icfes 2006 matematica

INSTITUTO COLOMBIANO PARA EL FOMENTO DE LA EDUCACIÓN SUPERIOR

ICFES

SUBDIRECCIÓN ACADÉMICAGRUPO DE EVALUACIÓN DE

LA EDUCACIÓN BÁSICA Y MEDIA

MATEMÁTICA

ANÁLISIS DE RESULTADOS 2006

EXAMEN DE ESTADO PARA INGRESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR

Myriam Margarita Acevedo Caicedo(Universidad Nacional de Colombia)

María Cristina Pérez Camacho (Profesora pensionada Secretaría de

Educación Distrital de Bogotá)Grace Judith Vesga Bravo

(ICFES)

Bogotá, mayo 2007

ANÁLISIS DE RESULTADOS 2006

Grupo de Evaluación de la Educación Superior - ICFESClaudia Lucia Sáenz Blanco

Grupo de Evaluación de la Educación Básica y Media - ICFESFlor Patricia Pedraza Daza

ICFES

ISSN: 1909-3993

Diseño y diagramación: Secretaría General, Grupo de Procesos Editoriales - ICFES

INSTITUTO COLOMBIANO PARA EL FOMENTO DE LA EDUCACIÓN SUPERIOR

DIRECTORA GENERALMARGARITA PEÑA BORRERO

SECRETARIO GENERALGENISBERTO LÓPEZ CONDE

SUBDIRECTOR DE LOGíSTICAFRANCISCO ERNESTO REYES JIMÉNEZ

SUBDIRECTOR ACADéMICOJULIÁN PATRICIO MARIÑO VON HILDEBRAND

OFICINA ASESORA DE PLANEACIÓNCLAUDIA NATALIA MUJICA CUELLAR

OFICINA ASESORA JURíDICAMARTHA ISABEL DUARTE DE BUCHHEIM

OFICINA DE CONTROL INTERNOLUIS ALBERTO CAMELO CRISTANCHO

ALVARO URIBE VÉLEZPresidente de la República

FRANCISCO SANTOS CALDERÓNVicepresidente de la República

CECILIA MARÍA VÉLEZ WHITEMinistra de Educación Nacional

�

ANÁLISIS DE RESULTADOS DE LAS PRUEBAS DE ESTADO

1 Introducción

Presentamos este segundo libro sobre el análisis de los resultados de las pruebas de matemáticas que hacen parte del Examen de Estado para Ingreso a la Educación Superior, los datos se refieren a las aplicaciones realizadas en el 2006. Este documento está dirigido especialmente a los maestros y maestras, estudiantes, padres de familia y en general a toda la comunidad interesada en conocerlos y estudiarlos.

En primer lugar se resaltan los cambios de la prueba de núcleo común a partir del 2006, a continuación se presenta la es-tructura de la misma y los resultados nacionales, así como los resultados en la prueba de profundización. A continuación se incluye el análisis de algunas preguntas tanto de núcleo común como de profundización por cada uno de los componentes evaluados. Al final se presentan algunas conclusiones y recomendaciones.

2 Estructura de prueba y resultados nacionales, contrastes entre dos calendarios

Es importante resaltar los cambios que se hicieron a esta prueba a partir de la primera aplicación del 2006 y que fueron anunciados y socializados por medio, de talleres en algunas regiones del país, del análisis de resultados del 2005 y más general y ampliamente a través del documento “¿Qué evalúan las pruebas 2006?” publicado y disponible en www.icfes.gov.co. Los cambios fueron básicamente:

• Agrupación y redefinición de los componentes evaluados. Estos pasaron de ser conteo, medición, variación y alea-toriedad a conformar tres numérico-variacional, geométrico-métrico y aleatorio. El cambio obedece básicamente al interés de presentar una organización de los componentes en torno a los pensamientos propuestos tanto en el documento de Lineamientos Curriculares como de Estándares de Calidad del área de matemática. Por otra parte, se presentan estas agrupaciones por considerarlas pertinentes para los contextos de evaluación, sin embargo, es importante aclarar que, en el trabajo en el aula, un mismo contexto puede tener elementos para indagar aspectos relacionados con lo numérico, lo métrico y lo aleatorio, por lo tanto no se pretende que esos componentes sean los organizadores curriculares.

• Redefinición de las competencias a evaluar. Es bien conocido que desde el año 2000 se evalúan en todas las áreas las competencias interpretativas, argumentativas y propositivas, competencias generales y transversales; sin em-bargo, en el área y partiendo de estas competencias, se definieron competencias específicas relacionadas con los procesos que en matemática se realizan y tomando como punto de referencia los propuestos en el documento de Lineamientos Curriculares, estas son: Competencia en comunicación y representación, competencia en razonamiento y argumentación y competencia en modelación, planteamiento y solución de problemas.

Estos cambios no implican que la prueba se haya transformado radicalmente, el objeto de evaluación sigue siendo la competencia matemática; son cambios con los cuales se espera que los maestros y maestras puedan tener mayor claridad sobre lo evaluado y su coherencia con lo propuesto por el Ministerio de Educación Nacional.

2.1 Objeto de evaluación

El objeto de evaluación de las pruebas es la competencia matemática relacionada con el uso flexible y comprensivo del conocimiento matemático escolar en diversidad de contextos, de la vida diaria, de la matemática misma y de otras ciencias. Este uso se evidencia, entre otros, en la capacidad del individuo para analizar, razonar, y comunicar ideas efectivamente y para formular, resolver e interpretar problemas.

En la pruebas un aspecto importante a evaluar es el significado de los conceptos matemáticos y la práctica significativa,

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relacionada esta última con la matematización que exige al estudiante simbolizar, formular, cuantificar, validar, esquematizar, representar, generalizar, entre otros. Actividades que le permitirán desarrollar descripciones matemáticas, explicaciones o construcciones.

Desde estas perspectivas, en las pruebas se propusieron problemas que indagaban tanto por el conocimiento matemático que ha logrado consolidar el estudiante, como por los procesos de pensamiento. Se exploró el uso de la matemática en contextos que permitieran mediante procesos de matematización reconocer los conceptos y estructuras construidos en la matemática escolar. Se asumió para la construcción de la prueba la propuesta integradora de los Lineamientos Curriculares y los Estándares Básicos de Competencia, respecto a los conocimientos básicos, procesos y contextos.

En cada uno de los contextos seleccionados se propusieron problemas tanto rutinarios como no rutinarios, con distintos niveles de complejidad, con la intención de destacar la importancia de enfrentar al estudiante a situaciones diversas que exijan comprensión y uso significativo de los conceptos y procedimientos y que den la posibilidad de seleccionar caminos o estrategias diversas para su solución.

2.2 Componentes evaluados y resultados en el núcleo común

Para la estructuración de las pruebas se organizaron los pensamientos que se proponen en los Lineamientos Curriculares y Estándares Básicos de Competencias en tres componentes: el numérico-variacional, el geométrico-métrico y el aleatorio, tomando como referente fundamental los estándares relativos a cada pensamiento en los distintos grupos de grados.

En lo relativo al componente numérico-variacional, se indagó por la compresión y uso de los números y de la numeración, más específicamente por la representaciones decimales de los números reales, el reconocimiento de la densidad de los números reales, y la comprensión de las operaciones y sus propiedades y su uso en la resolución de problemas. Se inda-gó además, por la identificación de variables, la descripción de fenómenos de cambio y la modelación de situaciones de cambio a través de funciones.

En lo pertinente al eje geométrico-métrico se indagó por el reconocimiento de propiedades y relaciones geométricas, la identificación gráfica y algebraica de propiedades de las cónicas (particularmente la parábola), la identificación de ca-racterísticas de localización en sistemas de representación cartesiana, la resolución de problemas usando propiedades geométricas y la comprensión de conceptos de área y volumen.

En lo relativo al pensamiento aleatorio se indagó por la representación, lectura e interpretación de datos en contexto; el análisis de diversas formas de representación de información numérica, el reconocimiento, descripción y análisis de eventos aleatorios y el uso de técnicas de conteo.

Es importante anotar que cada pensamiento desarrolla habilidades específicas en los estudiantes, relacionadas con sus sistemas de representación, con las estructuras conceptuales y con las formas propias de argumentación, por lo tanto ninguno de ellos puede ser excluido ni del proceso educativo ni del evaluativo.

En la gráfica 1 se muestran los promedios de la prueba en las cuatro últimas aplicaciones, se puede observar que en ambos calendarios hubo un avance en el promedio entre 2005 y 2006, destacándose especialmente calendario B con aproxima-damente 5 puntos, aunque también es el calendario en el que más aumenta la dispersión como puede observarse en la gráfica 2, esto muestra que el incremento del promedio se debe a que un grupo de personas obtiene mejores resultados pero se abre más la brecha entre altos y bajos puntajes.

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Gráfica 1. Promedio 2005 y 2006

45.0044.27

50.77

45.42

40

45

50

55

2005-1 2005-2 2006-1 2006-2

Gráfica 2. Desviación 2005 y 2006

8.37

8.77

9.64

7.92

7

8

9

10

2005-1 2005-2 2006-1 2006-2

En la gráfica 3 se muestra el porcentaje de estudiantes acumulado en cada rango de puntaje al nivel nacional en los dos calendarios para el año 2006. Se considera Bajo un puntaje menor o igual a 30 puntos, Medio mayor a 30 y hasta 70 y Alto mayor a 70.

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Gráfica 3. Porcentaje acumulado de estudiantes en cada rango de puntaje

0

20

40

60

80

100

Calendario B 2.82 6.06 12.64 23.11 50.06 73.41 86.43 92.88 96.01 100

Calendario A 3.28 8.05 30.68 46.33 73.8 89.17 95.84 98.48 99.52 100

Hasta 30

Hasta 35

Hasta 40

Hasta 45

Hasta 50

Hasta 55

Hasta 60

Hasta 65

Hasta 70

Mayor a 70

Para una mejor interpretación de la información, es importante recordar que un estudiante ubicado en categoría baja logra abordar situaciones rutinarias que exigen analizar información puntual y establecer estrategias directas que se caracterizan por tener una sola relación, operación o algoritmo para su resolución. Un estudiante ubicado en categoría media utiliza aspectos básicos de la matemática escolar, en contextos de no rutina que le exige relacionar y organizar información, utilizar diferentes formas de representación y hacer traducciones entre ellas. Y un estudiante ubicado en categoría alta muestra capacidad de aplicar los elementos básicos de la matemática escolar en contextos diversos y no rutinarios, rela-cionar información, reconocer condiciones y hacer inferencias y generalizaciones, esto es, involucra conceptualizaciones más formales.

Se observa en la gráfica 3, que el porcentaje de estudiantes ubicados en bajo corresponde a 2.82 en calendario B y 3.28 en calendario A, en el nivel medio al 93.19 y 96.24 respectivamente, por lo tanto al nivel alto sólo llega el 3.49% y el 0.48%. Más del 50% de la población sólo alcanza puntajes hasta de 50 puntos y más del 90% llega sólo hasta 65 puntos. Esta gráfica evidencia que aunque el promedio nacional se ha incrementado, una gran mayoría de la población se ubica en puntajes de la categoría media.

2.3 Competencias evaluadas y resultados en núcleo común

A continuación se describe cada una de las competencias evaluadas en el 2006 y los resultados obtenidos.

