hilbert a g¨odel: prawda i dowód w...

Semina � Nr 3Scientiarum 2004

Anna Brożek

Hilbert a Godel: prawda i dowódw matematyce1

Od czasów najdawniejszych matematyka uznawana była zawiedzę pewną i niepodważalną, a jej twierdzenia za bezwzględ-nie prawdziwe. Wraz z logiką stanowiła wzorzec pewności dla in-nych nauk. O ile można było wątpić w wyniki nauk empirycznychi w świadectwa zmysłów, o tyle matematyka wydawała się wolnaod tego typu problemów. Była zawsze, dzięki oczywistości swoichtwierdzeń, ideałem epistemologicznym.Co decyduje o tym, że przekonania o prawdziwości zdań mate-

matycznych wydają się pewniejsze niż wszystkie inne? Przyjmijmyże „pewne” znaczy tyle, co „dobrze uzasadnione”. Matematycznetwierdzenia wydają się ugruntowane tak dobrze, gdyż uzasadniasię je w szczególny sposób. Prawdy w matematyce zajmują hono-rowe miejsce w systemie naszych przekonań. Podczas, gdy naszewierzenia empiryczne – że ziemia jest okrągła, że rośliny wyrastająz nasion, że ciężkie przedmioty spadają – wszystkie są potwierdzonejedynie przez nagromadzenie empirycznych obserwacji czy ekspe-rymentu, w matematyce osiągamy umiłowany ideał oczywistości:mamy dowody2. Wydaje się, że to właśnie specyficzny rodzaj do-wodu w matematyce przyczynia się do szczególnego statusu jejprawd.

1Tytułowym zagadnieniem zainteresowałam się, uczestnicząc w seminarium„Logic and cognition” prowadzonym w roku 2003 na Uniwersytecie w Lipskuprzez prof. Ryszarda Wójcickiego. Panu Profesorowi bardzo dziękuję za in-spirację. Dziękuję także Redakcji za cenne uwagi, które pozwoliły mi uniknąćwielu błędów.2Maddy [1997], s. 1.

Hilbert a Godel: prawda i dowód w matematyce�39

Celem niniejszego artykułu jest omówienie wzajemnej relacjidowodu i prawdy w matematyce na kanwie zestawienia dokonańmatematycznych i poglądów filozoficznych dwóch postaci: KurtaGodla i Davida Hilberta. W paragrafie pierwszym zarysuję pro-blem dowodu w matematyce i przedstawię ideę systemu zaksjo-matyzowanego. Następnie opowiem o pożądanych cechach syste-mów zaksjomatyzowanych w matematyce (przede wszystkim nie-sprzeczności) i o zastrzeżeniach, jakie w XIX wieku pojawiły się codo niesprzeczności matematyki. Omówię następnie program sfor-mułowany przez Hilberta – matematyka, który wierząc w ideę do-wodu formalnego, pragnął uratować pewność matematyki przedgroźbą pojawiających się w jej podstawach antynomii. W paragra-fie trzecim opiszę słynne twierdzenia Godla o niezupełności i ichkonsekwencje dla programu Hilberta. Kolejnym krokiem będziepróba analizy poglądów filozoficznych Hilberta i Godla, które, jakpokażę, miały wpływ na ich pracę nad podstawami matematy-ki, ich koncepcję dowodu oraz matematycznej prawdy. W końcuomówię konsekwencje, jakie przedstawione zagadnienia mają dlarelacji prawdy i dowodu w matematyce.

1. Calculemus !

W XIII wieku filozof Raimond Lullus napisał: pojętność chce,aby rozmaite zasady zostały ze sobą zhierarchizowane, sklasyfiko-wane, a poza tym sprowadzone do reguł; ażeby rozumienie praw-dy w każdej kolejnej nauce dało pewność, że można przyswoić so-bie inne nauki3. Lullus wierzył, że da się zbudować uniwersalnąi pewną naukę opartą na logice i matematyce. W ramach takiej,obejmującej wszystkie dziedziny wiedzy mathesis universalis, każ-dą prawdę można byłoby ustalić po prostu za pomocą obliczeń,a wręcz manipulacji symbolami. Idea Lullusa, z początku zapo-mniana, odżyła w filozofii G. Leibniza. Ten siedemnastowiecznyfilozof i matematyk wierzył, że wszelkie problemy (nawet spory

3Cyt. za: Minois [1995], s. 202.

40 | Anna Brożek

filozoficzne) można rozwiązać, przekształcając argumenty w ciągimatematycznych symboli i dokonując stosownych obliczeń. Sądziłnawet, że można zbudować maszynę rozstrzygającą o prawdziwościtwierdzeń, gdyż w zasadzie utożsamiał rozumowanie ze – świado-mym lub nieświadomym – obliczaniem. Stąd jego słynne wezwanie:„Calculemus!”Geneza marzenia o zbudowaniu uniwersalnej nauki w oparciu

o zasady matematyczno–logiczne wydaje się oczywista. Kuszącajest myśl, że w każdej dziedzinie można osiągnąć taką pewność, ja-ka występuje w naukach dedukcyjnych. Aby wytłumaczyć fenomentej pewności, wyobraźmy sobie, że ktoś pyta nas, czy prawdziwejest następujące zdanie matematyczne:

2 + 2 = 4. (1)

Tym, co sprawia, że bez chwili wątpienia zgadzamy się nazwaćje prawdziwym, jest narzucająca się oczywistość zapisanego za je-go pomocą rachunku (zakładamy naturalnie rozumienie symboliużytych w jego zapisie). A teraz załóżmy, że ktoś pyta, czy zdanie:

27463284672 + 57294625 = 2803679297 (2)

jest prawdziwe. Niewątpliwie nasza odpowiedź nie będzie takszybka, jak w pierwszym wypadku. Każdy jednak, kto przeszedłw szkole kurs arytmetyki, potrafi znaleźć odpowiedź na zadane py-tanie przy pomocy kawałka kartki i ołówka – stosując się do zasadpisemnego dodawania. Po zapisaniu kilku symboli na kartce uzy-skać można odpowiedź niemal tak pewną, jak odpowiedź na pyta-nie pierwsze. Na lekcjach matematyki nauczyliśmy się bowiem nie-zawodnej metody rozwiązywania tego typu matematycznych pro-blemów. Potrafimy, za pomocą dających się ująć algorytmiczniekilku prostych czynności, dodać do siebie każde dwie liczby cał-kowite. Tym samym znamy procedurę pozwalające rozstrzygnąć,czy zdania arytmetyczne tego typu są prawdziwe. Do rozstrzygnię-


cia prawdziwości (2) wystarczy umiejętność dodawania w zakresieliczb 1− 9 i odpowiedniego operowania symbolami4.Czynności wykonywane przy dodawaniu pisemnym można na-

zwać „dowodzeniem” zdania (2). Pewność tego dowodu bierze sięstąd, iż procedura, którą stosujemy, jest niezawodna. Dowód w ma-tematyce nie zawsze jednak opierał się na tak ściśle określonychzasadach, z jakimi mamy do czynienia w działaniach arytmetycz-nych. Początkowo zbiór zdań matematycznych nie miał żadnegostrukturalnego porządku. Zdanie jakieś uznawano za prawdziwe al-bo dlatego, że wydawało się intuicyjnie oczywiste, albo dlatego, żezostało udowodnione na podstawie innych, intuicyjnie oczywistychzdań, czyli dlatego, że na podstawie innego intuicyjnie prawdziwegorozumowania okazało się ono konsekwencją logiczną innych zdań5.Matematyk musiał po prostu, w taki czy inny sposób, «przekonać»społeczność uczonych, że teza przez niego dowodzona jest prawdzi-wa. Dowód taki można nazwać dowodem „w sensie psychologicz-nym”6. Budził on szereg zastrzeżeń ze względu na obecne w nimelementy subiektywne, które matematycy próbowali usunąć.Wzorem dla ulepszonej teorii dowodu stała się metoda dowo-

dzenia zastosowana w „Elementach” Euklidesa. Z tego dzieła —jak uważa wielu, największego osiągnięcia matematyki starożytnej— wywieść można dwie podstawowe zasady nauk dedukcyjnych.Po pierwsze — budowanie systemu naukowego należy rozpocząćod wymienienia pewnej małej ilości zdań, zwanych aksjomatami,uznanych za prawdziwe bez żadnego dowodu. Po drugie — niemożna uznać za prawdziwe żadnych innych zdań, jeśli nie zdołasię ich udowodnić odwołując się do aksjomatów i innych, już do-wiedzionych zdań, posługując się mechanizmem logicznym. W celurozszerzenia ideału Euklidesowego dowodu z geometrii na całą ma-

4Osoby lepiej „wyposażone” poradzą sobie jeszcze szybciej przy pomocykalkulatora lub komputera. Fakt, że komputer może pomóc w odpowiedzi na topytanie, świadczy o istnieniu algorytmu pozwalającego na sprawdzenie owegoobliczenia.5Tarski [1995] s. 319 – 320.6Por. m. in. Tarski [1995], s. 322 oraz Czeżowski [1965].

