historia del calculo guillermina waldeg
TRANSCRIPT
-
7/25/2019 Historia Del Calculo Guillermina Waldeg
1/60
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:
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va-i+n.
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Hje.a*e'uE'*'a
C['".t
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lf
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Epru
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. -_-.
1.
i
-
7/25/2019 Historia Del Calculo Guillermina Waldeg
2/60
Mecanograffa:
Di-bu
jo:
rmpre
s
in
:
Jos
Luis
Gasser
p.
Margarita
Brito
Enrigue
Oaxaca
Rebeca
Mora
Hctor
Mares
Guillermina
Waldegg
Sec.
Mat. Educ.
CIEA
del
Ip:.;
de
Investigacin
y
Octavio
Corts
Jos
Luis
Hermosiilo
Juan
Hermosillo
L>.
de
I'latemtica
Educativa
,reI
s
Avanzados
del
IpN.
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I
'l
I
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j
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.,ffiiresr
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'
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-
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3/60
Introducci
n
Pg.
1
2
1
1B
t+
30
?c
q
+5
rr-: ':.ffi
El
Clculo
de
Leibniz
I I.1
Los
0rgenes
II
.2 El Tringulo
Ca
II.3
Transnrutaci'
I.
I saac Newton
,/L1
Primeras
Ideas
Sobre'la
Variacin.
/I.2
Ideas General
es sobre
I os Momentos
/'I
.3 Fluentes
y
Fluxiones
I
.4
Deter
ni
naci
n
de 14ximos
y
Mnimos
i.5
Trazar
Tangentes
a
Curvas
i
.6
La
Cicl oi
de. Tangente
y
Cuadratura
1.7
Un
tratado
del
Mtodo
de
Series
,,'Fluxiones
I.B
Teorema
del
Binomio
II.
Surna
s
.-
:
II.1
--:,a.:'1':=
-:'
II.5
*c
.-'
=-=:_---:=:-
II.6
Dlfere:--':-=.
:=
-'
:
II
.7
El
Signli:c:::
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:
-
-
=
=
r^ I a c
-
glL
lqJ
_
a__
^^
:
-'::-.a
Ari
tmt'ica
(q
tr7
.
61
del
Crc'-':
Leibniz
II.B
Leibniz
y
^,e,--r.
iII.
l-a
Epoca
de
Eul er
I
I
I.1
El
Concepto
de
Funcj
n
i
-2
Funcin Exponencia'1
y
Funcin
rtmrca
I
I I .3
Func'iones
rri
gonor"nt.ri
ca s
III.4
'),tc"er"c'e' s
cl c
Ias
Fur:iores
II
I.5
Descur r'inrierr:o
por
lnaloga
6B
77
otr
JJ
ao
93
95
de
t^^-
r_u9d-
El
emental
es
9B
9B
'I
ni
..:
l
:
--altico
::
l'lcul
o
i-::r-ior
-:-
-
-'"esinlal
es
-
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c.
Anal
ti
cas
Tayl
or
de
Lagrange
Pg.
1i0
IV,
vi.
La
Teora
de
I as
Func'iones
;."';lcin
e
la
trmula
de
V.
'---l
5l
Cl
cul o'de=-Atuerdo
de
Cauchy
'
Ri
emann
i/.
1
Funci
ones
y
Conti
nui
dad
Y.2
Fourjer
Y
1a
Discontinuidad
V.3
Bolzano,
Cauchy
y la
Continuidad
V.4
El
Clcu'lo
D'iferencial
de
Cauchy
y
Heierstrass
1i5
115
1i9
124
I-JJ
r.40
149
lqR
167
V.5
La
Integral
de
CauchY
V.6
La
Integral
de
Ri
emann
y
sus Reformul
aci
ones
El
Desarrol
I o
de'l
Concepto
de
lntegr^al
l-lenri
l-ebesgue
ApnC'i
ce
ffi*re
-
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5/60
r
: I r-';
::
|
).;,i
..1
INTRO '-' :
Iniciaremos.pues,
estas
notas
Ce
i-ti
l'i
et.l 1-o': y
i_tl
l:rt
'Z
pe
r0
SLi
Dr-
yt.C
1
e
,
'tluclro:
s'.'c3 d
-.cs.
storia
del
Clculo
con
el
t- .
frecho
Ce que
est
iu'stor^ir
,
i.-
,
,-
al.
El
bescubrimiento del
Cl
cul
o
'
'
O--r*ci
lmente
podemos
pensar que
e-
-c--:
-:
-: := :s
-::emti.ur'
,.u,.".,
producto
del trabaJo lndivJ
dua'l
.
La Geoi:::-':
l-:'':-
::
:e
Descants,'y:,
Fermat
no
es,
solamente,
e1 resultado
de
sus:-::-::
--.=:
no
que
f ue
surgl
endo
a
travs
de
muchos
i nter,--::
:_:
::-
.
:
sigi
os
XVi
y
XVI
I.
Los trabajos de
Apol
onio,
Cres-=:
.-:--
otros,
fueron
determjnantes
en este
trayecto.
Del
nrismo
modo,
el
desarrollo
del
clcu'lo
no
lo
pc:3*:
trabajo
de
dos
personas:
Nervton
y
Leibnizr
puEsto
que'los
tos
por
resol
ver
probl
emas
ne'l
ac
j
onados con
esta
d
j
sc'ipl
i
n.
s:
a
las
especulaciones
fjlosfjcas
de
los
antiguos
griegos.
i.,,r-r-
Eratstenes
y
Arqumedes
y, posteriormente,
Kepler,
Cavalier:,
[dal
I
j
s
,
Barrow
y
otros,
jugaron
un
pape'l
importante
en
el
procesc
du
rac
i
n
de
I
a
s
'idea
s
del cl
cul
o.
Dec'i
r
que
I'iet'ton
y
Leibniz
descubrjeron
el Clculo
en
el
siglo,r.-
no
signi
f
ica sol
arnente c..,'e
descut,rieron
mtodos
efectivos
para
la
scl,-
cjn
de
problel;as
o e
i.','c'rcrabar':
:engentes
y
cuadraturas
(o,
en
teni:-
nologa
moderna,
cer'iva:i. :
'"--e
rac'jn)
,
ya
que
estos
problernas
ha-
ban
sido
estudiaCos
con
,,--:
:::..
'a
antigedad.
El
mrito
jndudable
de
estos
dos
genios
radica en
'.
c::er^encia
entre
e'l mero descubrim.iento
de
un
hecho
importante
y
e1
recofcci:
iento
de
que
este
hecho
es
importan-
t,
es
decir,
que
nos
da
las
bases
cr
rrogresos
poster.iores.
La
contri
bucj
n
de Nelton
y
Lei
b:'z
,
por
1
a
que prooiamente
se
I
es
acredi
ta
como
descubriCores
del C1
cul o,
no
es
sol
amente el recorrocinri
en
to
de'i
"teorenta
fundamental
del
clculo''
conto un hecho rtemtico,
sino
el
haberlo
empleado
para
derivar,
de
la
rjca
ama'lgama
de
tcnjcas
jnfini
tesinra'l
es
ya
ex.i
stentes,
un
poderoso
instr^umento
alqortm'ico
para
el
cl
culo
sistenttrco.
