· i abstrakt práca detekcia uviaznutí v diskrétnych udalostných systémoch so zdie©anými...

Ing. Ana Juhásová

Autoreferát dizertačnej práce

DETEKCIA UVIAZNUTÍ V DISKRÉTNYCH UDALOSTNÝCH SYSTÉMOCH SODETEKCIA UVIAZNUTÍ V DISKRÉTNYCH UDALOSTNÝCH SYSTÉMOCH SO

ZDIEĽANÝMI ZDROJMIZDIEĽANÝMI ZDROJMI

na získanie akademickej hodnosti doktor (philosophiae doctor, PhD.)

v doktorandskom študijnom programe: Automatizácia a riadenie

v študijnom odbore 5.2.14 automatizácia

Miesto a dátum: Bratislava, 12.09.2016

SLOVENSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA

V BRATISLAVE

FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A INFORMATIKY

Ing. Ana Juhásová

Autoreferát dizertačnej práce

DETEKCIA UVIAZNUTÍ V DISKRÉTNYCH UDALOSTNÝCH SYSTÉMOCH SODETEKCIA UVIAZNUTÍ V DISKRÉTNYCH UDALOSTNÝCH SYSTÉMOCH SO

ZDIEĽANÝMI ZDROJMIZDIEĽANÝMI ZDROJMI

na získanie akademickej hodnosti doktor (philosophiae doctor, PhD.)

v doktorandskom študijnom programe:

Automatizácia a riadenie

Miesto a dátum: Bratislava, 12.09.2016

Dizertačná práca bola vypracovaná v externej forme doktorandského štúdia

Na Ústav robotiky a kybernetiky, Fakulta elektrotechniky a informatiky,

Slovenská technická univerzita v Bratislave

Ilkovičova 3, 812 19 Bratislava

Predkladateľ: Ing. Ana Juhásová, Ústav robotiky a kybernetiky, Fakulta elektrotechniky

a informatiky, Slovenská technická univerzita v Bratislave


Školiteľ: prof. Ing. Ján Murgaš, PhD., Ústav robotiky a kybernetiky, Fakulta

elektrotechniky a informatiky, Slovenská technická univerzita v Bratislave


Oponenti: doc. Ing. Zoltán Balogh, PhD., Katedra informatiky, Fakulta prírodných vied,

Univerzita Konštantína Filozofa v Nitre

doc. Ing. Peter Trebuňa, PhD., Katedra priemyselného inžinierstva

a manažmentu, Strojnícka fakulta, Technická univerzita Košice

Autoreferát bol rozoslaný: 13.09.2016

Obhajoba dizertačnej práce sa koná: ___________ o _______h.

Na Ústave robotiky a kybernetiky, Fakulta elektrotechniky a informatiky, Slovenská

technická univerzita v Bratislave, Ilkovičova 3, 812 19 Bratislava

prof. Dr. Ing. Miloš Oravec dekan FEI STU

i

Abstrakt

Práca �Detekcia uviaznutí v diskrétnych udalostných systémoch so zdie©anými zdrojmi�A. Juhásovej prezentuje metódu na detekciu uviaznutí (zamrznutí a zacyklení) v dis-krétnych udalostných systémoch so zdie©anými zdrojmi a viacerými in²tanciami. Akomodelovací formalizmus boli zvolené work�ow siete, ktoré predstavujú roz²írený nástrojna modelovanie a analýzu work�ow procesov. Vo work�ow sie´ach sa vykonávajú in²tan-cie s ur£eným po£iato£ným stavom a korektným ukon£ením. Zaoberáme sa work�owprocesmi, v ktorých in²tancie môºu zdie©a´ zdroje viacerých typov, pri£om in²tanciezdie©ané zdroje nevytvárajú ani nespotrebujú. To znamená, ºe in²tancie môºu zdrojepouºíva´ a najneskôr pri ukon£ení uvo©nia v²etky pouºívané zdroje. Takéto zdie©anézdroje sa nazývajú trvácne. Príkladom trvácnych zdrojov sú napríklad zdroje v in-forma£ných systémoch ako pamä´, procesory alebo pracovníci v rolách v organiza£nej²truktúre. Zaoberáme sa procesmi, ktoré obsahujú dostatok zdrojov na korektné vyko-nanie jednej in²tancie, hovoríme, ºe takéto procesy majú korektné správanie. Uviaznu-tím nazývame taký stav procesu, v ktorom sa vykonávajú viaceré in²tancie a z ktoréhonie je moºné v²etky vykonávané in²tancie korektne ukon£i´ z dôvodu nedostatku zdie-©aných zdrojov. Hlavným výsledkom práce je návrh metódy a algoritmu na detekciuuviaznutí work�ow procesov s korektným správaním a viacerými typmi zdie©aných tr-vácnych zdrojov pre daný po£iato£ný po£et zdrojov a ©ubovo©ný po£et vykonávanýchin²tancií.

K©ú£ové slová: Diskrétne udalostné systémy, work�ow procesy, zdie©ané zdroje, in-²tancie, Petriho siete, work�ow siete, uviaznutia, zamrznutia, zacyklenia, korektnos´

Abstract

The thesis �Detection of livelocks and deadlocks in discrete event systems with sharedresources� by A. Juhásová is presenting a method for detection of locks (both deadlocksand livelocks) in discrete event systems with shared resources and multiple instances.As a modelling framework we have chosen work�ow nets, which represent a widelyspread tool for modelling and analysis of work�ow processes. We consider that multipleinstances with determined initial state and a correct �nal state are running in work�ownets. We consider work�ow processes, in which instances can share several types ofresources, with instances neither creating nor destroying shared resources. It means,that instances can use resources but the used resources are returned at the latest bythe correct �nish of the instance. Such resources are said to be durable. Examplesof durable resources include resources of information systems, such as memory andprocessors or employees in roles in an organizational structure. We consider processes,which have enough resources to execute a single instance, such processes are said tobe sound. A lock is a state of the process, where several instances are running butbecause of the lack of shared resources not all running instances can �nish properly.The main result of the thesis is the method and the algorithm for detection of locksin sound work�ow processes with several types of shared durable resources for giveninitial number of resources and an arbitrary number of running instances.

Keywords: Discrete event systems, work�ow processes, shared resources, instances,Petri nets, work�ow nets, locks, deadlocks, livelocks, soundness

Obsah

Úvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Udalostné systémy so zdie©anými zdrojmi . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1 Prechodové systémy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Petriho siete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Work�ow siete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4 Petriho siete a work�ow siete so statickými miestami . . . . . . 51.5 Vykonávané siete so statickými miestami a in²tanciami . . . . . 71.6 Uviaznutia vo vykonávaných sie´ach so statickými miestami a

in²tanciami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.7 Uviaznutie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2 Detekcia uviaznutí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.1 Siete s kon²truktorom versus vykonávané siete . . . . . . . . . . 152.2 Siete dosiahnute©nosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.3 Siete dosiahnute©nosti versus vykonávané siete . . . . . . . . . . 222.4 Základné uviaznutia siete dosiahnute©nosti . . . . . . . . . . . . 232.5 Obmedzené siete dosiahnute©nosti . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.6 Detekcia základných uviaznutí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3 Preh©ad prác a námety na ¤al²í výskum . . . . . . . . . . . . . . . . . 34Záver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38Zoznam publikácií autora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40Ohlasy na práce autora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41Literatúra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

ii

OBSAH 1

Úvod

Work�ow procesy [1, 2, 3, 4] patria do triedy dynamických systémov nazývaných dis-krétne udalostné systémy [16, 8]. De�níciu work�ow procesu môºeme chápa´ ako de�ní-ciu pracovného postupu, ktorý pozostáva zo sledu predpísaných úloh, pri£om môºemede�nova´, ºe na vykonanie úlohy sú nutné nejaké zdroje. Ak sa work�ow proces ná-sledne vykonáva, znamená to, ºe sa pod©a predpísaného postupu vykonávajú jednotlivéúlohy. Vykonávané úlohy nazývame aktivity, sled vykonávaných úloh pod©a de�nícienazývame in²tancia work�ow procesu. De�nícia work�ow proocesu ur£uje pre kaºdú in-²tanciu jednozna£ný za£iatok a koniec. V ²ir²om zmysle slova môºeme medzi work�owprocesy zahrnú´ algoritmy, komunika£né protokoly [14], hardvér [17], pruºné výrobnésystémy [21, 82], procesy v oblasti sluºieb, ako napríklad proces spracovania poist-nej udalosti a podobne [4]. V práci [32] autori pracujú s triedou work�ow procesov,v ktorých jednotlivé in²tancie zdie©ajú spolo£né zdroje. Okrem zdie©aných zdrojov súv²ak in²tancie navzájom nezávislé. Zdie©ané zdroje uvaºované v práci [32] sú trvácne,teda pri vykonávaní predpísaných úloh pri spracovaní in²tancie sa zdie©ané zdroje ne-vytvárajú ani nespotrebujú. Zdroje v informa£ných systémoch, ako pamä´, procesory,vstupné a výstupné porty na hardvérových zariadeniach sú typickým príkladom tr-vácnych zdie©aných zdrojov. Podobne pracovníci v jednotlivých roliach uvaºovaní pripodnikových procesoch predstavujú príklad trvácnych zdrojov.

Hlavným problémom rie²eným v práci [32] je otázka korektného ukon£enia vykoná-vaného work�ow procesu, v ktorom nezávislé in²tancie zdie©ajú trvácne zdroje. Prob-lém je vyrie²ený pre triedu work�ow procesov s jedným typom zdie©aných zdrojov preprípad, ºe existuje taký po£et zdrojov, ºe pre tento po£et zdrojov a kaºdý vy²²í po-£et zdrojov in²tancie majú korektné ukon£enie. Ako prvý hlavný problém budúcehovýskumu autori práce [32] uvádzajú roz²írenie problému na viac typov zdrojov.

V tejto práci rie²ime problém in²pirovaný prácou [32], pri£om uvaºujeme viac typovzdrojov. Ako ukazujeme v Kapitole 3 na ilustratívnom prípade s tromi typmi zdrojov,existujú work�ow procesy, v ktorých je moºné ©ubovo©ný po£et in²tancií korektne ukon-£i´ pre daný po£et zdrojov, av²ak pre kaºdý vy²²í po£et zdrojov to uº moºné nie je.Vyºadova´, aby existoval pri viacerých typoch zdrojov po£et zdrojov, pre ktorý budemôc´ by´ korektne ukon£ených ©ubovo©ný po£et in²tancií a zárove¬ aby takáto vlastnos´platila pre kaºdý vy²²í po£et zdrojov, môºe by´ teda ve©mi re²triktívne. Predstavmesi situáciu, ºe algoritmus obdobný algoritmu v práci [32] by rozhodol, ºe neexistujetaký po£et zdrojov, ºe pre tento po£et zdrojov a kaºdý vy²²í po£et zdrojov je moºnéukon£i´ ©ubovo©ný po£et in²tancií. Napriek tomuto rozhodnutiu môºe pre daný procesexistova´ konkrétny po£et zdrojov, pre ktorý je moºné ukon£i´ ©ubovo©ný po£et in²tan-cií. Aby sme pre takýto proces a pre daný po£et zdrojov vedeli túto situáciu rozlí²i´,potrebujeme nájs´ metódu a zostavi´ algoritmus, ktorý zistí, £i v prípade viacerýchtypov zdie©aných zdrojov pre vopred daný konkrétny po£et zdrojov je moºné korektneukon£i´ ©ubovo©ný po£et in²tancií.

Stav, z ktorého nie je moºné dosiahnu´ korektné ukon£enie in²tancií nazývameuviaznutím. Uviaznutia predstavujú váºny problém pri aplikácii work�ow procesov vpraxi [60]. Rozli²ujeme dva typy uviaznutí - zamrznutie a zacyklenie (anglicky deadlocka livelock). Zamrznutie predstavuje také uviaznutie, v ktorom nie je moºné vykona´ºiadnu aktivitu. Zacyklenie je uviaznutie, v ktorom je moºné vykonáva´ aktivity, av-²ak nie je moºné aspo¬ jednu in²tanciu korektne ukon£i´. V predchádzajúcich prácach[41, 42, 43] sme zostavili metódu, ktorá pre work�ow proces s viacerými typmi tr-

2 OBSAH

vácnych zdie©aných zdrojov pre konkrétny vopred daný po£et zdrojov rozhodne, £iwork�ow proces pre nejaký po£et in²tancií obsahuje zamrznutie. Táto metóda v²akneidenti�kovala zacyklenia.

Hlavným cie©om dizerta£nej práce je zostavi´ metódu a algoritmus nadetekciu uviaznutí work�ow procesov s nezávislými in²tanciami a viacerýmitypmi zdie©aných trvácnych zdrojov pri danom po£te zdrojov jednotlivýchtypov pre ©ubovo©ný po£et in²tancií.

1 Diskrétne udalostné systémy s in²tanciami a zdie-©anými zdrojmi

1.1 Prechodové systémy

Dynamické systémy sú charakterizované zmenou stavových veli£ín v £ase. Klasickýmpríkladom sú dynamické systémy spojitej premennej (spojitých premenných), v angli£-tine známe pod ozna£ením Continuous variable dynamic systems. Diskrétne udalostnésystémy (¤alej aj DUS) predstavujú triedu dynamických systémov, ktorých stavy samenia na základe uskuto£nenia udalostí v diskrétnych £asových okamihoch. V práci savenujeme podtriede DUS nazývanej v literatúre logické diskrétne udalostné systémy.Logické diskrétne udalostné systémy (¤alej aj LDUS), abstrahujú od £asu ako mierya uvaºujú iba kauzálne vzáhy medzi jednotlivými udalosámi. Najjednoduch²ím spô-sobom, ako modelova´ LDUS, je pouºi´ orientovaný graf, ktorého vrcholy predstavujústavy a ktorého hrany sú ozna£ené udalosámi. Takýto model LDUS je moºné matema-ticky formalizova´ nieko©kými spôsobmi, najznámej²ie sú ozna£ené prechodové systémya automaty [16]. V práci pouºívame ako základný model LDUS ozna£ené prechodovésystémy [45, 80].

De�nícia 1 (Ozna£ený prechodový systém)Ozna£ený prechodový systém je usporiadaná trojica (S,E,−→), kde S je mnoºina sta-vov, E je mnoºina udalostí a −→⊆ S × E × S je prechodová relácia. Skuto£nos´, ºe(s, e, s′) patrí do −→ ozna£ujeme ako s

e−→ s′.

De�nícia 2 (Ozna£ený prechodový systém s po£iato£ným stavom)Ozna£ený prechodový systém s po£iato£ným stavom je usporiadaná ²tvorica(S,E,−→, q), kde (S,E,−→) je ozna£ený prechodový systém a q ∈ S je po£iato£nýstav, pri£om kaºdý stav s ∈ S je dosiahnute©ný z q.

Logické diskrétne udalostné systémy majú ve©mi ²iroké uplatnenie. Prakticky v²etkyinforma£né systémy, softvérové systémy, ©ubovo©né po£íta£ové programy predstavujúpríklady LDUS. Podobne komunika£né protokoly, pruºné výrobné systémy, vnorenésystémy sú príkladom pouºitia LDUS. Opisy beºných situácií, návody a predpisy, popissprávania v ©udskej re£i taktieº vyuºívajú £rty udalostných systémov. Ke¤ºe LDUS savyuºívajú v rôznych aplika£ných oblastiach, ich rozvoj a nástroje na ich analýzu súpredmetom skúmania v rôznych vedných odboroch. Okrem automatizácie a riadenia akybernetiky, kde sa skúmajú pod názvom LDUS, sa rozvíjajú najmä v informatike akovýpo£tové modely, a zárove¬ v oblasti manaºmentu a riadenia ako work�ow procesy.

1. UDALOSTNÉ SYSTÉMY SO ZDIE�ANÝMI ZDROJMI 3

1.2 Petriho siete

V práci uvaºujeme LDUS, modelované Petriho sieámi [44, 62, 63, 67, 23, 24]. Petrihosiete sú pomenované pod©a Carla Adama Petriho [64].

De�nícia 3 (Petriho sie´)Petriho sie´ je usporiadaná ²tvorica (P, T, I, O), kde: P je mnoºina miest, T je mnoºinaprechodov, prienik mnoºiny P a mnoºiny T je prázdny, t.j. P ∩ T = ∅. I je vstupnáfunkcia, ktorá kaºdej dvojici, v ktorej prvý prvok je miesto a druhý prvok je prechod(t.j. kaºdej dvojici, ktorá patrí do kartézskeho sú£inu P × T ) priradí nezáporné celé£íslo, formálne I : P × T → N, kde N ozna£uje mnoºinu nezáporných celých £ísel.

O je výstupná funkcia, ktorá kaºdej dvojici, v ktorej prvý prvok je miesto a druhý prvokje prechod, priradí nezáporné celé £íslo, formálne O : P × T → N.

Stav siete je daný zna£kovaním, teda funkciou m : P → N, ktorá priradí kaºdémumiestu nezáporné celé £íslo ur£ujúce po£et zna£iek, ktoré sa v danom mieste nachá-dzajú.

De�nícia 4 (Zna£kovanie)Nech PN = (P, T, I, O) je Petriho sie´. Funkciu m : P → N, ktorá priradí ku kaºdémumiestu nezáporné celé £íslo, nazývame zna£kovanie Petriho siete PN . Hodnota m(p)de�nuje po£et zna£iek v mieste p ∈ P . Zna£kovanie ozna£ujeme výrazom v tvare sumyzna£iek v miestach, teda

∑p∈P m(p)p. Mnoºinu miest, pre ktoré m(p) je nenulové,

nazývame nosi£ zna£kovania m a ozna£ujeme sup(m), formálne teda pre kaºdé p ∈ Pplatí, ºe p patrí do sup(m) práve vtedy ke¤ m(p) > 0.

Dynamika Petriho siete je daná spú²áním prechodov.

De�nícia 5 (Spustite©nos´ prechodov)Nech PN = (P, T, I, O) je Petriho sie´. Nech m : P → N je zna£kovanie a t ∈ T jeprechod siete PN . Prechod t je spustite©ný v zna£kovaní m práve vtedy, ke¤ pre kaºdémiesto p ∈ P platí, ºe po£et zna£iek m(p) v mieste p ∈ P nie je men²í ako hodnotavstupnej funkcie I(p, t), teda ak platí: m(p) ≥ I(p, t). Ak je prechod t spustite©ný vzna£kovaní m, potom jeho spustenie v zna£kovaní m vedie do zna£kovania m′, pri£ompre kaºdé miesto p ∈ P platí: m′(p) = m(p)− I(p, t) +O(p, t).

De�nícia 6 (Ozna£kovaná Petriho sie´)Ozna£kovaná Petriho sie´ je usporiadaná pätica MPN = (P, T, I, O,m0), kde PN =(P, T, I, O) je Petriho sie´ a m0 je jej zna£kovanie nazývané po£iato£né zna£kovanie.

