1  

UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA FACULTAD DE INGENIERÍA 

ESCUELA DE INGENIERÍA CIVIL MECÁNICA DE FLUIDOS 

SEGUNDO SEMESTRE DE 2009 

ESTÁTICA DE FLUIDOS Catedrático:  

Ing. Juan Carlos Hernández Canales    Es el estudio del comportamiento de  los  fluidos y de  la distribución de esfuerzos sobre  las masas de fluidos  (líquidos). De  las  propiedades  de  los  fluidos,  se  sabe  que  estos  no  resisten  los  esfuerzos  cortantes (tangenciales), en los fluidos en reposo sólo se presentan esfuerzos de compresión (presión) y se transmiten a los límites sólidos a través de secciones perpendiculares. 

 Figura 1. Esfuerzos de compresión en fluidos en reposo. 

 ESCALAS DE MEDICIÓN DE LA PRESIÓN    Las medidas de presión se pueden dar en términos absolutos y términos manométricos o relativos y estas difieren exclusivamente de la referencia que se tome en consideración. Las medidas de presión en escala absoluta  están  referidas  al  cero  absoluto  (vacío  total)  o mínima  presión  posible;  en  esta  escala  no  puede presentarse valores negativos, puesto que implicaría valores por debajo del vacío total, físicamente imposible.    La escala de medición manométrica o  relativa  registra  los valores  referidos a  la presión atmosférica local  (presión debida  a  la  atmósfera, es decir en el  sitio de  interés.  La presión  atmosférica o normal es  la registrada al nivel del mar y a una latitud de 40o, tiene un valor de 101.3 kPa, 760 mmHg, 1 atm. 

 Figura 2. Escalas de medición de la presión 

2  

PRESIÓN EN UN PUNTO    Considerando un elemento diferencial de fluido en reposo, las fuerzas actuantes serán: 

 Figura 3. Fuerzas de presión en un elemento diferencial de fluido. 

 Al estar el elemento en reposo no existe aceleración y por lo tanto la aplicación de la segunda Ley de Newton  indica que la sumatoria de fuerzas será igual a cero. 

 

  

Al considerar la geometría del triángulo se tiene que: 

  

Combinando el conjunto de ecuaciones (1) y (2) se tiene: 

    

Esto significa que la presión en un punto es la misma por todas partes, es decir que la presión no tiene sentido  vectorial,  por  lo  tanto  es  una  cantidad  escalar  y  es  una  propiedad  del  punto  fluido,  que  depende exclusivamente de sus coordenadas.    

3  

PRINCIPIO DE PASCAL    La presión aplicada en un punto de un  líquido contenido en un recipiente se transmite con el mismo valor a cada una de las partes del mismo. Este enunciado, obtenido a partir de observaciones y experimentos por el  físico  y matemático  francés Blas Pascal  (1623‐1662),  se  conoce  como principio de Pascal.  La prensa hidráulica constituye  la aplicación fundamental del principio de Pascal y también un dispositivo que permite entender mejor su significado. Consiste, en esencia, en dos cilindros de diferente sección comunicados entre sí,  y  cuyo  interior  está  completamente  lleno  de  un  líquido  que  puede  ser  agua  o  aceite. Dos  émbolos  de secciones diferentes  se ajustan,  respectivamente, en  cada uno de  los dos  cilindros, de modo que estén en contacto con el  líquido. Cuando sobre el émbolo de menor sección se ejerce una  fuerza F  la presión que se origina en el líquido en contacto con él se transmite íntegramente y de forma instantánea a todo el resto del líquido; por lo tanto, será igual a la presión que ejerce el líquido sobre el émbolo de mayor sección, es decir: 

 Figura 4. Prensa hidráulica. Aplicación del principio de Pascal. 

