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SDR. Oltre le HF
Nico Palermo, IV3NWV
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Quale architettura?• Conversione in IF con campionamento a larga banda
• Conversione a Zero IF con campionamento IQ in banda base
• Campionamento diretto / sottocampionamento
=> Pro e contro da valutare attentamente
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Conversione in IF con campionamento a larga banda
• Esempio : Convertitore analogico FM+ e Perseus usato come campionatore IF WB
Pro:– Buon range dinamico (>90 dB) e BDR (>115 dB)
– ottimo SFDR
Contro:– Problema reiezione immagini
– Banda RF << Frequenza di campionamento
– Fc = 80 MHz => Banda = 20/25 MHz max
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Conversione a Zero IF con campionamento IQ in banda base• Esempio : FUN Cube
Pro:– Copertura a larga banda
– Semplicità di realizzazione
Contro:– Dinamica limitata da rumore di fase OL (-110 dBc/Hz @
100 kHz con BW=27 dBHz => BDR = 83 dB max!!!)
– Limitata banda in uscita (campionamento con schede audio). Accesso a sistemi a larga banda impossibile.
– Bilanciamento IQ e rumore Z-IF
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Campionamento diretto Sottocampionamento
• Esempio : Gemini / P+
Pro:– Dinamica eccellente – Mixing reciproco trascurabile (-145 dBc/Hz @ 100 kHz)
Contro:– Costo (ADC, clock, FPGA @ 150-400 MHz)
– Copertura continua solo fino a circa Fc/3
– Complessità pilotaggio ADC
– Attenzione a SDFR!!!
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Criticità in ricevitori V/UHF a campionamento diretto
1. Non linearità del convertitore A/D più marcate
2. Feedback con linee digitali più marcato
3. Rumore di fase del clock di pilotaggio del convertitore
4. Pilotaggio del convertitore A/D
5. Necessità di filtri di preselezione migliori per funzionamento oltre la prima zona di Nyquist
6. Circuiti di alimentazione (regolatori lineari o switching?)
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Non linearità nei convertitori A/D veloci
• Dispositivo analogico (es. mixer, PA, LNA, ecc…):• La funzione di trasferimento istantanea può essere sviluppata in serie
di potenze del segnale d’ingresso:
– y(x) = x + k3·x3 + k5·x5 + ….
– Servono pochi termini per descrivere accuratamente il comportamento non lineare finchè il dispositivo non satura
• Convertitore A/D veloce:• Architettura “pipeline” a stadi di quantizzazione in cascata
• La funzione di trasferimento contiene termini periodici:
– y(x) = x + k1· sin(π ·x) + k2· sin(2 · π ·x) + k3· sin(3 · π ·x) + …
• Al fine della descrizione accurata del comportamento non lineare lo sviluppo in serie di potenze diventa impraticabile
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Un esempio: LTC2206-14
• Evidenti periodicità nella INL del dispositivo,
• Il periodo più evidente è solo una piccola frazione del range di ingresso,
• Impossibile calcolare con accuratezza le distorsioni armoniche con l’approccio usato per i dispositivi analogici
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La trasformata di Chebyshev (1)• Se x(t) è un segnale passa banda:
• x(t) = a(t) ·cos(ωo · t) e
• a(t) è un segnale la cui banda è molto minore della frequenza portante ,
• allora, per calcolare l’ampiezza delle distorsioni armoniche è molto più conveniente sviluppare y(x) come una serie di termini armonici di pulsazione N · ωo con N= 0, 1, 2, 3, ….
• y(x(t)) = 1/2 · y0(a(t)) + y1(a(t)) · cos(ωo · t) + y2(a(t)) · cos(2 · ωo · t) + …
• Le funzioni ym(a) sono chiamate trasformate di Chebyshev di ordine m, della funzione y(x) e si ricavano con la formula integrale:
dmayaym )cos())cos((
1)(
• La trasformata ym(a) è l’ampiezza dell’inviluppo della m-esima armonica in funzione
dell’ampiezza “a” dell’inviluppo del segnale d’ingresso x(t) = a ·cos(ωo · t)
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La trasformata di Chebyshev (2)
• Proprietà notevoli:– Al fine del calcolo di ym(a) non è necessario che la funzione y(x) sia continua o
continuamente derivabile. Nel calcolo, infatti, non è coinvolta alcuna espansione in serie della funzione y(x). E’ sufficiente che essa sia integrabile.
