto

es, A ∈M(Σ) si y sólo si A |= Σ; ϕ ∈ Cn(Σ) si Σ |= ϕ y ϕ ∈ Tau si |= ϕ.

Teorema II.6.14.


Sean Σ, Σ1, Σ2 onjuntos de proposi iones. Se umplen las siguientes a�rma-

iones:

① Σ1 ⊆ Σ2 ⇒ Cn(Σ1) ⊆ Cn(Σ2).

② Σ ⊆ Cn(Σ).

③ Tau ⊆ Cn(Σ) para ualquier Σ.

④ Cn(Σ) = Cn(Cn(Σ)).

⑤ Σ1 ⊆ Σ2 ⇒M(Σ2) ⊆M(Σ1).

⑥ Cn(Σ) = {σ|A(σ) = V para todo A ∈M(Σ)}

⑦ σ ∈ Cn({σ1, . . . , σn})⇔ σ1 → (σ2 . . .→ (σn → σ)) ∈ Tau.

Teorema

Demostra ión. ① Supongamos que Σ1 ⊆ Σ2, lo que se tiene que demostrar es que Cn(Σ1) ⊆Cn(Σ2). Sea σ ∈ Cn(Σ1), es de ir, Σ1 � σ, lo que es lo mismo que, si A es una valua ión

on A(Σ1) = V , enton es A(σ) = V . Debemos probar que σ ∈ Cn(Σ2), es de ir, quedada ualquier valua ión A tal que A(Σ2) = V , A(σ) = V . Así que tomamos A on

A |= Σ2. Por hipótesis Σ1 ⊆ Σ2. En onse uen ia, A(Σ1) = V , por lo que de la hipótesisdedu imos A(σ) = V .

② Sea σ ∈ Σ, debemos probar que σ ∈ Cn(Σ). Sea A una asigna ión tal que A(Σ) = V ,pero en parti ular A(σ) = V pues σ ∈ Σ, de donde se sigue que Σ |= σ.

③ Sea σ ∈ Tau, es de ir, σ es una tautología. En onse uen ia A(σ) = V para toda

asigna ión, en parti ular si A(Σ) = V ; así que Σ � σ y σ ∈ Cn(Σ).

④ Queremos probar que Cn(Σ) = Cn(Cn(Σ)). De los in isos (2) y (1) se sigue que Cn(Σ) ⊆Cn(Cn(Σ)); resta probar que Cn(Cn(Σ)) ⊆ Cn(Σ). Sea σ ∈ Cn(Cn(Σ)), por demostrar

que σ ∈ Cn(Σ). Sea A una valua ión tal que A(Σ) = V , queremos probar que A(σ) = V .Puesto que σ ∈ Cn(Cn(Σ)), si A es una asigna ión tal que A(Cn(Σ)) = V , enton esA(σ) = V ; por hipótesis A(Σ) = V , así que A(Cn(Σ)) = V , ya que si α ∈ Cn(Σ) y

A(Σ) = V , enton es A(α) = V . En onse uen ia A(Cn(Σ)) = V ⇒ A(σ) = V , lo que se

quería demostrar.

⑤ Supongamos que Σ1 ⊆ Σ2. Debemos mostrar que M(Σ2) ⊆M(Σ1). Sea A ∈M(Σ2), esde ir, A(Σ2) = V . Puesto que Σ1 ⊆ Σ2 se sigue inmediatamente que A(Σ1) = V ⇒ A ∈M(Σ1).


⑥ Debemos mostrar que

Cn(Σ) = {σ|A(σ) = V para todo A ∈M(Σ)}. (✲)

Sea σ ∈ Cn(Σ), queremos probar que σ está en el onjunto del lado dere ho de (✲), así

que A ∈M(Σ), pero esto signi� a A(Σ) = V , y omo σ ∈ Cn(Σ), se sigue que A(σ) = V ;ahora sea σ en el onjunto del lado dere ho de (✲), enton es A(Σ) = V impli aA(σ) = V ,por lo que σ ∈ Cn(Σ).

⑦ Sea σ ∈ Cn({σ1, . . . , σn}), enton es si A({σ1, . . . , σn}) = V se on luye que A(σ) = V .Queremos probar que σ1 → (σ2 → . . . → (σn → σ)) es una tautología; para que esto no

se umpliera se requiere que σ1 sea V y el resto sea F . Esto signi� a que σ2 es V y el

resto es F , ontinuamos así y llegamos a que ada σi es V y σ es F , pero esto es imposible

por hipótesis.

Re ípro amente supóngamos σ1 → (σ2 → . . . → (σn → σ)) ∈ Tau, enton es razonando omo antes si σ1 . . . σn son V , también σ lo debe ser, por lo que σ ∈ Cn({σ1, . . . , σn}).

❒

En nuestra nota ión anterior: un argumento on premisas α1, . . . , αn y on lusión β es válido

si y sólo si

{α1, . . . , αn} � β

Ejemplo II.6.15. Sea Σ = {A ∧ B,B → C}. Enton es Σ � C: supongamos que A(Σ) = V ,es de ir,

A(A ∧B) = V (1)

A(B → C) = V. (2)

De (1) se sigue que A(A) = V = A(B), de (2) se sigue que A(C) = F impli a A(B) = F , lo ual no o urre, por lo tanto A(C) = V y Σ � C.

Ejemplo II.6.16. Sea Σ = {A ∨ B,A → C} y α = B ∨ C, enton es Σ � α: supongamos que

A(Σ) = V , es de ir,

A(A ∨B) = V (1)

A(A→ C) = V. (2)

Si A(B) = F , enton es A(A) = V por (1), así que A(C) = V por (2) y A(B ∨ C) = V . Si

A(B) = V , dire tamente se sigue que A(B ∨ C) = V , en ambos asos, A(B ∨ C) = V por lo

que Σ � α.Es importante que el le tor note una ara terísti a importante de este ejemplo. Lo que se

pretende mostrar es que Σ |= B ∨ C, así que se supone que la asigna ión ha e iertas a ls


fórmulas en Σ y luego se debe onstatar que B o C son iertas. Cuando se requiere on�rmar

una disyun ión asi siempre se supone que uno de los disyuntos es falso y se veri� a que el otro

es veradero. Pero el he ho de que se suponga que uno de los disyuntos es falso, apare e omo

una hipótesis adi ional.

Proposi ión II.6.17. Cn(∅) = Tau, donde ∅ es el onjunto va ío.

Demostra ión. Del teorema II.6.14(3) se sigue que Tau ⊆ Cn(Σ) para toda Σ, en parti ular

para Σ = ∅.Sea σ ∈ Cn(∅), quiere de ir que para toda asigna iónA tal que A(∅) = V , se umple A(σ) = V ,pero A(∅) = V es ierto para ualquier asigna ión A, pues si no fuera así, existiría α ∈ ∅ talque A(α) = F , pero no hay tal α en el va ío. Se sigue que A(∅) = V para toda asigna ión A,por lo que A(σ) = V para toda asigna ión y σ ∈ Tau. ❒

De�ni ión II.6.18. Un onjunto de proposi iones Σ es onsistente si tiene un modelo, es

de ir, si existe una asigna ión A tal que A(Σ) = V . También se di e que tal Σ es veri� able o

satisfa ible.

Un onjunto de proposi iones Σ es in onsistente o no veri� able o no satisfa ible uando no

tiene modelo, es de ir, para toda asigna ión A, existe α ∈ Σ tal que A(α) = F .

II.7 Formas normales

Hemos visto que toda fórmula se onstruye a partir de variables proposi ionales y one tivos,

y que ada fórmula da lugar a una tabla de verdad. ¾Será ierto el re ípro o?, es de ir, ¾ ada

tabla de verdad representa a alguna fórmula?

Ejemplo II.7.1. Considere la siguiente tabla

II.7. Formas normales 57

P Q ϕV V VV F VF V VF F V

¾Qué puede ser ϕ?Esta pregunta es trivial, podemos representar a ϕ omo P ∨ ¬P .

Ejemplo II.7.2. Tenga en uenta la siguiente tabla de verdad.

P Q ϕV V FV F FF V FF F F

En estas ondi iones podemos proponer que ϕ sea P ∧ ¬P .

Ejemplo II.7.3. Una tabla distinta a las anteriores:

P Q ϕV V VV F VF V FF F V

En este aso la fórmula que afoanosamente bus amos no es otra que ϕ ≡ (P ∧Q)∨ (P ∧¬Q)∨(¬P ∧ ¬Q).

Ejemplo II.7.4. �nalmente onsidere la siguiente tabla:

P Q R ϕV V V VV V F FV F V FV F F FF V V VF V F FF F V VF F F F

ϕ ≡ (P ∧Q ∧R) ∨ (¬P ∧Q ∧ R) ∨ (¬P ∧ ¬Q ∧R).


El he ho de que fuésemos apa es de en ontrar una fórmula que orresponda a la tabla de

verdad dada (en ada uno de los ejemplos) no es, de ninguna manera, fortuito.

Teorema II.7.5.

Dada una tabla de verdad, existe una fórmula en el ál ulo proposi ional uya

tabla de verdad es pre isamente T .

Teorema

Demostra ión. La demostra ión de este teorema se presenta al �nal de esta se ión. ❒

Observe que las fórmulas obtenidas en los ejemplos son disyun iones de onjun iones.

De�ni ión II.7.6. Una literal es una fórmula atómi a o la nega ión de una fórmula atómi a.

La literal es positiva si es una fórmula atómi a, de lo ontrario es negativa.

Ejemplo II.7.7. A, B, C son literales positivas, mientras que ¬D, ¬E, ¬A, son literales

negativas.

Mediante

∨ni=1 ϕi se denota la fórmula ϕ1 ∨ · · · ∨ ϕn. La onjun ión orrespondiente se denota∧n

i=1 ϕi.

De�ni ión II.7.8. Una fórmula ϕ está en Forma Normal Disyuntiva (FND) si es una disyun-

ión de onjun iones de literales, es de ir:

ϕ ≡n∨

i=1

m∧

j=1

Lij

≡(L11 ∧ · · · ∧ L1m) ∨ · · · ∨ (Ln1 ∧ · · · ∧ Lnm),

donde las Lij son literales. Observe que n o m pueden ser 1.

De�ni ión II.7.9. Una fórmula ϕ está en Forma Normal Conjuntiva (FNC) si es una onjun-

ión de disyun iones de literales, es de ir:

ϕ ≡n∧

i=1

m∨

j=1

Lij

≡(L11 ∨ · · · ∨ L1m) ∧ · · · ∧ (Ln1 ∨ · · · ∨ Lnm),

donde las Lij son literales.

Ejemplo II.7.10. � (A ∨ B) ∧ (C ∨D) ∧ (¬A ∨ ¬B ∨ ¬D) está en FNC.

� (¬A ∧B) ∨ C ∨ (B ∧ ¬C ∧D) está en FND.

� (A ∨ B) ∧ ((A ∧ C) ∨ (B ∧D)) no está en ninguna de estas formas.


Teorema II.7.11.

Toda fórmula del ál ulo proposi ional es tautológi amente equivalente a una fór-

mula en FND.

Teorema

Demostra ión. Dada una fórmula ϕ, onstruya su tabla de verdad. Si es una ontradi ión,

la fórmula equivalente es P ∧ ¬P que está en FND; en otro aso debe tener al menos una Ven la última olumna. Usamos el pro edimiento des rito en el teorema II.7.5 para en ontrar

su FND: suponga que las variables proposi ionales en ϕ son P1, . . . , Pn. Para ada renglón en

el que aparez a V en la última olumna, es ribimos la onjun ión X1 ∧ · · · ∧ Xn, donde Xi

es Pi si Pi es V en el renglón; en otro aso, si Pi es falsa, Xi se toma omo ¬Pi. La fórmula

que bus amos es la disyun ión de estas onjun iones, una para ada renglón en el que al �nal

aparez a V . ❒

Ejemplo II.7.12. En ontrar la FND de ϕ ≡ ((P ∨ ¬Q)→ R)↔ (Q ∧ ¬R)Ha emos la tabla de verdad

P Q R (P ∨ ¬Q)→ R Q ∧ ¬R ϕV V V V F FV V F F V FV F V V F FV F F F F VF V V V F FF V F V V VF F V V F FF F F F F V

Siguiendo el pro edimiento des rito, sólo uentan los renglones 4, 6 y 8:

(P ∧ ¬Q ∧ ¬R) ∨ (¬P ∧Q ∧ ¬R) ∨ (¬P ∧ ¬Q ∧ ¬R).Lema II.7.13. Sean ϕ una fórmula en FNC y ψ una fórmula en FND. Enton es ¬ϕ es equi-

valente a una fórmula en FND y ¬ψ a una en FNC.

