i transformée de fourier j -...
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Analyse fréquentielle TF 1D TF 2D Applications
Bases du traitement des images
I Transformée de Fourier J
Nicolas Thome
27 septembre 2016
1 / 60Bases du traitement des images
Analyse fréquentielle TF 1D TF 2D Applications
Transformée de FourierContexte et objectif
I Transformée de Fourier (TF) : outil fondamental en traitementd’images
I Concept abordé durant les 4 prochaines séances :
• Aujourd’hui (cours 3) : présentation de la TF et des applications• cours 4 : numérisation et Transformée de Fourier Discrète (TFD)• cours 5 : filtrage linéaire ⇒ traitement fréquentiel• cours 6 : détection de contours : filtrage (linéaire) particulier
I Aujourd’hui : objectifs• Comprendre l’espace de représentation Fourier
Changement d’espace : temporel (spatial) ⇒ fréquentielEt son intérêt pour des applications en traitement d’images
• Introduction d’outils mathématiques (convolution, Dirac, TFusuelles) importants pour la suite
• Définition et propriétés de la TF 2d (images)Savoir calculer, visualiser et interpréter la TF
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Analyse fréquentielle TF 1D TF 2D Applications
Outline
1 Contexte : Analyse fréquentielle des signaux 1DSérie de Fourier
2 Transformée de Fourier d’un signal 1D continu
3 TF 2D
4 Applications de la TF 2D pour le traitement d’images
3 / 60Bases du traitement des images
Analyse fréquentielle TF 1D TF 2D Applications
Analyse Fréquentielle des signaux
Décomposition en Série de Fourier d’une fonction 1Dpériodique
I Soit x(t) est une fonction réelle (ou complexe) périodique depériode T , on a :
x(t) =12a0 +
k=∞∑k=1
(ak cos(2kπtT
) + bk sin(2kπtT
)) (1)
I les coefficients ak et bk sont calculés par :
ak = 2T
∫ T
0 x(t)cos( 2kπtT )dt
bk = 2T
∫ T
0 x(t)sin( 2kπtT )dt
(2)
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Série de Fourier d’une fonction périodique
Écriture avec amplitude et phase
I Posons rk =√
a2k + b2
k
θk tel que : cos θk = akrk
et sin θk = bkrk,
I La formule (1) devient alors :
x(t) =k=∞∑k=1
rk cos(2kπtT− θk) (3)
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Analyse fréquentielle TF 1D TF 2D Applications
Série de Fourier d’une fonction périodique
Écriture avec l’exponentielle complexe :exp(iz) = cos(z) + i sin(z)exp(kiz) = (cos(z) + i sin(z))k = cos(kz) + i sin(kz)
cos(kiz) = exp(kiz)+exp(−kiz)2 sin(kiz) = exp(kiz)−exp(−kiz)
2i
x(t) = 12a0 +
k=∞∑k=1
(ak cos(2kπtT ) + bk sin(2kπt
T ))
En reportant on obtient :x(t) = 1
2 a0 +k=∞∑k=1
ak2
[exp(
i2πktT
)+ exp
(−i2πkt
T
)]+
k=∞∑k=1
bk2i
[exp(
i2πktT
)− exp
(−i2πkt
T
)]x(t) = 1
2a0 +k=∞∑k=1
exp(
i2πktT
) [ak2 − i bk2
]+
k=∞∑k=1
exp(−i2πkt
T
) [ak2 + i bk2
]k ′ ← −k (2ndesomme), a−k = ak , b−k = −bk
x(t) = 12a0 +
k=∞∑k=1
exp(
i2πktT
) [ak2 − i bk2
]+
k=−1∑k=−∞
exp(
i2πktT
) [ak2 − i bk2
]
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Analyse fréquentielle TF 1D TF 2D Applications
Série de Fourier d’une fonction périodique
Écriture avec l’exponentielle complexe :
x(t) = 12a0 +
k=∞∑k=1
exp(
i2πktT
) [ak2 − i bk2
]+
k=−1∑k=−∞
exp(
i2πktT
) [ak2 − i bk2
]On pose : ck = ak
2 − i bk2 , on a alors :
x(t) =k=∞∑k=−∞
ck exp(2ikπtT
) (4)
avec :
ck =1T
∫ T
0x(t) exp(
−2iπktT
)dt (5)