42 | Anna Brożek

tematykę, należało więc i w tej ostatniej wprowadzić podział nadwie klasy zdań: tych, które nie są dowodzone (aksjomatów), oraztych wymagających dowodu. Rozwój tworzonych w ten sposóbtzw. systemów aksjomatycznych polegał na stopniowym ograni-czaniu liczby zdań pierwszej klasy, a rozszerzaniu klasy drugiej.Im mniejszą liczbę bardziej oczywistych podstaw ma nauka, tymwydaje się lepiej uprawomocniona.W XIX wieku, za sprawą G. Fregego, wykształciło się specy-

ficzne pojęcie dowodu w matematyce (czy szerzej w naukach de-dukcyjnych) – pojęcie dowodu formalnego, które miało zastąpićstare, nieostre pojęcie dowodu psychologicznego. Sprecyzujmy, naczym polega jego specyfika. Przez „system formalny” rozumiemysystem (język?), który spełnia następujące warunki: (a) posiadadobrze zdefiniowany słownik używanych w nim symboli oraz (b)określa ściśle sposób tworzenia za ich pomocą poprawnych wyra-żeń (reguły formowania). W dalszej kolejności (c) pewne z tychwyrażeń uznane zostają za aksjomaty, oraz (d) podaje się tzw.reguły inferencji (dowodzenia), pozwalające ze zdań już uznanychwyprowadzać dalsze twierdzenia systemu (np. modus ponendo po-nens). Przez „dowód formalny” w takim systemie rozumie się ciągzdań lub formuł zdaniowych, który zawiera: wyrażenia przyjęte ja-ko aksjomaty, wyrażenia otrzymane z aksjomatów w wyniku ichprzekształceń zgodnie z regułami dedukcyjnymi; dalej ewentualniewyrażenia powstałe z przekształceń poprzednich wyrażeń. Ostat-nim zdaniem w ciągu jest zdanie dowodzone7.W dowodzie formalnym poszczególne twierdzenia są wyrażone

w języku sformalizowanym – za pomocą ściśle określonego zbio-ru symboli, a stosowane w nim dyrektywy dowodowe są dyrekty-wami strukturalnymi. Dowody formalne sprowadzają się więc doprzekształceń napisów wykonywanych według zasad określonychprzez system. W praktyce można posługiwać się nimi abstrahującod znaczeń stosowanych w nich symboli, a znalezienie dowodu for-malnego dla dowolnej dobrze zbudowanej formuły okazuje się spra-

7Por. Marciszewski [1998], s. 24.


wą kombinowania symboli. Dowodząc formalnie matematycznegotwierdzenia, możemy działać w mechaniczny sposób – szukamy do-zwolonego przez reguły dowodzenia «przejścia» od aksjomatów dodowodzonej formuły. Ten nowy, formalny typ dowodu miał swojewady i zalety. Z jednej strony, dzięki wyeliminowaniu metod intu-icyjnych w dowodzeniu twierdzeń, nowa teoria dowodu zapewniałaintersubiektywność kontroli jego przebiegu. Dlatego pojęcie dowo-du formalnego wydawało się początkowo triumfem logiki i mate-matyki. Z drugiej jednak strony, rozumienie dowodu jako ciągusymboli kłóci się z naszymi intuicjami: niczego tam się bowiemnie «dowodzi». Zauważmy, że w dowodzie formalnym zdanie praw-dziwe to zdanie będące mechanicznie wywiedzioną konsekwencjąprzyjętych aksjomatów. Czy jednak pojęciem konsekwencji da sięzastąpić pojęcie prawdy?

Teorię wyposażoną w aksjomaty i w pojęcie dowodu nazywamy„sformalizowaną”. Zastanówmy się teraz, jakie są pożądane cechytakiej teorii, powracając w tym celu jeszcze raz do rozpatrzonegoprzykładu zdania (2). Załóżmy, że nasze pisemne dodawanie wyka-zało, iż zdanie (2) jest prawdziwe. Jednakże w celu upewnienia sięco do naszej odpowiedzi, wykonujemy obliczenia jeszcze raz. Tymrazem nasze obliczenia prowadzą do wniosku, że zdanie (2) nie jestprawdziwe. Co robimy? Przypuszczalnie większość z nas zdecydu-je się jeszcze raz wykonać obliczenia, sądząc, że za którymś razemw rachunki wkradł się błąd. Dlaczego jednak obliczenia nie mogąprowadzić do różnych wyników? Dlaczego wynik dodawania dwóchtakich samych liczb nie może raz być taki, a raz inny? Powodemjest tzw. zasada niesprzeczności. Dwa zdania nawzajem ze sobąsprzeczne nie mogą być równocześnie prawdziwe. 2+2 zawsze jestrówne 4. Nie może zdarzyć się, że wynik wynosi raz 4, a raz 5.

Dobra teoria zaksjomatyzowana nie powinna dopuszczać, byz jej aksjomatów dało się wywieść dwa zdania ze sobą sprzeczne.Nie jest to jednak jedyna pożądana jej cecha. Jeśli dowód formalnymiałby być jedyną metodą dowodzenia prawdziwości zdań w da-nym w systemie, należałoby jeszcze pokazać, że za jego pomocą

44 | Anna Brożek

można o każdym zdaniu rozstrzygnąć, czy jest prawdziwe, czy nie.Inaczej mówiąc, powinien istnieć dowód formalny dla każdego zda-nia prawdziwego w systemie. Własność dowodliwości wszystkichprawd danego systemu nazywa się „pełnością”8.

2. Wir wollen wissen czyli program Hilberta

Niesprzeczność jest, jak uważa wielu, podstawową zasadą ludz-kiego myślenia i dlatego na sprzeczności w najpewniejszej z nauk– matematyce – nie można się zgodzić. Tymczasem w XIX wie-ku pojawiły się w matematyce paradoksy (antynomie), stawiająceniesprzeczność matematyki pod znakiem zapytania. „Antynomia-mi” nazywa się rozumowania, które wydają się poprawne, ale któreprowadzą do sprzeczności. Powodują, że w ramach jednego syste-mu formalnego dowodliwe są dwie tezy o postaci „A” i „¬A”. An-tynomie pojawiły się w dziewiętnastowiecznej matematyce głównieza sprawą Cantorowskiej teorii mnogości. Przykładami są np. pa-radoks zbioru wszystkich zbiorów Cantora i antynomia Russella.Matematycy i filozofowie matematyki próbowali się pozbyć para-doksów ze swojej dziedziny. Przecież – jako sprzeczna – matema-tyka przestawała być pewna i niepodważalna. Na dodatek teoriazawierająca sprzeczności, dzięki zasadzie ex contradictione quodli-bet, pozwala na udowodnienie każdej tezy. Stąd dający się zaob-serwować na przełomie XIX i XX stulecia wzrost zainteresowaniaproblemami podstaw matematyki i liczne pomysły na to, jak z niejusunąć niepożądane paradoksy.Na ogół mówi się o trzech głównych programach, rewidują-

cych podstawy matematyki. Logicyści (jak G. Frege i przez pe-

8Należy tu zwrócić uwagę na rozróżnienie między „pełnością” systemu,i dwoma rodzajami jego „zupełności”. Pierwsze pojęcie jest semantyczne, dwadalsze – syntaktyczne. System jest (semantytcznie) pełny, jeśli wszystkie twier-dzenia, które są w nim prawdziwe, są w nim też dowodliwe. System jest zupeł-ny1, gdy z dwóch formuł o postaci A oraz (A co najmniej jedna jest twierdze-niem systemu. Jest zaś zupełny2 (zupełny w sensie Posta), gdy każda formułaniedowodliwa w tym systemie po dołączeniu do aksjomatów czyni tę teorięsprzeczną. (Por. Marciszewski [1987], s. 32 – 33).


wien czas B. Russell) wierzyli, że da się sprowadzić matematykędo logiki i w ten sposób przywrócić jej miano wiedzy pewnej. Takzwani intuicjoniści (np. L. Brouwer) postulowali pozbycie się para-doksów poprzez ograniczenie dziedziny dociekań matematycznychi usunięcie z niej wszystkich tzw. elementów niekonstruowalnych,do których należały według nich m.in. pojawiające się w teoriiCantora nieskończoności. Trzecim pomysłem na usunięcie antyno-mii i odzyskanie pewności matematyki był sformułowany w latachdwudziestych XX wieku program Hilberta. Przeciwstawiając siępomysłom intuicjonistów, ten wybitny matematyk wypowiedziałswoje słynne zdanie: Aus dem Paradies, das Cantor uns geschaf-fen hat, soll uns niemand vertreiben konnen9. David Hilbert był«rasowym» matematykiem i sądził, że pozbycie się tak dobregonarzędzia w rękach matematyków, jakim okazała się teoria mno-gości, byłoby niepotrzebnym ograniczeniem w ich pracy. Uważał,że nie można po prostu pozbyć się wszystkiego, co sprawia trud-ność i trzeba raczej próbować uprawomocnienia stosowania metodnieskończonościowych. Zadaniem, jakie Hilbert postawił matema-tykom w swoim programie, było uzasadnienie całej matematyki,łącznie z jej częścią infinitystyczną. Jego strategia obejmowała kil-ka etapów. Po pierwsze, uważał, należało (1) wydzielić część mate-matyki, która «nie sprawia kłopotów», nie generuje paradoksów.Hilbert sądził, że tą częścią matematyki jest jej część finitystyczna.Następnym krokiem miała być (2) rekonstrukcja całej matematy-ki (także owej infinitystycznej, «kłopotliwej») w jednym systemieformalnym. W końcu należało (3) dowieść niesprzeczności tego sys-temu przy pomocy metod finitystycznych. Przyjrzyjmy się niecobliżej tym krokom.Na czym opiera się finitystyczna część matematyki „nie bu-

dząca zastrzeżeń”? Według Hilberta jest to matematyka mówiącao wielkościach dyskretnych – takich, jak liczby naturalne10. Dużą

