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Métodos de Identificación con Subespacios
Prof. Cesar de Prada Dpt. Ingeniería de Sistemas y
Automática Universidad de Valladolid
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Indice Introducción Definiciones Métodos básicos
MOESP N4SID
HIDEN, ejemplos Métodos en lazo cerrado Ejemplos
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Identificación en espacio de estados
x(t+1)= Ax(t) + Bu(t) + ω(t) y(t) = Cx(t) + Du(t) + v(t)
Ventaja: Permite tener en cuenta el carácter multivariable del sistema
Objetivos: estimar el orden n del modelo estimar los parametros (A,B,C,D) estimar los ruidos ω, v y el estado x
m l
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Caso de estado x conocido x(t+1)= Ax(t) + Bu(t) + ω(t) y(t) = Cx(t) + Du(t) + v(t)
)t()t(DCBA
)t(z
)t(v)t(
)t()t(u)t(x
)t()t(y
)1t(x)t(z
ε+σ
=
ω=ε
=σ
+=
Si x(t) conocido, las matrices A,B,C,D pueden estimarse usando LS, OE, PEM, etc. Los ruidos se calculan como residuos.
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Caso mas frecuente: x desconocido Suele implicar que el orden del modelo es desconocido
Diversos enfoques:
Métodos de subespacios
Métodos directos: Se puede usar una estructura de tipo independiente para calcular la salida del modelo
xm(t+1) = Axm(t) + Bu(t) y(t) = Cxm(t) + Du(t)
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Identificacion directa tipo OE
En teoría puede usarse un algoritmo tipo OE para estimar A,B,C,D
Procesou
v
Modeloy
y
m
e(t)
m
Principales dificultades: orden desconocido y sobreparametrización del modelo
xm(t+1) = Axm(t) + Bu(t) ym(t) = Cxm(t) + Du(t) + v(t)
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Dificultades: Orden del modelo x (t+1) = Ax (t) + Bu(t) y(t) = Cx (t) + Du(t)
[ ]
[ ] )t(Du)t(s)t(x
0C)t(y
Bu)t(s)t(x
0A)1t(s)1t(x
+
=
+
=
++
El orden del modelo puede aumentarse arbitrariamente manteniéndose la misma relación entrada-salida
Realización mínima : controlable y observable
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Realizaciones equivalentes
Para cualquier T invertible, si z = T x
x(t+1)= Ax(t) + Bu(t) y(t) = Cx(t) + Du(t)
Tx(t+1)= TA T-1z(t) + TBu(t) y(t) = C T-1z(t) + Du(t)
x = T-1z
z(t+1)= [TA T-1] z(t) + [TB] u(t) y(t) = [C T-1] z(t) + [D] u(t)
[ TA T-1 , TB , C T-1, D ] = [AT , BT , CT , DT ] es una representación equivalente desde el punto de vista entrada-salida
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Realizaciones equivalentes
x(t+1)= Ax(t) + Bu(t) y(t) = Cx(t) + Du(t)
Partiendo de datos entrada-salida, solo podemos aspirar a obtener una representación equivalente.
Este concepto es básico en los métodos de subespacios
z(t+1)= [TA T-1] z(t) + [TB] u(t) y(t) = [C T-1] z(t) + [D] u(t)
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Métodos de subespacios
Basados en el uso de propiedades algebraicas Permiten estimar el orden de una realización mínima y los parámetros de una representación equivalente Existen diversos métodos con un fondo común
x(t+1)= Ax(t) + Bu(t) y(t) = Cx(t) + Du(t)
Orientados a un contexto multivariable con modelos en espacio de estados
Ordenes: n,m,l
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Orígenes SMI
MOESP, Delf , Holanda •The output error state space model identification class of algorithms M Verhaegen, P. Dewilde, IJC, vol.56,n.5, 1992 • Identification of the Deterministic Part of MIMO State Space Models given in Innovations Form from I/O Data M. Verhaegen, Automática, Vol3, no.1, 1994
•N4SID, Catholic University of Leuven, Bélgium Peter Van Overschee y Bart de Moor, 1994.
•Closed loop •Closed loop identification of state space models using subspace techniques H. Jha, C. Georgakis, ADCHEM 97, Banff, 1997
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Datos
)N,mi(
u...uu............
u...uuu...uu
U
)N,li(
y...yy............
y...yyy...yy
Y
2iNtit1it
Nt2t1t
1Nt1tt
N,i
2iNtit1it
Nt2t1t
1Nt1tt
N,i
=
=
−+++−+
+++
−++
−+++−+
+++
−++
Los datos experimentales se organizan como matrices Hankel :
yt, ut vectores de salida / entrada en el instante t
N+i-1= número de datos
i > orden del sistema
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Representación básica
x(t+1)= Ax(t) + Bu(t) y(t) = Cx(t) + Du(t) y(t+1) = Cx(t+1) + Du(t+1) = CAx(t) + CBu(t) + Du(t+1) y(t+2) = Cx(t+2) + Du(t+2) = CAx(t+1) + CBu(t+1) + Du(t+2) = = CA2x(t) + CABu(t) + CBu(t+1) + Du(t+2) y(t+3) = ……
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Representación básica
[ ]
y y yy y y
y y y
CCA
CA
x x x
DCB D
CAB CB D
CA B CA B D
t t t N
t t t N
t i t i t N ii
t t t N
i i
+ + −
+ + +
+ − + + + −−
+ + −
− −
=
+
1 1
1 2
1 21
1 1
2 3
0 00 0
0
.. .
. . .. . . . . . . . . . . .
. . .. . .
. . .
. . . . . .. . .. . .
. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .
+ + −
+ + +
+ − + + + −
u u uu u u
u u u
t t t N
t t t N
t i t i t N i
1 1
1 2
1 2
. . .
. . .. . . . . . . . . . . .
. . .
Y X H Ui N i t N i i N, , ,= +Γ i > n
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Matrices
=
=Γ
−−
−
D......BCABCA...............0...DCBCAB0...0DCB0......0D
H
CA...