I Apparition de fonctions de base exp( 2ikπt
T
)avec fréquence k
T < 0
• Pas d’interprétation "physique"• Mais formalisme plus compact, facilitant les calculs (voir
Transformée de Fourier)
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Analyse fréquentielle TF 1D TF 2D Applications
Série de Fourier : Interprétation
Espaces vectoriels et produit scalaire sur les fonctions
I On considère un espace de fonctions (v.s. espace de vecteurs)
I La projection d’une fonction f (t) sur une fonction g(t) est définiepar le produit scalaire, de la manière suivante :
< f , g >=
∫ +∞
−∞f (t) ¯g(t)dt avec f ∈ R (6)
où ¯g(t) est le conjugué de g(t)
I Interprétation de la décomposition en série de fourier :ck = 1
T
∫ T
0 x(t) exp(−2iπktT )dt =< x , exp( 2iπkt
T ) > : projection dela fonction x(t) sur la fonction complexe sinusoïdale exp( 2iπkt
T )
• fréquence "pure" f0 = kT
I On peut montrer que{exp( 2iπkt
T )}, k ∈ {−∞; +∞} forment une
base orthonormée de L2([0,T ]) (exercice)
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Série de Fourier : Interprétation graphique
I Soit un signal x(t)
x(t) =∑k
ck exp(2ikπtT )
ck =< x , exp(2iπktT ) >
exp(2iπk1tT ) exp(2iπk2t
T )
ck1 ck2
exp(2iπk3tT ) exp(2iπk4t
T )
ck3 ck4
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Série de Fourier : Interprétation graphique
Signal x(t) Fonction de base bk = exp(2ikπtT )
x(t) =k=∞∑k=−∞
ck exp(2ikπtT
) ck =< x , exp(2iπktT
) >
=⇒ le produit scalaire ck mesure la similarité entre le signal x(t) àreprésenter et chacune des fonctions sinusoïdales
I Degré de présence de la fréquence "pure" de la fonction exp( 2iπktT )
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Série de Fourier : conclusion
Changement d’espace de représentation
x(t) =k=∞∑k=−∞
ck exp(2ikπtT
) ck =< x , exp(2iπktT
) >
I Toute fonction périodique peut etre reconstruite dans la base deFourier, il suffit de connaître les ck
I Les ck indiquent :
• les composantes fréquentielles contenues dans un signal• leur "niveau" de présence
I Exemple : x(t) = cos(2π tT ) : ck =
{1/2 si k = ±10 sinon
• Projection sur la base des{exp( 2iπkt
T)}, k ∈ {−∞; +∞}
• Projection 6= 0 : seules les fonctions de base exp( 2iπT
) et exp(−2iπT
)
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Analyse fréquentielle TF 1D TF 2D Applications
Outline
1 Contexte : Analyse fréquentielle des signaux 1D
2 Transformée de Fourier d’un signal 1D continuCalcul de la TransforméeOutils Mathématiques & TF usuelles
3 TF 2D
4 Applications de la TF 2D pour le traitement d’images
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Transformée de Fourier d’un signal 1Dcontinu
Décomposition en série de Fourier → Transformée de Fourier
I Tout signal périodique est décomposable en série de Fourier
I Signal non périodique : cas limite d’un signal périodique qd T →∞I Si x(t), n’est pas pérdiodique, il est nécessaire de considérer la
projection du signal sur une base "continue" de fontions au lieu dela base dénombrable
{exp( 2iπkt
T )}, k ∈ {−∞; +∞}
I Définition : la transformée de Fourier X (f ) est donnée par :
X (f ) =
∫ +∞
−∞x(t)e−i2πftdt avec f ∈ R
I Transformée de Fourier d’une fonction : généralisation au cas nonpériodique du calcul des coefficients de Fourier d’une fonctionpériodique.
