i. a testek ábrázolása,...

10 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute

I A testek aacutebraacutezolaacutesa jellemzeacutese Bevezeteacutes

Moacutedszertani megjegyzeacutes Ennek a modulnak a fő ceacutelja a teacuterelemek megismereacutese megtapasz-talaacutesa teacuterszemleacuteletet fejlesztő feladatokon keresztuumll Teacutenykoumlzleacutes eacutes akadeacutemiai tudaacutes helyett a gyakorlatra a felfedezeacutesre a koumlvetkezteteacutesre helyezzuumlk a hangsuacutelyt A 3 oacutera veacutegeacutere szeret-neacutenk a tanuloacutekat eljuttatni oda hogy keacutepesek legyenek a testeket eacutes eacutepiacutetőelemeiket a teacuterben laacutetni haacuteloacuteikat felismerni eacutes keacutepet alkothassanak a teacuterbeli formaacutek soksziacutenűseacutegeacuteről

Bizonyaacutera jaacutertatok maacuter uacutegy hogy elteacute-

vedtetek egy ismeretlen eacutepuumlletben vagy

vaacuterosban Ha uacutej helyre megyuumlnk teacuterben

valoacute taacutejeacutekozoacutedaacutesunkat sok dolog segiacutet-

heti testek testszoumlgletek jellemző for-

maacutek sziacutenek A koumlvetkezőkben a testek

elnevezeacuteseacutevel leiacuteraacutesaacuteval felismereacuteseacutevel

foglalkozunk A hasaacutebot vagy a hengert

mindannyian ismeritek de ezeken kiacutevuumll

sok olyan teacuterbeli forma van ami megragadja keacutepzeletuumlnket Peacuteldaacuteul sok vulkaacuteni csuacutecs

csonkakuacutep alakuacute

Szilassi Lajos keacutesziacutetett olyan heacutetlapuacute polieacutedert melynek baacutermely keacutet lapja szomszeacutedos (Szilassi-polieacuteder)

2005 copy Erdeacutely Daacuteniel

Moacutedszertani megjegyzeacutes

Laacutesd httpwwwjgytfu-szegedhutanszekmatematikaspeckoll19997lapindexhtml de itt

httpmathworldwolframcomSzilassiPolyhedronhtml teacuterben forgathatoacute moacutedon is aacutebraacutezol-

jaacutek (Java-s boumlngeacutesző szuumlkseacuteges angol nyelvű oldal)

6 modul TEacuteRELEMEK 11

Erdeacutely Daacuteniel Spidron teacuterkitoumlltő rendszereacutevel keacute-

szuumllt polieacuteder (spiralloeacuteder)

Rinus Roelofs (holland keacutepzőműveacutesz) eacutes Erdeacutely Daacuteniel

A Spidron-rendszer alapjaacutet az aacutebraacuten laacutethatoacute haacuteromszoumlgekből is oumlsszeaacutelliacutethatoacute elem keacutepezi

Segiacutetseacutegeacutevel nemcsak heacutezagmentesen toumllthetjuumlk ki a siacutekot hanem a megfelelő aacutetloacutek menteacuten

oumlsszehajtva rendkiacutevuumll plasztikus teacuterkitoumllteacuteseket testeket nyeruumlnk

Kiss Gergő animaacutecioacutejaacutenak reacuteszletei 2005 copy Erdeacutely Daacuteniel


A Spidron-rendszerről reacuteszletesen taacutejeacutekozoacutedhatunk a wwwszinhazhuedanSpidroNew eacutes a

httpwwwszinhazhuedanspidronh honlapokon Ez utoacutebbin megtalaacutelhatoacute hogyan toumllthető

ki a teacuter a Spidronokboacutel előaacutelliacutethatoacute testekkel


Antonio Gaudi (spanyol eacutepiacuteteacutesz 1852ndash1926)

munkaacutei a teacuterformaacutek kihasznaacutelaacutesaacutenak nagyszerű

peacuteldaacutei Ilyen a Battlo-haacutez homlokzata is Barce-

lonaacuteban

A termeacuteszettudomaacutenyban a testeknek a teacuterbeli

szimmetriaacuteknak kiemelkedő jelentőseacutege van

(gondoljunk az atomon beluumlli elektronfelhőre

vagy az eacutelőleacutenyek szimmetriatulajdonsaacutegaira)

Vannak olyan probleacutemaacutek is amelyeket a szim-

metria kihasznaacutelaacutesa neacutelkuumll meg sem tudnaacutenk

oldani A kristaacutelyformaacutek a molekulaacutek teacuterbeli

alakja modellezeacutese ugyanuacutegy hozzaacutetartozik

ehhez a tudomaacutenyhoz mint az ipari tervezeacuteskor

felhasznaacutelt ismeretek Nagy jelentőseacutege van

peacuteldaacuteul azoknak a teacuterformaacuteknak amelyek oumlsz-

szehajtogatva kis helyen elfeacuternek szeacutethajtogatva

pedig kuumlloumlnboumlző funkcioacutekat szolgaacutelnak (lakoacuteteacuter saacutetor szeacutethajthatoacute antenna stb)


Eacuterdemes felhiacutevni a diaacutekok figyelmeacutet a fejezetben szereplő nevekre Ha tetszik nekik egy-egy

alkotaacutes neacutezzenek utaacutena az interneten Internetciacutemek a tanaacuter szaacutemaacutera a modulvaacutezlatban is ta-

laacutelhatoacutek


A testek aacutebraacutezolaacutesa

A testek siacutekbeli aacutebraacutezolaacutesaacutera maacuter laacutethattatok neacutehaacuteny peacuteldaacutet eddigi tanulmaacutenyaitok soraacuten

Egy polieacuteder haacuteloacutejaacuten eacutertjuumlk azt a sokszoumlglapot amelyet ha egy siacuteklapboacutel kivaacutegunk akkor

oumlsszehajtogathatoacute belőle a test feluumllete

Igen gyakori aacutebraacutezolaacutesi moacutedszer a perspektivikus amellyel a teacuterbeli alakzatokat meacuternoumlki pon-

tossaacuteggal aacutebraacutezolhatjuk a siacutekban Victor Vasarely (1908-1997) Maurits Cornelis Escher

(1898-1972) eacutes Roger Penrose (1931-) a hamis perspektiacuteva nagymesterei grafikaacuteikon rend-

szeresen lehetetlen alakzatok tűnnek fel A perspektivikus aacutebraacutezolaacutes koumlzeacutepkori uacutettoumlrői koumlzeacute

soroljuk Filippo Brunelleschi (1377-1446) eacutes Albrecht Duumlrer (1471-1528) mestereket


Javasolt projekteket indiacutetani Vasarely Escher eacutes Penrose bdquobecsapoacutesrdquo grafikaacutek keacutepek interne-

tes kutataacutesa (keacutep bemutataacutesa eacutes roumlvid ismerteteacutes az egyik oacutera bevezeteacutesekeacutent) valamint a le-

hetetlen testek rajzainak megalkotaacutesa kreatiacutevabb tanuloacutek reacuteszeacutere 1999-ben a Műcsarnokban

rendezett bdquoPerspektiacutevardquo ciacutemű kiaacutelliacutetaacutes kataloacutegusa 517 oldalas nagyon joacute anyagokat talaacutelhat

benne az eacuterdeklődő


A testek csoportosiacutetaacutesa

A testeket keacutet nagy csoportba soroljuk goumlrbe feluumlletűek eacutes polieacutederek

polieacutederek veacuteges sok sokszoumlg aacuteltal hataacuterolt testek

o hasaacutebok (egyenes eacutes ferde)

o guacutelaacutek (egyenes ferde csonka)

o szabaacutelyos testek

o egyebek

goumlrbe feluumlletű testek a hataacuteroloacute lapok koumlzoumltt van goumlrbe feluumllet is

o hengerek (egyenes eacutes ferde)

o kuacutepok (egyenes ferde csonka)

o forgaacutestestek (valamely siacutekidom adott tengely koumlruumlli megforgataacutesaacuteval keletkeznek

forgaacutesszimmetrikusak)

o goumlmboumlk

o egyebek

Feladat

1 Rajzolj peacuteldaacutekat a Venn-diagramm megfelelő reacuteszeire


Elnevezeacutesek Moacutedszertani megjegyzeacutes Peacutelda Polydron felhasznaacutelaacutesaacutera Amikor a hasaacutebot taniacutetjuk ne mondjuk meg a tanuloacuteknak hogy mi a hasaacuteb definiacutecioacuteja Csoportalakiacutetaacutes majd az ABCD csoportkaacutertyaacutek kiosztaacutesa utaacuten szakeacutertői mozaikkal oumlsszerakatunk az A-sokkal teacuteglatesteket a B-sekkel oumltszoumlg alapuacute hasaacutebot (peacuteldaacuteul taacuteblai rajz alapjaacuten) a C-sekkel hatszoumlg alapuacute hasaacutebot a D-sekkel egy ferde hasaacutebot Ezek utaacuten visszateacuternek a csoportjukhoz eacutes azt kapjaacutek feladatul hogy ismertesseacutek a toumlbbiekkel hogy mit raktak oumlssze eacutes iacuterjaacutek oumlssze hogy mik ezeknek a tes-teknek a koumlzoumls tulajdonsaacutegai (sokszoumlgekből aacutellnak paacuterhuzamos a fedő- eacutes az alaplap egybe-vaacutegoacutek is) Sorsolaacutessal keacuteruumlnk 1-1 tulajdonsaacutegot majd mi is rakunk hozzaacute (elmondjuk hogy ezek hasaacutebok eacutes ismertetuumlnk meacuteg neacutehaacuteny jellemzőt testmagassaacuteg lapszoumlgek teacuterfogat fel-sziacuten)

Adott az alapsiacutekon egy goumlrbe vonallal hataacuterolt siacutekidom (alaplap) eacutes egy egyenes amely az

alapsiacutekkal nem paacuterhuzamos Ha a goumlrbe minden pontjaacuten keresztuumll paacuterhuzamost huacutezunk az

adott egyenessel (alkotoacutek) hengerfeluumlletet kapunk Ezt elmetszuumlk egy az alapsiacutekkal paacuterhu-

zamos siacutekkal (fedőlap) Az iacutegy keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk hengernek Ha a goumlrbe koumlr

a test neve koumlrhenger Egyenes koumlrhenger eseteacuteben az adott egyenes merőleges az alapsiacutekra

A testet hataacuteroloacute goumlrbe feluumlletet palaacutestnak nevezzuumlk Az alaplap eacutes a fedőlap siacutekjaacutenak taacutevol-

saacutega adja a testmagassaacutegot

Adott az alapsiacutekon egy goumlrbe vonallal hataacuterolt siacutekidom (alaplap) eacutes egy pont az alapsiacutekon

kiacutevuumll (csuacutecspont) Ha a goumlrbe minden pontjaacutet egyenesekkel oumlsszekoumltjuumlk az adott ponttal kuacutep-

feluumlletet kapunk A keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk kuacutepnak Ha a zaacutert goumlrbe koumlr a test

neve koumlrkuacutep Egyenes koumlrkuacutepnak nevezzuumlk a koumlrkuacutepot ha a pontnak az alaplap siacutekjaacutera eső

merőleges vetuumllete az alapkoumlr koumlzeacuteppontjaacuteba esik A testet hataacuteroloacute goumlrbe feluumlletet nevezzuumlk

Henger Koumlrhenger Egyenes koumlrhenger


palaacutestnak (egyenes koumlrkuacutep siacutekba kiteriacutetett palaacutestja koumlrcikk) a csuacutecspont eacutes a goumlrbe aacuteltal

meghataacuterozott egyeneseket pedig alkotoacuteknak Az alaplap siacutekjaacutenak eacutes a csuacutecsnak a taacutevolsaacutega

adja a testmagassaacutegot

Ha az egyenes koumlrkuacutepot elmetszuumlk egy olyan siacutekkal amely a kuacutep testmagassaacutegaacutenak egyeneseacutet

tartalmazza akkor egyenlőszaacuteruacute haacuteromszoumlget kapunk (alapja az alapkoumlr aacutetmeacuterője szaacuterai a

kuacutep alkotoacutei) Maacuteskeacutent az egyenes koumlrkuacutep tengelymetszete egyenlőszaacuteruacute

haacuteromszoumlg A szaacuterak aacuteltal bezaacutert szoumlget (φ) a kuacutep nyiacutelaacutesszoumlgeacutenek ne-

vezzuumlk

Ha a kuacutepot elmetsszuumlk egy az alaplappal paacuterhuzamos siacutekkal csonkakuacutepot kapunk Az alap-

lap eacutes a fedőlap siacutekjaacutenak taacutevolsaacutega adja a testmagassaacutegot

