hoja de trabajo s2 (1)
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(
Solucin
%*
( ( ( (
*( ( ( ( (
*
(
* *
) ( ) (
) + ) ( ( ) (
+ ) (+ ) (
+ (
+ =
+ + + +=
+ + + +
=
+ = = +
=
x
x
x
x x
f ( x x, y ) f ( x , y )D f ( x , y ) lim
x
( x x ) ( x x )y y ( x xy y )lim
xx x x ( x ) xy y x y x xy y
limx
x x ( x ) y xlim lim x x y
x
x y
(*
( ( ( (
*
( ( ( ( (
*
(
*
*
) ( ) (
) ( ( ( ) (
( (
( ( ( (
y
y
y
y
y
f ( x, y y ) f ( x, y )D f ( x , y ) lim
y
x x( y y ) ( y y ) ( x xy y )limy
x xy x y y y y ( y ) x xy ylim
y
x y y y ( y )lim
y
lim ( x y y ) x y
+ =
+ + + +=
+ + + + =
+ =
= + + = +
Ejemplo 2*-Calcular %D f ( x, y ) # (D f ( x, y ) si( (
( f ( x , y ) x y xy x y= + +
Solucin
%*
( ( ( (
*
( ((
* *
(
( (
- (- ( %
- %
+ =
+ + + + + + + =
+ + + = = + + +
= + +
x
x
x x
f ( x x, y ) f ( x , y )D f ( x , y ) lim
x
( ( x x ) y ( x x )y ( x x ) y ) ( x y xy x y )lim
x
xy x ( x ) y x xlim lim xy x y
x
xy y
En forma similar !ue(
( ( ( D f ( x , y ) x xy= + .
Nota Para calcular las derivadas parciales, todo lo !ue debe acer es recordar !ue seg/n laecuacin $%& la derivada parcial con respecto a xes justamente la derivada ordinaria de f con
respecto ax manteniendo fija la variabley. Por lo tanto, se encuentra la regla siguiente.
REGLA ARA DE!ER"#NAR LAS DER#$ADAS AR%#ALES DE + , -z f x y
%. Para determinar xf
, conservar a y constante # derivar $ , &f x y con respecto a x .
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)
(. Para determinar yf
, conservar a xconstante # derivar $ , &f x y con respecto a y .
Ejemplo 10ada la funcin zdefinida por $ & x y
z x y e
=
2 2
. 1allar
z
y
#
z
x
.
Solucin
+ -+ - + -x y 2 2 x y 2 3 x yz
2 xe x y ye 2 x x y y ex
= =
+ -+ - + -x y 2 2 x y 3 2 x yz
2 ye x y xe 2 y x xy ey
= =
Ejemplo 2 1allar # evaluar las derivadas parciales de $ , &
2
=
x y
f x y xe . 1allar ,x yf f # evaluar
a cada en el punto $%,ln (& .
Solucin
Co%o $ , & $ &2 2
2
x y x y
xf x y xe xy e
. 2a derivada parcial de f con respecto a x en $%,ln (& es
ln ( ln ($%,ln (& $(ln (& -ln ( ( =
xf e e
.
Co%o$ , & $ &
2 22 3
= =
x y x y
yf x y xe x x e
. 2a derivada parcial de f con respecto a y en $%,ln (& es
ln ($%,ln (& (=
yf e
.
#N!ERRE!A%#&N GE'"(!R#%A DE LAS DER#$ADAS AR%#ALES
Para dar una interpretacin geom3trica de las derivadas parciales, recuerde !ue la ecuacin$ , &z f x y representa una superficie S$!ue es la gr4fica de f &. Si $ , &f a b c , entonces el
punto $ , , &P a b c est4 definido sobre S. Si ace y b entonces $ , &z f x b representa la curva
interseccinC
1 $en otras palabras la curvaC
1 es la traza de Sen el plano y b &. Por
consiguiente
*
$ , & $ , &$ , & lim
x x
f a x b f a bf a b
x
=
representa la pendiente de esta curva en el punto $ , , $ , &&a b f a b . 5tese !ue tanto la curva
como la recta est4n en el plano y b . "n4logamente
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*
$ , & $ , &$ , & lim
y y
f a y b f a bf a b
y
=
representa la pendiente de la curva interseccinC
2 $en otras palabras la curvaC
2 es la
traza de Sen el plano x a &. 6er figura %
Ejemplo 1 Si( (
$ , & - (f x y x y , determine$%,%& # $%,%&
x yf f
, e interprete estos valores.
