Historia de la geometraDe Wikipedia, la enciclopedia libre Saltar a: navegacin, bsqueda La geometra es una de las ms antiguas ciencias. Inicialmente, constitua un cuerpo de conocimientos prcticos en relacin con las longitudes, reas y volmenes. En el Antiguo Egipto estaba muy desarrollada, segn los textos de Herdoto, Estrabn y Diodoro Sculo. Euclides, en el siglo III a. C. configur la geometra en forma axiomtica, tratamiento que estableci una norma a seguir durante muchos siglos: la geometra euclidiana descrita en Los Elementos. El estudio de la astronoma y la cartografa, tratando de determinar las posiciones de estrellas y planetas en la esfera celeste, sirvi como importante fuente de resolucin de problemas geomtricos durante ms de un milenio. Ren Descartes desarroll simultneamente el lgebra y la geometra, marcando una nueva etapa, donde las figuras geomtricas, tales como las curvas planas, podran ser representadas analticamente, es decir, con funciones y ecuaciones. La geometra se enriquece con el estudio de la estructura intrnseca de los entes geomtricos que analizan Euler y Gauss, que condujo a la creacin de la topologa y la geometra diferencial.

La Geometra como una de las Artes Liberales y Euclides.

Contenido

1 La geometra durante los periodos prehistrico y protohistrico 2 La geometra en el Antiguo Egipto 3 La Geometra griega

3.1 La Geometra griega antes de Euclides 3.2 Euclides y Los elementos 3.3 Despus de Euclides

3.4 Los tres problemas geomtricos de la Antigedad

3.4.1 La duplicacin del cubo 3.4.2 La triseccin del ngulo 3.4.3 La cuadratura del crculo

4 La Geometra en la Edad Media 5 La Geometra Proyectiva 6 La Geometra Cartesiana 7 Los nuevos mtodos

7.1 Agotamiento del mtodo sinttico 7.2 Los lmites del mtodo algebraico 7.3 El Clculo Infinitesimal 8.1 Gauss 8.2 El final de los grandes problemas de la antigedad

8 La Geometra en la Edad Contempornea

8.2.1 La controversia sobre el V postulado 8.2.2 La triseccin del ngulo y la duplicacin del cubo 8.2.3 La cuadratura del crculo

9 Geometra intrnseca

9.1 Nuevos espacios con extraas propiedades 9.2 Riemann

9.2.1 Variedades riemannianas y el tensor curvatura 9.2.2 El modelo del Universo 9.3.1 El Programa de Erlangen

9.3 Klein

9.3.1.1 Qu es entonces la Geometra?

10 Referencias 11 Enlaces externos

[editar] La geometra durante los periodos prehistrico y protohistricoEs razonable pensar que los orgenes de la geometra surge con los primeros pictogramas que traza el hombre primitivo pues, seguramente, clasificaba aun de manera inconsciente lo que le rodeaba segn su forma. En la abstraccin de estas formas comienza el primer acercamiento informal e intuitivo a la geometra. As parece confirmarlo la ornamentacin esquemtica abstracta en vasijas de cermica y otros utensilios.

[editar] La geometra en el Antiguo Egipto

Papiro de Ahmes. Artculo principal: Geometra en el Antiguo Egipto Las primeras civilizaciones mediterrneas adquieren poco a poco ciertos conocimientos geomtricos de carcter eminentemente prctico. La geometra en el antiguo Egipto estaba muy desarrollada, como admitieron Herdoto, Estrabn y Diodoro, que aceptaban que los egipcios haban "inventado" la geometra y la haban enseado a los griegos; aunque lo nico que ha perdurado son algunas frmulas o, mejor dicho, algoritmos expresados en forma de "receta" para calcular volmenes, reas y longitudes, cuya finalidad era prctica. Con ellas se pretenda, por ejemplo, calcular la dimensin de las parcelas de tierra, para reconstruirlas despus de las inundaciones anuales. De all el nombre , geometra: "medicin de la tierra" (de (g) 'tierra' ms (metra), 'medicin'). Los denominados Papiro de Ahmes y Papiro de Mosc muestran conjuntos de mtodos prcticos para obtener diversas reas y volmenes, destinados al aprendizaje de escribas. Es discutible si estos documentos implican profundos conocimientos o representan en cambio todo el conocimiento que los antiguos egipcios tenan sobre la geometra. Los historiadores antiguos nos relataron que el conocimiento de esta civilizacin sobre geometra as como los de las culturas mesopotmicas pas ntegramente a la cultura griega a travs de Tales de Mileto, los pitagricos y, esencialmente, de Euclides.

[editar] La Geometra griegaVase tambin: Geometra clsica

[editar] La Geometra griega antes de Euclides

La primera demostracin del teorema de Pitgoras probablemente us un diagrama como el que se muestra. La Geometra Griega fue la primera en ser formal. Parte de los conocimientos concretos y prcticos de las civilizaciones egipcia y mesopotmica, y da un paso de abstraccin al considerar los objetos como entes ideales un rectngulo ideal, en lugar de una pared cuadrada concreta, un crculo en lugar del ojo de un pozo, etc. que pueden ser manipulados mentalmente, con la sola ayuda de regla y comps. Aparece por primera vez la demostracin como justificacin de la veracidad de un conocimiento aunque, en un primer momento, fueran ms justificaciones intuitivas que verdaderas demostraciones formales. Tales permaneci en Egipto una larga temporada de su vida, aprendiendo de los conocimientos de sacerdotes y escribas. Fue el primero en ser capaz de calcular la altura de las Pirmides de Egipto. Para ello midi su altura, y en el preciso momento en el que su sombra meda exactamente la misma cantidad, mand marcar la sombra del vrtice de la Gran Pirmide. De esa forma pudo calcular exactamente cul era su altura.[1] Tambin se le atribuye la prediccin de un eclipse solar.[2] La figura de Pitgoras y de la secta por l creada: los pitagricos, tiene un papel central, pues eleva a la categora de elemento primigenio el concepto de nmero (filosofa que de forma ms explcita o ms implcita, siempre ha estado dentro de la Matemtica y de la Fsica), arrastrando a la Geometra al centro de su doctrina en este momento inicial de la historia de la Matemtica an no hay una distincin clara entre Geometra y Aritmtica, y asienta definitivamente el concepto de demostracin (ste ya s coincide con el concepto de demostracin formal) como nica va de establecimiento de la verdad en Geometra. Esta actitud permiti (aun fuera de la secta) la medicin del radio de la Tierra por Eratstenes, as como la medicin de la distancia a la Luna, y la investigacin y establecimiento de la teora de las palancas, por Arqumedes, varios siglos despus. En el seno de la secta de los pitagricos surge la primera crisis de la Matemtica: la aparicin de los inconmensurables, pero esta crisis es de carcter ms aritmtico que geomtrico. Surge entonces un pequeo problema de Lgica, que consiste en lo siguiente: una demostracin parte de una o varias hiptesis para obtener un resultado denominado tesis. La veracidad de la tesis depender de la validez del razonamiento con el que se ha extrado (esto ser estudiado por Aristteles al crear la Lgica) y de la veracidad de las hiptesis. Pero entonces debemos partir de hiptesis ciertas para poder afirmar con

rotundidad la tesis. Para poder determinar la veracidad de las hiptesis, habr que considerar cada una como tesis de otro razonamiento, cuyas hiptesis deberemos tambin comprobar. Se entra aparentemente en un proceso sin fin en el que, indefinidamente, las hiptesis se convierten en tesis a probar. [editar] Euclides y Los elementos

Fragmento de uno de los Papiros de Oxirrinco con unas lneas de Los elementos de Euclides. Euclides, vinculado al Museo de Alejandra y a su Biblioteca, zanja la cuestin al proponer un sistema de estudio en el que se da por sentado la veracidad de ciertas proposiciones por ser intuitivamente claras, y deducir de ellas todos los dems resultados. Su sistema se sintetiza en su obra cumbre, Los elementos, modelo de sistema axiomtico-deductivo. Sobre tan slo cinco postulados y las definiciones que precisa construye toda la Geometra y la Aritmtica conocidas hasta el momento. Su obra, en trece volmenes, perdurar como nica verdad geomtrica hasta entrado el siglo XIX. Entre los postulados en los que Euclides se apoya hay uno (el quinto postulado) que trae problemas desde el principio. Su veracidad est fuera de toda duda, pero tal y como aparece expresado en la obra, muchos consideran que seguramente puede deducirse del resto de postulados. Durante los siguientes siglos, uno de los principales problemas de la Geometra ser determinar si el V postulado es o no independiente de los otros cuatro, es decir, si es necesario considerarlo como un postulado o es un teorema, es decir, puede deducirse de los otros, y por lo tanto colocarse entre el resto de resultados de la obra. [editar] Despus de Euclides Euclides casi cierra definitivamente la geometra griega y por extensin la del mundo antiguo, a excepcin de las figuras de Arqumedes y Apolonio de Perge. Arqumedes analiz exhaustivamente las secciones cnicas, e introdujo en geometra otras curvas como la espiral que lleva su nombre, aparte de su famoso clculo del volumen de la esfera, basado en los del cilindro y el cono.

Esquema de las tres secciones cnicas: elipse, parbola e hiprbola (ms la circunferencia).

Apolonio trabaj en varias construcciones de tangencias entre crculos, as como en secciones cnicas y otras curvas. [editar] Los tres problemas geomtricos de la Antigedad La geometra griega era incapaz de resolver tres famosos problemas geomtricos (que heredarn los matemticos posteriores), puesto que deban ser resueltos utilizando nicamente la regla y comps ideales, nicos instrumentos vlidos en la geometra griega. Estos tres problemas son los siguientes:[editar] La duplicacin del cubo

Cuenta la leyenda que una terrible peste asolaba la ciudad de Atenas, hasta el punto de llevar a la muerte a Pericles. Una embajada de la ciudad fue al orculo de Delfos, consagrado a Apolo, para consultar qu se deba hacer para erradicar la mortal enfermedad. Tras consultar al Orculo, la respuesta fue que se deba duplicar el altar consagrado a Apolo en la isla de Delos. El altar tena una peculiaridad: su forma cbica. Prontamente, los atenienses construyeron un altar cbico cuyos lados eran el doble de las del altar de Delos, pero la peste no ces, se volvi ms mortfera. Consultado de nuevo, el orculo advirti a los atenienses que el altar no era el doble de grande, sino 8 veces mayor, puesto que el volumen del cubo es el cubo de su lado ((2l)3 = 23l3 = 8l3). Nadie supo cmo construir un cubo cuyo volumen fuese exactamente el doble del volumen de otro cubo dado, y el problema matemtico persisti durante siglos (no as la enfermedad).[editar] La triseccin del ngulo

Artculo principal: Triseccin del ngulo

Este problema consiste en dividir un ngulo cualquiera en tres ngulos iguales, empleando nicamente la regla y el comps, de manera que la suma de las medidas de los nuevos tres ngulos sea exactamente la medida del primero.[editar] La cuadratura del crculo

Artculo principal: Cuadratura del crculo

La cuadratura del crculo consiste en tratar de obtener un cuadrado cuya rea mida exactamente lo mismo que el rea de un crculo dado. Anaxgoras fue el primero en intentar resolverlo, dibujando en las paredes de su celda. Fue apresado por explicar diversos fenmenos que los griegos atribuan a los dioses. Tampoco pudo ser resuelto por los gemetras de la antigedad, y lleg a ser el paradigma de lo imposible. Como curiosidad, el filsofo ingls David Hume lleg a escribir un libro con supuestos

mtodos para resolver el problema. Hume no tena suficientes conocimientos matemticos, y nunca acept que sus mtodos eran fallidos.