CAC
3i2i
i
1i
i
Matriz de observabilidad extendida
Matriz Toepliz de coeficientes de Markov coefficients (respuesta impulso)
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Definiciones Descomposición en valores singulares Descomposición RQ Rango Subespacio columna Matrices invariantes a un desplazamiento Proyecciones
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Descomposición en valores singulares SVD
Dada una matriz A (m , n) su SVD es: A = U S V* donde S es una matriz diagonal matrix con los valores singulares de A colocados en la diagonal principal en orden decreciente U , V son matrices unitarias ortogonales U (m , m) S (m , n) V (n , n)
Matlab svd(A)
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Descomposición SVD
[ ]
σ
σ
==
∗
∗
∗
∗
n
2
1
v...vv
00000
0000
u|...|u|uUSVAn
1
m21
1v v v1u uu *VV UU
unitarias esortonormalmatrices )nn(V),mm(U)AA( singularesvalores
2iijji2iijji
1-*1-
Tii
=δ==δ=
==
××
λ+=σ
∗∗
Si rango(A) = n, debe haber n valores singulares > 0
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Factorización RQ RQ Factorization
A = R Q A (m , n)
R (m , n) matriz triangular inferior
Q (n , n) matriz ortogonal Q-1 = Q’
Factorización reducida:
R (m , m) Q (m , n) Q Q’ = I (m , m) Matlab: QR Orthogonal-triangular decomposition. [Q,R] = QR(A) produces an upper triangular matrix R of the same dimension as A, and a unitary matrix Q so that A = Q*R.
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Factorización de datos RQ
U
Y
R
R R
Q
Q
i N
i Nmi li N mi li mi li mi li N
,
,, ) ( , ) ( , )(
=
+ + + +
11
21 22
1
2
0
Factorización RQ de la matriz de datos U,Y
Q Q’ = I Q1 Q’1 = I (mi,mi) Q1 Q’2 = 0 (mi,li) Q2 Q’1 = 0 (li,mi) Q2 Q’2 = I (li,li) R11 (mi,mi)
R22 (li,li)
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Definiciones
A secuencia de N vectores uk (m, 1) es persistentemente excitada de orden i si rank(Ui,N) = m i
Rango de A: número de lineas linealmente independientes Desigualdad de Sylvester
{ })B(rango),A(rangomin)AB(rangon)B(rango)A(rango ≤≤−+
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Definiciones
[ ]
∑=
=
ijij
j
j
j
jN
j
j
t
ttt
b
bb
Ab
AAA..................
......
.........
......
......
3
2
1
3212
1
Dadas A y B (N, m) m < N B pertenece al subespacio columna de A si existe T (m, m) tal que B = A T
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Matrices invariantes a un desplazamiento
TFF
que talT existe si entodesplazami una invariante es FF F F
xxxxxxxxx
xxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxx
)1(n
)2(n
n
)2(n
)1(nn
=
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entodesplazami una invariante es
CA...
CACA
A
CA...
CAC
A
CACA
...CAC
i
)2(i
1i
2
2i
)1(i
1i
2ii
Γ
Γ=
=
=Γ
=Γ
−−−
−
Ejemplo
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Proyecciones
Dada cualquier matriz U, la matriz:
U)UU(UI 1TTU
−⊥ −=Π
Es ortogonal a U (lleva a cabo una proyección ortogonal a U)
[ ]0UUU)UU(UUU
U)UU(UIUU1TT
1TTU
=−=−=
=−=Π−
−⊥
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Herramientas geométricas
P
⊥QP /
QP/Q
⊥Q
y
z
Considerando los elemntos de una fila de una matriz como vectores
Proyección ortogonal de las filas de la matriz P sobre las filas de la matriz Q: P/Q
Q)QQ(PQPQ/P 1TTQ
−=Π=Q)QQ(PQPQ/P 1TT −⊥ −=
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Métodos básicos de subespacios Métodos de realización: Los parámetros de Markov (respuesta impulso) se suponen conocidos
Métodos directos: Primero se estiman n y Γi y luego:
MOESP: Estima C, A y luego B y D
N4SID: Estima x y luego A, B, C, D
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Métodos directos
uk, yk
n, Γi
X~
A,C
B,D,Q,R,S A,B,C,D,Q,R,S
MOESP N4SID
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MOESP Multivariable Output Error State Space Model Identification
Ordinary MOESP:
Verhagen 1993, sin ruido
PO-MOESP: Past Outputs MOESP,
Verhagen 1994, con ruido
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N,iiNiN,i UHXY +Γ=
U)UU(UI 1TTU
−⊥ −=∏ 0UUN,i =∏⊥
⊥⊥ ∏Γ=∏UU NiN,i XY
MOESP simple
⊥⊥⊥ ∏+∏Γ=∏UUU N,iiNiN,i UHXY
Se utiliza la proyección ortogonal de U para cancelar este término
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MOESP simple ⊥⊥ ∏Γ=∏UU NiN,i XY
Dos pasos:
Estimar el orden n del modelo
Estimar C y A a partir de las propiedades de invarianza a un desplazamiento de Γi
iN,i decolumna subespacio al perteneceYU
Γ∏⊥
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Rangos Rango de XN es n
Si la entrada es persistentemente excitada: rango de Ui,N es mi
si i es suficientemente grande, rango (XN ΠU⊥) = n
En una realización mínima: rango(Γi) = n
Por tanto: rango( Yi,N ΠU⊥ = Γi XN ΠU
⊥) = n
y la SVD de Yi,N ΠU⊥ debe tener n valores singulares
diferentes de cero y el resto igual a cero
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Estimación de n por SVD
[ ]
=∏ ⊥ T
n
Tnn
onUN,i VV
000S
UUY
En la practica, varios valores singulares serán proximos a cero pero distintos de cero y n debe estimarse por inspección de los mismos
[ ]
=∏ ⊥ T
n
Tn
o
nonUN,i V
VS00S
UUY
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Elección de Γi
z(t+1)= [TA T-1] z(t) + [TB] u(t) y(t) = [C T-1] z(t) + [D] u(t)
1i
1
1i11i1
11
1
1i
i TT
CA...
CAC
TTACT...TATCT
CT
CA...