Demostra ión. Si ϕ está en FNC, enton es ϕ tiene la forma:

ϕ ≡n∧

i=1

m∨

j=1

Lij .

donde las Lij son literales.

La nega ión de esta fórmula

¬ϕ ≡ ¬n∧

i=1

m∨

j=1

Lij ,


¬ϕ ≡n∨

i=1

¬m∨

j=1

Lij ,

¬ϕ ≡n∨

i=1

m∧

j=1

¬Lij ,

que es una fórmula en FND equivalente a ¬ϕ.En forma similar se prueba la a�rma ión para ¬ψ. ❒

Ya probamos que toda fórmula se puede transformar en otra fórmula, equivalente, en FNC. El

método de demostra ión del siguiente teorema puede ser de utilidad uando re urrir a tablas

de verdad sea po o prá ti o.

Teorema II.7.14.

Toda fórmula ϕ es equivalente a una fórmula ϕ1 en FNC y a una fórmula ϕ2 en

FND.

Teorema

NDemostra ión. Pro ederemos por indu ión en la onstru ión de ϕ. Primero supongamos que

ϕ es atómi a. Enton es ϕ ya está en FNC y FND, así que tenemos ϕ1 = ϕ2 = ϕ.Supongamos que ϕ ≡ ¬α y que para α se umple el teorema, es de ir, α ≡ α1 ≡ α2, donde α1

está en FNC y α2 en FND. Enton es ¬α1 está en FND y ¬α2 en FNC, de a uerdo on el lema

II.7.13, y por supuesto ϕ ≡ ¬α ≡ ¬α1 ≡ ¬α2.

Ahora asumimos que α ≡ γ ∧ ψ, donde para γ, ψ se umple el teorema, por lo que existen

fórmulas α1, β1 en FNC, y α2, β2 en FND tales que

γ ≡ α1 ≡ α2 ψ ≡ β1 ≡ β2.

Note que ϕ ≡ γ ∧ ψ ≡ α1 ∧ β1 que está en FNC. Resta probar que ϕ es equivalente a una

fórmula en FND. Sabemos que α2 y β2 están en FND, por lo que podemos suponer que tienen

la forma

α2 ≡∨

i

Φi β2 ≡∨

j

Γj ,

donde Φi,Γj son onjun iones de literales. Enton es

ϕ ≡ α2 ∧ β2≡∨

i

Φi ∧∨

j

Γj

≡∨

i

∨

j

Φi ∧ Γj,

que está en FND. ❒


MEste teorema garantiza la existen ia de la FND y FNC de una fórmula ϕ. Suponga que queremos

en ontrar estas formas normales para una fórmula dada. Tenemos el siguiente algoritmo, basado

en el teorema II.7.14:

Algoritmo para obtener la FNC de una fórmula

Etapa 1. Rempla e todas las subfórmulas de la forma ϕ→ ψ por ¬ϕ ∨ ψ, y todas las subfór-

mulas de la forma ϕ↔ ψ por (¬ϕ ∨ ψ) ∧ (¬ψ ∨ ϕ).

Etapa 2. Elimine dobles nega iones y aplique reglas de De Morgan uando sea posible, es

de ir, rempla e las subfórmulas de la forma:

¬¬ψ por ψ, ¬(ψ ∧ β) por (¬ψ ∨ ¬β), y ¬(ψ ∨ β) por (¬ψ ∧ ¬β).

Etapa 3. Aplique la regla distributiva para ∨ uando sea posible, es de ir, sustituya las sub-

fórmulas de la forma:

(ψ ∨ (β ∧ γ)) o ((β ∧ γ) ∨ ψ) por ((ψ ∨ β) ∧ (ψ ∨ γ)).

Al �nal obtendrá una fórmula en FNC.

Si en la etapa 3 usamos distributividad de ∧ obtenemos una fórmula en FND.

Ejemplo II.7.15. Transforme la siguiente fórmula mediante el algoritmo re ién des rito.

γ = (A ∨ B)→ (¬B ∧ A)γ ≡ ¬(A ∨ B) ∨ (¬B ∧ A)γ ≡ (¬A ∧ ¬B) ∨ (¬B ∧ A)

que está en FND.

Por distributividad

γ ≡ ((¬A ∧ ¬B) ∨ ¬B) ∧ ((¬A ∧ ¬B) ∨A), es de ir,γ ≡ (¬A ∨ ¬B) ∧ (¬B ∨ ¬B) ∧ (¬A ∨A) ∧ (¬B ∨A)

que está en FNC.

Para fa ilitar el uso de este método que será indispensable en resolu ión

4

, vale la pena re ordar

las siguientes equivalen ias:

(i) Las Leyes de De Morgan

¬(A ∧ B)⇔ ¬A ∨ ¬B¬(A ∨ B)⇔ ¬A ∧ ¬B

4

Un método de demostra ión que veremos posteriormente.


(ii) la propiedad aso iativa de ∨ y ∧

(A ∧ B) ∧ C ⇔ A ∧ (B ∧ C)(A ∨ B) ∨ C ⇔ A ∨ (B ∨ C)

(iii) Conmutatividad

A ∧B ⇔ B ∧AA ∨B ⇔ B ∨A

(iv) Distributividad

A ∧ (B ∨ C))⇔ (A ∧B) ∨ (A ∧ C)A ∨ (B ∧ C))⇔ (A ∨B) ∧ (A ∨ C)

(v) Las proposi iones:

A ∨ A⇔ A A ∧ A⇔ A

A ∧ (B ∨ ¬B)⇔ A ¬¬A⇔ A

Ejemplo II.7.16. Sea α ≡ ¬((A ∨B) ∧ (¬A ∨ ¬B)) ∧ C. En uentre su FND y su FNC.

1. Introdu imos la nega ión

α ⇔ (¬(A ∨ B) ∨ ¬(¬A ∨ ¬B)) ∧ C⇔ ((¬A ∧ ¬B) ∨ (A ∧ B)) ∧ C,⇔ (¬A ∧ ¬B ∧ C) ∨ (A ∧B ∧ C)

que está en FND.

2. Usamos onmutatividad y aso iatividad para juntar las literales del mismo átomo. Sim-

pli� amos dobles nega iones, términos de la forma A ∨ A, A ∧ A y términos super�uos

omo B ∧ ¬B o B ∨ ¬B

α⇔ [(¬A ∧ ¬B) ∨ (A ∧ B)] ∧ C

3.

α⇔ ((¬A ∧ ¬B) ∨ A) ∧ ((¬A ∧ ¬B) ∨ B) ∧ C

4.

α⇔ (¬A ∨ A) ∧ (¬B ∨ A) ∧ (¬A ∨ B) ∧ (¬B ∨ B) ∧ C


5.

α⇔ (¬B ∨A) ∧ (¬A ∨ B) ∧ CQue es la FNC.

n Ahora damos una demostra ión del teorema II.7.5. La tabla debe involu rar sólo una

antidad �nita de variables V = {A1, . . . , An}. Sin pérdida de la generalidad, podemos suponer

que ada fórmula ϕ involu ra a todas las variables y es ribimos ϕ = ϕ[A1, . . . , An].Si (m1, . . . , mn) ∈ {V, F}n (es de ir, ada mi es V o F ), mediante Am1,...,mn denotamos la

asigna ión A tal que

Am1,...,mn(Ai) = mi,

para toda i ∈ {1, 2, . . . , n}.Para ada variable A y ada elemento m ∈ {V, F} sea mA la fórmula

mA =

{A, si m = V ;

¬A, si m = F.

Si ϕ es una fórmula, re uerde que M(ϕ) es la ole ión de todos los modelos de ϕ, es de ir,

M(ϕ) = {A ∈ {V, F}n : A(ϕ) = V }.Para ada fórmula ϕ de�nimos una fun ión fϕ de {V, F}n en {V, F} (es de ir, fϕ re ibe una

n-ada onformada por V y F y regresa V o F ) mediante:

fϕ(m1, . . . , mn) = Am1,...,mn(ϕ).

Así que fϕ no es otra osa que la tabla de verdad de ϕ. Note que ϕ y ψ son lógi amente

equivalentes si y sólo si fϕ = fψ. Tenemos enton es una apli a ión

i : Fml // {V, F}({V,F}n),

dada por i(ϕ) = fϕ y fϕ : {V, F}n // {V, F}, donde el onjunto A = {V, F}({V,F}n)son todas

las posibles asigna iones. Notemos que i es ompatible on ≡, es de ir, si ϕ ≡ ψ, enton esi(ϕ) = fϕ = fψ = i(ψ). Por lo tanto, esta fun ión no es inye tiva, pues si tenemos las fórmulas

distintas Q ∧ ¬Q y P ∧ ¬P , dan lugar a la misma imagen respe to a i.En el onjunto Fml onsideramos las lases generadas por la rela ión de equivalen ia ≡, estoes, onsideramos el o iente

Fml/ ≡ = Fml = {[ϕ] : ϕ ∈ Fml},donde [ϕ] es la lase de equivalen ia de la fórmula ϕ respe to a la rela ión ≡. Así β ∈ [ϕ] si ysólo si β ≡ ϕ.De�nimos la apli a ión i : Fml // A en forma natural: i([ϕ]) = i(ϕ), y es laro que no

depende de la ele ión del representante de la lase de equivalen ia. Además, por de�ni ión es

inye tiva. La antidad de lases de equivalen ia de Fml es a lo sumo la antidad de elementos

de A que es 22n

.

La pregunta natural es ¾hay exa tamente 22n

lases de equivalen ia o menos?, es de ir, ¾es isobre? ¾ orresponde ada tabla de verdad a una fórmula?

La respuesta a todas estas preguntas es sí.


Lema II.7.17. Para ualquier n-ada (m1, . . . , mn) ∈ {V, F}n la fórmula

ψ ≡∧

1≤k≤nmkAk

tiene omo úni o modelo a Am1,...,mn.

En nuestra nota ión:

M

(∧

1≤k≤nmkAk

)= {Am1,...,mn}.

Demostra ión. Primero probamos que Am1,...,mn es un modelo de ψ. Con este �n en mente,

nos er ioramos de que Am1,...,mn(mkAk) = V , para k = 1, . . . , n. Sin embargo, la apli a ión

Am1,...,mn(mkAk) asigna mk a la variable Ak y

mkAk =

{Ak, si mk = V

¬Ak, si mk = F.

Así que si mk = V , Am1,...,mn(mkAk) = Am1,...,mn(Ak) = V . Si m = F ,

Am1,...,mn(mkAk) = Am1,...,mn(¬Ak) = V,

por lo que Am1,...,mn(Ak) = F . Se sigue que Am1,...,mn es un modelo de ψ.

Ahora probamos que este modelo es úni o. Suponga queW es un modelo de ψ. Debemos probar

que Am1,...,mn =W. Re uerde que estamos suponiendo que el dominio de estas asigna iones es

el onjunto �nito V . Ahora, Am1,...,mn(Ai) = mi, así que hemos de probar queW(Ai) = mi para

i = 1, . . . , n. Lo úni o que sabemos sobre W es que es un modelo de ψ. Tomemos i arbitrariaen {1, . . . , n}. Si Am1,...,mn(Ai) = mi, se sigue que mi = V , por lo que Am1,...,mn(miAi) = V .En onse uen ia W(miAi) = V y por de�ni ión de miAi, W(miAi) =W(Ai) = V .En forma similar se trata el aso mi = F .

Hemos demostrado que W = Am1,...,mn . ❒

Lema II.7.18. Sea X un sub onjunto no va ío de {V, F}n y ϕX la fórmula

∨

(m1,...,mn)∈X

(∧

1≤k≤nmiAi

).

Enton es la fórmula ϕX tiene omo úni os modelos a Am1,...,mn para (m1, . . . , mn) ∈ X. Es

de ir,

M

∨

(m1,...,mn)∈X

(∧

1≤k≤nmiAi

) = {Am1,...,mn : (m1, . . . , mn) ∈ X}.