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Transformée de Fourier d’un signal
Interprétation
X (f ) =
∫ +∞
−∞x(t)e−i2πftdt = 〈x, ei2πft〉 avec f ∈ R
I on projette x(t) sur un ensemble de fonctions continues (i.e. nondénombrables) {exp(2iπft)}, f ∈ {−∞; +∞} , on obtient donc unensemble de projections continues X (f )
I TF : x(t)→ X (f ), X (f ) fonction de la variable continue f .
I X (f ) extrait une information fréquentielle sur le signal x(t)
• La fréquence f est-elle présente dans le signal x(t) ? A quel"degré" ?
• si x(t) est T− périodique, on retombe sur la décomposition enSérie de Fourier : X (f ) = 0 sauf pour f = k
T, k ∈ {−∞; +∞} où
X (f ) = ck
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Analyse fréquentielle TF 1D TF 2D Applications
I Soit un signal x(t)
X (f ) =< x , exp(2iπft) >
exp(2iπf1t) exp(2iπf2t)
X (f1) =< x , exp(2iπf1t) > X (f2) =< x , exp(2iπf2t) >
exp(2iπf3t) exp(2iπf4t)
X (f3) =< x , exp(2iπf3t) > X (f4) =< x , exp(2iπf4t) >
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Transformée de Fourier d’un signal
Interprétation : hautes et basses fréquences d’un signal
I Hautes fréquences de x(t) : X (f ) tq |f | important : variationsrapides du signal ⇒ X (f ) =< x(t); exp(2iπft) > tq |f | gd
I Basses fréquences de x(t) : X (f ) tq |f | faible : variations lentes dusignal ⇒ X (f ) =< x(t); exp(2iπft) > tq |f | faible
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Transformée de Fourier d’un signalRemarque
I Les X (f ) sont des nombres complexes
• La partie réelle XR(f ) =∫ +∞−∞ x(t) cos (2πft) dt est paire
• La partie imaginaire XI (f ) = −∫ +∞−∞ x(t) sin (2πft) dt est impaire
I Deux informations importantes à regarder :
• le module, ou spectre d’amplitude |X (f )| =√
XR(f )2 + XI (f )2 ;• le module représente l’intensité de la projection sur la fonction de
base considérée• la phase Φ(f ) = arctan
(XI (f )XR (f )
).
• la phase représente le déphasage entre x(t) et la fonction de baseconsidérée
I f = 0 : fréquence fondamentale, représente la valeur moyenne dusignal :
X (0) =
∫ +∞
−∞x(t)dt
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Transformée de Fourier InverseInversion de la TF
I On peut reconstruire le signal x(t) à partir de sa représentationfréquentielle X (f ) par la formule :
x(t) =
∫ +∞
−∞X (f )e i2πftdf
I En terme de projection (produit scalaire)
x(t) =
∫ +∞
−∞< x(t); Φf (t) > Φf (t)df (7)
avec Φf (t) = e i2πft
I On peut donc reconstruire le signal par "sommation" desprojections
• Conséquence directe de la projection dans une base orthonormée
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Outline
1 Contexte : Analyse fréquentielle des signaux 1D
2 Transformée de Fourier d’un signal 1D continuCalcul de la TransforméeOutils Mathématiques & TF usuelles
3 TF 2D
4 Applications de la TF 2D pour le traitement d’images
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Analyse fréquentielle TF 1D TF 2D Applications
TF : Outils mathématiques
Produit de convolutionI l’opérateur ? est le produit de convolution entre signaux.
