How the Leopard Gets Its SpotsA single pattern­formation mechanism could underlie the wide variety of animal coat markings found in nature. Results fromthe mathematical model open lines of inquiry for the biologist

by James D. Murray

ammals exhibit a remarkablevariety   of   coat   patterns;   thevariety has elicited a compa­

rable variety of explanations—manyof them at the level of cogency thatprevails in Rudyard Kipling's delight­ful "How the Leopard Got Its Spots."Although genes  control   the proces­ses involved in coat pattern forma­tion, the actual mechanisms that cre­ate the patterns are still not known. Itwould  be  attractive   from  the  view­point of both evolutionary and devel­opmental   biology   if   a   single  mech­anism   were   found   to   produce   theenormous   assortment   of   coat   pat­terns found in nature.

I should like to suggest that a singlepattern­formation   mechanism   couldin fact be responsible for most if notall of the observed coat markings. Inthis  article   I  shall  briefly  describe  asimple mathematical model for  howthese  patterns  may be  generated   inthe   course   of   embryonic   develop­ment.   An   important   feature   of   themodel   is   that   the  patterns   it  gener­ates  bear   a   striking   resemblance   tothe patterns found on a wide varietyof  animals   such  as   the   leopard,   thecheetah,   the   jaguar,   the   zebra   andthe giraffe. The simple model is alsoconsistent  with the observation  thatalthough the distribution of spots onmembers   of   the   cat   family   and   ofstripes on zebras varies widely andis unique to an individual, each kindof  distribution  adheres   to  a  generaltheme. Moreover, the model also pre­dicts that the patterns can take onlycertain forms, which in turn impliesthe existence of developmental con­straints   and   begins   to   suggest   howcoat patterns may have evolved.

It is not clear as to precisely whathappens during embryonic develop­ment to cause the patterns. There arenow   several   possible   mechanismsthat are capable of  generating suchpatterns. The appeal of the simple

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model  comes from its  mathematicalrichness  and  its  astonishing  abilityto create patterns that correspond towhat  is seen. I hope the model willstimulate experimenters to pose rele­vant   questions   that   ultimately   willhelp to unravel the nature of the bio­logical mechanism itself.

ome   facts,   of   course,   are  knownabout   coat   patterns.   Physically,spots   correspond   to   regions   of

differently colored hair. Hair color isdetermined   by   specialized   pigmentcells  called  melanocytes,  which   arefound  in   the   basal,   or   innermost,layer   of  the   epidermis.   Themelanocytes   generate   a   pigmentcalled melanin that  then passes intothe   hair.   In   mammals   there   areessentially   only   two  kinds   ofmelanin:   eumelanin,   from  theGreek words eu (good) and melas(black),   which   results   in   black  orbrown   hairs,   and   phaeomelanin,from  phaeos  (dusty),   which   makeshairs yellow or reddish orange.

It   is  believed that  whether or  notmelanocytes   produce   melanin   de­pends on the presence or absence ofchemical   activators   and   inhibitors.Although   it   is   not   yet   known   whatthose chemicals are,  each  observedcoat   pattern   is   thought   to   reflectan   underlying   chemical   prepattern.The prepattern, if it exists, should re­side somewhere in or just under theepidermis.   The   melanocytes   arethought   to  have   the   role  of   "read­ing   out"   the   pattern.   The   model   Ishall describe could generate such aprepattern.

My work is based on a model de­veloped  by Alan M. Turing (the  in­ventor of the Turing machine and thefounder   of   modern   computing   sci­ence). In 1952, in one of the most im­portant papers in theoretical biology,Turing postulated a chemical mecha­nism for generating coat patterns. Hesuggested that biological form fol­

lows a prepattern  in   the concentra­tion of chemicals he called morpho­gens. The existence of morphogensis   still   largely   speculative,   exceptfor circumstantial evidence, but Tu­ring's  model   remains   attractive  be­cause   it   appears   to   explain  a   largenumber of experimental results withone or two simple ideas.