Demostra ión. Para ualquier asigna ión A se umple A(ϕX) = V si y sólo si existe una n-ada(m1, . . . , mn) ∈ X tal que

A(∧

1≤k≤nmiAi

)= V,

que de a uerdo al lema II.7.17 es equivalente a que exista una n-ada (m1, . . . , mn) ∈ X on

A = Am1,...,mn,

o, lo que es lo mismo, a

A ∈ {Am1,...,mn : (m1, . . . , mn) ∈ X}.❒

Teorema II.7.19.

Para ualquier fun ión f : {V, F}n // {V, F} existe al menos una fórmula ϕ tal

que fϕ = f . En otras palabras, toda apli a ión de {V, F}n en {V, F} es una tabla

de verdad de alguna fórmula.

Teorema

Demostra ión. �jamos una apli a ión f : {V, F}n //{V, F}. Si f toma sólo valores F , ha emos

ϕ ≡ A1 ∧ ¬A1.

En otro aso, el onjunto

X = f−1({V }) = {(m1, . . . , mn) ∈ {V, F}n : f(m1, . . . , mn) = V }

no es va ío, y por el lema II.7.18, la fórmula

ϕX =∨

(m1,...,mn)∈X

(∧

1≤i≤nmiAi

)

tiene omo úni os modelos las asigna iones Am1,...,mn para las uales f(m1, . . ., mn) = V . Estoes, para ualquier n-ada (m1, . . . , mn) ∈ {V, F}n tenemos

Am1,...,mn(ϕ) = V

si y sólo si f(m1, . . . , mn) = V , lo ual signi� a que f es la fun ión fϕX, la tabla de verdad de

ϕ. ❒

m


II.8 Árboles

En este apartado estudiaremos muy brevemente las estru turas ono idas omo árboles; nuestro

prin ipal objetivo es el teorema de König que usaremos en diversas o asiones.

De�ni ión II.8.1. Sea X un onjunto y ≤ una rela ión binaria en X , es de ir, ≤ es un

sub onjunto de X2 = X × X . En onse uen ia, (a, b) ∈ ≤ se es ribe, usualmente, a ≤ b.De imos que (X,≤) es un onjunto par ialmente ordenado ( po), si se umple lo siguiente:

➊ Para todo x ∈ X , x ≤ x.

➋ Para ualesquiera x, y, z ∈ X , se umple

si x ≤ y y y ≤ z, enton es x ≤ z.

De imos que un po (X,≤) es un onjunto bien ordenado si:

➀ Cualesquiera x, y ∈ X umplen la ley de tri otomía: x = y o x < y o y < x. Otra forma

de de ir esto es que X está linealmente (también diremos totalmente) ordenado.

➁ Si A ⊆ X es un sub onjunto no va ío, existe a ∈ A tal que a es el menor elemento de Arespe to a ≤. Expresamos esto al de ir que X está bien fundado.

Observe que en un onjunto par ialmente ordenado no es ne esario que dos elementos ua-

lesquiera sean omparables entre sí.

De�ni ión II.8.2. Un árbol T es un onjunto par ialmente ordenado (T,≤) que tiene menor

elemento

5

y tal que para todo x ∈ T , el onjunto de prede esores de x:

x = {y ∈ T : y ≤ x}

está bien ordenado por ≤.A ontinua ión algunos ejemplos de árboles.

z0

z1

z2

z3

z4

x0

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

a

b

c

d

e

f

g

h

i

j

k

l

m

5

Este requerimiento no es a eptado en general, pero nosotros sí lo exigimos.

II.8. Árboles 67

Los elementos de T se llaman nodos. Si x, y ∈ T y y < x, de imos que y es un prede esor de

x o que x es un su esor de y. El menor elemento de T (úni o) es la raíz. De a uerdo on los

ejemplos, x2 es su esor inmediato de x1; x2 es prede esor inmediato de x3; x1 es prede esor dex3, pero no inmediato.

Si n ∈ N, T (n) = {x ∈ T : x tiene n prede esores en T} es el n-ésimo nivel de T .Una rama en T es una adena (es de ir, un sub onjunto totalmente ordenado de T ) máxima (es

de ir, una adena que no está ontenida propiamente en otra adena). Si la adena es in�nita

de imos que la rama tiene longitud in�nita.

Si para ada n ∈ N, T (n) 6= ∅, el árbol tiene altura in�nita y de imos que es un árbol in�nito.

Usaremos el siguiente prin ipio ono ido omo el prin ipio de los pi hones, y que es fá ilmente

veri� able.

Suponga que tenemos m palomas y n nidos on n < m. Si queremos que ada paloma se

guarez a en un nido, ne esariamente al menos un nido debe albergar a más de una paloma.

De igual forma, si tenemos una antidad in�nita de objetos y queremos a omodarlos en una

antidad �nita de re eptá ulos, algún re ipiente debe ontener una antidad in�nita de objetos.

Teorema II.8.3 (König).

Si T es un árbol in�nito uyos niveles T (n) (n ∈ N) son �nitos, enton es T tiene

una rama in�nita. En forma equivalente, todo árbol in�nito tal que ada nodo

tiene a lo más una antidad �nita de su esores inmediatos debe tener una rama

in�nita.

Teorema

Demostra ión. Queremos onstruir una rama in�nita. Empezamos on c0 = la raíz. Se umple

que {a ∈ T : c0 ≤ a} es in�nito, pues el árbol es in�nito.Asuma que ya se onstruyó cn on la propiedad de que {a ∈ T : cn ≤ a} es in�nito y c0 ≤ c1 ≤· · · ≤ cn; observe que

{a ∈ T : cn ≤ a} = {cn} ∪⋃

b∈S{a ∈ T : b ≤ a},

donde S es el onjunto �nito de los su esores inmediatos de cn.En onse uen ia, para al menos un su esor inmediato de b ∈ S, el onjunto {a ∈ T : b ≤ a}es in�nito; de lo ontrario, ada su esor inmediato tendría una antidad �nita de su esores y

omo S es �nito, cn tendría sólo una antidad �nita de su esores, lo ual no es ierto.

Sea cn+1 un elemento que tenga una antidad in�nita de su esores. Así se de�nen los cn.

Se veri� a que {cn : n ∈ N} es una rama in�nita. ❒

A las ramas de los árboles también se les ono e omo traye torias.

Si T es un árbol uyos nodos tienen dos su esores inmediatos, T se llama árbol binario. Es

laro que en un árbol binario, ada nivel T (n) es �nito para n ∈ N.


A ontinua ión presentamos uno de los teoremas fundamentales de la lógi a, en este aso, del

ál ulo proposi ional: el teorema de ompa idad. Primero un resultado auxiliar. Una adena

binaria es una su esión de 0 y 1, omo 1011. Las adenas 1, 10, 101 y 1011 son pre�jos de 1011.

N

Lema II.8.4. Sea X un onjunto in�nito de adenas binarias �nitas. Existe una adena in�nita

binaria w tal que ualquier pre�jo de w es pre�jo de una antidad in�nita de x en X.

Tenemos un onjunto in�nito X de tales adenas binarias de longitud �nita, y queremos ons-

truir una adena binaria in�nita w (por supuesto w no vivirá en X) de tal forma que ada

pre�jo de w es un pre�jo de una antidad in�nita de adenas en X .

Demostra ión. Construimos w de izquierda a dere ha en etapas.

En ada etapa ha emos dos osas. En la etapa n no sólo de idimos uál es el n-ésimo dígito

de w, sino que también quitamos adenas indeseables de X . Para determinar uál es el primer

dígito de w, onsideramos los primeros dígitos de las adenas en X . Hay dos posibilidades. Hay

una antidad in�nita de 1 o no.

Si una antidad in�nita de adenas empieza on 1, ha emos que w empie e on 1 y borramos las

adenas en X que empiezan on 0. En otro aso, borramos las que empiezan on 1 y w omienza

on 0. Ahora suponga que hemos determinado los n primeros dígitos de w. Además, hemos

borrado las su esiones de X que no omienzan on estos n dígitos y tenemos un sub onjunto

in�nito X ' de X .

Para determinar la entrada n + 1 de w, onsideremos los n + 1 -ésimos dígitos de las adenas

en X '. Como X ' es in�nito, X ' debe tener una antidad in�nita de adenas de longitud n+ 1o mayor. Otra vez hay dos posibilidades. Si una antidad in�nita de adenas en X ' tiene 1

en la posi ión n + 1, enton es ha emos 1 la n+1 entrada de w. De lo ontrario, ha emos 0 la

n + 1 posi ión de w. En ada aso, borramos las adenas de X ' que no omparten las mismas

primeras n+ 1 entradas de w.Aún nos queda un sub onjunto in�nito de X . Con este pro edimiento estamos onstruyendo un

árbol binario uyos niveles son �nitos. Dado que X es in�nito, la altura del árbol será in�nita.

Según el lema de König, este árbol tiene una rama in�nita b.La rama b onsiste en nodos, ada uno de los uales es una adena binaria �nita. Más aún,

si z es un nodo de b, esto es, una adena binaria �nita, su hijo w en la rama b es una adena

binaria �nita que tiene omo pre�jo a z. Además, w = zai, donde i puede ser 0 o 1, y zai esla on atena ión de z e i, es de ir, w es la adena que empieza exa tamente omo z y al �nal

se añade i, la longitud de w es igual a la longitud de z más 1.

Por onsiguiente, podemos formar w omo sigue. La adena in�nita w es la on atena ión de

los nodos en b, empezando por el nodo en el nivel 0, seguido del nodo en el nivel 1, et .

Si p es un pre�jo de w, p es en realidad algún nodo z de la rama b, por lo que p es pre�jo de

toos los des endientes de z. En onse uen ia, p es pre�jo de una antidad in�nita de adenas

en X . ❒

El teorema de ompa idad es nuestro siguiente resultado.

II.8. Árboles 69

Teorema II.8.5 (Compa idad).

Un onjunto de enun iados de la lógi a proposi ional es satisfa ible si y sólo si

todo sub onjunto �nito es satisfa ible.

Teorema

Demostra ión. Suponga que F = {ϕ1, ϕ2, . . .} es un onjunto de fórmulas. Si F es satisfa ible,

ualquier sub onjunto �nito suyo también lo es.

Supongamos que todo sub onjunto �nito de F es satisfa ible. Si F es �nito, terminamos, así

que supondremos que es in�nito. Sean A1, A2, A3, . . . una lista, sin repeti ión, de las fórmulas

atómi as que apare en en ϕ1, seguida de las fórmulas atómi as que apare en en ϕ2 (pero no en

ϕ1), et étera.

Como todos los sub onjuntos �nitos de F son satisfa ibles, para ada n existe una asigna ión

An tal que:

An �

n∧

i=1

ϕn

Así que ada ϕi en F umple on todas las asigna iones ex epto, posiblemente, una antidad

�nita de ellas. Podemos suponer que An está de�nida sólo en las fórmulas atómi as (variables)

que apare en en ϕ1, ϕ2, . . . , ϕn. Para ada n, el valor de verdad que asigna An a A1, A2, . . . Alforma una su esión �nita de 0 y 1, si identi� amos 0 on F y 1 on V . En onse uen ia,

X = {An : n = 1, 2, . . .} es un onjunto in�nito de su esiones binarias �nitas. Por el lema

II.8.4 existe una su esión binaria w, tal que ada pre�jo de ésta oin ide on una in�nidad de

elementos de X .

De�namos una asigna ión A en todas las An omo sigue:

A(An) ={V, si el n-ésimo dígito de w es 1.

F, en otro aso.

Debemos mostrar que toda fórmula ϕ ∈ F se umple en A.Dado que ϕ ∈ F , existe l ∈ N tal que ϕ ≡ ϕl, según la enumera ión de F . Cualquier fórmula se onstruye a partir de variables proposi ionales, pero sólo ontiene una antidad �nita de ellas,

por lo que existe una variable Am on el máximo índi e de entre las variables de ϕl. Así, Al esuna asigna ión que ha e ierta a

∧li=1 ϕi, Al : {A1, A2, . . . , Am} // {0, 1}.