Considérons deux signaux x(t) et y(t), le produit de convolutionentre x et y calculé comme suit :
z = x ? y =
∫ +∞
−∞x(τ)y(t − τ)dτ (8)
I Etapes :
1 Retournement du signal : y(τ)→ y(−τ)2 Translation du signal de t : → y(t − τ)3 Produit entre Translation du signal de t : x(τ)y(t − τ)4 Calcul de l’intégrale de x(τ)y(t − τ)
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Analyse fréquentielle TF 1D TF 2D Applications
Produit de convolution : Illustration
1 Retournementdu signal :g(t)→ g(−t)
2 Translation dusignal de t :→ g(x − t)
3 Produit entreTranslation dusignal de t :f (t)y(x − t)
4 Calcul del’intégrale def (t)y(x− t)→f ? y(x)
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Propriétés principales de la TF 1d
I Linéarité : TF [ax(t) + by(t)] = aX (f ) + bY (f )
I Contraction du domaine : TF [x(αt)] = 1|α|X
(fα
)I Translation temporelle : TF [x(t − t0)] = X (f ) · e−i2πt0t
I Modulation temporelle : TF[x(t) · e−i2πf0t
]= X (f − f0)
I Produit de convolution (démo en TD) :• TF [x(t) ? y(t)] = X (f ) · Y (f )• TF [x(t) · y(t)] = X (f ) ? Y (f )• Cette propriété est très importante pour le filtrage : correspondance
entre le filtrage spatial et le filtrage fréquentiel (voir le cours 5)
I si x(t) réelle ⇒ symétrie Hermitienne : X (f ) = X ∗(−f ), donc• |X (−f )| = |X (f )| : module pair (idem partie réelle)• Phase et partie imaginaire impaires• Tous les signaux et images sont réels, on aura donc toujours un
module pair |X (−f )| = |X (f )| (symétrie par rapport à l’axe y)
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Transformée de Fourier de signaux usuels 1d
Transformée de Fourier d’une fonction porte
I la fonction "Porte" est définie de la manière suivante :
Rect(t) =
{1 si |t| ≤ 1
20 sinon (9)
I La transformée de Fourier d’un signal porte (fonction rectangle) estun sinus cardinal (démo en TD)
TF[Rect
( ta
)]=
∫ + a2
− a2
e−i2πftdt = asin(πfa)
πfa= a sinc(πfa)
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Analyse fréquentielle TF 1D TF 2D Applications
Transformée de Fourier de signaux usuels 1d
Transformée de Fourier d’une fonction porte
TF[Rect
( ta
)]= a sinc(πfa)
I Très utilisé pour la numérisation des signaux - fenêtrage etéchantillonnage - (voir cours 4)
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Analyse fréquentielle TF 1D TF 2D Applications
Transformée de Fourier de signaux usuels 1d
Transformée de Fourier d’une gaussienne
I La transformée de Fourier d’une gaussiene est une gaussienne
TF[e−b
2t2]
=
√π
|b|e−
π2 f 2b2
I Écart-type de la Gaussienne dans le domaine fréquenctielleinversement proportionnel à l’écart-type dans le domaine temporel
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TF : Outils mathématiques
Distributions : Distribution de Dirac δ(t)
I Définition informelle :
δ(t) =
{O si t 6= 0∞ sinon
avec∫ +∞−∞ δ(t)dt = 1.
I Intuitivement : peut êtreinterprété comme la limited’une fonction porte delongueur nulle :δ(t) = lim
a→0
[ 1aRect
(ta
)].
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TF : Outils mathématiques
Distribution de Dirac δ(t)
I Formellement, δ(t) n’est pas une fonction mais une distribution
• Généralisation de la notion de fonction
I δ(t) joue un rôle central en traitement du signal et des images
• Convolution et TF (ce cours) : δ(t) intervient pour la TF defonctions de base
• Échantillonnage des signaux 1d et 2d (cours 4)
I Propriétés essentielles :
•∫ +∞−∞ δ(t)dt = 1.
