Universitatea "1 Decembrie 1918" Alba Iulia Catedra de Topografie si Ingineria mediului

Conf. Dr.-Ing. habil. Ildiko Tulbure

Curs de Hidraulica Semestrul I al anului univ. 2011/2012

1. Introducere, scopul disciplinei, definitii

2. Proprietati fizice ale fluidelor, in special lichidelor 2.1. Densitate, volum specific, greutate specifica, tensiunea superficiala,

capilaritatea 2.2. Fenomene de transport, vâscozitatea

3. Legea hidrostaticii, aplicatii ale legii hidrostaticii

4. Forte hidrostatice, Principiul lui Arhimede

5. Ecuatia continuitatii

6. Ecuatia lui Bernoulli, aplicatii ale ecuatiei lui Bernoulli: sonde de masura

7. Ecuatia lui Bernoulli cu pierderi de presiune

8. Bazele curgerii turbulente

9. Curgerea prin conducte circulare cu pierderi de sarcina hidraulica 9.1. Curgerea laminara 9.2. Curgerea turbulenta 9.3. Diagrama Nikuradse

10. Curgerea stationara prin retele hidraulice, calculul retelelor hidraulice

11. Concluzii finale Literatura: Iamandi, C-tin s.a: Hidraulica Instalatiilor, Editura TehnIca, 2002 Tulbure, I.: Mecanica fluidelor, Curs, Institutul pentru Mecanica Tehnica, Univ. Tehnica Clausthal,2002 Irimie, I., I.: Mecanica fluidelor. Curs. Litografia Univ. Petrosani, 1995 Willi Bohl: Technische Stroemungslehre. Vogel Verlag, 9. Auflage, 1991 R. Nollau, D. Herschel, D. Will, N. Gebhardt: Hydraulik, Editura Springer, Berlin, 2011 Diverse manuale de hidraulica

γ = unghi de deformare

F

F (Forta)

A = suprafata

atangential tens. == AFτ

Cap. 1. Introducere, scopul disciplinei, definitii

Mecanica fluidelor studiaza legile de echilibru si de miscare ale fluidelor, precum si ale unui fluid in contact cu o suprafata solida. Fluidul este un corp care se deformeaza nelimitat sub influenta fortelor deformatoare (chiar si foarte reduse). Aceasta proprietate se numeste proprietatea de fluiditate. In timp ce in cazul solidelor sunt necesare forte considerabile pentru a le deforma, in cazul fluidelor aceste forte tind spre 0, in conditiile in care timpul disponibil pentru deformare este suficient de mare.

Corp solid Fluid

)(f τ=γ Materia curge

Caz particular: In general : )(fdtd τ=γ=γ&

Legea lui Hooke:

ττ=γ ~G

Legea curgerii fluidelor

(analog cu: σσ

=ε ~E

) =γ& Viteza de variatie a

G = Modul de elasticitate tr. unghiului de deformare

E = Modul de elasticitate long.

Hidraulica studiaza legile de echilibru si miscare ale lichidelor, in special curgerea lichidelor in contact cu suprafete solide (curgerea prin conducte etc.). Unde intalnim in practica asemenea cazuri ? Exemple: PRESA HIDRAULICA CURGEREA PRIN CONDUCTE, CANALE, COTURI, DIAGRAGME etc.

CURGERA PE LANGA CORPURI SOLIDE

? p2

p1 A2

F2

h

F1

A1

li

lam. turb.

u r

d x

u8

A

Zona “moarta”

L

x

Intereseaza: distributia vitezei sau campul vitezelor, distributia presiunii de-a lungul profilului, forte arhimedice, forte de frecare

Intereseaza: distributia vitezei in sectiune, piederi de presiune longitudinale si locale

Intereseaza: presiunea p2, efectul de amplificare datorita variatiei de sectiune

TURBINA Exista numeroase situatii in care lichidele se gasesc in amestec cu alte substante, cu gaze sau cu particule solide. Exemple: apa cu nisip (transport hidraulic), apa cu alte lichide (ulei, benzina, ape poluate reziduale etc. ), apa cu aer etc. – curgeri multifazice. In multe situatii exista si schimb de caldura si de materie. Exemple: curgerea printr-o conducta incalzita sau racita (schimbatoare de caldura), curgerea de-a lungul unei placi plane racite sau incalzite (laminarea otelului, turnarea sub forma de tabla) Descrierea curgerii se face cu ajutorul vectorului viteza v (u,v,w), a presiunii p, a densitatii si a temperaturii T. Coord. independenta: vectorul de pozitie x (x,y,z) si timpul t . Cautate: u,v,w, p, ,T = f (x,y,z,t) - 6 necunoscute Ecuatii la dispozitie: 6 : ec. continuitatii, ec. de miscare, ec. energiei, ec. de stare.

(2)

H

(1)

z

Intereseaza: puterea turbinei

x

z

y

. P

V (u,v,w)

Mecanica fluidelor - Clasificare: Dupa continutul studiului:

- fluidostatica – studiaza repaosul fluidelor: hidrostatica, aerostatica - fluidodinamica – studiaza miscarea fluidelor: hidrodinamica,

aerodinamica Dupa obiectul de studiu:

- mecanica lichidelor (hidromecanica) - HIDRAULICA - mecanica gazelor (aeromecanica) - PNEUMATICA

