N° d’ordre : 4020

THÈSE

PRÉSENTÉE A

L’UNIVERSITÉ BORDEAUX 1

ÉCOLE DOCTORALE DES SCIENCES POUR L’INGENIEUR

Par Miloud HEMSAS

POUR OBTENIR LE GRADE DE

DOCTEUR

SPÉCIALITÉ : Mécanique et Ingénieries

Modélisation par macro-éléments du comportement non-linéaire des ouvrages à voiles porteurs en béton armé sous

action sismique Développement de méthodes simplifiées d’analyse dynamique et de vulnérabilité sismique

Soutenue le : 15 Avril 2010 Devant la commission d’examen formée de : M. Denys BREYSSE Professeur, Université Bordeaux 1, Directeur de Thèse M. Alain DENIS Professeur, Université Bordeaux 1, Examinateur M. Jean-François DUBE Professeur, Université Montpellier 2, Rapporteur M. Sidi Mohammed ELACHACHI MCF, Université Bordeaux 1, Co-directeur de Thèse M. Christian LA BORDERIE Professeur, U.P.PA, Rapporteur M. Djamel NEDJAR Professeur, U.S.T.Oran, Examinateur

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R é s u m é

Cette thèse s’inscrit dans le cadre de l’élaboration de méthodes simplifiées d’analyse du comportement non-linéaire des ouvrages en béton armé à voiles porteurs sous action sismique. Une stratégie de modélisation simplifiée basée sur la notion de macro-élément a été adoptée, afin de décrire le comportement non-linéaire du mur voile et d’estimer sa capacité résistante vis-à-vis des forces latérales. Les lois de comportement utilisées pour le béton et l’acier sont basées sur la théorie de l’endommagement et de la plasticité. La validation des capacités prédictives du modèle à partir des résultats expérimentaux a été aussi effectuée. De plus, une étude paramétrique a été réalisée pour étudier la sensibilité des résultats aux variations des paramètres liés au modèle, au matériau et/ou au type de chargement.

Différentes méthodes d’analyse pseudo-dynamique non-linéaire sont également

analysées. Parmi elles, la méthode modale spectrale est une approche attrayante. En l’associant aux méthodes statiques non-linéaires basées sur le concept de déplacement (dimensionnement en capacité) et tout en intégrant les mécanismes possibles de ruine dus aux effets des modes les plus élevés, l’on peut adopter une approche fondée sur la notion de performance. Plusieurs propositions ont été proposées, à savoir : la Méthode Spectrale Non-linéaire (MSNL), la Méthode d’Analyse Modale Pushover (AMP) et la Méthode des Combinaisons Modales (MCM). Un des objectifs de cette thèse a consisté à appliquer ces nouvelles approches aux structures à murs voiles en béton armé. Une étude comparative entre les déplacements relatifs inter-étages obtenus à partir de ces trois modèles et la méthode d’analyse temporelle non-linéaire simplifiée a été conduite.

L’évaluation de la vulnérabilité des ouvrages est un élément clé dans les stratégies de

prévention voire de réduction du risque sismique. En fonction de l’échelle d’étude (région, ville, structure…), plusieurs modèles et méthodologies d’analyse de la vulnérabilité et de réduction du risque sismique existent, permettant de procéder à une estimation des dommages pour différentes typologies de structures. Dans la dernière partie de thèse nous nous intéressons à l’échelle de la structure à une seule typologie, celle des ouvrages quasi-symétriques à murs porteurs (voiles) en béton armé. L’estimation du niveau de performance atteint lors d’une action sismique donnée est obtenue à partir de la courbe de capacité (basée sur une analyse statique en poussée progressive ou "Pushover"). L’analyse de la performance de la structure est probabiliste car aussi bien le spectre de réponse représentatif de l’action sismique que les propriétés des matériaux sont aléatoires (variabilité du signal sismique, hétérogénéité du béton…). Une étude paramétrique a été menée au travers de simulations de type ''Monte-Carlo'' pour déterminer les fonctions de distribution des courbes de vulnérabilité et identifier les paramètres qui les contrôlent.

Mots-clés : Mur voile, Macro-élément, (« Pushover »), Spectre non-linéaire, Performance, Risque sismique, Vulnérabilité, Simulations "Monte-Carlo", Courbes de fragilité.

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A b s t r a c t

This thesis is part of the development of simplified methods of analysis of the non-linear behavior of reinforced concrete structures with shear walls under seismic action. A simplified model based on the concept of macro-element was elaborated in order to describe the non-linear behavior of shear wall and, thus, to obtain its strength capacity under lateral forces. The constitutive laws used for concrete and steel are based on damage and plasticity theories. The validation of model prediction capacities with experimental results was also carried out. Finally, a parametric study was led to study the mesh sensitivity of the response of the model and to identify the sensitivity of the results on changes of the parameters associated with the model, material and the type of loading.

A study conducted on different methods of non-linear dynamic analysis is also presented.

Among these different types of dynamic analysis, modal spectral method is an attractive approach. By associating it to the non-linear static methods based on the concept of displacement (capacity design) and in order to integrate the possible mechanisms of collapse due to the effects of the highest modes, one can adopt an approach based on the concept of performance. Several proposals were made, that is: Non-linear Spectral Method (MSNL), Method of Modal Pushover Analysis (AMP) and Modal Combinations Method (MCM). This part of thesis consisted in particular, to apply these new approaches to the structures with reinforced concrete structural walls, using the proposed model by macro-element. A comparative study between the relative displacements obtained starting from these three models and the method of simplified non-linear temporal analysis was led.

The vulnerability assessment of structures is a key element for earthquake prevention and

mitigation strategies. Depending on the scale of study (the region, the city, the structure ...), several vulnerability models and methodologies to reduce seismic risk are available, enabling to carry out damage assessment for different kinds of structures. In this study, we focus at one structure’s type, namely a quasi symmetrical reinforced concrete structure with structural walls. The structure is discretized into a set of macro-elements, each macro-element being representative of a structure's floor. The estimated performance level achieved during a seismic action is obtained from capacity curves (based on a static pushover analysis). The performance analysis of the structure is a probabilistic analysis since both the response spectrum (action) and the materials properties (resistance) are random. A parametric study was conducted through Monte Carlo simulations to determine the vulnerability cumulative distribution functions and to identify the parameters that control them. Keywords: Shear wall, Macro-element, Pushover, Inelastic spectra, Performance, Seismic risk, vulnerability, Monte-Carlo Simulations, fragility curves.

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R e m e r c i e m e n t s

Les travaux de thèse présentés dans ce mémoire ont été réalisés au sein de deux Laboratoires LSTE de l’Université de Mascara et LM2SC de l’Université USTO d’Oran (Algérie), en collaboration avec le Laboratoire Géosciences Hydrosciences Matériaux Constructions (GHyMaC) de l’Université Bordeaux1 (France).

Je tiens à remercier en premier lieu mes directeurs de thèse, Monsieur Denys BREYSSE

et Monsieur Sidi Mohammed ELACHACHI, pour leurs précieux conseils, leur confiance et pour l’opportunité qu’ils m’ont offert de m’initier au monde de la recherche en Europe.

Ces travaux de recherche ont été rendus possibles grâce à l’accueil chaleureux et au soutien de Monsieur le Professeur Denys BREYSSE, et à l’assistance permanente, efficace et amicale de Monsieur Sidi Mohammed ELACHACHI, Maitre de Conférences à l’Université Bordeaux1. Je leur suis très reconnaissant de la confiance qu’ils m’ont toujours témoignée au cours de ce doctorat.

A l’issue de mon agréable séjour au sein du Laboratoire GHyMaC, j’adresse des

remerciements particuliers à sa directrice, Madame le Professeur Joëlle RISS, pour le dynamisme de ce laboratoire de recherche et l’efficacité de travail. Je tiens également à remercier avec un profond sentiment de sympathie tous mes collègues docteurs et doctorants pour cette bonne et agréable ambiance ainsi que le personnel d’encadrement et du secrétariat pour leur gentillesse et leur encouragement constant tout au long de ce travail.

Je tiens à remercier chaleureusement les membres du jury, tout particulièrement,

Messieurs Jean-François DUBE (Professeur à l’Université Montpellier 2), et Christian LA BORDERIE (Professeur à l’Université de Pau et des Pays de l’Adour), d’avoir accepté de rapporter ce travail, ainsi que Messieurs Alain DENIS (Professeur à l’Université Bordeaux 1) et Djamel NEDJAR (Professeur à l’Université USTO d’Oran), qui ont donné de leur temps pour examiner et évaluer cette thèse.

J’aimerais également remercier vivement tous ceux qui ont su me conseiller ou

m’apporter leur support technique lors des différentes étapes de la recherche, particulièrement les membres du laboratoire LSTE de l’Université de Mascara.

Une pensée reconnaissante va enfin à ma grande famille en particulier ma chère mère,

mes amis et mon entourage, qui ont su me soutenir et m’encourager durant cette période ainsi qu’à ma femme pour la patience et le soutien dont elle a fait preuve pendant toute la durée de cette thèse.

A vous tous merci.

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D é d i c a c e s

Cette thèse est dédiée :

À la mémoire de mon père ; À tous mes proches, et plus particulièrement, ma chère mère, mes sœurs et frères ; À ma femme et mon fils ; A mes professeurs de l’Université d’Oran et mes collègues des Universités de Mascara et de Sidi-Bel-Abbès (Algérie).

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T a b l e d e s m a t i è r e s

Introduction générale ....................................................................................................... 19

1. Comportement des murs-voiles, divers choix de modélisation et pratiques de dimensionnement ..........................................................................................................27

1.1 Généralités .............................................................................................................. 27

1.2 Caractéristiques essentielles du comportement des murs-voiles .....................................29

1.3 Modes de fonctionnement des murs-voiles .......................................................................30

1.3.1 Modes de fonctionnement des voiles élancés ........................................................30

1.3.2 Modes de fonctionnement des voiles courts ..........................................................32

1.3.3 Observations et Remarques ......................................................................................33

1.4 Principes de dimensionnement des murs-voiles ......................................................... 37

1.5 Choix d’un niveau de modélisation et d’une échelle de discrétisation ..................................39

1.5.1 Niveau de modélisation ............................................................................................40

1.5.2 Echelle de discrétisation................................................................................. 40

1.6 Choix de modélisation en dynamique non-linéaire.................................................................42

1.6.1 Modélisation raffinée .................................................................................... 42

1.6.2 Modélisation simplifiée.................................................................................. 43

1.6.3 Modèles simplifiés pour les voiles .................................................................. 45

2. Modélisation simplifiée en "macro-élément", description du modèle analytique et limites de validité ...................................................................................................53

2.1 Introduction ............................................................................................................ 53

2.2 Intérêt des méthodes simplifiées ......................................................................................... 55

2.3 Description du modèle analytique ..................................................................................... 54

2.3.1 Relations entre degrés de liberté du macro-élément et degrés de liberté conventionnels .......................................................................................... 57

2.3.2 Développement de la matrice de rigidité K du macro-élément ........................ 60

2.4 Lois de comportement des matériaux béton-acier analytique ......................................... 66

2.4.1 Modèles du béton ........................................................................................... 66

2.4.1.1 Modèle constitutif de Kent et Park (1971) ............................................ 68

2.4.1.2 Modèle de Chang et Mander (1994) ............................................................70

2.4.1.2.1 Courbe enveloppe de compression ...............................................70

8

2.4.1.1.2 Courbe enveloppe de Traction ......................................................73

2.4.2 Modélisation de la tension-stiffening .............................................................. 75

2.4.3 Modèles de l’acier.......................................................................................... 78

2.4.3.1 Loi uni-axial cyclique .......................................................................... 80

2.4.3.2 Loi uni-axial monotone ........................................................................81

2.5 Stratégie de résolution numérique ......................................................................................... 82

2.5.1 Problème non-linéaire quasi-statique .............................................................. 83

2.5.2 Approche incrémentale itérative-Méthode Newton-Raphson ........................... 84

2.5.3 Stratégie de résolution appliquée .................................................................... 86

2.5.3.1 Premier cycle d’itération, j = 1 ............................................................. 87

2.5.3.2 Cycles d’itération d’équilibre, j ≥ 2 ..................................................... 88

2.5.3.3 Stratégie d’incrémentation de la composante de déplacement choisie.............90

2.5.3.4 Stratégie Itérative: Itération en déplacement constant .....................................91

2.5.3.5 Critères de convergence et stratégie de résolution ...........................................91

2.5.4 Conclusion..................................................................................................... 92

3. Qualification du modèle : limite de validité, étude paramétrique et de sensibilité ..........................................................................................................95