Adott az alapsiacutekon egy sokszoumlg (alaplap) eacutes egy egyenes amely az alapsiacutekkal nem paacuterhuza-

mos Ha a sokszoumlg minden pontjaacuten keresztuumll paacuterhuzamost huacutezunk az adott egyenessel hasaacuteb-

feluumlletet kapunk Ezt elmetszuumlk egy az alapsiacutekkal paacuterhuzamos siacutekkal (fedőlap) Az iacutegy kelet-

kező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk hasaacutebnak Egyenes hasaacutebnak nevezzuumlk a hasaacutebot ha az adott

egyenes merőleges az alapsiacutekra Az oldallapokat egyuumltt palaacutestnak nevezzuumlk Az alaplap eacutes a

fedőlap siacutekjaacutenak taacutevolsaacutega adja a testmagassaacutegot

Adott az alapsiacutekon egy sokszoumlg (alaplap) eacutes egy pont az alapsiacutekon kiacutevuumll (csuacutecspont) Ha a

sokszoumlg minden pontjaacutet egyenesekkel oumlsszekoumltjuumlk az adott ponttal guacutelafeluumlletet kapunk A

keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk guacutelaacutenak A testmagassaacuteg az alaplap siacutekjaacutenak eacutes a csuacutecs-

pontnak a taacutevolsaacutega


A haacuteromszoumlg alapuacute guacutela (tetraeacuteder) baacutermely lapja lehet alaplap Ezt a feladatok megoldaacute-

sakor figyelembe kell venni elkeacutepzelhető hogy a testet elforgatva koumlnnyebb a megoldaacutes

Peacuteldaacuteul a kocka sarkaacutet levaacutegva olyan guacutelaacutet kapunk amelyet elforgatva a dereacutekszoumlgű haacuterom-

szoumlget is vaacutelaszthatjuk alaplapnak (iacutegy egyszerűbbeacute vaacutelik az alapteruumllet eacutes a testmagassaacuteg

szaacutemiacutetaacutesa)

Ha a guacutelaacutet elmetszuumlk egy az alaplappal paacuterhuzamos siacutekkal csonkaguacutelaacutet kapunk

Szabaacutelyos guacutelaacutenak az alaplapja szabaacutelyos sokszoumlg az oldallapok pedig egybevaacutegoacute egyenlő-

szaacuteruacute haacuteromszoumlgek

Konvex testeknek nevezzuumlk azokat a testeket amelyeknek baacutermely keacutet pontjaacutet oumlsszekoumltő

szakaszt a test teljes egeacuteszeacuteben tartalmazza A konkaacutev testek a nem konvexek azaz a testnek

van legalaacutebb keacutet olyan pontja amelyeket oumlsszekoumltő szakaszt a test nem tartalmazza teljes egeacute-

szeacuteben

Azokat a testeket melyeknek minden lapja egybevaacutegoacute izoeacutedernek nevezzuumlk

Szabaacutelyos testeknek nevezzuumlk azokat a konvex polieacutedereket amelyeknek eacutelei eacutelszoumlgei eacutes

lapszoumlgei is egyenlők (ezekkel a hajlaacutesszoumlgekkel a keacutesőbbiekben foglalkozunk) Bizonyiacutethatoacute

(maacuter Euklidesz is megtette Elemek ciacutemű koumlnyveacuteben kb Kre 300-ban) hogy oumlsszesen csak

oumlt szabaacutelyos test van szabaacutelyos tetraeacuteder kocka oktaeacuteder dodekaeacuteder eacutes ikozaeacuteder Nevuumlket

oldallapjaik szaacutemaacuteroacutel kaptaacutek A szabaacutelyos testeket platonikus testeknek is nevezzuumlk


A szabaacutelyos testek adatai

Lapok Csuacutecsok szaacutema

Eacutelek szaacutema

Hataacuteroloacute lap eacuteleinek szaacutema

Szabaacutelyos tetraeacuteder 4 4 6 3 Hexaeacuteder (Kocka) 6 8 12 4 Oktaeacuteder 8 6 12 3 Dodekaeacuteder 12 20 30 5 Ikozaeacuteder 20 12 30 3

A testeket eacutelvaacutezukkal is aacutebraacutezolhatjuk Ebben az esetben jobban laacutethatoacute hogy milyen siacutek-

idomok hataacuteroljaacutek a testet haacuteny eacutele van a testnek eacutes haacuteny eacutel fut oumlssze az egyes csuacutecsokban

Az eacutelvaacutez alapjaacuten koumlnnyebb megszerkeszteni a testek haacuteloacutejaacutet is

Moacutedszertani megjegyzeacutes A Polydron eacutepiacutetővel mindegyik szabaacutelyos test megeacutepiacutethető A fenti testeket elemző taacuteblaacutezatot a tanuloacutek is előaacutelliacutethatjaacutek csoportmunkaacuteban A testek tulajdonsaacutegait szemleacuteltethetjuumlk azokkal az eszkoumlzoumlkkel is amelyek a modulvaacutezlat-ban szerepelnek Polieacutederrel kapcsolatos fogalmak reacuteszletes meghataacuterozaacutesai talaacutelhatoacutek az alaacutebbi honlapon httpwwwsulinethumatekszilassi_01szil_poli_1alapfogalmakhtm Feladhatoacute hogy a tanuloacutek keacutesziacutetseacutek el vagy keresseacutek az interneten a szabaacutelyos testek haacuteloacutejaacutet Tovaacutebbi kutataacutesi teacutemaacutek lehetnek (kitekinteacutes a koumlzeacutepiskolai anyagboacutel) polieacutederek duaacutelisai archimeacutedeszi polieacutederek focilabda jellemzeacutese (lapok eacutelek csuacutecsok szaacutema hataacuteroloacute siacutekidom-ok) prizmaacutek Ezekből aacutelliacutetottuk oumlssze a koumlvetkező csak a tanaacuteri modulban szereplő anyagot Egy polieacuteder duaacutelisaacutet megkapjuk ha lapjait egy csuacuteccsal csuacutecsait pedig egy lappal felcsereacutel-juumlk Szabaacutelyos sokszoumlgekből aacutelloacute testek eseteacuten a lapokat szimmetria-koumlzeacuteppontjukkal csereacutel-juumlk fel Peacuteldaacuteul a szabaacutelyos tetraeacuteder duaacutelisa is szabaacutelyos tetraeacuteder a kockaacuteeacute oktaeacuteder az ok-taeacutedereacute kocka az ikozaeacutedereacute dodekaeacuteder a dodekaeacutedereacute ikozaeacuteder Peacuteldaacuteul a Szilassi-polieacuteder a Csaacuteszaacuter-feacutele polieacuteder duaacutelisa Honlap amelyen a Csaacuteszaacuter polieacuteder megtalaacutelhatoacute httpwwwmoricz-kujszsulinethuMORICZEvkonyvEredmenyVarga_GVarga_Ghtm eacutes httpmathworldwolframcomCsaszarPolyhedronhtml (angol)


Laacutesd meacuteg Szilassi Lajos Duaacutelis polieacutederek (httpmatservpmmfhucseripublicszilassiszilassihtm) Archimeacutedeacuteszi testek Olyan polieacutederek melyek oldallapjai szabaacutelyos sokszoumlgek eacutes minden csuacutecsban ugyanannyi eacutes ugyanolyan sokszoumlg talaacutelkozik ugyanolyan moacutedon Az archimeacutedeszi testek a szabaacutelyos polieacutederek csonkolaacutesaacuteval keletkeznek a szabaacutelyos polieacute-der csuacutecsainaacutel guacutelaacutet vaacutegunk le oly moacutedon hogy a vaacutegaacutes helyeacuten szabaacutelyos sokszoumlglap marad-jon eacutes a keletkező polieacuteder minden eacutele egyforma hosszuacutesaacuteguacute minden testszoumlglete egybevaacutegoacute legyen Peacuteldaacuteul az oktaeacuteder eacuteleinek felezőpontjai eacutes a kocka eacuteleinek felezőpontjai hasonloacute feacutelig szabaacutelyos testeket alkotnak Maacutes megfogalmazaacutesban az archimeacutedeszi testek jellemzői hogy bull konvexek bull lapjaik szabaacutelyos sokszoumlgek bull testszoumlgleteik egybevaacutegoacuteak (Ez szemleacuteletesen azt jelenti hogy ha a testből baacutermely csuacutecsaacute-naacutel levaacutegunk egy kis guacutelaacutet akkor ez a suumlveg baacutermely maacutes csuacutecsaacutera is raacuteilleszthető Ez azt is jelenti hogy minden csuacutecsnaacutel a testfeluumlletet alkotoacute szabaacutelyos sokszoumlgfajtaacuteboacutel (szoumlguumlk egyeacuter-telműen jellemzi őket) ugyanannyi van eacutes azonos sorrendben Peacuteldaacutek a kocka eacutelfelező pontjai az oktaeacuteder eacutelfelező pontjai a focilabda A koumlvetkező keacutet aacutebraacuten kocka csonkiacutetaacutesaacuteval nyert archimeacutedeszi testeket laacutethatunk

A focilabda a szabaacutelyos ikozaeacuteder megfelelő csonkiacutetaacutesaacuteval kaphatoacute (20 szabaacutelyos 6-szoumlg 12 szabaacutelyos 5-szoumlg 90 eacutel az oumltszoumlgek nem keruumllhetnek egymaacutes melleacute)

Testek a goumlmbi siacutekon (kiegeacutesziacutető anyag)

Nemcsak a siacuteklapon de maacutes feluumlleteken is aacutebraacutezolhatunk testeket haacuteloacutekat alakzatokat Koumlny-

nyűzenei eacutes maacutes rendezveacutenyeken planetaacuteriumokban gyakran vetiacutetik kuumlloumlnfeacutele teacuterbeli taacutergyak

vagy haacuteloacutezatok keacutepeacutet goumlrbuumllt feluumlletekre peacuteldaacuteul henger- vagy goumlmbfeluumlletre

Kuumlloumlnoumlsen eacuterdekesek a szabaacutelyos eacutes feacutelig szabaacutelyos testek goumlmbi aacutebraacutei Keacutepzeljuumlnk el egy

szabaacutelyos (platoni) vagy feacutelig szabaacutelyos (archimeacutedeszi) testet amely koumlreacute a csuacutecsain aacutetmenő

goumlmboumlt szerkesztuumlnk A goumlmbfeluumlleten megjelenő csuacutecspontokat nem teacuterbeli egyenes szaka-


szokkal koumltjuumlk oumlssze (iacutegy az eredeti testek kapnaacutenk vissza) hanem goumlmbfeluumlleti bdquoegyenesrdquo

darabokkal vagyis főkoumlriacutevekkel Ilyen moacutedon a test goumlmbi haacuteloacutejaacutet kapjuk Coxeter (ejtsd

kaacutekszeacutetoumlr) hiacuteres kivaacuteloacute kanadai matematikus ezeket a goumlmbi haacuteloacutekat bdquofelfuacutejt testeknekrdquo ne-

vezte

Proacutebaacuteljunk ilyeneket a goumlmboumln megszerkeszteni

2 Rajzoljunk haacuterom paacuteronkeacutent merőleges főkoumlrt Melyik szabaacutelyos test goumlmbi haacuteloacutejaacutet

kapjuk

Megoldaacutes Oktaeacuteder

3 Szerkesszuumlk meg a goumlmbi bdquofelfuacutejtrdquo oktaeacuteder haacuteromszoumlgeinek szimmetria-koumlzeacuteppontja-

it Az egymaacuteshoz legkoumlzelebb esőket koumlssuumlk oumlssze főkoumlriacutevvel maacutes sziacutenű tollal Haacuteny

legkoumlzelebbi szomszeacutedot talaacutelunk Milyen szabaacutelyos testet kapunk

Megoldaacutes Haacutermat hexaeacutedert (kockaacutet)

4 Hogyan lehet a felfuacutejt kockaacuteboacutel a felfuacutejt tetraeacutedert megszerkeszteni

Megoldaacutes

Kivaacutelasztjuk a goumlmbi kocka keacutet egymaacutessal szembeni lapjaacutet Az egyiken kijeloumlljuumlk a lap

egyik aacutetloacutejaacutenak veacutegeacuten leacutevő keacutet csuacutecspontot Ezutaacuten a maacutesik lapon kivaacutelasztjuk az bdquoel-

lenkezőrdquoiraacutenyuacute aacutetloacutet (vagyis megfelelő beaacutelliacutetaacutesban feluumllneacutezetben a keacutet egymaacutessal

szembeni oldal lapaacutetloacuteja X alakot ad) eacutes megjeloumlljuumlk ennek is a veacutegpontjait A neacutegy

veacutegpont meghataacuterozza a felfuacutejt goumlmbi tetraeacuteder csuacutecsait

Moacutedszertani megjegyzeacutes Ha a gyerekeket eacuterdekli akkor az eddigiekből maacuter elkeacutesziacutethető a dodekaeacuteder eacutes az ikozaeacuteder goumlmbi haacuteloacuteja is Rajzoljunk a goumlmbi kocka egy oldalhosszaacuteval szabaacutelyos goumlmbhaacuteromszoumlget eacutes csuacutecsait koumlssuumlk oumlssze a szabaacutelyos haacuteromszoumlg szimmetria-koumlzeacuteppontjaacuteval Az iacutegy kapott haacuterom egymaacutessal paacuteronkeacutent 120 fokos szoumlget bezaacuteroacute goumlmbi szakasz eacuteppen a goumlmbi dodekaeacute-der haacuterom oldalaacutet adja amit maacuter koumlnnyen kiegeacutesziacutethetuumlnk szabaacutelyos goumlmbi oumltszoumlggeacute Ennek az oumltszoumlgnek minden szoumlge 120 fokos Ebből tizenkettő eacuteppen lefedi az egeacutesz goumlmboumlt Az oumltszoumlgek koumlzeacuteppontjait megrajzolva eacutes a szomszeacutedos koumlzeacuteppontokat oumlsszekoumltve pedig a duaacute-lis goumlmbi ikozaeacutedert kapjuk Nagyon szeacutep feladat az archimeacutedeszit testek (peacuteldaacuteul a focilabda) goumlmbi haacuteloacutejaacutenak megszer-keszteacutese Ezekből a goumlmbi aacutebraacutekroacutel nagyon sok az eredeti polieacutedert jellemző tulajdonsaacuteg igen szemleacuteletesen bemutathatoacute ndash lapok csuacutecsok eacutelek egymaacutessal szomszeacutedos sokszoumlgek stb


