AritmeetikaHTOS.02.451

Loengukonspekt

Koostajad: Anu PaluEvely Leetma

Tartu 2007

Sisukord

1 Naturaalarvud 3

1.1 Tehted naturaalarvudega . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Peastarvutamise võtteid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3 Kirjalik arvutamine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4 Naturaalarvude jaguvus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 Arvusüsteemid. 18

2.1 Kümnendsüsteem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2 Kümnendsüsteemist erinevad arvusüsteemid . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3 Arvusüsteemide kujunemise ajaloost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3 Arvuhulgad 27

3.1 Naturaalarvud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2 Murdarvud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.3 Negatiivsed arvud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.4 Ratsionaalarvud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.5 Irratsionaalarvud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.6 Reaalarvud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.7 Arvuhulkade omadused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4 Hulgateooria elemendid 32

4.1 Matemaatilise loogika elemendid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.2 Hulga mõiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.3 Tehted hulkadega . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

5 Tekstülesannete lahendamine aritmeetiliselt 41

PEATÜKK 1

Naturaalarvud

1.1. Tehted naturaalarvudega

Naturaalarvudena mõistame arve 0, 1, 2, 3, . . .. Naturaalarve saab kujutada arvkiire punk-tidena.

0 1 2 3 4 5 6

Iga kahe naturaalarvu m ja n korral kehtib täpselt kolm seost järgnevast loetelust:

1) m = n (on võrdne ehk võrdub)2) m 6= n (ei ole võrdne ehk ei võrdu)3) m > n (on suurem kui)4) m < n (on väiksem kui)5) m > n (on võrdne või suurem kui)6) m 6 n (on võrdne või väiksem kui)

Liitmine. Kahe naturaalarvu a ja b summa on arv a + b, mis saadakse, kui naturaal-arvude jadas arvust a arvu b võrra edasi loendada. Kahe naturaalarvu liitmine on alativõimalik.

a + b = c (a ja b on liidetavad, c on summa)

0 1 2 3 4 5 6

Lahutamine on liitmise pöördtehe. Lahutada arvust a arv b tähendab leida selline arvc, et c + b = a. Naturaalarvude hulgas ei ole lahutamine alati teostatav.

a − b = c (a on vähendatav, b on vähendaja, c on vahe)

0 1 2 3 4 5 6

Korrutamine. Kahe naturaalarvu a ja b korrutiseks nimetatakse summat, milles arv besineb a korda liidetavana, st a · b = b + b + . . . + b

︸ ︷︷ ︸

a liidetavat

a · b = c (a ja b on tegurid, c on korrutis)

0 1 2 3 4 5 6

3

Jagamine on korrutamise pöördtehe. Jagada arv a arvuga b 6= 0 tähendab leida sellinearv c, et c · b = a. Naturaalarvude hulgas ei ole jagamine alati teostatav.

a : b = c (a on jagatav, b on jagaja, c on jagatis)

Jagamisel on kaks tähendust.1. Jagamine on võrdseteks osadeks jaotamine.

Kaheksa kommi jaotati võrdselt 2 lapsele. Mitu kommi sai iga laps?8 : 2 = 4 kommi Kontroll: 2 · 4 kommi = 8 kommi

2. Jagamine on mahutamine.Kaheksa kommi jaotati nii, et iga laps sai 2 kommi. Kui palju oli lapsi?8 : 2 = 4 last Kontroll 4 · 2 kommi = 8 kommi

Arvutamisseadused

1. Liitmine on kommutatiivne: a + b = b + a

2. Liitmine on assotsiatiivne: a + (b + c) = (a + b) + c

3. Korrutamine on kommutatiivne: a · b = b · a4. Korrutamine on assotsiatiivne: a · (b · c) = (a · b) · c5. Liitmist ja korrutamist seob distributiivsusseadus: a · (b + c) = a · b + a · c

Näited

Lisaks neile kasutatakse ka järgmisi põhiseadustest tulenevaid arvutusseadusi.

1. (a + b) − c = (a − c) + b = a + (b − c)

2. a − (b + c) = (a − b) − c = (a − c) − b

3. a − (b − c) = (a − b) + c = (a + c) − b

4. a · (b − c) = a · b − a · c5. (a + b) : c = a : c + b : c

6. (a − b) : c = a : c − b : c

7. (a · b) : c = (a : c) · b = a · (b : c)

8. a : (b · c) = (a : b) : c = (a : c) : b

9. (a : b) : c = a : (b · c)10. (c · a) : (c · b) = a : b (jagatise põhiomadus) Jagatis ei muutu, kui jagatav ja jagaja

korrutada või jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga.

4

Näited

1. Vaagnal on 8 õuna ja 5 pirni. Juss sõi ära 3 puuvilja. Mitu puuvilja jäi vaagnale?(8 + 5) − 3 = 13 − 3 = 10(8 − 3) + 5 = 5 + 5 = 108 + (5 − 3) = 8 + 2 = 10

Rakendus: (123 + 145) − 45 =

2. Laual oli 10 õuna. Tõnu võttis sealt 2 ja Riina 4 õuna. Mitu õuna jäi lauale?10 − (2 + 4) = 10 − 6 = 4(10 − 2) − 4 = 8 − 4 = 4(10 − 4) − 2 = 6 − 2 = 4

Rakendus: 265 − (65 + 18) =

3. Bussis oli 41 reisijat. Esimeses peatuses väljus 16 ja peale tuli 12 uut reisijat. Mitureisijat on nüüd bussis?(41 − 16) + 12 = 25 + 12 = 37(41 + 12) − 16 = 53 − 16 = 3741 − (16 − 12) = 41 − 4 = 37

Rakendus: 267 − (67 − 25) =

4. Ringid ja ruudud on kolmes reas nii, et igas reas on 5 ringi ja 2 ruutu. Kui palju onringe rohkem?1) Ringe 3 · 5 = 15 2) Ühes reas 5 − 2 = 3 ringi rohkem

Ruute 3 · 2 = 6 Kolmes reas 3 · 3 = 9 ringi rohkemRinge rohkem 15 − 6 = 9

Rakendus: 29 · 7 =43 · 999 =

5. Jaota 6 punast ja 4 rohelist õuna võrdselt kahele lapsele.(6 + 4) : 2 = 10 : 2 = 56 : 2 + 4 : 2 = 3 + 2 = 5

Rakendus: 96 : 4 = (80 + 16) : 4 =(13 + 39) : 13 =

6. (70 − 14) : 7 =

7. (51 · 13) : 17 =

8. 130 : (13 · 2) =

9. (90 : 5) : 6 =

10. 250 : 50 = (250 : 10) : (50 : 10) = 25 : 5 = 5800 : 25 = (800 · 4) : (25 · 4) = 3200 : 100 = 32

5

Erijuhud (a tähistab nullist suuremat naturaalarvu)

Liitmine Lahutamine Korrutamine Jagamine0 + a = a + 0 = a a − 0 = a a · 1 = 1 · a = a a : 1 = a0 + 0 = 0 0 − 0 = 0 a · 0 = 0 · a = 0 0 : a = 0

0 − a ei ole teostatav 0 · 0 = 0 a : 0 ei ole teostatavnaturaalarvude hulgas 0 : 0 määramata

a : 0 ei ole teostatav, kuna ei leidu sellist arvu c, et c · 0 = a (a 6= 0)0 : 0 on määramata, kuna iga arvu c korral c · 0 = 0

Seosed tehte komponentide ja resultaadi vahel

a + b = c a = c − b Liidetava leidmiseks lahutame summast teise liidetava.b = c − a

a − b = c a = c + b Vähendatava leidmiseks liidame vahele vähendaja.b = a − c Vähendaja leidmiseks lahutame vähendatavast vahe.

a · b = c a = c : b Teguri leidmiseks jagame korrutise teise teguriga.b = c : a

a : b = c a = c · b Jagatava leidmiseks korrutame jagatise jagajaga.b = a : c Jagaja leidmiseks jagame jagatava jagatisega.

Tehete järjekord ja sulud

Kui avaldises ei ole sulge, siis esimesena korrutan või jagan, seejärel liidan või lahutan.

100 : 4 − 3 · 6 + 9 =

Kui avaldises on sulud, siis esmalt teen sulgudes olevad tehted.

(4 · 8 + 18) : 5 − 3 =

Näited. Leidke tundmatu kasutades tehete komponentide ja resultaadi vahelisi seo-seid.

9 · (17 − 18 : x) = 72 11 − (x + 1) : 4 = 7

6

1.2. Peastarvutamise võtteid

I Liitmine1. Liitmine järkude kaupa.

347 + 526 = (347 + 500) + 26 = 847 + 26 = (847 + 20) + 6 = 867 + 6 = 873687 + 438 = 1087 + 38 = 1117 + 8 = 1125

2. Liitmine järkarvuni täiendamise abil.69 + 78 = (70 − 1) + (80 − 2) = (70 + 80) − (1 + 2) = 150 − 3 = 147999 + 888 + 777 = (1000 + 900 + 800) − (1 + 12 + 23) = 2700 − 36 = 2664

3. Liitmine liidetavate rühmitamise abil.37 + 124 + 13 + 76 = (37 + 13) + (124 + 76) = 50 + 200 = 250

II Lahutamine1. Järkude kaupa lahutamine.

647 − 329 = (647 − 300) − 20 − 9 = (347 − 20) − 9 = 327 − 9 = 318768 − 696 = 168 − 96 = 78 − 6 = 72

2. Järkarvule lähedase arvu lahutamine.438 − 297 = 438 − (300 − 3) = (438 − 300) + 3 = 138 + 3 = 141732 − 688 = (732 − 700) + 12 = 32 + 12 = 44

3. Järkarvust lahutamine.Täiendame vähendaja viimase koha kümneni, teised nullide kohal olevad arvud 9-nija esimese koha ühe võrra vähendatud järkarvu numbrini.40 000 − 23 457 = 16 543 (7 + 3 = 10 5 + 4 = 9 4 + 5 = 9 3 + 6 = 9 1 + 2 = 3)90 000 − 308 = 89 692

III Korrutamine1. Arvutamisseaduste rakendamine.

Korrutamise vahetuvusseaduse (kommutatiivsuse) rakendamine.12 · 3 = 3 · 12 = 12 + 12 + 12 = 36

Korrutamise ühenduvusseaduse (assotsiatiivsuse) rakendamine.(7 · 5) · 2 = 7 · (5 · 2) = 7 · 10 = 702 · 300 = 2 · (3 · 100) = (2 · 3) · 100 = 6 · 100 = 600

Korrutamise jaotuvusseaduse (distributiivsuse) rakendamine.4 · 23 = 4 · (20 + 3) = 4 · 20 + 4 · 3 = 80 + 12 = 922 · 362 = 600 + 120 + 4 = 724

2. Korrutamine 25-ga, 50-ga ja 125-ga.Arvu 25 võib vaadelda kui korrutist 1/4 ·100. Arvu korrutamisel 25-ga jagame arvu 4-ga ja juhul kui arv jagub 4-ga, kirjutame jagatise lõppu kaks nulli; kui jagamisel tekibjääk üks, siis kirjutame jagatise lõppu 25; kui jagamisel tekib jääk 2, siis kirjutamejagatise lõppu 50; kui jagamisel tekib jääk 3, kirjutame jagatise lõppu 75.25 · 64 = (64 : 4) · 100 = 160025 · 247 = 6175, sest 247 : 4 = 61, jääk 3Arvu 50 võib vaadelda kui korrutist 1/2 · 100.50 · 44 = (44 : 2) · 100 = 220050 · 221 = 11 050Arvu 125 võib vaadelda kui korrutist 1/8 · 1000.125 · 64 = (64 : 8) · 1000 = 8000

7

3. Kahekohalise arvu korrutamine 11-ga11 · 34 = 10 · 34 + 1 · 34 = 37411 · 48 = 4 · 100 + (4 + 8) · 10 + 8 = 528

4. Korrutamine 15-ga. Arvu korrutamisel 15-ga korrutame antud arvu 10-ga ja liidamesaadud korrutisele poole temast endast.15 · 32 = 10 · 32 + 1

2· (10 · 32) = 320 + 160 = 480

15 · 47 = 470 + 235 = 7055. Ruutude vahe valemi (a − b)(a + b) = a2 − b2 kasutamine.

23 · 37 = (30 − 7)(30 + 7) = 302 − 72 = 900 − 49 = 85149 · 51 = 502 − 12 = 2500 − 1 = 2499

6. Viiega lõppeva arvu ruut.652 = 4225, kus 42 = 6 · 71052 = 11025, kus 110 = 10 · 112252 = 50625, kus 506 = 22 · 23

1.3. Kirjalik arvutamine

Kirjalikul liitmisel (lahutamisel):• kirjutan liidetavad (vähendatava ja vähendaja) üksteise alla nii, et nende järgud

oleksid kohakuti;

• liitmismärgi (lahutamismärgi) kirjutan teise liidetava (vähendaja) ette;

• võrdusmärgi asendan joonega, mis algab liitmismärgi (lahutamismärgi) alt ja lõ-peb üheliste all;

• summa (vahe) kirjutan joone alla nii, et tema järgud oleksid kohakuti liidetavate(vähendatava ja vähendaja) järkudega;

• liitmist (lahutamist) alustan liidetavate (vähendatava ja vähendaja) madalaimastjärgust ehk ühelistest.

Kirjaliku liitmise ja lahutamise algoritmi omandamise etapid:

1) liitmine järkude piires 2) arvude paigutamine 3) lahutamine järkude piires

3 6 1+ 4 1 8

7 7 9

2 7 3 5+ 3 0 6 1

5 7 9 6

2 3 7 5+ 2 1

2 3 9 6

1 7+ 3 4 1

3 5 8

2 7 9− 1 3 4

1 4 5

5 6 2 8− 4 2 3

5 2 0 5

4) liitmine üleminekuga ühest järgust 5) liitmine üleminekuga mitmest järgust

1⌣

5 8+ 3 4

9 2

1⌣

2 6 4+ 8 2

3 4 6

1⌣

3 5 5 7+ 8 2 6 11 1 8 1 8

1⌣

1⌣

1⌣

1 7 6 3+ 2 3 9

2 0 0 2

Kui liitmisel on mõnes järgus arvude summa 10 või sellest suurem arv, siis lisan tekkivakõrgema järgu ühiku sellele järgule (kirjutan järgu kohale 1).

