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Cidade Universitária - CEP: 37715-400, Poços de Caldas, MG - Brasil

HIDRÁULICA Aplicada em condutos

forçados

Prof. Dr. Alexandre Silveira

Apostila elaborada com base no livro:

Hidráulica Básica – Rodrigo de Melo Porto, Escola de Engenharia da São Carlos – USP

Poços de Caldas, 2014

1. Estática dos fluidos

Pressão

A pressão é originada por uma força normal aplicada sobre uma superfície de um

fluido com uma área A, se Fn representa a força normal que age numa superfície de área

A, e dFn a força normal que age num infinitésimo de área dA, podemos constatar que a

pressão num ponto será:

ndFp

dA=

Tendo-se um fluido com características homogêneas, e aplicando-se uma força de

intensidade média sobre toda sua superfície pode ser obtida a pressão pela seguinte

fórmula:

nFp =

A

Pressão em torno de um ponto de um fluido em repouso

Se um fluido está em repouso, todos os seus pontos também deverão estar. Caso

apareça uma pressão diferente em alguma direção, isso resulta em um desequilíbrio no

ponto, provocando um deslocamento na direção onde a pressão for maior. Logo, se um

fluido está em repouso, todas as pressões atuantes no entorno de um ponto são iguais.

Teorema de Stevin

A diferença de pressão entre dois pontos de um fluido em repouso é igual ao

produto do peso específico do fluido pela diferença de cotas dos dois pontos. O que de

acordo com a figura apresenta a seguinte equação:

( )b c b cp p h hγ− = −

Esse teorema apresenta algumas características importantes na resolução de

problemas de pressão:

a) na diferença de pressão entre dois pontos não interessa a distância horizontal

entre eles, mas sim a diferença de cota entre os pontos;

b) a pressão dos pontos num mesmo plano ou nível horizontal é a mesma;

c) o formato do recipiente não é importante para o cálculo da pressão em algum

ponto, por exemplo, na figura abaixo a pressão é a mesma em qualquer ponto do

nível A, obtendo-se a pressão pa, e em qualquer ponto do nível B, tendo-se a

pressão pb, desde que o fluido seja o mesmo em todas a ramificações;

d) se a pressão na superfície livre de um líquido contido num recipiente for nula, a

pressão num ponto à profundidade h dentro do liquido será dada por: p hγ= ;

e) nos gases, como o peso específico é pequeno, se a diferença de cota entre dois

pontos não for muito grande, pode-se desprezar a diferença de pressão entre eles.

Lei de Pascal

A lei de Pascal diz que a pressão aplicada num ponto de um fluido em repouso

transmite-se integralmente a todos os pontos do fluido.

Supondo que um reservatório receba em sua superfície uma força F (como

mostrada na figura abaixo), gerando uma pressão p. Considerando que a força aplicada

(na figura b) tem intensidade de F = 100 N e que a área superficial do reservatório seja de

A = 5 cm2. De acordo com a fórmula np F A= a pressão gerada por essa força na

superfície do reservatório será de 20 N/cm2, considerando hipoteticamente a pressão seja

de pA=3 N/cm2 no ponto A da figura (a), de acordo com a lei de Pascal, a pressão no ponto

A da figura (b) será de pA=23 N/cm2, pois a pressão é transferida integralmente para todos

os pontos do fluido, a mesma coisa acontece para os pontos B e C também.

Carga de Pressão

Pela formula de Stevin foi observado que a altura e a pressão mantêm uma relação

constante para fluidos do mesmo tipo. Podendo expressar, então, a pressão num certo

fluido em unidade de comprimento lembrando que:

ph

γ=

Essa altura é chamada de carga de pressão. A figura abaixo apresenta um

reservatório marcado com dois pontos, o ponto A e B, a pressão no ponto A pode ser

obtida pela formula ap hγ= ⋅ , no entanto a carga de pressão no mesmo ponto será igual

à ha, a mesma coisa acontece no ponto B.

No caso de tubo por onde escoa um determinado fluido de peso específico γ e à

pressão p. Supondo o diâmetro do tubo pequeno, a pressão do fluido em todos os pontos

da seção transversal será aproximadamente a mesa. Nota-se que nesse caso existe uma

pressão p, mas não há nenhuma altura h. Abrindo-se um orifício no conduto, verifica-se

que, se a pressão interna for maior que a externa, um jato de líquido será lançado para

cima, canalizando-se esse jato por meio de um tubo de vidro, verifica-se que o líquido

sobe até alcançar uma altura h. Essa coluna de líquido deverá, para ficar em repouso,

equilibrar exatamente a pressão p do conduto, dessa forma, nota-se então que o h da

coluna é exatamente a carga de pressão de p.

Escalas de Pressão

Se a pressão for medida em relação ao vácuo ou zero absoluto, é chama “pressão

absoluta”; quando for medida adotando-se a pressão atmosférica como referência, é

chamada “pressão relativa” ou “pressão efetiva”. A maioria dos aparelhos usados para

medir pressão (manômetros) usa a escala de pressão relativa, ou seja, tomando a pressão

atmosférica o zero.

Como a escala relativa toma a pressão atmosférica como ponto inicial, os valores

abaixo da pressão atmosférica são registrados com valores negativos (conhecido como

vácuo parcial ou depressão). Já na escala absoluta todos os valores são positivos, pois,

como dito anteriormente ela toma como ponto de partida o vácuo perfeito ou total.

Sistema de unidades (SI)

Pressão = Pa = N/m2

A partir da figura acima pode ser afirmado que:

abs atm relP P P= +

A pressão atmosférica é também chamada pressão barométrica e varia com a

altitude, Mesmo num certo local, ela varia com o tempo, dependendo das condições

meteorológicas.