'l:ClOneS
r'S.i-
l':-:1 en
los
J:
A^
ZA
-
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6/60
]SAAC
NEWTON
Newton
nacj
el
da
de
Navjdad
de 1642,
pero
nada
de
lo
que
conocemos
de
su
juventud
y
primeros
estudios
parece
anunciar el
hecho de
que
su
v1-
da
y
su
traba
jo
marcaran
una
nueva
etapa
en
I a hi stor.ia
'intel
ectual
de
r
a
huinan.idad.
Ingres
er_Qambri
dge
en
166i
y
en
r-869 ocup
I
a
ctedra
Lucasiana
al
ret.irarse
Barrovl,
puesto
que
deser,':e
hasta
1696,
cuando
de
j
Londres
para servir
como
custodio
de
la
casa
c='/:r,e:a.
Tras
su
muer-
te
en
\727
fue
sepultadO
en
la
Abada
de lJes*-'"s--='c:-
t:al
pompa
que
vol
ta.i
re
escri
bi
,,He
vi
sto
un
prof
esor
de
ra--:-i--::as
,
sl c
porque
fue
grande
en
SU
vocaci
n,
sepul
tado
como
UI^i
I^.j
C-: :a
hec:.
::
en
a
SUS
sub-
di
tos".
Aparentemente,
Newton
'inicj
sus
es:-:'cs
serjos
de
ra'":rticas
-
co-
menzando
con
l
os
El
ementos
de.
Euc:
i
:=s
:
: Geometra
de
escartes- en
el verano
de 1664.
Durante
1565
, '-"'
c:ando
Canibridge
f
'e
cerrada
a
CauSa
de una
p1aga,
Newton
re;-=s-
: Si
CaSa
en Lincolnsi'ire
'
y
ah
Sen-
t
'l
as
bases
para
l os
lres
;
":';=s
i
ogros
de
Su
Carrera
c:
ertfi
ca:
el
clculo,
la
naturaleza
c.'a
'''7
la
teora
de
la
graVitacin'
Los
,,pri
nci
p
j
a
,,,=-_-=*ati
ca,,
de
1687
y
1a "0pt
jcks"
ce
l7C4
detal I an
SUS
contribuci:r=s:
a mecnica
y
a
la
ptica.
Sin
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SUS
contri'oi
ciones
a;a
r'-e,-tica
pura
(includo
el
c1cu1o)
permanecieron
sin
pub'l'
car
duran:e [,ucho
tiempo.
A
su
muerte,
Nepton
dej
una
gran
cantidad
de manuscritos
maiemt-ico.
inditos,
algunos
de
los
cuales
haban circu'lado
entre
sus
contetnporneo.
o
servido
de base
para sus
infrecuentes
publicaciones
nlatemticas.
Estos
manuscritos
han
sido
organizados
s'istemticarnente
y pub'1
icados
pc'
Cam-
bridge
en
''The
l,lathemat'ical
Papers
of
Isaac Netvlon"
editado
por
).
-i.
llhiteside.
A
continuac'in
presentaremos
a'19unas
de
las
nocicnes
'-'--
Nepton
maneja
en
suS
trabajos
sobre
el
clcul
o,
as
Cor-t
-
:-'
especfjcos
reproduc'idos
en su forma
original
.
ffi'*S '::
),,,
: *rtu* .
-
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7/60
,l;i5
it
L1 :
pR
I MERAS I
DEAS
S0BRE
LA.
VAR
I :
: :.,
,
Vamos
a
suponer
que
las
cantidaCes
,,3-.::'=.
forma
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a
medjda
que
transcurre (,,fluye,'
. :-
Para
in'ciar
nuestra di
scusin
sobre
I a
i
ce
a
tomar
un
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estudjado
injcialmente
por
Galileo.
s= .-
v'i I
que
se
despl
aza
recti
I
neamente
con
vel
oc.idad
constan--e
dad
variable
que
tomaremos
en
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es
el
espacio
recorricc:
Podemos
nepresentar
d
jcho
espacio
(=
di
stancia
recorr.ida)
cor.:
Cuando
haya
transcu
rrj
do
un
t i
empo
t
,
el
igua'l
a
kt.
espacio
recorrido
fi
=
kt
-=
Ase
r
'
;__
,1
\
t rc
-
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8/60
Tambjn
podemos
representarnos
esta
rea
como
generada
por
e'l
vim'iento
conti
nuo
de
una
recta
de
Lon i
tud k
(l
a
ordenada
)
:
Cua n
do
oi
denada
se
ese tiempo
s
tamos
dA,
S
dA=k'dt
1-
ld
s
r
en
den o
mo
transcurre
un
ti
em::
j
-
ir
-'
--esi
mal
(
"muy
peque0
"
)
dt
desplaza
tambin
,-.3
:'.--..-ia
'inf
injtesimal.
Entonce
e
producir
,r
'^:'e-:n'to
l'nf
inites'imal
"del
rea,
que
egn'
'*-'c
(1)
tendremosl
que
poderncs
i nterpretar
di
ci
endo
que
mente
proporcional
a
la
variacl'n
del
El
cociente
("razn
de
cambio")
I
oci
dad
con
'la
cual
cambi
a
el
rea.
I a
vari
aci
n
tiempo.
de dA
entre
Es
deci
r,
del
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es
di recta
dt
nos
produce
la
ve-
dt
representa
el
cambio
de
rea
por
unidaC
Ce
tiempo.
El
hecho
que
dA/dt
=
k
constante, quiere
decir
qu'e
el
rea
cam
bia
(se
incrementa)
con velocjdad
uniforrne.
Consi
dereros ahora
una
si
+"uaci
n ms
i
nteresn-re:
Supongamos
que
e'1
mvir
se
desp'1 aza
con
velccicad
dA
,-
unifonriement-e
o
rePresentanlcs
cel
arada.
Entonces
en
F
.St:
i
^
iempo-velocidad esto
I
sffi
-
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-
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10/60
dA=at
dt+
Fccercs
i
gnorar
I
a
contri
bt.,ci
n
(c'")2,
argumentandc
en nuestro
mode'l
Ci remos r
incremento
infjnitesimal
,
podremos
pues
cons:::.'
dt
la
velocjdad
del
mv'il
permanece
cons'-ar--:.
Es deci
r,
i
gnoramos
l
a contri
buc
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iec
-
=
::'
Entonces
el
corresPondiente
durante
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tiemPo
dt) es:
at
. (dt)
que
es
i
nf
I'n
j
tamehte
pequea
.
dt
es
"como si
fuese nulo".
Afi rmamos
pues
:
espacio
recorrido
a
-(t
)'
\
-t:_-
hecha
al
incremento
dA
por
j-
u
L
o
(conceptuai
)
geomtrico-fisjco
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dA
r
c,e i--ante
Dcr
'lo
tanto
rr.-,.
.)'.,
v=at.El
dt
es
un
el
ti
empo
ciA
=
at
dt"
dA.
+.