CAC
−−
−−−−
−−
−
−
Γ=
=
=Γ
Podemos trabajar con cualquier matriz del subespacio de Γi
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Estimación de Γi por SVD
[ ]
[ ] Tnnn
Tnn
on
Tn
Tnn
onUN,i
VSU0VS
UU
VV
000S
UUY
=
=
=
=∏ ⊥
Existen varias alternativas para elegir Γi teniendo en cuenta que el objetivo final es escoger una matriz del tipo ΓiT-1
21nnini SUˆUˆ =Γ=Γ⊥⊥ ∏Γ=∏
UU NiN,i XY
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Estimación de AT
)2(nT
)1(n
T)1(
n
)2(n
1)2(i
1)1(i
11)1(iT
)1(n
)2(i
(1)ii
n
1in
i n
UAU
:departir a calcularse puede A ,n)Urango( is demás,A
UTAT)TAT(TAU
A :desplz una invariante es omoc :Prueba
ento.desplazami una invariante tambiénes U TU
decolumna subespacio del Umatrizuna conocemos que Una vez
=
=
=Γ=Γ=Γ=
Γ=ΓΓ
Γ=
Γ
−−−−
−
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Estimación de AT
[ ][ ] [ ]†)1(
n
T)1(n
1)1(n
T)1(n
)2(n
T)1(n
1)1(n
T)1(nT
)2(n
T)1(nT
)1(n
T)1(n
UU)UU(
UU)UU(A
UUAUU
=
=
=
−
−
)2(nT
)1(n UAU =
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Estimación of CT
tedirectamen CTCmuestra Ude bloqueprimer El
TCA...
CATCT
=T
CA...
CAC
TU
TU
1Tn
11i
1
1
1-
1i
1in
1in
−
−−
−
−
−
−
−
=
=Γ=
Γ=
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ni U=Γ
),(2
1
),(2221
11
),(
.
NlimilimilimiNlimi ++++
=
RR0R
YU
[ ]
012
11
222121
111
111
=×
=×
+==
=
T
T
TTT
QQIQQ
QRQRYRQU
QRU
Una alternativa usando RQ
[ ]
=∏ ⊥ T
n
Tn
o
nonUN,i V
VS00S
UUY
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Una alternativa usando RQ
[ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ] 2221111T
1111T1121222121UN,i
1111T
1111T
1122212
12221U
1111T
11T
1111T
11T12
T11
22212
12221U
1111T
11T
1111T
11T
12
12221
2
12221U
QRQR)RR(R.RQRQRY
QR)IRR(R0I
.RRQQ
.RRY
QR)RQQR(RQQQQ.RR
.RRY
QR)RQQR(RQQQ
.RRQQ
.RRY
=−+=∏
−
=∏
−
=∏
−
=∏
−
−
−
−
⊥
⊥
⊥
⊥
UUUYUYY TTUNi
1, )( −−=∏ ⊥
222, QRY UNi =∏ ⊥
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[ ]
= T
0
Tn
0
n0n22 V
VS00S
UUR
==
−1
2Γ
iTT
TT
TT
T
nU
AC:ACAC
C
i
( )n3T
n2†
n1T
UJCUJUJA
==
( ) ( ) ( ) ( )
=
=
−×−×−− lillilliliIJIJ
112
111 0,0
( )
=
−× lillIJ
13 0
Decomposición de R22
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Operador q
qx(t) = x (t+1) q-1x(t) = x (t-1) qx(t) = x (t+1) = Ax (t) + Bu(t) y(t) = Cx (t) + Du(t) [qI - A] x(t) = Bu(t) x(t) = [qI - A]-1 Bu(t) y(t) = C [qI - A]-1 Bu(t) + Du(t)
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Estimación de BT y DT Si A y C son conocidos, B y D pueden estimarse usando LS a partir de:
)t(v)t(uD)t(uB)AqI(C)t(y 1 ++−= −
Puesto que aparecen el forma lineal. Para este fin puede usarse el predictor:
ϕ=
)D(vec)B(vec
)t()t(ym v(t) ruido
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)t(v)t(uD)t(uB)AqI(C)t(y 1 ++−= −
ϕ=
)D(vec)B(vec
)t()t(ym
kj,j
kj1
i
B elemento al ecorrespondjn)1k(i
0
1
0
e
)t(ue)AqI(C)t(
+−=
=
−=ϕ −
Columna i de ϕ(t):
vec(X) = vector columna construido superponiendo las columnas de X
Estimación de BT y DT
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0)( 0 =nT UU
0U )( linli ×−1112100−= RRUHU T
iT
−
+−+
=
+−Ξ
+ΞΞ
Tn
l
T
T
TTT
BD
UI
liilU
llUliilUllUlU
miim
mmm
)1(
0
0
000
00
00):)1((:,0
0)2:1(:,):)1((:,)2:1(:,):1(:,
):1)1((:,
)2:1(:,):1(:,
111210−=Ξ RRU T
nn UJU 1)1( =
B y D
D
BT
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PO-MOESP
N,sN,ssN,isN,s NUHXY ++Γ=
MOESP con ruido
Si se consideran perturbaciones no medibles, aparece un término extra N en el modelo:
Pasos:
1 Eliminar el término HU
2 Cancelar el término N
3 Estimar Γ
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PO-MOESP
)N,li(
y...yy............
y...yyy...yy
Y
)N,li(
y...yy............
