İÇ KAPAK SAYFASI

ANKARA ÜNİVERSİTESİ

FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

DOKTORA TEZİ

GERİBESLEMELİ DOĞRUSALLAŞTIRMA METODUNA DAYALI DOĞRUSAL OLMAYAN KONTROL TASARIMI

Tuğrul ADIGÜZEL

ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ ANABİLİM DALI

ANKARA 2007

Her hakkı saklıdır

TEZ ONAYI

Tuğrul ADIGÜZEL tarafından hazırlanan “Geribeslemeli Doğrusallaştırma Metoduna Dayalı Doğrusal Olmayan Kontrol Tasarımı” adlı tez çalışması 19/10/2007 tarihinde aşağıdaki jüri tarafından oy çokluğu ile Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Elektronik Mühendisliği Anabilim Dalı’nda DOKTORA TEZİ olarak kabul edilmiştir.

Danışman : Yrd. Doç. Dr. Murat EFE

Jüri Üyeleri:

Başkan: Prof. Dr. Turhan ÇİFTCİBAŞI

Başkent Üniversitesi Elektrik ve Elektronik Mühendisliği Bölümü

Üye : Prof. Dr. Kemal LEBLEBİCİOĞLU

Orta Doğu Teknik Üniversitesi Elektrik ve Elektronik Mühendisliği Bölümü

Üye : Prof. Dr. Faruk ÖZEK

Ankara Üniversitesi Elektronik Mühendisliği Bölümü

Üye : Yrd. Doç. Dr. Ziya TELATAR

Ankara Üniversitesi Elektronik Mühendisliği Bölümü

Üye : Yrd. Doç. Dr. Murat EFE

Ankara Üniversitesi Elektronik Mühendisliği Bölümü

Yukarıdaki sonucu onaylarım.

Prof.Dr.Ülkü MEHMETOĞLU

Enstitü Müdürü

i

ÖZET

Doktora Tezi

GERİBESLEMELİ DOĞRUSALLAŞTIRMA METODUNA DAYALI

DOĞRUSAL OLMAYAN KONTROL TASARIMI

Tuğrul ADIGÜZEL

Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü

Elektronik Mühendisliği Anabilim Dalı

Danışman: Yrd.Doç.Dr. Murat EFE

Robot manipülatörlerin kontrol düzenekleri, sistemin doğrusallaştırılması ve referans yörünge

boyunca sürülmesi için, iki ayrı kontrol edici tasarlanacak şekilde yapılandırılır. Doğrusallaştıran

kontrol edici durum bilgisini kullanarak bir iç döngüde oluşturulurken, yörünge takibinde kullanılan

kontrol edici bir dış döngüde yapılandırılır ve hata bilgisini kullanarak işlev görür.

Bu tezde, robot manipülatör sistemlerinin doğrusal olmayan kontrolünde, sistemlerin doğrusal kontrol

edici ile aynı dış kontrol döngüsü üzerinden doğrusallaştırılması için gerek ve yeter koşullar çıkarılmış

ve böylece doğrusal ve doğrusal olmayan kontrol edici bloklarının bir arada tasarlanabilmesi için yeni

bir yaklaşım önerilmiştir. Önerilen kontrol yaklaşımı ile robot manipülatörlerin davranışının sadece

takip hatası bilgisi kullanılarak ne düzeyde doğrusal yapılabileceği incelenmiştir. Tezde verilen

doğrusal olmayan kontrol düzeneğinin önemli bir özelliği sistemin hem doğrusallaştırılması hem de

referans yörünge takibi için aynı hata bilgisinin kullanılıyor olmasıdır. Yaklaşık geribeslemeli

doğrusallaştırma olarak adlandırılan bu yaklaşım ile doğrusallaştıran kontrol edicinin

yapılandırılmasında bir iç döngüden dış döngüye taşınmasına ve böylece doğrusal kontrol edici ile

paralel çalışabilmesine imkan sağlanmıştır.

Önerilen kontrol yapısı MATLAB/Simulink ortamında oluşturulan benzetimler üzerinde sınanmıştır.

Elde edilen yörünge takibi sonuçları, önerilen kontrol düzeneği kullanılarak tasarlanan kontrol

sisteminin hızlı ve doğru bir performans sergileyebildiğini göstermiştir. Önerilen yaklaşım ile bir

silindirik robot kontrol sistemi için değişik hareket takibi durumlarında elde edilen benzetim sonuçları

da tezde sunulmuştur.

2007, 83 sayfa Anahtar Kelimeler: Doğrusal olmayan sistemler, doğrusal olmayan kontrol, geribeslemeli doğrusallaştırma, robot manipülatörler.

ii

ABSTRACT Ph.D. Thesis

NONLINEAR CONTROL DESIGN BASED ON FEEDBACK LINEARIZATION METHOD

Tuğrul ADIGÜZEL

Ankara University

Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Electronics Engineering

Supervisor: Asst.Prof.Dr. Murat EFE

The approach to the control design of robotic manipulators is established on the decomposition of the

control scheme into a linearizing and a tracking controller. While the linearizing controller employs

state information and is established in the inner loop, the tracking controller is in the outer loop and

acts upon error information.

In this thesis, on nonlinear control of robot manipulator systems, necessary and sufficient conditions

are established for the system to be externally linearized by only through the same control loop of

linear controller and a new approach is given for the construction of the linearizing controller where it

can be designed together with linear controller. With the proposed control approach, to what extent

the behavior of the robot manipulators could be made 'linear' when only tracking error information is

available, is examined. An important property of this proposed scheme is that the error information is

used for both linearizing the system and driving it. This technique, which is referred to as approximate

feedback linearization, allows the transfer of the linearizing controller from the inner to the outer loop,

hence to be designed parallel with linear controller.

The proposed control architecture is designed and tested on MATLAB/Simulink environment.

Obtained trajectory tracking results show that, by using the proposed control scheme, the control

system exhibits fast and high accuracy performance. Simulation results of several trajectory tracking

scenarios for a cylindrical robot manipulator are also given.

2007, 83 pages Key Words: Nonlinear systems, nonlinear control, feedback linearization, robot manipulators.

iii

TEŞEKKÜR

Danışmalığımı üstlenerek bana yardımcı olan sayın Yrd.Doç.Dr. Murat EFE'ye teşekkürlerimi bildirmek isterim. Gerek kendisi, gerekse diğer sayın öğretim üyelerimiz, çalışmama gereken her türlü desteği sağlamışlardır. Tez çalışmamda daha önce danışmanlığımı yürütmüş, gerek tez çalışmam gerekse diğer çalışmalarım üzerinde sürekli desteğini ve önerilerini esirgemeyen sayın Prof. Dr. Ahmet DENKER'e teşekkürü bir borç bilirim. Kendisinin yardım ve desteği olmadan çalışmamı gerçekleştirmem olanaksız olurdu. Aileme de gösterdikleri sevgi, destek ve sabır dolayısıyla müteşekkirim. Son olarak bölümümüzün tüm bireylerine, sağladıkları pozitif ortam ve yardımları için ayrıca teşekkür ediyorum.

Tuğrul ADIGÜZEL

Ankara, Ekim 2007

iv

İÇİNDEKİLER

ÖZET ................................................................................................................................. i ABSTRACT .................................................................................................................... ii TEŞEKKÜR ................................................................................................................... iii SİMGELER DİZİNİ ....................................................................................................... v ŞEKİLLER DİZİNİ ....................................................................................................... vi ÇİZELGELER DİZİNİ ................................................................................................ vii 1. GİRİŞ ........................................................................................................................... 1 1.1 Tezin İçeriği ............................................................................................................... 4 1.2 Tezin Katkıları .......................................................................................................... 5 2. KURAMSAL TEMELLER ........................................................................................ 7 3. MATERYAL VE YÖNTEM ...................................................................................... 9 3.1 Robot Manipülatörlerin Dinamikleri .................................................................... 10 3.2 Geribeslemeli Doğrusallaştırma Metodu .............................................................. 15 3.2.1 Temel kavramlar .................................................................................................. 15 3.2.2 SISO sistemler için geribeslemeli doğrusallaştırma.......................................... 20 3.3 Robot Manipülatörlerin Geribeslemeli Doğrusallaştırılması ............................. 32 3.3.1 Tek eklemli robot manipülatörlerin doğrusallaştırılması ................................ 33 3.3.2 Çok eklemli robot manipülatörlerin doğrusallaştırılması ............................... 38 3.4 Önerilen Yaklaşık Geribeslemeli Doğrusallaştırma Metodu .............................. 41 3.5 PID Kontrol ............................................................................................................. 46 4. ARAŞTIRMA BULGULARI ................................................................................... 47 4.1 Silindirik Robot Manipülatörün Matematiksel Modeli ...................................... 47 4.1.1 Hareket denklemlerinin elde edilmesi ................................................................ 49 4.1.2 Durum değişkenleri gösterimi ............................................................................. 53 4.2 Silindirik Robot Manipülatörün Geribeslemeli Doğrusallaştırması .................. 55 4.3 Silindirik Robot Manipülatör için Yaklaşık Geribeslemeli Doğrusallaştırma .. 57 4.4 Benzetim Sonuçları ................................................................................................. 58 5. SONUÇ ....................................................................................................................... 69 KAYNAKLAR .............................................................................................................. 72 EK 1. Robot Manipülatör Benzetimi ........................................................................... 75 ÖZGEÇMİŞ ................................................................................................................... 81

v

SİMGELER DİZİNİ MIMO Çok Girişli Çok Çıkışlı

PID Oransal–İntegral--Türevsel

SISO Tek Girişli Tek Çıkışlı

DOF Serbestlik derecesi

vi

ŞEKİLLER DİZİNİ Şekil 3.1 Tek girişli bir sistem için geribeslemeli doğrusallaştırma ............................... 23 Şekil 3.2 Tek eklemli robot manipülatör sistemi için geribeslemeli doğrusallaştırma .. 36 Şekil 3.3 Tek eklemli dönen robot kol ............................................................................ 37 Şekil 3.4 Birim basamak girişi için kontrol sistemi sinyal akışı ..................................... 44 Şekil 3.5 Gerçek geribeslemeli/önerilen doğrusallaştırma ile kontrol tasarımı blok düzeneği .......................................................................................................... 45 Şekil 3.6 PID kontrol edici genel yapısı ......................................................................... 46 Şekil 4.1 Silindirik robot manipülatör sistemi ................................................................ 48 Şekil 4.2 Silindirik robot manipülatörün hareket diyagramı ........................................... 48 Şekil 4.3 3 DOF silindirik robot manipülatör modeli .................................................... 54 Şekil 4.4 Silindirik robot manipülatör yaklaşık geribeslemeli doğrusallaştırma düzeneği ................................................................................ 58 Şekil 4.5 Silindirik robot manipülatör kontrol tasarımı düzeneği ................................... 59 Şekil 4.6 Karesel referans yörünge takibi ....................................................................... 60 Şekil 4.7 Karesel referans yörünge için eklem hareketleri ............................................. 61 Şekil 4.8 Karesel referans yörünge için eklem hata değişimleri ..................................... 61 Şekil 4.9 Karesel referans yörünge takibi (II) ................................................................. 62 Şekil 4.10 Karesel referans yörünge için eklem hareketleri (II) ..................................... 63 Şekil 4.11 Karesel referans yörünge için eklem hata değişimleri (II)............................. 63 Şekil 4.12 Yıldız şeklinde referans yörünge takibi ......................................................... 65 Şekil 4.13 Yıldız şeklinde referans yörünge için eklem hareketleri ............................... 65 Şekil 4.14 Yıldız şeklinde referans yörünge için eklem hata değişimleri ....................... 66 Şekil 4.15 Yıldız şeklinde referans yörünge takibi (II) ................................................... 67 Şekil 4.16 Yıldız şeklinde referans yörünge için eklem hareketleri (II) ......................... 67 Şekil 4.17 Yıldız şeklinde referans yörünge için eklem hata değişimleri (II) ................ 68

vii

ÇİZELGELER DİZİNİ Çizelge 3.1 Kontrol edilebilirlik analizi metotları .......................................................... 19 Çizelge 3.2 Gözlemlenebilirlik analizi metotları ............................................................ 20 Çizelge 4.1 Karesel referans yörünge parametreleri ....................................................... 60 Çizelge 4.2 Yıldız şeklinde referans yörünge parametreleri ........................................... 64

1

1. GİRİŞ

Kontrol mühendisliğinde temel amaç kontrol edilen sürecin istenilen şekilde

davranmasını sağlayacak uygun kontrol sinyallerinin elde edilmesidir. Bu amaçla

gerçek sistemlerin bilgisayar ortamında benzetimlerinden faydalanılarak kontrol

tasarımlar gerçekleştirilmekte ve kontrol performansları değerlendirilmektedir.

Doğadaki birçok gerçek süreç ve sistemlerin davranışları matematiksel modeller ile

tanımlanabilir. Bir veya birden fazla değişken içeren dinamik sistemlerin davranışlarının

modellenmesinde sıradan türevsel denklemlerden faydalanılması en çok kullanılan

yöntemdir. Her ne kadar ele alınan süreçler farklı farklı alanların konusu dahilinde olsa

da süreçlere konu olan sistemlerin matematiksel modellerinin çıkarılması, sistemler için

birçok ortak yöntemin kullanımına imkan sağlar. Yine doğadaki çoğu gerçek sistemlerin

doğaları gereği doğrusal olmayan karakteristikte olması nedeniyle doğrusal olmayan

sistem modelleri için geliştirilen doğrusal olmayan kontrol teknikleri, kontrol

mühendisliğinde önemli bir araştırma sahası olmuştur.

Doğrusal olmayan kontrol tasarımı tekniklerinin gerçekleştirilmesi ve kontrol

performanslarının değerlendirilmesinde robot manipülatör sistemleri çokça kullanılan

uygulama örnekleri sağlamaktadır. Robot kontrolünün, kendi başına ayrı bir alan

oluşturması ile birlikte, bu çalışmada da önerilen kontrol tasarımı yaklaşımı robot

manipülatör sistem yapısı üzerine bina edilmiştir.

Endüstriyel üretimde oldukça baskın bir role sahip olan robot manipülatörlerin

dinamikleri doğrusal olmayan bir sistem sınıfı dahilinde modellenir. Bu özelliğiyle

robot manipülatör sistemlerinin kontrol tasarımı, son yıllarda doğrusal olmayan kontrol

teorisinde önemli gelişmelere imkan sağlamıştır. Bir endüstriyel robot manipülatör

sistemi, eklemler ile birleştirilen bağlantı kolları ile bir kinematik zincir oluşturur. Bu

kinematik zincir trigonometrik fonksiyonlarla, sistemin dinamikleri ise çoğunlukla

klasik mekanik yöntemleri olan Euler-Lagrange formülasyonu veya Newton metodu

kullanılarak elde edilebilir (Sciavicco ve Siciliano 2000). Bu çalışmada robot

2

manipülatör dinamik denklemlerinin elde edilmesi için Euler-Lagrange

formülasyonundan faydalanılmış ve bu metodun kullanımı genel olarak gösterilmiştir.

Robot manipülatörlerin kontrol tasarımında, robotun eklemlerinin hareket uzayı

dahilinde konumları hesaplanarak, robotun hareketini sağlayacak kuvvet ve torklar

kontrol edilir. Özellikle robot manipülatörlerin hızlı hareketlerinde merkezkaç ve

savrulma kuvvetleri oldukça hızlı değişir ve eklemler arasındaki doğrusal olmayan

etkiler ortaya çıkar. Özellikle hızlı hareket ve yüksek doğruluk maksatlı uygulamalarda

klasik doğrusal kontrol yaklaşımları, robot manipülatörün doğrusal olmayan dinamik

yapısı nedeniyle oldukça hatalı kontrol sonuçlarına yol açar.

Günümüze kadar gelen endüstriyel uygulamalarda PID(Oransal-İntegral-Türevsel)

kontrol yöntemi geniş bir kullanıma sahiptir (Franklin et al. 1998). PID kontrolünün iyi

sonuçlar vermesi özellikle tasarım açısından basitliğinden ve nispeten geniş çalışma

koşullarında iyi performans göstermesinden kaynaklanmaktadır. Bununla birlikte

özellikle kontrol edilen robot manipülatör sisteminin doğrusal olmayan dinamikleri ile

hızlı yörünge hareketleri problemlerinde bu yöntem de kontrol tasarımında hatalı

sonuçlar yaratır (Khoury et al. 2004).

Bununla birlikte mevcut doğrusal olmayan davranış bilgisinin uygulama modellerine

dahil edilerek kontrol tasarımı boyunca işlenmesi, sistemin kontrol performansını

oldukça iyi hale getirebilmektedir. Bu amaçla ele alınan sistemin modelinde ortaya

çıkan doğrusalsızlıkların kontrol tasarımında bir geribesleme döngüsü kullanılarak telafi

edilmesi mümkündür. Geribeslemeli doğrusallaştırmanın temelinde yatan düşünce,

belirlenen bu doğrusalsızlıkların bir durum geribeslemesi ile giderilerek sistemin,

herhangi bir yaklaştırma olmaksızın, iyi performans verebilen birçok doğrusal kontrol

tasarımı metotlarının uygulanabileceği doğrusal bir eşdeğer sisteme dönüştürülmesidir

(Hassibi 1991).

Doğrusal olmayan kontrol sistemlerinin birçoğu geribeslemeli doğrusallaştırma

metoduna dayalı bir tasarımla doğrusal giriş-çıkış karakteristiği gösterecek forma

3

dönüştürülebilir. Sistemlerin doğrusal karakteristik gösterecekleri forma

dönüştürülmesindeki temel amaç, doğrusal sistemlerin oldukça iyi çalışılmış bir sistem

sınıfı olması ve böyle sistemler için kontrol tasarımında çok iyi performans verebilen

tasarım araçlarının gerçekleştirilmiş olmasıdır. Doğrusal sistemlerin kontrol tasarımında

faydalanılabilecek birçok yöntem, yaklaşım mevcuttur ve bunların tümü birçok

mühendislik uygulama alanlarında başarılı bir şekilde kullanılmaktadır. Doğrusal

kontrol teknikleri MIMO(Çok Girişli Çok Çıkışlı) sistemler için de oldukça basit bir

şekilde genişletilebilmektedir. Dolayısıyla geribeslemeli doğrusallaştırma metoduna

dayalı olarak doğrusallaştırılan MIMO sistemler, başarılı doğrusal kontrol araçları

kullanılarak oldukça iyi kontrol performansı gösterebilirler.

