historia de las matematicas - ian stewart
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Historia de las matemticas www.librosmaravillosos.com Ian Stewarten los ltimos 10.000 aos
1 Preparado por Patricio Barros
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Prefacio
Las matemticas no nacieron plenamente formadas. Fueron hacindose gracias a
los esfuerzos acumulativos de muchas personas que procedan de muchas culturas
y hablaban diferentes lenguas. Ideas matemticas que se siguen utilizando hoy
datan de hace ms de 4.000 aos.
Muchos descubrimientos humanos son efmeros; el diseo de las ruedas de carro
fue muy importante para el Reino Nuevo Egipcio, pero hoy da no es exactamente
tecnologa de vanguardia. Las matemticas, por el contrario, suelen ser
permanentes. Una vez que se ha hecho un descubrimiento matemtico est a
disposicin de cualquiera, y con ello adquiere una vida propia. Las buenas ideas
matemticas difcilmente pasan de moda, aunque la forma de implementarlas puede
sufrir cambios espectaculares. Hoy seguimos utilizando mtodos para resolver
ecuaciones que fueron descubiertas por los antiguos babilonios. Ya no utilizamos su
notacin, pero el vnculo histrico es innegable.
De hecho, la mayora de las matemticas que se ensean hoy en la escuela tienen
ms de 200 aos.
La inclusin de las matemticas modernas en los programas de estudio en los aos
sesenta del siglo pasado llev la asignatura al siglo XIX. Pero, contra lo que pueda
parecer, las matemticas no se han quedado quietas. Hoy da, se crean ms
matemticas nuevas cada semana que las que los babilonios pudieron manejar en
dos mil aos.
El progreso de la civilizacin humana y el progreso de las matemticas han ido de la
mano. Sin los descubrimientos griegos, rabes e hindes en trigonometra, la
navegacin en ocanos abiertos hubiera sido una tarea an ms aventurada de lo
que fue cuando los grandes marinos abrieron los seis continentes. Las rutas
comerciales de China a Europa, o de Indonesia a las Amricas, se mantenan unidas
por un invisible hilo matemtico.
La sociedad de hoy no podra funcionar sin matemticas. Prcticamente todo lo que
hoy nos parece natural, desde la televisin hasta los telfonos mviles, desde los
grandes aviones de pasajeros hasta los sistemas de navegacin por satlite en los
automviles, desde los programas de los trenes hasta los escneres mdicos, se
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basa en ideas y mtodos matemticos. A veces son matemticas de mil aos de
edad; otras veces son matemticas descubiertas la semana pasada. La mayora de
nosotros nunca nos damos cuenta de que estn presentes, trabajando entre
bastidores para facilitar esos milagros de la tecnologa moderna.
Esto no es bueno: nos hace creer que la tecnologa funciona por magia, y nos lleva
a esperar nuevos milagros cada da. Por otra parte, es tambin completamente
natural: queremos utilizar estos milagros con tanta facilidad y tan poco esfuerzo
mental como sea posible. El usuario no debera cargarse con informacin
innecesaria sobre la maquinaria subyacente que hace posible los milagros. Si todos
los pasajeros de un avin tuvieran que superar un examen de trigonometra antes
de embarcar en el avin, pocos de nosotros dejaramos la tierra alguna vez. Y
aunque eso podra reducir nuestra pisada de carbono, tambin hara nuestro mundo
muy pequeo y provinciano.
Escribir una historia de las matemticas verdaderamente completa es virtualmente
imposible. La disciplina es ahora tan amplia, tan compleja y tan tcnica, que ni
siquiera un experto podra entender por completo un libro semejante; dejando
aparte el hecho de que nadie podra escribirlo. Morris Kline se acerc con su pico
Pensamiento matemtico desde la antigedad hasta los tiempos modernos. Tiene
ms de 1.200 pginas de letra pequea, y deja fuera casi todo lo que ha sucedido
en los ltimos cien aos.
Este libro es mucho ms corto, lo que quiere decir que he tenido que ser selectivo,
especialmente en lo que se refiere a los siglos XX y XXI. Soy plenamente consciente
de todos los temas importantes que he tenido que omitir. No hay geometra
algebraica, ni teora de cohomologa, ni anlisis de elementos finitos, ni ondeletes.
La lista de lo que falta es mucho ms larga que la lista de lo que se ha incluido.
Mis elecciones se han guiado por lo que probablemente es la formacin bsica de los
lectores y por la concisin con que pueden explicarse las nuevas ideas.
La historia sigue aproximadamente un orden cronolgico dentro de cada captulo,
pero los captulos estn ordenados por temas. Esto es necesario para darle una
coherencia narrativa, si lo pusiera todo en orden cronolgico, la discusin saltara de
forma aleatoria de un tema a otro, sin ningn sentido de direccin.
Esto podra estar ms cerca de la historia real, pero hara el libro ilegible. Por eso,
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cada nuevo captulo empieza con una vuelta al pasado, y luego toca algunos de los
hitos histricos por los que pas la disciplina en su desarrollo. Los primeros
captulos se detienen a mucha distancia en el pasado; los ltimos captulos recorren
a veces todo el camino hasta el presente.
He tratado de dar una idea de las matemticas modernas, por lo que entiendo
cualquier cosa hecha en los ltimos 100 aos ms o menos, seleccionando temas de
los que los lectores pueden haber odo hablar y relacionndolos con las tendencias
histricas generales. La omisin de un tema no implica que carezca de importancia,
pero creo que tiene ms sentido dedicar algunas pginas a hablar de la
demostracin de Andrew Wiles del ltimo Teorema de Fermat de lo que la
mayora de los lectores han odo hablar que, por ejemplo, a la geometra no-
conmutativa, de la que tan slo el fundamento ocupara varios captulos.
En definitiva, sta es una historia, no la historia. Y es historia en el sentido en que
cuenta un relato sobre el pasado. No se dirige a historiadores profesionales, no hace
las finas distinciones que ellos creen necesarias, y a veces describe ideas del pasado
a travs de los ojos del presente. Esto ltimo es el pecado capital para un
historiador, porque hace que parezca que los antiguos estaban luchando por llegar a
nuestro modo de pensamiento actual. Pero creo que es defendible y esencial si el
objetivo principal es partir de lo que ahora sabemos y preguntar de dnde proceden
dichas ideas. Los griegos no estudiaron la elipse para hacer posible la teora de las
rbitas planetarias de Kepler, ni Kepler formul sus tres leyes del movimiento
planetario para que Newton las convirtiera en su ley de la gravedad. Sin embargo,
la historia de la ley de Newton se basa firmemente en el trabajo griego sobre la
elipse y el anlisis de Kepler de los datos observacionales.
Un subtema del libro son los usos prcticos de las matemticas. Aqu he ofrecido
una muestra muy eclctica de aplicaciones, pasadas y presentes. Una vez ms, la
omisin de un tema no indica que carezca de importancia.
Las matemticas tienen una historia larga y gloriosa aunque algo olvidada, y la
influencia de la disciplina sobre el desarrollo de la cultura humana ha sido inmensa.
Si este libro transmite una minscula parte de la historia, habr alcanzado lo que yo
me propuse.
Coventry
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Mayo De 2007
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Captulo 1
Fichas, cuentas y tablillas
El nacimiento de los nmeros
Las matemticas empezaron con los nmeros, y los nmeros
siguen siendo fundamentales, incluso si la disciplina ya no se
limita a los clculos numricos. Sobre la base de los nmeros, las
matemticas han construido conceptos ms sofisticados y se han
desarrollado hasta constituir un rea muy amplia y variada del
pensamiento humano, que va mucho ms all de lo que
encontramos en un tpico temario escolar. Las matemticas de
hoy tratan ms de estructuras, pautas y formas que de los
propios nmeros. Sus mtodos son muy generales, y a menudo
muy abstractos. Tienen aplicaciones en la ciencia, la industria, el
comercio..., incluso las artes. Las matemticas son universales y
ubicuas.
Empez con nmeros
Durante muchos miles de aos, matemticos de muchas y diferentes culturas han
creado una enorme superestructura cimentada en los nmeros: geometra, clculo
infinitesimal, dinmica, probabilidad, topologa, caos, complejidad, etc. La revista
Mathematical Reviews, que registra cada nueva publicacin matemtica, clasifica la
disciplina en casi un centenar de reas mayores, subdivididas en varios miles de
especialidades. Hay ms de 50.000 matemticos investigadores en el mundo, que
publican ms de un milln de pginas de
matemticas nuevas cada ao. Matemticas
genuinamente nuevas, no slo pequeas variaciones sobre resultados ya existentes.
Los matemticos tambin han investigado en los fundamentos lgicos de su
disciplina, y han descubierto conceptos an ms fundamentales que los nmeros:
lgica matemtica, teora de conjuntos. Pero, una vez ms, la motivacin principal,
el punto de partida del que fluye todo lo dems, es el concepto de nmero.
Los clculos con nmeros pueden ser duros; obtener el nmero correcto puede ser
difcil. Incluso as, es mucho ms fcil utilizar nmeros que especificar qu son
Los nmeros parecen muy simples y
directos, pero las apariencias engaan.
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realmente. Los nmeros cuentan cosas, pero no son cosas: podemos coger dos
tazas, pero no podemos coger el nmero dos.
Los nmeros se denotan por smbolos, pero no son smbolos: diferentes culturas
utilizan diferentes smbolos para el mismo nmero. Los nmeros son abstractos, y
sin embargo nuestra sociedad se basa en ellos y no funcionara sin ellos. Los
nmeros son una construccin mental, y sin embargo tenemos la sensacin de que
seguiran teniendo significado incluso si la humanidad fuera barrida por una
catstrofe mundial y no quedara ninguna mente para contemplarlos.
Las primeras marcas
La historia de las matemticas empieza con la invencin de smbolos escritos para
denotar nmeros. Nuestro familiar sistema de dgitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,
para representar todos los nmeros imaginables, por grandes que sean, es una
invencin relativamente reciente; naci hace unos 1.500 aos, y su extensin a los
decimales, que nos permite representar nmeros con alta precisin, no tiene ms
de 450 aos. Los computadores, que han introducido los clculos matemticos en
nuestra cultura de forma tan profunda que ya no notamos su presencia, llevan con
nosotros tan slo unos 50 aos.