A testek teacuterfogata felsziacutene (ismeacutetleacutes)

Moacutedszertani megjegyzeacutes Aacuteltalaacutenos iskolaacuteban a teacuterfogatot eacutes a felsziacutent tanultaacutek a gyerekek (kiveacuteve a goumlmbeacutet) A 12 eacutevfolyamon egy anyagreacutesz foglalkozik a testek szoumlgeivel teacuterfogataacuteval felsziacuteneacutevel Ez az is-meacutetleacutes főleg a rendszerezeacutest szolgaacutelja az ezzel kapcsolatos feladatok meghaladjaacutek az 5 oacuteraacutes modul kereteit

Testek teacuterfogata annak a teacuterreacutesznek a meacuterteacuteke amelyet a test feluumllete hataacuterol

Ez a megfogalmazaacutes ahhoz elegendő hogy a teacuterfogat szemleacuteletes fogalmaacutet tisztaacutezzuk A polieacuteder szabatos teacuterfogatfogalma az oumlsszehasonliacutetaacuteson alapul azt aacutellapiacutetjuk meg hogy a test teacuterfogata haacutenyszorosa az egyseacutegkocka teacuterfogataacutenak Iacutegy a polieacuteder teacuterfogata egy olyan a testhez rendelt olyan pozitiacutev szaacutem amelyre teljesuumllnek a koumlvetkezők

1 az 1 egyseacuteg eacutelhosszuacutesaacuteguacute kocka (egyseacutegkocka) teacuterfogata 1 2 az egybevaacutegoacute testek teacuterfogata egyenlő 3 ha egy testet veacuteges szaacutemuacute testre bontunk szeacutet azok teacuterfogatainak oumlsszege

egyenlő az eredeti test teacuterfogataacuteval

Moacutedszertani megjegyzeacutes Egyeacuteb testek teacuterfogataacuteval az analiacutezis foglalkozik A koumlzeacutepszintű eacuterettseacutegi koumlvetelmeacuteny a teacuterfogat szemleacuteletes fogalmaacutenak ismereteacutet igeacutenyli A meacuterhető mennyiseacutegek meacuterteacutekeacutenek elmeacuteleteacutevel a meacuterteacutekelmeacutelet foglalkozik melynek axiomatikus feleacutepiacuteteacuteseacutet Halmos Paacutel alkotta meg 1950-ben a Chicago-i Egyetemen Eacuterdeklődőbb tanuloacutek szaacutemaacutera feladhatjuk kutataacutesi anyagkeacutent a teacutemaacutet

Testek felsziacutene a testet hataacuteroloacute feluumllet meacuterteacuteke Siacuteklapokkal hataacuterolt testek eseteacuten a hataacuteroloacute

lapok teruumlleteinek oumlsszege goumlrbe feluumlletekkel hataacuterolt testek eseteacuteben a felsziacuten fogalma

bonyolultabb (hataacutereacuterteacutek-szaacutemiacutetaacutes segiacutetseacutegeacutevel toumlrteacutenik)

Neacutehaacuteny test teacuterfogata eacutes felsziacutene

A kocka teacuterfogata 3aV = felsziacutene A = 26a (a a kocka eacutele)

A teacuteglatest teacuterfogata abcV = felsziacutene )(2 acbcabA ++= (a b eacutes c a teacuteglatest eacutelei)

A goumlmb teacuterfogata π3

34 rV = felsziacutene π24rA =

A henger teacuterfogata mrV sdot= π2 ahol r az alapkoumlr sugara m a testmagassaacuteg

Az egyenes koumlrhenger felsziacutene )(2 mrrA += π

A hasaacuteb teacuterfogata V = alapteruumllet middot testmagassaacuteg

A hasaacuteb felsziacuteneA = 2 middot alapteruumllet + palaacutest teruumllete


A guacutela teacuterfogata 3

magassaacutegtalapteruumlleV sdot=

A kuacutep teacuterfogata 3

2 mrV sdot= π

Feladatok

5 Gyűjtsd ki a szoumlvegből hogy milyen jellemzőket fogalmakat hasznaacutelunk a testek leiacuteraacute-

saacutera

Megoldaacutes

Lapok eacutelek csuacutecsok eacutelvaacutez alkotoacute oldallap alaplap oldaleacutel alapeacutel csuacutecsok szaacutema la-

pok szaacutema eacutelek szaacutema testmagassaacuteg alapteruumllet fedőlap eacutelszoumlgek teruumllet teacuterfogat

felsziacuten

6 Gyűjtsd ki a szoumlvegből hogy milyen fogalmak szerepelnek az alaacutebbi testekneacutel

a) guacutela b) kuacutep c) hasaacuteb d) henger


II Teacuter Szemleacutelet

Feladatok

7 Egeacutesziacutetsd ki az aacutebraacutekat uacutegy hogy egy kocka haacuteloacutejaacutet kapjuk

a) b) c)

Megoldaacutes peacuteldaacuteul a) b) c)

8 Lehet-e kockaacutet hajtogatni az alaacutebbi siacutekidomokboacutel

a) b) c) d) e)

Megoldaacutes igen a) c) e) nem b) d)

9 Hovaacute rajzolhatjuk (a) eacutes (b) hataacuteroloacute lapokat hogy a haacuteloacuteboacutel egy neacutegyszoumlg alapuacute egye-

nes hasaacutebot lehessen keacutesziacuteteni

Egy lehetseacuteges megoldaacutes

a b


10 Haacuteny eacutele van annak a testnek amelynek haacuteloacuteja az alaacutebbi aacutebraacuten laacutethatoacute

a) b) c) d)

Megoldaacutes a) 9 b) 9 c) 16 d) 15

11 Polydronboacutel eacutepiacutets keacutet szabaacutelyos tetraeacutedert de az egyik eacutele legyen keacutetszerese a maacutesik

eacuteleacutenek

a) Haacutenyszor annyi eacutepiacutetőelem kell a nagyobbhoz

b) Haacutenyszor akkora az eacutelek hosszaacutenak oumlsszege

c) Haacutenyszor feacuter bele a kicsi a nagy belsejeacutebe

Megoldaacutes a) 4 illetve 16 vagyis 4-szer annyi b) keacutetszer c) nyolcszor

Moacutedszertani megjegyzeacutes A fenti feladatot elveacutegezhetjuumlk kockaacuteval eacutes szabaacutelyos neacutegyzet ala-

puacute guacutelaacuteval is


12 Melyik lehet eacutes melyik nem lehet a tetraeacuteder haacuteloacuteja

a) b) c)

d)

Megoldaacutes lehet a) c) nem lehet b) d) nem is haacuteloacute (nem bdquosokszoumlgrdquo)

13 Aacutelliacutetsuk oumlssze Polydronboacutel a neacutegy darab szabaacutelyos haacuteromszoumlgből aacutelloacute oumlsszes lehetseacute-

ges siacutekidomot Melyik lehet ezekből szabaacutelyos tetraeacuteder haacuteloacuteja Hajtogataacutessal ellen-

őrizzuumlk

Megoldaacutes


14 Taacutersiacutetsd a testeket a nekik megfelelő testhaacuteloacutehoz

a) b) c)

d) 1) 2)

3) 4)

Megoldaacutes a2 b3 c4 d1


15 Paacuterosiacutetsd a testeket a bdquoszeacutetszedettrdquo paacuterjukkal

a) 1)

b) 2)

c) 3)

Megoldaacutes a1 b3 c2


16 Keacutesziacutetsd el a kocka haacuteloacutejaacutet eacutes rajzold bele hogy a test felsziacuteneacutere rajzolt vonal hogyan

jelenik meg a haacuteloacuten

a) b)

Megoldaacutes a) b)


Segiacutetseacuteget jelent ha a kockaacuten megnevezzuumlk a csuacutecsokat eacutes azokat azonosiacutetjuk a haacuteloacuten

17 Az aacutebraacuten haacuterom kocka (A B C) eacutes a haacuteloacuteik laacutethatoacutek (1 2 3)

a) Melyik haacuteloacute melyik kockaacutehoz tartozhat

I) Andash3 Bndash2 Cndash1 II) Andash1 Bndash3 Cndash2

III) Andash2 Bndash1 Cndash3 IV) Andash1 Bndash2 Cndash3

b) A C jelű kocka felsziacuteneacutenek haacuteny szaacutezaleacuteka van befestve

Megoldaacutes a) III b) 22


18 Melyik test haacuteloacuteja ez Rajzold le maacutesfeacutelekeacuteppen is

a test haacuteloacutejaacutet

A Teacuteglalap alapuacute guacutela

B Teacuteglalap alapuacute hasaacuteb

C Dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg alapuacute hasaacuteb

D Dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg alapuacute guacutela

Megoldaacutes C

19 Az alaacutebbi rajz egy teacuteglatest haacuteloacutejaacutet aacutebraacutezolja

Mekkoraacutek a teacuteglatest eacutelei

Megoldaacutes 2 cm 1 cm 3 cm

20 Egyiptomban Kheopsz faacuteraoacute eacutepiacuteteacutesze terveket mutatott be az uralkodoacutejaacutenak keacuteszuumllő

piramisaacuteroacutel (A piramist egy neacutegyzet alapuacute egyenes guacutela) Az eacutepiacuteteacutesz papiruszboacutel mo-

dellt keacutesziacutetett a faacuteraoacutenak Az alaacutebbi modellek melyikeacuteből lehet darabolaacutes neacutelkuumll teljes

piramismodellt oumlsszeaacutelliacutetani

Megoldaacutes C


21 Az aacutebraacuten ugyanannak a kockaacutenak a haacuterom neacutezeteacutet laacutetjuk Keacutesziacutetsd el ennek a kockaacutenak

haacuteloacutezataacutet Figyelj arra is hogy a goumlroumlg betűk merre feleacute fordulnak

Megoldaacutes

22 A koumlvetkező szabaacutesrajzon valamelyik ragasztoacute fuumllecske

foumlloumlsleges Melyik

Megoldaacutes toumlbb is van peacuteldaacuteul

23 Folytasd a szinezeacutest Az oldallapok negyedeiből aacutelloacute kis

neacutegyzeteket sziacutenezd ki uacutegy hogy az oldaluknaacutel talaacutelkozoacute

neacutegyzetek kuumlloumlnboumlző sziacutenűek legynek Rajzold le a kocka

kiszinezett haacuteloacutejaacutet Legalaacutebb haacuteny sziacutent kell felhasznaacutelnod

Megoldaacutes 3 sziacutent

Moacutedszertani megjegyzeacutes A koumlvetkező feladatok az Euler-feacutele polieacutederteacutetelre vonatkoznak Ez nem tartozik a koumlzeacutepszintű eacuterettseacutegi koumlvetelmeacutenyrendszereacutebe (kiegeacutesziacutető anyag) de fejleszti a teacuterszemleacuteletet


24 Keacutesziacutets koordinaacuteta-rendszert melyben aacutebraacutezolod neacutehaacuteny konvex test lapjai eacutes csuacutecsai szaacutemaacutenak oumlsszegeacutet az eacutelek szaacutemaacutenak fuumlggveacutenyeacuteben Milyen oumlsszefuumlggeacutes olvashatoacute le a kapott eredmeacutenyből Adatforraacuteskeacutent hasznaacutelhatod a szabaacutelyos testek taacuteblaacutezataacutet koraacutebbi feladatokban szereplő vagy az alaacutebbi taacuteblaacutezat alatt elhelyezkedő testeket is Elő-szoumlr toumlltsd ki a taacuteblaacutezatot eacutes ennek alapjaacuten rajzold be a pontokat a koordinaacuteta-rendszerbe

Test Csuacutecsok Lapok Eacutelek

Megoldaacutes

Euler teacutetele olvashatoacute le

eacutelek + 2 = lapok + csuacutecsok szaacutema

Minden konvex polieacutederre teljesuumll

Ajaacutenlatos hogy a tanaacuter nevezze meg

Euler teacuteteleacutet eacutes vezesseacutek be a fuumlzetbe

25 Hataacuterozd meg hogy polieacutederek-e eacutes

konvexek-e a koumlvetkező testek

a) b) c)

Megoldaacutes mind polieacuteder mert csak sokszoumlgek hataacuteroljaacutek a) eacutes b) konvex c) nem


26 Milyen siacutekidomok hataacuteroljaacutek a koumlvetkező testeket Add meg azt is hogy mennyi a

szaacutemuk

a) b)

Megoldaacutes

a) 8 haacuteromszoumlg 4 neacutegyzet 4 oumltszoumlg b) 20 szabaacutelyos hatszoumlg 12 szabaacutelyos oumltszoumlg