V práci vyuºívame jednoduchý ilustratívny príklad popisujúci systém - program, vktorom budú vykonávané výpo£tové úlohy: výpo£tová úloha príde do systému, systémjej pridelí jednotku opera£nej pamäte a procesor, následne sa vykoná výpo£et, po jehoukon£ení sa uvo©ní jednotka pamäte a procesor a úloha sa ukon£í. Systém môºememodelova´ ozna£kovanou Petriho sieóu na Obr. 1.

V²etky Petriho siete pouºité v práci boli modelované vo vlastnom online editorePetriho sietí PetriFlow, ktorý je prístupný na stránke www.petriflow.com. Editorje implementovaný v jazykoch JavaScript HTML5, gra�cké znázornenie je realizovanéprostredníctvom SVG komponentov. Editor umoº¬uje modelova´ Petriho siete, ukladaá na£ítava´ ich vo formáte XML a exportova´ ich vo formáte SVG.

Petriho sie´ de�nuje prirodzeným spôsobom ozna£ený prechodový systém, nazývanýgraf dosiahnute©nosti.

www.petriflow.com

4 OBSAH

in

čakanie na pamäť

čakanie na procesor

pamäť pridelená

procesor pridelený

výpočet

pamäť na uvoľnenie

procesor na uvoľnenie

pamäť uvoľnená

procesor uvoľnený

outpríchod úlohy

pridelenie pamäte

pridelenie procesora

začiatok výpočtu koniec výpočtu

uvoľnenie pamäte

uvoľnenie procesora

ukončenie úlohy

Obr. 1: Ozna£kovaná Petriho sie´ modelujúca spracovanie výpo£tovej úlohy

De�nícia 7 (Graf dosiahnute©nosti Petriho siete)Nech PN = (P, T, I, O) je Petriho sie´. Ozna£ený prechodový systém (S,E,−→), kdeS je mnoºina v²etkých zna£kovaní, teda mnoºina v²etkých funkcií z P do mnoºinynezáporných celých £ísel N, E = T , m

t−→ m′ práve vtedy, ke¤ prechod t je spustite©ný vzna£kovaní m a jeho spustenie vedie do zna£kovania m′, nazývame graf dosiahnute©nostiPetriho siete PN .

De�nícia 8 (Graf dosiahnute©nosti ozna£kovanej Petriho siete)Nech MPN = (P, T, I, O,m0) je ozna£kovaná Petriho sie´. Nech (S,E,−→) je grafdosiahnute©nosti Petriho siete PN = (P, T, I, O). Nech [m0〉 ozna£uje mnoºinu v²etkýchzna£kovaní dosiahnute©ných zo zna£kovania m0 v grafe dosiahnute©nosti Petriho sietePN . Potom ozna£ený prechodový systém s po£iato£ným stavom ([m0〉, E,−→ ∩([m0〉×E × [m0〉),m0) nazývame graf dosiahnute©nosti ozna£kovanej Petriho siete MPN . Akje postupnos´ ε spustite©ná v zna£kovaní m a jej spustenie vedie do zna£kovania m′ vjej grafe dosiahnute©nosti, hovoríme, ºe postupnos´ ε je spustite©ná z m v sieti MPN ,jej spustenie vedie do zna£kovania m′ v sieti MPN a m′ je dosiahnute©né z m v sietiMPN .

1.3 Work�ow siete

Ve©mi £astým typom LDUS sú systémy, pri ktorých systém spracováva viacero in²tanciírovnakého typu. Typickým príkladom takýchto LDUS sú napríklad work�ow procesy,pri ktorých sa in²tancie ozna£ujú ako prípady, napr. systém spravujúci pois´ovacieprípady. Iným príkladom sú webové aplikácie, kde in²tanciami sú �sessions�, objektovo-orientované programy, kde in²tanciami sú objekty danej triedy. Objektovo orientovanýprincíp dnes predstavuje základný kame¬ ºivotného cyklu produktu v koncepte Indus-try 4.0, kde výrobok - produkt sa stáva in²tanciou udalostného systému � výrobnéhoprocesu. Takéto LDUS nazývame LDUS s in²tanciami. Zameriame sa na systémy, kdein²tancie majú jednozna£ný za£iatok a korektné ukon£enie. V literatúre sú takéto sys-témy modelované pomocou podtriedy Petriho sietí - nazývanej work�ow siete [1, 2, 3, 4].Jednozna£ný za£iatok vo work�ow sie´ach je vyjadrený pomocou ²peciálneho miesta.Podobne ukon£enie in²tancie je vyjadrené pomocou ²peciálneho miesta.

De�nícia 9 (Work�ow sie´)Work�ow sie´ je Petriho sie´ PN = (P, T, I, O) s kone£ným po£tom miest a prechodovv ktorej existuje práve jedno miesto in ∈ P také a práve jedno miesto out ∈ P také, ºepre v²etky t ∈ T platí O(in, t) = 0 a zárove¬ existuje také t ∈ T ºe I(in, t) 6= 0, prev²etky t ∈ T platí I(out, t) = 0 a zárove¬ existuje také t ∈ T ºe O(out, t) 6= 0. Miestoin je nazývané vstupné miesto work�ow siete, miesto out je nazývané výstupné miestowork�ow siete.


De�nícia 10 (Ozna£kovaná work�ow sie´)Ozna£kovaná work�ow sie´ je taká ozna£kovaná Petriho sie´ MPN = (P, T, I, O,m0),ºe PN = (P, T, I, O) je work�ow sie´ a m0 = in, teda m0(in) = 1 a m0(p) = 0 prekaºdé p ∈ P , ktoré je rôzne od in.

Moºné správanie sa jednotlivých in²tancií work�ow procesu je reprezentované spus-tite©nými postupnos´ami v grafe dosiahnute©nosti ozna£kovanej work�ow siete. Abymali in²tancie korektné ukon£enie, je potrebné, aby graf dosiahnute©nosti ozna£kova-nej work�ow siete mal práve jeden kone£ný stav. Týmto stavom musí by´ zna£kovanieout, teda zna£kovanie, pri ktorom miesto out obsahuje práve jednu zna£ku a ºiadneiné miesto zna£ky neobsahuje. Inými slovami, korektné ukon£enie in²tancie ozna£kova-nej work�ow siete je vyjadrené presunom zna£ky zo vstupného do výstupného miesta.Takúto vlastnos´ nazývame korektné správanie (v literatúre sa táto vlastnos´ ozna£ujesoundness) [4].

De�nícia 11 (Korektné správanie ozna£kovanej work�ow siete)Nech MPN = (D,S, T, I, O,m0) je ozna£kovaná work�ow sie´ a nech in ∈ P ozna£ujevstupné miesto a out ∈ P výstupné miesto. Ozna£kovaná work�ow sie´ MPN mákorektné správanie práve vtedy, ke¤ pre kaºdé zna£kovanie m dosiahnute©né z m0 platí:1. zna£kovanie out je dosiahnute©né zo zna£kovania m; 2. ak m(out) ≥ 1 potom m =out, teda m(out) = 1 a m(p) = 0 pre kaºdé p ∈ P , ktoré je rôzne od out.

Lema 1 Ak ozna£kovaná work�ow sie´ má korektné správanie, potom po£et stavov do-siahnute©ných z po£iato£ného zna£kovania je kone£ný.

Príkladom ozna£kovanej work�ow siete s korektným správaním je sie´ na Obr. 1.

1.4 Petriho siete a work�ow siete so statickými miestami

Uvaºujeme, ºe in²tancie môºu zdie©a´ zdroje, napr. opera£nú pamä´ £i procesor v prí-pade programov. Takéto LDUS s in²tanciami nazývame LDUS s in²tanciami a zdie-©anými zdrojmi. Predpokladáme, ºe zdie©ané zdroje sú in²tanciami pouºívané, nie súv²ak in²tanciami ani vytvárané ani spotrebované. To znamená, ºe po£et zdie©anýchzdrojov pred a po ukon£ení in²tancie sa nemení. Takéto LDUS s in²tanciami nazývameLDUS s in²tanciami a trvácnymi zdie©anými zdrojmi. Typickým príkladom LDUS sin²tanciami a trvácnymi zdie©anými zdrojmi sú work�ow procesy, kde kaºdý prípadpredstavuje vytvorenie in²tancie, respektíve webové aplikácie, kde kaºdý prípad pred-stavuje vytvorenie �session�, in²tancie zdie©ajú zdroje ako procesor, opera£ná pamä´,port, ktoré sú pouºívané pri uskuto£není jednotlivých aktivít prípadu.

Formálne modelujeme LDUS s in²tanciami a zdie©anými zdrojmi pomocou Petrihosietí so statickými miestami [41, 42, 43]. Sú to Petriho siete s pridanými statickýmimiestami, ktoré modelujú zdie©ané zdroje. Táto trieda sietí bola de�novaná v prá-cach [6, 32, 33] pod názvom work�ow siete s obmedzenými zdrojmi (anglicky resourceconstrained work�ow nets).

De�nícia 12 (Petriho sie´ so statickými miestami)Petriho sie´ so statickými miestami je pätica PNS = (D,S, T, I, O), kde D je mnoºinadynamických miest, S je mnoºina statických miest, prienik mnoºiny dynamických miestD a mnoºiny statických miest S je prázdny, t.j. D∩S = ∅, PN = (P = D∪S, T, I, O)je Petriho sie´.

6 OBSAH

in

čakanie na pamäť


pamäť pridelená

procesor pridelený

výpočet



pamäť uvoľnená

procesor uvoľnený

out

voľná pamäť

voľný procesor

pamäť

procesor

príchod úlohy

pridelenie pamäte



uvoľnenie pamäte


ukončenie úlohy

Obr. 2: Ozna£kovaná ur£ená work�ow sie´ so statickými miestami, ktorých ozna£kova-nie modeluje po£et pamä´ových jednotiek a procesorov k dispozícii

De�nícia 13 (Ozna£kovaná Petriho sie´ so statickými miestami)Ozna£kovaná Petriho sie´ so statickými miestami je ²esticaMPNS = (D,S, T, I, O,m0),kde PNS = (D,S, T, I, O) je Petriho sie´ so statickými miestami a MPN = (P =D ∪ S, T, I, O,m0) je ozna£kovaná Petriho sie´. Hovoríme, ºe prechod je spustite©ný vozna£kovanej Petriho sieti so statickými miestami MPNS ak je spustite©ný v ozna£ko-vanej Petriho sieti MPN . Grafom dosiahnute©nosti ozna£kovanej Petriho siete so sta-tickými miestami MPNS je graf dosiahnute©nosti ozna£kovanej Petriho siete MPN .V²etky pojmy de�nované pre ozna£kovanú Petriho sie´MPN analogicky pouºívame preozna£kovanú Petriho sie´ so statickými miestami MPNS.

De�nícia 14 (Work�ow sie´ so statickými miestami)Work�ow sie´ so statickými miestami je Petriho sie´ so statickými miestami W =(D,S, T, I, O), kde PN = (P = D∪S, T, I, O) je work�ow sie´, pri£om vstupné miestoa výstupné miesto patria do mnoºiny dynamických miest, t.j. in ∈ D a out ∈ D.

De�nícia 15 (Ozna£kovaná work�ow sie´ so statickými miestami)Ozna£kovaná work�ow sie´ so statickými miestami je ²esticaMW = (D,S, T, I, O,m0),kde W = (D,S, T, I, O) je work�ow sie´ so statickými miestami m0 je po£iato£nézna£kovanie také, ºe vstupné miesto obsahuje jednu zna£ku, t.j. m(in) = 1 a zárove¬m(d) = 0 pre kaºdé dynamické miesto d ∈ D, ktoré je rôzne od in.

V porovnaní s prácami [6, 32, 33] formalizujeme skuto£nos´, ºe zdroje sú trvácne, po-mocou komplementárnych miest [25] pre statické miesta. Tieto komplementárne miestanazývame ur£ujúce miesta statických miest.

De�nícia 16 (Ur£ená work�ow sie´ so statickými miestami)Nech W = (D,S, T, I, O) je taká work�ow sie´ so statickými miestami, ºe pre kaºdémiesto s ∈ S existuje práve jedno miesto ds ∈ D rôzne od in a out, ktoré pre kaºdé t ∈ Tsp¨¬a I(ds, t)−O(ds, t) = O(s, t)− I(s, t). Potom sa takéto miesto ds nazýva ur£ujúcemiesto statického miesta s. Work�ow sie´ W sa nazýva ur£ená work�ow sie´ so static-kými miestami. Mnoºinu v²etkých ur£ujúcich miest ur£enej work�ow siete ozna£ujemeDS.

Statické miesta sú gra�cky znázornené kruhmi vykreslenými preru²ovanou £iarou.V ilustratívnom príklade môºeme statickými miestami vo©ná pamä´ a vo©ný procesor


a ich po£iato£ným zna£kovaním modelova´ vo©né jednotky pamäte a vo©né procesory,ako je to to znázornené na Obr. 2. Miesto pamä´ je ur£ujúcim miestom pre statickémiesto vo©ná pamä´, podobne miesto procesor je ur£ujúce miesto pre statické miestovo©ný procesor.

De�nícia 17 (Finálne zna£kovania ozna£kovanej work�ow siete so statickýmimiestami siete)Nech MW = (D,S, T, I, O,m0) je ozna£kovaná work�ow sie´ so statickými miestami.Zna£kovanie mf siete MW , ktoré je dosiahnute©né z po£iato£ného zna£kovania m0,nazývame �nálne zna£kovanie, ak platí mf (out) = 1, mf (d) = 0 pre kaºdé d ∈ D, ktoréje rôzne od out.

De�nícia 18 (Korektné správanie ozna£kovanej work�ow siete so statickýmimiestami)Nech MW = (D,S, T, I, O,m0) je ozna£kovaná work�ow sie´ so statickými miestamia nech out ∈ P ozna£uje výstupné miesto. Ozna£kovaná work�ow sie´ so statickýmimiestami MW má korektné správanie práve vtedy, ke¤ pre kaºdé zna£kovanie m do-siahnute©né z m0 platí: 1. existuje �nálne zna£kovanie mf siete MW , ktoré je dosia-hnute©né zo zna£kovania m; 2. ak m(out) ≥ 1 potom m je �nálne zna£kovanie sieteMW .

Existencia ur£ujúcich miest v ur£enej work�ow sieti navy²e zabezpe£í, ºe nové zdie-©ané zdroje sa nevytvárajú ani nespotrebujú, teda po ukon£ení in²tancie sa po£et zdro-jov rovná po£tu zdrojov danému zna£kovaním statických miest v po£iato£nom zna£ko-vaní.

Lema 2 Ak ozna£kovaná ur£ená work�ow sie´ so statickými miestami má korektnésprávanie, potom po£et stavov dosiahnute©ných z po£iato£ného zna£kovania je kone£ný.

Je zrejmé, ºe ozna£kovaná ur£ená work�ow sie´ so statickými miestami z Obr. 2 mákorektné správanie.

1.5 Vykonávané siete so statickými miestami a in²tanciami

Vykonávaná work�ow sie´ so statickými miestami reprezentuje beºiaci work�ow pro-ces s in²tanciami. In²tancie sú reprezentované kópiami pôvodnej work�ow siete, ktorésú indexované kladnými celými £íslami. Pre kaºdú in²tanciu navy²e pridáme ²peciálnukon²trukciu pozostávajúcu z miesta source, i, prechodu stop, i a prechodu new, i s prí-slu²ným indexom i, hrany zo source, i do stop, i, hrany zo source, i do new, i a hranyz new, i do source, i + 1. Táto kon²trukcia reprezentuje kon²truktor in²tancie s inde-xom i. V po£iato£nom zna£kovaní je ozna£ené iba miesto source, 1. Spustenie prechodunew, i vytvorí zna£ku vo vstupnom mieste in²tancie work�ow siete s poradovým £íslomi. Vytvorenie zna£ky vo vstupnom mieste indexovanom kladným celým £íslom i ∈ Zreprezentuje teda vytvorenie in²tancie s poradovým £íslom i. Zárove¬ spustenie pre-chodu new, i vytvorí zna£ku v mieste source, i + 1, £ím sa stane spustite©ný prechodnew, i+ 1, teda kon²truktor pre ¤al²iu in²tanciu. Prechod stop, i umoº¬uje pri ozna£-kovanom mieste source, i zastavi´ vytváranie ¤al²ích in²tancií.