• x(t) · δ(t − t0) = x(t0)δ(t − t0)• x(t) ? δ(t− t0) = x(t− t0) : δ(t) élément neutre pour la convolution• Transformée de Fourier :
TF[e2iπf0t
]= δ(f − f0) : fréquence pure f0
TF [δ(t − t0)] = e−2iπft0 : toutes les fréquences présentes
• scaling property : |α| · δ(αt) = δ(t)
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Analyse fréquentielle TF 1D TF 2D Applications
TF 1D : exemples simples
TF d’une fonction cosinus : x(t) = cos(2πfot)
TF [cos(2πfot)] =12· [δ(f − f0) + δ(f + f0)] (10)
w0 = 2πf0 Fréquence pure ±f0I Voir TD : TF réelle
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Analyse fréquentielle TF 1D TF 2D Applications
TF 1D : exemples simples
TF d’une fonction sinus : x(t) = sin(2πfot)
TF [sin(2πfot)] =i
2· [δ(f + f0)− δ(f − f0)] (11)
x(t) = sin(2πfot) Fréquence pure ±f0I Voir TD : TF imaginaire pure
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Analyse fréquentielle TF 1D TF 2D Applications
Transformée de Fourier d’un signal :exemples simples
30 / 60Bases du traitement des images
Analyse fréquentielle TF 1D TF 2D Applications
Transformée de Fourier d’un signal :exemple avec du bruit
31 / 60Bases du traitement des images
Analyse fréquentielle TF 1D TF 2D Applications
Outline
1 Contexte : Analyse fréquentielle des signaux 1D
2 Transformée de Fourier d’un signal 1D continu
3 TF 2DCalcul de la TransforméeDifférences et Similitudes TF 1D vs TF 2D
4 Applications de la TF 2D pour le traitement d’images
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Analyse fréquentielle TF 1D TF 2D Applications
Transformée de Fourier d’un signal 2Dcontinu
Définitions
I Si on considère un signal continu x(t, u), alors sa transformée deFourier X (f , g) est donnée par :
X (f , g) =
∫ +∞
−∞
∫ +∞
−∞x(t, u)e−i2π(ft+gu)dtdu avec (f , g) ∈ R2
I Interprétation : projection de x(t, u) sur un ensemble de fonctions2d de base {exp (2iπ(ft + gu))}, (f , g) ∈ IR2 = images de base
• X (f , g) =< x(t, u); e i2π(ft+gu) > : produit scalaire entre x(t, u) et lafonction 2d e i2π(ft+gu)
33 / 60Bases du traitement des images
Analyse fréquentielle TF 1D TF 2D Applications
Transformée de Fourier d’un signal 2Dcontinu
X (f , g) =< x(t, u); e−i2π(ft+gu)dtdu > : e i2π(ft+gu) image de base
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Analyse fréquentielle TF 1D TF 2D Applications
Transformée de Fourier d’un signal 2Dcontinu
Définitions
I Partie réelle XR(f , g) =∫ +∞−∞
∫ +∞−∞ x(t, u) cos (2π(ft + gu)) dtdu
paire.
I Partie imaginaireXI (f , g) = −
∫ +∞−∞
∫ +∞−∞ x(t, u) sin (2π(ft + gu)) dtdu impaire.
I Module, ou spectre d’amplitude|X (f , g)| =
√XR(f , g)2 + XI (f , g)2.
I Phase Φ(f , g) = arctan(
XI (f ,g)XR (f ,g)
).
I La fréquence fondamentale, pour f = g = 0,X (0, 0) =
∫ +∞−∞
∫ +∞−∞ x(t, u)dtdu
35 / 60Bases du traitement des images
Analyse fréquentielle TF 1D TF 2D Applications
Transformée de Fourier d’un signal 2Dcontinu
Reconstruction
I On peut reconstruire le signal x(t, u) à partir de sa représentationfréquentielle X (f , g) par la formule :
x(t, u) =
∫ +∞
−∞
∫ +∞
−∞X (f , g)e i2π(ft+gu)dfdg
I Conséquence directe de la projection dans une base orthonormée :
x(t, u) =
∫ +∞
−∞
∫ +∞
−∞< x(t, u); Φf ,g (t, u) > Φf ,g (t, u)dfdg (12)
avec Φf ,g (t, u) = e i2π(ft+gu)
36 / 60Bases du traitement des images
Analyse fréquentielle TF 1D TF 2D Applications
Transformée de Fourier d’un signal 2D
Composantes fréquentielles en 2d
I Basses fréquences spatiales : f 2 + g2 faible
I Hautes fréquences spatiales : f 2 + g2 élévé
37 / 60Bases du traitement des images
Analyse fréquentielle TF 1D TF 2D Applications
TF 2D : un premier exemple
x(t, u) = cos(2πf0t)
X (f , g) = δ(f−f0)+δ(f+f0))2
(voir TD)
TF [A cos [2πfo (x cos(θ) + y sin(θ))]] = ? ? (Voir TD)38 / 60
Bases du traitement des images
Analyse fréquentielle TF 1D TF 2D Applications
TF 2D : un second exemple