2. Propriedades dos Fluidos

Massa específica

( )3 água /1000 mkg

V

m== ρρ

Peso específico

( )3 água /9810 mNg =⋅= γργ

Viscosidade dinâmica

µ = 1,007.10-3 kg/(m.s)

Número de Reynolds

Re= µ

⋅⋅ρ DV

Vazão

AVQ ⋅=

Equação da energia para fluidos ideais

2

222

1

211 Z

g2

VPZ

g2

VP++

γ=++

γ

Exercício 1.2 pg. 23 (Hidráulica Básica – Rodrigo de Melo Porto)

Cada termo tem como unidade o metro (é denominado carga) e admite interpretação

geométrica de importância prática

γ

P= carga de pressão (m)

z = carga de posição (m)

g

V

2

2

= carga cinética (m)

H∆ = perda de carga (m)

Equação da energia para fluidos reais (Equação de Bernoulli)

212

222

1

211 HZ

g2

VPZ

g2

VP−∆+++

γ=++

γ

Linha piezométrica = lugar geométrico dos pontos cujas cotas são dadas por zP

+γ

.

Cada valor zP

+γ

é chamado de cota ou carga piezométrica.

Linha de energia = lugar geométrico dos pontos cujas cotas são dadas por g

Vz

P

2

2

++γ

.

No caso de fluidos reais em escoamento permanente, a carga total, g

Vz

P

2

2

++γ

, diminui

ao longo da trajetória no sentido do escoamento.

OBSERVAÇÕES

a) geralmente a escala de pressão adotada é relativa (também chamada efetiva) ou

seja, em relação à pressão atmosférica (Patm=0). A linha piezométrica pode

coincidir com a trajetória em escoamentos livres ou mesmo passar abaixo desta

indicando pressões relativas negativas

b) Em cada seção da tubulação a carga de pressão disponível é γ

P

, podendo ser

positiva, negativa ou nula.

c) A linha de energia sempre desce no sentido do escoamento a menos que seja

introduzida uma energia externa, pela instalação de uma bomba

d) A perda de carga entre dois pontos da trajetória é a perda de energia total e não

de perda de carga piezométrica.

3. Escoamento uniforme em tubulações - perda de carga distribuída Fórmula Universal da perda de carga distribuída ou Equação de Darcy-Weisbach

g2

V

D

LfH

2

⋅⋅=∆ ; substituindo Q = V.A

2

5Q

D

Lf0827,0H ⋅⋅⋅=∆

f = fator de atrito Perda de carga unitária – J

L

HJ

∆=

5

2

D

Qf0827,0J ⋅⋅=

Fator de atrito f – Experiência de Nikuradse Ensaios realizados para determinar o fator de atrito em tubulações circulares. Foram realizados com tubos lisos cuja parede interna foi revestida com grãos de areia, de granulometria controlada criando rugosidade absoluta artificial de valor ε. Rugosidade absoluta – ε

Rugosidade relativa = ε/D Desta forma pode-se levantar para os escoamentos turbulentos as relações entre f, Re e a rugosidade relativa.

Região I – Reynolds < 2300m escoamento laminar, o fator de atrito independe da rugosidade e vale f=64/Rey Região II – 2300 < Rey < 4000, região de transição onde o valor de f não fica caracterizado Região III – curva dos tubos hidraulicamente lisos, o fator de atrito só depende do número de Reynolds. Escoamento turbulento hidraulicamente liso Região IV – transição entre o escoamento hidraulicamente liso e rugoso, f depende simultaneamente da rugosidade relativa e do número de Reynolds Região V – turbulência completa escoamento hidraulicamente rugoso, o fator de atrito depende somente da rugosidade relativa e independe do número de Reynolds

Escoamento turbulento uniforme em tubos comerciais

A partir da experiência de Nikuradse, diversos pesquisadores apresentaram equações para determinar o coeficiente de atrito: Colebrook e White (1939), Moody (1944), Swamee-Jain (1976)

+

⋅

ε−=

fRe

51,2

D71,3log2

f

1 Colebrook e White (1939)

2

9,0Re

74,5

D7,3log

25,0f

+

⋅

ε= Swamee-Jain (1976),

válida para:

5000 ≤ Re ≤ 108

10-6≤ ε/D ≤ 10-2

Recentemente Swamee (1993) apresentou uma equação geral para o cálculo do fator de atrito válida para os escoamentos, laminar, turbulento liso, de transição e turbulento rugoso:

125,0166

9,0

8

Re

2500

Re

74,5

D7,3ln5,9

Re

64f

−

+

⋅

ε+

=

−

Swamee (1993)

Moody (1944) estendeu os resultados experimentais para determinação do fator de atrito para tubos comerciais e os apresentou na forma de um diagrama, o diagrama de Moody.

DIAGRAMA DE MOODY

Os valores da rugosidade absoluta para diversos materiais são apresentados na tabela a seguir.

Exemplo 1: Calcule a perda de carga em um tubo de aço galvanizado com costura com 25mm de diâmetro e 160m de comprimento que transporta água a uma vazão de 30 litros por minuto. ( m8,11H =∆ )

Exemplo 2 - 2.6, pg 51 Exemplo 3 - 2.7, pg 52 – Solução da equação complexa – calculadora Exemplo 4 – Tem-se um reservatório elevado com altura de água disponível de 15m alimentando um reservatório enterrado através de uma tubulação de aço galvanizado com costura de 40mm de diâmetro e 120m de comprimento. Calcule a vazão que pode ser

drenada por essa tubulação (chuta-se V, calcula Reynolds, obtém-se f do diagrama de moody, calcula-se V. Repete-se até que V=Vn+1) – Q= 2,3L/s Exemplo 5 – Tem-se um reservatório elevado com altura de água disponível de 15m alimentando um reservatório enterrado através de uma tubulação de aço galvanizado com costura de 120m de comprimento. Sendo necessária uma vazão de 5 L/s, determine o diâmetro dessa tubulação para realizar esta tarefa. (chuta-se V, calcula o diâmetro, calcula Reynolds, obtém-se f do diagrama de moody, calcula-se V. Repete-se até que V=Vn+1) – D=0,055m