8 OBSAH

in,3

čakanie na pamäť,3

čakanie na procesor,3

pamäť pridelená,3

procesor pridelený,3

výpočet,3

pamäť na uvoľnenie,3

procesor na uvoľnenie,3

pamäť uvoľnená,3

procesor uvoľnený,3

out,3

voľný procesor

voľná pamäť




out,2výpočet,2


in,2

pamäť uvoľnená,2čakanie na pamäť,2 pamäť pridelená,2


in,4 výpočet,4


out,4



čakanie na procesor,4 procesor na uvoľnenie,4procesor pridelený,4

čakanie na pamäť,4 pamäť na uvoľnenie,4


výpočet,1in,1

pamäť pridelená,1čakanie na pamäť,1

procesor pridelený,1 procesor uvoľnený,1

pamäť na uvoľnenie,1 pamäť uvoľnená,1


out,1

source,1

source,2

source,3

source,4

source,5

pamäť,1

procesor,1

pamäť,2

procesor,2

pamäť,3

pamäť,3

pamäť,4

procesor,4

príchod úlohy,3

pridelenie pamäte,3

pridelenie procesora,3

začiatok výpočtu koniec výpočtu,3

uvoľnenie pamäte,3

uvoľnenie procesora,3

ukončenie úlohy,3

koniec výpočtu,2 ukončenie úlohy,2

uvoľnenie pamäte,2pridelenie pamäte,2


príchod úlohy,2 začiatok výpočtu,2


pridelenie pamäte,4 uvoľnenie pamäte,4

uvoľnenie procesora,4pridelenie procesora,4

začiatok výpočtu,4 ukončenie úlohy,4koniec výpočtu,4príchod úlohy,4


ukončenie úlohy,1




začiatok výpočtu,1príchod úlohy,1 koniec výpočtu,1

stop,1

new,1

stop,2

new,2

stop,3

new,3

stop,4

new,4

stop,5

Obr. 3: �as´ vykonávanej work�ow siete so statickými miestami pre prvé 4 in²tancie


in,3





výpočet,3





out,3

voľný procesor

voľná pamäť




out,2výpočet,2


in,2



in,4 výpočet,4


out,4






výpočet,1in,1





out,1

source,1

source,2

source,3

source,4

source,5

pamäť,1

procesor,1

pamäť,2

procesor,2

pamäť,3

pamäť,3

pamäť,4

procesor,4

príchod úlohy,3






ukončenie úlohy,3










ukončenie úlohy,1





stop,1

new,1

stop,2

new,2

stop,3

new,3

stop,4

new,4

stop,5

Obr. 4: �as´ uviaznutej vykonávanej work�ow siete so statickými miestami pre prvé 4in²tancie v stave zamrznutia

10 OBSAH

De�nícia 19 (Vykonávaná work�ow sie´ so statickými miestami)Nech MW = (D,S, T, I, O,m0) je ozna£kovaná work�ow sie´ so statickými miestamia nech new, stop a source ozna£ujú prvky, ktoré nepatria do mnoºín D, S a T , teda{new, stop, source} ∩ (D ∪ S ∪ T ) = ∅. Potom vykonávaná work�ow sie´ so statickýmimiestami siete MW je ozna£kovaná Petriho sie´ MPN = (P∞, T∞, I∞, O∞, m∞

0 ),kde

• P∞ = S ∪ (D × Z) ∪ ({source} × Z), teda miesta siete MPN tvoria statickémiesta siete MW , kópie dynamických miest ozna£ené kladnými celými £íslami akópie source ozna£ené kladnými celými £íslami

• T∞ = (T × Z) ∪ ({new, stop} × Z), teda prechody siete MPN tvoria kópie pre-chodov siete MW ozna£ené kladnými celými £íslami a kópie new a stop ozna£enékladnými celými £íslami

• I∞(s, (t, i)) = I(s, t) pre v²etky s ∈ S, t ∈ T a i ∈ Z, teda hrany zo statickýchmiest do kópií prechodov sa kopírujú

• I∞((d, i), (t, i)) = I(d, t) pre v²etky d ∈ D, t ∈ T a i ∈ Z, teda hrany z kópiídynamických miest do kópií prechodov sa kopírujú

• I∞((source, i), (new, i)) = 1 a I∞((source, i), (stop, i)) = 1 pre v²etky i ∈ Z,teda spustenie kon²truktora (new, i) pre in²tanciu s indexom i je moºné iba vzna£kovaní s ozna£eným miestom (source, i), podobne zastavenie (stop, i)

• O∞(s, (t, i)) = O(s, t) pre v²etky s ∈ S, t ∈ T a i ∈ Z, teda hrany z kópiíprechodov do statických miest sa kopírujú

• O∞((d, i), (t, i)) = O(d, t) pre v²etky d ∈ D, t ∈ T a i ∈ Z, teda hrany z kópiíprechodov do kópií dynamických miest sa kopírujú

• O∞((in, i), (new, i)) = 1 a O∞((source, i + 1), (new, i)) = 1 pre v²etky i ∈ Z,teda spustenie kon²truktora (new, i) pre in²tanciu s indexom i vytvorí zna£kuv mieste (in, i), £ím vytvorí in²tanciu s indexom i, a zárove¬ vytvorí zna£ku vmieste (source, i+ 1), £ím sa stane spustite©ným kon²truktor (new, i+ 1)

• I∞(p, t) = 0 a O∞(p, t) = 0 pre v²etky ostatné dvojice (p, t) ∈ (P∞ × T∞)

• m∞0 (source, 1) = 1, m∞

0 (s) = m0(s) pre kaºdé s ∈ S, m∞0 (d, i) = 0 pre kaºdé

(d, i) ∈ (D × Z) a m∞0 (source, i) = 0 pre kaºdé celé £íslo i vä£²ie ako 1, teda v

po£iato£nom zna£kovaní je jedna zna£ka v mieste (source, 1), zna£ky v statickýchmiestach sú skopírované a ostatné miesta sú prázdne.

Miesta i-tej in²tancie ozna£ujeme P∞i , teda P∞

i = (D∪{source})×{i} pre kladné celé£íslo i.Prechody i-tej in²tancie ozna£ujeme T∞

i , teda T∞i = (T ∪{new, stop})×{i} pre kladné

celé £íslo i.

Na Obr. 3 je znázornená £as´ vykonávanej work�ow siete so statickými miestamipre prvé 4 in²tancie work�ow procesu z Obr. 2, konkrétne sú znázornené iba statickémiesta, miesta s indexom 1 aº 4 a prechody s indexom 1 aº 4, miesto source,5, prechodstop,5 a hrany medzi príslu²nými elementami.


in

čakanie na pamäť


pamäť pridelená

procesor pridelený

výpočet



pamäť uvoľnená

procesor uvoľnený

out

voľná pamäť

voľný procesor

nastavenia pripravené

nastavenia

pamäť

procesor

príchod úlohy

pridelenie pamäte



uvoľnenie pamäte


ukončenie úlohy

uloženie nastavení otvorenie nastavení

Obr. 5: Výpo£tová úloha s moºnosóu zmeny nastavenia parametrov výpo£tu

1.6 Uviaznutia vo vykonávaných sieách so statickými mies-

tami a in²tanciami

Zamrznutie

Po£iato£né zna£kovanie vykonávanej siete znázornené na Obr. 3 vyjadruje stav systémus dvoma jednotkami pamäte a dvoma procesormi. V dosiahnute©nom zna£kovaní naObr. 4 nie sú spustite©né ºiadne prechody a systém zamrzne. Zna£kovanie vykonávanejsiete, z ktorého jednotlivé in²tancie work�ow siete so statickými miestami nie je moºnékorektne ukon£i´, nazývame uviaznutie. Uviaznutie je spôsobené tým, ºe jednotlivéin²tancie súáºia o zdie©ané zdroje, v tomto prípade pamä´ a procesory. Ak je tedavo vykonávanej sieti pred dokon£ením beºiacich in²tancií dosiahnute©né zna£kovanie, vktorom nie je moºné spusti´ ºiadny prechod, tak ako je to na Obr. 4, nazývame takétouviaznutie zamrznutím (v anglickom jazyku deadlock). Ako v²ak ilustruje nasledovnýpríklad, moºu existova´ pred dokon£ením situácie, pri ktorých sa systém dostane zomnoºiny zna£kovaní, v ktorých je vºdy nejaký prechod spustite©ný, ale napriek tomu nieje moºné beºiace in²tancie dokon£i´. Takéto uviaznutie nazývame zacyklením (anglickylivelock).

Zacyklenie

Predstavme si situáciu, modelovanú ur£enou work�ow sieóu so statickými miestamia s korektným správaním na Obr. 5: po príchode výpo£tovej úlohy sa na£ítajú pred-nastavené parametre výpo£tu, £o je vyjadrené zna£kou v mieste nastavenia pripravené(Obr. ??). V tomto stave je moºné spusti´ prechod otvorenie nastavení, pri£om sa ot-vorí dialógové okno s nastaveniami, teda vytvorí sa zna£ka v mieste nastavenia (Obr.??). V tomto stave je moºné vykona´ zmenu nastavenia prednastavených paramet-rov výpo£tu, napr. zmenu maximálneho £asu výpo£tu. Následne je moºné spustenímprechodu uloºenie nastavení nastavenia uloºi´ a vytvori´ zna£ku v mieste nastaveniapripravené. Nastavi´ parametre výpo£tu je moºné teda opakovane pred spustením sa-motného výpo£tu. Ak má úloha pridelenú pamä´, procesor a nastavenia sú pripravené(Obr. ??), môºe sa spusti´ samotný výpo£et, £o je modelované prechodom za£iatokvýpo£tu.

12 OBSAH

in,3





výpočet,3





out,3

voľný procesor

voľná pamäť




out,2


in,2



in,4 výpočet,4


out,4






výpočet,1in,1





out,1

source,1

source,2

source,3

source,4

source,5

nastavenia pripravené,1

nastavenia,1

výpočet,2nastavenia pripravené,2

nastavenia,2


nastavenia,3


nastavenia,4

pamäť,1

procesor,1

pamäť,2

procesor,2

pamäť,3

procesor,4

pamäť,4

procesor,4

príchod úlohy,3






ukončenie úlohy,3










ukončenie úlohy,1





stop,1

new,1

stop,2

new,2

stop,3

new,3

stop,4

new,4

stop,5

otvorenie nastavení,1uloženie nastavení,1

uloženie nastavení,2 otvorenie nastavení,2



Obr. 6: �as´ vykonávanej work�ow siete so statickými miestami pre proces na Obr. 5pre prvé 4 in²tancie


in,3





výpočet,3





out,3

voľný procesor

voľná pamäť




out,2


in,2



in,4 výpočet,4


out,4






výpočet,1in,1





out,1

source,1

source,2

source,3

source,4

source,5


nastavenia,1

výpočet,2nastavenia pripravené,2

nastavenia,2


nastavenia,3


nastavenia,4

pamäť,1

procesor,1

pamäť,2

procesor,2

pamäť,3

procesor,4

pamäť,4

procesor,4

príchod úlohy,3






ukončenie úlohy,3










ukončenie úlohy,1





stop,1

new,1

stop,2

new,2

stop,3

new,3

stop,4

new,4

stop,5

otvorenie nastavení,1uloženie nastavení,1




Obr. 7: �as´ uviaznutej vykonávanej work�ow siete so statickými miestami pre prvé 4in²tancie v stave zacyklenia

14 OBSAH

in

čakanie na pamäť


pamäť pridelená

procesor pridelený

výpočet



pamäť uvoľnená

procesor uvoľnený

out

voľná pamäť

voľný procesor

source

pamäť

procesor

príchod úlohy

pridelenie pamäte



uvoľnenie pamäte


ukončenie úlohy

stop

new

Obr. 8: Sie´ s kon²truktorom work�ow siete z Obr. 2.

Opätovne, ozna£kovaná ur£ená work�ow sie´ so statickými miestami na Obr. 5 mákorektné správanie.

Na Obr. 6 je znázornená £as´ vykonávanej work�ow siete so statickými miestami preproces na Obr. 5 pre prvé 4 in²tancie. Napriek tomu, ºe v dosiahnute©nom zna£kovaní nazna£kovaní na Obr. 7 systém nezamrzol, nie je moºné dokon£i´ ºiadnu zo 4 výpo£tovýchúloh. Toto uviaznutie nazývame zacyklením.

1.7 Uviaznutie

De�nícia 20 (Finálne zna£kovania vykonávanej siete)Nech MW = (D,S, T, I, O,m0) je ozna£kovaná work�ow sie´ so statickými miestami anech ozna£kovaná Petriho sie´ MPN = (P∞, T∞, I∞, O∞, m∞

0 ) je vykonávaná workf-low sie´ so statickými miestami siete MW . Zna£kovanie m∞

f vykonávanej siete MPN ,ktoré je dosiahnute©né z po£iato£ného zna£kovania m∞

0 , nazývame �nálne zna£kovanie,ak platí, ºe m∞

f (p) = 0 kaºdé p ∈ P∞, ktoré nepatrí do mnoºiny ({out} × Z) ∪ S.

De�nícia 21 (Uviaznutie vykonávanej siete)Nech MW = (D,S, T, I, O,m0) je ozna£kovaná work�ow sie´ so statickými miestamia korektným správaním a nech ozna£kovaná Petriho sie´ MPN = (P∞, T∞, I∞, O∞,m∞

0 ) je vykonávaná work�ow sie´ so statickými miestami siete MW . Zna£kovanie m∞

vykonávanej siete MPN , ktoré je dosiahnute©né z po£iato£ného zna£kovania m∞0 , nazý-

vame uviaznutie, ak z m∞ nie je dosiahnute©né ºiadne �nálne zna£kovanie vykonávanejsiete MPN .

Hlavným cie©om tejto práce je navrhnú´ pre ozna£kované ur£ené workf-low siete s korektným správaním metódu na detekciu uviaznutí ich vykoná-vaných work�ow sietí so statickými miestami vrátane algoritmu, ktorý ur£í,£i sie´ má uviaznutia. Diskusia problému detekcie uviaznutí, návrh vlastnejmetódy a vlastný algoritmus na detekciu uviaznutí tvoria obsah Kapitoly 2dizerta£nej práce.

2. DETEKCIA UVIAZNUTÍ 15

in

čakanie na pamäť


pamäť pridelená

procesor pridelený

výpočet



pamäť uvoľnená

procesor uvoľnený

out

voľná pamäť

voľný procesor

source

pamäť

procesor

príchod úlohy

pridelenie pamäte



uvoľnenie pamäte


ukončenie úlohy

stop

new

Obr. 9: Sie´ s kon²truktorom v zna£kovaní, ktoré zodpovedá uviaznutiu vykonávanejsiete na Obr. 4

2 Detekcia uviaznutí v diskrétnych udalostných sys-témoch so zdie©anými zdrojmi

Prvým krokom pri návrhu metódy je nájs´ pre ur£enú work�ow sie´ so statickými mies-tami a korektným správaním takú Petriho sie´ s kone£ným po£tom miest a kone£nýmpo£tom prechodov a de�nova´ jej �nálne zna£kovania a uviaznutia tak, ºe táto sie´ máuviaznutia práve vtedy ke¤ vykonávaná sie´. Druhým krokom je nájs´ algoritmus nadetekciu uviaznutí v tejto sieti s kone£ným po£tom miest a prechodov.

2.1 Siete s kon²truktorom versus vykonávané siete

Ako prvý kandidát je v práci pouºitá pôvodná work�ow sie´, obohatená o kon²truktor.Na Obr. 8 je sie´ s kon²truktorom work�ow siete z Obr. 2. �ia©, sie´ s kon²truktorom

na Obr. 8 nemá ºiadne uviaznutia, na rozdiel od vykonávanej siete na Obr. 3, ktorejuviaznutie je znázornené na Obr. 4. Tomuto uviaznutiu zodpovedá zna£kovanie sietes kon²truktorom na Obr. 9. Zna£kovanie siete s kon²truktorom na Obr. 9 v²ak nieje uviaznutím, pretoºe je spustite©ný prechod za£iatok výpo£tu. Je to preto, ºe sie´s kon²truktorom nevie rozozna´, ktorá zna£ka patrí ktorej in²tancii. Predchádzajúcipríklad ilustruje, ºe sie´ s kon²truktorom nerozozná existujúce uviaznutie, ktoré vzniknevo vykonávanej sieti, ktorá in²tancie rozli²uje.

Uvaºujme systém, ktorého model je na Obr. 10: Systém realizuje dva typy pracov-ných úloh, úlohy typu A a úlohy typu B, pri£om úlohy typu A realizuje zdroj v role A aúlohy typu B realizuje zdroj v role B. V rámci úlohy A vykonáva zdroj A aktivitu AX,ktorej výsledkom je produkt typu X a aktivitu AY, ktorej výsledkom je produkt typuY. V rámci úlohy B vykonáva zdroj B aktivitu BY, ktorej výsledkom je produkt typuY a aktivitu BZ, ktorej výsledkom je produkt typu Z. Ozna£kovaná ur£ená work�owsie´ so statickými miestami na Obr. 10 má korektné správanie. Na Obr. 11 je zná-zornená sie´ s kon²truktorom work�ow siete z Obr. 10. Ak dvakrát spustíme prechodnew, spustíme prechod stop, potom prechod úloha A a prechod úloha B a následnespustíme prechod AX, prechod BY, prechod BZ a prechod uvo©nenie zdroja A, sie´ skon²truktorom uviazne v zna£kovaní na Obr. 12. Toto uviaznutie v²ak vo vykonávanejsieti neexistuje. Vykonávaná sie´ totiº ºiadne uviaznutia nemá. Sie´ s kon²truktoromteda rozozná uviaznutie neexistujúce vo vykonávanej sieti.

16 OBSAH

in

zdroj A pridelený

zdroj B

čakanie na AY

out

čakanie na BY

zdroj B pridelený

produkt Z

produkt Xčakanie na AX

zdroj A

čakanie na BZ

produkt Y

úloha B uvoľnenie zdroja B

úloha A

AY

uvoľnenie zdroja A

AX

BZ

BY

Obr. 10: Systém z dvomi typmi úloh a tromi typmi produktov

in

zdroj A pridelený

zdroj B

čakanie na AY

out

čakanie na BY

zdroj B pridelený

produkt Z


zdroj A

čakanie na BZ

produkt Y

source


úloha A

AY

uvoľnenie zdroja A

AX

BZ

BY

new

stop

Obr. 11: Sie´ s kon²truktorom work�ow siete z Obr. 10


in

zdroj A pridelený

zdroj B

čakanie na AY

out

čakanie na BY

zdroj B pridelený

produkt Z


zdroj A

čakanie na BZ

produkt Y

source


úloha A

AY

uvoľnenie zdroja A

AX

BZ

BY

new

stop

Obr. 12: Uviaznutie siete s kon²truktorom z Obr. 11 po spustení prechodov new, new,stop, úloha A, úloha B, AX, BY, BZ, uvo©nenie zdroja A

2.2 Siete dosiahnute©nosti

Aby sme zabránili mie²aniu zna£iek, potrebujeme separova´ dosiahnute©né zna£kova-nia dynamických miest originálnej work�ow siete. Jedným z moºných spôsobov, akoto dosiahnu´ je in²pirova´ sa grafom dosiahnute©nosti originálnej siete. S pomocougrafu dosiahnute©nosti vytvoríme Petriho sie´ so statickými miestami a doplníme jukon²truktorom. Takúto sie´ nazveme sie´ dosiahnute©nosti.

De�nícia 22 (Matematická notácia)Nech P je nejaká mnoºina, A je nejaká mnoºina a nech D je nejaká podmnoºinamnoºiny P , teda D ⊆ P . Nech m : P → A je nejaká funkcia, ktorá prira¤uje kaºdémuprvku mnoºiny P nejaký prvok z mnoºiny A. Nech m|D ozna£uje zúºenie funkcie mna prvky mnoºiny D, teda takú funkciu m|D : D → A z D do A, ºe m|D(d) = m(d)pre kaºdé d ∈ D. Nech S je nejaká podmnoºina mnoºiny P , teda S ⊆ P , a zárove¬nech D a S nemajú spolo£né prvky, teda D ∩ S = ∅ (D a S sú disjunktné), potomozna£me m|D ∪m|S = m|(D ∪ S). Ozna£me zárove¬ symbolom P \D rozdiel mnoºínP a D, teda takú mnoºinu, ºe P ∩ (P \D) = ∅ a zárove¬ (P \D)∪D = P (de�nujemeteda rozdiel mnoºin iba pre prípad, ºe mnoºina D je podmnoºinou mnoºiny P ). Nech[P → A] ozna£uje mnoºinu v²etkých funkcií z P do A. Ak A je kone£ná mnoºina, nech|A| ozna£uje po£et jej prvkov.