"En
el
instante
t,
el
cuerpo
mvil
tiene una
velccidad
incremento
que
rec'ibe
esta veloc'idad
a'l
transcur-r'r
e-
t:
eir'po
+
^
'(t)2
a
0tra forma
de
presentar
este
hec:: ss
c.:parar
la
contribucin hecha
por
-
1
.2
el
sumando
-j_
a
(dt)'
c3'
-3
-:cha
por
el
sumando
at
.dt.
Para
ello,
I
consiCeremos
la razn:
(dt)2
_-7-
d
dt
1
don de
en
el
2t
Esto
qui
ere
deci
r
que
comparando
con
t,
dA
=
at
Resumiendo
nuestra
di
scusin
tendremos:
(a)
S'i
fl
=
kt
entcnces
dA
=
k.
dt
(b)
Si A
=
-L
at?
entonces
dA
=
at
.
dt
-l
r\
Z
,
11
ambos
casos,
A representa
el
espaci
o
recoi^ri
co
DGr
un
tlempo
t
cue indica&.lqi'1nulas.
mvil
f:fus
d
..#W-ht r
{
I
t
I
-
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11/60
Vamos
a
tratar
el
abstracto,
referi
do
a-l
habl
ando
en
'las
P9i
nas
ejempl
o
anteri
or desde
un
punto
de
vj
sta
ms
modelo
geomtrico-ffs'ico
de1 qu
hemos
estado
Supongamos
]d-ldo
un
zamiento
uniforme
de
BC:
anteri
ores
:
tringu1o
ABC
que
est c::erado
por
e1
despla
Entonces,
al fluir
unjformemente'la
base
AB,
sta
adquiere
un
jn
cremento
BD
y
en
consecuencia
el
tringulo
ABC
adquiere el incremento
BDEFC.
De este'ncremento,
el tringu1o
EFC es consecuencia
de
la
ace
leracin
Ce'l
mov
jm'iento
(N0
del
movimjento
de
BC,
que
f 1uye, un
jformemen
t8,
sj
no del
mvi
I
cuya
vel
oci daC
v
=
BC
)
.
Por
I o
tanto,
sj
BD es
'i
nfi
ni
tamente
pequeo,
durante
ese
"i
empo
e'l
'incremento
de
la
velocidad
(de1
mvil
)
es
EF
que
es
tambin
jnf
jni
tamente
peque0.
De
al
I f
que
I a
variacin instantnea
del
tringu1o
ABC
este
representada
por
e1
rectngu'lo
BDEC.
I
v
i
f
I
t
I
I
(
''-
)
f
/-
-{L
i^_ :
l,'ri E
-
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12/60
1,2
:
InrRs
oeNrnALEs
soeRr
Los
t'10teNlos
como
en
la
seccin
anterior,
seguremos
considerando
que
cantidades
variables
crecen
decrecen
,Do+----u+
ii'ovimiento
(fluio)
tinuo.
El
incremento
ins--a:'-5':
variable
x
lo
denot:r=-:s
"i't'
se
Este
momento
Drjeae
seT
Pcs
i ti
vo
cantidaC
inf
::,::es'imal
'
s*,ante
)
de
una
Segnlatermino.logfaempleadaporNewion,losrc_entos
pri
nci
pj
os
naci
entes
de
cant'i
dades
fj
ni
tas.
como
I
os
n:::itos
nitudes
'inf
inites'imales,
entonces
'
en
lugar
de ref
eri
rncs
a s'J
cambi
o,
es
deci r,
0"
nos
'interesa
ms
estudi
ar
sus
razones
de
las
con
'i
'l
axa su
"ir'cmen:c'
negativo,
Pero
no
s-
'
ci
f
erenc'ia'l
,'.
es
fr
ni
to:
es
una
son
son
mag
"
tama
SUS
VC
I
oci
dades
.
El
desarrol
I
o
que si
gue
est
construf
cio sobre
el
-
conten'ido
del
lenn
II
del
libro
lI,
de
los
Principia
de
Newton.
consideremos
ahora
el
producto
de
dos
cantidades variables
(que
pueden
no
coi
nci
d'ir)
y
cal cul
emos
suS
momentos
(es
dec'ir,
sus
"diferenc'ias"
segn
Le'ibniz
"difeenciales"
segn
e1
uSo
actual
)'
Geomtricamente,
Ias
expresiones
de
este
tipo
corresponden
a
reas'
b.ien
sea
de rectngulos
cuadrados
(si
coinciden
las
varjables)
'
-
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13/60
-
g:.
ti
empo
,
?
x suTre
,2
oox
se
Cuando
estas
varlab'les
se
incrementan
(siempre
es
decir,
en
"funcjnu
9..l
tiempo)
entonces
e1
un
incremento
que
se
puede
calcu'lar
asf:
Si
el
"momento"
de.ua-lado
x
es
c.r entonces
el
incrementa
en x
.
dx
a
causa
ce' -:-rento
dx.
X.dX
se
incrementa
I
a
otra dimensin
rea.
Por lo
tanto
2x
.
dx
es
incrementos'independientes
(no
,
tambin
produce
un aumento
el
incremento
total
del
rea
simul
tneos
)
de
I
as dos d'i
dependi endo
del
pi'oducto
xy
rea
del
cuadra
A
t
t:
t
t
qi
x.
dx
en
e'l
?-
x
por
tos
mensiones.
ZQu
men
te
?
suceder
s'i
las dos
dimensiones
se
i ncrementan
simul tnea
I
ilrr
[-*
I
i
I
t+.'
L
I
i
i
i
etu
\/
l
(
I:
i=
t^;:
v I
'.r,
E :
\l
/\ +^
I
--
tr
\--
Itr.E=
LI
,i
IFJ
I
r
I
{ntttrlrf
}
I
\l
.'-y
I
/
dx
-
7/25/2019 Historia Del Calculo Guillermina Waldeg
14/60
r
-i,.
ji.-.?a=..
-.*-.::.*i.
:
j.,..,.
:
i
.
;
;r:
+.--,9- +
-
r-^.
r..:
i.1:i.:'
:.;..t,,\,r':lj
i.lrt:,l:.
j::r
..i-;:.i:
En
ta'l
ca
s
c
el
'i
nc
remen+"0
Cel
rea
CA
=
2x.
dx
+
(Cr)2
2
A
=
X
CS:
e'l
surnar.o
(*
)2
corre
s
pon
de
recha,
c e
se
produce
debido
si ci,es.
cuadrito
rayado-1a
incremento
simul
tneo
figura
de
la
de
de
las
dos
dimen
al
al
En
la
seccin
anterior
presentamos
varics
argumentos
para
jus
tificar
el
que
los
"momentos"
(
d'iferenciales
s'i
asf se
prefiere)
ele
vados
al
cuadrado
se
pueden
ignorar frente
a
Ios
"momentos
Iineales".
En
efecto,
nuevamente:
(dx)2
2x.dx
dx
LX
,
que
es
'inf
i
n
j
tamente Dec',eic
,
por
1
o
cantidac,
infin'itesimal,
es
deci ^
de
cero
perc
que
es
ms
pequea
i
I
\.
,
l
dtnarra
(finita)
cual
(dr)2
se
puede despreciar
fren+-E
a
2x
.
c.r
c,;eCando entonces:
dA
=
l.x?'.