Turing began with the assumptionthat morphogens can react with oneanother and diffuse through cells. Hethen employed a mathematical mod­el to show that if morphogens reactand   diffuse   in   an   appropriate   way,spatial  patterns  of  morphogen con­centrations can arise from an initialuniform   distribution   in   an   assem­blage   of   cells.   Turing's   model   hasspawned   an   entire   class   of   modelsthat are now referred to as reaction­diffusion models.  These models  areapplicable if the scale of the pattern islarge compared with the diameter ofan individual cell. The models are ap­plicable to the leopard's coat, for in­stance, because the number of cellsin a leopard spot at the time the pat­tern is laid down is probably on theorder of 100.

Turing's   initial   work   has   beendeveloped  by  a  number  of   investi­gators,   including   me,   into   a   morecomplete mathematical  theory.  In atypical reaction­diffusion model onestarts with two morphogens that canreact with each other and diffuse atvarying rates. In the absence of dif­fusion—in   a   well­stirred   reaction,for   example—the   two   morphogenswould react and reach a steady uni­form   state.   If   the   morphogens   arenow allowed to diffuse at equal rates,any spatial variation from that steadystate will be smoothed out. If, howev­er, the diffusion rates are not equal,

LEOPARD reposes. Do mathematical aswell as genetic rules produce its spots?

M

S

diffusion can be destabilizing: the reaction rates at any given point may not be able to adjust quickly enough toreach equilibrium. If the conditions are right, a small spatial disturbance can become unstable and a pattern beginsto grow. Such an instability is said to be diffusion driven.

n reaction­diffusion models it is assumed that one of the morphogens is an activator that causes the mela­nocytesto produce one kind of melanin,  say black,  and the other  is  an inhibitor  that  results   in  the  pigment  cells'producing no melanin. Suppose  the reactions are such that the activator increases its concentration locally and

simultaneously  generates   the  inhibitor.  If   the  inhibitor  diffuses  faster   than   the   activator,   an   island   of  highactivator concentration will be created within a region of high inhibitor concentration.

One can gain an intuitive notion of how such an activator­inhibitormechanism can give rise to spatial  patterns of morphogen concentrations from the following, albeit somewhatunrealistic, example. The analogy involves a very dry forest—a situation ripe for forest fires. In an  attempt tominimize potential damage, a number of fire fighters with helicopters and fire­fighting equipment have beendispersed throughout the forest. Now imagine that a fire (the activator) breaks out. A fire front starts to propagateoutward. Initially there are not enough fire fighters (the inhibitors) in the vicinity of the fire to put it out. Flying intheir helicopters,  however, the fire fighters can outrun the fire front and spray fire­resistant chemicals on trees;when the fire reaches the sprayed trees, it is extinguished. The front is stopped.

If fires break out spontaneously in  random parts of the forest, over the  course of time several fire fronts (ac­tivation waves) will propagate outward. Each front in turn causes thefire fighters in their helicopters (inhibition waves) to travel out faster and quench the front at some distance aheadof the fire. The final result of this scenario is a forest with blackened patches of burned trees interspersed withpatches of green, un­burned trees. In effect, the outcome mimics the outcome of reaction­diffusion mechanisms thatare diffusion driven. The type of pattern that results depends on the various parameters of the model and can beobtained from mathematical analysis.

Many specific reaction­diffusion models have been proposed, based on plausible or real biochemical reactions,and their  pattern­formation properties have been examined.  These mechanisms involve several parameters,including   the   rates  at which the reactions proceed,  the  rates at which the chemicals diffuse  and—of crucialimportance—the geometry and scale of the tissue. A fascinating property of reaction­diffu­

MATHEMATICAL MODEL called   a   reaction­diffusionmechanism   generates   patterns   that   bear   a   strikingresemblance  to  those found on certain animals. Herethe patterns on the tail of

the leopard  (left),  the jaguar and the cheetah  {middle)and the genet (right) are shown, along with the patternsfrom the model  for tapering cylinders of varying width(right side of each panel).