En relación con la competencia en comunicación y representación, las pruebas exploraron la capacidad de los estu-diantes para establecer relaciones entre materiales físicos e ideas matemáticas, expresar conceptos matemáticos utili-zando ilustraciones y para traducir del lenguaje natural al lenguaje simbólico; abordaron, además, aspectos tales como la descripción cualitativa y cuantitativa de fenómenos de variación presentados en diferentes contextos mediante diversas representaciones (reglas verbales, tablas, gráficas, simbólicas).

En lo referente a la competencia en razonamiento y argumentación se exploró por la capacidad del estudiante para dar cuenta del cómo y del porqué de las estrategias o procedimientos puestos en acción para llegar a conclusiones. Se indagó también por aspectos tales como la capacidad para generalizar propiedades y relaciones, reconocer patrones y expresarlos matemáticamente.

En cuanto a la modelación, planteamiento y resolución de problemas, las pruebas exploran el diseño y aplicación de estrategias diversas para dar solución a problemas planteados en contextos dentro y fuera de la matemática, la verificación e interpretación de resultados de acuerdo con las condiciones iniciales del problema y la generalización de soluciones y estrategias.

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En las gráficas 5, 6 y 7 se observa que por lo menos el 90% de los estudiantes se ubica en los dos primeros grados, con más del 40% en el grado I, es decir solo logran realizar las tareas propias de cada competencia de manera muy inicial y en contextos rutinarios.

Gráfica 4. Porcentaje de estudiantes ubicados en cada grado en la competencia comunicación y representación

Calendario B 46.62 40.13 11.94

Calendario A 17.34 79.96 1.65

I II III

Gráfica 5. Porcentaje de estudiantes ubicados en cada grado en la competencia en razonamiento y argumentación

Calendario B 42.06 51.13 5.51

Calendario A 29.60 68.37 0.91

I II III

Aproximadamente el 12% de los estudiantes de calendario B se ubican en el nivel alto en la competencia en comunicación y representación, sin embargo, en calendario A aunque no se llega ni al 2% se destaca que en ésta competencia se ubican muchos más estudiantes en nivel medio, el 80%, y menos en nivel bajo el 17%, frente a 40% en medio y 47% en bajo para calendario B. Tendencias similares se observan en las otras competencias.

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Gráfica 6. Porcentaje de estudiantes ubicados en cada grado en la competencia de modelación, planteamiento y resolución de problemas

Calendario B 55.82 38.33 4.54

Calendario A 37.10 58.69 3.16

I II III

2.� Resultados en profundización1

En la profundización se plantean situaciones que exigen al estudiante comprensión de los conceptos y estructuras matemáticas básicas. Se indaga con mayor énfasis por la manipulación de proposiciones y expresiones que contienen símbolos y fórmulas, la generalización de propiedades y relaciones, la interpretación y uso de definiciones y relaciones y por el análisis de cadenas de argumentos. Se enfatiza además en el lenguaje simbólico formal y en las diferentes formas de representación.

En las aplicaciones del 2006 esta prueba se centró en dos componentes el geométrico-métrico y el numérico-variacional. Respecto al primero, se indagó por el uso de argumentos geométricos en la solución de problemas, la descripción de lugares geométricos, aplicación de criterios de semejanza, el reconocimiento de propiedades de las cónicas, la solución de triángulos usando teoremas básicos presentados explícitamente en la prueba. Y con respecto al componente numérico-variacional se indagó por el análisis de relaciones entre expresiones algebraicas y gráficas de funciones, y por la modelación de situaciones de variación.

Como se ha comentado en documentos anteriores, no se indaga por conocimientos de un primer semestre universitario sino, por los conocimientos y procesos que se proponen en los Lineamientos Curriculares y Estándares Básicos de Com-petencias.

En esta prueba cada estudiante se ubica de acuerdo a su desempeño en un grado: básico, I, II ó III y recibe además un puntaje de 0 a 10. En la gráfica 4, se observa que en ambas aplicaciones más del 60 % de los estudiantes quedan ubicados en grado I o grado II y que el porcentaje de estudiante ubicados en nivel básico, es decir aquellos que no alcanzan los requisitos mínimos para ubicarse en el grado I, es aún muy alto especialmente en calendario A. Es importante destacar que el 15% de los estudiantes de calendario B quedaron ubicados en grado III, esto es un buen muy resultado, teniendo en cuenta que en general sólo llega al 2%.

Los estudiantes que se ubican el grado I son capaces de utilizar de manera directa una fórmula, teorema o expresión o

1 La profundización es una prueba electiva que escogen los estudiantes entre lenguaje, biología, ciencias sociales o matemática. En el 2006, tan sólo el 17% eligió profundizar en matemática en calendario B y el 15% en calendario A.

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propiedad dada. Hacer traducciones de lenguaje natural a lenguaje simbólico. Reconocer un patrón, argumentaciones no formales a partir de gráficas o información numérica, las propiedades de figuras geométricas. Hacer inferencias directas a partir de información gráfica o numérica. Identificar la simbología propia de la matemática.

Los que se ubican en grado II son capaces de combinar expresiones o relaciones, usar propiedades geométricas, aritméticas y de variación que requieren transformación de expresiones. Generalizar o identificar una regla, fórmula o modelo que no requiere el uso de varios conceptos de manera simultánea. Realizar procesos de reversibilidad en contextos rutinarios. Hacer traducciones del lenguaje natural y simbólico al gráfico y viceversa. Hacer inferencias que requieren el establecimiento de una o varias relaciones o propiedades.

Gráfica 7. Porcentaje de estudiantes en cada grado

Calendario B 13.5 32.95 37.43 15.01

Calendario A 34.06 44.29 18.58 1.71

Grado Básico I II III

Y los estudiantes que se ubican en grado III pueden aplicar teoremas que requieren relaciones con otros conceptos. Realizar procesos de reversibilidad en contextos no rutinarios y que requieren establecer varias relaciones. Elaborar argumentos, seguir reglas de inferencia. Están en capacidad de utilizar formas de argumentación formales, interpretar condicionales y uso de cuantificadores. Modelar situaciones aplicando la definición analítica de las curvas. Solucionar problemas que requieran el uso simultáneo de relaciones y conceptos de diferentes pensamientos.

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3 Análisis de preguntas

A continuación se presenta el análisis de algunas de las preguntas que se propusieron a los estudiantes que presentaron la prueba en el 2006, hay ejemplos, tanto de núcleo común como de profundización, de ambas aplicaciones. Se espera que este tipo de análisis aporte elementos que le permita especialmente a los maestros y maestras y a los estudiantes, estudiar con mayor profundidad la prueba. Por cada una de los ejemplos analizados se describe lo que se evaluó, el nivel de exigencia, se presentan posibles estrategias de solución y el porcentaje de estudiantes que eligió cada opción de respuesta, no se incluyen los datos correspondientes a omisiones o multimarcas. Estos ejemplos se han agrupado por componente, se trata de presentar tanto para núcleo común como para profundización una mirada exhaustiva a los aspectos que se indagaron al interior de cada uno.

3.1 Ejemplos componente Numérico-Variacional

A continuación se presentan 8 ejemplos entre núcleo común y profundización.

Contexto para los ejemplos 1 y 2

Números racionales e irracionales

Si usted no es matemático y no tiene ninguna relación con la matemática, lasdefiniciones de número racional y número irracional no le impresionarán demasiado.Número racional es aquél que se puede expresar como cociente de dos númerosenteros, mientras que número irracional es aquel que no admite una expresión deeste tipo. Los números racionales e irracionales, constituyen lo que se conoce comonúmeros reales y se pueden expresar en forma decimal y ordenar sobre una línea quese denomina la recta real.

Cuando escribimos o cualquier otro número irracional en formadecimal, encontramos que su desarrollo infinito no consiste en un grupo decifras que se repite periódicamente. Por el contrario, los números racionalestienen sucesiones de dígitos que se repiten. Los números sontodos números racionales, sus cifras decimales se repiten. Las expresionesdecimales de presentan dicha repetición. En el conjunto de todaslas expresiones decimales (es decir, en el conjunto de todos los númerosreales) es mucho mas raro que haya una pauta y una repetición que laausencia de las mismas. La armonía es siempre mucho más rara que lacacofonía.

2

6438.0,875.0,3.5

,,,2 e

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Ejemplo 1, núcleo común

Componente: Numérico – Variacional Porcentaje por opciones de respuestaCompetencia: Razonamiento A B C DClave: A 19 6 38 36

Esta pregunta indaga por el dominio que tienen los estudiantes del conjunto de los números reales, sus propiedades y re-laciones, específicamente por la distinción entre números racionales y números irracionales. Exige generalizar propiedades y relaciones y explicar usando hechos y propiedades.

Se esperaría que cualquier estudiante al terminar el grado once, incluso desde grado noveno, pueda responder la pregunta por los conocimientos previos que tiene de los números reales, sin embargo la lectura ofrece la posibilidad de hacerlo sin recurrir a éstos. En la lectura se explica claramente la diferencia entre un número racional y uno irracional, como justamente

5.0 es un decimal periódico se puede concluir inmediatamente que representa un número racional, así las opciones B y

C no pueden ser correctas. Por otra parte como 5.0 es menor que 625.085

= se concluye que la opción correcta es A. También puede descartarse la opción D porque la expresión decimal de 5.0 es infinita y periódica.

Tan sólo el 16% de la población seleccionó la opción correcta y un 74% se distribuyó entre las opciones C y D, posiblemente recordaron parte de la lectura o del conocimiento de aula, pero no lograron establecer las diferencias.

Es necesario hacer un llamado de atención sobre este punto, desde el séptimo grado (muy prematuramente) el estudiante memoriza una regla sobre la clasificación de los reales, pero no logra a través de los años darle significado. Se requiere un trabajo mas estructurado con este concepto, pues es uno de los pilares del pensamiento variacional en los últimos grados.

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En la recta numérica que se muestra se han localizado dos números reales y .

La afirmación “entre los puntos P y Q es posible ubicar otro número irracional” es

A. falsa, porque es el siguiente de 2 .

B. verdadera, porque un irracional que está entre P y Q es 3 .C. falsa, porque solo se pueden ubicar racionales entre P y Q.

D. verdadera, porque un irracional que está entre P y Q es .

Componente: Numérico – Variacional Porcentaje por opciones de respuestaCompetencia: Comunicación A B C DClave: B 19 28 26 28

Este ítem explora de nuevo el concepto de número real pero ahora específicamente el manejo de las operaciones y sus propiedades, y la noción de densidad. Respecto a la competencia indaga por la interpretación y relación de diferentes representaciones.

En primer lugar, si el estudiante tiene clara una noción inicial de densidad y ha interpretado la lectura, debe saber que el enunciado propuesto es verdadero, pues entre dos reales cualesquiera hay infinitos reales, por lo tanto es posible ubicar por lo menos un irracional. De donde se concluye que las opciones A y C no son correctas. La opción D es falsa porque la

justificación que se propone para argumentar es falsa: 21

22)12(

=−+ , que no es un irracional, por lo tanto la opción

correcta es B. Otra forma de validar la respuesta es utilizando una aproximación de los números irracionales así: , y .

Los porcentajes para cada una de las opciones de respuesta estuvieron, muy próximos –un poco mas bajo para la A, 19%– , esto podría sugerir más una selección al azar que un análisis de la pregunta. De nuevo los estudiantes recitan una frase relativa a la densidad de los reales en la recta, pero posiblemente por la complejidad de la idea o la no ilustración de la misma en la práctica escolar, no han logrado interpretarla. Es necesario incluir en el aula no sólo la definición clásica de número real, sino el desarrollo de ejercicios variados y de diferentes niveles de dificultad que permitan una verdadera aproximación de este concepto por parte de los estudiantes.