[editar] La Geometra en la Edad MediaDurante los siguientes siglos la Matemtica comienza nuevos caminos de la mano de hindes y rabes en Trigonometra y lgebra (el uso de la notacin posicional y del cero), aunque relacionadas con la Astronoma y la Astrologa; pero en geometra apenas hay nuevas aportaciones. En Occidente, a pesar de que la Geometra es una de las siete Artes liberales (encuadrada en el Quadrivium), las escuelas y universidades se limitan a ensear los "Elementos", y no hay aportaciones.

[editar] La Geometra ProyectivaEs en el Renacimiento cuando las nuevas necesidades de representacin del arte y de la tcnica empujan a ciertos humanistas a estudiar propiedades geomtricas para obtener nuevos instrumentos que les permitan representar la realidad. Aqu se enmarca la figura del matemtico y arquitecto Luca Pacioli, de Leonardo da Vinci, de Alberto Durero, de Leone Battista Alberti, de Piero della Francesca, por citar slo algunos. Todos ellos, al descubrir la perspectiva y la seccin, crean la necesidad de sentar las bases formales en la que cimentar las nuevas formas de Geometra que sta implica: la Geometra proyectiva, cuyos principios fundamentales aparecen de la mano de Desargues en el siglo XVII. Esta nueva geometra de Desargues fue estudiada ampliamante ya por Pascal o por de la Hire, pero debido al inters suscitado por la Geometra Cartesiana y sus mtodos, no alcanz tanta difusin como mereca hasta la llegada a principios del siglo XIX de Gaspard Monge en primer lugar y sobre todo de Poncelet.

[editar] La Geometra Cartesiana

Ren Descartes. Pero es sin duda la aparicin de la geometra analtica lo que marca la Geometra en la Edad Moderna. Descartes propone un nuevo mtodo de resolver problemas geomtricos, y por extensin, de investigar en geometra. El nuevo mtodo analiza la geometra utilizando ecuaciones algebraicas. Se cambia la regla y comps clsicos por expresiones numricas que se pueden representar mediante coordenadas cartesianas. Utilizando notacin actual, dicho mtodo se expresa as:

En un plano se trazan dos rectas perpendiculares (ejes) que por convenio se trazan de manera que una de ellas sea horizontal y la otra vertical, y cada punto del plano queda unvocamente determinado por las distancias de dicho punto a cada uno de los ejes, siempre y cuando se d tambin un criterio para determinar sobre qu semiplano determinado por cada una de las rectas hay que tomar esa distancia, criterio que viene dado por un signo. Ese par de nmeros, las coordenadas, quedar representado por un par ordenado (x,y), siendo x la distancia a uno de los ejes (por convenio ser la distancia al eje vertical) e y la distancia al otro eje (al horizontal). En la coordenada x, el signo positivo (que suele omitirse) significa que la distancia se toma hacia la derecha del eje vertical (eje de ordenadas), y el signo negativo (nunca se omite) indica que la distancia se toma hacia la izquierda. Para la coordenada y, el signo positivo (tambin se suele omitir) indica que la distancia se toma hacia arriba del eje horizontal (eje de abscisas), tomndose hacia abajo si el signo es negativo (tampoco se omite nunca en este caso). A la coordenada x se la suele denominar abscisa del punto, mientras que a la y se la denomina ordenada del punto.

Ejes coordenados. Existe una cierta controversia (aun hoy) sobre la verdadera paternidad de este mtodo. Lo nico cierto es que se publica por primera vez como "Geometra Analtica", apndice al "Discurso del Mtodo", de Descartes, si bien se sabe que Pierre de Fermat conoca y utilizaba el mtodo antes de su publicacin por Descartes. Aunque Omar Khayyam ya en el siglo XI utilizara un mtodo muy parecido para determinar ciertas intersecciones entre curvas, es imposible que alguno de los citados matemticos franceses tuviera acceso a su obra. Lo novedoso de la Geometra Analtica (como tambin se conoce a este mtodo) es que permite representar figuras geomtricas mediante frmulas del tipo f(x,y) = 0, donde f representa una funcin. En particular, las rectas pueden expresarse como ecuaciones polinmicas de grado 1 (v.g.: 2x + 6y = 0) y las circunferencias y el resto de cnicas como ecuaciones polinmicas de grado 2 (v.g.: la circunferencia x2 + y2 = 4, la hiprbola xy = 1 ). Esto converta toda la Geometra griega en el estudio de las relaciones que existen entre polinomios de grados 1 y 2. Desde un punto de vista formal (aunque ellos aun lo saban), los gemetras de esta poca han encontrado una relacin fundamental entre la estructura lgica que usaban los gemetras griegos (el plano, la regla, el

comps...) y la estructura algebraica del ideal formado por los polinomios de grados 0, 1 y 2 del Anillo de polinomios , resultando que ambas estructuras son equivalentes. Este hecho fundamental (no visto con nitidez hasta el desarrollo del lgebra Moderna y de la Lgica Matemtica entre finales del siglo XIX y principios del siglo XX) resulta fundamental para entender por qu la Geometra de los griegos puede desprenderse de sus axiomas y estudiarse directamente usando la axiomtica de Zermelo-Fraenkel, como el resto de la Matemtica. El mtodo original de Descartes no es exactamente el que se acaba de explicar. Descartes utiliza solamente el eje de abscisas, calculando el valor de la segunda componente del punto (x,y) mediante la ecuacin de la curva, dndole valores a la magnitud x. Por otro lado, Descartes slo considera valores positivos de las cantidades x e y, dado que en la poca aun resultaban "sospechosos" los nmeros negativos. Como consecuencia, en sus estudios existen ciertas anomalas y aparecen curvas sesgadas. Con el tiempo se aceptaron las modificaciones que muestran el mtodo tal y como lo conocemos hoy en da.

[editar] Los nuevos mtodos[editar] Agotamiento del mtodo sinttico La aparicin de la Geometra Analtica trae consigo una nueva forma de entender la Geometra. El nuevo mtodo, algebraico, sustituye al antiguo, el sinttico, consistente en establecer unos axiomas y unas definiciones y deducir de ellos los teoremas. El mtodo sinttico est a estas alturas casi agotado (aunque aun dar algunos resultados interesantes, como la caracterstica de Euler, la naturaleza de estos resultados no es ya tanto geomtrica como topolgica, y los resultados realmente importantes que se hagan en adelante en el campo de la Geometra ya vendrn de la mano de mtodos algebraicos o diferenciales), da paso al mtodo algebraico: estudio de los objetos geomtricos como representaciones en el espacio de ciertas ecuaciones polinmicas, o dicho de otro modo, del conjunto de races de polinomios. El mtodo sinttico slo volver a abordarse cuando aparezcan las geometras no eucldeas, y definitivamente deja de ser un instrumento de investigacin geomtrica a principios del siglo XX, quedando relegado a un conjunto de instrumentos y herramientas para la resolucin de problemas, pero ya como una disciplina cerrada. [editar] Los lmites del mtodo algebraico El mtodo algebraico se ve posibilitado por un avance en lgebra hecho durante el siglo XVI, la resolucin de las ecuaciones de grado 3 y 4. Esto permite generalizar la Geometra, al estudiar curvas que no son dadas por polinomios de segundo grado, y que no pueden construirse con regla y comps -adems de las cnicas, excluyendo a la circunferencia, claro-. Pero este mtodo, que terminar constituyendo una disciplina propia, la Geometra Algebraica, tardar aun mucho -siglo XX- en salir de unas pocas nociones iniciales, prcticamente inalteradas desde Descartes, Fermat y Newton. La razn ser la imposibilidad de resolver por radicales la ecuacin de quinto grado, hecho no descubierto hasta el siglo XIX, y el desarrollo de la Teora de Anillos y del lgebra Conmutativa. [editar] El Clculo Infinitesimal El mtodo algebraico tiene otra generalizacin natural, que es la de considerar una curva no solo como una ecuacin polinmica, sino como una ecuacin f(x,y) = 0 en la que el polinomio es ahora sustituido por una funcin cualquiera f. La generalizacin de todo esto desde el plano (2 coordenadas) al estereoespacio (3 coordenadas) se hace de forma

natural aadiendo un tercer eje perpendicular (eje z) a los dos ya considerados, y las funciones tomarn la forma f(x,y,z). Ya Isaac Barrow descubre gracias a la Geometra Analtica la relacin entre la tangente a una curva y el rea que encierra entre dos puntos y los ejes coordenados en su famosa Regla de Barrow, antes incluso de que Newton y Leibnitz dieran cada uno su exposicin del Clculo Infinitesimal. La relacin entre el Anlisis Matemtico y la Geometra es as estrechsima desde incluso los orgenes de aqul. Las ideas geomtricas no slo fueron la base de los instrumentos iniciales del Clculo Infinitesimal, sino que fueron en gran medida su inspiracin. Por eso resulta natural que en un primer momento, Descartes, Newton o los Bernoulli no distinguieran entre los conceptos de curva y de funcin de una variable (o si se quiere, de curva y los ceros de una funcin de dos variables). Fue Euler el primero en empezar a intuir la diferencia, y el primero tambin en ampliar este tipo de estudios a las superficies (como funcin de dos variables o como el conjunto de los ceros de una funcin de tres variables). El trabajo de Monge contina por esta lnea. En adelante, y hasta la aparicin de Gauss, la Geometra queda supeditada a sus aplicaciones en Mecnica y otras ramas de la Fsica por medio de la resolucin de Ecuaciones Diferenciales. Se estudia en especial la interpretacin geomtrica de las ecuaciones diferenciales (tanto de la solucin en s como problemas asociados a ellas, como puede ser el de las curvas ortogonales). En esta poca aparece el que ser el caballo de batalla de la Geometra Diferencial: el Teorema de la Funcin Implcita. Fue Huygens el primero en estudiar la curvatura de una curva plana, aunque parece que fue Clairaut el que usa con maestra y fija el concepto.