 Si  la  sección  A2  es  veinte  veces  que  la  sección  A1,  la  fuerza  F1  aplicada  sobre  el  émbolo  pequeño  se  ve multiplicada por veinte en el émbolo grande F2. La prensa hidráulica es una máquina simple semejante a  la palanca de Arquímedes, que permite amplificar  la  intensidad de  las  fuerzas y constituye el  fundamento de elevadores, prensas, frenos y muchos otros dispositivos hidráulicos de maquinaria industrial.  VARIACIÓN DE LA PRESIÓN DE UN FLUIDO EN REPOSO    Considerando  un  elemento  diferencial  de  fluido  de  dimensiones  dx,  dy  y  dz,  y  peso  específico  γ. Suponiendo conocida  la presión P en el centro del fluido,  la presión en  los  límites del elemento de fluido se puede expresar en términos de la presión P y de la variación de la presión en la dirección indicada. El sistema de fuerzas al que está sometido el elemento diferencial se obtendrá multiplicando la presión en los límites de elemento de fluido por el área de interacción, como se indica en la Figura 5. 

 Figura 5. Fuerzas en un elemento diferencial de fluido en reposo. 

4  

Aplicando la segunda ley de Newton ΣF = ma y considerando que un cuerpo en reposo no tiene aceleración se tiene que: Equilibrio de fuerzas en dirección y (horizontal) 

 

 

Un análisis similar en dirección x produce   El resultado anterior significa que no hay variación de la presión en un plano horizontal. Es decir la presión es la misma en dirección horizontal. Equilibrio de fuerzas en dirección z (vertical) 

 

 Anteriormente se demostró que la presión no varía en dirección horizontal, por tal razón la derivada parcial en la vertical se convierte en una derivada total: 

 

  La  expresión  anterior  es  la  ecuación  general  de  la  hidrostática  e  indica  que  la  variación  de  la  presión (gradiente  de  presión)  es  proporcional  a  la  altura  y  es  válida  para  fluidos  incompresibles  (líquidos)  y compresibles (gases). Un desarrollo adicional se realiza en los fluidos incompresibles cuando el peso específico es constante se puede integrar la ecuación general de la hidrostática entre dos puntos de cota conocida, así el cambio de presión estará relacionado con el cambio de altura así: 

 

  Si el  fluido es compresible, es decir cuando el peso específico es variable se debe conocer alguna expresión que relacione el peso específico con la presión, para así integrar la ecuación general de la hidrostática.     

5  

LA PARADOJA DE PASCAL 

 Figura 6. Paradoja de Pascal 

Como se demostró con anterioridad si γ es constante la variación de presión solo depende de la altura o columna de  fluido disponible, así en  la Figura 6  se  tiene  la presión  transmitida por  la misma columna de fluido pero en recipientes de forma diferente es la misma (paradoja de Pascal). 

  PRINCIPIO DE VASOS COMUNIANTES    

Si se tienen dos recipientes y se vierte un líquido en uno de ellos, éste se distribuirá entre ambos de tal modo que, independientemente de sus capacidades, el nivel de líquido en uno y otro recipiente será el mismo. Éste es el llamado principio de los vasos comunicantes, que es una consecuencia de la ecuación fundamental e la hidrostática. 

 Figura 7. Principio de vasos comunicantes. 

 MANÓMETROS    

Los manómetros son dispositivos que utilizan fluidos incompresibles (γ=cte) para determinar la presión que actúa sobre un fluido y se basan en: 

a) Para un mismo fluido la presión no varía en una horizontal. b) La distribución hidrostática de presión. c) La propiedad de un fluido para transmitir presiones punto a punto sin alterarla. 

 Para determinar la presión en A se utilizan los principios descritos en el apartado anterior, así:  

a) Igualdad de presiones en una dirección horizontal Pb = Pc b) Distribución hidrostática de presiones Pb = γ1H + Pa por lo tanto Pc = γ2h + Patm 

 

6  

Los manómetros  registran  la  presión manométrica,  es  decir  solamente  la  relativa  al  fenómeno  de interés. Si los manómetros están en contacto con la atmósfera, la presión atmosférica se hace cero. Al igualar las expresiones anteriores, considerando que Patm = 0 y despejando para Pa se tiene: 

 Pa = γ2h – γ1H 

 Así  la presión se puede medir a partir de alturas de  fluidos conocido su peso específico. Se registran 

diferentes tipos de fluidos para registrar la variación de presión según sea la magnitud de la presión de interés. ‐ Mercurio ‐‐‐‐ presiones altas. ‐ Agua‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ presiones medias – bajas. 

             

Figura 8. Manómetro en U.   