y...yyy...yy
Y
2i2Nti2t1i2t
iNt2it1it
1iNt1itit
F
2iNtit1it
Nt2t1t
1Nt1tt
P
=
=
−+++−+
++++++
−+++++
−+++−+
+++
−++La matriz de datos Y se divide en dos matrices YP e YF (pasado y futuro)
Se hace lo mismo con U y N
![Page 48: Identificación de Sistemasprada/identifsubOLCL.pdfIdentificación en espacio de estados x(t+1)= Ax(t) + Bu(t) + ω(t) y(t) = Cx(t) + Du(t) + v(t) Ventaja: Permite tener en cuenta](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022071604/613f5a3ca7a58608c268de87/html5/thumbnails/48.jpg)
PO-MOESP
FFiN,iiF NUHXY ++Γ=
La ecuación del modelo se formula en términos de los datos “futuros” YF , UF
⊥⊥⊥ ∏+∏Γ=∏FFF UFUN,iiUF NXY
Se multiplica por ΠUF⊥, para eliminar el término HU
![Page 49: Identificación de Sistemasprada/identifsubOLCL.pdfIdentificación en espacio de estados x(t+1)= Ax(t) + Bu(t) + ω(t) y(t) = Cx(t) + Du(t) + v(t) Ventaja: Permite tener en cuenta](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022071604/613f5a3ca7a58608c268de87/html5/thumbnails/49.jpg)
⊥⊥⊥ ∏+∏Γ=∏FFF UFUN,iiUF NXY
[ ]TP
TP
TP YUW =
TPUF
TPUN,ii
TPUF WNWXWY
FFF⊥⊥⊥ ∏+∏Γ=∏
[ ][ ] 0
,0
=
=Tpf
Tpf
ynE
unE 01=∏ ⊥
∞→
TPUF
TN
WNN
limFT
PO- MOESP
El ruido se elimina utilizando la variable instrumental:
Los ruidos “futuros” no dependen de las señales “pasadas”
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TPUN,ii
TPUF WXWY T
F∏Γ=∏ ⊥
PO-MOESP
TPUF WY
F⊥∏
n)WX(rango TPUN,i T =∏como
n puede calcularse de forma similar a partir de:
y Γi y H calcularse como anteriormente
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×
=
4
3
2
1
44434241
333231
2221
11
QQQQ
RRRRRRR
RRR
YYUU
F
P
P
F
PO-MOESP
Una alternativa eficiente para calcular Γi es usar la decomposición RQ :
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[ ]T
TPUNii RR
RRRWX T
=∏Γ
3332
224342,
0
[ ]
= T
Tnn
n VV
SS
UURR00
04342 00
ni U=ΓT
Tnn
TPUNi RR
RVSWX T
=∏
3332
22,
0
PO- MOESP Puede probarse que:
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[ ]
+
+=
×
×
−
lm
l
l
m
ml
kkk
kkk
lN
nm
m
m
nnmk
mk
mk
nkkk
k
lN
l
l
N
d
dd
d
dd
muuu
muuu
b
bb
b
bb
yyyyyyxCA
y
yy
y
yy
T
T
T
2
1
1
12
11
2
1
1
21
11
21121110
1
2
1
1
21
11
)()2()1(000
000000000)()2()1(
BT and DT
D
BT
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N4SID (Numerics for(4) Subspace Identification)
uk, yk
n, Γi
X~
A,C
B,D,Q,R,S A,B,C,D,Q,R,S
MOESP N4SID
La primera parte es similar a MOESP pero usando la proyección oblicua
N4SID usa también la partición de datos P, F
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FFiN,iiF NUHXY ++Γ=
⊥⊥⊥ ∏+∏Γ=∏FFF UFUNiiUF NXY ,
Cancelamos UF usando
FN=∏ ⊥FUFN
FUNiiUF NXYFF
+∏Γ=∏ ⊥⊥ ,
N4SID
⊥∏FU
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W1 y W2 escogidas de modo que:
)(rango)W(rango ii1 Γ=Γ)WX(rango)X(rango 2UN,ii
F⊥∏=
0WNW 2F1 =
N4SID Cancelación del ruido
2F12UN,ii12UF1 WNWWXWWYWFF
+∏Γ=∏ ⊥⊥
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YU
W W)W(WIWP
PPP
†Up2li1
F
=∏== ⊥
2,2 WXWYFF UNiiUF ⊥⊥ ∏Γ=∏
N4SID
Tn
2/1n2UNi,
2/1nni
T0
Tn
0
n0n2UF
VSWX SU
VV
S00S
UUWY
F
F
=∏=Γ
=∏
⊥
⊥
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N4SID
[ ]( )
N,iP1
pN,iPT
p
1Tp
1pN,i
PT
pT
U
1TU
1Tp
1p
1UUN,i
PT
pT
U
1TUp
1UpUN,i
PT
Up1
UpT
UpUN,i
P†
UpUN,i2UN,i
XWWXWWWWX
WWWWX
WW)W()W(X
W)W()W()W(X
W)W(XWX
FFFF
FFFF
FFFF
FFF
===
=∏∏∏∏=
=∏∏∏∏=
=∏∏∏∏=
=∏∏=∏
−−−
−−−−
−−
−
⊥⊥⊥⊥
⊥⊥⊥⊥
⊥⊥⊥⊥
⊥⊥⊥
Tn
2/1nN,i2UN,i VSX~WX
F==∏ ⊥
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1iX~ + puede calcularse de forma similar
N4SID
+
=
+
v
w
F
i
F
i
UX
DCBA
YX
ρρ
11
~~1
2
1
,,, 11
~~
FF
i
F
i
DCBAmin U
XDCBA
YX
−
+
A, B, C, D se obtienen por minimización
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Alternativa para la estimación del estado
+
+
=
−+
+
−+
+
−−−
−+
+
2it
1t
t
2it
1t
t
3i2i
t
1i1it
1t
t
e
ee
u
uu
D......BCABCA...............0...DCBCAB0...0DCB0......0D
x
CA...