Robot manipülatör sistemleri özelinde bakılırsa; genel olarak robot manipülatörlerin

kontrolüne doğrusal olmayan yaklaşım, kontrol düzeneğinin, sistemi doğrusallaştıran ve

referans yörünge boyunca süren kontrol edici blokları olarak ayrıştırılması şeklinde

yapılandırılır. Doğrusallaştıran kontrol edici, sistemin durum bilgisini kullanır, bir iç

döngüde yapılandırılır ve sistemin doğrusal bir eşdeğerini türetirken; eşdeğer sistemi

yörünge boyunca süren doğrusal kontrol edici dış döngüde yer alır ve sistemdeki hata

bilgisi üzerinden işlev görür.

Bu çalışmada, iki ayrı döngü yapısından kurtulabilmek için geribeslemeli

doğrusallaştırma kontrol edicisinin, robot manipülatör sistemleri sınıfı özelinde,

doğrusal kontrol edici ile bir arada çalıştırılabilecek şekilde bir tasarım yaklaşımı

geliştirilmesi amaçlanmıştır. Gerçek geribeslemeli doğrusallaştırma metodu kullanılarak

robot manipülatör sistemlerinin doğrusallaştırılması incelenmiş ve doğrusallaştıran

kontrol edici tasarımı için türetilen tasarım yaklaşımı verilerek bir uygulama üzerinde

kontrol performansı denenmiştir. Önerilen bu doğrusallaştıran kontrol edici düzeneği,

kontrol tasarımı boyunca sistemin durum değişkenlerinin, çıkış hatası üzerinden taklit

edilmesi nedeniyle, “Yaklaşık Geribeslemeli Doğrusallaştırma” olarak adlandırılmıştır.

Tezde doğrusal olmayan kontrol tasarımına önerilen yaklaşık geribeslemeli

doğrusallaştırma yaklaşımı ile sistemin doğrusalsızlıklarının yok edilmesinin

4

amaçlandığı doğrusallaştırma algoritması, doğrusal kontrol ediciyi de aynı anda

besleyen, sadece hata bilgisini işleyerek çalışmaktadır. Böylece robot manipülatörün

kontrol tasarımında kullanılan iki ayrı kontrol edici bloğundan doğrusallaştıran kontrol

edici yapısı iç döngüden çıkarılarak, doğrusal kontrol edici ile paralel çalışabilecek

şekilde tasarlanabilmektedir.

Yaklaşık doğrusallaştırma yaklaşımının kontrol performansının değerlendirilmesi için

uygulama örneği olarak silindirik koordinatlarda çalışan ve literatürde de “Silindirik

Robot” olarak adlandırılan üç eklemli bir robot kullanılmıştır. Benzetim ortamında,

önerilen yaklaşım ile tasarlanan silindirik robot manipülatör kontrol sistemi

kullanılarak, değişik referans yörünge durumları için yörünge takibi uygulamaları

yapılmış ve elde edilen sonuçlar ile önerilen kontrol tasarımı düzeneğinin kontrol

performansı değerlendirilmiştir.

1.1 Tezin İçeriği Çalışmanın öz olarak temelini ve elde edilen bulguları veren bu tezin içerik çerçevesi

varsayılan düzen paralelinde aşağıdaki gibi oluşturulmuştur.

İlk olarak ikinci bölümde çalışmaya kaynak oluşturan geribeslemeli doğrusallaştırma

metodunun literatüre girişi, gelişmesinde ortaya çıkan bazı teorik ve uygulama

çalışmalarına değinilmiştir.

Üçüncü bölümde robot manipülatörlerin benzetiminde kullanılan matematiksel

modellerinin çıkarılması kısaca irdelenmiştir. Geribeslemeli doğrusallaştırma ile

doğrusallaştıran kontrol düzeneğinin yapılandırılmasında kullanılan temel matematiksel

kavramlar ve araçlar anlatılmış, önemli olduğu düşünülen bazı açıklama, kuram ve

teoremlere değinilmiştir. SISO(Tek Girişli Tek Çıkışlı) sistemler için gerçek

geribeslemeli doğrusallaştırma probleminin çözümüne cebirsel yaklaşım özetlenmiştir.

Tek eklemli robot manipülatörlerin genel yapısı için geribeslemeli doğrusallaştırmanın

uygulama basamakları verilerek, yöntemin çok eklemli robot manipülatörler için benzeş

5

olarak genişletilerek nasıl gerçeklenebileceği gösterilmiştir. Önerilen ‘Yaklaşık

Geribeslemeli Doğrusallaştırma’ tekniğinin matematiksel olarak türetimi anlatılmış ve

kontrol tasarımına uygulama düzeneği verilerek işleyişi anlatılmıştır. Bölümün sonunda,

uygulamada kullanılan doğrusal kontrol edici, PID yapısı kısaca sunulmuştur.

Dördüncü bölümde örnek uygulama olarak verilen silindirik robot manipülatör

sisteminin matematiksel modeli çıkarılmış, bu modelin MATLAB/Simulink paket

programı ile benzetimi kullanılarak, önerilen yaklaşık geribeslemeli doğrusallaştırma

metoduna dayalı kontrol tasarımı anlatılmıştır. Önerilen yaklaşık geribeslemeli

doğrusallaştırma düzeneğine dayalı silindirik robot manipülatör kontrol sisteminin

değişik referans yörüngeler için, yörünge takibi kontrolü performansı grafiksel olarak

sunularak, doğrusallaştırma düzeneğinin sağladığı iyileştirme gösterilmiştir.

Beşinci bölümde elde edilen sonuçlar değerlendirilmiştir.

1.2 Tezin Katkıları Bu tezde robot manipülatör sistemlerin yörünge takibi kontrolünde, sistemi

doğrusallaştıran ve referans yörünge boyunca süren doğrusal kontrol edicilerin, aynı

çıkış hata bilgisi üzerinden geliştirilmesine imkan tanıyan, yeni bir doğrusal olmayan

kontrol düzeneği kullanılmıştır. Buradaki amaç, kontrol tasarımında, sistem modelinin

doğrusallaştırılması ve yörünge takibi işlemlerinin aynı kontrol döngüsü üzerinden

gerçekleştirilmesidir. Genel olarak gerçek doğrusallaştırma metodu, bir durum

dönüşümü ve doğrusal olmayan durum geribeslemesi kuralı oluşturulmasını gerektirir.

Tezde önerilen doğrusallaştırma, robot manipülatör sistemleri özelinde durum

bilgisinin, çıkış hatası kullanılarak taklit edilmesi ve taklit durum değişkenleri üzerinden

doğrusallaştırma kuralının elde edilmesi temelinde geliştirilmiştir. Geliştirilen kontrol

tasarımı yaklaşımının robot manipülatör sistemin yörünge takibi performansına katkısı

bilgisayar benzetimleri ile gösterilmiştir.

Tezde verilen kontrol yaklaşımının sağladığı avantajlar aşağıdaki gibi özetlenebilir:

6

• Önerilen kontrol düzeneği hata bilgisi üzerinden yapılandırıldığından, tüm

durumların geribeslenmesi gerekliliğini yumuşatmıştır.

• Gerçek sistemlerde doğrusallaştıran kontrol yapısı, yörünge takibi kontrol edici ile

aynı fiziksel aygıt yapısı kullanılarak oluşturulabilir.

• Kontrol sistemi, gerçek doğrusallaştırmada kullanılan x , x& , ε ve ε& terimleri yerine

sadece ε ve ε& terimleri işlenerek çalıştırılır.

7

2. KURAMSAL TEMELLER

Endüstriyel uygulamalarda kullanılan birçok sistemin dinamik davranışları belli bir

sayıda doğrusal olmayan türevsel denklem ile açıklanır. Seksenli yıllardan itibaren bu

şekilde doğrusal olmayan karakteristik gösteren sistemlerle ilgili çalışmalarda türevsel

geometri tekniklerinin kullanılması ile doğrusal olmayan kontrol alanında önemli teorik

gelişmeler sağlanmıştır.

Geribeslemeli doğrusallaştırma metodu ilk olarak Roger Brockett'in (1978) çalışmaları

ile literatüre girmiştir. Brockett'in çalışmasındaki temel amacı, bir sistemin girişleri ile

durum değişkenleri arasındaki doğrusal olmayan ilişkiyi temsil eden türevsel

denklemleri, bir koordinat dönüşümü ve doğrusal olmayan durum geribeslemesi

kullanarak, doğrusal bir sisteme dönüştürmenin koşullarını elde etmekti. Bu çalışması

ile Brockett doğrusal olmayan sistemleri doğrusal kontrol edilebilir bir eşdeğer forma

dönüştürebilecek bir doğrusallaştıran kontrol edicinin hangi koşullarda bulunabileceğini

göstermiştir. Böylece ele alınan bir doğrusal olmayan sistemin dinamiklerini açıklayan

doğrusal olmayan türevsel denklemler, en azından belli bir çalışma bölgesinde, doğrusal

kısmi türevli denklemlere indirgenebilecekti.

Böylece doğrusal olmayan sistemlerinin doğrusal eşdeğerlerinin türetilmesinde uygun

bir durum geribeslemesi kullanımı fikri literatürde ilgi çeken bir konu haline gelmiş ve

geribeslemeli doğrusallaştırma metodunun teorik altyapısını destekleyen birçok

çalışmalar sunulmuştur. Geribeslemeli doğrusallaştırma probleminin çözümüne lokal ve

global yaklaşımlar Jacubczyk ve Respondek (1980) ve Dayawasna (1985) tarafından

gösterilmiştir. Hunt et al. (1983) çok girişli çok çıkışlı sistemler için geribeslemeli

doğrusallaştırma metodunun genişletilmesi çözümünü sunmuşlardır.

Önerilen yöntemlerde, doğrusal olmayan bir koordinat dönüşümü ile sistemin bu yeni

koordinatlarda durum geribeslemesi kullanılarak doğrusal olmayan sistem,

doğrusalsızlıkları yok edilmiş doğrusal eşdeğer bir forma dönüştürülmektedir. Sonraki

yıllarda da birçok araştırmacı geribeslemeli doğrusallaştırma üzerine çalışmış ve

8

geribeslemeli doğrusallaştırma üzerine birçok yayınlar sunulmuştur (Marino 1984, Hunt

et al. 1986, Cheng et al. 1989, Kappos 1992). Tüm bu çalışmalarda verilen

geribeslemeli doğrusallaştırma çözümü ile doğrusal olmayan sistemler, uygun bir

durum dönüşümü uygulanıp doğrusalsızlıkları yok edecek bir durum geribeslemesi

tasarlanarak doğrusal eşdeğer bir forma indirgenebilmektedir.

Doksanlı yıllarla birlikte geribeslemeli doğrusallaştırma metodunun uygulanabilirliğine

dair çalışmalar artmıştır. De Luca (1998) metodun genel olarak robot manipülatörler

için uygulanabilirliğini incelemiş, Goodwine ve Stepan (2000), geribeslemeli

doğrusallaştırma metodunu bir temel mekanik sisteme uygulamış; Menon ve Ohlmeyer

(2001) otopilot ve güdüm sistemlerinin tasarımında geribeslemeli doğrusallaştırma

metodunu kullanmıştır. Chen et al. (2004), Yuenong ve Qinghua (2006); sırasıyla kiriş

üzerinde hareket eden top ve iki eklemli robot manipülatör sistemlerinin benzetimlerini

kullanarak, geribeslemeli doğrusallaştırmaya dayalı kontrol tasarımı uygulamalarının

performanslarını sunmuşlardır.

Tüm bu uygulama çalışmalarındaki ortak nokta doğrusal olmayan sistemlerin kendi tam

doğrusal eşdeğerlerine dönüştürülmesi ve sistem tam olarak doğrusal forma

dönüştürüldükten sonra kontrol tasarımına doğrusal sistemler için mevcut tekniklerin

kullanılmasıyla devam edilmesi biçiminde olmuştur. Yani tüm yaklaşımlarda kontrol

düzeneği, bir doğrusallaştıran iç döngü kontrol edici ve bir de eşdeğer sistemi süren dış

döngü kontrol edici olarak ayrıştırılmıştır.

Bu çalışmada önerilen, ‘Yaklaşık Geribeslemeli Doğrusallaştırma’ olarak adlandırılan

ve gerçek geribeslemeli doğrusallaştırma metodu temelinde yapılandırılan bir kontrol

tasarımı düzeneği ile doğrusal olmayan sistemi doğrusallaştıran ve referans giriş üzerine

süren kontrol araçlarının ne ölçüde bir arada tasarlanabileceği araştırılmıştır. Robot

manipülatör sistemlerinin doğrusal olmayan modelleri için geliştirilen kontrol

düzeneğinin uygulama yapısı verilerek benzetim ortamında verilen örnek bir

uygulamada elde edilen yörünge takibi sonuçları ile önerilen kontrol düzeneğinin

sağladığı performans iyileştirmesi sunulmuştur.

9

3. MATERYAL VE YÖNTEMEquation Chapter 3 Section 1

Doğrusal olmayan kontrol sistemlerinin büyük bir bölümü, gerçekleştirilecek uygun bir

doğrusal olmayan geribesleme algoritması ile doğrusal davranış gösterecek hale

dönüştürülebilir. Kontrol tasarımında sistemlerin doğrusal davranış göstermesinin

istenmesindeki temel neden, doğrusal sistemlerin birçok mühendislik alanında oldukça

iyi çalışılmış sistemler sınıfı olmasıdır. SISO doğrusal sistemler için oldukça iyi

performansla çalışan ve başarılı kontrol sonuçları veren çokça denemiş doğrusal tasarım

araçları mevcuttur Bu doğrusal tasarım araçları MIMO doğrusal sistemler için de

basitçe genişletilebilmektedir.

Doğrusal sistemlerin aksine doğrusal olmayan kontrol sistemlerinin tasarımı için genel

yöntemler yoktur. Doğrusal olmayan sistemlerin kontrolü problemi genel olarak sistem

bazında çözülmektedir. Bununla birlikte türevsel geometri tekniklerinin kullanılmaya

başlanması ile doğrusal olmayan kontrol teorisinde önemli gelişmeler sağlanmıştır.

Böylece ortaya konulan geribeslemeli doğrusallaştırma metodu; doğrusal olmayan

sistemlerin tam olarak doğrusallaştırılmasında ve MIMO sistemlerin giriş-çıkış

ayrıştırılmasında etkin bir yaklaşım sağlar. Geribeslemeli doğrusallaştırma ile doğrusal

olmayan sisteme uygun bir durum dönüşümü ve doğrusal olmayan durum geribeslemesi

algoritması uygulanarak, sistemin doğrusal eşdeğer bir forma dönüştürülmesi sağlanır.

Bu yeni formda kontrol tasarımı mevcut doğrusal kontrol araçları kullanılarak

tamamlanabilir (Marino and Tomei 1995).

Geribeslemeli doğrusallaştırma metoduna dayalı kontrol tasarımının en temel avantajı

iyi bir doğrulukta kontrol performansı sergilemesi için çok kısıtlı çalışma bölgeleri

gerektirmemesidir. Literatürde genellikle sadece doğrusallaştırma olarak adlandırılan

lokal doğrusallaştırma yöntemi ile elde edilen sistem eşdeğerleri, doğrusal olmayan

sistemlerin sadece oldukça kısıtlı bir çalışma bölgesinde davranışını taklit edebilen

doğrusal yaklaşımlardır. Geribeslemeli doğrusallaştırma metodunda ise sistem eşdeğeri,

doğrusal olmayan bir durum dönüşümü ve durum geribeslemesi kullanılarak, sistemin

10

tüm çalışma bölgesinde veya en azından geniş bir çalışma bölgesinde tam olarak

doğrusal çalışacak şekilde yapılandırılır (Hassibi 1991).

Geribeslemeli doğrusallaştırma ile kontrol tasarımı uygulamalarında en önemli basamak

sistemin doğrusalsızlıklarını yok edecek uygun bir doğrusal olmayan durum

geribeslemesinin bulunmasıdır. Sisteme uygun bir koordinat dönüşümü uygulanarak

doğrusallaştıran durum geribeslemesi kuralları hesaplanır.

Bu bölümde doğrusal olmayan kontrol uygulamalarına uygun örnekler sağlayan robot

manipülatör sistemleri özelinde geribeslemeli doğrusallaştırma metoduna dayalı kontrol

tasarımının temellerinin kısaca anlatılması amaçlanmıştır. Bu amaçla ilk olarak robot

manipülatörlerin genel olarak benzetiminde kullanılmak üzere matematiksel

modellerinin çıkarılmasına değinilmiştir. Daha sonra geribeslemeli doğrusallaştırma

metodu teorisinin anlaşılabilmesi için gerekli temel türevsel geometri kavramları ve

metodun SISO sistemler için matematiksel temelleri verilmiştir. Tek eklemli robot

manipülatörler için geribeslemeli doğrusallaştırma metodunun uygulanması açıklanarak,

çok eklemli robot manipülatörlere genişletilme kuralları sunulmuştur. Sonrasında,

gerçek geribeslemeli doğrusallaştırma temelinde ve robot manipülatör sistemleri sınıfı

özelinde, doğrusal olmayan kontrol tasarımına önerilen yaklaşık geribeslemeli

doğrusallaştırma yaklaşımı anlatılmıştır. Son olarak uygulama için elde edilen doğrusal

eşdeğer sistemin, referans yörünge boyunca sürülmesinde kullanılan PID kontrol

edicilerin temel yapısı verilerek bölüm tamamlanmıştır.

3.1 Robot Manipülatörlerin Dinamikleri

Robot manipülatörlerin dinamik davranışları, eklemler üzerine etkiyen dış kuvvet ve

torklardan kaynaklı olarak ortaya çıkan manipülatörün eklem durumlarının zamana göre

değişimi olarak tanımlanır. Bu ilişki hareket denklemleri ile verilir ve robot manipülatör

ekleminin dışsal girişe dinamik tepkisini veren bir takım türevsel denklem ile ifade

edilir. Literatürde hareket denklemlerinin çıkarılması için iki yaygın teknik vardır:

Euler-Lagrange tekniği ve Newton tekniği. Newton tekniğinde, hareket denklemleri;

11

kuvvet, momentum, tork ve açısal momentuma ilişkin Newton'un ikinci kanunundan

faydalanılarak çıkarılır (Spong and Vidyasagar 1989).