8

6) lahutamine üleminekuga ühest järgust 7) lahutamine üleminekuga mitmest järgust

• 10⌣

5 8 7− 2 9 6

2 9 1

• 10⌣

1 5 6− 8 3

7 3

• 10⌣

• 10⌣

3 5 2 4− 1 7 1 9

1 8 0 5

10⌣

• • 10⌣

3 4 5− 1 6 9

1 7 6

Kui mõnes järgus lahutada ei saa, siis võtan kõrgemast järgust ühe järguühiku (mär-gin selle võtmise punktiga järgu kohal), teen selle madalama järgu ühikuteks (kirjutanmadalama järgu kohale 10) ja lisan olemasolevale arvule. Saadud arvust lahutan vä-hendaja järgus oleva arvu.

8) lahutamine üle nulli

•

• 10⌣

10⌣

9 0 3− 2 3 5

6 6 8

• •

• 10⌣

10⌣

10⌣

2 0 0 0− 1 1 5 4

8 4 6

Kirjalikul korrutamisel:

• kirjutan tegurid üksteise alla nii, et samad järgud oleksid kohakuti;

• kõigepealt korrutan teise (alumise) teguri ühelised esimese teguriga - saan esime-se osa- korrutise, mille kirjutan tegurite alla nii, et ka tema järgud oleksid koha-kuti tegurite järku- dega; siis korrutan teise teguri kümnelised esimese teguriga -saan teise osakorrutise, mille kirjutan eelmise osakorrutise alla nii, et osakorruti-se viimane number satuks kümneliste järgu kohale jne.;

• liidan osakorrutised. Saadud summa ongi otsitav korrutis.

Kui üks või mõlemad tegurid lõppevad nulliga (nullidega), siis kirjutan kõigepealt tegu-rite lõpunullid korrutise lõppu ja alles siis korrutan nullide ees olevad arvud.

9

Kirjalikul jagamisel:

• alustan jagamist jagatava kõrgeimast järgust;

• esimesse osajagatavasse võtan järke seni, kuni saan jagajast suurema või temagavõrdse arvu. Jagan proovimise teel: teen kindlaks, mitu korda jagaja mahub osaja-gatavasse. Esimese osajagatava madalaim järk on samal ajal jagatise kõrgeimaksjärguks - selle järgi määran ka jagatise kohtade arvu;

• kõik järgmised osajagatavad saan, kui eelmise jagamise jäägile kirjutan paremalejuurde jagatava järgmise järgu ühikute arvu. Kui saadud osajagatav on jagajastsuurem või sellega võrdne, siis saan jagatisse nullist erineva arvu. Kui osajaga-tav on jagajast väiksem, kirjutan jagatisse nulli. Samal viisil jätkan osajagatavatemoodustamist ja jagamist;

• jagamine lõpeb täpselt, kui viimane osajagatav jagub jagajaga. Vastasel juhul te-kib jagatisse jääk.

Kui jagatav ja jagaja lõppevad nulliga, siis võib need mõlema arvu lõpust ära jätta jajagada ainult nullide ees olevad arvud.

10

1.4. Naturaalarvude jaguvus

Kui ühe naturaalarvu jagamisel teisega saadakse tulemuseks naturaalarv, siis öeldak-se, et esimene arv jagub teisega.

Iga naturaalarvu, millega antud arv jagub, nimetatakse selle arvu teguriks.Arvu 12 tegurid on 1, 2, 3, 4, 6 ja 12.

Iga naturaalarvu, mis jagub antud arvuga, nimetatakse selle arvu kordseks.Arvu 4 kordsed on 4, 8, 12, 16, 20, . . .

Jaguvuse tunnused.

1. Arv jagub 2-ga siis, kui arvu üheliste number on paarisnumber (s.t. 0, 2, 4, 6 või 8).2. Arv jagub 3-ga siis, kui arvu ristsumma (s.t. numbrite summa) jagub 3-ga.3. Arv jagub 4-ga siis, kui arv lõpeb kahe nulliga või kahest viimasest numbrist moo-

dustatud arv jagub 4-ga.4. Arv jagub 5-ga siis, kui üheliste number on 5 või 0.5. Arv jagub 6-ga siis, kui ta on paarisarv ning tema ristsumma jagub 3-ga.6. Arv jagub 8-ga siis, kui ta lõpeb kolme nulliga või tema kolmest viimasest numbrist

moodustatud arv jagub 8-ga.7. Arv jagub 9-ga siis, kui arvu ristsumma jagub 9-ga.8. Arv jagub 10-ga siis, kui üheliste number on 0.9. Arv jagub 7-ga, 11-ga või 13-ga siis, kui arvu kolmest viimasest numbrist moodus-

tatud arvu ja ülejäänud numbritest moodustatud arvu (või vastupidi) vahe jagubvastavalt 7-, 11- või 13-ga.Näited. 251321 jagub 7-ga, sest 321 − 251 = 70 ja 70 jagub 7-ga.

211112 jagub 11-ga, sest 211 − 112 = 99 ja 99 jagub 11-ga.32123 jagub 7-ga ja 13-ga, sest 123 − 32 = 91 ja 91 jagub 7- ning 13-ga.

10. Arv jagub 11-ga, kui arvu paaritutel kohtadel olevate numbrite summa ja paaris-kohtadel olevate numbrite summa (või vastupidi) vahe jagub 11-ga.Näide. 98855075 jagub 11-ga, sest 9 + 8 + 5 + 7 = 29, 8 + 5 + 0 + 5 = 18, 29 − 18 = 11

ja saadud vahe jagub 11-ga.11. Kui liidetavad jaguvad ühe ja sama arvuga, siis ka summa jagub selle arvuga.12. Kui üks liidetav jagub mingi arvuga ja teine ei jagu, siis summa ei jagu selle arvuga.13. Kui korrutise üks tegur jagub mingi arvuga, siis ka korrutis jagub selle arvuga.14. Kui vähendatav ja vähendaja jaguvad ühe ja sama arvuga, siis ka vahe jagub selle

arvuga.

Sageli esineb juhtumeid, kus üks arv ei jagu teise arvuga. Sellisel juhul on võimalik jää-giga jagamine. Olgu tarvis jagada arv a arvuga b. Jäägiga jagamisel leiame suurimanaturaalarvu c nii, et selle korrutis jagajaga b ei ületaks jagatavat a. Kirjutis a : b = c,jääk r tähendab, et a − bc = r ehk a = bc + r. Jääk on alati väiksem kui jagaja.

Näited. 13 : 5 = 2, jääk 3Mis arvu jagamisel seitsmega on jagatis 5 ning jääk 3 ? Vastus: 38.

11

Algarvuks nimetatakse ühest suuremat naturaalarvu, millel on ainult kaks tegurit(arv 1 ja tema ise). Algarvud on 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, . . . . Kordarvuks nimetataksenaturaalarvu, millel on enam kui kaks tegurit. Arv 1 ei ole algarv ega kordarv.

Aritmeetika põhiteoreem: iga kordarv on ühesel viisil esitatav algarvude korrutise-na. Arvu esitamist algarvuliste tegurite korrutisena nimetatakse algtegureiks lahu-tamiseks.Näide: 24 = 2 · 2 · 2 · 3. Suuremate arvude korral kasutame järgmist skeemi:

525 3175 5

35 57 71

525 = 3 · 5 · 5 · 7

Suurim ühistegur

Antud arvude ühisteguriks nimetatakse naturaalarvu, mis osutub kõigi antud arvu-de teguriks. Suurimat arvu ühistegurite hulgas nimetatakse antud arvude suurimaksühisteguriks (SÜT).

Näide. Leiame arvude 45 ja 60 suurima ühisteguri.Arvu 45 tegurid on 1, 3, 5, 9, 15, 45Arvu 60 tegurid on 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60Arvude 45 ja 60 ühistegurid on 1, 3, 5 ja 15.Suurim ühistegur on 15 ehk SÜT(45; 60) = 15.

Arve, mille suurimaks ühisteguriks on arv 1, nimetatakse ühistegurita arvudeks. Antudarvude suurima ühisteguri leidmiseks lahutame kõik need arvud algtegureiks. Suurimühistegur võrdub kõigi ühiste algtegurite korrutisega.

Näide. Leiame SÜT(126; 540; 630)126 = 2 · 3 · 3 · 7540 = 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 5630 = 2 · 3 · 3 · 5 · 7SÜT(126; 540; 630) = 2 · 3 · 3 = 8

Kahe arvu suurima ühisteguri leidmiseks võib kasutada võtet, mis kannab Eukleidesealgoritmi nime.

Näide. Leiame SÜT(150; 108). Selleks teostame järgmised jagamised.150 : 108 = 1, jääk 42108 : 42 = 2, jääk 2442 : 24 = 1, jääk 1824 : 18 = 1, jääk 618 : 6 = 3Viimane jääk 6 on antud arvude suurim ühistegur, s.t. SÜT(15; 108) = 6.

12

Vähim ühiskordne

Antud arvude ühiskordseks nimetatakse iga naturaalarvu, mille teguriks on iga an-tud arv. Vähimat arvu ühiskordsete hulgas nimetatakse antud arvude vähimaks ühis-kordseks (VÜK).

Näide. Arvu 6 kordsed on: 6, 12, 18, 24, 30, 36, . . .Arvu 9 kordsed on: 9, 18, 27, 36, 45, . . .Arvude 6 ja 9 ühised kordsed on: 18, 36, . . .Vähim ühiskordne on 18 ehk VÜK(6; 9) = 18.

Antud arvude vähima ühiskordse leidmiseks tuleb lahutada antud arvud algtegureiksja leida korrutis, mille teguriteks on kõik ühe arvu tegurid ehk üks antud arvudest; tei-sest arvust need algtegurid, mida esimeses ei olnud või oli vähem arv kordi; kolmandastneed, mida esimeses ja teises ei olnud või oli vähem arv kordi jne.

Näide. Leiame VÜK(270, 300, 315)270 = 2 · 3 · 3 · 3 · 5300 = 2 · 2 · 3 · 5 · 5315 = 3 · 3 · 5 · 7VÜK(270, 300, 315) = 270 · 2 · 5 · 7 = 18 900

Kahe arvu a ja b vähima ühiskordse leidmisel esineb parajasti üks järgnevast kolmestvõimalusest.1. Kui arvud a ja b on ühistegurita, siis VÜK(a; b) = a · b.

Näide: VÜK(15; 7) = 15 · 7 = 1052. Kui üks arvudest on teise kordne, siis VÜK on kordne arv.

Näide: VÜK(13; 39) = 393. Olgu SÜT(a; b) = d, s.t. a = m · d ja b = n · d , siis VÜK(a; b) = m · n · d

Näide: SÜT(18; 24) = 6, 18 = 3 · 6 ja 24 = 4 · 6. Seega VÜK(18; 24) = 3 · 4 · 6.

Mistahes arvude a ja b korral kehtib võrdus: a · b =SÜT(a; b)·VÜK(a; b).Näide: SÜT(10; 15) = 5 ja VÜK(10; 15) = 30 ning 10 · 15 = 5 · 30.

Ülesanne 1. On olemas 320 karamelli, 240 shokolaadikommi ja 200 iiriskommi. Leidkesuurim pakkide arv, mida saab valmistada antud kommidest, kui pakid on sortimendiltja kommide arvu poolest ühesugused.

Lahendus. Et kõik kommid ära jaotada, on tarvis teada, millega jaguvad 320, 240 ja200. Kuna kõik pakid peavad olema ühesugused, siis otsime ühistegureid. Me soovime,et saaksime võimalikult suure pakkide arvu, seega on vaja leida suurim ühistegur ehkSÜT(320; 240; 200). Leidke see!

Vastus: 40 pakki.

13

Ülesanne 2. Kolm laeva lahkuvad üheaegselt sadamast. Esimene laev jõuab tagasisadamasse 8 päeva järel, teine laev 10 päeva järel ja kolmas 15 päeva järel. Missugusekõige lühema aja möödudes kohtuvad kõik kolm laeva uuesti sadamas?

Lahendus. Esimene laev on uuesti sadamas 8, 16, 24, 32, . . . päeva möödudes (arvu 8kordsed). Teine laev on uuesti sadamas 10, 20, 30, 40, . . . päeva möödudes (arvu 10 kord-sed). Kolmas laev on uuesti sadamas 15, 30, 45 , . . . päeva möödudes (arvu 15 kordsed).Meil on tarvis teada, mitu päeva on möödunud, kui kõik on uuesti korraga sadamas, s.t.me otsime arvude 8, 10 ja 15 vähimat ühiskordset. Leidke VÜK(8; 10; 15).

Vastus: 120 päeva.

14

Ülesanded

1. Leia tundmatu, kasutades tehte komponentide ja resultaadi vahelisi seoseid.

1) (64 − 10 · x) : 4 + 11 = 22 5) 346 + [4 · (320 − 5 · x) : 10] = 4502) (12 + 34 · x) · 56 − 789 = 18 923 6) [864 − 75 · (100 − 30303 : x)] : 27 = 73) (41 + 3 · x) · 28 − 248 = 3000 7) {[(134 · x − 3179) + 856] · 81} : 333 = 3154) 112 − [(100 − 3 · x) · 4] : 23 = 104 8) [2520 : (480 − 3000 : x) + 48] · 8 = 576

2. Arvuta peast. Kasuta arvutamisseadusi.

1) 2354 − (1354 − 867) 6) 63 · 31 : 21 11) 72 · 11 16) 84 · 17 : 422) (1472 − 586) − 472 7) 12600 : 4 : 63 12) 15 · 62 17) 4 · 298 · 253) 1532 − (532 − 472) 8) 25 · 73 · 4 13) 27 · 99 18) 25 · 1234) (1426 + 883) − 526 9) 25 · 248 14) 4007 · 6 19) 17 · 9985) 32 · 74 + 26 · 32 10) 58 · 25 15) 20 · 787 · 5 20) 2626 : 13

3. Arvuta kirjalikult. Jaga jäägiga.

1) 7568 · 24 + 958 5) 719 · 806 − 432 · 243 + 117 · 308 9) 379 482 : 1152) 3523 + 4583 · 37 6) 1092 : 84 + 9744 : 48 − 467 10) 1 001 300 : 223) 5306 · 62 − 635 · 48 7) 84000 − 756 : (45 − 45 : 5) 11) 17483 : 6744) 152 432 − 86 · 95 8) 257 231 − 119 785 + 2688 : 56 12) 375 948 : 103

4. Leia jagatis ja jääk, mis tekivad arvu 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 + 2 jagamisel arvuga 5.

5. Leia kõik kolmekohalised arvud, mis jaguvad 18-ga ja mille sajaliste number on al-garv.

6. Arve 100 ja 90 jagati sama arvuga. Esimesel juhul saadi jäägiks 4, teisel juhul 18.Millise arvuga jagati antud arvud?

7. Kui arvud 4180 ja 1270 jagada ühe ja sama arvuga, on jäägid vastavalt 7 ja 9. Millineon jagaja?

8. Leia suurim kolmekohaline arv, mis annab jagades nii arvudega 2, 3, 4, 5 kui 6 jäägi1.

9. Kolm kella helisevad intervallidega 36, 40 ja 48 sekundit. Neid hakatakse helistamakorraga. Mitme minuti pärast helisevad nad jälle korraga?

