I Comportement mecaniquedes sgstemes

ll B I E Ê T | F Dimensionner des structures etprédire teur comportement mécanique sous charge.

Le comportement mécanique dïme structure est conditionné par une géométrie,tm ou des matériaux, des efforts appliqués et des déformations qui en découlent.Prédire et maîtriser le comportement mécanique d'un système, c'est maîtriser larelation entre tous ces éléments.

Resistanceries Mnreninux

EffortDYNAMIGUE

ST IQUE

i _ Vitesse Géométrie

l ciuérvii-nioue

Les quatre champs d'étude de la mécanique

La mécanique des solides s'intéresse à plusieurs volets du comportement des structuresdes systemes : la statique, la cinématique, la dynamique et la résistance des materiaux.

Conditions d'équilibre des solides1.1 Notîoin d'équilibr~eUn solide S (ou un ensemble de solides) est en équilibre dans Lin référentiel ER si aucunmouvement de S par rapport à ce repère n'est possible au cours du temps. ll v a équilibresi l'ensemble des efforts appliqués s'annulent, ce qui se traduit par le principe fondamen-tal de la statique.Remo rq ue : dans tous les cas, la masse des solides ne varie pas dans le temps.

Principe fondamental de la statique

Un solide ou un ensemble de solides est en équilibre si la sommedes forces extérieures qui lui sont appliquées et la somme

des moments de celles-ci sont nulles.

Sous forme de torseurs, cela se traduit par : la somme des torseurs des efforts extérieursest nulle.

U

a) Cas d'un solide soumis à deux forces

MSuspension arriére de VI l par ii ressort pneumatique iiI* Probiérne technique posé : déterminer la condi-tion d'équilibre du ressort pneumatique afin de cal-culer ultérieurement la pression nécessaire de l'aircomprimé dans le cvlindre.I* Hypothèses:

- l'action de l'air sur le piston est uniformé-ment répartie et peut étre représentée parune force (résultante des forces élémentairesagissant par unité de surface) ;

- les frottements sont négligés devant lesautres efforts ;

- l'effet de la pesanteur est négligé devant lesautres efforts.

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En suivant la démarche du document 2, on conclut que le piston est soumis à deux forces.

@ Basculeur

On isole

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le ri rE_SSîl'1I ii

Action du levier A" '¿C'mpr'mEde roue AR sur lle ressort Q >

(Ê) On isole le piston® Un fait l'inventaire

11 ãU=<-du cadre , _ 1

sur |Ê pistün EqUl'lifHl'Ê|Tt H I

du ressortpneumatique Î

Action

Détermination des conditions d'équilibre du piston de ressort pneumatique

ljapplication du principe fondamental de la statique permet d'afflrmer que les deux vec-teurs force sont égaux et opposés. On peut donc déduire de cet exemple que :

Un solide soumis à deux forces est en équilibre si et seulement si ces deux forcessont égales et directement opposées, c`est-à-dire que les vecteurs qui les

représentent ont le même support, la même norme et sont de sens opposés.

b) Cas d'un solide soumis à trois forces

Dans le cas d`un solide soumis à trois forces non parallèles, d`aprés le principefondamental de la statique, lléquilibre slobtient lorsque ces trois forces

sont concourantes et leur somme vectorielle est nulle.

C 3-10 Comportement mécanique des sgstémes I 251

En effet, si les vecteurs force sont concourants, leurs moments par rapport à ce point deconcours sont nuls et la somme de leurs moments en tout point aussi.Dans le cas précédent, en isolant le basculeur 4 :

D' ll' .@ Basculeur QI) Cadre 'rec 'Pn cünnuc _ C mm, |¿|,;m ducar solide@soumis U. CK j à deux fürœs point de concours® Hauban __

(D Corps du ressort Direction, sens etpneumatique norme connus

Ø Points _..d'application ¢ F3,i4connus

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® Tige du ressort t3-F3i4 ,«' ` Dynamique des forces :__® RUUE _ t pneumatique somme des vecteurs = U

ii"`"“*4*' FL̀iigfiii.