Bu bölümde, sistem benzetimlerinin gerçeklenmesinde kullanılan matematiksel modelin

çıkarılmasında Euler-Lagrange tekniği kullanımının genel formülasyonu verilecektir.

Verilen bilgiler (Denker 1980, Koivo 1989, Spong and Vidyasagar 1989)

kaynaklarından faydalanılarak oluşturulmuştur.

Euler-Lagrange tekniği ile dinamik sistemin davranışı, her bir parçanın momentlerini ve

kuvvetlerini kullanmak yerine, sistemin faal parçalarında ortaya çıkan enerji terimleri

kullanılarak açıklanır. Bu metot ile belirlenen herhangi bir koordinat değişkenleri seti

üzerinde sistemin dinamik denklemleri elde edilebilir.

1 2, , , nq q qK değişkenleri dinamik sistemin durumunu tanımlayan genelleştirilmiş

koordinatlar olsun. K ve P bu dinamik sistemde ortaya çıkan toplam kinetik ve

potansiyel enerjiler olsun. Bu parametreler ile sistemin Lagrange'ı L (3.1) denklemi ile

tanımlanır.

( , )i iL q q K P= −& (3.1)

Sistem üzerindeki enerji bileşenleri ile hesaplanan Lagrange ifadesi, (3.2) denkleminde

yerine konularak, sistemin dinamik denklemlerine ulaşılır.

( ) , 1,2, ,ii i

d L L Q i ndt q q

∂ ∂− = =

∂ ∂K

& (3.2)

burada Qi, her bir qi genelleştirilmiş koordinatına karşılık gelen genelleştirilmiş

kuvvetler olarak tanımlanır.

Her bir eklemde ortaya çıkan kinetik enerjinin bulunması için (3.3) formülünden

12

faydalanılır.

1 12 2

T Ti i i i i i i iK m P P m w w= + I (3.3)

burada mi i'nci parçanın kütlesini ve Ii her bir parçanın ağırlık merkezlerinde

oluşabilecek atalet ivmesine bağlı kuvvet terimlerini gösterir. Sistemin parçaları

üzerindeki enerji terimleri toplanabilir olduğundan, robot manipülatörün tamamında

mevcut toplam kinetik enerji değeri, her bir parçanın kinetik enerjilerinin toplamı (3.4)

olarak verilir.

1

n

ii

K K=

= ∑ (3.4)

Robot manipülatörün hareketine etkiyen diğer bir kuvvet de yerçekiminden kaynaklı

olan, manipülatörde yüklü potansiyel enerjidir. (3.5) denklemi ile sistemde mevcut

potansiyel enerji terimleri hesaplanır.

1i

n

i ci

P m gr=

= ∑ (3.5)

burada icr , i'nci parçanın ağırlık merkezinin konum vektörünü ve g yerçekimi ivmesini

ifade eder. (3.3) ve (3.5) denklemleri, 1 2, , , nq q qK olarak verilen eklem koordinat

değişkenlerinin fonksiyonlarıdır.

1 2, , , nq q qK üzerinde Pi ve wi vektörlerini tanımlamak için, Jacobian matrisinin,

hareket tipine göre tanımlanan bir gösterimi kullanılabilir. Jacobian matrisi, her bir

eklem hız vektörünün bileşenlerini robot manipülatörün tutucu ucunun hız vektörü

bileşenlerine dönüştürür ( r Jq=& & ). Tutucu ucun konum vektörü hem düz hareket hem de

dönel hareket bileşenler içerebilir. Bunun için J'nin, düz hareket hız değişkenine etkiyen

13

kısmı Jdüz , dönel hareket hız değişkenine etkiyen kısmı Jdön olarak tanımlanır. Kinetik

enerjinin düz hareket ve dönel hareket bileşenlerini gösteren Pi ve wi vektörleri, (3.6)

denklemleri ile verilir.

ii düz

ii dön

J

w J

=

=

P q

q (3.6)

burada Ji, robot manipülatör için 1'den i'ye kadarki eklemleri için Jacobian bileşenlerini

göstermektedir. (3.6) denkleminde tanımlanan bu değişkenler, kinetik enerji

hesaplamasında kullanılan (3.3) formülünde yerine yazılarak ve tüm eklemler için

kinetik enerji bileşenleri toplanarak sistemin toplam kinetik enerji denklemi (3.7)’de

verildiği gibi oluşturulur:

1

1 1( )2 2

nT i i i i T

i düz düz dön i döni

K m J J J J=

= + =∑ q q q I q q Mq& & & & & & (3.7)

burada M, formülü (3.8) denklemi ile verilen, sistemde ortaya çıkabilecek ataletten

kaynaklanan enerji terimlerini içeren nxn boyutlu atalet matristir.

1( )

ni T i i T i

i düz düz dön i döni

m J J J J=

= +∑M I (3.8)

Böylece enerji bileşenleri bulunan sistemin L lagrange'ının formülasyonu (3.9)

denklemi ile verilen hale indirgenebilir.

1

12 i

nT

i ci

L m gr=

= −∑q Mq& & (3.9)

Robot manipülatör sisteminin dinamik denkleminin çıkarılması için gereken

Lagrange’ın türev bileşenleri hesaplanır.

14

1

( )

{ }12

i

T T

ni cT i

L

d L ddt dt

m grL =

∂=

∂∂ ∂

= + = +∂ ∂

∂∂ ∂= −

∂ ∂ ∂∑

Mqq

M MMq q Mq q qq q

Mq qq q q

&&

&& & && & &&

& &

(3.10)

Hesaplanan, bu Lagrange türevi bileşenleri, (3.2) ana denkleminde yerine konularak

hareketin dinamik denklemleri (3.12)’de verilen türevsel denklem seti şeklinde

oluşturulur.

1{ }12

i

ni cT i m gr

=∂∂

+ + =∂ ∂

∑MMq q q Qq q

&& & & (3.11)

( , ) ( )+ + =Mq P q q g q Q&& & (3.12)

Sistemin (3.12) dinamik denkleminde verilen ( ) 1 2 T= ∂ ∂P q,q q M qq& & & terimi, (3.13)

ile gösterilen savrulma ve merkezkaç kuvvetlerinin n-boyutlu vektörüdür.

1 1

1 , 1, 2, ,2

n nij jk

j kk ij k

q q i nq q= =

∂ ∂⎧ ⎫− =⎨ ⎬∂ ∂⎩ ⎭

∑∑M M

& & K (3.13)

g(q) terimi ise, (3.14)’de verilen, sistemdeki yerçekimi ivmesinden kaynaklı enerji

bileşenlerini içeren n-boyutlu vektörünü gösterir.

1

1 1

{ }( ) i i

n n ni c c iii i

i i

m gr rg m g m g=

= =

∂ ∂= = =

∂ ∂∑ ∑ ∑q J

q q (3.14)

15

3.2 Geribeslemeli Doğrusallaştırma Metodu

Bu bölümde ilk olarak geribeslemeli doğrusallaştırma teorisinde kullanılan temel

matematiksel kavram ve gösterimler verilecektir. Daha sonra geribeslemeli

doğrusallaştırma kuralının ve dönüşümlerinin matematiksel çıkarımı açıklanacaktır.

3.2.1 Temel kavramlar

Geribeslemeli doğrusallaştırma metodunun anlaşılması için ilk olarak tekniğin temel

formülasyonunda kullanılan bazı türevsel geometri kavramlarının verilmesi gerekir.

Kavramların ve metodun teorisinin daha detaylı anlatımı (Isidori 1995)’de bulunabilir.

Çoğu gerçek sistemler (3.15) denklem formundaki doğrusal olmayan sistem sınıfı ile

tanımlanabilir.

1( ) ( )

( ); 1, ,

m

i ii

i i

x f x g x u

y h x i m=

= +

= =

∑&

K

(3.15)

burada ( )f x , 1( ), , ( )mg x g xK durum değişkenlerinin düzgün vektör alanları ve

1( ), , ( )mh x h xK düzgün sayıl alanlardır. x , n boyutlu durum vektörü, 1[ , , ]mu u u= K ve

1[ , , ]my y y= K , sırasıyla m-boyutlu giriş ve çıkış vektörleridir. Burada bahsi geçen

düzgün kavramı , : n nf g →R R vektör alanlarının sonsuz defa türevlenebilir

olduklarını gösterir.

Tanım (Lie Türevi) (Isidori 1995)

f ve h, nR üzerinde tanımlı vektör alanları olsunlar. f boyunca h'nın Lie türevi (3.16)

denklemi ile verilir.

16

1

( ) ( )( ) ( ) ( ) h( ), ( )n

f ii i

h x h xL h x f x f x x f xx x=

∂ ∂= = = ∇

∂ ∂∑ (3.16)

Lie türevinin gerçel sayılar üzerinde tanımlı olmasından dolayı tekrarlı olarak

(3.17)’deki gibi Lie türevinin alınması mümkündür.

1( ( ))

( ) ( )kfk

f

hh

L xL x f x

x

−∂=

∂ (3.17)

Yine h'nin önce f vektör alanı boyunca, daha sonra g gibi başka vektör alanı boyunca

Lie türevi alınabilir.

( ( ))( ) ( )f

g f

hh

L xL L x g x

x∂

=∂

(3.18)

Tanım (Lie çarpımı) (Spong and Vidyasagar 1989, Isidori 1995)

f ve g, nR üzerinde tanımlı vektör alanları olsunlar. f ve g vektör alanlarının Lie

çarpımı [ , ]f g olarak gösterilir ve (3.19) ile verilen üçüncü bir vektör alanı tanımlar.

[ , ] g ff g f gx x∂ ∂

= −∂ ∂

(3.19)

burada gx∂∂

ve fx∂∂

nxn boyutlu Jacobian matrisleridir.

[f , g], literatürde gösterim kolaylığı açısından aynı zamanda ( )f gad olarak da

gösterilmektedir.

( )kf gad tümevarımsal olarak, 0 ( )f g g=ad olacak şekilde, (3.20)’deki gibi verilir.

17

1( ) [ , ( )]k kf fg f g−=ad ad (3.20)

Kuram (Lie çarpımının Lie türevi üzerine dağılımı)

: nh →R R bir sayıl alan, f ve g nR üzerinde tanımlı vektör alanları olacak şekilde,

aşağıdaki gibi bir özdeşlik tanımlanabilir (Spong and Vidyasagar 1989).

[ , ] ( ) ( ) ( )f g f g g fL h x L L h x L L h x= − (3.21)

Kanıt

(3.21) denklemi 1, , nx xK koordinatları üzerine genişletilsin ve her iki taraf eşitlensin.

Böylece [ , ]f g vektör alanının [ , ]if g bileşeni aşağıdaki gibi verilir.

1 1[ , ]

n ni i

i j jj jj j

g ff g f g

x x= =

∂ ∂= −

∂ ∂∑ ∑

Denklemin sol tarafı Lie türevi tanımından genişletilirek,

[ , ]1

1 1 1

1 1

1 1 1 1

( ) [ , ]

( )

( )

( ) ( )

n

f g iii

n n ni i

j ji j ji j j

n ni i

j ji j ji j

n n n ni i

j ji j i ji j i j

f g g f

hL h x f gx

g fh f gx x x

g fh f gx x x

g fh hf gx x x x

L L h x L L h x

=

= = =

= =

= = = =

∂=

∂

∂ ∂∂= −

∂ ∂ ∂

∂ ∂∂= −

∂ ∂ ∂

∂ ∂∂ ∂= −

∂ ∂ ∂ ∂

= −

∑

∑ ∑ ∑

∑∑

∑∑ ∑∑

eşitliği gösterilebilir.

18

Tanım (İnvolutif dönüşüm)

Doğrusal olarak bağımsız bir 1[ , , ]mφ φK vektör alanı seti, : n

ijkα →R R sayıl

fonksiyonlar iken,

1[ , ]

m

i j ijk kk

φ φ α φ=

= ∑ (3.22)

ise involutif olarak tanımlanır (Isidori 1995).

Yani 1[ , , ]mφ φK dönüşümü; bileşenlerinden herhangi ikisinin Lie çarpımından elde

edilen vektör alanı, 1, , mφ φK bileşenlerinin doğrusal bir birleşimi olarak ifade

edilebiliyorsa, involutif dönüşümdür (Boothby 2003).

Teorem (Frobenius)

1[ , , ]mφ φK , her noktasında doğrusal olarak bağımsız bir vektör alanı seti olsun. Bu

koşul ile vektör alanı seti eğer ve ancak eğer involutifse, tam olarak integrali

alınabilirdir (Boothby 2003).

Doğrusal/Doğrusal Olmayan Kontrol Edilebilirlik

Kontrol edilebilirlik temel olarak bir sistemin durumunun sadece girişler işlenerek

kontrol edilebilmesi olarak tanımlanabilir. Kontrol edilebilir bir sistem, sistemin

girişleri kullanılarak arzu edilen bir duruma sürülebilir.

Doğrusal sistemler için kontrol edilebilirlik özelliği sistemin katsayı matrisi (A) ve giriş

katsayı matrisi (B) arasında kurulan bir ilişki ölçütü ile tanımlanır (Zak 2003). Kontrol

edilebilirlik özelliği doğrusal sistemler için tüm durum uzayında genel geçer bir

19

özelliktir, dolayısıyla doğrusal sistemlerin herhangi bir durumda elde edilen kontrol

edilebilirlik analizi, sistemin tüm durum uzayında kontrol edilebilirliğini gösterecektir.

Bu durum doğrusal olmayan sistemlerin kontrol edilebilirlik özelliği için geçerli

değildir. Doğrusal olmayan sistemlerin kontrol edilebilirliği, sistemi tanımlayan

doğrusal olmayan fonksiyonlar üzerinden tanımlanan kontrol edilebilirlik matrisinin

tüm durum uzayı boyunca sınanması ile tespit edilir (Hermann and Krener 1977,

Respondek 2003).

Çizelge 3.1 Kontrol edilebilirlik analizi metotları

Sistem Modeli Sınama Parametresi Gözlemlenebilirlik Ölçütü

Doğrusal

Sistemler

x = Ax + Buy = Cx&

A, B ve C sayıl

katsayı matrisleri

1n−⎡ ⎤= ⎣ ⎦O B AB A BL ( )rank n=O

Doğrusal

Olmayan

Sistemler

( ) ( )( )

f gh

x = x + x uy = x&

-1n⎡ ⎤= ⎣ ⎦f fO g ad (g) ad (g)L

( )rank n=O

Doğrusal/Doğrusal Olmayan Gözlemlenebilirlik

Gözlemlenebilirlik, sistemlerin giriş-çıkış davranışının gözlemlenerek, durumlarının

ortaya çıkarılabilmesi olarak tanımlanan, kontrol sistemlerinin yapısal bir özelliğidir.

Doğrusal sistemler için gözlemlenebilirlik özelliği sistemin katsayı matrisi (A) ve çıkış

ölçüm matrisi (C) arasında kurulan bir ilişki ölçütü ile tanımlanır (Zak 2003).

Gözlemlenebilirlik özelliği doğrusal sistemler için tüm durum uzayında genel geçer bir

özelliktir.

20

Bu durum doğrusal olmayan sistemlerin gözlemlenebilirlik özelliği için geçerli bir kural

değildir. Doğrusal olmayan sistemlerin gözlemlenebilirlik özelliği sistemi tanımlayan

doğrusal olmayan fonksiyonlar üzerinden verilen bir gözlemlenebilirlik matrisinin tüm

durum uzayı boyunca sınanması ile tespit edilir (Hermann and Krener 1977, Nijmeijer

and Van der Schaft 1990, Dafis 2005).

Çizelge 3.2 Gözlemlenebilirlik analizi metotları

Sistem Modeli Sınama Parametresi Gözlemlenebilirlik Ölçütü

Doğrusal

Sistemler

x = Ax + Buy = Cx&

A, B ve C sayıl katsayı

matrisleri 1n−

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

CCA

O

CA

M ( )rank n=O

Doğrusal

Olmayan

Sistemler

( ) ( )( )

f gh

x = x + x uy = x&

1n

ddL

dL −

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

f

f

h(x)h(x)

O

h(x)

M ( )rank n=O

3.2.2 SISO sistemler için geribeslemeli doğrusallaştırma

Bu bölümde SISO sistemler için geribeslemeli doğrusallaştırma metodu açıklanmıştır.

Çalışmada önerilen yaklaşık geribeslemeli doğrusallaştırma metodu ile kontrol tasarımı

da SISO sistemlerin geribeslemeli doğrusallaştırma çözümlemesi temelinde

yapılandırılmıştır.

Daha önce de değinildiği gibi geribeslemeli doğrusallaştırmadaki temel düşünce,

sisteme bir doğrusal olmayan durum dönüşümü uygulanarak, yeni durum

değişkenleriyle normal formda gösterilebilecek hale getirilmesi ve daha sonra sistemin

doğrusalsızlıklarının, bir doğrusal olmayan durum geribeslemesi kuralı oluşturularak,

21

tamamen yok edilmesidir. Böylece elde edilen doğrusal sistem eşdeğerinin, istenilen

referans girişi doğru olarak takip etmesi için, bir kapalı döngü doğrusal kontrol edici

kullanılarak, kontrol tasarımı yapılabilir.

Geribeslemeli doğrusallaştırma metodunun uygulanmasında kullanılan durum

dönüşümünün ve doğrusal olmayan durum geribeslemesinin tasarlanmasında

faydalanılan gösterimler ve hesaplama işlemleri öz olarak aşağıda verilmiştir.

Doğrusal olmayan SISO bir sistemin durum denklemleri aşağıdaki gibi verilebilir.

( ) ( )x f x g x u= +& (3.23)

burada ( )f x ve ( )g x , sistemin n durum değişkeni için verilen n boyutlu gerçel sayılar

uzayı ( nR ) üzerinde tanımlı vektör alanlarıdır, x sistemin durum vektörü ve Ru∈

sistemin giriş değişkenini gösterir.