Fórmulas empíricas para cálculo da perda de carga em escoamento

turbulento

Existem várias fórmulas empíricas aplicáveis às tubulações de seção circular que podem, de maneira geral, ser expressas na forma:

m

n

D

QKJ =

Comparando com a fórmula universal, K=0,0827 . f, n=2 e m=5 para o escoamento turbulento. Como K depende de f, e f depende do material e do grau de turbulência, as fórmulas práticas têm limitações de uso. Fórmula de Hazen-Williams

87,485,1

85,1

DC

Q65,10J

⋅⋅= em que

J = perda de carga unitária (m/m) Q = vazão (m3/s) D = Diâmetro (m) C = coeficiente de rugosidade que depende da natureza e do estado das paredes do tubo. É valida para:

a) escoamento turbulento de transição b) água a 20ºC c) diâmetro maior ou igual a 4” d) origem: experimental com tratamento estatístico e) aplicação: redes de distribuição de água, adutoras, sistemas de recalque

Os valores do coeficiente C são apresentados na tabela a seguir:

A fórmula de Hazen-Williams, a despeito da popularidade entre projetistas, deve ser vista com reservas em problemas de condução de água [...] diante da incerteza sobre o tipo de escoamento turbulento, deve-se utilizar a fórmula, com f determinado pela equação de Colebrook e White ou Swamee-Jain Fórmula de Fair-Whipple-Hsiao D < 4”(100 mm ou 0,1m); •Trechos curtos; •Presença de grande número de conexões Projetos de instalações prediais de água fria, recomendada pela ABNT para PVC e aço galvanizado, em instalações prediais hidráulico sanitárias.

J(m/m), D(m) e Q(m3/s) Aço galvanizado novo conduzindo água fria

88,4

88,1

002021,0D

QJ =

PVC rígido conduzindo água fria

75,4

75,1

0008695,0D

QJ =

4. Perda de Carga Localizada Ocorre nos acessórios de uma instalação: válvulas, curvas, derivações, registros ou conexões de qualquer tipo. Método da carga cinética De uma maneira geral as perdas de carga, em cada acessório, podem ser expressas por uma equação do tipo:

)m(g2

VKh

2

⋅=∆

Em que k é um coeficiente adimensional que dependa da geometria da conexão, do número de Reynolds e da rugosidade da parede. É determinado experimentalmente para Reynolds suficientemente altos, maiores que 105, tornando-se independente do número de Reynolds assumindo em situações práticas um valor constante apresentado em tabelas.

Método dos Comprimentos Equivalentes

A perda de carga de uma singularidade pode ser equivalente a uma perda de carga distribuída de uma tubulação com mesmo diâmetro e determinado comprimento Le.

25

0827,0 QD

LfH e ⋅⋅⋅=∆

Basta somar os valores de Le das diversas singularidades ao comprimento real da tubulação e resolver o problema de perda de carga distribuída. Os valores de Le são obtidos analítica e experimentalmente para cada peça e variam conforme o material e o diâmetro.

Os tubos roscáveis de PVC têm como referência de medida o seu diâmetro interno, por exemplo: O tubo roscável de ¾” (três quarto de polegada) tem a sua medida externa no valor de aproximadamente 25,4mm, ou seja, uma polegada, porém apresenta a medida do seu diâmetro interno de 19,05 mm, que na verdade convertendo para polegada é equivalente a ¾”. Por isso afirma-se que este tubo tem diâmetro ¾” (três quarto de polegada). Os tubos soldáveis de PVC têm como referência de medida o seu diâmetro externo, por exemplo: O tubo soldável de 25 mm (vinte e cinco milímetros) tem a sua medida interna no valor de aproximadamente 21 mm, ou seja, valor menor do que o mencionado pelo fabricante como referência, porém ele apresenta a medida do seu diâmetro externo no valor de 25 mm.

Análise de Tubulações

O cálculo da vazão transportada em uma linha de tubulações com diâmetros diferentes e diversos acessórios e sob pressão é um dos principais problemas da Hidráulica. Obviamente esta vazão depende da energia disponível pelo sistema. È necessário calcular as perdas distribuídas e as perdas localizadas produzidas pelos acessórios. Estas perdas devem ser somadas e comparadas com a energia que o sistema dispõe. Considerando o sistema abaixo e conhecido todos os elementos é possível traçar a linha da energia (tracejada) e a linha piezométrica (contínua)

• Linha de energia corresponde às perdas de carga distribuídas e apresenta descontinuidade provocada pelas perdas localizadas.

• Linha piezométrica, V2/2g abaixo da linha de energia

• As superfícies livres dos reservatórios apresentam pressão atmosférica e representam condições energéticas limites. A diferença de cota entre as superfícies representa a energia total que o sistema dispõe, para dependendo das condições da linha veicular uma certa vazão (por gravidade)

• A, B, C, D, E, F, perdas localizadas

• Trecho retilineo a perda é distribuída e vale JiLi e cada singularidade a perda é dada por K.V2/2g

• Possibilidade de haver elementos para fornecer ou retirar energia do sistema.