Fonction Porte 2D : x(t, u) = Rect(tT
)· Rect
(uT
)
x(t, u)
X (f , g)X (f , g) sinc 2D (voir TD)
39 / 60Bases du traitement des images
Analyse fréquentielle TF 1D TF 2D Applications
Outline
1 Contexte : Analyse fréquentielle des signaux 1D
2 Transformée de Fourier d’un signal 1D continu
3 TF 2DCalcul de la TransforméeDifférences et Similitudes TF 1D vs TF 2D
4 Applications de la TF 2D pour le traitement d’images
40 / 60Bases du traitement des images
Analyse fréquentielle TF 1D TF 2D Applications
Transformée de Fourier d’un signal 2D
Passage du 1D au 2D
I La TD 2D : une extension assez naturelle de la TF 1D
• Beaucoup de propriétés communes• Quelques spécificités liées au 2D
I TF 2D : ∼ 2 TF 1D sucessives (voir TD )
• X (f , g) = TF [Z(f , u)] : extension directe 1D
I Si x(t, u) séparable x(t, u) = z(t) · k(u), on a :X (f , g) = Z (f ) ·K (g), avec Z (u) = TF [z(t)] et K (g) = TF [k(u)]
• Produit simple de 2 TF 1D
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Analyse fréquentielle TF 1D TF 2D Applications
TF 1D et 2D : propriétés communes
TF continue 1D TF continue 2Dx(t) X(f) x (t,u) X(f,g)
1 x(t) + λy(t) X (f ) + λY (f ) x(t, u) + λy(t, u) X (f , g) + λY (f , g)
2 x(t − t0) X (f ) e−2iπft0 x(t − t0, u − u0) X (f , g) e−2iπ(ft0+gu0)
3 x(αt) 1|α|X ( f
α) x(αt, βu) 1
|α||β|X ( fα, gβ)
4 x(t) ? y(t) X (f ) · Y (f ) x(t, u) ? y(t, u) X (f , g) · Y (f , g)5 x(t) · y(t) X (f ) ? Y (f ) x(t, u) · y(t, u) X (f , g) ? Y (f , g)
Table – Propriétés des TF continues 1D et 2D
1 linéarité
2 translation
3 contraction
4 convolution
5 produit
42 / 60Bases du traitement des images
Analyse fréquentielle TF 1D TF 2D Applications
TTF 1D et 2D : propriétés communes
Illustration des propriétés
43 / 60Bases du traitement des images
Analyse fréquentielle TF 1D TF 2D Applications
TF : spécificités de la 2D
Notion de fréquence spatiale
I Image : I : (x , y)→ I (x , y) : fonction 2d à valeur dans IR
I Fréquence spatiale : "vitesse" de variation du signal I(x,y)(luminance) par rapport aux variables spatiale (x,y)
Basse fréquence spatiale Haute fréquence spatiale
44 / 60Bases du traitement des images
Analyse fréquentielle TF 1D TF 2D Applications
TF : spécificités de la 2D
Notion de fréquence spatiale
I Images réelles : signaux non stationnaires
I 6= fréquences spatiales (hautes/basses) dans 6= régions
45 / 60Bases du traitement des images
Analyse fréquentielle TF 1D TF 2D Applications
TF : spécificités de la 2D
RotationI Une rotation d’angle α dans le domaine spatial se traduit par une
rotation d’angle α dans le domaine fréquentiel
TF [x (t cos θ + u sin θ,−t sin θ + u cos θ)] = X (f cos θ + g sin θ,−f sin θ + g cos θ)
I Important : la réponse fréquenielle de X (f , g) comporte uneinformation structurelle sur la direction des fréquences spatiales
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Analyse fréquentielle TF 1D TF 2D Applications
TF 2D : exemple de rotation
47 / 60Bases du traitement des images
Analyse fréquentielle TF 1D TF 2D Applications
TF 2D : rotationI Important : la réponse fréquenielle de X (f , g) comporte une
information structurelle sur la direction des fréquences spatialesI Exemples sur des textures
I Les lignes directrices fortement représentées dans les images sontmises en valeur dans les spectres
48 / 60Bases du traitement des images
Analyse fréquentielle TF 1D TF 2D Applications
Exemples sur des images réelles
I Les lignes directrices fortement représentées dans les images sontmises en valeur dans les spectres
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TF 2D : Visualisation
Spectre centré : matlab
I Fonction matlab pour le calcul de la FT 2D : fft2
• fft2 Transformée de Fourier discrète (DFT) → voir cours 4
I fft2 :origine du spectre (composante continue) : en haut à gauche
I Plus naturel de voir l’origine des fréquences au centre du spectreI Ne change pas le contenu dans le spectre,
