Inlämningsuppgift: Tribologi 4F1540 VT 2003.

Hertz’ rullar

Ulf Olofsson

tel: 08: 790 63 04

e-brev: ulfo@md.kth.se

1

1. Inledning

Föreliggande uppgift är uppdelad i två delar. I den första delen skall Hertz metod för dubbelkrökta ytor appliceras på provkropparna som används i en skiva på skivas maskin (”disc on disc machine”), se figur 1. Skiva på skiva maskiner används vid nötningsprovning av rullande och glidande kontakter. I rullande och glidande kontakter kan kontaktområdet delas in i två olika delar, en del där ytorna glider relativt varandra (slip området) och en del där ytorna inte glider relativt varandra (stick området). I den andra delen av uppgiften skall stick och slip området beräknas för samma skiva på skiva geometri.

Figur 1. Skiss över provkroppsgeometrin för skiva på skiva prov.

2. Geometri

Om två fasta kroppar är i kontakt belastas kropparna av ytkrafter. Ytkrafternas storlek och fördelning är helt beroende av kropparnas deformation i kontaktområdet. Det är därför ofta en svår uppgift att bestämma kontaktkrafter/ytkrafter. Problemet kan lösas analytiskt för vissa standardformer av kroppar/geometrier. Med hjälp av numeriska metoder som madrassmodeller, FEM och BEM kan man analysera mera komplicerade geometrier, se Johnson [1] för mera detaljer.

I uppgiften skall Hertz teori för friktionsfri kontakt mellan linjärt elastiska kroppar, användas för att studera kontakten mellan två dubbelkrökta skivor.

2

Två kroppar i kontakt kan generellt representeras av två ellipsoider, se figur 2. De två kropparna har olika krökningsradier (radierna rax, ray, rbx och rby) i två huvudkrökningsplan (x och y) som passerar kontaktpunkten under obelastat tillstånd. Om kropparnas huvudkrökningsplan ej överensstämmer blir situationen något mer komplicerad, titta i Johnson [1]. Den teckenkonvention som används här är att konvexa ytor, som visas i figur 1, har positiv krökningsradie och konkava ytor har en negativ krökningsradie. Figur 3 visar krökningsradierna för några olika maskinelement. En annan konvention är att är att x och y riktningarna är valda så att x axeln är i den lilla huvud axelnsriktning och y axeln är i den stora huvudaxeln riktning.

När man analyserar kontaktproblem är summan av krökningsradierna Rs, och differensen av krökningsradierna Rd viktiga storheter.

1 1 1R R Rs x

� �

y (1)

R RR Rd s

x y� �

�

���

�

���

1 1 (2)

där

1 1 1R r rx ax b

� �

x (3)

1 1 1R r ry ay b

� �

y (4)

3

Figur 2. Geometri för två dubbelkrökta ytor i kontakt, från Hamrock [2].

Figur 3. Krökningsradie konvention för några olika maskinelement, från Hamrock [2].

3. Hertz lösning

H. Hertz 1881, analyserade elastiska kontaktproblem genom att använda uttryck för spänningar och deformationer i en halvrymd, dvs en halvoändlig kropp begränsad av ett plan. Om en halvrymd belastas med t ex ett normaltryck inom en begränsad ytzon, figur 4, blir spänningar och deformationer nästan noll på ett visst avstånd från lastzonen. Hertz’ kontaktteori kan användas vid analys av elastiska kontaktproblem om kontaktzonen är liten i

4

förhållande till den minsta radien hos kontaktytorna. Vidare antas att kontaktytorna är släta på två olika längdskalor. På en mikro skala antas att ytorna inte har några ojämnheter, vidare på en makro skala antas att ytprofilerna är två gånger kontinuerligt deriverbara. Denna kontaktteori ger basen för beräkning av yttryck mm i många maskinelement som rullningslager, kugghjul, kam/följare och hjul-räls kontakten.

Figur 4. Spänningstillstånd i en halvrymd.

I en elliptisk kontakt blir spänningsfördelningen, se figur 5:

p px

Dy

Dmx y

� ��

��

�

�� �

�

���

�

���

��

�

��

12 2

2 2 1 2/

(5)

Figur 5. Tryckfördelningen i en elliptisk kontakt, från Hamrock [2].

Maximalt kontakttryck kan uttryckas enligt

pw

D Dmz

x y�

6�

(6)

5

där wz är normallasten.

Ellipticitetsparametern definieras som den elliptiska kontaktdiametern i y-riktningen dividerad med den elliptiska kontaktdiametern i x-riktningen:

kDD

y

x� (7)

Ellipticitetsparametern kan skrivas som en funktion av krökningsradiedifferensen och de elliptiska integralerna av första och andra ordningen:

� �� �

kR

Rd

d

�� �

�

�

���

�

�

2 11

1 2 �

�

/

(8)

där

� �� � ���

1 2

0

2 1 2

msin/ /

��

d�

� �d

(9)

� ���

� �� 1 2

0

2 1 2msin

/ / (10)

och mk

� �11

2 .