10. Suurim ühistegur kolmele arvule, milledest kaks on 3240 ja 3600, on 36. Samadearvude vähim ühiskordne on 24 · 35 · 52 · 72. Leia kolmas arv.

11. Õunamüüjal oli müügiks pakutavaid õunu vähem kui 500. Kui müüja püüdis õunuletile asetada kahekaupa, jäi üks õun üle. Paigutades õunu nii kolme, nelja, viie kuika kuuekaupa, osutus, et ikka üks õun jääb üle. Kuid seitsmekaupa õnnestus õunadlõpuks letile paigutada. Kui palju õunu oli müügiks?

12. On antud 3 nullist erinevat numbrit, millest on moodustatud kõikvõimalikud kolme-kohalised arvud. Näidake, et nii saadud arvude summa peab jaguma arvudega 6 ja37.

15

13. Neli rongi, milles on vastavalt 792, 396, 198 ja 264 istekohta, koostati ühesugus-test vagunitest. Mitu vagunit on igas rongis, kui vagunis on võimalikest variantidestsuurim arv istekohti?

14. Teataval ajamomendil omavad planeedid Veenus ja Merkuur kinnistähtede suhtesmingi kindla asendi. Mitme ööpäeva pärast on mõlemad planeedid kinnistähtedesuhtes samas asendis, kui Merkuur teeb ühe täistiiru ümber päikese 88 päevagaja Veenus 225 päevaga.

15. Neljakohalises arvus, mis on arvu 45 kordne, kuid ei ole arvu 10 kordne, seisab tu-handeliste kohal 6, sajaliste kohal 2. Missugune on see arv?

16. Tõestada, et kahe teineteisele järgneva paarisarvu korrutis on mingi arvu 8-kordne.

17. Tõestada, et naturaalarvu ja tema ruudu vahe jagub 2-ga.

18. Tõestada, et nelja üksteisele järgneva arvu korrutis on arvu 24 kordne.

19. Kahe arvu VÜK on 240, nende SÜT aga 20. Üks arvudest on 80. Leia teine arv.

20. Vankri esimese ratta ümbermõõt on 210 cm, tagumise ratta ümbermõõt aga 330 cm.Leia kõige lühem kaugus, mille peab sõiduk läbima, selleks et mõlemad rattad teek-sid täisarv pöördeid.

21. Punktide A ja B vahelise tee äärde on paigutatud 2400 posti, 40 m kaugusele ükstei-sest. Mõne aasta pärast otsustati need postid asendada teistega, paigutades viimasedüksteisest 60 m kaugusele. Kui kaugel punktist A tuli uus post panna täpselt vanaposti kohale. Mitu niisugust kohta oli üldse?

22. Kruvide arv kastis on üle 300, kuid alla 400 ning sisaldab täisarvu kümneid ja täis-arvu tosinaid. Mitu kruvi on kastis?

23. Kooli poistekoor sammus laulupeol kolonnis, kus oli täpselt 4 õpilast igas reas. Lau-liväljakul rivistati koor ümber kolonni, mille igas reas oli 6 õpilast. Mitu poissi lauliskooris, kui neid oli rohkem kui 80, aga vähem kui 90?

5. klassi ülesanded („Koolibri“ 2002)

222. Arvuta ja võrdle

7 + 6 · 5 ja (7 + 6) · 5 13 · 7 − 7 ja 13 · (7 − 7) 64 : 8 · 2 ja 64 : (8 · 2)(33 − 3) · 9 ja 33 − 3 · 9 9 · (8 − 2) ja 9 · 8 − 2 9 · 48 : 6 ja 9 · (48 : 6)

364. Leia antud arvude ühistegurid ja suurim neist.

1425, 570 ja 741 250, 320, 810 ja 490112, 124 ja 420 660, 1080, 1200 ja 1500

375. Leia antud arvude vähim ühiskordne.

224 ja 288 450, 600 ja 750130 ja 312 212, 318 ja 530

16

505. Kolmekohalise arvu sajaliste ja kümneliste numbrid on ühesugused ning ühelistenumber on 5. Selle arvu jagamisel ühekohalise arvuga tekib jääk 8. Leia see kolmeko-haline arv, jagaja ja jagatis.

506. Leia vähim 5-ga jaguv naturaalarv, mille kirjutamisel on kasutatud iga numbrit 0,1, . . . , 9 ainult üks kord.

507. Praegu on esmaspäev kell 9.00 õhtul. Mis nädalapäev on siis, kui möödub 3, 20, 57,129 ööpäeva? 8 ööpäeva ja 22 tundi? 37 ööpäeva ja 18 tundi?

567. Korvis on 18 pirni ja 24 õuna. Mitme lapse vahel on võimalik need jaotada nii, etiga laps saaks võrdselt õunu ja võrdselt pirne? Mitu võimalust on?

568. Pöialpoisid otsustasid valida endi hulgast varakambri valvureid. Valvemeeskon-na valimist raskendas see, et valvurid pidid, olenevalt vajadusest, jaotuma kas 12- või15-liikmelisteks valverühmadeks. Pöialpoisid lahendasid raske ülesande, leides valve-meeskonna vähima koosseisu. Milline see on?

593. Pane tärnide asemele numbrid, nii et arv jaguks 9-ga: 4*1*. Leia kõik võimalused.

595. Moodusta numbritest 3, 4, 5 ja 6 kaks erinevat kolmekohalist arvu, mis jaguvad nii3-ga kui ka 5-ga.

596. Kirjuta kõik sellised kolmekohalised 18-ga jaguvad arvud, mille kümneliste num-ber on 8.

597. Leia kõik neljakohalised arvud, mis jaguvad 45-ga ja mille kaks keskmist numbriton 9 ja 7.

646. Viiendates klassides on 36 poissi ja 48 tüdrukut. Mitu võimalust on moodustadaõpilaste gruppe nii, et igas grupis oleks võrdne arv poisse ja võrdne arv tüdrukuid?Missugune saab olla suurim gruppide arv?

648. Numbritest 2, 4 ja 6 moodustati kõikvõimalikud erinevatest numbritest koosnevadkolmekohalised arvud. Leia nende arvude suurim ühistegur.

17

PEATÜKK 2

Arvusüsteemid.

2.1. Kümnendsüsteem

Arvude tähistamise mistahes süsteemi nimetatakse arvusüsteemiks. Erinevate numb-rimärkide arvu järgi mida kasutatakse arvude kirjutamisel, antakse arvusüsteemilenimetus. Kui me kasutame kümmet erinevat numbrimärki (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9),siis sellist süsteemi nimetatakse kümnendsüsteemiks. Arv 10 on süsteemi aluseks. Võt-tes kasutusele 8 erinevat numbrimärki (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7), saame kaheksandsüstee-mi. Tarvitades ainult kahte numbrimärki (0 ja 1), saame kahendsüsteemi. Ajalooliselthakati kümnendsüsteemi eelistama ilmselt sellepärast, et inimesel on kümme sõrme.Kuid praegugi leidub Põhja- ja Kesk-Aafrikas rahvaid, kes kasutavad 12-ndsüsteemi.Ka meil leidub veel 12-ndsüsteemi sugemeid. Nii loendatakse veel praegugi lauanõu-sid tosinates. Vanimaks arvusüsteemiks on 60-ndsüsteem, mis võeti kasutusele ligi4000 aastat tagasi. Tänapäevalgi kasutatavad nurga- ja ajamõõduühikuid vastavad 60-ndsüsteemile. Kümnendsüsteemis on nende ühikutega opereerimine küllalt tülikas.

Arvusüsteemi nimetatakse positsiooniliseks, kui iga tema numbri väärtus sõltub numb-ri asukohast (positsioonist) arvus. Näiteks kümnendsüsteemi arvus 333 tähendab esi-mene numbrimärk kolme sajalist, teine kolme kümnelist ja kolmas kolme ühelist.

Mittepositsioonilises arvusüsteemis ei sõltu numbri väärtus tema asukohast. Tutta-vaim mittepositsiooniline arvusüsteem on rooma numbritega arvusüsteem u. 500 aas-tast e. Kr. See on liitmisprintsiibil põhinev arvusüsteem, milles kasutatakse seitsetnumbrimärki:

I = 1 V = 5 X = 10 L = 50 C = 100 D = 500 M = 1000

Kui väiksema väärtusega number asub suurema järel, siis numbrite väärtused liidetak-se, vastupidisel juhul lahutatakse. Enam kui kolm korda järjest üht numbrit ei kirjuta-ta. Näiteks:

CX = 100 + 10 = 110 LX = 50 + 10 = 60 CD = 500 − 100 = 400

XC = 100 − 10 = 90 XL = 50 − 10 = 40 CM = 1000 − 100 = 900

Mitmest tuhandelisest koosneva arvu tähistamiseks asetatakse kriips tuhandeliste ko-hale või kirjutatakse tuhandeliste arvu juurde paremale poole alla täht m (lad k mille –tuhat). Näiteks: 15 000 = XV või XVm.

18

Ülesanne. Kirjutage rooma numbritega 98, 459, 1996, 101 ja 183 647.Kirjutage araabia numbritega XLIV, DCCXVIX, MDCCXCLV, DmIX ja MCMXLVIII.

Positsiooniline kümnendsüsteem kujunes välja Hiinas ja Indias vastavalt umbes 2200ja 1500 aastat tagasi, kusjuures kummalgi maal kasutati hoopis erinevaid sümboleid ar-vude kirjutamiseks. Indiast levis kümnendsüsteem araabia matemaatikute tööde kau-du 10. saj. Euroopasse, mistõttu tegelikult Indiast pärinevaid numbreid hakati nimeta-ma araabia numbriteks.

Kümnendsüsteem on positsiooniline arvusüsteem, mille aluseks on arv kümme s.t.mistahes järgu kümme ühikut moodustavad järgneva kõrgema järgu ühe ühiku.

Esimesed 9 arvu, mis saadakse loendamisel, kuuluvad esimesse järku ja neid nimeta-takse ühelisteks. Kümme ühelist moodustavad kümne ehk teise järgu ühiku. Kümmekümnelist moodustavad saja ehk kolmanda järgu ühiku jne. Suuremate arvude lugemi-seks ja kirjutamiseks ühendatakse nende järgud paremalt alates kolmekaupa rühma-desse, mida nimetatakse klassideks.

Klassi nimetus Järgu nimetus Järguühikühelised 1

Ühed kümnelised 10sajalised 100tuhandelised 1000

Tuhanded kümnetuhandelised 10 000sajatuhandelised 100 000miljonilised 1 000 000

Miljonid kümnemiljonilised 10 000 000sajamiljonilised 100 000 000miljardilised 1 000 000 000

Miljardid kümnemiljardilised 10 000 000 000sajamiljardilised 100 000 000 000

Triljon on miljon miljonit.

Kvintiljon on miljon korda miljon miljonit.

Gugoli puhul 1 taga 100 nulli.

19

Miljonist suuremate järguühikute korral kasutatakse erinevates maades erinevaid ni-metusi.

Järguühik Eestis, Venemaal, Soomes, Saksamaal,USA-s, Prantsusmaal Suurbritannias

109 miljard ehk biljon miljard1012 triljon biljon1015 kvadriljon biljard1018 kvintiljon triljon1021 sekstiljon triljard1024 septiljon kvadriljon1027 oktiljon kvadriljard1030 noniljon kvintiljon1033 detsiljon kvintiljard

Kümnendsüsteemis kirjutatud arvu iga numbrikoht näitab, mitu korda kümne vastavaste sellesse arvu kuulub. Kirjutis 3827 tähendab tegelikult summat3 · 103 + 8 · 102 + 2 · 101 + 7 · 100.

Arvu võib seega esitada järguühikute kordsete summana:3827 = 3 · 1000 + 8 · 100 + 2 · 10 + 7 · 1Järkarvudeks nimetatakse arve, mille kirjutises esineb ainult üks nullist erinev num-ber. Järkarvud on näiteks 3, 70, 500 ja 90 000.

Iga arvu saab esitada järkarvude summana:3827 = 3000 + 800 + 20 + 7

20

2.2. Kümnendsüsteemist erinevad arvusüsteemid

Miks on arvutuspraktikas eluõiguse võitnud just kümnendsüsteem? Sellel süsteemilpole sisuliselt erilisi eeliseid, võrreldes näiteks 8-nd või 12-nd süsteemiga. Lihtsama-na tundub arvutamine kümnendsüsteemis vaid seetõttu, et selles süsteemis arvutamistoleme juba maast madalast õppinud. Kümnendsüsteemi kujunemise ja leviku ühekspõhjuseks on nähtavasti asjaolu, et inimese primitiivsemal arvutusmasinal – kahelkäel – on kokku 10 sõrme. Seetõttu ongi meie esivanemad väga laialdaselt kasutanudesemete rühmitamist just kümnekaupa. Kümnest väiksemate aluste korral oleksid ar-vude üleskirjutised väga pikad ja ebaülevaatlikud. Näiteks arv 797 oleks 2-ndsüsteemis1100011101. Suuremate aluste korral aga läheb vaja palju erinevaid numbrimärke ningvajalikud liitmis- ja korrutamistabelid on suured. Alus 10 on seega ühtlasi kompromiss-lahendus.

Kuidas teisendada kümnendsüsteemi arvu teise süsteemi arvuks?

Teisendame arvud 797, 874 ja 8519 kaheksandsüsteemi.

