II. BILANGAN KOMPLEKS

2.1 Pendahuluan

Sistem bilangan kompleks pada dasarnya merupakan perluasan dari sistem bilangan

riil. Sistem bilangan ini diperkenalkan untuk memecahkan sistem-sistem persamaan aljabar

yang tidak mempunyai jawaban dalam sistem bilangan kompleks.

Dalam aljabar ada menggunakan bilangan imajiner dan bilangan kompleks yaitu pada

penyelesaian dari persamaan kuadrat yaitu:

𝑎𝑧2 + 𝑏𝑧 + 𝑐 = 0

Untuk mencari nilai kuadrat menggunakan persamaan

𝑧 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

Sistem bilangan kompleks pada dasarnya merupakan perluasan dari sistem bilangan

riil, sistem bilangan ini diperkenalkan untuk memecahkan sistem-sistem persamaan aljabar

yang tidak mempunyai jawaban dalam sistem bilangan kompleks. Jika diskriminan dari 𝑑 =

(𝑏2 − 4𝑎𝑐) adalah negatif, kita harus memakai akar dari angka negatif dalam rangka

menemukan z. Hanya non-negatif angka yang memiki akar real, maka tidak memungkinkan

jika menggunakan persamaan z diatas, ketika 𝑑 < 0. Kecuali jika memahami mengenai jenis

bilangan lain yang disebut bilangan imajiner.

Angka imajiner ini menggunakan simbol 𝑖 yaitu 𝑖 = √−1 maka 𝑖2 = −1 maka,

√−16 = 4i, √−3 = i√3, i3 = - i

Dimana bilangan imajiner,

i2 = -1, √−2 √−8 = i√−2. i√8 = -4, i4n = 1

dari persamaan z diatas menunjukan bilangan imajiner dan bilangan riil, dengan solusi

z + 2z + 2 =0

z = 2±√4−8

2 =

2±√−4

2 = 1 ± i

digunakannya istilah bilangan kompleks untuk menandakan satu atau seluruh angka, riil dan

imajiner, atau kombinasi dari keduanya seperti 1 ± 𝑖. Lalu 𝑖 + 5,17𝑖, 4, 3 + 𝑖√5 semua adalah

contoh dari bilangan kompleks.

Dalam Fisika, sistem kompleks memegang peranan yang penting seperti misalnya dalam

mempelajari gelombang, rangkaian listrik sampai dengan penggambaran dinamika partikel

sub-atomik.

2.2 Bilangan Riil dan Imajiner adalah Bagian dari Bilangan Kompleks

Sebuah angka kompleks seperti 5+3i adalah rangkaian dari dua bagian. Bagian real

(tidak memiliki i) disebut bagian real dari bilangan kompleks. Koefisien dari 𝑖 pada bagian lain

disebut imajiner dari bagian bilangan kompleks. Pada 5+3i, 5 adalah real dan 3 adalah imajiner.

Antara real atau imajiner dari bilangan kompleks bisa saja bernilai nol. Jika bagian

real bernilai 0 maka, bilangan kompleks tersebut disebut imajiner ( atau, lebih singkatnya,

imajiter murni). Bilangan real yang bernilai nol biasanya dihilangkan; jad 0+5i hanya ditulis 5i.

jika bagian imajiner dari bilangan kompleks bernilai nol, bilangan real. ditulis 7+0i menjadi 7.

Bilangan kompleks yang terdapat real dan imajiner asli hanya ada di beberapa kasus khusus.

2.3 Bidang Kompleks

Jika dalam sistem bilangan riil kita dapat merepresentasikannya dalam suatu garis lurus

seperti yang diilustrasikan pada gambar 1(a), maka bilangan kompleks lazim direpresentasikan

dalam suatu bidang kartesian yang dinamakan sebagai bidang kompleks seperti yang

diilustrasikan dalam gambar 1(b) dengan sumbu-sumbu x = Re(z)dan y = Im(z). Dalam

representasi ini, untuk setiap bilangan kompleks z = a + ib , kita dapat mengaitkannya dengan

suatu titik (a, b) di dalam sistem koordinat kartesius.