De elliptiska integralerna av första och andra ordningen finns i Matlab som en m-fil under namnet ellipke. Ellipke skall anropas: [K,E]=ellipke(1-1/k^2); Där k>1.

En iterativ numerisk metod behövs för att ta fram ellipticitetsparametern k. I bilaga A presenteras en sådan metod samt tillhörande matlab kod (från Mägi [3]).

Notera att ellipticitetsparametern bara beror av kontaktytornas krökningsradie:

6

�k f r r r rax bx ay by� , , �, (11)

Detta innebär att om lasten ökar så ökar halvaxlarna i x- och y-riktningen proportionellt mot varandra, men ellipticitetsparametern förblir konstant.

När man känner normallasten, Poisson tal, elasticitetsmodulen och ellipticitetsparametern kan förskjutningen i normalled och den mindre samt den större kontaktdiametern i kontaktellipsen beräknas.

Dk w R

Eyz s�

�

��

�

��2

6 2 1 3�

�'

/

(12)

Dw RkEx

z s����

���2

6 1 3�

�'

/

(13)

där

E

E Ea

a

b

b

'�

�

�

�

21 12

� �2 (14)

4. Approximativ lösning av Hertzka kontakter

De klassiska Hertska lösningar presenterade ovan kräver att man löser en ekvation med k, � och � som en funktion av geometrien för kropparna i kontakt. Detta kräver vanligtvis att man använder en iterativ numerisk metod. Ett annat alternativ är att använda approximativa lösningar som bygger på minsta kvadrat anpassningar av en serie av lösningar. Den följande approximativa lösningen är från Hamrock [2]. Han erhöll följande ekvationer:

k r� ��2/ (15)

där

�ry

x

RR

� (16)

7

raq �� ln2��� för 1 100� ��r

raq �� ln2��� för 001 1. � ��r (17)

där

qa � �

�

21 (18)

och

�

�

� �1qa

r för 1 100� ��r

� �� �1 qa r för 001 1. � ��r (19)

Överensstämmelsen mellan de exakta och approximativa lösningarna varierar mellan 1 till 4 %.

5. Ett exempel

Betrakta kontakten mellan kula och bana i ett axialkullager, se figur 6. Indata till analys med Hertz metod redovisas i tabell 1. I tabell 1 redovisas också resultaten från analysen.

Figur 6. Kula och bana i ett axialkullager, från Hamrock [2].

8

Tabell 1. Data för kula och bana i ett axialkullager, från Hamrock [2].

Kontaktparameter

wz (N) 222.411

rax (m) 0.00635

ray (m) 0.00635

rbx (m) -0.0389

rby (m) -0.0066

k 7.3649

� 1.0267

� 3.3941

Dy (m) 0.00184

Dx (m) 0.00025

pm (Gpa) 0.922

Nedan visas hur beräkningarna har utförts i Matlab 5.2.

Rs=1/(1/0.00635+1/0.00635-1/0.0389-1/0.0066)

Rs =

0.0073

wz=222.411

wz =

222.4110

Epri=2.2E11

Epri =

2.2000e+011

[Oval,MCR]=oval(0.00635,0.00635,-0.0389,-0.0066)

Oval =

7.3649

MCR =

1.2105

m=1-1/Oval^2

m =

0.9816

[K,E] = ELLIPKE(m)

9

K =

3.3941

E =

1.0267

Dy=2*(6*Oval^2*E*wz*Rs/pi/Epri)^(1/3)

Dy =

0.0018

Dx=2*(6*E*wz*Rs/pi/Oval/Epri)^(1/3)

Dx =

2.5005e-004

P=6*wz/pi/Dx/Dy

P =

9.2247e+008

6. Rullande och glidande kontakt

I rullande och glidande kontakter kan kontaktområdet delas in i två olika delar, en del där ytorna glider relativt varandra (slip området) och en del där ytorna inte glider relativt varandra (stick området). Hur stick och slip området ser ut för en elliptisk kontakt löste Vermulen och Johnson [4] approximativt genom att antaga att också stick området är elliptiskt och med samma förhållande mellan axlarna se figur 7. Storleken på krypet (relativa skillnaden i glidhastighet) bestämmer positionen på stickellipsens mittpunkt och stickellipsen tangerar kontaktellipsen i framkanten för att krypet och den tangentiella kraften skall vara motriktade.

3/1

1''���

����

����

zwT

bb

aa

� för T (20) w��

där µ är friktionskoefficienten och T är den tangentiella kraften. Krypet, �, kan beräknas enligt följande

��

�

�

��

�

�

���

�

� �

3/1

11z

z wT

wC�

� för T �� (21) w

7.03��

abGC

�

� (22)

där G är skjuvmodulen.

