heuréka matematika 11 megoldások.pdf

A tanknyv feladatai s a feladatok megoldsai

MATEMATIKA 11.

Dr. Gercs Lszl Szmad Lszl

A megoldsok olvasshoz Acrobat Reader program szksges, amely ingyenesen letlthetaz internetrl (pldul: adobe.la.hu weboldalrl).A feladatokat fejezetenknt kln-kln fjlba tettk. A fejezet cmmel elltott fjl tartalmazzaa fejezet leckinek vgn kitztt feladatok rszletes megoldsait. A feladatokat nehzsgkszerint jelltk:K1 = kzpszint, knnyebb; K2 = kzpszint, nehezebb; E1 = emelt szint, knnyebb; E2 = emelt szint, nehezebb feladat.

Lektorok:PLFALVI JZSEFNCSAPODI CSABA

Tipogra: LRINCZ ATTILA

Szakgraka: DR. FRIED KATALIN

Dr. Gercs Lszl, Szmad Lszl, Nemzeti Tanknyvkiad Zrt., 2011

Nemzeti Tanknyvkiad Zrt.a Sanoma companywww.ntk.huVevszolglat: [email protected]: 06 80 200 788

A kiadsrt felel: Kiss Jnos Tams vezrigazgatRaktri szm: RE16302Felels szerkeszt: Tthn Szalontay AnnaMszaki igazgat: Babicsn Vasvri EtelkaMszaki szerkeszt: Orlai MrtonGrakai szerkeszt: Mikes VivienTerjedelem: 15,1 (A/5) v1. kiads, 2012Trdels: PGL Graka Bt.

1 1 . V F O L Y A M

MATEMATIKA 3

Tartalom

Jelmagyarzat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

I. Kombinatorika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71. Egyszer kombinatorikai feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72. Sorbarendezsek szma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83. Kivlaszts s sorrend . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124. Kivlasztsok szmnak meghatrozsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145. Binomilis ttel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

II. Grfok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191. Bevezet problmk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192. Egyszer grf, sszefgg grf, teljes grf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203. Euler vonalak (emelt szint) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224. Tovbbi grfelmleti feladatok (emelt szint) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

III. Hatvnyozs, logaritmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311. Mit tudunk a hatvnyokrl, gykkrl (ismtls) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312. Trtkitevj hatvnyok rtelmezse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323. Az exponencilis fggvny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334. Exponencilis egyenletek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355. Exponencilis egyenletrendszerek, egyenltlensgek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376. A logaritmus fogalma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397. A logaritmusfggvny, a logaritmusfggvny s az exponencilis

fggvny kapcsolata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418. A logaritmus azonossgai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429. Logaritmikus egyenletek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

10. Logaritmikus egyenletrendszerek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4511. Logaritmikus egyenltlensgek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4712. ttrs j alapra (emelt szint) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4913. A logaritmus gyakorlati alkalmazsai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

IV. Trigonometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531. A vektorokrl tanultak sszefoglalsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532. Kt vektor skalris szorzata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543. A trigonometrirl eddig tanultak sszefoglalsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554. Szmtsok hromszgben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585. Szinuszttel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606. Koszinuszttel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 647. Szmtsok terepen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 678. Trigonometrikus egyenletek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 699. Trigonometrikus sszefggsek (emelt szint) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

10. Vegyes feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7411. Hromszgels rgen s ma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

1 1 . V F O L Y A M

T A R T A L O MMATEMATIKA4

V. Koordinta-geometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 791. Vektorok a koordinta-rendszerben, mveletek vektorokkal . . . . . . . . . . . . . . 792. Szakasz felezpontjnak, harmadolpontjnak koordinti . . . . . . . . . . . . . . 803. A hromszg slypontjnak, szakasz tetszleges osztpontjnak

koordinti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814. Kt pont tvolsga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 835. Vektorok skalris szorzata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 846. Alakzat s egyenlete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 867. Adott P0(x0; y0) ponton tmen, adott v(v1; v2) irnyvektor egyenes

egyenlete; kt ponton tmen egyenes egyenlete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 908. Adott P0(x0; y0) ponton tmen, adott n(n1; n2) normlvektor

egyenes egyenlete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 919. Kt egyenes metszspontja, pont s egyenes tvolsga . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

10. Adott P0(x0; y0) ponton tmen, adott m meredeksg egyenes egyenlete, egyenesek prhuzamossgnak s merlegessgnek felttele . . . 95

11. A kr egyenlete; a kr s a ktismeretlenes msodfok egyenlet . . . . . . . . . . 9612. Kr s egyenes klcsns helyzete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9913. Kt kr klcsns helyzete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10114. A kr rintjnek egyenlete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10215. A parabola, a parabola tengelyponti egyenlete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10416. Parabola s egyenes, a parabola rintje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

VI. Valsznsg-szmts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1091. Esemnyek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1092. Esemnyek valsznsge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1103. Klasszikus valsznsgi mez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1114. Binomilis eloszls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1145. Geometriai valsznsg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

5MATEMATIKA

1 1 . V F O L Y A M

Az A pont s az e egyenes tvolsga: d(A; e) vagy Ae

Az A s B pont tvolsga: AB vagy vagy d(A; B)

Az A s B pont sszekt egyenese: e(A; B)

Az f1 s f2 egyenesek szge: vagy

A C cscspont szg, melynek egyik szrn azA, msik szrn a B pont tallhat:

A C cscspont szg:

Szg jellse:

Az A, B s C cscsokkal rendelkez hromszg:

Az ABC9 terlete: T(ABC) vagy TABCAz a, b s c oldal hromszg fl kerlete:

A derkszg jele: *

Az e egyenes merleges az f egyenesre:

Az e egyenes prhuzamos az f egyenessel:

Egybevgsg: ,;

A hasonlsg arnya: m

Az A pontbl a B pontba mutat vektor:

Egyenl, nem egyenl: ;

Azonosan egyenl: ;

Kzeltleg egyenl: ; ;

Kisebb, kisebb vagy egyenl: , $; 6 > 4, a $ 2

A termszetes szmok halmaza: N; {0; 1; 2; }

Az egsz szmok halmaza: Z;{; 2; 1; 0; 1; 2; }

A pozitv, a negatv egsz szmok halmaza: Z+, Z;{1; 2; 3; }, {1; 2; 3; }

A racionlis, az irracionlis szmok halmaza: Q, Q*

A pozitv, a negatv racionlis szmok halmaza:Q+, Q

A vals szmok halmaza: R

A pozitv, a negatv vals szmok halmaza: R+, R

Eleme, nem eleme a halmaznak: !, "; ,

Rszhalmaz, valdi rszhalmaz: 3, 1; ,

Zrt intervallum: [a; b]

Balrl zrt, jobbrl nylt intervallum: [a; b[

Balrl nylt, jobbrl zrt intervallum: ]a; b]

Nylt intervallum: ]a; b[

Az x szm abszolt rtke: ;

Az f fggvny hozzrendelsi szablya: ; vagy

; ; y = 2x + 3

Az f fggvny helyettestsi rtke az x0 helyen:;

n faktorilis: n! = 1 2 3 (n 1) n

a alap logaritmus: loga x

10-es alap logaritmus: lg x

e alap logaritmus: ln x

Binomlis egytthat, n alatt a k:

Az x szm ngyzetgyke:

Az x szm n-edik gyke: xn

x

nkd n

(5), 5f xha 0 =( )f x0

f x y=] gf x x2 3= +] g: 2 3f x x7 +:f x f x7 ] g

, 3,13 1 =-x

N Q1A R3

2 Zg- +5 N!

8,54 8,5.2,3a ..

5a b /+/

2, 5a b !=,!=

AB

ABC A B C9 9, l l l

e f .Most hasonltsuk ssze a msodik s a harmadik mennyisget; rjuk t ket 20. gyks alakba:

, ,

teht > .

A kt eredmnyt egybevetve azt kapjuk: > > .

5 5 6255 420 20= =4 4 10244 520 20= =

5544335544

44334 4 644 343 12= =3 3 813 434 12= =

a b

a bb ab a

1 1

1 1

31 431 4

1 121 12

1113

2

2

2

2

-

+=

-

+ =-

+=

-+ =-

a b2

a ba b

a b

a b1 1

1 1

2 1

2 1

2

2

-

+ =-

+

- -

- -

B21

22

28

9 12

3

12= = = A B2A 21

21

22 1

217

8 12 12

4

12= + =+ =

A B210A 10 10020 2 10 10= = =^ h B 2010=

a ba b

a ba b a b a b a b3 5

2 4 2

6 10

4 84 8 6 10 10 18

= = =-

- -

-

-- - -c m

x xx x

x xx x x x x x x

5 3 7 2

2 3 3 2

15 14

6 66 6 15 14 1

$

$

$$ $ $ $= = =

-

-

-

-- - -

^ ^^ ^

h hh h

B21

9=A 21

21

8 12= +B 2010

=A 1020=

2. K1

a ba b

2 1

2 1

-

+- -

- -

b31

=a 2=3. K1

5544334. K1

a ba b

3 5

2 4 2

-

- -c mx xx x

5 3 7 2

2 3 3 2

$

$-

-

^ ^^ ^

h hh h

1. K1

1 1 . V F O L Y A M

I I I . H A T V N Y O Z S , L O G A R I T M U S 31MATEMATIKA

Hatvnyozs, logaritmusIII.

Vgezzk el a kijellt szorzst, s rjuk fel az eredmnyt egyetlen gykjel segtsgvel!

a) ; b) ; c) .

a) .

b) , ahol a 0, b 0, s azonos eljelek.

c) , ahol a > 0.

Milyen pozitv egsz szmot rhatunk az n helybe, hogy az albbi egyenlsg igaz legyen?

(ahol a > 1).

Emeljk az egyenlet mindkt oldalt 6-dik hatvnyra!

, azaz .Innen , azaz , teht .

2.Trtkitevj hatvnyok rtelmezse

rjuk fel az albbi kifejezseket gyks alakban, s szmolgp segtsgvel adjuk megrtkket hrom tizedesjegyre kerektve!

a) ; b) ; c) ; d) .

a) . b) .

c) . d) .

rjuk fel a kvetkez kifejezseket trtkitev-mentes alakban (y, x, p, k 1-nl nagyobbvals szmok)!

a) ; b) ; c) ; d) .

a) . b) .

c) . d) .

Vgezzk el a kvetkez mveleteket!

a) ; b) ; c) .

a) .

b) .

c) .p p p53 6

1 32

101 3

2

151

= =

-- -b bl l= G

:a b a b a b a b a b32

43 2

1

21

41 5

2

31

83

51

101

152

4019

$ $ = =-

--

- - - - -a ak kx x x x x2 4

132

43

21

21

1$ $= =-- - -

-^ ah k

k k k k k 121

31

65

21

31

65

0$ $ = = =- + -

p p p pp p1 15

132

51

32

157

157 715

$ = = = =- - -

x x x x x32

21

32

21

67

76$ = = =+

y y76

67=

8 ,81 0 2875

3

35.=

-5 ,

51 0 4472

1

.=-

10 ,10 5 62343

34 .=4 ,4 1 58731

3 .=

n 5=n2 10=n2 1 11+ =

a an2 1 11=+a a a an 22 6 5$ $=^ ^h h

a a a a a a a3 45 1530 1030 2430 30$ $ $ $= =- -ba

ab

ba

ab

b aa b

ba3 4 412

312

4 3

4 312 12$ $= = =b bl l

52

25

52

25

5 22 5

523 36

26

3 2

3 26 6$ $

$$

= = =b bl l

52

253$

ba

ab3 4$ a a a3 45$ $ -

5. K2

6. E1

a a a an3 56$ $=

k k k21

31

65

$ $-

p p51

32

$-

x x32

21

$y76

2. K1

p53 6

1 32

-b l= G:a b a b32 43 21

21

41 5

2

$ $-

--a ak kx x2 4

132

43

$--^ ah k

3. K1

8 53

-5 2

1-

1043

431

1. K1

32 MATEMATIKA I I I . H A T V N Y O Z S , L O G A R I T M U S

1 1 . V F O L Y A M

Hozzuk egyszerbb alakra az albbi kifejezseket!

a) ; b) ; c) .

a) .

Bvtsk a trtet -nel.

.

b) .

c) .

Az egyik argentin serd 4 venknt 1,8%-kal cskken. Hny szzalkra cskken ez azserd 30 v elteltvel?

Ha az erd 4 venknt 1,8%-kal cskken, akkor 4 v elteltvel a 0,982-ed rszre cskken. A 30 v 7,5 ilyen peridust jelent, teht 30 v elteltvel az erd llomnya -adrszre, vagyis a 87,26%-ra cskken.

Egy lengyelorszgi erdszetben 786 muont tartanak, melyek ves szaporulata 1,2%.Egy szerzds szerint hat s fl v mlva az akkori llomny harmadt elszlltjk egy msik te-lepre. Hny muon marad ekkor ebben a gazdasgban?

Az llatllomny 6,5 v mlva kb. egyedbl ll. Ennek egyharmad rszt el-szlltjk, vagyis a ktharmad rsze marad helyben:

.