Bras

Conditions d'équilibre d'un solide soumis å trois forces

On voit sur le document 3 comment, en isolant le basculeur, on peut construire graphi-quement une << dynamique des forces ›› qui permet de mesurer la norme de chaquevecteur.

1.2 Principe fondamental cie la slaliqueIl se généralise de la manière suivante :

K \ll existe au moins un référentiel îttg, appelé référentiel galiléen, tel que pourtout système matériel 5 en équilibre dans Big, les deux théorèmes suivantss”app_iquent :

* Théorème de la résultante statique : pom' tout système S en équilibredans un référentiel galiléen Sig, la résultante des actions mécaniques

_ % %

exercées par S sur S est nulle : Rang, = 0.0 Théorème du moment statique : pour tout système S en équilibre dansun référentiel galiléen Êfig, le moment résultant en un point A quelconque

? % %

des actions mécaniques exercées par S sur S est nul : VA M,,,,§p,5¿, = 0\ J

Remarque : un système sera défini comme statiquement plan si l'ensemble des forces appartient à unméme plan et, par conséquent, le moment des forces est perpendiculaire au plan. Cette propriété per-met de déterminer graphiquement les actions mécaniques.Dans le cas général (solide soumis à plus de trois forces et hypothèse de problème plan non valide), lePrincipe fondamental cle la statique se vérifie cle manière analytique.

252

Resistance des materiauxLa résistance des matériaux concerne l'étude des déformations. Elle utilise les lois decomportement des matériaux pour déterminer les contraintes et déformations d'un com-posant en fonction des actions extérieures qui sont appliquées à un solide déformable.

2.1 SollicitationsUne sollicitation est un cas d'application des efforts sur un solide déformable qui permetd`établir des relations entre efforts et déformations. Par exemple, la tige du piston précé-dent est somnise à la compression et sa longueur diminue sous l`effort. La manivelle dupédalier est soumise à la flexion et se courbe sous l”effort. Ces déformations sont réver-sibles tant que le matériau reste dans sa zone d'élasticité. Les sollicitations simples quel'on peut rencontrer couramment sont présentées dans le tableau du paragraphe 2.4.

2,2 Relation solli-citation-détorrrialionPour déterminer la relation entre une sollicitation et les déformations qu'elle induit, onretient les hypothèses suivantes sur Ie matériau :- homogénéité : les matériaux ont les mêmes propriétés mécaniques en tout point ;- isotropie : les matériaux ont, en un méme point, les mêmes propriétés physiques dans

toutes les directions.

in Le premier modèle utilisable conespond aux so- Section droitelides dont les caractéristiques géométriques peuvent i /permettre de les assimiler a une poutre droite qui doit H 1' I Tl

_ 1 'l.

avoir les caracteristiques suivantes : T

»*'P“~

I

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""'--..L..

I i l I I i i i I i i i i i i i i i I i i l i i i

- les centres de gravité des sections forment une ligneI

continue droite ou très faiblement incurvée appelée 5- `*°'*l'1 tl

ligne moyenne ; Lûngueur*U- la dimension des sections droites est petite devant

la longueur de la ligne moyenne et varie lentement. Exempk de püum, drumEn pratique, on considère que la longueur de laligne moyenne doit étre supérieure à cinq fois laplus grande des dimensions transversales.

rgrμiuvin.-1-a ' ' ' _| - ;_ti-Q-Q - -Z -“QI G i -riiiinn-fai-. il-vnv.-1'--une-_-_» -1 - 5

s :=- I s -*-_ _ '_ _Dans ce cas, le calcul des déformations et de la ré- __ _ ,,. _ _

:E Voir fiche C 3.9 i

Ligne movenne

sistance du solide déformable en fonction de sa géo- A A --7” n x›rts*a.a--:...-s* * 3 _.,igimuim -QA-métrie et des efforts appliqués est réalisable par des

calculs simples. Toutefois, les résultats sont relative- '*§5;I~==1~"ment approximatifs en raison des hypothèses rete- ...nues ci-dessus. él/f'lI-'£V>.'il”

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o Le second modéle utilisable est le modèle par élé-ments finis qui est le ri moteur ii des logiciels de simu-lation numérique. Ce modèle est adapté à des formes _,______de piéces quelconques. Il intègre les conséquences departicularités comme les accidents de forme (charige- 'ment brusque de dimension, trous...). Les résultatsobtenus sont plus proches de la réalité. On trouve

2,

2____ -qinl

des logiciels de calcul de structures associés à tous les Hlogiciels de CAO volumique. SolidWorks Corp.)