∑∑ ⋅+⋅

⋅⋅=∆=∆

j

2j

jii

2iii

g2

VK

g2D

VLfZH

Influência relativa das perdas localizadas

Principais problemas de escoamento por gravidade:

Incógnitas Dados

1. Perda de carga, pressão

Vazão e as características da tubulação

2. Vazão Características da tubulação, energia disponível

3. Diâmetro Vazão, energia disponível

O tratamento destes problemas é o mesmo visto anteriormente, equação de Bernoulli e equações de resistência (formula universal, Swamme-Jain), agora neste caso acrescentando a perda de carga localizada. É importante conhecer a instalação hidráulica para saber se é possível desprezar as perdas localizadas sem prejuízo de cálculo. Em tubulações curtas como no caso de sucção de bombas, ou sistemas hidro-sanitários em edifícios a perda de carga localizada não pode ser desprezada (existem muitas conexões e os trechos são curtos). Por outro lado em casos de adutoras (tubulações de grande diâmetro e sem conexões) em que o comprimento é grande, e em redes de distribuição de água, as perdas localizadas costumam ser desprezadas. Geralmente quando as perdas localizadas são menores que 5% das distribuídas, podem ser desprezadas as perdas localizadas. CAPÍTULO 4 – SISTEMAS HIDRÁULICOS DE TUBULAÇÕES

1. Influência entre o traçado da tubulação e a linha piezométrica

• Dois reservatórios com níveis constantes

• Adutora suficientemente longa para que as perdas localizadas sejam desprezadas

• Material e diâmetro único

• Velocidades típicas de 1 a 2 m/s – cargas cinéticas 0,05 a 0,2m

• Linha piezométrica = linha de energia (carga cinética desprezada) = Linha de carga

Traçado 1

� Situação ideal nos projetos: tubulação abaixo da linha piezométrica (cargas de

pressão positiva) � Perda de carga = desnível topográfico � LCE=linha de carga efetiva � PCE=plano de carga efetivo � LCA=Linha de carga absoluta � PCA=plano de carga absoluto � LCA=LCE+P/γ Em P, a carga de pressão dinâmica efetiva é PX, a carga de pressão dinâmica absoluta PZ e a carga de pressão estática PY. OBS: se o registro na entrada do reservatório inferior for fechado a linha fica submetida às pressões estáticas PY > que PX a especificação dos tubos deve ser feita a partir de PY. Eventualmente os tubos podem ser especificados levando-se em conta o golpe de aríete, que é a variação da pressão que ocorre em uma tubulação como conseqüência de mudança na velocidade média devido a uma manobra brusca nos registros.

EFETIVO = RELATIVO

Traçado 2

A canalização passa acima da LCE, mas abaixo da LCA e do PCE.

� Em P, no trecho APB, a água estará sob pressão negativa (relativa) � Escoamento irregular – ar despreendido e tendência de entrada de ar pelas

juntas. � Não é possível instalar ventosas P<Patm – utiliza-se bombas especiais para

retirar o ar � Caso entre muito ar na tubulação tal que a pressão em P seja igual a

atmosférica , a linha piezométrica no trecho NP deixará de ser CO e será CP. Depois de P, a água não encherá completamente o conduto, escoará como um canal, e só entrará em pressão, enchendo novamente toda a seção a partir de X, sendo XD paralela a CP, por que para a vazão no trecho NP, a linha piezométrica interrompida no trecho PX, readquire a sua declividade.

� Quando a linha piezométrica passar em NP passar a ser CP, a nova vazão Q1 será menor que a vazão projetada Q. Problemas:

� Vazão real menor que a projetada. � Trecho PX fica mal aproveitado – escoamento pulsante

Caso seja impossível mudar o traçado, para garantir o fornecimento de Q: � Divide-se a adutora em 2 trechos de diâmetros diferentes � Instala-se no ponto P um pequeno reservatório aberto para a atmosfera

chamado caixa de passagem. Dimensiona-se para a vazão de projeto Q, o diâmetro D1 do trecho NP sob carga H1 e o diâmetro D2<D1 do trecho PL sob a carga restante H-H1.

� A caixa de passagem deve ser provida de registros, na entrada e na saída, para compatibilizar a vazão nos dois trechos com as cargas disponíveis, pois os diâmetros calculados devem ser necessariamente comerciais.

Traçado 3

A canalização corta a LCE e o PCE, mas fica abaixo da LCA

� A água vai até o ponto G. � Escorvando-se (retirando-se o ar acumulado) o trecho GEF por meio de

uma bomba, o sistema funcionará como um sifão. � Condições piores que o traçado 2 pois caso entre ar no trecho GEF o

escoamento cessará completamente e será necessário escorvar novamente

Traçado 4

A canalização corta a LCA, mas fica abaixo do PCE.

� Haverá escoamento, mas a vazão Q2 fornecida será inferior a vazão Q1 do traçado 2.

� A linha piezométrica torna-se CP no trecho NP e XD no trecho PL, com CP paralela a XD.

� No trecho PX – conduto livre – só adquirindo pressão no ponto X

� Solução semelhante à do traçado 2, caixa de passagem no ponto mais alto e dimensionamento da adutora com 2 trechos com diâmetros diferentes.

2. Distribuição de vazão em marcha

A vazão vai diminuindo ao longo do percurso. Ocorre em sistemas de abastecimento de

água. Impossível determinar as perdas de carga e vazões. Hipótese: vazão é consumida

uniformemente ao longo da linha.

Em que: LqQQ jm ⋅+=

Vazão Fictícia: vazão constante que produz a mesma perda de carga verificada na vazão

em marcha

2

QQQ jm

f

+=

Caso Qj=0, ponta seca ou extremidade morta

3

QQ m

f =

5

2f

D

Qf0827,0J

⋅⋅=

Exemplo 4.1 3. Condutos Equivalentes

Um conduto é equivalente à outro ou a um sistema de condutos se a perda de carga total em ambos é a mesma, para uma mesma vazão transportada. Substituir um sistema complexo de tubulações por outro mais simples ou mesmo por um único conduto

a. Conduto equivalente a outro Dois condutos de comprimentos, diâmetros e rugosidades diferentes. Para que

21 HH ∆=∆ e 21 QQ = :

5

1

2

2

112 D

D

f

fLL

⋅⋅= ---------------------------Fórmula universal

87,4

1

2

85,1

1

212 D

D

C

CLL

⋅

⋅= ------------------Hazen-Willians

b. Conduto equivalente a um sistema � Tubulações em série � Tubulações em paralelo � Tubulações ramificadas � Redes de tubulações

Analogia formal entre sistemas hidráulicos e os sistemas elétricos de corrente contínua. Q=corrente, Perda de carga=DDP, e resistência hidráulica = resistência ôhmica.