Tanım: (3.23) denklemindeki gibi doğrusal olmayan bir SISO sistem; eğer n boyutlu

gerçel sayılar uzayında, sistemin normal gösterimde verilebilmesini sağlayacak,

: n nΦ →R R gibi tanımlanan, tersinebilir ve türevlenebilir bir Φ koordinat

dönüşümüne sahipse; aynı zamanda dönüştürülmüş

z= (x)Φ (3.24)

koordinatları ile sistemin, (3.25) ile verilen doğrusal bir sistemi ifade eden türevsel

denklemlere uymasını sağlayacak,

Az z bv= +& (3.25)

22

0 1 0 00 0 1 0

A=0 0 0 10 0 0 0

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

L

L

M M M O M

L

L

,

000

1

b

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

M

(3.26)’daki gibi bir doğrusal olmayan geribesleme kuralı bulunabiliyorsa, geribeslemeli

doğrusallaştırılabilirdir (Isidori 1995).

( ) ( )u x x vα β= + (3.26)

(3.25) denklemi ile verilen sistem, literatürde genellikle 'doğrusal normal' veya

'Brunovsky form' olarak anılan, doğrusal kontrol edici kanonik formun özel bir

durumudur. Böyle bir sistem kontrol edilebilirdir ve dolayısıyla sistem, herhangi bir

başlangıç koşulundan, herhangi bir son duruma, uygun bir giriş v ile sonlu bir zamanda,

götürülebilir.

Verilen bir sistem için, geribeslemeli doğrusallaştırma, nR uzayının tamamında

tanımlanabiliyorsa, ele alınan sistem “global olarak geribeslemeli

doğrusallaştırılabilirdir” denilir. Bunun dışında eğer geribeslemeli doğrusallaştırma,

sadece nR 'in U gibi bir alt uzayı üzerinde tanımlanabiliyorsa, sistem “lokal olarak

geribeslemeli doğrusallaştırılabilirdir” denilir (Marino 1995).

Açıklama (Geribeslemeli doğrusallaştırma kuralı)

(3.24) denklemi ile verilen doğrusal olmayan dönüşüm ve (3.26) denklemi ile verilen

doğrusal olmayan durum geribeslemesi, (3.23) ile verilen doğrusal olmayan sisteme

uygulandığında (3.25) ile verilen doğrusal kontrol edilebilir sistem elde edilecektir.

(x)Φ dönüşümü, durum uzayında doğrusal olmayan bir koordinat dönüşümü olarak

düşünülebilir. Geribeslemeli doğrusallaştırma genellikle, x durum uzayı koordinatlarını

değiştirecek uygun bir ( )z x= Φ dönüşümünün bulunması, daha sonra sistemin

23

doğrusalsızlıklarını yok edecek doğrusal olmayan bir geribesleme kuralının

oluşturulması gibi iki ayrı basamakta gerçekleştirilir. Şekil 3.1'de bu prosedürün blok

diyagramı gösterilmiştir. Burada verilen Φ dönüşümü ile sistemin durumları uygun

forma dönüştürüldükten sonra sistemin u kontrol girişi, yeni kontrol girişi v ve sistemin

durumlarının doğrusal olmayan bir fonksiyonu olacak şekilde tasarlanmaktadır.

Şekil 3.1 Tek girişli bir sistem için geribeslemeli doğrusallaştırma

Bu aşamada Φ gibi bir dönüşümün bulunabilmesi için, (3.23) sisteminde verilen f ve g

vektör alanları ile gerekli koşullar çıkarılacaktır.

İlk olarak yeni koordinatlar, Φ dönüşümü ile verilerek,

z= (x)Φ (3.27)

denklemin her iki tarafının zamana göre türevi alınırsa,

z xx

∂Φ=∂

&& (3.28)

eşitliği elde edilir, burada x

∂Φ∂

, Φ dönüşümünün Jacobian’idir. (3.25) denklemi, (3.28)

dönüşümün türevi denkleminde yerine konulursa,

24

[ ( ) ( ) ]d f x g x u z bvdxΦ

+ = +A (3.29)

eşitliği elde edilir. Parametreler, bileşen formunda (3.30)’daki gibi oluşturulur.

1

2

n

φφ

φ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥Φ =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

M

0 1 0 00 0 1 0

A=0 0 0 10 0 0 0

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

L

L

M M M O M

L

L

000

1

b

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

M

(3.30)

(3.29) denkleminin ilk bileşeni hesaplanırsa, (3.31) denkleminde gösterilen şekilde

dönüşümün ikinci bileşenine varılır.

1 11 1 1

1

2

( ) ( )( ), ( )n x

n

x xx x x x L x

x xφ φ

φ φ

φ

∂ ∂+ + = ∇ =

∂ ∂=

&& & &K (3.31)

Bu ilk basamak işlem kısaca (3.32)’deki gibi basitleştirilebilir.

1 ( ) ( ) 1 2( ), ( ) ( ) ( ) ( )f x g x ux f x g x u L x xφ φ φ+∇ + = = (3.32)

Benzer şekilde, Φ dönüşümünün diğer (n-1) bileşenine de Lie türevi uygulanarak

(3.33) eşitliklerine ulaşılacaktır.

2 ( ) ( ) 2 3

3 ( ) ( ) 3 4

( ) ( )

( ), ( ) ( ) ( ) ( )( ), ( ) ( ) ( ) ( )

( ), ( ) ( ) ( )

f x g x u

f x g x u

n f x g x u n

x f x g x u L x xx f x g x u L x x

x f x g x u L x v

φ φ φφ φ φ

φ φ

+

+

+

∇ + = =∇ + = =

∇ + = =M M M

(3.33)

İç çarpımın birleşme özelliği kullanılarak (3.32) ve (3.33) denklemleri bir kısmi türevli

denklem seti olarak bir arada (3.34) denklem setiyle gösterilebilir.

25

1 1 1 1 2

2 2 2 2 3

, ,, ,

, ,

f g

f g

n n f n g n

f g u L L uf g u L L u

f g u L L u v

φ φ φ φ φφ φ φ φ φ

φ φ φ φ

∇ + ∇ = + =∇ + ∇ = + =

∇ + ∇ = + =M M M

(3.34)

Dikkat edilirse ( )xΦ dönüşümü, giriş u'dan bağımsız ve sadece x durumuna bağımlı

olacak şekilde seçilmişti, dolayısıyla (3.34) denklemindeki dönüşümün bileşenlerini

veren ilk (n-1) denklemin sağ tarafı u girişinden bağımsız olmalıdır. Dolayısıyla,

denklem seti için çözüm koşulları aşağıdaki gibi verilebilir:

:1 ( 1) , 0, 0

i g i

n g n

i i n g Lg L

φ φφ φ

∀ ≤ ≤ − ∇ = =∇ = ≠

(3.35)

1 ; 1, , 1f i iL i nφ φ += = −K (3.36)

Lie çarpımının Lie türevi üzerine dağılımı kuramı ve (3.35-36) ile verilen koşullar

kullanılarak bu kısmi türevli denklem seti sadece ( )xΦ dönüşümünün birinci bileşeni

1φ ’e göre verilecek hale dönüştürülebilir. Dönüşümün ilk terimi, (3.21) denkleminde

1h φ= olarak kullanılırsa,

[ , ] 1 1 1

2

( ) ( ) ( )

0 ( ) 0.f g f g g f

g

L x L L x L L x

L x

φ φ φ

φ

= −

= − = (3.37)

Böylece,

[ , ] 1( ) 0f gL xφ = (3.38)

olduğu gösterilmiş olur.

26

Tümevarımsal olarak bu işlem, dönüşümün bileşenleri için elde edilen diğer kısmi

türevli denklemler kullanılarak sürdürülürse,

1

1( )

1( )

( ) 0; 0,1, , 2

( ) 0

kf

nf

g

g

L x k n

L x

φ

φ−

= = −

≠

ad

ad

(i)

(ii)

K

(3.39)

(3.39) kuralı oluşturulur.

Sonuç olarak ele alınan sistem için, (3.39) ile verilen koşulları sağlayacak bir 1φ

fonksiyonu bulunabilirse, elde edilmek istenen koordinat dönüşümünün diğer 1, , nφ φK

bileşenleri de (3.36) kuralı kullanılarak elde edilir. Sistemin doğrusalsızlıklarını yok

etmek için kullanılan u kontrol girişi kuralı (3.34)’den elde edilir.

f n g nL L u vφ φ+ = (3.40)

(3.40) denklemi kullanılarak yeni durum geribeslemesi kuralı ,

1 ( )f ng n

u v LL

φφ

= − (3.41)

olacak şekilde bulunur.

Böylece koordinat dönüşümü problemi, seçilen 1φ ’e göre (3.35) ile verilen denklem

setinin çözümüne indirgenmiş olur.

Böyle bir çözümün elde edilebilmesi için ilk olarak hesaplanacak

1, ( ), , ( )nf fg g g−ad adL Lie çarpımlarının doğrusal olarak bağımsız olması gerekir.

Eğer bu koşul gerçeklenmezse, sistemi tanımlayan vektör alanlarının herhangi bir

mertebeden Lie çarpımı;

27

1

0( ) ( )

ii kf k f

kg gα

−

== ∑ad ad (3.42)

olacak şekilde türetilebilir demektir. Bu durumda 1( )nf g−ad ; 1, ( ), , ( )n

f fg g g−ad adL

çarpımlarının doğrusal birleşimi olacaktır ve bu durum (3.35) ile verilen kuralı

sağlamayacaktır. Yine Frobenius teoremine göre (3.39(i)) kuralının sağlanması için 2, ( ), , ( )n

f fg g g−ad adL çarpımlarından elde edilen vektör alanları setinin involutif

olması gerekir.

Bu iki gereklilik durumu bir araya getirilerek geribeslemeli doğrusallaştırma için

aşağıda verilen teorem oluşturulabilir.

Teorem (Geribeslemeli doğrusallaştırılabilirlik)

(3.43)’de ( )f x ve ( )g x gibi iki düzgün vektör alanı ile verilen bir doğrusal olmayan

sistem;

( ) ( )x f x g x u= +& (3.43)

eğer ve sadece eğer aşağıda verilen iki koşulu sağlıyorsa geribeslemeli

doğrusallaştırılabilirdir (Su 1982):

1. Hesaplanacak 1[ , ( ), , ( )]nf fg g g−ad adL vektör alanı seti doğrusal olarak

bağımsız olmalıdır.

2. 2[ , ( ), , ( )]nf fg g g−ad adL vektör alanı seti involutif olmalıdır.

28

Tanım (Bağıl Derece): Dinamikleri (3.15)'deki gibi verilen bir sistem, eğer aşağıdaki

koşulları sağlıyorsa, n bağıl derecesine sahiptir, denilir (Isidori 1995).

1

( ) 0 ( 1)( ) 0

kg f

ng f

L L h x k nL L h x−

= < −≠

(3.44)

Bir sistemin bağıl derecesi kavramı fiziksel olarak ifade edilmek istenirse, sistemin

çıkışının zamana göre türevinin alınması ve çıkışın türevinde sistemin girişinin açıkça

ortaya çıkmasına değin türev alma işlemine devam edilmesi şeklinde düşünülebilir.

Sistem giriş değişkeninin, sistemin çıkışının türevi denkleminde açıkça ortaya çıktığı

noktadaki türevlenme sayısı sistemin bağıl derecesini verecektir (Hassibi 1991).

Açıklama: Eğer sistemin bağıl derecesi sonsuzsa, yani;

( ), ( ), , ( ),kg g f g fL h x L L h x L L h xK K

türevleri tüm k değerleri için sıfırsa, bu sistemin bağıl derecesi tanımsızdır, denilir

(Isidori 1995).

Bir sistemin bağıl derecesinin tanımsız olması, sistemin çıkışının hiçbir şekilde sistemin

girişine bağlı olmadığını, sistem çıkışının sadece sistemin başlangıç durumuna bağlı

olacak şekilde değiştiğini gösterir. Dolayısıyla böyle bir sistem için geribeslemeli

doğrusallaştırma kuralı oluşturulamaz.

Örnek bir SISO sistemin doğrusal eşdeğerinin elde edilmesinde, geribeslemeli

doğrusallaştırma kurallarının hesaplanması basamakları aşağıda gösterilmiştir.

29

1 2

2 1 1 3

3 4

4 1 3

sin( ) ( )

1( )

x x

MgL kx x x x

I Ix x

kx x x u

I J

=

= − − −

=

= − − +

&

&

&

&

(3.45)

(3.45) denklem seti ile ifade edilen bir doğrusal olmayan sistem düşünülsün.

Sistem (3.23) formunda aşağıdaki gibi yazılır.

2

1 1 3

4

1 3

00sin( ) ( )

( ) ( ) 011( )

xMgL kx x x

I If x g xx

k x x u JI J

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥− − − ⎢ ⎥⎢ ⎥= = ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥− − + ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

(3.46)

Dolayısıyla n=4’dür ve bu sistemin geribeslemeli doğrusallaştırma koşullarının

sağlanması için,

{ }, ( ), ( ), ( ) 4rank =2 3f f fg ad g ad g ad g (3.47)

ve

{ , ( ), ( )}2f fg ad g ad g (3.48)

involutif omalıdır. Gerekli hesaplamalar yapılırsa;

30

2

2

0 0 0

0 0 0, ( ), ( ), ( ) 10 0

1 0 0

kIJ

kIJ

kJ J

kJ J

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

⎡ ⎤ = ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

2 3f f fg ad g ad g ad g (3.49)

matrisinin rankı ve dolayısıyla sistemin bağıl derecesi ‘4’dür. { , ( ), ( )}2f fg ad g ad g

vektör alanları seti; sabit değerde olduğundan ve sabit vektörlerin birbirlerinin doğrusal

birleşimleri olarak ifade edilebileceğinden, bir involutif set oluşturur. Dolayısıyla bu

sistem geribeslemeli doğrusallaştırılabilirdir. Yeni koordinatlar;

1, , 4i iy iφ= = K (3.50)

4n = durumunda dönüşüm koşulları;

2

3

1

[ , ] 1

1( )

1( )

0

0

0

0f

f

g

f g

ad g

ad g

L

L

L

L

φ

φ

φ

φ

=

=

=

≠

(3.51)

gibi olacaktır. Tüm bu Lie türevleri hesaplanırsa;

1 1 1

2 3 40; 0; 0;

x x xφ φ φ∂ ∂ ∂

= = =∂ ∂ ∂

(3.52)

ve

1

10

xφ∂

≠∂

(3.53)

31

olacaktır. Bu hesaplamalardan ortaya çıkan 1( )xφ fonksiyonun sadece 1x durumunun

bir fonksiyonu olması gerektiğidir. Bu koşulu sağlamak için;

1 1 1( )y x xφ= = (3.54)

seçilebilir. Böylece dönüşümün diğer bileşenleri (3.55)’deki gibi hesaplanmıştır.

2 2 1 2

3 3 2 1 1 3

4 4 3 1 2 2 4

sin( ) ( )

cos( ) ( )

f

f

f

y L x

MgL ky L x x xI I

MgL ky L x x x xI I

φ φ

φ φ

φ φ

= = =

= = = − − −

= = = − − −

(3.55)

(3.41) kuralı kullanılarak geribeslemeli doğrusallaştırma kontrol girişi;

1 ( ) ( ( )) ( ) ( )f ng n

IJu v L v a x x v xL k

φ β αφ

= − = − = + (3.56)

21 2 1

1 3 1

( ) sin( )( cos( ) )

( )( cos( ))

MgL MgL ka x x x xI I Ik k k MgLx x xI I J I

= + +

+ − + +

gibi hesaplanır. Böylece, hesaplanan geribeslemeli kontrol kuralları sisteme

uygulanarak elde edilen eşdeğer sistem doğrusal normal forma dönüştürülmüş olur.

1 2

2 3

3 4

4

y yy yy yy v

==

=

=

&

&

&

&

(3.57)

32

3.3 Robot Manipülatörlerin Geribeslemeli Doğrusallaştırılması

Robot manipülatörün referans takip çıkışı y, eklemlerin hareket uzayında verilerek

manipülatörün dinamikleri aşağıdaki gibi gösterilebilir:

( ) ( )( )

x f x g x uy h x= +=

&

burada f(x), g(x) ve h(x) düzgün gerçel değerli fonksiyonlar ve u sayıl değerdir. Gerçek

geribeslemeli doğrusallaştırma problemi:

( ) ( )u x x vα β= +

şeklinde, aşağıdaki gibi verilen bir doğrusal olmayan koordinat dönüşümüne tabi

tutulacak, bir durum geribesleme kuralının bulunması şeklinde tanımlanır.

( )z x= Φ

( )xΦ , n değişkenin nR değerli fonksiyonlarını gösterir:

1 1

1

( , , )( )

( , , )

n

n n

x xx

x x

φ

φ

⎡ ⎤⎢ ⎥Φ = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

L

M

L

Bu dönüşüm aşağıdaki özellikleri sağlar:

• ( )xΦ tersinebilirdir, yani; her nx R∈ için 1( ( ))x x−Φ Φ = olacak şekilde bir

1( )z−Φ dönüşümü vardır.

• ( )xΦ ve 1( )z−Φ dönüşümlerinin her ikisi de düzgün eşlemelerdir.

33

Böylece robot manipülatör sistemin davranışı aşağıdaki gibi verilen bir doğrusal

sistemle aynı hale gelir.

( )z z uy h z= +=

A B&

burada, 0

0⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

IA

I,

0⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

BI

olarak verilir.

3.3.1 Tek eklemli robot manipülatörlerin doğrusallaştırılması

Aşağıdaki durum ve çıkış denklemleri ile ifade edilen tek eklemli bir robot manipülatör

sistemi düşünülsün.

1 2

2 2 1 2 2 1 2

0( , ) ( , )

x xu

x f x x g x x⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

&

& (3.58)

1( )y h x=

Bu durumda, ( )z x= Φ dönüşümü, (3.32)’de verilen iki değişkenli 2R değerli bir

fonksiyon ile ifade edilir.