Y slo hace 20 aos que disponemos de computadores suficientemente potentes y
rpidos para servirnos en nuestros hogares.
Sin nmeros, la civilizacin tal como ahora la conocemos no podra existir. Los
nmeros estn por todas partes, como sirvientes ocultos que corren de un lado a
otro entre bastidores: llevan mensajes, corrigen nuestra ortografa cuando
escribimos a mquina, programan nuestros vuelos de vacaciones al Caribe, llevan el
registro de nuestros bienes, garantizan que nuestros medicamentos sean seguros y
efectivos. Y, en contrapartida, hacen posibles las armas nucleares y guan bombas y
misiles hacia sus objetivos.
No todas las aplicaciones de las matemticas han mejorado la condicin humana.
Cmo surgi esta industria numrica verdaderamente enorme?
Incluso entonces, los contables ya estaban registrando quin era el propietario de
qu, y de cunto; incluso si todava no se haba inventado la escritura y no haba
smbolos para los nmeros. En lugar de smbolos numerales, aquellos contables
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antiguos utilizaban pequeas fichas de arcilla. Unas eran conos, otras eran esferas y
otras tenan forma de huevos.
Haba cilindros, discos y pirmides. La
arqueloga Denise Schhmandt-Besserat dedujo
que estas fichas representaban productos bsicos de la poca. Las esferas de arcilla
representaban fanegas de grano, los cilindros representaban animales, los huevos
jarras de aceite. Las fichas ms antiguas datan del 8.000 a.C. y fueron de uso
comn durante 5.000 aos.
El hueso de Ishango, con las pautas de marcas y los nmeros que pueden
representar
Con el paso del tiempo, las fichas se hicieron ms elaboradas y ms especializadas.
Haba conos decorados para representar barras de pan, y tabletas en forma de
Todo empez con pequeas fichas de
arcilla, hace 10.000 aos en el Prximo
Oriente.
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diamante para representar cerveza. Schmandt-Besserat se dio cuenta de que estas
fichas eran mucho ms que un artificio de contabilidad. Eran un primer paso vital en
el camino hacia los smbolos numerales, la aritmtica y las matemticas. Pero ese
paso inicial fue bastante extrao, y parece dado por accidente.
Izquierda. Las marcas de cuenta tienen la ventaja de que pueden ir aadindose de
una en una, durante largos periodos, sin alterar o borrar marcas anteriores. Se
siguen utilizando hoy, a menudo en grupos de cinco con el quinto trazo cruzando
diagonalmente los cuatro anteriores. Derecha. La presencia de marcas de cuenta
an puede verse en los numerales modernos. Nuestros smbolos 1,2, 3 se derivan,
respectivamente, de un solo trazo, dos trazos horizontales unidos por una lnea
inclinada, y tres trazos horizontales unidos por una lnea inclinada
Se dio porque las fichas se utilizaban para llevar registros, quiz con fines
impositivos o financieros, o como prueba legal de propiedad. Las fichas tenan la
ventaja de que los contables podan ordenarlas rpidamente para calcular cuntos
animales o cunto grano posea o deba alguien. El inconveniente era que las fichas
podan ser falsificadas. As que para asegurar que nadie interfera en las cuentas,
los contables guardaban las fichas en recipientes de arcilla, como si estuvieran
precintadas. Podan descubrir rpidamente cuntas fichas, y de qu tipo, haba
dentro de un recipiente dado rompindolo. Siempre podan hacer un nuevo
recipiente para un almacenamiento posterior.
Sin embargo, romper repetidamente un recipiente y renovarlo era una forma muy
poco eficaz de descubrir lo que haba dentro, y los burcratas de la antigua
Mesopotamia pensaron algo mejor. Inscribieron smbolos en el recipiente que hacan
una lista de las fichas que contena. Si haba dentro siete esferas, los contables
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dibujaban siete esferas en la arcilla hmeda de la vasija.
En algn momento los burcratas mesopotmicos se dieron cuenta de que, una vez
que haban dibujado los smbolos en el exterior del recipiente, ya no necesitaban los
contenidos, y ya no tenan que romper el recipiente para ver qu fichas haba
dentro.
Este paso obvio pero crucial dio lugar a un conjunto de smbolos numerales escritos,
con diferentes formas para diferentes clases de bienes. Todos los dems smbolos
numerales, incluidos los que hoy utilizamos, son los descendientes intelectuales de
este antiguo artificio burocrtico. De hecho, es posible que la sustitucin de fichas
por smbolos haya constituido tambin el nacimiento de la propia escritura.
Marcas de cuenta
Estas marcas de arcilla no eran ni mucho menos los ms antiguos ejemplos de
escritura numeral, pero todos los ejemplos anteriores son poco ms que rayas,
marcas de cuenta, que registran nmeros como una serie de trazos, tales como
| | | | | | | | | | | | |
para representar el nmero 13. Las marcas ms viejas conocidas de este tipo, 29
muescas grabadas en un hueso de pata de babuino, tienen unos 37.000 aos. El
hueso se encontr en una cueva en las montaas Lebombo, en la frontera entre
Swazilandia y Sudfrica, por lo que la cueva se conoce como la Cueva de la
Frontera, y el hueso es el hueso de Lebombo. A falta de una mquina del tiempo, no
hay modo de estar seguros de lo que representan las marcas, pero podemos hacer
conjeturas informadas. Un mes lunar tiene 28 das, de modo es posible que las
muescas estn relacionadas con las fases de la Luna.
Hay reliquias similares de la Europa antigua. Un hueso de lobo encontrado en la
antigua Checoslovaquia tiene 57 marcas dispuestas en once grupos de cinco con
dos sueltas, y tiene unos 30.000 aos. Dos veces 28 es 56, de modo que esto
podra ser un registro lunar de dos meses. Una vez ms, parece que no hay modo
de comprobar esta sugerencia. Pero las marcas parecen deliberadas, y debieron
hacerse por alguna razn.
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Otra antigua inscripcin matemtica, el hueso de Ishango en Zaire, tiene 25.000
aos (estimaciones previas de 6.000-9.000 aos fueron revisadas en 1995). A
primera vista las marcas a lo largo del borde del hueso parecen hechas casi al azar,
pero quiz haya pautas ocultas. Una fila contiene los nmeros primos entre 10 y 20,
a saber, 11, 13, 17 y 19, cuya suma es 60. Otra hilera contiene 9, 11, 19 y 21, que
tambin suman 60. La tercera hilera recuerda un mtodo utilizado a veces para
multiplicar dos nmeros por duplicacin y por divisin por dos repetida. Sin
embargo, las pautas aparentes pueden ser una simple coincidencia, y tambin se ha
sugerido que el hueso de Ishango es un calendario lunar.
Las marcas de cuenta tienen la ventaja de que pueden irse aadiendo de una en
una, durante largos periodos, sin alterar o borrar marcas anteriores. Se siguen
utilizando hoy, a menudo en grupos de cinco con el quinto trazo cruzando
diagonalmente los cuatro anteriores.
La presencia de marcas de cuenta es profunda, y an puede verse en los numerales
modernos. Nuestros smbolos 1, 2, 3 se derivan, respectivamente, de un solo trazo,
dos trazos horizontales unidos por una lnea inclinada, y tres trazos horizontales
unidos por una lnea inclinada.
Las marcas se convierten en numerales
El camino histrico desde las fichas de los contables a los numerales modernos es
largo e indirecto. Con el paso de los milenios, los pueblos de Mesopotamia
desarrollaron la agricultura, y su forma de vida nmada dio paso a un asentamiento
permanente en una serie de ciudades-estado: Babilonia, Erido, Lagash, Sumer, Ur.
Los primitivos smbolos inscritos en tablillas de arcilla hmeda se transformaron en
pictogramas smbolos que representan palabras mediante imgenes simplificadas
de lo que las palabras significan y posteriormente los pictogramas se simplificaron
y quedaron reducidos a un pequeo nmero de marcas con forma de cua, que se
impriman en la arcilla utilizando un estilete seco con un extremo plano y afilado.
Podan hacerse diferentes tipos de cuas manejando el estilete de diferentes
maneras. Hacia el 3.000 a.C. los sumerios haban desarrollado una elaborada forma
de escritura, ahora llamada cuneiforme: en forma de cua.
La historia de este periodo es complicada; diferentes ciudades se hicieron
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dominantes en tiempos diferentes. La ciudad de Babilonia, en particular, alcanz
gran importancia, y aproximadamente un milln de tablillas de arcilla babilnicas
han sido extradas de las arenas mesopotmicas. Unos pocos cientos de ellas tratan
de matemticas y astronoma, y muestran que los babilonios tenan un amplio
conocimiento de ambas disciplinas. En particular, eran astrnomos expertos y
desarrollaron un simbolismo sistemtico y sofisticado para los nmeros con el que
podan representar datos astronmicos con alta precisin.
Los smbolos numerales babilnicos van mucho ms all de un simple sistema de
recuento, y son los ms antiguos smbolos conocidos en hacerlo.
Se utilizan dos tipos diferentes de cua: una cua delgada y vertical para
representar el numero 1, y una cua gruesa horizontal para el nmero 10.
Estas cuas se disponan en grupos para indicar los nmeros 2-9 y 20-50.
Sin embargo, esta pauta se detiene en 59, y la cua delgada toma entonces un
segundo significado, el nmero 60.
Se dice por ello que el sistema de numeracin babilnico es de base 60, o
sexagesimal. Es decir, el valor de un smbolo puede ser un nmero, o 60 veces
dicho nmero, o 60 veces 60 veces dicho nmero, dependiendo de la posicin del
smbolo. En esto es similar a nuestro familiar sistema decimal, en el que el valor de
un smbolo se multiplica por 10, o por 100, o por 1.000, dependiendo de su
posicin. En el nmero 777, por ejemplo, el primer 7 significa siete cientos, el
segundo significa setenta y el tercero significa siete.