Sebagai contoh kita plot

Gambar 2.1

Sebagai contoh, secara geometri kita plot titik (5,3) seperti pada gambar 2.1, kita dapat

mendefinisikan bilangan kompleks nya 5+3i. Maka bidang kompleksnya

Gambar 2.2

Bilangan kompleks dapat divisualisasikan sebagai titik atau vektor posisi pada sistem

koordinat dua dimensi yang dinamakan bidang kompleks atau diagram argand. Koordinat

kartesius bilangan kompleks adalah bagian riil x dan bagian imajiner y , sedangkan koordinat

kartesius adalah 𝑟 = |𝑧| yang disebut modulus dan )arg(z .

Selain itu, kita dapat pula menyatakan bidang kompleks dalam koordinat polar, secara

geometri ditunjukkan oleh gambar 2.3

Gambar 2.3

Dengan mentransformasikan koordinat x dan y ke dalam koordinat polar

sedemikian rupa sehingga

sin

cos

ry

rx

(2.1)

Sehingga persamaan bilangan kompleks menjadi

)sin(cos

sincos

ir

irriyx

(2.2)

Persamaan (2.2) tersebut dinamakan bentuk polar dari bilangan kompleks. Wakilan dari

)sin(cos i ditulis sebagai ie , sehingga bentuk polar dari bilangan kompleks dapat

dinotasikan juga sebagai

ireiriyx sincos (2.3)

2.4 Terminologi dan Notasi

Seperti pembahasan sebelumnya, bilangan kompleks dapat di notasikan

ireiriyx sincos

Dalam hal ini, z adalah bilangan kompleks, x adalah bagian riil dari bilangan kompleks

z, dan y adalah bilangan imajiner dari z. Nilai r dinamakan modulus atau nilai mutlak dari z,

dan dinamakan sudut dari z (fase, argumen, ataupunamplitudo dari z). Secara simbol dapat

ditulis sebagai berikut:

zofangleiybukanyz

yxrzzxz

)(Im

modRe 22

(2.4)

Contoh:

Tentukan nilai r, dan sudut dari bilangan kompleks i 3

Penyelesaian:

63

3

1arctan

arctan

2

4

13

1322

22

x

y

r

r

r

yxr

Dengan sinry

1

3

23

sin3

cos213:

3cos2

3sin2

cos

3

y

x

emaka

x

y

rx

2.5 Aljabar Kompleks

Menyederhanakan ke Formula x+iy

Setiap bilangan kompleks dapat dinyatakan dalam bentuk x+iy. Untuk

menambahkn, mengurangi, dan mengalikan bilangan kompleks. Kompleks Seperti halnya

bilangan riil, pada bilangan kompleks juga berlaku operasi-operasi aljabar seperti

penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian. Selain itu, untuk melakukan

penyederhanaan aljabar bilangan kompleks juga mengikuti aturan aljabar biasa dan tetap

berlaku bahwa i2 = -1.

Contoh 1:

iiiii 2121211 22

Contoh 2:

ii

i

ii

i

i

i

i

i

i

2

1

2

1

10

55

9

56

3

3

3

2

3

22

2

Sehingga, didapatkan nilai x = 2

1dan y =

2

1 . Untuk menentukan nilai r, maka digunakan

rumus : 22 yxr lalu,masukkan angka x dan y nya ke rumus.2

1)

2

1(

2

1 2

2

r

. Sehingga didapatkan nilai sebesar 2

1. Untuk menentukan nilai dengan menggunakan

: x

yarctan . Dapat ditulis :

2

12

1

arctan

= arc tan -1= -45 atau 4

.

Kompleks Konjugat

Untuk menentukan besaran modulus bilangan kompleks, diperkenalkan konsep

kompleks konjugasi ii , dengan 1 ii . Sehingga dapat didefinisikan kompleks

konjugat untuk bilangan kompleks z, yaitu:

iba

biazz

(2.5)

Jelas dari sini bahwa untuk memperoleh modulus z dapat dilakukan melalui ungkapan:

22 baibaibazzz (2.6)

Untuk menentukan konjugat dari dua jumlah bilangan kompleks adalah jumlah konjugat

dari angka-angka tersebut. Jika :

222111 iyxzdaniyxz ,

Maka konjugatnya

2121221121 yyixxiyxiyxzz

Contoh :

4

32

i

iz , maka konjugatnya

4

32

i

izz

Menentukan Nilai Mutlak dari z

Seperti yang telah diketahui bahwa untuk menetukan nilai r digunakan persamaan

zzyxr 22 (2.7)

Sehingga terlihat jelas bahwa terdapat hubungan antara r dan z.