[editar] La Geometra en la Edad Contempornea[editar] Gauss

Carl Friedrich Gauss. Gauss devuelve el carcter geomtrico que impregna parte del anlisis matemtico, fundamentalmente con dos contribuciones: el nacimiento del anlisis complejo y de la geometra diferencial. Pero no son las nicas contribuciones de ste genio al campo de la geometra. En su adolescencia se vio dividido entre dedicarse a la filologa o a la matemtica. A los 17

descubri la manera de construir el polgono regular de 17 lados, y la condicin necesaria y suficiente para que un polgono regular pueda construirse. Esto determin su vocacin. En su primera demostracin del teorema fundamental del lgebra (de las cinco que realiz a lo largo de su carrera) sent las bases del anlisis de variable compleja, usando la interpretacin geomtrica de los nmeros complejos como vectores fijos del plano (no en este lenguaje, que ser introducido mucho ms tarde). Por cierto, se atribuye a Gauss la paternidad de esta idea. Primero Wessel y luego Argand se le anticiparon, pero nadie conoca los estudios de ambos. Aunque no es propiamente obra suya, pues el anlisis complejo est desarrollada fundamentalmente por Cauchy, s es el primero en abordarla seriamente, y sobre todo le da una interpretacin geomtrica que marcar el desarrollo de esta rama. Pero la principal contribucin de Gauss a la geometra es la creacin de la geometra diferencial, retomando las ideas que sobre las relaciones entre el anlisis matemtico y la geometra haba hasta entonces y desarrollndolas ampliamente. Partiendo de la base de que la geometra estudia el espacio, las curvas y las superficies, establece la nocin fundamental de curvatura de una superficie. Gracias a ella, y a la definicin de geodsica, demuestra que si consideramos que una geodsica es una curva con menor distancia entre dos puntos sobre una superficie (es decir, si tenemos dos puntos sobre una superficie, el camino ms corto entre esos dos puntos sin salirnos de la superficie es un segmento de geodsica), concepto totalmente anlogo sobre la superficie al de recta en el plano, existen superficies en las que los tringulos formados por las geodsicas miden ms de la medida de dos ngulos rectos, y otras en las que mide menos. Esto, esencialmente, es contradecir el V postulado de Euclides. Estas consideraciones llevaron a Gauss a considerar la posibilidad de crear geometras no eucldeas, pero aunque a esas alturas ya era el matemtico ms prestigioso de Europa, consider que la mentalidad de la poca no estaba preparada para un resultado de tal magnitud, y nunca public esos resultados. Slo vieron la luz cuando Bolyai public su geometra no eucldea, y comprob que la comunidad cientfica general aceptaba el resultado. As que, por un lado, Gauss fue el primero en crear una geometra no eucldea, y por otro fue el creador de la geometra diferencial y precursor de la variable compleja. Adems, Gauss es el primero en considerar una nueva propiedad en la geometra: la orientacin.

[editar] El final de los grandes problemas de la antigedad[editar] La controversia sobre el V postulado

Jnos Bolyai.

Nikolai Ivanovich Lobatchevsky. Como ya se ha adelantado, Gauss es el primero en construir una geometra (un modelo del espacio) en el que no se cumple el V postulado de Euclides, pero no publica su descubrimiento. Son Bolyai y Lobatchevsky quienes, de manera independiente y simultneamente publican cada uno una geometra distinta en la que no se verifica tampoco el V postulado. Qu quiere decir esto? Tanto Bolyai como Lobatchevsky parten de un objeto geomtrico y establecen sobre l unos postulados que son idnticos a los de Euclides en Los Elementos, excepto el quinto. Pretenden originalmente razonar por reduccin al absurdo: si el V postulado depende de los otros cuatro, cuando lo sustituya por aqul

que dice exactamente lo contrario, he de llegar a alguna contradiccin lgica. Lo sorprendente es que no se llega a contradiccin ninguna, lo cual quiere decir dos cosas: 1 El V postulado es independiente de los otros cuatro, es decir, no puede deducirse de los otros cuatro, no es un teorema, y Euclides hizo bien en considerarlo como un postulado. 2 Existen modelos del espacio en los que, en contra de toda intuicin, por un punto que no est en una cierta recta no pasa una nica recta paralela a la dada. Esto es tremendamente antiintuitivo, pues no podemos concebir tal cosa, no podemos imaginar (ni mucho menos dibujar) una situacin as, sin reinterpretar los conceptos de recta, plano, etc. Pero desde el punto de vista lgico es perfectamente vlido. Como es de imaginar, esto supuso una fuerte crisis en la Matemtica del siglo XIX, que vino a sumarse a otras controversias. Es importante sealar que las geometras de Bolyai y de Lobatchevsky, no depende de si se construyen usando mtodos analticos o sintticos. Existen formas de construirlas tanto de manera sinttica como analtica. El modelo es el mismo se llegue como se llegue, lo que abunda en su veracidad. [editar] La triseccin del ngulo y la duplicacin del cubo Un hecho aparentemente lejano en lgebra dar como resultado la resolucin de estos dos problemas. Galois muere a los 21 aos de edad dejando un "testamento" lleno de ideas apresuradamente escritas. Entre ellas se encuentran las bases de la Teora de Grupos y de la Teora de Galois. Galois resolvi el problema de encontrar una frmula para solucionar las ecuaciones de 5 grado, pero este resultado no lleg a ser publicado en (su corta) vida. Concluy que una ecuacin de grado 5 o mayor no puede ser resoluble por radicales (es decir, mediante una frmula con un nmero finito de operaciones algebraicas). Su manera de abordar el problema abre una nueva va dentro de la Matemtica. Pero la Teora de Galois (una rama del lgebra que trata sobre cundo es posible resolver una ecuacin polinmica estudiando el conjunto de nmeros en los que se expresa esa ecuacin) no da slo esos frutos. Tambin demuestra que todo lo construible con regla y comps tiene una traduccin a polinomios muy concreta. Se demuestra que trisecar un ngulo o duplicar un cubo necesita de polinomios que no tienen esa forma, y por lo tanto, es imposible con la sola ayuda de la regla y el comps trisecar un ngulo cualquiera o duplicar un cubo. [editar] La cuadratura del crculo En 1862, Lindemann demuestra que el nmero es trascendente, es decir, no puede ser raz de ningn polinomio con coeficientes enteros. Esto implica que no es un nmero que pueda construirse con regla y comps, y demuestra que no es posible construir con slo estos instrumentos un cuadrado de rea igual a la de un crculo dado.

[editar] Geometra intrnsecaResulta complicado establecer una fecha precisa en la que los gemetras comenzaron a interesarse por cuestiones de geometra intrnseca. La matemtica griega plante los problemas geomtricos haciendo referencia a las propiedades mtricas de un conjunto de puntos definidos y localizados en el plano y en el espacio. La perspectiva era, por tanto, extrnseca. Tradicionalmente, se le atribuye a Euler el descubrimiento en 1752 de una propiedad de los poliedros convexos.[3] Llamando S, A y F al nmero de vrtices, aristas y caras,

Euler demostr la relacin de igualdad S-A+F=2, conocida hoy como caracterstica de Euler. El resultado era sorprendente porque no haca intervenir ni la longitud ni el rea. En 1813 Simon Antoine Jean L'Huillier se dio cuenta de que la frmula de Euler se modificaba para un poliedro no convexo, con la forma, por ejemplo, de un slido con agujeros (como el toro: S-A+F=2-2g, siendo g el nmero de agujeros).[4] ste es el primer clculo de un invariante topolgico que permit clasificar las superficies del espacio. No obstante, la perspectiva continuaba siendo extrnseca, pues los agujeros se ven desde el exterior. Cmo, por ejemplo, una hormiga que anduviese por una habitacin sin techo podra representarse el agujero? Carl Friedrich Gauss, interesado por la geometra de las superficies, estableci un resultado sin precedentes: el teorema egregium: "la curvatura de Gauss de una superficie del espacio no depende del modo en el que sta se inserta en el espacio ambiente.[5] " La frmula de Gauss-Bonnet, presentida por Gauss y demostrada por Pierre-Ossian Bonnet en 1848, expresar la caracterstica de Euler en trminos de curvatura, evidenciando la imbricacin entre las consideraciones geomtricas y topolgicas.

[editar] Nuevos espacios con extraas propiedadesLa geometra no euclidiana nace de la imposibilidad de demostrar el quinto postulado de Euclides. El primer intento de demostrarlo por reduccin al absurdo fue ensayado por Saccheri en 1733.[6] Gauss fue el primero en comprender la posibilidad de que existiesen geometras alternativas a la eucldea.[7] Estas geometras seran desarrolladas por Lobatchevsky y Bolyai. La cinta de Mbius, introducida casi simultneamente en 1858 por dos matemticos alemanes August Ferdinand Mbius y Johann Benedict Listing fue el primer ejemplo de superficie no orientable.

[editar] Riemann

Bernhard Riemann. El 10 de junio de 1854, Bernhard Riemann da una conferencia en la Universidad de Gotinga para completar su habilitacin (grado que le permitira optar a una plaza de profesor universitario). El tema de la conferencia fue la Geometra, a eleccin de Gauss, su protector y antiguo profesor durante la licenciatura y el doctorado. La conferencia, cuyo ttulo fue ber die Hypothesen, Welche der Geometrie zu Grunde liegen (Sobre las hiptesis que estn en los fundamentos de la geometra), pasa por ser una de las ms

celebradas de la historia de la Matemtica, y uno de los mayores logros cientficos de la humanidad. De entre los presentes se dice que slo Gauss fue capaz de comprender su contenido, y hay que decir que le entusiasm. [editar] Variedades riemannianas y el tensor curvatura En la primera parte de la conferencia, Riemann se pregunta qu problema hay en aumentar el nmero de dimensiones del espacio. Riemann, usando aun un lenguaje intuitivo y sin hacer demostraciones, introduce primero el concepto de variedad diferenciable, generalizacin del concepto de superficie a cualquier nmero (entero positivo) arbitrario de dimensiones. De hecho, el nombre variedad hace referencia a las varias coordenadas que variaran para ir obteniendo los puntos del objeto. Las superficies seran las variedades de dimensin 2, mientras que las curvas seran las variedades de dimensin 1, y aun los puntos las de dimensin 0. De todas formas, esta aproximacin al concepto es demasiado imprecisa, pues el punto clave de la definicin formal de una variedad diferenciable (definicin no expuesta correctamente hasta 1913 por Hermann Weyl) es que esto es cierto localmente, es decir, cada punto de la variedad tiene algn entorno homeomorfo a un abierto del espacio eucldeo , de manera que cuando el inverso de uno de estos homeomorfismos se compone con otro de estos homeomorfismo se obtiene una funcin diferenciable de un abierto de en otro