1 1 2

2 1 2

( , )( )

( , )x x

xx x

φφ⎡ ⎤

Φ = ⎢ ⎥⎣ ⎦

(3.59)

( )z x= Φ dönüşümünün her iki tarafının zamana göre türevi alınarak sistem denklemi

aşağıdaki gibi yazılabilir:

[ ( ) ( ) ] Af x g x u z bvx

∂Φ+ = +

∂ (3.60)

34

Önceki bölümde gösterildiği gibi, (3.35)’de verilen denklem kuralları kullanılarak,

(3.61)’de verilen kısmi türevli denklem seti elde edilir.

1 1 2

2 2

f g

f g

L L u

L L u v

φ φ φ

φ φ

+ =

+ = (3.61)

Φ , u kontrol girişinden bağımsız; v girişi ise u kontrol girişine bağlı olduğundan,

dönüşümün bileşenleri için g boyunca Lie türevleri aşağıdaki gibi oluşacaktır:

1

2

( ) 0

( ) 0g

g

L x

L x

φ

φ

=

≠ (3.62)

dolayısıyla,

2 1( ) ( )fx L xφ φ= (3.63)

olarak elde edilir.

Böylece problem, 1φ için çözüme indirgenir. Daha önceki bölümde verilen analiz, tek

eklemli robot manipülatörlerin geribeslemeli doğrusallaştırma probleminin çözümü için

de kullanılabilir. Aşağıdaki kuram ile tek eklemli robot manipülatör sisteminin

geribeslemeli doğrusallaştırma probleminin çözümü için gerekli koşul verilmiştir.

Kuram: Tek eklemli robot manipülatör sistemleri için geribeslemeli doğrusallaştırma

problemi, eğer ve ancak eğer bu sistem, tüm durum bölgesinde, “2” bağıl derecesine

sahipse, çözülebilirdir.

Kanıt. Eğer sistem 2 bağıl derecesine sahipse, ( ( )) 0g fL L h x ≠ ’dır. Böylece çıkış

fonksiyonu ( )h x , dönüşümün ilk bileşeni 1φ seçilerek, 1 ( )h xφ = ; (3.61-62)

denklemlerinden durum geribeslemesi kuralı;

35

( )21 ( )( ) f

g f

u L h x vL L h x

= − + (3.64)

şeklinde hesaplanır ve sistem bu geribesleme kuralı uygulanarak, (3.25) denklemindeki

doğrusal forma dönüştürülmüş olur.

Daha önce verilen açıklamalar temelinde, tek eklemli robot manipülatörlerin

geribeslemeli doğrusallaştırma probleminin çözümü için ( )z x= Φ koordinat

dönüşümünün ve ( ) ( )u x x vα β= + geribeslemesinin yapılandırılması prosedürü,

aşağıdaki basamaklar ile özetlenebilir:

• f(x) ve g(x) kullanılarak, ( ), ( ), ( )g f g fL h x L h x L L h x türevleri elde edilir ve bağıl

derece sorgulanır.

• Eğer sistem tüm durum alanında ‘2’ bağıl derecesine sahip ise koordinat

dönüşümü ve durum geribeslemesi aşağıdaki gibi ayarlanır:

( )

( )( )f

h xx

L h x⎡ ⎤

Φ = ⎢ ⎥⎣ ⎦

(3.65)

ve

21 ( ( ) )( ) f

f g

u L h x vL L h x

= − + (3.66)

• Eğer y(t) çıkışının ( ) ( )Ry t r t= gibi bir referans girişini izlemesi isteniyorsa,

kontrol girişi aşağıdaki gibi ayarlanır:

21 ( ( ) )( ) f

f g

u L h x rL L h x

= − + && (3.67)

36

Şekil 3.2 Tek eklemli robot manipülatör sistemi için geribeslemeli doğrusallaştırma

Tek eklemli robot manipülatörler için geribeslemeli doğrusallaştırma metoduna dayalı

kontrol tasarımı aşamaları Şekil 3.2’de blok düzeneği halinde gösterilmiştir.

Şekilde gösterildiği gibi kontrol tasarımı; ilk olarak sistemin tüm durum bilgisini işleyen

bir doğrusallaştıran kontrol edici döngüsü ile sistemin doğrusal eşdeğerinin türetilmesi

ve daha sonra ikinci bir kontrol döngüsü ile sistemin referans yörünge boyunca

sürülmesi şeklinde iki aşamada gerçekleştirilir.

Sonuç olarak geribeslemeli doğrusallaştırma uygulandıktan sonra, durum geribeslemesi,

doğrusal olmayan sistemi, davranışı aşağıdaki gibi “çift integratör” transfer

fonksiyonuna sahip doğrusal bir eşdeğer sisteme dönüştürür:

2

1( ) .G ss

= (3.68)

Tek eklemli robot manipülatörlerin doğrusallaştırmasında geribeslemeli

doğrusallaştırma kurallarının hesaplanması prosedürünü göstermek için basit bir tek

eklemli dönen robot kol modeli kullanılmıştır.

37

Şekil 3.3 Tek eklemli dönen robot kol

Şekil 3.3’de verilen, kolu l uzunluğunda ve m kütlesine sahip; u torku kontrol girişi ile

bir tek eklemli dönen robot kol sistemi düşünülsün. Bu sistemin matematiksel modeli

Euler-Lagrange formülasyonu kullanılarak aşağıdaki gibi elde edilir.

2 sinml mgl uθ θ+ =&& (3.69)

2sin

wg u

wl ml

θ

θ

=

= − +

&

& (3.70)

Sistemin durum değişkenleri açısal konum 1x θ= ve açısal hız 2x ω= olarak

tanımlanarak, sistem aşağıdaki durum uzayı formunda verilir.

2

1 21

sin

0xx g

xl ml

u=−

⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ + ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

& (3.71)

n=2’dir ve sistemin geribeslemeli doğrusallaştırma koşullarının sağlanması için gerekli

iki koşul verilirse;

38

• g sabit bir fonksiyon olduğundan involutiftir.

• [ ]2

2

10, ( )

1 0

ml

ml

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

fg ad g (3.72)

matrisinin rankı ve sistemin bağıl derecesi ‘2’dir.

Sistemin çıkışı 1 1( )y x xφ= = gibi dönüşümün ilk bileşeni olarak şeçilerek;

1 1 1

2 2 1 2

( ).f

z x xz L x

φφ φ

= == = =

(3.73)

(3.41) kuralı kullanılarak geribeslemeli doğrusallaştırma kontrol girişi;

21lgsinu ml v m x= + (3.74)

olacak şekilde tasarlanarak sistem doğrusal forma dönüştürülmüş olur. Böylece tek

eklemli manipülatör, (3.75)’de verilen doğrusal eşdeğer forma indirgenmiş olur.

1 2

2

x xx v==

&

& (3.75)

3.3.2 Çok eklemli robot manipülatörlerin doğrusallaştırılması

Tek eklemli robot manipülatör sistemi için geliştirilen yaklaşım, çok eklemli robot

manipülatörler için genişletilebilir. Genel olarak robotik sistemler, giriş ve çıkış kanal

sayılarının aynı olması özelliğini paylaşırlar ve bu özellik sayesinde tek eklemli robot

39

manipülatörler için geliştirilen prosedürün büyük kısmı doğrudan çok eklemli robot

manipülatörlere uygulanmak üzere genişletilebilir.

İlk olarak, bağıl derecenin uygun bir çok değişkenli versiyonu tanımlanmalıdır.

Tanım (Çok degişkenli bağıl derece)

( ) ( )( )

x f x g x uy h x= +=

& (3.76)

(3.76)'deki gibi verilen çok değişkenli bir doğrusal olmayan sistem, eğer aşağıdaki

koşulları sağlıyorsa, 1 2, , , mr r rK gibi bir vektör bağıl derecesine sahiptir (Isidori 1995):

• x, tüm 1 i m≤ ≤ , tüm 1ik r< − ve tüm 1 j m≤ ≤ değerleri için;

( ) 0j

kg ifL L h x = (3.77)

• (3.78)’de verilen mxm A matrisi tekil olmayacak şekilde türetilebilmelidir.

1 1

1

1

1 11

1 1

( ) ( )

=

( ) ( )

m

m m

m

r rg f g f i

r rg f m g f m

L L h x L L h x

L L h x L L h x

− −

− −

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

A

L

M O M

L

(3.78)

A matrisinin tekil olmaması koşulu; SISO sistemler için bağıl derece tanımındaki

1rg fL L h− bileşeninin sıfırdan farklı olması koşulunun, uygun bir çok değişkenli

uyarlaması olması kabulünden kaynaklanmaktadır.

Çok eklemli bir robot manipülatör sisteminin bağıl derecesi; her bir giriş-çıkış kanalına

karşılık gelen bağıl derecelerin toplamına eşittir.

40

1

m

ii

r r=

= ∑

MIMO bir doğrusal olmayan sistemin bağıl derecesi, (3.79)’da verilen koşulu

sağlıyorsa, sistem kontrol edilebilirdir (Henson and Seborg, 1991).

1 2 mr r r n+ + + ≤K (3.79)

Şu halde 1 2{ , , , }mr r rK gibi bir vektör bağıl derecesine sahip doğrusal olmayan bir robot

manipülatör sistemi için, 1 2 mr r r n+ + + =K olacak şekilde, 1 i m≤ ≤ için aşağıdaki

gibi bir koordinat dönüşümü elde edilebilir:

1

1

2

1

1 11 1

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ( ), , ( ), , ( ), , ( ))

i

i

m

ii

if i

rir f i

m mr r

x h xx L h x

x L h x

x col x x x x

φφ

φ

φ φ φ φ φ

−

==

=

=

M

K K K

(3.80)

Yukarıdaki gibi bir (3.80) koordinat dönüşümü uygulanarak özel bir forma indirgenen

doğrusal olmayan robot manipülatör sistemi daha sonra aşağıdaki teoremde verilen

geribesleme kuralı türetilerek doğrusal eşdeğer forma dönüştürülür.

Teorem (3.81)’deki gibi tanımlanan, m girişe ve m çıkışa sahip, çok eklemli bir robot

manipülatör sistemi ele alınsın;

1

1 1

( ) ( )

( )

( )

m

i ii

m m

x f x g x u

y h x

y h x

=

= +

=

=

∑&

M

(3.81)

41

Tüm 1 i m≤ ≤ , 1ik r< − ve durum alanındaki tüm x'ler için ( ) 0i

kg f iL L h x = olduğu, ve

yine 1 i m≤ ≤ için;

1

1 1[ ( ) ( )] [0 0]i i

m

r rg f i g f iL L h x L L h x− − ≠L L (3.82)

olduğu kabul edilsin. Bu durumda eğer ve sadece eğer sistem tüm durum alanı üzerinde

1 2{ , , , }mr r rK vektör bağıl derecesine sahipse, geribeslemeli doğrusallaştırma ile kontrol

problemi çözülebilir, denir ve doğrusallaştıran u kontrol girişi (3.83) denkleminin

çözümü ile bulunur (Isidori 1995).

1

2

1 1

2 2

( )( )

A( ) 0

( )m

rf

rf

rf m m

L h x vL h x v

x u

L h x v

⎡ ⎤−⎢ ⎥−⎢ ⎥ + =⎢ ⎥⎢ ⎥

−⎢ ⎥⎣ ⎦

M (3.83)

3.4 Önerilen Yaklaşık Geribeslemeli Doğrusallaştırma Yaklaşımı

Geribeslemeli doğrusallaştırma metodu kullanılarak doğrusal olmayan kontrol

tasarımında iki ayrı kontrol döngüsü kullanılarak sistemin kontrolü gerçekleştirilir.

Böyle bir kontrol düzeneğinde ilk olarak bir iç döngüde sistemin dinamiklerini

doğrusallaştıran bir durum geribeslemeli kontrol edici tasarlanır. Bu doğrusallaştıran

kontrol edici ile sistemin dinamikleri doğrusallaştırılarak, elde edilen eşdeğer doğrusal

dinamikte sistem için, ikinci bir döngüde sistemin sürüleceği doğrusal kontrol tasarımı

yapısı oluşturulur. Sonuç olarak kontrol tasarımı düzeneği iki iç içe kontrol döngüsü

şeklinde yapılandırılmaktadır.

Robot manipülatör sistemlerin matematiksel modelleri, doğası gereği çift-integratör

özelliği gösterirler. Bu tezde verilen yaklaşık geribeslemeli doğrusallaştırma yaklaşımı

ile robot benzeri sistemlerin kontrol tasarımında, doğrusallaştıran kontrol edici ile

sistemi süren kontrol edicinin paralel olarak çalışabileceği bir tasarım yapısı

42

önerilmiştir. Böylece kontrol tasarımı yapısında doğrusallaştıran kontrol edici ile

sistemi süren kontrol edici, her ikisi de bir dış kontrol döngüsünde tasarlanacak ve aynı

hata bilgisini kullanarak çalışacaktır.

Gerçek geribeslemeli doğrusallaştırmada sistemin durum bilgisinin mevcut olduğu

kabul edilir. Sistemin durumlarına ve muhtemelen de dışsal referans girişlerine bağlı

olarak, sistemin kontrol girişi doğrusalsızlıkları yok edecek şekilde tasarlanır (Hassibi

1991). Bu tezde önerilen yaklaşım ile robot manipülatör sistemlerinin sadece çıkış

hatası bilgisi kullanılarak ne ölçüde ve nasıl doğrusal davranış gösterecek bir forma

indirgenebilecekleri gösterilmiştir. Önerilen doğrusal olmayan kontrol yaklaşımı ile

sistemi doğrusallaştıran kontrol edici, doğrusal yörünge takibi kontrol edicisi ile aynı

hata bilgisini kullanacak ve paralel çalışacak şekilde sistemin dış kontrol döngüsüne

aktarılmıştır.

Yaklaşımın matematiksel dayanağını göstermek için sistemin çıkışı, bir dc bileşen ve

bir de değişken bileşen olmak üzere ayrıştırılsın;

( ) '( )h x h x= + Λ (3.84)

Burada Λ bir sabit değerdir. Doğrusallaştırma algoritmasında çıkış fonksiyonu, sistem

çıkışının değişken bileşeni '( )h x olarak atanırsa, 3.2 bölümünde verilen

doğrusallaştırma dönüşümü için oluşturulan kurallar yine geçerli olacak ve sistemin

bağıl derecesi değişmeyecektir.

( ) ( )2 2((

1 1'( ) ) '( )'( ) ) '( )f f

g gf fu L h x v u L h x v

L L h x L L h x⇒= − + Λ + = − +

+ Λ(3.85)

Bu koşullarda sisteme genliği Λ olan bir basamak girişinin uygulandığı düşünülürse

sistem çıkışının değişken bileşeni,

( ) '( ) '( )h x h x h xε ε= Λ − = Λ + ⇒ = − (3.86)

43

şeklinde oluşacaktır. Bu koşullar (3.3.1) bölümünde verilen tek eklemli robot

manipülatör kontrol sistemi için düşünülürse, bu sistemin Λ genliğinde bir basamak

uyarımına tepkesi, sistem çıkışının kendi kalıcı durum değerine üssel olarak artması

şeklinde ortaya çıkacaktır.

1

tx e τ

−= Λ −Λ (3.87)

Sistemin çıkış hatası da buna paralel bir davranış ile üssel bir şekilde düşecektir.

t

e τε−

= Λ

Burada verilen eşitliklerden görüldüğü üzere tek eklemli robot manipülatör kontrol

sisteminin çıkışı, bir Λ sabit değeri ve ε çıkış hatası bileşeni olarak ayrıştırılabilir.

Dolayısıyla sistem için geliştirilen doğrusallaştıran kontrol edici tasarımında sistem

çıkışı, çıkış hatasına atanarak kullanılırsa doğrusallaştıran kontrol kuralları

değişmeyecektir.

Bir sonraki aşama olarak sistemin çıkışı ve çıkış hatası sinyallerinin zamana göre

türevleri alınırsa, her iki türevin benzeş olarak ortaya çıktıkları görülür.

1

t

t

x e

e

τ

τ

τ

ετ

−

−

Λ=

Λ=

&

&

(3.88)

Robot manipülatör sistemlerinin çift integratör özelliği göstermesinden dolayı, sistemin

diğer durum bilgisi, sistem çıkışının türevi olacağından, bu durum bilgisi de çıkış hatası

üzerinden taklit edilebilir.

Tüm bu benzerlikler doğrusallaştıran kontrol edicinin tamamiyle çıkış hatası bilgisi

üzerine yapılandırılabilmesine imkan tanımıştır.

44

Bu yaklaşım, bir dizi pals olarak yaklaşılabilecek diğer tipte sistem girişleri için de,

sistemlerin doğrusallaştırılmasında kullanılabilir. Böyle bir doğrusallaştırma düzeneği

ile sistemlere doğrusal yaklaşıklar elde edilebilir, dolayısıyla bu yaklaşım ‘yaklaşık

geribeslemeli doğrusallaştırma’ olarak adlandırılmıştır.

Bu durum Şekil 3.4’deki sistemin blok diyagramından da daha açık olarak gözlenebilir.

Şekil 3.4 Birim basamak girişi için kontrol sistemi sinyal akışı

Sisteme basamak girişi uygulandığında, robot manipülatör sistemin çift integratör

özelliğinden dolayı sistemin durumları, çıkış hatası sinyaline benzer olarak üssel bir

şekilde değişmektedir.

Doğrusal olmayan kontrol tasarımında yaklaşık geribeslemeli doğrusallaştırma düzeneği

uygulamasının Şekil 3.5’de verilen blok diyagram yorumu, doğrusallaştıran kontrol

edicinin nasıl işleyeceğini daha açık bir biçimde göstermektedir. Blok diyagramında da

görüldüğü gibi, gerçekleştirilen yaklaşık geribeslemeli doğrusallaştırma yaklaşımı ile,

kontrol tasarımı algoritmasında, doğrusallaştıran kontrol edici ile sistemi referans

yörünge boyunca süren kontrol edici paralel çalışacak şekilde bir araya getirilmektedir.