Para un babilonio, una serie de tres repeticiones del smbolo para 7
tendra un significado diferente, aunque basado en un principio similar. El primer
smbolo significara 7 x 60 x 60, o 25.200; el segundo significara 7 x 60 = 420; el
tercero significara 7. Por lo tanto, el grupo de tres significara 25.200 + 420 + 7,
que es 25.627 en nuestra notacin. An pueden encontrarse hoy reliquias de los
nmeros babilonios de base 60.
Los 60 segundos en un minuto, 60 minutos en una hora y 360 grados en un crculo
completo se remontan a la antigua Babilonia.
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Smbolos babilnicos para los nmeros 1-59
Puesto que es difcil escribir a mquina en cuneiforme, los estudiosos escriben los
numerales babilnicos utilizando una mezcla de nuestra notacin de base 10 y su
notacin de base 60. As, las tres repeticiones del smbolo cuneiforme para 7 se
escribirn como 7, 7, 7.Y algo como 23, 11, 14 indicar los smbolos babilnicos
para 23, 11 y 14 escritos en orden, con el valor numrico (23 x 60 x 60) + (11 x
60) + 14, lo que da 83.474 en nuestra notacin.
Los babilonios
Nosotros no slo utilizamos diez smbolos para representar nmeros arbitrariamente
grandes: tambin utilizamos los mismos smbolos para representar nmeros
arbitrariamente pequeos. Para hacerlo empleamos la coma decimal. Los dgitos
a la izquierda de la coma representan nmeros enteros; los que estn a la derecha
de la coma representan fracciones. Fracciones especiales son los mltiplos de una
dcima, una centsima y as sucesivamente. Por lo tanto 25,47, pongamos por
caso, significa 2 decenas + 5 unidades + 4 dcimas + 7 centsimas.
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Los babilonios conocan este truco y lo utilizaron con un efecto extraordinario en sus
observaciones astronmicas. Los estudiosos denotan al equivalente babilnico de la
coma decimal por un punto y coma (;), pero sta es una coma sexagesimal y los
mltiplos a su derecha son mltiplos de 1/60, (1/60 x 1/60) = 1/3600 y as
sucesivamente. Como ejemplo, la lista de nmeros 12, 59; 57, 17 significa
12 x 60 + 59 + 57/60 + 17/3600
que es aproximadamente 779,955.
Se conocen casi 2.000 tablillas babilnicas con informacin astronmica, aunque
muchas de stas son pura rutina, consistentes en descripciones de maneras de
predecir eclipses, tablas de sucesos astronmicos regulares y breves extractos.
Unas 300 tablillas son ms ambiciosas y ms excitantes; tabulan observaciones del
movimiento de Mercurio, Marte, Jpiter y Saturno, por ejemplo.
Por fascinante que pueda ser, la astronoma babilnica es algo tangencial a nuestra
historia principal, que es la de las matemticas puras babilnicas. Pero parece
probable que la aplicacin a la astronoma fuera un acicate para la bsqueda de las
reas ms cerebrales de dicha disciplina. Por ello es justo reconocer cun precisos
eran los astrnomos babilonios cuando se trataba de observar sucesos celestes. Por
ejemplo, encontraron que el periodo orbital de Marte (estrictamente, el tiempo
transcurrido entre apariciones sucesivas en la misma posicin en el cielo) era 12,
59; 57, 17 das en su notacin, aproximadamente 779,955 das, como ya se ha
sealado.
La cifra moderna es 779,936 das.
Para qu les servan los nmeros
La tabla babilnica de Jpiter: Los babilonios utilizaban su sistema de numeracin
para el comercio y la contabilidad cotidiana, pero tambin lo utilizaban para un fin
ms sofisticado: la astronoma. Para esto, la capacidad de su sistema para
representar nmeros fraccionarios con gran precisin era esencial. Varios
centenares de tablillas registran datos planetarios. Entre ellas hay una nica tablilla,
muy daada, que detalla el movimiento diario del planeta Jpiter durante un
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periodo de unos 400 das. Fue escrita en la misma Babilonia, alrededor del 163 a.C.
Una entrada tpica de la tablilla lista los nmeros
126 8 16; 6, 46, 58 -0;0,45,18
-0;0,11,42 +0;0,0,10,
que corresponden a varias cantidades empleadas para calcular la posicin del
planeta en el cielo. Ntese que los nmeros se escriben con tres lugares
sexagesimales, ligeramente mejor que cinco cifras decimales.
Tabla babilnica de Jpiter
Los antiguos egipcios
Quiz la ms grande de las civilizaciones antiguas fue la de Egipto, que floreci en
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las orillas del Nilo y en el Delta del Nilo entre el 3150 a.C. y el 31 a.C., con un
extenso periodo predinstico anterior que se extiende hacia atrs hasta el 6000
a.C. y un declive gradual bajo el dominio romano del 3 1 a.C. en adelante. Los
egipcios eran constructores consumados, tenan un sistema muy desarrollado de
creencias y ceremonias religiosas y eran registradores obsesivos. Pero sus logros
matemticos eran modestos comparados con las alturas alcanzadas por los
babilonios.
El antiguo sistema egipcio para escribir nmeros naturales es muy simple y directo.
Hay smbolos para los nmeros 1, 10, 100, 1.000, y as sucesivamente. Repitiendo
estos smbolos hasta nueve veces, y combinando luego los resultados, se puede
representar cualquier nmero natural. Por ejemplo, para escribir el nmero 5.724
los egipcios agruparan cinco de sus smbolos para 1.000, siete smbolos para 100,
dos smbolos para 10 y cuatro smbolos para 1.
Smbolos numerales egipcios
Las fracciones provocaban graves dolores de cabeza a los egipcios. En diversos
perodos utilizaron varias notaciones diferentes para fracciones. En el Reino Antiguo
(2.700-2.200 a.C.), una notacin especial para nuestras fracciones 1/2, 1/4, 1/8,
1/16, 1/32 y 1/64 se obtena por divisin por dos repetida. Estos smbolos utilizaban
partes del jeroglfico ojo de Horus u ojo de la cobra.
El sistema egipcio ms conocido para las fracciones fue ideado durante el Reino
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Medio (2.200-1.700 a.C.). Empieza con una notacin para cualquier fraccin de la
forma 1 /n, donde n es un entero positivo. El smbolo (el jeroglfico para la
letra R) se escribe sobre los smbolos egipcios estndar para n. Por ejemplo, 1 /n se
escribe . Las dems fracciones se expresan entonces aadiendo varias de estas
fracciones unidad. Por ejemplo,
5/6 = 1/2 + 1/3.
Es interesante que los egipcios no escriban 2/5 como 1/5 + 1/5. Parece que su
regla era: utilizar fracciones unidad distintos. Haba tambin notaciones diferentes
para algunas de las fracciones ms simples, tales como 1/2, 2/3 y 3/4.
La notacin egipcia para las fracciones era engorrosa y muy poco adecuada para el
clculo. Les serva bastante bien en los registros oficiales, pero fue casi
completamente ignorada por las culturas posteriores.
El nmero 5724 en jeroglficos egipcios
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18 Preparado por Patricio Barros
Fracciones especiales formadas con partes del ojo de la cobra
Smbolos especiales para fracciones especiales
Nmeros y personas
Guste o no la aritmtica, no se pueden negar los profundos efectos que han tenido
los nmeros en el desarrollo de la civilizacin humana. La evolucin de la cultura y
la de las matemticas han ido de la mano durante los ltimos cuatro milenios. Sera
difcil desenredar causa y efecto; yo dudara en argumentar que la innovacin
matemtica impulsa el cambio cultural, o que las necesidades culturales determinan
la direccin del progreso matemtico. Pero ambas afirmaciones contienen algo de
verdad, porque matemticas y cultura evolucionan conjuntamente.
Hay, no obstante, una diferencia significativa. Los cambios culturales estn muy en
la superficie. Los nuevos tipos de vivienda, las nuevas formas de transporte,
incluso los nuevos modos de organizar las burocracias gubernamentales, son
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19 Preparado por Patricio Barros
relativamente obvios para todo ciudadano. Las matemticas, sin embargo, tienen
lugar fundamentalmente entre bastidores. Cuando los babilonios utilizaban sus
observaciones astronmicas para predecir eclipses solares, por ejemplo, el
ciudadano medio quedaba impresionado por la precisin con que los sacerdotes
predecan estos sucesos sorprendentes, incluso si la mayora de los sacerdotes
tenan poca o ninguna idea de los mtodos empleados. Ellos saban cmo leer
tablillas que listaban datos de eclipses, pero lo que importaba era cmo utilizarlos.
Cmo se haban construido era un arte arcano, que quedaba para los especialistas.
Algunos sacerdotes pueden haber tenido una buena educacin matemtica todos
los escribas instruidos la tenan, y los sacerdotes instruidos tomaban, en sus
primeros aos, prcticamente las mismas lecciones que los escribas, pero una
apreciacin de las matemticas no era realmente necesaria para disfrutar de los
beneficios que surgan de los nuevos descubrimientos en la disciplina. As ha sido
siempre y, sin duda, as seguir siendo. Los matemticos apenas reciben crdito por
cambiar nuestro mundo. Cuntas veces vemos todo tipo de milagros modernos
atribuidos a los computadores, sin la ms mnima apreciacin de que los
computadores slo trabajan eficazmente si son programados para utilizar
sofisticados algoritmos procedimientos para resolver problemas y que la base
de todos los algoritmos est en las matemticas?