=
?t. cx
ESta
'.'anera
Ce
'
de-:Str.-"
e'l reSUl
tado
pUede
pareCernOs "impre
c'isa".
Pero
reccrceras
q'Je
se
apoya
en
un
argumento
f
f
sico
y
en
una
serie de
ideas
Ce la
geometrfa
inf
in
jtes'imal.
Es bueno
recordar
en
este
momento
que
la matemtica
del siglo
XVII
presenta
un
marcado
contraste
con
la
matemtica
cls'ica
de
los
griegos
en
el
aspecto
de'l
rigor.
Las consideracjones
sobre
los
"momen
tos"
(que
no
son cantidades
finitas s'ino
'infjnjtesjrnales)
,
su corres
f
pondiente manipulacin
como
si
fuesen
cantidades
ordinarias
necesit,
sin duda,
de
la
audacia
propia
del
vis'ionario.
I
I
que
cualqrrter
c$--
-
Decjr
que
dx
es
una
que
dx
es
d'istinta
"r 4 L .-:
-
7/25/2019 Historia Del Calculo Guillermina Waldeg
15/60
afirmaba pues
que
ura ca^--':c
inf
in'tesimal
era
una
e n--.
r:.?.";
t:l
ji
:;,
t.:.',rj.-.iH
10
'
.tti.,,
'
El
pensami
ento
de
Newton
a
este
reseecto, ya
I
o
hemos
vi sto,
es
':-t
.'
.
ii.marcao
intensanente
por
cc::si:er-=::c'=s
fs'icas.
Po,r
eso
l
no
habla
de
la
"d.iferencia"
(como
Leibniz)
ce
cs
crtidades
que
estn
in
I
flnitamente
prxinras
sino
que
h+bia
Ce
"r::er:3s'
tara
'l
,
una
variag
llgg|||u.luLHlv,\l',v,]--::--..--
bl e es
una canti
dad
que
f
l
uye
y
,
entonces
,
eso
c'Ja
eso
c'Ja
es,
e"
el
jnstante
mismo
en
que
empieza
a fluir,
es
el
"*o*unaolllJru::---:cac:
se
que
preservaba
cua'l
j
dades
de
I
o
conti
nuo.
En el
lema
II
(1ibro
II)
de
los
principia,
Newton
da
para
calcular
los
momentos
(diferenciales)
oe
1cs
productos
de
distintas
variables.
sr'denotamos
A,
B,
c
las
variables
dC
sus
respectivos
momentos,
entonces
Si
la
expresr'n
es
-
su
dl'ferenc'ial
es:
d(AB)
-A.dB
B.ci
d(A"
)
=
nAn-1
I ; c
r.
-'
: c
y pc'-e:
c:
a
s
J
L.r,
Llr
AB
I.I
A
dA
n
A;
y
asf
sucesivanent.
Si
denotamos
a,
b,
c
canti
dades
varj
ab1
es
A,
B,
n
d(A;
)
etc.
las
diferenciales
C
etc.
,
entonces
(
momentos
)
de
las
n
-
-1
=
"
Am
'.
c,q
m
d(AB)=aB+5q
d(An
)
=
nA
n
m,
a
n
_
_l
Am
C
LL.
,-l
t-
t
t-
i.reli:
d(A
,...
;,.,r,..o;lr-.,,*-
-
t:'
-
7/25/2019 Historia Del Calculo Guillermina Waldeg
16/60
Demoetra^ijn'
Caso
l-.
C:::s-cere:'cs
j
o cci::r:uc
.
Tomemos
eI
A-
L/za
Y
B
to"deAYb
en
ese
instante
el
rect::guio
i'3
a'.:*'nentado
por
un flu
--l.'=:
+-
a
---l
l-
A
---------f
instante
en
eI
que
}os
Iados
son
iguales
a
ii2
b,
r
sPectivamente,
siendo
a
eI
"mo
el
"Ir,omento"
de
B;
eI
rea
del
rectngulo
-or5.
T
I
B
I
Tl
II
b
I
Area
inicial =
(A
-
L/2
a)
(e
-
)'/2
b)
=
AB
-
L/2
aa
-
L/2
be
+
L
Pero
tan
tos",
s
pronto
como
tran
s
forman
Ios
Iados
se
incrementan
en
en
A+
L/za
Y
B+
L/2
sus
"mome
b,
porlo
L/2
br,
+
L
eI
rea
ser:
Area
final
=
(
+
L/2
a)
(B
+
L/2
b)
=
AB+
L/2aB+
final
menos
Ia
inicial,
tendremos
el
"mom
Restando
eI
rea
to"
del rea:
Area
final
-
I
.A.rea
inicial-
aa
-L
-Aq
{-
1/1
L/2
aB
+
L/2
aB
+
L/2
L 1 /1, e
L/a
a
DA
bA
*.
"momento"
de
AB
aB+bA
#*F:
:.
-
7/25/2019 Historia Del Calculo Guillermina Waldeg
17/60
i ::::i
'
itl
/\
r
ii'i.r,pi+1l,+,Fi,
carculemos
e1
"mor.e::tc"
iel
volumen
ABC
cuan_
incrementan
en
a,
b
i,
c,
respeclivamente.
lB
=
C
c3::o
una
sola
varia-
ble,
entonces
eI
I
\f\-
BC
=
Como
se
demostr6
en
eI
ca
so
I,
e
1
,,momento,,
de
cG+gC
Caeo
2.
Ahora
do
sus'
lados
se
Consideremos
eI
rea de
Ia
base
volumen
ser:
en
donde
g
es
eJ_
so
1,
es igual
a:
"momento',
de
a
G=AB
Qu,
por
eI::'s:-:
valores
de
e
nuevo
los
de
ABC
es:
ahora
gue
A=B=C
Aa
,
segn
el_
caso
Aa
=
Momento
de
AA
=
g
=
aB+bA
por
tanto,
dremos
que
sustituyendo
e
I
"momento',
cG+gC
I
C
(AB)
+
(AB
+
bA)C
Momento
de
cAE+aBC+bAC
Caso
3.
ceg
eI
S upong
amo
s
"mome
nto,,
de
Momento
de
y
a=b=c
\ i
--.
r
o,f
t
d.l d,l\
Enton
I,
,
por
eI
caso
2,
eI
"momento,,de
eor4.
uutu.
i'lomento
de
A3
=
-AA
=
a2
+
aAz+
aAZ
=
3a.-:-?
Homento
de
i'
'r
-
7/25/2019 Historia Del Calculo Guillermina Waldeg
18/60
\
Caso
4.
Sabemos
que
es
decir:
Caso 5. Como:
"t
(*)
=
I
i4
-+
entonces,
eI
"momento"
de
L/A
multiPlicado
Por
,,momento,,de
A
multiplicaCo
por
\/A
debe ser
mento,,
de I,
que es
cero,
Ya
gue
I
es
constante
;
I.
I
^
(momento
O
)A+
.;
=
u
r
momento
de
Y,
en
c
eiierts'
,
c3::3
'1
entonce
s
:
(momento
de
I
-n
)t
+ n.\n-1
A
ms
eI
igual
aI
"mo-
es decir:
Ia
AA"
'1
-:l
/
-
\
momento
de
-
n+1
=0
/
--:-
\
\
-n
/
A
na
1
T
5=
ll
d. 4t
(A')(A')
=
A
&
o
bien
t?