Gerçek geribeslemeli doğrusallaştırma metodolojisinden faydalanılarak doğrusallaştıran

kontrol edici tasarımı için hesaplanan doğrusal olmayan durum geribeslemesi kuralları,

gerçek geribeslemeli doğrusallaştırmaya dayalı kontrol tasarımı düzeneğinde, sistemin

45

tüm durum bilgisini kullanarak bir iç kontrol döngüsünde gerçekleştirilirken; tezde

önerilen yaklaşım ile sistemin çıkış hatası üzerine türetilen taklit durum değişkenleri

kullanılarak geribeslemeli doğrusallaştırma metodolojisine dayalı doğrusallaştıran

kontrol edici tasarımı, doğrusal kontrol edici ile paralel çalışacak şekilde tasarlanarak,

ikinci bir kontrol döngüsü gereksinimi ortadan kaldırılmıştır.

Şekil 3.5 Gerçek geribeslemeli/önerilen doğrusallaştırma ile kontrol tasarımı blok

düzeneği

Gerçek Geribeslemeli

Doğrusallaştırma Düzeneği*

Önerilen Doğrusallaştırma

Düzeneği**

46

3.5 PID Kontrol

Doğrusal eşdeğeri elde edilen sistemlerin yörünge takibi kontrolü için gerçekleştirilen

kontrol sistemi benzetimlerinde PID kontrol edicilerden faydalanılmıştır. PID kontrol

edicinin genel yapısı Şekil 3.6'da gösterildiği gibi oransal, integral ve türevsel terimlerin

bir araya getirilmesi ile oluşturulur.

Şekil 3.6 PID kontrol edici genel yapısı

PID kontrol edicinin oransal bileşeni geribeslemeli kontrol hatasını azaltır, fakat kontrol

edilen sisteme bağlı olarak çıkış ile giriş arasında kalıcı durum hatası oluşmasına neden

olabilir. Yine sistemin tepki hızını da artırabilir fakat bununla birlikte sistemde ortaya

çıkan başlangıç hatasının genliği de artacaktır. İntegral bileşeni kalıcı durum hatasının

yok edilmesine imkan tanır. Türevsel bileşen de geçici rejim süresince ortaya çıkan

başlangıç sapmalarının genliklerini azaltır, fakat bununla birlikte sistemin tepki hızını

da yavaşlatacaktır (Ceylan 2001). Dolayısıyla PID kontrol edici tasarımında doğru

parametre değerlerinin bulunması gerekir. Bu çalışmada, PID kontrol edici

parametrelerinin ayarlanmasında MATLAB/Simulink ortamında mevcut benzetim

araçlarından faydalanılmıştır.

y

K

i sKT

d sKT

Sistem r e

47

4. ARAŞTIRMA BULGULARIEquation Chapter (Next) Section 4

Bu bölümde daha önce teorik açıklamaları verilen, robot manipülatör sistemlerinin

kontrol tasarımı için önerilen yaklaşık geribeslemeli doğrusallaştırma metodunun

sınanması ve yörünge takibi performansının değerlendirilmesi amaçlanmıştır.

Bu amaçla, üç serbestlik dereceli bir silindirik robot manipülatörün matematiksel

modeli çıkarılarak MATLAB/Simulink ortamında benzetimleri gerçekleştirilmiştir.

Sistem benzetimi kullanılarak, önerilen yaklaşık geribeslemeli doğrusallaştırma

algoritması, robot manipülatör sisteminin yörünge takibi kontrolü tasarımında

kullanılmıştır. Kontrol performansı değişik yörünge durumları için değerlendirilmiştir.

4.1 Silindirik Robot Manipülatörün Matematiksel Modeli

Çoğu uygulamalarda robot manipülatör sistemlerinin dinamik modelinin elde edilmesi

için, literatürde Lagrange denklemleri olarak da anılan Euler-Lagrange denklemlerinden

faydalanan Lagrange formülasyonu kullanılır. Lagrange formülasyonunda, hareket

denklemleri, robot manipülatörün eklemlerindeki harekete bağlı kinetik enerji ve

eklemler üzerinde yüklü potansiyel enerji ifadeleri kullanılarak oluşturulur. (Koivo

1989)

Şekil 4.1’de fiziksel yapısı verilen ve Şekil 4.2’de hareket diyagramı gösterilen

silindirik robot manipülatörün hareketini göstermek için T1 2 3( ) [ ( ) ( ) ( )]q t q t q t q t= gibi

3 bağımsız koordinat değişkeni seçilmiştir. Seçilen koordinatlarda, silindirik robot

manipülatör için ( , , )K q q t& kinetik enerji ve P(q,t) potansiyel enerji ifadeleri

hesaplanmıştır.

48

Şekil 4.1 Silindirik robot manipülatör sistemi

Şekil 4.2 Silindirik robot manipülatörün hareket diyagramı

49

Sistem için Lagrange enerji fonksiyonu L, üç eklemin kinetik enerji ve potansiyel enerji

bileşenlerinin farkı şeklinde oluşturulmuştur.

( , , ) ( , , ) ( , )L q q t K q q t P q t= −& & (4.1)

Silindirik robot manipülatörün hareket denklemleri, hesaplanan (4.1) enerji fonksiyonu

kullanılarak (4.2)’de verilen Lagrange denklemleri ile elde edilmiştir:

( , , ) ( , , )i

i i

d L q q t L q q t Fdt q q⎡ ⎤∂ ∂

− =⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦

& &

& & (4.2)

burada iF , her bir eklem için iq koordinatları doğrultusundaki kuvvet ve torklardır.

4.1.1 Hareket denklemlerinin elde edilmesi

Silindirik robot manipülatör, endüstriyel işlemlerde kullanılan, silindir şeklinde çalışma

uzayına sahip olan üç serbestlik dereceli bir robot manipülatördür. Silindirik

manipülatörün iki düz hareket eden ve bir dönel hareket eden olmak üzere toplam üç

eklemi bulunur.

Modelleme için, robot manipülatörün üçüncü serbestlik derecesini teşkil eden

bağlantısının uzunluğu l, ve birim uzunluğa düşen ağırlığı sabit /Am l olarak verilmiştir.

Bu bağlantının boyu, bağlı olduğu eklemin göbek üzerinde yatay kayma hareketiyle

değişmektedir. Eklemin bu hareketine robot manipülatör üzerinde bir kuvvet karşı

koymaktadır. Bu kuvvet, sistem modellemesinde sk yay sabitine sahip ve robot

manipülatörün tutucu ucu 2 / 3r l= konumunda iken sıfır kuvvet uygulayan bir yay ile

modellenmiştir.

Manipülatörün ikinci serbestlik derecesini teşkil eden bağlantısı, tutucu ucun

yüksekliğini belirlemektedir. Hareketi sağlayan eklem manipülatörün göbeğine, dikey

50

kayma hareketi yapacak şekilde yerleştirilmiştir. Yine bu eklemin hareketine de karşı

koyan ve zk yay sabitli bir yay ile modellenen bir karşı kuvvet mevcuttur, bu kuvvet de

0z l= noktasında sıfır olmaktadır.

Birinci serbestlik derecesini sağlayan dönel eklem robot manipülatörün göbek

bölümüne konumlandırılmıştır. Dönel eklem, tutucu ucun açısal konumunu belirler.

Robot manipülatörün göbek bölümü, ağırlık merkezi z-ekseni üzerinde olmak kaydıyla,

hm ağırlığına sahiptir. Tutucu uçtaki yükün ağırlığı da Lm olarak verilmiştir.

Silindirik robot manipülatörün dinamik denklemleri (4.3) denklemi kullanılarak

oluşturulmuştur.

( ) ( , ) ( )u M q q P q q G q= + +&& & (4.3)

burada [ ]Tr zu F Fθτ= eklemlerin giriş kuvvet/tork vektörü, [ ]Tq r zθ= eklemlerin

konum vektörü, [ ]Tq r zθ= && & & eklemlerin hız vektörü, [ ]Tq r zθ= &&&& && && eklemlerin ivme

vektörü olarak tanımlanmıştır. M pozitif tanımlı atalet ve kütle matrisi, P merkezkaç

ve savrulma etkilerinin matrisi ve G yerçekimi bileşenlerini içeren vektördür.

İlk olarak silindirik manipülatörün Lagrange enerji fonksiyonu hesaplanmıştır.

Manipülatörün tutucu ucunun konumu, r, θ ve z gibi sistemdeki üç serbestlik derecesini

gösteren bağımsız koordinatlar ile verilmiştir.

1r q= 2qθ = 3z q=

Lagrange enerji fonksiyonu, sistemdeki kinetik ve potansiyel enerjilerin farkı ile

belirlenmiştir. Kinetik enerji, yatay düzlemdeki dönel ve düz hız bileşenleri ve dikey hız

bileşeni kullanılarak ifade edilir. Yaylarda yüklü enerji değerleri ve yerçekimi etkisi

potansiyel enerji için oluşturulan denklemler içerisinde ifade edilir. Böylece Lagrange

51

enerji fonksiyonu (4.4)’deki gibi oluşturulmuştur:

2 2

2 2 2

2 20

( , , ; , , )1 1 1( ) [( ) ]2 2 21 1 1( ) ( ) ( )2 2 2

1 2 1( ) ( )2 3 2

A L A

A h L A h L

s z

L r z r z K P

m m r m r

r m m m z I m m m gz

lk r k z l

θ

θ θ

θ

θ θ

= −

= + + − +

+ + + + − + +

− − − −

&& &

&&

& && (4.4)

burada Iθ , Am ve Lm dışında kalan dönen kütlelerin etkin atalet momentini gösterir.

Modelde kullanılan hareket denklemleri; 1q r= , 2q θ= ve 3q z= koordinatları

kullanılarak, (4.4) Lagrange enerji fonksiyonu, (4.5) Lagrange denklemlerinde yerine

konularak hesaplanmıştır.

r

z

d L L Fdt r rd L Ldtd L L Fdt z z

θτθθ

∂ ∂⎛ ⎞ − =⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠∂ ∂⎛ ⎞ − =⎜ ⎟ ∂∂⎝ ⎠∂ ∂⎛ ⎞ − =⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

&

&

&

(4.5)

burada rF ve zF , sırasıyla r ve z koordinatları doğrultularında işleyen düz hareketi

sağlayan eklemlere etkiyen kuvvetlerdir; θτ , z ekseni merkezli olarak dönme hareketini

sağlayan ekleme etkiyen torktur.

Lagrange enerji fonksiyonunun hesaplanan türevleri, (4.5) Lagrange denkleminde

kullanılarak, (4.6) hareket denklemleri hesaplanmıştır.

52

2 2 2

2 2

0

2[( ) ] ( )2 3

[ ( ) ]2

[ ] [ ]

A L A A L s r

A L

A z z z

d l lm m r m r m m r k r Fdtd lm r m r Idtd m z mg k z k l Fdt

θ θ

θ θ θ

θ θ θ τ

+ − − − + − =

− + + =

− − − + =

& & &&

& & &

&

(4.6)

2

0

2( )( / 2) 13

1 1[ 2( ) ]( ) ( )

( ) 1

sA A L

rA L A L A L

A A Lt t

zz

A A

lk rm r m l m rr F

m m m m m m

m l m m r rI r I r

k z lz g F

m m

θ

θ

θ θ τ

−− += − −

+ + +

= − + +

−= − − +

(i)

(ii)

(iii)

&&&

&& &&

&&

(4.7)

Denklemin gösterimini basitleştirmek için atalet momenti yerine;

2 2 2( ) / 4t A A L AI r I m l m r m r m rlθ= + + + − (4.8)

kullanılmıştır.

Sistemin hareket denklemlerinden (4.7i-ii) denklemleri bağlantılı türevsel

denklemlerdir, bunun yanında (4.7iii) denklemi ile bu ikisinden bağımsız bir hareket

ifade edilmektedir. Bu üç denklem ile robot manipülatörün tutucu ucunun, silindirik bir

koordinat sisteminde, hareketi benzetim ortamında gerçeklenebilir.

Bu denklemler (4.9)’da verildiği gibi ikinci mertebeden vektör türevsel denklemler

şeklinde ifade edilir:

53

2

0

2( / 2) ( )3

1 [ 2( ) ] 0( ) ( )

( )0

rA A L s

A LA LA L

A A Lt t

zz

AA

l Fm r m l m r k rm mm m m mr

m l m m r rI r I r

z k z lg Fm

m

θ

θ

τθ θ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤− +⎡ ⎤ −⎢ ⎥ −⎢ ⎥⎢ ⎥ − ++ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ +⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − + + + ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ −⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

&

&&

&& &&

&&

(4.9)

Bu ifade de, sağ taraftaki ilk vektörel terim merkezkaç ve atalet kuvvetlerini, ikinci

vektörel terim yerçekimi ve yay kuvvetlerini ve son vektörel terim de robot

manipülatörün hareketi için uygulanan kuvvet ve torkları göstermektedir. Yine buradan

da anlaşılacağı gibi robot manipülatörün z-eksenindeki hareketi, diğer eksenlerdeki

hareketlerinden etkilenmemektedir. Yatay düzlemdeki hareketlerde ise birleşiklik

etkileri ortaya çıkmaktadır.

4.1.2 Durum değişkenleri gösterimi

Bu bölümde vektör formunda verilen robot manipülatörün dinamik modelinin;

( ( ), ( ))x f x t u t=& (4.10)

gibi birinci mertebeden bir türevsel denklem seti ile ifade edilen, durum değişkenleri

gösteriminin bulunması verilecektir. Durum değişkeni gösterimi, durumlar;

1 ( )x r t= , 2 ( )x tθ= , 3 ( )x z t= , 4 1( ) ( )x t x t= & , 5 2( ) ( )x t x t= & ve 6 3( ) ( )x t x t= &

gibi tanımlanarak oluşturulmuştur. Böylece robot manipülatörün dinamik denklemleri

(4.11)’deki gibi, girişlerin ayrı bir şekilde yazıldığı ve düz doğrultuda, dönel, yay ve

yerçekimi kuvvetlerinin bir arada yazıldığı birinci mertebeden vektör türevsel denklem

formuna dönüştürülmüş olur.

54

4

5

6

4 4

5 5

6 6

000

( ) ( ) :( ) ( )( ) ( )( ) ( )

xxx

x f x g x u uf x g xf x g xf x g x

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

= + = +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

& (4.11)

2 2

1 5 5 14

4 5 1 4 55 2 2

1 1

36

6 3 6 4( ) :

62

( ) :I / 4

3 3( ) :

3

A S S

A

A A

z z

mx x m lx k x k lf x

mm lx x mx x x

f xm l mx m lx

k x k l mgf x

m

θ

− − +=

−=

+ + −− + −

=

4

5 2 21 1

6

1( ) :

1( ) :I / 41( ) :

A A

g xm

g xm l mx m lx

g xm

θ

=

=+ + −

=

burada A Lm m m= + , 1 2 3 4 5 6x=[ , , , , , ] [ , , , , , ]x x x x x x r z r zθ θ= && & durum vektörü ve

[ , , ]r zu F Fθτ= giriş vektörüdür.

Şekil 4.3’de elde edilen silindirik robot manipülatör sistem modelinin

MATLAB/Simulink ortamında oluşturulmuş benzetimi gösterilmiştir.

MATLAB/Simulink ortamında dinamik modelin oluşturulmasının detayları Ek.1’de

verilmiştir.

Şekil 4.3 3 DOF silindirik robot manipülatör modeli

55

4.2 Silindirik Robot Manipülatörün Geribeslemeli Doğrusallaştırması

Daha önceki bölümde (3.79) ile verilen, sistemin doğrusalsızlıklarını yok etmek için

yapılandırılacak doğrusal olmayan geribesleme kuralında kullanılacak 3x3 boyutlu A

matrisi, 1 2 3[ , , ]Ty x x x= çıkışlar olarak tanımlanarak (4.12)’deki gibi oluşturulmuştur:

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 1 1

2 2 2 2 21 1

3 3 3

1/ 0 0( ) ( ) ( )1A ( ) ( ) ( ) 0 0

I / 4( ) ( ) ( )

0 0 1/

g f g f g f

g f g f g fA A

g f g f g f

mL L h x L L h x L L h x

L L h x L L h x L L h xm l mx m lx

L L h x L L h x L L h xm

θ

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦ (4.12)

A matrisi, tüm durum alanında tekil olmayandır, dolayısıyla sistem

=(2, 2, 2)r (4.13)

vektör bağıl derecesine sahiptir ve 1 2 3r r r n+ + = koşulu sağlanmaktadır. Böylece A

matrisi kullanılarak sistem için doğrusal olmayan geribesleme kuralı (4.14) ile elde

edilmiştir:

2

1 12

2 22

3 3

( )( ) A( ) 0( )

f

f

f

L h x vL h x v x uL h x v

⎡ ⎤−⎢ ⎥− + =⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

(4.14)

2 2

1 5 1 5 2 1 3 1 4

1 4 5 2 1 4 52

1 1 1

21 3 3 3

( ) 0 0 010 0 0

( ) ( ) ( )0

0 0( )t t t

x x a x a x a v ab x x b x x x

v uI x I x I x

cc x c v

⎡ ⎤+ + + − ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎛ ⎞⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥+ − + =⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎢ ⎥+ − ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦

(4.15)

Sonuç olarak ilgilenilen 3 DOF silindirik robot manipülatör için; (4.16)’da verilen

doğrusallaştırma kurallarından faydalanan durum geribeslemesi tasarlanarak sistem

istenilen (4.17)’de verilen durum dönüşümü ile doğrusal ve ayrıştırılmış forma

dönüştürülmüş olacaktır.

56

1

2

3

2 2 21 1 1 5 5 1 1

11

22 2 2 2

2 4 5 1 4 5 1 1 22

23 3 3 3

23

( ) 6 3 6 4 6( ) 6

( )2 (I / 4 )

( )

( ) 3 3 3( ) 3

f A S S

g f

fA A A

g f

f z z

g f

L h x v mx x m lx k x k l mvu

L L h x

L h x vu m lx x mx x x m l mx m lx v

L L h x

L h x v k x k l mg mvu

L L h x

θ

− + − + + − += =

− += = − + + + + −

− + + − + += =

(4.16)

11 1 112 1 42

1 2 222 2 53

1 3 332 3 6

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

f

f

f

x h x xx L h x xx h x xx L h x xx h x xx L h x x

φφφφφφ

= == == == == == =

(4.17)

Kuram (Gözlemlenebilirlik uzayı)

(3.81)’deki gibi verilen bir doğrusal olmayan sistemin x0 noktasında 1 2{ , , , }mr r rK

(vektör) bağıl derecesine sahip olduğu kabul edilsin. Şu halde;

1

2

10 0 01 1 1

10 0 02 2 2

10 0 0

( ), ( ), , ( )

( ), ( ), , ( )

( ), ( ), , ( )m

rf f

rf f

rm f m f m

dh x dL h x dL h x

dh x dL h x dL h x

dh x dL h x dL h x

−

−

−

L

L

M

L

türevleri doğrusal olarak bağımsızdır (Isidori, 1995). Dolayısıyla n⊂U R gibi bir

durum uzayında tanımlı 1 2{ , , , }mr r rK bağıl derecesine sahip çok eklemli bir robot

manipülatör sistemi, U durum uzayında gözlemlenebilirdir.