Para  registrar diferencias de presión bajas  se utiliza el manómetro en U  invertido con un  líquido de densidad pequeña. Es importante tener en cuenta algunas consideraciones adicionales: 

 • Los líquidos manométricos están influenciados por cambios en la temperatura (cambios de densidad) y 

por tanto pueden inducir errores. • Se disminuye los efectos de capilaridad al utilizar tubos de igual diámetro (se cancelan los efectos). 

  MANÓMETRO DE TUBO INCLINADO    Consiste básicamente en un manómetro con el tubo inclinado (Figura 9) con ángulo conocido; la escala de medición se  localiza sobre el tubo  inclinado, permitiendo una  lectura mayor (L) que  la altura vertical (H), con la que realmente se obtiene el cambio de presión. L y H están relacionados por trigonometría. 

 

      

7  

MEDIDORES DE PRESIÓN MECÁNICA TIPO BOURDON    El manómetro de Bourdon depende, precisamente, de  la elasticidad de  los materiales utilizado en su construcción. Este  fenómeno, el más  común en plantas de procesos que  requieran medición de presiones, consiste de un tubo metálico achatado y curvo en forma de C, abierto solo en un extremo. (Figura 10) 

 Figura 9. Manómetro inclinado. 

 Al aplicar una presión al  interior del  tubo  (se  infla, por ejemplo)  la  fuerza generada en  la  superficie 

(área) exterior de la C es mayor que la fuerza generada en la superficie interior, de modo que se genera una fuerza  neta  que  deforma  la  C  hasta  una  C más  abierta.  Esta  deformación  es  una medición  de  la  presión aplicada  y  puede  trasladarse  a  una  escala  indicadora  previamente  calibrada  tanto  como  a  un  sistema  de variación de resistencia o campos eléctricos o magnéticos. 

 Figura 10. Manómetro de Bourdon. 

 Los manómetros de Bourdon registran la presión manométrica o relativa y la escala está calibrada para 

registrar  una  presión  nula  cuando  está  en  contacto  con  la  atmósfera.  Sin  embargo  un mecanismo  similar también pueden ser utilizados para registrar la presión atmosférica, al estar conectado el diafragma elástico, si al  interior del diafragma se ha generado un vacío cercano al cero absoluto;  las presiones  impuestas sobre el exterior del diafragma harán que se deforme y sea transmitido a la escala medidora.      

8  

BARÓMETRO DE MERCURIO (TORRICELLI, 1643)    

Se construye  llenando un tubo con mercurio  libre de aire e  invirtiéndolo sobre un recipiente  lleno de mercurio. Despreciando  la  pequeña  presión  de  vapor  que  se  genera  por  el  vacío  del mercurio  la  presión atmosférica será Patm = γH. 

 

 Figura 11. Barómetro de mercurio de Torricelli 

 TRANSDUCTORES DE PRESIÓN    

Son  instrumentos que miden una señal  física  (presión) y  transmite una  señal eléctrica. Esta señal  se puede registrar y almacenar por medo de un computador. 

  FUERZAS SOBRE SUPERFICIES PLANAS SUMERGIDAS    

Como parte del diseño de algunas superficies que se encuentran sumergidas es necesario conocer  la resistencia a  las  fuerzas actuantes  (hidrostática). Se  requiere entonces determinar  la magnitud, dirección y localización de  las  fuerzas sobre el área. La  fuerza debida a  la presión hidrostática en realidad se distribuye sobre toda el área pero se determina una fuerza resultante y su localización. La dirección de la fuerza siempre será perpendicular al área.    

9  

Veamos el caso más simple de una superficie plana vertical en sección transversal rectangular de ancho B completamente en contacto con el líquido de peso específico constante. El sistema de referencia y inicia en la superficie libre del agua y está dirigido hacia el fondo. 

 Figura 12. Fuerza sobre una superficie plana vertical de sección rectangular. 

   La presión ejercida a una profundidad cualquiera se obtendrá con la ecuación general de la hidrostática 

y  el  diferencial  de  fuerza  ejercido  sobre  un  elemento  de  área  diferencial  dyB  que  está  localizado  a  una profundidad y dependerá de dicha presión. La fuerza total o resultante Fr sobre la superficie será la sumatoria de todos los diferenciales. 