797 = 700 + 90 + 7 = 7 · 102 + 9 · 101 + 7 · 100 797 : 8 = 99, jääk 5797 = 512 + 256 + 24 + 5 = 1 · 83 + 4 · 82 + 3 · 81 + 5 · 80 99 : 8 = 12, jääk 379710 = 14358 12 : 8 = 1, jääk 4

21

Teisendame arvud 452 ja 513 kahendsüsteemi. Kahega jagamisel saab tekkida jääk 0või 1.

Teisendage arv 25 viiendsüsteemi, 36 kuuendsüsteemi, 49 seitsmendsüsteemi. Tehkejäreldus.

Kuidas teisendada tagasi kümnendsüsteemi?

Kümnendsüsteemis tähendaks arv 1435 summat 1 · 103 + 4 · 102 + 3 · 101 + 5,

kaheksandsüsteemis aga 1 · 83 + 4 · 82 + 3 · 81 + 5.

14358 = 1 · 83 + 4 · 82 + 3 · 81 + 5 = 512 + 256 + 24 + 5 = 79710

Teisendage kahendsüsteemi arv 1101001 ja kolmendsüsteemi arv 1202 kümnendsüs-teemi.

Arvamise mäng.

Mõtle arv 1 - 31. Ütle, millistes ridades see paikneb.

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 312 3 6 7 10 11 14 15 18 19 22 23 26 27 30 314 5 6 7 12 13 14 15 20 21 22 23 28 29 30 318 9 10 11 12 13 14 15 24 25 26 27 28 29 30 31

16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

22

Egiptlased kasutasid umbes 4000 aastat tagasi korrutamismeetodit, mis põhineb ka-hendsüsteemi olemusel. Kirjanduses tuntakse sellist korrutamisvõtet „vene talupojakorrutamismeetodina“. Selle meetodi abil korrutamiseks tuleb osata ainult liita ja ka-hega korrutada ning jagada. Korrutame näiteks arvud 275 ja 163. Korrutise leidmisekskirjutame tegurid kõrvuti. Jagame esimese teguri kahega (jääki ei arvesta), teise kor-rutame kahega. Kordame kuni jõuame arvuni 1. Edasi tõmbame parempoolsest tulbastmaha need arvud, millele vasakus tulbas vastavad paarisarvud. Paremas tulbas allesjäänud arvude summa annabki otsitava korrutise.

Võtte põhjendus:

16310 = 128 + 32 + 2 + 1 = 27 + 25 + 21 + 1 =

= 1 · 27 + 0 · 26 + 1 · 25 + 0 · 24 + 0 · 23 + 0 · 22 + 1 · 21 + 1 · 20 =

= 101000112

163 · 275 = (27 + 25 + 21 + 1) · 275 =

= 27 · 275 + 25 · 275 + 21 · 275 + 1 · 275 = 44825

Aritmeetilised tehted teistes süsteemides.

Tehted teostatakse samasuguste algoritmide abil nagu kümnendarvudegagi. Tuleb vaidkasutada selle süsteemi jaoks koostatud liitmis- ja korrutamistabeleid. Vaatleme näite-na arvusüsteemi alusel 8. Numbrimärgid on sellisel juhul: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

710 + 510 = (7 + 3) + 2 = 1210 1 5 4 78 2 3 48

78 + 58 = (7 + 1) + 4 = 148 + 3 5 7 28 − 1 7 68

Koostame liitmistabeli kaheksandsüsteemi jaoks.

+ 1 2 3 4 5 6 7

1

2

3

4

5

6

7

2 6 7 5 6 3 5 2 4+ 3 2 + 1 4 6 4 1

3 0 5 1 2 0 0 1 3 2− 1 3 4 2 − 7 5 6 6 6

23

Kahendsüsteemi jaoks oleks liitmistabel:

+ 0 1

0

1

1 1 1 0 11 1 1 1 0 1 1 + 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1

+ 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 − 1 0 1 0 1 1 0

Kasutades õpitud kümnendsüsteemi tabelit võime liita ja lahutada mistahes süsteemis,pidades vaid meeles, et2-ndsüsteemi korral moodustavad kaks madalama järgu ühikut ühe kõrgema järgu ühi-ku,3-ndsüsteemi korral moodustavad kolm madalama järgu ühikut ühe kõrgema järgu ühi-ku,4-ndsüsteemi korral moodustavad neli madalama järgu ühikut ühe kõrgema järgu ühi-ku jne.

Korrutamistabeli koostamisel lähtume sellest, et korrutamine on võrdsete liidetavateliitmine.

210 · 710 = 7 + 7 = (7 + 3) + 4 = 1410 28 · 78 = 7 + 7 = (7 + 1) + 6 = 168

Koostame korrutamistabeli kaheksandsüsteemi jaoks.

· 1 2 3 4 5 6 7

1

2

3

4

5

6

7

Kahendsüsteemi korrutamistabel on väga lihtne:

· 0 1

0

1

Jagamine on korrutamise pöördtehe. Seega toimub see korrutamistabeli abil.

24

2.3. Arvusüsteemide kujunemise ajaloost

Naturaalarvud on tekkinud esemete loendamise vajadusest. Esialgu puudusid arvsõ-nad. Objekte loendati nende kirjeldamise kaudu. Kujunesid spetsiaalsed loendamisvõt-ted, mille puhul hakati abivahendina kasutama sõrmi ja varbaid, samuti kivikesi jamuid esemeid. Tõenäoliselt sõrmede koguarv andiski aluse arvude kümnendsüsteemitekkimisele.

Number on arvu tähistav sümbol. Arvu märkimine sümboliga on vanem kui kirjuta-misoskus. Vanimad arvumärgid olid kepile tõmmatud kriipsud, nöörisse tehtud sõlmedvmt, mille hulk vastas vaadeldava objekti üksikelementide hulgale. Arvsõnade tekki-mise protsess kestis kümneid tuhandeid aastaid.

Vanimad teadaolevad numbrisüsteemid olid babüloonlastel ja egiptlastel. BabülooniastNippuri linnast leiti 19. saj. alguses 500 000 põletatud savitahvlit kiilkirjas tekstidega,millest 400 olid matemaatilised. Vanimad neist tahvlitest pärinesid sumerite ajast u2100 e Kr. Kiilkiri dešifreeriti 19. sajandi teisel poolel, hiljem kui Egiptuse hieroglüüfid.Tahvlitelt selgus, et Babüloonias kasutati sumeritelt üle võetud 60-nd süsteemi (Tege-likult küll segasüsteemi, sest 60-st väiksemate arvude korral oli baasiks arv 10). Tunnijaotamine 60 minutiks pärineb samuti sumeritelt.

Mõned näited babüloonlaste arvusüsteemist:

= 1 = 10 osaline null

= 60 + 10 + 4 = 74 = 12 · 602 + 0 · 60 + 33

Vana-Egiptuse arvusüsteemide kohta leiab andmeid papüürustelt, hauakambrite sein-telt ja kõikvõimalikelt valitsemisega seotud esemetelt. Näiteks aastast 3100 e Kr pä-rineval kuninglikul valitsuskepil on kujutatud väga suuri arve (üle miljoni), mis ilm-selt kujutavad sõjakäigul alistatud vastaseid. Tuntuim Egiptusest leitud matemaatilinetekst - Rhind’i (või Ahmes’i) papüürus - pärineb aastast 1650 e Kr. Tegemist on kirjutajaAhmese poolt ümber kirjutatud 85 ülesandest koosneva õpiku moodi kirjutisega.

Egiptlaste arvusüsteem oli aditiivne, baasiga 10. Olemas olid hieroglüüfid järgmistearvude jaoks:

1 paberileht 10 000 madu/nimetissõrm

10 kaardus paberileht 100 000 konnakulles/kala

100 köiekeerd 1 000 000 imestunud inimene

1000 lootoslill

1 212 352 = 1 · 106 + 2 · 105 +1 · 104 + 2 · 103 + 3 · 102 + 5 · 10 +2 · 1 =

Praegu meil kasutusel olevad numbrid 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ja 9 on pärit Indiast (um-bes 5. sajandist), kust araablased nad 10.–13. saj. Euroopasse tõid. Üldkasutatavateksmuutusid need numbrid 15. sajandil.

Rooma numbrid tekkisid umbes 500 a. e. Kr. Roomlaste mittepositsiooniline arvusüs-teem tugineb seitsmele numbrile I=1, V=5, X=10, L=50, C=100, D=500 ja M=1000.

25

Ülesanded

1. Kirjutage arv 58043 järkarvude summana ja järguühikute kordsete summana.

2. Mis on 1) 100 sajalist, 2) 10 kümnetuhandelist, 3) 1000 tuhandelist?

3. Kirjuta sõnadega arvud 3009; 123 000; 1 204 015; 230 400 ja 24 033 789.

4. Mitu tuhandet on ühes miljonis? Kümnes miljonis? Mitu miljonit on ühes miljardis?Sajas miljardis?

5. Tõmba arvust 3 728 106 maha kolm numbrit , nii et ülejäänud numbrid (esialgsesjärjestuses) moodustaksid: 1) võimalikult suure arvu, 2) võimalikult väikese arvu.

6. Kasutades iga numbrit 0, 1,..., 9 ainult üks kord, kirjuta 1) suurim naturaalarv, 2)vähim naturaalarv.

7. Millises arvusüsteemides vastab kümnendsüsteemi arvule 64 arv 54, arvule 30 arv33 ja arvule 9 arv 14?

8. Väljavõte õpilase eluloost kõlab järgmiselt: “Sooritasin 14. klassi eksamid väga hästi,kõikide hinnete summa tuli 30. Kooli läksin nagu enamus lapsi 12 aastaselt” Missu-guse klassi eksamid õpilane sooritas ja mitu eksamit?

9. Meie klassis on 1000112 õpilast. Neist 1111002% õpib neljadele ja viitele. Kui palju onklassis häid õpilasi?

10. Teostage tehted.

1) 32405 + 40235 3) 232658 − 47628 5) 3225 · 145 7) 402136 : 56

2) 10234 + 31234 4) 43105 − 22145 6) 21023 · 2023 8) 210145 : 45

11. Teisendage kümnendsüsteemi arv 6703 kaheksandsüsteemi ning neljandsüsteemiarv 10132 kümnendsüsteemi.

12. Kuidas muutub arvu 2120003 väärtus, kuia) paremalt poolt ära jätta üks null, b) paremalt poolt ära jätta kolm nulli?

13. Kumb arv on suurem ja mitme võrra:a) 101 101 0012 või 40125, b) 120203 või 4015?

26

PEATÜKK 3

Arvuhulgad

3.1. Naturaalarvud

Arvu mõiste on matemaatika üks algmõisteid, mida ei defineerita mingite teiste mõis-tete kaudu. Naturaalarvudena mõistame arve 0, 1, 2, 3, . . . Naturaalarvude hulka tähis-tatakse sümboliga N.

Naturaalarvud on tekkinud loendamise vajadusest ning arv null naturaalarvude sekkaesialgu ei kuulunud – loendamise teel on arvu 0 raske saada. Kuigi babüloonlastel oliolemas sümbol mittemillegi tähistamiseks, ilmus null eurooplase arusaama tänu india-araabia arvusüsteemile. Reeglid arvu 0 kasutamiseks sõnastasid india matemaatikudalles 7. sajandil. Ingliskeelne sõna zero tuleneb araabia sõnast cifr, mis tähendab „tühi“.

Kaasaja matemaatikas eksisteerib paralleelselt kaks erinevat käsitlust: ühes arvu nullloetakse naturaalarvude hulka kuuluvaks, teises aga mitte. Meie koolimatemaatikasloetakse arvu null naturaalarvuks.

Naturaalarvude hulga N põhiomadused on järgmised:

1. Igale naturaalarvule järgneb vahetult üks naturaalarv ja igale naturaalarvule, väljaarvatud 0, eelneb vahetult üks naturaalarv.

2. Iga naturaalarv on 1 võrra suurem temale vahetult eelnevast naturaalarvust ja 1võrra väiksem temale vahetult järgnevast naturaalarvust.

3. Naturaalarvude hulgas leidub kõige väiksem arv, milleks on arv 0, kuid ei leidu kõigesuuremat arvu.

4. Naturaalarvude hulk on lõpmatu.5. Naturaalarvude hulk on kinnine liitmise ja korrutamise suhtes, st vastavate tehete

tulemuseks on naturaalarvud. (Lahutamise ja jagamise tehe ei ole naturaalarvudeseas alati teostatav.)

Itaalia matemaatik Giuseppe Peano (1858 – 1932) esitas 1889. aastal oma ladinakeel-ses töös Arithmetices principia, nova methodo exposita naturaalarvude aksiomaa-tika. Üheksast aksioomist viis defineerivad naturaalarvude hulga vähima elemendi,seose vahetult järgneb ning meetodi, kuidas teha kindlaks, et mingi omadus kandubüle tervele naturaalarvude hulgale (induktsioon). Neli aksioomi defineerivad liitmis- jakorrutamistehte. Peano vaatles arvu kui loendamise tulemust, seepärast ei kuulunudarv null tema käsitluses naturaalarvude hulka. Tänapäeval pannakse Peano aksioomid

27

kirja lugedes ka nulli naturaalarvuks. Põhimõttelist erinevust siin ei ole – kogu natu-raalarvude hulk konstrueeritakse vähima elemendi (0 või 1) ning operatsiooni vahetultjärgneb (tähistame ′) abil.

Peano aritmeetika aksioomid:

1) 0 ∈ N st null on naturaalarv;2) iga x ∈ N jaoks leidub täpselt üks x′ ∈ N, mis vahetult järgneb arvule x;3) x′ 6= 0 st null ei järgne ühelegi arvule;4) x′ = y′ ⇒ x = y st üks ja sama arv ei saa vahetult järgneda kahele erinevale arvule;5) kui M ⊂ N, 0 ∈ M ning iga x ∈ M korral ka x′ ∈ M , siis M = N st iga naturaalar-

vude hulga osahulk, mis sisaldab arvu 0 ja milles kehtib järgnevuse omadus ühtibnaturaalarvude hulgaga (induktsiooni aksioom);

6) x + 0 = x iga x ∈ N korral;7) x + y′ = (x + y)′ iga x, y ∈ N korral;8) x · 0 = 0 iga x ∈ N korral;9) x · y′ = x · y + x iga x, y ∈ N korral.

Kõikide naturaalarvudega seotud omaduste ja teoreemide tõestamisel saab võtta alu-seks just need 9 aksioomi.