1�



Deforestación

En la última década se ha observado que debido a la deforestación, la extensión de un bosque se ha venido reduciendo aproximadamente en un 10% anual. Ac-tualmente el bosque tiene una extensión de 200 Km2.

La expresión que representa la extensión E del bosque en función del tiempo t es

A. E = 200 (0,9)tB. E = 200 (0,1)t C. E = 200 – 0,2tD. E = 200 – 0,8t

Componente: Numérico – Variacional Porcentaje por opciones de respuesta

Competencia: Solución de problemas A B C DClave: A 19 31 36 13

En esta pregunta se indaga por la construcción de una expresión matemática que representa la determinación del modelo y la generalización de un proceso de deforestación, dicha expresión permite identificar la relación de variación existente entre dos variables. Para dar solución al problema el estudiante puede observar la regularidad, aplicando de manera consecutiva las condiciones dadas, construyendo así una secuencia relativa a la extensión del bosque a medida que transcurren los años:

Extensión actual del bosque E = 200Extensión del bosque dentro de 1 año E = 200 x 0.9Extensión del bosque dentro de 2 años E = 200 x 0.9 x 0.9Extensión del bosque dentro de 3 años E = 200 x 0.9 x 0.9 x 0.9Extensión del bosque dentro de t años E = 200 x 0.9 x 0.9 x ... x 0.9

Determinando, de esta manera, que la respuesta correcta es A. Los estudiantes que seleccionan la opción B no entienden completamente las condiciones del problema y hacen una traducción literal de éste, sin embargo entiende que el modelo es exponencial. Aproximadamente el 50% de los estudiantes escogen las opciones C o D, lo cual muestra que sólo conocen el modelo lineal, una forma de obtener la opción C es tomar como valor de decrecimiento el 10% de 200 y para la opción D tomar el 10% de 200 y trabajar con el complemento.

1�


Contexto para los ejemplos � y �

Ruta Bogotá Cúcuta

El siguiente gráfico muestra una ruta para ir desde Bogotá a Cúcuta vía terrestre. En el gráfico aparece información sobre: distancias, temperaturas y alturas.

Ejemplo �, núcleo común

A partir de la información de la gráfica se puede afirmar que la ciudad que está a una altura mayor de 2.000m, tiene una temperatura promedio menor que 17°C y está a más de 500Km de Bogotá es

A. TunjaB. Cúcuta.C. Pamplona.D. Bucaramanga.

Componente: Numérico – Variacional Porcentaje por opciones de respuesta

Competencia: Comunicación A B C D

Clave: C 16 6 73 5

La pregunta explora por la capacidad del estudiante para interpretar y usar diferentes tipos de representación, esta asociada con estándares referidos al planteamiento y solución de situaciones utilizando argumentos que justifiquen relaciones entre información numérica.

Para dar solución a la pregunta, es necesario identificar, en el gráfico presentado, la información referida a diferentes ciudades en la ruta Bogotá-Cúcuta respecto a su distancia de Bogotá (en kilómetros), su altura sobre el nivel del mar (en metros) y su temperatura (en grados centígrados). Dadas las condiciones del problema, el estudiante debe interpretar esta información, y establecer que la altura sobre el nivel del mar y la temperatura se relacionan de manera inversa, para después buscar la ciudad de la gráfica (más específicamente de las presentadas en las opciones) la ciudad, que cumple simultáneamente las condiciones de estar a una altura mayor de 2.000m tener una temperatura menor de 17°C y estar a más de 500Km de Bogotá y concluir que la respuesta correcta es Pamplona.

1�


El 73% de los estudiantes seleccionaron C, la opción correcta, demostrando capacidad para leer interpretar y relacionar información numérica que caracteriza diferentes lugares (ciudades, poblaciones y peajes) en un mapa vial; como puede observarse este ítem está asociado con la aplicación de conceptos matemáticos en la vida cotidiana.

Los estudiantes que seleccionaron la opción A, Tunja, el 16%, equivocaron su lectura respecto a la distancia a Bogotá, las otras dos condiciones se cumplen; aquellos que seleccionan la opción B, el 6%, equivocan la interpretación de dos de las condiciones pues Cúcuta no está a más de 2.000 metros de altura, ni tiene una temperatura menor de 17°. Finalmente, la selección de la opción D, Bucaramanga, realizada por el 5% de los estudiantes, indica que no entienden las condiciones del enunciado o no establecen relaciones de orden entre los números que indican altura, distancia y temperatura, pues Bucaramanga no cumple ninguna de las condiciones solicitadas.


Si un automóvil se desplazara a una velocidad constante durante todo el trayecto (Bogotá – Cúcuta), el tramo en el cual la rapidez de variación de la altura es mayor es

A. Tunja – Arcabuco.B. San Gil – Aratoca.C. Pamplona – El diamante.D. Pescadero – Bucaramanga.

Componente: Numérico – Variacional Porcentaje por opciones de respuestaCompetencia: Razonamiento A B C DClave: C 14 21 53 12

La pregunta indaga por aspectos relacionados con el concepto de variación, específicamente por la razón de cambio. Permite explorar la capacidad del estudiante para justificar estrategias y dar cuenta del cómo y del porqué de los procedimientos que se siguen para llegar a conclusiones.

El estudiante debe identificar el tramo recorrido por un automóvil en el cual la altura varía con mayor rapidez, suponiendo que el automóvil se desplaza con velocidad constante. Para encontrar la respuesta correcta es necesario hallar los cocientes entre diferencias de altura y de distancias recorridas (de la ciudad o población donde se inicia cada uno de los tramos y la ciudad o población donde terminan), o lo que es lo mismo hallar la pendiente de los segmentos que representan cada tramo para determinar cual es la mayor. Una simple observación de los cocientes que representan la rapidez de variación de la altura en cada uno de los tramos permite determinar que el trayecto desde Pamplona hasta el Diamante presenta la mayor rapidez de variación en la altura:

Tunja – Arcabuco:

San Gil – Aratoca:

Pamplona El Diamante:

1�


Pescadero – Bucaramanga:

Es posible llegar a esta misma conclusión observando en el mapa el segmento de recta con mayor inclinación (el más pendiente o empinado).

El 53% de los estudiantes seleccionó C la opción correcta, demostrando capacidad para hacer la lectura de la información numérica que aparece en la ilustración y compresión del concepto de razón de cambio en este contexto. El 21% de los estudiantes seleccionó la opción B San Gil – Aratoca, que es el tramo que le sigue a Pamplona – El Diamante en cuanto a rapidez de variación, es posible que su afirmación esté apoyada en la observación directa del grado de inclinación del segmento que representa el recorrido. La selección de las opciones A o D hecha por el 14% y el 12% de los estudiantes pudo haber sido hecha al azar o por interpretación incorrecta de las condiciones.


Caída de un objeto

Si un objeto con masa m se deja caer, y se tiene en cuenta la resistencia del aire, una función que describe la velocidad v del objeto después de t segundos es

donde g es la aceleración de la gravedad y c y e son constantes positivas.

Ejemplo �, profundización

A medida que transcurre el tiempo, la velocidad del objeto

A. permanece constante.B. disminuye y se aproxima a cero.C. disminuye y se aproxima a

cmg .

D. aumenta y se aproxima a c

mg .

Componente: Numérico - Variacional Porcentaje por opciones de respuestaCompetencia: Comunicación A B C DClave: D 23 15 8 53

Este ítem explora aspectos referidos a la modelación de situaciones de variación con funciones exponenciales y al uso de técnicas de aproximación en procesos infinitos numéricos. Está relacionado además con la capacidad del estudiante para interpretar, y usar diferentes tipos de lenguaje, describir relaciones y manipular expresiones simbólicas.

1�


Para resolver la pregunta el estudiante debía tomar la expresión y analizar tendencias: como , cuando

t crece (tiende a infinito) tiende a 0 y tiende a 1, de donde crec e y se aproxima

a c

mg , es decir la clave es D.

Un porcentaje alto, el 53%, respondió bien la pregunta, pero si la selección partiera de una comprensión de la variación esta respuesta debería ser coherente con la selección de la gráfica, pero esto no ocurrió (ver análisis ejemplo 9), puede

ser que al observar el tipo de función concluyan que aumenta, pero no reconozcan específicamente la asíntota cmg

. Es importante sin embargo destacar el análisis logrado para una función poco familiar. El 23% no logra interpretar el modelo y asume que v es constante posiblemente porque en el enunciado se hizo alusión a algunas constantes. El 15% que selec-ciona B y el 8% que seleccionan C pueden haber realizado un análisis parcial de la tendencia por ejemplo la exponencial

decrece o se aproxima a cero y seleccionar por ello las opciones mencionadas.


La gráfica que relaciona la velocidad v del objeto con el tiempo t es

Componente: Numérico - Variacional Porcentaje por opciones de respuestaCompetencia: Comunicación A B C D

Clave: A 26 15 31 26

Esta pregunta está relacionada con análisis en representaciones gráficas cartesianas de los comportamientos de cambio de funciones y con la identificación de relaciones entre propiedades de las ecuaciones algebraicas y propiedades de las gráficas. Está referida a la capacidad del estudiante para representar y modelar usando lenguaje gráfico y algebraico.

De nuevo para responder la pregunta el estudiante debía estudiar el modelo, reconocer que las variables v y c no son directamente proporcionales y desde luego que v cambia cuando t cambia. Esto permite decidir que las opciones B y C son incorrectas. A continuación bastaba analizar si la función crecía o decrecía apoyados en reconocer la imagen de cero. Como la imagen de cero es cero y a medida que t crece decrece ( se aproxima a cero), , se aproxima a 1, por tanto v tiende a

cmg

. La opción correcta es A.

El porcentaje que seleccionó la respuesta correcta A coincide con los que seleccionaron D, es probable que los últimos identifiquen el comportamiento de un modelo exponencial pero no la condición inicial, ni el cambio. La selección de D puede provenir, además, de confundir el movimiento de la caída del objeto con la trayectoria. De todas maneras contrasta con la pregunta anterior donde el acierto fue mayor y se esperaría que los que respondieron bien a la pregunta ilustrada en el ejemplo 8 respecto a la tendencia, estuvieran en capacidad de identificar la correspondiente gráfica, sin embargo las dos preguntas son independientes.

1�


Para resolver la pregunta el estudiante debía tomar la expresión y analizar tendencias: como , cuando

t crece (tiende a infinito) tiende a 0 y tiende a 1, de donde crec e y se aproxima

a c

mg , es decir la clave es D.

Un porcentaje alto, el 53%, respondió bien la pregunta, pero si la selección partiera de una comprensión de la variación esta respuesta debería ser coherente con la selección de la gráfica, pero esto no ocurrió (ver análisis ejemplo 9), puede

ser que al observar el tipo de función concluyan que aumenta, pero no reconozcan específicamente la asíntota cmg

. Es importante sin embargo destacar el análisis logrado para una función poco familiar. El 23% no logra interpretar el modelo y asume que v es constante posiblemente porque en el enunciado se hizo alusión a algunas constantes. El 15% que selec-ciona B y el 8% que seleccionan C pueden haber realizado un análisis parcial de la tendencia por ejemplo la exponencial

decrece o se aproxima a cero y seleccionar por ello las opciones mencionadas.