3.1 Introduction .............................................................................................................. 95

3.2 Evaluation de la réponse globale et qualification du modèle ...................................... 96

3.2.1 Analyse en poussée progressive (« pushover ») ....................................................96

3.2.2 Validation de la modélisation proposée ................................................................. 99

3.3 Etude paramétrique et sensibilité des paramétriques ...................................................... 105

3.3.1 Paramètres liés au modèle numérique .................................................................. 106

3.3.2 Paramètres liés au matériau ................................................................................... 108

3.3.3 Paramètres liés au type de chargement.................................................................. 114

3.4 Indicateur de dégradation .................................................................................................. 115

3.5 Conclusion ............................................................................................................. 120

4. Modélisation du problème dynamique et comparaison des différentes méthodes d’analyse ..............................................................................125

4.1 Introduction ........................................................................................................................ 125

4.2 Procédures d’analyse dynamique ..................................................................................... 127

4.2.1 Analyse Modale temporelle (systèmes élastiques) ............................................... 127

9

4.2.2 Analyse Modale Spectrale......................................................................................... 130

4.2.3 Analyse Temporelle Non-linéaire (ATNL) .......................................................... 131

4.2.4 Analyse Modale Temporelle Découplée (AMTD) .............................................. 133

4.2.4.1 Limites de la méthode AMTD........................................................................134

4.2.4.2 Résumé de la méthode (AMTD) ....................................................................136

4.2.5 Exemple d’application et résultats de simulations .......................................... 137

4.2.5.1 Analyse modale ................................................................................. 138

4.2.5.2 Caractéristiques du système équivalent .............................................. 141

4.2.5.3 Analyse dynamique ............................................................................ 142

4.3 Méthode d’Analyse Spectrale Non-Linéaire (MSNL) .................................................... 146

4.3.1 Principe de la méthode et équations .............................................................. 146

4.3.2 Résultats des simulations .............................................................................. 155

4.3.2.1 Détermination des spectres ................................................................. 155

4.3.2.2 Analyse en poussée progressive (« pushover ») .................................. 157

4.3.2.3 Idéalisation de la courbe (« pushover ») ............................................. 158

4.3.2.4 Courbe de capacité ............................................................................. 159

4.3.2.5 Spectre inélastique ............................................................................. 159

4.3.2.6 Point de performance ........................................................................ 160

4.3.3 Indicateur de dégradation ............................................................................. 162

4.4 Méthode d’Analyse Modale Pushover (AMP) ..........................................................163

4.4.1 Limites de la méthode AMP ......................................................................... 164

4.4.2 Résumé de la méthode AMP.......................................................................... 164

4.4.3 Résultats de simulations ................................................................................ 165

4.5 Méthode des Combinaisons Modales (MCM) .......................................................... 170

4.5.1 Principe de la méthode ................................................................................. 170

4.5.2 Exemple d’application .................................................................................. 171

4.5.3 Approche de combinaison modale proposée................................................... 175

4.6 Comparaison des différentes approches simplifiées ................................................. 178

4.7 Conclusion ............................................................................................................. 179

5. Evaluation probabiliste de la vulnérabilité sismique des structures .........................183

5.1 Introduction ............................................................................................................ 183

5.2 Méthodes existantes d’analyse de la vulnérabilité .................................................... 184

5.2.1 Méthodes empiriques (statistiques) ............................................................... 185

10

5.2.2 Méthodes basées sur la performance .............................................................186

5.3 Méthodologie proposée pour l’estimation simplifiée de la vulnérabilité .................... 189

5.3.1 Simulation de Monte-Carlo .......................................................................... 190

5.3.1.1 Avantages et inconvénients ............................................................... 191

5.3.1.2 Amélioration de la méthode ............................................................... 191

5.3.2 Procédure d’analyse ..................................................................................... 193

5.3.2.1 Courbes de capacité et détermination du point de performance ........... 194

5.3.2.2 Evaluation de la vulnérabilité et identification des degrés de dommages ...................................................................................... 195

5.3.3 Exemple d’application et résultats des simulations......................................... 197

5.4 Conclusion..............................................................................................................................203

Conclusions et perspectives..............................................................................................207

Références bibliographiques.............................................................................................215

Annexes.............................................................................................................................230

11

L i s t e d e s f i g u r e s

Chapitre 1

Figure 1.1 : Comportement de deux immeubles voisins face aux secousses sismiques

(Zacek, 2008)

Figure 1.2 : Dégradation du bâtiment au niveau de la zone critique (Zacek, 2008)

Figure 1.3 : Mur voile en béton armé et disposition de ferraillage adoptée

Figure 1.4 : Modes de rupture de voiles élancés (Davidovici et al., 1985)

Figure 1.5 : Modes de rupture de voiles élancés (Paulay et al., 1992)

Figure 1.6 : Modes de rupture de voiles courts (Davidovici et al., 1985)

Figure 1.7 : Distribution de forces sismiques réduites

Figure 1.8 : Systèmes à un seul degré de liberté: Modélisation et idéalisation

Figure 1.9 : Système linéaire correspondant au système inélastique.

Figure 1.10 : Comportement ductile d’un voile élancé (Rupture due à la flexion (Oesterle

et al. 1980))

Figure 1.11 : Comportement non ductile d’un voile (Rupture due à l’effort tranchant

(Paulay et al. 1992)).

Figure 1.12 : Armature des murs voiles parasismiques (Pellissier, 2004).

Figure 1.13 : Maquette ECOLEADER - Maillage 3D et résultats numériques (Nguyen et

al. 2007)

Figure 1.14 : Modélisation des murs voile par analogie " poteau-poutre " équivalent

Figure 1.15 Basculement du mur et effet de décalage de l’axe neutre sur les

déplacements verticaux

Figure 1.16 : Modèle à trois sous-éléments verticaux (Kabeyasawa et al., 1983)

Figure 1.17 : Modèle à plusieurs sous-éléments assemblés en parallèle (Vulcano et al.,

1988)

Figure 1.18 : Centre de rotation expérimentalement observé (Orakcal et al., 2004)

Chapitre 2

Figure 2.1 : Présentation du macro-élément

Figure 2.2 : Modélisation par macro-élément du mur voile

12

Figure 2.3 : Exemple de ferraillage de la section droite du macro-élément

Figure 2.4 : Rotations et déplacements du macro-élément

Figure 2.5 : Mode de déformation découplée par flexion et cisaillement

Figure 2.6: Modes de déformations du macro-élément (Vulcano et al., 1988)

Figure 2.7 : Diagramme σ-ε pour le béton comprimé

Figure 2.8 : Modèle modifié du béton en compression (Kent et Park, 1982)

Figure 2.9 : Courbe enveloppe de compression et de traction (Chang et Mander 1994)

Figure 2.10 : Forme normalisée de la courbe enveloppe de compression et de traction

Figure 2.11 : Modèle de tension-stiffening (Colotti, 1993)

Figure 2.12: Relation contrainte-déformation moyenne du béton en traction (Belarbi et Hsu,

1994)

Figure 2.13: Comportement du béton en traction (Wallace, 2006)

Figure 2.14 : Réponse uni-axial du modèle Chang et Mander en traction et en compression

Figure 2.15 : Comportement de l’acier en traction simple

Figure 2.16 : Représentation de la loi " élasto-plastique parfaite " pour l’acier

Figure 2.17 : Comportement cyclique de l’acier (Menegotto et Pinto, 1973)

Figure 2.18 : Comportement monotone de l’acier (Menegotto et Pinto, 1973)

Figure 2.19 : Mur voile et les degrés de liberté du modèle

Figure 2.20 : Procédure de la méthode itérative de Newton-Raphson

Figure 2.21 : Déplacements nodaux et incréments de la force de résistance interne

Figure 2.22 : Points limites dans le chemin charge-déplacement quasi-statique du système

Figure 2.23 : Processus adaptatif d’analyse non-linéaire d’un système à 1 seul degré de

liberté

Figure 2.24 : Processus itératif et déplacements résiduels

Chapitre 3

Figure 3.1 Signification physique de la courbe Pushover

Figure 3. 2 : Dimensionnement et ferraillage de la section droite du mur voile

Figure 3.3 : Instrumentation et protocole expérimental sur le spécimen testé (Wallace, 2004)

Figure 3.4 : Résultats analytiques et expérimentaux de la réponse du spécimen

Figure 3.5 : Profil de déplacement latéral du spécimen de mur voile

Figure 3.6 : Mesure des déformations par LVDT suivant la largeur du mur voile

13

Figure 3.7 : Historique de la déformation longitudinale des sous-éléments en fonction du

déplacement au sommet (avec zoom)

Figure 3.8 : Historique de la déformation longitudinale des sous-éléments en fonction de la

force au sommet

Figure 3.9 : Evolution des contraintes des sous-éléments en fonction du déplacement au

sommet

Figure 3.10 : Discrétisation du mur voile en 4, 8 et 16 macro-éléments

Figure 3.11 : Discrétisation de la section droite du mur voile en 4, 8 et 16 sous-éléments

Figure 3.12 : Sensibilité de la réponse respectivement, au nombre de macro-éléments et de

sous-éléments uniaxiaux

Figure 3.13 : Sensibilité de la réponse au paramètre (c) du centre de rotation

Figure 3.14 : Sensibilité de la réponse du modèle aux paramètres de l’acier

Figure 3.15 : Sensibilité de la réponse du modèle aux paramètres du béton

Figure 3.16 : Influence du type de chargement latéral sur la réponse du modèle

Figure 3.17 : Influence de la charge axiale sur la réponse du modèle

Figure 3.18 : Courbe pushover et dégradation globale de la rigidité

Figure 3.19 : Dégradation de la rigidité dGi des macro-éléments

Figure 3.20 : Dégradation de la rigidité des sous-éléments

Figure 3.21 : Dégradation des sous-éléments

Figure 3.22: Dégradation des sous-éléments de chaque macro-élément

Figure 3.23 : Carte de dégradation du mur voile

Chapitre 4

Figure 4.1 : Concept de l’analyse modale temporelle des systèmes élastiques à plusieurs

degrés de liberté

Figure 4.2 : Concept d’analyse modale temporelle découplée (AMTD) des systèmes à

plusieurs degrés de liberté

Figure 4.3 : Courbe pushover et propriétés du système inélastique à un seul degré de liberté

du nième "mode"

Figure 4.4 : Vue en plan du bâtiment

Figure 4.5 : Discrétisation du voile et ferraillage de la section droite Figure 4.5 : Discrétisation du voile et ferraillage de la section droite

Figure 4.6 : Trois premiers modes de vibration et leurs périodes correspondantes

Figure 4.7 : Distribution de forces (s*n = mφn), n=1; 2 et 3.

14

Figure 4.8 : Analyse modale et courbes pushover pour les 3 premiers modes de vibration

Figure 9. Caractéristiques du chargement sismique.

Figure 4.10 : Histoire de la réponse en termes de déplacements du système

équivalent

Figure 4.11 : Histoire de la réponse en termes de déplacements au sommet et

déplacements inter-étages

Figure 4.12 : Réponse totale du système en termes de déplacement au sommet u(t)

Figure 4.13 : Déplacements inter-étages temporels à chaque niveau de la structure

Figure 4.14 : Transformation du spectre élastique (Sa-T) au format (Sa-Sd)

Figure 4.15 : Détermination du spectre non-linéaire pour différentes ductilités

Figure 4.16 : Principe d’établissement de la courbe Pushover

Figure 4.17 : Caractéristiques du système équivalent à un seul degré de liberté

Figure 4.18 : Détermination du déplacement du système équivalent

Figure 4.19 : Spectres élastique et inélastique et le diagramme de capacité

Figure 4.20 : Détermination du déplacement du système à plusieurs degrés de liberté

Figure 4.21 : Spectre élastique pour un sol rocheux

Figure 4.22 : Spectre de déplacement.