juste son agencement
I Opération de centrage : multiplier chaquepixel de coordonnées (i , j) par (−1)i+j
I Cela met en avant la propriété de symétriedes spectres par rapport à F (0, 0) :|F (u, v)| = |F (−u,−v)|
I Fonction fftshift sous matlab
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Spectre centré : illustration
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Visualisation de la TF 2Dhautes/basses fréquences sur les images réelles
I énergie BF >> HF ⇒ visualiser 1 + log(|X (f , g)|)
|X (f , g)| 1 + log(|X (f , g)|)52 / 60
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Outline
1 Contexte : Analyse fréquentielle des signaux 1D
2 Transformée de Fourier d’un signal 1D continu
3 TF 2D
4 Applications de la TF 2D pour le traitement d’images
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Utilisation de la TF pour les images
I Transformée de Fourier : représentation fréquentielle d’une imageI On passe dans un autre espace de représentation, rappel en 1D :
1 Représentation temporelle : décomposition de la fonction sur unebase de distributions de dirac :
x(t) = x(t) ? δ(t) =
∫Rx(u)δ(t − u)du (13)
2 Représentation fréquentielle : décomposition de la fonction sur unebase de fonctions sinusidales (Fourier)
x(t) =
∫RX (f )e2iπftdf (14)
I Utilisation de la TF ⇒ Hypothèse fondamentale : espace fréquentiel> espace temporel pour représenter les données• espace fréquentiel plus efficace pour séparer l’information "utile" de
l’information "inutile"• "utile"/inutile dépendant du contexte applicatif visé
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Applications de la TF
Débruitage
I Formulation du problème : isoler le signal du bruit
I Hypothèse : le bruit et le signal utile vont être portés par descomposantes fréquentielles 6= : signal ⇔ BF, bruit ⇔ HF
I Méthodologie du débruitage : composantes fréquentielles correspondaux hautes fréquences ← 0
Image originale Image bruitée Image débruitée
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Applications de la TF
Compression
I Formulation : représenter efficacement le signal (peu decomposantes)
I Hypothèse : Hautes Fréquences : énergie négligeable
I Méthodologie : ne conserver que les BF
Image brute Image compressée (/2)⇒ Idée à la base de la norme JPEG, voir TME 4
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Applications de la TF
De nombreuses autres utilisations de l’analyse fréquentielle
I Débruitage, compression, restauration : opérations bas niveau
I TF aussi beaucoup utilisée pour des tâches plus haut niveau
I Filtrage linéaire (cours 5) : covolution domaine spatial ↔multiplication domaine Fourier : opérations duales
I Filtrage : étape préliminaire à de très nombreuses applications entraitement d’images, e.g. reconnaissance des formes :
• Détection de contours (cours 6), détection et description de pointsd’intétêt, e.g. Harris, SIFT (cours 7-8), représenter texture, etc
TF : bilanI TF bien adapté pour représenter les signaux
1 réguliers2 périodiques, stationnaires
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TF : limites
Signaux non stationnaires
I TF : on connait les fréquences spatiales de l’image
• perte totale de l’information de localisation (spatiale) des fréquences
I Images : contenu fréquentiel différent dans différentes régions
I Avoir des espace de représentation temps (espace)-fréquences
• e.g. ondelettes
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TF : limites
Signaux non réguliers
I TF : nécessite un nombre ∞ de coeffs pour représenter desfonctions non dérivables
• phénomène de Gibbs
I Pas adapté pour tout ce qui est contours dans les images
I JPEG par adapté pour la compression des images comportantbeaucoup de contours (e.g. texte)
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