La gráfica que relaciona la velocidad v del objeto con el tiempo t es

Componente: Numérico - Variacional Porcentaje por opciones de respuestaCompetencia: Comunicación A B C D

Clave: A 26 15 31 26

Esta pregunta está relacionada con análisis en representaciones gráficas cartesianas de los comportamientos de cambio de funciones y con la identificación de relaciones entre propiedades de las ecuaciones algebraicas y propiedades de las gráficas. Está referida a la capacidad del estudiante para representar y modelar usando lenguaje gráfico y algebraico.

De nuevo para responder la pregunta el estudiante debía estudiar el modelo, reconocer que las variables v y c no son directamente proporcionales y desde luego que v cambia cuando t cambia. Esto permite decidir que las opciones B y C son incorrectas. A continuación bastaba analizar si la función crecía o decrecía apoyados en reconocer la imagen de cero. Como la imagen de cero es cero y a medida que t crece decrece ( se aproxima a cero), , se aproxima a 1, por tanto v tiende a

cmg

. La opción correcta es A.

El porcentaje que seleccionó la respuesta correcta A coincide con los que seleccionaron D, es probable que los últimos identifiquen el comportamiento de un modelo exponencial pero no la condición inicial, ni el cambio. La selección de D puede provenir, además, de confundir el movimiento de la caída del objeto con la trayectoria. De todas maneras contrasta con la pregunta anterior donde el acierto fue mayor y se esperaría que los que respondieron bien a la pregunta ilustrada en el ejemplo 8 respecto a la tendencia, estuvieran en capacidad de identificar la correspondiente gráfica, sin embargo las dos preguntas son independientes.

El 31% –un porcentaje mayor que el asociado a la clave– considera que el modelo es lineal, posiblemente es la única gráfica con la que está familiarizados y no logran interpretar las condiciones. El porcentaje restante considera que la función es constante, como se comentó antes, por la alusión a las constantes en el enunciado o porque no reconocen las variables en la expresión.


Construir espejos

Para construir espejos en vidrio, una empresa diseña espejos tipo A de forma de hexágono regular, obtenidas del mayor tamaño posible a partir de láminas circula-res de vidrio de 1 metro de radio. Cortando por la mitad las piezas tipo A, se obtie-nen piezas tipo B.


Las piezas tipo A y B se venden a $17.000 y $10.000 respectivamente. La empresa vende 5 piezas y recibe un pago por un valor total de $63.900. Si se sabe que sobre esta compra se hizo un descuento del 10% sobre el precio total de las piezas, ¿cuántas piezas se vendieron de cada tipo?

A. 2 del tipo A y 3 del tipo B.B. 3 del tipo A y 2 del tipo BC. 4 del tipo A y 1 del tipo B.D. 1 del tipo A y 4 del tipo B.

Componente: Numérico – Variacional Porcentaje por opciones de respuestaCompetencia:Solución de problemas. A B C D

Clave: B 24 43 21 11

El ítem indaga por el uso de los números reales en sus diferentes representaciones y en diversos contextos, exige dar significado a la variable e identificar diferentes métodos para solucionar sistemas de ecuaciones. Además requiere reali-zar una traducción del lenguaje natural al lenguaje simbólico formal, y desarrollar y aplicar diferentes estrategias para la solución de un problema.

20


El estudiante podía resolver la pregunta realizando el siguiente razonamiento, si p es el precio sin el descuento se tiene que 900.631.0 pp , de donde 000.71p . Si x es el número de piezas tipo A y y es el número de piezas tipo B, es posible determinar x e y resolviendo el sistema de ecuaciones lineales

Sustituyendo y en la primera ecuación y reduciendo se obtiene 000.21000.7 x , de donde 2,3 == yx .Otra forma de encontrar la solución es ensayar con los valores dados en las opciones. Al ensayar con lo propuesto en la clave se tiene que 3 del tipo A tienen un costo de $51.000 y 2 del tipo B de $20.000, así 51.000+20.000=71.000, luego se saca el 10% al costo total que es $7.100 y restando este valor a los 71.000 se obtiene 63.900. Estrategia que resulta interesante.

El 43% de los estudiantes respondieron la pregunta correctamente y el 24% posiblemente resolvieron correctamente pero se confundieron en la presentación de la respuesta (identificación de las variables), los estudiantes que seleccionaron las otras opciones posiblemente se limitan a identificar dos números que sumados den 5 (número de piezas), pero no inter-pretan las otras condiciones.

Ejemplos componente Geométrico–Métrico

A continuación se presenta el análisis de 5 preguntas de núcleo común y 11 de profundización; en el 2006 el énfasis en la profundización se colocó en este componente, sin embargo todas las situaciones propuestas pueden y deben ser abordadas por todos los estudiantes.

Ejemplo �, núcleo común2

El área que cubren 4 piezas tipo B dispuestas como lo indican la figura, es

A. 43 metros cuadrados

B. 33 metros cuadrados

C. 233

metros cuadrados

D. 36 metros cuadrados

2 El contexto para este ejemplo se encuentra antes del ejemplo 8, en la sección de ejemplos del componente numérico-variacional.

21


Componente: Geométrico – Métrico Porcentaje por opciones de respuestaCompetencia:Solución de problemas. A B C DClave: B 39 15 29 17

La pregunta indaga por el cálculo de áreas a través de la composición y descomposición de figuras exige formular un problema a partir de una representación gráfica.

Para resolverlo el estudiante puede determinar el área del hexágono inscrito en un círculo de radio 1m (Pieza tipo A). Una

forma es utilizar la fórmula 2

aPA ×= , donde P es el perímetro y a el apotema, que corresponde a la altura del triángu-

lo equilátero de lado uno. Se tiene que 6=P y 23

411 =−=a , de donde . Como la figura

muestra la descomposición de dos hexágonos, entonces la respuesta sería 332

3322 =

=A .

Pero, la pregunta no requería recordar la fórmula para calcular el área de un hexágono, simplemente saber determinar el

área de un triángulo equilátero de lado 1, bastaría determinar la altura 23 , de donde el área sería . Con

doce triángulos se recubren las cuatro piezas tipo B, por tanto el área es 334312 .

También se puede resolver el problema hallando el área del paralelogramo, para lo cual se debe asociar la apotema

del hexágono con la altura del paralelogramo, y de esta manera se obtiene que la base es 6 y la altura 23 , luego

33236 hbA

El porcentaje más alto de estudiantes seleccionó la opción A, es muy posible que no hayan realizado ningún tipo de cálculo y simplemente porque observaron un cuatro en el denominador, lo asociaron a 4 piezas, pero desconocen los procedi-mientos antes mencionados, no hay siquiera un reconocimiento visual de las relaciones. La selección de C, superior al 25% pudo originarse en un cálculo incorrecto o en la utilización de una fórmula no pertinente. La opción D es escogida por un porcentaje superior al asociado a la clave, aparece allí un seis y éste podría asociar a los seis lados del hexágono. En estos casos, las opciones de respuesta provenían de cálculos incorrectos pero posiblemente el estudiante no realiza éstos sino que se orienta por alguna información parcial (número de lados por ejemplo).

Se esperaba que la pregunta resultara de nivel de dificultad medio, sin embargo es posible que por la aparición de números irracionales en la operatoria o por el desconocimiento de procedimientos para determinar el área de figuras planas, tan sólo la haya contestado el 15%.

22


Contexto para los ejemplos 10 y 11

Diseño de un parque

En un lote de forma rectangular cuyos lados miden 80 y 60 metros, se va a cons-truir un parque. La figura muestra el plano del parque. Los puntos B, D, F y G son los puntos medios de los lados del rectángulo ACEH, K es un punto de AE tal que CK es perpendicular a AE .


La longitud de AE es

A. 100 metrosB. 140 metros.C. 2 7 metrosD. 2 35 metros.

Componente: Geométrico – Métrico Porcentaje por opciones de respuestaCompetencia: Solución de problemas A B C DClave: A 31 54 8 7

El ítem indaga por la relación existente entre las medidas de los lados de un triángulo rectángulo, por la aplicación del teorema de Pitágoras.

23


Para dar solución a este problema se requiere que el estudiante identifique la longitud del camino AE como la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 80 y 60 metros y posteriormente aplique el Teorema de Pitágoras:

Por lo tanto la opción correcta es A. La selección de la opción B, como respuesta correcta, hecha por el 54% de los estu-diantes puede indicar que no identifican el teorema de Pitágoras como la estrategia a utilizar para dar solución al problema o que hacen una mala aplicación de este puesto que la opción resulta de sumar las medidas de los catetos.

La selección de las opciones C, o, D puede indicar una equivocada aplicación del teorema, confundiendo los cuadrados

de las medidas de los catetos con el doble: en el caso de la C ,o, hallando la raíz de la suma de las medidas y no de los cuadrados de estas en el caso de la D.

Nótese que a pesar ser una aplicación directa del teorema, sin dificultad en la parte operatoria, solamente el 31% de los estudiantes llegó la respuesta correcta. Esto puede indicar que en las aulas el trabajo con el teorema de Pitágoras se limita a su aplicación mecánica y rutinaria, y que no se está abordando su aplicación en otro tipo de problemas como el que se presenta, en los cuales no se induce a la utilización del teorema ya que no se explicita la existencia de un triángulo rectángulo y no se utilizan los términos asociados a este (hipotenusa y catetos). Es importante trabajar otro tipo de aplicaciones. Ejemplo 11, núcleo común

El área de la zona cubierta de pasto es

A. 1.800 metros cuadrados.B. 2.400 metros cuadrados.C. 3.600 metros cuadrados.D. 4.800 metros cuadrados.

Componente: Geométrico – Métrico Porcentaje por opciones de respuestaCompetencia: Razonamiento A B C DClave: A 43 26 16 15

El ítem indaga por la comprensión y aplicación de conceptos básicos de proporcionalidad y por el uso de argumentos geométricos para formular problemas en contextos matemáticos, se explora además la competencia del estudiante para explicar usando hechos y propiedades.

Para determinar el área de la zona cubierta de pasto, basta hallar la diferencia entre las áreas de los triángulos AEH y GFH, esto es

También es posible determinar la solución, hallando el área de trapecio y usando semejanza.

El 43% de los estudiantes respondió correctamente la pregunta y un 26% se limitó a determinar el área de uno de los triángulos y seleccionó B. Porcentajes próximos seleccionaron C o D, sumando las áreas en lugar de restar o determinando el área de un rectángulo.

2�


La pregunta sería pertinente para los primeros grados de la básica secundaria e incluso para la primaria y sin embargo presenta dificultad para más de la mitad de la población que presentó la prueba.


Triángulos

Los polígonos se clasifican de acuerdo a sus propiedades y relaciones: medidas de los lados, medidas de los ángulos, relaciones entre sus lados, etc.

Los triángulos se clasifican de acuerdo a las medidas de sus lados en isósceles, equiláteros y escálenos. Un triángulo con dos lados congruentes se llama isósce-les, con tres lados congruentes se llama equilátero. Un triángulo escaleno es aquel en el cual todos sus lados tienen diferente medida.

De acuerdo a la clasificación de los triángulos, NO es correcto afirmar que

A. si un triángulo es equilátero es isósceles.B. si un triángulo no es escaleno es equilátero.C. existen triángulos rectángulos que son isósceles.D. existen triángulos isósceles que no son equiláteros.

Componente: Geométrico - Métrico Porcentaje por opciones de respuestaCompetencia: Razonamiento A B C DClave: B 41 21 22 15

La pregunta indaga por la clasificación de triángulos de acuerdo a sus propiedades, exige interpretar criterios presentados explícitamente en el contexto de la prueba, está relacionada con la generalización de propiedades y relaciones e indaga por la interpretación de definiciones y el análisis de proposiciones cuantificadas.