Figure 4.23 : Spectre élastique dans le format traditionnel

Figure 4.24 : Spectre élastique dans le format accélérations-déplacements

Figure 4.25 : Courbe de capacité et son idéalisation

Figure 4.26 : Courbe de capacité

Figure 4.27 : Spectre élastique et spectre inélastique

Figure 4.28 : Détermination du point de performance (méthode MSNL)

Figure 4.29: Courbe Pushover et dégradation globale de la rigidité (mode 1)

Figure 4.30 : Courbes pushover pour les 3 premiers modes de vibration

Figure 4.31 : Courbes pushover " modales " avec identifiés pour différents valeurs de

l’accélération maximale de sol (0,1 ; 0,25 ; 0,5 ; 0,75 ; 0,85 ; 1 et 1,5)g

Figure 4.32 : Variation sur la hauteur des déplacements de planchers et des déplacements

inter-étages par la méthode AMP et AMTD pour les trois modes

Figure 4.33 : Erreurs dans l’estimation des déplacements au niveau des planchers, et des

déplacements inter-étages par la méthode AMP comprenant un, deux, et trois " modes.

Figure 4.34 : Distribution spatiale des forces latérales (chaque mode indépendant)

Figure 4.35 : Distribution spatiale des forces latérales (combinaison modale)

Figure 4.36 : Déplacement obtenu (a) chaque mode indépendant ; (b) combinaison modale

15

Figure 4.37 : Enveloppe des déplacements maximaux pour les différentes approches

Figure 4.38 : Combinaisons modales utilisées pour évaluer l’enveloppe des déplacements

inter-étages

Figure 4.39 : Courbes en poussée progressive (pushover) de différentes combinaisons

modales

Figure 4.40 : Simulation améliorée des déplacements inter-étages utilisant différentes

combinaisons issues des trois premiers modes

Figure 4.41 : Comparaison des déplacements maximums inter-étages obtenus par (MSNL,

AMP, MCM et AMTD).

Chapitre 5

Figure 5.1 : Niveaux de performance et endommagement correspondant selon Vision 2000

Figure 5.2 : Matrice de performance vis-à-vis de l’aléa sismique (FEMA-356)

Figure 5.3 : Schéma conceptuel d’estimation de dommages utilisant la méthode du spectre de

capacité.

Figure 5.4 : Caractéristiques de la capacité d’une structure dans le plan (Sa-Sd).

Figure 5.5 : Spectres de réponse (exemple de 20 combinaisons)

Figure 5.6 : Courbes pushover, Simulation Monte-Carlo

Figure 5.7 : Valeurs des déplacements ultimes(δu)

Figure 5.8 : Corrélation entre l’indice de dommages et le déplacement inter-étage

Figure 5.9 : Courbes de fragilité, simulation Monte-Carlo.

16

L i s t e d e s T a b l e a u x

Chapitre 3

Tableau 3.1 : Paramètres définissant le comportement des matériaux béton-acier.

Tableau 3.2 : Etude paramétrique – choix des paramètres.

Tableau 3.3 : Etude de sensibilité des paramètres pour un déplacement de 1cm.

Tableau 3.4 : Etude de sensibilité des paramètres pour un déplacement de 10cm.

Chapitre 4

Tableau 4.1 : Caractéristiques principales du béton.

Tableau 4.2 : Caractéristiques principales de l’acier.

Tableau 4.3 : Modes et fréquences de la structure.

Tableau 4.4 : Caractéristiques du système équivalent à un seul degré de liberté.

Tableau 4.5 : Déplacements inter-étages maximums à chaque niveau.

Tableau 4.6 : Résultats de la méthode MSNL.

Tableau 4.7 : Valeurs maximales des déplacements au niveau des planchers.

Tableau 4.8 : Valeurs maximales des déplacements inter-étages.

Tableau 4.9 : Valeurs maximales des déplacements au niveau des planchers.

Tableau 4.10 : Valeurs maximales des déplacements inter-étages.

Tableau 4.11 : Propriétés dynamiques de la structure.

Tableau 4.12 : Combinaisons modales utilisées pour évaluer l’enveloppe des déplacements.

inter-étages.

Tableau 4.13 : Comparatif des différentes méthodes d’analyses en temps de calcul.

Chapitre 5

Tableau 5.1 : Equivalence entre le niveau de dommage et l’indice de dommages (Risk-UE).

Tableau 5.2 : Equivalence entre l’indice de dommages et l’état de dommages (Park and Ang)

Tableau 5.3 : Variabilité des caractéristiques mécaniques de la structure.

Tableau 5.4 : Variabilité de l’action sismique (spectre de réponse).

17

INTRODUCTION GENERALE

18

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I n t r o d u c t i o n g é n é r a l e

Les tremblements de terre ou séismes constituent une activité géologique naturelle. Ils induisent des destructions importantes. Se doter de moyens de prévention contre leurs effets par la mise en place de moyens techniques (dispositions constructives, choix du site, choix des matériaux, …) et règlementaires (codes parasismiques) est une entreprise vitale.

Dans la plupart des régions sismiques, l’adoption de techniques de construction visant à

réduire les risques liés aux tremblements de terre apparaît comme très ancienne. Ainsi, les fouilles conduites sur le site de Taxila (Pakistan) ont mis en évidence les mesures de renforcement des fondations lors de la reconstruction de la ville après le séisme de l’an 25. De même, à l’époque byzantine, on a pu constater des changements radicaux dans les modes de construction dans plusieurs villes de Syrie et d’Anatolie (réduction de la hauteur des maisons, renforcement par des charpentes en bois, suppression des murs de briques non renforcés). La Chine et le Japon fournissent aussi de nombreux exemples de constructions anciennes dont la conception a certainement été influencée par la considération du risque sismique. L’hypothèse selon laquelle l’architecture très particulière des monuments incas (murs formés de blocs irréguliers ajustés entre eux avec un soin extrême) correspondait à un souci de protection parasismique a également été avancée (Betbeder-Matibet et al., 1997).

A l’origine purement empirique, la construction parasismique s’est progressivement

développée et a pris sa place parmi les techniques de l’ingénieur ; elle est pluridisciplinaire par nature, puisqu’elle fait appel aux géologues, sismologues, architectes, mécaniciens des sols, ingénieurs de structures et calculateurs, dont la collaboration est nécessaire pour tout projet important en zone sismique. Même si l’on reste dans le domaine du bâtiment courant, la bonne utilisation d’un code parasismique par un ingénieur de structures suppose, de la part de celui-ci, des bases suffisantes en sismologie et la compréhension des particularités de l’action sismique (aspects dynamiques, notamment aléatoires, et raisonnement en termes de déplacements plutôt qu’en termes de force), afin d’assurer un degré de sécurité acceptable par la société, permettant de réduire les risques relatifs aux défaillances, aux catastrophes et aux pertes de vie (Betbeder-Matibet et al., 1997).

La réglementation parasismique, comme toute réglementation, n’a pas un caractère

définitif ni scientifiquement exact mais résulte d’un consensus technique traduisant l’état des connaissances scientifiques et d’un consensus sociétal traduisant les limites de la protection parasismique définies comme acceptables (Nazé, 2004). La réglementation est donc une convention à un moment donné de l’évolution technique et sociétale. Elle énonce l’obligation de construire parasismique. Elle peut être formulée en termes normatifs ou en termes exigentiels. En effet, deux types d’injonctions peuvent être adressés à un maître d’ouvrage : l’obligation d’appliquer les règles parasismiques (caractère normatif) ou la démonstration du caractère parasismique de sa construction (caractère exigentiel).

Dans les codes et règlements parasismiques, l’étude de la réponse des structures sous

l’action sismique est conduite en faisant appel à des méthodes simplifiées selon la nature de l’ouvrage et sa destination. Les techniques d’analyse de ces structures consistent à comparer un paramètre " d’exigence " à un paramètre de " capacité ". L’effort tranchant à la base d’une structure est un paramètre utilisé traditionnellement pour la conception parasismique des structures. L’ingénieur calcule la sollicitation (l’effort) provoquée par un séisme donné à la

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base de l’édifice, et la compare à la résistance du bâtiment. A la suite des séismes importants survenus récemment (Loma Prieta, 1989 ; Northridge, 1994 ; Kobé, 1995 ; Izmit, 1999 ; Boumerdes, 2003 et Bam, 2003), certaines lacunes des règlements parasismiques ont été décelées et ont révélé en conséquence l’insuffisance de ces méthodes simplifiées (méthode statique équivalente ou analyse modale spectrale, …), qui déterminent a priori l’effort sismique susceptible d’être appliqué, puis procèdent à une vérification des déplacements de la structure.

Les enseignements tirés aussi de ces séismes destructeurs ont un intérêt exceptionnel, car

ils ont permis de tester en vraie grandeur l’efficacité des codes parasismiques sur un grand nombre de bâtiments et d’ouvrages soumis à de très fortes secousses et ont révélé que même les ouvrages conçus selon les codes et règlements parasismiques modernes ne sont pas à l’abri des catastrophes naturelles qui sont à l’origine de situations technico - économiques coûteuses et quelquefois graves. De plus, la nature des ouvrages de génie civil (bâtiments, ponts, centrales nucléaires, barrages etc.) fait que les conséquences d’un séisme dépassent souvent les capacités d’un pays touché par un séisme. C’est la raison pour laquelle la prévention et la connaissance du comportement de ces ouvrages sont indispensables. Une coordination internationale est donc nécessaire pour la prévention du risque sismique permettant de hiérarchiser les priorités de réhabilitation, en particulier pour limiter les dégâts et dommages induits par un séisme majeur.

Lors des tremblements de terre sévères, il a été constaté que de nombreux bâtiments

constitués de voiles en béton armé ont bien résisté sans dommages excessifs. Mis à part leur rôle d’éléments porteurs vis-à-vis des charges verticales, les voiles (ou murs porteurs) en béton armé, correctement dimensionnés et mis en place, peuvent être efficaces pour assurer la résistance aux forces latérales, permettant ainsi de réduire les risques grâce à leurs grande rigidité dans la direction de la sollicitation. En plus, les murs voiles sont plus économiques puisqu’ils remplacent à la fois les poteaux, les poutres et les cloisons et économisent ainsi les quantités d’acier.

Le mode de fonctionnement d’une structure contreventée par des murs voiles dépend

fortement du comportement de chaque composant de la structure. Le comportement de l’élément individuel de mur voile est complexe puisqu’il dépend à la fois de son élancement, de la position en plan de l’ensemble des voiles et de l’importance du chargement sismique… De ce point de vue, il est généralement reconnu que la modélisation du comportement des murs voiles est bien plus complexe que celle des éléments linéaires (poutres et poteaux).

L’analyse du comportement linéaire et non-linéaire des ouvrages en béton armé soumis

aux forces latérales reste actuellement le centre d’intérêt d’une recherche intense surtout quand il s’agit d’éléments de structure (à voiles porteurs) soumis à des sollicitations de type séisme. Depuis de nombreuses années, les méthodes de calcul élastiques simplifiées ont été quasi-systématiquement utilisées dans le dimensionnement des structures constituées de murs voiles en béton armé. Faciles à mettre en œuvre et bien assimilées par les ingénieurs, il est sûr qu’elles seront encore utilisées par de nombreux bureaux d’études dans l’avenir, puisque dans la plupart des cas elles ont bien servi la profession. Cependant l’approche élastique est insuffisante et ne peut fournir qu’une compréhension limitée du comportement sismique réel, la réponse non-linéaire d’un mur voile en termes de déplacement, ductilité, distribution de dommages, mode de ruine, etc., étant largement inexplorée. Certaines règles comme celles de l’ATC-40 (1996) et celles de FEMA 273 (1997), conscientes de ces limites recommandent l’utilisation des méthodes statiques non-linéaires : dans le cas des structures peu irrégulières

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un calcul statique simplifié en poussée progressive " pushover ", basé sur un modèle de comportement non-linéaire pourrait donner de bonnes indications sur le comportement sismique de la structure. Toutefois, si on dispose d’un outil performant, les mêmes règles reconnaissent les avantages d’une analyse temporelle non-linéaire restant complexe à conduire et à interpréter au niveau des bureaux d’études. Pour un problème dynamique, l’efficacité des calculs non-linéaires repose d’une part sur une bonne connaissance du comportement des matériaux constitutifs (béton et acier), et d’autre part, sur une stratégie de modélisation simple et performante traduisant d’une manière réaliste le comportement de la structure et les conditions aux limites. La multitude des phénomènes à prendre en compte semble indiquer la difficulté de tout calcul de prédiction, quel que soit le degré de complexité du modèle de comportement utilisé. Ces difficultés sont partiellement éliminées si on dispose des résultats des essais expérimentaux permettant ainsi de mieux maitriser les caractéristiques non-linéaires des matériaux, les conditions aux limites et le chargement appliqué. La confrontation des résultats obtenus avec ceux issus des modélisations numériques ou des essais expérimentaux permet d’une part de valider le modèle numérique et d’autre part d’améliorer la compréhension du comportement du spécimen testé. Elle permet aussi de montrer les capacités et les limites des modèles proposés pour une éventuelle étude parasismique, conduisant à l’élaboration de nouveaux concepts de dimensionnement des structures nouvelles ou de vérification des structures existantes du point de vue de leur conformité sismique. L’objectif final de cette étude est de contribuer à l’amélioration des codes et règlements parasismiques, en particulier le Règlement Parasismique Algérien RPA99 (RPA99, 2003) afin d’en faire l’un des codes les plus modernes qui gère la construction des structures dans les régions sismiques actives.

