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Scientia Et Technica

ISSN: 0122-1701

[email protected]

Universidad Tecnológica de Pereira

Colombia

MEZA C., LUIS GREGORIO; ARDILA U., WILLIAM; BOTERO A., MARCELA

METODOLOGÍA APLICADA EN EL CÁLCULO DE LA INCERTIDUMBRE DE MEDICIÓN

Scientia Et Technica, vol. XV, núm. 42, agosto, 2009, pp. 230-235

Universidad Tecnológica de Pereira

Pereira, Colombia

Disponible en: http://www.redalyc.org/articulo.oa?id=84916714043

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Scientia et Technica Año XV, No 42, Agosto de 2009. Universidad Tecnológica de Pereira. ISSN 0122-1701 230

Fecha de Recepción: 8 de junio de 2009Fecha de Aceptación: 13 de julio de 2009

METODOLOGÍA APLICADA EN EL CÁLCULO DE LA INCERTIDUMBREDE MEDICIÓN

Methodology applied in the calculation of the uncertainty of measurement

RESUMENEn el presente artículo se explican cada una de las etapas que sedeben seguir cuando se desea realizar el cálculo de unaincertidumbre de medida tal como lo indica la Guía TécnicaColombiana GTC 51 [1]. Además se muestra un ejemplo deaplicación que permite observar de manera práctica la forma deobtener la incertidumbre de una medición.

PALABRAS CLAVES: Error, Exactitud, Resolución, División deescala, Desviación estándar, Incertidumbre, Incertidumbre TipoA, Incertidumbre Tipo B, Incertidumbre combinada, Gradosefectivos de libertad, Incertidumbre expandida.

ABSTRACTIn this article we explain each step to be followed when you wantto calculate a measure of uncertainty as indicated by theColombian Technical Standard NTC 2194 [1]. In addition, asample application that shows a practical way to get theuncertainty of a measurement.

KEYWORDS: Error, Accuracy, Resolution, Division of scale,standard deviation, uncertainty, uncertainty Type A, Type BUncertainty, Uncertainty combined effective degree of freedom,expanded uncertainty, Accreditation.

LUIS GREGORIO MEZAC.Ingeniero ElectricistaMagister en InstrumentaciónFísicaProfesor AuxiliarUniversidad Tecnológica [email protected]

WILLIAM ARDILA UMáster en FísicaProfesor AsociadoUniversidad Tecnológica [email protected]

MARCELA BOTERO AIngeniero ElectricistaProfesor AsistenteUniversidad Tecnológica [email protected]

1. INTRODUCCIÓNCuando se miden magnitudes físicas, es muyimportante reportar el resultado de dichamagnitud indicando su nivel de confianza paraque esta magnitud pueda ser comparada conmagnitudes de la misma clase y con magnitudesestándar dadas en normas o especificaciones.El nivel de confianza de una medida seencuentra determinado por su incertidumbre, lacual es calculada y expresada siguiendoprocedimientos que se encuentran normalizadosen guías técnicas. Estos procedimientos debencumplir los siguientes requisitos:

• Ser universales, es decir, que se puedanutilizar para todo tipo de datos obtenidosmediante cualquier método de medición.

• Ser internamente consistentes, o sea,que se puedan obtener a partir de todas lascomponentes que contribuyen con laincertidumbre sin importar la forma en que estascomponentes se encuentren agrupadas, ni delmétodo en que éstas se subdividen en otrascomponentes.

• Ser transferibles, esto significa que laincertidumbre calculada para cierto tipo de

magnitud pueda ser utilizada para estimar elvalor de la incertidumbre de otra magnitud quedependa de ésta.

Con el objeto de garantizar un procedimientoque cumpla con todos los requisitos expuestosanteriormente, la “Guía para la expresión de laincertidumbre en las mediciones” [1,3],describe una metodología que permite estimar yexpresar una incertidumbre de medida.

2. DEFINICIONES METROLÓGICAS:A continuación se definen algunos de losconceptos más utilizados al calcular unaincertidumbre de medida de acuerdo con lanorma técnica colombiana NTC 2194 [2].

2.1 Medición: Conjunto de operaciones cuyoobjeto es determinar un valor de una magnitud.Nota. Las operaciones se tienen que efectuar enforma automática [2].