9Nikt nie powinien nas wypędzać z raju, do którego wprowadził nas Cantor.10Zaznaczmy, że często zwraca się uwagę na fakt, iż Hilbert nigdy nie spre-cyzował wyraźnie, co znaczy „finitystyczny”

46 | Anna Brożek

rolę w formułowaniu finitystycznego programu odegrała aksjoma-tyzacja arytmetyki dokonana przez Giuseppe Peano. Definiującliczby naturalne oraz charakteryzując podstawowe działania przyużyciu jednej funkcji (następnika), Peano zbudował system zawie-rający zaledwie kilka aksjomatów, stanowiących podstawę całejarytmetyki. Hilbertowi wydawało się, że pokazując związki mię-dzy matematyką finitystyczną a infinitystyczną, da się dokonaćuprawomocnienia stosowania metod wykorzystujących cantorow-skie nieskończoności. Z «raju cantorowskiego» nie trzeba by byłowychodzić. Hilbert, wraz ze swoimi uczniami, postawił sobie takiwłaśnie cel — pokazać niesprzeczność matematyki finitystycznej,a następnie, dzięki wykazaniu, że rachunek nieskończonościowyda się wyprowadzić ze skończonego, «rozciągnąć» niesprzecznośći pełność na całą, także infinitystyczną matematykę. Niesprzecz-ność była oczywiście podstawowym postulatem każdego systemumatematycznego. Hilbert był jednak także przekonany, że postu-lowany przez niego duży system formalny powinien cechować siętakże zupełnością, czyli każde jego twierdzenie lub jego negacjapowinno mieć formalny dowód.

We wrześniu 1930 roku w Królewcu odbyła się konferencjaz udziałem najwybitniejszych matematyków tego czasu, na któ-rej Hilbert jeszcze raz wyłożył swój program. W trakcie tej samejkonferencji młody matematyk, Kurt Godel, przedstawił jako wy-nik swej pracy doktorskiej dowód pełności logiki pierwszego rzędu.Dowiódł, że każde prawdziwe logicznie zdanie (tautologia) rachun-ku predykatów jest dowiedlne w rachunku predykatów, czyli że ist-nieje dla niego formalny dowód. Twierdzenie o pełności Godla byłoetapem na drodze do realizacji programu Hilberta, po wcześniej-szym dowodzie pełności rachunku zdań Posta i Bernaysa. (Rachu-nek pierwszego rzędu jest bowiem rachunkiem silniejszym, zawie-rającym w sobie rachunek zdań.) Hilbert oczekiwał tego wyniku,o czym wspominał już w 1928 roku w artykule o podstawach ma-tematyki. Zaprezentowany dowód pełności rachunku predykatówbył bez wątpienia wynikiem dającym nadzieję na pełną realizację


programu Hilberta i wydawało się, że autor programu finitystycz-nego ma w Godlu «sprzymierzeńca». W takim przeświadczeniuHilbert opuścił konferencję.Tymczasem tuż przez zakończeniem obrad Godel postanowił

przedstawić jeszcze jeden swój wynik, który okazał się jednymz najbardziej zaskakujących w matematyce. W powszechnym prze-konaniu zapewnił on też Godlowi tytuł jednego z największychmatematyków w historii. Godel, używając środków preferowanychprzez Hilberta, dowiódł, iż niesprzeczność i pełność arytmetykiliczb naturalnych nie mogą zachodzić równocześnie, a dowodu nie-sprzeczności nie da się przeprowadzić w ramach systemu formal-nego, zawierającego w sobie arytmetykę liczb naturalnych. Jak sięuważa, twierdzenia Godla pozbawiły Hilberta nadziei na pełną re-alizację programu.Kilka dni po zakończeniu konferencji w Królewcu Hilbert, nie

uświadamiając sobie jeszcze rangi odkrycia Godla, dał w wywia-dzie radiowym wyraz swojemu matematycznemu optymizmowi,mówiąc: Wir mussen wissen, wir werden wissen11. Tymczasemwynik Godla poddał drugi człon tego zdania w wątpliwość. . .

3. Ignorabimus. O dowodzie Godla12

Celem Hilberta było wykazanie niesprzeczności i pełności kla-sycznej matematyki. Aby to osiągnąć, należało pokazać, że klasazdań prawdziwych w danym systemie formalnym jest identycznaz klasą zdań dowodliwych w tym systemie. Inaczej mówiąc, że każ-de zdanie wywiedzione za pomocą reguł dowodowych z aksjoma-tów jest prawdziwe i odwrotnie – każde zdanie prawdziwe posiadadowód formalny. Ponieważ aksjomaty «uznaje się» za prawdziwe

11Musimy wiedzieć, będziemy wiedzieć.12Niniejszy paragraf jest (z konieczności skrótowym) omówieniem wynikuGodla. Zdaję sobie sprawę, że może pojawić się w nim wiele niedomówieńi niejasności. Dokładniejsze, a równocześnie klarowne (w moim przekonaniu)omówienie twierdzeń Godla można znaleźć w: Dadaczyński [2000] oraz Nagel[1996].

48 | Anna Brożek

a reguły dowodzenia uważa się za poprawne reguły wyprowadza-nia konsekwencji przyjętych aksjomatów, jasne jest, że klasa zdańdowodliwych zawiera się w klasie zdań prawdziwych13. Ażeby jed-nak stwierdzić identyczność owych dwóch zbiorów zdań, musiałobyjeszcze zachodzić zawieranie odwrotne: zbioru zdań prawdziwychw zbiorze zdań dowodliwych. Z kolei aby udowodnić, że owo dru-gie zawieranie nie zachodzi, wystarczyłoby wskazać jedno zdanieprawdziwe, a nie posiadające dowodu. Założeniem i przekonaniemmatematyków było, że każda prawda matematyczna musi miećdowód, a dowodliwość można wręcz utożsamić z matematycznąprawdziwością. Godel podał kontrprzykład podważający to moc-ne założenie i odrzucił, wbrew powszechnym przekonaniom mate-matyków, utożsamienie dowodliwości i prawdy14. W ramach aryt-metyki opartej na aksjomatyce Peano i na niezawodnych regułachinferencji pokazał, że przy użyciu takich środków pewnych prawdw matematyce dowieść nie można.Twierdzenie Godla jest twierdzeniem metamatematycz-

nym, a dokładniej: metaarytmetycznym. Przez metamatematykę(w węższym tego słowa znaczeniu) rozumie się zdania o matematy-ce wyrażone za pomocą środków ściśle matematycznych15. Ażebydowieść metaarytmetycznego twierdzenia w ramach danego syste-mu (dokładniej – arytmetyki z Principia matematica Whiteheadai Russela), Godel posłużył się procedurą tzw. arytmetyzacji. Ko-rzystając z własności systemu sformalizowanego (z aksjomatami,

13Podważenie tego zawierania wymagałaby albo podważenia aksjomatówalbo reguł derywacji – czyli logiki. Można tak uczynić – gdyż mówi się o pa-radoksach logiki takich jak paradoks implikacji materialnej.14Godel musiał bardzo ostrożnie przeprowadzać swój dowód, gdyż, jak polatach napisał w liście do Wanga, prawdziwość wydawała się wówczas podej-rzana, a dowodliwość – nie. (Por. Krajewski [2003], s. 190.)15Por. Dadaczyński [2000], s. 15. Choć początki metamatematyki sięgająwieku XIX, to w zasadzie dopiero dzięki szkole Hilberta idea mówienia o ma-tematyce za pomocą samej matematyki nabrała wyraźniejszych kształtów. Po-stulowane przez Hilberta dowiedzenie niesprzeczności matematyki za pomocąmetod finitystycznych wymagało właśnie matematycznego ujęcia metamate-matycznych zdań.


regułami inferencji i pojęciem dowodu formalnego), Godel zna-lazł sposób na przedstawienie wszystkich zdań metaarytmetykiw tejże arytmetyce. Znalazł procedurę, która pozwoliła dowolnezdanie metaarytmetyczne przedstawić w postaci liczby naturalnej– numeru Godlowskiego tej formuły. Przypomnijmy, że jednymz założeń programu Hilberta było wykazanie niesprzeczności ma-tematyki za pomocą finitystycznych środków dowodowych. Aryt-metyzacja mogła stanowić krok do realizacji tego postulatu.

Każda liczba naturalna daje się rozłożyć na iloczyn liczb pierw-szych. Korzystając z tej własności Godel pokazał, że każdą formułęmetamatematyczną można przestawić jako iloczyn potęg kolejnychliczb pierwszych. Jak tego dokonał? Najpierw przypisał liczby na-turalne wszystkim symbolom używanym w metaarytmetyce. Sta-łym logicznym (takim, jak symbol implikacji, nawiasy, itp.) przy-pisał Godel liczby 1 − 10. Zmiennym liczbowym – kolejne liczbynieparzyste, począwszy od 11. Zmiennym zdaniowym – kwadratyowych kolejnych liczb nieparzystych, a predykatom – ich sześcia-ny. Na przykład kolejnym symbolom zdania 0 = 0 przypisane byłyliczby: 6, 5, 6. Numer Godlowski (g) tego zdania to iloczyn pierw-szych trzech liczb pierwszych (bo zdanie zapisane jest za pomocątrzech znaków) podniesionych do potęg o wykładnikach 6, 5, 6,czyli 26 ∗ 35 ∗ 56, co daje wynik 243 000 000. Ta ostatnia liczba tonumer Godlowski wyjściowej formuły.