CAC
y
yy
)t(E)t(UH)t(x)t(Y iiiiii+++ ++Γ=
![Page 61: Identificación de Sistemasprada/identifsubOLCL.pdfIdentificación en espacio de estados x(t+1)= Ax(t) + Bu(t) + ω(t) y(t) = Cx(t) + Du(t) + v(t) Ventaja: Permite tener en cuenta](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022071604/613f5a3ca7a58608c268de87/html5/thumbnails/61.jpg)
Estimación de x(t)
)t(E)t(UH)t(x)t(Y iiiiii+++ ++Γ=
x(t) será una combinación lineal de u(t-1), …,u(t-i), y(t-1),…, y(t-i)
[ ]
=
−
−
i
i21i U
YHH)t(x
[ ][ ]
)t(E)t(UHUY
HH)t(Y iiii
i
LL
21ii
21
++−
−+ ++
Γ=
L1 ,L2 ,Hi pueden estimarse por regresión lineal
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Estimación de x(t) [ L1 ,L2 ] tiene rango n [ L1 ,L2 ]=Γι [ H1 ,H2 ]
[ ] [ ]
Σ= '
2
'1
2121 VV
000
UULL
Usando su SVD:
2/11i U Σ=Γ
[ ]
Σ=
=
−
−
−
−
i
i'1
2/1
i
i21i U
YV
UY
HH)t(x
[ ] 2/1121 UHH Σ=
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Otra Alternativa: decomposición RQ
×
=
4
3
2
1
44434241
333231
2221
11
F
P
QQQQ
RRRRRRR
RRR
YYUU
F
P
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[ ] [ ] PUFi WMKGFWYZF
†2=∏= ⊥
N4SID
[ ] [ ] [ ] [ ][ ][ ]
[ ] [ ]
=
=
−
=
=−=
P
Pp Y
UW
RM
RRRRRR
RRR
RK
RRGRRRRRRRRF
000
**00
**
33
2221†
22213231
11
3231
11
4443
2221†
222142414241
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iiNi ZX †,
~ Γ=
N4SID
[ ]
= T
Tn
o
nni V
VS
SUUZ
00 0
0
NiUNi
nni
XWX
SU
F,2,
2/1
~=∏
=Γ
⊥
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Indice Interés Dificultades Algunos métodos de identificación Identificación con subespacios Ejemplos
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Identificación en lazo cerrado
Hay situaciones (plantas inestables en lazo abierto, o con integradores) en las que los experimentos han de realizarse en lazo cerrado
Se desea garantizar la operación en un rango durante los experimentos
A veces, solo se dispone de datos de operación tomados en lazo cerrado, con cambios significativos o excitación externa
Se desea mejorar la identificación en un rango de frecuencias de interés, cercano al punto crítico
![Page 68: Identificación de Sistemasprada/identifsubOLCL.pdfIdentificación en espacio de estados x(t+1)= Ax(t) + Bu(t) + ω(t) y(t) = Cx(t) + Du(t) + v(t) Ventaja: Permite tener en cuenta](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022071604/613f5a3ca7a58608c268de87/html5/thumbnails/68.jpg)
Dificultades La información en lazo cerrado puede
no ser lo suficientemente rica y se necesita excitación externa
La identificabilidad puede depender del tipo de regulador
Algunos métodos de identificación u/y dan estimas sesgadas si la identificación se realiza con datos en lazo cerrado
![Page 69: Identificación de Sistemasprada/identifsubOLCL.pdfIdentificación en espacio de estados x(t+1)= Ax(t) + Bu(t) + ω(t) y(t) = Cx(t) + Du(t) + v(t) Ventaja: Permite tener en cuenta](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022071604/613f5a3ca7a58608c268de87/html5/thumbnails/69.jpg)
Dificultades, orden del Reg.
+ + -
K
Proceso
u
v
y
B / A
[ ] )t(v)1t(ybKa)t(v)1t(bKy)1t(ay)t(y
)t(Ky)t(u)t(v)1t(bu)1t(ay)t(y
+−+−==+−−−−=
−=+−+−−= w=0
A pesar de que la u está persistentemente excitada, en una identificación u/y es valida cualquier solución del tipo:
[ ] [ ][ ] )t(v)1t(ybKa
)t(v)1t(yKbKKa)t(v)1t(yKba)t(y
bb
Kaa
+−+−==+−λ−+λ+−=+−+−=
λ−=
λ+=
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Dificultades (LS) Modelo (LS):
[ ] [ ]VN
e tN
y t y tN
y t tt
N
mt
N
t
N
= = − = − ′= = =∑ ∑ ∑1 1 12
1
2
1
2
1
( ) ( ( ) ( ) ( ( ) ( )ϕ θ
Criterio de estimación:Dado un conjunto de datos experimentales u(t), y(t), minimizar respecto a los parámetros θ :
Procesou
v
Modeloy
y
m
e(t)
m
y t tm ( ) ( )= ′ϕ θ
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Mínimos cuadrados
[ ] ' 'θ = −Φ Φ Φ1 y [ ] ∑=
ϕϕ=ΦΦN
1t)'t()t('
Debe ser invertible
[ ]∑=
θθθ′ϕ−=
N
1t
2)t()t(y(N1minVmin [ ]
[ ])N(y),....,2(y),1(y')N(....)2()1('
=
ϕϕϕ=Φ
y
ϕ(t) es un vector de datos que depende del tipo de modelo
![Page 72: Identificación de Sistemasprada/identifsubOLCL.pdfIdentificación en espacio de estados x(t+1)= Ax(t) + Bu(t) + ω(t) y(t) = Cx(t) + Du(t) + v(t) Ventaja: Permite tener en cuenta](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022071604/613f5a3ca7a58608c268de87/html5/thumbnails/72.jpg)
Propiedades (1)
[ ] ' 'θ = −Φ Φ Φ1 y
Suponiendo que el proceso puede ser representado de forma exacta por y(t)=ϕ(t)’θ0 +v(t)
[ ] [ ]v+θΦΦ′ΦΦ=θ −0
1'ˆ [ ]θ θ= + ′ ′−0
1Φ Φ Φ v
[ ] }{E}ˆ{E 10 vΦ′ΦΦ′+θ=θ −
E{}θ θ= 0
Si la estima es no sesgada [ ] 0}{E 1 =Φ′ΦΦ′ − v
![Page 73: Identificación de Sistemasprada/identifsubOLCL.pdfIdentificación en espacio de estados x(t+1)= Ax(t) + Bu(t) + ω(t) y(t) = Cx(t) + Du(t) + v(t) Ventaja: Permite tener en cuenta](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022071604/613f5a3ca7a58608c268de87/html5/thumbnails/73.jpg)
Propiedades (2)
[ ]
ϕ
ϕ′ϕ=Φ′ΦΦ′ ∑∑
=
−
=
−N
1t
1´N
1t
1 )t(v)t(N1)t()t(
N1}{E v
Para que la estima de θ no sea sesgada los datos ϕ(t) no deben estar correlacionados con los ruidos v(t)
¿Cuando el término es nulo? [ ] }{E 1 vΦ′ΦΦ′ −
)0(R)t(v)t(N1
v
N
1tϕ
=
≈ϕ∑La inversa será no nula, luego el término determina el sesgo
![Page 74: Identificación de Sistemasprada/identifsubOLCL.pdfIdentificación en espacio de estados x(t+1)= Ax(t) + Bu(t) + ω(t) y(t) = Cx(t) + Du(t) + v(t) Ventaja: Permite tener en cuenta](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022071604/613f5a3ca7a58608c268de87/html5/thumbnails/74.jpg)
Sesgo (resp. Impulso)
[ ])mt(u),....,2t(u),1t(u)t( −−−=′ϕ
Processu