Las matemticas ms visibles son las relacionadas con la aritmtica, pero la
invencin de las calculadoras de bolsillo, las cajas registradoras que suman cunto
hay que pagar, y los programas de pago de impuestos que nos hacen las cuentas,
estn ocultando cada vez ms a la aritmtica entre bastidores. Pese a todo, la
mayora de nosotros somos conscientes de que la aritmtica est all. Dependemos
por completo de los nmeros, ya sea para seguir las obligaciones legales, recaudar
impuestos, comunicar instantneamente con el otro lado del planeta, explorar la
superficie de Marte o evaluar el ltimo medicamento maravilloso. Todas estas cosas
se remontan a la antigua Babilonia y a los escribas y maestros que descubrieron
maneras eficaces de registrar nmeros y calcular con ellos. Aqullos utilizaban sus
habilidades aritmticas con dos fines principales: asuntos cotidianos y mundanos de
los seres humanos ordinarios, tales como la contabilidad y la medida de tierras, y
actividades intelectuales como predecir eclipses o registrar los movimientos del
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planeta Jpiter a travs del cielo nocturno.
Hoy hacemos lo mismo. Utilizamos matemticas sencillas, poco ms que aritmtica,
para centenares de tareas minsculas: cunto tratamiento antiparsitos poner en el
estanque de un jardn, cuntos rollos de
papel de pared tenemos que comprar
para empapelar el dormitorio o si
ahorraremos dinero yendo un poco ms
lejos en busca de gasolina ms barata. Y nuestra cultura utiliza matemticas
sofisticadas para la ciencia, la tecnologa y, cada vez ms, tambin para el
comercio. La invencin de la notacin numeral y la aritmtica figuran, junto a las
del lenguaje y la escritura, como unas de las innovaciones que nos transformaron
de monos adiestrables en seres humanos genuinos.
Para qu nos sirven los nmeros
La mayora de ios modernos automviles de gama alta estn ahora equipados con
navegacin por satlite, y sistemas individuales de navegacin por satlite pueden
comprarse a un precio relativamente barato. Un pequeo dispositivo, acoplado a
nuestro automvil, nos dice dnde estamos exactamente en cualquier momento y
nos presenta un mapa a menudo con espectaculares grficos en colores y con
perspectivas que muestra las carreteras vecinas. Un sistema de voz puede incluso
decirnos por dnde ir para llegar a un destino especificado. Si esto suena como algo
sacado de la ciencia ficcin, lo es. Un componente esencial, que no es parte de la
pequea caja acoplada al automvil, es el sistema de posicionamiento global (GPS),
que comprende 24 satlites que orbitan alrededor de la Tierra (a veces ms, cuando
se lanzan los satlites de reemplazo). Estos satlites envan seales, y estas seales
pueden utilizarse para deducir la posicin del automvil con un margen de unos
pocos metros.
Las matemticas entran en juego en muchos aspectos de la red GPS, pero aqu
mencionamos slo uno: cmo se utilizan las seales para calcular la posicin del
automvil.
Las seales de radio viajan a la velocidad de la luz, que es aproximadamente
300.000 kilmetros por segundo. Un computador a bordo del automvil un chip
La evolucin de la cultura y la de las matemticas
han ido de la mano durante los ltimos cuatro
milenios.
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en la caja que compramos puede calcular la distancia del automvil a cualquier
satlite dado si conoce cunto ha tardado la seal en viajar desde el satlite al
automvil.
Este tiempo es normalmente del orden de una dcima de segundo, pero ahora es
fcil medirlo de forma precisa. El truco consiste en estructurar la seal de modo que
contenga informacin sobre el tiempo.
En efecto, el satlite y el receptor en el automvil cantan una misma cancin, y
comparan su comps. Las notas procedentes del satlite irn ligeramente
retrasadas respecto a las producidas en el automvil. En esta analoga, las letras
podran ir as:
Automvil una paloma, trtala con cario que es...
Satlite si a tu ventana llega una paloma...
Aqu la cancin del satlite va unas tres palabras detrs de la misma cancin en el
automvil. Satlite y receptor deben generar la misma cancin, y notas
sucesivas deben ser identificables, de modo que la diferencia de tiempo es fcil de
observar.
Por supuesto, el sistema de navegacin por satlite no utiliza realmente una
cancin. La seal consiste en una serie de pulsos breves cuya duracin est
determinada por un cdigo pseudo- aleatorio. ste consiste en una secuencia de
nmeros que parece aleatoria pero que realmente est basada en una regla
matemtica. Tanto el satlite como el receptor conocen la regla, de modo que
pueden generar la misma secuencia de pulsos.
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22 Preparado por Patricio Barros
Captulo 2
La lgica de la forma
Los primeros pasos en geometra
En matemticas hay dos tipos principales de razonamiento: el
simblico y el visual. El razonamiento simblico tuvo su origen en la
notacin numeral, y pronto veremos cmo llev a la invencin del
lgebra, en cuyos smbolos pueden representarse nmeros
abstractos (la incgnita) antes que concretos (7).
A partir de la Edad Media las matemticas se basaron cada vez ms
en el uso de smbolos, como confirmar una ojeada a cualquier libro
de texto moderno de matemticas.
Los comienzos de la geometra
Adems de smbolos, los matemticos usan diagramas, lo que abre varios tipos de
razonamiento visual. Las imgenes son menos formales que los smbolos, y por esta
razn su uso ha sido mal visto a veces. Hay una sensacin ampliamente extendida
de que una imagen es de algn modo menos rigurosa, lgicamente hablando, que
un clculo simblico. Es cierto que las imgenes dejan ms lugar para diferencias de
interpretacin que los smbolos. Adems, las imgenes pueden contener hiptesis
ocultas: no podemos dibujar un tringulo general; cualquier tringulo que
dibujemos tendr un tamao y una forma particulares, que quiz no sean
representativos de un tringulo arbitrario. Sin embargo, la intuicin visual es una
caracterstica tan poderosa del cerebro humano que las imgenes desempean un
papel destacado en matemticas. De hecho, despus del nmero, introducen un
segundo concepto importante en la disciplina: la forma.
La fascinacin de los matemticos por las formas se remonta a muy atrs. Existen
diagramas en las tablillas de arcilla babilnicas. Por ejemplo, la tablilla catalogada
como YBC 7289 muestra un cuadrado y dos diagonales. Los lados del cuadrado
estn marcados con numerales cuneiformes para 30.
Sobre una diagonal est marcado 1;24,51,10 y debajo de ella 42;25,35, que es su
producto por 30 y, por lo tanto, la longitud de dicha diagonal. De modo que 1; 24,5
1,10 es la longitud de la diagonal de un cuadrado ms pequeo, con lados unidad.
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23 Preparado por Patricio Barros
El teorema de Pitgoras nos dice que esta diagonal es la raz cuadrada de 2, que
escribimos 2. La aproximacin 1; 24, 51, 10 para 2 es muy buena.
Tablilla YBC 7269 y sus numerales cuneiformes
El primer uso sistemtico de diagramas, junto con un uso limitado de smbolos y
una fuerte dosis de lgica, se da en los escritos geomtricos de Euclides de
Alejandra. La obra de Euclides segua una tradicin que se remontaba al menos al
culto pitagrico, que floreci alrededor del 500 a.C., pero Euclides insista en que
cualquier enunciado matemtico debe tener una demostracin lgica antes de que
pueda asumirse como verdadero. Por ello los escritos de Euclides combinan dos
innovaciones distintas: el uso de figuras y la estructura lgica de las
demostraciones. Durante siglos la palabra geometra estuvo estrechamente
asociada con ambas.
En este captulo vamos a seguir la historia de la geometra desde Pitgoras,
pasando por Euclides y su precursor Eudoxo, hasta el periodo final de la Grecia
clsica y los sucesores de Euclides, Arqumedes y Apolonio. Estos primeros
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24 Preparado por Patricio Barros
gemetras prepararon el camino para todo el trabajo posterior sobre pensamiento
visual en matemticas. Tambin fijaron cnones de demostracin lgica que no
fueron superados durante milenios.
Pitgoras
Hoy casi damos por supuesto que las matemticas ofrecen una clave para las leyes
subyacentes en la Naturaleza. La primera reflexin sistemtica en esta lnea de la
que hay noticia procede de los pitagricos, un culto ms bien mstico que data
aproximadamente del 600 a.C. al 400 a.C. Su fundador, Pitgoras, naci en Samos
alrededor del 569 a.C. Cundo y dnde muri es un misterio, pero en el 460 a.C. el
culto que l fund fue atacado y destruido, y sus lugares de reunin asaltados y
quemados. En uno de ellos, la casa de Miln de Crotona, fueron masacrados ms de
cincuenta pitagricos.
Muchos supervivientes huyeron a Tebas en el Alto Egipto. Posiblemente Pitgoras
era uno de ellos, pero incluso esto es una conjetura pues, leyendas aparte, no
sabemos prcticamente nada sobre Pitgoras. Su nombre es bien conocido,
bsicamente debido a su famoso teorema sobre tringulos rectngulos, pero ni
siquiera sabemos si Pitgoras lo demostr.
Sabemos mucho ms sobre la filosofa y las creencias de los pitagricos. Entendan
que las matemticas tratan con conceptos abstractos, no con la realidad. Sin
embargo, crean tambin que estas abstracciones estaban encarnadas de algn
modo en conceptos ideales, que existan en algn reino extrao de la
imaginacin, de modo que, por ejemplo, un crculo dibujado en la arena con un palo
es un intento fallido de un crculo ideal, perfectamente redondo e infinitamente fino.
El aspecto ms influyente de la filosofa del culto pitagrico es la creencia en que el
universo se funda en los nmeros.
Expresaban esta creencia en simbolismo mitolgico y la apoyaban con
observaciones empricas. Por el lado mstico, consideraban que el nmero I es la
fuente primaria de todas las cosas en el universo.
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25 Preparado por Patricio Barros
La armona del mundo
El principal apoyo emprico para el concepto pitagrico del universo numrico
proceda de la msica, en donde haban advertido algunas notables relaciones
entre sonidos armnicos y razones numricas simples. Utilizando experimentos
sencillos, ellos descubrieron que si una cuerda pulsada produce una nota de un
tono particular, entonces una cuerda de longitud mitad produce una nota
extraordinariamente armoniosa, ahora llamada la octava. Una cuerda de una
longitud dos tercios produce la siguiente nota ms armoniosa, y una de tres
cuartos de longitud tambin produce una nota armoniosa.