Metoda de studiu in hidraulica consta in stabilirea ecuatiilor diferentiale care guverneaza fenomenele studiate (elaborarea de modele matematice), solutionarea analitica sau cu metode numerice (metoda Euler, a elementelor finite, ... ) a acestora, efectuarea de simulari si validarea experimentala. Acestea din urma au scopul imbunatatirii sau corectarii modelelor matematice elaborate initial. Modelele matematice au la baza modele simplificate ale fluidului: - modelul Euler – fluidul perfect lipsit de vascozitate - modelul Pascal – fluidul incompresibil (lichidele) - modelul Newton – fluidul vascos, care respecta legea lui Newton Fluidul perfect: continuitatea masei, mobilitate perfecta (vascozitate nula), incompresibilitate, izotropie. Fluidul real: discontinuitati, vascoase, compresibile, anizotrope. Fluiditatea lichidelor si gazelor se datoreaza mobilitatii foarte mari a particolelor de fluid. Proprietati comune ale lichidelor si gazelor: • sub influenta greutatii proprii iau forma vasului ce le contin • se reunesc (apa cu apa, aer cu aer) instantaneu in momentul punerii in

contact

Diferente intre lichide si gaze – din teoria cinetico-moleculara LICHIDE: • agitatie termica redusa – forte de respingere electrostatice mari –

compresibilitate redusa • spatii intermoleculare reduse – forte de coeziune mari – vascozitate

mare expansibilitate redusa

GAZE: • agitatie termica intensa – forte de respingere electrostatice reduse –

compresibilitate mare • spatii intermoleculare mari – forte de coeziune reduse – vascozitate

redusa expansibilitate mare

Cap. 2. Proprietati fizice ale lichidelor

2.1. Densitate, volum specific, greutate specifica, tensiunea superficiala, capilaritatea

a) Densitatea = masa unitatii de volum Pentru corpuri omogene:

Vm=ρ

Pentru corpuri neomogene:

dVdm

Vm

V=

∆∆=

→∆ 0limρ ; [ ]

mSI 3kg=ρ

Densitatea este o marime punctuala pentru ca depinde de coordonatele spatiale si de

timp ),,,( tzyxf=ρ

In practica se lucreaza des cu densitatea medie:

∫= dVm ρρ

Densitatea creste cu cresterea presiunii si scade cu cresterea temperaturii.

Exceptie: apa: Ctpentrum

kgapa °== 41000

3maxρ

La lichide, in conditii normale de presiune si temperatura, densitatea ramane constanta.

La gaze densitatea rezulta din ecuatia de stare a gazelor perfecte:

TR

p⋅

=ρ

Locul hidraulicii in cadrul disciplinelor legate de lichide si gaze: Statica fluidelor Dinamica fluidelor

Hidromecanica ( ).konst=ρ incompresibil

Hidrostatica Hidrodinamica

Aeromecanica ( )konst≠ρ

compresibil

Aerostatica Aerodinamica

Gazodinamica

b) Volumul specific= volumul unitatii de masa

Pentru corpuri omogene: mVv =

Deci: ρ1

=v Unitatea de masura: [ ]kg

v SI

3m=

Volumul specific scade cu cresterea presiunii si creste cu cresterea temperaturii.

c) Greutatea specifica= greutatea unitatii de volum

gV

mgVG ⋅=== ργ Unitatea de masura [ ]

mSI 3N=γ

Greutatea specifica se comporta ca si densitatea. Datorita lui g, greut. specifica depinde de latitudine si altitudine.

Ex.: 33

98101000m

N

m

kgapaapa == γρ

d) Presiunea = forta exercitata pe unitatea de suprafata

Def. AF

pA ∆

∆=

→∆lim

0 ; [ ]

m 2N

ˆp =

Unitati de masura utilizate frecvent:

F – forta A - suprafata

Hidraulica

Pascal: m 2N1Pa1 =

bar: == −

hPambarNbar

m 10001000101 2

5

Atmosfera tehnica: barNkp

atmcm

981,0101,98112

32

=⋅==

Atmosfera fizica: mN

mmHgTorratm 21013257607601 ===

e) Tensiunea superficiala = forta tangentiala exercitata pe elem. de lungime din suprafata de separare a 2 faze fluide, actionand perpendicular pe elem. de lungime (perpendiculara situata in planul de separare) si masurata dupa normala la unitatea de lungime. Def.: se numeste tensiune superficiala expresia:

dndF

nF

n=

∆∆=

→∆ 0limσ UM: [ ]

mSI

N=σ

• Cand σ se manifesta intre doua fluide – tensiune superficiala. • Cand σ se manifesta intre un fluid si un perete solid – aderenta (adeziune).

Ex.: m

CaerapaN072,020, =°−σ

Orice lichid are tendinta de a-si forma o supr. libera de arie minima. Exemplu.

Tens. superficiala se manifesta numai in suprafete libere curbe, suprafete libere plane fiind caracterizate de echilibrul fortelor nu prezinta fen. de tensiune superficiala. Exemple cu suprafete libere a trei fluide diferite si a doua fluide diferite cu o suprafata solida.

m F F

FR

p

F n

- F

f) Capilaritatea = este fenomenul de ridicare sau coborare fata de planul manometric a unui lichid situat intre doua placi foarte apropriate sau in tuburi cilindrice cu diametre reduse (tuburi capilare).

ασ cos2)( 122

12 ⋅Π⋅=Π⋅− rrpp

hpp ⋅−=− )( 1212 γγ

rh

αγγ

σ cos2

12

12 ⋅−

= Relatia lui Borelli-Jurin

Cu cat r este mai mic cu atat h este mai mare. αcos indica sensul denivelarii.

Caz particular: formarea picaturilor

h o

r

Ex.: apa-sticla alcool-metal

2.2. Fenomene de transport, vâscozitatea, relatia lui Newton

g) Fenomene de transport Sunt caract. sistemelor care nu se afla in echilibru si constau intr-un transfer ordonat de materie, energie sau impuls, amorsat de neuniformitatea sistemului si actionand in sensul anularii neunif. si readucerii sistemului in echilibru. - Difuzia masica – se datoreaza unei neunif. de concentratie sau densitate. - Conductia termica – se datoreaza unei neunif. de temperatura - Transfer de impuls - vascozitatea

h) Vascozitatea = propr. lichidelor de a se opune deformarilor fara modificari de volum, dezvoltand tensiuni tg. de frecare manifestate intre straturile de lichid in miscare si concretizate prin forte de frecare, ce accelereaza straturile cu viteza redusa, franandu-le pe cele cu viteza mare. Datorita fortei de frecare o parte din energia miscarii este transferata in caldura fiind disipata ireversibil in mediul exterior. Transferul ordonat de impuls se realizeaza datorita vascozitatii.