Re uerde que Al |= ϕl y que Ay |= ϕl para ualquier y ∈ N, y > l. Teniendo en uenta que ada

Ar está representada por una adena binaria �nita en X y que ada pre�jo de w es pre�jo de

una antidad in�nita de adenas en X , dedu imos que el pre�jo determinado por {A1, . . . , Am}en A es pre�jo de una antidad in�nita de asigna iones Ar ∈ X .

Suponga que

A 6|= ϕl (❃)

que signi� a que el pre�jo p de A determinado por {A1, . . . , Am} no puede ser pre�jo de

las siguientes Ar, r > l pues todas ellas son modelo de ϕl. se sigue que p sólo puede ser


pre�jo de aquellas Ak que no son modelo de ϕl, pero de ellas sólo existe una antidad �nita,

pues ex lusivamente las Ak on k < l pueden invalidar a ϕl. En numerosas o asiones hemos

re al ado que ada pre�jo de A debe ser pre�jo de una antidad in�nita de adenas en A; este omportamiento ontradi torio eviden ia que (❃) no puede tener lugar, es de ir, o urre

A |= ϕl,

lo que se queria demostrar. ❒

MProposi ión II.8.6. Para ualquier onjunto Γ de fórmulas, las siguientes a�rma iones son

equivalentes:

1. Γ es in onsistente.

2. Si ϕ es una fórmula, Γ |= ϕ.

3. Para alguna ( ualquier) fórmula ϕ,

Γ |= ϕ y Γ |= ¬ϕ.

4. Γ |= ⊥.

Demostra ión. (1)⇒(2). Como Γ es in onsistente, no tiene modelo, así que Γ |= ϕ, pues nohay asigna ión A que atestigüe lo ontrario.

(2)⇒(3). Inmediato.

(3)⇒(4). Sea ϕ tal que Γ |= ϕ y Γ |= ¬ϕ, por lo que Γ |= ϕ ∧ ¬ϕ. En onse uen ia, Γ |= ⊥.(4)⇒(1). Si Γ no fuese in onsistente, tendría un modelo A |= Γ, así que por (4) A |= ⊥, lo uales imposible. ❒

El siguiente teorema es equivalente al de ompa idad ( omo veremos), por lo que mere e llevar

el mismo nombre:


Supongamos que Γ es un onjunto de fórmulas y ψ una fórmula. Γ |= ψ si y sólo

si existe Γ0 ⊆ Γ �nito tal que Γ0 |= ψ.

Teorema

Demostra ión. Suponemos Γ |= ψ, así que Γ ∪ {¬ψ} es in onsistente, por lo que no tiene

modelo, de donde se on luye que para algún Γ′ ⊆ Γ �nito, Γ′ ∪ {¬ψ} no es satisfa ible según

el teorema II.8.5. En onse uen ia, Γ′ |= ψ, pues si A |= Γ, A 6|= ¬ψ, así que A |= ψ.El re ípro o es trivialmente ierto. ❒

II.8. Árboles 71

Teorema II.8.8.

El teorema II.8.7 impli a el teorema II.8.5.

Teorema

Demostra ión. Sea Γ satisfa ible. Es inmediato que todo Γ0 ⊆ Γ es satisfa ible (�nito o no).

Ahora supongamos que todo Γ0 ⊆ Γ �nito es satisfa ible. En onse uen ia, para todo Γ0 ⊆ Γ�nito, Γ0 6|= ⊥, así que por el teorema II.8.7, Γ 6|= ⊥, por lo que Γ es onsistente (proposi ión

II.8.6). ❒

En lo su esivo nos referiremos a los teoremas II.8.5 y II.8.7 indistintamente omo el teorema

de ompa idad.

Lema II.8.9. Sean Γ un onjunto de fórmulas, ψ0, ψ1, . . . , ψk, ψ fórmulas tales que existen

onjuntos Γi ⊆ Γ �nitos, (i = 0, . . . , k) on

Γi |= ψi y {ψ0, . . . , ψk} |= ψ.

Enton es existe Γ′ ⊆ Γ �nito tal que Γ′ |= ψ.

Demostra ión. Inmediata. ❒

Proposi ión II.8.10. Sea Γ un onjunto de fórmulas. La siguientes a�rma iones son equiva-

lentes.

1. Existe Γ0 ⊆ Γ �nito tal que Γ0 es in onsistente.

2. Si ϕ es una fórmula, existe Γ′ ⊆ Γ �nito tal que Γ′ |= ϕ.

3. Para alguna ( ualquier) fórmula ϕ existen Γ0,Γ1 ⊆ Γ �nitos tales que

Γ0 |= ϕ y Γ1 |= ¬ϕ.

4. Existe un sub onjunto �nito Γ0 ⊆ Γ on Γ0 |= ⊥.

Demostra ión. (1)⇒(2). Sea Γ′ ⊆ Γ in onsistente. Por II.8.6 para todo enun iado ϕ,

Γ′ |= ϕ.

(2)⇒(3). Trivial.

(3)⇒(4). Sea ϕ una fórmula. Por (3) existen Γ0,Γ1 ⊆ Γ �nitos tales que Γ0 |= ϕ y Γ1 |= ¬ϕ.Enton es Γ′ = Γ0 ∪ Γ1 es �nito, Γ

′ ⊆ Γ y Γ′ |= ϕ ∧ ¬ϕ.(4)⇒(1). Si existe Γ′ ⊆ Γ �nito on Γ′ |= ⊥, enton es Γ′

es in onsistente. ❒


Corolario II.8.11. Para ualquier onjunto de fórmulas Γ y toda fórmula α, si todo sub on-

junto �nito de Γ es onsistente, enton es Γ ∪ {α} o Γ ∪ {¬α} también tiene la propiedad de

que ada uno de sus sub onjuntos �nitos es onsistente.

Demostra ión. Supongamos que todo sub onjunto �nito de Γ es onsistente, pero que Γ∪{¬α}y Γ ∪ {α} no tienen esa propiedad. Enton es existen Γ0 ⊆ Γ ∪ {α} y Γ1 ⊆ Γ ∪ {¬α} �nitos ein onsistentes. Puesto que Γ es onsistente y Γ0 ∪ {α} es in onsistente, debe existir Γ′

0 ⊆ Γ0

�nito tal que Γ′0 |= ¬α; igualmente existe Γ′

1 ⊆ Γ1 �nito on Γ′1 |= α, de donde se sigue que

Γ′0 ∪ Γ′

1 |= ¬α ∧ α,

una ontradi ión, ya que Γ′0 ∪ Γ′

1 ⊆ Γ y la unión es �nita.

❒

A ontinua ión desarrollamos otra demostra ión del teorema de ompa idad que tampo o re-

urre a ompletud o orre tud, teoremas fundamentales de la lógi a que después veremos

6

.

N

De�ni ión II.8.12. Sea Γ un onjunto de fórmulas. Γ es ompleto si para toda fórmula ϕ,ϕ ∈ Γ o ¬ϕ ∈ Γ, pero no ambos, es de ir ¬ϕ ∈ Γ⇔ ϕ /∈ Γ.

Proposi ión II.8.13. Si Γ es un onjunto de fórmulas uyos sub onjuntos �nitos son satis-

fa ibles, enton es existe un onjunto ompleto de fórmulas ∆ ⊇ Γ on la misma propiedad.

Demostra ión. Ya probamos que Fml es numerable, así que sea {ϕn : n ∈ N} una enumera ión

de Fml. De�nimos ∆0 = Γ y para todo n > 0

∆n+1 =

{∆n ∪ {ϕn}, si es �nito satisfa ible

∆n, en otro aso.

Ha emos ∆ =⋃n∈N∆n. Es laro que Γ ⊆ ∆ y por de�ni ión ada ∆n es �nito satisfa ible.

Enton es ∆ es �nito satisfa ible pues ualquier sub onjunto �nito de ∆ está ontenido en

algún ∆n. Resta orroborar que ∆ es ompleto. Observe que si ϕ es una fórmula y ϕ,¬ϕ ∈ ∆,

enton es {ϕ,¬ϕ} es �nito e in onsistente ontrario a lo re ién demostrado.

Supongamos que ϕn /∈ ∆ para algún n. Por onstru ión de ∆, ∆n ∪ {ϕn} no es �nito satisfa-

ible. Es ogemos p tal que ϕp es ¬ϕn.Asumamos que n < p. Como ∆n ⊆ ∆p, ∆p ∪ {ϕn} no es �nito satisfa ible. Pero ∆p es �nito

satisfa ible, así que por el orolario II.8.11, ∆p∪{¬ϕn} = ∆p∪{ϕp} es �nito satisfa ible, por loque ϕp ≡ ¬ϕn ∈ ∆p+1 ⊆ ∆. Un argumento similar resuelve el aso p < n, y hemos omprobado

que ϕn o ¬ϕn pertene e a ∆ para ada n ∈ N. ❒

6

Esta adverten ia no tiene mayor importan ia ahora, pero probar ompa idad sin usar ompletud y orre -

tud puede resultar muy valioso.

II.8. Árboles 73

Lema II.8.14. Para ualquier onjunto ∆ de fórmulas �nito satisfa ibles y ompleto se umple

que:

1. Para toda fórmula ψ, si existe ∆0 ⊆ ∆ �nito on ∆0 |= ψ, enton es ψ ∈ ∆.

2. Para ualesquiera fórmulas α, β

(a) ¬α ∈ ∆⇔ α /∈ ∆.

(b) (α ∨ β) ∈ ∆⇔ α ∈ ∆ o β ∈ ∆.

Demostra ión. 1. Supongamos que existe ∆0 ⊆ ∆ �nito on ∆0 |= ψ, pero que ψ /∈ ∆. Por

ompletud de ∆, ¬ψ ∈ ∆, así que existe ∆′ ⊆ ∆ �nito on ∆′ |= ¬ψ por lo que ∆′′ = ∆0 ∪∆′

no puede ser satisfa ible y es �nito.

2. (a) es la de�ni ión de que ∆ es ompleto.

(b) ⇐). Note que α |= α ∨ β y β |= α ∨ β⇒). α ∨ β ∈ ∆ y supongamos que α /∈ ∆, se sigue que ¬α ∈ ∆. Si ¬β ∈ ∆, {α ∨ β,¬α,¬β}no es satisfa ible, es �nito y está ontenido en ∆.

❒

Proposi ión II.8.15. Sea Γ un onjunto de fórmulas ompleto y �nito satisfa ible. Enton es

Γ es satisfa ible.

Demostra ión. Debemos en ontrar una asigna ión A tal que A |= Γ. Sea A aquella asigna ión

que para toda n

A(Pn) ={V, si Pn ∈ Γ

F, en otro aso.

Probaremos que A(ϕ) = V si y sólo si ϕ ∈ Γ.Pro edemos por indu ión en la onstru ión de ϕ.

➊ Si ϕ es atómi a, la a�rma ión se sigue de la de�ni ión de A.

➋ Si ϕ ≡ ¬ψ, por ompletud de Γ e hipótesis de indu ión

¬ψ ∈ Γ⇔ ψ /∈ Γ⇔ A(ψ) = F ⇔ A(¬ψ) = V.

➌ Si ϕ ≡ ϕ1 ∨ ϕ2, por el lema II.8.14

ϕ1 ∨ ϕ2 ∈ Γ⇔ϕ1 ∈ Γ o ϕ2 ∈ Γ

⇔A(ϕ1) = V o A(ϕ2) = V

⇔A(ϕ1 ∨ ϕ2) = V

⇔A(ϕ) = V.

❒



Si Γ es un onjunto de fórmulas �nito satisfa ible, enton es es satisfa ible.

Teorema

Demostra ión. Sea Γ un onjunto de fórmulas �nito satisfa ible. Por la proposi ión II.8.13

podemos hallar un onjunto ∆ ⊇ Γ que sea �nito satisfa ible y ompleto. De a uerdo on la

proposi ión II.8.15, ∆ es satisfa ible, es de ir, tiene un modelo A que, por supuesto, también

es modelo de Γ. ❒

La importan ia de esta demostra ión de ompa idad radi a en que no apelamos al teorema

de ompletud o al de orre tud y tampo o usamos el teorema de König. Evitar el uso de

ompletud y orre tud tiene el enorme signi� ado de pres indir de la teoría de demostra ión

para estable er ompa idad. Si bien la teoría de la demostra ión es de suma relevan ia por

méritos propios, en iertos asos no se uenta on su� iente experien ia en ella. Por esta razón,

resulta más onveniente disponer de una demostra ión que no utili e sus métodos. En uanto

a la alusión al teorema de König, en el fondo, en ambas demostra iones se utiliza el axioma de

ele ión. En esta última demostra ión se utilizó al asegurar que podemos enumerar Fml.