– L’ampiezza di ogni armonica può essere calcolata (abbastanza) agevolmente per non linearità astruse come y = sign(x) o per un limitatore y=x per |x|<1 e |y|=1 per |x|>1.
– Se y(x) non è una funzione continua o continuamente derivabile allora l’ampiezza dell’m-esima armonica, anche a bassi livelli, non va necessariamente come l’m-esima potenza dell’ampiezza dell’inviluppo del segnale d’ingresso.
– Se y(x) è simmetrica (y(x)=y(-x)) le trasformate di indice dispari sono nulle=> nessuna armonica di ordine dispari
– Se y(x) è antisimmetrica (y(x)=-y(-x)) le trasformate di indice pari sono nulle => nessuna armonica di ordine pari
dmayaym )cos())cos((
1)(
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La trasformata di Chebyshev (3)
• E per il calcolo delle intermodulazioni?– Basta ricordare che il termine armonico centrato attorno a ωo vale:
y1 (x(t)) = y1(a(t)) · cos(ωo · t)
– Se a(t) è periodico, come accade in un segnale a due toni con a(t) = A· cos(Δω · t), allora è sufficiente sviluppare y1(a(t)) in termini armonici di pulsazione N ·Δω, N=1,3,5,…(*) per ottenere:
y1 (x(t)) = [y11(A) · cos(Δω · t) + y13(A) · cos(3 · Δω · t) + …] · cos(ωo · t)
Le funzioni y1n(A) sono le trasformate di Chebyshev di ordine n della funzione y1(x), e indicano proprio
l’ampiezza del prodotto di intermodulazione di ordine n quando x(t) = A· cos(Δω · t) · cos(ωo · t)
dmayaym )cos())cos((
1)(
dnayay n )cos())cos((
1)( 11
Nota (*): y1(a) è sempre una funzione antisimmetrica. Le sue trasformate di ordine pari sono nulle.
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Applicazione al caso di un convertitore A/D (1)
• Non linearità di tipo periodico:y(x) = x + k1· sin(x) + k2· sin(2 · x) + k3· sin(3 ·x) +….
• Ogni termine di distorsione sin(m · x) contribuisce alla distorsione.
• Nota la distorsione dovuta al termine sin(x) e facendo uso delle proprietà della trasformata di Chebyshev, ogni termine può essere calcolato semplicemente traslando il contributo dovuto a sin(x) di un fattore m sulla scala delle ascisse.
• Per la funzione y = sin(x), e con riguardo alle intermodulazioni del terzo ordine abbiamo:
daay )cos())cos(sin(
1)(1
dayay )3cos())cos((
1)( 113
Doppio integrale, nel suo calcolo mi ci vedo male! Ma dopo lunghe riflessioni…
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Applicazione al caso di un convertitore A/D (2)
… i due integrali possono essere ridotti a un sistema di equazioni differenziali non lineari e calcolati rapidamente con l’aiuto dell’ODE solver di Matlab.
Risultato:• Fintantoché x<<1 le
distorsioni esibiscono il comportamento classico (sin(x) = x – 1/6*x^3 + ….)
• Quando x>>1 le distorsioni calano al crescere dell’ampiezza d’ingresso:
Trend di -0.5 dB/dB su inviluppo Trend di -1 dB/dB su IMD3
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IMD3 in convertitore A/D(no dithering)
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Dithering su convertitore A/D• Al segnale d’ingresso si aggiunge un segnale casuale di ampiezza opportuna
• Lo scopo è quello di mediare la INL del convertitore affinché, per una data ampiezza A del segnale di ingresso, il valor medio della INL in A sia inferiore a quello che si ha senza dithering.