O b j e c t i f s e t p o r t é e d e l a t h è s e : Le travail de doctorat présenté dans cette thèse s’inscrit dans la problématique du

développement de méthodes simplifiées pour l’analyse du comportement non-linéaire des murs voiles en béton armé soumis à une action sismique. Il a été effectué en cotutelle au sein du Laboratoire GHyMaC de l’Université Bordeaux1 (France) et des Laboratoires LSTE de l’Université de Mascara et LM2SC de l’Université USTO d’Oran (Algérie). La recherche porte sur une stratégie de modélisation simplifiée basée sur la notion de macro-élément qui a été élaborée afin de décrire le comportement parasismique de ce type de structures et notamment la modélisation de la flexion et du cisaillement, un problème loin d’être maîtrisé aujourd’hui. La stratégie de modélisation proposée est validée par comparaison avec des données expérimentales issues de la littérature.

De façon plus précise, les objectifs de cette recherche consistent à :

1) Développer une modélisation simplifiée mais pertinente pour simuler la réponse des structures à voiles porteurs en béton armé, en utilisant une stratégie de résolution numérique appropriée ;

2) Valider le modèle proposé par comparaison des résultats obtenus à partir des

simulations numériques avec ceux issus des essais expérimentaux retenus au niveau de la littérature ;

3) Etudier l’influence du comportement non-linéaire des matériaux sur la réponse du

modèle proposé, et entreprendre des études pour évaluer la sensibilité des réponses

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globales aux changements des paramètres liés au modèle, au matériau et au type de chargement ;

4) Mettre en application la formulation du modèle proposé avec les lois de comportement

des matériaux constitutifs utilisés dans cette étude pour l’analyse dynamique (parasismique) des structures en béton armé constituées de murs voiles en utilisant l’approche de capacité spectrale basée sur les méthodes en déplacement (ou pushover) ;

5) Vérifier la pertinence et la capacité de cette nouvelle approche (basée sur la

performance) à évaluer la vulnérabilité sismique des structures à voiles porteurs en béton armé par l’établissement des « courbes de fragilité », qui consiste, à partir d’un mouvement sismique donné, à estimer le dommage moyen correspondant au niveau de performance visé.

Les considérations précédentes situent le contexte de notre travail, dont l’objectif général

est d’aboutir à une technique de modélisation qui puisse contribuer à comprendre les mécanismes de fonctionnement de ce type d’ouvrages sous action sismique et du point de vue pratique, à améliorer les codes et règlements de construction. Pour répondre à ces exigences, nous nous orientons vers une approche semi-locale. Cette échelle de modélisation sera utilisée pour tous les cas traités dans ce mémoire.

Le travail de thèse est donc organisé en cinq chapitres : Le chapitre 1 présente le rôle, les caractéristiques essentielles et le mode de

fonctionnement des murs voiles en béton armé dans une structure soumise à une action sismique. Les paramètres influant sur leur comportement sont également définis. Les principales méthodes existantes concernant le dimensionnement et les divers choix de modélisation ainsi que les échelles de discrétisation adaptés à ce type de structure sont ensuite exposés. Les limitations identifiées dégagent et justifient la typologie structurelle choisie et l’approche de modélisation adoptée.

Le chapitre 2 présente l’état de l’art d’une stratégie de modélisation simplifiée basée sur

le concept de macro-éléments. Après une introduction qui porte sur l’intérêt des méthodes simplifiées, quelques nouveaux développements des lois de comportement des matériaux sont présentés. Diverses méthodes de résolution numérique adoptées pour mener des analyses non-linéaires en utilisant le modèle en macro-éléments et sous-éléments, sont également décrites dans ce chapitre.

Le chapitre 3 concerne l’application des concepts de modélisation simplifiée (en macro-

éléments) au cas des structures constituées de murs voiles. Afin de décrire leur comportement et de montrer le fonctionnement du modèle, le logiciel Matlab a été utilisé pour programmer le macro-élément. Il est développé en variables globales (forces et déplacements), permettant ainsi de réduire significativement le temps des calculs. L’utilisation du langage Matlab permet d’une part de simplifier le travail de développement de l’élément puisque la programmation, ainsi que la visualisation des variables sont aisés, et d’autre part, d’implanter le macro-élément dans le code de calcul aux éléments finis FedeasLab, une toolbox de Matlab développée par le Pr. F. Filippou à UC Berkeley (Filippou et Constandines, 2004). Nous qualifions le modèle et l’efficacité de l’approche pour le cas des

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voiles normalement élancés. La comparaison des simulations numériques avec les résultats expérimentaux permet alors de valider la modélisation adoptée. Une étude paramétrique et de sensibilité liée au modèle, au matériau et au type de chargement est également présentée.

La modélisation du problème dynamique par différentes méthodes d’analyse

parasismique est abordée dans le chapitre 4. Le calcul statique non-linéaire en poussée progressive (ou pushover) représente une alternative très intéressante similaire à celle de l’analyse dynamique, mais où les difficultés du calcul pas à pas temporel sont évitées. Après un rappel théorique détaillé des principes de base des méthodes simplifiées dites « en déplacement », une étude comparative, ainsi que sa validation, est présentée à travers des simulations numériques. Nous allons expliquer comment cette nouvelle approche peut être particularisée pour l’analyse des structures porteuses constituées de murs voiles en béton armé soumises à une action sismique. La sollicitation sismique est déterminée à travers la représentation du spectre de réponse non-linéaire, dérivé du format traditionnel "accélérations-périodes" au format "accélérations-déplacements". Pour des raisons de comparaison, nous considérerons la simulation du comportement dynamique d’une structure à voile porteur fortement armé, conçu selon les règles de l’Eurocode 8. Une analyse modale est effectuée en premier lieu afin d’accéder aux modes propres de la structure. L’étape suivante consiste à déterminer et reproduire le comportement global de la structure en poussée progressive (« Pushover »), puis à calculer le déplacement maximal correspondant au point de performance en tenant compte (lorsque cela est possible) de l’effet des modes les plus élevés. Les réponses modales dans ce cas sont ensuite combinées selon une règle appropriée de combinaison modale pour trouver la réponse totale de la structure.

Le chapitre 5 fait le lien avec la vulnérabilité sismique tenant compte de l’aspect

probabiliste dans la modélisation du comportement non-linéaire des structures constituées de murs voiles en béton armé. Les méthodes existantes sont tout d’abord expliquées. La méthodologie proposée pour l’évaluation de la vulnérabilité sismique est également présentée. Elle apporte le concept de « courbe de fragilité », qui donne la probabilité pour une structure ou un type de structure de dépasser un état de dommage donné. Le critère de défaillance concernant l’état limite est le dépassement d’un seuil critique pour le déplacement horizontal au sommet. Ce déplacement horizontal prévu est déterminé à partir d’une série de simulations de type Monte-Carlo. L’approche proposée dans ce contexte est basée sur la méthode de capacité spectrale et permet d’établir des courbes de vulnérabilité, tenant compte notamment de la variabilité des paramètres liés d’une part, au chargement appliqué (variabilité du signal sismique) et d’autre part à la résistance des matériaux constitutifs qui sont entachés d’incertitude (liée à la variabilité due à l’hétérogénéité du béton ou à l’imprécision des mesures).

Pour finir, il convient de faire un rapide résumé de notre contribution. Tout d’abord en

premier lieu : le développement théorique du modèle en macro-élément et son implantation dans un code de calcul aux éléments finis (FedeasLab), suivie d’une étude paramétrique et de sensibilité permettant d’une part, de prédire les aspects essentiels du comportement non-linéaire des murs voiles en béton armé, et d’autre part, d’apporter une contribution à la compréhension des mécanismes de ruine (cartes de dégradation globale) sous chargement latéral. Puis en deuxième lieu : le développement d’une procédure améliorée d’analyse dynamique basée sur la méthode de capacité spectrale permettant de ramener l’étude du comportement dynamique d’ensemble d’un ouvrage souvent complexe (le voile) à l’étude d’un simple oscillateur élasto-plastique à un degré de liberté. Nous allons montrer qu’à partir d’une procédure de combinaisons modales, nous pouvons obtenir

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une meilleure estimation de la réponse globale du mur voile au sens de la sécurité. Enfin en troisième lieu : une étude de vulnérabilité statistique est menée s’appuyant sur les résultats de l’étude paramétrique. Une méthode probabiliste basée sur la méthode de capacité spectrale nous a permis d’obtenir pour une typologie de structure à voiles porteurs, les courbes de fragilité.

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CHAPITRE 1

COMPORTEMENT DES MURS VOILE, DIVERS

CHOIX DE MODELISATION ET PRATIQUES DE

DIMENSIONNEMENT

26

27

C h a p i t r e 1

Compor temen t des murs -vo i l es , d i ve rs cho i x de

modé l i sa t i on e t p ra t i ques de d imens ionnemen t

1 . 1 G é n é r a l i t é s

Les murs-voiles, en anglais " shear-walls ", sont couramment utilisés dans les édifices élancés en béton armé, compte tenu de leur comportement, considéré comme satisfaisant vis-à-vis des forces latérales (dus au vent ou au séisme). Leur grande résistance et leur rigidité en plan contribuent à contrôler les déplacements globaux et à minimiser les déplacements inter-étages excessifs. Reprenant la plus grande partie des efforts latéraux, ils conditionnent le comportement des structures et jouent un rôle primordial pour la sécurité (Davidovici, 1999). Par rapport à d’autres éléments structuraux, l’utilisation des murs-voiles, entre autres, (Penelis et al. 1997) :

• Augmente la rigidité de l’ouvrage ; • Diminue l’influence des phénomènes du second ordre et éloigne la possibilité

d’instabilité ;

• Réduit considérablement les dommages sismiques des éléments non-porteurs dont le coût de réparation est souvent plus grand que celui des éléments porteurs (dépasse généralement les deux tiers de celui de l’ensemble du bâtiment) ;

• Apaise les conséquences psychologiques sur les habitants de hauts bâtiments dont les

déplacements horizontaux sont importants lors des séismes ;

• Rend le comportement de la structure plus fiable que celui d’une structure ne comportant que des portiques. En effet, la philosophie de (« CAPACITY DESIGN »), adoptée par tous les codes parasismiques actuels, impose la création des rotules plastiques dans les poutres, alors que les voiles doivent rester élastiques. L’utilisation des voiles diminue aussi l’influence des éléments non-porteurs sur le comportement de la structure, influence que nous ne maîtrisons pas aujourd’hui. De plus, un voile fissuré garde une grande partie de sa résistance, ce qui n’est pas en général le cas d’un poteau.

Les constructions contreventées par des voiles de béton armé (en nombre suffisant et bien

disposés) sont donc un type de « structure rigide » qui limite les déplacements relatifs des

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planchers beaucoup plus que ne le font les ossatures. Les éventuels dommages dans les zones critiques créent moins d’effondrements que pour les ossatures. La Figure 1.1 présente deux immeubles voisins, à l’origine apparemment semblables mais inégaux face aux secousses sismiques, le premier montre un comportement excellent et le second est complètement ruiné.