Hoy estos aspectos numricos de la msica se remiten a la fsica de las cuerdas
vibrantes, que se mueven en pautas ondulatorias. El nmero de ondas que pueden
encajar en una longitud dada de cuerda es un nmero entero, y estos nmeros
enteros determinan las razones numricas simples. Si los nmeros no forman una
razn simple, entonces las ilotas correspondientes interfieren, produciendo
batidos discordantes que son desagradables al odo. La historia completa es ms
compleja, e incluye aquello a lo que el cerebro est acostumbrado, pero hay un
argumento fsico preciso tras el descubrimiento pitagrico.
Los nmeros 2 y 3 simbolizaban los principios femenino y masculino. El nmero 4
simbolizaba la armona, y tambin los cuatro elementos (Tierra, Aire, Fuego, Agua)
a partir de los cuales est hecho todo. Los pitagricos crean que el nmero 10 tena
profunda trascendencia mstica, porque 10 = 1 + 2 + 3 + 4, que combina la unidad
primaria, el principio femenino, el principio masculino y los cuatro elementos.
Adems, estos nmeros formaban un tringulo, y la totalidad de la geometra griega
se basaba en propiedades de los tringulos.
Los pitagricos reconocan la existencia de nueve cuerpos celestes: el Sol, la Luna,
Mercurio, Venus, la Tierra, Marte, Jpiter y Saturno, ms el Fuego Central, que era
diferente del Sol. Tan importante era el nmero 10 en su visin de la cosmologa
que crean que haba un dcimo cuerpo, la Anti-Tierra, perpetuamente oculto a
nosotros tras el Sol.
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26 Preparado por Patricio Barros
Como hemos visto, los nmeros 1, 2, 3,..., llevaban de manera natural a un
segundo tipo de nmero, las fracciones, que los matemticos llaman nmeros
racionales. Un nmero racional es una fraccin a/b donde a, b son nmeros
naturales (y b es distinto de 0; de lo
contrario, la fraccin no tiene sentido).
Las fracciones subdividen a los nmeros
naturales en partes arbitrariamente
finas, de modo que en particular la
longitud de una lnea en una figura
geomtrica puede aproximarse tanto
como queramos por un nmero racional.
Parece natural imaginar que con
suficientes subdivisiones se llegara al
nmero exactamente; si fuera as, todas
las longitudes seran racionales.
Si esto fuera cierto, hara la geometra
mucho ms sencilla, porque dos longitudes cualesquiera seran mltiplos enteros de
una longitud comn (quiz pequea), y por ello podran obtenerse empalmando
montones de copias de esta longitud comn. Esto quiz no suena muy importante,
pero con ello toda la teora de longitudes, reas y especialmente figuras
semejantes figuras con la misma forma pero diferentes tamaos sera mucho
ms sencilla. Todo podra demostrarse utilizando diagramas formados a partir de
muchos montones de copias de una forma bsica.
Por desgracia, este sueo no puede realizarse. Segn la leyenda, uno de los
seguidores de Pitgoras, Hipaso de Metaponto, descubri que este enunciado es
falso. En concreto, demostr que la diagonal de un cuadrado unidad es irracional:
no es una fraccin exacta. Se dice (con base dudosa, pero es una buena historia)
que cometi el error de anunciar este hecho cuando los pitagricos estaban
cruzando el Mediterrneo en barco, y sus compaeros de culto quedaron tan
irritados que le arrojaron por la borda y se ahog.
Lo ms probable es que simplemente fuera expulsado del culto. Cualquiera que
fuera su castigo, parece que a los pitagricos no les gust su descubrimiento.
El nmero diez forma un tringulo
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27 Preparado por Patricio Barros
La interpretacin moderna de la observacin de Hipaso es que 2 es irracional. Para
los pitagricos, este hecho brutal era un duro golpe para su creencia casi religiosa
en que el universo estaba enraizado en los nmeros (por lo que ellos entendan los
nmeros naturales). Las fracciones razones de nmeros enteros encajaban muy
bien en esta visin del mundo, pero los nmeros que demostrablemente no eran
fracciones no lo hacan. Y por ello, ya fuera ahogado o expulsado, el pobre Hipaso
se convirti en una de las primeras vctimas de la irracionalidad, por as decir, de las
creencias religiosas.
Estas dos formas son semejantes
Irracionales
Finalmente los griegos encontraron una manera de manejar los irracionales.
Funciona porque cualquier nmero irracional puede ser aproximado por un nmero
racional. Cuanto mejor es la aproximacin, ms complicado se hace dicho racional,
y siempre hay algn error. Pero haciendo el error cada vez menor, hay una
posibilidad de aproximar las propiedades de los irracionales explotando propiedades
anlogas a las de los nmeros racionales que los aproximan. El problema est en
establecer esta idea de una forma que sea compatible con la aproximacin griega a
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28 Preparado por Patricio Barros
la geometra y la demostracin. Esto resulta ser factible, pero complicado.
La teora griega de los irracionales fue
concebida por Eudoxo alrededor del 370
a.C. Su idea consiste en representar
cualquier magnitud, racional o irracional,
como la razn de dos longitudes; es
decir, en trminos de un par de
longitudes. As, dos-tercios se
representa por dos lneas, una de
longitud dos y otra de longitud tres (una
razn 2:3). Anlogamente, 2 se
representa por el par formado por la
diagonal de un cuadrado unidad y su
lado (una razn 2:1). Ntese que
ambos pares de lneas pueden
construirse geomtricamente.
El punto clave consiste en definir cundo dos de estas razones son iguales. Cundo
es a:b = c:d? A falta de un sistema de nmeros apropiado, los griegos no podan
hacerlo dividiendo una longitud por otra y comparando a + b con c + d. En su lugar,
Eudoxo encontr un engorroso pero preciso mtodo de comparacin que poda
realizarse dentro de las convenciones de la geometra griega. La idea consiste en
tratar de comparar a y c formando mltiplos enteros ma y nc. Esto puede hacerse
empalmando m copias de a extremo con
extremo, y lo mismo con n copias de b.
Utilizamos los mismos dos mltiplos m y
n para comparar mb y nd. Si las razones a:b y c:d no son iguales, dice Eudoxo,
entonces podemos encontrar m y n para exagerar la diferencia a tal extremo que
ma > nc pero mb < nd. De hecho, podemos definir la igualdad de razones de esta
manera.
Esta definicin requiere acostumbrarse. Est hecha muy cuidadosamente a medida
de las limitadas operaciones permitidas en la geometra griega.
Sin embargo funciona; permiti a los gemetras griegos tomar teoremas que podan
Es la razn a:b igual a la razn c:d?
La teora griega de los irracionales fue concebida
por Eudoxo alrededor del 370 a.C.
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29 Preparado por Patricio Barros
ser demostrados fcilmente para razones racionales y extenderlos a razones
irracionales.
Teorema de Pitgoras: si el tringulo tiene un ngulo recto, entonces el rea del
cuadrado ms grande, A, es la misma que la de los otros dos, B y C. juntos
A menudo utilizaban un mtodo llamado exhaustion, que les permita demostrar
teoremas que nosotros demostraramos actualmente utilizando la idea de lmite y
el clculo infinitesimal. De esta manera demostraron que el rea de un crculo es
proporcional al cuadrado de su radio. La demostracin parte de un hecho ms
simple, que se encuentra en Euclides: las reas de dos polgonos semejantes estn
en la misma proporcin que los cuadrados de los lados correspondientes.
El crculo plantea nuevos problemas porque no es un polgono. Por ello, los griegos
consideraron dos secuencias de polgonos: una dentro del crculo, y la otra fuera.
Ambas secuencias se acercan cada vez ms al crculo, y la definicin de Eudoxo
implica que la razn de las reas de los polgonos aproximantes es la misma que la
razn de las reas de los crculos.
Euclides
El gemetra griego ms conocido, aunque probablemente no el matemtico ms
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30 Preparado por Patricio Barros
original, es Euclides de Alejandra. Euclides fue un gran sintetizador, y su texto de
geometra, los Elementos, se convirti en un xito de ventas perenne. Euclides
escribi al menos diez textos sobre matemticas, pero slo cinco de ellos
sobreviven; todos a travs de copias posteriores, y diez slo en parte. No tenemos
documentos originales de la antigua Grecia. Los cinco supervivientes euclidianos son
los Elementos, la Divisin de figuras, los Datos, los Fenmenos y la ptica.
Los Elementos es la obra maestra geomtrica de Euclides, y ofrece un tratamiento
definitivo de la geometra de dos dimensiones (el plano) y tres dimensiones (el
espacio). La Divisin de figuras y los Datos contienen varios complementos y
comentarios sobre geometra. Los Fenmenos estn dirigidos a los astrnomos, y
tratan de la geometra esfrica, la geometra de figuras dibujadas en la superficie
de una esfera. La ptica es tambin geomtrica, y podra considerarse mejor como
una incipiente investigacin de la geometra de la perspectiva: cmo transforma el
ojo humano una escena tridimensional en una imagen bidimensional.
Quiz la mejor manera de pensar en la obra de Euclides es como un examen de la
lgica de las relaciones espaciales. Si una forma tiene ciertas propiedades, stas
pueden implicar lgicamente otras propiedades. Por ejemplo, si un tringulo tiene
los tres lados iguales un tringulo equiltero, entonces los tres ngulos deben
ser iguales. Este tipo de enunciado, que lista algunas hiptesis y luego afirma sus
consecuencias lgicas, se denomina un teorema. Este teorema concreto relaciona
una propiedad de los lados de un tringulo con una propiedad de sus ngulos. Un
ejemplo menos intuitivo y ms famoso es el teorema de Pitgoras.
Los Elementos se dividen en 13 libros, que se siguen unos a otros en una secuencia
lgica. Analizan la geometra del plano y algunos aspectos de la geometra del
espacio. El punto culminante es la demostracin de que hay exactamente cinco
slidos regulares: el tetraedro, el cubo, el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro.