10

a

a'

b'b

stickområde

slipområde

rullr

iktn

ing

y

x

Figur 7. Kontakt områdets utseende enligt Vermulen och Johnson [4].

7. Uppgift

Uppgiften går ut på att studera provkropparna som används i en skiva på skivas maskin. Geometrin för provkropparna redovisas i figur 8.

Tre fall skall studeras. Materialet är stål så använd E-modul 2,1•1011 Pa och Poissons tal 0,3. Friktionskoefficienten antas vara 0,6.

Fall 1. Normal last = 300 N, kryp = 0,5 %. Krökningsradierna är: rax= 0,0325 m ray=0,125 m

rbx= 0,032 m och rby= ∞ m.

Fall 2. Normal last = 1600 N, kryp = 0,5 %. Krökningsradierna är rax= 0,0325 m ray=0,125 m rbx= 0,032 m och rby= ∞ m.

Fall 3. Normal last = 1600 N, kryp = 1,0 %. Krökningsradierna är rax= 0,0325 m ray=0,125 m m, rbx= 0,0323 m och rby= ∞ m.

11

Figur 8. Kontaktsituationen i skiva på skiva prov

�� Beräkna maximalt kontakttryck och diametrarna på kontaktellipsoiden i respektive fall. Beräkningarna skall utföras antingen med den approximativa metoden eller med hjälp av den bifogade matlabkoden. Fundera över om det är rimligt att använda Hertz i denna geometri.

�� Beräkna utseendet på stick och slip området med Vermulen - Johnson metoden för samtliga tre fall. Metoden är approximativ. Hur tror ni att stick och slip området ser ut i en verklig kontakt (se figur 7)?

Lösningar, svaren och funderingar skall redovisas skriftligt gruppvis före första ordinarie tentamenstillfället torsdagen den 5/6.

7. Referenser

[1] Jonson K.L., Contact mechanics, Cambridge University Press (1996).

[2] Hamrock B.J., Fundamentals of fluid film lubrication, Nasa Reference Publication 1255 (1991).

[3] Mägi M., Versatile algorithms for "exact" computations of ovalities of Hertzian point contacts, Matlab conference, October 31 - November 1, Stockholm 1995.

[4] Vermulen P.J. and Johnson K.L., Contact of non-spherical elastic bodies transmitting tangential forces, Journal of Applied Mechanics vol. 31 (1964) 338.

12

Appendix A:

function [Oval,MCR]=oval(Rx1,Ry1,Rx2,Ry2)

% [Oval,MCR]=oval(Rx1,Ry1,Rx2,Ry2);

% evaluates, by using ovalsub.m iteratively, non-dimensional properties of

% a Hertzian point contact at coinciding principal planes of curvature:

% ovality (Oval=a/b) and mean contact radius (MCR=sqrt(a*b)), where x<->a and

% y<->b, as function of principal radii of curvature, positive when convex.

% This m-file is created by Dr. Mart Mägi at CTH, Gothenburg, Sweden, in 1995.

% Shape parameter (s):

rrrr=(1/Rx1-1/Ry1+1/Rx2-1/Ry2)/(1/Rx1+1/Ry1+1/Rx2+1/Ry2);

R4=abs(rrrr);

% Nearly circular contacts (approximate inverse series solution):

m=8/3*R4-32/9*R4^2+4*R4^3-352/81*R4^4+1118/243*R4^5-3512/729*R4^6;

m=m+21851/4374*R4^7-33812/6561*R4^8+104123/19683*R4^9;

%Nearly line type and arbitrarily oval contacts:

if R4>0.999 % Nearly line type contacts

error('Not a realistic contact - too close to line contact')

elseif R4>0.78*eps^(0.1) % Arbitrarily oval contacts

if m>0.75

m=0.75+0.5*(R4-0.5); % Partial linear approximation

end

[Shape,Slope]=ovalsub(m); % Initial shape and slope

n=1;

while abs(R4-Shape)>eps % Iteration loop

m=m+(R4-Shape)/Slope;

[Shape,Slope]=ovalsub(m);

n=n+1;

13

if n>10 % Terminates oscillatory iteration loop

Shape=R4;

end

end

end

% Output quantities

A=sqrt(1-m);

[K,E]=ellipke(m);

Oval=1/A; % Ovality, a/b

MCR=(2*E/(sqrt(A)*pi))^(1/3); % Mean contact radius (non-dimensional)

if rrrr<0

Oval=A;

end

function [Shape,Slope]=ovalsub(m)

% [Shape,Slope]=ovalsub(m);

% Evaluates shape parameters of elliptic Hertzian point contacts

% as function of non-dimensional contact ovality parameter, m.

[K,E]=ellipke(m); % Complete elliptic integrals

Shape=2/m-1-2*(1/m-1)*K/E; % Shape parameter

Slope=-(3-2*(2-m)*K/E+(1-m)*(K/E)^2)/m^2; % Slope of shape parameter