3. Az exponencilis fggvny

brzoljuk a vals szmok halmazn rtelmezett albbi fggvnyeket!a) ; b) ; c) .

x

y

1

1

0

f (x) = 2x+2

x

y

1

1

0h(x) = 2x2 1

a) b) c)

32 849 566$ =

,786 1 012 849,6 5$ .

, ,0 982 0 8726,7 5 .

1021

1010

1

1010

1

10 1

10 110 110 1

119

21

21

21

21

21 2

21 2

+

-

=

+

-=

+- =a

akk

3164 64

3164 64

318 4

312 2

312 2 1

312 31 2 16

23

32

3 23 3 2 9 4 4 5 44$ $- = - = - = - =

-= = =

^ h2 2a a a a a a a a a3

223 2

34

3 32

23

34

3 613

$ $- = + - = + -a k

1010 10

10 10

10

1

1010

1

21

21

21

21

21

21

21

21

+

- =

+

-

-

-

3164 642

332

-a a32

23 2

-a k10 10

10 1021

21

21

21

+

--

-

4. K2

5. K2

6. K2

h x 2 1x 2= --^ hg x 3x 3= +^ hf x 2 x 2= - +^ h1. K1

33MATEMATIKAI I I . H A T V N Y O Z S , L O G A R I T M U S

1 1 . V F O L Y A M


1 1 . V F O L Y A M

Hny %-kal cskken a lgnyoms, ha a tengerszint feletti 4800 m magasan lev MountBlanc cscsra felmszunk a 2200 m magassg tborhelyrl?

A lgnyoms 2200 m-en

Pa.A lgnyoms 4811 m magasan

Pa

.

Teht a lgnyoms kb. 27,75%-kal cskken,

A radioaktv izotpok folyamatosan bomlanak. A bomlsi folyamatot az id fggvny-ben az albbi exponencilis fggvny rja le:

,ahol N0 a folyamat kezdetn meglev bomlsra kpes izotpok szma, t az eltelt id (rkbanmrve), N a t id elteltvel megmaradt bomlsra kpes atomok szma, k pedig a krdsesanyagra jellemz bomlsi lland. A brium egy izotpjnak bomlsi llandja k = 0,04. Sz-mtsuk ki, hogy 2000 g mennyisget vve ebbl az izotpbl mennyi marad belle 4 nap mlva?

4 nap = 96 ra. Teht a megmaradt izotpok szmag.

brzoljuk az albbi fggvnyt!

f : R \ {0} R, .

brzoljuk az f : R \ {1} R, fggvny grakonjt!

.3 3 3 3 3 3xx x

xx x

x1 112

- = - = ---

-

-

-

^ h

,,

0.0.

xx

2 22

haha

xx x x

x

1

1

2

2

1=

- -

- +*

5. E1 f x 3 3xx x

1

2

= ---

^ h

f x 2 xx x2

=

-

^ h4. E1

,N e e96 2000 2000 2000 0 0215 43, ,0 04 96 3 84$ $ $. .= =$- -^ h

N t N e k t0 $=$-^ h

3. K2

,7595754881 0 7225.

, 10 10 10 0,54881 54 881p e e4 8,

,5 84 8

5 0 6 5$ $ $. .= =-

-^ h

, 10 10 10 0,75957 75 957p e e2 2,

,5 82 2

5 0 275 5$ $ $. .= =-

-^ h

2. K2

x

y

1

1

0

f (x) =

3xx2x1 3

4. Exponencilis egyenletek

Oldjuk meg a kvetkez egyenleteket a racionlis szmok halmazn!

a) ; b) ; c) ;

d) ; e) ; f) .

a) , ;

b) , ;

c) , , ;

d) , , , .

e) rjuk fel az egyenlet mindkt oldalt 3 hatvnyaknt.

, azaz , , .

f) Az egyenlet gy rhat:

, azaz , , .


a) ; b) ;

c) ; d) .

a) , , , .

b) Az egyenlet mindkt oldala felrhat 2 hatvnyaknt:

, azaz ,

, , .

c) Az egyenlet mindkt oldala felrhat 3 hatvnyaknt:

, azaz ,

, , ,

, ahonnan .

d) Az egyenlet mindkt oldala felrhat 5 hatvnyaknt:

, azaz , ,

, , ahonnan .

2 64 2x 6= = x 6=

49 7x3 5 =- 27 9x4 3 =- 36 61x4 2

=+

2 64x = 5 251x

= 4 64x2 =

1. K1

x x15 3 6 5 15+ - = - x2 24= x 12=

5 5 5x

x3 53 6

1 3$ =-

- -^ h 5 5x

x3

53 6

3=

+ -

- x x35

3 6 3+ - = -

x6 21= x 27

=

3 3xx

3 2 8 42 1

=+ -+

x x2 54

2 1- = + x x8 20 2 1- = +

3 3 3xx

3 2 4 42 1

$ =-

+^ h 3 3 3xx

3 2 8 42 1

$ =-+

x33

1 1- + + =- x 31 2+ = x 5=

2 2 2x

3 31

1$ =-+

- 2 2x3

31

1=

- ++

-

5 5125

1 3x 4= =- -^ h x 4 3- =- x 1= x 1!=

27 9 3x x4 2 14$ =- + ,125 5 0 2x x3 65 3$ =- -^ h5

1251x 4

=- ,81 2 0 5x 13$ =+

2. K1

5251 5x 2= = - x 2=-

49 7 4921

x3 5= =- a k x3 5 21- = x6 11= x 611=

4 64 4x2 3= = x2 3= x 23

=

3 3x3 4 3 2=-^ h 3 3x12 9 2=- x12 9 2- = x 910=

6 6x2 4 2 1=+ -^ h 6 6x8 4 1=+ - x8 4 1+ =- x 85=-


1 1 . V F O L Y A M

Oldjuk meg a kvetkez egyenleteket a racionlis szmok halmazn!a) ; b) ;

c) ; d) .

a) A hatvnyozs azonossgainak felhasznlsval az egyenlet bal oldala gy rhat:

, vagyis ,

, , ahonnan .

b) A hatvnyozs azonossgainak felhasznlsval az egyenlet bal oldala gy rhat:, teht ,

, ahonnan .

c) A hatvnyozs azonossgainak felhasznlsval az egyenlet bal oldala gy rhat:

, azaz ,

, ahonnan .

d) A hatvnyozs azonossgainak felhasznlsval az egyenlet bal oldala gy rhat:

, vagyis ,

, azaz , ahonnan .

Oldjuk meg a kvetkez egyenleteket a racionlis szmok halmazn!a) ; b) ; c) .

a) Vezessk be a j ismeretlent. Ekkor

, , , .

nem lehetsges, hiszen 4-nek minden hatvnya pozitv. Ha

, akkor .

b) Az egyenletet gy alakthatjuk:, azaz .

Most -ben kaptunk egy msodfok egyenletet:

, , .

Teht az eredeti egyenlet megoldsai: , .

c) A hatvnyozs azonossgai alapjn az egyenlet gy rhat:, azaz .

Az -ben msodfok egyenlet megoldsa:

, , .

Teht az eredeti egyenlet megoldsai: , .


a) ; b) .

a) A hatvnyalapokban szerepl trtek szmllit s nevezt alaposan szemgyre vve szreve-hetjk, hogy azok mindegyike 3-nak vagy 5-nek hatvnya. Ezzel az szrevtellel az egyenlet gyrhat:

, azaz ,

4 3 4 2 4 13x x x1 1$ $+ - =+ - 8 4 64x x3

12

1- =

+ +

3 2 3 3 20x x x1 1$+ - =+ - 5 3 5 2 5 18x x x2 1$ $+ - =+ +3. K1

3 2 3 333 20x x

x

$ $+ - = 7 3 33 20x

x

$ - =

4 3x =-

a2

1 1 242

1 5,1 2

! != - + = - a 31=- a 22 =a a 6 0

2+ - =

a4x =

x 4=2 16 24x = =^ h4 2 64x$ =8 2 4 2 64x x$ $- =8 8 4 4 64

x x3$ $- =^ ^h h

x21

=4 42x 21

= =

42

13 13x$ =4 4 3 4 2 44 13x x

x

$ $ $+ - =

x 0=5 1 50x = =^ h18 5 18x$ =25 5 3 5 10 5 18x x x$ $ $+ - =

x 1=3 3x =20 3 60x$ =

5 5 1 5 5x x x2 1 2$ + = ++ +4 32 2 2x x x3 2+ = ++ +4 4 6x x2 + =

4. K2

53

53

53x x x2 6 3

2

$ =-b b bl l l53 35 53

x x x2 3 6 2

$ =-b b bl l l

5251 5

502 2x

2 = = =-b l5 1 50x1 = =^ h5026 676 100 5026 24! !- =

5x25 5 26 5 1 0x x2$ $- + =25 5 1 25 5 5x x x2$ $+ = +

2x2 =-x 01=

x 22 =x 31=

2 4 22x2 = =^ h2 8 23x1 = =^ h2 212 144 128 212 4,x1 2 ! != - =2x

4 12 2 32 0x x$- + =4 32 8 2 4 2x x x$ $+ = +

x21

=4 2 421

x= =a k

259

27125

53x x x2

2

$ =-b b bl l l 4 2 1 4 2 1 2x x x x1 1- + + + + =+ +

5. E1


1 1 . V F O L Y A M

, ahonnan , vagyis ,

, , .

b) A knnyebb ttekinthetsg rdekben vezessk be a j vltozt. Ezzel a megoldandegyenlet gy rhat:

.A ngyzetgykk alatt teljes ngyzetek szerepelnek, teht azt kapjuk?

.Most hrom esetet kell vizsglnunk.1. Ha , akkor , azaz , teht .2. Ha , akkor , amibl a azonossghoz jutunk.3. Ha , akkor , ahonnan , ami nem megolds.Azt kaptuk teht, hogy az a-ban felrt egyenletet kielgt vals szmok: . Ezek sze-rint . Mivel minden vals x esetn pozitv, gy a bal oldali egyenltlensg mindigteljesl. Teht , vagyis az eredeti egyenletet kielgt vals szmok: .

5.Exponencilis egyenletrendszerek,egyenltlensgek

Oldjuk meg az albbi egyenletrendszereket a vals szmprok halmazn!

a) ; b) ; c) .

a) Vezessk be a s j vltozkat; ezzel az egyenletrendszer gy rhat:s .

A kapott ktismeretlenes elsfok egyenletrendszer megoldsa: , , tehts ,

gy az eredeti egyenletrendszer megoldsa: , .

b) Legyen most s . A kvetkez elsfok ktismeretlenes egyenletrendszerhez ju-tunk:

s .

Ez utbbi egyenletrendszer megoldsa: , . Teht

, ahonnan s , ahonnan .

c) Legyen s . Az j egyenletrendszer:

s .

Az egyenletrendszer megoldsa: , . Teht s , ahonnan kap-juk az eredeti egyenletrendszer megoldst: , .

Oldjuk meg az albbi egyenletrendszereket a vals szmprok halmazn!

a) ; b) .

a) Az egyenletrendszerben szerepl egyenletek mindkt oldala felrhat azonos alap hatvny-knt. Az els egyenlet 2-nek, a msodik pedig 3-nak hatvnyaknt. Teht az egyenleteket gyrhatjuk:

s .2 2x y4 2 3=+ - 3 3x y3 1 3 6=- - -

4 2

31 27

2 1 3

3 12

x y

xy

=

=

+ -

+-b l 4

551

9 27

1

2 1 1

xy

x y

=

=

+

- +

b l 42. K2

x 2= y 1=

a 4= b 7= 2 4 22x = =^ h 7 7y =a b2

73 11+ = a b2

2 12- =-

a2x = b7 y =

5 5x = x 1= 2 8 23y = =^ h y 3=a 5= b 8=

a b5 17- = a b23 17+ =

a5x = b2 y =

x 2= y 0=4 16 42x = =^ h 3 1 30y = =^ h

a 16= b 1=a b2 14- = a b4 65+ =

a4x = b3 y =

4 2 3 14

4 3 651

x y

x y

$- =

+ =+3 5 2 17

5 3 2 17

1

1

x y

x y$

- =

+ =

+

-4 2 3 7 11

2 2 7 12

1 1

1

x y

x y

$

$

+ =

- =-

+ -

-3

1. K1

x 0#2 1 2x 0# =2x1 2 1x# #-

a1 1# #-a 1=-a a1 1 2- + - - =a 11-

2 2=a a1 1 2- + + + =a1 11#-a 1=a2 2=a a1 1 2- + + =a 1$

a a1 1 2- + + =

a a a a2 1 2 1 22 2- + + + + =

a2x =

x 22 =x 31=-x 21 1 24

21 5

,1 2! !

= - + = -

x x 6 02+ - =x x6 2- =53

53x x x2 6 3

2

=+ -b bl l


1 1 . V F O L Y A M

Ezzel az albbi ktismeretlenes elsfok egyenletrendszerhez jutunk:s .

Az egyenletrendszer megoldsa: , .

b) Az els egyenlet mindkt oldalt 5 hatvnyaknt, a msodik egyenlet mindkt oldalt 3 hat-vnyaknt rhatjuk fel.

s .A kvetkez egyenletrendszerhez jutunk:

s .