V = const. m ≠ const. (pt. ρ ≠ const.) nj = vectorul normalei la supr. A.

x

Pierd. Prod.

Legea curgerii (legea frecarii)

dydu

dtd

η=γ

η=τ Newton lui Legea

Prin aceasta relatie este definit coeficientul de vascozitate dinamica η: [ ]

smkg

msN

⋅=

⋅=

⋅= 2ˆ

SuprTimp Forta

η

2msN11PlPoiseuille 1 ⋅==

2msN1,01PPoise 1 ⋅==

Coeficientul de vascozitate cinematica: ρη

ν =

[ ]s

mkgm

smkg

ˆ23

=⋅⋅

=ν

s

m10

scm

11StStokes 12

42

−===

Densitatea si vascozitatea apei si aerului la temperatura de 20°C si presiunea de 1 bar (valori aproximative):

Fluid

3mkg

ρ [ ]sPa ⋅

η

sm2

ν

Apa 1000 1000 610−⋅ 1 610−⋅ Aer 1,2 18 610−⋅ 15 610−⋅

h

u(y)

y

x

U U F

F

dy

u + du

u dt u ⋅

Timp t Timp t + dt dγ

Un lichid in echilibru este solicitat numai de forte de presiune (⊥ pe suprafata). Daca fortele nu ar fi perpendiculare (normale la suprafata), fluidul ar curge (sunt influenta fortelor tangentiale).

Cap. 3. Legea hidrostaticii, aplicatii ale legii hidrostaticii

Statica lichidelor Observatie:

Fortele care actioneaza asupra unui fluid sunt:

- forte exterioare - forte interioare

In conditii de echilibru absolut (inexistenta deplasarilor relative ale straturilor de lichid), lichidul nu este solicitat de forte tangentiale, doar de forte normale la suprafata. Fortele normale la suprafata, care actioneaza pe o anumita suprafata bine delimitata, determina presiunea hidrostatica.

dAdF

p == σ - presiune hidrostatica

Acest lucru evidentiaza faptul ca presiunea p reprez. un efort unitar normal de comprimare .

Presiunea hidrostatica p intr-un punct intr-un lichid in echilibru nu depinde de orientarea suprafetei, ci are aceeasi valoare dupa toate directiile.

. F

Legea hidrostaticii

0u =r(nu exista curgere, viteza este nula, in statica fiind situatia

de echilibru.)

Densitatea ;t)xf(? r≠

Deoarece: 0u =r = const

Sistemul de coordonate poate fi ales in diferite pozitii : z0 = 0

Consecinte:

a) In puncte de aceeasi adancime presiunea hidrostatica este aceeasi.

b) Presiunea hidrostatica creste liniar cu adancimea.

z=z0=0

z=z1

z

p(z0)=p0

G

A∆

p(z1)

!0=∑Fv

( ) ( ) 0)(zz?g? A? Azp 010 =∆⋅−−⋅+⋅ Azp

Legea hidrostaticii ( ) + p z p 0 = ?gz

110A ghpp ρ+=

Aplicatii ale legii hidrostaticii

Exemplul 1: Paradoxul lui Pascal (hidrostatic)

Forta de presiune care actioneaza de sus in jos este egala in toate cazurile, deoarece A si h raman constante in toate cazurile ! Rezulta ca si forta de sustinere F de jos in sus este egala in toate cazurile.

Exemplul 2: Principiul vaselor comunicante

In vase umplute cu acelasi fluid omogen si care

comunica in partea inferioara unele cu altele

suprafetele libere se afla la aceeasi inaltime.

Exemplul 3: Tub U umplut cu 2 fluide diferite, care nu se amesteca si care au densitati diferite.

(aici: ?2 < ?1)

tubul din stanga:

tubul din dreapta:

1

2

2

1

hh

ρρ

=

220A ghpp ρ+=

h

F F F F

A A A A

h1

h2

p0

E E

pA pA

?1

?2

Exemplul 4: Presa hidraulica

1

11 A

Fp =

2

22 A

Fp =

ghpp 12 ρ+= rezulta ghAF

AF

1

1

2

2 ρ+=

( )[ ]211

22 ghA F

AAF ρ+=

Daca h = 0 atunci 12 pp = (presiunea se transmite cu egala intensitate in

toata masa lichidului)

Exemplul 5: Tubul manometric U

Diferenta de presiune:

hgpp MG ∆=− ρ0

? p2

p1 A2

F2

h

F1

A1

Rezervor

pG

p0

? h

pG

Alte exemple: Amplificatoare hidraulice, cricuri hidraulice etc.

Lichidul manometric ρM

Exemplul 6: Manometrul „Prandtl“

( )hhgpp 2112 +ρ+= hAhA 2211 =

hAA1g?pp 1

2

112

+=−

Exemplul 7: Manometrul "Betz"

Exemplul 8: Barometrul

Presiune absoluta, deoarece pi=0:

pa=?F⋅g⋅h

a) Apa h = 10m

b) Mercur h = 0,76m

hg? 1= 0AAfür

2

1 →

M

p2

p1

L

A2

A1

h

? l

pa

pi=0

mmkg

psm

1081,9100023

⋅⋅=

1at)( bar981,0mN

10981,0p2

5 ==⋅=

1atm)760Torr(bar 013,110013,1

76,081,913600

25

23

===⋅=

⋅⋅=

mN

p

mmkgpsm

?

p2

p1

h1

h2 (p2=p1)

A1

A2

Cap. 4. Forte hidrostatice. Principiul lui Arhimede

Fortele hidrostatice sau fortele de presiune sunt forte exercitate de lichide asupra peretilor solizi. Acestea sunt forte repartizate, actionand pe suprafetele solide si fiind dirijate dinspre lichid catre corpul solid.