27 A fullereacutenek szeacutenatomokboacutel feleacutepuumllő kalickaszerű

goumlmbszerű molekulaacutek A legelőszoumlr megtalaacutelt koumlzuumlluumlk a 60

szeacutenatomboacutel aacutelloacute buckminsterfullereacuten maacutes neacuteven futballabda

molekula A C60 fullereacuten modelljeacutenek feluumlleteacutet 12 szabaacutelyos

oumltszoumlg eacutes 20 szabaacutelyos hatszoumlg alkotja Alapszabaacutely hogy a

molekula stabilitaacutesa miatt az oumltszoumlgek nem eacuterintkezhetnek Haacuteny eacutele van a fullereacuten

molekulaacutenak

Megoldaacutes

Euler teacutetele szerint lapok + csuacutecsok ndash 2= eacutelek vagyis 32 + 60 -2 = 90 eacutele van A feladat

azeacutert kapott emelt szintű jelzeacutest mert Euler teacutetele baacuter koraacutebban szerepelt nem koumlzeacutep-

szintű anyag

28 Milyen szimmetriaacutekat ismersz fel a koumlvetkező testeken

a) szabaacutelyos hatszoumlg b) szabaacutelyos oumltszoumlg c) szabaacutelyos oumltszoumlg

alapuacute guacutela alapuacute hasaacuteb alapuacute test


Megoldaacutes

Mindegyik szimmetrikus neacutehaacuteny az alaplapra merőleges annak koumlzeacuteppontjaacuten aacutethaladoacute

siacutekra forgaacutesszimmetriaacutek a test tengelye koumlruumll b)-neacutel az oldaleacutelek felezőpontjaacutera fekte-

tett siacutekra is szimmetrikus a test

29 Az alaacutebbi aacutebraacuten egy haacuteromdimenzioacutes alakzat eacutes annak lehetseacuteges feluumllneacutezeti keacutepei

laacutethatoacutek Vaacutelaszd ki a teacutenyleges feluumllneacutezeti keacutepet

Megoldaacutes D

30 Ha egy kockaacutet mind a hat lapjaacutera tuumlkroumlzuumlnk akkor

az alaacutebbi testet kapjuk (a testet bdquoteacuterbeli keresztnekrdquo hiacutevjaacutek)

a) Haacutenyszorosa az iacutegy kapott test teacuterfogata az eredetinek

b) Haacutenyszorosa az iacutegy kapott test felsziacutene az eredetinek

2005 copy Erdeacutely Daacuteniel Megoldaacutes a) 7-szerese b) 5-szoumlroumlse


31 Az alaacutebbi aacutebra bal oldalaacuten neacutegy taacutergy keacutepe talaacutelhatoacute a jobb oldalaacuten pedig feluumllneacutezeti

keacutepeik laacutethatoacutek Paacuterosiacutetsd oumlssze a taacutergyakat feluumllneacutezeti keacutepeikkel Iacuterd a megfelelő

szaacutemot a megfelelő betű melleacute

Megoldaacutes D2 B4 A3 C1


32 Mikloacutes eacutepiacutetőkockaacutekboacutel egy alakzatot rakott oumlssze az asztalon majd lerajzolta hogy

milyennek laacutetja ezt az alakzatot fentről eloumllről eacutes balroacutel neacutezve

Oumlccse kiegeacutesziacutetette ezt az alakzatot a lehető legkisebb teacuteglatestteacute uacutegy hogy az alakzat-

hoz tovaacutebbi eacutepiacutetőkockaacutekat rakott Haacuteny eacutepiacutetőkockaacuteboacutel aacutell ez a teacuteglatest

A 12 eacutepiacutetőkockaacuteboacutel B 14 eacutepiacutetőkockaacuteboacutel

C 18 eacutepiacutetőkockaacuteboacutel D 27 eacutepiacutetőkockaacuteboacutel

Megoldaacutes C

33 Technikaoacuteraacuten azt a feladatot kaptaacutek a diaacutekok hogy keacutesziacutetsenek piramist 10 x 10 x 10

cm-es kockaacutek oumlsszeragasztaacutesaacuteval

A piramis alapja 24 kockaacuteboacutel aacutell ahogyan ennek a feluumllneacutezeti rajza az 1 aacutebraacuten laacutethatoacute


A 2 aacutebra az első eacutes a maacutesodik szint egymaacuteshoz viszonyiacutetott elhelyezkedeacuteseacutet mutatja

Minden szint az alatta leacutevő szintből egy 5 cm szeacuteles keretet hagy lefedetlenuumll

a) Haacuteny kockaacutera van szuumlkseacuteg az egyes szintek elkeacutesziacuteteacuteseacutehez Egeacutesziacutetsd ki az alaacutebbi

taacuteblaacutezatot

b) A hetedik szintet figyelmen kiacutevuumll hagyva milyen szabaacutely szerint vaacuteltozik a szom-

szeacutedos szintekhez szuumlkseacuteges kockaacutek szaacutema

Megoldaacutes

b) 4-gyel csoumlkken

34 Az oldalsoacute aacutebraacuten egy szabaacutelyos

doboacutekocka laacutethatoacute A szemkoumlzti

oldalain leacutevő poumlttyoumlk szaacutema

oumlsszesen 7 Ha ezt a doboacutekockaacutet

a berajzolt tengely menteacuten 90deg-

kal az oacuteramutatoacute jaacuteraacutesaacuteval

ellenteacutetes iraacutenyba elforgatjuk

mely oldalait laacutetjuk Rajzold be az aacutebraacuteba

Megoldaacutes


1 szint 2 szint 3 szint 4 szint 5 szint 6 szint 7 szint

24 kocka


24 kocka 20 16 12 8 4 1


35 Az aacutebraacuten neacutegy uumlvegedeacuteny laacutethatoacute

(Az 1-es pohaacuter hengernek a 2-es oumlbloumls reacuteszeacutenek alsoacute reacutesze feacutelgoumlmbnek tekinthető A 3-as jelű

kancsoacute szabaacutelytalan alakuacute a 4-es pohaacuter felső reacutesze pedig kuacutep formaacutejuacute)

Hataacuterozd meg hogy az egyes uumlvegedeacutenyekben melyik grafikon szerint vaacuteltozik a viacutez

magassaacutega az edeacutenybe oumlntoumltt viacutez mennyiseacutegeacutenek fuumlggveacutenyeacuteben

Megoldaacutes 1C 2A 3B 4D

36 Ica henger alakuacute boumlgreacuteje keacutetszer akkora aacutetmeacuterőjű de fele olyan magas mint Annamari

boumlgreacuteje Melyikbe feacuter toumlbb tea Vaacutelaszodat matematikai eacutervekkel taacutemaszd alaacute


Megoldaacutes

A henger teacuterfogata mr sdotπ2 Ha r duplaacutezoacutedik a teacuterfogat neacutegyszereseacutere vaacuteltozik miacuteg a

magassaacuteg felezeacuteseacutevel feleacutere csoumlkken Iacutegy az alacsonyabb boumlgreacutebe keacutetszer annyi feacuter


III Teacuterelemek taacutevolsaacutega hajlaacutesszoumlgek Moacutedszertani megjegyzeacutes Ezt az anyagreacuteszt ceacutelszerű Polydron segiacutetseacutegeacutevel csoportmunkaacuteban feldolgozni Kuumlloumlnboumlző testek (kocka tetraeacuteder neacutegyzetes alapuacute guacutela) kirakaacutesaacuteval felfedezhetjuumlk a tanuloacutekkal a teacuter-elemek taacutevolsaacutegaacutet (peacuteldaacuteul testmagassaacutegot) eacutes hajlaacutesszoumlgeacutet (peacuteldaacuteul guacutelaacuteban alaplap eacutes siacutek hajlaacutesszoumlge vagy kockaacuteban a testaacutetloacute eacutes oldaleacutel illetve testaacutetloacute eacutes lap hajlaacutesszoumlge) Lehetőseacute-guumlnk van meacutereacutesek veacutegzeacuteseacutere Az anyagi taacutergyak testek alakjaacutet eacutes tulajdonsaacutegait vizsgaacutelva toumlbb ezer eacutevvel ezelőtt elvonat-

koztataacutessal (absztrakcioacuteval) joumlttek leacutetre a geometria alapfogalmai A teacuter elemeinek (pontok

egyenesek siacutekok) jellemzeacuteseacutehez segiacutetseacuteget nyuacutejtanak az alaacutebbi oumlsszefoglaloacute jellegű meghataacute-

rozaacutesok A szemleacuteletesseacuteg kedveacuteeacutert egy kockaacuten mutatjuk be amiről szoacutet ejtuumlnk Az egyene-

seket jelen esetben azokkal a pontokkal nevezzuumlk meg amelyeken aacutetmennek A siacutekokat ha-

sonloacutean haacuterom pont egyeacutertelműen meghataacuterozza a rajtuk aacutetfektetett siacutekot

Keacutet egyenes koumllcsoumlnoumls helyzete a teacuterben lehet metsző paacuterhuzamos vagy kiteacute-

rő

Keacutet siacutek koumllcsoumlnoumls helyzete a teacuterben lehet paacuterhuzamos vagy

metsző

Egyenes eacutes siacutek koumllcsoumlnoumls helyzete a teacuterben lehet paacuterhuzamos vagy metsző

Taacutevolsaacutegok

Ponthalmazok siacutekidomok taacutevolsaacutegaacutenak aacuteltalaacutenos eacutertelmezeacutesekor a minimum megkereseacutese a

vezető elv

Pont eacutes egyenes taacutevolsaacutegaacuten a pontboacutel az egyenesre

bocsaacutetott merőleges szakasz hosszaacutet eacutertjuumlk

Pont eacutes siacutek taacutevolsaacutegaacuten a pontboacutel a siacutekra bocsaacutetott me-

rőleges szakasz hosszaacutet eacutertjuumlk Definiacutecioacute szerint egy


egyenes merőleges a siacutekra ha a siacutek oumlsszes egyeneseacutere merőleges A jeloumlleacutes azeacutert dupla dereacutek-

szoumlg mert igazolhatoacute a koumlvetkező aacutelliacutetaacutes ha egy egyenes merőleges a siacutek keacutet metsző egyene-

seacutere akkor merőleges a siacutekra vagyis a siacutek minden egyeneseacutere

Paacuterhuzamos egyenesek taacutevolsaacutegaacutet az őket oumlsszekoumltő

raacutejuk merőleges szakasz hossza adja Fogalmazhatunk

uacutegy is hogy az egyik egyenesen kivaacutelasztunk egy tetsző-

leges pontot eacutes ennek a pontnak a maacutesik egyenestől valoacute

taacutevolsaacutega adja a keacutet egyenes taacutevolsaacutegaacutet

Paacuterhuzamos siacutekok taacutevolsaacutegaacutet az őket oumlsszekoumltő raacutejuk

merőleges szakasz hossza adja Fogalmazhatunk uacutegy is

hogy az egyik siacutekon kivaacutelasztunk egy tetszőleges pon-

tot eacutes ennek a pontnak a maacutesik siacutektoacutel valoacute taacutevolsaacutega

adja a keacutet siacutek taacutevolsaacutegaacutet

Egyenes eacutes vele paacuterhuzamos siacutek taacutevolsaacutegaacutet az egyenesre eacutes a siacutekra egyaraacutent merőleges kouml-

zoumlttuumlk elhelyezkedő szakasz adja Fogalmazhatunk uacutegy is hogy az egyenesen kivaacutelasztunk

egy tetszőleges pontot eacutes ennek a pontnak a siacutektoacutel valoacute taacutevolsaacutega adja az egyenes eacutes a siacutek

taacutevolsaacutegaacutet

Hajlaacutesszoumlgek

Egyenes eacutes siacutek hajlaacutesszoumlgeacuten eacutertjuumlk az egyenes eacutes ennek a

siacutekra eső merőleges vetuumllete aacuteltal bezaacutert szoumlget Ha a

vetuumllet egy pont akkor az egyenes merőleges a siacutekra

Maacutes esetben az iacutegy kapott keacutepegyenes eacutes az eredeti

egyenes hajlaacutesszoumlge adja az egyenes eacutes a siacutek hajlaacutesszoumlgeacutet

Keacutet kiteacuterő egyenes hajlaacutesszoumlgeacutet a veluumlk paacuterhuzamos egymaacutest metsző egyenesek hajlaacutesszoumlge

adja


Keacutet siacutek hajlaacutesszoumlgeacutet uacutegy kapjuk hogy a metszeacutesvonalra

annak egy tetszőleges pontjaacuteban mindkeacutet siacutekban egy-egy

merőleges egyenest bocsaacutetunk Ennek a keacutet egyenesnek a

hajlaacutesszoumlge adja a keacutet siacutek hajlaacutesszoumlgeacutet Keacutet siacutek hajlaacutesszoumlge

dereacutekszoumlgneacutel nem nagyobb

Feladatok

Moacutedszertani megjegyzeacutes Fontos felismertetni hogy a guacutelaacuteban az oldallap eacutes az oldaleacutel az alaplappal maacutes-maacutes szoumlget zaacuter be

37 Rajzold be a koumlvetkező guacutelaacutekba a megfelelő szoumlgeket α alaplap eacutes oldallap szoumlge β

alaplap eacutes oldaleacutel szoumlge γ szomszeacutedos oldallapok hajlaacutesszoumlge Rajzold be a

testmagassaacutegot is

a) b) c)