vy
[ ] }{E}ˆ{E 10 vΦ′ΦΦ′+θ=θ −
Processu
vy
controller
Estimación no sesgada en lazo abierto: u y v no correlacionados
La estimación puede ser sesgada en lazo cerrado: v y u están correlacionadas a través de la y de realimentación
![Page 75: Identificación de Sistemasprada/identifsubOLCL.pdfIdentificación en espacio de estados x(t+1)= Ax(t) + Bu(t) + ω(t) y(t) = Cx(t) + Du(t) + v(t) Ventaja: Permite tener en cuenta](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022071604/613f5a3ca7a58608c268de87/html5/thumbnails/75.jpg)
Métodos
Identificar con algoritmos PEM con datos en lazo cerrado
Identificar la función de transferencia en lazo cerrado y obtener de ella la de lazo abierto
Métodos de error de la salida en lazo cerrado Métodos de error de la salida en lazo abierto
filtrado Métodos de subespacios en lazo cerrado
![Page 76: Identificación de Sistemasprada/identifsubOLCL.pdfIdentificación en espacio de estados x(t+1)= Ax(t) + Bu(t) + ω(t) y(t) = Cx(t) + Du(t) + v(t) Ventaja: Permite tener en cuenta](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022071604/613f5a3ca7a58608c268de87/html5/thumbnails/76.jpg)
Identificación en lazo cerrado
+ + + -
T 1 / R
S Proceso
u
v
y B / A
w
r
Pueden usarse datos de entrada - salida, u e y en lazo cerrado y métodos PEM La identificación no es mejor en la zona de frecuencias de interés
![Page 77: Identificación de Sistemasprada/identifsubOLCL.pdfIdentificación en espacio de estados x(t+1)= Ax(t) + Bu(t) + ω(t) y(t) = Cx(t) + Du(t) + v(t) Ventaja: Permite tener en cuenta](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022071604/613f5a3ca7a58608c268de87/html5/thumbnails/77.jpg)
Interpretación en frecuencia (1) 2N
1t
n
1ii )it(ug)t(y
N1V ∑ ∑
= =
−∆−=
2N
1t
n
1i
ii
1k
k0k
2N
1t
n
1i
ii
1k
k0k
)t(v)t(uqgqgN1
)t(uqg)t(v)t(uqgN1V
∑ ∑∑
∑ ∑∑
= =
−∞
=
−
= =
−∞
=
−
+∆
−=
=
∆−+∆=
[ ]2N
1t
N
1t
22n
1i
ii
1k
k0k )t(v
N1)t(uqgqg
N1V ∑∑ ∑∑
== =
−∞
=
− +∆
−=
Modelo respuesta impulso
Datos tomados en lazo abierto: u y v están incorrelacionados
![Page 78: Identificación de Sistemasprada/identifsubOLCL.pdfIdentificación en espacio de estados x(t+1)= Ax(t) + Bu(t) + ω(t) y(t) = Cx(t) + Du(t) + v(t) Ventaja: Permite tener en cuenta](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022071604/613f5a3ca7a58608c268de87/html5/thumbnails/78.jpg)
Dominio de la frecuencia (2)
[ ]2N
1t
N
1t
22n
1i
ii
1k
k0k )t(v
N1)t(uqgqg
N1V ∑∑ ∑∑
== =
−∞
=
− +∆
−=
Igualdad de Parserval x t dt dNT
xT
T
( ) ( )/
/2
0
12∫ ∫=
−πω ω
π
π
Φ
ωωΦπ
+ωωΦ
−π
= ∫∫ ∑∑π
π−
π
π−∆
=
ω−∞
=
ω− d)(21d)(egeg
21V
T/
T/v
T/
T/u
2n
1i
Tjii
1k
Tjk0k
Los errores están pesados en cada frecuencia por el espectro de potencia de los datos de entrada. El modelo, a las frecuencias que no se exciten presentará mayor error que aquellas donde Φ∆u(ω) sea significativo
![Page 79: Identificación de Sistemasprada/identifsubOLCL.pdfIdentificación en espacio de estados x(t+1)= Ax(t) + Bu(t) + ω(t) y(t) = Cx(t) + Du(t) + v(t) Ventaja: Permite tener en cuenta](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022071604/613f5a3ca7a58608c268de87/html5/thumbnails/79.jpg)
Identificación en lazo cerrado
+ + + -
T 1 / R
S Proceso
u
v
y
B / A w
r
Puede identificarse el sistema completo M entre w e y o entre r e y como un proceso cualquiera si hay una excitación adecuada. Posteriormente se calcula B/A mediante: M BT
AR BS=
+La solución depende del orden del regulador
M
![Page 80: Identificación de Sistemasprada/identifsubOLCL.pdfIdentificación en espacio de estados x(t+1)= Ax(t) + Bu(t) + ω(t) y(t) = Cx(t) + Du(t) + v(t) Ventaja: Permite tener en cuenta](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022071604/613f5a3ca7a58608c268de87/html5/thumbnails/80.jpg)
Identificación en lazo cerrado
El objetivo es obtener una identificación mas próxima al sistema real en la región de frecuencias en torno al punto crítico, que es la mas importante en el diseño de un controlador Para ello se utiliza una función de coste para identificar similar al objetivo de diseño del controlador, dentro del contexto de la metodología de identificación en lazo cerrado y re-diseño del controlador
![Page 81: Identificación de Sistemasprada/identifsubOLCL.pdfIdentificación en espacio de estados x(t+1)= Ax(t) + Bu(t) + ω(t) y(t) = Cx(t) + Du(t) + v(t) Ventaja: Permite tener en cuenta](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022071604/613f5a3ca7a58608c268de87/html5/thumbnails/81.jpg)
Identificación en lazo cerrado
Regulador
w + +
+
- T 1 / R
S Proceso
u
r v
y B / A
[ ]u t r tR q
T q w t S q y t( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )= + −−− −1
11 1
y t B qA q
u t v t( ) ( )( )
( ) ( )= +−
−
1
1
![Page 82: Identificación de Sistemasprada/identifsubOLCL.pdfIdentificación en espacio de estados x(t+1)= Ax(t) + Bu(t) + ω(t) y(t) = Cx(t) + Du(t) + v(t) Ventaja: Permite tener en cuenta](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022071604/613f5a3ca7a58608c268de87/html5/thumbnails/82.jpg)
Funciones de transferencia
+ -
T 1 / R
S Proceso
u
r v
y B / A
w
y BTAR BS
w BRAR BS
r ARAR BS
v=+
++
++
u ATAR BS
w ARAR BS
r ASAR BS
v=+
++
−+
Swy Svy
Swu Svu Sr u
Svy=Sr u
Como Sr u depende de datos medibles, Svy puede ser identificado
Sry
![Page 83: Identificación de Sistemasprada/identifsubOLCL.pdfIdentificación en espacio de estados x(t+1)= Ax(t) + Bu(t) + ω(t) y(t) = Cx(t) + Du(t) + v(t) Ventaja: Permite tener en cuenta](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022071604/613f5a3ca7a58608c268de87/html5/thumbnails/83.jpg)