Forta de presiune (Fp) exercitata de un lichid pe o suprafata plana (care se mai numeste si forta hidrostatica) este data de produsul dintre presiunea relativa din centrul de greutate al suprafetei si aria suprafetei respective.

Fp = pG.A [N], unde pG – presiunea relativa din centrul de greutate al suprafetei A

In cazul suprafetelor plane sau a suprafetelor ce admit un centru sau o axa de simetrie, fortele de presiune se reduc la o rezultanta unica. In cazul suprafetelor curbe oarecare fortele de presiune se reduc fie la 2 forte actionand in planuri diferite, fie la o forta si un moment (torsor).

Calculul fortelor hidrostatice

Se evidentiaza din nou Paradoxul lui Pascal (hidrostatic), deoarece este clar ca forta de presiune nu depinde decat de presiunea relativa din centrul de greutate si de aria suprafatei pe care actioneaza.

Forta de presiune este independenta de forma, volumul si masa lichidului, de aceea se numeste paradoxul hidrostatic. Daca ariile A1 = A2 = A3 = A4 , iar presiunea relativa este aceeasi pentru ca inaltimea h este egala in toate cazurile, atunci si forta de presiune

Fp = p.A este aceeasi in toate cazurile.

In general, in cazul suprafetelor curbe deschise scufundate intr-un lichid in echilibru, fortele de presiune se reduc la doua componente orizontale si una verticala. Componentele orizontale (Fpx si Fpy) sunt egale cu produsul dintre presiunea relativa din centrul de greutate al proiectiei suprafetei pe planul normal la directia fortei si aria acestei proiectii. Componenta verticala (Fpz) este egala cu

h Fp Fp Fp Fp

A1 A2 A3 A4

?ghp =

pzpypx FFF ++=pF

greutatea lichidului din volumul delimitat de suprafata curba si proiectia ei pe verticala la suprafata libera. Daca suporturile componentelor prezinta un punct de concurenta, cum este cazul normal, atunci modulul rezultantei va fi: Legea (principiul) lui Arhimede (portanta statica)

Un corp scufundat intr-un lichid este impins de jos in sus cu o forta egala

cu greutatea volumului de lichid dizlocuit de corp.

Demonstratie:

Bilantul fortelor in directie verticala:

Aplicatii: plutirea corpurilor, constructia vapoarelor, submarinelor etc.

Observatie: Exista si portanta aerodinamica, fapt care ajuta la zborul avioanelor.

Legea lui Arhimede (~250 i.e.n.) gVFA l?=

a1

a2

dA h

p1⋅dA1

p2⋅dA2

111222A acosdApacosdApdF −=

ghdA?)( l12 =−= dApp

)acosacos .( 2211 dAdAdAcapt ==

gVF

ghdAdFF

AVAA

AA

l

ll

?

gdV??

=

=== ∫∫∫

- Portanta

Aplicatii ale legii lui Arhimede

1. Determinarea volumului unui corp prin cantarire

In cazul corpurilor cu forme neregulate pentru care nu exista relatii analitice de

calcul a volumului, determinarea volumului se poate face comparand rezultatul

cantaririi corpului in aer si in apa:

)( aeraer VgG ρρ −=

)( apaapa VgG ρρ −=

)( aerapaapaaer VgGGG ρρ −=−=∆ ⇒ )( aerapagG

Vρρ −⋅

∆=

2. Plutirea corpurilor

Intre greutatea corpului si portanta pot exista urmatoarele relatii:

G > P - corpul iese din repaus, fiind antrenat intr-o miscare de scufundare

G = P - echilibru indiferent la orice adancime (plutire de adancime) - submarine

G > P - plutire de suprafata - corpul pluteste in stare partial scufundata -

vapoarele

Conditia de plutire este: 0,

=+−

AFG

FA' - portanta volumului de lichid dizlocuit de partea corpului scufundata in

lichid.

Observatie: aerostatica

In opozitie cu hidrostatica, in cazul aerostaticii densitatea ? nu mai este constanta.

Legea hidrostaticii ( ?gzpp 0 −= ) nu se mai poate aplica sub aceasta forma.

Bilantul fortelor:

Prin integrarea legii aerostaticii:

se poate obtine legea de variatie a presiunii in functie de inaltime cunoscand

variatia densitatii cu presiunea, deci cunoscand legea de transformare a gazului

(izoterma, politropa, ...).

p(z) ?(z) T(z) ?(z)

Suprafata Pamantului

p0; ?0; T0 z = 0

p+dp

z

p

g

dz

dA

?(z)gdzdAdA)dpp(pdA ++=

g)z(?dzdp −= Legea aerostaticii

? f(p)??(z)dp

g1

dzz

dz?(z)dp

g1

z

0

z

0=∫−=∫=

=−

Cap. 5. Ecuatia continuitatii 5.1 Notiuni cinematice de baza

Ø Cantitate/volum de lichid inchis

Ø Particule de lichid (imagine fictiva)

Ø Parametrii cinematici de baza: vectorul de pozitie, viteza, acceleratia

Descrierea miscarii particulelor de lichid:

• dupa metoda Lagrange (reprezentare legata de particulele de lichid)

• dupa metoda Euler (reprezentare legata de spatiu)

Notiunea de camp

ectorul viteza are

componentele:

vr

(u, v, w)

Analiza poate avea loc in:

In 3 dimensiuni u, v, w, p, ?, T = f(x, y, z, t)

In 2 dimensiuni w = 0 f(x, y, t)

In 1 dimensiune v = w = 0 f(x, t)

z) y, f(x,v T, ?, ,p

=

r

z

x y

v (x2,y2,z2)

v (x3,y3,z3)

v (x1,y1,z1)

v (x4,y4,z4)

Curgere:

- Instationara (dependenta de timp si spatiu)

- Stationara (dependenta numai de spatiu)

5.2 Ecuatia continuitatii

Arata faptul ca lichidele sunt medii continui si ca masa de lichid care curge este aceeasi, se conserva, daca nu exista devieri de traseu, intreruperi ale curgerii sau pierderi prin scurgeri.