Dzięki arytmetyzacji, każdemu zdaniu metaarytmetyki moż-na było przypisać w sposób jednoznaczny jego numer Godlowski,a liczbę będącą takim numerem jednoznacznie „przetłumaczyć”na formułę metaarytmetyczną. Dzięki temu, że Godlowi udało sięwszystkim zdaniom metamatematyki przypisać jakiś element zbio-ru liczb naturalnych, metamatematykę można było wyrazić w po-staci relacji w zbiorze liczb naturalnych. Dzięki tak zarytmetyzo-wanemu systemowi Godel przeprowadził konstrukcję tzw. zdaniaGodlowskiego. Przyjrzyjmy się, na czym ona polegała.

Na początek zauważmy, że dowód w sensie formalnym to poprostu ciąg formuł i jako taki również ma swój numer Godlowski.

50 | Anna Brożek

Na dodatek musi istnieć ściśle matematyczna zależność międzynumerem dowodu a numerem zdania dowodzonego. Przecież zda-nie dowodzone jest ostatnim elementem ciągu dowodowego. Godeloznacza relację między zdaniem a dowodem symbolem Dem(x, y),co czytamy: „x jest numerem Godlowskim ciągu formuł stano-wiącego dowód formuły o numerze Godlowskim y”. Zatem zdanie„∀x ¬Dem(x, y)” oznacza, że dla każdego numeru x, x nie jestnumerem Godlowskim dowodu formuły o numerze y. To zdanie,«przetłumaczone na metamatematykę», mówi, że nie istnieje ciągformuł, stanowiący dowód formuły o numerze y. Godel pokazał,że w pewnym szczególnym przypadku zdania tego typu nie możnadowieść, czyli że ∃y∀x ¬Dem(x, y). Skonstruował taką formułę y,dla której nie można dowieść, czy ma ona dowód, czy nie.Każdej formule, także zawierającej zmienne, da się przypisać

liczbę naturalną. Zauważmy, że w szczególnym wypadku możnaw danej formule A w miejsce zmiennej liczbowej wstawić numerGodlowski tejże formuły A. Niech numer Godlowski formuły za-wierającej zmienną liczbową wynosi y. Przez formułę sub(y, 13, y)Godel rozumiał numer Godlowski zdania powstałego przez pod-stawienie w formule o numerze Godlowskim y cyfr oznaczającychliczbę y zamiast zmiennej o numerze Godlowskim 1316. Nowa for-muła, powstała przez podstawienie za y w wyrażeniu sub(y, 13, y)jakiejś określonej liczby, także posiada swój numer Godlowski.Powróćmy do formuł stwierdzających niedowodliwość.

Formuła:∀x ¬Dem(x, sub(y, 13, y))

16Zastosowany przez Godla zabieg można opisać następująco. Załóżmy, żedana jest formuła ∃x(x = sy), mówiąca, że istnieje następnik liczby y. Owaformuła, jak każda formuła metaarytmetyczna, posiada numer Godlowski. Na-zwijmy go m. Ponieważ y jest w naszej formule zmienną liczbową (o numerzeGodlowskim 13), można zamiast niej wstawić do owej formuły dowolną liczbę,w szczególności liczbę m. Owa nowa formuła także posiada numer Godlowski,który można opisać: „numer Godlowski formuły, którą otrzymuje się z formułyposiadającej numer Godlowski m przez wstawienie zamiast zmiennej o nume-rze Godlowskim 13 cyfr oznaczających liczbę m”.


wyrażona w arytmetyce, mówi, że dla każdego numeru x, x nie jestdowodem formuły o numerze sub(y, 13, y). I to zdanie ma swój nu-mer Godlowski, który da się wyliczyć. Przyjmijmy, że ten numerwynosi n. Możemy teraz w formule sub(y, 13, y) wstawić za zmien-ną y liczbę n. Otrzymamy zdanie:

∀x ¬Dem(x, sub(n, 13, n))będące właśnie zdaniem zwanym od nazwiska swego twórcy— „zdaniem Godlowskim” (G). I ta formuła ma swój numerGodlowski. Chwila namysłu wystarcza by stwierdzić, że wynosion sub(n, 13, n). Charakterystyczną cechą G jest to, że odnosi sięono do samego siebie. «Mówi» mianowicie o sobie, że nie jest do-wodliwe.Godel dowodzi następnie, że G nie da się dowieść, czyli, że

jest tak, jak G mówi. Przypomnijmy, że z założenia koniecznącechą systemu aksjomatycznego jest jego niesprzeczność. ZdanieGodlowskie mówi o sobie, że nie jest dowodliwe. Załóżmy, że G dasię udowodnić. Wówczas jest tak, jak G mówi: że G nie daje sięudowodnić. Zatem, jeśli dałoby się dowieść G, to dałoby się rów-nież dowieść zaprzeczenia tego zdania. Łatwo pokazać, że jest tak-że odwrotnie: jeśli ¬G jest dowodliwe, to dowodliwe jest także G.Możliwość dowodu zdania Godlowskiego oznaczałaby więc poja-wienie się w systemie sprzeczności. Prowadzi to do wniosku, żeo ile arytmetyka ma być niesprzeczna, to musi być niezupełna17.Jak dotąd Godel pokazał, że istnieją w arytmetyce zdania nie

posiadające dowodu, o których nie możemy matematycznie orzecani prawdziwości ani fałszywości. Sam fakt istnienia zdań niedo-wodliwych (niezależnych) nie byłby jeszcze może groźny, gdyby nie

17Niedowodliwe zdanie wskazane przez Godla jest zdaniem metamatema-tycznym, choć – dzięki zabiegowi arytmentyzacji – także zdaniem matema-tycznym. Warto tu jednak zaznaczyć, że udało się znaleźć inne zdania niedo-wodliwe w systemie arytmetyki, ale już o treści «czysto–matematycznej» (czyteż interesującej z matematycznego punktu widzenia). Takie zdania odnaleźliJ. Parris, L. Kirby oraz L. Harrington w latach siedemdzisiątych i osiemdzie-siątyh dwudziestego wieku. (Zob. Murawski [2000], ss. 110–118).

52 | Anna Brożek

to, że zdanie G, z metamatematycznego punktu widzenia, jest zda-niem prawdziwym. Krajewski tak rekonstruuje metamatematycz-ne rozumowanie stwierdzające jego prawdziwość:W trakcie dowo-du twierdzenia Godla pokazaliśmy, że G nie jest dowodliwe w S(systemie aksjomatycznym), jeśli S jest niesprzeczny. G stwierdzajednak, że jest niedowodliwe w S. A zatem jest tak, jak G mówi,czyli G jest prawdziwe. Choć sam końcowy wniosek tego rozumo-wania wyprowadzony jest „z zewnątrz systemu”, to wszystkie faktypotrzebne do wyciągnięcia wniosku o prawdziwości G i poprawnościdowodu dają się wypowiedzieć i dowieść w ramach systemu. Dlate-go wątpliwości co do prawdziwości zdania Godla rzadko pojawiałysię wśród matematyków18.Wniosek, jaki można wyciągnąć z pierwszego twierdzenia

Godla brzmi: jeśli arytmetyka jest niesprzeczna, jest niezupełna.Nie ma dowodu dla wszystkich jej prawd, a zatem dowodliwośćnie jest tożsama z prawdziwością. Cecha dowodliwości jest zre-latywizowana do konkretnego systemu, podczas gdy prawda ma-tematyczna wydaje się niezależna od jakiegoś stworzonego przezczłowieka układu aksjomatów i reguł. Na dodatek, trudności wska-zanej przez Godla – czyli niedowodliwości pewnych prawdziwychtwierdzeń – nie da się całkowicie usunąć wprowadzając nowe,silniejsze aksjomaty. Twierdzenie Godla wykazuje niezupełnośćwszystkich takich teorii, które dane są efektywnie (czyli takich,które posiadają przeliczalny zbiór aksjomatów i reguł) oraz wy-starczająco bogatych, by dało się za ich pomocą wyrazić arytme-tykę liczb naturalnych. W każdym takim systemie, mimo kolejnychwzmocnień, pojawią się bowiem nowe niedowodliwe zdania.Z twierdzenia pierwszego, dzięki jego formalnej analizie, wyni-

ka drugi wynik Godla. Można mianowicie z jego pomocą pokazać,że w ramach systemu aksjomatycznego arytmetyki nie da się do-wieść niesprzeczności tejże arytmetyki. Tę konsekwencję referatuGodla zauważył już von Neumann, w owym czasie bliski współ-pracownik Hilberta, a nawet dowiódł jej niezależnie od Godla. Za-

18Por. Krajewski [2003], s. 122.


uważmy tu jednak, że drugie twierdzenie Godla nie mówi, że dowódniesprzeczności arytmetyki w ogóle nie jest możliwy. Nie da się gotylko przeprowadzić wewnątrz niej, za pomocą środków uznanychprzez Hilberta za „matematykę nie budzącą wątpliwości”19.Najczęściej chyba cytowana wypowiedź Hilberta brzmi: w ma-

tematyce nie ma żadnych ignorabimus. Godel pokazał, że praw-dopodobnie «jakieś ignorabimus» będą w matematyce istnieć za-wsze. . .