Näide. Tõestame liitmise assotsiatiivsuse seaduse a + (b + c) = (a + b) + c.Selleks piisab meil induktsiooni aksioomi põhjal tõestada, et väide kehtib c = 0 korralning iga c ∈ N korral

a + (b + c) = (a + b) + c ⇒ a + (b + c′) = (a + b) + c′.

Kui c = 0, siis a + (b + 0) = (a + b) + 0 kehtib, kuna 6. aksioomi põhjal b + 0 = b ja(a + b) + 0 = a + b ning a + b = a + b loetakse kehtivaks identsuse aksioomi põhjal.Näitame, et kui mingi c ∈ N korral kehtib a+(b+c) = (a+b)+c, siis kehtib ka a+(b+c′) =(a + b) + c′. Kasutades aksioomi 7 saame a + (b + c′) = a + (b + c)′ = (a + (b + c))′ ning(a + b) + c′ = ((a + b) + c)′. Seega oleks vaja tõestada, et kui a + (b + c) = (a + b) + c, siiskehtib ka (a + (b + c))′ = ((a + b) + c)′, mis on aga tõene 2. aksioomi põhjal.

3.2. Murdarvud

Murdarvud võeti kasutusele vajadusest esemeid ja asju osadeks jaotada. Hariliku mur-ru a

bkorral nimetaja b näitab, mitmeks osaks on tervik jaotatud, lugeja a näitab, mitu

sellist osa on võetud. Üldjuhul kasutatakse harilikku murdu a

blugedes nimetust a b-

ndikku (näit 4

5– neli viiendikku), kuid mitmete murdude jaoks on kasutusel ka erini-

med (näit 1

2– pool, 1

4– veerand, 1

100– protsent ). Lihtsamad harilikud murrud (lugejaga1)

olid Egiptuses kasutusel juba u 1000 a e Kr.

Pärast murdarvude kasutuselevõtmist muutub ka jagamine alati teostatavaks (väljaarvatud jagamine nulliga), kuid lahutamine jääb ikka piiratuks (väiksemast arvust eisaa lahutada suuremat).

28

3.3. Negatiivsed arvud

Negatiivsed arvud võeti esimesena kasutusele Indias 6.–7. sajandil ning pisut hiljemsõltumatult ka Hiinas. Negatiivseid arve kasutati tähistamaks võlga. India matemaati-ku Brahmagupta töös „Brahmasphuta-siddhanta“ (Universumi avamine, 628 a) on kir-jeldatud negatiivsete arvudega arvutamise reeglid: „kahe võla summa on võlg“, „võlgmaha lõigatuna mittemillestki muutub varanduseks“, „varandus maha lõigatuna mit-temillestki muutub võlaks“ jne.

Negatiivsetesse arvudesse suhtuti pika aja vältel teatava usaldamatusega, kuna leiti,et need ei ole seotud reaalse maailmaga. Arvu null tunti Euroopas juba 14. sajandil,kuid negatiivsed arvud võeti kasutusele alles 15. sajandil formaalse arvutusvahendina,omamata reaalset sisu. Neid nimetati valedeks arvudeks, fiktiivseteks arvudeks jne.Märgid + ja − ilmusid Euroopas esimest korda trükitult 1489. a sakslase Widmannikoostatud aritmeetikaõpikus. Need märgid olid tekkinud kaupmeeste praktikas ja pididtähendama kaalu üle- ja puudujääki.

Otsustavalt murdsid negatiivsed arvud matemaatikas läbi alles 17. sajandil. Lõplikultlahendati see küsimus 1707. a Isaac Newtoni (1643–1727) teoses „Üldine aritmeetika“,kus öeldakse, et suurused võivad olla positiivsed ehk suuremad kui eimidagi või nega-tiivsed ehk väiksemad kui eimidagi (null oli eimidagi).

Aastal 1730 valmistas Reaumur esimese termomeetri, kuid kulus veel umbes sajandenne kui temperatuuri esitamine negatiivsete arvude abil inimestele omaseks sai. Veel18. sajandi lõpul nimetab šveitsi matemaatik Leonhard Euler (1707–1783) võrrandi ne-gatiivset lahendit ebareaalseks.

Arve a ja −a nimetatakse teineteise vastandarvudeks, neid kujutatakse arvteljel süm-meetriliste punktidena nullpunkti suhtes. Kehtib seos −(−a) = a.

Arvu absoluutväärtus on seda arvu arvteljel kujutava punkti kaugus nullpunktist.Arvu a absoluutväärtust tähistatakse sümboliga |a|. Nulli või positiivse arvu absoluut-väärtus on arv ise, negatiivse arvu absoluutvääretus on selle arvu vastandarv.

| − 3| = 3 |0| = 0 |5| = 5 | + 13| = 13

Naturaalarvud koos oma vastandarvudega (ja arvuga 0) moodustavad täisarvude hul-ga. Kasutatakse tähistust Z = {. . . ,−2,−1, 0, 1, 2, . . .}.

3.4. Ratsionaalarvud

Kõik täisarvud ning positiivsed ja negatiivsed murdarvud kokku moodustavad ratsio-naalarvude hulga. Ratsionaalarvudeks nimetatakse arve, mis esituvad kujul a

b, kus a

ja b on suvalised täisarvud, kusjuures b 6= 0 st

Q ={ a

b

∣∣∣ a ∈ Z, b ∈ Z, b 6= 0

}

.

Ratsionaalarvude hulka kuuluvad seega kõik arvud, mis on esitatavad hariliku mur-runa. Kuna kõik harilikud murrud esituvad lõpliku või perioodilise kümnendmurruna,

29

võib öelda, et ratsionaalarvude hulk koosneb lõplikest ja perioodilistest kümnendmur-dudest. (Naturaalarvu 4 võib kirjutada kujul 4,0000 . . . st lõpmatu kümnendmurruna.)

Näide. Esitame harilikud murrud 13

125ja 51

22kümnendmurdudena.

Esitame kümnendmurrud 4,25; 0,3(6) = 0,366666 . . . (loe: null koma kolm, kuus perioodis)ja 2,(180) = 2,180180180 . . . (loe: kaks koma 180 perioodis) harilike murdudena.

Arve a

bja b

a(või c ja 1

c) nimetatakse teineteise pöördarvudeks.

Näide. Arvu 2

5pöördarv on 5

2= 21

2. Arvu 1,2 pöördarv on 1 : 1,2 = 10 : 12 = 0,833333 . . .

Ratsionaalarvude hulk Q on loenduv. Kõik ratsionaalarvud on võimalik ära loendadajärgmise skeemi alusel:

. . . . . . . . .

. . . −1

5

0

5

1

5. . .

. . . −2

4

−1

4

0

4

1

4

2

4. . .

. . . −3

3

−2

3

−1

3

0

3

1

3

2

3

3

3. . .

. . . −4

2

−3

2

−2

2

−1

2

0

2

1

2

2

2

3

2

4

2. . .

. . . −5

1

−4

1

−3

1

−2

1

−1

1

0

1

1

1

2

1

3

1

4

1

5

1. . .

3.5. Irratsionaalarvud

Irratsionaalarvude avastamiseni jõuti tänu geomeetriale. Kreeka matemaatik-filosoofiPythagorase (u 569–475 e Kr) poolt rajatud filosoofilisel koolkonnal on selles osas suuredteened. Pütagoorlased püüdsid kõiki loodusnähtusi kirjeldada täisarvude abil. Püüdesaga konstrueerida ruutu, mille pindala on 2 ruutühikut, jäid nad hätta. Geomeetrilinetõestus selle kohta, et

√2 ei ole avaldatav täisarvude suhtena omistatakse Hippasuse-

le Metaphontumist (sünd u 500 e Kr). Legendi järgi teised koolkonna liikmed uputa-sid ta selle avastuse eest, kuna see ei sobinud kuidagi kokku nende maailmapildiga.Sellega üritasid nad nimetatud avastust salajas hoida, kuid asjata. Antiik-Kreeka ma-temaatikud teadsid ka seda, et lisaks ruutjuurele ei saa harilike murdudena avalda-da ka enamikke kõrgema astme juuri. Sellest järeldati, et paljude arvude pikkusi poleetteantud pikkusühiku korral võimalik väljendada ratsionaalarvude abil. Teisiti öeldes,

30

ratsionaalarvud ei täida kogu arvtelge ja seal leiduvad punktid, millele vastavad mingid„mitteratsionaalarvud“. Neid arve hakati hiljem nimetama irratsionaalarvudeks (irrat-

sionalis – mitte mõistuspärane). Põhjalik käsitlus irratsionaalarvude kohta sisaldubEukleidese „Elementide“ 10. raamatus (u 300 e Kr). Juuremärk √ võeti kasutusele16. sajandil. Arvatavasti on tegemist väiketähe r modifikatsiooniga (lad k radix – tüvi,juur, alus; ingl k root).

Irratsionaalarvudeks nimetatakse lõpmatuid mitteperioodilisi kümnendmurde ehksiis selliseid arve arvsirgel, mis ei ole esitatavad kahe täisarvu jagatisena. Irratsionaal-arvude hulka tähistatakse I.

3.6. Reaalarvud

Ratsionaalarvud koos irratsionaalarvudega moodustavad reaalarvude hulga R. SeegaR = Q ∪ I. Reaalarvudeks nimetatakse lõplikke ja lõpmatuid kümnendmurde. Igalereaalarvule vastab arvteljel üks kindel punkt ja ümberpöördult, arvtelje igale punktilevastab üks reaalarv. Seega reaalarvude ja arvtelje punktide vahel on üksühene vastavusehk reaalarvude hulk ja arvtelje punktide hulk on ekvivalentsed.

3.7. Arvuhulkade omadused

Naturaalarvude hulk N

1) on järjestatud lõpmatu hulk, milles on vähim kuid pole suurimat arvu;2) on hulk, milles arvud järgnevad vahetult üksteisele ega kata kogu arvtelge;3) on hulk, mis on kinnine liitmis- ja korrutamistehte suhtes.

Täisarvude hulk Z

1) on järjestatud lõpmatu hulk, milles puudub nii vähim kui suurim arv;2) on hulk, milles arvud järgnevad vahetult üksteisele ega kata kogu arvtelge;3) on hulk, mis on kinnine liitmis-, lahutamis- ja korrutamistehte suhtes.

Ratsionaalarvude hulk Q

1) on järjestatud lõpmatu hulk, milles puudub nii vähim kui suurim arv;2) on tihe arvuhulk – iga kahe ratsionaalarvu vahel paikneb alati veel ratsionaalarve;3) on hulk, mis on kinnine liitmis-, lahutamis-, korrutamistehte ja nullist erineva arvu-

ga jagamistehte suhtes.

Reaalarvude hulk R

1) on järjestatud lõpmatu hulk, milles puudub nii vähim kuisuurim arv;

2) on pidev arvuhulk – need arvud katavad kogu arvtelje;3) on hulk, mis on kinnine liitmis-, lahutamis-, korrutamistehte

ja nullist erineva arvuga jagamistehte suhtes.

N

Z

Q I

R

31

PEATÜKK 4

Hulgateooria elemendid

4.1. Matemaatilise loogika elemendid

Igapäevases elus tekib tihtipeale olukordi, kus loogilise arutluse teel on tarvis jõu-da mingite järeldusteni. Et järeldused oleks õiged, peab mõttekäik rahuldama teatudkindlaid tingimusi, mille selgitamine on loogika ülesanne. Loogika on teadus mõtlemisereeglitest, struktuuridest ja vormidest. Matemaatiline loogika on loogika esitus mate-maatiliste meetoditega.

Matemaatilises loogikas kasutatakse lausete kirjapanekul järgmisi sümboleid.

Sümbolit ∨ kasutatakse sidesõna „või“ tähenduses ning sümbolit ∧ sidesõna „ja“ tä-henduses.

Sümboliga ⇒ märgitakse loogilist järeldust. Näiteks lause „Kui väljas on miinuskraa-did, siis spordipäev jääb ära“ saaks kirja panna järgmiselt:

väljas miinuskraadid ⇒ spordipäev jääb ära

Sümboliga ⇔ märgitakse loogilist samaväärsust. Kirjutis P ⇔ Q tähendab seda, ettingimusest P järeldub tingimus Q ja vastupidi – tingimusest Q järeldub tingimus P .Näiteks

Lembitu on Vambola poeg ⇔ Vambola on Lembitu isa

Tingimust nimetatakse tarvilikuks, kui ta järeldub väitest (st väide ei saa kehtida il-ma, et kehtiks tingimus). Tingimust nimetatakse piisavaks, kui temast järeldub väide(st kui tingimus kehtib, siis kehtib kindlasti ka väide).

Näiteks vaatleme väidet „nelinurk ABCD on ruut“. Väitest järeldub, et vaadeldava ne-linurga kõik nurgad on võrdsed. Seega „nelinurga ABCD kõik nurgad on võrdsed“ ontarvilik tingimus väite „nelinurk ABCD on ruut“ kehtimiseks, aga mitte piisav, sestvõrdsete nurkadega nelinurk võib olla ka ristkülik.

Näiteks see, kui tudeng on sooritanud õpingute vältel kõik eksamid hindele A, on piisavtingimus saamaks diplomit cum laude. Tarvilik ja piisav tingimus saamaks diplomitcum laude on, et tudeng on läbinud õppekava täies mahus, sooritanud kõik eksamidhinnetele A, B ja C, lõputöö hindele A ning tema keskmine hinne on vähemalt 4,6.

32

Ülesanded

1. Millised järgmistest väidetest on õiged ja millised väärad? 1

a) Kahe paaritu arvu summa on paaritu arv. d) Kui |a| = |b|, siis a = b.

b) Selleks et a3 = a2, on tarvis, et a = 1. e) Kui a = b, siis |a| = |b|.c) Mistahes paarisarvu ruut jagub 4-ga. f) Kui ab > 0, siis a > 0 ja b > 0.

2. Pange järgmistes lausetes punktiiri asemele „on tarvilik“, „on piisav“ või „on tarvilikja piisav“. 2

a) Selleks et kahe täisarvu summa oleks paarisarv, . . . , et kumbki liidetav oleks paa-risarv.

b) Selleks et arv jaguks 15-ga, . . . , et ta jaguks 5-ga.

c) Selleks et arv jaguks 10-ga, . . . , et ta jaguks 2-ga ja 5-ga.

d) Selleks et kahe naturaalarvu summa oleks suurem kui 30, . . . , et üks liidetav olekssuurem kui 15.

e) Selleks, et kahel ruudul oleks üks ja sama pindala, . . . , et nende küljed oleksidvõrdsed.

f) Selleks et korrutis (x − 3)(x + 2)(x − 5) võrduks nulliga, . . . , et x = 3.