+
/
n \
f fi Ln i
-
7/25/2019 Historia Del Calculo Guillermina Waldeg
19/60
entonce
s,
r*l*#F
r-?- -a:ta-r
'
ata-"
'=- "
eI
cago
3:
- -
=.iE
2
(momento de t
t
cI.
de
donde:
}Ir
en
general,
hac
ienio
tenemos
que
.+
momento
de
A'
=
4.4
er'/n
=
B
am=Bn
calculando
los
"momentos"
_
n-\
en
ambos
lados
de
la
/-A
por
Io
tanto,
igualdad:
de donde
Dero
maAm-l
=
nbBn-1
^
-m-1
..l
-n-
1
5
-m/n
7fI
v
b
=
mgmento
de
B,
entOnces:
m
=
,m
D=
m
n
omento
de
em/n
=
aAm-
1
G-/t=T
aA+
Caso
6.
Por Io
tanto,
eL
momento
de
cuaiguier
exPresi:'
:=-
.a* ;):
I
l
i
:ir.S r
'fuI*
-
7/25/2019 Historia Del Calculo Guillermina Waldeg
20/60
tipo
AmBn
eB:
es
decir:
momento
ie
AmBn
(momento
de
(momento
de
o*,
uJ
*
BN)AM
:
-
r..iE
= lmaAm-1
)
en
+
(nbBn-1
)
Am
y
esto
rios,
cua::co
momen'uc
es
vI
j
i'o
posit:vcs
c
S
e
--'
e::g::
te
e
smYnenteros'
eI
razonamiento
es
fraccioia
eI
misno
d(AB)
=A
dg+g
dA
-
Comentario
final
sobre
Ia
P:cP::-t:::
Analizando
Ias
conclusiones
Ia demostracin
dependen
de
la
o
I
''
e'-.
TT
. Vemos
que
toda
s
propo
s i
cin
(r)
Para
}Iegar
a
este
resul
fue
eI
siguiente:
ero,
cmo
se
do,
uno
de los
Incrementamos
mentos
instantneos
vatente
.
Entonce
s
e I
vaJ.or
:
d(AB)
=
A'dB+B.
dA
ha
del.ostrado
(I)?
mtodos
utilizados
Iasvariables A Y B
median"e
(sus
diferenciales)
dA
Y
CB
'
obtenemos
para
el-
proiucr-o
oe
Ias
(B
+
dB).
=
AB+A
dts+B"dAldBt'
,.,r"
var
ia
b
q11
(
+
d)
t
-
7/25/2019 Historia Del Calculo Guillermina Waldeg
21/60
oate
valor
eI
valor
ini
cr
al cel
::roducto
AB
iectuando
Ia
diferencia
(/
)
)
,
c:--e-e=cs
e-I
-vaIor
:.'
:'.:
:-.''';'*
{...
\
(es
de
l-a
ffi'*t",
de
(e)
:
d(ae =
A
dB+B
d+d
-
f E\
es
infinitamente
pequec.
asegura
que
dos
cant:
ia-
infintamente
cercanas
entre
sf
(esto
cs,
que
ii-
inf inite
simal
)
,
pueden
considerarse
iguale
s.
Cc-
presente,
Ias cantidades
t_
Ahora,
eI
EI
postulado
des
que
estn
fieran por
un
no
en
eI
caso
\_VJ
dA
producto
dA
.
dB
1delL'Hopital
A dB+B.dA+dA.dB
A.dB+B
dA
difieren
por
Ia cantidad
infinitesi:nal
dA
-
dB
,
pueden,
en
consecuencia,
considerarse
como
iguales.
Ntese
gue
este cri-
terio
puede
reformularse
diciendo gue
dos cantidades
6on
"iqu-
res"
si:
ro
son en
el-
senti-do
ordinario
der trmino
o
si
i:-=
ren
en
ua
cantidad
infinitesj-mar.
para
captar
el- si9r,i:--=::
cel-
pos(uLado
4
,
enunciado
por
L'H6pitaI
en su
Ij-I-rc .::.=-
. 1.silrej
-
7/25/2019 Historia Del Calculo Guillermina Waldeg
22/60
Iisis
de
Los
Inf
r::i-"esij:.ales,,,
co;rviene
recordar
que
en au
pS
ca los
post:la:cs
era:'l
co;:sideraoos
cono
hechos
mpfri.g-s.g,
a
partir
ie
lcs
cuales
se
cbtenfan
otros
hechos
empfricos,
me-
diante un
proceso
deductivo.
De
moio que
ooa.*os concluir
qu
L'H6rpit.ar
estaba
convencido
de
Ia
existencia
real
de
las
can-
t:iaies
inf
inites'j:nales,
cuyo
comporta]:r
enr-o
estaba
regulado
po:
eI
postulado
1.
Tanto
los
proponentes
como
Ios
adversarios
ce
Ia teorfa
de Ios infinitesiraIes
estaban
motivados por consiieraciones
tcnicas
y
filosficas.
Pero
en eI fondo,
I
posicin
de
Ios
adversarios
estaba
apoyada
en
eI
hecho
de
que
"no
haba
lugar
para
Ios
inf
initesj-:iiar
es
en
sus sistemas
f
ilosficos
basados
en
Ia
percepcin.
t.{.
1
1
-
7/25/2019 Historia Del Calculo Guillermina Waldeg
23/60
:
FLUENTES
Y
FLUXIONES
En
su
obra
Pincip'ia
l'lathematica
(16:::
,
''=---:-
-:
:-:':a
ce
manera
ex.pl
fcjta
1os
al
goritmos
del
clculo.
Lc
-:
::'e=
:: : Ce
Sarrollo
algorftmjco
en
dicha obra est
concentra:3.': :-:::,3'3
se
discut'i
en
ja
secci6n
anterior;
allf aparecen
loS
j'j--'--::'-:'es
Corno
rtmomentos",
como
prinCipiOS
generadores de
CantiCa::S
j--'--::.
Ms
adelante,en
su'libro
sobre
ptica
(1704),
Newton
publ::=
--:.'::
sicin
ms elaborada
del
clculo.
En ei1a,
se
enfatiza
el
e-:':-
:=
'los
I nlites -en
una
forma
que
hor' 1l
amarf
amos
"vaga'-
y
1as
f
'-''-:-=:
(derivadas)
y
cas'i
no se habla de
los
'infinitesimales.
En
esta
i-:,3
obra,
que
Newton'intitul "Cuadratura
de
CurVaS",
Ias
cantidades
Se
c:-
s'icieran
como
generadas
por
e1 movjmiento
continuo
por
oposicin
a
lcs
infinjtesimales
que
sug'ieren
siempre
un tratamiento
discreto -con
cje.
tas dos'is
de
continuidad,
Segn
vimos
en la
seccin
I.2.