-flfiflμfl JWModéle par éléments finis [DS Svstémes

C 3-10 Comportement mécanique des sgstémes I 253

2.3 Notioin de contrainteAfin de disposer d'éléments de comparaison indépendants de la géométrie des solidesétudiés, on définit le concept de contrainte. Une contrainte représente un élément desefforts de cohésion interne du matériau qui lui permettent de résister aux efforts exté-rieurs qui lui sont appliqués. Elle siexprime en termes de pression (newtons par unité desurface). Par exemple, une poutre sur laquelle on tire subira une contrainte de tractionnormale à une section droite quelconque.La loi de Hooke précise que, dans le domaine élastique du matériau, les déformationssont proportionnelles aux contraintes :

avec:j _ I cr : contrainte en N/mm2,

0* = E.g Gù 3 = Î0 s : allongement unitaire, avec l la longueur deIG la poutre sous charge et tu la longueur initiale,

E 1 module de Young.

Le module de Young est une caractéristique du matériau, il est exprimé, lui aussi, enunité de pression.

in Quelques valeurs de E en GPa (1 000 N/mmé) :Aluminium (Al) 69, Duralumin (AU4G]i 75, Cuivre (Cu) 124, Or (Au) 78, Plomb (Pb) 18,Acier de construction 210, Acier à ressorts 220, Carbure de tungstène (WC) 650, Béton20 à 50, Brique 14, Chéne 12, Bambou 20, Fibre de carbone l-IR 240, Kevlar 34,5,Nanotubes de Carbone 1 100, Nylon 2 à 5, Plexiglas 2,38.

2.4 Recapiliulation

Sollicitations Contraintes Définition Exemple d un pontTraction ou

fit _? N :effort normal en N dan< af S :aire dela section droite en mi

, Soumise à la traction, la poutres'allonge sous l'effet de l'effort.

AVEC åf= fflfflfš d'-1 CUHÉSÎUH CIHHS lã Soumise à la compression, la poutreSection par unité de surface. rétrécit .sous l'effet de l'effort.

-1' -:›N =EAft

Flexion Mfsimple o = '-

G1

T_,, _,, o :contrainte normale en MPa_M, M, v :distance du point M au

` " " - * * * " " 'L barycentre de la section en mlvl, : moment de flexion en N.mm

-› -s IGZ : moment quadratique deMf = M dans UTTÊ SÊÊtlUl'l drültfi. |a Sectiün En m4' grandeur

caractéristique de la forme delasection droite.Soumise å la flexion, la poutre pliesous l'effet de l'effort.

4

compression Ê' E' U =%Contrainte

cr :contrainte normale en MPa tif; nsciinn5 Uli CHU Contrainte de

rainte de

-im-AmaaeufxzfelSur un pont å haubans, cr correspond å l'angle formé par les câbles avec le tablier auniveau de la jonction avec le tablier (diamètre d'un câble : 20 cm). Le tablier exerce uneffort P verticalement au niveau de cette jonction. La résistance å la rupture d'un câbleest égale å 1700 NImm2.Elle est définie par Rmpm = force maximale supportée I surface de la section du câble.0n considére la partie centrale du tablier de hauteur 1 m, de largeur 20 m et delongueur 100 m. Le tablier est en acier et son volume est un parallélépipédeavec μm, = 7 800 kglmi.

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` «-ita»1) En appliquant le principe fondamental de la statique å la jonction isolée (point),montrer que T1 = T2 =

2sino:

2) Calculer cette valeur si oi = 15 °, puis calculer l'effort qu'un câble supporte ainsi.La valeur de résistance å ia rupture est-elle dépassée ?Si oui, proposer des solutions de principe pour l'éviter.

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