Solucin
2as derivadas parciales de f con respecto a ex y son
$ , & ( $ , & -
$%,%& ( $%,%& -
x y
x y
f x y x f x y y
f f
= =
= =
2a gr4fica de f es el paraboloide( (
$ , & - (f x y x y # el plano vertical %y= lo corta en
la par4bola(
( , %z x y = .$"l igual !ue en el an4lisis anterior, es %C
en la figura ( &. 2a
pendiente de la tangente de esta par4bola en el punto $%,%,%& es$%,%& (
xf
= . 0e la misma
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manera, la curva (C
!ue se forma cuando el plano %x= corta al paraboloide es la par4bola(
) ( , %z y x = # la pendiente de la tangente de esta par4bola en el punto $%,%,%& es
$%,%& -y
f =$ver figura )&.
Derivadas parciales de una uncin de tres o m)svariables
7ambi3n se puede definir las derivadas parciales mediante funciones de tres o m4s
variables. Por ejemplo, si f es una funcin de tres variables #x y z, , entonces su derivada
parcial con respecto a x se define como
*
$ , , & $ , , &$ , , & lim
xh
f x h y z f x y zf x y z
h
=
# se determina considerando a # ay zcomo constantes # derivando $ , , &f x y z con respecto
a x . Si $ , , &w f x y z , entonces$ , , &
xf x y z w x
se puede interpretar como la razn de
cambio de w con respecto a x cuando #y zse mantiene constantes.
En general, si u es una funcin de n variables, % ($ , , , &
nu f x x xL
, su derivada parcial con
respecto a lai83sima variable
ix
es
% ( % % %
*
$ , , , , , , , & $ , , , , &lim i i i n i nh
i
f x x x x h x x f x x xu
x h
=
L L L L
# tambi3n
ix i
i i
u ff f
x x
= = =
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F#.u!a / F#.u!a 3
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+
Ejemplo 2 0ada la funcin f definida por $ , , & x y z
f x y z e3 4 5
. 1allar sus derivadas
parciales en el punto( )%,%,% .P
Solucin3 4 5
x y z 2 4 5
( 1,1,1) ( 1,1,1 )
f e ( 3x y z ) 3ex = =
= =
3 4 5x y z 3 3 5
( 1,1,1 )( 1, 1, 1)
f e ( 4 x y z ) 4ey
$ , , &$ , , &
$ &x y zf
e x y z ez
= =
3 4 53 4 4
1 1 11 1 1
5 5
LAN' !ANGEN!E A *NA S*ER+#%#E
Se llamaplano tangentea una superficie en un punto$ , , &
0 0 0P x y z
de la misma, al plano
!ue contiene todas las tangentes a las curvas trazadas sobre la superficie por el punto
$ , , &0 0 0
P x y z.
Si la superficie est4 definida de manera implcita por la ecuacinz f x , y ,
entonces la
ecuacin del &lano tan.nten un punto $ , , &0 0 0P x y z de la superficie viene definido por laecuacin'
* * * * * * *$ , &$ & $ , &$ & $ & *
f fx y x x x y y y z z
x y
=
Ejemplo 1 1allar la ecuacin del plano tangente a la superficie de ecuacin2 2
z 5 2 x y
en el punto% % (P , , .
Solucin
1allamos las derivadas parciales'$%,%,(& $%,%,(&
$%,%,(& $%,%,(&
- -9 ( (z z
x yx y
= = = =
2uego la ecuacin del plano tangente en el puntoP(1,1,2)es' z 8 4 x 2 y
.
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:
Ejemplo 21allar la ecuacin del plano tangente a la superficie de ecuacin2 2
z 3x y 2
en el punto% ( ;P , , .
Soluc#(n
1allamos las derivadas parciales'$ %,(,;& $ %,(,;&
$ %,(,;& $ %,(,;&
+ +9 ( -z z
x yx y
= = = =
2uego la ecuacin del plano tangente en el puntoP(-1,2,)es' z 4 y 6 x 5
.
Nota 1astaaora las superficies en el espacio se an representado principalmente por medio de
ecuaciones de la forma( )z f x, y=
. Sin embargo, en el desarrollo !ue sigue, es conveniente
utilizar la representacin m4s general $ , , & *! x y z = .
