iepa – trabajamos con amor y educamos para la paz ......2020/06/10 · dado un triángulo...
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INSTITUCIÓN EDUCATIVA PANEBIANCO AMERICANO Nuevo Reconocimiento Oficial No.2399 de octubre 22 de 2010
NIT 815.004.736-7 Código DANE 276130000181.
“Trabajamos con amor y educamos para la paz”.
Año lectivo 2020 Estructura para material de trabajo en casa
Cuarta entrega
DOCENTE: LUZ ALBA MACIAS GRADO: DECIMO AREA: MATEMÁTICAS
SEDE: ATANASIO GIRARDOT JORNADA: MAÑANA
UNIDAD TEMATICA FECHA DE ENTREGA TIEMPO 5 semanas
RESULTADO DE APRENDIZAJE: Explica las respuestas y resultados en un problema usando las expresiones algebraicas y la pertinencia de las unidades utilizadas en los cálculos.
ORIENTACIÓN: Lea, analice y escriba en su cuaderno la siguiente información, haciendo especial énfasis
en el ejemplo, mediante el cual se comprende el uso de los ángulos de elevación y depresión, para hallar
medidas desconocidas. Para ello se hace necesario el manejo de las razones trigonométricas.
ÁNGULO DE ELEVACIÓN Y ÁNGULO DE DEPRESIÓN
Dentro de la vida cotidiana, los seres humanos, en su mayoría, tenemos el don de la vista, cuando observamos logramos realizar distintas posiciones hacia el horizonte, hacia lo que veamos, de ahí surgen
los términos de ángulos de elevación y de depresión. Como lo observaremos en la siguiente imagen,
vamos a distinguir donde se forma el ángulo de elevación y donde se forma el ángulo de depresión.
- Se denomina ángulo de elevación al ángulo formado por la línea horizontal y la línea visual entre un
observador y un objeto situado por encima de la horizontal.
- El ángulo de depresión es el ángulo formado por la línea horizontal y la línea visual entre un
observador y un objeto situado por debajo de la horizontal.
APLICANDO LO APRENDIDO
Un observador cuya estatura es de 1.65 metros, se aleja 15 metros de la base de un edificio y
desde esta posición dirige la vista al punto más alto de la fachada de dicho edificio. Si el ángulo de
elevación es de 64° ¿cuál es la altura del edificio?
ACTIVIDAD PARA PRESENTAR
- Resuelva las siguientes situaciones, usando ángulos de elevación, de depresión y las razones
trigonométricas, según sea el caso
EVALUACION
Compromiso, responsabilidad y cumplimiento en el proceso enseñanza aprendizaje
Fecha de entrega: junio 26
ENLACE DE APOYO: https://www.youtube.com/watch?v=tnZIseqFP60
https://www.youtube.com/watch?v=D8_VzxGvOuE
Si tienes alguna dificultad en la elaboración de la tarea o de la tarea puedes consultarme:
Correo Electrónico: Con el asunto: Entrega o Dudas
Recuerde identificarse en el correo y adjuntar el archivo, Ejemplo: Cordial saludo, mi nombre completo es
_____ con número de documento ____ soy del grado ___de la sede ___y a continuación adjunto la
actividad realizada en la entrega número 4. Gracias.
INSTITUCIÓN EDUCATIVA PANEBIANCO AMERICANO Nuevo Reconocimiento Oficial No.2399 de octubre 22 de 2010
NIT 815.004.736-7 Código DANE 276130000181.
“Trabajamos con amor y educamos para la paz”.
Año lectivo 2020 Estructura para material de trabajo en casa
Cuarta entrega
RESULTADO DE APRENDIZAJE: Explica las respuestas y resultados en un problema usando las expresiones
algebraicas y la pertinencia de las unidades utilizadas en los cálculos.
ORIENTACIÓN: Lea, analice y escriba en su cuaderno la siguiente información, haciendo especial énfasis en el ejemplos,
mediante el cual se comprende el uso y manejo del teorema del seno y del teorema del coseno.
TEOREMA DEL SENO Y TEOREMA DEL COSENO
Teorema del seno
Hasta ahora hemos estudiado las razones trigonométricas de los ángulos de triángulos rectángulos. ¿Pero que
ocurre con aquellos que no son de este tipo?. Para responder a esta pregunta se hace uso de lo que se conoce
como el teorema del seno y/o el teorema del coseno.