De�nícia 23 (Mnoºina dosiahnute©ných D-zna£kovaní)Nech MPN = (P, T, I, O,m0) je ozna£kovaná Petriho sie´. Nech D je nejaká podmno-ºina miest, teda D ⊆ P . Nech m je zna£kovanie MPN . Potom funkciu m|D nazývameD-zna£kovanie. Symbolom [m0〉|D ozna£me mnoºinu v²etkých takých D-zna£kovaní w,

18 OBSAH

ºe platí: w ∈ [m0〉|D práve vtedy, ke¤ existuje také m ∈ [m0〉, ºe w = m|D. Sym-bol [m0〉|D teda ozna£uje mnoºinu v²etkých takých D-zna£kovaní m|D, ºe m je do-siahnute©né z m0. Hovoríme tieº, ºe [m0〉|D ozna£uje mnoºinu v²etkých D-zna£kovanídosiahnute©ných z po£iato£ného D-zna£kovania m0|D.

Miesta v sieti dosiahnute©nosti sú vytvorené s pomocou dosiahnute©ných D-zna£kova-ní. Pre kaºdé dosiahnute©né D-zna£kovanie m|D z [m0〉|D originálnej siete vytvo-ríme jedno miesto v sieti dosiahnute©nosti. K takto vytvoreným miestam pridáme akomiesta pôvodné statické miesta. Prvky prechodovej relácie (m, t,m′) z −→ vyuºijemepri vytváraní prechodov siete dosiahnute©nosti. Trojica (m|D, t,m′|D) ∈ ([m0〉|D) ×T × ([m0〉|D) bude prechodom siete dosiahnute©nosti vºdy, ke¤ m

t−→ m′. Prechod(m|D, t,m′|D) siete dosiahnute©nosti spotrebuje jednu zna£ku z miesta siete dosiahnu-te©nosti m|D a vytvorí jednu zna£ku v mieste m′|D. Hrany medzi statickými miestamia prechodom (m|D, t,m′|D) sú totoºné s hranami medzi statickými miestami a precho-dom t originálnej siete. Takto vzniknuté miesta a prechody obohatíme o kon²truktorobdobným spôsobom ako v prípade sietí s kon²truktorom. V gra�ckom znázorneníozna£íme prechod (m|D, t,m′|D) iba názvom prechodu t.

De�nícia 24 (Sie´ dosiahnute©nosti)Nech MW = (D,S, T, I, O,m0) je ozna£kovaná work�ow sie´ so statickými miestamia nech new, stop a source ozan£ujú prvky, ktoré nepatria do mnoºín D, S a T , teda{new, stop, source} ∩ (D ∪ S ∪ T ) = ∅. Potom sie´ dosiahnute©nosti siete MW jeozna£kovaná Petriho sie´ MPN = (P r, T r, Ir, Or, mr

0), kde

• P r = ([m0〉|D)∪S ∪{source}, teda miestami sú v²etky D-zna£kovania dosiahnu-te©né z po£iato£ného zna£kovania siete MW , statické miesta a miesto source.

• T r = T a∪{new, stop}, kde T a je mnoºina v²etkých trojíc (x, t, y) ∈ ([m0〉|D)×T×([m0〉|D), pre ktoré platí, ºe existuje taká trojica (m, t,m′) ∈ [m0〉 × T × [m0〉, ºex = m|D, y = m′|D a zárove¬ m

t−→ m′, teda prechodmi siete dosiahnute©nostisú okrem new a stop také trojice (x, t, y), kde x a y sú D-zna£kovania a t jespustite©ný v zna£kovaní m a jeho spustenie vedie do zna£kovania m′, pri£omx = m|D a x = m|D.

• Ir(x, (x, t, y)) = 1 pre v²etky (x, t, y) ∈ T a

• Ir(source, new) = 1 a Ir(source, stop) = 1, teda spustenie kon²truktora new jemoºné iba v zna£kovaní s ozna£eným miestom source, podobne zastavenie stop

• Ir(s, (x, t, y)) = I(s, t) pre v²etky s ∈ S, (x, t, y) ∈ T a, teda hrany zo statickýchmiest do kópií prechodov sa kopírujú

• Or((x, t, y), y) = 1 pre v²etky (x, t, y) ∈ T a

• Or(in, new) = 1 a Or(source, new) = 1 teda spustenie kon²truktora new vytvorízna£ku v mieste in a zárove¬ vráti zna£ku do miesta source (pripome¬me, ºe zDe�nície 15 platí, ºe zna£kovanie in = m0|D)

• Or(s, (x, t, y)) = O(s, t) pre v²etky s ∈ S, (x, t, y) ∈ T a, teda hrany z kópiíprechodov do statických miest sa kopírujú

• Ir(p, t) = 0 a Or(p, t) = 0 pre v²etky ostatné dvojice (p, t) ∈ (P r × T r)


pamäť pridelená+čakanie na procesor+pamäť

pamäť pridelená+procesor pridelený+pamäť+procesor

čakanie na pamäť+procesor pridelený+procesor

in

čakanie na pamäť+čakanie na procesor

pamäť na uvoľnenie+procesor na uvoľnenie+pamäť+procesor

pamäť uvoľnená+procesor na uvoľnenie+procesorpamäť na uvoľnenie+procesor uvoľnený+pamäť

pamäť uvoľnená+procesor uvoľnený

out

výpočet+pamäť+procesor

source

voľný procesor voľná pamäť

pridelenie pamäte



pridelenie pamäte

príchod úlohy

začiatok výpočtu

uvoľnenie procesora uvoľnenie pamäte

uvoľnenie pamäte uvoľnenie procesora

ukončenie úlohy

koniec výpočtu

newstop

Obr. 13: Sie´ dosiahnute©nosti ozna£kovanej ur£enej work�ow siete so statickými mies-tami a korektným správaním z Obr. 2

20 OBSAH

• mr0(source) = 1, mr

0|S = m0|S a mr0(x) = 0 pre kaºdé x ∈ [m0〉|D, teda v

po£iato£nom zna£kovaní je jedna zna£ka v mieste source, zna£ky v statickýchmiestach sa zachovávajú a miesta zodpovedajúce dosiahnute©ným D-zna£kovaniamsú prázdne.

Dôsledok 1 Nech MW = (D,S, T, I, O,m0) je ozna£kovaná ur£ená work�ow sie´ sostatickými miestami a korektným správaním. Potom jej sie´ dosiahnute©nosti MPN =(P r, T r, Ir, Or, mr

0) má kone£ný po£et miest P r a kone£ný po£et prechodov T r.

Zostroji´ sie´ dosiahnute©nosti pre ozna£kovanú ur£enú work�ow sie´ so statickýmimiestami je moºné nasledovne.

Algoritmus 1 (Overenie korektného správania a vytvorenie siete dosiahnu-te©nosti ur£enej work�ow siete so statickými miestami)Pre ozna£kovanú ur£enú work�ow sie´ so statickými miestamiMW = (D,S, T, I, O,m0)

1. vytvor prázdny zoznam M nájdených zna£kovaní work�ow siete MW

2. vytvor premennú mf je dosiahnute©né a vloº do nej hodnotu nie

3. vytvor prázdny zoznam miest P r siete dosiahnute©nosti

4. vytvor prázdny zoznam prechodov T r siete dosiahnute©nosti

5. vytvor prázdnu zoznam pre funkciu Ir

6. vytvor prázdnu zoznam pre funkciu Or

7. vloº do zoznamu M po£iato£né zna£kovanie m0 a nastav mnoºinu Pre(m0) jehopredchodcov prázdnu

8. vloº do zoznamu P r miesto siete dosiahnute©nosti m0|D

9. pokia© je v zozname M zna£kovanie m, ktoré nie je ozna£ené ako preskúmané,vezmi ho a rob nasledovné:

(a) akm(out) ≥ 1 a zárove¬m 6= mf potom algoritmus zastav a vrá´ informáciu"Sie´ nemá korektné správanie"

(b) ak m = mf vloº do mf je dosiahnute©né hodnotu áno

(c) pre kaºdý prechod t spustite©ný z m

i. po£ítaj zna£kovaniem′ dosiahnuté spustením prechodu t zo zna£kovaniam

ii. ak m′ e²te nie je v zozname MA. vloºm′ do zoznamuM a nastav mnoºinu Pre(m′) jeho predchodcov

prázdnuB. do zoznamu P r vloº m′|DC. vloº trojicu (m′|D, y, 0) do zoznamu Ir aj do zoznamu Or pre kaºdé

y zo zoznamu T r

iii. nastav mnoºinu Pre(m′) predchodcov zna£kovaniam′ rovnú zjednoteniuPre(m′) ∪ Pre(m) ∪ {m}


iv. ak existuje predchodca m′′ z Pre(m′) taký, ºe pre v²etky miesta p ∈ Pplatí m′′(p) ≤ m′(p) a zárove¬ existuje miesto p ∈ P také, ºe platím′′(p) < m′(p), potom algoritmus zastav a vrá´ informáciu "Sie´ nemákorektné správanie"

v. vloº do zoznamu T r trojicu (m|D, t,m′|D)

vi. vloº trojicu (x, (m|D, t,m′|D), 0) do zoznamu Ir pre kaºdé x zo zoznamuP r rôzne od m|D

vii. vloº trojicu (m|D, (m|D, t,m′|D), 1) do zoznamu Ir

viii. vloº trojicu (x, (m|D, t,m′|D), 0) do zoznamu Or pre kaºdé x zo zo-znamu P r rôzne od m′|D

ix. vloº trojicu (m|D, (m|D, t,m′|D), 1) do zoznamu Or

(d) ozna£ m ako preskúmané

10. ak mf je dosiahnute©né = nie algoritmus zastav a vrá´ informáciu "Sie´ nemákorektné správanie"

11. ak mf je dosiahnute©né = áno a Pre(mf )∪{mf} 6=M , algoritmus zastav a vrá´informáciu "Sie´ nemá korektné správanie"

12. vloº source do zoznamu P r

13. vloº trojicu (source, y, 0) do zoznamu Ir aj do zoznamu Or pre kaºdé y zo zo-znamu T r

14. vloº new do zoznamu T r

15. vloº trojicu (x, new, 0) do zoznamu Ir pre kaºdé x zo zoznamu P r rôzne od source

16. vloº trojicu (source, new, 1) do zoznamu Ir

17. vloº trojicu (x, new, 0) do zoznamu Or pre kaºdé x zo zoznamu P r rôzne odsource a in

18. vloº trojicu (source, new, 1) do zoznamu Or

19. vloº trojicu (in, new, 1) do zoznamu Or

20. vloº stop do zoznamu T r

21. vloº trojicu (x, stop, 0) do zoznamu Ir pre kaºdé x zo zoznamu P r rôzne od source

22. vloº trojicu (source, stop, 1) do zoznamu Ir

23. vloº trojicu (x, stop, 0) do zoznamu Or pre kaºdé x zo zoznamu P r

24. vytvor prázdny zoznam mr0

25. vloº dvojicu (x, 0) do zoznamu mr0 pre kaºdé x zo zoznamu P r rôzne od source

26. vloº dvojicu (source, 1) do zoznamu mr0

27. vrá´ informáciu "Sie´ má korektné správanie" a zárove¬ vrá´ sie´ dosiahnute©nostiMPN r = (P r, T r, Ir, Or,mr

0)

22 OBSAH

Miesta v sieti dosiahnute©nosti reprezentujú zna£kovania dynamických miest, tedastavy jednotlivých in²tancií, vrátane informácie, ko©ko zna£iek zo statických premen-ných in²tancia práve pouºíva. Zna£ky v miestach siete dosiahnute©nosti reprezentujújednotlivé in²tancie. Po£et zna£iek v danom mieste siete dosiahnute©nosti reprezentujeteda po£et in²tancií vo vykonávanej sieti, ktoré sú v danom stave.

De�nícia 25 (Finálne zna£kovania siete dosiahnute©nosti)Nech MW = (D,S, T, I, O,m0) je ozna£kovaná work�ow sie´ so statickými miestamia nech ozna£kovaná Petriho sie´ MPN = (P r, T r, Ir, Or, mr

0) je sie´ dosiahnute©nostisiete MW . Zna£kovanie mr

f siete dosiahnute©nosti MPN , ktoré je dosiahnute©né zpo£iato£ného zna£kovania mr

0, nazývame �nálne zna£kovanie, ak platí, ºe mrf (x) = 0

kaºdé x ∈ P r \ (S ∪{out}) (kde out ozna£uje v zmysle zavedenej notácie funkciu 1 · outz D do Z).

De�nícia 26 (Uviaznutie siete dosiahnute©nosti)Nech MW = (D,S, T, I, O,m0) je ozna£kovaná work�ow sie´ so statickými miestamia nech ozna£kovaná Petriho sie´ MPN = (P r, T r, Ir, Or, mr

0) je sie´ dosiahnute©nostisiete MW . Zna£kovanie mr siete dosiahnute©nosti MPN , ktoré je dosiahnute©né z po-£iato£ného zna£kovania mr

0, nazývame uviaznutie, ak z mr nie je dosiahnute©né ºiadne�nálne zna£kovanie siete dosiahnute©nosti MPN .

2.3 Siete dosiahnute©nosti versus vykonávané siete

Pre vykonávané siete platia nasledovné tvrdenia:

Dôsledok 2 Nech MW = (D,S, T, I, O,m0) je ozna£kovaná ur£ená work�ow sie´ sostatickými miestami a korektným správaním a nech ozna£kovaná Petriho sie´ MPN =(P∞, T∞, I∞, O∞, m∞

0 ) je vykonávaná work�ow sie´ so statickými miestami sieteMW . Pre kaºdé zna£kovanie m∞ vykonávanej siete MPN , ktoré je dosiahnute©né zpo£iato£ného zna£kovania m∞

0 , platí pre ©ubovo©né i ∈ Z práve jedna z nasledovnýchmoºností:

1. m∞|(P∞i ) = (source, i) (kde (source, i) ozna£uje v zmysle zavedenej notácie fun-

kciu 1 · (source, i) z (P∞i ) do Z), teda ozna£ené je iba miesto (source, i), ostatné

miesta z (P∞i ) nemajú ºiadne zna£ky.

2. m∞|(P∞i ) ∈ [m0〉|D × i, teda i-ta in²tancia je v niektorom z dosiahnute©ných

stavov siete MW , pri£om existuje miesto (d, i) ∈ D × {i} také, ºe m∞(d, i) > 0,teda (d, i) obsahuje aspo¬ jednu zna£ku.

3. m∞|(P∞i ) = 0, t.j. m∞(x) = 0 pre kaºdé x ∈ P∞

i , teda miesta i-tej in²tancie súneozna£ené, £o zodpovedá skuto£nosti, ºe in²tancia nebola vytvorená.

Navy²e pre kaºdé m∞ ∈ [m∞0 〉 existuje i ∈ Z také, ºe m∞|(P∞

i ) = 0. Zárov¬ platí, ºeak m∞|(P∞

i ) = 0 potom m∞|(P∞j ) = 0 pre v²etky i, j ∈ Z také, ºe j > i.

De�nícia 27 (Po£et in²tancií v rovnakom stave)Nech MW = (D,S, T, I, O,m0) je ozna£kovaná ur£ená work�ow sie´ so statickýmimiestami a korektným správaním, nech ozna£kovaná Petriho sie´ MPN∞ = (P∞, T∞,I∞, O∞, m∞

0 ) je vykonávaná work�ow sie´ so statickými miestami siete MW a nech


ozna£kovaná Petriho sie´ MPN r = (P r, T r, Ir, Or, mr0) je sie´ dosiahnute©nosti siete

MW . Uvaºujme ©ubovo©né zna£kovanie m∞ : P∞ → N, pre ktoré existuje taká ko-ne£ná mnoºina indexov I(m∞), ºe pre kaºdé i ≤ maxI(m∞) platí bu¤ moºnos´ 1 alebomoºnos´ 2 z Dôsledku 2 a pre kaºdé j > maxI(m∞) platí moºnos´ 3 z Dôsledku 2.Takéto zna£kovanie nazývame potencionálne zna£kovanie vykonávanej siete. Potenci-onálne zna£kovanie m∞ má teda v miestach prvých maxI(m∞) in²tanciách aspo¬ jednuzna£ku v aspo¬ jednom mieste, zatia© £o v²etky miesta in²tancií s indexom vy²²ím akomaxI(m∞) sú neozna£kované.

• Ozna£me symbolom f(m∞) : I(m∞)→ (P r \ S) funkciu, ktorá priradí £íslu i:

� miesto siete dosiahnute©nosti f(m∞)(i) = source, ak m∞(source, i) = 1.

� miesto siete dosiahnute©nosti f(m∞)(i) ∈ [m0〉|D také, ºe f(m∞)(i)(d) =m∞(d, i) pre kaºdé d ∈ D, ak m∞(source, i) = 0.

• Nech x ∈ P r \ S, potom I(m∞, x) ⊆ I(m∞) je taká kone£ná mnoºina kladnýchcelých £ísel i, pre ktoré platí f(m∞)(i) = x, teda I(m∞, x) je mnoºina indexovtakých in²tancií, ktoré sú v rovnakom stave x.

• Nakoniec, nech n(m∞) : (P r \ S) → N je funkcia udávajúca pre kaºdé miestosiete dosiahnute©nosti po£et in²tancií, ktoré sú v danom stave, teda n(m∞)(x) =|I(m∞, x)|.

Prvým hlavným výsledkom tejto práce je nasledovná veta.

Veta 1 Nech MW = (D,S, T, I, O,m0) je ozna£kovaná ur£ená work�ow sie´ so static-kými miestami a korektným správaním, nech ozna£kovaná Petriho sie´MPN∞ = (P∞,T∞, I∞, O∞, m∞

0 ) je vykonávaná work�ow sie´ so statickými miestami siete MW anech ozna£kovaná Petriho sie´ MPN r = (P r, T r, Ir, Or, mr

0) je sie´ dosiahnute©nostisiete MW . Zna£kovanie siete dosiahnute©nosti mr ∈ [mr

0〉 je uviaznutím siete dosia-hnute©nosti práve vtedy, ke¤ ©ubovo©né zna£kovanie vykonávanej siete m∞ ∈ [m∞

0 〉, prektoré platí (n(m∞) ∪m∞|S) = mr, je uviaznutím vykonávanej siete.

Na Obr. 14 je znázornené uviaznutie siete dosiahnute©nosti z Obr. 13. Toto uviaz-nutie zodpovedá uviaznutiu vykonávanej siete zobrazenému na Obr. 4.

2.4 Základné uviaznutia siete dosiahnute©nosti

Pre metódu vy²etrenia uviaznutí je k©ú£ový nasledovný výsledok.

Lema 3 Nech MW = (D,S, T, I, O,m0) je ozna£kovaná ur£ená work�ow sie´ so sta-tickými miestami a korektným správaním a MPN r = (P r, T r, Ir, Or, mr

0) je sie´ do-siahnute©nosti siete MW . Nech zna£kovanie mr

1 je dosiahnute©né z mr0 v sieti dosiahnu-

te©nosti. Potom pre ©ubovo©né zna£kovanie w : (P r \S)→ N sp¨¬ajúce mr1|(P r \S) > w

existuje také zna£kovanie mr2 dosiahnute©né z mr

0, ºe mr2|(P r \ S) = w.

