i sistemi lineari equazione lineare a due incognite sia ax+by=c con a e b non entrambi nulli,...
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I SISTEMI LINEARII SISTEMI LINEARI
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EQUAZIONE LINEARE A DUE INCOGNITE
Sia
ax+by=c
con a e b non entrambi nulli, un’equazione lineare nelle incognite x,y.
La coppia (x,y) di valori che verifica l’equazione è detta soluzione dell’equazione.
, ,a b c R
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Indica due numeri la cui somma è
cinque
X+y=51 e 4
3 e2
3,2 e 1,8
0 e 5
-1 e 6
L’equazione x+y=5 è soddisfatta da infinite coppie di valori
… …
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Ogni equazione lineare in due incognite ammette infinite soluzioni.
Ci poniamo il seguente problema: è possibile trovare soluzioni comuni a due equazioni lineari? Questo problema è formalizzato dal
sistema di equazioni
Due sistemi si dicono equivalenti se hanno le stesse soluzioni.
Una coppia ordinata (h,k) che soddisfa ciascuna delle equazioni del sistema è detta soluzione del sistema.
1 1 1
ax by c
a x b y c
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I SISTEMI LINEARII SISTEMI LINEARIUn sistema lineare è l’intersezione di due o più equazioni di primo grado. in simboli:
Risolvere un sistema significa determinare l’insieme delle sue soluzioni.
Si dice che un sistema è:
IMPOSSIBILE se non ha soluzioni ; DETERMINATO se ha una soluzione; INDETERMINATO se ha un numero infinito di soluzioni.
1 11
, , 0 0
ax by c
a x b y c
a b c Ra b
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Se un’equazione di un sistema viene sostituita da un’equazione ad essa equivalente, si ottiene un sistema equivalente a quello dato.
Se si risolve un’equazione rispetto ad una incognita e si sostituisce l’espressione ottenuta nell’altra equazione ,si ottiene un sistema equivalente a quello dato.
Se si sostituisce un’equazione di un sistema con un’altra ottenuta da una combinazione lineare delle equazioni del sistema stesso, si ottiene un sistema equivalente al sistema dato.
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RAPPRESENTAZIONE GRAFICA di un sistema lineare
y
x
r s
r s
y
x P=r∩s r=s Ø
SistemaDeterminat
o(rette
incidenti)
SistemaIndetermina
to(rette
coincidenti)
SistemaImpossibile
(rette parallele)
y
x
P
r
s
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Metodi algebrici per risolvere
un sistema lineare
Metodo di sostituzione
Metodo delconfronto
Metodo diriduzione
Metodo di Cramer
Metodo grafico
(fai clic sulle parole per la spiegazione del metodo)
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METODO DI METODO DI SOSTITUZIONESOSTITUZIONE
Per risolvere un sistema di due o più equazioni lineari si devono seguire i seguenti passi:
1. Si riduce il sistema a forma normale;
2. Si risolve una delle due equazioni rispetto ad una delle incognite,
per esempio si calcola la x dalla prima equazione:
3. Si sostituisce nell’altra equazione al posto della “x” l’espressione –by+c
a
4. Si risolve l’equazione lineare in y e, detto y=β il valore trovato,si sostituisce tale valore nella prima equazione per determinare il valore numerico di x.
111 cxbxa
cbyax
111 cybxaacby
aax
111 )( cyba
cbya
a
cbyx
ya
c
a
bx )(
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METODO DEL CONFRONTO
1. Si deve scegliere la stessa incognita sia nella prima che nella seconda equazione;
2. Uguagliare le due espressioni al secondo membro;
3. Risolvere l’equazione che si presenta con una sola incognita.
4. Si ripete la stessa procedura scegliendo l’altra incognita in entrambe le equazioni e si ripercorrono i passi 1,2,3.
1
11
a
cyb
a
cby
a x
a
1
by c
a
a
1
x
a
1 1
1
b y c
a
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METODO DI RIDUZIONE METODO DI RIDUZIONE
Spiegheremo il metodo di riduzione con un esempio. Analizziamo il seguente sistema:
074y2x
065y2x
In questo sistema l’incognita x presenta coefficienti opposti nelle due equazioni, per cui sommandole membro a membro si riducono ad un’equazione in y.
Analogamente è possibile eliminare l’incognita y moltiplicando la prima equazione per 4 e la seconda per 5
01
0742
0652
y
yx
yx
Y= -1
0352010
024208
yx
yx
-2x // -11=0 X=11/2
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In generale, per risolvere un sistema lineare mediante il metodo di riduzione:
Determinare il m.c.m. dei coefficienti della x nelle due equazioni;
Dividere tale m.c.m. per il coefficiente della x della prima equazione e,successivamente, moltiplicare il quoto ottenuto per tutti i termini della prima equazione;
Dividere il m.c.m. determinato per il coefficiente della x della seconda equazione eMoltiplicare il quoto ottenuto per tutti i termini della seconda equazione;
Verificare che i coefficienti di x siano uguali e di segno contrario, altrimenti cambiare di segno a una delle due equazioni;
Addizionare le equazioni termine a termine;
Determinare il valore di y;
Ripetere i passi precedenti per la variabile y.
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RISOLUZIONE GRAFICA
r
x y
0 2
-2 0
s
x y
0 5
2 5
Sia da risolvere il seguente sistema:2
5 2.5 12.5
x y
x y
1. Disegnare la retta a :x-y=-2
Disegnare la retta b:-5x-2.5y=-12.5
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METODO DI METODO DI CRAMERCRAMER
Per prima cosa si deve costruire una matrice: entità matematica costituita da un insieme di numeri, disposti ordinatamente secondo righe e colonne.
Poi si deve trovare il determinante: si moltiplicano i termini della diagonale principale e si sottrae il prodotto dei termini della diagonale secondaria.
Successivamente cerchiamo il determinante dell’incognita X e Y
Infine il valore di ciascuna incognita è uguale a una frazione avente al numeratore il determinante di quell’incognita e al denominatore il determinante del sistema.
11 ba
ba
111 cxbxa
cbyax
)()( 11
11
abbaba
baD
)()( 11
11
cbbcbc
bcDx
)()( 11
11
accaca
caDy
D
Dyy
DDx
x
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Santa Castaldi
Anno Scolastico 2007/2008