hjerne og matematik -...

Lektor, cand. pæd. i matematik, Ph.D Lisser Rye Ejersbo Neuromatematik

November 2011 DANMARKS PÆDAGOGISKE UNIVERSITETSSKOLE AARHUS UNIVERSITET

* Hjerne og Matematik

Hvilke dele af hjernen er aktive,

når man arbejder med matematik?

Og hvad betyder problemstillingerne for,

hvilke der bliver aktiveret hvornår og hvorfor? 1



*

2

Predictive Coding

En simpel model af hjernen som et åbent system, der opfatter gennem sanserne. Der forekommer et input,

som opfattes og fortolkes af højere ordens hypoteser. Disse eliminerer også

eventuelle fejlfortolkninger. Konstant udvikling af hypoteser er nødvendig for

at minimere fortolkningsfejl. Top down og buttom up. Hohwy, Roepstorff & Friston (2008):

Predictive coding explains binocular rivalry;

An epistemological review



* Matematik er mange ting

• Aritmetik: Tal & størrelser, manipulering med tal

• Geometri i både plan og rum

• Sandsynlighed og statistik

• Algebra med ubekendte, herunder funktioner

• Matematiske modeller

3



* Matematiske niveauer for tænkning

• Rudimentære færdigheder

• Uformel matematik

• Formel matematik

4

Leron, 2002; Ejersbo & Misfeldt, 2008



* Rudimentære færdigheder

• Subitizing: Skelne mellem små antal*

• ANS: Skelne mellem forskel på mængder*

• OTS: At opdele og klassificere objekter**

*Dyr har også evnen

**Opstår, når børn arbejder med tal. Brug af fingertælling

Færdighederne udvikles grundet hjernens plasticitet: Serendipity

5 Dehaene, 1997; Halberta, 2008 m.fl



* Fingertælling

Venstre side af hjernen viser

4 hjernelapper.

Området indenfor den

grønne oval er aktiveret

når en person arbejder

med tal (aritmetik)

en del af Parietal

lappen og netop det

område har kontrol

over fingrene.

6



* Forsøg

7



* Flest?

8

(Dehaene, 2009, after Burr & Ross 2008)



* Flest? Dialog om talstørrelser

To mængder med 8 henholdsvis 9 elementer: Anna er 5 år. L: I hvilken mængde er der flest? Anna peger hurtigt på 9-mængden: Den der L. Hvordan ved du det? A: Jeg snød lidt L. Snød? Hvordan det? A: Jo, jeg tog bare de der væk (udpeger en 3-mængde) flere gange, og så ved jeg jo, at 3 er mere end 2.

9



* Talforståelse

• En til en princippet: Et og kun et tal er fastsat til hver objekt • Princippet om den stabile rækkefølge: Tallene kommer altid i

en bestemt rækkefølge. • Kardinalprincippet: Det sidst talte tal bestemmer antallet i

mængden • Princippet om irrelevant rækkefølge: Det er ligegyldig i

hvilken rækkefølge, man tæller elementerne • Det abstrakte princip: Principperne gælder for alle mængder

10 Gelman og Gallistel, 1978



* Approksimering/Overslag

• Anna har 21 stykker slik og får 30 flere.

• Bo har 34 stykker slik.

• Hvem har flest?

11



* Læsning af tal

• Stort set alle benytter 10-talsystemet • Engelsk har mange inkonsistente talord • Dansk har endnu flere… • Kinesiske og japanske talord er enkle • Disse børn lærer at tælle og regne hurtigere • Sprog påvirker kognition

• Hvordan ved vi det?

12



* Danske talnavne 0-100

• Et-cifrede tal

• To-cifrede tal: navne og størrelse er forskellige mønstre

• To-cifrede tal: Siges fra højre mod venstre

• Hvem har problemer med disse navne?

13



* At huske tal

61244612 97151719 26285585 Talmønstre: 2, 4, 6, 8, … 1, 4, 9, 16, 25, … 0, 1, 1, 2, 3, 5, … 2, 9, 16, 23, …

14



* Regneproces

15

Klingberg efter Dehaene



* Uformel matematisk tankegang

• Udviklet gennem flere årtusinder

• Hverdagskognitive processer: associationer, metaforer, analogier.

• Procedurer versus relationer

• Undervisningsafhængig

• Tænkte eksperimenter: figurer, diagrammer

• Tanke-registre (Duval, 2000)

16



*

17

Opgave

Et baseball bat og en bold koster

tilsammen 1$ og 10 cent.

Battet koster 1 $ mere end bolden.

Hvad koster bolden?

Kahneman, 2002



* Bat og bold

Almost everyone reports an initial tendency to answer ‘10 cents’ because the sum $1.10 separates naturally into $1 and 10 cents, and 10 cents is about the right magnitude. Frederick found that many intelligent people yield to this immediate impulse: 50% (47/93) of Princeton students, and 56% (164/293) of students at the University of Michigan gave the wrong answer. (Kahneman, p. 451)

18



*

19

Kaptajnens alder

På et fartøj er der

26 får og 10 geder.

Hvor gammel er kaptajnen?

Baruk, 1996



* En opgave:

Find overfladen af en mursten, der er 24 cm lang, 10 cm bred

og 5,6 cm tyk.



*

21

Dual processes

System 1 (S1) System 2 (S2)

Ikke bevidst Bevidst

Automatisk Kontrolleret

Ufleksibelt Fleksibelt

Hurtigt og problemløst Langsomt og besværligt

Associativt og erfaringsbaseret Regel-baseret

Parallelt Serielt

Ikke-verbalt Sprog-involverende

Biologisk afhængigt, langsom lært Kulturafhængig, hurtigt lært

Meget kontekstafhængigt Kontekstuafhængigt



* S1 aktiveres

Hurtig løsning

Alarm af S2

OK

Ikke OK

Tavs viden

S2 aktiveres

Analyse hjælper til løsning

Manglende redskaber til løsning

OK

Ikke OK*

* Argumenter opfindes til at retfærdige løsning – Tavs viden

Dual processes



*

23

Hvad står der her?



* Formel matematisk tankegang

• Europa i det 1700 århundrede.

• Ingen umiddelbar anvendelse.

• Rigide regler og sætninger.

• Abstrakte tankeprocesser.

• Ingen repræsentationer af andet end tegn (ingen hjælp fra metaforer).

• Kræver udviklet semiotisk talent.

24



* Matematiske formler

25

hjerne og matematik -...

Documents