UNIDAD 5UNIDAD 5

IDENTIDADES IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICASTRIGONOMÉTRICAS

Triángulo esféricoTriángulo esférico

Si tres puntos de la superficie Si tres puntos de la superficie esférica son unidos por arcos esférica son unidos por arcos de círculo máximo menores a de círculo máximo menores a 180º, la figura obtenida se 180º, la figura obtenida se denomina triángulo esférico. denomina triángulo esférico. Los lados del polígono así Los lados del polígono así formado se expresan por formado se expresan por conveniencia como ángulos conveniencia como ángulos cuyo vértice es el centro de la cuyo vértice es el centro de la esfera y no por su longitud. esfera y no por su longitud. Este arco medido en Este arco medido en radianes y multiplicado por el radio de  y multiplicado por el radio de la esfera es la longitud del la esfera es la longitud del arco. En un triángulo esférico arco. En un triángulo esférico los ángulos cumplen que: los ángulos cumplen que:

180° < 180° < αα +  + ββ +  + ψψ < 540° < 540°

Identidades PitagóricasIdentidades Pitagóricas

x

θ

θ

yse

n t

cos t

1

Se cumple que:sen² θ + cos² θ = 1 (I)

Si dividimos (1) entre cos² θtan² θ + 1 = sec² θ (II)

Si dividimos (1) entre sen² θ1 + cot² θ = csc² θ (III)

Identidades RecíprocasIdentidades Recíprocas

Identidades por cocienteIdentidades por cociente

sec1cos

cos1sec

cot1tan

tan1cot

csc1sen

sen 1csc

cossentan

sencoscot

Estas identidades se cumplen para cualquier ángulo para el cual el denominador no sea cero.

IV V VI

VII VIII

Razones trigonométricas de ángulos compuestosRazones trigonométricas de ángulos compuestos

xv

B(cos v, sen v)

1

u

A(cos u, sen u)

B

A

x

1

C

D

D(1, 0)C(cos , sen )

cos(u v) = cosu cosv senu senv (I)

sen(u v) = senu cosv cosu senv (II)

Problemas resueltos1. Comprueba la siguiente identidad:

Solución:

2. Simplifica la expresión:

Solución:

3. Comprueba la siguiente identidad:

Solución:

cos22 sensen

)(sen2sen

cossen2sencoscossen

l.q.q.d.

l.q.q.d.

4. Demuestra que:

Solución:

5. Si se cumple que: Cos β = 3/5 y Sen ψ = 7/25, calcula el valor de: Cos (β+ψ).

Solución:

csc2)cos1(

21 22

Sen

CosCossen

csc2cos1

cos1

sensen

csc2

)cos1()1( 22

SenCossen

csc2)cos1(

)1(2

SenCos

csc22

Sen l.q.q.d

β ψ3

54 257

24

Sabemos que:cos(β +ψ) = cosβ cos ψ - senβ sen ψ cos(β +ψ) = 3 .24 - 4 . 7

5 25 5 25

cos(β +ψ) = 44 125