Las formas bsicas permitidas en geometra plana son lneas rectas y crculos, a
veces en combinacin; por ejemplo, un tringulo est formado por tres lneas
rectas. En geometra espacial encontramos tambin planos, cilindros y esferas.
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31 Preparado por Patricio Barros
Poliedros regulares
Un slido es regular (o platnico) si est formado por caras idnticas. Los pitagricos
conocan cinco slidos de este tipo
1. El tetraedro, formado a partir de cuatro tringulos equilteros.
2. El cubo (o hexaedro), formado a partir de seis cuadrados.
3. El octaedro, formado a partir de ocho tringulos equilteros.
4. El dodecaedro, formado a partir de 12 pentgonos regulares.
5. El icosaedro, formado a partir de 20 tringulos equilteros.
Ellos los asociaron con los cuatro elementos de la antigedad tierra, aire, fuego
y agua y con un quinto elemento, la quintaesencia.
Para los matemticos modernos lo ms interesante en la geometra de Euclides no
es su contenido, sino su estructura lgica. A diferencia de sus predecesores,
Euclides no se limita a afirmar que un teorema es verdadero.
El ofrece una demostracin.
Qu es una demostracin? Es una especie de historia matemtica, en la que cada
paso es una consecuencia lgica de algunos de los pasos previos. Cada enunciado
que se afirma tiene que justificarse haciendo referencia a enunciados previos y
demostrando que es una consecuencia lgica de ellos. Euclides comprendi que este
proceso no puede llevarse hacia atrs indefinidamente: tiene que empezar en
alguna parte, y estos enunciados iniciales no pueden ser demostrados, o de lo
contrario el proceso de demostracin empieza realmente en algn lugar diferente.
Para empezar a rodar, Euclides hizo una lista de varias definiciones: enunciados
claros y precisos de lo que significan ciertos trminos tcnicos, tales como lnea o
crculo.
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32 Preparado por Patricio Barros
Euclides de Alejandra
325 - 265 a. C.Euclides es famoso por su libro de geometra, Los Elementos, que fue un
importante, de hecho el principal, texto de enseanza de la geometra durante dos
milenios.
Sabemos muy poco de la vida de Euclides.
Ense en Alejandra. Alrededor del 450
a.C. el filsofo griego Proclo escribi:
Euclides... vivi en la poca del primer
Ptolomeo, pues Arqumedes, que sigui de
cerca al primer Ptolomeo, menciona a
Euclides... Ptolomeo pregunt en cierta
ocasin [a Euclides] si haba un camino
ms corto para estudiar geometra que los
Elementos, a lo que ste contest que no
haba ningn camino real a la geometra.
Por lo tanto era ms Joven que el circulo
de Platn, pero ms viejo que Eratstenes
y Arqumedes... era un platnico, pues
simpatizaba con su filosofa, e hizo de la
construccin de las denominadas figuras platnicas slidos regulares] el objetivo
de los Elementos.
Una definicin tpica es un ngulo obtuso es un ngulo mayor que un ngulo
recto. La definicin le proporcionaba la terminologa que necesitaba para enunciar
sus hiptesis indemostradas, que clasificaba en dos tipos: nociones comunes y
postulados. Una tpica nocin comn es cosas que son iguales a la misma cosa son
iguales entre s. Un postulado tpico es todos los ngulos rectos son iguales entre
s.
Hoy da agrupamos ambos tipos y les llamamos axiomas. Los axiomas de un
sistema matemtico son las hiptesis subyacentes que hacemos sobre el mismo.
Consideramos los axiomas como las reglas del juego, e insistimos en que se juegue
de acuerdo con las reglas. Ya no preguntamos si las reglas son verdaderas, ya no
pensamos que slo pueda jugarse a un juego. Alguien que quiera jugar a este juego
concreto debe aceptar las reglas; si no lo hace, es libre de jugar a un juego
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33 Preparado por Patricio Barros
diferente, pero no ser el juego determinado por estas reglas concretas.
En los das de Euclides, y durante los casi los 2.000 aos siguientes, los
matemticos no pensaban as ni mucho menos. En general vean los axiomas como
verdades autoevidentes, tan obvias que nadie poda cuestionarlas seriamente.
Por ello Euclides hizo todo lo que pudo para hacer todos sus axiomas obvios... y
estuvo muy cerca de conseguirlo. Pero un axioma, el axioma de las paralelas, es
inusualmente complicado y poco intuitivo, y muchos trataron de deducirlo de
hiptesis ms sencillas. Ms tarde veremos a qu notables descubrimientos llev
esto.
Paso a paso, a partir de estos comienzos simples, los Elementos continan
ofreciendo demostraciones de teoremas geomtricos cada vez ms sofisticados. Por
ejemplo, la Proposicin 5 del Libro I demuestra que los ngulos en la base de un
tringulo issceles (un tringulo con dos lados iguales) son iguales.
Este teorema fue conocido por generaciones de escolares Victorianos como el pons
asinorum o puente para asnos: el diagrama se parece a un puente, y era el primer
obstculo serio para los estudiantes que trataban de aprender la asignatura de
memoria en lugar de entenderla. La Proposicin 32 del Libro I demuestra que los
ngulos de un tringulo suman 180. La Proposicin 47 del Libro I es el Teorema de
Pitgoras.
Euclides deduca cada teorema de teoremas previos y varios axiomas. Construy
una torre lgica, que suba cada vez ms hacia el cielo, con los axiomas como
cimientos y la deduccin lgica como el mortero que una los ladrillos.
Hoy nos sentimos menos satisfechos con la lgica de Euclides porque tiene muchas
lagunas. Euclides da muchas cosas por supuestas; su lista de axiomas est lejos de
ser completa. Por ejemplo, puede parecer obvio que si una recta pasa por un punto
dentro de un crculo, entonces debe cortar al crculo en alguna parte, al menos si se
prolonga lo suficiente. Ciertamente parece obvio si se dibuja una imagen, pero hay
ejemplos que demuestran que no se sigue de los axiomas de Euclides. Euclides lo
hizo bastante bien, pero supuso que propiedades aparentemente obvias de los
diagramas no necesitaban una demostracin ni una base axiomtica.
Esta omisin es ms seria de lo que podra parecer. Hay algunos ejemplos famosos
de razonamiento falaz que surgen de errores sutiles en las figuras.
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34 Preparado por Patricio Barros
Uno de ellos demuestra que todo tringulo tiene dos lados iguales.
Jerigonza?
El Libro V de los Elementos va en una direccin muy diferente, y ms bien oscura,
de la de los Libros I-IY No parece geometra convencional. De hecho, a primera
vista se lee bsicamente como una jerigonza. Qu tenemos que hacer, por
ejemplo, con la Proposicin I del Libro V? Dice: si ciertas magnitudes son
equimltiplos de otras magnitudes, entonces si cualquier mltiplo de una de las
magnitudes lo es una de las otras, dicho mltiplo tambin lo ser de todas.
El lenguaje (que he simplificado un poco) no ayuda, pero la demostracin aclara lo
que Euclides pretenda. El matemtico ingls del siglo XIX Augustus de Morgan
explicaba la idea en lenguaje simple en su libro de texto de geometra: Diez pies y
diez pulgadas son diez veces tanto como un pie y una pulgada.
Qu quiere Euclides aqu? Son trivialidades vestidas como teoremas?
Son sinsentidos msticos? En absoluto.
Este material puede parecer oscuro,
pero nos lleva a la parte ms profunda de los Elementos: las tcnicas de Eudoxo
para tratar razones irracionales. Hoy da los matemticos prefieren trabajar con
nmeros, y puesto que stos son ms familiares, interpretar a menudo las ideas
griegas en dicho lenguaje.
Euclides no poda evitar enfrentarse a las dificultades de los nmeros irracionales,
porque el clmax de los Elementos y para muchos su principal objetivo era la
demostracin de que existen exactamente cinco slidos regulares: el tetraedro, el
cubo (o hexaedro), el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro. Euclides demostr dos
cosas: no hay otros slidos regulares, y estos cinco existen realmente, pueden
construirse geomtricamente y sus caras encajan perfectamente, sin el ms mnimo
error.
Dos de los slidos regulares, el dodecaedro y el icosaedro, incluyen al pentgono
regular: el dodecaedro tiene caras pentagonales, y las cinco caras del icosaedro que
rodean a cualquier vrtice determinan un pentgono.
Son trivialidades vestidas como teoremas? En
absoluto.
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35 Preparado por Patricio Barros
Los pentgonos regulares estn directamente relacionados con lo que Euclides
llamaba razn extrema y media. Sobre una lnea recta AB, se construye un punto
C de modo que la razn AB : AC es igual a AC : BC. Es decir, la lnea entera guarda
la misma proporcin con el segmento ms grande que el segmento ms grande
guarda con el ms pequeo. Si
dibujamos un pentgono e inscribimos
una estrella de cinco puntas, los lados
de la estrella estn relacionados con los
lados del pentgono por esta razn
particular.
Hoy da llamamos a esta razn el
nmero ureo. Es igual a 1 + (5/2), y
este nmero es irracional. Su valor
numrico es aproximadamente 1,618.
Los griegos pudieron demostrar que era
irracional explotando la geometra del
pentgono. Por ello Euclides y sus
predecesores eran conscientes de que, para tener una comprensin adecuada del
dodecaedro y el icosaedro, deban entender los irracionales.
Esta es, al menos, la visin convencional de los Elementos.
David Fowler argumenta en su libro Las matemticas de la Academia de Platn que
hay una visin alternativa: en esencia, la inversa. Tal vez el objetivo principal de
Euclides era la teora de los irracionales, y los slidos regulares eran tan slo una
aplicacin.
Razn extrema y media (ahora llamada razn urea). La razn entre la lnea
superior y la del centro es igual a la razn entre la lnea central y la inferior
La razn entre las diagonales y los lados
es urea
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36 Preparado por Patricio Barros
La evidencia puede interpretarse de una forma u otra, pero una caracterstica de los
elementos encaja mejor en esta teora alternativa. Buena parte del material sobre
teora de nmeros no es necesario para la clasificacin de los slidos regulares;
entonces, por qu Euclides incluy este material?