Figure 1.1 : Comportement de deux immeubles voisins face aux secousses sismiques (Zacek, 2008)

En effet, les règles PS-92 précisent que les bases des murs voiles (rez-de-chaussée) subissent les contraintes les plus élevées de la structure, elles sont donc considérées comme « zones critiques ». C’est donc potentiellement là que la dégradation du béton ou sa rupture fragile commenceront, s’ensuit un effondrement partiel ou total de l’ouvrage.

Ces régions situées à la base des voiles (Figure 1.2), ainsi que celles situées à chaque

niveau de changement notable de la section de coffrage, font l’objet de dispositions spéciales des règles de construction parasismique qui nous demandent de renforcer les chaînages à ces endroits.

Ainsi, il est recommandé d’assurer une parfaite adhérence entre un béton et des armatures

de qualité. Tant qu’il ne reçoit que les charges verticales permanentes (poids de la construction, des équipements, des occupants…), le béton armé peut présenter certains défauts qui restent cachés (ou non). Sous l’effet des secousses, le béton perd (plus ou moins brutalement) son adhérence autour et à l’intérieur des armatures, ce qui affaiblit l’ouvrage. Au delà des déformations possibles sans dommage il y a d’abord dégradation puis rupture. Il est donc souhaitable d’obtenir un endommagement progressif sans perte de résistance significative, plutôt que la rupture brutale.

A gauche de la Figure 1.2, est montré un exemple de ruptures « fragiles » (les armatures

n’étaient pas appropriées en zone sismique). A droite, exemple de rupture dite « ductile » d’un voile (la disposition des aciers longitudinaux et transversaux très rapprochés et de

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section modérée permet une bonne « plasticité » ou « ductilité » du béton armé. C’est à dire que, s’il est trop contraint sous l’effet des secousses, l’élément de béton armé se dégrade de façon irréversible, mais ne « casse pas »).

Voile très endommagé Rotule plastique dans un voile (Séisme de Kobé, Japon 1995) (Séisme de Tangshan, Chine 1976)

Figure 1.2 : Dégradation du bâtiment au niveau de la zone critique (Zacek, 2008)

1 .2 . Ca rac té r i s t i qu es essen t i e l l es d u co mp o r te men t d es mu rs -vo i l es

Le modèle le plus simple d’un voile est celui d’une console parfaitement encastrée à

sa base. La Figure (1.3) montre l’exemple d’un élément de section droite rectangulaire soumis à une charge verticale N et un effort tranchant V constants sur toute la hauteur et un moment fléchissant qui est maximal dans la section d’encastrement. Le ferraillage classique du voile est composé d’armatures verticales uniformément réparties (pourcentage ρ) et d’armatures horizontales (pourcentage ρt), elles aussi uniformément réparties. Les armatures verticales extrêmes sont soumises à d’importantes forces de traction-compression créant ainsi un couple capable d’équilibrer le moment appliqué. A la base du mur voile, sur une hauteur critique, des cadres sont disposés autour de ces armatures de l’âme horizontales et verticales ont le rôle d’assurer la résistance à l’effort tranchant.

Paulay et Priestley (1992) considèrent que le nom " shear-walls ", souvent utilisé dans

la littérature anglophone, n’est pas adéquat pour tous les types de voiles, puisqu’il fait allusion à un comportement conditionné par le cisaillement. Cette appellation est adéquate pour les voiles courts, alors que le nom " structural walls " devrait être utilisé en général (Kotronis, 2000).

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Le terme " voile " regroupe des éléments de structure au comportement mécanique très complexe. Cependant, on peut considérer que les principaux paramètres ayant une influence prépondérante sur le comportement d’un voile en béton armé sont l’élancement (défini comme le rapport de la hauteur H par la largeur L du voile), les dispositions et le pourcentage des armatures, et l’intensité de l’effort normal (ou contrainte normale moyenne).

Figure 1.3 : Mur voile en béton armé et disposition de ferraillage adoptée Du point de vue de leur fonctionnement, il convient de distinguer les voiles élancés

(élancement H / L supérieur à 1,5) et les voiles courts (élancement H / L inférieur à 1,5). Ceci permet de mettre en évidence deux grandes familles de modes de rupture : ceux des voiles élancés et ceux des voiles courts. En se référant à la classification donnée par l’Eurocode 8 (EC8, 1998) et les recommandations de Paulay (Paulay et Priestley, 1992), l’on peut présenter la description des principaux modes de rupture des voiles les plus souvent rencontrés en fonction de leur élancement.

1 .3 Mod es de fon c t ion neme n t des mu rs -vo i l es

1 . 3 . 1 M o d e s d e f o n c t i o n n e m e n t d e s v o i l e s é l a n c é s Le comportement d’un voile élancé est assimilable à celui des poutres et il n’y a pas

de difficulté pour évaluer, par les méthodes classiques, la résistance et la déformabilité vis-à-vis de la rupture par flexion ou par effort tranchant. Les Figures (1.4) et (1.5) illustrent les principaux modes de rupture des voiles élancés, classés selon (Davidovici et al. 1985), comme suit :

1 . M o d e s d e r u p t u r e p a r f l e x i o n Mode (a1) : schéma de ruine par plastification en traction des armatures verticales et écrasement du béton comprimé. Ce mode de rupture " normal " se rencontre généralement dans les voiles très élancés lorsque la flexion est prépondérante et que

A

(b) Disposition de ferraillage

B B

(c) Ferraillage de la section droite

Section B-B

Section A-A

(a) Mur en BA

N V

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l’effort normal de compression est faible. C’est le schéma de fonctionnement le plus satisfaisant, qui correspond à la formation de rotule plastique au pied du mur voile avec une grande capacité de dissipation d’énergie. Mode (a2) : rupture en flexion par écrasement du béton, qui apparaît pour des voiles assez fortement armés et sollicités en flexion avec un effort normal important. Le mode (a2) est moins ductile que le mode (a1), surtout dans le cas d’une structure rectangulaire (Ile, 2000). Mode (a3) : mode de ruine par rupture fragile des armatures verticales tendues, qui concerne les voiles faiblement armés en flexion, surtout si les armatures verticales sont essentiellement réparties et non concentrées aux bords. La ductilité et la capacité d’absorption d’énergie peuvent être améliorées en concentrant les armatures verticales aux extrémités.

2 . M o d e s d e r u p t u r e p a r f l e x i o n / c i s a i l l e m e n t Mode (b1) : rupture par plastification des armatures verticales de flexion et des armatures transversales. Ce mode de rupture est rencontré dans les voiles moyennement élancés quand la flexion n’est plus prépondérante et où les armatures horizontales sont insuffisantes.

3 . M o d e s d e r u p t u r e p a r c i s a i l l e m e n t Les deux derniers modes de rupture apparaissent quand le cisaillement devient prépondérant. Mode (b2) : rupture par écrasement dans le béton de l’âme du voile (rupture des bielles de compression). Ce mode se produit dans les voiles munis de raidisseurs, fortement armés longitudinalement et transversalement et soumis à des cisaillements importants. Mode (g) : rupture par glissement au niveau des reprises de bétonnage. Ce mode de rupture qui caractérise plutôt les voiles courts a été aussi observé dans le cas des voiles moyennement élancés. Ce type de rupture peut apparaître lorsque les armatures verticales réparties sont insuffisantes, la qualité des reprises de bétonnage est mauvaise et la valeur de l’effort normal est trop faible (Figure 1.5).

Figure 1.4 : Modes de rupture de voiles élancés (Davidovici et al., 1985)

(a1) (a2) (a3) (b1) (b2)

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Figure 1.5 : Modes de rupture de voiles élancés (Paulay et al., 1992) 1 . 3 . 2 M o d e s d e f o n c t i o n n e m e n t d e s v o i l e s c o u r t s

Le comportement des voiles en béton armé qui ont un élancement très faible (inférieur ou égal à 1) est dominé par l’effort tranchant. Ceci se traduit par des cycles force-déplacement très étroits et dissipant donc peu d’énergie (Site web AFPS). Ce type de comportement peut être très bien modélisé par des bielles diagonales et des tirants horizontaux ou verticaux. Le pincement des courbes est alors facilement interprété par le déplacement nécessaire à la refermeture des fissures de la bielle en compression qui était tendue lors du demi-cycle précédent (Wang, 1990).

On peut distinguer 3 types de modes de ruine (Figure 1.6) :

Mode (c1): rupture par glissement à l’encastrement " sliding shear ". Ce mode de rupture est obtenu par plastification progressive des armatures verticales sous l’action de la flexion et du cisaillement ou par insuffisance d’armatures verticales réparties. Ce type de cisaillement qui apparaît souvent pour des chargements cycliques (généralement au niveau de la reprise de bétonnage), est caractérisé par la formation d’une fissure horizontale située à la base de mur dont les lèvres glissent l’une par rapport à l’autre, réduisant ainsi la raideur et la dissipation hystérétique de façon significative. Mode (c2): rupture par effort tranchant avec éventuellement plastification ou rupture des armatures le long de fissures diagonales " diagonal tension failure ". Ce mode est un cas aussi fréquemment rencontré dans les voiles moyennement armés sollicités par un faible effort normal. Mode (c3): rupture par effort tranchant dans le béton de l’âme produite par écrasement du béton de l’âme à la base des bielles qui transmettent les efforts de compression (« diagonal compression failure »). C’est un mode de ruine caractérisant les voiles fortement armés, surtout s’ils sont associés à des raidisseurs sur leur extrémité.

(a1) (b1) (g)

33

Figure 1.6 : Modes de rupture de voiles courts (Davidovici et al., 1985)

1 . 3 . 3 O b s e r v a t i o n s e t r e m a r q u e s : 1. Les règlements demandent de vérifier les différents modes de ruine présentés au § 1.3.1 et

1.3.2. Il faut remarquer qu’il n’y a pas de code de dimensionnement spécifique pour les voiles et que les règlements de calcul des poutres et des poteaux-consoles s’appliquent. Le PS92 donne des expressions permettant de calculer, pour des murs porteurs relativement élancés, les efforts de fissuration (fissurations d’effort tranchant et de flexion), les résistances correspondantes ainsi que la résistance au glissement. De l’autre côté, le calcul d’un voile court en flexion ne peut plus être basé sur l’hypothèse de la planéité des sections droites. Si l’on veut assimiler le comportement à celui d’une poutre, il faut enrichir la cinématique en la dotant d’une distribution non-linéaire des déformations. Dans la plupart des cas le calcul est effectué en utilisant des éléments plaques ;

2. En zone sismique, les structures doivent être conçues et construites de sorte que les

exigences de non-effondrement et de non-fragilité soient respectées. En effet, La structure doit être construite de manière à résister à des actions sismiques de calcul définies, sans effondrement local ou général, pour conserver ainsi son intégrité structurale et une capacité portante résiduelle après séisme. La résistance et la capacité de dissipation d’énergie à conférer à la structure dépendent de la façon dont on fait appel à son comportement non linéaire. En pratique, un tel arbitrage entre résistance et capacité de dissipation d’énergie est caractérisé par les valeurs du coefficient de comportement et les classes de ductilité associées. C’est notamment le cas entre les études élastiques linéaires qui doivent être réduites par un coefficient de comportement pour être comparables à ceux des études non-linéaires. Il est important de faire ici un rappel succinct sur la signification du coefficient de comportement q. Celui-ci tient compte globalement de la capacité dissipative hystérétique de la structure, permettant de ramener son dimensionnement à un niveau de comportement élastique avec l’introduction de forces sismiques équivalentes d’intensité réduite (et même de type statique). Ainsi, pour une structure porteuse, la modélisation dynamique pour une action sismique dans une direction horizontale se trouve simplifiée (modélisation en « brochette ») et la réponse de la structure est régie exclusivement par le mode fondamental de vibration dans la direction concernée par l’action sismique. La distribution des forces statiques équivalentes Fj est donnée par la relation suivante (Figure 1.7) :

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q

TRa

um

umumF e

Nn

kkk

n

kkk

jjj

)(

1

2

1

∑

∑

=

== (1.1)

avec : T : la période fondamentale de la structure ; Re (T): le spectre élastique normalisé de dimensionnement pour la réponse en accélération; aN : l’accélération nominale du sol caractérisant la zone sismique du bâtiment ; mj : la masse de la structure concentrée au niveau j ; uj : l’amplitude du mode fondamental de vibration au niveau j.