Oldjuk meg az albbi egyenletrendszert a vals szmprok halmazn!

.

rjuk fel az els egyenlet mindkt oldalt 2 hatvnyaknt, a msodik egyenlet mindkt oldalt 3hatvnyaknt. Az els egyenletbl

, ahonnan .

A msodik egyenletbl

, ahonnan .

A msodik egyenletbl . Ezt az els egyenletbe helyettestve azt kapjuk, hogy

.

A kzs nevezvel val szorzs s rendezs utn az albbi msodfok egyenlethez jutunk:,

, , .

Felhasznlva az egyenletet, az eredeti egyenletrendszer megoldsai:

, s , .

Oldjuk meg a kvetkez egyenltlensgeket a vals szmok halmazn!

a) ; b) ; c) .

a) , mivel a hatvnyalap 1-nl nagyobb, ezrt innen , teht az egyenltlen-sget kielgt vals szmok: .

b) . A hatvnyalap 1-nl kisebb, ezrt az alapok elhagysa utn az egyenltlensg

irnya megfordul:

, ahonnan .

c) rjuk fel az egyenltlensg mindkt oldalt 2 hatvnyaknt..

A hatvnyalap 1-nl nagyobb, ezrt rhatjuk

, ahonnan .

x y4 5- =- x y3 3 5+ =

yx

xy2 5 3= +2 2 2y

xxy2

53

$=

y79

=-x 72

=

x y4 3 5- =x y 1+ =-

3 33 3x y4 2 =- +5 5x y1=+ -

y37

=x 32

=-

4 32 8

3 3 3

1 1

2 21

x y y x

yx

y y

$

$

=

= -

^ ^^

h hh4

3. E1

x711-x x9 3 4 21- - +

2 2x x9 3 4 21- - +

x231-x2 4 11+

51

51x2 4 2

+b lx 8#

x 5 3#-3 3x 5 3#-

x23

2 = y 21

2 =y 41=x 21=-

x y2= -

y21

2 =y 41=y 49 81 32

49 7

,1 2! !

= - =

y y2 9 4 02- + =

yy

yy2 2 5

23-

= +-

^ hx y2= -

yx

yy1 2 2= + -3 3 3y

xy

y2 2

$=

-

3 27x 5 #- ,51 0 2

x2 42

+b l 8 41xx

3 12

1--b l

4. K1


1 1 . V F O L Y A M

Oldjuk meg a kvetkez egyenltlensget az 1-tl klnbz pozitv vals szmok hal-mazn!

.

. Szeretnnk elhagyni az azonos alapokat, de nem tudjuk, hogy az 1-nl kisebbvagy nagyobb. Ezrt kt esetet kell vizsglnunk.1. Ha , akkor . E msodfok kifejezs zrushelyei 2 s 8, teht az egyen-ltlensg megoldsa , s e vals szmokra teljesl az felttel.

2. Ha , akkor . Ennek az egyenltlensgnek a megoldsa: vagy. Mivel esetnkben , ezrt ez esetben a megolds .

A kt esetet egybevetve az eredeti egyenltlensget kielgt vals szmok:

vagy .

6. A logaritmus fogalma

Hatrozzuk meg az albbi kifejezsek rtkt a logaritmus dencija alapjn!

a) ; b) ; c) ; d) ;

e) ; f) ; g) ; h) .

a) ; b) ; c) ; d) ;

e) ; f) ; g) ; h) .

Hatrozzuk meg az albbi kifejezsekben szerepl logaritmusok alapjt!

a) ; b) ; c) ;

d) ; e) ; f) .

a) ; b) ;

c) ; d) ;

e) ; f) .

Szmtsuk ki a kvetkez kifejezsekben szerepl ismeretleneket!a) ; b) ; c) ;

d) ; e) ; f) .

a) ; b) ; c) ;

d) ; e) ; f) .x 6216

13= =- y 7 49

4= =^ h p 9 312

1

= =-

a 4 643= = b 2 1614

= =- k 21 4

2= =

-b l

log x 36 =- log y 47 = log p 21

9 =-

log a 34 = log b 42 =- log k 221 =-

3. K1

,x x881

51213

1

3= = =-

,x a x a31

3 9= =

,x x5511

= =- ,x x41 22 = =-

, ,x x x16 0 42 2= =^ h ,x x3 921 = =

log41 2x =- 8log 3

1x =- log a 3

1x

3= a 02^ h

log 16 2x = log 3 21

x = log 5 1x =-

2. K1

log161 24 =- 25log 45 = 9log 2

31 =- 49log 4

71 =-

8log 32 = 81log 43 = log 51 15 =- 2log 22 =

log161

4 log 255 log 931 log 49

71

8log2 8log 13 log 51

5 log 22

1. K1

x 1x x10 162

#- +

5. E1

x xx x10 16 02

#- +

x2 8# #x0 11 1

x0 11 1x0 11 1x 8$x 2#x x10 16 02 $- +x0 11 1

x 12x2 8# #x x10 16 02 #- +x 12


1 1 . V F O L Y A M


1 1 . V F O L Y A M

Adjuk meg a kvetkez kifejezsek pontos rtkt!a) ; b) ; c) ;

d) ; e) ; f) .

a) ;

b) ;

c) ;

d) ;

e) ;

f) .

Hatrozzuk meg a kvetkez kifejezsek rtelmezsi tartomnyt a c, d, e s f esetbenbrzoljuk az rtelmezsi tartomnyt egy szmegyenesen!

a) ; b) ; c) ;

d) ; e) ; f) .

a) , .b) , .c) s , teht s .

d) , vagy .

e) s .A msodfok kifejezs zrushelyei: 3 s 8, teht s .

f) , s , teht , s . Az sszes felt-telnek eleget tev vals szmok: , .

x

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

x5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5

8x2 1 1 x 3!x 2 02- x 2 1!- x x8 02 2- + x 22 x 3! x0 81 1

x3 81 1 x 4!x x11 24 02 2- + - x 4 0!-

x x7 02 2- x 01 x 72

x5 10 02+ x 1 0!+ x 22- x 1!-

x15 3 02- x 51x2 4 02+ x 22-

log x x732-^ h lg x

x x4

11 242

-

- + -^ h log x x8x 2 2- +- ^ hlg x2 4+^ h log x15 32 -^ h lg x

x1

5 10+

+^ h5. E1

4 8log 116 7 8log1 49+ 25log

21 35-

3log 153 10lg 6 9log 534. K2

255

535

95log

log21 3

3 2 25

5= = =

-

^ h7 7 49 7 8 7 8log log1 8 8 2

121

49 49$ $ $= = =+ ^ h4 16 16 81 9log

loglog81 2

1 8181 2

121

16

16

16= = = =a ^k h9 3 3 5 25log log log5 2 5 5 2 23 3 3= = = =^ ^h h10 6lg 6 =

3 15log 153 =

7. A logaritmusfggvny, a logaritmusfggvny s az exponencilis fggvny kapcsolata

brzoljuk a kvetkez fggvnyek grakonjt!a) ; b) ; c) .

brzoljuk a kvetkez fggvnyek grakonjt!a) ; b) .

brzoljuk a kvetkez fggvny grakonjt!.

x

y

1

1

0

f (x) = log2 |x|

x

y

1

1

0

f (x) =

log4(x 3)

+ 2x

y

1

1

0

g(x) =

log 13

(3 x)

1

a) b)

logf x x3=^ h logg x x 121= -^ ^h h logh x x2=- -^ ^h h

1. K1

2. K2logf x x 3 24= - +^ ^h h logg x x3 1

31= - -^ ^h h

3. E1logf x x2=^ h


1 1 . V F O L Y A M

x

y

1

1

0

f (x) = log3 x

x

y

1

1

0

g(x) = log 12

(x 1)

x

y

1

1

0

h(x) = log2(x)

a) b) c)

Oldjuk meg grakusan az albbi egyenltlensget!.

A megolds: .

Vizsgljuk meg, hogy az albb megadott fggvyeknek van-e inverzk, s ha igen adjukmeg azokat!

a) ; b) (x $ 2); c) (x $ 1).

a) Mivel f(x) klcsnsen egyrtelm, ezrt van inverze. Ha ez az inverz f*(x ), akkor, ahonnan .

b) A g(x) fggvny szigoran monoton nvekv, az rtelmezsi tartomnya . Mivel rtk-kszlete a nemnegatv vals szmok halmaz, ezrt g*(x) inverznek rtelmezsi tartomnya

. Ekkor

, ahonnan .

c) A fggvny esetn szigoran monoton nvekv. rtk-kszlete a 1-nl nem kisebb vals szmok halmaza. Ezrt a h*(x ) inverz fggvnynek r-telmezsi tartomnya . Ha elksztjk h(x) grakus kpt, akkor lthat, hogy

.

8. A logaritmus azonossgai

rjuk fel az albbi kifejezsek logaritmust a benne szerepl (pozitv) mennyisgek loga-ritmusainak segtsgvel!

a) ; b) ; c) .

a) ;

b) ;

c) .

x23 0! -: D

x

y

1

1

0

h(x)

h(x)

x

y

1

1

0

4. K2log x 2 12 #+^ h

*x g x 2= -^ h *g x x 22= +^ hx 0$

x 2$*x f x 4= +^ h * 4f x x= -^ h

f x x 4= +^ h g x x 2= -^ h h x x x22= -^ h

5. E1

*h x x 1 1= + +^ hx 1$-

h x x x x2 1 12 2= - = - -^ ^h h x 1$

1. K1

x a b2$= y a b2 2= - zq

a3 $ r=

lg lg lg lg lg lgx ab a b a b22 2= = + = +^ hlg lg lg lg lgy a b a b a b a b a b2 2= - = + - = + + -^ ^ ^ ^ ^h h h h hlg lg lg lg lg lg lg lg lg lgz

qa a q a q a q

21 3

213 3 2

13r r r r= = - = + - = + -e ^o h


1 1 . V F O L Y A M

A logaritmus azonossgainak felhasznlsval fejezzk ki x-et az albbi egyenlsgbl(a, k, b, p, q > 0)!

a) ; b) ; c) .

a) , ;

b) , ;

c) , .

Szmtsuk ki a kvetkez kifejezsek pontos rtkt!a) ;

b) ;

c) .

a) ;

b) ;

c) .

Mivel egyenl lg150, ha lg 3 = a s lg 5 = b?

.

Legyen lg 2 = a, lg 3 = b s lg 7 = c. Fejezzk ki lg(10!)-t a, b s c segtsgvel!

9. Logaritmikus egyenletek

Oldjuk meg a kvetkez egyenleteket a vals szmok halmazn!

a) ; b) ; c) ;

d) ; e) ; f) .

a) ;

b) ;

c) ;

d) , ;

e) , ;

f) .

A kapott gykk helyessgrl ellenrzssel meggyzdhetnk.

2. K1

lg lgxka

= x ka

=

lg lg lgx a k= - 3lg lg lgx a b21

= + lg lg lg lgx a p q2 21

= - -^ h

lg lg lg lgx a b a b21

3 3$= + = ^ h x a b3$=lg lg lg lg lg lg lg lgx a p q a p q

pa q

21

212 2 2

= - + = - + = f p xp

a q2=

3. K215 35log log log 2125 25 25+ -

6 66

62 6

lglg lg

lglg lg

lglg

lglg

lglg

69 2 2

69 2 9 4 2

2 2$+=

+= = = =

^ h15 35 21 2log log log log log

2115 35 5 125 25 25 25 25

$+ - = = =

, ,p q pq0 0 12 2 !^ hlog logp q pqpq pq2 2+lg

lg lg6

9 2 2+

lg lg lg lg lg a b150 3 5 10 3 5 10 1$ $= = + + = + +^ h

log log log log logp q pq p qpq pq pq23

pq pq pq pq pq2 2 2 2 3 2

3

+ = = = =^ ^h h

4. K2

x 88

1213

1

3= = =-

x 141 4 16

22

+ = = =-b l x 15=

x 2=-x 3 9 10+ = =

x31

912

= =b lx 4 4 22

1

= = =

x 3311

= =-

!

.

lg lg lg lg lg lg lg lg lg lg

lg lg lg lg lg lg lg lg lg lg

lg lg lg lg lg b a c a b c

10 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2 5 3 2 2 2 3 7 3 2 2 3 10

10 4 3 6 2 7 10 1 4 6 1 6 4 2

= + + + + + + + + =

= + + + + + + + + + =

= + + + + = + + + + = + + +

^ h5. E1

1. K1

log x 13 =- log x 21

4 = log x 231 =

log x 3 09 + =^ h log x 1 241 + =-^ h log x 318 =-


1 1 . V F O L Y A M

Oldjuk meg a kvetkez egyenleteket a vals szmok halmazn!a) ;

b) ;

c) .

a) , , ;

b) , , , ;

c) , , , , .

A kapott gykk helyessgrl ellenrzssel meggyzdhetnk.

Mely vals szmok elgtik ki a kvetkez egyenleteket?a) ; b) ; c) .

a) , , , ; az egyenletnek nincs vals megoldsa.

b) ; , , .

c) , ; , ,

, , .