Para contestar correctamente, el estudiante debía retomar las definiciones presentadas inicialmente e interpretar la negación. Es correcto afirmar que si es equilátero, (tiene los tres lados congruentes) tiene dos lados congruentes, es decir, es isósceles por lo tanto la opción A no es falsa. También es correcto afirmar que existen triángulos rectángulos que son isósceles, por ejemplo todo triángulo con ángulos de 45°, 45° y 90° así la opción C también es correcta. Es correcto además que existen triángulos isósceles que no son equiláteros, por ejemplo un triángulo rectángulos con lados 1, 1 y 2 , así la opción D es correcta. Pero es incorrecto afirmar que si un triángulo no es escaleno es equilátero, puede ser isósceles o equilátero, aunque la pregunta es fácil, excepto posiblemente por la negación, tan sólo la respondió correctamente el 21%

Es posible que un porcentaje alto de los estudiantes haya ignorado la negación y se limite a seleccionar opciones diferentes a la clave por considerarlas correctas, lo que atrajo especialmente hacia la A, que muy seguramente es más familiar en el aula. Sería pertinente que particularmente en geometría se analicen enunciados diversos donde se expresen condiciones, negaciones y se trabaje con proposiciones compuestas; es importante destacar que las herramientas de la lógica formal se construyen en cada uno de los pensamientos no esquemáticamente en apartes dispersos del currículo.

2�


Contexto para ejemplo 13.

La parábola

Una parábola es el lugar geométrico de todos los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y una recta fija llamada directriz. En el siguiente cuadro se muestran ecuaciones y gráficas que corresponden a parábolas con el vértice, el foco y la directriz ubicados en diferentes puntos del plano

Ejemplo 13, núcleo comúnLa gráfica de la parábola con foco en el punto (6,4) y directriz que pasa por el punto (0,-2) se presenta en,

2�


Componente: Geométrico – Métrico Porcentaje por opciones de respuestaCompetencia: Comunicación A B C DClave: A 36 28 15 21

Esta pregunta hace referencia a la identificación de las características de localización de objetos geométricos en sistemas de representación cartesiana y al uso de las propiedades de las cónicas, particularmente de la parábola. Exige interpretar, representar y usar diferentes tipos de lenguaje para describir relaciones.

Para resolver la pregunta el estudiante debía simplemente interpretar la información que se presenta en los recuadros iniciales, pasando por la definición de la parábola y la identificación de sus elementos, si interpreta esta caracterización puede descartar fácilmente las opciones diferentes a la clave pues, o bien los puntos de la curva no equidistan del foco y la directriz, o la recta señalada no es la directriz cuando la parábola es abierta hacía la izquierda o la derecha, en este sentido puede afirmarse que el ítem acude esencialmente a la visualización.

El 36% de los estudiantes respondieron correctamente la pregunta, se esperaba que este porcentaje fuera más alto pues no requiere mayor elaboración. Porcentajes cercanos optaron por B o D posiblemente sin análisis de condiciones, sim-plemente por ubicación de la recta supuesta como directriz, si hubieran elegido un punto de estas parábolas las hubieran descartado si comprenden la definición.

Obsérvese que en este contexto se plantean preguntas que indagan por la noción puramente matemática de la parábola. Es importante recuperar en el aula de clase las definiciones matemáticas y trabajar estos conceptos no sólo en aplicaciones cotidianas o de otras áreas sino también en aplicaciones al interior de la matemática misma.

Contexto para los ejemplos 1� y 1�

En un triángulo ABC como el que muestra la figura, a, b y c corresponden a las longitudes de sus lados.

Los siguientes teoremas relacionan lados y ángulos de un triángulo ABC cualquiera.

Teorema del Seno Teorema del coseno

cSenC

bSenB

aSenA

abCosCbacacCosBcabbcCosAcba

222

222

222

222

−+=

−+=

−+=

2�


Ejemplo 1�, profundización

En el triángulo que muestra la figura los valores de b y Sen α son

A. b = 7 y Sen B. b = 7 y Sen

C. b = 5 y Sen

D. b = 5 y Sen


Se indaga en esta pregunta por la aplicación de los teoremas del seno y del coseno, está relacionado con el uso de argu-mentos geométricos, propiedades y relaciones para resolver y formular problemas. Se indaga además por la justificación de estrategias y procedimientos en el tratamiento de situaciones problema.

El estudiante debe identificar la información presentada en la figura y aplicar en primer lugar el teorema del coseno

Luego debe aplicar el teorema del seno

de donde .

2�


El 35% resolvió correctamente la pregunta pero un porcentaje similar seleccionó la opción C, se limitan a copiar un dato de la información inicial o aplican incorrectamente las relaciones al triángulo dado. El 19% selecciona B, es posible que haya aplicado correctamente el teorema del coseno, pero intercambia información al aplicar el segundo teorema. La selección de D puede provenir de una selección al azar o de composición arbitraria de los números dados sin observar condiciones.

Es posible que este ítem resulte complejo debido a que el estudiante debe aplicar sucesivamente ambos teoremas, sin embargo este tipo de problemas se supone son ampliamente trabajados durante el grado décimo, además el estudiante no requiere saber los teoremas de memoria pues son presentados dentro del contexto, por lo cual se esperaría que un porcentaje más alto de la población lo resolviera correctamente, más aún al estar en la sesión de profundización y no de núcleo común, lo cual resultaría pertinente. Invitamos a los maestros y maestras a resolver este tipo de problemas con todos sus estudiantes e identificar las razones por las cuales no logran resolverlo apropiadamente y así poder reforzar estos aspectos.


Si en un triángulo ABC se cumple que SenA = SenB = 2SenC, entonces el perí-metro del triángulo es

A. 3bB. 5cC. 2a + 2cD. a + b + 2c

Componente: Geométrico – Métrico Porcentaje por opciones de respuestaCompetencia: Razonamiento A B C DClave: B 7 10 14 69

En esta pregunta se indaga por la aplicación del teorema del seno para el cálculo del perímetro de un triángulo, está rela-cionada con el reconocimiento y contraste de propiedades y relaciones geométricas.

Para resolver el problema se retoman relaciones del teorema del seno,

csenC

bsenB

asenA

==

usando las condiciones dadas en la pregunta se tiene que

c

senA

bsenA

asenA 2==

de donde, ab = y ac =2 , y por lo tanto cba 2==

El perímetro del triángulo será entonces cccccbaP 522 =++=++=

La mayoría de los estudiantes que presentaron la prueba no lograron interpretar la pregunta y seleccionaron la opción D

2�


(69%) posiblemente lo asumieron por la razón entre los senos, 1:1:2 se limitaron a copiar los números o es posible que ni siquiera recuerden la expresión para el perímetro y opten por una que se parece aunque no tenga sentido. Porcentajes bajos seleccionaron las otras opciones, por azar o aplicación de transformaciones incorrectas.

Nuevamente llama la atención que siendo una pregunta de profundización y que sólo requiere una aplicación del teorema del seno para encontrar el perímetro, haya sido contestada por un porcentaje tan bajo de la población, esto posiblemente también muestra que cuando se aborda este tipo de aplicación se hace de manera rutinaria, generalmente se pide al estudiante determinar todos los valores del triángulo: medida de los lados y de los ángulos, de manera numérica y no a través del uso de relaciones entre los mismos. Es necesario proponer más y variados ejercicios de aplicación de este tipo de conceptos.


Mosaicos

En la ilustración se observan algunos mosaicos formados por polígonos regulares. En cada mosaico los lados de los polígonos que se utilizan deben tener la misma medida.


En el mosaico que se muestra,

la medida del ángulo α es

A. 60° B. 90° C. 120° D. 150°

Componente: Geométrico – Métrico Porcentaje por opciones de respuestaCompetencia: Comunicación A B C DClave: C 24 15 55 6

30


El ítem explora por la capacidad de estudiante para interpretar información presentada en diferentes tipos de represen-tación y para construir argumentaciones que den solución a situaciones diversas, está relacionado con la aplicación de propiedades de figuras planas.

El estudiante debe averiguar la medida de uno de los ángulos que forman el vértice de un mosaico al cual concurren dos triángulos equiláteros y dos hexágonos regulares; para dar solución a la pregunta, debe observar que la suma de los ángulos que concurren a un vértice es 360º, y plantear las relaciones que le permitan hallar la medida del ángulo solicitado:

• los ángulos interiores de un triángulo equilátero son congruentes, como la suma de los ángulos interiores de todo triángulo es 180º, entonces cada ángulo mide 60º

• de donde

La pregunta también puede resolverse si se averigua directamente la medida del ángulo interior de un hexágono regular, dividiéndolo en triángulos:

Como se forman 4 triángulos entonces la suma de los ángulos interiores de un hexágono debe ser °=×° 7204180 , por ser hexágono regular los seis ángulos tienen la misma medida de donde y por lo tanto

El 55% de los estudiantes seleccionó C, la opción correcta, aquellos que seleccionaron A, el 24%, o B, el 15%, no enten-dieron las condiciones del problema ni observaron la ilustración, pues evidentemente el ángulo α es obtuso por lo tanto no puede medir ni 60º ni 90º.

Teniendo en cuenta que este no es un contexto común y seguramente resultó novedoso para muchos de los estudiantes, el porcentaje que contestó correctamente es bastante alto, lo cual muestra un dominio importante en propiedades de las figuras geométricas en el grupo que escogió profundizar en matemática.


NO es posible construir un mosaico si a un mismo vértice concurren

A. 2 octágonos y 1 cuadrado. B. 2 octágonos y 2 cuadrados.C. 1 hexágono regular y 4 triángulos equiláteros.D. 2 hexágonos regulares y 2 triángulos equiláteros.

Componente: Geométrico – Métrico Porcentaje por opciones de respuestaCompetencia: Razonamiento A B C DClave: B 21 34 27 16

La pregunta explora la capacidad del estudiante para dar cuenta del cómo y del porqué de los caminos que se siguen para

31


llegar a conclusiones; está asociada la aplicación de estrategias que involucran aspectos de medición.Para dar solución a la pregunta el estudiante puede aplicar la fórmula, que se presenta en el recuadro, en cada una de las opciones hasta encontrar aquella en la cual la suma de la medida de los ángulos que concurren al vértice NO sea 360º, concluyendo de esta manera que la opción correcta es B pues:

• Opción A. Cada ángulo del octágono mide °=− 135

8)28(º180 como son dos se tiene que los ángulos de los

octágonos suman 270° , más 90° del cuadrado. Por lo tanto si se puede construir.

• Opción B. Basta con sumar 90° a la cuenta anterior así se deduce inmediatamente que no puede construirse.

• Opción C. Cada ángulo del hexágono mide °=− 120

6)26(º180 más 240° por los cuatro ángulos de los triángulos

equiláteros. Por lo tanto si se puede construir.

• Opción D. Los ángulos de los dos hexágonos mines 240° más 120° de los dos ángulos de los triángulos equiláteros.

El 34% de los estudiantes seleccionó la opción correcta, la selección de otras opciones indica que los estudiantes no en-tendieron las condiciones que deben cumplir los ángulos de polígonos regulares que concurren al vértice de un mosaico, o se equivocaron en los reemplazos requeridos para la correcta aplicación de la fórmula.


La siguiente figura muestra una maqueta para una construcción.