38 Jeloumlld be a kockaacuten a koumlvetkező taacutevolsaacutegokat eacutes hajlaacutesszoumlgeket

a) B eacutes ADH siacutek taacutevolsaacutega

b) AG testaacutetloacute eacutes H csuacutecs taacutevolsaacutega

c) AG testaacutetloacute eacutes EFG siacutek hajlaacutesszoumlge

d) B csuacutecs taacutevolsaacutega AEG siacutektoacutel

e) B csuacutecs taacutevolsaacutega ADG siacutektoacutel

f) B taacutevolsaacutega DEG siacutektoacutel

g) AB eacutes BH testaacutetloacute hajlaacutesszoumlge

39 Jeloumlld meg a szabaacutelyos hatszoumlg alapuacute egyenes hasaacutebon a

koumlvetkező taacutevolsaacutegokat eacutes hajlaacutesszoumlgeket

a) d = testmagassaacuteg

b) α = a leghosszabb testaacutetloacute eacutes az alaplap hajlaacutesszoumlge

c) β = a leghosszabb testaacutetloacute eacutes az alapeacutel hajlaacutesszoumlge

d) γ = a leghosszabb testaacutetloacute eacutes az oldallap hajlaacutesszoumlge

A B

C D

E F

G H


IV Teacuterbeli szaacutemiacutetaacutesok Moacutedszertani megjegyzeacutes Ez a fejezet a teacuterfogat- eacutes felsziacutenszaacutemiacutetaacutes eacutes a trigonometriai (dereacutekszoumlges) feladatok előkeacute-sziacuteteacutese az aacuteltalaacutenos iskolai ismeretek szinten tartaacutesa miatt keruumllt a modulba Ha nincs raacute idő el is hagyhatoacute Szaacutemiacutetaacutesos feladatokat tartalmaz Pitagorasz-teacutetelre speciaacutelis haacuteromszoumlgekre A gyorsabban haladoacutekkal a kocka testaacutetloacutejaacutera a teacuterfogat- eacutes felsziacutenre vonatkozoacute feladatokat ajaacutenlott aacutetvenni

Mintapeacutelda1

Hataacuterozzuk meg a neacutegyzet alapuacute szabaacutelyos guacutela testmagassaacutegaacutet ha minden eacutele 10 cm hosszuacute

Megoldaacutes

A megfelelő dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg egyik

befogoacuteja M (testmagassaacuteg) maacutesik befogoacuteja az

alaplap aacutetloacutejaacutenak a fele azaz 252

2102

==d

A Pitagorasz-teacutetelt feliacuterva ( ) 2221025 =+ M

amiből

cmMMM 255050100225 22 ==rArr=rArr=+sdot

Ebből koumlvetkezik hogy a bejeloumllt haacuteromszoumlg egyenlőszaacuteruacute

Moacutedszertani megjegyzeacutes Egy maacutesik megoldaacutesi lehetőseacuteg az aacutebraacuteban bejeloumlljuumlk az alap csuacutecspontjai A B C a guacutela negyedik csuacutecspontja D Ekkor ABC cong ADC mert 2-2 oldaluk 10 a harmadik koumlzoumls az alaplap aacutetloacuteja rArr M = d2 = 5 2 Ebből az is koumlvetkezik hogy a szemkoumlztes oldaleacutelek merőlegesek egymaacutesra

Feladatok

40 Hataacuterozd meg a kocka testaacutetloacutejaacutenak hosszaacutet ha az eacutele

a) 10 cm b) 25 cm c) a egyseacuteg

Megoldaacutes a) 3217310 asymp cm b) 343325 asymp cm c) 3a

41 Hataacuterozd meg a szabaacutelyos hatszoumlg alapuacute egyenes hasaacuteb leghosszabb testaacutetloacutejaacutenak

hosszaacutet ha minden eacutele 12 dm

Megoldaacutes 8326720 asymp dm


Mintapeacutelda2

Szaacutemiacutetsd ki hogy a kockaacuteba iacutert goumlmboumln kiacutevuumlli bdquouumlres reacuteszrdquo haacuteny szaacutezaleacuteka a kocka teacuterfogataacute-

nak

Megoldaacutes

A kocka teacuterfogata a3 a kockaacuteba iacutert goumlmb sugara2a iacutegy annak teacuterfogata

33

6234 aa ππ =⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ Az uumlres reacutesz eacutes a kocka teacuterfogataacutenak araacutenya =

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ minus

=minus

3

3

3

33

61

6a

a

a

aaππ

64747606

1 rArr=minus= π

Feladatok

42 Szaacutemiacutetsd ki hogy a goumlmbbe iacutert kocka eseteacuten az uumlres reacutesz teacuterfogata haacuteny szaacutezaleacuteka

a) a goumlmb teacuterfogataacutenak (a goumlmb sugara R)

b) a kocka teacuterfogataacutenak (a kocka eacutele a)

Megoldaacutes A kuumlloumlnbseacuteg 33 7216472 aR =sdot ami a goumlmb teacuterfogataacutenak 632-a a kockaacuteeacutenak

172-a

43 Hataacuterozd meg milyen meacutelyen nyuacutelik a foumlld alaacute az aacutebraacuten laacutethatoacute piramis folyosoacuteja

aminek veacutegeacuten a piramiskamra talaacutelhatoacute

a) a = 120 m b = 32 m c = 18m

b) a = 13 dm b = 69 cm c = 53 cm

c) a = 2 m b = 98 cm c = 145 dm

Megoldaacutes cba minusminus 22 = a) 9765m b) 5717cm c)2934cm

44 A szabaacutelyos tetraeacuteder lapjaira iacuterd raacute a szaacutemokat 1-től 8-ig

uacutegy hogy baacutermelyik csuacutecsaacuteban talaacutelkozoacute neacutegy lapon a

szaacutemok oumlsszege 18 legyen


Megoldaacutes

45 Egy 6 cm eacutelhosszuacutesaacuteguacute kockaacutet hat eacuteleacutenek felezőpontjaira

fektetett siacutekkal ketteacutevaacutegunk az aacutebra szerint Rajzold le a vaacutegaacutes

utaacuten testek haacuteloacutejaacutet eacutes hataacuterozd meg a felsziacutenuumlket is

815432108 asymp+=A (cm2) Megoldaacutes

Moacutedszertani megjegyzeacutes A feladat kapcsaacuten aacutetvehetjuumlk a tanuloacutekkal a kocka siacutekmetszeteinek rendszerezeacuteseacutet Keacuteszuumllt egy program is amely ebben segiacutetseacuteguumlnkre lehet Feldolgozhatjuk a teacutemaacutet uacutegy is hogy haacutezi feladatban vagy csoportmunkaacuteban rendszereztetjuumlk a kocka kuumlloumlnbouml-ző sokszoumlg alakuacute siacutekmetszeteit aztaacuten frontaacutelisan eacuterteacutekeljuumlk a vaacutelaszokat

46 Egy hangya az A csuacutecsboacutel a B csuacutecspontba a lehető

regroumlvidebb uacuteton szeretne eljutni a neacutegyzet alapuacute

szabaacutelyos guacutela feluumlleteacuten az oldallapokon haladva A guacutela

minden eacutele 56 cm Mekkora utat kell megtennie

Megoldaacutes 97 cm

Moacutedszertani megjegyzeacutes A koumlvetkező keacutet peacuteldaacutehoz hasonloacute teacuterszemleacuteletet fejlesztő felada-tokboacutel feladatlap keacuteszuumllt amelyet kinyomtatva vagy kivetiacutetve hasznaacutelhatunk gyakorlaacuteshoz


47 Rajzold meg teacuterben azokat a testeket amelyeket feluumllről eacutes eloumllről neacutezve az alaacutebbi

aacutebraacuten laacutetjaacutetok Egy taacutergy egyeacutertelmű megjeleniacuteteacuteseacutehez elegendő-e keacutet oldalroacutel

raacuteneacutezni Mieacutert

Megoldaacutes


Megjegyzeacutes Keacutet neacutezetből aacuteltalaacuteban nem tudjuk meghataacuterozni a testet A 3 szaacutemuacute keacutep peacuteldaacuteul fekvő henger vagy haacuterom oldaluacute hasaacuteb keacutepe is lehet

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6


48 A neacutegy keacutep koumlzuumll melyik nem a neacutezete a koumlzeacutepen laacutethatoacute hat sziacutenes golyoacuteboacutel aacutelloacute ru-

goacutes testnek

Megoldaacutes b) Erdeacutely Jakab munkaacuteja

a) b)

d) c)


Kislexikon

Test haacuteloacuteja polieacutederek eseteacuten az a sokszoumlglap amelyet ha egy siacuteklapboacutel kivaacutegunk akkor


Henger adott az alapsiacutekon egy goumlrbe vonallal hataacuterolt siacutekidom (alaplap) eacutes egy egyenes

amely az alapsiacutekkal nem paacuterhuzamos Ha a goumlrbe minden pontjaacuten keresztuumll paacuterhuzamos

egyenest huacutezunk az adott egyenessel (alkotoacutek) akkor veacutegtelen hengerfeluumlletet kapunk Ezt

elmetszuumlk egy az alapsiacutekkal paacuterhuzamos siacutekkal (fedőlap) Az iacutegy keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt

nevezzuumlk hengernek Ha a goumlrbe koumlr a test neve koumlrhenger Egyenes koumlrhengerneacutel az adott

egyenes merőleges az alapsiacutekra A testet hataacuteroloacute goumlrbe feluumlletet palaacutestnak nevezzuumlk Az

alaplap eacutes a fedőlap siacutekjaacutenak taacutevolsaacutega adja a testmagassaacutegot

Kuacutep adott az alapsiacutekon egy goumlrbe vonallal hataacuterolt siacutekidom (alaplap) eacutes egy pont az alapsiacute-

kon kiacutevuumll (csuacutecspont) Ha a goumlrbe minden pontjaacutet egyenesekkel oumlsszekoumltjuumlk az adott ponttal

veacutegtelen kuacutepfeluumlletet kapunk Az iacutegy keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk kuacutepnak Ha a zaacutert

goumlrbe koumlr a test neve koumlrkuacutep Ha a pontnak az alaplap siacutekjaacutera eső merőleges vetuumllete az

alapkoumlr koumlzeacuteppontjaacuteba esik egyenes koumlrkuacutepot kapunk A testet hataacuteroloacute goumlrbe feluumlletet pa-

laacutestnak nevezzuumlk (egyenes koumlrkuacutep siacutekba kiteriacutetett palaacutestja koumlrcikk) a csuacutecspont eacutes a goumlrbe

aacuteltal meghataacuterozott egyeneseket pedig alkotoacuteknak A csuacutecsnak az alaplap siacutekjaacutetoacutel valoacute taacutevol-

saacutega a kuacutep magassaacutega

Az egyenes koumlrkuacutep nyiacutelaacutesszoumlge ha az egyenes koumlrkuacutepot elmetszuumlk egy olyan siacutekkal amely

a kuacutep testmagassaacutegaacutenak egyeneseacutet tartalmazza eacutes merőleges az alapkoumlr siacutekjaacutera akkor egyen-

lőszaacuteruacute haacuteromszoumlget kapunk (alapja az alapkoumlr aacutetmeacuterője szaacuterai a kuacutep alkotoacutei) A szaacuterak aacuteltal

bezaacutert szoumlget a kuacutep nyiacutelaacutesszoumlgeacutenek nevezzuumlk

Tetraeacuteder haacuteromszoumlg alapuacute guacutela

Csonkakuacutep Ha a kuacutepot elmetszuumlk egy az alaplappal paacuterhuzamos siacutekkal csonkakuacutepot ka-

punk Az alaplap eacutes a fedőlap siacutekjaacutenak taacutevolsaacutega adja a testmagassaacutegot


Hasaacuteb adott az alapsiacutekon egy sokszoumlg (alaplap) eacutes egy egyenes amely az alapsiacutekkal nem

paacuterhuzamos Ha a sokszoumlgvonal minden pontjaacuten keresztuumll paacuterhuzamost huacutezunk az adott

egyenessel hasaacutebfeluumlletet kapunk Ezt elmetsszuumlk egy az alapsiacutekkal paacuterhuzamos siacutekkal (fe-

dőlap) Az iacutegy keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk hasaacutebnak Egyenes hasaacutebnak nevezzuumlk

azt a hasaacutebot amelyneacutel az adott egyenes merőleges az alapsiacutekra Az oldallapokat egyuumltt pa-

laacutestnak nevezzuumlk Az alaplap eacutes a fedőlap siacutekjaacutenak taacutevolsaacutega adja a testmagassaacutegot

Guacutela adott az alapsiacutekon egy sokszoumlg (alaplap) eacutes egy pont az alapsiacutekon kiacutevuumll (csuacutecspont)

Ha a sokszoumlgvonal minden pontjaacutet egyenesekkel oumlsszekoumltjuumlk az adott ponttal veacutegtelen guacutela-

feluumlletet kapunk A keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk guacutelaacutenak A testmagassaacuteg az alaplap

siacutekjaacutenak eacutes a kuumllső csuacutecsnak a taacutevolsaacutega

Csonkaguacutela ha a guacutelaacutet elmetsszuumlk egy az alaplappal paacuterhuzamos siacutekkal csonkaguacutelaacutet ka-

punk Az alaplap siacutekjaacutenak a fedőlap siacutekjaacutetoacutel valoacute taacutevolsaacutega a csonkaguacutela testmagassaacutega