Mivel , ezrt a megolds .

Mely vals szmok elgtik ki a kvetkez egyenleteket?

a) ;

b) .

a) . A logaritmus azonossgait felhasznlva az egyenlet gy alakthat:

,

, ahonnan ,

, azaz ,

, , .

A negatv gyk hamis, teht az egyedli megolds: .b) , .

, azaz ,

, ahonnan , ,

, , .

A negatv gyk hamis, teht az egyedli megolds: .

Oldjuk meg az albbi egyenletet a vals szmok halmazn!

.

Elszr alaktsuk t az egyenlet jobb oldalt.

.

Ezek szerint a megoldand egyenlet gy rhat:

, azaz ,

, , .2 12 2 1x x$= +-21 12 2 1x

x$= + 12 2 2 1 0x x2$ + - =^ hlog x12 2 1

2x

4 $ + =-^ h 4 12 2 1x

x2 $= +-

5log log logx x51 5

2xx

25 25 25$= =- =--c m

log log12 2 151x

x4 25$ + =^ ch m5. E1

x 2=

x2

1 1 82

1 3,1 2

! != + = x 11=- x 22 =

1 2log x x 14 $- =^^ h h x x2 2 42- = x x 2 02- - =2log logx x1 2 24

24- + =^ ^h h 2 2log logx x2 1 24 4- + =^ ^h h

x 02 x 1!x 4=

x4

1 1 2244

1 15,1 2

! != + = x 2

71=- x 42 =

x x6 3 84 02- - = x x2 28 02- - =

log x x2 1 3 3 23 + - =^ ^h h x x2 1 3 3 9+ - =^ ^h hlog logx x2 1 3 3 23

21

3+ + - =^ hx 12

2log logx x x2 1 2 242

4$- + + =^ ^h hlog log lgx x

21 2 1 3 3 1003 3$ + + - =^ h

4. K2

x 22 x 5=

x2

6 36 202

6 4,1 2

! != - = x 11= x 52 =

x 22 x 3! x x2 1 2 2- = -^ h x x6 5 02- + =x

312 x x6 2 3- = + x5 5= x 1=

x 02 x 1! x x2 4+ = x 4=-

log x2 4 1x + =^ h log x6 2 1x 3 - =+ ^ h log x2 1 2x 2 - =- ^ h3. K2

3 log x2 1 4 2421

+ - = =^ h log x2 1 14 - =-^ h x2 1 41- = x2 45= x 85=2 log x 2 12- + =^ h log x 2 12 + =^ h x 2 2+ = x 0=1 log x 23+ = log x 13 = x 3=

3log log x2 121

4 4+ - =^ h6 @2log log x 2 025 2- + =^ h6 @

1log log x 12 3+ =^ h2. K1


1 1 . V F O L Y A M

Egy -ben msodfok egyenlethez jutottunk:

, , .

Mivel minden vals x esetn pozitv, gy a negatv megolds nem jhet szba.

,

teht az eredeti egyenlet megoldsa: .

Fejtsk meg az albbi keresztrejtvnyt!Vizsz.: 1. Az logn x = n egyenlet megoldsa, ahol n 1-nl nagyobb egsz szm.

2. (log2 2 + log2 4 + log2 8)2.

3. 500-nl kisebb ngyzetszm.Fgg.: 1. Els s utols szmjegye megegyezik.

2. Prmszm.

Vzsz.: 1. Ha , akkor . Ez a szm csak akkor lesz ktjegy, ha , teht avzsz.1.: 27.

Vzsz.: 2. .Fgg. 1: 262Fgg. 2.: 31 vagy 37, de vzsz. 3 miatt csak 1 lehet.Vzsz. 3.: 121

10. Logaritmikus egyenletrendszerek

Oldjuk meg a kvetkez egyenletrendszereket a vals szmprok halmazn!

a) ; b) ; c) .

a) Vezessk be a s j vltozkat. Ezzel egyenletrendszernk gy alakul

, .

Ez utbbi egyenletrendszer megoldsa: s . Teht

, ahonnan s , ahonnan .

b) A logaritmus dencijbl az egyenletrendszer gy rhat:, , azaz .


c) Az egyenletrendszer els egyenletbl

, azaz , teht .

Ezt a msodik egyenletbe helyettestve azt kapjuk:

, .

A negatv megolds hamis gykkhz vezet; az eredeti egyenletrendszer megoldsa:

, .x23

= y 21

=

y y9 22 2- = y 21!=

logx yx y 12 -+

= x y x y2 2+ = - x y3=

x 1= y 27

=

x y2 8+ = x y6 6 27+ = x y2 2 9+ =

log x 24 = x 16= log y 21

9 = y 3=

a 2= b 21

=

a b3 4 8+ = a b2 27

- =

log x a4 = log y b9 =

3 4 8

27

log log

log log

x y

x y

4 9

42

9

+ =

- =4 2 3

6 6 3

log

log

x y

x y2

3

+ =

+ =

^^

hh 4

1

2

log logx y x y

x y2 2

2 2

+ - - =

- =

^ ^h h 41. K1

2 4 8log log log 1 2 3 362 2 22 2+ + = + + =^ ^h h

log x nn = x nn

= n 3=

6. K2

x 2=-

241 2x 2= = -

2x

224

1 1 48241 7

,x

1 2! !

= - + = -^ h 2 31x1 =- 2 41x2 =2x


1 1 . V F O L Y A M

3

2

1

3

2

1

1 2 1

3 6

2 7


1 1 . V F O L Y A M

Oldjuk meg a kvetkez egyenletrendszert a vals szmprok halmazn!

.

Az egyenletrendszer els egyenletbl

, azaz , ahonnan .

Ezt a msodik egyenletbe helyettestve azt kapjuk, hogy, teht .

A -ben msodfok egyenlet megoldsai: s . A negatv megolds nyilvnlehetetlen, hiszen 2-nek minden hatvnya pozitv, gy az eredeti egyenletrendszer megoldsa:

, .


.

Az eredeti egyenletrendszer a logaritmus megfelel azonossgainak alkalmazsval a k-vetkez egyenletrendszerre vezet:

, .

Fejezzk ki mindkt egyenletbl y-t.

, , teht .

Innen

.

Az eredeti msodik egyenlet miatt , gy egyszersts utn azt kapjuk:

, ahonnan .

, ; a megfelel y rtkek: , .

Mely vals szmprok elgtik ki az albbi egyenletrendszert?

.

Az els egyenlet gy alakthat:.

Innen vagy , vagy , azaz , ahonnan .

Az 1. esetben a msodik egyenlet gy alakul:

, azaz .Az eredeti els egyenlet miatt , gy ebben az esetben az eredeti egyenletrendszer megol-dsa: .

A 2. esetben , az eredeti msodik egyenlet:

, ahonnan .

Ez utbbi msodfok egyenlet diszkriminnsa negatv, gy nem kapunk j megoldst. Teht azeredeti egyenletrendszer megoldsa: .

2. K22 1

2 2 20

log logx y y2 2x y

+ - =

+ =

^ h 3

y x2=x y y2 2+ =log yx y2 12+

=

x x10 24 02- + =x x2

88

- =-

x 0!

x xx

x28

82- =

-

yx

x8

8=

-xy y x8 8= -y x x22= -

y xxy 8-

=x x y22 = +

y 4=x 2=

2 4 2x 2= =2 5x =-2x2 2 20 0x x2 + - =2 2 20x x2+ =

2 2

3

log

log log

x y

xy y x2 2

x + =

- - =

^^ ^

hh h 4

3. K2

x y 8= =

x x 4 02- + =x x4 4 4 0- + =b l

yx4

=b lx y 8= =

x 0!x x 8 0- =^ hx x8 02- =

x y=^ hy

x4

=xy 4=log xy 22 =x y=

2log log log log log logx y x y x y2 2 2 2 2 2+ - = -^ ^ ^h h h

y 82 =y 241=x 42 =x 61=

4. E1

4 0

log log log logxyyx x y

xy x y

2 2 22

22$ = -

- + =

^^

hh 4


1 1 . V F O L Y A M


.

Az els egyenlet bal oldalnak egyes tnyezi gy alakthatk:

, illetve .Teht az els egyenletbl

, azaz .

Helyettestsk ezt a msodik egyenletbe:

, ahonnan ,

, , .

Ezzel az eredeti egyenletrendszer megoldsai: , s , .

11. Logaritmikus egyenltlensgek

Oldjuk meg a kvetkez egyenltlensgeket a vals szmok halmazn!

a) ; b) ; c) .

a) ; .

A logaritmus alapja 1-nl nagyobb, gy azt kapjuk:,

ahonnan . Az eredeti egyenltlensg megoldsa: .

b) ; .

A logaritmus alapja 1-nl kisebb, ezrt

,

ahonnan . Az eredeti egyenltlensget kielgt vals szmok: .

c) ; .

A logaritmus alapja 1-nl nagyobb, teht,

ahonnan . Az eredeti egyenltlensg megoldsa: .

brzoljuk szmegyenesen a kvetkez egyenltlensg megoldst!.

, ahonnan vagy .

, ahonnan .

vagy .

Az eredeti egyenltlensg megoldsa: vagy .

y y xlog logx x2y y2 2= =^ h

x6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5

8

2 1lg

x y

x y

log logy xx y2 2$ =

+ =^ h 45. E1

x x ylog logy y2x x2 2= =^ h

x223 11-

log logx223 1

21

212-b lx 432

x41 11 #x 1#

x4 1 3#-

log logx4 1 33 3#-^ hx 412

y 42 =y 11=x 81= x 22 =

x 22 =x 81=x 210 100 64

210 6

,1 2! !

= - =

x x10 16 02- + =x x16 10+ =

yx8

=xy 8=

log x4 1 13 #-^ h log x2 23 021 2-b l log x6 4 25 1-^ h1. K1

1 2 ,x 5 5 471 .- - - 1 2 ,x 5 3 472 .- +

x 1 2 52- +x 1 2 51- -

x x2 19 02 2+ -log logx x2 3 1642

42+ -^ hx 12x 31-x x2 3 02 2+ -

x4

19451 1-x 4

192-

x6 4 251-

log logx6 4 255 51-^ hx 231x

43

451 1x

451

2. K2log x x2 3 24

2 2+ -^ h


1 1 . V F O L Y A M

Mely vals szmok elgtik ki a kvetkez egyenltlensgeket?a) ; b) .

a) , . .

Most kt esetet kell vizsglnunk aszerint, hogy vagy .Ha , akkor

, azaz .Teht ez esetben .Ha , akkor

, azaz .Ekkor teht nincs megolds.A kt esetet egybevetve az eredeti egyenltlensg megoldsa: .

b) s . .A logaritmus alapja minden x-re 1-nl nagyobb, gy azt kapjuk:

, azaz .

, , .

Teht a msodfok egyenltlensg megoldsa: vagy . Egybevetve az egyen-ltlensg rtelmezsi tartomnyval, az eredeti egyenltlensg megoldsa:

vagy .

brzoljuk szmegyenesen a kvetkez kifejezs rtelmezsi tartomnyt!

.

, s . .

.

A logaritmus alapja 1-nl kisebb, ezrt innen

, ahonnan .

Az eredeti egyenltlensg megoldsa: s .

brzoljuk szmegyenesen a kvetkez kifejezs rtelmezsi tartomnyt!

.

. Az egyenltlensg bal oldala gy rhat:

, azaz ,

.

Innen vagy .Els esetben

, azaz .Msodik esetben

, azaz .

log x3 121 #-^ h

x6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 552

3. K2log x7 1x 12 1-+ ^ hlog x2 6 1x 2+^ h

x 12x0 11 1x 12

log logx x2 6x x2+^ hx 1!x 02

x 61-x x2 6 1+x0 11 1

x 12x 62-x x2 6 2+

x 2!-x 25#

x25#x3

21$-

21log logx3 1

21

21 #- =^ ch m

log x1 3 021 $- -^ hx 2!-x 31

x2 71 1x 31-

x 22x 31-

x 22 =x 31=-x 21 1 24

21 5

,1 2! !

= - + = -

x x 6 02 2+ -x x7 121- +

log logx x7 1x x1 12

2 21- ++ +^ ^h hx 71x 0!x 12

1 log

x

x

2

321

+

- -^ h4. E1

x 2#log logx 22 2#

x 8$8log logx2 2$

log x 2 12 #- -log x 2 12 $-

log x 2 12 $-

2log x 122 $-^ h4log logx x 4 122 2$ $- +

x 02

log logx x 4 122

24 $- +

5. E1

A kt esetet s az rtelmezsi tartomnyt egybevetve az eredeti egyenltlensg megoldsa:vagy .

12. ttrs j alapra (emelt szint)

Oldjuk meg az albbi egyenleteket a vals szmok halmazn!

a) ; b) .

a) . rjuk t az egyenlet bal oldalnak msodik tagjt 3-as alapra.

, azaz ,

, ahonnan .

b) . rjuk t a bal oldal tnyezit 2-es alapra.

, azaz ,

, ahonnan .