Asf
por
eje:
plo,
una CurVa se
genera
por
el
movim'ientO
Continuo
de
Un
punto,
una
superf
icie,
por
e1 movimiento
cont'inuo
de
una
I fnea
I
I
I
I
t
\
\
\
-_,+
I
-4-:e
y
rn
sl
jCo
por
el
mov'im
j
ento
contl'nuo
de
una
superf
ic'e.
t\
l
-
7/25/2019 Historia Del Calculo Guillermina Waldeg
24/60
Los
ngulos,
Por
roiacin
de
I
ados:
lv'
iSt
:--r-:S
::---'
::::S.
is::s:-:::::s'=-'-3'.r"e suceden
en
la
Naturaleza
y
se
pueden
a di
a
ri o
er-
el
-:
.
'-'
-'--:
:=
l
os
cuerpos
.
por
tanto
,
concuerdan
=
ver
con
Si
consideramos tier;:s
':-:'=:
,
'3s
cantidades
generadas
en
esos
ti
empos
son mayores
(
menores
)
s:
sci- i---iores
(
menores
)
I as ve
locidades
de
los
movimientos
que
las
generan.
il
rtodo
que
aquf
se
propone,
perm'ite
deterrnjnar
las
cantidades
a
partir
de las
velocjdades
de
los
moviml'entos
con
los
cuales
son
generadas.
por
ejempio,
cono
c'iendo
la
rapidez
de
cambio
del
rea,
podremos
determinar
el
rea
(conociaa
-- $-
podremos
conocer A).
dx
Llamarernos
fluentes
a
las
cantidades
generadas
por
movjmientos
contjnuos
y'las
flux'iones
sern
las
velocidades
de
dichos
movjn'ientos.
oxjnudamente-
proporcionales
a
los
k
La
s fl
ux
i
ones
so
.re& .6:
-
7/25/2019 Historia Del Calculo Guillermina Waldeg
25/60
'2
aurne
nto
s
les
pero
razn
de
de
muy
los
Asf,
'las
f
luentes, c'Je.::
se
consideran
intervalos
de
tiempo
igug
pequeos
y'pare
.':'3'
::-
:xactitud,
estn
en
'la
frmera
aumentos
nacientes (en
e'
'o-.::',
si
en
la
s'iguiente
figura
cc-s.:=-:
I
-.:s
el
rea'ABB
desc.ita
por
'la
ordenada
BC
movindose
sobre
r
a
base
AB
to
uniforme,
la
fruxin
de
esta
rea
ser
proporciona'r
y
puede
ser
representada
por
esta
ordenada
porque
sta
con
un
mov
i
mi en
a la
ordenada
BC
es
proporc'ional
al
aumento
en
el
rea
(es
dec
j
r
++-
=
y)
[Teorema
Fundamental
]
En
la
pcsicin
hr-
\'TH
tangente
mi
sma
fi
gura
,
compi
e
temos
el
a
la
curva
en
avancemos
'la
ordenada
paralelogramo
BCEb
y
L.
5ea
r
1e
i
pu"
r,
de
\
l,
)
)
t-l-
-'
.
,;
--+-_.
BC
hacia
tracerrc,s:
r'-+
-
--
^
^
-
-li:
..-
e:
(",
pr'i
r
-
7/25/2019 Historia Del Calculo Guillermina Waldeg
26/60
tangente
con
la
recta
AB
Y
T
e1
incremento
de
'la
absci
sa
AB
Y
Ec
Si
estos
incrementos
ocurren
en
Ji.
:;:rl
I
:
:.:.
r".:.r
j:
t::
:
,.,
;
'-'."..i,.',
,.":
.
'
2l
que
tiun.
con
bc.
F-ntonces,
Bb es
el
:l
es
el
incremento
de la
ordenada
BC'
t'iempos
pequeos
,
1os
i ados
del
tri
n
guloCETestarn(ene]inicjodelmovimjento-ene]]fo.ite-)enla
misma
razn
que
1as
fluxiones
de
AB
y
BC
y
podrn
ser
representadas
por
estos
'lados
,
1o
que
es
que
es
semejante
a'l
tringu1o
En
este
razonam'ien'"o
actualmente Para
el
clculo
1o
mismo,
por 1os
lados
del
tringu1o
VBC
CET.
podemos
reconocer
el
mtodo
que empleans
de
I
a tangente
Ya
que
t:
+:na.nf r:
en
C
(=m)
entonces
'
Ec
-BE--
l-
)-
(=y
)
(en ei
lfmite):
l'im
_1r_-
AX-+O
A
X
Si
ahora
Lrazamos
la
recta
k
uniendo
C
Y
c'
Y
retrocedemos
I
ordenada
bc
hasta
BC,
cuando
los
puntos
c
y
c
co'incidan'
la
secante
coincjdir
con
la
tangente
cH.
Es
decir,
la
tangente
en
un
punto'
s
puede
considerar
como
la
"lt'ima
razn"
de
la
secante
(6 el
lfnlite
lasecantecuandoelarcodecurvat'iendeacero)'
Mediante
estos
argunentos,
se
puede
visual'izar
fcilmente
q'-
'la
cierivacin
y
1a
integr
acin
son
proCeSoS
inverscs:
al'avanzar
la
ordenada
BC
con
un
roVimi
ento
conti
nuo
,
generamos
ei
rea
ABC
(
i
nte3
cin).
Cuando
retrocedenps
la
ordetlaCa
bc
ha"rta
su
posicin
origin
generamos
'la
tangent
en
C
.
rerivacin)1.
E-'te
razonamiento
nos
Der
r
del
Teorema
Fundament'al
i:'el
significado
g
..
en
el
'ini
ci
o
iel
''c
i
mi
ento
na
,v
lll - 1;l
IJ
-
7/25/2019 Historia Del Calculo Guillermina Waldeg
27/60
Fa:'. i-r
-
---
Cuando
se
conoce
'la
f
l
uente
,
1
a
incrementndol
a.
Por
ejempl
o,
supongars
xin
de
la fluente
xn
comparndole
con
la
mente:
i.".ii.:.i'., :.
:.
:. .:;,';.
:;
22
-:'j-
s=
::':-'l
C'irectamente
:-:
:-=-=-.-:
::':--af
la
flU
C3.:;{;3;
I
-3
''
--,:
--
i
f
O*
En
el
mismo
tiempo en
el
que
'la
cant.iCad
x
,i-
_
la
cantidad
xn
viene
a
ser
(x +
o)n
quur
por e'l
Teore:=
nos
da:
(x+o)n=rn+noxn-I
oZ
*n-2
*
tl
incremento
en
x es:
ax
=
(x +
o)
_
(x)
_
o
.,1
i
Or
mjentras que
n
AX
el
incremento de
xn
ser
=
(x
+
o)n
-
(*n)
n-i
=
nox
Comparando
estos
dos
o *n
-
-..n-i
nx
V
Ahora,
hagamos
ter:e-
-su
I
fmi
te-
ser:
oZ
*n-2
i ncrementos
2
n-
tendremos:
r:
l'im
^
x-o
AX
n-1
=nx
AX
''-*-'
\
l*-
,
-
\
')
v
-i
^ ;3F
ir')
?
n
-n
t--. * : :
-
7/25/2019 Historia Del Calculo Guillermina Waldeg
28/60
Si
es mucho
d
ratu
ra
se
tjenen
las
flux'iones'
e'l
ms
complicado
Pero
siemPre
de
curvas.
probl
ema
de
encontrar
,1
as
fl
uentes
la solucin
es etluivalente
a
la
cu=-
Por
eiemPlo:
Cons'ideremos
el
rea
donde
BC
es
la
ordenada
rectangular
y
ABC de
I a
s i
gui
ente
fi
gura
,
AB
I
a
absc'isa:
en
B
Prol
onguemos
CB
el
paralelogramo
rn
en I a
mi
sma
entonces:
o
bien,
/////o/
/
/
/
hasta
E
de
tal
manera
que
Bt
ABDE;
las
fluxiones
de
las reas
proporcin
que
I
as ordenadas
BC
Y
rea
ABC
rea
ABDE
=
AB
variacin
S
varlaclon
s
],
HDL
BE
.,
v
comp'letemc:
ABDE
es::-
S-
s=
L
=_
1
variacin
S
la
r--
c-iEn--lA-g
en el
)
enguaje
moderno,
con
dS
T=V
/.