Ecuatia continutiatii este un bilant masic, arata faptul ca masa se conserva, adica in termeni hidraulici arata ca debitul de lichid ce se scurge este constant, daca conditiile de curgere nu se modifica.

Debitul de lichid este constant !

Debitul de lichid este masa de lichid care se scurge in unitatea de timp:

tm

Qm ∆∆

= [kg/s]

Vm ⋅= ρ

Rezulta: .constAut

AltV

tm

Qm =⋅⋅=∆

⋅⋅=

∆∆⋅

=∆∆

= ρρρ

Viteza de curgere este: t

lu

∆=

Atunci cand este vorba de lichide incompresibile, cum este cazul des

intalnit, densitatea ρ este constanta, .const=ρ si rezulta:

u1

A1 A2

u2 ? ⋅u⋅A=const.

u⋅A=const.

Ecuatia continuitatii

Ecuatia lui Bernoulli

Cap. 6. Ecuatia lui Bernoulli Aplicatii ale ecuatiei lui Bernoulli Ecuatia lui Bernoulli pentru curgeri stationare

Este o ecuatie de bilant energetic, care se refera la faptul ca energia intr-un sistem tehnic, hidraulic se conserva, chiar daca se transforma dintr-o forma in alta. Acesta ecuatie de bilant energetic exprima faptul ca suma diverselor forme de energie este constanta, adica suma energiei cinetice, a energiei de presiune si a energiei potentiale intr-un sistem hidraulic este constanta.

Ecuatia lui Bernoulli

Aceasta exprimare a ecuatiei lui Bernoulli corespunde exprimarii in termeni de energie specifica, adica raportata la masa. Exista diferite moduri de exprimare a ecuatiei lui Bernoulli:

In termeni de energie: Cgzp

2u2

=+ρ

+

In termeni de presiune: K?gzpu2? 2 =++

In termeni de inaltime: kzg

pg2

u2

=+ρ

+

Recapitulare:

Ecuatiile de baza ale hidraulicii (incompresibil, stationar):

konstgzp

2u2

=+ρ

+

u s Cautat: u(s), p(s) z

p

{ {{ constgz

pu

constAu

potentialaenpresiunedecinEnergie

=++

=⋅⋅

..

2

2 ρ

ρ

Aplicatii ale ecuatiei lui Bernoulli

Exemplul 1: Formula de scurgere a lui Torricelli

Conditie: A1>>A2

u1<<u2, u1 ≈ 0

linia de curent fictiva

p1 = p2 = p0 (presiunea exterioara, atmosferica)

11

2

22

2

gzp

2

ugz

p2

u12 +

ρ+=+

ρ+ );zz(g

2u

21

22 −=

Densitatea nu intra in formula!

Exemplul 2: Curgerea prin conducte (fara pierderi)

In toate cele trei puncte este

valabila ecuatia:

konstzg

pg2

u2

=+ρ

+

Daca: A1 = A2 < A3

u1 = u2 > u3

Aplicatie practica directa: Masurarea unei viteze prin masurarea unei lungimi.

(1)

u2

h

gh2u 2 =

z

z0

z3 z2 z1

(1) (2) (3)

g2u2

1

z g2

u22

z

g2u2

3

z

gp1

ρz

gp3

ρz g

p2

ρz

u1

u2 u3

z z2

z1

u2

(2)

u1 = 0

= 0

Exemplul 3: Presiunea in punctul de impact

tppupu =+=+ ∞∞ 222

2

22ρρ

Presiunea in punctul de impact =

presiunea statica + prsiunea dinamica = presiunea totala

De cele mai multe ori termenul de inaltime se poate neglija, sistemele hidraulice fiind pozitionate orizontal.

Ecuatia lui Bernoulli are atunci forma:

Exemplul 4: Sonda Pitot – cu aceasta sonda se masoara presiunea totala in conducta. Presiunea totala: dint ppp += ∞

Presiunea totala pt este suma presiunii statice

p8 si

a presiunii dinamice pdin

Daca fluidul curge prin conducta cu viteza u8 ,

atunci presiunea dinamica este:

2

2 ∞= up dinρ

Daca se considera presiunile evidentiate in manometru, atunci diferenta acestor presiuni, care se masoara cu ajutorul manometrului, este:

pt - p0 = ghmρ

Presiunea totala pt este suma celor 2 presiuni, statica si dinamica si egaland cele 2 relatii se obtine:

pt - p0 = ghpupppp mdin ρρ

=−+=−+ ∞∞∞ 02

0 2

u8 p8 (1)

(2) u2=0

konstppu?

t ==+2

2

= 0

u8

pt

p8 h

ρ m

pt

po

Exemplul 5 : Sonda Prandtl - cu aceasta sonda se evidentiaza direct la manometru presiunea dinamica in conducta, pdin, ca fiind diferenta dintre presiunea totala, pt si presiunea statica, p8 .

dint pupp ==− ∞2

2ρ

Presiunea dinamica = pdin

ghup mdin ρρ == 2

2

Exemplu: Daca se foloseste apa ca si lichid de masura in manometru, avand

densitatea ρ m = 103 3mkg

(apa), iar viteza se determina pentru aer,

avand densitatea ρ = 1,25 3mkg

(Aer) ,

atunci, facand inlocuirile in relatia de mai sus pentru calcularea

vitezei, viteza care se masoara se poate determina cu relatia:

hsm

mkgmkg

u ⋅=23

33

81,925,1

102

Pentru un calcul aproximativ: ][4][104]/[ 3 mmhmhsmu ==

u8 = u

?

p8 pdin

p8 =p pt

?m

ghu m

ρρ

2=

smuapammm

smuapammm

smuapammhPt

400:1010

40:1,0100

4:1

4 ==

==

==

h

Exemplul 6 : Tubul Venturi

Ecuatia lui Bernoulli:

22

212

1 pu2

pu2?