abierto de . Pero como decimos hicieron falta casi 60 aos para que la definicin terminara de cuajar. No era la primera vez que se especulaba con la posibilidad de la existencia de espacios de dimensin superior a 3. De hecho este tema ha sido tratado en la Historia en varias ocasiones, pero siempre desde un punto de vista de la realidad sensible (para negar su existencia) o metafsico. Es Cayley quien en 1843 trata explcitamente el tema por primera vez, y volver a l nuevamente en repetidas ocasiones. Le seguirn Sylvester, Clifford, Grassmann y Schlfli entre otros, aunque hay que decir que la visin de todos ellos es mucho ms algebraica que geomtrica. Es probable que el estudio de las superficies de Riemann, objetos a cuyo estudio haba dedicado su tesis doctoral, indujeran a Riemann a pensar en este concepto de variedad de dimensin arbitraria. Si tomamos unos ejes coordenados y dibujamos todos los puntos (x,f(x)), donde x vara en un intervalo y f es una funcin real, derivable y definida sobre ese mismo intervalo, obtendremos la curva (dimensin 1) dada por la grfica de una funcin. Si en lugar de ser una funcin de una variable tenemos una funcin de dos variables f(x,y), al dibujar todos los puntos (x,y,f(x,y)), donde (x,y) son de una regin del plano donde est definida f, obtenemos una superficie (dimensin 2). Riemann estudia funciones complejas de variable compleja, es decir, funciones cuya grfica tendra por puntos cosas de la forma (x,y,u(x,y),v(x,y)), siendo tanto u(x,y) como v(x,y) funciones reales (es decir, cada uno representa un nmero real). Las grficas de este tipo de funciones tendran dimensin 3 y estaran en un espacio de 4 dimensiones, y gozaran de propiedades muy parecidas a las de las superficies. Una variedad riemanniana no es slo un objeto geomtrico n-dimensional. Es una variedad diferencial a la que adems hay que dotar de una mtrica. Una mtrica es un campo de tensores diferenciable de grado 2. Veamos: en cada punto de una variedad diferencial se puede calcular el espacio tangente a la variedad en ese punto, al igual que en una superficie (suave), en cada punto podemos calcular el plano tangente en ese

punto a la superficie, y en una curva suave podemos calcular en cada punto la recta tangente a la curva en dicho punto. Ese espacio tangente tendr la misma dimensin que la variedad (en el caso de curvas, el espacio tangente -la recta tangente- tiene dimensin 1, en el de superficies tiene dimensin 2). Una mtrica (o estructura riemanniana) sobre una variedad es una aplicacin que a cada punto de la variedad le asigna un producto escalar en el espacio tangente a la variedad en ese punto, y esa aplicacin es diferenciable. Un producto escalar es, para entendernos, una regla que nos permite calcular longitudes de segmentos y ngulos entre rectas. A travs de una mtrica, se pueden definir sobre una variedad conceptos como longitud de una curva o el ngulo entre dos curvas, generalizar a variedades el concepto de geodsica, ya utilizado por Gauss para superficies, que viene a ser (ojo, esto es una explicacin de cmo es una geodsica, no es una definicin) una curva dibujada sobre una superficie (o en nuestro caso sobre una variedad) de tal forma que entre dos de sus puntos minimice la distancia medida sobre la superficie (variedad). Por ejemplo, si tenemos un globo y marcamos dos puntos sobre l, la distancia ms corta se calcular, como sabemos, por la medida del segmento de recta que atraviesa el globo por ambos puntos. Sin embargo, si lo que pretendemos es buscar el camino ms corto para llegar de un punto a otro sin salirnos de la superficie del globo, tendremos que dibujar sobre l una curva que una los puntos y se combe por la propia "curvatura" del globo. Esa curva sera un segmento de geodsica en la superficie del globo. El punto culminante de la primera parte de la conferencia lleg cuando Riemann, utilizando las geodsicas, define el tensor curvatura seccional, que es la generalizacin a variedades del concepto de curvatura estudiado por Gauss. Este instrumento permite "medir la curvatura" de una variedad. [editar] El modelo del Universo En la segunda parte de la conferencia, Riemann se pregunta por el modelo que debe de seguir el espacio fsico, el espacio en el que nos movemos, cul es su dimensin, cul es su geometra. Las ideas de Riemann, decididamente muy avanzadas para su poca, cuajaron definitivamente cuando Einstein y Poincar, al mismo tiempo pero de manera independiente, las aplicaron al espacio fsico para crear la Teora de la Relatividad. El nuevo modo de Riemann de estudiar la Geometra considera que cualquier modelo de espacio (ya sea el plano, el espacio tridimensional, o cualquiera otro) puede ser estudiado como una variedad diferenciable, y que al introducir en ella una mtrica se est determinando la geometra que gobierna ese objeto. Por ejemplo, el plano no es, por s solo, euclidiano ni no euclidiano, sino que introduciendo la mtrica eucldea es cuando en el plano verifica el V postulado de Euclides. Si en lugar de considerar esa mtrica se introduce en el plano otra mtrica, como la de Lobatchevsky, deja de verificarse el mismo postulado. La propiedad de las geodsicas de minimizar la longitud entre dos de sus puntos sin salirse de la variedad recuerda mucho a la definicin de las rectas como aquellas lneas que determinan la menor distancia entre dos puntos. Se considera que las geodsicas son a las variedades riemannianas lo que las rectas al espacio euclidiano, es decir, las geodsicas son como las rectas de las variedades. Esta nueva visin permite estudiar todas las nuevas geometras no eucldeas, as como la geometra euclidiana bajo la misma ptica de la nueva Geometra Riemanniana. Cuando las ideas de Riemann consiguen extenderse, la Geometra pasa ya definitivamente a ser el estudio de las variedades, dejando de ser definitivamente el estudio de tringulos, circunferencias, polgonos, etc.

Los puntos bsicos de la conferencia de Riemann son, por un lado, la posibilidad de aumentar indefinidamente el nmero de dimensiones del espacio (el lgebra y el Anlisis estn ya creando la maquinaria necesaria para poder operar en dimensin finita arbitraria, con lo que definitivamente se podr estudiar Geometra ms all de su visualizacin grfica), es decir, de estudiar espacios de 3, 4, 5...dimensiones, y por otro lado dotar a los gemetras de un instrumento, el tensor curvatura, que les permite estudiar las propiedades intrnsecas de esos nuevos objetos, esos nuevos espacios, las variedades.

[editar] Klein

Felix Klein. Felix Klein es la otra gran pieza clave de la Geometra en el siglo XIX. En 1871 descubri que la geometra euclidiana y las no euclidianas pueden considerarse como casos particulares de la geometra de una superficie proyectiva con una seccin cnica adjunta. Esto implicaba dos cosas: la primera es que la geometra euclidiana y las no euclidianas podan considerarse como casos particulares de la geometra proyectiva (o mejor dicho, de la geometra de una superficie en un espacio proyectivo). La segunda, que la geometra euclidiana es consistente (es decir, no puede llevar a contradicciones) si y slo si lo son las geometras no euclidianas. Con esto se da fin a la controversia de si las geometras no euclidianas tienen sentido o no, aunque el asunto colear aun unos aos ante el escepticismo de ciertos elementos que considerarn errneo el argumento de Klein. Pero la aportacin ms importante de Klein a la Geometra es su famoso Programa de Erlangen, donde da una nueva definicin de Geometra. [editar] El Programa de Erlangen Con motivo de su ingreso como profesor en la Facultad de Filosofa y al Senado de la Universidad de Erlangen, Klein escribi una memoria en 1872 (que por cierto no lleg a leer en pblico) que puede considerarse, junto a la Conferencia de Riemann y a los Elementos de Euclides, como los puntos esenciales del estudio de la Geometra. La idea de la memoria, conocida como el Programa de Erlangen, es bastante sencilla. Se trata de dar una definicin formal de lo que es una geometra, ms all de la idea ms o menos intuitiva que tenemos de ella. Ante la aparicin de las nuevas geometras no euclidianas, parece lgico preguntarse qu es la Geometra, mxime cuando la propia idea de la geometra euclidiana se haba visto modificada desde la irrupcin de los mtodos algebraicos y analticos. Empieza a

no estar tan claro que la Geometra sea el estudio de puntos, lneas (rectas o curvas) y superficies, puesto que el propio Anlisis Matemtico (sobre todo en el estudio de Ecuaciones Diferenciales) parece que tambin estudia tales objetos. Por otra parte, los mtodos analticos y algebraicos tambin son aplicables a las geometras no euclidianas. Hay, digamos, dos niveles de distinciones: por un lado, la de las geometras no euclidianas y la geometra euclidiana, por otro lado, la distincin entre el mtodo sinttico, el algebraico y el analtico.[editar] Qu es entonces la Geometra?

Klein da respuesta a esta pregunta introduciendo en la Geometra un nuevo concepto de carcter algebraico: el concepto de grupo. Un grupo es un conjunto G en el que hay definida una operacin, es decir, una aplicacin que a cada par de elementos del conjunto le asigna otro elemento del conjunto (que ser el resultado de operar dichos dos elementos). Mientras que la mayora de la gente est familiarizada con las operaciones numricas, les resulta difcil imaginar que puedan operarse puntos, rectas, etc. Puede hacerse, y no hay ms que pensar en, por ejemplo, la operacin "tomar el punto medio", que a cada par de puntos le asigna el punto medio del segmento que une los dos primeros puntos. Para que un conjunto en el que haya una operacin sea un grupo deben de cumplirse ciertas condiciones, que son:

La operacin debe ser asociativa: esto quiere decir que si tomamos cualesquiera tres elementos a,b,c del conjunto, el resultado de operar los dos primeros (a y b) y operar el resultado de ello con el tercero (c) debe de ser lo mismo que si primero operamos el segundo y el tercero (b y c) y el resultado lo operamos con el primero (a). Es decir, si la operacin la denotamos por ha de ocurrir que debe de ser lo mismo que .

Debe existir un elemento neutro: esto quiere decir que ha de haber un elemento e del conjunto de manera que si tomo cualquier otro elemento a del conjunto y lo opero con l, entonces el resultado vuelve a ser el elemento a, es decir, es como si al elemento a no lo hubiera operado. As, con nuestra notacin, y . Por ltimo, cada elemento debe tener un elemento simtrico: esto quiere decir que si yo tomo un elemento cualquiera a del conjunto, entonces puedo encontrar otro elemento del conjunto de tal manera que al operar ambos, el resultado que obtengo es el elemento neutro: .

El concepto de grupo no es invencin de Klein, pero es l quien descubre un hecho fundamental que lo relaciona con las distintas geometras: cada geometra es el estudio de ciertas propiedades que no cambian cuando se le aplican un tipo de transformaciones. Esas propiedades, por no cambiar, las denomina invariantes, y las transformaciones que a un invariante no le hacen cambiar han de tener estructura de grupo bajo la operacin de composicin (componer dos transformaciones es hacer una de ellas y aplicarle la otra transformacin al resultado de la primera). Resumiendo, Klein define soterradamente una geometra como dar el subgrupo de las biyecciones de un conjunto en s mismo que uno admitir como grupo principal. Los conceptos o definiciones sern los invariantes por ese grupo principal, y los teoremas sern las relaciones entre los conceptos.