L’effet favorable d’un facteur q (supérieur à 1) apparaît immédiatement dans la relation (1.1). On voit donc l’importance de ce coefficient, alors que le choix de cette valeur n’est pas tout a fait évident. La plupart des codes règlementaires, prennent en compte une valeur forfaitaire unique de ce facteur. En réalité, le coefficient de comportement est une fonction complexe d’un grand nombre de paramètres et dont l’expression ne peut se résumer à une simple constante. Les sollicitations sismiques sont déduites par affinité d’un rapport 1/R de celles appliquées à sa structure résistante. Cette dernière est supposée douée d’un comportement idéal, c’est-à-dire infiniment élastique et linéaire. Avec ce coefficient, l’effet favorable de la sur-résistance et de la capacité de déformation non-élastique de la structure est pris en compte. En considérant la sur-résistance des matériaux, un coefficient de comportement signifie que la structure porteuse se comporte fondamentalement de manière élastique lors d’un séisme.

Figure 1.7 : Distribution de forces sismiques réduites Le facteur de comportement utilisé dans l’Eurocode 8 (EC8, 1998) représente le rapport entre le spectre élastique et le spectre inélastique. Le choix de ce facteur tient compte du type de structure, du mode de contreventement, des matériaux utilisés et des dispositions constructives adoptées pour favoriser la ductilité des éléments de cette structure.

Le facteur de comportement dans le code américain est noté R, il est fonction de trois paramètres : le facteur de réduction Rµ (représente le rapport entre la force élastique et la force inélastique), le facteur de sur-résistance Rs (rapport entre la force élastique et la force de calcul), et le facteur d’amortissement Rζ (relation 2.2) :

T

Re (T)

1

Fj

u1

uj

un mn

mj

m1

aN

35

ζµ RRRR S= (2.2)

Les valeurs des facteurs Rs et Rζ sont prises égales à l’unité.

La détermination du facteur de réduction Rµ qui dépend de la ductilité, a fait l’objet de plusieurs propositions (Newmark et Hall, 1982 ; Krawinkler et Nassar, 1992 ; Miranda et Bertero, 1994 ; Vidic et al., 1994). Pour définir de façon succincte ce facteur, considérons une structure à un seul degré de liberté (Figure 1.8a). Elle se compose d’une masse m concentrée au sommet qui fournit la rigidité au système, et d’un amortisseur visqueux linéaire c. La relation entre la force latérale fs et le déplacement latéral u de la masse par rapport à la base du système est désignée par fs = fs(u). Cette relation force - déplacement est idéalisée en courbe bilinéaire comme montré à la Figure (1.8b). Au début du chargement, le système est élastique linéaire de rigidité initiale k tant que la force n’excède pas la limite élastique fy. L’écoulement plastique commence lorsque la force atteint cette limite élastique fy correspondant au déplacement limite élastique uy. Au-delà, la rigidité tangente du système n’est plus élastique mais égale à α.k où 0 < α < 1 (effet de l’écrouissage).

Figure 1.8 : Systèmes à un seul degré de liberté: Modélisation et idéalisation

Autrement dit, sous l’action d’un certain chargement dynamique, le système atteindra la plasticité et subira un déplacement maximal um. On peut comparer le déplacement plastique maximal um avec celui correspondant à un système ayant les mêmes propriétés élastiques, mais qui reste linéaire pendant tout le chargement (Figure 1.9). Les deux systèmes ont donc la même masse m, la même rigidité initiale k et le même amortissement c. La période propre des deux systèmes est la même si u < uy ; pour des déplacements supérieurs, il n’est plus possible de définir une période élastique pour le système inélastique. On peut interpréter f0 comme la résistance minimale requise pour qu'un système reste élastique pendant tout le chargement. Le coefficient de réduction de forces Rµ peut être défini par (Chopra, 2001) :

yf

fR 0=µ (4.1)

ut u

c

m

fs

ug (a)

αk 1

k 1

fy

uy

fs

u

(b)

f0

36

De façon analogue, on peut définir le facteur de ductilité par :

y

m

u

u=µ (4.2)

Avec la rigidité élastique k, on peut relier le coefficient de réduction des forces au facteur de ductilité :

µµ

µ

µRu

uuu

ku

ku

f

fR m

myy

=→===0

000 (4.3)

Si le coefficient de réduction des forces Rµ est égal à 1, u0 = um et le système reste indéfiniment élastique linéaire. Si le coefficient Rµ est plus grand que l’unité, le déplacement maximal sera supérieur à celui de la limite d’élasticité uy et donc la ductilité sera supérieure à l’unité. Les déplacements permanents seront aussi non-nuls. Si l’on augmente la valeur de Rµ , la limite d’élasticité uy diminue et le facteur de ductilité µ augmentera.

Figure 1.9 : Système linéaire correspondant au système inélastique.

3. Les codes et règlements parasismiques préconisent pour les structures à voiles l’utilisation

des coefficients de comportement q inférieurs à ceux des structures à portiques, malgré l’influence bénéfique des voiles sur leur comportement. La raison en est la volonté d’éviter des ruptures fragiles. Alors que les voiles pour lesquels la flexion est prépondérante présentent en général une grande capacité de dissipation d’énergie (Figure 1.10), les voiles cisaillés ne sont pas suffisamment ductiles et les courbes (effort tranchant/cisaillement) sont pincées (Figure 1.11). Pour ces voiles, il n’y a pas de mode fondamentalement ductile, à moins de dispositions d’armatures tout à fait spécifiques. Aujourd’hui nous savons pourtant comment dimensionner une structure pour éloigner la possibilité d’une rupture par effort tranchant. La tendance actuelle plaide donc pour une augmentation des coefficients de comportement dans les codes réglementaires (Kotronis, 2000).

k

fy

um uy

fs

u

f0

u0

Comportement élastique non dissipatif

Comportement inélastique dissipatif

37

Figure 1.10 : Comportement ductile d’un voile élancé (Rupture due à la flexion (Oesterle et al., 1980))

Figure 1.11 : Comportement non ductile d’un voile (Rupture due à l’effort tranchant (Paulay et al., 1992)).

1 .4 P r in c ipes d e d i men s ionne men t d es mu r s -v o i l es Le principal objectif de cette thèse est d’approfondir les connaissances sur le

comportement parasismique linéaire et non-linéaire des ouvrages multi-étagés comportant des murs voiles en béton armé comme système de résistance aux charges latérales. Il s’agit d’étudier l’influence de certains paramètres de modélisation et de matériau sur la réponse sismique de l’ouvrage, comme la rigidité en flexion et en cisaillement, les modes supérieurs, et le type de chargement. Après une présentation des principaux paramètres contribuant à la résistance aux forces latérales, plusieurs méthodes de dimensionnement du comportement non-linéaire des murs voiles en béton armé soumis à des forces latérales seront détaillées. Les conclusions tirées de la recherche bibliographique seront exploitées pour développer une nouvelle stratégie de modélisation simplifiée, présentée dans le chapitre 2.

Rappelons les principes proclamés par les différents codes de dimensionnement

utilisés pour les voiles en béton armé.

38

La plupart des codes règlementaires essaient de dimensionner les structures face à

l’agression sismique de façon que l’énergie sismique apportée puisse être absorbée et dissipée par des déformations non-linéaires. Ces déformations sont bien supérieures à celles qui sont généralement admises sous d’autres chargements, mais en contrepartie les efforts sismiques sont plus faibles que ceux qui seraient calculés en supposant un comportement parfaitement élastique. En outre, une structure porteuse constituée de murs voiles soumise à des forces latérales est sollicitée au-delà du domaine élastique et se comporte de manière fortement non-linéaire. La dégradation apparaît soit progressivement soit brutalement, en diverses parties de la structure, provoquant ainsi la plastification (ou l’endommagement), d’où s’ensuit une redistribution des efforts. La rigidité globale est modifiée pendant la réponse et la capacité résistante d’ensemble dépend du comportement de chaque composant de la structure. Les calculs non-linéaires sont donc les seuls capables d’évaluer les effets de ces variations après plastification des sections, et de fournir ainsi les informations nécessaires dans la phase de conception.

La reconsidération des approches règlementaires existantes concernant le

dimensionnement des murs-voiles en béton armé vis-à-vis des charges latérales, est devenue indispensable. De nombreux pays adoptent une conception de bâtiments avec des murs porteurs peu nombreux, assurant l’essentiel de la fonction de contreventement sous réserve que la base de chaque mur soit convenablement ancrée dans sa fondation et que le ferraillage soit adapté, de façon à obtenir la formation d’une rotule plastique à la base et donc à disposer d’une bonne ductilité en flexion. Plusieurs méthodes de conception existent. On citera la technique des "murs ductiles" qui se base sur la méthode en capacité (« CAPACITY DESIGN ») adoptée initialement en Nouvelle-Zélande et reprise par l’Eurocode 8 (EC8, 1998). Elle privilégie une concentration des dommages par la formation de la rotule plastique à la base et assure en outre la ductilité de cette rotule plastique vis-à-vis de la rotation (Paulay et al., 1992, Wallace, 1995). Une grande capacité de déformation ductile est organisée dans cet endroit (zone critique) tout en assurant un comportement élastique au-dessus de la zone critique. Pour atteindre cette grande capacité d’absorption et de dissipation d’énergie, les sources potentielles de rupture fragile par cisaillement doivent être éliminées en s’assurant que la plastification de la zone critique intervient en premier lieu. L’augmentation de la ductilité dans une section passe par la présence des cadres disposés autour des armatures verticales dans les zones confinées.

L’école française (PS92, 1998), adopte un principe de conception différent : elle

favorise le dimensionnement par la technique des " murs banchés " qui nécessitent généralement peu d’armatures pour résister aux efforts latéraux induits par un séisme ou le vent (Bisch et al., 2006). Le fonctionnement d’un mur voile dans ce cas doit permettre de mobiliser à la fois une dissipation d’énergie par endommagement du béton et plastification des aciers et une transformation d’énergie par soulèvement des masses. On admet ainsi que la fissuration et la plastification de l’acier peuvent se produire sur une hauteur plus grande que la zone critique. Dans la zone critique le béton n’est pas confiné, mais en contrepartie les contraintes dans le béton doivent rester limitées. Des dispositions sont également prises pour éviter une rupture fragile par effort tranchant. Cette méthode alternative permet de concevoir des voiles faiblement armés. Sous l’action sismique, ces voiles devraient avoir un fonctionnement « multi-fusible », résultant d’une ductilité répartie et d’une fissuration distribuée sur la hauteur du mur voile (Ile, 2000 ; Mazars et al., 2004 ; Bisch et al. 2007).

39

La compréhension des dispositions constructives parasismiques nécessite des

connaissances de base en sismologie appliquée à la construction et en conception des murs-voiles en béton armé. L’exemple de bâtiment présenté à la Figure (1.12) est conçu en zone sismique, il a été dimensionné en capacité (Pellissier, 2004). Ce mode de dimensionnement permet de dissiper l’énergie d’un séisme de manière plastique dans la structure. Cela permet aussi de soulager les fondations en cas de séisme. Il est ainsi possible de concevoir des ouvrages économiques capables de résister à des sollicitations sismiques importantes. Le mode de dimensionnement en capacité est connu et bien documenté dans la littérature et des exemples adaptés à la nouvelle génération de codes et règlements sont disponibles.

Figure 1.12 : Armature des murs voiles parasismiques (Pellissier, 2004).

1 .5 Cho i x d ’un n i v eau d e mod é l i sa t io n e t d ’un e éche l l e d e d i sc ré t i sa t ion

Les murs voiles en béton armé utilisés dans les ouvrages d’art importants constituent

le composant principal pour résister aux charges latérales imposées par le vent et/ou le séisme. Il est donc important de connaître leur comportement ultime sous sollicitations dynamiques. Ils fournissent substantiellement la résistance et la rigidité aussi bien que la capacité de déformation requise pour satisfaire l’exigence et la demande en capacité face aux tremblements de terre majeurs. La prédiction de la réponse non-linéaire du mur voile exige donc des modèles analytiques précis, efficaces, et robustes qui prennent en compte correctement les lois de comportement des matériaux et les particularités de discrétisations et de formulations adaptées au type de problème traité.