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I

ZEBRA STRIPES at the junction of the

foreleg and body (left) can be produced bya reaction­diffusion mechanism (above).

sion  models  concerns   the outcomeof beginning with a uniform steadystate and holding all the parametersfixed except one, which is varied. Tobe specific, suppose the scale of thetissue is increased. Then eventuallya  critical   point   called   a  bifurcationvalue   is   reached  at  which   the  uni­form steady state of the morphogensbecomes   unstable   and   spatial   pat­terns begin to grow.

The most visually dramatic exam­ple of reaction­diffusion pattern for­mation is the colorful class of chemi­cal reactions discovered by the Sovi­et investigators B. P. Belousov andA. M. Zhabotinsky in the late 1950's[see "Rotating Chemical Reactions,"by   Arthur   T.   Winfree;  SCIENTIFICAMERICAN,  June,  1974].  The reactionsvisibly organize themselves in spaceand   time,   for   example   as   spiralwaves.  Such   reactions  can  oscillatewith   clocklike   precision,   changingfrom, say, blue to orange and back toblue again twice a minute.

Another   example   of   reaction­dif­fusion   patterns   in   nature   was   dis­covered  and  studied  by  the  Frenchchemist Daniel Thomas in 1975. Thepatterns  are  produced  during   reac­tions between uric acid and oxygenon a   thin  membrane  within  whichthe chemicals can diffuse. Althoughthe membrane contains an immobil­ized enzyme that catalyzes the reac­tion, the empirical model for describ­ing the mechanism involves only thetwo chemicals and ignores the en­

|  zyme.   In  addition,   since   the  mem­brane   is   thin,  one  can  assume cor­rectly  that  the   mechanism   takes

I place in a two­dimensional space.I should like to suggest that a good

candidate for the universal mecha­

nism  that   generates   the   prepatternfor mammalian coat patterns is a re­action­diffusion   system  that   exhib­its  diffusion­driven  spatial  patterns.Such   patterns   depend   strongly   onthe  geometry   and   scale   of   the   do­main   where   the   chemical   reactiontakes   place.   Consequently   the   sizeand shape of the embryo at the timethe   reactions   are   activated   shoulddetermine   the   ensuing   spatial   pat­terns. (Later growth may distort theinitial pattern.)

ny reaction­diffusion mechanismLcapable of generating diffusion­driven   spatial   patterns   would

provide   a   plausible   model   foranimal  coat   markings.   Thenumerical   and  mathematical   resultsI present in this article are based onthe model that  grew out of Thomas'work.   Employing   typical  values   forthe parameters, the time to form coatpatterns   during  embryogenesiswould be on the order of a day or so.

Interestingly,   the   mathematicalproblem of describing the initial stag­es of spatial pattern formation by re­action­diffusion   mechanisms   (whendepartures   from uniformity  are  mi­nute) is similar to the mathematicalproblem of describing the vibrationof thin plates or drum surfaces. Theways   in   which   pattern   growth   de­pends   on   geometry   and   scale   cantherefore   be   seen   by   consideringanalogous vibrating drum surfaces.

If a surface is very small, it simplywill not sustain vibrations; the distur­bances die out quickly. A minimumsize is therefore needed to drive anysustainable   vibration.   Suppose   thedrum surface, which corresponds tothe reaction­diffusion domain, is a

rectangle. As the size of the rectan­gle is increased, a set of increasing­ly complicated modes of possible vi­bration emerge.