Contoh 1:

72

14

1

35

1

35

1

35

i

i

i

i

i

i

Contoh 2:

2

12

i

i

2

12

i

i= 11

5

5

2

12

2

12

i

i

i

i

Persamaan Kompleks

Jika membahas tentang bilangan kompleks,sebenarnya bilangan kompleks adalah

sepasang bilangan real dan bilangan imajiner. Dua bilangan kompleks adalah sama jika dan

hanya jika bagian sebenarnya mereka sama dan bagian imajiner mereka sama. Sebagai

contoh, x + iy = 2 +3i berarti x = 2 dan y = 3. Dengan kata lain, persamaan apapun

melibatkan bilangan kompleks benar-benar dua persamaan yang melibatkan bilangan riil.

Contoh:

Tentukan nilai x dan y jika

iiyx 2)( 2

Persamaan tersebut dapat di jabarkan menjadi

222 2)( yxyxiyx

Dan ekivalen dengan dua persamaan riil:

22

022

xy

yx

Dari persamaan pertama, 22 yx , kita temukan yx atau xy , substitusi ke

persamaan kedua, sehingga diperoleh

2222 22 xataux

Oleh karena x adalaha bilangan riil, maka x2 tidak boleh negatif, sehingga

xydanx 12 , maka

1,1 yxyx

Aplikasi Fisika

Masalah fisika seperti geometri dapat di sederhanakan dengan menggunakan satu

bilangan kompleks dari dua persamaan riil.

Contoh:

Suatu partikel bergerak pada bidang (x,y), dengan posisinya bergantung pada waktu t, yang

diberikan oleh

it

tiiyxz

2

Tentukan magnitud, atau besaran kecepatan dan percepatan partikel tersebut sebagai fungsi

waktu!

Penyelesaian:

Didefinisikan kecepatan kompleks dan percepatan kompleks

dt

dyi

dt

dx

dt

dz dan

2

2

2

2

2

2

dt

ydi

dt

xd

dt

zd

Maka besarnya kecepatan v didefinisikan

dtdzdtdydtdxv /)/()/( 22

Dan hal yang sama juga pada percepatan 22 / dtzda . Sehingga

2/322

2

332

2

222

22

)1

6

,6)2(3

,1

333

3)2(2

(

)()(

)()(

)()(

tdt

d

ititdt

d

titit

itit

za

iiz

ii

dt

dzv

itiit

dt

dz

2.6 Persamaan Euler

Rumus Euler, dinamakan untuk Leonhard Euler,

adalah rumus matematika dalam analisis kompleks yang menunjukkan hubungan mendalam

antara fungsi trigonometri dan fungsi eksponensial. (Identitas Euler adalah kasus spesial dari

rumus Euler.)

Untuk real 𝜃, kita tahu dari bab 1 pangkat dari deret untuk sin 𝜃 dan cos 𝜃 :

sin 𝜃 = 𝜃 −𝜃3

3!+

𝜃5

5!− ⋯,

cos 𝜃 = 1 −𝜃2

2!+

𝜃4

4!− ⋯

Dari definisi (8.1), kita menyebutkan bahwa deret untuk e ke semua pangat, real

atau imaginer. Dituliskan untuk 𝑒𝑖𝜃,dimana 𝜃 adalah real :

e𝑖𝜃 = 1 + 𝑖𝜃 +(𝑖𝜃)2

2!+

(𝑖𝜃)3

3!+

(𝑖𝜃)4

4!+

(𝑖𝜃)5

5!+ ⋯ (2.8)

= 1 + 𝑖𝜃 −𝜃2

2!−

𝑖𝜃3

3!+

𝜃4

4!+

𝑖𝜃5

5!… = 1 −

𝑖𝜃2

2!+

𝑖𝜃4

4!… . +𝑖 (𝜃 −

𝜃3

3!+

𝜃5

5!)