3. Tähistagu A – „On pühapäev“, B – „Kristjan läheb teatrisse“, C – „Kristjan lähebsõbrale külla“, D – „Kristjan läheb koeraga jalutama“, E – „Kristjan istub kodus“.Sõnastage järgmised laused (sümbol ¬ tähistab eitust).3

a) A ⇒ B d) ¬B ∧ ¬C ∧ ¬D ⇒ E

b) D ∧ A ⇒ ¬B e) A ⇒ ¬E ∧ (B ∨ C ∨ D)

c) ¬A ⇒ ¬(B ∨ C) f) (A ⇒ ¬E) ∧ (¬A ⇒ ¬E)

4. Tähistagu A – „Sajab vihma“, B – „Sajab lund“, C – „Sajab rahet“, D – „Sajab“, E –„On suvi“, F – „On talv“, G – „On külm“, H – „On soe“. Kirjutage valemite abil: 4

a) Sajab vihma ja külmetab.

b) Sajab vihma või lund ja on külm.

c) Sajab vihma, kuid ei saja lund.

d) Kui külmetab, siis sajab lund.

e) Ei saja vihma ega lund.

f) Kui sajab lund, siis on talv.

g) Iga sadu on vihmasadu, lumesadu või rahesadu.

h) Kui sajab vihma, siis ei saja lund ja on suvi.

i) Kui on külm või sajab lund, siis ei saja vihma.

j) Suvel ei saja korraga vihma ja rahet.

k) Suvel sajab vihma või rahet, talvel lund.

1F. Nagibin, Huvitav matemaatika, Tln 1969, lk 712F. Nagibin, Huvitav matemaatika, Tln 1969, lk 743R. Palm, R. Prank, Sissejuhatus matemaatilisse loogikasse, Tartu 2004, lk 374T. Tamme, T. Tammet, R. Prank, Loogika, mõtlemisest tõestamiseni, Tartu 1997, lk 75

33

4.2. Hulga mõiste

Hulk on üksteisest erinevate mõistete, nähtuste, objektide või arvude kogum, mida vaa-deldakse ühe tervikuna. Hulka kuuluvad objektid on omavahel erinevad. Mistahes ob-jekti korral peab olema võimalik üheselt otsustada, kas ta kuulub vaadeldavasse hulkavõi mitte. Neid objekte, mõisteid, nähtusi või arve, mis moodustavad hulga, nimetataksehulga elementideks.

Hulga esitamiseks on kaks võimalust: a) loetelu kaudu, b) eeskirja abil.

a) A = {a, b, c, d} b) B = {x | x ∈ Z ja |x| < 3}N = {0, 1, 2, 3, . . .} C = {x | x2 = 4}Z = {. . . ,−2,−1, 0, 1, 2, . . .} D = {x | x on täht sõnas „raamat“}Z+ = {1, 2, 3, 4, . . .} E = {x | x ∈ Z− ja x > −2}Z− = {−1,−2,−3, . . .}

Hulki kujutatakse skemaatiliselt a) kinnise joone abil (Venni diagramm), b) arvteljel(arvuhulkade korral).

a)

poisid viielisedõpilased

b)0 1 2 3 4 5 6 7

-3 -2 -1 0 1 2 3

Vastavalt sellele, kas hulgas on lõplik või lõpmatu arv elemente, nimetatakse hulki lõp-likeks või lõpmatuteks.

Asjaolu, et element a kuulub hulka A, märgitakse a ∈ A. Kui element b ei kuuluhulka A, siis kirjutatakse b /∈ A.

3 . . . {2, 3, 4} 12 . . .{x | x on algarv} {m, n, o, p} . . . n

Ühtedest ja samadest elementidest koosnevaid hulki nimetatakse võrdseteks.

{a, b, c} . . . {b, c, a} {3, 2, 1} . . .{x | x ∈ Z ∧ 0 < x < 4} {02, 12, 22} . . .{0, 1, 4}Lõpliku hulga korral nimetatakse hulga võimsuseks selle hulga elementide arvu. KuiA = {a, b, c} ja B = {1, 2, 3, 4}, siis hulk B on suurema võimsusega kui hulk A.Iga lõpmatu hulga võimsus on suurem lõpliku hulga võimsusest.

Hulki, mille vahel saab korraldada üksühese vastavuse, nimetatakse ekvivalentse-teks ehk võrdvõimsateks. Tähis ∼.

K R

Naturaalarvude hulgaga võrdset võimsust omavaid hulki nimetatakse loenduvateks.Paarisarvude hulk on loenduv: N ∼ {2, 4, 6, 8, . . .}Täisarvude hulk on loenduv: N ∼ Z = {0, +1,−1, +2,−2, . . .}

34

Mitteloenduva hulga võimsus on suurem loenduva hulga võimsusest.

Hulka, milles ei ole ühtegi elementi, nimetatakse tühjaks hulgaks. Tähis ∅.

{x | x on 200 aastane inimene} = ∅{y | y < −1 ∧ y > 2} = ∅ aga {y | y < −1 ∨ y > 2} 6= ∅Kui vaatluse all on korraga mitu hulka, siis hulka, mis sisaldab kõiki antud arutluseskasutatavaid elemente, nimetatakse universaalseks hulgaks. Tähis U .

Kui ühe hulga iga element kuulub teise hulka, siis nimetatakse esimest hulka teisehulga osahulgaks. Tähis ⊂ või ⊃.

Näide. Olgu T kõigi telefonide hulk, M kõigi mobiiltlefonide hulk, K kõigi kettaga te-lefonide hulk, N kõigi nuppudega telefonide hulk. Panna kirja kõik hulgateoreetilisedsisalduvused.

NB! Iga hulga A korral ∅ ⊂ A, st tühi hulk on suvalise hulga osahulk.Iga hulga A korral A ⊂ A, st iga hulk sisaldub iseendas.

4.3. Tehted hulkadega

Kahe hulga kõigi ühiste elementide hulka nimetatakse nende hulkade ühisosaks.

A B

UA ∩ B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}

Omadused:1. A ∩ B = B ∩ A (kommutatiivsus)2. A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C (assotsiatiivsus)3. (A ∩ B) ⊂ A ja (A ∩ B) ⊂ B4. A ∩ ∅ = ∅, A ∩ U = A5. Kui B ⊂ A, siis A ∩ B = B. Kui A ⊂ B, siis A ∩ B = A.6. A ∩ A = A

Näited:A = {1, 2, 3} B = {2, 3, 4} A ∩ B =

A - nelinurgad, B - korrapärased hulknurgad, A ∩ B -

Kõigi elementide hulka, mis kuuluvad vähemalt ühte kahest hulgast, nimetatakse nen-de hulkade ühendiks.

A B

UA ∪ B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}

Omadused:1. A ∪ B = B ∪ A (kommutatiivsus)2. A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C (assotsiatiivsus)3. A ⊂ (A ∪ B) ja B ⊂ (A ∪ B)4. A ∪ ∅ = A, A ∪ U = U5. Kui B ⊂ A, siis A ∪ B = A. Kui A ⊂ B, siis A ∪ B = B.6. A ∪ A = A

Näited:A = {1, 2, 3} B = {2, 3, 4} A ∪ B =

A - paarisarvud, B - paaritud arvud, A ∪ B -

35

Hulga täiendiks antud universaalse hulga suhtes nimetatakse hulka, mille elementi-deks on antud hulka mittekuuluvad universaalse hulga elemendid ja ainult need.

A

UA = {x | x /∈ A}

Omadused:1. A ∪ A = U2. A ∩ A = ∅3. U = ∅4. ∅ = UNäited:U = Z+ A = {1, 2, 3} A =

A - suitsetajad, A -

Hulkade A ja B vaheks nimetatakse hulka, mille elementideks on kõik need ja ainultneed hulga A elemendid, mis ei kuulu hulka B.

A B

UA \ B = {x | x ∈ A ∧ x /∈ B}

Omadused:1. A \ B = A \ (A ∩ B)2. (A \ B) ∪ B = A ∪ B3. Kui A \ B = ∅, siis A ⊂ B.4. Kui A \ B = A, siis A ∩ B = ∅.

Näited:A = {1, 2, 3} B = {2, 3, 4} A \ B =

A - paberraha kupüürid; B - 1, 2, 5 ja 10 kroonised; A \ B -

Hulkade A ja B otsekorrutiseks nimetatakse kõigi paaride (a, b) hulka, kus a ∈ A,b ∈ B, seejuures elementide järjekord paarides on oluline.

Näited:A = {Mari, Karl, Helen} B = {seelik, püksid}A×B = {(Mari, seelik), (Mari, püksid), (Karl, seelik), (Karl,püksid), (Helen, seelik), (Helen, püksid)}R × R – koordinaattasand

36

Ülesanded

1. Esitage hulk elementide loetelu kaudu.1) A = {x | x ∈ Z+ ∧ x 6 1} 4) D = {x | x ∈ Z− ja x > −2}2) B = {x | x = y2 ∧ y ∈ N ∧ y < 6} 5) E = {x | x = 3y, y ∈ N}3) C = {x | x = y2 ∧ y ∈ N ∧ x < 6} 6) F = {x | x on täishäälik}

2. Esitage hulk eeskirja abil.1) A = {2, 4, 6, ...} 2) B = {−1, 0, 1, 2} 3) C = {0,−1,−2,−3, ...}

3. Täitke lüngad sümbolitega ∈, /∈, ⊂ või 6⊂.{2, 3} . . .{1, 2, 3, 4} 3 . . . {1, 2, 3} {b} . . .{a, b, c} 3 . . .{x | x = 2y ∧ y ∈ N}{5, 6, 7} . . .{6, 7} ∅ . . . {x, y, z} a . . . {b, c, d} {k, l} . . .{{k, l}, {m, n}, {o, p}}

4. Täitke lüngad sümbolitega = või 6=.{1, 2, 3} . . .{3, 2, 1} N . . . {x | x = |y| ∧ y ∈ Z} [2, 5] . . . (2, 5]

5. Kirjutage hulga L = {a, b, c, d} kõik kolme-elemendilised osahulgad.

6. Leida hulk A nii, et oleks täidetud tingimus {a, b} ⊂ A ⊂ {a, b, c, d}. Leida kõik või-malused.

7. Leida hulk B nii, et oleks täidetud tingimused B ⊂ {a, b, c}, a /∈ B ja b ∈ B. Leida kõikvõimalused.

8. Olgu tähtede hulgad sõnades “meie”, “klass”, “kool” ja “maja” tähistatatud vastavaltE, S, L ja A. Esitage loetelu kaudu järgmised hulgad: 1) E ∩ S, 2) S ∪ A, 3) S \ L, 4)E ∪ L, 5) E ∩ A, 6) E \ S, 7) S ∩ L.

9. Olgu antud hulgad A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {2, 4, 6, 8, 10, 12}, C = {3, 6, 9, 12, 15} ningU = {x | x < 16 ∧ x ∈ N}. Leidke hulgad 1) (A ∪ B) ∩ C, 2) A ∪ (B ∩ C), 3) (A ∩ C) ∪ B,4) A ∪ B, 5) B ∩ A, 6) C ∩ C.

10. Tähistame mingi kooli 10. klassi õpilaste hulga U , poiste ja tüdrukute hulga sellesklassis vastavalt P ja T , matemaatikat armastavate õpilaste hulga M ning füüsikatarmastavate õpilaste hulga F . Kirjutage hulgateooria sümboleid ja tehteid kasutadesüles järgmised hulgad või laused:1) matemaatikat armastavad tüdrukud, 2) reaalainet (matemaatika või füüsika) ar-mastavad õpilased, 3) matemaatikat mittearmastavad poisid, 4) füüsikat armasta-vatele poistele meeldib ka matemaatika, 5) kümnendas klassis ei ole tüdrukuid, kel-lele meeldiks nii füüsika kui matemaatika, 6) igale õpilasele meeldib vähemalt üksreaalaine.

11. Marel (m) on külas kolm sõpra Diana (d), Angeelika (a) ja Kristiin (k). Ema pakublastele süüa. Tähistame limonaadi joojate hulga L, morsi joojate hulga M , võileivasööjate hulga V , salatisööjate hulga S ning tordisööjate hulga T . Kirjutage hulga-teooria sümboleid ja tehteid kasutades üles järgmised hulgad või laused:1) Mare külalised, 2) mittenäljased lapsed, 3) Diana sööb salatit, 4) Kristiinile eimaitse tort, 5) söögi kõrvale tuleb alati juua, 6) ükski laps ei jaksanud süüa korragasalatit, võileibu ja torti, 7) Mare sõi võileiba ja jõi morssi peale, salatit ta ei tahtnud,8) mõned lastest jõid nii morssi kui limonaadi, 9) kõik lapsed sõid midagi.

37

12. On antud hulgad X = {1, 2, 3, 4, 5}, Y = {2, 4, 6} ja Z = {1, 2, 6} ning U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.Millised järgmistest võrdustest on õiged?1) (X ∩ Y ) = X ∪ Y 2) (X ∪ Y ) ∩ Z = (X ∪ Z) ∩ Y

3) X ∪ Y = (X ∪ Y ) 4) X ∩ Y = (X ∪ Y )

13. Leida hulgad arvsirge abil. 1) {x | − 2 6 x < 1} ∪ {x | 0 < x < 3},2) {x | x > −1} ∩ {x | − 3 6 x 6 2}, 3) {x | x > 2} \ {x | 3 < x 6 5}.

14. Kujutada Venni diagrammil hulgad A \ (B ∪ C), A ∩ (B \ C), A ∩ (B ∪ C), (A \ B) \ Cja A \ (B \ C).

15. Kujutada skemaatiliselt kõikvõimalikud hulkade A, B ja U asetused teineteise suh-tes. Kirjutada hulkade A, B ja U vahelised seosed. Viirutada hulgad A ∩ B ja A \ B.

16. Leidke otsekorrutis A × B ning kujutage see graafiliselt.1) A = {−2, 3} ja B = {−1, 2, 3},2) A = {0, 2, 3} ja B = {−1, 1},3) A = {x | 0 6 x 6 3} ja B = {y | − 2 6 y 6 2},4) A = {x | − 1 < x < 2} ja B = {y | 0 6 y 6 4},5) A = {x | x < 5 ∧ x ∈ N} ja B = {y | 1 6 y 6 3 ∧ y ∈ R}.