An   important   example   of   howthe geometry constrains the possiblemodes  of  vibration   is   found  whenthe   domain   is   so   narrow   that   onlysimple—essentially   one­dimensional—modes   can   exist.   Genuine   two­dimensional patterns require the do­main to have enough breadth as wellas   length.   The   analogous   require­ment  for  vibrations  on  the surfaceof a cylinder is that the radius cannotbe  too small,  otherwise only  quasi­one­dimensional   modes   can   exist;only   ringlike   patterns   can   form,   inother   words.   If   the   radius   is   largeenough,   however,   two­dimensionalpatterns can exist on the surface. As aconsequence, a tapering cylinder canexhibit   a   gradation   from   a   two­di­mensional  pattern   to   simple   stripes[see illustration on opposite page].

Returning   to   the   actual   two­mor­phogen   reaction­diffusion   mecha­nism I considered, I chose a set of re­action and diffusion parameters thatcould produce a diffusion­driven in­stability and kept them fixed for allthe   calculations.   I   varied   only   thescale and geometry of the domain. Asinitial conditions for my calculations,which I  did on a computer,  I  choserandom perturbations about the uni­form steady state. The resulting pat­terns are colored dark and light in re­gions where the concentration of oneof the morphogens is greater than orless than the concentration in the ho­mogeneous  steady  state.  Even  withsuch   limitations   on   the   parametersand the initial conditions the wealthof possible patterns is remarkable.

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A

EXAMPLES OF DRAMATIC PATTERNS occurring naturally arefound in the anteater (left) and the Valais goat, Capra aegagrus

hircus (right). Such patterns can be accounted for by the author'sreaction­diffusion mechanism (see bottom illustration onthese

How do the results of the model cheetah (Acinonyx jubatus), the jag­ relatively short, and so one wouldcompare with typical coat markings uar (Panthem onca) and the genet expect that it could support spots toand general features found on ani­ {Genetta genetta) provide good exam­ the very tip. (The adult leopard tail ismals? I started by employing taper­ pies of such pattern behavior. The long but has the same number of ver­ing cylinders to model the patterns spots of the leopard reach almost to tebrae.)The tail of the genet embryo,on the tails and legs of animals. The the tip of the tail. The tails of the at the other extreme, has a remark­results are mimicked by the results cheetah and the jaguar have distinct­ ably uniform diameter that is quitefrom the vibrating­plate analogue, ly striped parts, and the genet has thin. The genet tail should thereforenamely, if a two­dimensional region a totally striped tail. These obser­ not be able to support spots,marked by spots is made sufficiently vations are consistent with what is The model also provides an in­thin, the spots will eventually change known about the embryonic struc­ stance of a developmental con­to stripes, ture of the four animals. The prenatal straint,   documented   examples   of

The leopard (Panthera pardus), the leopard tail is sharply tapered and which are exceedingly rare. If the

SCALE AFFECTS PATTERNS generated within the constraints of a generic animal shape in the author's model. Increasing thescale and holding all other parameters fixed produces a remarkable variety of patterns. The model agrees with the fact that

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two pages). The drawing of the anteater was originally published by G. and W. B. Whit­taker in February, 1824, and the photograph was made by Avi Baron and Paul Munro.

ings of the zebra. It is not difficult to

generate a series of stripes with ourmechanism. The junction of the fore­leg   with   the   body   is   more   compli­cated,   but   the   mathematical   modelpredicts   the   typical   pattern   of   leg­body scapular stripes [see illustrationon page 83}.

In order to study the effect of scalein a more complicated geometry, wecomputed the patterns for a genericanimal shape consisting of a body,a head, four appendages and a tail

small animals such as the mouse have uniform coats, intermediate­size ones such asthe leopard have patterned coats and large animals such as the elephant are uniform.