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=
Puesto !ue $ , & *f x y z = , se puede considerarScomo la superficie de nivel de !dada por
$ , , & *! x y z = $Ecuacin alternativa de la superficie S&
Es as, !ue enunciamos el siguiente teorema
!E'RE"A Ecuacin del plano tan,ente
Si !es diferenciable en * * *$ , , &x y z
, entonces una ecuacin del plano tangente a la
superficie dada por $ , , & *! x y z = en * * *$ , , &x y z
es
* * * * * * * * * * * *$ , , &$ & $ , , &$ & $ , , &$ & *
x y z! x y z x x ! x y z y y ! x y z z z + + =
Ejemplo - 1allar una ecuacin del plano tangente al iperboloide
( ( (( ( %(z x y = en el punto $%, %,-&
Solucin
Empezamos epresando la ecuacin de la superficie como( ( (
( ( %( *z x y = . 0espu3s,
considerando
( ( ($ , , & ( ( %(! x y z z x y=
Se tiene
$ , , & - , $ , , & - , $ , , & (x y z
! x y z x ! x y z y ! x y z z= = =.
En el punto $%, %,-& las derivadas parciales son
$%, %, -& - , $%, %, -& - , $%, %, -& =.x y z
! ! ! = = =
Por tanto, la ecuacin del plano tangente en$%, %,-& es
-$ %& -$ %& =$ -& * ( + *x y z x y z + + + = + =
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;
Defnicin .Recta Normal/2a recta normal a la superficie ' $ , , & "S F x y z = en el punto
* * * *$ , , &p x y z Ses la recta !ue pasa a trav3s del punto *
p# sigue la direccin del vector
normal
* * * * * * * * ** * *
$ , , & $ , , & $ , , &$ , , & $ , , &
= =
uur F x y z F x y z F x y z F x y z
x y z al plano tangente a
la superficie S en el punto *p
# su ecuacin sim3trica de la recta normal a Sen
* * * *$ , , &p x y z es
* * *
* * * * * * * * *
$ & $ & $ &'
$ , , & $ , , & $ , , &n
x y z
x x y y z z!
F x y z F x y z F x y z
= =
.
Si recordamos de nuestro cuso de >eometra analtica, otra versin para la ecuacin de la
recta es
*' ,#$ P P % # %= +
Ejemplo 01allar la ecuacin del plano tangente # de la normal a la superficie)?( )?( )?(
%:x y z = en el punto $-,-,%& .
Solucin
Sea)?( )?( )?(
$ , , & %:F x y z x y z donde la normal del plano tangente a la superficie es
)) )$ , , & $ , , &
( ( (
yF F F x z
x y z
= =
uur
en el punto $-,-,%& se tiene
)$(,(,%&
(=uur
. 2uego la
ecuacin del plano tangente es ' ( ( %:P x y z = # la recta normal es
' $-,-,%& $(,(,%& ?
P t t .
Ejemplo 1allar una ecuacin del plano tangente # la recta en el punto dado
) ) )+x y z xyz+ + + = en el punto $%,(, %&
Solucin
Sea
) ) )$ , , & +! x y z x y z xyz . Entonces la normal del plano tangente a la superficie
es
( ( ($ , , & $) ,) ,) &! ! !# x yz y xz z xyx y z
uur
= =
la cual evaluado en el punto $%,(, %& es$%,%%,& . 2uego, la ecuacin del plano es %$ %& %%$ (& $ %& *x x z + + + = # la recta normal
' $%,(, %& $%,%%,& ?
P t t.
Derivadas parciales de rdenes superiores*
Se llaman derivada& parciale& de &e'undo ordende la funcinz f(x,y)a las derivadas parciales
de las derivadas parciales de primer orden.
Se usan las siguientes notaciones'
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%*
2
2
z z
x x x
;
2z z
y x y x
=
;
2z z
x y x y
;
2
2
z z
y y y
=
" continuacin se presenta un resultado mu# importante sobre las derivadas parciales mitas.
!E'RE"A DE %LA#R*! Suponga !ue f se define en un discoD!ue contiene el
punto $ , &a b . Si tanto la funcin#
xy yxf f
son continuas enDentonces
$ , & $ , &xy yx
f a b f a b
@gual se definen las derivadas parciales de tercer orden # de rdenes superiores.
Ejemplo3 Calcular las derivadas parciales de segundo orden de la funcin'2
f ( x, y ) "en( x y ) Solucin
1allamos las derivadas parciales de primer orden'
( ( (( cos$ & 9 cos$ &
f fxy x y x x y
x y
= =
"s las segundas derivadas son'(
( ( ( ((
( cos$ & - sin$ &f y x y x y x yx
= 9
(
- (( sin$ &f x x y
y
=
(( ) (( cos$ & ( sin$ &
fx x y x y x y
x y
=
;
(( ) (( cos$ & ( sin$ &
fx x y x y x y
y x
=
.
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