M

II.9 Apli a iones del teorema de ompa idad

En este apartado des ribimos ejemplos de apli a ión del teorema de ompa idad. El le tor

deberá estudiarlos on uidado, si quiere adquirir mayor seguridad a er a del teorema de om-

pa idad. La po a expresividad del lenguaje propo i ional ha e dí� il la apli a ión del teorema,

pero el le tor en ontrará apli a iones más so�sti adas del mismo en su versión para la lógi a

de primer orden (véase [FeVi11, Se ión IV.6℄).

Ejemplo II.9.1. Una grá� a es un onjunto E junto on una rela ión binaria G sobre E, estoes G ⊆ E ×E, que satisfa en las siguientes propiedades.

(i) G es simétri a, es de ir, para ualesquier x, y ∈ E, se umple G(x, y) si y sólo si G(y, x).

(ii) G es antire�exiva, esto es, para toda x ∈ E, (x, x) /∈ G.En general, se di e que E es el onjunto de vérti es de la grá� a, mientras que G determina

sus aristas. Algunos ejemplos de grá� as y su representa ión se ilustran a ontinua ión.

II.9. Aplicaciones del teorema de compacidad 75

a e d

b

c

d

e

c

a b

Aquí los puntos son los vérti es (que pueden llevar una etiqueta) y las línas son las aristas.

En lugar de presentar un dibujo, podemos des ribir una grá� a listando sus vérti es y arístas.

Vérti es: a, b, c, d, eAristas: ab, ac, ae, bc, cd, de.

La grá� a tiene 5 vérti es y 7 bordes.

Una subgrá� a (E ′, G′) de (E,G) se obtiene uando E ′ ⊆ E y G′ = G∩ (E ′×E ′), es de ir, lasarístas de (E,G) que rela ionan elementos de E ′

se quedan en (E ′, G′) y sólo esos.

Sean (E,G) una grá� a y k ∈ N. De imos que (E,G) es k- oloreable uando existe una

apli a ión f : E // {1, 2, . . . , k} tal que para ualesquier x, y ∈ E, si G(x, y), enton es f(x) 6=f(y).Suponga que tenemos una grá� a (E,G) que es k- olorreable. Por supuesto, ualquier subgrá-� a suya, �nita o in�nita es k- oloreable. La pregunta interesante es si o urre la onversa. Estoes, tenemos una grá� a (E,G) numerable tal que ualquier subgrá� a �nita es k- oloreable,¾será (E,G) una grá� a k- oloreable? La respuesta es sí y para on�rmarlo apelamos al teo-

rema de ompa idad; para ha er uso efe tivo del mismo debemos tradu ir la informa ión de

ser grá� a k- oloreable al lenguaje proposi ional y onformar un onjunto de fórmulas uyos

sub onjuntos �nitos sean satisfa ibles. Por ompa idad, se dedu irá que (E,G) también es

k- oloreable. Comen emos, pues, esa tarea.

Primero aso iamos a ada vérti e su olor. Para ello introdu imos variabes proposi ionales.

Para ada (x, i) ∈ E×{1, 2, . . . , k}, sea Ax,i una variable proposi ional. De�nimos un onjunto


de fórmulas F(E,G, k) que sea satisfa ible uando y sólo uando (E,G) es k- oloreable. Coneste �n pro edemos omo sigue. Para ada a ∈ E, sea

ϕa ≡(∨

1≤i≤kAa,i

)∧(

∧

1≤i<j≤k¬(Aa,i ∧Aa,j

).

Esta fórmula expresa que el vérti e a está oloreado por algún i, y por ninguna j uando j 6= i.Para ada (a, b) ∈ E ×E, onsidere la fórmula

ψa,b ≡∧

1≤i≤k¬(Aa,i ∧ Ab,i),

que asegura que los vérti es a, b no tienen el mismo olor. En seguida, orresponde er iorarnos

de que

F(E,G) ≡ {ϕa : a ∈ E} ∪ {ψa,b : (a, b) ∈ G}es satisfa ible si y sólo si (E,G) es k- oloreable.Primero supongamos que (E,G) es k- oloreable y probemos que F(E,G) es satisfa ible. Disponemos

de una apli a ión f : E // {1, . . . , k} que erti� a la propiedad de ser k- oloreable. De�nimos

una asigna ión A mediante la pres rip ión

A(Aa,i) = V ⇔ f(a) = i.

A�rma ión 1. A |= F(E,G).Demostra ión de la a�rma ión 1. Sea ϕa ∈ F(E,G) on a ∈ E. Debemos on�rmar que

A |= ϕa. Por de�ni ión de f , f(a) = j para alguna 0 < j ≤ k, así que se umple el primer

onyunto de ϕa para j. Por las propiedades de f , se dedu e que no puede o urrir Aa,i ∧ Aa,jpara i 6= j, por lo que también se satisfa e el segundo onyunto. Ahora sea ψa,b ∈ F(E,G) on(a, b) ∈ G. Otra vez, por propiedades de f , no puede o urrir

Aa,i ∧ Ab,i,

para ninguna (a, b) ∈ G. Se sigue que A ha e verdadera a F(E,G).Para la onversa, suponga que existe una asigna ión A on A |= F(E,G). Con�rmaremos

que (E,G) es k- oloreable. Debemos dar una apli a ión f ade uada. Sea f : E // {1, . . . , k}de�nida mediante la pres rip ión f(a) = i, donde i está dada por A(ϕa) = V , pues ϕa nos

indi a que i es oger y que ninguna j sirve, uando j 6= i.Además, A |= ψa,b nos asegura que f(a) 6= f(b), para (a, b) ∈ G. Así, F(E,G) si y sólo si

(E,G) es k- oloreable.Ahora tengamos por ierto que ualquier subgra� a �nita de (E,G) es k- oloreable y probemos

que (E,G) es k- oloreable. Por lo re ién visto, basta probar que F(E,G) es satisfa ible y

para orroborar esto, es su� iente on�rmar que ualquier sub onjunto �nito de F(E,G) essatisfa ible, si a udimos al teorema de ompa idad.

Sea Φ ⊆ F(E,G) un sub onjunto �nito. Así que Φ onsiste en una antidad �nita de fórmulas

ϕa y una antidad �nita de fórmulas ψa,b. Cada ϕa está aso iada a un a ∈ E y toda ψa,b


está rela ionada on iertos a, b ∈ E. Cole tamos esta antidad �nita de elementos de E en

el onjunto E ′. Sea G′ = G ∩ E ′ × E ′

. En onse uen ia, (E ′, G′) es una subgrá� a �nita de

(E,G), que por hipótesis es k- oloreable atestiguado por una apli a ión g. De esto se sigue queΦ es satisfa ible, pues si de�nimos la asigna ión A onforme a

A(Aa,i) = V ⇔ g(a) = i,

logramos A |= Φ.Hemos onstatado que ada sub onjunto �nito de F(E,G) es satisfa ible, por lo que F(E,G)es satisfa ible por ompa idad. Por lo antes di ho, esto impli a que (E,G) es k- oloreable.

Ejemplo II.9.2. Esta vez tratamos on grupos abelianos. Un grupo abeliano (G,+, 0) es

ordenable uando existe una rela ión de orden ≤ respe to a la ual la opera ión del grupo se

omporta bien. Formalmente tenemos las siguientes propiedades.

✫ Para ada x ∈ G, x ≤ x.

✫ Para ualesquier x, y, z ∈ G se umple x ≤ y y y ≤ z impli an x ≤ z.

✫ Si x ≤ y y y ≤ x, enton es x = y.

✫ Para ualesquier x, y ∈ G, x ≤ y o y ≤ x.

✫ Para ualesquier x, y, z ∈ G, si x ≤ y, enton es x+ z ≤ y + z.

El grupo abeliano (G,+, 0) es libre de torsión, si para ada elemento x ∈ G, x 6= 0 y para ada

n ∈ N, n 6= 0, se umple nx 6= 0. Aquí 0x = 0, 1x = x y (n+ 1)x = nx+ x.El grupo abeliano (G,+, 0) tiene tipo �nito si está generado por un sub onjunto �nito de G.Esto es, existe X ⊆ G, X �nito tal que el subgrupo de G generado por X es pre isamente G.En lo su esivo G es un grupo abeliano numerable on un orden total ≤, opera ión + e identidad

0. Consideramos un onjunto de variables proposi ionales {Ax,y : (x, y) ∈ G × G}. Intuitiva-

mente, ha emos que la variable Ax,y sea verdadera uando x ≤ y. Trataremos de axiomatizar

el he ho de que G sea ordenable, es de ir, expresar mediante fómulas propo i ionales las pro-

piedades de un grupo abeliano ordenable.

Considere los siguientes onjuntos de fórmulas.

B(G) = {Ax,x : x ∈ G}C(G) = {(Ax,y ∧ Ay,z)→ Ax,z : x, y, z ∈ G}D(G) = {¬(Ax,y ↔ Ay,x) : x, y ∈ G, x 6= y}E(G) = {Ax,y → Ax+z,y+z : x, y, z ∈ G}.

Finalmente, ha emos

T (G) = B(G) ∪ C(G) ∪D(G) ∪ E(G).A�rma ión 1. El grupo G es ordenable si y sólo si T (G) es satisfa ible.


Demostra ión de la a�rma ión 1. Supongamos que G es ordenable y probemos que T (G)es satisfa ible. Para ello onstruimos una asigna ión A que sea modelo de T (G). Sea ≤ un

orden total que es ompatible on la opera ión de grupo. Estable emos

A(Ax,y) = V ⇔ x ≤ y.

Con�rmemos que A(T (G)) = V . Sea Ax,x ∈ B(G). Enton es A(Ax,x) = V , pues x ≤ x para

ualquier x ∈ G. Tomamos ϕ ≡ (Ax,y ∧ Ay,z → Ax,z) ∈ C(G). La úni a posibilidad para

que A(ϕ) = F sea falsa es que el ante edente de ϕ sea V y el onse uente V . En tal aso

A(Ax,y) = V y A(Ay,z) = V , lo que quiere de ir que x ≤ y y y ≤ z, de donde se sigue x ≤ z,esto es A(Ax,z) = V . Con luimos que A(ϕ) = V siempre.

Para una fórmula ψ ≡ ¬(Ax,y ↔ Ay,x) ∈ D(G), observamos que A(ψ) = V , pues ≤ es

antisimétri o. �nalmente, si ϕ ≡ Ax,y → Ax+z,y+z ∈ E(G) y suponga que A(Ax,y) = V ;e hamos mano al he ho de que ≤ es ompatible on la opera ión de grupo, de donde se dedu e

que x ≤ y impli a x+ z ≤ y + z, por lo que A(Ax+z,y+z) = V , lo que impli a A(ψ) = V .Hemos on�rmado que T (G) es satisfa ible.Ahora suponga que T (G) es satisfa ible y probemos que G es ordenable. Sea A una asigna ión

modelo de T (G). Debemos de�nir una rela ión de orden ≤ que sea ompatible on la opera ión

de grupo de G. Es inmediato ómo de�nir ≤. A saber, x ≤ y si A(Ax,y) = V .La rela ión≤ es re�exiva, porque A(Ax,x) = V para ada x ∈ G, es de ir, x ≤ x. Análogamente

se on�rma que ≤ es transitia, porque A(C(G)) = V ; es antisimétri a, pues A(D(G)) = V y ≤resulta ompatible on la opera ión del grupo en virtud deque A(E(G)) = V . En onse uen ia,

G es ordenable por ≤.Nuestro siguiente objetivo es demostrar que todo grupo abeliano G es ordenable si y sólo si sus

subgrupos de tipo �nito son ordenables. Por supuesto, si G es ordenable, ualquier subgrupo,

de tipo �nito o no, es ordenable, por heren ia de la rela ión de orden.

Para la onversa, suponga que los subgrupos de G de tipo �nito son ordenables y mostremos

que G es ordenable.

Por lo ya demostrado, basta probar que T (G) es satisfa ible, y para on�rmar esto, a udimos

al teorema de ompa idad, según el ual basta orroborar que los sub onjuntos �nitos de T (G)son satisfa ibles.