Sistema em série Para o conduto percorrido pela mesma vazão a perda de carga total entre as extremidades é a soma das perdas de carga. Fixando um certo D, o comprimento L de uma tubulação pode ser determinado transformando-se cada trecho da associação em conduto equivalente de diâmetro D utilizando:

∑=

⋅=

⋅ n

1i5

i

ii5 D

Lf

D

Lf Fórmula Universal

∑=

=⋅

n

1i87,4

i85,1

i87,485,1 DC

L

DC

L Hazen-Willians

Sistema em paralelo

A vazão se distribui pelos trechos inversamente proporcional às resistências hidráulicas. A perda de carga é a diferença entre as cotas piezométricas na entrada e na saída do sistema, a perda de carga é a mesma em todos os trechos e a vazão de entrada é igual à soma das vazões nos trechos.

Lf0827,0

DHQ

D

QLf0827,0H

5

5

2

⋅⋅

⋅∆=⇒

⋅⋅⋅=∆

33

533

22

522

11

511

5

321 Lf0827,0

DH

Lf0827,0

DH

Lf0827,0

DH

Lf0827,0

DHQQQQ

⋅⋅

⋅∆+

⋅⋅

⋅∆+

⋅⋅

⋅∆=

⋅⋅

⋅∆→++=

Desenvolvendo:

5,03

5,03

5,23

5,02

5,02

5,22

5,01

5,01

5,21

5,05,0

5,2

Lf

D

Lf

D

Lf

D

Lf

D

⋅+

⋅+

⋅=

⋅

Caso utilize Hazen-Williams

54,03

63,233

54,02

63,222

54,01

63,211

54,0

63,2

L

DC

L

DC

L

DC

L

DC ⋅+

⋅+

⋅=

⋅

É mais fácil adotar um diâmetro D (comercial) e calcular o correspondente comprimento L. Exemplo 4.2

4. Sistemas ramificados Um sistema é dito ramificado quando em uma ou mais seções de um conduto ocorre variação da vazão por derivação de água para um reservatório ou para consumo direto em uma rede de distribuição

a. Tomada de água entre dois reservatórios O reservatório superior será sempre abastecedor enquanto o reservatório inferior (de compensação) pode funcionar como abastecedor ou não. Na figura, R1 e R2 com níveis constantes, ABC é a tubulação e B é a tomada de água.

Situação 1 Se a vazão em B for nula, a vazão que sai de R1 chega a R2 e linha piezométrica é dada por LB1M. Os trechos funcionam como condutos em série sujeitos a uma perda de carga total igual a Z1-Z2.

21 ZZH −=∆

⋅+

⋅⋅⋅=∆+∆=∆

52

225

1

11221

D

Lf

D

LfQ0827,0HHH

⋅+

⋅⋅

∆=

52

225

1

11

D

Lf

D

Lf0827,0

HQ

Situação 2 Se a vazão em B aumenta, a linha piezométrica cai (diminui a cota piezométrica em B) e a vazão que chega a R2 diminui, até que a cota piezométrica em B se torne igual a Z2. neste ponto a LP é B3M e a vazão no trecho 2 é nula e

⋅⋅

∆=

51

11

B

D

Lf0827,0

HQ

Situação 3 Aumentando-se a retirada em B a cota piezométrica em B cai para B4, R2 passa a funcionar como abastecedor e QB é a soma das vazões nos dois trechos

( ) ( )

⋅⋅

−+

⋅⋅

−=

52

22

42

51

11

41B

D

Lf0827,0

BZ

D

Lf0827,0

BZQ

CAP. 5 – SISTEMAS ELEVATÓRIOS

INTRODUÇÃO Um sistema elevatório ou de recalque é o conjunto de tubulações, acessórios,

bombas e motores necessário para transportar uma certa vazão de água (ou qualquer outro líquido) de um reservatório inferior R1, na cota Z1, para outro superior R2, na cota Z2 (Z2>Z1).

Um sistema elevatório, geralmente, é composto de: a) Tubulação de Sucção – canalização que liga R1 à bomba, incluindo acessórios. b) Conjunto elevatório – conjunto moto-bomba – constituído por uma ou mais bombas e respectivos motores (elétricos ou a combustão elétrica) c) Tubulação de recalque – canalização que liga a bomba ao reservatório R2, incluindo acessórios.

A instalação da bomba no sistema de recalque pode ser feita de duas formas: a) Bomba afogada – cota do eixo da bomba abaixo da cota nível do reservatório inferior b) Bomba não afogada - cota do eixo da bomba acima da cota nível do reservatório inferior

Lembre-se que:

A altura de elevação da bomba ou altura manométrica (medida como a diferença entre a energia na saída e na entrada da bomba), expressa em metros de coluna do líquido, é igual ao desnível topográfico entre os reservatórios (Hg), acrescida de todas as perdas

de cargas, distribuídas e localizadas, nas canalizações e acessórios de sucção ( sH∆ ) e

recalque ( rH∆ ).

rsg HHHH ∆+∆+=

A potência recebida pela bomba é fornecida pelo motor que aciona a bomba, daí o nome conjunto moto-bomba. A potência é calculada pela expressão:

HQP ⋅⋅= γ

Como a transformação de energia no processo não se dá em condições ideiais (sem perdas de rendimento), a potência cedida por uma bomba é superior à que o escoamento recebe. Definindo η como o rendimento da transformação (conjunto), a

potência é calculada pela expressão:

η

γ HQP

⋅⋅=

Em que:

P = Potência (W)

Q = Vazão (m3/s)

H = Altura manométrica (m)

γ = Peso específico do líquido (N/m3)

A unidade de potência normalmente utilizada é o cavalo-vapor (cv). A equivalência entre Watt e cv é a seguinte:

1000 W = 1,36 cv

A expressão para o cálculo da potência em cv fica:

η

γ

⋅

⋅⋅=

735

HQP

Exemplo:

m

DIMENSIONAMENTO ECONÔMICO DA LINHA DE RECALQUE

Em um projeto hidráulico de uma adutora (por gravidade ou bombeamento) deve haver uma relação entre os requisitos técnicos de desempenho e segurança e o custo global do sistema.

O custo da tubulação depende basicamente do seu peso, que é função do diâmetro interno e da espessura da parede e de outros custos indiretos como transporte, mão de obra, assentamento. O diâmetro interno é um parâmetro que está relacionado às condições hidráulicas para garantir o transporte de uma certa vazão enquanto a espessura da parede depende da pressão interna e da solicitação às cargas externas.

No projeto de um sistema elevatório devem ser considerados dois aspectos: o diâmetro da tubulação de recalque e a potência do conjunto moto-bomba. Têm-se então dois casos possíveis:

1) Caso seja adotado um diâmetro relativamente grande, o custo total da tubulação será grande. Em compensação a potência do conjunto será pequena devido às pequenas perdas de carga impostas pelo diâmetro maior

2) Caso se adote um diâmetro relativamente pequeno, o custo total da tubulação será menor, porém resultará em perdas de carga mais elevadas. No entanto, a potência do conjunto será mais alta para “vencer” as maiores perdas de carga

Trata-se de um problema típico de otimização, em que os parâmetros devem ser otimizados a fim de minimizarem os custos.

Como a vazão e a altura geométrica são fixas, os custos totais da linha adutora e do conjunto elevatório, incluindo o custo anual de energia elétrica, dependem do diâmetro escolhido.

Um tratamento simples e aproximado do problema de dimensionamento econômico da tubulação de recalque é utilizar a FÓRMULA DE BRESSE.

)/()( 3 smQKmD ⋅=

Em que K depende, entre outros, dos custos de material, mão de obra, operação, e manutenção do sistema. Em geral K assume valores na faixa de 0,7 a 1,3.

Exemplo:

PLANILHA PARA O CÁLCULO DO DIÂMETRO ECONÔMICO DE UM SISTEMA ELVATÓRIO

Q (l/s) Hg (m) L (m) e (mm) T (h) N (dias) A (R$/ h (%) hm (%) t (%)kW*h)

80 48 880 0,4 16 365 0,031 0,7 0,85 0,12

Diâmetro Reynolds J H=Hg+JL Custo bom Custo tubu Custo anu Custo total(mm) (m/m) (m) beamento lação tubulação anual150 6,79E+05 0,1790 205,50 49022,232 41139,568 4936,75 53959200 5,09E+05 0,0396 82,84 19761,825 61542,333 7385,08 27147250 4,07E+05 0,0124 58,87 14042,806 84110,066 10093,21 24136300 3,40E+05 0,0048 52,21 12455,111 108567,97 13028,16 25483350 2,91E+05 0,0022 49,90 11902,686 134718,5 16166,22 28069400 2,55E+05 0,0011 48,95 11677,557 162411,19 19489,34 31167450 2,26E+05 0,0006 48,52 11574,416 191526,77 22983,21 34558500 2,04E+05 0,0003 48,30 11522,696 221967,8 26636,14 38159

CURVAS CARACTERÍSTICAS

Curva característica de uma bomba

Os fabricantes de bombas apresentam nos catálogos, as curvas de uma bomba por meio de um gráficos que relacionam: a altura manométrica com a vazão, H=f(Q) indicando também as linhas de igual rendimento, da potência necessária em função da

vazão, Pot=f(Q) e do rendimento em função da vazão η =f(Q). As curvas características

são obtidas experimentalmente em um banco de ensaio. Para a escolha da bomba adequada, os fabricantes também apresentam o gráfico da variável NPSH requerido (discutidas mais aditante).

Exemplos:

Curva característica de uma instalação

A energia necessária (E) para promover o escoamento é aquela correspondente ao conjunto de perdas de carga que o sistema impõe para transportar a vazão Q, acrescida da energia equivalente ao trabalho realizado para vencer o desnível topográfico.

2.QKHE g +=

Esta equação é chamada de característica do sistema.

Quando uma bomba opera em conjunto com um sistema de tubulações, a energia fornecida pela bomba é igual à energia requerida pelo sistema, para a vazão bombeada. Portanto nas condições de equilíbrio, H=E, fornece o ponto de valores H e Q.

Normalmente a solução é obtida por via gráfica sobrepondo-se a curva característica do sistema à curva característica da bomba. O ponto de cruzamento das curvas, que é chamado de ponto de funcionamento ou ponto de operação, é a solução do problema. O ponto de operação deve, na medida do possível corresponder ao ponto de ótimo rendimento da bomba, e no que diz respeito á tubulação, ao seu custo mínimo.

Sistemas de tubulações em série e paralelo

No sistema em série, a vazão é a mesma e a perda de carga total é a soma das perdas em cada trecho, de modo que a curva característica do sistema pode ser determinada pela expressão:

∑=

⋅+=N

i

ig QKHE1

2

Em que N é o número de trechos de características diferentes, em série. Para cada valor de Q, o valor de E é calculado e levado ao gráfico da curva característica da bomba.