+ρ

=+

Ecuatia continuitatii:

u1 A1=u2 A2 Rezulta:

12

12 u

AA

u ⋅=

−

ρ=∆=− 1

AA

u2

ppp2

2

12121

Daca se determina diferenta de presiune (de exemplu cu un manometru), se poate

calcula viteza u1:

−

ρ

∆=

1AA

p2u

2

2

1

1

Debitul volumic este: 11AuV =& , adica inlocuind viteza se obtine expresia:

ρα

ρ

pA

AA

pAV

∆=

−

∆= 2

1

222

2

1

21&

α = coeficient de debit

Ideal : α = ( )212 AA11 −

In realitate coeficientul de debit depinde nu doar de raportul suprafetelor, ci si de

numarul lui Reynolds : α = α (m,Re)

νDu

AA

m

1

1

2

Re =

=

(1) u1 (2) u2

D

p2

p1 ρ

- raportul suprafetelor

- numarul lui Reynolds (ia in considerare influenta frecarii)

Cap. 7. Ecuatia lui Bernoulli cu pierderi de presiune (sarcina hidraulica)

Difuzorul Carnot

Pierderile locale de presiune sunt:

212

up l

ρξ=∆

Coeficientul pierderilor de presiune este specific fiecarui element de conducta si

se determina experimental. 212

u

plρ

ξ∆

=

Acest coeficient se calculeaza analitic (pentru difuzorul Carnot) sau de cele mai

multe ori experimental.

lpupup ∆++=+ 222

211 22

ρρ

(1) (2)

u2 p2

u1

A1

A2

p1

p1

p1

Ecuatia lui Bernoulli cu pierderi locale de presiune datorita schimbarilor bruste de sectiune, a schimbarilor de traseu, coturilor, ventilelor, robinetilor etc.

Cot de conducta Intrare in conducta

ξ = 0,1 ξ = 0,6 ξ = 0,05

(valorile se gasesc tabelar in manuale de hidraulica sau de calcul de retele

hidraulice sau pneumatice)

Cap. 8. Bazele curgerii turbulente Observatie experimentala:

In functie de viteza de curgere a lichidului prin conducte, canale etc. exista 2 regimuri de curgere (experienta lui Reynolds):

Curgerile turbulente sunt instationare si tridimensionale. Ele pot fi considerate insa deseori „in medie“ stationare si bidimensionale.

Reynolds a avut ideea urmatoarei descompuneri a vitezei:

Def.: 0u ),,,(1

),,( ' =∆

= ∫∆+

dttzyxut

zyxutt

t

Descompunerea se utilizeaza si pentru alte variabile ca v, p etc. Tranzitia de la curgerea laminara la cea turbulenta depinde de numarul lui Reynolds.

ν

=du

Re m pentru curgerea prin conducte

laminar r x R up

Zeit t

Ordonat

turbulent

) , , , ( ) , , ( ) , , , (

tan

t z y x u z y x u t z y x u

oscilanta val. temporala medie a momen val.

′ + =

x P Fir colorat

u(r) x P

Curgerea are loc

Dezordonat

Profilul vitezei este mai plin datorita misc. dezordonate

Zeit t

.

. up up

’ pu

u(r)

Re < Recrit : laminar Se determina experimental sau din calcule

Re > Recrit : turbulent de stabilitate

Explicarea fenomenologica a numarului lui Reynolds:

Re~~~22

=

∂∂ η

ρ

η

ρ

η

ρ du

Ruu

ru

ufrecaredeForta

m

m

mminertie de Forta

Tranzitia de la curgerea laminara la cea turbulenta este o problema de stabilitate!

5105 ⋅≈

=

≈

=

∞

kritkrit

krit

mkrit

uRe : Placi

2300u

Re : Conducte

ν

ν

x

d

Ex.: t = 20°C ; p = 1bar Apa: ν = sm10 1

26-⋅

Aer: ν = sm1015

26−⋅

Conducta Placa Aer Apa Aer Apa

D = 20 mm uo = 1 m/s

1,7 0,12 m/s 7,5 m 0,5 m

D = 100 mm uo = 10 m/s

um crit

0,35 0,02 m/s

xcrit

0,75 m 0,05 m

Concluzie: Aproape toate aplicatiile practice se confrunta cu problema curgerilor

turbulente, care sunt deosebit de dificil de modelat matematic !

Din experiment:

1. SL turbulent este mai gros decat SL laminar 2. SL turbulent contine mai multa energie decat SL laminar, deoarece profilul vitezei este mai plin 3. Forta de frecare in cazul SL turbulent esta mai mare decat in cazul SL laminar.