Sea T ′ ⊆ T (G) �nito. Por onsiguiente, T ′ onsiste en una antidad �nita de fórmulas

pertene ientes a T (G) = B(G) ∪ C(G) ∪ D(G) ∪ E(G). Note que ada fórmula en T ′está

aso iada a una antidad �nita de variables proposi ionales Ax,y on x, y ∈ G. Dado que te-

nemos una antidad �nita de fórmulas, si ole tamos en A los elementos x ∈ G aso iados on

alguna de las fórmulas en T ′, obtenemos un sub onjunto �nito de G. Sea H el subgrupo gene-

rado por A en G. En onse uen ia, H tiene tipo �nito, Por hipótesis, H es ordenable, así que

podemos de�nir una asigna ión H tal que H(T (H)) = V , omo lo hi iomos arriba.

En onse uen ia, ada sub onjunto �nito de T (G) es satisfa ible y el teorema de ompa idad

asegura que T (G) es satisfa ible, que por lo antes di ho, abre paso a que G sea ordenable.

Para �nalizar el ejemplo, mostraremos que un grupo abeliano G es ordenable si y sólo si es

libre de torsión, para lo ual aprove hamos los he hos re ién demostrados.

Primero tomamos a G ordenable y mostramos que G es libre de torsión. Suponemos que G está

ordenado por ≤. Para llegar a una ontradi ión, pensamos que G no es libre de torsión, lo


que quiere de ir que existe un elemento x ∈ G, x 6= 0, y un natural n, n 6= 0 tales que nx = 0.Un elemento x de tal naturaleza se llama elemento de torsión de G.Dado que ≤ es un orden total, x es omparable on 0, esto es, o urre x ≤ 0 o 0 ≤ x.Caso 1. 0 ≤ x. Por el he ho de que ≤ es ompatible on la opera ión de grupo, obtenemos

0 ≤ x→ 0 + x ≤ x+ x

es de ir

x ≤ x+ x = 2x

y si ontinuamos de este modo llegamos a

x ≤ 2x ≤ 3x ≤ · · · ≤ (n− 1)x ≤ nx = 0

y omo ≤ es transitiva

x ≤ 0.

Por hipótesis, 0 ≤ x y re ién vimos x ≤ 0, de donde se dedu e, por antisimetría, que x = 0, loque supusimos falso.

Caso 2. x ≤ 0. Como antes

2x ≤ x

y

0 = nx ≤ (n− 1)x ≤ · · · ≤ 2x ≤ x

así,

0 ≤ x.

Por hipótesis x ≤ e, y por antisimetría 0 = x, un absurdo.

Ambos asos ondu en a una ontradi ión, por lo que on luimos que no puede existir un

elemento de torsión. Por lo tanto, G es libre de torsión.

Para la onversa, suponemos que G es libre de torsión y dotaremos a G de un orden total

ompatible on la opera ión de G. Según el resultado previo, para que G sea ordenable es

su� iente que sus subgrupos de tipo �nito sean ordenables.

Consideremos un subgrupo H ≤ G que tenga tipo �nito. Dado que G es libre de torsión, es

obvio que H también lo es. Si H = {e}, es laro que H es ordenable, pues ualquier rela ión

≤ re�exiva umple on el ometido. Este aso está resuelto.

Tomemos un subgrupo H que sea distinto de {0}. Apelamos al siguiente resultado.

Sea G un grupo abeliano, G 6= {0} libre de torsión y con tipo finito. Existe un p ∈ N, p 6= 0,tal que G es isomorfo a (Zp,+, 0).


Para una demostra ión de esta a�rma ión, véase [Ma68, Theorem 5.09℄. Enton es, nuestro

subgrupo H es isomorfo a Zp para ierto p ∈ N, p 6= 0. Sea Z = (Zp,+).

A�rma ión 1. El grupo Z es ordenable.

Demostra ión de la a�rma ión 1. De�nimos una rela ión ≤ en Z omo a ontinua ión se

detalla. Re uerde que Z = Z× · · · × Z︸︷︷︸p ve es

, así que Z onsiste en p-adas (z1, . . . , zp), donde zi ∈ Z,

1 ≤ i ≤ p. Dadas (x1, . . . , xp), (y1, . . . , yp) ∈ Zp, estable emos (x1, . . . , xp) ≤ (y1, . . . , yp), uando (x1, . . . , xp) = (y1, . . . , yp), o (x1, . . . , xp) 6= (y1, . . . , yp) y (x1 < y1), o (x1 = y1∧x2 < y2),o ..., o (

∧p−1i=1 xi = yi ∧ xp < yp). Este es el llamado orden lexi ográ� o. Las siguientes

propiedeades de ≤ se omprueban on fa ilidad.

� ≤ es re�exivo.

� ≤ es transitivo.

� ≤ es antisimétri o.

Nos resta er iorarnos de que ≤ respeta la opera ión de Z. Si (x1, . . . , xp) < (y1, . . . , yp),enton es existe i ≤ p tal que xi < yi. Note que (x1, . . . , xp)+(z1, . . . , zp) = (x1+z1, . . . , xp+zp),y (y1, . . . , yp) + (z1, . . . , zp) = (y1 + z1, . . . , yp+ zp), pero + es en realidad la suma en Z, así que

xi + zi < yi + zi

por propiedeades de la suma en Z, de donde se sigue (x1, . . . , xp) + (z1, . . . , zp) < (y1, . . . , yp) +(z1, . . . , zp). En resumen, Z es ordenable.

Resta de�nir un orden � en H . Para ello re urrimos al isomor�smo qu tenemos entre Z y H .

Sea

π : H // Z

el isomor�smo, que en parti ular es una biye ión. Sean a, b ∈ H . Enton es π(a), π(b) ∈ Z y

se umple π(a) ≤ π(b) o π(b) ≤ π(a), digamos π(a) ≤ π(b). Enton es ha emos a � b. Es muysen illo veri� ar que � es un orden total en H . Más aún, � respeta la opera ión de H . En

efe to, suponga que a, b, c ∈ H y que a � b, enton es π(a) ≤ π(b). Además, a + c, b + c ∈ H ,

por lo que

π(a+ c) = π(a) + π(c) ≤ π(b+ c) = π(b) + π(c),

porque π es un isomor�smo de grupo y ≤ respe ta la opera ión de Z.

Hemos onstatado que H es ordenable y de paso que todo subgrupo de G de tipo �nito es

ordenable. En onse uen ia, G es ordenable por lo antes di ho.

n

II.10. Teorías proposicionales 81

II.10 Teorías proposi ionales

En esta se ión estudiaremos varios resultados del ál ulo proposi ional que posteriormente

generalizaremos al ál ulo de predi ados, donde realmente despliegan toda su fuerza. Sin em-

bargo, la presenta ión proposi ional tiene la ventaja de ser más asequible y prepara al le tor

para su posterior generaliza ión. Comenzamos on el teorema de interpola ión.

Si ϕ es una fórmula, ϕ[P1, . . . , Pl] alude al he ho de que las variables que apare en en ϕ están

entre P1, . . . , Pl. Si ψ1, . . . , ψm son fórmulas,ϕ[P1/ψ1, . . . , Pm/ψm] denota la fórmula que se

origina en ϕ remplazando ada o urren ia de Pi por ψi (i = 1, . . . , m).

Teorema II.10.1.

Dada una asigna ión A, un número n, fórmulas ϕ, ψ1, . . ., ψn, variables A1,

. . . , An, sea A′la asigna ión que se obtiene de la siguiente de�ni ión:

A′(R) =

{A(R), si R /∈ {P1, . . . , Pn}A(ψi), si r = Pi (1 ≤ i ≤ n).

Enton es

A(ϕ(P1/ψ1, . . . , Pn/ψn)) = A′(ϕ).

Teorema

Demostra ión. Pro edemos por indu ión en la onstru ión de ϕ.

❶ Si ϕ es una variable, tenemos dos posibilidades: ϕ /∈ {P1, . . . , Pn} en uyo aso ϕ(P1/ψ1,

. . ., Pn/ψn) = ϕ y A(ϕ(P1/ψ1, . . ., Pn/ψn)) = A(ϕ)= A′(ϕ); o bien ϕ = Pi para alguna

i ≤ n, de donde se sigue ϕ(P1/ψ1, . . . , Pn/ψn) = ψi y A(ψi) = A′(Pi) = A′(ϕ), por lade�ni ión de A′

.

❷ Si ϕ ≡ ¬ψ y suponemos que A(ψ(P1/ψ1, . . . , Pn/ψn)) = A′(ψ) (hipótesis de indu ión),enton es

A(ϕ(P1/ψ1, . . . , Pn/ψn)) = A(¬ψ(P1/ψ1, . . . , Pn/ψn))

=

{V, si A(ψ(P1/ψ1, . . . , Pn/ψn)) = F

F, si A(ψ(P1/ψ1, . . . , Pn/ψn)) = V.

=

{V, si A′(ψ) = F

F, si A′(ψ) = V.

= A′(¬ψ) = A′(ϕ).


❸ ϕ ≡ (ϕ1 ∧ϕ2) y la hipótesis de indu ión es A(ϕ1(P1/ψ1, . . . , Pn/ψn)) = A(ϕi) (i = 1, 2).Enton es

A(ϕ(P1/ψ1, . . . , Pn/ψn)) = A(ϕ1(P1/ψ1, . . . , Pn/ψn) ∧ ϕ2(P1/ψ1, . . . , Pn/ψn))

= A′(ϕ1(P1/ψ1, . . . , Pn/ψn) ∧ ϕ2(P1/ψ1, . . . , Pn/ψn))

= A′(ϕ1 ∧ ϕ2) = A′(ϕ).

❒

Corolario II.10.2. Para ualesquiera fórmulas ϕ, ψ1, . . . , ψn y ualesquiera variables P1, . . .,Pn, si ϕ es una tautología, así lo es la fórmula

ϕ[P1/ψ1, . . . , Pn/ψn].

Demostra ión. Sea A una asigna ión; de�nimos A′ omo en el teorema II.10.1. Enton es

A(ϕ[P1/ψ1, . . . , Pn/ψn]) = A′(ϕ) = V.

❒

Lema II.10.3. Sean ϕ, ψ fórmulas sin variables en omún. Las siguientes a�rma iones son

equivalentes:

1. ϕ→ ψ es una tautología.

2. Alguna de las fórmulas ¬ϕ o ψ es una tautología.

Demostra ión. (2)⇒(1). Note que ϕ→ ψ es equivalente a ¬ϕ∨ψ, así que la a�rma ión de (1)

se sigue de (2).

(1)⇒(2). Supongamos que (2) es falsa. Podemos enton es en ontrar una asigna ión A tal que

A(¬ϕ) = F , es de ir, A(ϕ) = V , y una asigna ión A′ on A′(ψ) = F . De�nimos una nueva

valua ión A′′de la siguiente manera:

A′′(P ) =

{A(P ), si P apare e en ϕ;

A′(P ), en otro aso.

Por hipótesis A′′ oin ide on A en las variables de ϕ y on A′

en las variables de ψ. Se sigueque A′′(ϕ) = A(ϕ) = V y A′′(ψ) = A′(ψ) = F , por lo que A′′(ϕ→ ψ) = F , una ontradi ión.

❒

Teorema II.10.4 (Interpola ión).


Sean P1, . . . , Pn variables proposi ionales distintas entre sí, ϕ, ψ fórmulas que

tienen en omún, a lo sumo, a las variables P1, . . . , Pn. Las siguientes a�rma-

iones son equivalentes:

1. ϕ→ ψ es una tautología.

2. Existe una fórmula γ uyas variables están entre P1, . . . , Pn y tal que las

fórmulas

ϕ→ γ y γ → ψ

son tautologías. En este aso de imos que la fórmula γ interpola a ϕ y ψ.