No sistema de tubulações em paralelo é conveniente utilizar um procedimento gráfico baseado na propriedade fundamental de tubulações em paralelo, ou seja, a perda de carga no sistema é a mesma e as vazões se dividem de forma inversamente proporcional às resistências das tubulações. Traça-se a curva característica de cada tubulação e leva-se ao gráfico da bomba. Como a vazão bombeada é igual à soma das vazões nas tubulações, e a perda de carga é a mesma, para determinar a curva característica do sistema resultante basta somar graficamente, para cada valor de H, as vazões nas tubulações.

EXEMPLO:

Uma bomba centrífuga, com rotação igual a 1750rpm e curva característica dada pela tabela a seguir, está conectada a um sistema de elevação que consta de duas tubulações em paralelo, dois reservatórios superiores e um reservatório inferior. Uma tubulação de 0,10m de diâmetro, comprimento de 360m e f=0,015 está ligada ao reservatório com nível de água na cota 800,00m. A outra de 0,15m de diâmetro, comprimento de 900m e f=0,030, está ligada ao reservatório com nível de água na cota 810,00m. O reservatório inferior tem nível de água na cota 780,00m. Determine:

Associação de bombas em série e em paralelo

Nos projetos hidráulicos de estações elevatórios, geralmente, há uma grande variabilidade da vazão e da altura manométrica para ser abrangida pelas possibilidades de uma única bomba. Nestes casos recorre-se à associação de duas ou mais bombas em série ou em paralelo. A situação mais comum é aquela em que todas as bombas da associação são iguais, o que permite obter curva final do sistema mais estável e facilita a manutenção. Esta situação é tratada daqui para frente.

Associação em série: a entrada da segunda bomba é conectada à saída da primeira bomba, de modo que a mesma vazão passa através de cada bomba, mas as alturas manométricas de cada bomba são somadas para produzir a altura manométrica total do sistema.

Associação em paralelo: cada bomba recalca a mesma parte da vazão total do sistema, mas a altura manométrica total é a mesma de cada uma das bombas.

Duas ou mais bombas funcionando em série, a curva característica do sistema é dada pela soma das ordenadas das curvas de cada bomba, para uma mesma vazão.

Duas ou mais bombas funcionando em paralelo, a curva característica do sistema é dada pela soma das abscissas das curvas de cada bomba, para uma mesma altura manométrica.

Na associação em série, a curva da tubulação T-1, corta a resultante em D, ponto de funcionamento do sistema em série, e cada bomba da associação funciona no ponto E, recalcando a mesma vazão QE e fornecendo uma altura manométrica igual à metade da altura manométrica do sistema.

Na associação em paralelo, a curva da tubulação T-2, corta a resultante em A, ponto de funcionamento do sistema em paralelo, e cada bomba da associação funciona no ponto B, recalcando a mesma vazão QB= 0,5.QA sob a mesma altura total de elevação. É importante observar nas associações de bombas em paralelo que:

a) o ponto C representa o ponto de funcionamento de uma única bomba operando isoladamente no sistema T-2.

b) O ponto B representa o ponto de funcionamento de cada bomba operando conjuntamente no sistema T-2

c) Associando-se duas bombas iguais em paralelo não se consegue dobrar a vazão, QA<2QC.

d) Se uma das bombas parar de funcionar o sistema que fica em operação tem seu ponto de funcionamento deslocado de B para C.

EXEMPLO

As características de uma bomba centrífuga são dadas na tabela abaixo.

A bomba é usada para elevar água a uma altura geométrica de 6,5, por meio de uma tubulação de 0,10m de diâmetro, 65m de comprimento e f=0,020.

a) Determine a vazão recalcada e a potência consumida pela bomba b) Sendo necessária aumentar a vazão pela adição de uma segunda bomba

idêntica, investigue se nova bomba deve ser instalada em série ou em paralelo com a bomba original.

Escolha do conjunto motor-bomba.

Geralmente são utilizados catálogos dos fabricantes para especificar um bomba a partir de uma “família” de bombas de um determinado modelo. Fixada uma determinada rotação, os catálogos apresentam os mosaicos de utilização, que são gráficos da altura manométrica em função da vazão para uma faixa de utilização (H e Q).

Conhecida a vazão e a altura manométrica, escolhe-se uma velocidade de rotação e o mosaico das bombas permite a pré-seleção da bomba pelo código. A escolha definitiva, com a determinação do diâmetro do rotor, rendimento no ponto de funcionamento, potência necessária e demais dados é feita pela consulta as curvas da bomba.

Instalação, utilização e manutenção

Ver páginas149 a 151 do livro Hidráulica Básica

Exemplo para seleção do conjunto moto-bomba

Cavitação

Um líquido pode mudar para a fase gasosa em função da temperatura e da pressão em que se encontra. Por exemplo a água pode mudar de fase a 100º C em condições de pressão atmosférica. Porém a água também muda de fase em temperaturas menores se a pressão for menor. Desse modo a pressão de vapor é aquela na qual o líquido passa para a fase gasosa, em função da temperatura. A tabela a seguir apresenta a Pressão de Vapor da água, em função da temperatura.

Temperatura (oC) Pressão de Vaporabsoluta

(kPa)

5 0,883

10 1,275

15 1,668

20 2,354

25 3,139

30 4,218

35 5,592

40 7,358

45 9,614

50 12,263

55 15,794

60 19,914

65 25,114

70 31,392

75 38,848

80 47,677

85 58,173

90 70,436

95 84,562

100 101,337

Quando um líquido em escoamento passa por uma região de baixa pressão, chegando a atingir a sua pressão de vapor, naquela temperatura, formam-se bolhas de vapor do líquido. Estas bolhas são arrastadas pelo escoamento e podem atingir regiões em que a

pressão é maior do que àquela na região em que as bolhas se formaram. Esta brusca variação de pressão provoca o colapso das bolhas por um processo de implosão. Este processo de criação e colapso das bolhas é chamado cavitação.