As Klein descubre que, por ejemplo, la geometra euclidiana es el estudio de los invariantes mediante el grupo de los movimientos rgidos (como las simetras, giros y traslaciones), que la geometra afn es el estudio de los invariantes mediante el grupo de las translaciones, que la geometra proyectiva es el estudio de los invariantes mediante el grupo de las proyectividades, e incluso que la Topologa es el estudio de los invariantes mediante el grupo de las funciones continuas y de inversa continua, entre otras. De hecho, Klein afirma que la comprensin de "tener una geometra, entonces hay un grupo principal" es ms bien al revs. Uno a priori dice qu tipo de transformaciones admitir (es decir, da el grupo) y todo lo dems se puede reconstruir a partir de l. Se demuestra incluso, que si uno da un subgrupo de las biyecciones de un conjunto en s mismo isomorfo a algn grupo clsico (simetras, translaciones, proyectividades) entonces todos los teoremas de esa geometra son vlidos en este. El descubrimiento de Klein es fundamental, ya que por un lado nos permite clasificar las geometras, comprendiendo cul es una "subgeometra" de cual, por otro lado nos permite comprender qu es el estudio general de la Geometra (como disciplina matemtica) y por ltimo, pero no menos importante, es la confirmacin de que los mtodos sinttico y algebraico no dan geometras distintas, sino que realmente estudian la misma geometra en cada caso. Se pone fin as a la distincin entre el mtodo sinttico y el algebraico-analtico. En su poca supuso la consagracin de la Geometra Proyectiva como la Reina de las Geometras.

[editar] Referencias1. Indro Montanelli, Historia de los griegos. 2. Herodoto, Los nueve libros de la Historia, Libro I, LXXIV. 3. Otros atribuyen la paternidad del descubrimiento a Descartes. Cfr. M. De Jonquires, Note sur un Mmoire de Descartes longtemps indit, et sur les titres de son auteur la priorit d'une dcouverte dans la thorie des polydre, Acadmie des sciences (France). Comptes rendus hebdomadaires des sances de l'Acadmie des sciences. 1835. 1890 (T. 110). p261-266 4. S.A.J. L' Huillier, Mmoire sur la polydromtrie, contenant une dmonstration directe du thorme d'Euler sur les polydres et un examen des diverses exceptions auxquelles ce thorme est assujetti, annales de mathmatiques pures et appliques, 1812-13 5. C.F. Gauss, Disquisitiones generales circa superficies curvas, 1827 6. Saccheri, Euclides ab omni naevo vindicatus, 1733 7. Vase O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., Biografa de Johann Carl Friedrich Gauss (en ingls), MacTutor History of Mathematics archive, Universidad de Saint Andrews, http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Gauss.html

[editar] Enlaces externos

Historia de la Geometra Griega

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Historia de la GeometraGeometra (del griego geo, 'tierra'; metrein, 'medir'), rama de las matemticas que se ocupa de las propiedades del espacio. En su forma ms elemental, la geometra se preocupa de problemas mtricos como el clculo del rea y dimetro de figuras planas y de la superficie y volumen de cuerpos slidos. Otros campos de la geometra son la geometra analtica, geometra descriptiva, topologa, geometra de espacios con cuatro o ms dimensiones, geometra fractal, y geometra no eucldea. Geometra demostrativa primitiva El origen del trmino geometra es una descripcin precisa del trabajo de los primeros gemetras, que se interesaban en problemas como la medida del tamao de los campos o el trazado de ngulos rectos para las esquinas de los edificios. Este tipo de geometra emprica, que floreci en el Antiguo Egipto, Sumeria y Babilonia, fue refinado y sistematizado por los griegos. En el siglo VI a.C. el matemtico Pitgoras coloc la piedra angular de la geometra cientfica al demostrar que las diversas leyes arbitrarias e inconexas de la geometra emprica se pueden deducir como conclusiones lgicas de un nmero

limitado de axiomas, o postulados. Estos postulados fueron considerados por Pitgoras y sus discpulos como verdades evidentes; sin embargo, en el pensamiento matemtico moderno se consideran como un conjunto de supuestos tiles pero arbitrarios. Un ejemplo tpico de los postulados desarrollados y aceptados por los matemticos griegos es la siguiente afirmacin: "una lnea recta es la distancia ms corta entre dos puntos". Un conjunto de teoremas sobre las propiedades de puntos, lneas, ngulos y planos se puede deducir lgicamente a partir de estos axiomas. Entre estos teoremas se encuentran: "la suma de los ngulos de cualquier tringulo es igual a la suma de dos ngulos rectos", y "el cuadrado de la hipotenusa de un tringulo rectngulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados" (conocido como teorema de Pitgoras). La geometra demostrativa de los griegos, que se ocupaba de polgonos y crculos y de sus correspondientes figuras tridimensionales, fue mostrada rigurosamente por el matemtico griego Euclides, en su libro "Los elementos". El texto de Euclides, a pesar de sus imperfecciones, ha servido como libro de texto bsico de geometra hasta casi nuestros das. Primeros problemas geomtricos Los griegos introdujeron los problemas de construccin, en los que cierta lnea o figura debe ser construida utilizando slo una regla de borde recto y un comps. Ejemplos sencillos son la construccin de una lnea recta dos veces ms larga que una recta dada, o de una recta que divide un ngulo dado en dos ngulos iguales. Tres famosos problemas de construccin que datan de la poca griega se resistieron al esfuerzo de muchas generaciones de matemticos que intentaron resolverlos: la duplicacin del cubo (construir un cubo de volumen doble al de un determinado cubo), la cuadratura del crculo (construir un cuadrado con rea igual a un crculo determinado) y la triseccin del ngulo (dividir un ngulo dado en tres partes iguales). Ninguna de estas construcciones es posible con la regla y el comps, y la imposibilidad de la cuadratura del crculo no fue finalmente demostrada hasta 1882. Los griegos, y en particular Apolonio de Perga, estudiaron la familia de curvas conocidas como cnicas y descubrieron muchas de sus propiedades fundamentales. Las cnicas son importantes en muchos campos de las ciencias fsicas; por ejemplo, las rbitas de los planetas alrededor del Sol son fundamentalmente cnicas. Arqumedes, uno de los grandes cientficos griegos, hizo un considerable nmero de aportaciones a la geometra. Invent formas de medir el rea de ciertas figuras curvas as como la superficie y el volumen de slidos limitados por superficies curvas, como paraboloides y cilindros. Tambin elabor un mtodo para calcular una aproximacin del valor de pi, la proporcin entre el dimetro y la circunferencia de un crculo y estableci que este nmero estaba entre 3 10/70 y 3 10/71. Geometra analtica La geometra avanz muy poco desde el final de la era griega hasta la edad media. El siguiente paso importante en esta ciencia lo dio el filsofo y matemtico francs Ren Descartes, cuyo tratado "El Discurso del Mtodo", publicado en 1637, hizo poca. Este trabajo fragu una conexin entre la geometra y el lgebra al demostrar cmo aplicar los mtodos de una disciplina en la otra. ste es un fundamento de la geometra analtica, en la que las figuras se representan mediante expresiones algebraicas, sujeto subyacente en la mayor parte de la geometra moderna. Otro desarrollo importante del siglo XVII fue la investigacin de las propiedades de las figuras geomtricas que no varan cuando las figuras son proyectadas de un plano a otro. Un ejemplo sencillo de geometra proyectiva queda ilustrado en la figura 1. Si los puntos A, B, C y a, b, c se colocan en cualquier posicin de una cnica, por ejemplo una circunferencia, y dichos puntos se unen A con b y c, B con c y a, y C con b y a, los tres puntos de las intersecciones de dichas lneas estn en una recta.

De la misma manera, si se dibujan seis tangentes cualesquiera a una cnica, como en la figura 2, y se trazan rectas que unan dos intersecciones opuestas de las tangentes, estas lneas se cortan en un punto nico.

Este teorema se denomina proyectivo, pues es cierto para todas las cnicas, y stas se pueden transformar de una a otra utilizando las proyecciones apropiadas, como en la figura 3, que muestra que la proyeccin de una circunferencia es una elipse en el otro plano.

Modernos avances La geometra sufri un cambio radical de direccin en el siglo XIX. Los matemticos Carl Friedrich Gauss, Nikoli Lobachevski, y Jnos Bolyai, trabajando por separado, desarrollaron sistemas coherentes de geometra no eucldea. Estos sistemas aparecieron a partir de los trabajos sobre el llamado "postulado paralelo" de Euclides, al proponer alternativas que generan modelos extraos y no intuitivos de espacio, aunque, eso s, coherentes. Casi al mismo tiempo, el matemtico britnico Arthur Cayley desarroll la geometra para espacios con ms de tres dimensiones. Imaginemos que una lnea es un espacio unidimensional. Si cada uno de los puntos de la lnea se sustituye por una lnea perpendicular a ella, se crea un plano, o espacio bidimensional. De la misma manera, si cada punto del plano se sustituye por una lnea perpendicular a l, se genera un espacio tridimensional. Yendo ms lejos, si cada punto del espacio tridimensional se sustituye por una lnea perpendicular, tendremos un espacio tetradimensional. Aunque ste es fsicamente imposible, e inimaginable, es conceptualmente slido. El uso de conceptos con ms de tres dimensiones tiene un importante nmero de aplicaciones en las ciencias fsicas, en particular en el desarrollo de teoras de la relatividad.

Tambin se han utilizado mtodos analticos para estudiar las figuras geomtricas regulares en cuatro o ms dimensiones y compararlas con figuras similares en tres o menos dimensiones. Esta geometra se conoce como geometra estructural. Un ejemplo sencillo de este enfoque de la geometra es la definicin de la figura geomtrica ms sencilla que se puede dibujar en espacios con cero, una, dos, tres, cuatro o ms dimensiones.

En los cuatro primeros casos, las figuras son los bien conocidos punto, lnea, tringulo y tetraedro respectivamente. En el espacio de cuatro dimensiones, se puede demostrar que la figura ms sencilla est compuesta por cinco puntos como vrtices, diez segmentos como aristas, diez tringulos como caras y cinco tetraedros. El tetraedro, analizado de la misma manera, est compuesto por cuatro vrtices, seis segmentos y cuatro tringulos. Otro concepto dimensional, el de dimensiones fraccionarias, apareci en el siglo XIX. En la dcada de 1970 el concepto se desarroll como la geometra fractal. Ver, adems, en Internet: http://www.uco.es/~ma1marea/profesor/primaria/geometri/matemati/indice.htm

http://www.profesorenlinea.cl/geometria/GeometriaHistoria.htm

HISTORIA DE LA GEOMETRAHISTORIA DE LA GEOMETRA GEOMETRA (Del griego geo "tierra" metrein "medir") rama de las matemticas que se preocupa de las propiedades del espacio. En su forma ms elemental, la geometra se preocupa de problemas mtricos como el clculo del rea y dimetro de figuras planas y de la superficie y volmenes de cuerpos slidos. Otros campos de la geometra son la geometra de espacio con cuatro o ms dimensiones, geometra fractal y geometra no euclidiana. GEOMETRA DEMOSTRATIVA PRIMITIVA El origen del trmino geometra es una descripcin precisa del trabajo de los primeros gemetras que se preocupaban de la medida de los tamaos de los campos o el trazado de ngulos rectos para edificios. Este tipo de geometra emprica que floreci en el antiguo Egipto, Sumeria, y Babilonia, fue refinado y sistematizado por los griegos. En el siglo VI a.c. El matemtico Pitgoras coloc la piedra angular de la geometra cientficas al demostrar que las diversas leyes arbitrarias e inconexas de la geometra emprica se puede deducir como conclusiones lgicas de un nmero limitado de axiomas o postulados.