4. Werden wir wissen? czyli o strategiachrozwiązywania problemów matematycznych

Zatrzymajmy się tu na chwilę, by przedstawić analizę poglą-dów filozoficznych Hilberta i Godla. Zastanowimy się, jaki wpływmiały one na pracę w dziedzinie matematyki i jak determinowa-ła ona stosowaną przez obu matematyków metodologię. Hilbertmówił w swym wystąpieniu z 1900 roku (w którym przedstawiłzestaw 20 doniosłych i nierozwiązanych problemów matematycz-nych): Przekonanie o rozwiązywalności każdego problemu matema-tycznego stanowi doskonałą motywację dla matematyka. Słyszymyciągłe wezwanie: Oto problem. Poszukaj jego rozwiązania20. TakżeGodel był «optymistą» w matematyce – pomimo dowodu twier-dzenia o niezupełności. Obaj uważali, że pytania matematycznesą dobrze postawione, że można na nie odpowiedzieć i że nawetsprzeczności i antynomie pojawiające się w ramach ich dziedzinydadzą się ominąć lub wytłumaczyć. Zarówno Hilbert, jak i Godelwierzyli, że da się utrzymać pogląd uznający matematykę za wie-dzę pewną i bezwzględnie prawdziwą. Różnie jednak uzasadnialifilozoficznie to przekonanie. Na przestrzeni wieków pojawiły się co

19W istocie dowód niesprzeczności arytmetyki został przeprowadzony m. in.w 1936 roku za sprawą ucznia Hilberta, G. Gentzena, z tym, że nie zostałon przeprowadzone w systemie arytmetyki i nie obyło się bez środków nie–finistycznych. Zatem nie realizował programu Hilberta w jego pierwotnym sfor-mułowaniu.20Hilbert [1901].

54 | Anna Brożek

najmniej dwie koncepcje filozofii matematyki, które pozwalały naugruntowanie jej jako wiedzy pewnej. Nazywa się je – od imiontwórców – „platonizmem” i „kantyzmem”. Postaram się pokazać,że optymizm Godla oparty był na jego platońskich przekonaniachfilozoficznych, podczas gdy Hilbert inspirował się filozofią mate-matyki Immanuela Kanta.W realizmie platońskim prawda matematyczna jest ugrunto-

wana «metafizycznie». Platon wierzył, że przedmioty matematycz-ne istnieją w świecie idealnym, niezależnym od świata fizycznego,a dostęp do nich mamy dzięki sile intelektu. Dzięki idealnemu,niezmiennemu istnieniu matematycznych obiektów, w matematy-ce nie ma miejsca na niepewność. Matematyka była dla Grekówwzorem episteme, czyli wiedzy pewnej, którą przeciwstawiali oniprawdopodobnej doxa. Inaczej pewność matematyki ugruntowu-je Immanuel Kant. W jego Krytyce czystego rozumu pojawia siękoncepcja matematyki jako wiedzy syntetycznej a priori. Twier-dzenia matematyki są pewne, gdyż są niezależne od zawodnegodoświadczenia, a ich konieczność wynika z konstrukcji ludzkichwładz poznawczych. Matematyka jest ugruntowana w tzw. for-mach naoczności czasu i przestrzeni, dzięki którym poznajemyświat w trzech wymiarach przestrzennych i jednym czasowym. Jestdzięki temu wiedzą bezpośrednią, intuicyjną. W Krytyce czyste-go rozumu pojawia się kantowskie, bardzo specyficzne rozumienieintuicji. Według Kanta, intuicyjna matematyczna wiedza a prio-ri opiera się na mentalnych przedstawieniach indywiduów czaso-przestrzennych. Przedmiotem intuicji jest to, co może stać narazi bezpośrednio przez naszymi oczami i co można sobie bezpośred-nio wyobrazić. Mówiąc inaczej, wszystko co człowiek może sobieprzedstawić jako indywiduum, jest intuicyjne21.

21Por. Hintikka [1991]. Pisze on, że u Kanta: Intuitivity is simply individu-ality. Hintikka dodaje, że nie ma nic «intuicyjnego» w takim rozumieniu in-tuicyjności. Jest to po prostu silne założenie filozoficzne. Należy tu zaznaczyć,że istnieją inne interpretacje kantowskiej teorii intuicji. Na przykład I. Dąbska(w: Dąbska [1978]) twierdzi, że rozumienie intuicji matematycznej Kanta jako


Najbardziej podstawowe prawdy arytmetyczne można ugrun-tować dzięki bezpośredniemu spostrzeganiu przedmiotów jednost-kowych. Pozostała wiedza matematyczna jest, według Kanta,skonstruowana na podstawie tych pierwotnych intuicji. Filozofz Królewca definiuje matematykę jako czystą wiedzę a priori, któ-ra opiera swe poznanie jedynie na konstrukcji pojęć na podstawieintuicyjnego wyobrażenia przedmiotu22. Według Kanta, złożoneprzedmioty matematyczne nie są, jak u Platona, bytami samo-istnymi, a pochodzą z apriorycznej konstrukcji podmiotu. Choćjednak Kant uznawał wiedzę a priori za konstruowaną niezależ-nie od zmysłowego doświadczenia, to uważał, że zdobycie takiejwiedzy może się dokonać dopiero wtedy, gdy nasz umysł zosta-nie wyposażony w «jakieś» poznanie. Warto tu znów zacytowaćfilozofa z Królewca:

Matematyczne poznanie [jest] zaś poznaniem na pod-stawie konstrukcji pojęć. Skonstruować zaś pojęcieto znaczy przedstawić odpowiadającą mu naocznośća priori. Dla konstrukcji pojęcia wymagana jest więcnaoczność nieempiryczna, która przeto – jako naocz-ność – jest przedmiotem jednostkowym [. . . ]. Konstru-uję więc trójkąt przedstawiając przedmiot odpowiadają-cy temu pojęciu albo za pomocą samej tylko wyobraźniw naoczności czystej, albo wedle niej także na papierzew naoczności empirycznej, ale w obu wypadkach całko-wicie a priori, nie zapożyczając na to wzoru z żadnegodoświadczenia23.

sposobu percepcji znaków liczbowych (przyjęte przez Hilberta i Hintikkę) jestmylne. Por. też Dadaczyński [2000], ss. 181–183.22Kant, Metaphysische Anfangsgrunde der Naturwissenschaft, cyt. za: Da-daczyński [2002], s. 181.23Kant [2001], s. 540, 713.

56 | Anna Brożek

Porównajmy te poglądy Kanta z wypowiedzią Hilberta:

Coś musi być już dane w przedstawieniu jako warunekwstępny dla zastosowania wnioskowań i wykonywaniaoperacji logicznych: są to mianowicie pewne pozalogicz-ne konkretne przedmioty, które tam występują poglądo-wo, jako bezpośrednie przeżycia. Jeżeli myślenie logicz-ne ma być pewne, to przedmioty te muszą całkowiciedać się ogarnąć jednym spojrzeniem we wszystkich ichczęściach [. . . ]. Takie jest podstawowe stanowisko fi-lozoficzne, które uważam za potrzebne dla matematykii w ogóle dla całego naukowego myślenia, rozumieniai porozumiewania się24.

Dochodzimy tu do źródła finitystycznej strategii Hilberta. Po-siadamy intuicję skończonych indywiduów, a wiedza o nich narzucasię nam z niepowątpiewalną oczywistością. Pewność matematykimożna ugruntować właśnie na postrzeganiu bezpośrednio dyskret-nych obiektów, a w szczególności potrafimy rozpoznawać symboletakie, jak ciągi: I, II, III, IIII. Bezpośrednie ich poznanie daje namwiedzę o liczbach naturalnych – dlatego prawdy ich dotyczące wy-dają się niepodważalne. Według Hilberta, podobnie jak w filozofiiKanta, pozostałą część matematyki można skonstruować dzięki tejniewzruszonej podstawie i operacjom logicznym.Przypomnijmy jeszcze jedną istotną tezę Kantowskiej filozofii

matematyki — stosunek do nieskończoności. Filozof z Królewca nieuznawał istnienia nieskończoności aktualnej. Określał ją jako ideęczystego rozumu — punkt graniczny naszego poznania. Nieskoń-czoności nie możemy poznawać bezpośrednio, nie może być namdana. Wydaje się, że i ten pogląd przejął Hilbert od Kanta i stądjego, jak się często mówi, instrumentalistyczne traktowanie metodteorii mnogości. Łatwo teraz zrozumieć, dlaczego Hilbertowi był

24Hilbert, Uber das Unendliche, cyt. za: Murawski [2001], s. 125–126.


potrzebny mocny program finityzmu — należało uprawomocnićposługiwanie się czymś, co nie jest nam w żaden sposób dane25.Hilbert dzielił matematykę na realną i idealną. Realna ma-

tematyka to ta, która «nie sprawia kłopotów», w ramach którejnie pojawiają się paradoksy. W szczególności była to matematykabez nieskończoności. Matematyka zawierająca kantorowską teorięmnogości zwana była przez Hilberta – po linii kantowskiej – ma-tematyką „idealną”. Ta «idealność» pojęcia nieskończoności nieprzesądza o porzuceniu teorii mnogości. Hilbert uważa jedynie, żemusimy ustanowić w całej matematyce taką samą pewność wnio-skowań, jaka ma miejsce w elementarnej teorii liczb, gdzie niktnie ma wątpliwości, i gdzie paradoksy i sprzeczności powstają tyl-ko przez nieuwagę26. Można powiedzieć, że program Hilberta miałdoprowadzić do ugruntowania matematyki idealnej za pomocą re-alnych środków.Godel, jako platonik, uznawał całą matematykę (także nieskoń-

czonościową) za realną, a jej przedmioty za istniejące rzeczywiście,choć niezależnie od świata fizycznego i ludzkiego umysłu. Napisał:

Pojęcia i klasy mogą być potraktowane jako obiektyrzeczywiste [. . . ]. Wydaje się, że założenie o istnieniutakich obiektów jest równie uzasadnione jak założenieo istnieniu obiektów fizycznych. Filozofia matematykipowinna i musi być metafizyczna27.

