L E C T U R E 5 : O L A S I L I K T E K R A R 2

IE 303T Sistem Benzetimi

03-Nov-16

1

Review of the Last Lecture

Random Variables

Beklenen Değer ve Varyans

Moment

Kesikli Dağılımlar

Bernoulli Dağılımı

Binom Dağılımı

Geometrik Dağılımı

Negatif Binom Dağılımı

Poisson Dağılımı

03-Nov-16

2

İçerik

Sürekli Dağılımlar Uniform Dağılım

Üssel Dağılım

Gamma ve Erlang Dağılımı

Weibull Dağılımı

Normal Dağılımı

Üçgen Dağılımı

Lognormal Dağılımı

Kesikli Normal Dağılımı

Konvolüsyon

Ampirik Dağılımlar

Maksimum Likelihood Tahminleyicis

03-Nov-16

3

Uniform Dağılımı

03-Nov-16

Üssel Dağılımı

λ oran

parametresi

olarak

bilinmektedir.

Zaman başı

beklenen olay sayısı

03-Nov-16

Üssel Dağılımı

Üssel dağılım hafızasızlık özelliğine (memoryless property) sahiptir.

Örnek: X bir parçanın (batarya, ampül, bilgisayar çipi, vb) ömrünü ifade etsin ve ekonomik ömrü üssel dağılımı takip etsin. Hafızasızlık özelliğine göre eğer parça s saattir kullanımdaysa, parçanın t saat daha kullanımda kalması olasılığı, yeni parçnın t saat kullanılma olasılığı ile eşittir.

Koşullu olasılık??

Sadece üssel dağılım ve geometrik dağılım hafızasızlık özelliğine sahiptir.

03-Nov-16

6

Gamma Dağılımı

β ve λ parametreleri şekil (shape) ve oran (rate) parametreleri olarak

bilinir. Alternatif parametrizasyonlar da kullanılabilir.

Gamma fonksiyonu, Γ(β), Gamma dağılımının olasılık dağılım fonksiyonu

olarak kullanılır ve faktöryel fonksiyonunun genel versiyonu olarak

düşünülebilir.

03-Nov-16

Analitik formu yok.

Tamsayı β için,

Gamma Dağılımı

03-Nov-16

Erlang Dağılımı

Tamsayı β için Gamma fonksiyonu faktoriyel olur ve β adet özdeş, ortalaması 1/λ olan üssel dağılımın toplamı haline gelir. β=1 için Gamma(β,λ) dağılımı üssel dağılımdır.

Poisson dağılımı, gelişler arası sürenin üssel dağılım olan varışları sayar. Dolayısıyla Erlang ve Poisson dağılımları arasında bir ilişki vardır: S=[0,x] aralığını alalım. X~ Erlang(k,λ) ve Y~Poisson(λx) olarak tanımla. en az k özdeş üssel dağılımın (λ parametreli) S içinde var olması demektir. Dolayısıyla S içindeki üssel dağılım sayısı k’e eşit veya büyük olmalıdr.

03-Nov-16

9

Weibull Dağılımı

Gamma dağılımına benzer olarak, ilk iki dağılım parametresi, α ve β, scale and shape parameterleridir. Üçüncü parametre, ν, ise lokasyon parametresidir. β = 1 ve ν = 0 için Weibull dağılımı, üssel dağılıma dönüşür, λ = 1/α .

03-Nov-16

10

Weibull Dağılımı

03-Nov-16

Normal Dağılım

Recall that μ is location, σ is the scale parameter for Normal Distr.

03-Nov-16

Daha önce μ lokasyon ve σ ölçü (scale) parametresi olduğunu ifade etmiştik.

Normal Dağılım

Normal dağılımla gerçekleştirilen hesaplamalar için, standard normal dağılımı (μ=0, σ=1) kullanıyoruz.

Normal dağılımın olasılıkları şu şekilde hesaplanır: https://mhekimoglushinyapps.shinyapps.io/app2/

03-Nov-16

13

Normal Dağılım

03-Nov-16

Normal dağılım pdf

Üçgen Dağılım

03-Nov-16

15

Üçgen dağılımın üç parametresi a≤b≤c, sırasıyla minimum, mode ve maksimum değerlerini verir.