• Detta p(n) la funzione di densità di probabilità del segnale di dithering n, e y(x) la funzione di trasferimento istantanea del convertitore A/D, risulta:
dnnpnAyAy )()()(
• Se y(x) = sin(k ·x) e p(n) è uniforme con |n|<Vn, si ottiene:
)sin()sin(
)( AkVnk
VnkAy
La non linearità sin(k ·x) risulta ridotta del fattore sin(k ·Vn)/(k ·Vn) !!!
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INL convertitore A/D(con dithering)
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IMD3 convertitore A/D(con dithering)
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Effetti del feedback digitale (1)
IMD non spiegabili con dither interno se non con retroazione
da linee digitali. Quando il dither è sottratto digitalmente (es. LTC220x) queste linee digitali NON commutano in
maniera aleatoria!
Il dither esterno (senza sottrazione) funziona
meglio.Le linee digitali interne
all’AD commutano “quasi” in maniera aleatoria!
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Effetti del feedback digitale (2)
Al crescere della frequenza cresce l’ammontare della retroazione.In V/UHF ci si può aspettare un comportamento simile anche con dithering esterno
(che NON elimina completamente i suoi effetti, li riduce solamente)
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Clock A/D:Liscio, gassato o con Jitter?
• Un convertitore A/D campiona il segnale nell’istante in cui il clock possiede una fase ben precisa (per esempio sul fronte di salita)
• Un errore nell’istante di campionamento si traduce in un errore nell’ampiezza campionata che è proporzionale alla frequenza del segnale campionato
• Gli effetti del rumore di fase del clock di campionamento diventano via via più importanti al crescere delle frequenze in gioco.
• Sì, ma quale rumore di fase? Quello vicino alla frequenza portante o quello lontano da essa?
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Rumore di fase e Jitter (1)• Se il clock è affetto da un errore di fase aleatorio θ(t), possiamo scrivere:
))2
)((2cos())(2cos()(
ccc f
ttfAttfAtc
• All’istante t il clock è affetto da un errore di temporizzazione ε(t):
cf
ttJ
2
)()(
)))((2cos()( tJtfAtc c
cRMS f
tEtJEJ
2
)}({)}({
22
)())(()( tJttJtt • J(t) = Jitter
=>
0)}({0)}({ tJEthentEif
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Rumore di fase e Jitter (2)• L(Δf) = rumore di fase (in dBc/Hz) all’offset di frequenza Δf
• Gθ(Δf)=densità spettrale di potenza di θ(t):
10
)(
10)(
fL
fG
dfdffGtEfL
0
10
)(2 102)()}({
c
fL
RMS f
df
J
2
1020
10
)(
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Rumore di fase e Jitter (3)
• Il rumore di fase L(Δf) di un oscillatore a grandi offset Δf può essere considerato costante. In questo caso :
c
f
f
fL
RMS f
df
ffJ
2
102
),(
max
min
10
)(
maxmin
• Il Jitter degrada il rapporto S/N nel convertitore A/D, così come il rumore di fase di un OL degrada il rapporto S/N a causa del mixing reciproco
• Se siamo interessati alla degradazione S/N lontano dalla frequenza di un segnale interferente dobbiamo considerare solo i contributi del rumore di fase a grandi offset di frequenza:
20minmax 10
2
2 L
cRMS f
ffJ
• Necessità di limitare la banda (fmax) al fine di limitare jitter (filtraggio clock)
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Un caso pratico
• In convertitore A/D:
• VCXO fc=160 MHz
• L = -145 dBc/Hz per Δf>100kHz,
• fmax = 20MHz
20minmax 10
2
2 L
cRMS f
ffJ
psJRMS 354.010101602
10202 20
145
6
6
)2(log20/ 10 RMSinjitter JfNS
Se fin = 144 MHz e BW=500Hz =>• S/N(max) = 69.9 dB !• BDR = 122 dB per Δf>100kHz
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Altre cose cui stare molto attenti1. Pilotaggio del convertitore A/D
2. Necessità di filtri di preselezione migliori per funzionamento oltre la prima zona di Nyquist
3. Circuiti di alimentazione (regolatori lineari o a commutazione?)
..ma qui mi fermo per non annoiarvi ulteriormente
Domande?
Grazie per l’attenzione
Nico, IV3NWV