Identificación en lazo cerrado
+ -
T 1 / R
S Proceso
u
r v
y B / A
w=0
Con w=0 ( )
( )
y BA
u v BA
S r S v v
BA
S r S v v
ru vu
vy vu
= + = − + =
= − +
![Page 84: Identificación de Sistemasprada/identifsubOLCL.pdfIdentificación en espacio de estados x(t+1)= Ax(t) + Bu(t) + ω(t) y(t) = Cx(t) + Du(t) + v(t) Ventaja: Permite tener en cuenta](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022071604/613f5a3ca7a58608c268de87/html5/thumbnails/84.jpg)
Interés de la CL-ID
( )y BA
S r S v vvy vu= − +
+ + B / A
v
y
- Svu
Svy r u
� Identificar en lazo cerrado entre y & u con excitación en r, asegura que u recibe componentes filtrados por Svy. Así se mejora la identificación en frecuencias cercanas a la del margén de módulo, donde Svy es grande. � Problema de ruido a traves de -Svuv
![Page 85: Identificación de Sistemasprada/identifsubOLCL.pdfIdentificación en espacio de estados x(t+1)= Ax(t) + Bu(t) + ω(t) y(t) = Cx(t) + Du(t) + v(t) Ventaja: Permite tener en cuenta](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022071604/613f5a3ca7a58608c268de87/html5/thumbnails/85.jpg)
Método de identificación del error de la salida en lazo cerrado
Closed Loop Output Error CLOE
+ + + -
T 1 / R
S Proceso
u
r v
y B / A
w
+ + -
T 1 / R
S
Modelo
um ym
Bm / Am
ecl = y-ym +
-
CLOE
![Page 86: Identificación de Sistemasprada/identifsubOLCL.pdfIdentificación en espacio de estados x(t+1)= Ax(t) + Bu(t) + ω(t) y(t) = Cx(t) + Du(t) + v(t) Ventaja: Permite tener en cuenta](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022071604/613f5a3ca7a58608c268de87/html5/thumbnails/86.jpg)
Dominio de la frecuencia
V G j G j S jS j
S jd
S j d
vywu w
vy r
vy v
m
m
= −+
+
+
+
−
−
∫
∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
ω ω ωω ω
ω ωω
ω ω ω
π
π
π
π
2 2
2
2
2
Φ
Φ
Φ
• El ruido no afecta la estimación de los parámetros • Los errores disminuyen en la región donde Svy y el espectro de la señal de excitación son grandes
![Page 87: Identificación de Sistemasprada/identifsubOLCL.pdfIdentificación en espacio de estados x(t+1)= Ax(t) + Bu(t) + ω(t) y(t) = Cx(t) + Du(t) + v(t) Ventaja: Permite tener en cuenta](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022071604/613f5a3ca7a58608c268de87/html5/thumbnails/87.jpg)
FOL Filtered Open Loop Identification Algorithms Algoritmos estandar de identificación en lazo abierto pero utilizando datos filtrados de entrada- salida obtenidos en lazo cerrado
+ -
T 1 / R
S Proceso
u
r v
y B / A
w
No necesitan conocimiento del controlador
![Page 88: Identificación de Sistemasprada/identifsubOLCL.pdfIdentificación en espacio de estados x(t+1)= Ax(t) + Bu(t) + ω(t) y(t) = Cx(t) + Du(t) + v(t) Ventaja: Permite tener en cuenta](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022071604/613f5a3ca7a58608c268de87/html5/thumbnails/88.jpg)
FOL
0¡1
¡1
0
0
0
1
1
ˆˆ
ˆˆˆˆ
y
ˆ 0con w
)()()()(ˆ)(
v(t) )()()()()(
eySyS
eyAR
BSARyRA
SBRA
yARBSy
RASBey
erGvGr
trR
tSytTwqGty
trR
tSytTwqGty
mvyvy
m
mm
mm
=−
=+
−+
+−=−
=−+=
+
−=
+
+
−=
−−
−
−
e0 error proceso/modelo generado si se hubiera aplicado la señal r en lazo abierto
+ -
1 / R
S Proceso
u
r v
y B / A
0
Filtrando con Svy-1 el error en lazo cerrado se genera el error e0
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FOL-OE
• Minimizar los errores en lazo cerrado equivale a aplicar el algoritmo de lazo abierto Output Error (OE) con datos filtrados por la estimación de la función de sensibilidad de la salida Svy • Svy puede estimarse identificando Sru entre r y u previamente • Proporciona una estimación sesgada debido al ruido
[ ]e t S e t S y t y t S y t BA
S u tcl vy vy m vy
y
vy
uf f
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )= = − = −
![Page 90: Identificación de Sistemasprada/identifsubOLCL.pdfIdentificación en espacio de estados x(t+1)= Ax(t) + Bu(t) + ω(t) y(t) = Cx(t) + Du(t) + v(t) Ventaja: Permite tener en cuenta](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022071604/613f5a3ca7a58608c268de87/html5/thumbnails/90.jpg)
FOL-IV dominio frecuencial
V G j G j S j S j d
S j S j d
vy vy r
vy vy v
= − +
+
−
−
∫
∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
ω ω ω ω ω ω
ω ω ω ω
π
π
π
π
2 2 2
2 2
Φ
Φ
• No presenta sesgo • La estimación se mejora en el rango de frecuencias en que Svy y la señal de excitación en r son altas • Es proxima a la expresión del algoritmo CLOE
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Métodos de subespacios
C(z) P(z)rk +
wk vk
uk
-
yk
Consideran un sistema equivalente donde u e y son salidas y r entrada
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Métodos de subespacios Métodos de Entrada/Salida: Modelo Global
Referencia)(1 kr Sistema a
Lazo Cerrado
Entrada alProceso
)(ku p
Salida delProceso
)(ky p
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Modelo proceso - controlador
v(k)(k)uD(k)xC(k)yw(k)(k)uB(k)xA)1(kx
ppppp
ppppp
++=
++=+
(k)uD(k)xC(k)y(k)uB(k)xA)1(kx
ccccc
ccccc
+=+=+
c2p
p1c
yruyru
+=
−=
Reg. Proceso r1
r2 up
w v yp
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Modelo Proceso - controlador
v(k)(k)uD(k)xC(k)yw(k)(k)uB(k)xA)1(kx
ppppp
ppppp
++=
++=+
(k)uD(k)xC(k)y(k)uB(k)xA)1(kx
ccccc
ccccc
+=+=+
(k)σ(k)r(k)r
DDDD
x(k)CC
(k)y(k)u
(k)σ(k)r(k)r
)B(BAx(k))1x(k
v2
1
2221
1211
2
1
p
p
w2
121
+
+
=
+
+=+
c2p
p1c
yruyru
+=
−=
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Identificación a Lazo Cerrado Métodos Basados en Subespacios:
Método Indirecto: Desarrollado por Peter Van Overschee y Bart de
Moor. Supone conocer los parámetros de Markov del controlador.