Dado un triángulo cualquiera, las longitudes de sus lados son proporcionales a los senos de los ángulos
opuestos.
Triángulo cualquiera En cualquier triángulo los vértices se suelen etiquetar con letras del alfabeto occidental y los ángulos de cada uno de ellos por medio de una letra del alfabeto griego ( α, β, ...) o la letra del vértice con un acento circunflejo ( Â )
𝑐
𝑆𝑒𝑛𝐶
𝑎
𝑆𝑒𝑛𝐴
50
𝑆𝑒𝑛60°
𝑎
𝑆𝑒𝑛60°
Ejemplo
Dado un triángulo cualquiera, si sabemos que c = 50 cm, B=60º y A=60º determinar C, a y b. Solución
Aplicando que en cualquier triángulo se cumple que Aˆ+Bˆ+Cˆ = 180º
Cˆ = 180º−60º−60º = 60º
Aplicando el teorema del seno podemos deducir que:
𝑐
𝑆𝑒𝑛𝐶
𝑏
𝑆𝑒𝑛𝐵
50
𝑆𝑒𝑛60°
𝑏
𝑆𝑒𝑛60°
b = 60°
TEOREMA DEL COSENO
Dado un triángulo cualquiera, uno de sus lados elevado al cuadrado es igual a la suma de los
cuadrados de los otros lados menos el doble de su producto multiplicado por el coseno del ángulo
que forman.
2 , 2 , 2
EVALUACION
Compromiso, responsabilidad y cumplimiento en el proceso enseñanza aprendizaje
Fecha de entrega: Julio 3
ENLACE DE APOYO: https://www.youtube.com/watch?v=SbFetGnLdr8
Si tienes alguna dificultad en la elaboración de la tarea o de la tarea puedes consultarme:
Correo Electrónico: [email protected]
Con el asunto: Entrega o Dudas
Recuerde identificarse en el correo y adjuntar el archivo, Ejemplo: Cordial saludo, mi nombre
completo es _____ con número de documento ____ soy del grado ___de la sede ___y a
continuación adjunto la actividad realizada en la entrega número 4. Gracias.
𝑏 10 10 2 10 10 𝐶𝑜𝑠30°
𝑏 26.80
𝑏 5.17 𝑘𝑚
Ejemplo
Dos hombres recorren 10 km partiendo desde un mismo cruce y siguiendo dos caminos rectos
en el mismo sentido que forman 30º entre ellos. ¿A qué distancia en línea recta se encontraran
uno del otro al terminar la caminata?
Si dibujamos las trayectorias que siguen ambos hombres obtenemos un triángulo como el de
la figura:
ACTIVIDAD A DESARROLLAR:
1. Si cierto triángulo tiene un lado de 25.5 cm y otro de 37.5 cm y sus respectivos
ángulos opuestos son de 37° y 62°, ¿cuánto mide el otro lado?
2. ¿Cuál es el valor del ángulo γ del siguiente triángulo si se sabe que los
lados a, b y c miden 6, 8 y 12 cm respectivamente?
3. Se tiene un triángulo cuyos lados b y c miden 45 y 66 cm respectivamente y cuyo
ángulo α mide 47°. Hallar cuánto mide el lado a del triángulo.
4. Para localizar una emisora clandestina, dos receptores, A y B, que distan entre sí 10
km, orientan sus antenas hacia el punto donde está la emisora. Estas direcciones
forman con AB ángulos de 40º y 65º ¿A qué distancia de A y B se encuentra la
emisora?
5. Una valla cuyo perímetro tiene forma triangular mide 20 metros en su lado mayor,
6 metros en otro y 60º en el ángulo que forman entre ambos. Calcula cuánto mide
el perímetro de la valla.
INSTITUCIÓN EDUCATIVA PANEBIANCO AMERICANO Nuevo Reconocimiento Oficial No.2399 de octubre 22 de 2010
NIT 815.004.736-7 Código DANE 276130000181.
“Trabajamos con amor y educamos para la paz”.
Año lectivo 2020 Estructura para material de trabajo en casa
Cuarta entrega
RESULTADO DE APRENDIZAJE: Encuentra las medidas de tendencia central y de dispersión, usando, cuando sea
posible, herramientas tecnológicas.