V nasledujúcej de�nícii rozdelíme miesta siete dosiahnute©nosti pod©a toto, £i re-prezentujú stavy, v ktorých sú pouºité zdroje zo statickým miest.

24 OBSAH

pamäť pridelená+čakanie na procesor+pamäť

pamäť pridelená+procesor pridelený+pamäť+procesor

čakanie na pamäť+procesor pridelený+procesor

in

čakanie na pamäť+čakanie na procesor




out


source

voľný procesor voľná pamäť

pridelenie pamäte



pridelenie pamäte

príchod úlohy

začiatok výpočtu



ukončenie úlohy

koniec výpočtu

newstop

Obr. 14: Uviaznutie siete dosiahnute©nosti z Obr. 13, ktoré zodpovedá uviaznutiu vy-konávanej siete zobrazenému na Obr. 4


De�nícia 28 (Miesta so zdrojmi)Nech MW = (D,S, T, I, O,m0) je ozna£kovaná ur£ená work�ow sie´ so statickýmimiestami a korektným správaním a nech ozna£kovaná Petriho sie´ MPN = (P r, T r,Ir, Or, mr

0) je sie´ dosiahnute©nosti siete MW . Miesto x ∈ P r\S siete dosiahnute©nostije nazývané miesto bez zdroja s pre s ∈ S ak bu¤ x = source alebo pre ur£ujúce miestods ∈ DS miesta s platí x(ds) = 0. Mnoºinu v²etkých miest bez zdroja s ozna£ujemeBr

s . Ak je miesto x ∈ P r \ S siete dosiahnute©nosti miestom bez zdroja pre kaºdés ∈ S, nazývame ho jednoducho miestom bez zdrojov. Mnoºinu v²etkých miest bezzdrojov ozna£ujeme Br. Miesto x ∈ P r \ S siete dosiahnute©nosti je nazývané miestoso zdrojom s pre s ∈ S ak pre ur£ujúce miesto ds ∈ DS miesta s platí x(ds) > 0.Mnoºinu v²etkých miest so zdrojom s ozna£ujeme Zr

s . Ak pre miesto x ∈ P r \ S sietedosiahnute©nosti existuje s ∈ S také, ºe x je miestom so zdrojom s, potom ho nazývamejednoducho miestom so zdrojmi. Mnoºinu v²etkých miest so zdrojmi ozna£ujeme Zr.Pre miesto x ∈ Zr siete dosiahnute©nosti ozna£ujeme symbolom Z(x) mnoºinu takýchs ∈ S, pre ktoré platí x ∈ Zr

s .

Podobne ako miesta, rozdelíme aj prechody siete dosiahnute©nosti pod©a toho, £ipotrebujú k spusteniu zna£ky zo statických miest. Zárove¬ rozdelíme miesta pod©atoho, £i existuje prechod, ktorý presúva zna£ku z miesta so zdrojmi a pritom vyºaduje¤al²ie zdroje.

De�nícia 29 (Prechody vyºadujúce zdroje, kritické miesta)Nech MW = (D,S, T, I, O,m0) je ozna£kovaná ur£ená work�ow sie´ so statickýmimiestami a korektným správaním a nech ozna£kovaná Petriho sie´ MPN = (P r, T r,Ir, Or, mr

0) je sie´ dosiahnute©nosti siete MW . Prechod (x, t, y) ∈ T a je nazývanýprechod vyºadujúci zdroje ak I(s, t) > 0 pre nejaké s ∈ S. Ak pre miesto so zdrojmix ∈ Zr platí, ºe existuje prechod (x, t, y) ∈ T a vyºadujúci zdroje, potom x nazývamekritické miesto. Mnoºinu v²etkých kritických miest ozna£ujeme Kr.

Na Obr. 15 je znázornená sie´ dosiahnute©nosti ozna£kovanej ur£enej work�ow sieteso statickými miestami a korektným správaním z Obr. 5.

Lema 4 Nech MW = (D,S, T, I, O,m0) je ozna£kovaná ur£ená work�ow sie´ so sta-tickými miestami a korektným správaním aMPN r = (P r, T r, Ir, Or, mr

0) je sie´ dosia-hnute©nosti siete MW . Potom pre ©ubovo©né zna£kovanie mr

1 dosiahnute©né z mr0 v sieti

dosiahnute©nosti existuje zna£kovanie mr2 dosiahnute©né z mr

1, pri£om platí mr2(x) = 0

pre kaºdé x ∈ Zr \Kr.

De�nícia 30 (Kritické uviaznutie siete dosiahnute©nosti)Nech MW = (D,S, T, I, O,m0) je ozna£kovaná ur£ená work�ow sie´ so statickýmimiestami a korektným správaním a MPN r = (P r, T r, Ir, Or, mr

0) je sie´ dosiahnu-te©nosti siete MW . Potom uviaznutie mr dosiahnute©né z mr

0 v sieti dosiahnute©nosti,pre ktoré platí mr(x) = 0 pre kaºdé x ∈ Zr \ Kr, nazývame kritické uviaznutie sietedosiahnute©nosti.

Dôsledok 3 Nech MW = (D,S, T, I, O,m0) je ozna£kovaná ur£ená work�ow sie´ sostatickými miestami a korektným správaním a MPN r = (P r, T r, Ir, Or, mr

0) je sie´dosiahnute©nosti siete MW . Potom platí, ºe ak ©ubovo©né zna£kovanie mr

1 dosiahnu-te©né z mr

0 v sieti dosiahnute©nosti je uviaznutím, potom existuje kritické uviaznutie mr2

dosiahnute©né z mr1.

26 OBSAH

pamäť pridelená+čakanie na procesor+nastavenia pripravené+pamäťčakanie na pamäť+procesor pridelený+nastavenia pripravené+procesor

in

čakanie na pamäť+čakanie na procesor+nastavenia pripravené




out


source

voľná pamäťvoľný procesor

čakanie na pamäť+čakanie na procesor+nastavenia

čakanie na pamäť+procesor pridelený+nastavenia+procesor pamäť pridelená+čakanie na procesor+nastavenia+pamäť

pamäť pridelená+procesor pridelený+nastavenia+pamäť+procesor

pamäť pridelená+procesor pridelený+nastavenia pripravené+pamäť+procesor

pridelenie pamäte



pridelenie pamäte

príchod úlohy

začiatok výpočtu



ukončenie úlohy

koniec výpočtu

newstop

uloženie nastavení

otvorenie nastaveníuloženie nastavení otvorenie nastaveníuloženie nastavení



pridelenie pamäte

otvorenie nastavení

pridelenie pamäte


Obr. 15: Sie´ dosiahnute©nosti ozna£kovanej ur£enej work�ow siete so statickými mies-tami a korektným správaním z Obr. 5


De�nícia 31 (Základné uviaznutie siete dosiahnute©nosti)Nech MW = (D,S, T, I, O,m0) je ozna£kovaná ur£ená work�ow sie´ so statickýmimiestami a korektným správaním a MPN r = (P r, T r, Ir, Or, mr

0) je sie´ dosiahnu-te©nosti siete MW . Potom kritické uviaznutie mr dosiahnute©né z mr

0 v sieti dosiahnu-te©nosti, pre ktoré platí mr(x) = 0 pre kaºdé miesto bez zdrojov x ∈ Br, nazývamezákladné uviaznutie siete dosiahnute©nosti.

Lema 5 Nech MW = (D,S, T, I, O,m0) je ozna£kovaná ur£ená work�ow sie´ so sta-tickými miestami a korektným správaním a MPN r = (P r, T r, Ir, Or, mr

0) je sie´dosiahnute©nosti siete MW . Potom platí, ºe ak ©ubovo©né zna£kovanie mr

1 dosiahnu-te©né z mr

0 v sieti dosiahnute©nosti je kritickým uviaznutím, potom mr2, ktoré sp¨¬a

mr2(x) = mr

1(x) pre kaºdé miesto so zdrojmi x ∈ Zr a mr2(x) = 0 pre kaºdé miesto bez

zdrojov x ∈ Br, je základné uviaznutie dosiahnute©né z mr0.

Na Obr. 16 je znázornené dosiahnute©né základné uviaznutie siete dosiahnute©nostiwork�ow siete so statickými miestami z Obr. 5.

Spojením predchádzajúcich výsledkov, teda tvrdenia z Dôsledku 3 a Lemy 5 dostá-vame druhý hlavný výsledok práce.

Veta 2 Nech MW = (D,S, T, I, O,m0) je ozna£kovaná ur£ená work�ow sie´ so static-kými miestami a korektným správaním a MPN r = (P r, T r, Ir, Or, mr

0) je sie´ dosia-hnute©nosti siete MW . Potom platí, ºe ak v sieti dosiahnute©nosti existuje uviaznutiemr

1 dosiahnute©né z mr0, potom v sieti dosiahnute©nosti existuje základné uviaznutie mr

2

dosiahnute©né z mr0.

Dôsledok 4 Nech MW = (D,S, T, I, O,m0) je ozna£kovaná ur£ená work�ow sie´ sostatickými miestami a korektným správaním aMPN r = (P r, T r, Ir, Or, mr

0) je sie´ do-siahnute©nosti siete MW . Ak sie´ dosiahnute©nosti nemá ºiadne kritické miesto, potomnemá ani ºiadne uviaznutia.

2.5 Obmedzené siete dosiahnute©nosti

Výsledok vety 5 a Dôsledku 4 hovorí, ºe ak sie´ nemá kritické miesta, nemá ani uviaz-nutia a ak má kritické miesta, potom na detekciu uviaznutí sta£í zisti´, £i sie´ dosia-hnute©nosti má základné uviaznutia. Kritické miesta sú v²ak v sieti dosiahnute©nostiohrani£ené. Zna£kovania, z ktorých sú dosiahnute©né základné uviaznutia, sú taktieºohrani£ené. Na vy²etrenie základných uviaznutí sta£í obmedzi´ sie´ dosiahnute©nostitak, aby boli dosiahnute©né iba ohrani£ené zna£kovania, z ktorých sú potencionálnedosiahnute©né základné uviaznutia. Pre takto obmedzenú sie´ dosiahnute©nosti, ktoráje ohrani£ená, vy²etríme graf dosiahnute©nosti a zistíme, £i v ¬om existujú uviaznutia.

De�nícia 32 (Jednoduché ohrani£enie kritických miest)Nech MW = (D,S, T, I, O,m0) je ozna£kovaná ur£ená work�ow sie´ so statickýmimiestami a korektným správaním a MPN r = (P r, T r, Ir, Or, mr

0) je sie´ dosiahnute©-nosti siete MW . Nech k ∈ Kr je kritické miesto siete dosiahnute©nosti. Nech s ∈ Z(k)a nech ds ∈ DS je ur£ujúce miesto s. Ozna£me pb(k, s) = m0(s) ÷ k(ds), kde sym-bol ÷ ozna£uje celo£ícelné delenie. Následne ozna£me sbound(k) = mins∈Z(k) pb(k, s)minimum hodnôt pb(k, s) pre s ∈ Z(k). Hodnotu sbound(k) nazývame jednoduché ohra-ni£enie kritického miesta k. Sú£et hodnôt sbound(Kr) =

∑k∈Kr sbound(k) nazývame

jednoduché ohrani£enie kritických miest Kr.

28 OBSAH


in





out


source






pridelenie pamäte



pridelenie pamäte

príchod úlohy

začiatok výpočtu



ukončenie úlohy

koniec výpočtu

newstop





pridelenie pamäte


pridelenie pamäte


Obr. 16: Sie´ dosiahnute©nosti work�ow siete so statickými miestami z Obr. 5 v zá-kladnom uviaznutí pre ²tyri in²tancie



0) je sie´dosiahnute©nosti siete MW . Nech mr je ©ubovo©né zna£kovanie siete dosiahnute©nostidosiahnute©né z mr

0. Pre kaºdé kritické miesto k ∈ Kr platí mr(k) ≤ sbound(k), teda po-£et zna£iek v ºiadnom dosiahnute©nom zna£kovaní mr siete dosiahnute©nosti neprekro£íjednoduché ohrani£enie kritického miesta. Zárove¬

∑k∈Kr mr(k) ≤ sbound(Kr), teda

sú£et zna£iek v kritických miestach v ºiadnom dosiahnute©nom zna£kovaní neprekro£íjednoduché ohrani£enie kritických miest Kr. Taktieº platí, ºe sbound(Kr) ≥ 1.

Presnej²ie horné ohrani£enie po£tu zna£iek v kritických miestach môºe by´ vypo£í-tane ako rie²enie nasledovnej úlohy celo£íselného lineárneho programovania.

De�nícia 33 (Ohrani£enie kritických miest)Nech MW = (D,S, T, I, O,m0) je ozna£kovaná ur£ená work�ow sie´ so statickýmimiestami a korektným správaním a MPN r = (P r, T r, Ir, Or, mr

0) je sie´ dosiahnute©-nosti siete MW . Nech y : Kr → N je celo£íselným rie²ením sústavy nerovníc∑

k∈Kr

k(ds) · y(k) ≤ m0(s) pre s ∈ S

y(k) ≥ 0 pre k ∈ Kr

ktoré maximalizuje ú£elovú funkciu∑

k∈Kr k(ds) ·y(k). Potom túto maximálnu hodnotubound(Kr) =

∑k∈Kr k(ds) · y(k) nazývame ohrani£enie kritických miest Kr.


0) je sie´dosiahnute©nosti siete MW . Nech mr je ©ubovo©né zna£kovanie siete dosiahnute©nostidosiahnute©né z mr

0. Potom∑

k∈Kr mr(k) ≤ bound(Kr) teda sú£et zna£iek v kritickýchmiestach v ºiadnom dosiahnute©nom zna£kovaní neprekro£í ohrani£enie kritických miestKr. Zárove¬ platí, ºe sbound(Kr) ≥ bound(Kr).

Metódy pre rie²enie príslu²ných oplimaliza£ných úloh celo£íselného lineárneho prog-ramovania je moºné nájs´ napríklad v monogra�i [72].

Ak teda obmedzíme sú£et po£tu zna£iek v miestach siete dosiahnute©nosti patriacichdo [m0〉|D na hodnotu rovnú jednoduchému ohrani£eniu kritických miest sbound(Kr),respektíve na hodnotu rovnú ohrani£eniu kritických miest bound(Kr), a zárove¬ zacho-váme správanie pre zna£kovania obmedzenej siete dosiahnute©nosti pre v²etky zna£ko-vania s po£tom neprevy²ujúcom sbound(Kr), respektíve bound(Kr), vieme v kone£nomgrafe dosiahnute©nosti takto obmedzenej ohrani£enej sieti dosiahnute©nosti nájs´ v²etkyzákladné uviaznutia pôvodnej siete dosiahnute©nosti. Takúto obmedzenú sie´ dosiahnu-te©nosti de�nujeme pre dané kladné celé £íslo n ∈ Z jednoducho pridaním miesta, zktorého spustenie prechodu new spotrebuje práve jednu zna£ku, pri£om v po£iato£nomzna£kovaní do tohto miesta umiestíme n zna£iek.

De�nícia 34 (n-obmedzená sie´ dosiahnute©nosti)Nech MW = (D,S, T, I, O,m0) je ozna£kovaná ur£ená work�ow sie´ so statickýmimiestami a korektným správaním a MPN r = (P r, T r, Ir, Or, mr

0) je sie´ dosiahnute©-nosti siete MW . Nech bu�er /∈ (P r ∪ T r). Potom n-obmedzená sie´ dosiahnute©nostisiete MW je ozna£kovaná Petriho sie´ MPNn = (P n = P r ∪ {buffer}, T n = T r,

30 OBSAH

In, On = Or, mn = mr0 ∪ n·bu�er) (kde n·bu�er predstavuje v zmysle zavedenej no-

tácie funkciu z jednoprvkovej mnoºiny {bu�er} do Z prira¤ujúcu v po£iato£nom zna£-kovaní do miesta bu�er n zna£iek), pri£om In|(P r × T r) = Ir, In(bu�er, new) = 1 aIn|({bu�er} × (T r \ {new})) = 0.

Je zrejmé, ºe kaºdá n-obmedzená sie´ dosiahnute©nosti je ohrani£ená. Na Obr.17 je znázornená n-obmedzená sie´ dosiahnute©nosti ozna£kovanej ur£enej work�owsiete so statickými miestami a korektným správaním z Obr. 5 pre n = sbound(Kr) =bound(Kr) = 4.

V práci taktieº uvádzame horné ohrani£enie pre po£et dosiahnute©ných zna£kovanín-obmedzenej siete dosiahnute©nosti vypo£ítané s pomocou výsledkov z [47].

De�nícia 35 (Finálne zna£kovania n-obmedzenej siete dosiahnute©nosti)Nech MW = (D,S, T, I, O,m0) je ozna£kovaná ur£ená work�ow sie´ so statickýmimiestami a korektným správaním a MPNn = (P n, T n, In, On, mn

0 ) je n-obmedzenásie´ dosiahnute©nosti siete MW . Zna£kovanie mn

f n-obmedzenej siete dosiahnute©nostiMPNn, ktoré je dosiahnute©né z po£iato£ného zna£kovania mn

0 , nazývame �nálne zna£-kovanie, ak platí, ºe mn

f (x) = 0 kaºdé x ∈ P n \ (S ∪ {out,bu�er}.

De�nícia 36 (Uviaznutie n-obmedzenej siete dosiahnute©nosti)Nech MW = (D,S, T, I, O,m0) je ozna£kovaná ur£ená work�ow sie´ so statickýmimiestami a korektným správaním a MPNn = (P n, T n, In, On, mn

0 ) je n-obmedzenásie´ dosiahnute©nosti siete MW . Zna£kovanie mn n-obmedzenej siete dosiahnute©nostiMPNn, ktoré je dosiahnute©né z po£iato£ného zna£kovania mn

0 , nazývame uviaznutie,ak z mn nie je dosiahnute©né ºiadne �nálne zna£kovanie n-obmedzenej siete dosiahnu-te©nosti MPNn.

De�nícia 37 (Základné uviaznutie n-obmedzenej siete dosiahnute©nosti)Nech MW = (D,S, T, I, O,m0) je ozna£kovaná ur£ená work�ow sie´ so statickýmimiestami a korektným správaním, nech MPN r = (P r, T r, Ir, Or, mr

0) je sie´ dosia-hnute©nosti siete MW a nech MPNn = (P n, T n, In, On, mn

0 ) je n-obmedzená sie´dosiahnute©nosti siete MW . Nech Kr sú kritické miesta siete dosiahnute©nosti MPN r.Potom základné uviaznutie n-obmedzenej siete dosiahnute©nosti MPNn je také uviaz-nutie mn n-obmedzenej siete dosiahnute©nosti MPNn, pre ktoré platí mn(x) = 0 prekaºdé x ∈ P n \ (Kr ∪ S ∪ bu�er), teda v základnom uviaznutí n-obmedzenej sietedosiahnute©nosti MPNn môºu by´ ozna£ené iba kritické miesta siete dosiahnute©nosti,statické miesta a miesto bu�er.