Teorema

Demostra ión. (2)⇒(1). Supongamos que existe γ on las propiedades de (2). Debemos probar

que ϕ→ ψ es una tautología. Con este �n, onsideremos una asigna ión arbitraria A. En estas

ondi iones A(ϕ→ γ) = A(γ → ψ) = V .Si A(γ) = V , enton es A(ψ) = V , porque A(γ → ψ) = V . Si A(γ) = F , se sigue que A(ϕ) = Fpues A(ϕ→ γ) = V . En ambos asos A(ϕ→ ψ) = V .(1)⇒(2) Supongamos que A(ϕ → ψ) = V y probemos que existe una fórmula γ omo exige

(2). Pro edemos por indu ión en el número k de variables que apare en en ϕ, pero no en ψ.Si k = 0 toda variable que apare e en ϕ o urre en ψ, por lo que ϕ onsiste en, a lo sumo, las

variables P1, . . . , Pn. Tomamos γ = ϕ y es laro que se umple (por (1)):

|= ϕ→ γ y |= γ → ψ.

Supongamos el resultado ierto para k = m, y probémoslo para k = m+ 1.Sean Q1, Q2, . . . , Qm+1 las variables de ϕ que no apare en en ψ. Según nuestra hipótesis, las

variables de ϕ son {P1, . . . , Pn, Q1, . . . , Qm+1}.Sean ϕ1 la fórmula que se obtiene de ϕ al sustituir toda o urren ia de Qm+1 por P1, y ϕ0 la

que se obtiene al sustituir Qm+1 por ¬P1. Esto es,

ϕ0 ≡ ϕ[P1, . . . , Pn, Q1, . . . , Qm,¬P1] ≡ ϕ[Qm+1/¬P1]

ϕ1 ≡ ϕ[P1, . . . , Pn, Q1, . . . , Qm, P1] ≡ ϕ[Qm+1/P1].

Sea A una asigna ión. En onse uen ia, A(ϕ→ ψ) = V .Por el orolario II.10.2, se sigue que A(ϕ1 → ψ) = A((ϕ → ψ)[Qm+1/P1]) = V . En forma

análoga, A(ϕ0 → ψ) = V .Ahora note que

(ϕ1 → ψ) ∧ (ϕ0 → ψ) ≡ (¬ϕ ∨ ψ) ∧ (¬ϕ0 ∨ ψ)≡ ψ ∨ (¬ϕ1 ∧ ¬ϕ0)

≡ ψ ∨ ¬(ϕ1 ∨ ϕ0)

≡ (ϕ1 ∨ ϕ0)→ ψ.


Por lo tanto, (ϕ1∨ϕ0)→ ψ es una tautología. Las variables en la fórmula (ϕ1∨ϕ0) están entre

P1, P2, . . . , Pn, Q1, . . . , Qm, por lo que podemos apli ar la hipótesis de indu ión y en ontrar γque interpole a ϕ1 ∨ ϕ0 y ψ, es de ir, una fórmula uyas variables están entre P1, . . . , Pn y tal

que

|= (ϕ0 ∨ ϕ1)→ γ

y

|= γ → ψ.

Probaremos que ϕ → (ϕ1 ∨ ϕ0) es una tautología, lo que termina la demostra ión pues en tal

aso

|= ϕ→ γ

que onvierte a γ en un interpolante entre ϕ y ψ.Sea A una asigna ión on A(ϕ) = V . Si re urrimos al teorema II.10.1, si A(P1) = A(Qm+1),enton es A(ϕ1) = A(ϕ) = V , o bien, si A(P1) 6= A(Qm+1), se sigue que A(ϕ0) = A(ϕ) = V .En ualquier aso A(ϕ1 ∨ ϕ0) = V , así que

|= ϕ→ (ϕ1 ∨ ϕ0).

❒

Estudiemos a ontinua ión on más detalle las rela iones A |= ϕ y ϕ |= ψ. Mu hos de estos

resultados ya se han estable ido, tal vez implí itamente, pero vale la pena retomarlos.

Proposi ión II.10.5. 1. Para toda fórmula ϕ, |= ϕ si y sólo si ∅ |= ϕ.

2. Para ualesquiera fórmulas ϕ0, . . . , ϕn, ψ las siguientes a�rma iones son equivalentes:

(a) {ϕ0, . . . , ϕn} |= ψ.

(b) ϕ0 ∧ · · · ∧ ϕn |= ψ.

( ) Para ada i < n {ϕ0, . . . , ϕi−1} |= ϕi ∧ · · ·ϕn → ψ.

Demostra ión. 1. ⇒). Suponga que no es ierto que ∅ |= ϕ. Enton es existe una asigna ión

A que ha e ierto a ∅ y falso a ϕ, lo ual no es posible.

⇐). Supongamos que ∅ |= ϕ y que 6|= ϕ. En onse uen ia, existe una asigna ión A que ha e

falsa a ϕ. Por hipótesis, A(∅) = F , de lo ontrario A(ϕ) = V . Pero A(∅) = F signi� a que

existe ψ ∈ ∅ tal que A(ψ) = F , lo ual tampo o es posible.

2. (a)⇒(b). Si la asigna ión A es tal que A(ϕ0 ∧ · · · ∧ ϕn) = V ; enton es A(ψ) = V para toda

i ≤ n, por lo que A(ψ) = V por (a).

(b)⇒( ). Sean i < n y A({ϕo, . . . , ϕi−1}) = V . Si A(ϕi ∧ · · · ∧ ϕn → ψ) = F signi� a que

A(ϕj) = V para toda i ≤ j ≤ n y A(ψ) = F ; pero en tal aso A(ϕ0 ∧ · · · ∧ ϕn) = V y por (b)

A(ψ) = V , una ontradi ión.

( )⇒(a). Sea A(ϕi) = V para toda i ≤ n. Por ( ) A(ϕn → ψ) = V , por lo que A(ψ) = V . ❒


De�ni ión II.10.6. Un onjunto T de fórmulas es una teoría si es errada respe to a onse-

uen ia lógi a, es de ir, para toda fórmula ϕ

T |= ϕ⇒ ϕ ∈ T.

Los elementos de T se ono en omo teoremas.

Por supuesto, ϕ ∈ T impli a que T |= ϕ.

De�ni ión II.10.7. Para ualquier onjunto Γ de fórmulas, la teoría generada

7

por Γ es

Teo(Γ) = {ψ : Γ |= ψ}.

Γ es un onjunto de axiomas para Teo(Γ).

El onjunto Teo(Γ) es un viejo ono ido, sólo que solíamos llamarlo Cn(Γ).Note que Teo(Γ) siempre es un onjunto in�nito.

Proposi ión II.10.8. Para ualesquiera onjuntos de fórmulas Γ y ∆.

1. Γ ⊆ Teo(Γ).

2. M(Γ) = M(Teo(Γ)) (re uerde que M(Γ) es el onjunto de los modelos de Γ).

3. Teo(Γ) es una teoría proposi ional.

4. Si Γ ⊆ ∆, enton es Teo(Γ) ⊆ Teo(∆).

5. Γ es una teoría si y sólo si Γ = Teo(Γ).

6. Teo(Γ) es la menor teoría T tal que Γ ⊆ T.

7. Teo(∅) = {ϕ : ϕ es una tautología} está ontenida en ualquier teoría.

Demostra ión. (1), (2), (3) y (4) son onse uen ia de las de�ni iones orrespondientes y de

resultados previos. Quedan omo un ejer i io sen illo.

(5). Supongamos que Γ es una teoría. Por (1) Γ ⊆ Teo(Γ). Sea ϕ ∈ Teo(Γ), enton es Γ |= ϕ y

puesto que Γ es una teoría, ϕ ∈ Γ.Ahora supongamos que Γ = Teo(Γ). Enton es Γ es errada respe to a onse uen ia lógi a, por

lo que Γ es una teoría.

(6). Sabemos que Γ ⊆ Teo(Γ) y que Teo(Γ) es una teoría, demostraremos que es la menor

que ontiene a Γ. Con este �n, onsidere una teoría T on Γ ⊆ T. Debemos on�rmar que

Teo(Γ) ⊆ T. Sea ϕ ∈ Teo(Γ), enton es Γ |= ϕ y omo Γ ⊆ T, ϕ ∈ T.

(7). Teo(∅) = {ϕ : ϕ es tautología}. Sea ϕ ∈ Teo(∅), enton es ∅ |= ϕ, ya vimos que en tal

aso ϕ es una tautología. Sea ϕ una tautología, enton es es evidente que ∅ |= ϕ. Como ∅ ⊆ Γpara toda teoría y T = Teo(T), se sigue de lo previamente demostrado que Teo(∅) ⊆ T. ❒

7

En o asiones, Teo(Γ) se denota Γ|=.


Corolario II.10.9. Para ualquier onjunto de fórmulas Γ y toda fórmula ψ:

1. Γ |= ψ si y sólo si Γ ∪ {¬ψ} es in onsistente.

2. Γ |= ¬ψ si y sólo si Γ ∪ {ψ} es in onsistente.

Demostra ión. (1) ⇒) Supongamos que Γ |= ψ y que Γ ∪ {¬ψ} es onsistente, enton es existeun modelo A tal que A(Γ) = V y A(¬ψ) = V , pero esto ontradi e nuestra hipótesis Γ |= ψ.

⇐) Supongamos que Γ ∪ {¬ψ} es in onsistente. Debemos omprobar que Γ |= ψ. Con este

mali ioso �n en mente, sea A una asigna ión tal que A(Γ) = V . Si A(ψ) = F , enton esA(¬ψ) = V , por lo que A sería un modelo de Γ∪{¬ψ}, lo que no puede o urrir pues Γ∪{¬ψ}es in onsistente.

(2) Se prueba en forma análoga. ❒

De�ni ión II.10.10. Para ualquier asigna ión A, la teoría de A es el onjunto

Teo(A) = {ψ : A(ψ) = V }.

Proposi ión II.10.11. Sea A una asigna ión.

1. Teo(A) es una teoría ompleta y onsistente. Además, A es el úni o modelo de Teo(A).

2. Para ualquier asigna ión B, A = B si y sólo si Teo(A) = Teo(B).

Demostra ión. (1) Por de�ni ión A es un modelo de Teo(A), así que Teo(A) es onsistente.Además, para toda fórmula ϕ, A(¬ϕ) = V si y sólo si A(ϕ) 6= V , por lo que Teo(A) es

ompleta. Mostraremos que Teo(A) es una teoría. Supongamos que Teo(A) |= ψ. Puesto que

A es modelo de Teo(A), A(ψ) = V , de donde se sigue que ψ ∈ Teo(A).Supongamos que B es otro modelo de Teo(A). Enton es para toda fórmula ϕ, si A(ϕ) = V ,B(ϕ) = V . En onse uen ia,

A(ψ) = F ⇒ A(¬ψ) = V ⇒ B(¬ψ) = V ⇒ B(ψ) = F,

por lo que obtenemos la igualdad A = B.(2) Sea B una asigna ión. Supongamos que A = B. Queremos er iorarnos de que Teo(A) =Teo(B). Si ϕ ∈ Teo(A), sabemos que B(ϕ) = A(ϕ) = V , por lo que ϕ ∈ Teo(B). La prueba

de la onten ión Teo(B) ⊆ Teo(A) es similar.

Ahora supongamos que Teo(A) = Teo(B). Sea ϕ una fórmula y debemos omprobar que

A(ϕ) = B(ϕ). De no ser el aso, existe una fórmula ϕ on A(ϕ) = V y B(ϕ) = F , enton esϕ ∈ Teo(A)− Teo(B), pero Teo(A)− Teo(B) = ∅ por hipótesis, así que no puede existir tal

ϕ, de donde se sigue que A = B. ❒

Corolario II.10.12. Hay una antidad no numerable de teorías.


Demostra ión. Primero re uerde que una teoría es un onjunto de fórmulas, es de ir, un sub-

onjunto de Fml. Dado que tenemos una antidad numerable de variables proposi ionales y una

antidad �nita de one tivos, existe una antidad numerable de fórmulas, pues ada fórmula

da lugar a un onjunto �nito de variables y one tivos.

Por lo tanto, tenemos a lo más tantas teorías omo sub onjuntos de Fml. En vista de que

|Fml| = ℵ0, se sigue que Ξ, el onjunto de todas las teorías, tiene ardinalidad a lo más

|Pot(Fml)| = 2ℵ0, es de ir, |Ξ| ≤ 2ℵ0

.