17. Olgu A = {2, 3, 4} ja B = {3, 4}. Leidke A × A, A × B ja B × A. Kas A × B = B × A?

18. Ühe klassi õpilaste hulgast 60% loeb pidevalt ajakirja “Kroonika”, 50% ajakirja “Stiil”,50% ajakirja “Tervis”, 30% ajakirju “Kroonika” ja “Stiil”, 20% ajakirju “Stiil” ja “Ter-vis”, 30% ajakirju “Kroonika” ja “Tervis”, 10% kõiki kolme ajakirja. Mitu protsentiõpilastest loeb pidevalt kahte nimetatud ajakirjadest? Mitu protsenti õpilastest eiloe ühtegi nendest ajakirjadest?

19. Ühe klassi õpilaste küsitlemisel nende lemmikainete kohta selgus, et 18 õpilaselemeeldib kõige enam matemaatika, 14 õpilasele keemia ja 16 õpilasele füüsika, 11õpilasele meeldib nii matemaatika kui füüsika, 5 õpilasele aga samaaegselt mate-maatika ja keemia, 6 õpilasele keemia ja füüsika ning 3 õpilasele kõik nimetatudained. Kaks õpilast ei pidanud oma lemmikaineks ühtki neist kolmest. Mitu õpilaston selles klassis?

20. Klassis on 30 õpilast. Kirjandusringi kuulub nendest 15 ja bioloogiaringi 11, kusjuu-res 4 nendest võtavad osa mõlema ringi tööst, 5 õpilast on kirjandusringi ja matemaa-tikaringi liikmed, 3 õpilast bioloogia- ja matemaatikaringi liikmed. Ainult 1 õpilanekuulub kõiki kolme ringi. Ülejäänud kuuluvad ainult matemaatikaringi. Mitu õpilaston matemaatikaringi liikmed?

21. On antud hulk A = {t, a, l, v, e}. Millised järgmistest väidetest on tõesed?a) t ∈ A b) s ∈ A c) talv ∈ A

22. Täitke lüngad sümbolitega ∈, ∋, /∈, ⊂, ⊃ või 6⊂.5 . . . {3, 4, 5, 6} {b, c} . . .{b} {3, 5, 7, 9} . . .{5, 7} Z+ . . . N{5} . . .{3, 4, 5, 6} b . . . {b} {a, b, c} . . . c a . . . ∅{a, b, d} . . .{b, c, d} −7 . . . N [2, 5] . . . (3, 5) ∅ . . . {a}

38

23. Kirjutada arvu 24 jagajate hulk A. Millised seosed on hulga A ja {2, 6}, ∅, {3, 2, 5, 8},2, 6, {5}, 5 vahel?

24. Esitada elementide loetelu kaudu hulgad, mille elementideks ona) lihtmurrud, mille nimetajaks on 5, b) täisarvude 1 - 10 ruudud.

25. Esitada elementide loetelu kaudu hulgad {x | x2 = x} ja {x | x = 3y+1, y ∈ N, x < 11}.

26. Kas M = K, kuia) M = {1, 2} ja K = {(1, 2)},b) M = {x | x on arvust 10 väiksem algarv} ja K = {1, 3, 5, 7},c) M = {x | x on ühekohaline positiivne täisarv} ja K = {x | x < 10∧x on naturaalarv},d) M = {(1, 2), (2, 3)} ja K = {(2, 3), (1, 2)},e) M = {(1, 2), (2, 3)} ja K = {(2, 1), (3, 2)},f) M = {(x, y) | x + y = 17 ∧ x2 + y2 = 169} ja K = {(12, 5), (5, 12)},g) M = {x | x jagub arvuga 10} ja K = {x | x jagub arvuga 5},h) M = {x | 3

2< x < 25

3∧ x on täisarv} ja K = {3, 4, 5, 6, 7, 8}?

27. Antud lausete seast leida väärad laused. Põhjendada vastust.a) Kui hulga A kõik elemendid kuuluvad hulka B, siis A ⊂ B.b) Kui hulgas A leidub hulga B elemente ning hulgas B leidub hulga A elemente, siisA = B.c) Kui hulga A kõik elemendid kuuluvad hulka B ja hulgas B ei leidu hulka A mitte-kuuluvaid elemente, siis A = B.d) Kui A 6= B ja B 6= C, siis A 6= C.e) Kui hulgas A ei leidu hulka B mittekuuluvaid elemente, siis A ⊂ B.

28. Kirjutada sümbolitesa) 2 on hulga N element,b) hulk P on hulga N osahulk,c) hulga C ainuke element on 0,d) hulk K on iseenda osahulk,e) hulk M ei ole hulga S osahulk,f) z ei kuulu hulka A,g) B on tühihulk.

29. Kirjutada hulga P = {5, 6, 7} kõik osahulgad.

30. Moodustada hulga A = {5, 8, 24, 39, 10} osahulgad, mille elemendid jaguvad a) 3-ga,b) 4-ga, c) 6-ga ja d) 16-ga.

31. Kujutada skemaatiliselt hulgad A, B ja C, kuia) A on 3-ga jaguvate, B 4-ga jaguvate ja C 5-ga jaguvate täisarvude hulk;b) A on 6-ga jaguvate, B 12-ga jaguvate ja C 18-ga jaguvate täisarvude hulk;c) A on 2-ga jaguvate, B 3-ga jaguvate ja C 4-ga jaguvate täisarvude hulk.

32. Kujutada skemaatiliselt nelinurkade, trapetsite, rööpkülikute ja ruutude hulgad.

39

33. On antud hulgad A = {2, 3, 4} ja B = {a, b, c}. Alljärgnevatest hulkadest leida otse-korrutise A × B osahulgad.a) {(2, a), (2, b)}b) {(2, a), (2, b), (b, 2)}c) {(2, a), (3, b), (3, c), (4, a)}d) {(2, 3), (2, 4), (4, 3)}

34. Hulkade A ja B kohta on teada, et A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, A ∩ B = {4, 6, 9},A ∪ {3, 4, 5} = {1, 3, 4, 5, 6, 8, 9} ja B ∪ {2, 4, 8} = {2, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Leida hulgad A ja B.

35. Leida X ∪ Y , X ∩ Y , X \ Y ja Y \ X, kuia) X = {−1, 0, 3, 4}, Y = {0, 4, 6};b) X = [0, 2], Y = [1, 5];c) X = [0, 2], Y = {0, 4, 6};d) X = (−∞, 7], Y = (5, 8);e) X = [1, 3] ∪ (5, 7], Y = [2, 6].

36. Kas on võimalik, et A ∩ B = A ∪ B?

37. Leida joonise abil hulgad

b

b

bb

b

b

b

b

b

b

b

9

5

73

0

6

4

2

8

20

10 U

AB

a) A, B, U d) A g) A ∪ B

b) A ∩ B e) B h) A ∩ B

c) A ∪ B f) A ∩ B i) A ∪ B

38. Leida hulgad A, B ja C teades, et A ∩ B = {2}, (A ∪ B) ∩ C = {7, 9}, A \ C = {2, 3, 5}ja C \ B = {1, 9}.

40

PEATÜKK 5

Tekstülesannete lahendamine aritmeetiliselt

Tekstülesannete lahendamise etapid.

1. Ülesande sisuga tutvumine.2. Ülesande lahenduse otsimine.

Ülesande jaotamine andmeteks ja küsimusteks.Ülesande modelleerimine (näitlikustamine).Lahendusplaani koostamine.

3. Ülesande lahendamine.4. Tulemuste hindamine.5. Vastuse sõnastamine.

Ülesande lahenduse vormistamine võib toimuda kolmel viisil.Näide. Piial oli 71 krooni. Ta ostis raamatu, mis maksis 44 krooni ja pastapliiatsi, mismaksis 19 krooni. Kui palju raha jäi Piial järele?

I KüsimustegaMitu krooni maksid raamat ja pastapliiats?44 + 19 = 63 (krooni)Mitu krooni jäi Piiale järele?71 - 63 = 8 (krooni)Vastus. Piial jäi järele 8 krooni.

II Selgitavate lausetegaRaamat ja pastapliiats maksid kokku 44 + 19 = 63 krooni. Piial jäi järele 71 - 63 = 8krooni.Vastus. Piial jäi järele 8 krooni.

III Ühe avaldisega71 - (44 + 19) = 8 (krooni)Vastus. Piial jäi järele 8 krooni.

41

Näiteülesanded

I Ülesanded arvude leidmiseks nende summa ja vahe järgi

1. Raamatukogus oli 6500 raamatut eesti, prantsuse ja saksa keeles. Prantsuskeelseidraamatuid oli 2560 võrra vähem kui eestikeelseid ja saksakeelseid 220 võrra rohkemkui prantsusekeelseid. Kui palju raamatuid oli igas keeles? (3800, 1240, 1460)

2. Ema oli 32-aastane kui tütar sündis ja 35 aastane kui sündis poeg. Kui vana on igaüksneist praegu, kui vanuste summa on 59? (42 a, 10 a, 7 a)

3. Kolmel vennal oli kokku teatud rahasumma. Esimesel ja teisel kokku 600 kr., teiselja kolmandal kokku 500 kr., kolmandal ja esimesel kokku 700 kr. Kui palju oli raha igalvennal? (400 kr, 200 kr, 300 kr)

II Ülesanded arvude leidmiseks summa (vahe) ja jagatise järgi

4. Rongis oli 672 reisijat. Mehi oli 4 korda, aga naisi 2 korda rohkem kui lapsi. Kui paljuoli rongis mehi, naisi ja lapsi? (384, 192, 96)

5. Kahe arvu summa on 410. Suurema arvu jagamisel väiksemaga on jagatis 7 ja jääk10. Leida need arvud. (360, 50)

6. Leida kaks arvu, mille vahe on 9256 ja jagatis 27. (9612, 356)

7. Isa on 45-aastane, poeg 15 aastane. Mitme aasta eest oli isa 11 korda pojast vanem?(12 a)

III Asendusvõttega lahendamise ülesanded

8. 8 m siidi ja 5 m sitsi maksavad 580 kr. Üks meeter siidi on sitsi meetrist kallim 40krooni võrra. Kui palju maksab kummagi riide meeter? (60 kr, 20 kr)

9. Sirkel on 8 krooni kallim kui joonlaud. Neli joonlauda ja 5 sirklit maksavad 76 kr.Kui palju maksab sirkel ja kui palju joonlaud? (12 kr, 4 kr)

10. Kui palju tuleb võtta küpsiseid hinnaga 16 kr/kg ja kui palju 9 kr/kg, et saada 21 kgsegu hinnaga 11 kr/kg? (6 kg, 15 kg)

IV Liikumisülesanded

11. Kahe linna vahemaa on 208 km. Nendest linnadest väljusid samal ajal teineteiselevastu kaks jalgratturit. Üks neist sõitis kiirusega 15 km/h. Arvuta teise jalgratturi kii-rus, kui jalgratturid kohtusid pärast 8-tunnist sõitu? (11 km/h)

12. Reisirong läbis 210 km pikkuse vahemaa 3 tunniga, kaubarong 300 km 6 tunniga.Neli tundi pärast kaubarongi väljumist väljus samas suunas reisirong. Mitme tunni pä-rast jõuab reisirong kaubarongile järele? (10 h)

13. Aurik sõitis jõel vastuvoolu 108 km 9 tunniga. Jõe voolu kiirus oli 1,5 km/h. Kuipalju aega kulub aurikul sama teepikkuse läbimiseks pärivoolu? (7,2 h)

V Koostööülesanded

14. Paadisadamas tuleb korrastada 168 sõudepaati. Üks meister lubas paadid korrasta-da 21 päevaga, teine meister 28 päevaga. Mitme päevaga võiksid meistrid töö ära tehakoos töötades? (12 päeva)

15. Et lõpetada töö õigeaegselt, pidi 80 töölist töötama 36 päeva. Tegelikult töötas esi-mesel 20 päeval 58 töölist, järgneval 6 päeval aga 90 töölist. Mitu töölist peab töötamaülejäänud päevadel, et lõpetada töö õigeaegselt? (118 töölist)

42

16. Laevast oli vaja välja laadida 200 t kala. Seda asus tegema 18-liikmeline brigaad.Neli tundi hiljem liitus nendega veel 14 laadijat. Mitme tunniga tühjendati laev, kui igalaadija laadis tunnis 500 kg kala? (14,25 h)

17. Kuus kalurit sõid 6 päevaga 6 koha. Mitme päevaga söövad 10 kalurit 10 koha?

Ülesanded lahendamiseks

18. Ühes laos oli jahu 3 korda rohkem kui teises. Kui esimesest laost veeti ära 850 kg jateisest 50 kg, jäi mõlemasse lattu jahu võrdselt. Mitu kilogrammi oli esialgu kummaskilaos? (1200kg, 400kg) 19. Parkimisplatsil oli 10 autot: sõiduautod 4 rattaga ja veoautod6 rattaga. Kokku oli neil 46 ratast. Mitu sõidu- ja veoautot oli parkimisplatsil? (7 ja 3)

20. 960 lehekülge käsikirja oli tarvis trükkida võimalikult kiirest. Kirjastusel oli kasu-tada kolme trükkijat. Esimene oleks suutnud kogu käsikirja trükkida 16 päevaga, teine24 päevaga, kolmas 48 päevaga. Kõik 3 rakendati tööle ja jaotati käsikiri nii, et kõiklõpetaksid töö samaaegselt. Mitu lehekülge sai igaüks ja mitme päevaga lõpetati töö?(480, 320, 160)

21. Malle, Ülle ja Pille tõid kokku 115 kg vanapaberit. Malle tõi 6 kg vähem kui Ülle jaPille tõi 16 kg rohkem kui Ülle. Kui palju vanapaberit tõi iga tüdruk? (29 kg, 35 kg, 51kg)

22. Laost anti ühele sööklale kaks korda rohkem kartuleid kui teisele ning kolmandalekaks korda rohkem kui esimesele ja teisele kokku. Kui palju kartuleid anti igale söök-lale, kui kokku anti kolmele sööklale 1440 kg kartuleid? (320 kg, 160 kg, 960 kg)

23. Kolme arvu summa on 446. Esimene arv on teisest väiksem 73 võrra ja kolmandastsuurem 32 võrra. Leia need arvud.(135, 208, 103)