Platí nasledovný tretí hlavný výsledok tejto práce.

Veta 3 Nech MW = (D,S, T, I, O,m0) je ozna£kovaná ur£ená work�ow sie´ so sta-tickými miestami a korektným správaním, nech MPN r = (P r, T r, Ir, Or, mr

0) je sie´dosiahnute©nosti siete MW a nech MPNn = (P n, T n, In, On, mn

0 ) je n-obmedzenásie´ dosiahnute©nosti siete MW , kde n ≥ bound(Kr) (výsledok platí pre ©ubovo©né n,ktoré nie je men²ie ako bound(Kr), teda aj pre sbound(Kr)). Zna£kovanie siete dosia-hnute©nosti mr ∈ [mr

0〉 je základným uviaznutím siete dosiahnute©nosti MPN r právevtedy, ke¤ zna£kovanie n-obmedzenej siete dosiahnute©nosti mn ∈ [mn

0 〉, pre ktoré platímn|P r = mr a zárove¬ mn(bu�er) = n −

∑k∈Kr mr(k), je základným uviaznutím n-

obmedzenej siete dosiahnute©nosti MPNn.



in





out


source






buffer

pridelenie pamäte



pridelenie pamäte

príchod úlohy

začiatok výpočtu



ukončenie úlohy

koniec výpočtu

newstop





pridelenie pamäte


pridelenie pamäte


Obr. 17: n-obmedzená sie´ dosiahnute©nosti ozna£kovanej ur£enej work�ow siete so sta-tickými miestami a korektným správaním z Obr. 5 pre n = sbound(Kr) = bound(Kr) =4

32 OBSAH

2.6 Detekcia základných uviaznutí

Základné uviaznutia siete dosiahnute©nosti a n-obmedzenej siete dosiahnute©nosti pre©ubovo©né n, ktoré nie je men²ie ako bound(Kr), sa teda lí²ia iba v po£te zna£iekv mieste bu�er, ktorého po£et zna£iek zodpovedá nespotrebovaným zna£kám danýmako rozdiel medzi po£iato£ným obmedzením n a sú£tom po£tu zna£iek v kritickýchmiestach.

Na záver zostavíme algoritmus na detekciu základných uviaznutí siete dosiahnute©-nostiMPN r, Vstupom do algoritmu je sie´ dosiahnute©nosti. Ak sie´ nemá uviaznutia,výstupom je informácia, ºe sie´ dosiahnute©nosti nemá uviaznutia. Ak sie´ dosiahnu-te©nosti uviaznutia má, potom je výstupom zoznam základných uviaznuti siete dosia-hnute©nosti MPN r a informácia, ºe sie´ dosiahnute©nosti má uviaznutia.

Algoritmus 2 (Detekcia základných uviaznutí siete dosiahnute©nosti)Pre sie´ dosiahnute©nostiMPN r = (P r, T r, Ir, Or,mr

0) získanú ako výstup Algoritmu 1pre ozna£kovanú ur£enú work�ow sie´ so statickými miestamiMW = (D,S, T, I, O,m0)

1. vytvor prázdny zoznam miest so zdrojom Zr

2. pre kaºdé miesto x z P r okrem miesta source

(a) ak x|Ds > 0 pridaj x do zoznamu Zr

3. ak Zr = ∅ algoritmus zastav a vrá´ informáciu "Sie´ nemá uviaznutia"

4. vytvor prázdny zoznam kritických miest Kr siete dosiahnute©nosti

5. pre kaºdé miesto x z Zr

(a) pre kaºdý prechod y z T r okrem new a stop

i. ak I(x, y) > 0 pridaj x do zoznamu Kr

6. ak Kr = ∅ algoritmus zastav a vrá´ informáciu "Sie´ nemá uviaznutia"

7. vytvor premennnú n, vypo£ítaj sbound(Kr) a vloº hodnotu sbound(Kr) do pre-mennej n alebo vypo£ítaj bound(Kr) a vloº hodnotu bound(Kr) do premennejn

8. premenuj zoznamy P r, T r, Ir, Or, mr0 na P

n, T n, In, On, mn0

9. vloº bu�er do zoznamu P n

10. vloº trojicu (bu�er, y, 0) do zoznamu In pre kaºdé y zo zoznamu T n rôzne od new

11. vloº trojicu (bu�er, new, 1) do zoznamu In

12. vloº trojicu (bu�er, y, 0) do zoznamu On pre kaºdé y zo zoznamu T n

13. vloº dvojicu (source, 1) do zoznamu mn0

14. vytvor prázdny zoznam M nájdených zna£kovaní

15. vytvor prázdny zoznam zoznam M iK zna£kovaní s i zna£kami v kritických mies-

tach pre kaºdé i ∈ {1 . . . n}


16. vytvor prázdny zoznam MF �nálnych zna£kovaní

17. vytvor prázdny zoznam H ozna£ených hrán

18. vloº do zoznamu M po£iato£né zna£kovanie mn0 a nastav mnoºinu Pre(mn

0 ) jehopredchodcov prázdnu

19. pokia© je v zozname M zna£kovanie mn1 , ktoré nie je ozna£ené ako preskúmané,

vezmi ho a rob nasledovné:

(a) pre kaºdý prechod y z T n spustite©ný z mn1

i. po£ítaj zna£kovaniemn2 dosiahnuté spustením prechodu t zo zna£kovania

mn1

ii. ak mn2 e²te nie je v zozname M

A. vloº mn2 do zoznamu M a nastav mnoºinu Pre(mn

2 ) jeho predchod-cov prázdnu

B. ak mn2 (x) = 0 pre kaºdé x ∈ P n \ (Kr∪S ∪ bu�er) potom pre kaºdé

i ∈ {1 . . . n}• ak

∑k∈Kr mn

2 (k) = i vloº mn2 do zoznamu M i

K

C. ak mn2 (x) = 0 pre kaºdé x ∈ P n \ (S ∪ {out,bu�er} vloº mn

2 dozoznamu MF

iii. nastav mnoºinu Pre(mn2 ) predchodcov zna£kovania mn

2 rovnú zjednote-niu Pre(mn

2 ) ∪ Pre(mn1 ) ∪ {mn

1}iv. vloº do zoznamu H hranu z mn

1 do mn2 ozna£enú prechodom y, teda

trojicu (mn1 , y,m

n2 )

(b) ozna£ mn1 ako preskúmané

20. vytvor premennú uviaznutia a vloº do nej hodnotu nie a vytvor premennú i

21. pre kaºdé mnf zo zoznamu MF

(a) vloº do premennej i hodnotu i = mnf (out)

(b) vytvor prázdny zoznam U i základných uviaznutí s i zna£kami v kritickýchmiestach

(c) vytvor premennú i-uviaznutia a vloº do nej hodnotu nie

(d) pre kaºdé zna£kovanie mn v zozname M iK

i. ak mn nie je v mnoºine Pre(mnf )

A. ak mn|(P n\bu�er) nie je v zozname U i, vloº mn|(P n\bu�er) dozoznamu U i

B. vloº do premennej uviaznutia hodnotu ánoC. vloº do premennej i-uviaznutia hodnotu áno

22. ak uviaznutia = nie zastav algoritmus a vrá´ informáciu "Sie´ nemá uviaznutia"

23. ak uviaznutia = áno

(a) vrá´ informáciu "Sie´ má uviaznutia"

(b) pre kaºdé i ∈ {1 . . . n}i. ak i-uviaznutia = áno vrá´ zoznam základných uviaznutí U i

34 OBSAH

in

čakanie na pamäť


pamäť pridelená

procesor pridelený

výpočet



pamäť uvoľnená

procesor uvoľnený

out

voľná pamäť

voľný procesor

pamäť

procesor

kľúč

voľný kľúč

príchod úlohy

pridelenie pamäte



uvoľnenie pamäte


ukončenie úlohy

Obr. 18: Roz²írená ozna£kovaná ur£ená work�ow sie´ so statickými miestami, ktorýchozna£kovanie modeluje po£et pamä´ových jednotiek a procesorov k dispozícii a kapacitupre paralelné spracovanie úloh danú po£tom zna£iek v mieste vo©ný k©ú£

3 Preh©ad príbuzných prác a námety na ¤al²í vý-skum

Work�ow siete s obmedzenými zdrojmi a trvácnymi zdrojmi pod originálnym anglic-kým názvom resource constrained work�ow nets boli de�nované v práci [6]. Z poh©adutejto práce je v²ak najdôleºitej²ím £lánok [32]. Metóda v práci [32] pracuje s de�nícioukorektnosti, v anglickom originále soundness, v ktorej sa vyºaduje, aby existovalo takézna£kovanie statických miest, ºe sie´ nemá ºiadne uviaznutie pre toto zna£kovanie anipre ºiadne vä£²ie zna£kovanie statických miest. Uvaºujme napríklad sie´ z Obr. 2. Vyko-návaná sie´ tohto procesu má nejaké uviaznutie pre ©ubovo©né po£iato£né zna£kovaniestatických miest. Dopl¬me do tejto siete ¤al²ie statické miesto tak, aby existovalozna£kovanie statických miest, pre ktoré jej vykonávaná sie´ nebude ma´ uviaznutia.Výsledkom je sie´ na Obr. 18, doplnená o statické miesto vo©ný k©ú£ a jeho komplemen-tárne ur£ujúce miesto k©ú£. Miesto vo©ný k©ú£ slúºi ako ohrani£enie kapacity paralelnespracovávaných úloh.

Po£et zna£iek v mieste vo©ný k©ú£ zabezpe£í, ºe vykonávaná sie´ ozna£kovanej ur-£enej work�ow siete so statickými miestami a korektným správaním na Obr. 18 nemáºiadne uviaznutia. Ak by sme zmenili zna£kovanie statických miest ur£enej work�owsiete na Obr. 18 tak, ºe správanie siete zostane korektné (pre jednu in²tanciu) a zárove¬po£et zna£iek v statickom mieste vo©ný k©ú£ bude men²í ako sú£et zna£iek v statickýchmiestach vo©ný procesor a vo©ná pamä´, potom sie´ nebude ma´ ºiadne uviaznutia. Vprípade, ak bude ma´ sie´ korektné správanie (pre jednu in²tanciu), ale v po£iato£nomzna£kovaní nebude po£et zna£iek v statickom mieste vo©ný k©ú£ men²í ako sú£et zna£iekv statických miestach vo©ný procesor a vo©ná pamä´, potom sie´ bude ma´ uviaznutia.

Inou moºnos´ou ako doplni´ sie´ z Obr. 2 tak, aby jej vykonávaná sie´ nemalauviaznutia, je doplni´ hrany medzi prechodom pridelenie pamäte a miestom procesorpridelený, ako je to znázornené na Obr. 19. Sie´ dosiahnute©nosti a teda aj vykonávaná

3. PREH�AD PRÁC A NÁMETY NA �AL�Í VÝSKUM 35

in

čakanie na pamäť


pamäť pridelená

procesor pridelený

výpočet



pamäť uvoľnená

procesor uvoľnený

out

voľná pamäť

voľný procesor

pamäť

procesor

príchod úlohy

pridelenie pamäte



uvoľnenie pamäte


ukončenie úlohy

Obr. 19: Sekvencializovaná ozna£kovaná ur£ená work�ow sie´ so statickými miestamimodelujúca spracovanie výpo£tovej úlohy

sie´ procesu z Obr. 19 nemá ºiadne uviaznutia. Táto skuto£nos´ platí pre kaºdé zna£-kovanie statických miest, pre ktoré statické miesto vo©ný procesor obsahuje aspo¬ jednuzna£ku a zárove¬ statické miesto vo©ná pamä´ obsahuje aspo¬ jednu zna£ku. V porov-naní s Obr. 18 v²ak za túto vlastnos´ platíme zníºením po£tu paralelne spracovávanýchin²tancií.

De�nícia 38 (Typy dynamickej korektnosti)Nech W = (D,S, T, I, O) je work�ow sie´ so statickými miestami.

• Ak existuje také zna£kovanie m0 siete W , ºe vykonávaná sie´ MPN∞ = (P∞,T∞, I∞, O∞, m∞) ozna£kovanej work�ow siete MW = (D,S, T, I, O,m) nemáuviaznutia pre ºiadne po£iato£né zna£kovanie m ≥ m0, potom sie´ W nazývamedynamicky korektná.

• Ak sie´ W nie je dynamicky korektná a zárove¬ existuje zna£kovanie m0 siete Wpre ktoré platí, ºe vykonávaná sie´ MPN∞ = (P∞, T∞, I∞, O∞, m∞

0 ) ozna£ko-vanej work�ow siete MW = (D,S, T, I, O,m0) nemá uviaznutia, potom sie´ Wnazývame dynamicky semi-korektná. Mnoºina po£iato£ných zna£kovaní, pre ktorédynamicky semi-korektná work�ow sie´ nemá uviaznutia sa nazýva korektný pries-tor zna£kovaní. Mnoºina po£iato£ných zna£kovaní, pre ktoré dynamicky semi-korektná work�ow sie´ môºe uviaznu´, sa nazýva nekorektný priestor zna£kovaní.

• Ak pre kaºdé zna£kovanie m0 siete W platí, ºe vykonávaná sie´ MPN∞ = (P∞,T∞, I∞, O∞, m∞

0 ) ozna£kovanej work�ow siete MW = (D,S, T, I, O,m0) máuviaznutia, potom sie´ W nazývame dynamicky nekorektná.

V zmysle predchádzajúcej de�nície teda sie´ z Obr. 2 je dynamicky nekorektná,Obr. 18 je dynamicky semi-korektná a sie´ z Obr. 19 je dynamicky korektná.

Metóda prezentovaná v práci v práci [32] teda vy²etruje dynamickú korektnos´pre jedno statické miesto. V práci [7] sa autori sústre¤ujú na stanovenie korektnostipre podtriedy work�ow sietí. V práci [33] sú prezentované 4 nutné podmienky dyna-mickej korektnosti. Dynamická korektnos´ je in²pirovaná zov²eobecnenou korektnos´ouwork�ow sietí pod©a [31]. Korektnos´ je skúmaná pre rôzne roz²írenia work�ow sietí,napr. v £lánku [70]. V prácach [41, 42, 43] sme de�novali techniku kon²truktora a sietedosiahnute©nosti a metódu detekcie uviaznutí typu zamrznutie pre work�ow siete s

36 OBSAH

pevne daným po£iato£ným zna£kovaním statických miest, trvácnymi zdrojmi, korekt-ným správaním pre jednu in²tanciu a nezávislými in²tanciami pre ©ubovo©ný kone£nýpo£et statických miest a ©ubovo©ný po£et in²tancií. Metóda prezentovaná v [41] v²aknebola de�novaná pre uviaznutia typu zacyklenie. Práca [41] získala doposia© 20 ohlasovv databáze Google Scholar, z toho 16 ohlasov je evidovaných v databáze Web of Science(9 ohlasov) alebo v databáze Scopus (14 ohlasov). Jedným z roz²írení výsledkov práce[41] je táto práca, ktorá de�nuje prvú metódu na detekciu ©ubovo©ných uviaznutí prework�ow siete s pevne daným po£iato£ným zna£kovaním statických miest, trvácnymizdrojmi formalizovanými prostredníctvom ur£ujúcich miest, korektným správaním prejednu in²tanciu a nezávislými in²tanciami pre ©ubovo©ný kone£ný po£et statickýchmiest a ©ubovo©ný po£et in²tancií. Práca obsahuje dôkazy prezentovaných výsledkov advojstup¬ový algoritmus na detekciu uviaznutí. Prvý stupe¬ algoritmu vy²etrí korekt-nos´ ur£enej work�ow siete a v prípade, ºe je work�ow sie´ korektná skon²truuje jejsie´ dosiahnute©nosti. Druhý stupe¬ algoritmu realizuje samotnú detekciu základnýchuviaznutí siete dosiahnute©nosti prostredníctvom vy²etrenia ohrani£enej Petriho siete.V prácach [54, 57] autori s vyuºitím techniky kon²truktora a siete dosiahnute©nosti pre-zentovanej v £lánku [41] s vyuºitím domáceho priestoru Petriho sietí (anglicky homespace)[27] dokázali, ºe problém ur£enia dynamickej korektnosti pre work�ow siete skorektných správaním je rozhodnute©ný (aj v prípade, ak zdroje nie sú trvácne). Záro-ve¬ autori [54, 57] dokázali, ºe vo v²eobecnosti, teda ak nie je vyºadovaná korektnos´správania pre jednu in²tanciu a zdroje nemusia by´ trvácne, problém dynamickej ko-rektnosti je nerozhodnute©ný. V práci [71] autori s vyuºitím techniky kon²truktora zna²ej práce [41] dokázali, ºe problém ur£enia dynamickej korektnosti pre work�ow sietes korektným správaním a trvácnymi zdrojmi je rozhodnute©ný i v prípade, ºe pre in-²tancie nie je poºadované, aby boli izolované resp. separované, pri£om namiesto sietedosiahnute©nosti pouºili autori v [71] jednoducho sie´ s kon²truktorom. Pre viac in-formácii k téme separovate©nosti odkazujeme najmä na práce [30, 12, 13]. Práca [71]nadväzuje na neúspe²ný pokus dokáza´ rozhodnute©nos´ dynamickej korektnosti pre-zentovaný v [74]. Ako sa kon²tatuje v závere práce [71], hoci dynamická korektnos´ jerozhodnute©ná, doposia© nie je ºiadny efektívny algoritmus, pretoºe algoritmus navr-hnutý v [71] rozhoduje na základe domáceho priestoru v Petriho sieách, ktorý vyºadujeoverenie v²eobecnej dosiahnute©nosti v potencionálne neohrani£ených Petriho sieách.Procedúry na vy²etrenie dynamickej korektnosti navy²e pre semi-korektné siete, napr.pre sie´ na Obr. 18 rozhodnú, ºe sie´ nie je dynamicky korektná, napriek tomu, ºepre po£iato£né zna£kovanie na Obr. 18 sie´ dosiahnute©nosti a teda aj vykonávaná sieńemá uviaznutia. Procedúry navrhnuté v £lánkoch [54, 57, 71] teda nevedia rozlí²i´dynamicky nekorektné a dynamicky semi-korektné siete. Viac výsledkov o problémochohrani£enosti je moºné nájs´ v £lánkoch [52, 65, 69], problém v²eobecnej dosiahnute©-nosti vrátane neohrani£enýchh sietí bol vyrie²ený v prácach [58, 46, 59, 48, 51]. Preh©advýpo£tovej zloºitosti a rozhodnute©nosti problémov v Petriho sieách je moºné nájs´ vprácach [36, 28].