Método Entrada/salida. Desarrollado por Michel Verhaegen. Parte un
modelo global el cual es analíticamente reducido conociendo el orden del controlador
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Referencia)(1 kr Sistema a
Lazo Cerrado
Entrada alProceso
)(ku p
Salida delProceso
)(ky p
(k)σ(k)rDDDD
x(k)CC
(k)y(k)u
(k)σ(k))rB(BAx(k))1x(k
v12221
1211
2
1
p
p
w121
+
+
=
++=+
1. Identificar el sistema global
IdentCL
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IdentCL
FFiNiiF UHXY Φ++Γ= ,
⊥⊥⊥ ∏+∏Γ=∏FFF UFUNiiUF NXY ,
PP UW =
[ ] ,0uE Tpf =Φ 0WN
N1lim T
PUFT
N FT
=∏ ⊥∞→
TPUF
TPUN,ii
TPUF WNWXWY
FFF⊥⊥⊥ ∏+∏Γ=∏
![Page 98: Identificación de Sistemasprada/identifsubOLCL.pdfIdentificación en espacio de estados x(t+1)= Ax(t) + Bu(t) + ω(t) y(t) = Cx(t) + Du(t) + v(t) Ventaja: Permite tener en cuenta](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022071604/613f5a3ca7a58608c268de87/html5/thumbnails/98.jpg)
IdentCL TPUN,ii
TPUF WXWY T
F∏Γ=∏ ⊥
×
=
3
2
1
333231
2221
11
000
QQQ
RRRRR
R
YUU
F
p
F
0=
=Txy
Txx
QQIQQ
11 QQI TU F
−=∏ ⊥
F1T
FFTFU U)UU(UI
F
−−=∏ ⊥ 1111
111111111 )( QRRQQRRQI TTTTU F
−−=∏ ⊥
![Page 99: Identificación de Sistemasprada/identifsubOLCL.pdfIdentificación en espacio de estados x(t+1)= Ax(t) + Bu(t) + ω(t) y(t) = Cx(t) + Du(t) + v(t) Ventaja: Permite tener en cuenta](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022071604/613f5a3ca7a58608c268de87/html5/thumbnails/99.jpg)
IdentCL
×
=
3
2
1
333231
2221
11
000
QQQ
RRRRR
R
YUU
F
p
F11 QQI T
U F−=∏ ⊥
[ ] [ ] [ ]
−
=∏ ⊥ T
TTTTT
PUF RR
QQQQIQQQ
RRRWYF
22
212111
3
2
1
333231
PP UW =
TTPUF RRWY
F2232=∏ ⊥
TTPUNii RRWX T 2232, =∏Γ
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IdentCL
= T
Tnn
n VV
SS
UUR00
032 00
ni U=Γ
( )nT
nnT
UJCUJUJA
3
2†
1
==
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IdentCL
[ ] [ ]iT
iT
T
i
i uDB
XCA
yX
=
−
+ ~~
1
iiT ZX †~ Γ=pi URRZ †2232=
TTPUNii RRWX T 2232, =∏Γ
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IdentCL
2. Simulación del modelo Global con la señal de referencia para obtener señales libres de ruido.
(k)Drx(k)C)k(y)k(u
(k)rBx(k)A)1x(k
1Tp
p
1TT
+=
+=+
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IdentCL
3. Obtener el modelo del proceso a Lazo Abierto con los datos obtenidos de la simulación libre de ruido.
)k(Du)k(xC)k(y)k(uB)k(xA)1k(x
pppp
ppppp
+=
+=+
No es necesario conocer el controlador
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IdentCL ejemplo
86.0483.709.84.4)02.030.359.1899.1298.0(10)( 2345
2343
−+−+−−+++
=−
zzzzzzzzzzP
9.061.27.2)74.2131189.2(01.0)( 23
2
−+−+−+
=zzzzzzD
39.057.111.365.249.083.176.203.261.0)( 234
234
+−+−+−+−
=zzzz
zzzzzC
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IdentCL
0 500 1000 1500 2000 2500 3000-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
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IdentCL
10-3
10-2
10-1
100
10-4
10-2
100
102
104
Figura 3.21. Diagrama de Bode. Proceso real: Rojo
IdenCl: Azul, CLID.m: verde
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IdentCL
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
Figura 3.22. Lugar de las Raíces. Proceso real: Rojo
IdenCl: ‘+’Azul, CLID.m: ‘o’ verde