25Hilbert odwoływał się także do wyników fizyki, które zdają się przeczyćistnieniu w świecie nieskończoności. Musimy tu zaznaczyć, że do Kanta (nawetbardziej bezpośrednio) odwołuje się też nurt intuicystyczny w filozofii mate-matyki. Jego protoplasta – Kronecker powiedział kiedyś, że „Liczby naturalnestworzył Pan Bóg, reszta jest dziełem człowieka”. Wnioski intuicjonistów szłyjednak o wiele dalej, niż hilbertowska interpretacja Kanta. Szczególną rolęprzywiązywali do tzw. konstruowalności przedmiotów matematyki. Na przy-kład uważali, że matematykę nieskończonościową należy wyeliminować jakoniekonstruowalną. Hilbert natomiast nie wykluczał ze swoich dowodów metodnie–konstruktywistycznych, a niesprzeczność, nie zaś konstruowalność, uzna-wał najważniejszy warunek matematycznego systemu.26Hilbert [1986], s. 296.27Godel [1990], ss. 119–153.

58 | Anna Brożek

Ale Godel również wprowadził w matematyce podział, choćzasadniczo inny niż ten Hilbertowski: na matematykę obiektywnąi subiektywną. Pierwsza stanowi ogół prawdziwych zdań o istnie-jących obiektywnie bytach matematycznych. Matematyka subiek-tywna zaś to ogół zdań dowodliwych w jakimś konkretnym ma-tematycznym systemie. Są to twierdzenia, którą formułują ludzie,badając świat matematyki obiektywnej. Dokonują tego za pomocąintuicyjnego analizowania jej pojęć.Zaznaczmy od razu, że „intuicję” rozumie Godel zupełnie ina-

czej niż Hilbert. Pisze:

Należy zauważyć, że intuicja matematyczna nie powin-na być uważana za zdolność, która daje bezpośredniąwiedzę o analizowanych obiektach. [. . . ]Wydaje się ra-czej, że podobnie jak w przypadku doświadczenia fizycz-nego, formułujemy nasze idee na gruncie czegoś in-nego niż to, co jest dane bezpośrednio, w sposób na-tychmiastowy. To coś innego tutaj nie jest, a przynaj-mniej nie jest głównie, wrażeniem. Fakt, że coś jeszczeoprócz wrażeń jest dane w sposób natychmiastowy, wy-nika (niezależnie od matematyki) z tego, że nawet ideeodnoszące się do obiektów fizycznych posiadają w so-bie coś, co nie wynika z obserwacji – na przykład ideęobiektu. Oczywiście to, co dane w matematyce, jest ści-śle związane z abstrakcyjnymi elementami zawartymiw naszych ideach empirycznych. Nie wynika stąd jed-nak, że te dane drugiego rodzaju, jak twierdził Kant,są czymś czysto subiektywnym, ponieważ nie mogą byćzwiązane działaniem określonych przedmiotów na na-sze organy. Przeciwnie, one też mogą wyrażać jakiśaspekt obiektywnej rzeczywistości, a ich pojawienie sięmoże wynikać z innej relacji pomiędzy nami a rzeczy-wistością28.

28Godel [2003], s. 121.


Matematyka subiektywna zbliża się do matematyki obiektyw-nej, odkrywając coraz więcej jej prawd, podobnie, jak fizyka zbli-ża się do adekwatnego opisu świata materialnego. Tak jak światfizyczny, matematyczne obiekty (także np. zbiory nieskończone)istnieją obiektywnie i nie są tylko ludzką konstrukcją. Dostęp doprawd o nich mamy poprzez analizę pojęć matematycznych, aleta analiza nigdy nie będzie pełna. Zbiór zdań prawdziwych ma-tematyki obiektywnej tworzy nieprzekraczalną granicę, której niezdołamy osiągnąć, lecz do której staramy się zbliżyć, rozszerzającstopniowo klasę zdań dowodliwych29. Mimo ograniczeń intuicji,poznajemy dzięki niej dużą klasę matematycznych przedmiotów.Jesteśmy w stanie analizować pojęcia matematyczne, nawet te po-stulowane przez teorię mnogości. Takie analizy pojęć doprowa-dzają do coraz lepszego ich rozumienia i eksploracji obiektywnejmatematyki.Wobec takich przekonań Godla widać, że finitystyczne założe-

nia Hilberta nie były mu potrzebne i nie stanowiły nieodzownegowarunku uprawomacniającego matematykę. Dlatego miał on innąstrategię «radzenia sobie» z paradoksami teorii mnogości. Przedewszystkim Godel był przekonany, że paradoksy są czysto logiczne,a nie dotyczą matematyki czystej. Obiekty tej ostatniej istniejąobiektywnie i nie ma między nimi sprzeczności. Zatem, jeśli przy-jęty system aksjomatyczny nie pozwala na udowodnienie wszyst-kich prawd lub doprowadza do powstania antynomii, oznacza to,że pojęcia matematyczne w jego ramach nie zostały dostateczniezanalizowane. Prawdopodobnie należy go więc rozszerzyć o takieaksjomaty, które pozwolą na rozwiązanie problemu. Załóżmy, ro-zumuje Godel, że A jest nierozstrzygalnym zdaniem systemu aksjo-matycznego S. Zdanie A jest albo bezsensowne, albo prawdziwe,albo fałszywe. Nie możemy go uznać za bezsensowne ze względuna klarowność pojęć stosowanych w jego budowie, może więc byćtylko prawdziwe albo fałszywe. Jednakże ani A, ani jego negacja,

29Jak się zdaje – na przykład w ujęciu Peirce’a czy Poppera – pojęcie prawdyodgrywa podobną rolę w naukach empirycznych.

60 | Anna Brożek

nie mogą być dowiedzione w S. Stąd, aby rozstrzygnąć, czy A jestprawdziwe, czy fałszywe, musimy dodać nowy zestaw S1 aksjoma-tów do S, budując rozszerzony system aksjomatów S ∪{S1}, taki,że za ich pomocą możemy dowieść A lub jego negacji, ale nie mo-żemy dowieść ich obu. Choć rozszerzony system (nasze S ∪ {S1})pozwala na rozstrzygnięcie zdania A, to w jego ramach pojawiąsię inne zdania nierozstrzygalne, wymagające jeszcze silniejszychaksjomatów. Tak będzie w nieskończoność, gdyż, według Godla,matematyczne pojęcia są niewyczerpane.

Konstruowanie coraz wyższych szczebli jest koniecznedo dowodzenia twierdzeń dotyczących nawet stosunko-wo prostej struktury, a mianowicie twierdzeń arytme-tycznych. Istnieją zadania arytmetyczne, które mogąbyć udowodnione tylko metodami analitycznymi, a na-wet przez zastosowanie metod, w których odwołujemysię do bardzo dużych nieskończonych liczb kardynal-nych i podobnych rzeczy30.

Każde zdanie tzw. niezależne – czyli takie, które jest niedowo-dliwe i niedowodliwa jest także jego negacja – może zostać dołą-czone do aksjomatów, nie wywołując sprzeczności. Takimi nieza-leżnymi, jak wykazał Godel, zdaniami są między innymi: zdanieGodlowskie, aksjomat wyboru i hipoteza continuum.Bez wątpienia odkrycie niezupełności arytmetyki mogło dla

Godla stanowić uzasadnienie trafności jego założeń ontologicz-nych. Pokazał, że mamy pozaformalne rozumienie twierdzeń ma-tematycznych oraz dana jest kategoria prawdziwości, którą możnastosować do zdań tego typu. Dowodliwość nie jest równoważnaprawdziwości. Zdanie Godlowskie jest prawdziwe w «pozaformal-ny» sposób, a my widzimy jego prawdziwość spoza systemu, w ra-mach którego zostało sformułowane.

30Godel [1995] s. 48.