  El punto de aplicación de  la fuerza es el centroide del triángulo de presión,  localizado a una distancia 

de h/3 desde  la base o 2/3h desde  la superficie  libre. De forma más general si se tiene una superficie plana inclinada y profunda soportando un fluido con peso específico constante; considerando un eje y coincidiendo con la inclinación de la superficie plana y con origen en la superficie del líquido. 

 Figura 13. Fuerza sobre una superficie plana inclinada sumergida. 

10  

Realizando un análisis similar al de la superficie plana vertical y considerando que h = ysenθ 

 

Donde   siendo  yc  la  localización  del  centroide  de  la  sección  transversal  de  la  superficie  plana, medido en el eje inclinado y  

  Esto significa que la fuerza total se puede obtener como el producto de la presión ejercida en el centroide y el área  transversal en  contacto  con el  fluido.  Siendo ésta  la expresión  general par  calcular  la  fuerza  sobre  la superficie plana. En el caso particular de la superficie plana vertical, hc=h/2 y el área A=Bh.  

 Idéntica a la expresión presentada anteriormente. 

 Para la localización yp de la fuerza total Fr se iguala el momento, respecto al origen (superficie libre), de la fuerza resultante con la resultante del momento de la fuerza distribuida sobre la superfiie. 

 

Donde  , siendo este el segundo momento de área o momento de inercia de la placa respecto al eje x. Para referirlos a un eje centroidal ξξ se utiliza el Teorema de Steiner que afirma los momentos de inercia con respecto a  los ejes paralelos se pueden obtener al sumar  la distancia al cuadrado entre  los ejes multiplicada por el área, así: 

Reemplazando se obtiene     

 La localización de la fuerza resultante se conoce como centro de presiones yp y siempre está localizado 

por debajo del centro de gravedad o centroide.    

11  

FUERZAS SOBRE SUPERFICIES CURVAS SUMERGIDAS  Suponiendo un líquido al interior del tanque Figura 14, para determinar la fuerza total resultante sobre 

la  superficie  curva  se  debe  obtener  las  componentes  horizontal  y  vertical.  Separando  el  líquido  contenido entre la superficie curva y en los planos horizontales y verticales se tiene el diagrama de cuerpo libre ABC de la Figura 14, las fuerzas actuantes serían:  

 • F1 fuerza de presión debido al fluido sobre la superficie AB. • F2 fuerza hidrostática debido al fluido sobre la superficie AC. • FH reacción horizontal de la superficie curva sobre el fluido. • FV reacción vertical de la superficie curva sobre el fluido. • W peso del fluido considerado. 

 Por  acción  reacción  la  fuerza que el  fluido  ejerce  sobre  la  superficie  curva  sería  la misma pero  en 

magnitud contraria que  la  fuerza ejercida por  la superficie curva sobre el  fluido. La  fuerza  total del  fluido sobre  la  superficie  curva,  será  la  resultante  de  las  componentes  horizontales  y  verticales  obtenidas  en  el diagrama de cuerpo libre. 

 Figura 14. Fuerza sobre una superficie curva sumergida. 

 1. Puesto que el fluido está en reposo se tiene que ΣF = ma 2. Equilibrio de fuerzas en dirección x (horizontal) ΣFx = max = 0   F2 – FH = 0, entonces FH = F2 3. Equilibrio de fuerzas en dirección y (vertical) ΣFy = may = 0   Fv – F1 – W = 0, entonces Fv = F1 + W 4. La fuerza total será  Fr = √ (FH

2 + Fv2) 

   Como el fluido no resiste esfuerzos cortantes  la  localización de FH debe ser colineal con F2 y Fv debe 

ser colineal con la resultante de F1 + W. Esto se obtiene cuando la sumatoria de momentos respecto a cualquier punto del sistema es nula. Otra  forma más simple de calcular  la componente vertical de  la fuerza  sobre  al  superficie  curva  es  considerando  el  significado  físico  del  resultado  obtenido  con anterioridad. F1 es la fuerza debida a la presión hidrostática por la columna de fluido hasta la superficie AB. F1 = PABAAB = γhABAAB = γVEncimaAB = WEncimaAB, es decir el peso del fluido hasta la superficie AB; así la fuerza vertical será el total del peso del fluido que está por encima de la superficie curva. La resultante vertical estará localizada en el centroide de la figura que se forma encima de la superficie curva. 