Pi con enorme precisinEl valor de ha sido calculado ahora con varios miles de millones de cifras
decimales, utilizando mtodos ms sofisticados. Tales clculos son de inters por
sus mtodos, para poner a prueba sistemas de computacin, y por pura
curiosidad, pero el resultado mismo tiene poca importancia. Las aplicaciones
prcticas de n no requieren, en general, ms de cinco o seis cifras. El rcord
actual es 51.539.600.000 cifras decimales, calculadas por Yasumasa Kanada y
Daisuke Takahashi. Ellos realizaron dos clculos independientes utilizando dos
mtodos diferentes, para obtener 51.539.607.552 cifras de n. Los resultados
coincidan en los primeros 51.539.607.510 cifras, por lo que redujeron la
proclamacin de su rcord a 51.539.600.000 cifras exactas.
Sin embargo, el mismo material est estrechamente relacionado con los nmeros
irracionales, lo que podra explicar por qu fue incluido.
Arqumedes
El ms grande de los matemticos antiguos fue Arqumedes. Hizo importantes
contribuciones a la geometra, estuvo en la vanguardia de las aplicaciones de las
matemticas al mundo natural y fue un ingeniero consumado.
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37 Preparado por Patricio Barros
Arqumedes de Siracusa
287 - 212 a.C.Arqumedes naci en Siracusa, en la Magna Grecia (la actual Sicilia), hijo del
astrnomo Fidias. Visit Egipto, donde supuestamente invent el tornillo de
Arqumedes, que hasta hace muy poco era ampliamente utilizado para elevar
agua del Nilo para irrigacin. Es probable que visitara a Euclides en Alejandra, y
seguro que mantuvo correspondencia con matemticos alejandrinos.
Sus habilidades matemticas fueron insuperables y de amplio alcance. Les dio un
uso prctico y construy enormes mquinas de guerra basadas en su ley de la
palanca, capaces de lanzar rocas enormes
contra el enemigo. Sus mquinas fueron
utilizadas con gran efecto en el sitio
romano de Alejandra en el 212 a.C. Utiliz
incluso la geometra de la reflexin ptica
para concentrar los rayos solares sobre
una flota romana invasora e incendiar las
naves.
Sus libros conservados (slo en copias
posteriores) son Sobre equilibrios en el
plano, la Cuadratura de la parbola, Sobre
la esfera y el cilindro, Sobre los cuerpos
flotantes, Medida del crculo y El arenario,
junto con El mtodo, descubierto en 1906
por Johan Heiberg.
Pero para los matemticos, Arqumedes ser siempre recordado por su obra sobre
crculos, esferas y cilindros, que ahora asociamos con el nmero (pi), que es
aproximadamente 3,14159. Por supuesto, los griegos no trabajaban directamente
con n: ellos lo vean geomtricamente como la razn entre la circunferencia de un
crculo y su dimetro.
Culturas anteriores haban advertido que la circunferencia de un crculo es siempre
el mismo mltiplo de su dimetro, y saban que este mltiplo era aproximadamente
3 1/7, quiz un poco mayor. Los babilonios utilizaban 3 1/8. Pero Arqumedes fue
mucho ms lejos; sus resultados iban acompaados de demostraciones rigurosas,
en el espritu de Eudoxo. Hasta donde saban los griegos, la razn entre la
circunferencia de un crculo y su dimetro podra ser irracional. Ahora sabemos que
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38 Preparado por Patricio Barros
realmente es as, pero la demostracin tuvo que esperar hasta 1770, cuando
Johann Heinrich ide una. (El valor que se da a veces en la escuela, 3 1/7, es
conveniente aunque slo aproximado.) Sea como fuere, puesto que Arqumedes no
pudo demostrar que es racional, tuvo que suponer que podra no serlo.
Tornillo de Arqumedes
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39 Preparado por Patricio Barros
El palimpsesto de Arqumedes
La geometra griega trabajaba mejor con polgonos: formas hechas de lneas rectas.
Pero un crculo es curvo, de modo que Arqumedes se acerc al mismo
aproximndolo por polgonos. Para estimar l compar la circunferencia de un
crculo con los permetros de dos series de polgonos: una serie situada en el
interior del crculo, y la otra a su alrededor.
Los permetros de los polgonos dentro del crculo deben ser ms cortos que el
crculo, mientras que los de fuera del crculo deben ser ms largos que el crculo.
Para hacer el clculo ms fcil, Arqumedes construa sus polgonos bisecando
repetidamente los lados de un hexgono regular (un polgono de seis lados) para
obtener polgonos regulares con 12 lados, 24, 48 y as sucesivamente. Se detuvo en
96. Sus clculos demostraban que
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40 Preparado por Patricio Barros
3 10/71 < < 3 1/7
es decir, est en algn lugar entre 3,1408 y 3,1429 en notacin decimal actual.
La obra de Arqumedes sobre la esfera es de especial inters, porque no slo
conocemos su demostracin rigurosa sino la forma en que la encontr que
decididamente no era rigurosa. La demostracin se da en su libro Sobre la esfera
y el cilindro.
l demuestra que el volumen de una
esfera es dos-tercios del de un cilindro
circunscrito, y que las reas de aquellas
partes de la esfera y del cilindro que
yacen entre dos planos paralelos
cualesquiera son iguales. En lenguaje
moderno, Arqumedes demostr que el
volumen de una esfera es 4r3/3, donde
r es el radio, y el rea de su superficie
es 4r2 Estos hechos bsicos se siguen
utilizando hoy.
La demostracin hace un uso
consumado de la exhaustion. Este
mtodo tiene una limitacin importante:
hay que saber cul es la respuesta antes de tener muchas posibilidades de
demostrarla. Durante siglos los estudiosos no tenan ninguna idea de cmo
Arqumedes conjetur la respuesta.
Pero en 1906 el estudioso dans Heiberg estaba estudiando un pergamino del siglo
XIII en el que haba escritas unas oraciones. l advirti lneas tenues de una
inscripcin anterior que haba sido borrada para dejar lugar para las oraciones.
Descubri que el documento original era una copia de varias obras de Arqumedes,
algunas de ellas previamente desconocidas.
(Y lo que es ms sorprendente, ahora se sabe que el mismo manuscrito contiene
fragmentos de obras perdidas de otros dos autores antiguos.)
Una obra de Arqumedes, el Mtodo de los teoremas mecnicos, explica cmo
Una esfera y su cilindro circunscrito
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41 Preparado por Patricio Barros
conjeturar el volumen de una esfera. La idea consiste en hacer rebanadas
infinitamente delgadas de la esfera y colocar las rebanadas en un plato de una
balanza; en el otro plato se cuelgan rebanadas similares de un cilindro y un cono,
cuyos volmenes Arqumedes ya conoca. La ley de la palanca da el valor buscado
para el volumen.
El pergamino fue vendido por dos millones de dlares en 1998 a un comprador
privado.
Problemas para los griegos
La geometra griega tena limitaciones, algunas de las cuales super introduciendo
nuevos mtodos y conceptos. Euclides slo admita las construcciones geomtricas
que podan realizarse usando una vara no marcada (regla) y un par de compases
(en lo sucesivo comps; la palabra par es tcnicamente necesaria, por la
misma razn por la que cortamos papel con un par de tijeras, pero no seamos
pedantes). A veces se dice que l hizo de esto un requisito, pero no est explicitado
como una regla sino que est implcito en sus construcciones. Con instrumentos
extra idealizados de la misma manera que la curva trazada por un comps est
idealizada como un crculo perfecto son posibles nuevas construcciones.
Por ejemplo, Arqumedes saba que se puede trisecar un ngulo utilizando una vara
recta en la que hay dos marcas fijas. Los griegos llamaban a tales procesos
construcciones neusis.
Ahora sabemos (como los griegos debieron haber sospechado) que una triseccin
exacta del ngulo con regla y comps es imposible, de modo que la contribucin de
Arqumedes se extiende a lo que realmente es posible. Otros dos problemas
famosos de la poca son la duplicacin del cubo (construir un cubo cuyo volumen
sea el doble del de un cubo dado) y la cuadratura del crculo (construir un cuadrado
con la misma rea de un crculo dado). Se sabe tambin que ambos son imposibles
utilizando regla y comps.
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42 Preparado por Patricio Barros
Para qu les serva la geometra
Alrededor del 250 a.C. Eratstenes de Cirene utiliz la geometra
para estimar el tamao de la Tierra.
l advirti que a medioda en el solsticio de
verano, el Sol estaba casi exactamente
encima de Siena (actualmente Asun),
porque se reflejaba en el fondo de un pozo
vertical.
El mismo da del ao, la sombra de una alta columna indicaba que
la posicin del Sol en Alejandra estaba a un cincuentavo de un
crculo completo (unos 7,2) respecto a la vertical. Los griegos
saban que la Tierra era esfrica, y Alejandra estaba casi en
direccin norte desde Siena, de modo que la geometra de una
seccin circular de la esfera implicaba que la distancia de
Alejandra a Siena es la cincuentava parte de la circunferencia de
la Tierra.
Eratstenes saba que una
caravana de camellos tardaba
50 das en ir de Alejandra a
Siena, y recorra una distancia
de 100 estadios cada da; luego
la distancia de Alejandra a
Siena son 5.000 estadios, lo
que hace la circunferencia de la
Tierra de 250.000 estadios. Por
desgracia no sabemos con
seguridad qu longitud tena un
estadio, pero se estima en 157
metros, lo que lleva a una circunferencia de 39.250 km. La cifra
moderna es 39.840 km.
Cmo midi Eratstenes el tamao de
la Tierra
Una ampliacin trascendental de las operaciones permitidas en geometra, que dio
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43 Preparado por Patricio Barros
fruto en el trabajo rabe sobre la ecuacin cbica alrededor del ao 800 y tuvo
aplicaciones importantes en mecnica y astronoma, fue la introduccin de una
nueva clase de curvas, las secciones cnicas.