Oldjuk meg az albbi egyenleteket a vals szmok halmazn!a) ; b) .

a) , . Az egyenlet gy alakthat:

, vagyis ,

, ahonnan .

, , .

Mivel , ezrt az egyedli megolds: .b) . Az egyenlet gy rhat:

, azaz .

Innenvagy .

Els esetben , ami nyilvn lehetetlen.

A msik esetben , vagyis .

.

A negatv rtk nem jn szmtsba, gy az eredeti egyenlet megoldsa: .

brzoljuk szmegyenesen a kvetkez egyenltlensg megoldst!.

, .

.

Most kt esetet kell vizsglnunk aszerint, hogy , azaz , vagy , azaz

.

x0 21 # x 8$

x1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

log logx x 63 9+ = log log logx x x 34

2 4 8$ $ =

1. K2

x 5 1= +

x2

2 202

2 2 5 1 5,1 2! ! != = =

x x2 4 02- - =x x3

11

- =+

x x1 3+ = -

1log x 3x 1 - =-+ ^ hlog x 3 1x 1 - =+ ^ h

log x 3 1x 12

- =+ ^ hlog logx x3 31x x1 1- = -+ +^ ^h hx 32

x 4=x 02

x 42 =x 31=-x 21 1 48

21 7

,1 2! !

= + =

x x 12 02- - =log logx x122 22

+ =^ h2log logx x122 2+ =^ hlog logx x12 1 22 2$+ =^ h

x 1!x 02

x 4=log x 22 =

log x 823

=loglog log

xx x

2 3 34

22 2$ $ =

x 02

x 81=log x 43 =

3 log x 123 =loglog

xx

263

3+ =

x 02

log logx x3 1x x1 3- = ++ -^ ^h hlog logx 12 2 2x2 $+ =^ h2. K2

x 11

0log x4 1x 12log x 04 2

loglog

xx

14

4$

x 1!x 02

3. E1log logx 4x4 $


1 1 . V F O L Y A M

Ha , akkor az egyenltlensg gy alakul:

, azaz .

Mivel ebben az esetben , ezrt azt kapjuk:

, ahonnan .

Ha , akkor a fenti egyenltlensg nevezje negatv, gy ekkor

, azaz ,

, ahonnan .

Ebben az esetben teht azt kapjuk: .

A kt esetet egybevetve, az eredeti egyenltlensg megoldsa: vagy .

Mivel egyenl , ha s ?

, .

A kt egyenlsg sszege:

, azaz .

Innen pedig

.

Mit rhatunk az x helyre, hogy az albbi egyenlsg igaz legyen?

.

Az eredeti egyenletet gy rhatjuk:,

,

, azaz ,

teht .

13. A logaritmus gyakorlati alkalmazsai

A brazliai serd a fakivgsokat s az j ltetseket egybevetve az ottani termszet-vdk szerint vente 1,28%-kal cskken. Ha ez a tendencia nem vltozik, akkor hny v mlvatnik el ennek az serdnek a fele?

Legyen A az serd jelenlegi fallomnya. Ha n v mlva cskken a felre, akkor, azaz .

Vegyk az egyenlet mindkt oldalnak 10-es alap logaritmust:, azaz ,

.

Teht, ha a tendencia gy folytatdik, akkor az erd kb. 53,75 v mlva a felre cskken.

x1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1014

log x 04 2

log x 14 $log x 142 $

x 12

log log logx41 44 4 4# # x4

1 4# #

log x 142 # 1 log x 14# #-

x0 11 1

x 4$1log logx 44 4$ =

x 4$x41 11#

x41 11#

, ,0 9872 0 5n =, ,A A0 9872 0 5n$ $=

x 15=

log loga x a15 b b$ $=log loga x ab b15 $=

log loga a a a a x ab b2 3 4 5$ $ $ $ $=^ h

log log log log log loga a a a a x ab b b b b b2 3 4 5 $+ + + + =

log xa b

ab6 = +

logab

a b6x =+log log

a b2 3 1 1x x+ = +

logb

3 1x =log a2 1x =

log x b3 =log x a2 =log x64. E1

1. K1

log log log log log logb b b b b bx1 1 1 1 1

a a a a a a2 3 4 5+ + + + =

5. E1

,,

,, ,

lglgn0 9872

0 50 00560 301 53 75. .=

--

, ,lg lgn 0 9872 0 5$ =, ,lg lg0 9872 0 5n =


1 1 . V F O L Y A M

Andrs betett a bankba 1 milli Ft-ot. Ez venknt kamatozik 8,5%-ot. Testvre Bla egymsik bankba tette 1,3 milli Ft-jt, ahol vente 6%-ot kamatozik. Hny v mlva lesz Andrs-nak ugyanannyi pnze mint Blnak?

Ha n v mlva lesz a kt nak ugyanannyi pnze, akkor

, azaz , vagyis ,

, ahonnan .

Teht a 11. vet kvet idben lesz a kt nak ugyanannyi pnze.

Magyarorszg lakossga 2007-ben kb. 10 045 000 f volt, ami kb. 0,2%-os cskkenstjelentett az elz vhez kpest. Ugyanebben az vben Finnorszg lakossga kb. 5 282 000 f,ami 0,2%-os emelkeds az elz vhez kpest. Ha mindkt orszgban ez a tendencia folyta-tdna, akkor kb. hny v mlva rn el Finnorszg lakossgnak ltszma Magyarorszg lakos-sgnak ltszmt?

,

, vagyis ,

, azaz ,

.

Teht, ha a tendencia ilyen temben folytatdik, akkor a kt orszg llekszma kb. 161 v mlvalesz egyenl.

1990-ben a Fld lakossga 6 millird f volt. A npessgkutatk szerint ez a szm vente1,8%-kal nvekszik. Mikor lesz a Fld lakinak a szma 10 millird?

, azaz .

, ahonnan .

Teht ilyen nvekedsi tem mellett a Fld lakinak a szma kb. 2018. v kzepn ri el a 10 millird ft.

A lehlsi trvny alapjn szmtsuk ki, hogy a 120 C-os stbl kivett piskta, vagy a180 C-os stbl kivett pogcsa hl le hamarabb 50 C-ra, ha a piskta esetben k = 8,5, a po-gcsa esetben pedig k = 9,2, s a konyha hmrsklete 24 C?

Vegyk a lehlsi trvnyrl szl egyenlsg mindkt oldalnak 10-es alap logaritmust.

, azaz ,

.

Piskta esetben

perc.

Pogcsa esetben

perc.

2. K2

, ,1 0236 1 3n =,, ,

1 061 085 1 3

n

=c m, , ,10 1 085 1 3 10 1 06n n6 6$ $ $=

,,

,, ,

lglgn1 0236

1 30 01010 1139 11 27. .=, ,lg lgn 1 0236 1 3$ =

,,

,,

,,

, ,,, ,

lg

lg

lg

lg

lglgt 8 5

2 750 24

120 24

8 52 72696

8 52 7

3 6923 8 50 43130 5673 11 21 $ $ $ $. . . . .

--b bl l

,lg

lgt k T K

T K

2 7

0

$.-

-c m,lg lg

kt

T KT K

2 7 0$ .-

-c m,lg lg T KT K

2 7 kt

0.-

-c m

,,

,, ,

lglgn

1 0181 6666

0 007740 22184 28 6. . ., ,lg lgn 1 018 1 6666$ .

, ,1 018 1 6666n .,6 1 018 10n$ =

,,

,, ,

lglgn

1 0041 90174

0 001730 27915 161 3. . .

, ,lg lgn1 90174 1 004$.^ ^h h, ,lg lg1 90174 1 004n.^ ^h h, ,1 90174 1 004n.

,,

,,

5 28210 1 0045

0 9981 002 n$

= c m, , , ,1 0045 10 0 998 5 282 10 1 002n n7 6$ $ $ $=

3. K1

4. K2

5. K2

9,2,

9,2,

9,2,

9,2,, 1 ,

lg

lg

lg

lg

lglgt

2 750 24

180 24

2 726

156

2 76

0 43130 77815 6 62 $ $ $ $. . . . .

--b bl l


1 1 . V F O L Y A M

1. A vektorokrl tanultak sszefoglalsa

Az brn jellt vektorok kzl vlasszuk kia) az egyenlket;b) az ellentetteket!

a) b = d, c = e.b) a = e, a = c.

Kt ngyzet egymshoz illesztsvel tglalapot rajzolunk. Az gy kapott ht szakaszt ir-nytsuk gy, hogy a ht vektorbl kivlaszthat legyen kett, ngy s hat vektor is, amelyek sz-szege nullvektor!

Egy lehetsges megoldst mutat az bra.a + e = 0,a + h + e + g = 0,a + b + c + d + e + g = 0.

Adott a, b s c vektor (semelyik kett nem egyenl egymssal). Szerkesszk meg aza) a + 2b; b) 2c a; c) 2(a + c); d) b 3cvektorokat!

Legyen ABCD egy ngyzet. Mutassuk meg, hogy

a) ; b) !

a) b)

Vagyis . Vagyis .

A B

CD

A B

CD

AC AD AD DB- = + AC CB AD DB+ = +

A B

CD

A B

CD

ab

c

a

b b

a + b a

c

c

2c

a

a

c

2(a + c)

bc

c

c

b

3c

a) b) c) d)

2. K1

AC CB AD DB+ = +

3. K1

AC AD AD DB- = +

4. K1

1. K1

1 1 . V F O L Y A M

I V . T R I G O N O M E T R I A 53MATEMATIKA

TrigonometriaIV.

a

b

c

de

f

g

a b

c

de

g h

Adjuk meg a v vektornak az a s b vektorokkal egylls sszetevit! (bra)a) b)

a) b)

Egy tglalap hrom cscsa a (2; 2), (8; 2), (8; 4) koordintj pontokban van. Adjuk mega) a negyedik cscshoz;b) a kzppontjhoz;c) az oldalak felezpontjhoztartoz helyvektor koordintit!

a) ;

b) ;

c) ; ; ; .

2. Kt vektor skalris szorzata

Adott kt vektor abszolt rtke s hajlsszge. Szmtsuk ki a skalris szorzatukat!a) |a | = 9, |b | = 10, c = 73;b) |a | = 4, |b | = 13, c = 103;c) |a | = 0,8, |b | = 9, c = 1920;d) |a | = 18, |b | = 0,5, c = 11745.

Hasznljuk fel a skalris szorzat dencijt: ab = |a||b|cos c.a) ab = 9 10 cos 73 26,31;b) ab = 4 13 cos 103 11,70;c) ab = 0,8 9 cos 1920 6,80;d) ab = 18 0,5 cos 11745 4,19.

Szmtsuk ki annak a paralelogrammnak a szgeit, amelynek oldalhosszai 10, illetve 20,az egyik cscsbl indul kt oldalvektor skalris szorzata pedig 184,1!

A feladat szvege szerint: ab = 10 20 cos a = 184,1.

Vagyis: .

Ebbl kapjuk, hogy a = 23. A paralelogramma szgei: 23, 157, 23, 157.

Szmtsuk ki annak a rombusznak a szgeit, amelynek oldalhosszai 24, az egyik cscs-bl indul kt oldalvektor skalris szorzata pedig 100,02!

A feladat szvege szerint: ab = 24 24 cos a = 100,02.

Vagyis: .

Ebbl kapjuk, hogy a = 100. A rombusz szgei: 100, 80, 100, 80.

, ,cos576

100 02 0 1736.a =- -

3. K1

a

b v

a

b

v

, ,cos200

184 1 0 9205a = =

2. K1

1. K1

;F 3 21^ h ;F 8 32^ h ;F 3 43^ h ;F 2 34 -^ h;K 3 3^ h

;D 2 4-^ h

6. K1

a

b

v

a

b v

5. K2

54 MATEMATIKA I V . T R I G O N O M E T R I A

1 1 . V F O L Y A M

Szmtsuk ki annak a rombusznak az oldalhosszt, amelynek egyik szge 70, s az ebbla cscsbl indul kt oldalvektor skalris szorzata 30,22!

Tudjuk, hogy: ab = a a cos 70 = 30,22.

Vagyis: .

Ebbl kapjuk, hogy a rombusz oldalhossza: a 9,4.

a) Igazoljuk, hogy a s b (egyik sem nullvektor) hegyesszget zr be egymssal, ha 4b a s 2a 3b merleges egymsra!b) Igazoljuk, hogy a s b (egyik sem nullvektor) tompaszget zr be egymssal, ha a + 2b s 3a + 4b merleges egymsra!

a) Tudjuk, hogy 4b a s 2a 3b merleges egymsra, ezrt (4b a)(2a 3b) = 0.Vgezzk el a szorzst:8ab 2a2 12b2 + 3ab = 0.Fejezzk ki ab-t, s hasznljuk fel, hogy a2 = a2, b2 = b2:

.

Mivel ab > 0, ezrt a s b valban hegyesszget zr be egymssal.

b) Tudjuk, hogy a + 2b s 3a + 4b merleges egymsra, ezrt (a + 2b)(3a + 4b) = 0.Vgezzk el a szorzst:3a2 + 6ab + 4ab + 8b2 = 0.Fejezzk ki ab-t, s hasznljuk fel, hogy a2 = a2, b2 = b2:

.