Nasledujúci odsek je venovaný stru£nému preh©adu prác, ktoré citujú výsledky£lánku [41]. Okrem prác [54, 57] a [71], ktorým sme sa venovali podrobnej²ie v pred-chádzajúcom odseku, sú to nasledovné práce: �lánky [9, 10] sú venované de�novaniurolí a personi�kácii zna£iek v statických miestach. Práca [15] de�nuje work�ow sietes obmedzenými zdrojmi, ktoré majú £asované hrany. Práca [18] sa venuje veri�káciikompozície web-servisov. �lánok [53] aplikuje Petriho siete v prípadovej ²túdii. Práca[41] je citovaná taktieº v zdrojoch [68, 75]. �lánky [55, 56] a uº spomenutá práca


materiál

výroba ukončenávýroba pripravená

robot

in outpridelenie robota výroba

doplnenie materiálu

uvoľnenie robota

Obr. 20: Ozna£kovaná neur£ená work�ow sie´ so statickými miestami modelujúcimispotrebný materiál a robotov v jednoduchom procese, v ktorého in²tanciách robot bu¤doplní materiál alebo vyrobí výrobok, pri£om spotrebuje materiál

[57] sa venujú roz²íreniam work�ow sietí s obmedzenými zdrojmi uvaºovaním £asu apriradením ceny nákladov spojených so spustením prechodov a uchovaním zna£iek vmiestach. �lánok [66] sa venuje doplneniu dynamicky nekorektných work�ow sietí tak,aby po doplnení boli dynamicky korektné. Doplnenie je realizované pomocou takzva-ného prostredia, ktoré môºe procesu poºi£a´ zna£ky do statických miest. V práci [73]je £lánok [41] citovaný v kontexte dolovania procesov z po£íta£ových logov. Séria £lán-kov [76, 77, 78, 79, 81] sa venuje analýze minimálneho po£tu zdrojov v acyklickýcha cyklických work�ow procesoch a ich aplikáciam v prípadových ²túdiách v medicín-skych procesoch. Výsledky z práce [41] sú citované taktieº v preh©adovom £lánku [5] okorektnosti work�ow sietí.

V nasledujúcich odsekoch sa venujeme moºným roz²íreniam výsledkov dizerta£nejpráce. Predpokladajme, ºe pre danú podtriedu work�ow sietí vieme ur£i´ taký po£etin²tancií n, ºe platí výrok: ak vykonávaná sie´ má uviaznutia, potom má uviaznutia pren-in²tancií. V takom prípade je moºné adaptova´ Algoritmus 2 na detekciu uviaznutí.Podtrieda work�ow sietí, v ktorých je moºné ur£i´ takéto obmedzenie na po£et in²tan-cií nazvime siete s ohrani£enými uviaznutiami. Pre takéto podtriedy je teda moºnénájs´ algoritmus, ktorý vy²etrí existenciu uviaznutí pomocou ohrani£ených Petrihosietí bez nutnosti pouºi´ v²eobecný algoritmus dosiahnute©nosti, respektíve v²eobecnýalgoritmus pre vy²etrenie domáceho priestoru Petriho sietí. �al²ia moºnos´ roz²íre-nia tejto práce je detekcia uviaznutí v sieách, ktoré nie sú ur£ené, teda v sieách, vktorých statické miesta nemajú komplementárne ur£ujúce miesta. V takýchto sieáchmôºu in²tancie zdroje vytvára´ aj spotrebova´. Neur£ené work�ow siete umoº¬ujú tedamodelova´ procesy, v ktorých jedna in²tancia spotrebuje zdroje vyprodukované inou in-²tanciou. Posledný príklad ukazuje konkrétnu sie´, ktorá ilustruje podtriedu neur£enýchwork-�ow sietí kombinovanú s ohrani£enými uviaznutiami.

Uvaºujme jednoduchú výrobnú linku, zobrazenú na Obr. 20. V procese vystupujúako zdroje roboty a spotrebný materiál, modelované statickými miestami. V rámcijednej in²tancie procesu robot bu¤ dop¨¬a spotrebný materiál alebo vyrobí výrobok,pri£om spotrebuje jednotku spotrebného materiálu. Na Obr. 21 je znázornená sie´ do-siahnute©nosti procesu na Obr. 20. Táto sie´, respektíve zodpovedajúca vykonávaná sie´má uviaznutia pre ©ubovo©né zna£kovanie statických miest, teda je dynamicky neko-rektná. V prípade, ak originálna work�ow sie´ nemá ozna£kované statické miesto robot,potom má sie´ dosiahnute©nosti, respektíve zodpovedajúca vykonávaná sie´ uviaznutieuº pre jednu in²tanciu. Inak má sie´ dosiahnute©nosti respektíve vykonávaná sie´ pro-cesu na Obr. 20 uviaznutia pre m0(robot) +m0(materiál) in²tancií. Work�ow sie´ zná-

38 OBSAH

materiál

výroba ukončená

source

výroba pripravená

robot

in outpridelenie robotanew

stop

výroba


uvoľnenie robota

Obr. 21: Sie´ dosiahnute©nosti ozna£kovanej neur£enej work�ow sie´ so statickými mies-tami a korektným správaním Obr. 20

materiál

výroba ukončená

source

výroba pripravená

robot

in outpridelenie robotanew

stop

výroba


uvoľnenie robota

Obr. 22: Uviazutie v sieti dosiahnute©nosti ozna£kovanej neur£enej work�ow sie´ sostatickými miestami a korektným správaním pridelením v²etkých robotov do výrobybez doplnenia spotrebovaného materiálu

zornená na Obr. 20 teda reprezentuje proces, pre ktorý je moºné ur£i´ ohrani£ený po£etin²tancií ako funkciu po£iato£ného zna£kovania statických miest. Existenciu uviaznutípotom sta£í overi´ pre tento ohrani£ený po£et in²tancií. Problém ur£enia dynamickejsemi-korektnosti a ur£enia korektného a nekorektného priestoru zna£kovaní doposia©nebol vyrie²ený ani pre ur£ené ani pre neur£ené work�ow siete a predstavuje jeden zhlavných cie©ov budúceho výskumu. Taktieº syntéza doplnenia dynamicky nekorekt-nej work�ow siete na minimálne re²triktívnu dynamicky semi-korektnú work�ow sie´s ur£ením korektného a nekorektného priestoru zna£kovaní je ¤al²ou ve©mi význam-nou témou budúceho výskumu. �al²ím moºným cie©om budúceho výskumu je identi-�kova´ podtriedy ur£ených a neur£ených work�ow sietí s ohrani£enými uviaznutiami.Problémom stále zostáva zostavenie efektívneho algoritmu na vy²etrenie dynamickejkorektnosti work�ow sietí.

Záver

Hlavným cie©om tejto práce bolo zostavi´ metódu a algoritmus na detekciu uviaznutíwork�ow procesov s nezávislými in²tanciami a viacerými typmi zdie©aných trvácnychzdrojov pri danom po£te zdrojov jednotlivých typov pre ©ubovo©ný po£et in²tancií.

Tento cie© bol naplnený nasledovne: V Kapitole 1 sme popísali de�nície formalizmovpre modelovanie diskrétnych udalostných systémov s in²tanciami a zdie©anými zdrojmi,ktoré boli pouºité v práci. V �asti 1.1 sme popísali prechodové systémy pod©a [45, 80].V �asti 1.2 sme uviedli základné de�nície Petriho sietí pomenované pod©a Carla AdamaPetriho [64] a popísané napríklad v prácach [44, 62, 63, 67, 23, 24]. Kapitola 1 pokra-


£uje �asóu 1.3, v ktorej sú popísané work�ow siete pod©a [1, 2, 3, 4]. V �asti 1.4sme sa venovali popisu sietí zo statickými miestami, ktoré modelujú zdroje, pôvodnede�novaných v prácach [6, 32, 33] pod názvom work�ow siete s obmedzenými zdrojmi(anglicky resource constrained work�ow nets). V porovnaní s prácami [6, 32, 33] smeformalizovali skuto£nos´, ºe zdroje sú trvácne, pomocou komplementárnych miest [25]pre statické miesta. Tieto komplementárne miesta sme nazvali ur£ujúce miesta static-kých miest a takéto siete sme nazvali ur£ené work�ow siete. Analogicky s prácou [4]sme de�novali korektné správanie (anglicky soundness) ako schopnos´ ukon£i´ korektnejednu in²tanciu. V �asti 1.5 sme popísali úpravou de�nície z £lánkov [41, 42, 43] modelvykonávanej siete pre work�ow sie´ so statickými miestami pre ©ubovo©ný po£et in-²tancií. Vykonávané siete sú ekvivalentné sieám s identi�ka£nými £íslami pouºívanýmv práci [32]. Siete s identi�ka£nými £íslami sú ²peciálnou podtriedou farebných Petrihosietí, de�novaných napríklad v prácach [37, 38, 39, 40]. V �asti 1.6 sme formalizovalipojem uviaznutia vykonávanej siete.

Kapitola 2 je venovaná hlavnej £asti vlastného výskumu - detekcii uviaznutí vovykonávanej sieti pre ur£enú work�ow sie´ so statickými miestami, ktorá má korektnésprávanie. V prvej £asti tejto kapitoly, teda v �asti 2.1 sme pridaním kon²truktorak work-�ow sieám so statickými miestami de�novali sie´ s kon²truktorom a ukázalisme, ºe pridanie kon²truktora nesta£í na detekciu uviaznutí. Ilustrovali sme situáciu,kde sie´ s kon²truktorom neodhalí existujúce uviaznutie vykonávanej siete a naopak,situáciu, kde sie´ s kon²truktorom odhalí uviaznutie neexistujúce vo vykonávanej sieti.V �asti 2.2 sme de�novali siete dosiahnute©nosti. Následne sme skon²truovali algorit-mus, ktorý v prípade, ke¤ vstupná ur£ená work�ow sie´ so statickými miestami mákorektné správanie, vytvorí jej sie´ dosiahnute©nosti, inak vráti informáciu, ºe vstupnáur£ená work�ow sie´ nemá korektné správanie. De�novali sme taktieº uviaznutia v sietidosiahnute©nosti. V �asti 2.3 sme dokázali prvý hlavný výsledok tejto práce - dokázalisme, ºe zna£kovanie vykonávanej siete je uviaznutím vykonávanej siete práve vtedy,ke¤ jemu zodpovedajúce zna£kovanie siete dosiahnute©nosti je uviaznutím v sieti do-siahnute©nosti. V �asti 2.4 sme de�novali základné uviaznutia siete dosiahnute©nostiako uviaznutia, v ktorých sú ozna£kované spomedzi nestatických miest siete dosiahnu-te©nosti iba takzvané kritické miesta. V �asti 2.4 sme dokázali druhý hlavný výsledokpráce - dokázali sme, ºe ak má sie´ dosiahnute©nosti uviaznutie, potom má sie´ dosia-hnute©nosti zodpovedajúce základné uviaznutie. V �asti 2.5 sme dokázali, ºe kritickémiesta sú ohrani£ené a teda po£et základných uviaznutí musí by´ pre ozna£kované ur-£ené work�ow siete s korektným správaním kone£ný. Pre ©ubovo©né kladné celé £íslosme de�novali n-obmedzenú sie´ dosiahnute©nosti ako ohrani£enú sie´, ktorá simulujesprávanie siete dosiahnute©nosti pre n in²tancií. Ukázali sme dva spôsoby, ako vypo£í-ta´ horné ohrani£enie kritických miest. V �asti 2.5 sme pre ozna£kované ur£ené workf-low siete s korektným správaním dokázali tretí hlavný výsledok tejto práce - dokázalisme, ºe sie´ dosiahnute©nosti má základné uviaznutie práve vtedy, ak má zodpoveda-júce základné uviaznutie ohrani£ená n-obmedzená sie´ dosiahnute©nosti, pri£om n jeohrani£enie po£tu zna£iek v kritických miestach. V �asti 2.6 sme zostavili �nálny algo-ritmus na detekciu základných uviaznutí siete dosiahnute©nosti ozna£kovanej ur£enejwork�ow siete s korektným správaním prostredníctvom detekcie základných uviaznutíohrani£enej Petriho siete - teda n-obmedzenej siete dosiahnute©nosti.

Týmto sme naplnili stanovený cie© práce. V Kapitole 3 sme sa venovali diskusiivzáhu prezentovaných vlastných výsledkov s príbuznými prácami, kategorizovali smetypy dynamickej korektnosti a na£rtli sme moºné smery budúceho výskumu.

40 OBSAH

Publikované práce autora

1. JUHÁS, G. � KAZLOV, I. � JUHÁSOVÁ, A. Instance Deadlock: A Mystery be-hind Frozen Programs. Lecture Notes in Computer Science, 6128. s. 1�17. Sprin-ger 2010. ISSN 0302-9743.

2. JUHÁSOVÁ, A. � JUHÁS, G. Soundess of resource constrained work�ow nets isdecidable. Petri Net Newsletter. Vol. 76, November 2009, p. 3-6. ISSN 0931-1084.

3. JUHÁSOVÁ, A. � JANOV, V. � JUHÁS, G. Dynamický deadlock WorkFlowprocesov. EE £asopis pre elektrotechniku, elektroenergetiku, informa£né a komu-nika£né technológie, 15. s. 205�208. ISSN 1335-2547. 2009.

4. JUHÁSOVÁ, A. The Application of Knowledge in Financial Environment. InKnowledge - New Challenges for National Economy Science: Medzinárodná ve-decká konferencia Národohospodárskej fakulty Ekonomickej univerzity v Brati-slave. Bratislava, Slovak Republic, 19.-20.10.2006. Bratislava : Ekonomická uni-verzita, ISBN 80-225-2249-X. 2006.

5. JUHÁSOVÁ, A. � JUHÁS, G. � LEHOCKI, F. � �EV�ÍKOVÁ, Z. Petriho siete vmodelovaní work�ow procesov. EE £asopis pre elektrotechniku, elektroenergetiku,informa£né a komunika£né technológie, 13. s. 303�305. ISSN 1335-2547. 2007.

6. �EV�ÍKOVÁ, Z. � JUHÁS, G. � JUHÁSOVÁ, A. � LEHOCKI, F. Sémantika aaplikácie Petriho sietí. EE £asopis pre elektrotechniku, elektroenergetiku, infor-ma£né a komunika£né technológie, 13. s. 306�308. ISSN 1335-2547. 2007.

7. LEHOCKI, F. � JUHÁS, G. � �EV�ÍKOVÁ, Z. � JUHÁSOVÁ, A. Aplikácie Pet-riho sietí v medicínskych diagnostických systémoch. EE £asopis pre elektrotech-niku, elektroenergetiku, informa£né a komunika£né technológie, 13. s. 299�302.ISSN 1335-2547. 2007.

8. �EV�ÍKOVÁ, Z. � KAZLOV, I. � JUHÁSOVÁ, A. Moºnosti vyuºitia analýzya syntézy udalostných systémov v praxi. EE £asopis pre elektrotechniku, elek-troenergetiku, informa£né a komunika£né technológie: ELOSYS, Tren£ín, 11.-14.10.2011, 17. s. 227�229. ISSN 1335-2547. 2011.

9. LEHOCKI, F. � ORAVEC, M. � BALOGH, �. � JUHÁSOVÁ, A. Vybrané modelydiagnostických systémov. In SMART S2AI: Workshop SMART systémov a sluºiebv oblasti aplikovanej informatiky. Bratislava, s. 1�5. 2011.

10. JUHÁS, G. � FOLTIN, M. � �EV�ÍKOVÁ, Z. � JUHÁSOVÁ, A. Zmráka sa. EE£asopis pre elektrotechniku, elektroenergetiku, informa£né a komunika£né tech-nológie: ELOSYS, Tren£ín, 11.-14.10.2011, 17. s. 204�207. ISSN 1335-2547. 2011.


Ohlasy na práce autora

Práca:JUHÁS, G. � KAZLOV, I. � JUHÁSOVÁ, A. Instance Deadlock: A Mystery behindFrozen Programs. Lecture Notes in Computer Science, 6128. s. 1�17. Springer 2010.ISSN 0302-9743.evidovaná v databázach Web of Science (WoS) a Scopus je citovaná v prácach:

1. W. van der Aalst, K. van Hee, A. ter Hofstede, N. Sidorova, H. Verbeek, M.Voorhoeve, and M. Wynn. Soundness of work�ow nets: classi�cation, decidability,and analysis. Formal Aspects of Computing, 23(3):333�363, 2011. (publikáciaevidovaná v databázach WoS a Scopus)

2. Bergenthum, Robin, et al. Modeling and mining of learn�ows. Transactions onPetri Nets and Other Models of Concurrency V. Springer Berlin Heidelberg, 2012.22-50. (publikácia evidovaná v databázach WoS a Scopus)

3. Martos-Salgado, María, and Fernando Rosa-Velardo. Safety and Soundness forPriced Resource-Constrained Work�ow Nets. Fundamenta Informaticae 131.1(2014): 55-80. (publikácia evidovaná v databázach WoS a Scopus)

4. Rosa-Velardo, Fernando, and David de Frutos-Escrig. Decidability and comple-xity of Petri nets with unordered data. Theoretical Computer Science 412.34(2011): 4439-4451. (publikácia evidovaná v databázach WoS a Scopus)

5. Solé, Marc, and Josep Carmona. Light region-based techniques for process disco-very. Fundamenta Informaticae 113.3-4 (2011): 343-376. (publikácia evidovaná vdatabázach WoS a Scopus)

6. Wang, Jiacun. Petri net based resource modeling and analysis of work�ows withtask failures. Networking, Sensing and Control (ICNSC), 2013 10th IEEE Inter-national Conference on. IEEE, 2013. (publikácia evidovaná v databázach WoS aScopus)

7. Wang, Jiacun, and Demin Li. Resource oriented work�ow nets and work�ow re-source requirement analysis. International Journal of Software Engineering andKnowledge Engineering 23.05 (2013): 677-693. (publikácia evidovaná v databá-zach WoS a Scopus)

8. Sidorova, Natalia, and Christian Stahl. Soundness for resource-constrained work-�ow nets is decidable. Systems, Man, and Cybernetics: Systems, IEEE Transac-tions on 43.3 (2013): 724-729. (publikácia evidovaná v databáze WoS)

9. Wang, Jiacun, Bill Tepfenhart, and Xiaoou Li. Analysis of Minimum Workf-low Resource Requirement. International Workshop on Process-Aware Systems.Springer Singapore, 2015. (publikácia evidovaná v databáze WoS)

10. Bergenthum, Robin, Jörg Desel, and Sebastian Mauser. Work�ow Nets with Ro-les. EMISA. 2011. (publikácia evidovaná v databáze Scopus)

11. Martiník, Ivo. Automation of Presentation Record Production Based on Rich-Media Technology Using SNT Petri Nets Theory. The Scienti�c World Journal2015 (2015). (publikácia evidovaná v databáze Scopus)

42 OBSAH

12. Ramezani, Elham, Natalia Sidorova, and Christian Stahl. Interval soundness ofresource-constrained work�ow nets: decidability and repair. International Con-ference on Fundamentals of Software Engineering. Springer Berlin Heidelberg,2013. 150-167. (publikácia evidovaná v databáze Scopus)

13. Martos-Salgado, María, and Fernando Rosa-Velardo. Dynamic soundness in resource-constrained work�ow nets. Formal Techniques for Distributed Systems. SpringerBerlin Heidelberg, 2011. 259-273. (publikácia evidovaná v databáze Scopus)

14. Martos-Salgado, María, and Fernando Rosa-Velardo. Cost soundness for pricedresource-constrained work�ow nets. International Conference on Application andTheory of Petri Nets and Concurrency. Springer Berlin Heidelberg, 2012. (publi-kácia evidovaná v databáze Scopus)

15. Wang, Jiacun, Xiaoou Li, and Gaiyun Liu. Cyclic work�ow resource require-ment analysis and application in healthcare. 2016 13th International Workshopon Discrete Event Systems (WODES). IEEE, 2016. 291-297. (publikácia evido-vaná v databáze Scopus)

16. Li, Xiaoou, et al. Resource requirement analysis for cyclic work�ows. 2016 IEEE13th International Conference on Networking, Sensing, and Control (ICNSC).IEEE, 2016. (publikácia evidovaná v databáze Scopus)

17. Birch, Sine Viesmose, and Christo�er Moesgaard. Compositional Analysis ofTimed-arc Resource Work�ows with Communication. University of Aalborg, 2015.(publikácia evidovaná v databáze Google Scholar)

18. Cortés, Mateo, Veri�cation and Validation of Web Services Compositions UsingWormal Methods, PhD thesis, University of Castilla-La Mancha (2014). (publi-kácia evidovaná v databáze Google Scholar)

19. Martos Salgado, María Rosa. Veri�cation of priced and timed extensions of PetriNets with multiple instances. PhD thesis, Complutense University of Madrid(2016). (publikácia evidovaná v databáze Google Scholar)

20. Velardo, Fernando Rosa. Liveness properties for Petri Net extensions with na-mes AREA: Veri�cation of In�nite State Systems. Fernando Rosa Velardo. Com-plutense University of Madrid (2011). (publikácia evidovaná v databáze GoogleScholar)

Literatúra

[1] Wil MP Van Der Aalst. Three good reasons for using a Petri-net-based workf-low management system. In Proceedings of the International Working Conferenceon Information and Process Integration in Enterprises (IPIC96), pages 179�201.Cambridge, Massachusetts, 1996.