Silindirik robot manipülatör sistemi tüm durum uzayında =(2, 2, 2)r bağıl derecesine

57

sahip olduğundan tüm durum uzayında gözlemlenebilirdir.

4.3 Silindirik Robot Manipülatör için Yaklaşık Geribeslemeli Doğrusallaştırma

Bu bölümde, daha önce verilen yaklaşık geribeslemeli doğrusallaştırma kuralı silindirik

robot manipülatör modeli için elde edilmiştir.

Silindirik robot manipülatörün her bir ekleminde ortaya çıkan hata değişkenleri nξ

taklit durum değişkenleri olarak tanımlanmıştır. Yaklaşık geribeslemeli

doğrusallaştırma kuralının oluşturulmasında bu taklit durum değişkenleri kullanılmıştır.

Böylece yaklaşık doğrusallaştırma yaklaşımı ile silindirik robot manipülatörün kontrol

tasarımında doğrusallaştıran kontrol edici için geribesleme kuralı:

2 2

11 22 22 11

2 212 22 11 12 22 11 11

31

6 3 6 40 06

2 0 I / 4 03 3 0 0

3

A S S

A A A

z z

m m l k k lm

u m l m m l m m l vk k l mg m

θ

ξ ξ ξ ξ

ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξξ

⎡ ⎤− + + −⎢ ⎥ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − + + + + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ − + ⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

kontrol girişi eşdeğeri kullanılarak hesaplanmıştır.

Hesaplanan yaklaşık geribeslemeli doğrusallaştırma kuralı, silindirik robot manipülatör

sisteminin MATLAB/Simulink ortamında oluşturulan benzetiminin yörünge takibi

kontrolü tasarımında kullanılmıştır. MATLAB/Simulink ortamında oluşturulan

silindirik robot manipülatör sisteminin yaklaşık geribeslemeli doğrusallaştırma tasarımı

düzeneği Şekil 4.4’de verilmiştir.

58

4.4 Benzetim Sonuçları Benzetimi yapılan silindirik robot manipülatörün yaklaşık geribeslemeli

doğrusallaştırılmış eşdeğer modelinin, referans yörünge girişini takibi kontrolünde, PID

kontrol ediciler kullanılmıştır. İdeal PID parametrelerinin bulunmasında MATLAB

NCD (Nonlinear Control Design) bloksetinden faydalanılmıştır.

Bu bölümde, Şekil 4.5’de gösterildiği gibi tasarlanan silindirik robot manipülatör

kontrol sisteminin performansı benzetim sonuçları ile grafiksel olarak gösterilmiştir.

Benzetim sonuçlarının değerlendirilmesi için iki farklı referans yörünge takibi

senaryosu düşünülmüştür. Tüm benzetimlerde örnekleme zamanı olarak 0.001sT =

saniye seçilmiştir.

Şekil 4.4 Silindirik robot manipülatör yaklaşık geribeslemeli doğrusallaştırma düzeneği

59

Durum 1 (Karesel referans yörünge takibi):

İlk olarak, robot manipülatör için önerilen kontrol düzeneğinin performansı kare

şeklinde bir referans yörünge takibi için denenmiştir. Senaryo gereği silindirik robot

manipülatörün tutucu ucunun, Çizelge 4.1’de köşe noktaları verilen, bir kare şeklinin

çevresini takip etmesi istenilmiştir. Daha sonra, karşılaştırma yapmak için aynı

benzetim, yaklaşık geribeslemeli doğrusallaştırma düzeneği devre dışı bırakılarak

tekrarlanmıştır. Her iki benzetimde de robot manipülatörün tutucu ucu tam bir dönüşü 4

saniye içerisinde tamamlamaktadır.

Şekil 4.5 Silindirik robot manipülatör kontrol tasarımı düzeneği

60

Çizelge 4.1 Karesel referans yörünge parametreleri

Köşe Noktası x (m) y (m) z (m)

A 1.0 0.6 0.5 B 1.0 1.0 0.5 C 0.6 1.0 0.3 D 0.6 0.6 0.3

Şekil 4.6’da, kartezyen koordinatlarda, karesel referans yörünge ve önerilen kontrol

düzeneği uygulanan silindirik robot manipülatörün ölçülen hareket yörüngesi

sunulmuştur. Şekil 4.7’de bu hareket için her üç eklemin referans giriş takibi

performansları gösterilmiştir. Şekil 4.8’de ise her bir eklemde, referans yörünge takibi

boyunca ortaya çıkan hata değerleri verilmiştir. Grafiklerden de gözlemlenebileceği gibi

manipülatör referans yörüngeyi oldukça başarılı bir şekilde takip etmeyi başarmıştır.

Şekil 4.6 Karesel referans yörünge takibi

61

Şekil 4.7 Karesel referans yörünge için eklem hareketleri

Şekil 4.8 Karesel referans yörünge için eklem hata değişimleri

62

Şekil 4.9’da, aynı referans yörünge için yaklaşık geribeslemeli doğrusallaştırma devre

dışı bırakıldığında, silindirik robot manipülatörün ölçülen hareket yörüngesi

sunulmuştur. Şekil 4.10’da bu harekette ortaya çıkan eklem hareketleri gösterilmiştir.

Şekil 4.11’de eklemlerin hareketlerine karşılık gelen takip hataları verilmiştir. Bu

durumda takip performansının oldukça zayıfladığı gözlenmiştir. Yörünge takibi

performansında ortaya çıkan bu kötüleşme, önerilen kontrol düzeneğinin kontrol

sisteminin yörünge takibi performansına olan katkısını gösterir.

Şekil 4.9 Karesel referans yörünge takibi (II)

63

Şekil 4.10 Karesel referans yörünge için eklem hareketleri (II)

Şekil 4.11 Karesel referans yörünge için eklem hata değişimleri (II)

64

Durum 2 (Yıldız şeklinde referans yörünge takibi): Önerilen kontrol düzeneği performansının değerlendirilmesi için, karesel yörünge takibi

benzetiminde kullanılan ayar parametreleri aynı kalacak şekilde, robot manipülatör

ikinci bir yörünge şekli takibi için test edilmiştir. Bu hareket senaryosunda silindirik

robot manipülatörün, köşe noktaları Çizelge 4.2’de verilen, yıldız şeklinde bir

yörüngeyi takip etmesi istenmektedir. Yine karşılaştırma yapmak için aynı benzetim

aynı referans yörünge ile, yaklaşık geribeslemeli doğrusallaştırma düzeneği devre dışı

bırakılarak tekrarlanmıştır. Her iki benzetimde da robot manipülatörün tutucu ucu

hareketi 2.5 saniye içerisinde tamamlanmaktadır.

Şekil 4.12, yıldız şeklinde referans yörüngesini ve önerilen kontrol düzeneği uygulanan

silindirik robot manipülatör kontrol sisteminin ölçülen hareket yörüngesini

göstermektedir. Şekil 4.13’de bu hareket için her üç eklemin referans giriş takibi

performansları gösterilmiştir. Şekil 4.14’de eklemlerin hareketinde ortaya çıkan hata

değişimleri verilmiştir. Yine bu senaryoda da, manipülatör referans yörüngeyi oldukça

başarılı bir şekilde takip etmiştir. Önerilen yaklaşık geribeslemeli doğrusallaştırma

düzeneğinin kontrol sisteminin takip performansına sağladığı katkının gösterilmesi için

benzetim, önerilen yaklaşık geribeslemeli doğrusallaştırma düzeneği devre dışı

bırakılarak tekrarlanmıştır.

Çizelge 4.2 Yıldız şeklinde referans yörünge parametreleri

Köşe Noktası x (m) y (m) z (m)

A 1.0 0.6 0.5

B 0.9 1.0 0.9

C 0.8 0.6 0.5

D 1.1 0.9 0.8

E 0.7 0.9 0.7

65

Şekil 4.12 Yıldız şeklinde referans yörünge takibi

Şekil 4.13 Yıldız şeklinde referans yörünge için eklem hareketleri

66

Şekil 4.14 Yıldız şeklinde referans yörünge için eklem hata değişimleri

Şekil 4.15’de, yaklaşık geribeslemeli doğrusallaştırma devre dışı bırakıldığında,

silindirik robot manipülatörün ölçülen hareket yörüngesi gösterilmiştir. Şekil 4.16 bu

hareketi sağlayan eklem hareketleri gösterilmiştir. Şekil 4.17’de eklemlerin

hareketlerine karşılık gelen takip hataları verilmiştir. Bu senaryo için de, yaklaşık

geribeslemeli doğrusallaştırma düzeneği devre dışı bırakıldığında takip performansının

oldukça zayıfladığı gözlenmiştir.

67

Şekil 4.15 Yıldız şeklinde referans yörünge takibi (II)

Şekil 4.16 Yıldız şeklinde referans yörünge için eklem hareketleri (II)

68

Şekil 4.17 Yıldız şeklinde referans yörünge için eklem hata değişimleri (II)

69

5. SONUÇ Doğrusal olmayan kontrol sistemlerin geneli için kullanılabilecek kontrol araçları

yoktur. Bununla birlikte geribeslemeli doğrusallaştırma metodu kullanılarak doğrusal

olmayan kontrol problemi doğrusal bir forma indirgenebilir. Böylece kontrol

tasarımının yapılandırılmasında doğrusal sistemler için türetilmiş, yüksek performanslı

kontrol sonuçları sağlayan, doğrusal kontrol ediciler kullanılmasına imkan sağlanır.

Geribeslemeli doğrusallaştırma, çoğu doğrusal olmayan sistemlerin, uygun bir durum

geribeslemesi tasarlanarak, doğrusal davranış gösterecek forma dönüştürülmesine imkan

tanıyan etkin bir kontrol aracıdır. Gerçek geribeslemeli doğrusallaştırma metodunda,

sistemin dinamiklerini açıklayan durum bilgisi kullanılarak kontrol düzeneği içerisinde

doğrusalsızlıkları yok edecek bir iç döngü mekanizması tasarlanır. Daha sonra elde

edilen doğrusal eşdeğer sistem için ikinci bir (dış) döngü yapılandırılarak, doğrusal bir

kontrol edici ile eşdeğer sistemin girilen referans yörünge boyunca sürülmesi sağlanır.

Bu çalışmada doğrusal olmayan kontrol teorisinin önemli araçlarından biri olan

geribeslemeli doğrusallaştırma metodu temelinde, özellikle endüstriyel robotlar için

uygun bir kontrol tasarımı düzeneği önerilmiş ve benzetim ortamında gerçeklenmiştir.

Doğrusal olmayan kontrol tasarımı tekniklerinin gerçekleştirilmesi ve

değerlendirilmesinde robot manipülatör sistemleri çokça kullanılan uygulama örnekleri

sağlamaktadır. Bu çalışmada da önerilen kontrol düzeneği robot manipülatör sistemleri

üzerine geliştirilmiştir. Bu amaçla, robot manipülatörlerin benzetiminde kullanılmak

üzere, matematiksel modellerinin çıkarılmasında en çok kullanılan yöntem olan

Lagrange formülasyonundan faydalanılmıştır. Tek eklemli ve çok eklemli robot

manipülatör sistemlerinin kontrol tasarımında gerçek geribeslemeli doğrusallaştırma

metodolojisinin uygulanması için gerekli koşullar verilmiş ve uygulama basamakları

incelenmiştir. Bunlarla birlikte, doğrusal olmayan karakteristiğe sahip robot

manipülatör sistemleri özelinde geribeslemeli doğrusallaştırma kurallarının daha basitçe

yapılandırılabileceği bir kontrol düzeneğinin da tasarlanmasının mümkün olduğu

70

gözlenmiştir.

Robot manipülatör sistemlerin doğası gereği 'çift integatör' dinamik yapısı göstermesi

sayesinde, bu sistemlerin durum bilgisine, kontrol tasarımı düzeneğindeki doğrusal

kontrol edici yapısının da kullandığı, takip hatası bilgisi ile bir yaklaşım getirilmiştir.

Böylece bu yeni yaklaşım kullanılarak geribeslemeli doğrusallaştırma kuralları doğrusal

kontrol edici ile paralel çalışacak şekilde yapılandırılabilmiştir.

Yaklaşık geribeslemeli doğrusallaştırma olarak adlandırılan bu yeni yaklaşım ile kontrol

tasarımı düzeneğinde doğrusallaştıran kontrol edici ile doğrusal kontrol edici birimleri

bir blok içerisinde bir arada yapılandırılabilmiştir. Yaklaşık geribeslemeli

doğrusallaştırma yaklaşımı, gerçek geribeslemeli doğrusallaştırma metodundan

esinlenerek geliştirildiğinden, gerçeklenmesinde gerçek geribeslemeli doğrusallaştırma

metodu ile aynı koşulları gerektirir. Bununla birlikte gerekli koşullar sağlandığında

aşağıda verilen sebeplerden dolayı yaklaşık geribeslemeli doğrusallaştırma daha basit ve

daha hızlı kontrol tasarımı imkanı sağlar:

• Hata bilgisi üzerine yapılandırıldığından kontrol tasarımında durum

geribeslemesinin tamamına olan gereksini ortadan kaldırır.

• Pratikte, yörünge takibi kontrol edicisi ile aynı aygıt yapısı kullanılarak

gerçekleştirilebilir.

• Kontrol edici yapısında; durum ve hata terimleri yerine sadece hata terimleri

işlendiği için gerçek geribeslemeli doğrusallaştırma kontrol düzeneğinden daha

hızlı çalışır ve daha az bellek tüketir.

Önerilen yaklaşık geribeslemeli doğrusallaştırma yaklaşımının robot manipülatörlerin

kontrol performansına etkisi örnek bir silindirik robot manipülatör kontrol sistemi

üzerinde denenmiştir. Uygulama için silindirik manipülatörün MATLAB/Simulink

ortamında benzetimi gerçekleştirilmiş ve yaklaşık geribeslemeli doğrusallaştırma

71

kontrol düzeneği yapılandırılmıştır. Değişik hareket senaryoları için önerilen kontrol

düzeneğinin yörünge takibi performansı ve yörünge takibi doğruluğunda sağladığı

iyileştirme grafiksel olarak gösterilmiştir. Önerilen kontrol düzeneği ile silindirik robot

manipülatörün oldukça iyi doğrulukla yörünge takibi yapabildiği gözlenmiştir. Robot

manipülatör sisteminin kontrol düzeneğinde önerilen kontrol yaklaşımının kullanılması

ile daha önce ortaya çıkan konum hataları etkin bir şekilde giderilebilmektedir. Sonuç

olarak; yaklaşık geribeslemeli doğrusallaştırma metodunun, özellikle robot manipülatör

sistemlerinin yüksek hızda ve doğrulukta referans yörünge takibi kontrolü için etkin bir

kontrol aracı sağladığı söylenebilir.

72

KAYNAKLAR

Brockett, R.W. 1978. Feedback Invariants for Nonlinear Systems. Proceedings of the

1978 IFAC Congress, Helsinki, Finland, Pergamon Press, Oxford.

Bodson, M. and Chiasson, J. 1998. Differential-geometric methods for control of

electric motors. International Journal of Robust and Nonlinear Control, 8(11),

923-954.

Boothby, W.M. 2003. An Introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian

Geometry, Revised Second Edition. Academic Press, New York.

Ceylan, M.A. 2001. Çok değişkenli sistemlerde ileri kontrol algoritmalarının

incelenmesi. Yüksek Lisans Tezi, Ankara Üniversitesi, 64 s., Ankara.

Chen, C.C., Chien, T.L. and Wei, L. 2004. Application of feedback linearization to

tracking and almost disturbance control of the AMIRA ball and beam system.

Journal of Optimization Theory and Applications, 121(2), 279-300.

Cheng, D., Isidori, A., Respondek W. and Tarn T.J. 1989. Exact linearization of

nonlinear systems with outputs. Theory of Computing Systems, 21(1), 63-83.

Co, T. 2004. Short Tutorial on Matlab, http://www.chem.mtu.edu/~tbco, Erişim Tarihi:

08.11.2006.

Dafis, C.J. 2005. An Observability Formulation for Nonlinear Power Systems Modeled

as Differential Algebraic Systems. Ph.D. thesis, Drexel University, 140 p.,

Philadelphia, PA.

Dayawansa, W., Elliott, D. L. and Boothby, W. M. 1985. Global linearization by

feedback and state transformation. Proceedings of the 24th conference on

decision and control, 1042-1048.

De Luca, A. 1998. Decoupling and feedback linearization of robots with mixed

rigid/elastic joints. International Journal of Robust and Nonlinear Control, 8(2)

,965-977.

Denker, A. 1980. Modelling, simulation and control of dynamical mechanisms. Ph.D.

Thesis, University of Sussex, 171 p., Sussex.

Franklin, G.F., Powell, J.D. and Workman, M. L. 1998. Digital Control of Dynamic

Systems, 3rd Edition. Addison Wesley, Mass.

Goodwine, B. and Stepan, G. 2000. Controlling unstable rolling phenomena. Journal of

73

Vibration and Control, 6(1), 137-158.

Hassibi, K.M. 1991. A study of the application of neural networks to feedback

linearization. Ph.D. thesis, Case Western Reserve University, 281 p.,

Cleveland, OH.

Henson, M.A. and Sebong, D.E. 1991. A critique of differential geometric control

strategies for process control. Journal of Process Control, 1(3), 122-139.