Szabaacutelyos guacutela szabaacutelyos sokszoumlg alapuacute egyenes guacutela


szakaszt a test teljes egeacuteszeacuteben tartalmazza

Konkaacutev test nem konvex azaz a testnek van legalaacutebb keacutet olyan pontja amelyeket oumlsszekoumltő

szakaszt a test nem teljes egeacuteszeacuteben tartalmazza

Izoeacuteder olyan test melynek minden lapja egybevaacutegoacute

Szabaacutelyos test olyan konvex polieacuteder amelyeknek eacutelei eacutelszoumlgei eacutes lapszoumlgei is egyenlők Oumlt

szabaacutelyos test van szabaacutelyos tetraeacuteder kocka oktaeacuteder dodekaeacuteder eacutes ikozaeacuteder

Testek teacuterfogata annak a teacuterreacutesznek a meacuterteacuteke amelyet a test hataacuteroloacute feluumllete bezaacuter

Testek felsziacutene a test hataacuteroloacute feluumlleteacutenek meacuterteacuteke


Kocka teacuterfogata 3aV = felsziacutene 26aA = (a a kocka eacutele)

Teacuteglatest teacuterfogata abcV = felsziacutene )(2 acbcabA ++= (a b eacutes c a teacuteglatest eacutelei)

Goumlmb teacuterfogata π3

34 rV = felsziacutene π24rA = (r a goumlmb sugara)

Henger teacuterfogata mrV π2= ahol r az alapkoumlr sugara m a testmagassaacuteg

felsziacutene )(2 mrrA += π

Hasaacuteb teacuterfogata mTV a sdot= V = Ta m (alapteruumllet testmagassaacuteg)

felsziacutene pa TTA += 2 (2alapteruumllet + palaacutest)

Pont eacutes egyenes taacutevolsaacutega a pontboacutel az egyenesre bocsaacutetott merőleges szakasz hossza

Pont eacutes siacutek taacutevolsaacutega a pontboacutel a siacutekra bocsaacutetott merőleges szakasz hossza

Paacuterhuzamos egyenesek taacutevolsaacutega az ezeket oumlsszekoumltő raacutejuk merőleges szakasz hossza

Kiteacuterő egyenesek taacutevolsaacutega a mindkeacutet siacutekra merőleges egyenes keacutet siacutek koumlzeacute eső szakaszaacutenak

hossza

Paacuterhuzamos siacutekok taacutevolsaacutega az ezeket oumlsszekoumltő raacutejuk merőleges szakasz hossza

Egyenes eacutes vele paacuterhuzamos siacutek taacutevolsaacutega az egyenes baacutermelyik pontjaacutenak eacutes a siacuteknak a

taacutevolsaacutega

Keacutet metsző egyenes hajlaacutesszoumlge az aacuteltaluk alkotott szoumlgek koumlzuumll a maacutesiknaacutel nem nagyobb

szoumlg


Egyenes eacutes siacutek hajlaacutesszoumlgeacutet uacutegy kapjuk meg hogy az egyenest merőlegesen levetiacutetjuumlk a siacutek-

ra Ha az egyenes vetuumllete egy pont akkor az egyenes merőleges a siacutekra Maacutes esetben az iacutegy

kapott vetuumlleti egyenes eacutes az eredeti egyenes hajlaacutesszoumlge adja az egyenes eacutes a siacutek hajlaacutesszoumlg-

eacutet

Keacutet kiteacuterő egyenes hajlaacutesszoumlge a veluumlk paacuterhuzamos egymaacutest metsző egyenesek hajlaacutesszouml-

ge

Keacutet siacutek hajlaacutesszoumlge a keacutet siacutek metszeacutesvonalaacutera annak egy tetszőleges pontjaacuteban mindkeacutet siacutek-

ban egy-egy merőleges egyenest aacutelliacutetunk Ennek a keacutet egyenesnek a hajlaacutesszoumlge adja a keacutet siacutek

hajlaacutesszoumlgeacutet


Erdeacutely Daacuteniel Spidron teacuterkitoumlltő rendszereacutevel keacute-

szuumllt polieacuteder (spiralloeacuteder)

Rinus Roelofs (holland keacutepzőműveacutesz) eacutes Erdeacutely Daacuteniel

A Spidron-rendszer alapjaacutet az aacutebraacuten laacutethatoacute haacuteromszoumlgekből is oumlsszeaacutelliacutethatoacute elem keacutepezi

Segiacutetseacutegeacutevel nemcsak heacutezagmentesen toumllthetjuumlk ki a siacutekot hanem a megfelelő aacutetloacutek menteacuten

oumlsszehajtva rendkiacutevuumll plasztikus teacuterkitoumllteacuteseket testeket nyeruumlnk

Kiss Gergő animaacutecioacutejaacutenak reacuteszletei 2005 copy Erdeacutely Daacuteniel


A Spidron-rendszerről reacuteszletesen taacutejeacutekozoacutedhatunk a wwwszinhazhuedanSpidroNew eacutes a

httpwwwszinhazhuedanspidronh honlapokon Ez utoacutebbin megtalaacutelhatoacute hogyan toumllthető

ki a teacuter a Spidronokboacutel előaacutelliacutethatoacute testekkel





lonaacuteban

















laacutelhatoacutek
























o egyebek






o goumlmboumlk

o egyebek

Feladat

























vezzuumlk

























szeacuteben































vezte



kapjuk







Megoldaacutes































2 mrV sdot= π

Feladatok


saacutera

Megoldaacutes



felsziacuten





Feladatok


a) b) c)



a) b) c) d) e)





a b



a) b) c) d)



eacuteleacutenek









a) b) c)

d)




őrizzuumlk

Megoldaacutes



a) b) c)

d) 1) 2)

3) 4)




a) 1)

b) 2)

c) 3)





a) b)

Megoldaacutes a) b)
















Megoldaacutes C








Megoldaacutes C




Megoldaacutes













Megoldaacutes








a) b) c)




szaacutemuk

a) b)

Megoldaacutes








molekulaacutenak

Megoldaacutes



szintű anyag





Megoldaacutes






Megoldaacutes D


















Megoldaacutes C











Megoldaacutes










Megoldaacutes



24 kocka


24 kocka 20 16 12 8 4 1











Megoldaacutes











rő


metsző




vezető elv






























adja







Feladatok





a) b) c)















A B

C D

E F

G H



Mintapeacutelda1


Megoldaacutes




2102

==d


amiből




Feladatok








Mintapeacutelda2


nak

Megoldaacutes


33

6234 aa ππ =⎟

⎠⎞⎜


⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ minus

=minus

3

3

3

33

61

6a

a

a

aaππ

64747606

1 rArr=minus= π

Feladatok





172-a



a) a = 120 m b = 32 m c = 18m

b) a = 13 dm b = 69 cm c = 53 cm

c) a = 2 m b = 98 cm c = 145 dm






Megoldaacutes










Megoldaacutes 97 cm






Megoldaacutes



1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6



goacutes testnek


a) b)

d) c)


Kislexikon





























































hossza



taacutevolsaacutega


szoumlg





eacutet


ge








lonaacuteban

















laacutelhatoacutek
























o egyebek






o goumlmboumlk

o egyebek

Feladat

























vezzuumlk

























szeacuteben































vezte



kapjuk







Megoldaacutes































2 mrV sdot= π

Feladatok


saacutera

Megoldaacutes



felsziacuten





Feladatok


a) b) c)



a) b) c) d) e)





a b



a) b) c) d)



eacuteleacutenek









a) b) c)

d)




őrizzuumlk

Megoldaacutes



a) b) c)

d) 1) 2)

3) 4)




a) 1)

b) 2)

c) 3)





a) b)

Megoldaacutes a) b)
















Megoldaacutes C








Megoldaacutes C




Megoldaacutes













Megoldaacutes








a) b) c)




szaacutemuk

a) b)

Megoldaacutes








molekulaacutenak

Megoldaacutes



szintű anyag





Megoldaacutes






Megoldaacutes D


















Megoldaacutes C











Megoldaacutes










Megoldaacutes



24 kocka


24 kocka 20 16 12 8 4 1











Megoldaacutes











rő


metsző




vezető elv






























adja







Feladatok





a) b) c)















A B

C D

E F

G H



Mintapeacutelda1


Megoldaacutes




2102

==d


amiből




Feladatok








Mintapeacutelda2


nak

Megoldaacutes


33

6234 aa ππ =⎟

⎠⎞⎜


⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ minus

=minus

3

3

3

33

61

6a

a

a

aaππ

64747606

1 rArr=minus= π

Feladatok





172-a



a) a = 120 m b = 32 m c = 18m

b) a = 13 dm b = 69 cm c = 53 cm

c) a = 2 m b = 98 cm c = 145 dm






Megoldaacutes










Megoldaacutes 97 cm






Megoldaacutes



1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6



goacutes testnek


a) b)

d) c)


Kislexikon





























































hossza



taacutevolsaacutega


szoumlg





eacutet


ge



























o egyebek






o goumlmboumlk

o egyebek

Feladat

























vezzuumlk

























szeacuteben































vezte



kapjuk







Megoldaacutes































2 mrV sdot= π

Feladatok


saacutera

Megoldaacutes



felsziacuten





Feladatok


a) b) c)



a) b) c) d) e)





a b



a) b) c) d)



eacuteleacutenek









a) b) c)

d)




őrizzuumlk

Megoldaacutes



a) b) c)

d) 1) 2)

3) 4)




a) 1)

b) 2)

c) 3)





a) b)

Megoldaacutes a) b)
















Megoldaacutes C








Megoldaacutes C




Megoldaacutes













Megoldaacutes








a) b) c)




szaacutemuk

a) b)

Megoldaacutes








molekulaacutenak

Megoldaacutes



szintű anyag





Megoldaacutes






Megoldaacutes D


















Megoldaacutes C











Megoldaacutes










Megoldaacutes



24 kocka


24 kocka 20 16 12 8 4 1











Megoldaacutes











rő


metsző




vezető elv






























adja







Feladatok





a) b) c)















A B

C D

E F

G H



Mintapeacutelda1


Megoldaacutes




2102

==d


amiből




Feladatok








Mintapeacutelda2


nak

Megoldaacutes


33

6234 aa ππ =⎟

⎠⎞⎜


⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ minus

=minus

3

3

3

33

61

6a

a

a

aaππ

64747606

1 rArr=minus= π

Feladatok





172-a



a) a = 120 m b = 32 m c = 18m

b) a = 13 dm b = 69 cm c = 53 cm

c) a = 2 m b = 98 cm c = 145 dm






Megoldaacutes










Megoldaacutes 97 cm






Megoldaacutes



1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6



goacutes testnek


a) b)

d) c)


Kislexikon





























































hossza



taacutevolsaacutega


szoumlg





eacutet


ge



























vezzuumlk

























szeacuteben































vezte



kapjuk







Megoldaacutes































2 mrV sdot= π

Feladatok


saacutera

Megoldaacutes



felsziacuten





Feladatok


a) b) c)



a) b) c) d) e)





a b



a) b) c) d)



eacuteleacutenek









a) b) c)

d)




őrizzuumlk

Megoldaacutes



a) b) c)

d) 1) 2)

3) 4)




a) 1)

b) 2)

c) 3)





a) b)

Megoldaacutes a) b)
















Megoldaacutes C








Megoldaacutes C




Megoldaacutes













Megoldaacutes








a) b) c)




szaacutemuk

a) b)

Megoldaacutes








molekulaacutenak

Megoldaacutes



szintű anyag





Megoldaacutes






Megoldaacutes D


















Megoldaacutes C











Megoldaacutes










Megoldaacutes



24 kocka


24 kocka 20 16 12 8 4 1











Megoldaacutes











rő


metsző




vezető elv






























adja







Feladatok





a) b) c)















A B

C D

E F

G H



Mintapeacutelda1


Megoldaacutes




2102

==d


amiből




Feladatok








Mintapeacutelda2


nak

Megoldaacutes


33

6234 aa ππ =⎟

⎠⎞⎜


⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ minus

=minus

3

3

3

33

61

6a

a

a

aaππ

64747606

1 rArr=minus= π

Feladatok





172-a



a) a = 120 m b = 32 m c = 18m

b) a = 13 dm b = 69 cm c = 53 cm

c) a = 2 m b = 98 cm c = 145 dm






Megoldaacutes










Megoldaacutes 97 cm






Megoldaacutes



1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6



goacutes testnek


a) b)

d) c)


Kislexikon





























































hossza



taacutevolsaacutega


szoumlg





eacutet


ge
















szeacuteben































vezte



kapjuk







Megoldaacutes































2 mrV sdot= π

Feladatok


saacutera

Megoldaacutes



felsziacuten





Feladatok


a) b) c)



a) b) c) d) e)





a b



a) b) c) d)



eacuteleacutenek









a) b) c)

d)




őrizzuumlk

Megoldaacutes



a) b) c)

d) 1) 2)

3) 4)




a) 1)

b) 2)

c) 3)





a) b)

Megoldaacutes a) b)
















Megoldaacutes C








Megoldaacutes C




Megoldaacutes













Megoldaacutes








a) b) c)




szaacutemuk

a) b)