Mivel ab < 0, ezrt a s b valban tompaszget zr be egymssal.

Az adott a s b vektorok egyike sem nullvektor. Igazoljuk, hogy van olyan k vals szm,amelyre a + kb s a kb merleges egymsra!

Vizsgljuk a (a + kb)(a kb) szorzatot:, ahol , .

A feladat szvege szerint teljeslni-e kell: , azaz .

Ezek szerint k lehetsges rtkei: , .

3. A trigonometrirl eddig tanultak sszefoglalsa

Szmolgp segtsgvel hatrozzuk meg aa) sin 11; b) cos 63; c) tg 71; d) ctg 76rtkt hat tizedesjegy pontossggal!

a) ; b) ;

c) ; d) .

Szmolgp segtsgvel hatrozzuk meg az a hegyesszg nagysgt kt tizedesjegypontossggal, haa) sin a = 0,22; b) cos a = 0,44; c) tg a = 1,11; d) ctg a = 2,23!

a) a 12,71; b) a 63,90; c) a 47,98; d) a 24,15.

2. K1

,71 2 904211tg o .76

,76 1 0 249328ctgtg

oo .=

,sin11 0 190809o . ,cos 63 0 453990o .

1. K1

kba

1= k ba

2 =-

a k b 02 2 2- = kba2

2

2

=

k k a k ba b a b 2 2 2+ - = -^ ^h h aa = bb =

6. E1

0a bab103

1082 2$ $ 1=- +

0a bab112

11122 2$ $ 2= +

5. K2

, ,cos

a70

30 22 88 35742 o .=

4. K1

55MATEMATIKAI V . T R I G O N O M E T R I A

1 1 . V F O L Y A M

Egy 24 mter hossz emelked emelkedsi szge 10-os. Mennyi a szintklnbsg azemelked alja s teteje kztt?

Ksztsnk brt! A szintklnbsg legyen x.

A derkszg hromszgben: , azaz .

Vagyis a szintklnbsg kb. 4,2 mter.

Egy 2 mter magas ltra tetejn ll 180 cm magas ember a szemkzti hz tetejt 12-os emelkedsi szgben ltja. Az ember s a hz kztti tvolsg 18 mter. Milyen magas a szem-kzti hz?

A rendelkezsnkre ll adatok alapjn vzlatrajzot ksztnk.A ltra s az ember egyttes magassga 3,8 mter, a hz magassga (x + 3,8)mter.


Vagyis a hz kb. 7,6 mter magas.

Adjuk meg mely hegyesszg koszinuszval egyenl:a) sin 32; b) sin 3,62; c) sin 5654; d) sin 185451!

a) 58; b) 86,38; c) 336; d) 7159.

Szmtsuk ki a kvetkez kifejezsek pontos rtkt!a) (cos 45 + tg 45)2; b) (cos 30 + sin 270)2;

c) ; d) .

a) (cos 45 + tg 45)2 ;

b) (cos 30 + sin 270)2 ;

c) ;

d) .00 : 0

0: 0 :

sincos cos

sincos

1218 24

61 6

23

121

32 2

34

o

oo

oo $= - - = = =^ h

3060 30 45

cossin

coscos45

3045 1ctg ctg ctgo

oo

o

oo o$ $= = =

3. K2

23 1

43 3 1

47 3

2

= - = - + = -c m22 1

21 2 1

23 2

2

= + = + + = +c m

cossin

6

43

ctg$

r

rr :

sin

cos cos

32 3

4rr r

6. K2

5. K1

x1218

tg o = 18 ,x 12 3 8tg o$ .=

12

18 m

3,8 m

x m

3,8 m

4. K2

0sin x124

o= 24 0 ,sinx 1 4 2o$ .=

1024 x


1 1 . V F O L Y A M

Milyen forgsszgekre igaz, hogy

a) sin a = ; b) cos a = ; c) tg a = ;

d) sin a = 0,2924; e) cos a = 0,5150; f) tg a = 0,6745?

a) , , ahol .

b) , , ahol .

c) , ahol .

d) , , ahol .

e) , , ahol .

f) , ahol .

A trigonometriai alapfggvnyekbl fggvnytranszformcik alkalmazsval brzoljuka kvetkez fggvnyeket!

a) ; b) ; c) ;

d) ; e) ; f) .

7. K2

22

33

60 x

y

12

12

sin

x + 6

sin x

d)

2 x

y

0

1

tg

x 2

tg x

c)

22

33 x

y

01

1

2

2

12 cos x

cos x

b)

22

33 x

y

123

0

2 sin x

sin x

a)

sin x6r

+a k cos x 3r-a k 1 sin x+2sin x cos x

21

- x 2tg r-a k

8. K2

34 180ko o$.a - + k Z!

360k591 1o o$.a + 360k592 2

o o$.a - + ,k k Z1 2 !

17 360k1 1o o$.a - + 163 360k2 2

o o$.a - + ,k k Z1 2 !

0k30 18o o$a = + k Z!

360k1201 1o o$a = + 360k2402 2

o o$a = + ,k k Z1 2 !

45 360k1 1o o$a = + 5 360k132 2

o o$a = + ,k k Z1 2 !

22

21

- 33


1 1 . V F O L Y A M

4. Szmtsok hromszgben

Milyen magasra visz az az emelked, amely a vzszintessel 6,3-os szget zr be, s ahossza 70 mter?

Ksztsnk brt!

A derkszg hromszgben: , azaz (m).

Vagyis kb. 7,7 mter magasra visz az emelked.

Egy garzsba vezet lejrat mlysge 124 cm, a lejrat vzszintesre es merleges vet-lete 244 cm. Mekkora a lejrat hajlsszge a vzszinteshez kpest?

A szveg alapjn vzlatrajzot ksztnk.


Vagyis kb. 27-os a lejrat hajlsszge a vzszinteshez kpest.

22

333

0 x

y

12

12

cos

x 3

cos x

e)

124

244

6,3x70

22

33 x

y

12

12

0

sin x + 1

sin x

f)

1. K1

70 , ,sinx 6 3 7 7o$ .=,sin x6 3 70o=

244124tga = 27o.a

2. K1


1 1 . V F O L Y A M

A falnak dntve ferdn ll egy 2,1 mteres gerenda. A gerenda als vge 70 cm-re vana faltl. Mekkora szget zr be a fallal a gerenda?

A vzlatrajzunkon a-val jelltk a keresett szget.


Vagyis a keresett szg kb. 19,5-os.

Egy vzszintes talajon ll torony tetejt 52 mter tvolsgbl egy 175 cm magas ember21-os szgben ltja. Milyen magas a torony?

Vzlatrajzunkon a torony magassga x + 1,75.


Vagyis a torony kb. 21,7 mter magas.

Hatrozzuk meg a tglalap terlett, ha az egyik oldala 8 cm, az tlja 9 cm hossz!Mekkora szget zr be az tl az oldalakkal?

Az ismeretlen oldal legyen x, a keresett szgek pedig a, il-letve 90 a.Az x meghatrozhat Pitagorasz-ttellel:

.

Ekkor: .Vagyis a tglalap terlete kb. 32,98 cm2.

A derkszg hromszgben: , azaz a 27,27.

A keresett szgek kb.: 27,27 s 62,73.

Mekkora szget zrnak be a vzszintessel a fnysugarak akkor, amikor egy 180 cm-esember rnyka a vzszintes talajon 3,5 mteres?

Az adatok feltntetsvel vzlatrajzot ksztnk:

A derkszg hromszgben: , azaz a 27,22.

Vagyis a napsugarak kb. 27,22-os szget zrnak be ekkor a vzszintessel.

1,8 m

3,5 m

21

52 m1,75 m

x m

1,75 m

3. K1

,,sin

2 10 7

a = ,19 5o.a

4. K1

52 ,x 21 19 96tg o$ .=x21 52tg o =

5. K1

,t 8 17 32 98$ .=

x 81 64 17= - =

,,

3 51 8tga =

cos98a =

6. K1


1 1 . V F O L Y A M

0,7

2,1

9 cm

8 cm

x cm

Egy hromszg minden oldalnak hossza centimterben mrve egsz szm. Kt oldal-nak hossza 1 cm s 2 cm. Mekkork a hromszg szgei?

A hromszg-egyenltlensgek miatt a hinyz oldal hossza nem lehet 2 cm-nl rvidebb, dehosszabb sem. A hinyz harmadik oldal csakis 2 cm-es lehet.Ksztsnk rajzot!Az egyenl szr hromszg alaphoz tartoz magassga kt egybevg derkszg hrom-

szgre bontja a hromszget. Vagyis: , azaz a 75,52.

Az eredeti hromszg hinyz szgt a bels szgek szgsszegre vonatkoz ttellel szmol-juk ki: 180 2 75,52 = 28,96.Vagyis a hromszg szgei: 75,52; 75,52; 28,96.

Az brn lthat ABCDE tszgnek mekkork a szgei, mekkora a hinyz oldala, mek-kora a terlete?

Az AED derkszg hromszgben a kt hegyesszg 45-os, .Ekkor ADC derkszg hromszgben az A-nl lv szgre felrhat:

, azaz .

Ezek alapjn az ADC derkszg hromszgben: , Pitagorasz-ttellel pedig:

.Ekkor ACB derkszg hromszgben az A-nl lv szgre felrhat:

, azaz .

Ezek alapjn az ACB derkszg hromszgben: , Pitagorasz-ttellel pedig:

.

Vagyis a hinyz oldal: AB = 2, a hinyz szgek: ,

, , .

Az ABCDE tszg terlete: .

5. Szinuszttel

Egy hromszg kt oldalnak hossza 23 cm s 34 cm. Ez utbbival szemben 72-os szgvan. Hatrozzuk meg az ismeretlen oldal hosszt! Mekkork a hinyz szgek?

Az adatok alapjn ksztsnk vzlatrajzot!rjuk fel a szinuszttelt:

,

.

Mivel , ezrt . Vagyis a csak hegyesszg lehet:a 40.A hinyz harmadik szg:

.A harmadik oldalt is szinuszttellel szmoljuk ki:

,

.

Teht: c 33,15 cm, a 40, c 68.

,sinsinc

7268 34 33 15o

o

$ .=

7. K2

,cos2

0 5a =

8. K2

3 ,CAD 5 26oB .CAD2

1tg B =

AD 2=

AB 1 3 2= + =

60ABC oB =

30CAB oB =CAB3

1tg B =

AC 1 2 3= + =

,ACD 54 74oB .

90 45CDE 135o o oB = + =90 54,74 ,BCD 144 74o o oB = + =60ABC oB =

45 35,26 30 ,BAE 110 26o o o oB = + + =

,2

1 12

1 22

1 32

1 2 3 2 57$ $ $ .+ + = + +

1. K1

sinsinc

34 7268

o

o

=

180 180 40 72 68o o o o o. .c a b= - - - -

1a ba b1

,sin sin3423 72 0 6434o$ .a =

sinsin

72 3423

oa

=


1 1 . V F O L Y A M

1

1

11

E A

D

C B

0,5 cm 0,5 cm

2 cm 2 cm

23 cm

34 cmc

72

B C

A

Egy hromszg 20 cm-es oldaln 42-os s 64-os szg tallhat. Hatrozzuk meg az is-meretlen oldalak hosszt!

Az adatok alapjn ksztsnk vzlatrajzot!

Tudjuk, hogy .rjuk fel a szinuszttelt a c s utna a b oldallal is:

, .

, .

Vagyis az ismeretlen oldalak hossza kb. 13,9 cm s 18,7 cm.

Mekkork a hromszg oldalai, ha a kerlete 42 cm, s van egy 27,2-os s egy 76,8-os szge?

Hasznljuk az bra jellseit!Tudjuk, hogy a = 180 27,2 76,8 = 76.rjuk fel a szinuszttelt:

, illetve .

.A msodik egyenletbe behelyettestnk az a helyre -t:

,,

.Ekkor , .Teht az oldalak kb.: 8 cm, 17 cm, 17 cm.

Az 5 s 12 befogj derkszg hromszgben a derkszget harmadol kt flegyenesmekkora darabokra vgja az tfogt?

Az bra jellseit hasznljuk!

Az ABC derkszg hromszgben a Pitagorasz-ttel miatt AB = 13.Ezrt ha , , akkor .

Az ABC derkszg hromszgben: , amibl . Ekkor

.Tudjuk, hogy a kis hromszgek C-nl lv szge 30-os.A kis hromszgekre a bels szgsszegre vonatkoz ttelt felhasznlva:

.

.A rendelkezsnkre ll szgek s oldalak segtsgvel a kis hromszgekre alkalmazzuk a szi-nuszttelt:

hromszgben: , amibl: .