SL laminar SL turbulent xcrit

SL – strat limita

Pentru ilustrare:

Curgerea pe langa o sfera cu diferite numere Reynolds:

Curgere foarte lenta Linia de curent urmareste profilul sferei

A Curgere cu viteze mai mari Domeniu subcritic SL laminar se desprinde mai repede de conturul sferei

u Curgere cu viteze mari - Domeniu supracritic A SL turbulent se desprinde mai tarziu de conturul sferei

Cap. 9. Curgerea prin conducte circulare cu pierderi de presiune

Intrarea in conducta si uniformizarea curgerii

Lungimea de stabiliz. le

Re < Recrit

le/d ~ 60

Re > Recrit

le/d ~ 10

x > le : curgere uniformizata

u = u(r)

Presiunea din conducta invinge frecarea din conducta a. i. lichidul curge in

directia scaderii presiunii. 0dxdp <

Echilibrul fortelor:

Se solidifica un volum cilindric de lichid. Echilibrul fortelor: Forta de presiune + Forta de frecare = 0

( )[ ] 0rdx2)r(rdppp 2 =πτ−π+− .)(

2)()(

konstrr

dxdp

rgxf

=−= τ

p u(r) r dx x p+dp τ(r) r

τw

le

lam.

le

lam. turb.

u r d x u

u u

lr

2p

)r( ⋅∆

+=τ

)rR(l4

p)r(u 22 −

η∆

=

lp

lpp

lpp

dxdp 2112 ∆−=−−=−=

∆ p = caderea de presiune in conducta

0(r) ; 0dxdp >τ< Profil linear al lui τ

lR

2p

:Rr

0:0r

w ⋅∆

=τ=τ=

=τ=

Rr

w

=ττ

Acest lucru este valabil si pentru curgerea laminara si pentru cea turbulenta !

9.1 Curgerea laminara

drdu

rrlp

drdu ητ

ητ2

2 =−=∆

−=−=dxdp

:inlocuim

Se obtine o ec. pt. u(r) C2r

l2p

-u rdrl2p

du2

+η

∆=

η∆−

=

Constanta de integrare2

Rl2

pC 0R)u(r :C

2

η∆

===

Distributia vitezei pt. curgerea laminara (parabolica)

Debitul volumic V& :

2π rdr

τw

r=R r r=0 τ(r) 0 τw

r u/umax 0 1

2π rdr

l p2

p1

2max R

l4p

u)0r(uη

∆===

2

max Rr1

u)r(u

−=

( )∫ ∫ ∫ −∆

===A

RrdrrR

lp

drrruudAV0 0

22

2)(2

ηπ

π&

l8pR

V4

η∆π

=& Legea lui Hagen-Poiseuille

Re64=λ

4~;~ RpV ∆& Viteza medie de curgere prin conducta:

max

2

m u21

l8pR

AV

u =η

∆==

&

Caderea de presiune ∆ p

2m

4

Rul8

pRV π=

η∆π

=& dl

du64u

2uu

Rl8up

m

2m

m

m2

m νρ=ρρη=∆

ν

=ρ

=∆du

Re Re64

dl

u2

p m2m

Coeficientul de rezistenta fluido-dinamica λ

Def. 2mu

2dlp ρλ=∆ - Pierderi de presiune longitudinale (rel. Weissbach-

Darcy)

(1) Legea frecarii in regim laminar

9.2 Curgerea turbulenta

Pentru acest caz nu exista o legitate matematica intre tensiunea tg. si profilul vitezei, ca in regimul de curgere laminar. Au fost dezvoltate modele de turbulenta, asa numite modele „semi-empirice“.

Legitati empirice pentru determinarea coef. de rezistenta hidrodinamica:

(2) 41

Re316,0−

=λ Legea lui Blasius, pt. Re < 105

(3) 8,0)log(Re0,21 −= λλ

Legea lui Prandtl, pt. Re > 105

Profilul vitezei este mai plin decat in regim laminar:

maxuu

Re

lam. Re < 2300

Rr1 −

1

1

0 Peretele conductei

Mijlocul conductei

9.3 Influenta rugozitatii suprafetelor solide, diagrama

Nikuradse

=dk rugozitate relativa

k = rugozitate absoluta

λ = λ (Re,k/d) se stabileste pe cale experimentala.

Legi empirice, ca de exemplu:

Concluzie:

- in regim laminar:λ = 64/Re (determinare analitica exacta)

- in regim turbulent: λ = 0,316/ 41Re (lege empirica dupa Blasius)

- in regim turbulent cu rugozitate: vezi de ex. relatia de mai sus λ (Re, k/d)

Diagrama lui Nikuradse reprezinta grafic dependenta dintre λ , numarul lui

Reynolds si rugozitatea relativa.

Pentru numere Reynolds foarte mari, λ depinde numai de rugozitatea relativa

k/d.

k/d 0,100 10-2

10-3

λ 10-4

10-5

0,01 Re 103 Recrit 104 105 106 107 108

~k

−=

λ dk

2log0,274,11

Regim laminar

Regim turbulent

Cap. 10. Curgerea stationara a lichidelor prin retele hidraulice, calculul retelelor hidraulice

Ecuatiile de baza utilizate pentru descrierea proceselor din conducte lungi, care formeaza retelele hidraulice, sunt reprezentate de ecuatiile de bilant:

- energetic: ecuatia lui Bernoulli:

rpgzupgzup ∆+++=++ 22221

211 22

ρρρρ

=∆ rp pierderile totale de presiune prin conducte

- masic: ecuatia continuitatii:

2211.

uAuAV ⋅=⋅=

Pierderile totale de presiune prin conducte: locale + longitudinale

- pierderi de presiune locale: 2

2upl

ρξ ⋅=∆ (relatia Borda-Carnot)

- piederi de presiune longitudinale: 2

2 mf udl

pρ

λ=∆ - (rel. Weissbach-Darcy)

In cazul conductelor lungi, termenul datorat variatiei energiei cinetice se poate neglija, iar pierderile de presiune locale sunt mult mai mici decat cele longitudinale, astfel incat ecuatia lui Bernoulli devine:

dlugzpgzp ⋅++=+

2

21

2211ρλρρ

Conductele lungi leaga de obicei un consumator hidraulic de o pompa.

(dat. rezistentelor hidraulice locale: coturi, ventile, ramificatii, salturi de sectiune)

Exemple: a) Conducta lunga simpla

dl

dVzzgpp ⋅⋅+−+= 42

.

1221216

2)(

π

ρλρ Se obtine pentru

debit:

ld

zzgppVρλ

πρ

8)]([

52

1221.