24. Kaater sõidab pärivoolu kiirusega 16 km/h ja vastuvoolu kiirusega 10 km/h. Leiakaatri omakiirus ja vee voolukiirus. (13 km/h, 3 km/h)

25. Kahe punkti vaheline kaugus on 72 km. Nendest sõidavad teineteisel vastu jalgrat-tur ja mootorrattur. Kui pika tee läbib kumbki kohtumiseni, kui mootorratturi kiirus on5 korda suurem jalgratturi kiirusest? (12 km, 60 km)

26. Kui Pärnu jõgi oleks 10 km võrra pikem, siis oleks ta Narva jõest kaks korda pikem.Kui pikk on kumbki jõgi, kui Narva jõgi on Pärnu jõest 67 km lühem? (144 km, 77 km)

27. Kahe arvu vahe on 58, aga nende jagatis on 3. Leia need arvud. (87 ja 29)

28. Kahe sadama vaheline kaugus on 160 km. Nendest sõidavad samaaegselt teineteiselvastu kaks kaatrit. Ühe kaatri kiirus on 35 km/h, teisel 29 km/h. Mitme tunni pärastnad kohtuvad? (2,5 h)

29. 2 kg odavamaid ja 4 kg kallimaid kompvekke maksavad kokku 228 kr, aga 6 kg oda-vamaid ja 6 kg kallimaid maksab 426 kr. Leia kummagi sordi kompvekkide kilogrammihind. (43 kr, 28 kr)

30. Buss läbis 540 km 8 tunniga. Esimese osa sõitis ta kiirusega 60 km/h, teise aga,mis oli esimesest 300 km võrra pikem, suurema kiirusega. Leia bussi kiirus teisel osal,samuti sõidu aeg kummalgi teeosal. (70 km/h, 2 h , 6 h)

31. Paaki, mille maht on 260 liitrit, saab täita kahe kraani kaudu. Üks kraan annab 12minutiga 144 liitrit, teine 7 minutiga 98 liitrit. Millise ajaga täitub paak, kui mõlemadkraanid avada korraga? (10 min)

43

32. Leidke 1 kg sojaubade valgu- ja rasvasisaldus, kui on teada, et tärklist on 110 gvähem kui valke, rasvaineid aga 200 g vähem kui valke, ülejäänud toitaineid aga 90 gvähem kui rasvaineid. (400 g, 200 g)

33. Koolis õpib kahes vahetuses kokku 840 õpilast. Pärast seda, kui teisest vahetusestviidi 130 õpilast üle esimesse, jäi esimesse vahetusse kaks korda rohkem õpilasi kuiteise. Mitu õpilast oli alguses kummaski vahetuses? (430, 410)

34. Tagavarateel seisavad üksteise järel 14 reisivagunit ja 48 kaubavagunit, üldpikku-sega 521 m. Reisivagun on 4 m pikem kaubavagunist. Leidke reisivaguni ja kaubavagu-ni pikkus. (11,5 m ja 7,5 m)

35. 12 pumpa pumpasid 1 tunniga välja 3350 m3 vett. Pumpi oli võimsusega 250 m3 ja320 m3 tunnis. Kui palju oli kumbagi liiki pumpi? (7 ja 5)

36. Kahest sadamast väljusid teineteisele vastu kaks aurikut. Teine aurik oli teel 7tundi vähem kui esimene, kuid sõitis tunnis 3 km rohkem kui esimene aurik. Aurikudkohtusid 3 tundi pärast teise auriku väljumist, mis sõitis kiirusega 24 km/h. Kui suuroli sadamatevaheline kaugus? (282 km)

37. Paadi kiirus pärivoolu sõites on 2 korda suurem kui vastuvoolu sõites. Voolu kiiruson 3 km/h. Leidke paadi omakiirus. (9 km/h)

38. Pargis on 50 inimest. Täiskasvanuid oli 26 võrra rohkem kui lapsi. Mehi oli 2 võrravähem kui naisi. Mitu meest, naist ja last oli pargis? (18, 20, 12)

39. Ühe kilogrammi esimese sordi küpsiste ja kahe kilogrammi teise sordi küpsiste eestmaksti 50 kr. Kolme kilogrammi esimese sordi ja nelja kilogrammi teise sordi küpsisteeest maksti 120 kr. Leidke kummagi sordi küpsiste kilogrammi hind. (20 kr, 15 kr)

4. klassi ülesanded („Avita“ 2005)

214. Ahti vanaemal oli kanade toitmiseks varutud kaks kotti otra, kokku 73 kg. Üheskotis oli 11 kg otra rohkem kui teises. Mitu kilogrammi otra oli kummaski kotis?

216. Marit ja Helen korjasid suvel metsamarju ning müüsid neid. Vanem õde Helen tee-nis 2 korda rohkem kui noorem ja kokku said nad 630 krooni. Kui palju teenis kumbki?

217. Indrek ja Tanel teenisid aiandis kahe peale kokku 880 krooni. Tanel sai 3 kordarohkem raha kui Indrek. Mitu krooni teenis kumbki?

348. Ema ja isa palk kokku on 8132 kr. Isa palk on 572 kr võrra väiksem ema palgast.Kui suur on kummagi palk?

683. Kooli sööklasse telliti 10 uut lauda ja 40 tooli, kokku 16 900 kr eest, kohvikusse tel-liti 10 samasugust lauda ja 20 tooli 12 700 kr eest. Kui palju maksis üks laud ja kui paljuüks tool?

684. Maris ja Olavi koguvad märke. Eilseks oli Marisel märke 60 võrra rohkem, see tä-hendab, et tal oli neid 4 korda rohkem kui Olavil. Mitu märki oli Olavil, mitu Marisel?885. Buss sõitis 4 tunniga 200 km. Rong sõitis 2 tunniga sama palju kui buss 3 tunniga.Mitu kilomeetrit sõitis rong 2 tunniga?

1141. Puisniidu algkool on neljaklassiline. I ja II klassis on seal kokku 28 õpilast, I, II jaIII klassis kokku 46 õpilast ning IV klassis 3 õpilast rohkem kui III klassis. Mitu õpilaston Puisniidu algkoolis?

1153. Kolme arvu summa on 270. Teise ja esimese arvu vahe on 9, kolmanda ja esimesearvu vahe on 24. Leia need arvud.

44

1048. Veebruaris sai kauplus kasumit 25 000 krooni vähem kui jaanuaris. Kahe kuu ka-sum oli kokku 135 000 krooni. Kui suur oli kasum jaanuaris, kui suur veebruaris?

1155. Kahe arvu summa on 60, nende arvude jagatis aga 3. Leia need arvud.

1187. Kauplusesse tuli täiendavalt müüki 11 980 kr eest lauatelefone. Kui 4 neist olimüüdud, oli neid 4 korda rohkem veel müümata. Mitme krooni eest oli lauatelevonemüümata?

4. klassi ülesanded („Avita“ 1998)

1028. Karis luges 2 päevaga läbi raamatu, milles oli 96 lehekülge. Esimesel päeval lugesta 20 lehekülge vähem kui teisel. Mitu lehekülge luges ta kummalgi päeval?

1037. Kolmes kotis kokku on 120 kg suhkrut: esimeses ja teises kotis kokku 70 kg,esimeses ja kolmandas kokku 80 kg. Mitu kilogrammi suhkrut oli igas kotis?

1049. Kahe arvu summa on 2346, aga samade arvude vahe on 840. Leia need arvud.

1087. Linnade A ja B vahemaa on 60 km. Linnast A linna B väljus jalakäija. 2 tundihiljem väljus linnast B linna A jalgrattur kiirusega 20 km tunnis. Nad kohtusid 40 kmkaugusel linnast B. Leia jalakäija kiirus.

1104. Turistid jõudsid mootorpaadiga pärivoolu sõites ühest asulast teise 25 minutiga,vastuvoolu tagasi sõideti 40 minutiga. Pärivoolu oli paadi kiirus 200 m minutis. Kuisuur oli kiirus vastuvoolu?

5. klassi ülesanded („Koolibri“ 2002)

204. Elevandi, kaameli ja kaelkirjaku massi teadasaamiseks viis eesel kaalule kõige-pealt kõik kolm looma. Kaal näitas 6170 kg. Kui kaalule jäid kaamel ja kaelkirjak, näi-tas kaal 1271 kg. Lõpuks jäi kaalule ainult kaelkirjak ja kaal näitas 475 kg. Kui paljukaalus elevant ja kui palju kaamel? (4899 kg, 796 kg)

228. Kalle kogus suvel 1030 g ja Teet 470 g ravimtaimi. Tiina ja Teet kogusid ravimtaimikokku 80 g võrra vähem kui Kalle. Kui palju ravimtaimi kogus Tiina? (480 kg)

424. Toomas kaalub 34 kg, isa 3 korda rohkem kui Toomas ja vanaisa 25 kg võrra vähemkui isa. Kui koos nende kolmega astus kaalule ka ema, näitas kaal 273 kg. Kui paljukaaluvad isa, vanaisa ja ema? (102 kg, 77 kg, 60 kg)

425. Linnast väljusid üheaegselt samas suunas kaks jalgratturit, üks kiirusega 12 jateine 17 kilomeetrit tunnis. Kui kaugel teineteisest olid jalgratturid 4 tunni pärast? (20km)

495. Kahe linna vahemaa on 285 km. Ühest linnast teise sõidab auto keskmise kiirusega65 kilomeetrit tunnis. Kui auto oli sõitnud 195 km, kohtus ta teisest linnast samal ajalväljunud jalgratturiga, kelle keskmine kiirus oli 18 km/h. Mitu tundi oli jalgrattur teelolnud? (5 tundi)

497. Kaks hobust söövad 3 päevaga 18 hangutäit heinu. Arvuta,1) kui palju heinu vajavad 3 hobust 2 päeva jaoks;2) mitmele hobusele jätkub 5 päevaks 60 hangutäiest;3) mitmeks päevaks jätkub 4 hobusele 72 hangutäist.

535. Kullaotsijad väidavad, et kullaliiva käsitsi pesemisel kulub 5 inimesel 10 g kullaväljapesemiseks 2 päeva. Arvuta,1) mitu päeva on vaja 5 inimesel 5 g kulla välja pesemiseks;

45

2) mitu päeva on vaja 1 inimesel 10 g kulla välja pesemiseks;3) mitu päeva on vaja 10 inimesel 10 g kulla välja pesemiseks;4) mitu grammi kulda jõuavad 10 inimest välja pesta 4 päevaga; (40 g)5) mitu inimest on vaja, et päevaga välja pesta 40 g kulda. (40 in.)

536. Töömees Teemu töötab 8 tundi päevas ja teenib 30 kr tunnis. Peale selle on tal või-malik teha igal nädalal 5 ületundi tunnitasuga 40 kr. Teemule pakutakse uut töökohta,kus tunnitasu on 35 kr, kuid ületunnitöö pole lubatud. Kas Teemul tasub vahetada omatöökohta?

537. Sõiduauto „Sääsk“ tarvitab iga 100 km kohta keskmiselt 6 liitrit bensiini hinnaga9 kr 80 s liiter. Samade sõiduomadustega „Parm“ vajab aga selle vahemaa läbimiseks 7liitrit bensiini hinnaga 9 kr 50 s liiter. „Sääse“ hooldamine maksab iga 10000 km kohtakeskmiselt 500 kr, „Parmu“ oma aga 350 kr. Kuidas auto ostja peaks otsustama?

538. Kahe linna vahemaa on 208 km. Nendest linnadest väljusid samal ajal teineteiselevastu kaks jalgratturit. Üks neist sõitis kiirusega 15 kilomeetrit tunnis. Arvuta teisejalgratturi kiirus, kui jalgratturid kohtusid pärast kaheksatunnist sõitu. (11 km/h)

539. Kuuest vagunist koosnev elektrirong möödub paigalseisvast vaatlejast 6 sekundi-ga. Mitu kilomeetrit läbib see rong ühes tunnis, kui vaguni pikkus on 20 meetrit? (72km/h)

545. Ühel kaalukausil on 6 ühesugust teepakki ja 50-grammine kaaluviht. Teisel kaalu-kausil on üks samasugune teepakk ja üks 300-grammine kaaluviht. Kaalud on tasakaa-lus. Mitu grammi kaalub üks teepakk? (50 g)

546. Lasketiirus leppis Ants isaga kokku, et teeb 5 lasku ja iga tabamuse eest saab veel2 preemialasku. Kokku sai Ants lasta 17 korral. Mitu korda Ants tabas? (6 korda)

1186. Mootorratturil tuli sihtkohta jõudmiseks sõita 330 km. Esimesed 3 tundi sõitis takiirusega 60 km/h, ülejäänud vahemaa läbis ta aga 2 tunniga. Mitu korda oli kiirus tei-sel osal suurem kui esimesel? (1,25)

1190. Täis piimanõu kaalub 35 kg. Pooleni täidetuna kaalub see piimanõu 18,5 kg. Kuipalju kaalub tühi piimanõu? (2 kg)

1239. 860,4 kg apelsine on pakitud kahesugustesse kastidesse: ühtedes on igaühes 24,5kg ja teistes 35,4 kg apelsine. Suuremates kastides on kokku 272,4 kg apelsine rohkemkui väiksemates kastides. Mitu suuremat ja mitu väiksemat kasti on apelsine täis? (16ja 12)

1276. Kaater sõitis kõigepealt 1,5 tundi järvel kiirusega 59 km/h, seejärel 0,8 tundi jõelvastuvoolu. Voolu kiirus jões oli 1,6 km/h. Arvuta kaatri marsruudi pikkus. (134,42 km)

1277. Porila asulast väljusid üheaegselt kaks jalgratturit ja suundusid Mudala asulas-se. Jalgratturite kiirused olid 15 km/h ja 24 km/h. 2,5 tunni pärast jõudiski üks jalgratturMudalasse. Mitu kilomeetrit jäi selleks momendiks teisel jalgratturil veel sõita? (22,5km)

1502. Kui lennuk oli läbinud 1200 km kiirusega 800 km/h, siis jäi tal lennata veel 425km. Viimase teeosa lendas lennuk kiirusega 850 km/h. Kui kaua kestis kogu lend? (2tundi)

1544. Taimi vanaema kasvatab hanesid ja küülikuid. Neil on kokku 25 pead ja 54 jalga.Mitu hane ja mitu küülikut on Taimi vanaemal? (23 ja 2)

46