12  

 Figura 15. Fuerza vertical sobre una superficie curva sumergida. Caso 1.  

   Si el fluido se encuentra debajo de  la superficie curva AB el análisis de cuerpo  libre es similar al caso 

anterior  y  la  fuerza  vertical  resultante  será  el  peso  equivalente  de  fluido  que  estaría  por  encima  de  la superficie CB.  

 Figura 16. Fuerza vertical sobre una superficie curva sumergida. Caso 2 

  FLOTABILIDAD Y ESTABILIDAD   La flotabilidad es la tendencia de un fluido para ejercer una fuerza de apoyo sobre un cuerpo colocado sobre él.   PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES   También  conocida  como  Ley de Boyantez o Empuje,  indica que un  cuerpo  sumergido en un  líquido recibe un empuje hacia arriba con una fuerza igual al peso del líquido desplazado.  LEY DE FLOTACIÓN    

Un cuerpo flotante desplaza su propio peso del líquido en el cual flota. Para determinar la reacción que el  fluido ejerce sobre un cuerpo  totalmente sumergido  (volumen contenido entre BCDE) se seleccionará un volumen de fluido que circunscriba el cuerpo BCDE con altura h y área transversal A. El análisis del diagrama de cuerpo libre indica las siguientes fuerzas: 

13  

 Figura 19. Análisis de fuerzas sobre un elemento completamente sumergido. 

 • Presión hidrostática en las fronteras del volumen seleccionado, P1A y P2A. • Peso del fluido exterior al cuerpo BCDE, W1 y W2. • Reacción del cuerpo sobre el fluido, que por acción reacción es la misma que la fuerza del fluido sobre 

el cuerpo BCDE, usualmente denominada fuerza de empuje, Fe. La reacción del cuerpo sobre el fluido es  hacia  abajo,  pero  la  fuerza  de  empuje  ejercida  por  el  fluido  sobre  el  cuerpo  es  en  dirección contraria, es decir vertical hacia arriba. En condiciones de equilibrio estático 

 ΣFy = 0, entonces – P1A + P2A – W1 – W2 – Fr = 0 

Fr = (P2 – P1)*A – (W1 + W2)  Aplicando la distribución hidrostática de presiones, la diferencia de presión entre los extremos del cuerpo libre es P2 – P1 = γh. Entonces la fuerza resultante Fr se puede expresar como: 

 Fr = γhA – (W1 + W2)  

 Donde γhA es el peso del volumen contenido entre las fronteras 1 y 2 

 Fr = Wv 1‐2 – (W1 + W2), entonces Fr = Wcuerpo = γVcuerpo 

 Con un análisis similar cuando el cuerpo está parcialmente sumergido, es decir flotando, se tiene: 

 Fr = γVdesplazado 

 En condiciones de equilibrio estático  la  fuerza de empuje será  igual al peso del cuerpo. La  fuerza de 

empuje Fe actúa vertical hacia arriba a través del centroide del volumen del cuerpo o del volumen desplazado, según sea total o parcialmente sumergido. El sitio de aplicación de la fuerza de empuje se denomina centro de empuje o centro de boyantez (centro boyante). 

14  

ESTABILIDAD    

Se considera un cuerpo en un fluido estable si regresa a su posición original después de presentar una rotación alrededor de un eje horizontal. La estabilidad depende de la posición relativa entre la localización de la  fuerza  de  empuje  y  el  centro  de  gravedad.  Es  diferente  dependiente  si  el  cuerpo  está  TOTALMENTE sumergido o PARCIALMENTE sumergido.  ESTABILIDAD DE CUERPOS TOTALMENTE SUMERGIDOS    Un cuerpo TOTALMENTE sumergido es estable si el centro de gravedad (punto de aplicación del peso) está por debajo del centro de empuje (punto de aplicación de la fuerza de empuje), véase Figura 20. 

 Figura 20. Estabilidad de cuerpos completamente sumergidos. 