2.2 Error de medición: Resultado de unamedición menos un valor verdadero de lamagnitud por medir [2].

Notas:

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Scientia et Technica Año XV, No 42, Agosto de 2009. Universidad Tecnológica de Pereira. 231


1. Puesto que no se puede determinar un valorverdadero, en la práctica se utiliza un valorconvencionalmente verdadero (véanse losnumerales 2.1.19 y 2.1.20).2. Cuando se necesita distinguir entre “error” y“error relativo”, el primero a veces se denominaerror absoluto de medición. Este no se debeconfundir con el valor absoluto de error, que esel módulo del error.

2.3 Exactitud de la medición: Cercanía delacuerdo entre el resultado de una medición y unvalor verdadero de la magnitud por medir [2].

Notas:

1. El concepto de “exactitud” es cualitativo.2. No se debe usar el término precisión en vezde “exactitud”.

2.4 Incertidumbre de la medición: Parámetro,asociado con el resultado de una medición, quecaracteriza a la dispersión de los valores que enforma razonable se le podrían atribuir a lamagnitud por medir [2].

Notas:

1. El parámetro puede ser, por ejemplo, unadesviación estándar (o un múltiplo dado deella), o la semilongitud de un intervalo quetenga un nivel de confianza determinado.

2. En general, la incertidumbre de la medicióncomprende muchos componentes. Ladistribución estadística de los resultados deseries de mediciones se puede usar para evaluaralgunos de estos componentes, que se puedencaracterizar mediante desviaciones estándarexperimentales. Los otros componentes, quetambién se pueden caracterizar mediantedesviaciones estándar, se evalúan a partir dedistribuciones de probabilidad supuestas,basadas en la experiencia o en otra información.

3. Se entiende que el resultado de la medición esla mejor estimación del valor de la magnitud pormedir, y que todos los componentes de laincertidumbre, incluyendo los ocasionados porefectos sistemáticos, tales como loscomponentes asociados con correcciones y conpatrones de referencia, contribuyen a ladispersión.

2.5 Resolución de un dispositivo indicador:Menor diferencia entre las indicaciones de undispositivo indicador, que se puede distinguir enforma significativa [2].Notas:

1. Para un dispositivo indicador numérico, es elcambio en la indicación cuando la menor cifrasignificativa cambia en una unidad.2. Este concepto se aplica también a undispositivo de registro.

3. CÁLCULO DE LA INCERTIDUMBREAunque se quiera y se tomen todas lasprecauciones para adquirir una mediciónperfecta, esto es imposible ya que en elmomento de medir siempre estarán presentesfactores que son imposibles de controlar.Todos estos factores, son los que hacen quecualquier resultado de medida se encuentreacompañado de una incertidumbre que no esmás que un número que representa todos estosfactores que a su vez muestran que tan confiablees el resultado de la medición obtenida.

Los factores que intervienen en el cálculo de laincertidumbre son:• El método de medición.• El instrumento.• El observador.• Las condiciones ambientales.

Una vez identificadas las posibles fuentes deincertidumbre para una medición, se procede aestimar su incertidumbre siguiendo lossiguientes pasos [1,3]:

3.1 Modelación del procedimiento demedición: En este paso se obtiene la ecuaciónque representa el procedimiento de medida, esdecir, se especifica el mensurando como semuestra en la ecuación 1 [1,3].

3.1.1 Estimación del mensurando Y: Dentrode la modelación del procedimiento demedición es necesario calcular el valor de y dela magnitud de salida Y a partir de los estimados

de las magnitudes de entrada

empleando la misma relación

funcional f como lo muestra la ecuación 2 [1,3].

3.2 Evaluación de las incertidumbresestándar Tipo A y Tipo B.

3.2.1 Evaluación Tipo A de la incertidumbreestándar: Para una magnitud de entrada X quevaría aleatoriamente y que su valor se obtiene apartir de observaciones repetidas, el mejorestimado es la media de las observacionesque se obtiene de la ecuación 3 [1,3].





El mejor estimado de la incertidumbre estándarde Tipo A es la desviación estándar de la media(Sm) de las observaciones que se obtieneutilizando la ecuación 4 [1,3].

(4)

3.2.2 Evaluación Tipo B de la incertidumbreestándar: Cuando solamente se conoce un valorpara la magnitud de entrada X, debe usarse esevalor como estimado x. La incertidumbreestándar se evalúa a partir de la información

que se tenga sobre la variabilidad de losposibles valores de la magnitud.