5

12

x

12 x yy

B

C A

H1

H2

ACH1 ,30

sinsinx

12 127 38oo

=,

,sin

sinx127 38

30 12 7 55oo

$ .=

180 30 , ,BH C 67 38 82 622o o o oB = - - =

180 30 22,62 ,AH C 127 381o o o oB = - - =

90 90 22,62 ,67 38o o o ob a= - = - =

sin135a = 22,62o.a

AH x1= BH y2 = H H x y131 2 = - -

4. K2

a 17. c 17.b 8., , ,b b2 123 41 874 3 114$ . -, , ,b b b2 123 0 997 42 2 123$ $. - -^ h

, b2 123 $,a b2 123 $. ,a a b0 997 42. - -^ h

,sinsin

ba

27 276

o

o

=,sin

sina ba

42 76 876

o

o

- -=

3. K2

sinsinb

20 7442

o

o

= 20 1 ,sinsinb

7442 3 9o

o

$ .=

sinsinc

20 7464

o

o

= ,sinsinc

7464 20 18 7o

o

$ .=

180 180 42 64 74o o o o oa b c= - - = - - =

2. K1


1 1 . V F O L Y A M

a

b42 a b

27,2 76,8

B C

A

20 cm

bc

42 64

B C

A

hromszgben: , amibl: .

Ezek alapjn: .A keresett darabok hossza sorban kt tizedesjegy pontossggal: 7,55; 2,93; 2,52.

Egy 12 cm oldal szablyos hromszg egyik szgt hrom egyenessel ngy egyenlrszre osztjuk. Mekkora darabokra vgjk ezek az egyenesek a szggel szemkzti oldalt?

Ksztsnk vzlatrajzot!Tudjuk, hogy a C-nl lv kis szgek 15-osak. A szablyoshromszg magassga is kifejezhet, hiszen ismerjk az ol-

dalhosszt: .

CF szgfelez, de szablyos hromszgben oldalfelez is egy-ben. Ezrt F az AB-n felezpont: AF = FB = 6. Legyen FP = x.A CFP derkszg hromszgben:

, azaz .

Ekkor .A szimmetria miatt a ngy keresett szakasz hossznak kere-ktett rtke:

cm, cm.

Egy saroktelekrl ksztett vzlatrajzra (bra) bejelltk az ltalunk megmrt hrom ada-tot. Mekkora a telek terlete? Milyen hossz kertst kell pteni a kt utca fel?

Hasznljuk a vzlatrajz jellseit!

A magassg kt derkszg hromszgre vgja a nagy hromszget. Ezekre felrhatjuk, hogy, illetve .

Vagyis , amibl .

Ekkor , s .Most mr minden adat a rendelkezsnkre ll, hogy a krdseket megvlaszoljuk.

.

.3 3

, ,sin sin

am

8 817 09 27 76c o o .= =

38 4020

telek

42 m

utca utca

, 358,89tc m

2 242 17 09c$ $= = =

mc

38 4020

a b

42 x x

, , ,H H x y13 13 7 55 2 52 2 91 2 = - - = - - =

BCH2 ,sinsiny

5 82 6230

o

o

=,

,sin

siny82 62

30 5 2 52oo

$ .=

5. K2

,x42 21 87- = 40 20 20,13 ,m x 40 20 17 09tg tgco o$ $ .= =l l

40 20x x42 38tg tgo o$ $= -l ^ h40 20

42 ,x38

38 20 13tg tg

tgo o

o$.=

+l

m x 40 20tgco$= l m x42 38tgc

o$= -^ h

6. K2

,PF QF 2 78.= ,PA QB 3 22.=

, ,PA x6 6 2 78 3 22= - = - =

x156 3

tg o = 6 5 ,x 3 1 2 78tg o$ .=

CF 1223 6 3$= =


1 1 . V F O L Y A M

6x x

12 12

C

BA P QF

..A telek terlete kb. 359 m2, a kt utca fel kb. 54,2 m hossz kertst kell pteni.

Az brn lthat egy tglalap vzlatrajza. Terlete: 645,25 cm2. Az A kzppont AD su-gar negyed krvre illeszked P pont az AB oldallal 307,5 cm2 terlet hromszget alkot,amelynek a B cscsnl lv szge 64,01. Hatrozzuk meg a tglalap kerlett!

Hasznljuk az bra jellseit!

Tudjuk, hogy .

Ebbl kapjuk, hogy , azaz .Most mr az ABP hromszg P-nl lv szge is kiszmolhat:

.Alkalmazzuk a szinuszttelt az ABP hromszgre:

.

A tglalap oldalainak hossza: ; , azaz

.Az ABCD tglalap kerlete kb. 102,5 cm.

Egy hrtrapz egyik szge 68,6, rvidebb alapja 36,4 cm, az tlja 95,2 cm. Mekkorka trapz hinyz oldalai?

Helyezzk el az adatokat egy vzlatrajzon!Hrtrapz esetn .A BCD hromszgben a szinuszttelt alkalmazva:

, amibl , vagyis . gy az

ABD hromszg minden szgt meg tudjuk adni:.

.Az ABD hromszgben a szinuszttellel mindkt hinyz oldalt kiszmthatjuk:

, amibl .

0 40 20, ,

sin sinb

m4 20

17 09 26 40co o .= =l l

, ,,

sinsinb

95 2 68 647 7

o

o

=,, , ,

sinsinb

68 647 7 95 2 75 6o

o

$ .=

x

x

645,25x

64,01

A B

CD

P

7. K2

, , ,a b 27 76 26 4 54 16+ = + =

180 72,39 64,01 ,43 60o o o o- - =

,sin 0 9531.a ,72 39o.a

,

322,625 ,sin

sintx

x2

645 25

307 5ABP$ $

$a

a= = =

180 , , ,7ADB 47 7 68 6 63o o o oB = - - =

68,6 68,6 20,9 ,ABD 47 7o o o oB c= - = - =

,,

,sinsin

95 236 4

111 4oc

= , ,, ,sin sin111 4

95 236 4 0 3560o $ .c = 20,9o.c

0 , ,18 68 6 111 4o o ob = - =

8. K2

, ,k 2 29 22 25 102 5ABCD = + =^ h,

,,

sinsinx 645 25

43 664 01 29o

o

$ .=, ,

x645 25 22 25=

, ,,

sinsin

x

x645 25 43 6

64 01o

o

=


1 1 . V F O L Y A M

D A

BC

P

95,2

36,4

b b

a

68,6 68,6

A B

CD

, amibl .

Teht a hrtrapz szrainak hossza kb. 75,6 cm, a hosszabb alapja pedig 91,7 cm.

6. Koszinuszttel

Adott a hromszg kt oldala s a kt adott oldal ltal kzbezrt szge. Szmtsuk ki ahinyz oldal hosszt!a) AC = 29, BC = 34, ACBB = 81;b) AC = 24, BC = 30, ACBB = 126.

Alkalmazzuk a koszinuszttelt!a) ,

.

b) ,.

Adott a hromszg mindhrom oldalhossza. Szmtsuk ki az AB oldallal szemkzti sz-gnek nagysgt!a) AB = 25, BC = 28, AC = 36;b) AB = 16, BC = 18, AC = 21.

Alkalmazzuk a koszinuszttelt!a) ,

,

.

b) ,

,

.

Egy 14 cm2 terlet hegyesszg hromszg kt oldalnak hossza 8 cm s 7 cm. Sz-mtsuk ki a hinyz oldal hosszt!

Tudjuk, hogy , vagyis .

Ha , akkor (alkalmaztuk, hogy ).

A koszinuszttel alapjn: .

A hinyz oldal hossza: cm.

, ,,

sinsina

95 2 68 663 7

o

o

=,, 95,2 ,

sinsina

68 663 7 91 7o

o

$ .=

1. K1

29 34 2 29 34 ,cosAB 81 1688 51122 2 2 o$ $ $ .= + -

2. K1

4 , 9AB 8 1.2 3 2 2 3 ,cosAB 4 0 4 0 126 2322 41082 2 2 o$ $ $ .= + -

,AB 41 09.

25 28 36 2 28 36 cos2 2 2 $ $ $ c= + -

0,cos2 18 21

18 21 16 67332 2 2

$ $.c = + -

8 2 8 cos16 1 21 1 212 2 2 $ $ $ c= + -

43,8o.c

,cos2 28 36

28 36 25 0 72172 2 2

$ $.c = + -

c 113 56 3= -

c 8 7 2 8 723 113 56 32 2 2 $ $ $= + - = -

sin cos 12 2a a+ =cos 23c =sin 2

1c =

14 28sinc=sint ab 2c

=

4 ,7 7o.c

3. K2


1 1 . V F O L Y A M

Egy trapz alapjai 61 cm, illetve 18 cm, szrai 61 cm, illetve 68 cm hosszak.Mekkork a trapz szgei?

Az bra jellseit hasznljuk. Az AED hromszgben a koszinuszttelt alkalmazvakiszmtjuk az a s a b rtkt is.

, . Ekkor .

, . Ekkor .

A keresett szgek: 79,6; 61,9; 118,1; 100,4.

Egy turista a pihenhelytl keletre haladt 1 km-t, majd szakkelet fel haladt 1,4 km-t,vgezetl ismt kelet fel stlt 0,2 km-t. Milyen messze van ekkor a pihenhelytl?

A vzlatrajz szemllteti a turista tjt.

Az (a szgeik pronknt egyenlk), a hasonlsg arnya: .

A BC szakaszt is ilyen arnyban osztja az E pont, gy , .

Koszinuszttellel szmolunk:

,

.A hasonlsgi arnyt felhasznlva: .

.Vagyis a turista ekkor kb. 2,4 km-re van a pihenhelytl.

Egy egyenes turistaton megllunk egy jellegzetes pontnl, amit a trkp is jell. Jobbraelre tekintve, az egyenes ttal 32-os szgben ltunk egy kiltt. A trkpnk szerint 320 m-terre van tlnk. Balra elre tekintve, az egyenes ttal 40-os szgben ltunk egy templomtor-nyot. A trkpnk szerint ez 1200 mterre van tlnk. Milyen messze van a kilttl a templom?

A szveg alapjn vzlatrajzot ksztnk.Alkalmazzuk a koszinuszttelt:

,.

A kilttl a templom kb. 1142,4 mterre van.

1

1,4

0,2

135

A B

C D

E

0,cos2 68 43

68 43 61 47062 2 2

$ $.b = + - ,61 9o.b 180 , 1 ,61 9 18 1o o oc = - =

,cos2 61 43

61 43 68 0 18032 2 2

$ $.a = + - ,79 6o.a 180 79,6 100,4o o od = - =

4. K2

, ,AE ED 2 0 4 2 4+ = + =

,ED 0 4.AE 2.

1 2 1 ,cosAE67

67 135 4 01102 2

2o$ $ $ .= + -b bl l

BE3035

67

= =CE 307

=

, 11

0 25=

DCE ABE+i i

5. K2

,KT 1142 4.320 1200 2 320 1200 ,cosKT 72 1305 074 9482 2 2 o$ $ $ .= + -

6. K2


1 1 . V F O L Y A M

43 18

61

18

6868

A E B

D C

1200

32032

40

T

A

K

A hromszg egyik cscsbl indul oldalak hossza 45 cm, 37 cm. Az ebbl indul sly-vonal hossza 35 cm.a) Mekkora a harmadik oldal?b) Mekkora szg van a nem megadott oldallal szemben?

Az ismert adatokat a vzlatrajzon rgztettk.

a) Az ACD hromszgben a koszinuszttel:

,

.

Az ABD hromszgben a koszinuszttel:

,

.

A kt egyenlet sszeadsval kapjuk:

,

,.

A harmadik oldal kb. 43,45 cm.

b) Az ABC hromszgre a koszinuszttel:

, .

A kzs cscsnl kb. 63,1-os szg van.

a) Milyen rtkeket vehet fel az x, hogy x2 x + 1, 2x 1 s x2 2x egy hromszg ol-dalhosszainak mrszma legyen?b) Igazoljuk, hogy a fent kapott hromszgek legnagyobb szge 120!

a) Mivel a hromszg oldalainak hossza pozitv, ezrt teljeslni kell a kvetkez egyenltlens-geknek:x2 x + 1 > 0, 2x 1 > 0, x2 2x > 0.Mindhrom felttelnek eleget tev x-ek: .Teljeslni kell a hromszg-egyenltlensgeknek is:III. , amibl .

III. , amibl , azaz .

III. , amibl .

Mindent egybevetve: .

b) Egy alkalmas x behelyettestsvel megsejthet, hogy a legnagyobb szg az oldal-lal szemben lesz.(Pl: Ha , akkor , , .)Ezrt erre az oldalra rjuk fel a koszinuszttelt:

, ami az lltst igazolja.

7. K2

1369 1225 35 cosa a4

2

$ $ d= + -

37 35 2 35 cosa a2 2

2 2 2 $ $ $ d= + -a k

45 35 2 35 0cosa a2 2

182 22 o$ $ $ d= + - -a ^k h

2025 1225 35 cosa a4

2

$ $ d= + +

a 18882 =

a3394 24502

2

= +

,63 1o.a, ,cos2 37 45

37 45 43 45 0 45232 2 2

$ $.a =

+ -

,a 43 45.