Qf
=
rz
1
o
r
escrl
to
AB=x
_dreEBWi:
C
-
7/25/2019 Historia Del Calculo Guillermina Waldeg
29/60
-
7/25/2019 Historia Del Calculo Guillermina Waldeg
30/60
mximo,
Y
ste
valor
mxirno
de
x
por
este
mtodo
se
pueden
resolver
problemas
como
los
siguentes:
l.Enuntringu.lodadooenullsegmerltodecurvadado,inscribirel
el
rectngu1o
de
rea
mxima:
-
:--
l^
Z.
--==-
'=
.=:--:
-:r
'
.\-'
=^
^-'-:i
-=.
::-::,
--'=:J'
mnima)
desde
un
'a
rorma'l
a
una
pufrto
a
una
curva
desde
curva
dada.
un
punio
dadc
3.Desdeunpuntojnter.ioraunacUrVadada,trazarlacuerdamxirna
mlnima).
-
7/25/2019 Historia Del Calculo Guillermina Waldeg
31/60
26
4.
Desde
un
Punto
a
la
curva
con
exterior
a
una
curva
un
ngu1o
mxjmo
(o
=-2
-->-)f
rs-,
m
ni;:
)
':
recta
que
corta
q,
Determinar
los
puntos
mximos,
mnimos
y
de
inflexin
de u:':*''l
ciada.
Encontrar
los
Puntos
de
una
curva
de
curvatura
mxirna
(o
mnima
)
.
De
entre
todas
las
eliPses
nir
la
de
rea
mnima
o
la
que pasan
por
cuatro
que
ms
se
aproxjma
a
puntos dados,
defi
-
un
crcul
o.
0
bien
problemas de
carcter
fsico,
como:
Determjnar
el
ancho
de la
superficie
esfrica
Sa
desde
el
i nf i
n'ito,
despus
de ref
ractarse
a
el
otro.
tal
que'la
1uz
que
lle
en
un
hem'isfe-r
io,'ilumi
el rectngu1
c
cc'
:
lcmo
un
ejemplo
de
la
forma en
que
se usarfa
este
mtocjo,
resoivamos
:'
ejemplo
1.
segnrento
de
parbola
-:3lB
AA y
que
tenga
nAAr
j7-_q.i_ir
'
"
-l-o
-
l- r: \
.l
t
a
rea max
l'
-.r'1
'{3
-:: M
-
7/25/2019 Historia Del Calculo Guillermina Waldeg
32/60
il1.
. ,, . .'
,-r
".-,
L'lamemos
y
-l
I
rea
de'l rect":-'c
a:'3'B
,
entcnces
A
A
--
I
_
'-a
l
n^
-
I
oL-L-^
(Bts')(BC)
(ver
figura)
;
por
lo
que
y
=
zQB'
(L-x)
pero,
por
las
propiedades de la
(q
entonces
el
rea
queda
parbo1
a
1
B'J
=
kx
c
-f7
y
=
2Jk;
(L-x)
Una
vez'planteada
la ecuacin,
debemos
encontrar
'las
fluxiones:
I
=
-2
\rr
+
#
(L-
x)i
Como
buscamcs
el
rea
mx'ima,
hacernos
i=0,
z
\rili
=+
(L-x)i
(
k
const
1-t'x
l
l ffi--*
de
donde:
es
dec'ir,
C,
7:,
''
,i ril
,rt/
I
/
/
/,,/
-
7/25/2019 Historia Del Calculo Guillermina Waldeg
33/60
o
sea:
2x-y.=
x=
Entonces,
el
rectngu1o
buscado
es
aquel
que
*":
e':
:'---
i
-
-1
2/3
.:
.
=vf-
rl
or-
Sea
L I
amemo
s
hasta
la
el
'lo
e
jempl
o 2
-'urazar
I
a
normal a
una
curva
ces:a
resol verfamos
de
I a
si
gui
ente
forma
:
{(*
=O
'.
,5)
P(x,
,
y,
)
un
punto
dado
exterior
a
el
I
.
un
segmento
de
recta
cual
qu'iera
,
desde
P
L1
)
+
(v-v,
)'
CUTVA.
=L
=
(x
_
xr
donde
(x,y)
es
un
punto
sobre la
Como
z
es
la variabl
donde
obtenemos:
f(x,y)
a
la
cu
rva .
la
curva,
y
1
ongi
tud
de
Entonces:
Sj
calcul
amos
I
as
fl
uxiones en
esta
ecuacin,
tendremos:
?
=
?(x-x,)i
+
Z(y-tt
)i
qremos
hacer
mnirn3,
ton,-:s
+{
(-
,(u
4il\
S
-
16-*
r'
t=:P----'
"
r
t"
-t
I
'i
''
'rlJ-
:.: riii: i:r .
.-
(*,fJ
-
7/25/2019 Historia Del Calculo Guillermina Waldeg
34/60
lii.
-t
y/x
pend
i ente
negati
vo
de
ii.iii,'
.+iii
de
la
recta
buscaca
la
tangente
a
'la
recta buscada;
es:,
donde
el
primer
miembro
(1a
mfnima) Y
e'l
curva
en
e'l
Punto
s'ign'if
i
ca
que I a
a
la
tangente,
es
v-y,
=
*
-
*1
de
esta
exPresin
es
la
segundo
es
el
recfProco
x_
de
i
ntersecc'in
de
I
a
curva
con
I a
recta
cuya
d
j
stancia
es
mnima,
Cebe ser
perpend'icul
'
decir,
es
la
normal
a
la
curva.