[2] W. M. P. v. d. Aalst. Veri�cation of work�ow nets. Lecture Notes in ComputerScience, P. Azéma and G. Balbo, Eds., vol. 1248. Springer, 1997, pp. 407�426.

[3] W. M. P. van der Aalst. The application of Petri nets to work�ow management.Journal of Circuits, Systems, and Computers, 8(1):21�66, 1998.

[4] W.M.P. van der Aalst and K. van Hee. Work�ow Management, Models Methodsand Systems. The MIT Press, Cambridge, Massachusetts, 2002.

[5] W. van der Aalst, K. van Hee, A. ter Hofstede, N. Sidorova, H. Verbeek, M.Voorhoeve, and M. Wynn. Soundness of work�ow nets: classi�cation, decidability,and analysis. Formal Aspects of Computing, 23(3):333�363, 2011.

[6] K. Barkaoui and L. Petrucci, �Structural Analysis of Work�ow Nets with SharedResources,� in WFM 1998, 1998, pp. 82�95.

[7] K. Barkaoui, R. Benayed, and Z. Sbai, Work�ow Soundness Veri�cation Based onStructure Theory of Petri Nets, International Journal of Computing & InformationSciences, vol. 5, no. 1, pp. 51�62, 2007.

[8] S. Balemi, P. Kozák, and R. Smedinga, editors. Discrete event systems: Modellingand Control. Birkhäuser, Basel, 1993.

[9] Bergenthum, Robin, Jörg Desel, and Sebastian Mauser. Work�ow Nets with Roles.EMISA. 2011.

[10] Bergenthum, Robin, et al. Modeling and mining of learn�ows. Transactions onPetri Nets and Other Models of Concurrency V. Springer Berlin Heidelberg, 2012.22-50.

[11] L. Bernardinello and F. De Cindio. A survey of basic net models and modular netclasses. In Advances in Petri Nets 1992, volume 609 of Lecture Notes in ComputerScience, pages 304�351. Springer-Verlag, Berlin, 1992.

[12] E. Best, J. Esparza, H. Wimmel, and K. Wolf, Separability in con�ict-free petrinets, in PSI 2006, ser. Lecture Notes in Computer Science, I. Virbitskaite and A.Voronkov, Eds., vol. 4378. Springer, 2007, pp. 1�18.

43

44 LITERATÚRA

[13] E. Best and P. Darondeau, �Separability in persistent petri nets,� Fundam. Inform.,vol. 113, no. 3-4, pp. 179�203, 2011.

[14] Billington, Jonathan, Michel Diaz, and Grzegorz Rozenberg. Application of Petrinets to communication networks: advances in Petri nets. No. 1605. Springer Science& Business Media, 1999.

[15] Birch, Sine Viesmose, and Christo�er Moesgaard. Compositional Analysis ofTimed-arc Resource Work�ows with Communication. University of Aalborg, 2015.

[16] C. G. Cassandras and S. Lafortune. Introduction to Discrete Event Systems. Klu-wer, 1999.

[17] Cortadella, J., Kishinevsky, M., Kondratyev, A., Lavagno, L., Yakovlev, A.: Har-dware and Petri Nets: Application to Asynchronous Circuit Design. In: Nielsen,M., Simpson, D. (eds.) ICATPN 2000. LNCS, vol. 1825, pp. 1�15. Springer, Hei-delberg (2000)

[18] Cortés, Mateo, Veri�cation and Validation of Web Services Compositions UsingWormal Methods, PhD thesis, University of Castilla-La Mancha (2014).

[19] R. David and H. Alla. Continuous Petri nets. In Proceedings of 8th EuropeanWorkshop on Application and Theory of Petri nets, pages 275�294, Zaragoza,1987.

[20] R. David and H. Alla. Autonomous and timed continuous Petri nets. In Procee-dings of 11th International Conference on Application and Theory of Petri nets,pages 367�386, Paris, 1990.

[21] R. David and H. Alla. Petri nets for modelling of dynamic systems-a survey. Au-tomatica, 30(2):175�202, 1994.

[22] Isabel Demongodin and Nick T. Koussoulas. Di�erential Petri nets: Representingcontinuous systems in a discrete-event world. IEEE Tran. on Automatic Control,43(4):573�579, 1998. Special issue on hybrid control systems.

[23] J. Desel and W.Reisig. Place/Transition Petri Nets. In Lectures on Petri nets I:Basic Models, LNCS 1491, pp. 123�174,1998.

[24] J. Desel and G. Juhás. What is a Petri Net? In H. Ehrig, G. Juhás, J. Padberg,G. Rozenberg (Eds.): Unifying Petri Nets, LNCS 2128, Springer, pp. 1�25, 2001.

[25] R. Devillers. The Semantics of Capacities in P/T Nets. In Advances in Petri Nets1989, LNCS 424, pp. 128�150,1990.

[26] Egri-Nagy, Attila, and Chrystopher L. Nehaniv. Algebraic properties of automataassociated to Petri nets and applications to computation in biological systems.BioSystems 94.1 (2008): 135-144.

[27] D. F. Escrig and C. Johnen, Decidability of home space property, Université Paris-Sud, LRI report 503, 1989.

[28] J. Esparza and M. Nielsen. Decidability issues for Petri nets�a survey. J. Inform.Process. Cybernet. 30 (3), pp. 143-160, 1994.

LITERATÚRA 45

[29] Diego Figueira, Santiago Figueira, Sylvain Schmitz and Phillipe Schnoebelen, Ac-kermannian and primitive-recursive bounds for Dickson's lemma, 26th AnnualIEEE Symposium on Logic in Computer Science LICS 2011, IEEE Computer So-ciety, Los Alamitos, CA, 269-278.

[30] K. M. v. Hee, N. Sidorova, and M. Voorhoeve, Soundness and separability ofwork�ow nets in the stepwise re�nement approach, in ICATPN 2003, ser. LectureNotes in Computer Science, W. M. P. v. d. Aalst and E. Best, Eds., vol. 2679.Springer, 2003, pp. 337�356.

[31] K. van Hee, N. Sidorova, and M. Voorhoeve. Generalised soundness of work�ownets is decidable. In J. Cortadella and W. Reisig, editors, Applications and Theoryof Petri Nets 2004, volume 3099 of Lecture Notes in Computer Science, pages197�215. Springer Berlin Heidelberg, 2004.

[32] K. M. van Hee, A. Serebrenik, N. Sidorova and M. Voorhoeve. Soundness ofResource-Constrained Work�ow Nets. Lecture Notes in Computer Science 3536,Springer, pp. 250-267, 2005.

[33] K. M. v. Hee, N. Sidorova, and M. Voorhoeve, Resource-constrained work�ow nets,Fundam. Inform., vol. 71, no. 2-3, pp. 243�257, 2006.

[34] L. E. Holloway and B. H. Krogh. Synthesis of feedback control logic for a class ofcontrolled Petri nets. IEEE Tran. on Automatic Control, 35(5):514�523, 1990.

[35] L. E. Holloway, B. H. Krogh, and A. Giua. A survey of net methods for controlleddiscrete event systems. Discrete Event Dynamic Systems: Theory and Applicati-ons, 7:151�190, 1997.

[36] Matthias Jantzen. Complexity of place/transition nets. In Proc. 2nd AdvancedCourse in Petri Nets: Central Models and Their Properties, Advances in PetriNets 1986, volume 254 of Lecture Notes in Computer Science, pages 60�94, BadHonnef, 1987. Springer-Verlag, Berlin.

[37] K. Jensen. Coloured Petri nets. In W. Brauer, W. Reisig, and G. Rozenberg,editors, Petri Nets: Central Models and Their Properties, Advances in Petri Nets1986, Part I, Proceedings of an Advanced Course, Bad Honnef, 8.-19. September1986, volume 254 of Lecture Notes in Computer Science, pages 248�299. Springer,1986.

[38] K. Jensen and G. Rozenberg, editors. High-Level Petri-Nets, Theory and Appli-cations. Springer-Verlag, Berlin, 1991.

[39] K. Jensen. Coloured Petri Nets. Basic Concepts, Analysis Methods and PracticalUse I II III. Springer, 1997.

[40] K. Jensen, L. M. Kristensen, and L. Wells. Coloured Petri nets and CPN tools formodelling and validation of concurrent systems. STTT, 9(3-4):213� 254, 2007.

[41] Gabriel Juhás, Igor Kazlov and Ana Juhásová: Instance deadlock: A mystery be-hind frozen programs. In Application and Theory of Petri Nets and Other Modelsof Concurrency. LNCS 6128, pp. 1-17, Springer-Verlag, 2010. ISSN 0302-9743.

46 LITERATÚRA

[42] Juhásová, Ana - Janov, Vladimír - Juhás, Gabriel: Dynamický deadlock work�owprocesov. �asopis pre elektrotechniku a energetiku. 15 (2009), pp. 205-208.

[43] Juhásová, Ana; Juhás, Gabriel: Soundess of resource constrained work�ow nets isdecidable. In: Petri Net Newsletter. Vol. 76, November 2009, p. 3-6. ISSN 0931-1084.

[44] Richard M. Karp and Raymond E. Miller. Parallel program schemata. Journal ofComputer and System Sciences, 3(2):147�195, May 1969.

[45] R. M. Keller. Formal veri�cation of parallel programs. Communications of theACM, 7(19):371�384, 1976.

[46] S. R. Kosaraju. Decidability of reachability in vector addition systems. In Pro-ceedings of the Fourteenth Annual ACM Symposium on Theory of Computing,STOC '82, pages 267�281, New York, NY, USA, 1982. ACM.

[47] D. Knuth. The Art of Computer Programming, Volume 3: Sorting and Searching.Addisson-Wesley, Reading, MA, 1973.

[48] J. Lambert. A structure to decide reachability in Petri nets. Theoretical ComputerScience, 99(1):79�104, 1992.

[49] J. Le Bail, H. Alla, and R. David. Hybrid Petri nets. In Proceedings of 1st Euro-pean Control Conference, pages 1472�1477, Grenoble, 1991.

[50] J. Le Bail, H. Alla, and R. David. Asymptotic continuous Petri nets. DiscreteEvent Dynamic Systems: Theory and Applications, 2:235�263, 1993.

[51] J. Leroux. Vector addition system reachability problem: A short selfcontainedproof. SIGPLAN Not., 46(1):307�316, Jan. 2011.

[52] R. Lipton. The reachability problem is exponential-space hard. Technical Report62, Department of Computer Science, Yale University, January 1976.

[53] Martiník, Ivo. Automation of Presentation Record Production Based on Rich-Media Technology Using SNT Petri Nets Theory. The Scienti�c World Journal2015 (2015).

[54] Martos-Salgado, María, and Fernando Rosa-Velardo. Dynamic soundness inresource-constrained work�ow nets. Formal Techniques for Distributed Systems.Springer Berlin Heidelberg, 2011. 259-273.

[55] Martos-Salgado, María, and Fernando Rosa-Velardo. Cost soundness for pricedresource-constrained work�ow nets. International Conference on Application andTheory of Petri Nets and Concurrency. Springer Berlin Heidelberg, 2012.

[56] Martos-Salgado, María, and Fernando Rosa-Velardo. Safety and Soundness for Pri-ced Resource-Constrained Work�ow Nets. Fundamenta Informaticae 131.1 (2014):55-80.

[57] Martos Salgado, María Rosa. Veri�cation of priced and timed extensions of PetriNets with multiple instances. PhD thesis, Complutense University of Madrid(2016).

LITERATÚRA 47

[58] Ernst W. Mayr. Persistence of vector replacement systems is decidable. Acta In-formatica, 15:309�318, 1981.

[59] Ernst W. Mayr. An algorithm for the general Petri net reachability problem. SIAMJournal on Computing, 13:441�460, 1984.

[60] J. Medling and W.M.P. van der Aalst. Errors in the SAP Reference Models. BP-Trends. June 2006.

[61] Moore, Jason H., and Lance W. Hahn. Systems biology modeling in human gene-tics using Petri nets and grammatical evolution. Genetic and Evolutionary Com-putation Conference. Springer Berlin Heidelberg, 2004, 392-401.

[62] T. Murata. Petri nets: Properties, analysis and applications. Proceedings of theIEEE, 77(4):541�588, 1989.

[63] J. L. Peterson. Petri nets. ACM Comput. Surv., 9(3):223�252, Sept. 1977.

[64] C. A. Petri. Kommunikation mit Automaten. PhD thesis, Institut fur Instrumen-telle Mathematik, Bonn, 1962.

[65] C. Racko�. The covering and boundedness problems for vector addition systems.Theoretical Computer Science, 6(2):223�231, 1978.

[66] Ramezani, Elham, Natalia Sidorova, and Christian Stahl. Interval soundness ofresource-constrained work�ow nets: decidability and repair. International Confe-rence on Fundamentals of Software Engineering. Springer Berlin Heidelberg, 2013.150-167.

[67] W. Reisig. Primer in Petri Net Design. Springer-Verlag New York, Inc., Secaucus,NJ, USA, 1st edition, 1992.

[68] Rosa-Velardo, Fernando, and David de Frutos-Escrig. Decidability and complexityof Petri nets with unordered data. Theoretical Computer Science 412.34 (2011):4439-4451.

[69] L. E. Rosier and H.-C. Yen. A multiparameter analysis of the boundednessproblem for vector addition systems. Journal of Computer and System Sciences,32(1):105�135, 1986.

[70] Natalia Sidorova, Christian Stahl, and Nikola Tr£ka. Work�ow soundness revisited:Checking correctness in the presence of data while staying conceptual. In AdvancedInformation Systems Engineering, pages 530�544. Springer, 2010.

[71] Sidorova, Natalia, and Christian Stahl. Soundness for resource-constrained workf-low nets is decidable. Systems, Man, and Cybernetics: Systems, IEEE Transactionson 43.3 (2013): 724-729.

[72] Schrijver, A.: Theory of linear and integer programming. Wiley, Chichester (1986).

[73] Solé, Marc, and Josep Carmona. Light region-based techniques for process disco-very. Fundamenta Informaticae 113.3-4 (2011): 343-376.

48 LITERATÚRA

[74] F. L. Tiplea and C. Bocaneala, Decidability results for soundness criteria ofresource-constrained work�ow nets, IEEE Transactions on Systems, Man, andCybernetics, Part A, vol. 42, no. 1, pp. 238�249, 2012.

[75] Velardo, Fernando Rosa. Liveness properties for Petri Net extensions with namesAREA: Veri�cation of In�nite State Systems. Fernando Rosa Velardo. Complu-tense University of Madrid (2011).

[76] Wang, Jiacun. Petri net based resource modeling and analysis of work�ows withtask failures. Networking, Sensing and Control (ICNSC), 2013 10th IEEE Inter-national Conference on. IEEE, 2013.

[77] Wang, Jiacun, and Demin Li. Resource oriented work�ow nets and work�ow re-source requirement analysis. International Journal of Software Engineering andKnowledge Engineering 23.05 (2013): 677-693.

[78] Wang, Jiacun, Bill Tepfenhart, and Xiaoou Li. Analysis of MinimumWork�ow Re-source Requirement. International Workshop on Process-Aware Systems. SpringerSingapore, 2015.

[79] Wang, Jiacun, Xiaoou Li, and Gaiyun Liu. Cyclic work�ow resource requirementanalysis and application in healthcare. 2016 13th International Workshop on Disc-rete Event Systems (WODES). IEEE, 2016. 291-297.

[80] G. Winskel and M. Nielsen. Models for concurrency. In S. Abramsky, D. Gabbay,and T. S. E. Maibaum, editors, Handbook of Logic in Computer Science, volume4, pages 1�148. Oxford University Press, 1995. Also appeared in BRICS ReportSeries RS-94-12.

[81] Li, Xiaoou, et al. Resource requirement analysis for cyclic work�ows. 2016 IEEE13th International Conference on Networking, Sensing, and Control (ICNSC).IEEE, 2016.

[82] M.C. Zhou and F. Di Cesare. Petri Net Synthesis for Discrete Event Control ofManufacturing Systems. Kluwer, 1993.

· i abstrakt práca detekcia uviaznutí v diskrétnych udalostných systémoch so zdie©anými...

Documents