;x 2 3! 6@;x 2 3! 6@x x x x x2 2 1 12 22- + - - +^ ^h h

; ;x21 2,3 3! - : 6D @x x2 5 2 02 2- +x x x x x1 2 2 12 2 2- + + - -^ ^h h

;x 0 3! 6@x x x x x1 2 1 22 22- + + - -^ ^h h;x 2 3! 6@

8. E1

cosx x x

x x x x xx x xx x x

2 2 1 22 1 2 1

2 2 5 22 5 2

21

2

2 2 2 2 2

3 2

3 2

$ $a =

- -

- + - - - +=

- +

- + - =-^ ^^ ^ ^

^h hh h h

h

x x2 32- =x2 1 5- =x x 1 72- + =x 3=

x x 12- +


1 1 . V F O L Y A M

35

45

37

a2

a2

180

A B

C

D

7. Szmtsok terepen

Egy trapz alak telket az egyik tlja mentn egy stattal kettosztottak. A 4000 m2-es telket ez a stny 7:3 arnyban szeli kett. A telek szlessgnek msflszeresvel egyenl arvidebb prhuzamos oldala. Milyen szles a telek?

A kt hromszg terletnek arnyval egyezik a kt prhuzamos oldal arnya is (a kt hrom-szg magassga azonos, ezrt az oldallal arnyos a terletk). Legyen , , a szvegalapjn a telek szlessge (vagyis a trapz magassga): .

Ezek alapjn: , amibl .

Vagyis a telek szlessge mter.

Egy rten kt fa ll. Szeretnnk megtudni a tvolsgukat, de egyenes mentn nem lehetaz egyik ftl a msikig eljutni. Az egyik ftl eltvolodunk 50 mtert, innen 110-os szgbenltjuk a kt fa kztti szakaszt. Tovbb tvolodunk a ftl mg 20 mtert, s ekkor 80-os szg-ben ltjuk a kt fa kztti szakaszt. Milyen messze van a kt fa egymstl?

Ksztsnk egy fellnzeti vzlatrajzot!

Az APQ hromszgben a szinuszttel:

, azaz .

Az APB hromszgben a koszinuszttel:,

.A kt fa kb. 73,5 mterre van egymstl.

A Balaton vztkrnek tengerszint feletti magassga 105 mter. A Tihanyi-flsziget leg-magasabb pontjn, a Cscs-hegyen llva (tengerszint feletti magassga 235 m) kt hajt pil-lantunk meg. A kt haj kztti szakaszt 52-os szgben, a hajkat kln-kln 2,98-os, il-letve 4,02.-os depressziszgben ltjuk. a) Milyen messze van tlnk a kt haj?b) Milyen messze van egymstl a kt haj?

Ksztsnk vzlatrajzot.A Cscs-hegy s a Balaton viznek szintklnbsge (rajzunkon AC szakasz) 130 mter. Bejell-tk a kt depressziszggel azonos nagysg -et s -et.

y

x

z

20

50

80

110

70

30

Q

A

B

P

1. K1

CH A2 BCH A1 B

,x 73 5.50 39,4 2 50 39,4 0 ,cosx 11 5399 91942 2 2 o$ $ $ .= + -

300 ,

sinsiny 20 8 39 4o

o

$ .=30

0sinsiny

208

o

o

=

m 40=

x 20=ta c m x x x

x2 2

7 3 210 40002=

+=

+= =

^ ^h hm x2=

c x3=a x7=

3. K2

2. K2


1 1 . V F O L Y A M

a) Az AH1C derkszg hromszgben: , amibl .

Az AH2C derkszg hromszgben: , amibl .

Szmtsaink szerint az egyik haj kb. 2501 mterre, a msik pedig 1854 mterre van tlnk.

b) rjuk fel a koszinuszttelt a CH1H2 hromszgre:,

.Vagyis a kt haj kb. 1996 mterre van egymstl.

Turistatrkpen a Dobogk (699 m), Pilis (756 m), Blcs-hegy (588 m) cscsok egy h-romszget alkotnak. A trkpen a kvetkezket mrtk: Pilis s Dobogk 10 cm, Pilis s Bl-cs-hegy 19,2 cm, Dobogk s Blcs-hegy 16,3 cm. A trkp mretarnya 1:40 000.a) Milyen messze van Dobogktl a Blcs-hegy?b) Milyen hossz a Dobogk s a Blcs-hegy legmagasabb pontjt sszekt kpzeletbelivonal?c) Hny fokos emelkedsi szgben kellene a Blcs-hegyen llva felnzni Dobogkre?d) A Blcs-hegy legmagasabb pontjn llva elszr a Pilis, utna Dobogk irnyba nznk.Mekkora a szg a kt irny kztt?

a) Mivel Dobogk s a Blcs-hegy 16,3 cm-re van a 1:40 000 mretarny trkpen, ezrt avalsgban a tvolsguk a mrsnk szerint 16,3 40 000 cm, azaz 6520 mter, vagyis 6,52 km.

b) Az adatok alapjn tudjuk, hogy a szintklnbsgk 111 mter. Az elzekben meghatroz-tuk a vzszintes tvolsgukat, ami 6520 mter. Pitagorasz-ttellel kapjuk az sszekt vonal

hosszt: mter.

c) Felrhatjuk a keresett szg pl. tangenst: , amibl: .

Vagyis a keresett szg kb. 1-os.d) Koszinuszttellel szmolunk:

.

.A kt irny kztt a szg kb. 31,4.

Egy kelet fel halad hajrl kt magaslat lthat az szaki parton, amelyek egymstl 5 km-re vannak, s a magaslatokat a hajval sszekt egyenes szak-dl irny. Nhny perchajzs utn az egyik magaslat szaknyugati, mg a msik szak-szaknyugati irnyban lthat.Mennyit haladt a haj ez alatt az id alatt?

Ksztsk el a szveg alapjn a vzlatrajzot, felhasznlva az gtjak adta szgek nagysgt!A H1H2P egyenl szr derkszg hromszgben a P-nl lv kls szg 135-os (a nem mel-lette fekv kt bels szg sszege). gy H2PQ hromszgben a Q-nl 22,5-os szg van. Vagyisez a hromszg is egyenl szr: PH2 = 5. A H1H2P egyenl szr derkszg hromszgben

. A haj kb. 3,5 kilomtert haladt.,H HPH

2 25 3 51 2

2 .= =

130

4,02

2,9852 y

z

x

C

A

H2

H1

,,

siny

2 98130 2500 6o .=,sin y

2 98 130o =

,x 1995 5.2500,6 1854,4 2 2500,6 1854,4 ,cosx 52 3 982 016 5022 2 2 o$ $ $ .= + -

,,

sinz

4 02130 1854 4o .=,sin z

4 02 130o =

4. K2

,31 4.b, ,

, , ,cos2 16 3 19 2

16 3 19 2 10 0 85372 2 2

$ $.b =

+ -

,0 975o.a6520111tga =

111 6520 65212 2 .+

5. K2


1 1 . V F O L Y A M

45

22,5

135

H1 H2

P

Q

5

8. Trigonometrikus egyenletek

Hatrozzuk meg az x lehetsges rtkeit, ha

a) sin x = 0,5; b) sin x = 0,4226; c) cos x = ; d) cos x = 0,2419;

e) tg x = 1; f) tg x = 5,6713; g) ctg x = 1; h) ctg x = 17,6327!

a) vagy , ahol .

b) vagy , ahol .

c) vagy , ahol .

d) vagy , ahol .

e) , ahol .

f) , ahol .

g) , ahol .

h) , ahol .

Oldjuk meg a kvetkez egyenleteket!a) 2 sin2 x + 7 sin x 4 = 0; b) cos2 x 1,5 cos x 1 = 0;

c) 2 sin2 x sin x = 0; d) 2 cos2 x + cos x = 0;e) 12 sin2 x + sin x 1 = 0; f) 9 cos2 x + 3 cos x 2 = 0;g) (tg x + 1)(tg x 2) = 0; h) tg2 x + 3 tg x = 0.

a) Megoldkplettel: vagy .

Ez utbbi nyilvn nem lehet (minden x-re ), gy a megoldsok:

vagy , ahol .

b) Megoldkplettel: vagy .

Az els nyilvn nem lehet (minden x-re ), gy a megoldsok:

vagy , ahol .

c) Kiemelssel: vagy .

A megoldsok:, ahol .

vagy , ahol .

d) Kiemelssel: vagy .

A megoldsok:, ahol .

vagy , ahol .

e) Megoldkplettel: vagy .

A megoldsok:vagy , ahol .

vagy , ahol .

f) Megoldkplettel: vagy .


vagy , ahol ., 360x k131 813 3o o$. + , 360x k131 81 44

o o$.- + ,k k Z3 4 !

, 360x k70 531 1o o$. + , 360x k70 532 2

o o$.- + ,k k Z1 2 !

cos x31

= cos x 32

=-

, 360x k19 473 3o o$.- + , 360x k160 534 4

o o$.- + ,k k Z3 4 !

14,48 360x k1 1o o$. + , 360x k165 522 2

o o$. + ,k k Z1 2 !

sin x41

= sin x 31

=-

0 360x k122 2o o$= + 0 360x k243 3

o o$= + ,k k Z2 3 !

0 0x k9 181 1o o$= + k Z1!

cos x 0= cos x 21

=-

0 360x k62 2o o$= + 0 360x k123 3

o o$= + ,k k Z2 3 !

0x k 181 1o$= k Z1!

sin x 0= sin x 23

=

0 360x k121 1o o$= + 0 360x k242 2

o o$= + ,k k Z1 2 !

1 cos x 1# #-

cos x 2= cos x 21

=-

30 360x k1 1o o$= + 0 360x k152 2

o o$= + ,k k Z1 2 !

1 sin x 1# #-

sin x21

= sin x 4=-

3

2. K2

, 180x k3 25o o$.- + k Z!

5 180x k13 o o$= + k Z!

180x k80o o$. + k Z!

0x k45 18o o$= + k Z!

360x k761 1o o$. + 360x k76 22

o o$=- + ,k k Z1 2 !

360x k451 1o o$= + 360x k452 2

o o$=- + ,k k Z1 2 !

360x k251 1o o$.- + 360x k1552 2

o o$=- + ,k k Z1 2 !

30 360x k1 1o o$= + 0 360x k152 2

o o$= + ,k k Z1 2 !

22

1. K1


1 1 . V F O L Y A M

g) vagy .A megoldsok:

, ahol .

, ahol .

h) Kiemelssel: vagy .A megoldsok:

, ahol .

, ahol .

Oldjuk meg a kvetkez egyenleteket!a) 10 sin2 x 6 sin x 8,4 = 0; b) 100 cos2 x 25 sin x 79 = 0.

a) Megoldkplettel: (ami nem ad megoldst, mert minden x-re )vagy .A megoldsok:

vagy , ahol .

b) Alkalmazzuk a helyettestst:

.Megoldkplettel: vagy .A megoldsok:

vagy , ahol .

vagy , ahol .

Oldjuk meg aa) 4 sin x cos x 2 cos x + 2 sin x = 0;b) sin x cos x 3 cos x + 2 sin x 6 = 0egyenleteket!

a) Az egyenlet bal oldaln ll kifejezst szorzatt alaktjuk:

.

vagy .


vagy , ahol .b) Az egyenlet bal oldaln ll kifejezst szorzatt alaktjuk:

.vagy .

Az egyenletnek nincs megoldsa.

Oldjuk meg:

a) ; b) ;

c) ; d) ;

e) ; f) !

a) I. eset: , ahol ,

,

.

x 1tg =- x 2tg =

x 3tg =-x 0tg =

0x k 181 1o$=

, 0x k63 43 182 2o o$. +

0x k45 181 1o o$=- +

k Z1!

k Z2 !

k Z1!

x k8 21 1

$r r= +

x k42

21 $r r= +

k Z1!x x k6 62

321 $

r r r- - + =a ak k

cos x 2=-sin x 3=

sin cosx x3 2 0- + =^ ^h h,k k Z3 4 !360x k1504 4

o o$= +360x k303 3o o$= +

,k k Z1 2 !135 360x k2 2o o$=- +135 360x k1 1

o o$= +

sin x21

=cos x 22

=-

2 2cos sinx x2 1 0+ - =^ ^h h

,sin x 0 35.,sin x 0 6.-

100 25sin sinx x 21 02 + - =

1cos sinx x2 2= -

,k k Z3 4 !1 , 360x k59 514 4o o$. +, 360x k20 493 3

o o$. +

,k k Z1 2 !1 , 360x k43 132 2o o$.- +, 360x k36 871 1

o o$.- +

,k k Z1 2 !, 360x k138 372 2o o$.- +41,63 360x k1 1

o o$.- +

,sin x 0 6644=-

1 sin x 1# #-,sin x 1 2644.

, 0x k71 57 182 2o o$=- + k Z2 !

3. K2

224. K2

x x55

25

tg tgr r+ = -b al kx x2 8 2tg tgr r+ = +a ak ksin sinx x8

47

6r r

+ = -a ak ksin sinx x3 2 2 4r r- = +a ak kcos cosx x8

54

32r r

- = +a bk lcos cosx x6 6 2 3r r- = +a ak k5. K2


1 1 . V F O L Y A M

II. eset: , ahol ,

,

.

Az egyenlet gykeit az x1, x2 adja.

b) I. eset: , ahol ,

.

II. eset: , ahol ,

.

heuréka matematika 11 megoldások.pdf

Documents