La maqueta está formada por un paralelepípedo y una pirámide de base cuadrada de 20cm de lado. Las caras laterales de la pirámide son triángulos equiláteros.

32



La altura total de la maqueta

A. está entre 10cm y 20cm.B. está entre 20cm y 25cm.C. está entre 25cm y 35cm.D. está entre 35cm y 40 cm.

Componente: Geométrico – Métrico Porcentaje por opciones de respuestaCompetencia: Solución de problemas A B C DClave: C 14 19 35 31

La pregunta indaga por la altura de la pirámide, para lo cual se requiere la aplicación de propiedades de la pirámide, de triángulos equiláteros y aplicación del teorema de Pitágoras y pasar de una representación tridimensional a una bidimen-sional; aborda aspectos de referidos a la solución de problemas en los cuales se usan propiedades geométricas y explora por la capacidad de los estudiantes en el planteo y aplicación de estrategias para dar solución a diferentes situaciones.

Para resolver la pregunta el estudiante debe averiguar la altura total de la maqueta sumando a la altura del paralelepípedo (15cm) la altura de la pirámide cuadrangular que está construida sobre él.

Para hallar la altura de esta pirámide es necesario hallar, inicialmente, la altura de los triángulos equiláteros que forman las caras laterales

Aplicando el teorema de Pitágoras se tiene que

Conociendo esta altura, es posible aplicar nuevamente el teorema de Pitágoras para hallar la altura de la pirámide, consi-derando que por ser una pirámide regular el centro de la base coincide con el pie de la altura:

33


Como el estudiante no dispone de calculadora para realizar esta operación, debe encontrar un rango del valor de esta altura considerando que la raíz de 200 es mayor que 14 (142 =196) y menor que 15 (152=225) Por lo tanto la altura total de la pirámide está entre 29cm y 30cm.

El 35% de los estudiantes seleccionó C, la opción correcta, Los estudiantes que seleccionaron la opción D, el 31% , posible-mente no entendieron las condiciones del problema o tuvieron problemas operatorios. El 14% y el 19% que seleccionaron las opciones A y B respectivamente, posiblemente resolvieron el problema de manera parcial, seleccionando como respuesta las alturas del triángulo o de la pirámide sin tener en cuenta la del paralelepípedo.


La base del paralelepípedo se va a recubrir con láminas de forma rectangular de lados 4cm y 1 cm. El mínimo número de láminas que se necesitan es

A. 16B. 25C. 75D. 100

Componente: Geométrico – Métrico Porcentaje por opciones de respuestaCompetencia: Solución de problemas A B C DClave: D 24 26 25 24

Este ítem explora la capacidad del estudiante para diseñar e implementar estrategias que den solución a un problema, está relacionado con el cálculo de área por recubrimiento.

Para averiguar el número mínimo de láminas de forma rectangular de lados 4cm y 1cm que se necesitan para recubrir un cuadrado de lado 20, el estudiante, puede determinar que es posible acomodar sobre un lado del cuadrado 5 láminas (por el lado de 4cm) y sobre el otro lado 20 láminas (por el lado de 1cm), por lo tanto se necesitan 100 láminas.

También es posible dar solución a la pregunta considerando que puesto que el número de láminas que se pueden acomodar sobre los lados del cuadrado es exacto, ya que 20 es múltiplo de 4 y de 1 puede dividirse el área del cuadrado (400 cm2) entre el área de la lámina rectangular (4 cm2) obteniendo de esta manera que son necesarias 100 láminas.

A pesar de ser una pregunta, sin dificultad específica aparente, solamente el 24% de los estudiantes seleccionó D, los estudiantes que seleccionaron A o B, el 24% y 26% consideraron que se podían acomodar, sobre los lados del cuadrado, 4 y 5 láminas respectivamente.

34


Contexto para los ejemplos 20, 21 y 22

Triángulos semejantes

Dos triángulos ABC y A’B’C’ son semejantes si se cumple uno cualquiera de los siguientes criterios:

1. Los ángulos correspondientes son congruente, es decir.∠A≅∠A’,∠B≅∠B’,∠C≅∠C’

2. Dos pares de lados correspondientes son proporcionales y los ángulos comprendidos son congruentes, es decir

y∠A≅∠A’ y∠B≅B’ y∠C ≅∠C’

3. Lados correspondientes son proporcionales, es decir

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Ejemplo 20, profundización

En cada figura se muestra un par de triángulos

De los pares de triángulos, son semejantes, los mostrados en las figurasA. 1 y 2B. 2 y 4C. 1 y 3D. 3 y 4

Componente: Geométrico – Métrico Porcentaje por opciones de respuestaCompetencia: Comunicación A B C DClave: B 21 28 16 34

Está relacionado este ítem con la resolución y formulación de problemas que involucran relaciones de semejanza usando representaciones visuales. Para resolver el problema el estudiante debía determinar simplemente las razones entre los lados correspondientes de los triángulos presentados, si están en la misma razón serán semejantes.

• En la figura 1, , por tanto los triángulos no son semejantes.

• En la figura 2, los triángulos tienen dos pares de lados proporcionales (razón 53 ) y un par de ángulos opuestos por

el vértice congruentes por tanto los triángulos son semejantes.

• En la figura 3, la razón entre los lados no es constante ( ) los triángulos no son semejantes.

• En la figura 4, , pares de lados correspondientes son proporcionales, los triángulos son semejan-tes.

Así la respuesta correcta es B, son semejantes los pares de triángulos mostrados en las figuras 2 y 4.

El 28% respondió correctamente la pregunta un porcentaje muy bajo para el nivel de dificultad y teniendo en cuenta que es una pregunta de profundización, posiblemente la noción de semejanza está en el nivel de “tener la misma forma” y se asumen criterios puramente visuales, desconocen posiblemente los criterios que permiten caracterizar la relación. Nótese que no se requería para la solución la memorización de las condiciones pues justamente era lo que presentaba el

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contexto, por eso se insiste en que el porcentaje de estudiantes que contestan este tipo de preguntas debería ser mayor. La opción D, atrajo más que la clave, posiblemente por una consideración de razones incompletas de aparentes lados

correspondientes. ( ).

Es recomendable que los maestros y maestras retomen este tipo de ejercicios y los realicen con todos los estudiantes, la noción de semejanza aunque es un tema que generalmente aparece en el currículo de grado noveno, es ampliamente utilizada para la solución de diferentes tipos de problemas en los grados posteriores, es uno de los conceptos fundamentales que cualquier estudiantes al terminar sus estudios debe poder utilizar.


Los triángulos ABC y A’B’C’ son semejantes

Las medidas de los lados x y y son respectivamente


El ítem está relacionado con la aplicación de los criterios de semejanza, requiere establecer relaciones y utilizar transfor-maciones. Como los triángulos ABC y ´´´ CBA son semejantes para resolver el problema el estudiante debía plantear la razón entre los

lados correspondientes es decir , de donde y . Por

lo tanto la respuesta correcta es A.

Solamente un 25% de los estudiantes respondió correctamente la pregunta, sin embargo un 31% respondieron B, posible-mente confundieron las variables, se podría afirmar en consecuencia que el 56% realizó procedimientos correctos.

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Los estudiantes que seleccionaron C y D muy seguramente no identificaron correctamente los lados proporcionales, sin observar nominación de los vértices, plantearon la razón comparando lados y ´´CB , por ejemplo, y determinaron el

valor , seleccionando las opciones que lo contenían. Faltaría en ese caso un análisis cuidadoso de las condiciones planteadas inicialmente.


Sea ABC un triángulo, D un punto de y E un punto de ,como se muestra en la figura

A. ∠AED ≅ ∠ABC .B. AB ≅ BC y AD = DE.C. el triángulo ADE es semejante al triángulo ABC.D. el ángulo ACB es congruente con el ángulo BAC.

Componente: Geométrico – Métrico Porcentaje por opciones de respuestaCompetencia: Razonamiento. A B C DClave: C 15 23 47 14

Este ítem indaga por el reconocimiento y contrastación de propiedades y relaciones geométricas en la demostración de teoremas básicos. Pretende analizar si el estudiante reconoce que es una prueba en matemáticas y como se diferencia de otros tipos de razonamiento, distinguiendo y evaluando cadenas de argumentos.

Los ángulos AED∠ y ACB∠ son congruentes por ser correspondientes entre las paralelas y . El CAB∠ es común a los triángulos ADE y ABC , por tanto estos dos triángulos tienen sus tres ángulos congruentes, por criterio Angulo-Angulo-Angulo se puede concluir que los dos triángulos son semejantes. Por ser semejantes tienen lados corres-

pondientes proporcionales de donde .

La opción correcta es entonces C. Las otras opciones no se pueden deducir con las condiciones dadas en el problema y así se dieran, no implican la proporcionalidad de los lados.

El 47% de los estudiantes seleccionó la opción correcta, es un porcentaje importante, en algunos casos es posible que hayan realizado el razonamiento correcto, pero también existe la posibilidad de que por un criterio visual, hayan reconocido

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los dos triángulos como semejantes. Solamente en una prueba abierta que es pertinente para el aula, el profesor podría observar si el estudiante realiza un razonamiento adecuado. El resto del grupo se distribuyó con porcentajes relativamente similares, más alto para la opción B que, de nuevo, observando la figura podría asumir incorrectamente que los lados tienen la misma medida.


Trayectoria de un barco

La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.

En el plano cartesiano se muestra la trayectoria hiperbólica que describe un barco, dos radares A y B, ubicados en los focos de la trayectoria y un puesto de control 0.

Desde cualquier punto P de la trayectoria el barco envía señales a los radares ubicados en los puntosAyBa distanciasd1yd2respectivamente.Las señales se desplazan a una velocidad constante.

Teniendo en cuenta que la trayectoria que describe el barco es hiperbólica se debe cumplir que

A. d1 + d2 es constante B. d1 – d2 es constanteC. d2 es constanteD. d1 es constante

Componente: Geométrico – Métrico Porcentaje por opciones de respuestaCompetencia: Razonamiento. A B C DClave: B 44 27 15 13

Está relacionado el ítem con la identificación de características de localización de las cónicas en un sistema de representación cartesiana. Indaga por la generalización de propiedades y relaciones y la capacidad de expresarlas matemáticamente.

Para responder la pregunta el estudiante simplemente debe traducir la definición “La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante”. Si la distancia

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del punto P a un foco es 1d y la distancia de P al otro foco es 2d , 21 dd − es una constante. Por tanto la clave es B.

El porcentaje más alto de estudiantes seleccionó la opción A (43%), es posible que recuerden la definición analítica de la elipse, confunden las dos curvas y seleccionan por ello esta opción, o también es posible que no interpreten la palabra “diferencia” y opten por la expresión más familiar, la suma. El 27% logran realizar una traducción correcta y porcentajes similares posiblemente sin interpretar condiciones seleccionan las otras opciones.

Al igual que el contexto de la parábola este debe resultar poco familiar para los estudiantes, por eso este sólo se incluyó en profundización, sin embargo se supone que esta cónica es estudiada junto con las demás en grado décimo y por lo tanto un conocimiento inicial como la definición debería resultar familiar y fácil para los estudiantes. Nótese que no se indagaba por la memorización de hipérbola, bastaba con leer el contexto y traducir matemáticamente la descripción.


Otra mirada al teorema de Pitágoras

Los triángulos sombreados que aparecen en cada figura son rectángulos. So-bre los lados de cada triángulo se han construido figuras planas semejantes.