Secciones cnicas
Estas curvas, que son extraordinariamente importantes en la historia de las
matemticas, se obtienen seccionando un cono doble con un plano. Hoy abreviamos
el nombre en cnicas. Se dan en tres tipos principales:
La elipse, una curva ovalada cerrada que se obtiene cuando el plano corta
slo a una mitad del cono. Los crculos son elipses especiales.
La hiprbola, una curva con dos ramas infinitas, que se obtiene cuando el
plano corta las dos mitades del cono.
La parbola, una curva transicional entre elipses e hiprbolas, en el sentido
en que es paralela a una recta que pasa por el vrtice del cono y yace en el
cono.
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44 Preparado por Patricio Barros
Una parbola slo tiene una rama, pero se extiende hasta el infinito.
Las secciones cnicas fueron estudiadas con detalle por Apolonio de Perga, quien
viaj desde Perga, en Asia Menor, a Alejandra para estudiar con Euclides. Su obra
maestra, las Secciones cnicas de aproximadamente el 230 a.C., contiene 487
teoremas. Euclides y Arqumedes haban estudiado algunas propiedades de los
conos, pero se necesitara todo un libro para resumir los teoremas de Apolonio. Una
idea importante merece mencin aqu. Es la nocin de los focos de una elipse (o de
una hiprbola). Los focos son dos puntos especiales asociados con estos dos tipos
de cnica. Entre sus principales propiedades distinguimos una: la suma de las
distancias de un punto cualquiera de la elipse a sus dos focos es constante (igual al
dimetro mayor de la elipse). Los focos de una hiprbola tienen una propiedad
similar, pero ahora tomamos la diferencia de las dos longitudes.
Los griegos saban cmo trisecar
ngulos y cmo duplicar el cubo
utilizando cnicas. Con la ayuda de otra;
curvas especiales, especialmente la
cuadratriz, tambin podan cuadrar el crculo.
Las matemticas griegas aportaron dos ideas cruciales al desarrollo humano. La
ms obvia fue una comprensin sistemtica de la geometra. Utilizando la geometra
como una herramienta, los griegos entendieron el tamao y la forma de nuestro
planeta, su relacin con el Sol y la Luna, incluso los movimientos complicados del
resto del Sistema Solar. Utilizaron la geometra para excavar largos tneles
partiendo de ambos extremos para encontrarse en el centro, lo que reduca el
tiempo de construccin a la mitad. Construan mquinas gigantescas y poderosas,
basadas en principios simples como la ley de la palanca, con fines tanto pacficos
como blicos. Explotaron la geometra en la construccin de buques y en la
arquitectura, donde edificios como el Partenn nos muestran que matemticas y
belleza no estn tan alejadas. La elegancia visual del Partenn deriva de muchos
trucos matemticos astutos, utilizados por el arquitecto para superar las
limitaciones del sistema visual humano y las irregularidades en el propio terreno en
el que descansaba el edificio.
La segunda aportacin griega fue el uso sistemtico de la deduccin lgica para
Los griegos saban cmo trisecar ngulos y cmo
duplicar el cubo utilizando cnicas... tambin
podan cuadrar el crculo.
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45 Preparado por Patricio Barros
asegurar que lo que se estaba afirmando tambin poda justificarse.
El argumento lgico nad de su filosofa, pero encontr su forma ms desarrollada y
explcita en la geometra de Euclides y sus sucesores. Sin slidos fundamentos
lgicos no podran haber aparecido las matemticas posteriores.
El nuevo estadio de Wembley. En su construccin se han utilizado principios bsicos
descubiertos en la Antigua Grecia y desarrollados durante los siglos siguientes por
muchas culturas
Ambas influencias siguen siendo hoy vitales. La ingeniera moderna la fabricacin
y el diseo asistido por computador, por ejemplo descansa firmemente sobre los
principios geomtricos descubiertos por los griegos. Todo gran edificio que se
levanta est diseado de modo que no se venga abajo; muchos estn diseados
para resistir terremotos. Cualquier torre, cualquier puente colgante, cualquier
estadio de ftbol es un tributo a los gemetras de la antigua Grecia.
El pensamiento racional, la argumentacin lgica, son igualmente vitales. Nuestro
mundo es demasiado complejo, y potencialmente demasiado peligroso, para que
basemos nuestras decisiones en lo que queremos creer y no en lo que es realmente.
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46 Preparado por Patricio Barros
Hipara de Alejandra
370 - 475Hipara es la primera mujer matemtica de la que hay noticia. Era hija de Ten
de Alejandra, tambin un matemtico. Probablemente fue de su padre de quien
aprendi las matemticas. Hacia el ao 400 ella se haba convertido en la
directora de la Escuela Platnica de Alejandra, donde daba clases de filosofa y
matemticas.
No sabemos si Hipara hizo contribuciones originales a las matemticas, pero
ayud a Ten a escribir un comentario
sobre el Almagesto de Ptolomeo, y quiz
tambin le haya ayudado a preparar una
nueva edicin de los Elementos en la que
se basaron todas las ediciones posteriores.
Ella escribi comentarios sobre la
Aritmtica de Diofanto y las Cnicas de
Apolonio.
Entre los estudiantes de Hipara haba
varias figuras destacadas en la religin en
auge de la cristiandad, entre ellas Silesio
de Cirene. Hay registro de algunas de las
cartas que ste le escribi, donde alaba
sus capacidades. Por desgracia, muchos
de los primeros cristianos consideraban
que la filosofa y la ciencia de Hipara estaban enraizadas en el paganismo, lo que
llev a algunos a rechazar su influencia. En el 412, Cirilo, el nuevo patriarca de
Alejandra, entr en rivalidad poltica con Orestes, el prefecto romano. Hipara
era buena amiga de Orestes y sus capacidades como maestra y oradora fueron
vistas como una amenaza por los cristianos. Ella se convirti en un blanco de los
disturbios polticos y fue descuartizada por una turba. Una fuente culpa a una
secta fundamentalista, los monjes de Nitria, que apoyaban a Cirilo. Otra, culpa a
la plebe alejandrina. Una tercera fuente afirma que ella form parte de una
rebelin poltica, y su muerte era inevitable.
Su muerte fue brutal, desmembrada por una multitud con tejas cortantes
(algunos dicen que con conchas de ostras). Su cuerpo mutilado fue entonces
quemado. Este castigo puede ser prueba de que Hipara fue condenada por
brujera la primera bruja importante en ser asesinada por los primeros
cristianos porque el castigo para la brujera prescrito por Constantino II era
que sus carnes sean desgarradas hasta los huesos con ganchos de hierro.
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47 Preparado por Patricio Barros
El mtodo cientfico est construido deliberadamente para superar un deseo
humano profundamente asentado que
consiste en suponer que lo que
queremos que sea cierto lo que
afirmamos conocer es realmente cierto. En ciencia se pone el acento en tratar
de demostrar que aquello de lo que uno est profundamente convencido es falso.
Las ideas con ms probabilidad de ser correctas son las que sobreviven a los
intentos rigurosos de refutarlas.
Para qu nos sirve la geometra
La expresin de Arqumedes para el volumen de una esfera se sigue utilizando
hoy. Una aplicacin, que requiere conocer con gran precisin, es la unidad
patrn de masa para el conjunto de la ciencia. Durante muchos aos, por
ejemplo, un metro se defina como la longitud de una barra metlica concreta
cuando se meda a una temperatura concreta.
Muchas unidades bsicas se definen ahora en trminos de cosas tales como
cunto tarda un tomo de un elemento especfico en vibrar un enorme nmero
de veces. Pero otras an se basan en objetos fsicos, y la masa es uno de estos
casos. Un kilogramo se define actualmente como la masa de un cilindro
concreto, hecho de platino e iridio y conservado en Pars. El cilindro se ha
construido con una precisin extraordinariamente alta. La densidad del metal
tambin ha sido medida con mucha precisin. La frmula es necesaria para
calcular el volumen del cilindro, que relaciona densidad con masa.
Principio de trazado de rayos y una imagen de muestra
... cualquier estadio de ftbol es mi tributo a los
gemetras de la Antigua Grecia.
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48 Preparado por Patricio Barros
Otro uso moderno de la geometra se da en los grficos por computador. Las
pelculas hacen un amplio uso de imgenes generadas por computador (CGI), y
a menudo es necesario generar imgenes que incluyen reflexiones en un
espejo, en un vaso de vino, algo que atrape la luz. Sin tales reflexiones la
imagen no parecera realista. Una manera eficaz de hacerlo consiste en
rastrear rayos. Cuando miramos una escena desde una direccin particular,
nuestro ojo detecta un rayo de luz que ha rebotado en los objetos de la escena y
entra en el ojo procedente de dicha direccin. Podemos seguir la trayectoria de
este rayo trabajando hacia atrs. En cualquier superficie reflectante rebota de
modo que el rayo original y el rayo reflejado forman ngulos iguales en la
superficie. La traduccin de este hecho geomtrico en clculos numricos
permite al computador rastrear el rayo hacia atrs por muchos rebotes que
pudieran ser necesarios antes de que choque con algo opaco. (Pueden ser
necesarios varios rebotes; por ejemplo, si el vaso de vino est colocado delante
de un espejo.)
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49 Preparado por Patricio Barros
Captulo 3
Notaciones y nmeros
El origen de nuestros smbolos numerales
Estamos tan acostumbrados al sistema de nmeros actual, con su
uso de los diez dgitos decimales 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 (en los
pases de Occidente), que puede producir sorpresa el advertir que
hay modos completamente diferentes de escribir nmeros. Incluso
hoy, diversas culturas la arbiga, la china, la coreana usan
diferentes smbolos para los diez dgitos, aunque todas ellas
combinan estos smbolos para formar nmeros mayores utilizando el
mismo mtodo posicional (centenas, decenas, unidades).
Pero las diferencias en notacin pueden ser ms radicales que eso.
No hay nada especial en el nmero 10. Resulta que es el nmero de
dedos de las manos en el ser humano, que son ideales para contar,
pero si en su lugar hubiramos desarrollado siete dedos, o doce,
sistemas muy similares hubiesen funcionado igua