A cavitação que pode ocorrer nas paredes da tubulação e nos rotores das bombas provoca a destruição gradativa do material.

No caso dos sistemas de bombeamento, o ponto mais crítico, em termos de baixa pressão, ocorre na tubulação de sucção. A queda de pressão que ocorre desde a superfície livre do líquido até a entrada do flange de sucção, depende da vazão, do diâmetro, do comprimento da tubulação, da rugosidade do material e principalmente da altura estática de sucção que é a distância vertical do eixo da bomba até o nível de água da onde se está bombeando.

N.P.S.H. Disponível – (Net Positive Suction Head) - NPSHd

É uma característica da instalação, definida como a energia que o líquido possui em um ponto imediatamente antes do flange de sucção da bomba, acima de sua pressão de vapor.

γ−+

γ= v

222

d

P

g.2

VPNPSH

Em que Pv é a pressão de vapor da água em uma dada temperatura.

Aplicando-se Bernoulli entre a superfície livre do reservatório e a entrada da bomba (1 e 2), têm-se:

S2

222

1

211 HZ

g2

VPZ

g2

VP∆++

⋅+

γ=+

⋅+

γ

S

222atm HZg2

VPP∆++

⋅+

γ=

γ

g2

VPHZ

P 222

Satm

⋅+

γ=∆−−

γ

Comparando as equações em destaque, têm-se:

Satmv

d HZPP

NPSH ∆−−γ

=γ

+

Svatm

d HZPP

NPSH ∆−−γ

−γ

=

Para bomba afogada, ou seja, se o eixo da bomba estive abaixo da linha de água, o mesmo raciocínio leva a:

Svatm

d HZPP

NPSH ∆−+γ

−γ

=

N.P.S.H. Requerido – (Net Positive Suction Head) – NPSHr

É uma característica da bomba, definida como a energia requerida pelo líquido para chegar, a partir do flange de sucção e vencendo as perdas de carga dentro da bomba, ao ponto onde ganhará energia e será recalcado.

O NPSHr é fornecido pelo fabricante através de uma curva em função da vazão, uma das curvas características da bomba.

Observa-se que o NPSHr aumenta com a vazão, enquanto o NPSHd diminui com a vazão. Para um bom funcionamento do sistema elevatório é necessário que, para a vazão recalcada:

NPSHd > NPSHr

Colocando estes duas funções em um mesmo gráfico pode-se observar a faixa de segurança, em termos da vazão recalcada, em que o fenômeno da cavitação não ocorre.

O ponto A representa o limite em que o NPSH disponível pela instalação é igual ao NPSH requerido pela bomba e esta condição deve ser evitada. A esquerda do ponto A tem-se uma região segura em que há folga na disponibilidade energética da instalação que supera a necessidade da bomba. Na prática, devemos ter uma folga entre o NPSHd e o NPSHr, de no mínimo 0,5m para a vazão recalcada.

Determinação da máxima altura estática de sucção

As possibilidades de aumentar o NPSHd de uma instalação são a altura estática de sucção (definida como a diferença entre a cota de assentamento do conjunto moto-bomba em relação ao nível de água do reservatório inferior) e a perda de carga total. A variável mais sensível é a altura estática de sucção, assumindo pra propósitos práticos, um valor não maior que 4 a 5m. Conhecendo-se a curva do NPSHr fornecida pelo fabricante, a altura de sucção máxima pode ser determinada igualando-se os NPSH disponível e requerido.

rd NPSHNPSH =

Para bombas não afogadas:

rSvatm NPSHHZ

PP=∆−−

γ−

γ

γ−

γ+∆−−= vatm

SrMAX

PPHNPSHZ

Para bombas afogadas:

rSvatm NPSHHZ

PP=∆−+

γ−

γ

γ−

γ−∆+= vatm

SrMAX

PPHNPSHZ

Determinação da pressão atmosférica

A pressão atmosférica varia com a altitude e com as condições climáticas. Para locais acima do nível do mar e até 2000m de altitude pode-se estimar a pressão atmosférica pela expressão (em que h é a altitude local expressa em metros):

(m.c.a.) em 1000

h081,07606,13

Patm

⋅−=

γ

Exemplo:

A bomba da figura deve recalcar uma vazão de 30m3/h e para esta vazão o NPSH requerido é de 2,5m. A temperatura média da água é de 20ºC. Determinar o valor de X pra que a folga entre o NPSH disponível e requerido seja de 3,8m. Diâmetro da tubulação de 3”, Coeficiente de Hazen Willians C=150, existe uma válvula de pé com crivo e um joelho de 90º.

O problema requer NPSHd-NPSHr=3,8m, o que resulta em NPSHd=6,3m.

A pressão atmosférica local é:

9,42mca 1000

5,834081,07606,13

Patm =

⋅−=

γ

A pressão de vapor a 20ºC é Pv=2,354 kPa e Pv/γ=0,24mca.

A altura de sucção é de 1,4m

Svatm

d HZPP

NPSH ∆−−γ

−γ

=

SH4,124,042,93,6 ∆−−−=

m48,1HS =∆

O comprimento equivalente da válvula de pé com crivo e o joelho vale 30,7m.

O comprimento virtual vale então X+30,7+0,5

Utilizando Hazen-Willians

87,485,1

85,1

DC

QL65,10H

⋅

⋅⋅=∆

( )87,485,1

85,1

075,0150

00833,0X5,07,3065,1048,1

⋅

⋅++⋅=

X=3,2m

BIBLIOGRAFIA:

Hidráulica Básica – Rodrigo de Melo Porto, São Carlos, EESC/USP, 1998.

Manual de Hidráulica – Azevedo Netto, Ed. Edgard Blucher, 1998.