[see bottom illustration  on   these   twopages}.  We started with a very smallshape   and   gradually   increased   itssize, keeping all the parts in propor­tion.   We   found   several   interestingresults.  If   the domain is   too small,no pattern can be generated.  As thesize of the domain is increased suc­cessive bifurcations  occur:  differentpatterns   suddenly   appear   and   dis­appear.   The   patterns   show   morestructure and more spots as the sizeof   the  domain   is   increased.  Slenderextremities   still   retain   their   stripedpattern,  however,  even for domainsthat are quite large. When the domainis very large, the pattern structure isso   fine   that   it   becomes   almost  uni­form in color again.

he effects of scale on pattern sug­gest that if the reaction­diffusionmodel   is   correct,   the   time   at

which  the   pattern­formingmechanism   is  activated   duringembryogenesis   is  of   the   utmostimportance.   There   is  an   implicitassumption   here,   namely   that   therate   constants   and   diffusioncoefficients   in   the   mechanism   areroughly similar in different animals.If the mechanism is activated earlyin development by a genetic switch,say,   most   small   animals   that   haveshort periods of gestation should beuniform in color.  This   is  generallythe case.  For   larger  surfaces,  at   thetime of activation there is the possi­bility that animals will be half blackand   half   white.   The   honey   badger(Mellivora capensis) and the dramati­cally patterned Valais goat (Capra ae­gagrus hircus) are two examples [seetop illustration on these two pages}. Asthe size of   the domain increases, soshould   the   extent   of   patterning.   Infact,   there  is  a  progression  in  com­plexity from the Valais goat to certainanteaters,  through the zebra and onto the leopard and the cheetah. At theupper end of the size scale the spotsof giraffes are closely spaced. Final­ly, very large animals should be uni­form in color again, which indeed isthe  case  with   the   elephant,   the   rhi­noceros and the hippopotamus.

We expect   that   the  time at  whichthe pattern­forming mechanism is ac­tivated is an inherited trait, and so, atleast for animals whose survival de­pends   to  a  great   extent  on  pattern,the mechanism is activated when theembryo has reached a certain size. Ofcourse,   the   conditions   on   the   em­bryo's surface at  the time of activa­tion   exhibit   a   certain   randomness.The   reaction­diffusion   model   pro­duces patterns that depend uniquely

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prepattern­forming   mechanism   foranimal   coat   markings   is   a   reaction­diffusion process (or any process that issimilarly   dependent   on   scale   andgeometry),   the   constraint   would   de­velop   from   the   effects   of   the   scaleand   geometry   of   the   embryos.   Specif­ically,   the  mechanism shows   that   it   ispossible for a spotted animal to have astriped tail but impossible for a stripedanimal to have a spotted tail.

We have also met with success inour attempts to understand the mark­

T

on the initial conditions, the geome­try  and   the  scale.  An  important  as­pect of the mechanism is  that, for  agiven   geometry   and   scale,   the  pat­terns generated for a variety of ran­dom   initial   conditions   are   qualita­tively similar. In the case of a spottedpattern, for example, only the distri­bution of spots varies. The findingis consistent with the individuality

of   an   animal's   markings   within   aspecies. Such individuality allows forkin recognition and also for generalgroup recognition.

The   patterns   generated   by   themodel   mechanism   are   thought   tocorrespond   to   spatial   patterns   ofmorphogen   concentrations.   If   theconcentration is high enough, mela­nocytes will produce the melanin

pigments. For simplicity we assumedthat   the uniform steady  state   is   thethreshold concentration, and we rea­soned that melanin will be generatedif the value is equal to or greater thanthat  concentration.  The assumptionis somewhat arbitrary, however. It isreasonable to expect that the thresh­old   concentration   may   vary,   evenwithin species. To investigate such

DIFFERENT GIRAFFES have different kinds of markings. The subspecies Gi­raffa camelopardalis tippelskirchi is characterizedby rather small spots separated by wide spaces (top left); G. camelopardalis reticulata, in contrast, is covered by large, closelyspaced spots (top right). Both kinds of pattern can be accounted for by the author's reaction­diffusion model (bottom left and

bottom right). The assumption is that at the time the pattern is laid down the embryo is between 35 and 45 days old and has alength of roughly eight to 10 centimeters. (The gestation period of the giraffe is about 457 days.)