Avant la mise en œuvre d’une analyse linéaire ou non-linéaire, il est indispensable de procéder à un choix de niveau de modélisation et d’échelle de discrétisation.

40

1 . 5 . 1 N i v e a u d e m o d é l i s a t i o n : Nous pouvons en général distinguer quatre niveaux de modélisation (Mestat et al.

1995) :

1. Le niveau "géologique" qui vise à traiter une structure dans un environnement naturel par référence à des données géologiques. La géométrie de l’ouvrage peut être simplifiée mais ses principales caractéristiques sont prises en compte. La modélisation a pour but de déterminer les déformations du massif de sol et celles de l’ouvrage. Il s’agit en général de simuler le comportement des ouvrages de géotechnique comme les barrages en terre, les fondations des ponts, les ouvrages de soutènement etc.

2. Le niveau global qui vise à traiter une structure dans son ensemble. C’est le cas courant

de l’étude d’un bâtiment ou des réseaux de poutres où des éléments finis coques sont utilisés pour le maillage. De tels modèles dont le comportement de l’ouvrage est décrit en variables généralisées, ne sont pas en général, suffisamment précis pour représenter finement tous les éléments du bâtiment. Ils visent à donner une indication sur la répartition des efforts d’ensemble dans les principaux éléments porteurs.

3. Le niveau semi-local qui correspond à l’étude d’un élément de structure. Pour un

bâtiment, il s’agit par exemple des planchers lorsqu’ils sont soumis à des charges localisées ou des voiles lorsque des modes locaux sont recherchés.

4. Le niveau local qui correspond à l’étude d’une partie détaillée d’une structure. Pour un

bâtiment il s’agit des parties dont la taille est petite lorsqu’on la compare à un plancher ou à un voile (plaques d’ancrages etc.).

Le niveau d’idéalisation adopté pour la structure, qu’il soit au niveau de la

modélisation géométrique (éléments finis, fibres, couches, éléments poutres, modèles brochettes), de l’analyse (chargement quasi-statique comme voie de simplification d’un calcul dynamique), ou des lois de comportements, gouverne le choix d’un indicateur de dommage intimement liée aux échelles de modélisation et aux modèles utilisés. L’atteinte de cet objectif nécessite un travail de fond sur le traitement mécanique du problème : les structures sont complexes, le comportement des matériaux constitutifs est fortement non-linéaire et la sollicitation est de nature dynamique.

1 . 5 . 2 E c h e l l e d e d i s c r é t i s a t i o n : On peut distinguer trois échelles de discrétisation par éléments finis de structures

(Millard et al. 1991): Une échelle globale, locale et semi-locale. Le choix de ces échelles est fonction du type de modélisation adoptée. Cette question est abordée dans cette section, en présentant les différentes échelles de modélisation disponibles et en s’attardant sur celles utilisées au sein de ce travail.

• A l’échelle globale, c’est le comportement inélastique de la section courante, prise

dans son ensemble, qui est défini à partir des lois de chaque matériau (lois uni-axiales découplées). Celles-ci sont formulées directement en fonction des contraintes généralisées agissant sur une section (effort normal, moment

41

fléchissant etc.). Nous distinguons des lois de flexion, de cisaillement et de traction - compression. Nous obtenons des relations de type " moments – courbures " ou "efforts normaux - allongements". Actuellement, l’état de l’art des modèles globaux développés pour le calcul des voiles semble moins avancé que celui des modèles construits pour le calcul des poutres et des poteaux. Ceci est dû au fait qu’une contrainte supplémentaire de modélisation doit être prise en compte (le comportement non-linéaire en cisaillement). En effet, comme l’élancement des voiles est inférieur à celui des poutres ou des poteaux, les déformations inélastiques dues à l’effort tranchant peuvent avoir une influence notable sur la réponse globale. A ce niveau se situe aussi le concept de macro-éléments, où le comportement non-linéaire global de l’élément est exprimé en terme de variables globales, identifiées à partir d’analyses locales (Breysse, 1990 ; Elachachi, 1992 ; Davenne et Brenet, 1998 ; Crémer, 2001 ; Mazars et al., 2005). Cette approche globale conduit en général à des temps de calculs réduits mais elle ne permet pas de définir précisément les comportements locaux (ex. fissuration). Elle se limite également au cas des structures de type poutre, car sa généralisation aux plaques et aux coques reste très délicate.

• A l’échelle locale, le béton est modélisé par des éléments de milieu continu

bidimensionnels ou tridimensionnels. La rhéologie est exprimée en terme de relations de type "contraintes - déformations", et l’analyse est souvent lourde car l’état du matériau est pris en compte en chaque point d’intégration de l’élément fini considéré. Cette modélisation permet d’obtenir des informations locales concernant l’état de l’endommagement, celui de la plastification etc. Toutefois, la modélisation nécessite des stockages et des temps de calculs importants. Les voiles sollicités dans leur plan s’adaptent bien à une modélisation 2-D et du point de vue de moyens informatiques dont nous disposons aujourd’hui, on peut aborder une large gamme de problèmes aussi bien en statique qu’en dynamique tout à fait performants.

• L’échelle semi- locale constitue enfin une approche intermédiaire par rapport aux

deux autres. Le champ des déplacements est décrit par les déplacements et les rotations d’un élément poutre, d’un élément plaque ou d’une coque, tandis que toute information concernant le comportement des matériaux est traitée au niveau local. Il s’agit d’utiliser des éléments poutres de type multicouches (Laborderie, 1991) ou des éléments multifibres (Guedes et al., 1994 ; Combescure, 2007). Outre la simplicité d’utilisation, l’avantage important de ces modèles réside dans le couplage implicite des efforts de flexion et de l’effort normal. Dans le cas des voiles relativement élancés, l’approche semi-locale peut apporter des résultats intéressants, à condition que la perturbation apportée par l’effort tranchant ne soit pas très importante. Dans le cas des voiles faiblement élancés, l’apparition de fortes non-linéarités modifie les distributions de gauchissement valables en élastique qui sont à la base de la cinématique des éléments de poutres avec cisaillement et l’approche multifibres n’est plus adaptée (Ile, 2000). Dans ce cas, il semble que le meilleur choix est d’adopter une approche semi-locale à travers une discrétisation basée sur la notion de macro-élément.

42

1 .6 Cho i x de mo d é l i sa t ion en d ynamiq u e non - l i néa i re

L’approche classique pour la simulation du comportement non-linéaire d’une structure consiste à conjuguer une modélisation géométrique, un modèle rhéologique (formulation de la loi en 2D ou en 3D) et un modèle de chargement (accélérogramme pour le cas des chargements sismiques). Elle permet d’aborder des problèmes complexes tels que le comportement non-linéaire et la réponse d’un ouvrage jusqu’à la ruine.

Deux grandes familles de modélisation par éléments finis en dynamique non-linéaire existent : la modélisation raffinée qui peut être effectuée en utilisant des modèles d’éléments finis basés sur une interprétation détaillée du comportement local (Ile, 2000), et la modélisation simplifiée effectuée soit en utilisant des modèles macroscopiques simplifiés traduisant le comportement non-linéaire global de la structure en termes de variables globales (Elachachi, 1992), soit en faisant appel à des approches intermédiaires de type éléments couches (Laborderie, 1991 et 2003) ou de type éléments poutre multifibre (Kotronis et al., 2004).

1 . 6 . 1 M o d é l i s a t i o n r a f f i n é e

La modélisation proposée se situe à l’échelle locale, les modèles de type élasto-plastique permettent de prendre en compte les aspects essentiels du comportement cyclique du béton : dissipation d’énergie, comportement adoucissant, dégradation du module et de la résistance en traction en fonction du niveau de compression atteint, frottement des surfaces de la fissure, restitution de la raideur lors de la refermeture des fissures, etc. Testés sur de nombreuses structures, ces modèles peuvent être utilisés dans le cadre d’une approche non-linéaire 3-D pour prédire la réponse dynamique d’une structure existante sous l’effet bidirectionnel et même tri-directionnel d’un séisme. Par exemple, dans le cas d’une structure mixte à plusieurs niveaux comportant des voiles et des cadres, une modélisation 3-D coques minces pour les murs non symétriques couplée à une approche multifibre pour les poteaux et les poutres peut fournir des résultats corrects à un coût de calcul raisonnable.

La Figure (1.13) présente une simulation d’un voile faiblement armé (Programme

européen, maquette ECOLEADER) avec le code CASTEM 2000 (Nguyen et al., 2007). Le maillage utilisé est en 3D avec des éléments de type coques DKT (Ile et Reynouard 2000). Le maillage des voiles a été choisi de façon à ce que la connexion avec les éléments d’acier puisse se faire de la manière la plus exacte possible, conformément aux plans de ferraillage. Ce maillage permet de reproduire les arrêts de barres, ainsi que les reprises de bétonnage. Le même type d’élément a été utilisé pour représenter les dalles. Des éléments de type barre à deux nœuds ont été considérés pour représenter les aciers verticaux et horizontaux, l’adhérence acier-béton étant supposée parfaite.

La comparaison de la simulation avec les résultats expérimentaux prouve la capacité

de la modélisation à reproduire suffisamment bien le comportement global et local de la maquette jusqu’à la ruine. Cette approche est pourtant très délicate à mettre en œuvre, demande beaucoup d’expérience de la part du concepteur et ne permet pas d’envisager son utilisation systématique dans le cadre du dimensionnement d’un ouvrage.

43

Figure 1.13 : Maquette ECOLEADER - Maillage 3D et résultats numériques (Nguyen et al. 2007)

L’application des modèles non-linéaires issus de la recherche à des bâtiments réels présente une difficulté supplémentaire liée à la vérification des géométries et des caractéristiques du modèle de calcul. Le modélisateur doit alors disposer d’outils permettant de vérifier la cohérence de son modèle avec le bâtiment réel (orientation des sections, respect des quantités de ferraillage et leur disposition) et d’analyser facilement les résultats de calcul (détermination rapide des zones endommagées et plastifiées, des modes de rupture, …).

De l’autre côté, les calculs dynamiques non-linéaires restant complexes à réaliser et à

interpréter, le chargement est souvent simplifié et remplacé par un chargement statique équivalent: méthode en poussée progressive (ou « Pushover ») pour les chargements latéraux représentatifs d’un séisme (Fajfar, 2000 ; Chopra et al., 2002), équivalence énergétique pour des éléments de structure impactés par des objets rigides (chute gravitaire à basse vitesse, Combescure, 2007), ou impact du bloc dans le remblai supporté par une dalle en béton armé (Concept de Pare-blocs Structurellement Dissipant " PSD ", Perrotin et al., 2006).

1 . 6 . 2 M o d é l i s a t i o n s i m p l i f i é e

La modélisation simplifiée relève des échelles globales et semi-globales. Les modèles sont basés sur la mécanique de l’endommagement permettant de prendre en compte les aspects essentiels du comportement cyclique du béton. Des éléments 3D poutres multifibres de cinématique Bernoulli ou Timoshenko peuvent être utilisés pour modéliser les planchers, les murs et les voiles des bâtiments.

Le programme de calcul éléments finis utilisé dans le code EFICOS – LMT a été adapté pour traiter les problèmes 2D de structures planes en béton armé en statique et en dynamique en utilisant des éléments poutres de type multicouches (Owen et Hinton 1980). La structure est discrétisée avec des poutres 2D et des masses concentrées à certains points. Chaque poutre est découpée selon la hauteur en couches successives, où la contrainte est supposée constante. La sommation de ces couches permet le calcul de la raideur d’une manière correcte et la prise en compte des variations du comportement. L’hypothèse de Bernoulli, les sections restant planes et perpendiculaires à l’axe neutre,

44

confère aux différentes couches un comportement uni-axial. Ceci permet de traiter les comportements locaux à travers des lois uni-axiales pour le béton et l’acier, lois qui sont attribuées à chaque couche.

Dans le cas où la déformation de cisaillement deviendrait non négligeable,

l’utilisation des éléments poutres Timoshenko (les sections restent planes mais pas perpendiculaires à l’axe neutre) et des lois 2D pour le béton permet, selon Kotronis (Kotronis, 2000), d’élargir le champ d’applicabilité du code. Le calcul des efforts anélastiques s’effectue grâce à une méthode d’itération basée sur la raideur sécante initiale (Zienkiewicz et al., 1969).