ORIENTACIÓN: Copie en su cuaderno lo siguiente, y a partir de las fórmulas y del ejemplo determine cómo
se haya la media, la mediana y la moda de datos agrupados. Resuelva los tres ejercicios propuestos:
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL PARA DATOS AGRUPADOS
LA MEDIA ARITMÉTICA
La media, llamada también media aritmética, es la media
de tendencia central conocida popularmente como
“promedio”.
La media aritmética es el valor numérico que representa
el promedio de todos los datos obtenidos. Se simboliza
como
Cuando los datos recolectados han sido organizados en
una tabla de frecuencias por intervalos, la media
aritmética se puede calcular por medio de la siguiente
expresión: 𝑥𝑓𝑖
En donde =media aritmética
X = punto medio del intervalo.
𝑥𝑓𝑖 = suma de frecuencia por su correspondiente dato
nominal.
La siguiente tabla está organizada por intervalos,
por lo tanto la fórmula para hallar la media
aritmética es la siguiente:
x fi Fi x · fi
[10 , 15) 12.5 3 3 37.5
[15 , 20) 17.5 5 8 87.5
[20 , 25) 22.5 7 15 157.5
[25 , 30) 27.5 4 19 110
[30 , 35) 32.5 2 21 65
21 457.5
Calculamos la sumatoria de la variable por su frecuencia absoluta 𝑥𝑓𝑖 que es 457.5 y la dividimos entre el total de datos N que es 21.
457.5
1 21.78 Este es el valor de la
media aritmética de la
tabla anterior.
𝑥𝑓𝑖
MEDIANA: Es el dato que ocupa la posición central de la
muestra dentro de los datos agrupados.
Fórmula: 𝑀𝑒 𝐿𝑖−1 𝑛
2 − 𝐿𝑖−1
𝑓𝑖.𝑎𝑖
Dónde:
𝑁
Es la suma de las frecuencias absolutas
Li-1 Es el límite inferior de la clase donde se encuentra 𝑁
Fi-1 Es la frecuencia acumulada anterior a la clase
mediana.
ai Es la amplitud de la clase
Para hallar la Mediana, de la tabla anterior, debemos
dividir la cantidad de datos entre 2, si este es par, y si es
impar se le debe sumar una unidad a n y dividir entre
dos. Se debe ubicar la posición (el intervalo) donde se
encuentra este valor hallado y procedemos a aplicar la
fórmula de la mediana. Los datos son los siguientes:
𝑁
=
1+1
11
Li = 20
n = 21
Fi-1 = 8
fi = 7
ai = 5 El valor de la mediana es 21.78 MODA: Es el dato que aparece con mayor
frecuencia, es decir, el que más se repite en los
datos agrupados.
Fórmula: 𝑀𝑜 𝐿𝑖 𝑓𝑖−𝑓𝑖−1
𝑓𝑖−𝑓𝑖−1 + 𝑓𝑖−𝑓𝑖+1 . 𝑎𝑖
Dónde:
Li Ess el límite inferior de la clase modal.
fi Es la frecuencia absoluta de la clase modal.
fi+1 Es la frecuencia absoluta inmediatamente
posterior a la clase modal.
ai Es la amplitud de la clase.
𝑀𝑜 20 7 5
7 5 7 4 ∗ 5
𝑀𝑜 20 2
2 3∗ 5 20
2
5∗ 5 22
La moda es el dato que más se repite, por lo tanto la
buscamos en la frecuencia mayor, que en nuestro caso
es 7, lo que indica que debemos seleccionar el intervalo
donde se encuentra esta frecuencia, para reemplazar
los valores de acuerdo a la fórmula de la moda.