   La  situación a) de  la Figura 20 donde el centro de gravedad está por debajo del centro de  flotación 

indica que ante una rotación del cuerpo, se generará un momento recuperador de la posición inicial. En este caso el cuerpo se puede considerar estable. 

 Por el contrario en  la situación b) de  la Figura 20, el centro de gravedad se encuentra por encima del 

centro  de  flotación  y  cualquier  rotación  impuesta  sobre  el  cuerpo  generará  un  par  o momento  inestable continuando con la rotación inicial. En este caso el cuerpo se considera inestable. 

 Cuando el centro de gravead y el centro de flotación coinciden, el peso y la fuerza de empuje actúan a 

través del mismo punto sin que se produzca un par. En este caso el cuerpo tendría una estabilidad neutra y permanecería en cualquier orientación en la que se coloque respecto al eje horizontal.   

   

15  

ESTABILIDAD DE CUERPOS PARCIALMENTE SUMERGIDOS    

Para la estabilidad de cuerpos parcialmente sumergidos o flotantes se debe analizar la posición relativa del metacentro M, como se indica a continuación 

 Figura 22. Estabilidad de cuerpos completamente sumergidos. 

 Donde: M = Metacentro, intersección de la línea de acción de FE con el eje central del corte transversal. CG = Localización del centro de gravedad, punto de aplicación del peso. W = Peo CE = Posición del centro de empuje inicial, es decir antes de la rotación. FE = Fuerza de empuje inicial, antes de la rotación. CE’ = Posición del centro de empuje final, es decir después de la rotación. FE’ = Fuerza de empuje final, después de la rotación.    Cuando  se  presenta una  rotación  en un  cuerpo parcialmente  sumergido,  Figura  21,  se presenta un desplazamiento adicional de fluido presentándose una fuerza de empuje FE’ que está localizada en el CE’ a una distancia  δ  del  centro  de  empuje  inicial.  El  desplazamiento  de  fluido  hacia  el  lado  izquierdo  ocasiona  una fuerza empuje dFE; al lado derecho ocurre la situación contraria, es decir se deja de presentar una fuerza por el volumen que anteriormente se desplazaba, esto se puede representar por una fuerza de empuje negativa ‐dFE; estas dos fuerzas forman un momento o par. Para evaluar el par se tiene:  

    La magnitud de  la fuerza de empuje es  la misma antes y después de  la rotación, sin embargo ante  la rotación se presenta un desplazamiento del centro de empuje. La configuración  inclinada del sistema será  la debida a la fuerza de empuje final FE’ ubicada en CE’, este efecto será considerado con el par. El efecto de FE’ aplicada en CE’ es estáticamente equivalente a  la  fuerza de empuje  inicial FE aplicada en CE más el par. La inquietud será cual es la distancia δ entre CE’ y CE, es decir el desplazamiento de la línea de acción de la fuerza de empuje. Al igualar momentos respecto a un eje paralelo a y y que pase por CE’.  

16  

  Por trigonometría del triángulo formado entre M‐CE’‐CE y reemplazando la expresión anterior se tiene: 

  

De  donde  se  puede  obtener  la  localización  del metacentro  como  la  distancia  desde  el  centro  de empuje. Conocida la posición del metacentro se puede calcular la altura metacéntrica MG, que es la distancia entre el metacentro (M) y el centro de gravedad (CG), así 

 MG = MCE – l 

 Donde MCE es la distancia entre el metacentro y el centro de empuje, y l es la distancia entre el centro de 

empuje CE y el centro de gravedad CG. La estabilidad de un cuerpo parcialmente sumergido depende de  la posición relativa del metacentro y el centro de gravedad.  

• Un cuerpo se considera estable si el metacentro está  localizado por encima del centro de gravedad. Entre  mayor  sea  la  distancia  entre  el  metacentro  y  el  centro  de  gravedad,  es  decir  la  altura metacéntrica, mayor será la estabilidad del cuerpo. Si la altura metacéntrica (MG) es positiva el cuerpo es estable. 

• Un cuerpo es inestable si el metacentro está localizado por debajo del centro de gravedad. Si la altura metacéntrica es negativa el cuerpo es inestable.