Megoldaacutes








molekulaacutenak

Megoldaacutes



szintű anyag





Megoldaacutes






Megoldaacutes D


















Megoldaacutes C











Megoldaacutes










Megoldaacutes



24 kocka


24 kocka 20 16 12 8 4 1











Megoldaacutes











rő


metsző




vezető elv






























adja







Feladatok





a) b) c)















A B

C D

E F

G H



Mintapeacutelda1


Megoldaacutes




2102

==d


amiből




Feladatok








Mintapeacutelda2


nak

Megoldaacutes


33

6234 aa ππ =⎟

⎠⎞⎜


⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ minus

=minus

3

3

3

33

61

6a

a

a

aaππ

64747606

1 rArr=minus= π

Feladatok





172-a



a) a = 120 m b = 32 m c = 18m

b) a = 13 dm b = 69 cm c = 53 cm

c) a = 2 m b = 98 cm c = 145 dm






Megoldaacutes










Megoldaacutes 97 cm






Megoldaacutes



1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6



goacutes testnek


a) b)

d) c)


Kislexikon





























































hossza



taacutevolsaacutega


szoumlg





eacutet


ge




























vezte



kapjuk







Megoldaacutes































2 mrV sdot= π

Feladatok


saacutera

Megoldaacutes



felsziacuten





Feladatok


a) b) c)



a) b) c) d) e)





a b



a) b) c) d)



eacuteleacutenek









a) b) c)

d)




őrizzuumlk

Megoldaacutes



a) b) c)

d) 1) 2)

3) 4)




a) 1)

b) 2)

c) 3)





a) b)

Megoldaacutes a) b)
















Megoldaacutes C








Megoldaacutes C




Megoldaacutes













Megoldaacutes








a) b) c)




szaacutemuk

a) b)

Megoldaacutes








molekulaacutenak

Megoldaacutes



szintű anyag





Megoldaacutes






Megoldaacutes D


















Megoldaacutes C











Megoldaacutes










Megoldaacutes



24 kocka


24 kocka 20 16 12 8 4 1











Megoldaacutes











rő


metsző




vezető elv






























adja







Feladatok





a) b) c)















A B

C D

E F

G H



Mintapeacutelda1


Megoldaacutes




2102

==d


amiből




Feladatok








Mintapeacutelda2


nak

Megoldaacutes


33

6234 aa ππ =⎟

⎠⎞⎜


⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ minus

=minus

3

3

3

33

61

6a

a

a

aaππ

64747606

1 rArr=minus= π

Feladatok





172-a



a) a = 120 m b = 32 m c = 18m

b) a = 13 dm b = 69 cm c = 53 cm

c) a = 2 m b = 98 cm c = 145 dm






Megoldaacutes










Megoldaacutes 97 cm






Megoldaacutes



1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6



goacutes testnek


a) b)

d) c)


Kislexikon





























































hossza



taacutevolsaacutega


szoumlg





eacutet


ge




























2 mrV sdot= π

Feladatok


saacutera

Megoldaacutes



felsziacuten





Feladatok


a) b) c)



a) b) c) d) e)





a b



a) b) c) d)



eacuteleacutenek









a) b) c)

d)




őrizzuumlk

Megoldaacutes



a) b) c)

d) 1) 2)

3) 4)




a) 1)

b) 2)

c) 3)





a) b)

Megoldaacutes a) b)
















Megoldaacutes C








Megoldaacutes C




Megoldaacutes













Megoldaacutes








a) b) c)




szaacutemuk

a) b)

Megoldaacutes








molekulaacutenak

Megoldaacutes



szintű anyag





Megoldaacutes






Megoldaacutes D


















Megoldaacutes C











Megoldaacutes










Megoldaacutes



24 kocka


24 kocka 20 16 12 8 4 1











Megoldaacutes











rő


metsző




vezető elv






























adja







Feladatok





a) b) c)















A B

C D

E F

G H



Mintapeacutelda1


Megoldaacutes




2102

==d


amiből




Feladatok








Mintapeacutelda2


nak

Megoldaacutes


33

6234 aa ππ =⎟

⎠⎞⎜


⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ minus

=minus

3

3

3

33

61

6a

a

a

aaππ

64747606

1 rArr=minus= π

Feladatok





172-a



a) a = 120 m b = 32 m c = 18m

b) a = 13 dm b = 69 cm c = 53 cm

c) a = 2 m b = 98 cm c = 145 dm






Megoldaacutes










Megoldaacutes 97 cm






Megoldaacutes



1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6



goacutes testnek


a) b)

d) c)


Kislexikon





























































hossza



taacutevolsaacutega


szoumlg





eacutet


ge






Feladatok


a) b) c)



a) b) c) d) e)





a b



a) b) c) d)



eacuteleacutenek









a) b) c)

d)




őrizzuumlk

Megoldaacutes



a) b) c)

d) 1) 2)

3) 4)




a) 1)

b) 2)

c) 3)





a) b)

Megoldaacutes a) b)
















Megoldaacutes C








Megoldaacutes C




Megoldaacutes













Megoldaacutes








a) b) c)




szaacutemuk

a) b)

Megoldaacutes








molekulaacutenak

Megoldaacutes



szintű anyag





Megoldaacutes






Megoldaacutes D


















Megoldaacutes C











Megoldaacutes










Megoldaacutes



24 kocka


24 kocka 20 16 12 8 4 1











Megoldaacutes











rő


metsző




vezető elv






























adja







Feladatok





a) b) c)















A B

C D

E F

G H



Mintapeacutelda1


Megoldaacutes




2102

==d


amiből




Feladatok








Mintapeacutelda2


nak

Megoldaacutes


33

6234 aa ππ =⎟

⎠⎞⎜


⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ minus

=minus

3

3

3

33

61

6a

a

a

aaππ

64747606

1 rArr=minus= π

Feladatok





172-a



a) a = 120 m b = 32 m c = 18m

b) a = 13 dm b = 69 cm c = 53 cm

c) a = 2 m b = 98 cm c = 145 dm






Megoldaacutes










Megoldaacutes 97 cm






Megoldaacutes



1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6



goacutes testnek


a) b)

d) c)


Kislexikon





























































hossza



taacutevolsaacutega


szoumlg





eacutet


ge






a) b) c) d)



eacuteleacutenek









a) b) c)

d)




őrizzuumlk

Megoldaacutes



a) b) c)

d) 1) 2)

3) 4)




a) 1)

b) 2)

c) 3)





a) b)

Megoldaacutes a) b)
















Megoldaacutes C








Megoldaacutes C




Megoldaacutes













Megoldaacutes








a) b) c)




szaacutemuk

a) b)

Megoldaacutes








molekulaacutenak

Megoldaacutes



szintű anyag





Megoldaacutes






Megoldaacutes D


















Megoldaacutes C











Megoldaacutes










Megoldaacutes



24 kocka


24 kocka 20 16 12 8 4 1











Megoldaacutes











rő


metsző




vezető elv






























adja







Feladatok





a) b) c)















A B

C D

E F

G H



Mintapeacutelda1


Megoldaacutes




2102

==d


amiből




Feladatok








Mintapeacutelda2


nak

Megoldaacutes


33

6234 aa ππ =⎟

⎠⎞⎜


⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ minus

=minus

3

3

3

33

61

6a

a

a

aaππ

64747606

1 rArr=minus= π

Feladatok





172-a



a) a = 120 m b = 32 m c = 18m

b) a = 13 dm b = 69 cm c = 53 cm

c) a = 2 m b = 98 cm c = 145 dm






Megoldaacutes










Megoldaacutes 97 cm






Megoldaacutes



1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6



goacutes testnek


a) b)

d) c)


Kislexikon





























































hossza



taacutevolsaacutega


szoumlg





eacutet


ge






a) b) c)

d)




őrizzuumlk

Megoldaacutes



a) b) c)

d) 1) 2)

3) 4)




a) 1)

b) 2)

c) 3)





a) b)

Megoldaacutes a) b)
















Megoldaacutes C








Megoldaacutes C




Megoldaacutes













Megoldaacutes








a) b) c)




szaacutemuk

a) b)

Megoldaacutes








molekulaacutenak

Megoldaacutes



szintű anyag





Megoldaacutes






Megoldaacutes D


















Megoldaacutes C











Megoldaacutes










Megoldaacutes



24 kocka


24 kocka 20 16 12 8 4 1











Megoldaacutes











rő


metsző




vezető elv






























adja







Feladatok





a) b) c)















A B

C D

E F

G H



Mintapeacutelda1


Megoldaacutes




2102

==d


amiből




Feladatok








Mintapeacutelda2


nak

Megoldaacutes


33

6234 aa ππ =⎟

⎠⎞⎜


⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ minus

=minus

3

3

3

33

61

6a

a

a

aaππ

64747606

1 rArr=minus= π

Feladatok





172-a



a) a = 120 m b = 32 m c = 18m

b) a = 13 dm b = 69 cm c = 53 cm

c) a = 2 m b = 98 cm c = 145 dm






Megoldaacutes










Megoldaacutes 97 cm






Megoldaacutes



1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6



goacutes testnek


a) b)

d) c)


Kislexikon





























































hossza



taacutevolsaacutega


szoumlg





eacutet


ge






a) b) c)

d) 1) 2)

3) 4)




a) 1)

b) 2)

c) 3)





a) b)

Megoldaacutes a) b)
















Megoldaacutes C








Megoldaacutes C




Megoldaacutes













Megoldaacutes








a) b) c)




szaacutemuk

a) b)

Megoldaacutes








molekulaacutenak

Megoldaacutes



szintű anyag





Megoldaacutes






Megoldaacutes D


















Megoldaacutes C











Megoldaacutes










Megoldaacutes



24 kocka


24 kocka 20 16 12 8 4 1











Megoldaacutes











rő


metsző




vezető elv






























adja







Feladatok





a) b) c)















A B

C D

E F

G H



Mintapeacutelda1


Megoldaacutes




2102

==d


amiből




Feladatok








Mintapeacutelda2


nak

Megoldaacutes


33

6234 aa ππ =⎟

⎠⎞⎜


⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ minus

=minus

3

3

3

33

61

6a

a

a

aaππ

64747606

1 rArr=minus= π

Feladatok





172-a



a) a = 120 m b = 32 m c = 18m

b) a = 13 dm b = 69 cm c = 53 cm

c) a = 2 m b = 98 cm c = 145 dm






Megoldaacutes










Megoldaacutes 97 cm






Megoldaacutes



1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6



goacutes testnek


a) b)

d) c)


Kislexikon





























































hossza



taacutevolsaacutega


szoumlg





eacutet


ge






a) 1)

b) 2)

c) 3)





a) b)

Megoldaacutes a) b)
















Megoldaacutes C








Megoldaacutes C




Megoldaacutes













Megoldaacutes








a) b) c)




szaacutemuk

a) b)

Megoldaacutes








molekulaacutenak

Megoldaacutes



szintű anyag





Megoldaacutes






Megoldaacutes D


















Megoldaacutes C











Megoldaacutes










Megoldaacutes



24 kocka


24 kocka 20 16 12 8 4 1











Megoldaacutes











rő


metsző




vezető elv






























adja







Feladatok





a) b) c)















A B

C D

E F

G H



Mintapeacutelda1


Megoldaacutes




2102

==d


amiből




Feladatok








Mintapeacutelda2


nak

Megoldaacutes


33

6234 aa ππ =⎟

⎠⎞⎜


⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ minus

=minus

3

3

3

33

61

6a

a

a

aaππ

64747606

1 rArr=minus= π

Feladatok





172-a



a) a = 120 m b = 32 m c = 18m

b) a = 13 dm b = 69 cm c = 53 cm

c) a = 2 m b = 98 cm c = 145 dm






Megoldaacutes










Megoldaacutes 97 cm






Megoldaacutes



1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6



goacutes testnek


a) b)

d) c)


Kislexikon





























































hossza



taacutevolsaacutega


szoumlg





eacutet


ge







a) b)

Megoldaacutes a) b)
















Megoldaacutes C








Megoldaacutes C




Megoldaacutes













Megoldaacutes








a) b) c)




szaacutemuk

a) b)

Megoldaacutes








molekulaacutenak

Megoldaacutes



szintű anyag





Megoldaacutes






Megoldaacutes D


















Megoldaacutes C











Megoldaacutes










Megoldaacutes



24 kocka


24 kocka 20 16 12 8 4 1











Megoldaacutes











rő


metsző




vezető elv






























adja







Feladatok





a) b) c)















A B

C D

E F

G H



Mintapeacutelda1


Megoldaacutes




2102

==d


amiből




Feladatok








Mintapeacutelda2


nak

Megoldaacutes


33

6234 aa ππ =⎟

⎠⎞⎜


⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ minus

=minus

3

3

3

33

61

6a

a

a

aaππ

64747606

1 rArr=minus= π

Feladatok





172-a



a) a = 120 m b = 32 m c = 18m

b) a = 13 dm b = 69 cm c = 53 cm

c) a = 2 m b = 98 cm c = 145 dm






Megoldaacutes










Megoldaacutes 97 cm






Megoldaacutes



1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6



goacutes testnek


a) b)

d) c)