(Perubahan dari rumus hanya untuk membuktkan bahwa deret tersebut adalah absolute

konvergen.) Formula Euler didefinisikan :

e𝑖𝜃 = cos θ + 𝑖 sin θ (2.9)

Lalu, kita harus membuktikan dengan menulis bilangan komples seperti yang kita tulis di (4.1)

z = 𝑥 + 𝑖𝑦 = 𝑟(cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃) = 𝑟𝑒𝑖𝜃 (2.10)

Contoh:

1. Tentukan nilai dari 2𝑒𝑖𝜋 6⁄

jawab : 2𝑒𝑖𝜋 6⁄ = 𝑟𝑒𝑖𝜃

dengan r = 2, 𝜃 = 𝜋 6⁄ dari gambar disamping diketahui

bahwa

𝑥 = √3, 𝑦 = 1, 𝑥 + 𝑖𝑦 = √3 + 𝑖 maka,

2𝑒𝑖𝜋 6⁄ = √3 + 𝑖

2. Tentukan nilai 3𝑒−1𝜋 2⁄

Jawab:

3𝑒−𝑖𝜋/2 is 𝑟𝑒𝑖𝜃 with r = 3, θ = −π/2. Dari gambar dibawah

,

x = 0, y = −3,

jadi 3𝑒−𝑖𝜋/2 = x + iy = 0− 3i = −3i.

2.7 Akar dan Pangkat Bilangan Kompleks

Dengan menggunakan aturan sebelumnya, untuk mengali dan membagi bilangan

kompleks,kita mempunyai

𝑧𝑛 = (𝑟𝑒𝑖𝜃)𝑛 = 𝑟𝑛𝑒𝑖𝑛𝜃

Untuk seluruh integral n. Dengan kata lain, untuk mendapatkan pangkat ke-n dari bilangan

kompleks, kita mengambil pangkat ke n dari modul dan mengalikan sudut dengan n. Untuk

kasus r = 1 adalah beberapa kelainan khusus.

(𝑒𝑖𝜃)𝑛 = (cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃)𝑛 = cos 𝑛𝜃 + 𝑖 sin 𝑛𝜃 (2.11)

Kalian bisa menggunaan rumus ini untuk menemukan formula untuk

𝑠𝑖𝑛2𝜃, 𝑐𝑜𝑠2𝜃, 𝑠𝑖𝑛2𝜃, dan seterusnya Untuk akar ke n dari z,𝑥1

𝑛⁄ , berarti sebuah bilangan

komples yang pangkat ke n-nya adalah z. dari (10.1)

𝑧1/𝑛 = (𝑟𝑒𝑖𝜃)1

𝑛 = 𝑟1

𝑛𝑒𝑖𝜃

𝑛 = √𝑟𝑛

(cos𝜃

𝑛+ 𝑖 sin

𝜃

𝑛) (2.12)

Formula ini harus digunakan dengan hati-hati .

2.8 Fungsi Eksponensial dan Trigonometri

Didalam materi mengenai bilangan kompleks, terdapat 3 persamaan bilangan

kompleks, diantaranya sebagai berikut :

)1......(iyxz

)3........(

)2).......(sin(cos

irez

irz

Dari persamaan tersebut, untuk fungsi eksponensial xe berdasarkan persamaan

diatas, dapat diubah bentuknya menjadi :

)sin(cos yiyeeeee xyxiyxz

Sebenarnya, terdapat hubungan erat antara fungsi eksponensial dantrigonometri dengan

persamaan euler, yang mana pada persamaan euler dapat dituliskan :

sincos iei

Dan selalu diingat bahwa cos)cos( dan sin)sin( , sehingga untuk yang

bernilai negatif dapat dituliskan :

sincos ie i

Dari kedua persamaan tersebut, untuk mencari nilai sin dan cos dapat digunakan

dengan metode eliminasi. Berikut penjabarannya :

sincos iei

sincos ie i

sin2iee ii

i

ee ii

2sin

Untuk mencari nilai dari cos sama seperti sebelumnya dengan menggunakan metode

eliminasi,sebagai berikut :

sincos iei

cos2 ii ee

2cos

ii ee

Jika digunakan z sebagai pengganti θ, maka hanya mengganti nilai z nya menjadi θ ,atau

dapat dituliskan persamaannya sebagai berikut :

2cos

,2

sin

iziz

iziz

eez

i

eez

(2.13)

Contoh 1:

2222 )1.( eeeee ii

Contoh 2:

i

eei

eei

i

ee

i

eei

iiiiii

1752011936.12

1

222sin

1.. 22

2.9 Fungsi Hiperbolik

sincos ie i

Fungsi hiperbolik dapat didefinisikan sebagai kombinasi dari fungsi eksponen. Berikut

adalah sin z dan cos z untuk nilai murni z dengan iyxz

22cos

22sin

yyyy

iyyyy

eeeeiy

eei

i

eeiy

(2.14)

Untuk fungsi hiperbolik juga dapat didefuinisikan dlam bentuk sinh z dan cosh z. Berikut

persamaannya.