Los casos en que se puede presentar unaincertidumbre estándar Tipo B y su forma dehallarla, se explica a continuación:

• Caso 1. Si la incertidumbre de unvalor x se obtiene a partir de la especificaciónde un fabricante, o de un certificado decalibración, un manual u otra fuente externa alprocedimiento de medición en que se indiqueque este es un múltiplo de la desviaciónestándar, se obtiene simplemente de dividir laincertidumbre dada entre el factor multiplicativo[1,3].

• Caso 2. La especificación deincertidumbre de un elemento de medición seindica respecto de un nivel de confianza (90%,95%, 99%, etc.), se puede asumir, (salvoindicación contraria), que esta ha sido estimadaen base a una distribución normal, por lo tantopodemos hallar la incertidumbre estándardividiendo por el factor normalizado obtenidode la distribución t de STUDENTcorrespondiente por medio de la ecuación 5[1,3].

• Caso 3. La especificación deincertidumbre no es explícita sino que se da unlímite máximo para el error del instrumento.Esto implica que el comportamiento delinstrumento tiene características de unadistribución tipo rectangular o uniforme dentrode unos límites establecidos. Para este tipo dedistribución, la incertidumbre estándar se estimapor medio de la ecuación 6 [1,3].

• Caso 4. Incertidumbre asociada a laresolución de la indicación de un instrumento demedición. La incertidumbre básica asociada aeste problema se puede obtener considerandoque la información que se pueda contener en laporción menos significativa de la indicación deun instrumento, tiene una función dedistribución tipo rectangular. En el caso de unaindicación digital, la incertidumbre básicacorresponde a la sensibilidad del dígito menossignificativo, dividido entre dos, y divididaentre la raíz cuadrada de tres como se muestraen la ecuación 7 [1,3]..

3.3 Cálculo de la incertidumbre estándarcombinada. La incertidumbre estándarcombinada ( ) o incertidumbre total del

resultado de una medición o magnitud de salidase obtiene combinando apropiadamente lasincertidumbres estándar de los estimados de lasmagnitudes de entrada.La función que relaciona la incertidumbreestándar combinada de la magnitud de salidacon las incertidumbres estándar de lasmagnitudes de entrada se deriva de la Ley de laPropagación de Incertidumbres como lo indicala ecuación 8 [1,3].

Donde u(xi ,xj) es la covarianza, que estimala correlación entre las magnitudes de entrada.Esta última expresión se denomina “Ley generalde la propagación de las incertidumbres” y estádada por la ecuación 9 [1,3].

3.3.1 Magnitudes de entrada nocorrelacionadas: Cuando las magnitudes deentrada son no correlacionadas las covarianzasson cero y la incertidumbre estándar combinadase calcula sólo a partir de las varianzas a travéspor medio de la ecuación 10 [1,3].

3.3.2 Magnitudes de entradacorrelacionadas: Cuando las magnitudes deentrada son correlacionadas la expresión paracalcular la incertidumbre estándar combinada





tiene en cuenta la correlación. La incertidumbreestándar combinada se calcula como la raízcuadrada positiva de la varianza que se calcula asu vez a partir de la ecuación 11 [1,3].

3.4 Cálculo del número efectivo de grados delibertad. Para obtener una mejor aproximaciónen la definición de los intervalos de confianzaen lugar de emplearse la distribución normal serequiere emplear la distribución de Student y elfactor de cobertura entonces se determina apartir del coeficiente t de Student evaluado en elnúmero de grados de libertad efectivos delestimado de salida, o sea, . Loanterior es una consecuencia de que para laincertidumbre estándar combinada lamedida de la incertidumbre es el númeroefectivos de grados de libertad delestimado de salida y que en buena aproximaciónse obtiene combinando los grados de libertad delos estimados xi de las magnitudes de entradaXi. Esa combinación se obtiene a través de lallamada fórmula de Welch-Satterthwaite queestá dada por la ecuación 12 [1,3].

Determinar el número efectivo de grados delibertad de cada distribución teniendo

en cuenta lo siguiente:

• . Evaluaciones Tipo A con

una restricción.• Evaluaciones Tipo A

con m restricciones.• . Cuando se apliquen

distribuciones rectangulares.• . Si se deduce de una

distribución normal para la cual se hantomado suficiente número de datos.