Reemplacemos:
El valor de la moda es 22
1) Determine Media, mediana y moda de los datos de las siguientes tablas de frecuencia:
a)
Intervalos Marca
de clase
(x)
frecuencia
fi
Frecuencia
acumulada
Fi
Frecuencia por
marca de clase
(x.fi)
[30,40) 35 14 14 490
[40,50) 45 8 22 360
[50,60) 55 12 34 660
[60,70) 65 6 40 390
[70,80) 75 10 50 750
[80,90) 85 9 59 765
[90,100] 95 3 62 285
TOTAL 62 3700
Complete las siguientes tablas y halle la media,
la mediana y la moda
b)
Intervalos Marc
a de clase
(x)
frecuencia
fi
Frecuencia
acumulada
Fi
Frecuencia
multiplicada por marca de clase
(x.fi)
[60,63) 61.5 5
[63,66) 64.5 18
[66,69) 67.5 42
[69,72) 70.5 27
[72,75) 73.5 8
TOTAL 100
c)
Intervalos Marca
de clase (x)
frecuencia
fi
Frecuencia
acumulada
Fi
Frecuencia
multiplicada por marca de clase (x.fi)
[0,30) 1
[30,60) 1
[60,90) 3
[90,120) 5
[120,150) 6
[150,180) 7
[180, 210] 11
[210, 240] 15
TOTAL 49
EVALUACION
Compromiso, responsabilidad y cumplimiento en el proceso enseñanza aprendizaje.
En este periodo su nota definitiva será aprobado, no aprobado o pendiente.
Se tendrá en cuenta puntualidad, cantidad de ejercicios resueltos y resultado obtenido.
Fecha de entrega: Julio 10
ENLACE DE APOYO: https://www.youtube.com/watch?v=kek-jrOSuHU
Si tienes alguna dificultad en la elaboración de la tarea o de la tarea puedes consultarme:
Correo Electrónico: [email protected]
Con el asunto: Entrega o Dudas
Recuerde identificarse en el correo y adjuntar el archivo, Ejemplo: Cordial saludo, mi nombre completo es
_____ con número de documento ____ soy del grado ___de la sede ___y a continuación adjunto la actividad
realizada en la entrega número 4. Gracias.
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NIT 815.004.736-7 Código DANE 276130000181.
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Cuarta entrega
RESULTADO DE APRENDIZAJE: Determina la tendencia numérica en relación con problemas
prácticos como predicción del comportamiento futuro.
ORIENTACIÓN: Lea, analice y escriba en su cuaderno la siguiente información, haciendo especial
énfasis en el ejemplo, mediante el cual se comprende el uso de los ángulos de elevación y
depresión, para hallar medidas desconocidas. Para ello se hace necesario el manejo de las razones
trigonométricas.
SUCESIONES
Una sucesión matemática es un conjunto ordenado de objetos matemáticos, generalmente
números. Cada uno de ellos es denominado término (también elemento o miembro) de la sucesión
y al número de elementos ordenados (posiblemente infinitos) se le denomina la longitud de la
sucesión.
A diferencia de un conjunto, el orden en que aparecen los términos sí es relevante y un mismo
término puede aparecer en más de una posición. De manera formal, una sucesión puede definirse
como una función sobre el conjunto de los números naturales (o un subconjunto del mismo) y es
por tanto una función discreta.
Ejemplo
La sucesión (A, B, C) es una sucesión de letras que difiere de la sucesión (C, A, B). En este caso se
habla de sucesiones finitas (de longitud igual a 3). Un ejemplo de sucesión infinita sería la sucesión
de números positivos pares: 2, 4, 6, 8, ...
En ocasiones se identifica a las sucesiones finitas con palabras sobre un conjunto. Puede
considerarse también el caso de una sucesión vacía (sin elementos), pero este caso puede excluirse
dependiendo del contexto.
Ejemplo:
Hallar el término general de las siguientes sucesiones
a) 8, 3, -2, -7, -12, . . .
Podemos obtener la diferencia entre los términos consecutivos:
Debido a que la diferencia es constante,
Es una progresión aritmética
b) 3, 6, 12, 24, 48, . . .
Podemos dividir cada término por su antecesor:
Como el cociente es constante,
se trata de una progresión geométrica
ACTIVIDAD PARA RESOLVER
Halle el término general de las siguientes sucesiones:
EVALUACION
Compromiso, responsabilidad y cumplimiento en el proceso enseñanza aprendizaje
Tiempo de entrega: julio 17
ENLACE DE APOYO: https://www.youtube.com/watch?v=VvOoYZj_OiE
https://www.youtube.com/watch?v=08_exV8PpPM
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Con el asunto: Entrega o Dudas
Recuerde identificarse en el correo y adjuntar el archivo, Ejemplo: Cordial saludo, mi nombre
completo es _____ con número de documento ____ soy del grado ___de la sede ___y a
continuación adjunto la actividad realizada en la entrega número 4. Gracias.