PITGORAS MODERNOS AVANCES La geometra sufri un cambio radical de direccin en el siglo XIX, los matemticos Carl Friedrich Gauss, Nikolai Lobachevski y Jnos Bolyai trabajando por separado, desarrollaron sistemas coherentes de geometra no euclidiana. Estos sistemas aparecieron a partir de los trabajos sobre el llamado "Postulados Paralelos" de Euclides. Se desarroll la geometra para espacios con ms de tres dimensiones. Imaginemos que una lnea es un espacio unidimensional. Si cada uno de los puntos de la lnea se sustituye por una lnea perpendicular a ella, se crea un plano, se sustituye por una lnea perpendicular a l, se genera un espacio tridimensional. PRIMEROS PROBLEMAS GEOMTRICOS Los griegos introdujeron los problemas de construccin, en los que cierta lnea o figura debe ser construida utilizando slo una regla de borde recto y un comps. Hay tres famosos problemas de construccin que data de la poca griega se resistieron al esfuerzo de muchas generaciones de matemticos que intentaron resolverlos: * La duplicacin del cubo. * La cuadratura del crculo. * Triseccin del ngulo. Ninguna de estas construcciones es posible de realizarlo con comps y la imposibilidad de la cuadratura del circulo no fue finalmente demostrada hasta 1882. GEOMETRA ANALTICA El siguiente paso importante en la ciencias lo dio el filsofo y matemtico francs Rene Descartes, cuyo tratado "El Discurso del Mtodo" publicado en 1637, hizo poca. Este trabajo fragu una conexin entre geometra y el lgebra al demostrar cmo aplicar los mtodos de una disciplina en la otra. Este es un fundamento de la geometra analtica, en la que las figuras se representa mediante expresiones algebraicas. *http://mmpchile.c5.cl/pag/productos/geo/histge.htm

HISTORIA DE LA GEOMETRIAANTES DE GRECIAEs razonable pensar que los primeros orgenes de la Geometra se encuentran en los mismos orgenes de la humanidad, pues seguramente el hombre primitivo clasificaba -aun de manera inconsciente- los objetos que le rodeaban segn su forma. En la abstraccin de estas formas comienza el primer acercamiento -informal e intuitivo- a la Geometra. Las primeras civilizaciones mediterraneas adquieren poco a poco ciertos conocimientos geomtricos de caracter muy prctico. Estos son esencialmente algunas frmulas -o mejor dicho algoritmos expresados en forma de ""receta""- para calcular areas y longitudes. La finalidad era prctica, pues se pretenda con ello calcular la produccin proporcional de las parcelas de tierra para determinar los impuestos, o reconstruir las parcelas de tierra despus de las inundaciones. Siempre se ha dicho que los egipcios tenan una alta formacin matemtica, y se ha llegado a insinuar que tuvieran un acervo de conocimientos secretos o que se hubieran perdido con el paso de los tiempos. Estas

hiptesis nunca han sido confirmadas, y los documentos existentes tienden a echarlas por tierra. La Historia nos hace pensar que el conocimiento que esta civilizacin -as como los de las culturas mesopotmicas- tuviera sobre Geometra pas integramente a la cultura griega a traves de Tales, los pitagricos, y esencialmente de Euclides. GEOMETRIA GRIEGA

ANTES DE EUCLIDESEn efecto, Tales permaneci en Egipto una larga temporada de su vida, aprendiendo de los sacerdotes y escribas egipcios todo lo referente a sus conocimientos en general, y estos quedaron asombrados cuando fue capaz de medir la altura de la Pirmide de Keops y de predecir un eclipse solar. La Geometra Griega fue la primera en ser formal. Parte de los conocimientos concretos y prcticos de las civilizaciones egipcia y mesopotmicas, y da un paso de abstraccin al considerar los objetos como entes ideales -un cuadrado cualquiera, en lugar de una pared cuadrada concreta, un crculo en lugar del ojo de un pozo...- que pueden ser manipulados mentalmente, con la sola ayuda de la regla y el comps. Aparece por primera vez la demostracin como justificacin de la veracidad de un conocimiento, aunque en un primer momento fueran ms justificaciones intuitivas que verdaderas demostraciones formales. La figura de Pitgoras y de la secta por l creada (los pitagricos) tiene un papel central, pues eleva a la categora de elemento primigenio el concepto de nmero (filosofa que de forma ms explcita o ms implcita, siempre ha estado dentro de la Matemtica y de la Fsica), arrastrando a la Geometra al centro de su doctrina -en este momento inicial de la historia de la Matemtica aun no hay una distincin clara entre Geometra y Aritmtica-, y asienta definitivamente el concepto de demostracin (ste ya s coincide con el concepto de demostracin formal) como nica va de establecimiento de la verdad en Geometra. Esta actitud permiti (aun fuera de la secta) la medicin de la tierra por Eratstenes, as como la medicin de la distancia a la luna, y la invencin de la palanca por Arqumedes, varios siglos despus. En el seno de la secta de los pitagricos surge la primera crisis de la Matemtica: la aparicin de los inconmensurables, pero esta crisis es de caracter ms aritmtico que geomtrico. Surge entonces un pequeo problema a nivel lgico, que consiste en lo siguiente: una demostracin parte de una o varias hiptesis para obtener un resultado denominado tesis. La veracidad de la tesis depender de la validez del razonamiento con el que se ha extraido (esto ser estudiado por Aristteles al crear la Lgica) y de la veracidad de las hiptesis. Pero entonces debemos de partir de hiptesis ciertas para poder afirmar con rotundidad la tesis. Para poder determinar la veracidad de las hiptesis, habr que considerar cada una como tesis de otro razonamiento, cuyas hipotesis deberemos tambin comprobar. Se entra aparentemente en un proceso sin fin en el que, indefinidamente, las hiptesis se convierten en tesis a probar. EUCLIDES Y LOS ELEMENTOS Euclides, vinculado al Museo de Alejandra y a su Biblioteca, zanja la cuestin al proponer un sistema de estudio en el que se da por sentado la veracidad de ciertas

proposiciones por ser intuitivamente claras, y deducir de ellas todos los dems resultados. Sus sitema se sintetiza en su obra cumbre, ""Los Elementos"", modelo de sistema axiomtico-deductivo. Sobre tan slo cinco postulados y las definiciones que precisa construye toda la Geometra y la Aritmtica conocidas hasta el momento. Su obra, en 13 volmenes, perdurar como nica verdad geomtrica hasta entrado el siglo XIX. Entre los postulados en los que Euclides se apoya hay uno (el quinto postulado) que trae problemas desde el principio. Su veracidad est fuera de toda duda, pero tal y como aparece expresado en la obra, muchos consideran que seguramente puede deducirse del resto de postulados. Durante los siguientes siglos, uno de los principales problemas de la Geometra ser determinar si el V postulado es o no independiente de los otros 4, es decir, si es necesario considerarlo como un postulado o es un teorema, es decir, puede deducirse de los otros, y por lo tanto colocarse entre el resto de resultados de la obra. DESPUES DE EUCLIDES Euclides casi cierra definitivamente la Geometra griega - y por extensin la del mundo antiguo y medieval-, a excepcin de la figura de Arqumedes, que estudi ampliamente las secciones cnicas, introduciendo en la Geometra las primeras curvas que no eran ni rectas ni circunferencias. LOS TRES PROBLEMAS DE LA ANTIGUEDAD

La Geometra griega es incapaz de resolver tres famosos problemas que heredarn los matemticos posteriores. Es importante observar que los tres problemas deben ser resueltos utilizando nicamente la regla y el comps, nicos intrumentos (adems del papel y el lpiz, por supuesto) vlidos en la Geometra de Euclides. Adems de los tres problemas, la disputa de si el V postulado era o no un teorema (de si se poda o no deducir de los otros cuatro) tambin se considera uno de los problemas clsicos de la Geometra griega. Estos tres problemas son los siguientes Cuenta la leyenda que la peste asolaba la ciudad de Atenas. Una embajada de la ciudad fue al Orculo de Delfos, consagrado a Apolo, para consultar con la pitonisa qu se deba hacer para erradicar la mortal enfermedad. La pitonisa, tras consultar al Orculo, dijo que se deba duplicar el altar consagrado a Apolo en la isla de Delos. El altar tena una peculiaridad: su forma La cbica. Prontamente, los atenienses construyeron un altar cbico duplicacin en en el que las medidas de los lados eran el doble de las medidas el cubo del altar de Delos, pero la peste no ces. Consultado de nuevo el Orculo, la pitonisa advirti a los atenienses que el altar no era el doble de grande, sino 8 veces mayor, puesto que el volumen del cubo es el cubo de su lado ((2l)3 = 8l3). Nadie supo cmo construir un cubo cuyo volumen fuese exactamente el doble del volumen de otro cubo dado, y el problema persisti durante siglos. La triseccin del ngulo Este problema consiste en conseguir dividir un ngulo dado

cualquiera en tres ngulos iguales, de manera que la suma de las medidas de los nuevos tres ngulos sea exactamente la medida del primero. Nadie supo cmo hacerlo. Se trata de obtener, dado un crculo, un cuadrado cuya area mide exactamente lo mismo que el area del crculo. Anaxgoras fue el primero en intentar resolverlo, dibujando en las paredes de su celda cuando fue hecho prisionero por cuestiones polticas. Tampoco pudo ser resuelto por los gemetras de la antigedad, y lleg a ser el paradigma de lo imposible. Como curiosidad, el filsofo ingls Hume lleg a escribir un libro con supuestos mtodos para resolver el problema. Hume no tena conocimientos matemticos serios, y nunca acept que todos sus mtodos fallaban.

La cuadratura del crculo

EDAD MEDIADurante los siguientes siglos la Matemtica comienza nuevos caminos - lgebra y Trigonometra - de la mano de indios y rabes, y la Geometra apenas tiene nuevas aportaciones, excepto algunos teoremas de caracter ms bien anecdtico. En Occidente, a pesar de que la Geometra es una de las siete Artes Liberales (encuadrada concretamente en el Quadrivium), las escuelas y universidades se limitan a ensear ""Los Elementos"", y no hay aportaciones, excepto tal vez en la investigacin sobre la disputa del V postulado. Si bien no se lleg a dilucidar en este periodo si era o no idependiente de los otros cuatro, s se llegaron a dar nuevas formulaciones equivalentes de este postulado.