Kislexikon





























































hossza



taacutevolsaacutega


szoumlg





eacutet


ge











Megoldaacutes C








Megoldaacutes C




Megoldaacutes













Megoldaacutes








a) b) c)




szaacutemuk

a) b)

Megoldaacutes








molekulaacutenak

Megoldaacutes



szintű anyag





Megoldaacutes






Megoldaacutes D


















Megoldaacutes C











Megoldaacutes










Megoldaacutes



24 kocka


24 kocka 20 16 12 8 4 1











Megoldaacutes











rő


metsző




vezető elv






























adja







Feladatok





a) b) c)















A B

C D

E F

G H



Mintapeacutelda1


Megoldaacutes




2102

==d


amiből




Feladatok








Mintapeacutelda2


nak

Megoldaacutes


33

6234 aa ππ =⎟

⎠⎞⎜


⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ minus

=minus

3

3

3

33

61

6a

a

a

aaππ

64747606

1 rArr=minus= π

Feladatok





172-a



a) a = 120 m b = 32 m c = 18m

b) a = 13 dm b = 69 cm c = 53 cm

c) a = 2 m b = 98 cm c = 145 dm






Megoldaacutes










Megoldaacutes 97 cm






Megoldaacutes



1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6



goacutes testnek


a) b)

d) c)


Kislexikon





























































hossza



taacutevolsaacutega


szoumlg





eacutet


ge







Megoldaacutes













Megoldaacutes








a) b) c)




szaacutemuk

a) b)

Megoldaacutes








molekulaacutenak

Megoldaacutes



szintű anyag





Megoldaacutes






Megoldaacutes D


















Megoldaacutes C











Megoldaacutes










Megoldaacutes



24 kocka


24 kocka 20 16 12 8 4 1











Megoldaacutes











rő


metsző




vezető elv






























adja







Feladatok





a) b) c)















A B

C D

E F

G H



Mintapeacutelda1


Megoldaacutes




2102

==d


amiből




Feladatok








Mintapeacutelda2


nak

Megoldaacutes


33

6234 aa ππ =⎟

⎠⎞⎜


⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ minus

=minus

3

3

3

33

61

6a

a

a

aaππ

64747606

1 rArr=minus= π

Feladatok





172-a



a) a = 120 m b = 32 m c = 18m

b) a = 13 dm b = 69 cm c = 53 cm

c) a = 2 m b = 98 cm c = 145 dm






Megoldaacutes










Megoldaacutes 97 cm






Megoldaacutes



1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6



goacutes testnek


a) b)

d) c)


Kislexikon





























































hossza



taacutevolsaacutega


szoumlg





eacutet


ge







Megoldaacutes








a) b) c)




szaacutemuk

a) b)

Megoldaacutes








molekulaacutenak

Megoldaacutes



szintű anyag





Megoldaacutes






Megoldaacutes D


















Megoldaacutes C











Megoldaacutes










Megoldaacutes



24 kocka


24 kocka 20 16 12 8 4 1











Megoldaacutes











rő


metsző




vezető elv






























adja







Feladatok





a) b) c)















A B

C D

E F

G H



Mintapeacutelda1


Megoldaacutes




2102

==d


amiből




Feladatok








Mintapeacutelda2


nak

Megoldaacutes


33

6234 aa ππ =⎟

⎠⎞⎜


⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ minus

=minus

3

3

3

33

61

6a

a

a

aaππ

64747606

1 rArr=minus= π

Feladatok





172-a



a) a = 120 m b = 32 m c = 18m

b) a = 13 dm b = 69 cm c = 53 cm

c) a = 2 m b = 98 cm c = 145 dm






Megoldaacutes










Megoldaacutes 97 cm






Megoldaacutes



1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6



goacutes testnek


a) b)

d) c)


Kislexikon





























































hossza



taacutevolsaacutega


szoumlg





eacutet


ge






szaacutemuk

a) b)

Megoldaacutes








molekulaacutenak

Megoldaacutes



szintű anyag





Megoldaacutes






Megoldaacutes D


















Megoldaacutes C











Megoldaacutes










Megoldaacutes



24 kocka


24 kocka 20 16 12 8 4 1











Megoldaacutes











rő


metsző




vezető elv






























adja







Feladatok





a) b) c)















A B

C D

E F

G H



Mintapeacutelda1


Megoldaacutes




2102

==d


amiből




Feladatok








Mintapeacutelda2


nak

Megoldaacutes


33

6234 aa ππ =⎟

⎠⎞⎜


⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ minus

=minus

3

3

3

33

61

6a

a

a

aaππ

64747606

1 rArr=minus= π

Feladatok





172-a



a) a = 120 m b = 32 m c = 18m

b) a = 13 dm b = 69 cm c = 53 cm

c) a = 2 m b = 98 cm c = 145 dm






Megoldaacutes










Megoldaacutes 97 cm






Megoldaacutes



1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6



goacutes testnek


a) b)

d) c)


Kislexikon





























































hossza



taacutevolsaacutega


szoumlg





eacutet


ge





Megoldaacutes






Megoldaacutes D


















Megoldaacutes C











Megoldaacutes










Megoldaacutes



24 kocka


24 kocka 20 16 12 8 4 1











Megoldaacutes











rő


metsző




vezető elv






























adja







Feladatok





a) b) c)















A B

C D

E F

G H



Mintapeacutelda1


Megoldaacutes




2102

==d


amiből




Feladatok








Mintapeacutelda2


nak

Megoldaacutes


33

6234 aa ππ =⎟

⎠⎞⎜


⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ minus

=minus

3

3

3

33

61

6a

a

a

aaππ

64747606

1 rArr=minus= π

Feladatok





172-a



a) a = 120 m b = 32 m c = 18m

b) a = 13 dm b = 69 cm c = 53 cm

c) a = 2 m b = 98 cm c = 145 dm






Megoldaacutes










Megoldaacutes 97 cm






Megoldaacutes



1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6



goacutes testnek


a) b)

d) c)


Kislexikon





























































hossza



taacutevolsaacutega


szoumlg





eacutet


ge
















Megoldaacutes C











Megoldaacutes










Megoldaacutes



24 kocka


24 kocka 20 16 12 8 4 1











Megoldaacutes











rő


metsző




vezető elv






























adja







Feladatok





a) b) c)















A B

C D

E F

G H



Mintapeacutelda1


Megoldaacutes




2102

==d


amiből




Feladatok








Mintapeacutelda2


nak

Megoldaacutes


33

6234 aa ππ =⎟

⎠⎞⎜


⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ minus

=minus

3

3

3

33

61

6a

a

a

aaππ

64747606

1 rArr=minus= π

Feladatok





172-a



a) a = 120 m b = 32 m c = 18m

b) a = 13 dm b = 69 cm c = 53 cm

c) a = 2 m b = 98 cm c = 145 dm






Megoldaacutes










Megoldaacutes 97 cm






Megoldaacutes



1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6



goacutes testnek


a) b)

d) c)


Kislexikon





























































hossza



taacutevolsaacutega


szoumlg





eacutet


ge











Megoldaacutes










Megoldaacutes



24 kocka


24 kocka 20 16 12 8 4 1











Megoldaacutes











rő


metsző




vezető elv






























adja







Feladatok





a) b) c)















A B

C D

E F

G H



Mintapeacutelda1


Megoldaacutes




2102

==d


amiből




Feladatok








Mintapeacutelda2


nak

Megoldaacutes


33

6234 aa ππ =⎟

⎠⎞⎜


⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ minus

=minus

3

3

3

33

61

6a

a

a

aaππ

64747606

1 rArr=minus= π

Feladatok





172-a



a) a = 120 m b = 32 m c = 18m

b) a = 13 dm b = 69 cm c = 53 cm

c) a = 2 m b = 98 cm c = 145 dm






Megoldaacutes










Megoldaacutes 97 cm






Megoldaacutes



1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6



goacutes testnek


a) b)

d) c)


Kislexikon





























































hossza



taacutevolsaacutega


szoumlg





eacutet


ge














Megoldaacutes











rő


metsző




vezető elv






























adja







Feladatok





a) b) c)















A B

C D

E F

G H



Mintapeacutelda1


Megoldaacutes




2102

==d


amiből




Feladatok








Mintapeacutelda2


nak

Megoldaacutes


33

6234 aa ππ =⎟

⎠⎞⎜


⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ minus

=minus

3

3

3

33

61

6a

a

a

aaππ

64747606

1 rArr=minus= π

Feladatok





172-a



a) a = 120 m b = 32 m c = 18m

b) a = 13 dm b = 69 cm c = 53 cm

c) a = 2 m b = 98 cm c = 145 dm






Megoldaacutes










Megoldaacutes 97 cm






Megoldaacutes



1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6



goacutes testnek


a) b)

d) c)


Kislexikon





























































hossza



taacutevolsaacutega


szoumlg





eacutet


ge












rő


metsző




vezető elv






























adja







Feladatok





a) b) c)















A B

C D

E F

G H



Mintapeacutelda1


Megoldaacutes




2102

==d


amiből




Feladatok








Mintapeacutelda2


nak

Megoldaacutes


33

6234 aa ππ =⎟

⎠⎞⎜


⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ minus

=minus

3

3

3

33

61

6a

a

a

aaππ

64747606

1 rArr=minus= π

Feladatok





172-a



a) a = 120 m b = 32 m c = 18m

b) a = 13 dm b = 69 cm c = 53 cm

c) a = 2 m b = 98 cm c = 145 dm






Megoldaacutes










Megoldaacutes 97 cm






Megoldaacutes



1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6



goacutes testnek


a) b)

d) c)


Kislexikon





























































hossza



taacutevolsaacutega


szoumlg





eacutet


ge





























adja







Feladatok





a) b) c)















A B

C D

E F

G H



Mintapeacutelda1


Megoldaacutes




2102

==d


amiből




Feladatok








Mintapeacutelda2


nak

Megoldaacutes


33

6234 aa ππ =⎟

⎠⎞⎜


⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ minus

=minus

3

3

3

33

61

6a

a

a

aaππ

64747606

1 rArr=minus= π

Feladatok





172-a



a) a = 120 m b = 32 m c = 18m

b) a = 13 dm b = 69 cm c = 53 cm

c) a = 2 m b = 98 cm c = 145 dm






Megoldaacutes










Megoldaacutes 97 cm






Megoldaacutes



1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6



goacutes testnek


a) b)

d) c)


Kislexikon





























































hossza



taacutevolsaacutega


szoumlg





eacutet


ge










Feladatok





a) b) c)















A B

C D

E F

G H



Mintapeacutelda1


Megoldaacutes




2102

==d


amiből




Feladatok








Mintapeacutelda2


nak

Megoldaacutes


33

6234 aa ππ =⎟

⎠⎞⎜


⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ minus

=minus

3

3

3

33

61

6a

a

a

aaππ

64747606

1 rArr=minus= π

Feladatok





172-a



a) a = 120 m b = 32 m c = 18m

b) a = 13 dm b = 69 cm c = 53 cm

c) a = 2 m b = 98 cm c = 145 dm






Megoldaacutes










Megoldaacutes 97 cm






Megoldaacutes



1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6



goacutes testnek


a) b)

d) c)


Kislexikon





























































hossza



taacutevolsaacutega


szoumlg





eacutet


ge






Mintapeacutelda1


Megoldaacutes




2102

==d


amiből




Feladatok








Mintapeacutelda2


nak

Megoldaacutes


33

6234 aa ππ =⎟

⎠⎞⎜


⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ minus

=minus

3

3

3

33

61

6a

a

a

aaππ

64747606

1 rArr=minus= π

Feladatok





172-a



a) a = 120 m b = 32 m c = 18m

b) a = 13 dm b = 69 cm c = 53 cm

c) a = 2 m b = 98 cm c = 145 dm






Megoldaacutes










Megoldaacutes 97 cm






Megoldaacutes



1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6



goacutes testnek


a) b)

d) c)


Kislexikon





























































hossza



taacutevolsaacutega


szoumlg





eacutet


ge





Mintapeacutelda2


nak

Megoldaacutes


33

6234 aa ππ =⎟

⎠⎞⎜


⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ minus

=minus

3

3

3

33

61

6a

a

a

aaππ

64747606

1 rArr=minus= π

Feladatok





172-a



a) a = 120 m b = 32 m c = 18m

b) a = 13 dm b = 69 cm c = 53 cm

c) a = 2 m b = 98 cm c = 145 dm






Megoldaacutes










Megoldaacutes 97 cm






Megoldaacutes



1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6



goacutes testnek


a) b)

d) c)


Kislexikon





























































hossza



taacutevolsaacutega


szoumlg





eacutet


ge





Megoldaacutes










Megoldaacutes 97 cm






Megoldaacutes



1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6



goacutes testnek


a) b)

d) c)


Kislexikon





























































hossza



taacutevolsaacutega


szoumlg





eacutet


ge








Megoldaacutes



1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6



goacutes testnek


a) b)

d) c)


Kislexikon





























































hossza



taacutevolsaacutega


szoumlg





eacutet


ge






goacutes testnek


a) b)

d) c)


Kislexikon





























































hossza



taacutevolsaacutega


szoumlg





eacutet


ge





Kislexikon





























































hossza



taacutevolsaacutega


szoumlg





eacutet


ge








































hossza



taacutevolsaacutega


szoumlg





eacutet


ge








eacutet


ge




i. a testek ábrázolása,...

Documents