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Si el área del cuadrado 1 es la mitad del área del cuadrado 2, entonces el área del cuadrado 3 es

A. la mitad del área del cuadrado 2.B. el doble del área del cuadrado 2.C. el triple del área del cuadrado 1.D. la tercera parte del área del cuadrado 1

Componente: Geométrico – Métrico Porcentaje por opciones de respuestaCompetencia: Razonamiento. A B C DClave: C 9 26 51 12

Como se indica en el nombre del contexto, en los ejemplos 25 y 26 se indaga por la aplicación del teorema de Pitágoras, mediante el establecimiento de relaciones geométricas.

Para dar solución a la pregunta el estudiante debe, inicialmente, identificar los catetos y la hipotenusa del triángulo rectán-gulo, que no está en posición canónica, sobre cuyos lados se han construido cuadrados, para aplicar la relación existente entre las áreas de estos cuadrados teniendo en cuenta las condiciones del enunciado.

Teniendo en cuenta la ilustración y aplicando el teorema de Pitágoras se tiene que: Área del cuadrado construido sobre la hipotenusa = suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos, por lo tanto

Área del cuadrado 3 = Área del cuadrado 1 + Área del cuadrado2

Como el área del cuadrado 1 es la mitad del área del cuadrado 2, o lo que es lo mismo, el área del cuadrado 2 es el doble del área del cuadrado 1,entonces

Área del cuadrado 3 = Área del cuadrado 1 + 2 x Área del cuadrado1= 3 x área del cuadrado 1

Determinando, de esta manera, que la respuesta correcta es C.

El 51% de los estudiantes seleccionó la opción correcta, lo cual permite afirmar que identifican los catetos y la hipotenusa de triángulos rectángulos dibujados en diferentes posiciones y que aplican correctamente el teorema de Pitágoras. Los estudiantes que seleccionaron la opción B, el 26%, posiblemente utilizaron, de manera equivocada, la información del enunciado acerca de la relación entre las áreas de los cuadrados 1 y 2 y finalmente, los estudiantes que seleccionaron las opciones A , el 9%, y D, el 12% no entendieron las condiciones de problema ni utilizaron estrategias que les permitieran establecer relaciones entre las áreas de los cuadrados.

La ilustración de esta pregunta es utilizada para demostrar el Teorema de Pitágoras, es decir, debe ser familiar para los estudiantes y aunque el porcentaje que contestó correctamente es alto, nuevamente se llama la atención pues es una pregunta que corresponde a la profundización, por lo tanto debería existir una mayor apropiación de las relaciones que existen entre las áreas de los cuadrados que se construyen sobre los lados y la hipotenusa de un triángulo rectángulo, es decir, está es la aplicación más conocida del Teorema de Pitágoras.

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Los radios de las circunferencias en las cuales se pueden inscribir los hexágo-nos 1 y 2 son 6cm y 8cm respectivamente. El perímetro y el área del triángulo rectángulo son

A. 12cm y 6cm2.B. 12cm y 24cm2.C. 24cm y 48cm2.D. 24cm y 24cm2.

Componente: Geométrico – Métrico Porcentaje por opciones de respuestaCompetencia: Razonamiento. A B C DClave: D 19 36 30 13

La pregunta indaga por el perímetro y el área de un triángulo rectángulo, cuando se conocen las medidas de los radios de las circunferencias en las cuales se pueden inscribir los hexágonos regulares que aparecen construidos sobre los lados del triángulo rectángulo. Está relacionada con estándares referidos a la interpretación y aplicación de propiedades y relaciones geométricas de figuras planas; explora por la capacidad del estudiante para diseñar procedimientos y estrategias aplicando propiedades y relaciones geométricas que permitan solucionar situaciones planteadas en diferentes contextos.

Para dar respuesta al problema, el estudiante debe deducir, inicialmente, que como el radio de una circunferencia en la cual se ha inscrito un hexágono es congruente con el lado de éste, los catetos del triángulo rectángulo miden 6cm y 8cm. Una vez conocidas las medidas de los catetos puede aplicar el teorema de Pitágoras para encontrar que la medida la hipotenusa, es de 10 cm completando de esta manera la información necesaria para hallar el perímetro y el área:

Perímetro: ; Área:

El 13% de los estudiantes utilizó correctamente la relación de congruencia entre el radio de la circunferencia y el lado del hexágono inscrito, utilizó el teorema de Pitágoras y aplicó el concepto de altura de un triángulo para hallar la opción correcta D. Los estudiantes que escogieron C identificaron las condiciones del problema pero no calcularon de manera correcta el área del triángulo. Los estudiantes que seleccionaron las otras opciones posiblemente se limitaron a realizar operaciones con la información numérica que aparece en el enunciado.

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3.3 Ejemplos componente Aleatorio

Se presenta a continuación el análisis de 6 ejemplos correspondientes a núcleo común.


Salarios

Los salarios mensuales de los 25 empleados de una empresa están distribuidos de la siguiente manera

• 21 empleados ganan 1 salario mínimo mensual• 2 empleados ganan 10 salarios mínimos mensuales• 1 empleado gana 14 salarios mínimos mensuales• 1 empleado gana 25 salarios mínimos mensuales

Ejemplo 2�, núcleo común

El valor que mejor representa el conjunto de datos sobre el salario mensual del grupo de empleados es

A. 1 salario mínimo mensual.B. 10 salarios mínimos mensuales.C. 14 salarios mínimos mensuales.D. 25 salarios mínimos mensuales.

Componente: Aleatorio Porcentaje por opciones de respuestaCompetencia: Razonamiento A B C DClave: A 50 9 6 34

La pregunta indaga por la comprensión del significado de las medidas de tendencia central, en este caso específico por la interpretación de la moda como el dato más representativo de una información numérica.

Para dar solución a la pregunta el estudiante debe deducir, de la información que se presenta en el recuadro, que de un total de 25 empleados 21 ganan 1 salario mínimo, es decir que 1 salario mínimo mensual es el valor que con más frecuencia se presenta en el conjunto de datos. Luego el dato que mejor describe el conjunto es el de 1 salario mínimo mensual, por lo tanto la opción correcta es A, que fue seleccionada por la mitad de la población.

Quienes escogen las otras opciones pueden hacerlo por una selección al azar o por análisis erróneos. Esta pregunta es bastante sencilla y aunque la contesto la mitad de la población, llama la atención el porcentaje tan alto que escogió como opción correcta la D, es probable que simplemente sea porque la empresa tiene 25 empleados. Es importante que los maestras y maestras al enseñar los conceptos de promedio, media, media y moda, además de ejercitar el cálculo de estos, se trabaje en su significado y cuando un concepto u otro representa mejor un conjunto de datos, siempre se cree que es el promedio, en este caso esa opción no se colocó para no inducir a los estudiantes a ese error.

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En el departamento de producción de la empresa trabajan 4 mujeres y 6 hombres. La edad promedio de las mujeres es 30 años y la de los hombres es 40. La edad promedio de los trabajadores del departamento de producción es

A. 30 años.B. 35 años.C. 36 años.D. 40 años.

Componente: Aleatorio Porcentaje por opciones de respuestaCompetencia: Solución de problemas A B C DClave: C 8 43 27 21

La pregunta está orientada a explorar la capacidad del estudiante para aplicar diferentes estrategias en la solución de problemas relacionados con conceptos básicos asociados con medidas de tendencia central, en este caso se indaga por la correcta utilización del concepto de promedio ponderado.

Para dar solución al problema, es necesario hallar la suma de las edades, en años, de todos los empleados teniendo en cuenta el número de mujeres y de hombres que trabajan en el departamento de producción: en el caso de las mujeres puesto que son 4 y su edad promedio es 30, el número total de años se obtiene efectuando 4 x 30 = 120 años y de manera análoga, para los hombres multiplicando 6 x 40 = 240 años. La suma de este número de años es entonces 360; como en

total son 10 empleados, para encontrar la edad promedio de todos los trabajadores es necesario efectuar encontrando así que la opción correcta es C.

El 27% de los estudiantes resolvió correctamente la pregunta, mientras que un 43% seleccionó la opción B que resulta de hallar el promedio de las edades promedio, de mujeres y hombres, sin tener en cuenta el número de trabajadores del depar-tamento. Los estudiantes que seleccionan las opciones A, o, D, posiblemente, no entienden las condiciones del problema y escogen opciones en las cuales aparecen las edades promedio de hombres o mujeres del enunciado de la pregunta. Es necesario que en las aulas se sigan trabajando actividades de profundización que permitan al estudiante diferenciar y aplicar correctamente los conceptos de promedio y promedio ponderado.

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Contexto para el ejemplo 2�

Diseño de placas

El Ministerio de Transporte es la Institución en Colombia encargada de diseñar y establecer las características de la placa única nacional para los vehículos auto-motores. A partir de 1990 las placas tienen tres letras y tres dígitos, debajo llevan el nombre del municipio donde se encuentra matriculado el vehículo. Para la fabri-cación de las placas se utilizan 27 letras y 10 dígitos. La empresa que fabrica las placas ha comprobado que de una producción de 100 placas fabricadas aproxima-damente 5 placas tienen algún defecto.


La primera letra de la placa de los carros particulares matriculados en Bogotá es A o B. El número total de placas que pueden fabricarse para identificar carros particulares matriculados en Bogotá es

A. 272 x 103

B. 273 x 102

C. 2 x 272 x 102

D. 2 x 272 x 103

Componente: Aleatorio Porcentaje por opciones de respuestaCompetencia: Solución de problemas A B C DClave: D 25 25 28 22

El ítem indaga por la formulación y resolución de problemas usando conceptos básicos de conteo (combinaciones, permu-taciones, arreglos condicionados) y explora el desarrollo y aplicación de diversas estrategias para resolver problemas.

Para encontrar la respuesta correcta el estudiante debía realizar un argumento como el siguiente: como la primera letra es A o B entonces solo se tienen dos posibilidades de selección, para las otras letras se tienen 272 opciones y para seleccionar los números 103 maneras. En total el número de placas posibles en Bogotá es 2x272 x103.

Los porcentajes de elección de las opciones de respuesta se distribuyeron de manera similar –alrededor del 25%–, con una leve preferencia por la opción C. Esto parece indicar que la selección o bien fue realizada al azar o los estudiantes intentaron realizar un conteo pero no se precisaron las posibilidades para cada posición o no se entendieron bien.

Se esperaría que en una pregunta que requiere un conteo sencillo el porcentaje de estudiantes que responda correctamen-te fuera mucho mayor, aunque en los últimos años se han ido incorporando estos temas en los currículos, es necesario profundizar más en estos y de ser posible incluirlo desde el grado octavo o noveno de manera que se llegue a ejercicios que requieran técnicas de conteo más sofisticadas en los cursos superiores. Este tipo de temas, además, tienen muchas aplicaciones en situaciones de la vida cotidiana que pueden ser aprovechadas para la correcta apropiación.

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Contexto para los ejemplos 29, 30 y 31

Mundiales de fútbol

Cada cuatro años la FIFA (Federation International Football Association) rea-liza el Campeonato Mundial de Fútbol en el que participan 32 selecciones.

Las 32 selecciones se distribuyen mediante un sorteo, en 8 grupos de 4 equi-pos cada uno. Para evitar el enfrentamiento entre favoritos, en la primera ronda eliminatoria los 8 equipos considerados como los mejores se asignan como cabeza de grupo.