EDAD MODERNAEs en el Renacimiento cuando las nuevas necesidades de representacin del arte y de la tcnica empujan a ciertos humanistas a estudiar propiedades geomtricas para obtener nuevos intrumentos que les permitan representar la realidad. Aqu se enmarca la figura del matemtico y arquitecto Lucca Pacioli, de Leonardo da Vinci o de Alberto Durero, por citar slo algunos. Todos ellos, al descubrir la perspectiva crean la necesidad de sentar las bases formales en la que se asiente la nueva forma de Geometra que esta implica: la Geometra Proyectiva, cuyos principios fundamentales no aparecern hasta el siglo XIX de la mano de Gaspard Monge en primer lugar y sobretodo de Poncelet. LA GEOMETRIA CARTESIANA Pero es sin duda la aparicin de la Geometra Cartesiana lo que marca la Geometra en la Edad Moderna. Descartes propone un nuevo mtodo de resolver problemas geomtricos, y por extensin, de investigar en Geometra. En un plano traza dos rectas perpendiculares (ejes) -que por convenio se trazan de manera que una de ellas sea horizontal y la otra vertical-, y cada punto del plano queda unvocamente determinado por las distancias de dicho punto a cada uno de los ejes, siempre y cuando se de tambin un criterio para determinar sobre qu semiplano determinado por cada una de las rectas hay que tomar esa distancia, criterio que viene dado por un signo. Ese par de nmeros, las coordenadas, quedar representado por un par ordenado (x,y), siendo x la distancia a uno de los ejes (por convenio ser la distancia al eje vertical) e y la distancia al otro eje (al horizontal). En la coordenada x, el signo positivo (que suele omitirse) significa que la distancia se

toma hacia la derecha del eje vertical (eje de ordenadas), y el signo negativo (nunca se omite) indica que la distancia se toma hacia la izquierda. Para la coordenada y, el signo positivo (tambin se suele omitir) indica que la distancia se toma hacia arriba del eje horizontal (eje de abscisas), tomndose hacia abajo si el signo es negativo (tampoco se omite nunca en este caso). A la coordenada x se la suele denominar abscisa del punto, mientras que a la y se la denomina ordenada del punto. Existe una cierta controversia (aun hoy) sobre la verdadera paternidad de este mtodo. Lo nico cierto es que se publica por primera vez como ""Geometra Analtica"", apndice al ""Discurso del Mtodo"", de Descartes, si bien se sabe que Pierre de Fermat conoca y utilizaba el mtodo antes de su publicacin por Descartes. Aunque Omar Khayyam ya en el siglo XI utilizara un mtodo muy parecido para determinar ciertas intersecciones entre curvas, es imposible que alguno de los citados matemticos franceses tuvieran acceso a su obra. Lo novedoso de la Geometra Analtica (como tambin se conoce a este mtodo) es que permite representar figuras geomtricas mediante frmulas del tipo f(x,y) = 0, donde f representa una funcin. En particular, las rectas pueden expresarse como ecuaciones polinmicas de grado 1 (v.g.: 2x + 6y = 0) y las circunferencias y el resto de cnicas como ecuaciones polinmicas de grado 2 (v.g.: la circunferencia x2 + y2 = 4, la hiprbola xy = 1 ). Esto converta toda la Geometra griega en el estudio de las relaciones que existen entre polinomios de grados 1 y 2. El Desde un punto de vista formal (aunque ellos aun lo saban), los gemetras de esta poca han encontrado una relacin fundamental entre la estructura lgica que usaban los gemetras griegos (el plano, la regla, el comps...) y la estructura algebraica del ideal formado por los polinomios de grados 0, 1 y 2 del anillo de polinomios , resultando que ambas estructuras son equivalentes. Este hecho fundamental (no visto con nitidez hasta el desarrollo del lgebra Moderna y de la Lgica Matemtica entre finales del siglo XIX y principios del siglo XX) resulta fundamental para entender por qu la Geometra de los griegos puede desprenderse de sus axiomas y estudiarse directamente usando la axiomtica de ZermeloFraenkel, como el resto de la Matemtica. LOS NUEVOS METODOS

Agotamiento del mtodo sinttico La aparicin de la Geometra Analtica trae consigo una nueva forma de entender la Geometra. El nuevo mtodo, algebraico, sustituye al antiguo, el sinttico, consistente en establecer unos axiomas y unas definiciones y deducir de ellos los teoremas. El mtodo sinttico est a estas alturas casi agotado (aunque aun dar algunos resultados interesantes, como la caracterstica de Euler, la naturaleza de estos resultados no es ya tanto geomtrica como topolgica, y los resultados realmente importantes que se hagan en adelante en el campo de la Geometra ya vendrn de la mano de mtodos algebraicos o diferenciales), da paso al mtodo algebraico: estudio de los objetos geomtricos como representaciones en el espacio de ciertas ecuaciones polinmicas, o dicho de otro modo, del conjunto de raices de polinomios. El mtodo sinttico slo volver a abordarse cuando aparezcan las geometras no euclideas, y definitivamente deja de ser un instrumento de investigacin geomtrica a principios del siglo XX, quedando relegado a un conjunto de instrumentos y herramientas para la resolucin de problemas, pero ya como una disciplina cerrada.

Los lmites del mtodo algebraico El mtodo algebraico se ve posibilitado por un avance en lgebra hecho durante el siglo XVI, la resolucin de las ecuaciones de grado 3 y 4. Esto permite generalizar la Geometra, al estudiar curvas que no son dadas por polinomios de segundo grado, y que no pueden construirse con regla y comps -adems de las cnicas, excluyendo a la circunferencia, claro-. Pero este mtodo, que terminar constituyendo una disciplina propia, la Geometra Algebraica, tardar aun mucho -siglo XX- en salir de unas pocas nociones iniciales, prcticamente inalteradas desde Descartes, Fermat y Newton. La razn ser la imposibilidad de resolver por radicales la ecuacin de quinto grado, hecho no descubierto hasta el siglo XIX, y el desarrollo de la Teora de Anillos y del lgebra Conmutativa. El Clculo Infinitesimal El mtodo algebraico tiene otra generalizacin natural, que es la de considerar una curva no solo como una ecuacin polinmica, sino como una ecuacin f(x,y) = 0 en la que el polinomio es ahora sustituido por una funcin cualquiera f. La generalizacin de todo esto desde el plano (2 coordenadas) al estereoespacio (3 coordenadas) se hace de forma natural aadiendo un tercer eje perpendicular (eje z) a los dos ya considerados, y las funciones tomarn la forma f(x,y,z). Ya Isaak Barrow descubre gracias a la Geometra Analtica la relacin entre la tangente a una curva y el area que encierra entre dos puntos y los ejes coordenados en su famosa Regla de Barrow, antes incluso de que Newton y Leibnitz dieran cada uno su exposicin del Clculo Infinitesimal. La relacin entre el Anlisis Matemtico y la Geometra es as estrechsima desde incluso los orgenes de aqul. Las ideas geomtricas no slo fueron la base de los instrumentos iniciales del Clculo Infinitesimal, sino que fueron en gran medida su inspiracin. Por eso resulta natural que en un primer momento, Descartes, Newton o los Bernoulli no distinguieran entre los conceptos de curva y de funcin de una variable, o de superficie y de funcin de dos variables (o si se quiere, de curva y los ceros de una funcin de dos variables o de superficie y los ceros de una funcin de tres variables). Fue Euler el primero en empezar a intuir la diferencia. En adelante, y hasta la aparicin de Gauss, la Geometra queda supeditada a sus aplicaciones en Mecnica y otras ramas de la Fsica por medio de la resolucin de Ecuaciones Diferenciales. En esta poca aparece el que ser el caballo de batalla de la Geometra Diferencial, el Teorema de la Funcin Implcita.

EDAD CONTEMPORANEAGAUSS Gauss devuelve el caracter geomtrico que impregna parte del Anlisis Matemtico, fundamentalmente con dos contribuciones: el nacimiento de la Variable Compleja y de la Geometra Diferencial. Pero no es son las nicas contribuciones de ste genio al campo de la Geometra. En su adolescencia se vio dividido entre dedicarse a la Filologa o a la Matemtica. A los 17 descubri la manera de construir el polgono regular de 17 lados, y la condicin necesaria y suficiente para que un polgono regular pueda construirse. Esto determin su vocacin. En su primera demostracin (de las cinco que realiz a lo largo de su carrera) sent las bases del Anlisis de Variable Compleja, dando por primera vez la descripcin geomtrica de los nmeros complejos como vectores fijos del plano (no en este lenguaje, que ser introducido mucho ms tarde). Aunque no es propiamente obra suya, pues la

Variable Compleja est desarrollada fundamentalmente por Cauchy, s es el primero en abordarla seriamente, y sobretodo le da una interpretacin geomtrica que marcar el desarrollo de esta rama. Pero la principal contribucin de Gauss la la Geometra es la creacin de la Geometra Diferencial, retomando las ideas que sobre las relaciones entre el Anlisis Matemtico y la Geometra haba hasta entonces y desarrollndolas ampliamente. Partiendo de la base de que la Geometra estudia el espacio, las curvas y las superficies, establece la nocin fundamental de curvatura de una superficie. Gracias a ella, y a la definicin de geodsica, demuestra que si consideramos que una geodsica es una curva con menor distancia entre dos puntos sobre una superficie (es decir, si tenemos dos puntos sobre una superficie, el camino ms corto entre esos dos puntos sin salirnos de la superficie es un segmento de geodsica), concepto totalmente anlogo sobre la superficie al de recta en el plano, existen superficies en las que los tringulos formados por las geodsicas miden ms de la medida de dos ngulos rectos, y otras en las que mide menos. Esto, esencialmente, es contradecir el V postulado de Euclides. Estas consideraciones llevaron a Gauss a considerar la posibilidad de crear geometras no euclideas, pero aunque a esas alturas ya era el matemtico ms prestigioso de Europa, consider que la mantalidad de la poca no estaba preparada para un resultado de tal magnitud, y nunca public esos resultados. Slo vieron la luz cuando Bolyai public su geometra no euclidea, y comprob que la comunidad cientfica general aceptaba el resultado. As que, por un lado, Gauss fue el primero en crear una geometra no euclidea, y por otro fue el creador de la Geometra Diferencial y precursor de la Variable Compleja. Adems, Gauss es el primero en considerar una nueva propiedad en la Geometra: la orientacin. FIN DE LOS GRANDES PROBLEMAS DE LA ANTIGUEDAD La controversia sobre el V postulado Como ya se ha adelantado, Gauss es el primero en construir una geometra (un modelo del espacio) en el que no se cumple el V postulado de Euclides, pero no publica su descubrimiento. Son Bolyai y Lobatchevsky quienes, de manera independiente y simultaneamente publican cada uno una geometra distinta en la que no se verifica tampoco el V postulado. Qu quiere decir esto? Tanto Bolyai como Lobatchevsky parten de un objeto geometrico y establecen sobre l unos postulados que son idnticos a los de Euclides en Los Elementos, excepto el quinto. Pretenden originalmente razonar por reduccin al absurdo: si el V postulado depende de los otros cuatro, cuando lo sustituya por aqul que dice exactamente lo contrario, he de llegar a alguna contradiccin lgica. Lo sorprendente es que no se llega a contradiccin ninguna, lo cual quiere decir dos cosas: 1 El V postulado es independiente de los otros cuatro, es decir, no puede deducirse de los otros cuatro, no es un teorema, y Euclides hizo bien en considerarlo como un postulado. 2 Existen modelos del espacio en los que, en contra de toda intuicin, por un punto que no est en una cierta recta no pasa una nica recta paralela a la dada. Esto es tremendamente antiintuitivo, pues no podemos concebir tal cosa, no podemos imaginar (ni mucho menos dibujar) una situacin as, sin reinterpretar los conceptos de recta, plano, etc. Pero desde el punto de vista lgico es perfectamente vlido.