2cosh

2sinh

zz

zz

eez

eez

(2.15)

Adapun empat fungsi trigonometri lain dapat didefinisikan sebagai berikut :

(2.16)

Contoh:

Buktikan bahwa yxiyxz sinsinhcossinhsinh

Penyelesaian:

)sin(sinh iyxz

yeeiyee

yiyeyiye

eeee

ee

xxxx

xx

iyxiyx

iyxiyx

sin)(2

1cos)(

2

1

)sin(cos2

1)sin(cos

2

1

2

1

2

1

2

1

zhz

zz

zhz

z

zz

sinh

1csc

tanh

1coth

cosh

1sec

cosh

sinhtanh

Contoh 2:

Buktikan bahwa zzdz

dsinhcosh

Penyelesaian:

)(sinh22

cosh terbuktizeeee

dx

dz

dz

d zzzz

2.10 Logaritma

Logaritma adalah operasi matematika yang merupakan kebalikan (atau invers) dari

eksponen atau pemangkatan. Logaritma tidak selalu bilangan positif saja. Mungkin sudah

umum diketahui bahwa tidak ada logaritma bilangan negatif.

Ini benar jika hanya menggunakan bilangan real, tapi hal ini tidak benar bila kita melihat pada

bilangan kompleks. Berikut adalah bagaimana cara menemukan logaritma dari bilangan

kompleks manapun z ≠ 0 termasuk bilangan riil negatif sebagai kasus khusus. jika

z = 𝑒𝑤 , (2.17)

maka menurut definisinya

w = ln z

𝑧1𝑧2 = 𝑒𝑤1. 𝑒𝑤2 =𝑒𝑤1+𝑤2 (2.18)

ln 𝑧1𝑧2 = 𝑤1+𝑤2 = ln 𝑧1+ ln 𝑧2

Persamaan tersebut sudah dikenal umum untuk logaritma suatu produk, untuk logaritma pada

bilangan kompleks. Kita kemudian dapat menemukan bagian real dan imajiner dari logaritma

a bilangan kompleks dari persamaan

Karena θ memiliki jumlah nilai tak terbatas (semua berbeda dengan kelipatan 2π), Bilangan

kompleks memiliki logaritma tak terhingga banyaknya, berbeda satu sama lain dengan

w = ln = ln (𝑟𝑒𝑖𝜃) = Ln r + ln 𝑒𝑖𝜃 = Ln r + i𝜃

dimana Ln r logaritma biasa, ke basis e dari bilangan positif nyata r

kelipatan 2πi. Nilai pokok ln z (sering ditulis sebagai Ln z) adalah yang menggunakan prinsip

nilai θ, yaitu 0 ≤ θ <2π. (Beberapa referensi menggunakan -π <θ ≤ π.)

2.11 Invers dari Trigonometri dan Fungsi Hiperbolik

Telah didefinisikan fungsi trigonometri dan hiperbolik bilangan kompleks z

misalnya.

2

cosiziz ee

zw

(2.19)

Didefinisikan w=cos z, yaitu untuk setiap bilangan komplek yang memberikan

bilangan 𝜔. Sekarang dapat didefinisikan invers dari kosinus atau arccos oleh

wz arccos if zw cos (2.20)

Semua invers fungsi trigonometri dan hiperbolik lainnya didefinisikan dengan cara

yang sama.

Contoh 1

2arccosz or 2cos z

Sedemikian rupa sehingga

22

iziz ee

Dalam aljabar , misalkan izeu , lalu 1 ue iz dan hasilnya menjadi :

22

1

uu

Kalikan dengan 2 dan oleh uu 412 atau 0142 uu . Pecahkan persamaan ini dengan

rumus kuadrat untuk ditemukan.

322

4164

u atau 32 ue iz

Tentukan logaritma dari kedua sisi persamaan ini dan selesaikan z.

iiniLninz

inLniz

317.12)32(22arccos

2)32()32ln(

dengan kalkulator ,

untuk membuktikan cos z dan hasilnya adalah 2 , substitusi )32ln( iz

.3234

32

32

11

,32)32ln(

iz

iz

iz

ee

ee

Sedemikian rupa sehingga

22

4

2

3232

2cos

iziz eez

Telah terbukti.

Dengan metode yang sama, kita dapat menemukan semua fungsi trigonometri dan

hiperbolik terbalik dalam istilah logaritma.