En la primera ronda cada equipo juega una vez contra cada uno de los demás equipos de su grupo y se eliminan dos equipos de cada grupo. Entre los 16 clasificados se eliminan 8 y en la siguiente ronda se eliminan 4. Entre los 4 que quedan se determina el campeón, subcampeón, tercero y cuarto.


Si en la primera ronda de un campeonato, en uno de los grupos el promedio de goles anotado por partido fue de 2,5 goles, el total de goles anotados en ese grupo fue

A. 10B. 15C. 20D. 24

Componente: Aleatorio Porcentaje por opciones de respuestaCompetencia: Razonamiento A B C DClave: B 42 27 21 10

La pregunta está relacionada con estándares asociados a la utilización comprensiva de conceptos básicos de conteo y de medidas de tendencia central, en este caso con el concepto de promedio. Teniendo como contexto una lectura referente a los mundiales de fútbol, el ítem indaga por el número de goles anotados, durante la primera ronda de un campeonato mundial en uno de los grupos, cuando se sabe el número de equipos de cada grupo y el promedio de goles por partido.

Para dar solución al problema, el estudiante debe, inicialmente, determinar que en el grupo se jugaron 6 partidos puesto que en cada grupo hay 4 equipos y cada uno de ellos juega 1 vez contra los otros, este conteo puede realizarse mediante la construcción del listado de partidos

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Por lo tanto en total se juegan 6 partidos.

O de manera más formal, encontrando el número de combinaciones sin repetición que se pueden hacer con cuatro equipos para formar grupos de 2

Posteriormente, teniendo en cuenta que el promedio de goles por partido fue de 2,5 y que se jugaron 6 partidos debe efectuar 2,5 x 6 para concluir que el número de goles anotados en este grupo fue de 15.

Tal vez, por ser una pregunta cuya respuesta no es inmediata pues la estrategia de solución exige tanto la aplicación de diferentes conceptos asociados con el pensamiento aleatorio, como la aplicación de un proceso de reversibilidad (el rela-cionado con el concepto de promedio) solamente un 27% de los estudiantes seleccionó B la opción correcta.

Los estudiantes que seleccionaron otras opciones, posiblemente no entendieron las condiciones del problema, pues como puede observarse éste no presenta dificultad de tipo operatorio. Un alto porcentaje de estudiantes, el 42%, seleccionó la opción A, que resulta de multiplicar el promedio de goles por el número de equipos del grupo. El 21% seleccionó la opción C que resulta de adicionar algunos números que aparecen en la lectura inicial, Los estudiantes que seleccionaron la opción D, el 10%, multiplicaron el número de partidos –6- por el número de equipos de cada grupo –4-.

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La probabilidad de que en un mundial el equipo campeón, no sea uno de los equipos cabeza de grupo es

A. 87

B.81

C.43

D.41

Componente: Aleatorio Porcentaje por opciones de respuestaCompetencia: Solución de problemas A B C DClave: C 14 32 22 31

Este ítem está relacionado con el cálculo de la probabilidad de eventos y el uso de conceptos básicos de probabilidad. Exige el planteamiento y solución de un problema a partir de situaciones o contextos externos a la matemática.

Para resolverlo el estudiante debe tomar el total de los equipos 32 y restar los 8 cabeza de grupo, quedan 24 (casos favo-rables al evento: no ser cabeza de grupo). La probabilidad es entonces

por lo tanto la opción correcta es la C que fue elegida por el 22% de los estudiantes.

El 32% de los estudiantes seleccionó la opción B posiblemente pensando que como hay 8 equipos cabeza de grupo

cada uno tiene de probabilidad de ser campeón, no interpretan la condición del problema o simplemente los atrae el

8, algo similar pudo pasar con el 14% que selecciono A. Respecto a la opción D hubo un porcentaje alto que pensó en la

probabilidad del complemento , pero, en este caso no interpretan la negación, y calculan la probabilidad de que

un equipo cabeza de grupo sea campeón.

Nótese que se indaga por una probabilidad muy fácil de calcular, que debería resultar familiar para los estudiantes, sin embargo es probable que la dificultad aumente por el tipo de contexto empleado, que si bien es conocido, seguramente no se usa para indagar por conceptos de probabilidad. Es importante insistir que la noción de probabilidad debe introducirse en los primeros grados, de tal manera que un estudiante al terminar su secundaria pueda además resolver problemas de probabilidad condicional y a través del uso de herramientas más sofisticadas.

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En la siguiente gráfica se muestra el número total de partidos jugados y el número total de goles anotados en algunos de los campeonatos mundiales de fútbol.

.

El promedio de goles por partido fue mayor en el campeonato mundial de

A. España 82.B. México 86.C. Italia 90.D. Francia 98.

Componente: Aleatorio Porcentaje por opciones de respuestaCompetencia: Comunicación A B C DClave: A 19 2 6 72

Utilizando como contexto información numérica que aparece en un diagrama de barras, referente al número de goles y al número de partidos jugados en diferentes campeonatos mundiales de fútbol, la pregunta indaga por el campeonato con mayor promedio de goles. Esta pregunta explora la capacidad del estudiante para interpretar diferentes tipos de represen-tación de información numérica, específicamente un diagrama de barras; está asociada con estándares relacionados con conceptos de medidas de tendencia central.

Para dar solución a la pregunta, el estudiante debe aplicar el concepto de promedio hallando el mayor de los cocientes obtenidos al dividir el número de goles entre el número de partidos, en cada uno de los campeonatos mundiales, aunque basta con hacerlo con los datos de los mundiales que aparecen en las opciones de respuesta. Una correcta interpretación de la información le permite descartar los campeonatos de Italia 90 y México 86 en los cuales se jugó el mismo número de partidos que en España 82 pero con menos goles en total. De manera que para seleccionar la respuesta correcta debe determinar que el cociente 146/52 correspondiente al promedio de goles en España 82 es mayor que el cociente 171/64 correspondiente a Francia 90.

Únicamente el 19% de los estudiantes interpretó la información y aplicó correctamente el concepto de promedio seleccio-nando España 82, la opción correcta. La mayoría de los estudiantes, el 72%, seleccionó la opción D Francia 98, es posible

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que hayan asociado el mayor número de goles al mayor promedio, es decir, consideraron que por ser la barra del número de goles la más alta, este campeonato era el de mayor promedio de goles. Esto muestra que si bien se está trabajando en las aulas la lectura de gráficas de barras, se hace de manera muy inicial y tradicional, es decir traducir el valor que muestra la barra, pero es necesario introducir más problemas que requieran usar la información para llegar a otro tipo de conclusiones y que involucren otros conceptos.

4. Conclusiones y recomendaciones

El promedio de la prueba en ambos calendarios ha seguido aumentando en los últimos dos años, destacándose especialmente calendario B con aproximadamente 5 puntos, aunque también es el calendario en el que más aumenta la dispersión. Esto muestra que el incremento del promedio se debe a que un grupo de personas obtiene mejores resultados pero se abre más la brecha entre altos y bajos puntajes. Como se dijo en el documento de análisis de resultados del año 2005, las practicas de aula deben encaminarse a promover desarrollos significativos en toda la población.

Aproximadamente el 95% de los estudiantes siguen ubicándose en el nivel medio y más del 50% de la población sólo alcanza puntajes hasta de 50 puntos y más del 90% llega sólo hasta 65 puntos. Esto ratifica que aunque el promedio nacional se ha incrementado, una gran mayoría de la población se ubica en puntajes de la categoría media. Es necesario seguir trabajando en las aulas en el fortalecimiento de conceptos básicos de la matemática escolar, conceptos que deben ser claros para cualquier estudiante que termina su secundaria y que debe darle la posibilidad de usarlos de manera significativa en diferentes situaciones, como las propuestas en el examen. Sola-mente mediante el fortalecimiento de los aspectos básicos será posible que los estudiantes se enfrenten con éxito a situaciones no rutinarias que les exigen poner en práctica diferentes conceptos, relacionarlos y utilizar diversas estrategias de solución para llegar a la respuesta correcta.

En profundización, por ser una prueba opcional se esperaría que los resultados fueran más altos. Sin embargo, en el 2006 el 13.5% de los estudiantes de calendario B y el 34% de los de calendario A quedaron ubicados en grado básico, es decir no alcanzaron los requisitos mínimos del primer grado. En contraste tan sólo el 15% de los estu-diantes de calendario B y el 2% de los de calendario A se ubicaron en el grado superior, grado III.

Respecto al componente numérico-variacional, se aprecia un manejo adecuado de información numérica presen-tada en gráficas o tablas, pero un número importante de los estudiantes no dan significado alguno al concepto, ni diferencian propiedades de los sistemas numéricos. Es el caso por ejemplo de los números reales, las preguntas referidas a su representación y estructura resultaron de especial complejidad. Se requiere un trabajo más cuidadoso con este concepto, que va mas allá de la introducción prematura de una árida clasificación. No hay que olvidar que este concepto es justamente uno de los pilares para la estructuración del pensamiento variacional al finalizar la educación media.

El conocimiento que se pone de manifiesto respecto a los modelos funcionales se reduce generalmente al modelo lineal, los otros modelos generan problemas en el análisis y la representación. Sin embargo, las preguntas que indagan sobre variación lineal revisten dificultad para un grupo importante, este es un punto que merece atención, desde los grados de la básica, no es pertinente introducir listados de funciones diversas para manipular algebrai-camente sin que se haya logrado la apropiación del modelo fundamental.

Respecto al componente geométrico-métrico los estudiantes reconocen figuras planas, usan algunas de sus propie-dades y determinan áreas de figuras simples. Sin embargo tienen dificultades cuando se trata de aplicar resultados básicos como el teorema de Pitágoras en contextos no rutinarios, es necesario proponer más y variados problemas de aplicación en diversidad de situaciones, con miras a que el estudiante profundice en los conceptos y relaciones.

Es de anotar que los teoremas básicos de semejanza y los del seno y el coseno se presentaron explícitamente (en profundización) con el objeto de apreciar la interpretación y aplicación, pero este análisis resulto muy complejo. Sería

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pertinente que en las aulas se planteen situaciones en las que se propongan definiciones, se analicen enunciados diversos donde se expresen condiciones, negaciones y se trabaje con proposiciones diversas relativas al pensamiento espacial. Es importante destacar que las herramientas de la lógica formal se construyen al interior de cada uno de los pensamientos no esquemáticamente en apartes dispersos del currículo.

En cuanto al componente aleatorio se refiere, se aprecia que en las aulas se está trabajando la lectura de gráficas, el uso de información tabular y gráfica y algunos aspectos relativos a las medidas de tendencia central, especialmente el promedio. Pero posiblemente falta ir más halla del cálculo, pues los estudiantes evaluados presentan dificultad para usar información y llegar a conclusiones, y en las preguntas que lo requerían tienen problemas para dar significado a las medidas de tendencia central y discutir su pertinencia.

Un aspecto que posiblemente no se trabaja en las aulas y es muy importante en el desarrollo del pensamiento aleatorio, por la diversidad y riqueza de aplicaciones, es el relacionado con las nociones iniciales de conteo. Los problemas planteados sobre este tópico que se consideraban de un primer nivel de dificultad resultaron muy complejas, es posible que esto este relacionado con la poca o inexistente experiencia de trabajo con este tipo de tarea. Algo similar sucedió con las nociones iniciales de probabilidad, es importante que los docentes revisen los currículos, su coherencia con los Estándares Básicos de Competencias y que todos los aspectos mencionados sean ampliamente trabajados en los diferentes grados.

5. Bibliografía

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icfes 2006 matematica

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