Como es de imaginar, esto supuso una fuerte crisis en la Matemtica del siglo XIX, que vino a sumarse a otras controversias. Es importante sealar que las geometras de Bolyai y de Lobatchevsky, no depende de si se construyen usando mtodos analticos o sintticos. Existen formas de construirlas tanto de manera sinttica como analtica. El modelo es el mismo se llegue como se llegue, lo que abunda en su veracidad. La triseccin del ngulo y la duplicacin del cubo Un hecho aparentemente lejano en lgebra dar como resultado la resolucin de estos dos problemas. Galois muere a los 21 aos de edad dejando un ""testamento"" lleno de ideas apresuradamente escritas. Entre ellas se encuentran las bases de la Teora de Grupos y de la Teora de Galois. Galois resolvi el problema de encontrar una frmula para solucionar las ecuaciones de 5 grado, pero este resultado no lleg a ser publicado en (su corta) vida. Concluy que ninguna ecuacin de grado 5 o mayor puede ser resuelta por radicales (es decir, mediante una frmula). Su manera de abordar el problema abre una nueva va dentro de la Matemtica. Pero la Teora de Galois (una rama del lgebra que trata sobre cundo es posible resolver una ecuacin polinmica estudiando el conjunto de nmeros en los que se expresa esa ecuacin) no da slo esos frutos. Tambin demuestra que todo lo construible con regla y comps tiene una traduccin a polinomios muy concreta. Se demuestra que trisecar un ngulo o duplicar un cubo necesita de polinomios que no tienen esa forma, y por lo tanto, es imposible con la sola ayuda de la regla y el comps trisecar un ngulo cualquiera o duplicar un cubo. La cuadratura del crculo En 1862, Lindemann demuestra que el nmero p es trascendente, es decir, no puede ser raz de ningn polinomio con coeficientes enteros. Esto implica que no es un nmero que pueda construirse con regla y comps, y demuestra que no es posible construir con slo estos instrumentos un cuadrado de area igual a la de un crculo dado.http://www.culturageneral.net/matematicas/historia_geometria.htm

Historia de la GeometraA propsito de la demostracin geomtrica del teorema de Pitgoras, les presento una breve historia de la geometra, aunque no se profundiza en aspectos matemticos, empero se resalta aspectos importantes que motivarn de seguro a usted lector a seguir investigando. Historia de la Geometra * Por: Almez La historia del origen de la Geometra es muy similar a la de la Aritmtica, siendo sus conceptos ms antiguos consecuencia de las actividades prcticas. Los primeros hombres llegaron a formas geomtricas a partir de la observacin de la naturaleza. El sabio griego Eudemo de Rodas, atribuy a los egipcios el descubrimiento de la geometra, ya que, segn l, necesitaban medir constantemente sus tierras debido a que las inundaciones del Nilo borraban continuamente sus fronteras. Recordemos que, precisamente, la palabra geometra significa medida de tierras. Los egipcios se centraron principalmente en el clculo de reas y volmenes, encontrando, por ejemplo, para el rea del crculo un valor aproximado de 31605. Sin embargo el desarrollo geomtrico adolece de falta de teoremas y demostraciones formales. Tambin encontramos rudimentos de trigonometra y nociones bsicas de semejanza de tringulos. Tambin se tienen nociones geomtricas en la civilizacin mesopotmica, constituyendo los problemas de medida el bloque central en este campo: rea del cuadrado, del crculo (con una no muy buena

aproximacin de, volmenes de determinados cuerpos, semejanza de figuras, e incluso hay autores que afirman que esta civilizacin conoca el teorema de Pitgoras aplicado a problemas particulares, aunque no, obviamente, como principio general. No se puede decir que la geometra fuese el punto fuerte de las culturas china e india, limitndose principalmente a la resolucin de problemas sobre distancias y semejanzas de cuerpos. Tambin hay quien afirma que estas dos civilizaciones llegaron a enunciados de algunos casos particulares del teorema de Pitgoras, e incluso que desarrollaron algunas ideas sobre la demostracin de este teorema. En los matemticos de la cultura helnica los problemas prcticos relacionados con las necesidades de clculos aritmticos, mediciones y construcciones geomtricas continuaron jugando un gran papel. Sin embargo, lo novedoso era, que estos problemas poco a poco se desprendieron en una rama independiente de las matemticas que obtuvo la denominacin de logstica. A la logstica fueron atribuidas: las operaciones con nmeros enteros, la extraccin numrica de races, el clculo con la ayuda de dispositivos auxiliares, clculo con fracciones, resolucin numrica de problemas que conducen a ecuaciones de 1er y 2 grado, problemas prcticos de clculo y constructivos de la arquitectura, geometra, agrimensura, etc. Al mismo tiempo ya en la escuela de Pitgoras se advierte un proceso de recopilacin de hechos matemticos abstractos y la unin de ellos en sistemas tericos. Junto a la demostracin geomtrica del teorema de Pitgoras fue encontrado el mtodo de hallazgo de la serie ilimitada de las ternas de nmeros pitagricos, esto es, ternas de nmeros que satisfacen la ecuacin a2+b2=c2. En este tiempo transcurrieron la abstraccin y sistematizacin de las informaciones geomtricas. En los trabajos geomtricos se introdujeron y perfeccionaron los mtodos de demostracin geomtrica. Se consideraron, en particular: el teorema de Pitgoras, los problemas sobre la cuadratura del crculo, la triseccin de un ngulo, la duplicacin del cubo, la cuadratura de una serie de reas (en particular las acotadas por lneas curvas). * Fuente: Educared Per. Descargar archivo __________ Actualizacin:Pueden ampliar el tema revisando el post La Geometra no euclidiana y la Geometra de n dimensiones.

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COMMENTS ( 36 )

1. #1 by Max Vento on January 7, 2007 - 7:43 am Un bonito articulo. Ojala que sigan con esta gran informacio. M.V REPLY

#2 by Lisbeth-Panam on June 22, 2011 - 7:52 am Lo felicito profesor, por tan importante informacin, denota inters por sus estudiantes y colegas, en en lo referente a conciderar ilustracin sobre diversas reas. REPLY

2. #3 by everardo on February 11, 2007 - 11:18 am me gustaria aprender la geometria y sobre de la matemetica REPLY

3. #4 by luis on February 12, 2007 - 6:21 pm esta muy bn el articulo pero me gustaria ke pusieran mas historia referente a los personajes principales de la geometria REPLY

4. #5 by Carlos on February 13, 2007 - 9:47 am

Estamos trabajando en eso. Muy pronto tendr novedades. Saludos. REPLY

5. #6 by manuel on March 2, 2007 - 6:46 pm no pues que esta super chido , lo unico que me gustaria es que pusieran su bibliografia de todos los libros donde scan informacion para mas rapido gracias por toda esta informacion indispensable REPLY

6. #7 by Carlos on March 3, 2007 - 6:43 pm Lo incluir uno de estos das. REPLY

7. #8 by Hector on March 5, 2007 - 8:23 pm ste artculo es igual a otro q encontre en http://almez.pntic.mec.es/~agos0000/geometria.html revisenlo, no se qien fue el primero; pero el otro es mas completo. REPLY

8. #9 by Carlos on March 6, 2007 - 11:15 am El artculo es el mismo al igual que el autor. El enlance lo encontr en Educared, como se seala, en todo caso aca se presenta en formato para descargar. Gracias y saludos. REPLY

9. #10 by riku on March 17, 2007 - 7:44 pm no seas pirateador de obras ajenas sin pedir los permisos o mencionar que la obra le pertenjese a otro, gracias REPLY

10. #11 by Carlos on March 18, 2007 - 11:07 am Riku antes de hacer un comentario desatinado te sugiero descargues el archivo, donde se indica el AUTOR. En ningn momento me asigno ese artculo. Tambin te sugiero que revises bien el post, porque se menciona la FUENTE, que es EDUCARED. Ese archivo me lo enviarn y tome la decisin de incluirlo en este blog para que sea de gran ayuda a todos los interesados. En todo caso no creo violar la propiedad intelectual. Saludos. REPLY

11. #12 by Yarel on April 10, 2007 - 2:55 pm A mi no me gusta la geometria , tengo 76% pero gente, es importante ya q este aplica en el collage board para la universidad x eso estoy trabajando mucho en mi calificasion (es q soy una nia ocupada)jaja y no se peleen q da depre; en verdad, da depre. Pues na en vez d estar peliando ponganse a estudiar y pa lante corillooo saludos desde Puerto Rico. REPLY

12. #13 by R. HUANACO FLORES on April 14, 2007 - 10:35 am SOY ESTUDIANTE DE MATEMATICA QUISIERA LIBROS DE ENSEANZA DE LA MATEMATICA EN E,S,O, BOLIVIA LAPAZ REPLY

13. #14 by Carlos on April 16, 2007 - 1:14 pm Revisa los enlaces, ah hay varias direcciones para descargar material. Saludos. REPLY

14. #15 by Max Vento on June 24, 2007 - 12:57 pm Me podria informar como puedo subscribirme a recibir revistas, o articulos referente a las matematicas. Los felicito por la informacion y me gustaria que me enviaran informacion a mi correo electronico. Otra vez gracias por el bonito articulo, ojala que sigan. Max V. REPLY

15. #16 by Carlos on June 25, 2007 - 11:08 am Puede suscribirse al blog, slo haga click en el enlace Suscrbete por correo. Saludos. REPLY

16. #17 by Freddy Apaza on July 20, 2007 - 9:32 am Saben no se porque se inveto la matematica no me gusta no me llevo bien con la matematica . Quisiera un consejo o una sujerencia para que me agrade mas ya que en clase no me aburro con esta materia . Saludos y quisiera una respuesta efectiva . Gracias REPLY

17. #18 by Carlos on July 22, 2007 - 6:58 pm Hola Freddy: Espero que la respuesta sea efectiva, o mejor dicho que lo hagas efectivo. Lo que te puedo decir es que debes tener presente que las matemticas es como un juego. Aunque suene simple, yo lo veo as, es un juego en el que las reglas estn dadas por las propiedades, teoremas, axiomas y otros muchos nombres que los matemticos designan a algo especial. Seguramente has escuchado que para jugar ftbol, lo primero que debes hacer es practicar el dominio de la pelota, luego ser un tanto tcnico para dar algn alcance a tus compaeros, desde luego debes, tambin, conocer las reg