−−−=

b) Conducta lunga cu diametru discontinuu variabil

Debitul: 2

.2. 44 i

iii

dVuu

dV

π

π=⇒⋅=

i

i

ii

i dl

dVzzgpp ⋅⋅∑+−+= 42

2.

144116

2)(

π

ρλρ Se obtine pentru debit:

∑−−−=

i i

ii

d

lzzgppV

5

2

1441.

8)]([ λ

ρ

πρ

V, l, d

z1

1

2

z2

.

Presiunea la pompa este p1. Din ec. lui Bernoulli presiunea la pompa este:

dluzzgpp ⋅+−+=

2

1221 2)( ρλρ

Debitul: 2

.2. 44 d

Vuud

Vπ

π=⇒⋅=

z4 1

2 3

4

z1

l1;d1 l2;d2

l3;d3

Presiunea la pompa este p1. Pierderea de presiune:

2

23

1

i

i

ii

i

udlp ρλ∑=∆

=

Din ec. lui Bernoulli presiunea la pompa este:

i

iii

i dluzzgpp ⋅∑+−+=

2)(

2

1441ρλρ

Conducte lungi legate in paralel

i

iii d

luzzgpp ⋅+−+=

2)(

2

1221ρ

λρ

Debitul total: i

in

iu

dV ⋅∑=

= 4

2

1

. π

z2 1

2

z1

l1;d1

li;di

ln;dn Q

Q

Conductele avand capetele amonte si aval comune se respecta conditia pierderilor de sarcina hidraulica identice pe fiecare dintre ele:

1+∆=∆ ii pp

22

21

1

11

2+

+

++= i

i

ii

i

i

ii

udlu

dl ρ

λρ

λ

Din ec. lui Bernoulli presiunea in punctul 1 (la pompa) este:

Cap. 11. Concluzii finale

Hidraulica reprezinta o parte aplicativa a mecanicii fluidelor, ocupandu-se cu studiul miscarii lichidelor, adica modul concret de aplicare a legilor de curgere ale lichidelor, in special in contact cu suprafete solide (curgerea prin conducte, prin canale etc.).

Partea aplicativa a mecanici fluidelor, care se ocupa cu studiul deplasarii gazelor prin conducte este pneumatica, care, spre deosebire de hidraulica, ia in considerare legile de miscare ale gazelor, ca si legile de variatie ale acestora (izocora, izobara, izoterma s.a.) Curgerea lichidelor poate sa fie laminara sau turbulenta, pentru fiecare tip de curgere existand legi specifice care descriu curgerea lichidelor, in final interesand distributia vitezei, debitul de lichid si pierderea de presiune, care poate sa fie longitudinala sau locala.

In cadrul acestui curs s-au abordat doar cateva notiuni de baza din hidraulica, ecuatii si legi care guverneaza miscarea lichidelor prin conducte.

Universitatea "1 Decembrie 1918" Alba Iulia Catedra de Topografie si Ingineria mediului

Conf. Dr.-Ing. habil. Ildiko Tulbure

Subiecte pentru colocviu la „Hidraulica“

Semestrul I al anului univ. 2011/2012

1. Densitatea, volumul specific, greutatea specifica, presiunea 2. Tensiunea superficiala, capilaritatea 3. Fenomene de transport, vâscozitatea, legea curgerii 4. Presiunea hidrostatica 5. Legea hidrostaticii 6. Aplicatii ale legii hidrostaticii (paradoxul lui Pascal, principiul vaselor comunicante, presa hidraulica) 7. Aplicatii ale legii hidrostaticii (tubul manometric, tub U umplut cu 2 lichide diferite) 8. Aplicatii ale legii hidrostaticii (manometrul Prandtl, manometrul Betz, barometrul) 9. Forte hidrostatice 10. Legea lui Arhimede 11. Aplicatii ale legii lui Arhimede (determinarea volumului unui corp prin cantarire, plutirea corpurilor) 12. Ecuatia continuitatii 13. Ecuatia lui Bernoulli pentru curgeri stationare, fara pierderi de presiune, in diferite moduri de exprimare 14. Aplicatii ale ecuatiei lui Bernoulli: formula de scurgere a lui Torricelli, curgerea prin conducte (fara pierderi) 15. Aplicatii ale ecuatiei lui Bernoulli: presiunea in punctul de impact, sonde de masura: sonda Pitot, sonda Prandtl 16. Aplicatii ale ecuatiei lui Bernoulli: tubul Venturi 17. Ecuatia lui Bernoulli cu pierderi de presiune (de sarcina hidraulica), coeficientul pierderilor de presiune 18. Caracteristicile curgerii turbulente, componentele vitezei, dupa Reynolds, in curgerea turbulenta 19. Tranzitia de la curgerea laminara la curgerea turbulenta, numarul lui Reynolds 20. Curgerea laminara prin conducte circulare cu pierderi de sarcina hidraulica - Intrarea in conducta si uniformizarea curgerii

Subiecte la Hidraulica © Dr. ing. habil. Ildiko Tulbure, 2011

21. Curgerea laminara prin conducte circulare cu pierderi de sarcina hidraulica - distributia vitezei in curgerea laminara, calculul debitului (legea lui Hagen-Poiseuille) 22. Pierderi de presiune longitudinale la curgerea prin conducte circulare (rel. Weissbach-Darcy) si legea frecarii 23. Influenta rugozitatii suprafetelor solide asupra pierderilor de presiune, diagrama Nikuradse 24. Curgerea stationara a lichidelor prin retele hidraulice: ecuatiile be baza (bilant energetic si bilant masic), pierderi totale de presiune 25. Calculul retelelor hidraulice: conducta lunga simpla 26. Calculul retelelor hidraulice: conducta lunga cu diametru discontinuu variabil, conducte lungi legate in paralel