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effects,  we  considered   the  variouskinds of giraffe. For a given typeof pattern, we varied the parameterthat corresponds to the morphogenthreshold concentration for melano­cyte activity. By varying the parame­ter, we found we could produce pat­terns that closely resemble those oftwo different kinds of giraffe [see illus­tration on opposite page].

ecently the results of our model­have   been   corroborateddramatically by Charles M. Vest

and You­ren  Xu of  the  Universityof   Michigan.   They   generatedstanding­wave  patterns   on   avibrating   plate   and  changed   thenature  of  the  patterns  by  changingthe   frequency   of   vibration.   Thepatterns   were   made   visible   by   aholographic technique in which theplate was bathed in laser light. Lightreflected from the plate interferedwith a reference beam, so that crestsof  waves  added to  crests,   troughsadded   to   troughs,   and   crests   andtroughs canceled, and the resultingpattern was recorded on a piece ofphotographic emulsion [see illustra­tion at right].

Vest and Youren found that low fre­quencies of vibration produce simplepatterns and high frequencies of vi­bration  produce  complex  patterns.The observation is  interesting,  be­cause it has been shown that if a pat­tern forms on a plate vibrating at agiven frequency, the pattern formedon the same plate vibrated at a high­er   frequency   is   identical  with   thepattern formed on a proportional­ly larger plate vibrated at the origi­nal frequency. In other words, Vestand Youren's data support our con­clusion that more complex patternsshould be generated as the scale of

! the reaction­diffusion domain is in­creased. The resemblance betweenour patterns and the patterns subse­quently produced by the Michiganworkers is striking.

I should like to stress again thatall the patterns generated were pro­duced by varying only the scale andgeometry of the reaction domain; allthe other parameters were held fixed(with the exception of the differentthreshold concentrations in the caseof the giraffe). Even so, the diversi­ty of pattern is remarkable. The mod­

I el also suggests a possible explana­tion for the various pattern anom­alies seen in some animals. Undersome   circumstances   a   change   inthe

[ value of one of the parameters can re­sult in a marked change in the pat­tern   obtained.   The   size   of   theeffect

STANDING­WAVE PATTERNS generated on a thin vibrating plate resemble coat pat­terns and confirm the author's work. More complex patterns correspond to higher fre­quencies of vibration. The experiments were done by Charles M. Vest and Youren Xu.

depends on how close the value ofthe parameter is to a bifurcation val­ue: the value at which a qualitativechange in the pattern is generated.

If one of the parameters, say a rateconstant in the reaction kinetics, isvaried continuously, the mechanismpasses from a state in which no spa­tial   pattern   can   be   generated   to   apatterned state and finally back toa  state containing no patterns.  Thefact   that   such   small   changes   in   aparameter  near  a  bifurcation  valuecan result  in such large changes inpattern   is  consistent   with   thepunctuated­equi­librium   theory   ofevolution.   This   theory   holds   thatlong  periods  of   little   evolutionarychange   are   punctuated  by   shortbursts of sudden and rapid change.

any factors, of course, affect an­imal   coloration.   Temperature,humidity, diet, hormones and

meta­

R

bolic rate are among some of them.Although the effects of such factorsprobably could be mimicked by ma­nipulating various parameters, thereis little point in doing so until moreis known about how the patterns re­flected in the melanin pigments areactually produced. In the meantimeone cannot help but note the wide va­riety of patterns that can be generat­ed with a reaction­diffusion model byvarying only the scale and geometry.The considerable circumstantial evi­dence derived from comparison withspecific animal­pattern features is en­couraging. I am confident that mostof the observed coat patterns canbe generated by a reaction­diffusionmechanism. The fact that many gen­eral and specific features of mamma­lian coat patterns can be explainedby this simple theory, however, doesnot make it right. Only experimentalobservation can confirm the theory.

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