En la Tabla 1, se muestran diferentes valorespara el factor k con un nivel de confianza de95% [1,3].

Grados delibert

ad

k(95%)

Grados delibert

ad

k(95%)

Grados delibert

ad

K(95%)

2 4,3 11 2,2 20 2,093 3,18 12 2,18 25 2,064 2,78 13 2,16 30 2,045 2,57 14 2,14 40 2,02

Grados delibert

ad

k(95%)

Grados delibert

ad

k(95%)

Grados delibert

ad

K(95%)

6 2,45 15 2,13 50 2,01

7 2,36 16 2,12 100 1,984

8 2,31 17 2,11 1,969 2,26 18 2,1 -- --

Tabla 1. Factor k de Student en función delnúmero efectivo de grados de libertad y del

nivel de confianza deseado.

3.5 Cálculo de la Incertidumbre expandida.Aunque la incertidumbre estándar combinadapuede utilizarse para expresar la incertidumbredel resultado de una medición en algunasaplicaciones comerciales, industriales yregulatorias es necesario ofrecer una medida dela incertidumbre que represente a un intervaloalrededor del resultado de la medición dentrodel cual puedan encontrarse los valores querazonablemente pueden ser atribuidos almensurado con un alto nivel de confianza.El resultado de la medición se expresa por tantode la forma Y = y ± U que se interpreta comoque y es el mejor estimado del valor atribuibleal mensurado Y, y que el intervalo definido pory - U ; y + U contiene a los valores que puedenatribuirse razonablemente a Y con un alto nivelde confianza P.

Esa medida de la incertidumbre se denominaincertidumbre expandida (U) que se obtienede multiplicar la incertidumbre estándarcombinada por un factor (k) llamado factor decobertura como se muestra en la ecuación 13[1,3].

(13)

4. Ejemplo de Aplicación. Para calcularla incertidumbre de una resistencia patrón de100 , en un laboratorio de calibración, setomaron 10 mediciones de corriente para 5valores de voltaje diferente utilizando dosMedidores Fluke 45, tal como se muestra en laFigura 3.





Figura 3. Montaje utilizado para el Ejemplo

La temperatura y la humedad relativapromedio, las medidas en el momento de lapráctica, son:

T = 23,9 °CHR = 51,95 %

Los datos obtenidos por medio del montaje dela Figura 3, se encuentran en la Tabla 2.

V (V) I (mA)

2,012320,122 20,122 20,122 20,122 20,122

20,122 20,122 20,122 20,122 20,122

4,00440,04 40,04 40,04 40,05 40,05

40,03 40,03 40,04 40,03 40,04

6,00260,01 60,02 60,01 60,01 60,02

60,01 60,02 60,02 60,02 60,01

8,00280,01 80,02 80,01 80,02 80,01

80,02 80,02 80,01 80,02 80,01

10,007100,06 100,07 100,06 100,06 100,07

100,06 100,06 100,07 100,06 100,07

Tabla 2. Datos para el Ejemplo

El valor promedio del voltaje y la corriente delos datos de la Tabla 2 y el valor de laresistencia calculada con la fórmula de R = V /I, se encuentran en la Tabla 3.

V (V) I (A) R ( )2,0123 0,020122 100,00504,004 0,0400 100,00256,002 0,060015 100,00838,002 0,080015 100,0062

10,007 0,100064 100,0060

Tabla 3. Promedio del Voltaje y la Corrientey cálculo de la Resistencia

Antes de calcular la incertidumbre para laresistencia, es indispensable conocer lasespecificaciones y la resolución con las cualestrabajaron los equipos en cada uno de losvoltajes estudiados. En la Tabla 4 se muestranestos valores.

Voltaje(V)

Voltaje DC (V) Corriente DC (A)Exacti

tudResoluc

iónExacti

tudResoluc

ión2,012

30,025% + 2 0,00001 0,05%

+ 30,00000

1

4,004 0,025% + 2 0,001 0,05%

+ 2 0,00001

6,002 0,025% + 2 0,001 0,05%

+ 2 0,00001

8,002 0,025% + 2 0,001 0,05%

+ 2 0,00001

10,007

0,025% + 2 0,001 0,05%

+ 2 0,00001

Tabla 4. Especificaciones y Resolución delVoltaje y la Corriente

En la Tabla 5, se encuentran los valorescalculados de las incertidumbres Tipo A y TipoB (por exactitud y por resolución) tanto delVoltaje como de la Corriente.