5. Od programu Hilberta do programu Godla

Godel dowiódł zatem, że formalnie – przy pomocy metod pre-ferowanych przez Hilberta – nie da się dowieść niesprzecznościarytmetyki. Jeśli arytmetyka jest niesprzeczna, jest także niezu-pełna, bo istnieją zdania prawdziwe, ale w jej ramach niedowo-dliwe. W tym ostatnim paragrafie postawimy sobie dwa pytania.Po pierwsze: czy i w jakim stopniu Godel położył kres progra-mowi Hilberta? Po drugie: czy Godel skutecznie i trwale oddzieliłpojęcia prawdy i dowodu?Twierdzenie Godla wywołało ferment wśród badaczy podstaw

matematyki, choć nie stało się to z dnia na dzień. Przypuszczal-nie matematycy nie od razu dostrzegli doniosłość twierdzenia.Na przykład H. Reichenbach, podsumowując słynną konferencjęw Królewcu, nawet nie zwrócił uwagi na drugi referat Godla31.Hilbert podobno początkowo zareagował złością. Musiał zdawaćsobie sprawę, że twierdzenie Godla stawia pod znakiem zapytaniasensowność jego programu i wieloletniej pracy. Nie ma jednak cał-kowitej zgody co do tego, czy wynik Godla definitywnie kładziekres programowi finitystycznemu. Wątpliwości co do konsekwencjitwierdzenia Godla dla finitystycznego programu Hilberta wynikająz faktu, że sam ten program był sformułowany niezbyt ściśle. Dlaprzykładu niedookreślona była idea finityzmu – czy przez „fini-tyzm” rozumiał Hilbert tylko istniejącą już aksjomatyzację mate-matyki, czy też dopuszczał możliwość innej, lepszej finitystycznejaksjomatyzacji. Dlatego, o ile niektórzy są przekonani, że programHilberta zakończył się w 1931 roku definitywną klęską, o tyle inniuważają, że wcale tak nie jest32. Warto zauważyć, że do tej drugiejgrupy należeli (przynajmniej w pewnym okresie) dwaj główni bo-

31Podobno tylko Von Neuman – ówczesny bliski współpracownik Hilberta– od razu uznał dowód niezupełności za doniosły, szczególnie dla programufinitystycznego.32Por. Krajewski [2003], ss. 261 i nn. Udowodniono m.in. tzw. twierdzenieFriedmana i Siega, głoszące, że każde twierdzenie matematyczne, które moż-na udowodnić w systemie stanowiącym podsystem Z2, (arytmetyki drugiego

62 | Anna Brożek

haterowie niniejszego artykułu – Hilbert i Godel. Hilbert (w przed-mowie do książki o podstawach matematyki napisanej wspólniez Bernaysem) stwierdził:

Zazwyczaj utrzymuje się opinię, że z wyniku Godla wy-nika niewykonalność mojej teorii dowodu. Ale jego do-wód pokazuje tylko, że bardziej zaawansowane teorieniesprzeczności wymagają użycia finistycznych dowo-dów, które nie mogą być wyrażone w formalizmie P33.

Z kolei Godel, jeszcze w artykule z roku 1931 zaznacza wyraź-nie, że jego twierdzenie

nie zaprzecza formalistycznym poglądom Hilberta. Topodejście presuponuje jedynie istnienie dowodu nie-sprzeczności, w którym mogą być użyte tylko środki fi-nitystyczne, a jest możliwe, że istnieją takie dowody,które jednak nie mogą być wyrażone w P34.

Najrozsądniej jest chyba przyjąć, że twierdzenie Godla narzucapoważne ograniczenia na program Hilberta. Jeśli może on nadalbyć realizowany, to tylko w pewnym ograniczonym zakresie.Hilbert napisał: Gdzie tylko są jakieś widoki powodzenia, tam

chcemy dokładnie badać owocne definicje i metody dedukcji. Chce-my je pielęgnować, wzmocnić i uczynić użytecznymi35. Skoro, cowiemy dzięki twierdzeniu Godla, nie da się programu przepro-wadzić dla całości matematyki, trzeba przynajmniej uczynić totam, gdzie to możliwe. Choć dzięki twierdzeniom Godla wiemy, żeprawdziwości całej matematyki nie da się wykazać za pomocą fini-tystycznych operacji (rozumiejąc tu „finitystyczne” wąsko — jako

rzędu), nazwany WKL, jest finitystycznie dedukowalne w sensie programu Hil-berta. Por. Simpson [2002], s. 200.33Hilbert, Bernays [1934], s. 8.34Godel [1931], s. 37.35Hilbert [1986], s. 296


„wyrażalne w arytmetyce Peano”), nie oznacza to, że nie da się te-go zrobić dla jakiejś części matematyki. Kontynuatorzy programuHilberta zdają się uważać, że całkiem duża część matematyki mo-że być jednak finitystycznie uprawomocniona36. Najciekawszymchyba przykładem kontynuacji badań nad podstawami matema-tyki w duchu hilbertowskim jest tzw. arytmetyka odwrotna (ang.reverse mathematics). Przedstawmy w paru słowach jej ideę37. Za-łóżmy, że dane jest zwykłe twierdzenie matematyki. Wobec każde-go takiego twierdzenia możemy zapytać: jakie aksjomaty istnieniazbiorów są potrzebne, aby dowieść tego zdania? «Odwrotność» te-go typu dociekań matematycznych polega na tym, że przechodzisię, nie jak w klasycznie pojętym dowodzie — od aksjomatów doich konsekwencji, a odwrotnie — od gotowych twierdzeń do ichminimalnych założeń ontologicznych.Warto tu przypomnieć charakterystyczne podejście Godla do

badań nad systemami aksjomatycznymi. W zgodzie ze swym re-alizmem, Godel wierzył, że każde zdanie matematyczne jest praw-dziwe lub fałszywe. Równocześnie pokazał, że w gotowych jużsystemach istnieją zdania niezależne (niedowodliwe). Godel pro-ponował zatem poszukiwanie nowych aksjomatów, które dodanedo aksjomatyki teorii mnogości pozwoliłyby na dowiedzenie zdańniezależnych – takich, jak hipoteza continuum. Ten Godlowski po-stulat zostały nazwany „programem Godla”38. Łatwo zauważyć,że kierunek dociekań jest tu właśnie «odwrotny», a pomysł wpro-wadzenia reverse mathematics jest prawdopodobnie inspirowanyideami Godla.Zwróćmy jeszcze uwagę, że analiza strategii postępowania

w programie Godla prowadzi do przekonania, iż autor twierdzeńo niezupełności nie neguje doniosłości idei formalnego dowodu ma-tematycznego. Choć twierdzi, że w naszym rozumieniu matema-tyki jest «coś więcej» niż da się udowodnić za pomocą finistycz-

36Por. Krajewski [2003], s. 199.37Por. Wójtowicz [2002], ss. 99 i nn.38Por. Wójtowicz [2001], ss. 100–117.

64 | Anna Brożek

nego systemu formalnego, to sam proponuje poszukiwanie takichaksjomatów, które pozwoliłyby na formalne dowiedzenie uznawa-nych (intuicyjnie) twierdzeń. Godel uważa, że dowód jest ważnyw matematyce, ale stanowi tylko końcowy etap pracy matematy-ka. Aby przeprowadzić dowód, należy najpierw zbudować systemaksjomatów i reguł dowodowych, a do tego potrzeba rozumieniapojęć matematycznych. Rolę dowodu formalnego widział Godel ra-czej — użyjmy określenia z filozofii nauki — tylko w „kontekścieuzasadnienia”.Twierdzenie Godla bywa nadużywane — często słyszy się, że

Godel dowiódł, iż niczego nie możemy dowieść. Tymczasem dowódjest nadal podstawową metodą uzasadnienia prawd matematycz-nych i tak już pewnie zostanie. Jak napisał Tarski:

w rozwoju matematyki nie ma sprzeczności pomiędzypojęciem prawdy i pojęciem dowodu; pojęcia te nie sąna stopie wojennej, lecz pozostają w stanie pokojowegowspółistnienia39.

Pozostaje więc pytanie: jeśli dowód w sensie formalnym służyćmiałby przede wszystkim – jak to zdaje się postulować Godel –w kontekście uzasadnienia, to czy istnieje jakaś inna metoda od-krywania prawd matematycznych, czy też jakieś inne, pozaformal-ne kryteria pozwalające matematykom na przyjęcie dowodzonychtwierdzeń? Czy istnieją inne kryteria matematycznej prawdy? Podkoniec tych rozważań chcę pokazać «kandydata» na takie kryte-rium, które zaakceptowaliby, przypuszczam, zarówno Hilbert, jaki Godel. Kryterium to można nazwać „pragmatycznym”, a polegaono na wykazaniu skuteczności i użyteczności dowodzonych twier-dzeń matematycznych.Zacznijmy od Hilberta. Przedstawiciel intuicjonizmu, L. Bro-

uwer, nazwał twórcę programu finitystycznego „formalistą”. Odtego czasu utarło się określać Hilberta jako głównego przedstawi-

39Tarski [1995], s. 332.