Hermann, R. and Krener, A.J. 1977. Nonlinear Controllability and Observability. IEEE

Transactions on Automatic Control, Vol.Ac-22(5), 728-740.

Hunt, L.R., Su, R. and Meyer, G. 1983. Design for multi-input nonlinear systems.

Differential Geometric Control Theory, Birkhauser, Boston, 268-298.

Hunt, L.R., Luksic, M. and Su, R. 1986. Exact linearization of input output systems.

International Journal of Control, 43(1), 247-255.

Isidori, A. 1995. Nonlinear control systems: an introduction 3rd Edition. Springer,

London.

Jacubczyk, B. and Respondek, W. 1980. On linearization of control systems. Bull.

Acad. Pol. Sci. Ser. Sci. Math. Astr. Phys., 517-522.

Kazemi, A., Jahed Motlagh, M.R. and Naghshbandy, A.H. 2007. Application of a new

multi-variable feedback linearization method for improvement of power

systems transient stability. International Journal of Electrical Power & Energy

Systems, 29(4), 322-328.

Kappos, E. 1992. A global geometrical input-output linearization theory. IMA Journal

of Mathematical Control and Information, 9(1), 1-21.

Khalil, H. K. 2002. Nonlinear Systems, 3rd edition. Prentice-Hall, London.

Khoury, G.M., Saad, M., Kanan, H.Y. and Asmar, C. 2004. Fuzzy PID Control of a

Five DOF Robot Arm. Journal of Intelligent and Robotic Systems, 40(3), 299-

320.

Koivo, A. J. 1989. Fundamentals for control of robotic manipulators. John Wiley &

Sons, New York.

Marino, R. 1984, An example of a nonlinear regulator. IEEE Transactions on Automatic

Control, 29(3), 276-279.

Marino, R. and Tomei, P. 1995. Nonlinear control design. Prentice Hall, London.

Menon, P.K. and Ohlmeyer, E.J. 2001. Integrated design of agile missile guidance and

74

autopilot systems. Control Engineering Practice, 9(10), 1095-1106.

Nijmeijer, H. and Van der Schaft, A. 1990. Nonlinear Dynamical Control Systems,

Springer-Verlag, New York.

Novotnak, R. T., Chiasson, J. and Bodson, M. 1999. High-performance motion control

of an induction motor with magnetic saturation. IEEE Transactions On Control

Systems Technology, 7(3), 315-332

Park, H., Chwa D.Y. and Hong K.S. 2007. A Feedback Linearization Control of

Container Cranes: Varying Rope Length. International Journal of Control,

Automation, and Systems, 5(4), 379-387.

Respondek, W. 2003. Introduction to Geometric Nonlinear Control Theory. A short

course, University of Stuttgart.

Sciavicco, L. and Siciliano, B. 2000. Modelling and Control of Robot Manipulators.

Springer-Verlag, London.

Spong, M. W. and Vidyasagar, M. 1989. Robot Dynamics and Control. John Wiley &

Sons, Inc., New York.

Su, R. 1982. On the Linear Equivalents of Nonlinear systems. Systems and Control

Letters 2(1), 48-52.

Toshiharu-Sugie, T. and Fujimoto, K. 1998. Controller design for an inverted pendulum

based on approximate linearization. International Journal of Robust and

Nonlinear Control 8(7), 585-597.

Yamada, K. and Yuzawa, A. 2002. Approximate feedback linearization for nonlinear

systems and its application to the ACROBOT. Proceedings of the American

Control Conference Anchorage, AK.

Yue-nong, F. and Qing-hua, W. 2006. Tracking control of robot manipulators via output

feedback linearization, Frontiers of Mechanical engineering in China, 1(3),

329-335.

Zak, S.H. 2003. Systems and Control. Oxford University Press, New York.

75

EK 1 Robot Manipülatör Benzetimi

Bu bölümde, (Co 2004)’den faydalanılarak, 3 DOF silindirik robot manipülatörün

MATLAB/Simulink ortamında S-fonksiyonu blokları kullanılarak modellenmesi

anlatılmıştır.

Özellikle Simulink benzetim ortamında, oldukça karmaşık doğrusal olmayan modellerin

yapılandırılmasında, işlev bloklarının kullanılması yerine kısmi türevli denklemlerin bir

MATLAB m-dosyasına yazılarak kullanılması sistem benzetiminin oldukça etkin

çalışmasını sağlar. Sistemin modelinin tanımlanmasında kullanılan kısmi türevli

denklemlerin oluşturulduğu MATLAB dosyasına, görsel Simulink ortamında, S-

fonksiyonu blokları kullanılarak erişilebilir. Böylece kullanılan model benzetimi

metodu, Simulink'in sağladığı görsel işlem araçlarının kullanım kolaylığı ile MATLAB

çözümleme paketlerini doğrudan çalıştırabilen m-dosyalarının avantajları bir arada

kullanma imkanı sağlar.

İlk olarak robot manipülatörün modellenmesinde Lagrange yöntemi ile hesaplanan

hareket denklemlerini temsil eden bir m-dosyası oluşturulmuştur. Şekil 1'de ilgili m-

dosyası MATLAB kodları verilmiştir.

Kodlarda verilen u silindirik robot manipülatör sisteminin kontrol giriş değişkenlerini

gösterir. x ve dx parametreleri sırasıyla sistemin durum vektörü ve durum vektörünün

türevini gösterir.

Modellemede MATLAB türevsel denklem çözümleyici paketi olarak ODE5

kullanılmıştır.

Oluşturulan model dosyası, Simulink benzetiminin MATLAB programından gerekli

bilgilere ulaşabilmesinde kullanılan protokolleri de içerir.

76

Şekil 1 3 DOF silindirik robot modeli kodları

Function dx = cylrobot(t,x,u)

%%% 3 DOF Silindirik robot modeli %%%

r = x(1) ;

theta = x(2) ;

z = x(3) ;

rv = x(4) ;

thetav = x(5) ;

zdot = x(6) ;

mA = 3.5 ; mL = 0.25 ; mH = 5 ;

l = 0.6*2.5 ;

kS = 125 ; kZ = 1250 ;

g = 9.81 ;

m = mA + mH ;

mtop = m + mL ;

% u1 = Fr %u2 = tautheta %u3 = Fz

dr = rdot ;

dtheta = thetadot ;

dz = zdot ;

drv = ( (r - (mA*l/2)/m) * thetadot^2) - (kS*(r-(2*l)/3)/m) + (u(1)/m) ;

dthetav = ((mA*l-2*m*r)*rdot*thetadot + u(2)) / (Itheta+(mA*l^2/4)+(m*r^2)-mA*l*r) ;

dzv = -g - ((kZ*(z-l/3)-u(3))/mtop) ;

dx =[dr; dtheta; dz; drv; dthetav; dzv];

77

3 DOF silindirik robot manipülatör sistemi benzetimi için oluşturulan S-fonksiyonu

kaynak kodları Şekil 2'de verilmiştir.

S-fonksiyonu oluşturulmasında ilk olarak 3 DOF silindirik robot manipülatör sistem

modeli için giriş ve çıkış parametreleri belirlenmiştir.

Fonksiyon tanımlaması bölümünde verilen giriş parametrelerinin tanımları Çizelge 1’de

verilmiştir.

Çizelge 1 S-fonksiyonu tanımlama parametreleri

T benzetimin zaman değişkeni

X sisteminin durum değişkenleri

U sistemin kontrol girişi değişkenleri

Flag simulink benzetiminin isteyeceği hesaplamalar

ve/veya bilgilerin göstergesi

*init başlangıç durum parametreleri

Function [sys,x0,str,ts]=...

cylrobot_sfcn(t,x,u,flag,rinit,thetainit,zinit,rvinit,thetavinit,zvinit)

78

Şekil 2 3 DOF silindirik robot modeli s-fonksiyonu kodları

Function [sys,x0,ts]=...

cylrobot_sfcn(t,x,u,flag,rinit,thetainit,zinit,rvinit,thetavinit,zvinit)

switch flag

case 0

str=[] ;

ts = [0 0] ;

s = simsizes ;

s.NumContStates = 6 ;

s.NumOutputs = 6 ;

s.NumInputs = 3 ;

s.NumSampleTimes = 1 ;

sys = simsizes(s) ;

x0 = [rinit,thetainit,zinit,rvinit,thetavinit,zvinit] ;

case 1

u = forces ;

sys = cylrobot(t,x,u) ;

case 3 % output

sys = x;

otherwise

error(['unhandled flag =',num2str(flag)]) ;

end

79

Daha sonra ‘flag’ değerine göre s-fonksiyonu yapılandırma komutları işletilmiştir. ‘flag’

için verilen değerler ve bu değerlere karşılık gelen iş/veri isteği tanımları Çizelge 2'de

verilmiştir.

Çizelge 2 S-fonksiyonu çalışma parametreleri

flag değeri iş/veri isteği

0 Başlatma:

i) giriş/çıkış vektör boyutları ve diğer durumların

ayarlanması

ii) durum değişkenleri için başlangıç koşullarının

hesaplanması

1 Türev denklemlerinin güncellenmesi:

i) giriş vektörlerini içeren hesaplamalar

ii) türevlerin hesaplanması

3 Çıkış hesaplaması:

durum ve giriş vektörleri bileşenlerinin bir fonksiyonu

olan çıkış değişkenlerinin hesaplanması

Burada verilen kontrol girişi değişkenlerinin değerleri Simulink benzetimi esnasında

belirlenir.

Bloktan çıkış olarak türetilen ‘sys’, Simulink benzetiminde istenecek bilgilerin ana

vektörü, Simulink benzetiminde gönderilen flag değerine bağlı olarak değişik bilgiler

içerir. Diğer üç çıkış parametresi, sadece flag değeri sıfır iken Simulink benzetimine

gereklidir, diğer zamanlar için bu parametreler ihmal edilebilir. x0, başlangıç durumları

vektörü, ts, örnekleme zamanı ve zaman sapması değerlerinin içeren vektördür. Bu

parametrenin doğrudan Simulink benzetiminden alınması için değerleri [0 0] olarak

ayarlanmıştır.

Giriş-çıkış parametreleri belirlendikten sonra, S-fonksiyonu dosyası değişik flag

80

değerleri için bloklara bölünmüştür. ‘flag’ değerleri için yapılan işlemler aşağıda kısaca

açıklanmıştır:

• flag değişkeninin '0' olması durumu için:

i) Örnekleme zamanı, başlangıç koşulları verilmiştir.

ts = [0 0] ;

x0 = [rinit,thetainit,zinit,rvinit,thetavinit,zvinit] ;

ii) Benzetimde kullanılacak blok için sistemin giriş, çıkış ve durum değişkeni

sayıları tanımlanmıştır.

s = simsizes ;

s.NumContStates = 6 ;

s.NumOutputs = 6 ;

s.NumInputs = 3 ;

s.NumSampleTimes = 1 ;

sys = simsizes(s) ;

Böylece sistem için tanımlanan değişken yapısı Simulink benzetimine gönderilecek

şekilde oluşturulmuştur.

• flag değişkeninin '1' olması durumunda blok türev hesaplamalarını

gerçekleştirir.

u = forces ;

sys = cylrobot(t,x,u) ;

81

• flag değişkeninin '3' olması durumunda blok sistem için çıkış hesaplamalarını

gerçekleştirir.

sys = x;

Son olarak sistemi temsil eden S-fonksiyonu bloku, başlangıç değerleri atanarak,

Simulink benzetimine eklenmiş ve böylece kontrol uygulamalarında kullanılan

silindirik robot manipülatör modeli oluşturulmuştur.

Şekil 3 3 DOF silindirik robot modeli s-fonksiyonu bloku

82

ÖZGEÇMİŞ

Adı Soyadı : Tuğrul ADIGÜZEL

Doğum Yeri : Diyarbakır

Doğum Tarihi : 22.05.1977

Medeni Hali : Bekar

Yabancı Dili : İngilizce

Eğitim Durumu :

Lise : Elazığ Anadolu Lisesi (1988-1995)

Lisans : Ankara Üniversitesi Mühendislik Fakültesi

Elektronik Mühendisliği Bölümü (1995-1999)

Yüksek Lisans : Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü

Elektronik Mühendisliği Anabilim Dalı (1999-2001)

Çalıştığı Kurum/Kurumlar ve Yıl:

Ankara Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Elektronik Mühendisliği Bölümü,

Araştırma Görevlisi

(1999-2001)

Ankara Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Elektronik Mühendisliği Bölümü,

Araştırma Görevlisi

(2003-halen devam ediyor)

Yayınları:

T.Adıgüzel, A.Abilov ve M.A. Ceylan. 2002. Doğrusal olmayan kontrol sistemine geliştirilmiş bir açıklama fonksiyonunun uygulanması. Sinyal İşleme ve İletişim Uygulamaları Kurultayı, SİU-2002, Pamukkale, Denizli, 272-277. M.A. Ceylan, A.Abilov ve T.Adıgüzel. 2002. Çok Değişkenli Simetrik ve Simetrik Olmayan Paralel Sistemlerin Kontrol Tasarımı ve Benzetimi. Sinyal İşleme ve İletişim Uygulamaları Kurultayı, SİU-2002, Pamukkale, Denizli, 547-551.

83

M.A. Ceylan, A.Abilov ve T.Adıgüzel. 2003. Çok Değişkenli Kaskad Kontrol Sistemlerinin Tasarımı ve Benzetimi. Sinyal İşleme ve İletişim Uygulamaları Kurultayı, SİU-2003, İstanbul, 365-366. A.Denker and T.Adıgüzel, 2005. Visual Object Tracking and Interception in Industrial Settings. Transactions on Enformatika, Systems Sciences and Engineering ENFORMATIKA, Volume 9, 86-90. A.Denker and T.Adiguzel. 2006. Vision Based Robotic Interception in Industrial Manipulation Tasks. International Journal of Computatitonal Intelligence, 3(4), 296-302. A.Denker and T.Adiguzel. 2007. Control of Robotic Manipulators by Using Approximate Linearization. Asian Journal of Control (under review). A.Denker and T.Adiguzel. 2007. Feature-Based Visual Servoing of Robotic Systems Using Stereo Vision. Autonomous Robots (under review).

ÖZET

Doktora Tezi

GERİBESLEMELİ DOĞRUSALLAŞTIRMA METODUNA DAYALI

DOĞRUSAL OLMAYAN KONTROL TASARIMI

Tuğrul ADIGÜZEL

Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü

Elektronik Mühendisliği Anabilim Dalı

Danışman: Yrd.Doç.Dr. Murat EFE

Robot manipülatörlerin kontrol düzenekleri, sistemin doğrusallaştırılması ve referans yörünge boyunca

sürülmesi için, iki ayrı kontrol edici tasarlanacak şekilde yapılandırılır. Doğrusallaştıran kontrol edici

durum bilgisini kullanarak bir iç döngüde oluşturulurken, yörünge takibinde kullanılan kontrol edici bir

dış döngüde yapılandırılır ve hata bilgisini kullanarak işlev görür.

Bu tezde, robot manipülatör sistemlerinin doğrusal olmayan kontrolünde, sistemlerin doğrusal kontrol

edici ile aynı dış kontrol döngüsü üzerinden doğrusallaştırılması için gerek ve yeter koşullar çıkarılmış ve

böylece doğrusal ve doğrusal olmayan kontrol edici bloklarının bir arada tasarlanabilmesi için yeni bir

yaklaşım önerilmiştir. Önerilen kontrol yaklaşımı ile robot manipülatörlerin davranışının sadece takip

hatası bilgisi kullanılarak ne düzeyde doğrusal yapılabileceği incelenmiştir. Tezde verilen doğrusal

olmayan kontrol düzeneğinin önemli bir özelliği sistemin hem doğrusallaştırılması hem de referans

yörünge takibi için aynı hata bilgisinin kullanılıyor olmasıdır. Yaklaşık geribeslemeli doğrusallaştırma

olarak adlandırılan bu yaklaşım ile doğrusallaştıran kontrol edicinin yapılandırılmasında bir iç döngüden

dış döngüye taşınmasına ve böylece doğrusal kontrol edici ile paralel çalışabilmesine imkan sağlanmıştır.

Önerilen kontrol yapısı MATLAB/Simulink ortamında oluşturulan benzetimler üzerinde sınanmıştır. Elde

edilen yörünge takibi sonuçları, önerilen kontrol düzeneği kullanılarak tasarlanan kontrol sisteminin hızlı

ve doğru bir performans sergileyebildiğini göstermiştir. Önerilen yaklaşım ile bir silindirik robot kontrol

sistemi için değişik hareket takibi durumlarında elde edilen benzetim sonuçları da tezde sunulmuştur.

2007, 83 sayfa Anahtar Kelimeler: Doğrusal olmayan sistemler, doğrusal olmayan kontrol, geribeslemeli doğrusallaştırma, robot manipülatörler.

ABSTRACT Ph.D. Thesis

NONLINEAR CONTROL DESIGN BASED ON FEEDBACK LINEARIZATION METHOD

Tuğrul ADIGÜZEL

Ankara University

Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Electronics Engineering

Supervisor: Asst.Prof.Dr. Murat EFE

The approach to the control design of robotic manipulators is established on the decomposition of the

control scheme into a linearizing and a tracking controller. While the linearizing controller employs state

information and is established in the inner loop, the tracking controller is in the outer loop and acts upon

error information.

In this thesis, on nonlinear control of robot manipulator systems, necessary and sufficient conditions are

established for the system to be externally linearized by only through the same control loop of linear

controller and a new approach is given for the construction of the linearizing controller where it can be

designed together with linear controller. With the proposed control approach, to what extent the behavior

of the robot manipulators could be made 'linear' when only tracking error information is available, is

examined. An important property of this proposed scheme is that the error information is used for both

linearizing the system and driving it. This technique, which is referred to as approximate feedback

linearization, allows the transfer of the linearizing controller from the inner to the outer loop, hence to be

designed parallel with linear controller.

The proposed control architecture is designed and tested on MATLAB/Simulink environment. Obtained

trajectory tracking results show that, by using the proposed control scheme, the control system exhibits

fast and high accuracy performance. Simulation results of several trajectory tracking scenarios for a

cylindrical robot manipulator are also given.

2007, 83 pages Key Words: Nonlinear systems, nonlinear control, feedback linearization, robot manipulators.