Voltaje = 2,0123 V

Voltaje DC (V) Corriente DC (A)

uA uB1 uB2 uA uB1 uB2

0,0000

0,000406

0,000029

0,0000

0,0000075

0,0000003

Voltaje = 4,004 V



0,0000

0,001733

0,000289

0,0000023

0,0000231

0,0000029

Voltaje = 6,002 V



0,0000

0,002021

0,000289

0,0000017

0,0000289

0,0000029

Voltaje = 8,002 V



0,0 0,002 0,000 0,000 0,000 0,000





000 310 289 0017 0346 0029

Voltaje = 10,007 V



0,0000

0,002599

0,000289

0,0000016

0,0000404

0,0000029

Tabla 5. Incertidumbres Tipo A y Tipo B para elVoltaje y la Corriente

Para el cálculo de la incertidumbre combinadaes necesario conocer las derivadas parciales dela resistencia con respecto al voltaje y a lacorriente, estas derivadas son:

2I

V-

I

Ry

V

1

V

R=

∂

∂=

∂

∂

En la Tabla 6 se muestran los valores de lasderivadas parciales, de la incertidumbrecombinada, de los grados efectivos de libertad,del factor de cobertura k y de la incertidumbreexpandida para cada uno de los valores devoltaje analizados.

Voltaje = 2,0123 V

V

R

∂

∂

I

R

∂

∂ cu( ) efγ k EU (

)

49,697

-4969,9

32

2,0225 2 4,04

Voltaje = 4,004 V

V

R

∂

∂

I

R

∂

∂ cu( )

EU ( )

k EU ( )

24,976

-2497,6

27

4,3871 2 8,77

Voltaje = 6,002 V

V

R

∂

∂

I

R

∂


)

16,663

-1666,3

89

3,4020 2 6,80

Voltaje = 8,002 V

V

R

∂

∂

I

R

∂


)

12,498

-1249,8

44

2,9092 2 5,82

Voltaje = 10,007 V

V

R

∂

∂

I

R

∂

∂ cu( ) efγ k EU ( )

9,994 -999,420 2,6136 2 5,23

Tabla 6. Incertidumbre Combinada y Expandida paracada valor de Voltaje

A manera de resumen, en la Tabla 7 seencuentra el valor de la resistencia con surespectiva incertidumbre para cada valor devoltaje.

Voltaje (V) Resistencia ± Incertidumbre2,0123 100,0050 ± 4,044,004 100,0025 ± 8,776,002 100,0083 ± 6,808,002 100,0062 ± 5,8210,007 100,0060 ± 5,23

Tabla 7. Resistencia con su respectiva Incertidumbre

5. CONCLUSIONES• Al momento de reportar el resultadoobtenido de la medición de una magnitud físicaes indispensable que dicho resultado seencuentre acompañado por su incertidumbrepara que este valor tenga la validez requerida ypueda ser utilizado para su interpretación yanálisis.• La incertidumbre de medida es unindicador de la calidad de la medición ya que seencuentra asociada con los equipos de medidautilizados y con la pericia del metrólogo(metrólogo: persona dedicada a la realización demediciones.• De acuerdo con la tabla 7, el mayorvalor de incertidumbre expandida se obtuvopara valores de voltaje 4,004 V y corriente de0,0400 A. En estos valores de medida puedeobservarse que se tienen aportes deincertidumbre estándar Tipo A debido a lavariación de corriente. Y de las incertidumbresestándar Tipo B debido a las especificaciones deexactitud y a la resolución de los equipos demedida de corriente y voltaje.• A fin de disminuir la duda en losresultados de medida, es recomendable trabajarcon equipos cuyas especificaciones de exactitudsean menores que la de los equipos empleadosen el proceso de medida. Adicionalmente, parabajar los valores de incertidumbre Tipo A, esaadecuado aumentar el número de mediciones.

6. BIBLIOGRAFÍA

[1] GTC 51, Guía para la Expresión deIncertidumbre en Mediciones. 2000: BogotáD.C.[2] Norma NTC-2194 Vocabulario de términosbásicos y generales en metrología.[3] EA 4/02, Expresión of the Uncertainty ofMeasurement in Calibration.



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