ciela tego kierunku, ale istnieją wątpliwości co do słuszności takie-go przyporządkowania. Oczywiście rozstrzygnięcie tej kontrower-sji zależy od naszego rozumienia formalizmu. Według niektórych,mocnych wersji formalizmu, przedmiotem matematyki są, w do-słownym tego słowa znaczeniu, ciągi napisanych symboli i doko-nywane na nich manipulacje. Konsekwentny formalista nie zwracauwagi na „prawdziwość” aksjomatów i nie starta się jej uzasad-nić. Jego wymaganiem jest niesprzeczność aksjomatów, a wszyst-kie niesprzeczne systemy uważa za równoważne. W zasadzie niemówi o prawdzie, a o manipulacji symbolami, przypominającej gręo określonych, konwencjonalnych regułach. Każda «gra na symbo-lach» jest równie dobra. Tak skrajnie rozumiany formalizm nierozwiązuje szeregu problemów epistemicznych. Przede wszystkimnie tłumaczy skuteczności matematyki i czyni ją intelektualną za-bawą i raczej nieużyteczną czynnością40.Hilbert mocno wierzył w skuteczność matematyki i w sensow-

ność jej uprawiania. Jeśli uznawałby, że matematykę można spro-wadzić do gry na symbolach, niezrozumiała stawałaby się chęćugruntowania jej aksjomatów, która towarzyszyła formułowaniuprogramu finitystycznego. Dlatego, o ile chce się stosować do filo-zofii Hilberta określenie „formalizm” — to tylko w drugim, słab-szym znaczeniu. Owa druga, słabsza wersja formalizmu znana jestteż pod nazwą „deduktywizmu”. Deduktywista uważa, że moż-na tak wyznaczyć znaczenie ciągu symboli, że «reguły gry», czy-li operowania nimi, staną się prawdziwe — w tym sensie, że zaich pomocą można dobrze opisywać rzeczywistość. Metodę stoso-waną przez Hilberta można zatem raczej nazwać „teoretyczno–

40Hilbert mówił często, że jego symbole są pozbawione znaczenia – i stądmoże wspomniane nieporozumienia. Pisał np.: w szczególności w matematyceprzedmiotem naszych rozważań są konkretne znaki, których kształt jest bezpo-średnio jasny i niepodważalny. Z drugiej strony wydaje się, że Hilbert przyzna-wał zdaniom matematycznym pewną treść. Solidaryzując się z Kantem, pisał:Już Kant uczył, że matematyka posiada treść pewną i niezależną od jakiejkol-wiek logiki i dlatego nigdy nie może zostać ugruntowana w oparciu o samą tylkologikę. (Por. Murawski [2002], s. 125 i nn.)

66 | Anna Brożek

modelową”. Matematyk dostarcza różnych, niesprzecznych syste-mów aksjomatycznych, a sprawdzenie, które z nich mogą praw-dziwie (czy raczej — skutecznie) opisywać świat, należy już dofizyków.Rozpatrzmy przykład z historii geometrii. Gdy w XIX wieku

powstały geometrie nieeuklidesowe (przez zastąpienie piątego, nie-zależnego postulatu Euklidesa przez postulaty alternatywne), niktnie przypuszczał, że nowe geometrie mają coś wspólnego z real-nie istniejącym światem. Tymczasem już w początkach XX wie-ku okazało się, że geometria opisująca Wszechświat jest odmianągeometrii nieeuklidesowej. Można z tego wyciągnąć wniosek, żebudowanie alternatywnych, niesprzecznych systemów nie jest po-zbawione sensu. Każda niesprzeczna teoria matematyczna możeokazać się dobrym narzędziem do opisu świata. Na dodatek, ist-nienie w fizycznym świecie modelu dla teorii matematycznej uznaćmożna za pośredni dowód jej niesprzeczności41.Przytoczmy teraz poglądy Godla:

obok intuicji istnieje inne (choć tylko prawdopodobne)kryterium prawdziwości aksjomatów matematycznych– ich owocność w matematyce i, można powiedzieć, tak-że w fizyce42. Decyzja dotycząca prawdziwości [aksjo-matów] jest także możliwa w inny sposób, a mianowicieprzez indukcyjną analizę ich „sukcesu”. Sukces oznaczatutaj owocność w sensie konsekwencji, w szczególnościweryfikowalnych konsekwencji badanych aksjomatów.[. . . ] Mogą istnieć aksjomaty tak owocne w sprawdzal-ne konsekwencje, rzucające tak dużo światła na dyscy-plinę i dostarczające tak dobrych metod rozwiązywaniaproblemów, że niezależnie od zagadnienia, czy są onewewnętrznie konieczne, powinny zostać zaakceptowane

41Rozważając problem, czy istnieje nieskończoność aktualna mówi na przy-kład Hilbert: tutaj musimy zbadać rozciągłość wszechświata, aby zbadać, czyistnieją w nim nieskończenie duże. (Hilbert [1996], s. 291)42Godel [2002], s. 121.


przynajmniej w takim stopniu, jak dobrze ugruntowanateoria fizyczna43.

Jak widać, Godel również dopuszczał pragmatyczne kryteriumuznawania twierdzeń matematycznych. I choć intuicja matema-tyczna jest dla niego bez wątpienia podstawowym narzędziem po-znawczym, to skuteczność zbudowanego systemu stanowi dobre,choć zawodne kryterium jego uzasadniania. Nie trzeba dodawać,że kryterium pragmatyczne jest do przyjęcia niezależnie od przeko-nań filozoficznych. Najlepszym na to dowodem jest fakt, że dwajmatematycy o tak różnych poglądach filozoficznych, jak Hilberti Godel, uznali je za doniosłe.

43Godel [2002], s. 113.

68 | Anna Brożek

Literatura cytowana

Czeżowski, Tadeusz [1965] Filozofia na rozdrożu, PWN, War-szawa 1965

Dadaczyński, Jerzy [2002] Filozofia matematyki w ujęciu histo-rycznym, Biblos, Tarnów

Dąmbska, Izydora [1978]Idee Kantowskie w filozofii matematy-ki XX wieku, w: Archiwum historii i myśli społecznej (24),ss. 167–213

Godel, Kurt [1931] „Uber formal unentscheidbare Satze derPrincipia Matematica und verwandter Systeme I”, w: Da-vis, Martin (wyd.) The undecidable, Ravin Press, New York1965, ss. 5–37 (tłumaczenie angielskie)

Godel, Kurt [1944] „Russell’s mathematical logic”, w: Collectedworks, vol. II. Oxford 1990, ss. 119–153

Godel, Kurt [1995] „The present situation in fundations of ma-thematics”, w: Collected works, vol. III, Oxford 1995, s. 47

Godel, Kurt [2003] „What is Cantor’s Continuum Problem?”,tł. polskie w: Murawski [2003], ss. 103 – 123.

Hilbert, David [1996] „Uber das Unendliche”, przekład polskiw: Murawski Stefan, Filozofia matematyki. Antologia tekstówhistorycznych, PWN, Warszawa, ss. 288–307

Hilbert, David [1901] Mathematical Problems, przekład angiel-ski wykładu z 1900 roku (wydanego w roku 1901) na stronie:<http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/hilbert/problems.html>

Hilbert, David; Bernays, Paul [1934] Grundlagen der Mate-matik, Springer Verlag, Berlin


Hintikka, Jaakko [1998] „Hilbert vindicated?”, w: Language,truth and logic in mathematics, Collected Works, KluwerAcademic Publishers, ss. 84–105.

Hintikka, Jaakko [1991] „Kant’s New Method of Though andhis Theory of Mathematics”, w: The Knowledge and theKnown, Kluwer Academic Publishers, ss. 126–134

Kant, Immanuel [2001] Krytyka czystego rozumu, przeł. R. In-garden, Antyk, Kęty

Krajewski, Stanisław [2003] Twierdzenie Godla i jego implika-cje filozoficzne, Wydawnictwo Instytutu Filozofii i SocjologiiPAN, Warszawa

Maddy, Penelope [1990] Realism in mathematics, Oxford

Maddy, Penelope [1997] Naturalism in mathematics, Oxford

Minois, Georges [1995] Kościół i nauka, Warszawa

Marciszewski, Witold (red.) [1987] Logika formalna. Zarysencyklopedyczny, PWN, Warszawa

Murawski, Roman [1994] „Hilbert’s Programm: IncompletnessTheorem vs Partial Realizations”, w: Woleński [1994],ss. 103–127

Murawski, Roman [2000] Funkcje rekurencyjne i elementy me-tamatematyki, Wydawnictwo UAM, Poznań

Murawski, Roman [2001] Filozofia matematyki, zarys dziejów,PWN, Warszawa

Murawski, Stefan (red.) [2002]Współczesna filozofia matema-tyki. Wybór tekstów, PWN, Warszawa

Nagel, Ernst; Newman, James R. [1996] Godel’s Proof, NewYork University Press,

70 | Anna Brożek

Podsiad, Antoni [2001] Słownik terminów i pojęć filozoficznych,PAX, Warszawa

Simpson, Stephen [2002] „Partial Realizations of a Hilbert’sProgramm”, przekład polski: „Częściowe realizacje progra-mu Hilberta”, w: Murawski [2002], ss. 189–213

Tarski, Alfred [1995] „Prawda i dowód”, w: Pisma logiczno–filozoficzne, t. I, PWN, Warszawa, ss. 292–332

Woleński, Jan (red.) [1994] Philosophical Logic in Poland,Kluwer Academic Publishers

Wójtowicz, Krzysztof [2002] Platonizm matematyczny. Stu-dium filozofii matematyki Kurta Godla, Biblos, Tarnów

Wójtowicz, Krzysztof [2001] „O tzw. programie Godla”, Za-gadnienia Filozoficzne w Nauce, XXVII/XXIX, ss. 100–117

Wójtowicz, Krzysztof [2002] „Reverse Mathematics and theIndispensability Argument”, w: M. Tałasiewicz (red.) Logic,Methodology nad Philosophy of Science at Warsaw Univer-sity, Semper, Warszawa 2002

hilbert a g¨odel: prawda i dowód w...

Documents