Lognormal Dağılım

03-Nov-16

Lognormal Dağılım

Lognormal dağılım Normal dağılımın dönüştürülmesinden elde edilir. Y eğer parametreleri μ ve σ olan Normal dağılım ise, X=eY, lognormal dağılımı verir. Elde edilen dağılımın ortalaması m ve varyansı v2 ise aşağıdaki formülle hesaplanabilir:

03-Nov-16

Lognormal Dağılım

Kırpılmış (Truncated) Normal Dağılım

a ve b kırpılma alanını verir ve , ana dağılımın parametreleridir. Çıkış Noktası: Kırpılma alan dışındaki değerler için olasılığı 0’a eşitle, geri kalan olasılıkları da uygun şekilde güncelle.

Beklene Değer (μ) ve Varyans (σ)

03-Nov-16

18

Truncated Normal Distribution

(a=0, b=∞)

03-Nov-16

Konvolüsyon

Şimdiye kadar rassal dağılımları inceledik: İki rassal değişkenin toplamı için ne söylenebilir?

Varsayalım ki rassal değişkenler X ve Y, ve dağılımları f(x), g(y); Ωx ve Ωy setlerinin üzerinde tanımlanmış olsun.

X and Y kesikli ise:

X ve Y sürekli ise:

İki rassal, bağımsız A ve B değişkenleri için

03-Nov-16

20

Konvolüsyon

Example: X ~ Pois(λ) ve Y~Pois(μ). Z=X+Y dağılımı nedir?

Example: Eğer W~Exp(λ), V=W+W ~ Erlang(2,λ) gösteriniz.

Erlang dağılımı:

03-Nov-16

21

Maximum Likelihood Tahminleyicisi

Şimdiye kadar dağılımları ve linear kombinasyonları nı konuştuk. Ama veriden dağılım parametresini nasıl tahmin edebiliriz??

Example: For his simulation project Harry collects data for the number of people arriving to D/K building of the university between 8-10 am. He assumes that number of arrivals follows Poisson distribution with parameter λ. How to estimate λ?

Eğer, xi , dağılım fonksiyonu f(x,θ) olan bir dağılımdan geliyorsa, likelihood fonksiyonu aşağıdaki gibidir:

L(θ) maksimize eden θ değerine maximum likelihood tahminleyicisi denir

03-Nov-16

22

Maximum Likelihood Tahminleyicisi

EğerHarry 5 gün için aşağıdaki veriyi topladıysa, λ için tahminleyici nedir?

Örneklem ortalaması Poisson için MLE tahminleyicisidir.

X~Poisson(λ),

#of Arrival

Day1 2

Day2 3

Day3 4

Day4 2

Day5 5

. .

03-Nov-16

23

Ampirik Dağılımlar

Ampirik dağılımlar, parametreleri gözlemlenmiş değerleri olan dağılımlarıdır. Ampirik dağılımlar özellikle parametrik dağılımların(Normal, Poisson vs.) iyi bir fit sağlamadığı durumlarda kullanılır.

Ampirik dağılımların önemli bir özelliği de örneklemde gözlemlenen değer aralığının dışında bir değerin elde edilememsidir.

Bu duruma göre avantaj veya dez avantaj olabilir.

Örnek: Yerel bir restorana müşteriler 1 ile 8 arasındaki guruplar halinde gelmektedirler. 300 farklı müşteri gurubu gözlenmiş ve ekte verilen ampirik dağılım elde edilmiştir:

03-Nov-16

24

Ampirik Dağılımlar

03-Nov-16

25

Ampirik Dağılımlar

03-Nov-16

26

Dağılımlar için Excel Komutları

03-Nov-16

27

Dağılımlar için Excel Komutları

03-Nov-16

28

Dağılımlar için Excel Komutları

03-Nov-16

29

Ders 5 Sonu

Gelecek Ders

Random Number Generation (Chapter 7)

03-Nov-16

30