Si estable emos 2ℵ0 ≤ |Ξ|, podemos apli ar el teorema de Cantor-Bernstein y dedu ir 2ℵ0 =|Ξ|. Con este �n, onsidere una asigna ión A; ésta no es otra osa que una fun ión A :Fml // {V, F}. Por la proposi ión II.10.11, si A 6= B, Teo(A) 6= Teo(B), así que la fun ión

Υ : A // Ξ, de�nida mediante Υ(A) = Teo(A), donde A es el onjunto de las asigna iones, es

una fun ión inye tiva. Tenemos |{V, F}||Fml| posibles asigna iones, es de ir, 2ℵ0. Puesto que

|A| ≤ |Ξ| (ya que Υ es inye tiva), dedu imos que 2ℵ0 ≤ |Ξ|, omo se requiere. ❒

Corolario II.10.13. Para ualquier onjunto Γ de fórmulas y ualquier teoría T, las siguientes

a�rma iones son equivalentes.

1. T es ompleta y Γ ⊆ T (T es una extensión ompleta de Γ).

2. T = Teo(A) para algún modelo A de Γ.

Demostra ión. (1)⇒(2) Sabemos que T es ompleta y Γ ⊆ T. Observe que si T es una teoría

ompleta, debe ser onsistente omo re ién vimos, pues si T no tiene modelo T |= ϕ para

ualquier ϕ, por lo que ϕ ∈ T, así que ϕ,¬ϕ ∈ T, ontrario a que T sea ompleta.

Como Γ ⊆ T, si Γ no tiene modelo, tampo o lo tendría T.

Sabemos que T tiene un modelo A, que por supuesto también es modelo de Γ. Probaremos

que T = Teo(A). Es laro que T ⊆ Teo(A). Si ϕ ∈ Teo(A), dado que ϕ o ¬ϕ pertene e a T,

y A |= T, se sigue que ϕ ∈ T.

(2)⇒(1). Tenemos ono imiento de que T = Teo(A) para un modelo A de Γ. Se sigue que

Γ ⊆ Teo(A) y que Teo(A) es ompleta. ❒

De�ni ión II.10.14. Sea K un onjunto no va ío de asigna iones. La teoría de K es el onjunto:

Teo(K) = {ψ : A(ψ) = V para toda A ∈ K}=⋂{Teo(A) : A ∈ K}.

Proposi ión II.10.15. Supongamos que K es un onjunto no va ío de asigna iones.

1. Teo(K) es una teoría onsistente y ada A ∈ K es un modelo de K.

2. Si K tiene al menos dos elementos distintos, Teo(K) no es ompleta.

Demostra ión. 1. Si A ∈ K, Teo(K) ⊆ Teo(A), así que para ualquier ψ, ψ ∈ Teo(K) ⇒ψ ∈ Teo(A) ⇒ A(ψ) = V , por lo que A es un modelo de Teo(K). En parti ular, Teo(K) es onsistente.


Si Teo(K) |= ψ, enton es, para ualquier A ∈ K, A(ψ) = V pues A es modelo de Teo(K), asíque ψ ∈ Teo(A), para ada A; por tanto, ψ ∈ Teo(K), de donde se sigue que Teo(K) es unateoría.

2. Si A 6= B, A,B ∈ K, enton es para alguna fórmula ϕ, A(ϕ) = V y B(ϕ) = F , por lo que

ϕ ∈ Teo(A)− Teo(B) y ¬ϕ ∈ Teo(B)− Teo(A), de donde se sigue que ϕ /∈ Teo(K) y tampo o

¬ϕ pertene e a Teo(K). Por lo tanto, Teo(K) no es ompleta. ❒

De imos que un onjunto K de asigna iones es axiomatizable, si para algún onjunto Γ de

fórmulas,

K = M(Γ).

Corolario II.10.16. 1. Sea Γ un onjunto de fórmulas, enton es

Γ ⊆ Teo(M(Γ)).

Si Γ es una teoría, Γ = Teo(M(Γ)); en parti ular, para ualquier onjunto de enun iados

Γ,Teo(Γ) = Teo(M(Γ)).

2. Para ualquier onjunto de asigna iones K, K ⊆ M(Teo(K)); si K es axiomatizable,

enton es K = M(Teo(K)).

Demostra ión. 1. Sea Γ un onjunto de fórmulas y ϕ ∈ Γ. Cualquier modelo A de Γ es modelo

de ϕ, por lo que ϕ ∈ Teo(M(Γ)).Supongamos que Γ es una teoría, debemos er iorarnos de que

Teo(M(Γ)) ⊆ Γ.

Con este �n, tomamos ϕ ∈ Teo(M(Γ)). Si mostramos que Γ |= ϕ, habremos terminado.

Sea A un modelo de Γ, enton es A ∈M(Γ) por lo que A(ϕ) = V .Si Γ es un onjunto de enun iados, Teo(Γ) es una teoría proposi ional (de a uerdo on II.10.8(3)),por lo que se umple

Teo(Γ) = Teo(M(Γ)).

2. Sean K un onjunto de asigna iones, A ∈ K y ϕ ∈ Teo(K). Enton es A(ϕ) = V , por lo que

A ∈M(Teo(K)). Ahora supongamos que K es axiomatizable, enton es

K =Mod(Γ).

Ya probamos que K ⊆M(Teo(K)). Por hipótesis, K = M(Γ). Sea A ∈Mod (Teo(K)), enton esA |= Teo(K). Re uerde que ψ ∈ Teo(K), si B |= ψ para toda B ∈ K. Si B ∈ K, B |= Γ, por loque Γ ⊆ Teo(K). En onse uen ia, dado que A ∈M(Teo(K)), A |= Γ, así que A ∈ K. ❒

Corolario II.10.17. Sea T una teoría. Las siguientes a�rma iones son equivalentes.

1. T es in onsistente.


2. T ontiene a todas las fórmulas.

3. Para alguna ( ualquier) fórmula ϕ, ϕ ∈ T y ¬ϕ ∈ T.

4. ⊥ ∈ T.

Demostra ión. (1)⇒(2). Como T es in onsistente, no tiene modelo, por lo que si ψ es una

fórmula, T |= ψ. Puesto que T es una teoría, ψ ∈ T. En onse uen ia, T ontiene a todas las

fórmulas.

(2)⇒(3). (3) es inmediato de 2.

(3)⇒(4). Sea ϕ una fórmula tal que ϕ ∈ T y ¬ϕ ∈ T. Enton es T |= ϕ y T |= ¬ϕ, así queT |= ϕ ∧ ¬ϕ. Ya que T es una teoría, ϕ ∧ ¬ϕ ∈ T.

(4)⇒(1). Dado que ⊥ ∈ T, T no puede tener modelo. ❒

Corolario II.10.18. Para ualquier teoría T, T es ompleta si y sólo si T es máxima y

onsistente, es de ir, T es onsistente y ualquier onjunto ompleto de enun iados que ontenga

propiamente a T es in onsistente, T tiene exa tamente un modelo A y T = Teo(A).

Demostra ión. Si T es ompleta, no satisfa e (3) del orolario II.10.17, por lo que es onsistente

y para ualquier fórmula ϕ que no pertenez a a T (ya que ¬ϕ ∈ T) T ∪ {ϕ} es in onsistente.Re ípro amente, si T es onsistente y máxima, para ualquier enun iado ϕ /∈ T, T ∪ {ϕ} esin onsistente, por lo que T |= ¬ϕ, y omo T es una teoría, ¬ϕ ∈ T.

Sea A de�nida por:

A(Pn) ={V, si Pn ∈ T

F, si Pn /∈ T.

Se a�rma que A |= T. Sea ϕ ∈ T. Probaremos que A |= ϕ por indu ión en la onstru ión

de ϕ.Si ϕ ≡ A es una variable proposi ional, A(ϕ) = V por de�ni ión.

Suponga ierta la a�rma ión para la fórmula ψ y probémosla para ϕ ≡ ¬ψ. Como T es

ompleta, ψ o ¬ψ ∈ T; pero ¬ψ ≡ ϕ ∈ T. Se sigue que A(¬ψ) = V , por lo que A(ϕ) = V .Supongamos ierta la a�rma ión para ϕ1, ϕ2 y demostrémosla para ϕ ≡ ϕ1 ∧ ϕ2.

Como T es ompleta, ϕi o ¬ϕi ∈ T (i = 1, 2). Si ϕ1, ϕ2 ∈ T, A(ϕ1) = A(ϕ2) = V , de donde sesigue A(ϕ) = V .Si, digamos, ϕ1 /∈ T, enton es ¬ϕ1 ∈ T. En tal aso ϕ1 ∧ ϕ2,¬ϕ1 ∈ T, de donde se sigue que

T |= ϕ1∧ϕ2, así que T |= ϕ1 y simultáneamente T |= ¬ϕ1, una ontradi ión. Con luimos que

no puede o urrir ¬ϕ1,¬ϕ2 ∈ T. En resumen A |= T.

Ahora supongamos que tenemos una asigna ión B, B 6= A y B |= T. Existe una fórmula ϕ tal

que

B 6|= ϕ y A |= ϕ (1)

A 6|= ϕ y B |= ϕ. (2)

Supongamos (2), enton es ¬ϕ ∈ T, pues T es ompleta y A |= T, de donde se dedu e que

B 6|= T, una ontradi ión.


El aso (1) se trata en forma similar.

En el orolario II.10.13 vimos que T = Teo(B) para algún modelo B de T. Pero el úni o modelo

de T es A, así que T = Teo(A).❒

II.11 Ultraprodu tos

En esta se ión trataremos su intamente la onstru ión de modelos ono idos omo ultra-

produ tos. Si bien son útiles en nuestro ontexto, será en la lógi a de predi ados uando

mani�esten todas sus virtudes. No obstante, vale la pena presentarlos aquí, para ha er más

fá il su introdu ión en la lógi a de primer orden.

Suponga que un onjunto Γ de fórmulas es �nito satisfa ible y, para i ⊆ Γ �nito, Ai es un

modelo de i. Para obtener un modelo A para Γ debemos ser apa es de "amalgamar" las Ai.Para esto se usan los ultraprodu tos, donde se requiere la no ión de ultra�ltro que suponemos

ono ida para el le tor.

De�ni ión II.11.1. Para ualesquiera onjunto in�nito I, ultra�ltro U en I y onjunto {Ai :i ∈ I} de asigna iones, la fun ión AU : Fml // {V, F} se de�ne omo

AU(ϕ) =

{V, si Xϕ ∈ UF, en otro aso,

donde Xϕ = {i ∈ I : Ai(ϕ) = V }.AU es el ultraprodu to de la familia {Ai : i ∈ I} on respe to a U .

Proposi ión II.11.2. AU es una asigna ión.

Demostra ión. Note que

X¬ϕ = I −Xϕ

AU(¬ϕ) = V ⇔X¬ϕ ∈ U ⇔ Xϕ /∈ U ⇔ AU(ϕ) = F

AU(ϕ1 ∨ ϕ2) = V ⇔Xϕ1∈ U o Xϕ2

∈ U ⇔ AU(ϕ1) = V o AU(ϕ2) = V.

❒

Con ayuda del ultraprodu to podemos dar otra demostra ión del teorema de ompa idad II.8.5

que no depende de ompletud o orre tud.

II.12. Ejercicios 91

Demostra ión. (Del teorema II.8.5). Sea Γ un onjunto de fórmulas �nito satisfa ible. Cons-

truimos el onjunto IΓ = [Γ]<ℵ0, el onjunto de sub onjuntos �nitos de Γ. Sea Ai un modelo

de i, para i ∈ IΓ. Sea U un ultra�ltro en IΓ tal que YΓ ⊆ U , donde

YΓ = {Yϕ : ϕ ∈ Γ}Yϕ = {i ∈ IΓ : ϕ ∈ i}.

Para ada ϕ ∈ Γ, Yϕ ∈ U y Yϕ ⊆ Xϕ, así que Xϕ ∈ U . Por lo tanto, AU es una asigna ión tal

que para ada ϕ ∈ Γ, AU(ϕ) = V , por lo que A |= Γ. ❒

m

II.12 Ejer i ios

1. Existe un one tivo ↑ (en inglés se denota NAND) que tiene la misma tabla de verdad

que ¬(ϕ ∧ ψ).

(a) Es riba la tabla de verdad de ↑.(b) Determine si ↑ es aso iativo.( ) Demuestre que

(ϕ ∧ ψ)⇔ [(ϕ ↑ ψ) ↑ (ϕ ↑ ψ)].

ii. el lenguaje de la lógica proposicionaltlacuatl.mx/docencia/logica/log2.pdf · 2020-01-13 ·...

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