Veamos
el
si
-oui
ente
e
jemp'lo
concreto:
el
p:,n+,c
c3
l curva
2y=xz
ms
cercano
al
punto
(1,i
Cal cul
emos
I as fl
uxi
ones
en
I
a
ecuaci
n
?y
=
x
2i
=
Zx:x
entonces
entonces
ya
que
la
ecuacjn
inicial
nos
-(x-x,)
_
4-x
-F-r,l
-
xz-;
2--
L
dice
que
')_
X
Y
=-T
{=x
Y=L=
entonces
y,
resolviendo
..L
t A .\
Xl..--- il
'
x,
q-X
f"et'r
efOS:
-
Q
-
2v
_o
-o
e s
ta ecuac
i
n
en
1
J
,l
-2x
3
X
-
7/25/2019 Historia Del Calculo Guillermina Waldeg
35/60
3o
v
z
t=l=,
El
puntc
.
r
el
pj
cn
:
a
I a
par::'
zada
desde
y
I a
el
eccin
del
las-
que
est
expresa
:_.
varios
mtodos
.:do
se
hace
de
:
a
ecuac'in
de
TRAZAR
TAI]GENTES
A
CURVAS.
para
trazar
tangentes
a
una
curva
acuerdo
al
tr'po
de
coordenadas
en
I
a
curva
.
i
t
r
i
i
I
i
I
i
t
I
t
I
h..
IJ
'1todo:
,
-
7/25/2019 Historia Del Calculo Guillermina Waldeg
36/60
cirva
considerada
Y D el
Punto
(sobre
e11a)
absc'isa
y
1a
:-
-
;
-
7/25/2019 Historia Del Calculo Guillermina Waldeg
37/60
3
X-
La
ecuacin
de
f I
ux'iones
ser
ax
+aXY-
,4
\
t-t
I
xzi-2axi+ayi
>-Lo*'-2.Yt
3
Y
=[
+axy-
^\
5
i
+
^
2.
ryy
i("
=Q
>
-
7/25/2019 Historia Del Calculo Guillermina Waldeg
38/60
rj;a1.,:+
Ll
amernos
Y
AGMD
x=AB
y
.y*=BD,
son
semejantes,
Ya
ofie
=
9oo ;
,, th=
J
-"
v
r
MDL=
Br-D
(por
Los
tringujos
A
al ternos
i
nternos
)
,
GA=b
que
UL
-
J
entonce
s
pe
o
J
entonces
---:
-rL
-.
^
I
^r
\/
'-vut
b+y
LB
E
nl-
Ur'l
-
tla
I'll.l
LB
BO
I
.t;
I
f.
t
:,
ta1
'L
-
-
I l_
-
Y
-v
I
amemos
entonces
tendremos
I
as
dcs
ecuac.iones
bz+lz
=
XY
y
buscando
I as
fl
uxi
ones
de
bi+yi+zy
X,
,V
=
y+yi
T
i
-bt
2
v
Z,
obt-enemos:
?zi
--
-zYi
-
.,,, L tt'J
-
^\/
r
yA
el imi nando
7
de
las
dos
ecuaciones,
tendi^emos:
yz
I
I
"1
I
I
a
:;:
,': i,.:;r',
lr:i,;Cii
ii;
r,.-:'
de
donde
)'
--.E
r-:
,l
"L-uL
vJ
v
I
w.r:
-
7/25/2019 Historia Del Calculo Guillermina Waldeg
39/60
34
ll
Por
1o
que:
L=
bv vz
z--L-X
zz
Pero
como
BD=Y
pe
ro
bv
ul
=
z
-
--/-
7
Z
_y
_x
z
ol
x=AB
z-x
=
-AL
adems'.
v=RU=Al'1
"
b+-v
entonces,
ei
Punto
quedar
determj
nado
mediante
I
a
rel
acjn:
OT -
AI
-l-J
I
-
l\L
(BD
"
Gt'1)
BL
^tl
J
i.I
en
donde
el
s.igno
(-
)
i
nciica
que
e'l
punto
B opuesto
a
A.
El mtodo
anterior
se
usa
cuando
la
curva
est
de
coordenadas
recti
1
neas
ya
sean
ortoonales
o
no.
simpl
i
fjcan
mucho
su
ecuacin
cuando
Se uSe
un
si
stema
vilfneas.
En'la
prxima
seccin,
dedicaCa
bsicame.nte
tudlaremos
otro nltodo
para
cal;u'lar
tano'lte:''
,.t
T
debe
ser
k
-
7/25/2019 Historia Del Calculo Guillermina Waldeg
40/60
i(
Trt
.t-
CICI*OIDE.
TANGEF,TE
Y
CUNORATURA
El
mtodo
que
estudiaremos
a continuac'in,
nos
permite
encontrar
,
,
.--:_-
'l;
ranqente
a
una
curva
cuando
se
conoce
la
relacin
entre
eila
y
oti-:
curva
de referencia
dada
Estudi
aremos
es-ue
I
donde,
coro
se
ver,
se
Sea ABF
una curve
tangente
en un
punto
B
y
1'-';
,Urodo
*n
el casc
particular
de
la
ci
.loide
e-
s
i
mp1 i fi
ca mucho
el
probl
ema.
dada
que
usaremos
corno
referenc'i
sea
Bt
su
BC
I
a
orcienacia
de
B
(con
rln
c'ierto
ngu'lo
c:'
/*
i/
:,/
/
il
s
/l
.//,
Supongamos
que
la
curva
DE
(a
la
qual
queremos
se
puede
expresar
por
medio
de
una
relacjn
entre
el
gaci
n de
I
a
ordenada
) .t
e1
segmento
de
.r.r.
ffi.
posicin
bd,
y
I
a
orCenada
[iD
,.
b
a
S
trazar
la
tang.-
segmento
BD
(p.:i
i
Movamos
I
a
o.i
denada
BD
un
espacio
indefinjdamenie
pequeo
a
l.
sea
Dc
un"Arco
para1elo"
a
Bb.
Inionces,6l
"i:io,]ieilt,c
ser' cd,
mieiit.i',ts
qL,e
el
"moritentc"
rie
la "abci:'"
E
ts: Dl.
r
u
ulr.
P''-
I
ofierr
i:r;ro:l
lJrl
ai'co
irtcr,:
ll'i,lal'
...i
.
,l
-l
"
*
":
i;C
lt:;
t
tffiDffi
,,
entonces
r,e
:l:er,1e
rtoi.r jriei'ar
c:.rii'
-'
-* ::_,i-r-jl151u--
--j:-:.:= \'"-'
se
i
'r ter:.et:tr:
i:on
DL r:ri
-t..
[,i.il,r
f:
-
7/25/2019 Historia Del Calculo Guillermina Waldeg
41/60
.
D[
en
D.
Y,como
Bb es
un
arco
in
defuicgruntq_pujge-Is.1_enton:::
s=
:,:::
consiiira[
-a[Lq"
r_[* e_gI L
-;1==;'-@
S-EJg1g e-a
Ia
curva
ABF
en :'
Los
tringulos
ATDB
y.rcc
s3-:=-=-':':es
(1ados
paralelos)
entonces:
i,
jl
.r,,
'
.f
-
:
:
t
.
3i"
Eb
c
T
A,Y
'l
I
BD
CC
A
Asi
que
el
Punto
T
se
PUsc::=:=-:'i
I
os
"momentos
"
Bb/cd.
Como
un
eiempl
o
cje
este
rntco encontremcs
':
clojde
(*):
(o)
La
t:icloide
se
define
con.
el
luEar
geomtricc
c
to
fijo
P
cje
una
circunfe'en;ia
..1u:
rueda,
sjn
resbal
ta
fija.
La
ecudcin
rectangular
de
la cjclojde
es:
a-v
-
*
entre
Y
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