La librairie des éléments du code EFICOS – LMT contient également des éléments de

type ressorts dont le comportement peut être élastique linéaire ou non linéaire, et des éléments de contact unilatéral (Ghavamian et Mazars, 1998).

Le modèle à fibre de CAST3M (Cast3M) développé initialement pour la modélisation

des piles de ponts il y a plus de quinze ans (Guedes et al., 1994) a été également utilisé pour l’analyse de maquettes testés sur table vibrante et mur de réaction et plus récemment pour l’analyse du comportement sismique et dynamique de structures réelles (Combescure, 2007).

Comme les autres modèles multicouches et multifibres, il s’appuie sur des éléments

finis de poutre supposant a priori un mode de fonctionnement : les sections planes restent planes. L’effort normal et les moments fléchissants sont calculés par intégration des contraintes sur la section. Des lois de comportement uni-axiales en traction-compression reproduisent le comportement de chaque matériau (béton, acier). Les paramètres du modèle sont donc les caractéristiques des matériaux et la géométrie de la section. Contrairement à la majorité des autres modèles de cette famille, le modèle à fibre de CAST3M est basé sur un élément de poutre de Timoshenko tenant compte des déformations de cisaillement (Kotronis, 2000). La présence de déformation de cisaillement permet de borner (comme dans la réalité) la célérité des ondes de flexion par la célérité des ondes de cisaillement. Pour les éléments de poutre de Bernoulli (absence de déformation de cisaillement), la célérité des ondes de flexion devient quasi-infinie à hautes fréquences. La cinématique de Timoshenko permet aussi de vérifier les modes de rupture fragiles des poteaux et des nœuds d’ossature des bâtiments existants en adoptant des lois de comportement non-linéaires globales pour le cisaillement (Combescure et al, 2003 et 2007). Wang a procédé à la validation et l’amélioration de ces lois globales ou semi-globales dans le cadre de son travail de recherche combinant modélisation, méthodologie et expérience (Wang et al., 2007).

Les modèles de poutre non-linéaires (modèle de poutre à fibre ou poutres

multicouches) s’avèrent particulièrement utiles en raison de leur robustesse et de leur capacité à représenter les principaux phénomènes non-linéaires telles que la fissuration, la plastification des aciers, la rupture par compression du béton, etc. (Kotronis, 2000 ; Nguyen, 2006).

Enfin, les éléments de poutre non-linéaires peuvent être utilisés avec les autres

éléments finis et lois de comportement de CAST3M. Ceci a ainsi permis de vérifier les formules simplifiées pour l’identification des modèles globaux de murs de remplissage en maçonnerie et d’estimer les efforts tranchants induits dans les poteaux supportant la

45

poussée au vide des bielles en compression se formant dans les panneaux en maçonnerie (Combescure, 2006).

Certaines dispositions constructives difficilement représentées par des modélisations

3D plus complexes et moins robustes peuvent aussi être prises en compte par ces modèles de poutre : ancrages et recouvrements des aciers, ruptures fragiles par cisaillement des nœuds d’ossature et des poteaux courts (Combescure, 2007).

1 . 6 . 3 M o d è l e s s i m p l i f i é s p o u r l e s v o i l e s

Nous avons vu que les modèles macroscopiques sont pratiques et efficaces, en dépit de leurs hypothèses simplificatrices. Les différents calculs et la comparaison avec les résultats expérimentaux montrent que sous certaines conditions de chargement, une structure pouvait voir évoluer son mode de rupture d’un processus global (réponse en variables globales d’un macro-élément par exemple) vers un processus local, intéressant donc une partie seulement de la structure permettant ainsi d’accéder à une bonne simulation des phénomènes et à une analyse plus fine du comportement local de la structure. De l’autre coté, dans une structure en béton armé par exemple, l’analyse des champs locaux fournit des informations utiles quant au rôle des armatures et permet de comprendre pourquoi elles ne jouent un rôle significatif qu’après dégradation du béton (Breysse et Davenne, 1992).

La démarche suivie dans ce travail s’inscrit dans le cadre du niveau semi-local

(modélisation des ouvrages à murs porteurs) à travers une discrétisation basée sur la notion de macro-élément. Cette étude repose sur une modélisation simplifiée qui tienne compte des principales caractéristiques matérielles relatives aux comportements non-linéaires de flexion et de cisaillement, pour une prédiction fiable de la réponse des ouvrages à voiles porteurs en béton armé.

Comme discuté par Vulcano (Vulcano et al., 1987), l’analyse non-linéaire des murs

voiles peut être efficacement effectuée en utilisant des modèles analytiques et numériques basés sur une approche macroscopique plutôt qu’en utilisant des modèles microscopiques détaillés. Bien que divers modèles macroscopiques ont été proposés pour évaluer leur réponse vis-à-vis des forces latérales imposées par un séisme ou le vent, ces modèles ne sont pas disponibles dans les logiciels habituellement utilisés pour l’analyse des structures (SAP 2000, Drain-2DX, …).

Dans les approches habituelles de modélisation, l’analyse du comportement des murs

voiles adopte généralement l’élément " poteau-poutre " situé sur l’axe central du mur voile. Ce modèle se compose d’un seul élément flexionnel élastique avec un ressort de rotation non-linéaire placé à chaque extrémité pour tenir compte du comportement non-linéaire des zones critiques (Figure 1.14). Cependant, la réponse non-linéaire des structures soumises aux charges latérales est dominée par de grandes déformations de traction et de rotation d’extrémité fixe, dues aux effets de glissement, liés au décalage de l’axe neutre. Ce mécanisme ne peut en aucun cas être modélisé par un simple élément "poteau-poutre", qui privilégie généralement des rotations autour des points situés sur l’axe central du mur voile. On néglige de ce fait les caractéristiques importantes du comportement expérimentalement observé (Figure 1.15) ; en particulier, le décalage de l’axe neutre, basculement (ou renversement) du mur, et l’interaction avec les autres composants structuraux et non-structuraux reliés au mur (Kabeyasawa et al., 1983).

46

Figure 1.14 : Modélisation usuelle des murs voile par analogie " poteau-poutre "

équivalent

Figure 1.15 : Basculement du mur et effet de décalage de l’axe neutre sur les déplacements verticaux

Les modèles macroscopiques comportant des systèmes de ressorts en parallèle avec

une loi de fonctionnement non-linéaire moment-rotation, effort normal-allongement axial et effort tranchant-cisaillement sont assez répandus. Le macro-élément proposé par Vulcano (Vulcano et al., 1988) est un modèle simple, capable de capturer convenablement la réponse prévue du mur voile. Il offre la possibilité d’insérer dans l’analyse, différents modèles constitutifs de matériaux béton et acier permettant ainsi de tenir compte des caractéristiques importantes qui sont généralement ignorées par le modèle précédent (confinement, fermeture progressive des fissures et comportement non-linéaire de cisaillement, etc.). Il faut noter que, dans ces modèles, plusieurs éléments sont

Poutres

Zones de bord rigides

Voile

(b) Configuration du modèle

Zones de bord rigides

Ressort de rotation non-linéaire

Elément élastique linéaire

Ressort axial non-linéaire

(a) Elément "poteau-poutre"

(a) Modèle en élément poteau-poutre (b) Comportement observé

δ

47

souvent utilisés dans la hauteur d’un mur pour reproduire son mode de déformation qui n’est pas linéaire suivant la hauteur. On trouve dans la littérature de nombreux modèles pour représenter les aspects de tel comportement.

Kabeyasawa et al. (1983 et 1997), suite aux essais effectués sur une structure mixte en

béton armé d’un bâtiment situé à Tsubaka (Japon), ont proposé un nouveau modèle macroscopique, permettant de tenir compte des caractéristiques du comportement expérimentalement observé et ignorées par le modèle " poteau-poutre " équivalent. Ce modèle était constitué de trois sous-éléments verticaux assemblés en parallèle au niveau des planchers supposés infiniment rigides. Les deux sous-éléments de bord représentaient la rigidité axiale des poteaux extrêmes, alors que le sous-élément central était relié avec des ressorts verticaux, horizontaux, et de rotation concentrés à la base (Figure 1.16).

Figure 1.16 : Modèle à trois sous-éléments verticaux (Kabeyasawa et al., 1983) Vulcano, Bertero, et Colotti (1988) ont proposé un modèle en macro-élément composé de

plusieurs sous-éléments, afin d’obtenir une description plus raffinée du comportement en flexion du mur en modifiant la géométrie du modèle pour tenir compte de la plastification progressive de l’acier et en utilisant des lois contraintes-déformations basées sur le comportement réel des matériaux béton et acier. Dans ce modèle (Figure 1.17), les deux éléments de bord possèdent une rigidité axiale (K1 et K2), alors que les sous-éléments internes, possèdent une rigidité Ki (i = 3, … n), représentant ainsi le comportement en flexion de la partie centrale du macro-élément. Un ressort horizontal, de rigidité KH et de comportement élasto-plastique écrouissable a été considéré, tel que la rotation relative du macro-élément se produise autour d’un point défini sur l’axe central à une hauteur c.h. Le choix du paramètre c (variant de 0 à 1), résulte de la distribution spécifique de la courbure sur la hauteur h du macro-élément.

La comparaison avec des résultats expérimentaux a montré qu’une prédiction fiable de la

réponse non-linéaire en flexion (effort tranchant à la base - déplacement au sommet) a été obtenue en utilisant des lois de comportement cyclique de matériaux béton acier. En outre, une plus grande précision de la réponse a été obtenue en calibrant le paramètre c définissant le centre de rotation relatif d’un macro-élément. Les auteurs ont conclu aussi que l’utilisation

Poutre rigide

Niveau i

Niveau i-1

Poutre rigide

48

de lois de comportement relativement simples pour les matériaux avec une grande rigidité en traction confère au modèle une prédiction fiable et efficace de la réponse même en utilisant un nombre limité de sous-éléments uniaxiaux. Le modèle non-linéaire utilisé pour simuler le comportement du ressort horizontal (de cisaillement) reste limité en raison de l’incompatibilité des déplacements entre le ressort de rotation et les sous-éléments de bord.

Figure 1.17 : Modèle à plusieurs sous-éléments assemblés en parallèle (Vulcano et al.,

1988) Des investigations exploratrices, à partir des résultats expérimentaux préliminaires de

Sayre (2003), ont été effectuées par Massone et Wallace (2004) afin de pouvoir localiser le centre de rotation sur un spécimen de mur voile en béton armé. Des capteurs en LVDT (« Linear variable differential transformer ») ont été employés pour mesurer la distribution de la courbure au niveau du premier étage du spécimen, permettant d’évaluer le centre de rotation c. Le nuage de points montré à la Figure (1.18), relatif aux données expérimentales, se trouve localiser autour d’une valeur moyenne de 0,4 du centre de rotation c pour toute la gamme de chargement appliqué, sans dispersion importante des points quand le mur est soumis aux déformations non-linéaires (φ > φy). Par conséquent, une valeur de c = 0,4 est justifiée. La même valeur de c = 0,4 est également conformée par Vulcano (Vulcano et al., 1988) et Orakcal (Orakcal et al., 2004), sur la base d’une étude comparative à des résultats expérimentaux, en utilisant le modèle en macro-élément montré à la Figure (1.17).

Une autre variante du modèle original a été proposée dans une étude menée par Fajfar et

Fischinger (1990), afin de trouver une valeur appropriée du paramètre c, en réduisant ainsi l’incertitude sur ce paramètre en utilisant un grand nombre de sous-éléments. Une étude postérieure entreprise par Fischinger, Vidic, et Fajfar (1992), a prouvé que l’influence des armatures transversales (confinement en compression) confère au modèle une meilleure prédiction de la réponse du mur voile, tenant compte des déformations non-linéaires significatives de cisaillement.

Poutre rigide

Niveau m

Niveau m-1 Poutre rigide

49

Figure 1.18 : Centre de rotation expérimentalement observé (Orakcal et al., 2004) Des modifications plus récentes du modèle ont été faites en employant des lois force-

déplacement simplifiées pour les sous-éléments du modèle afin de capturer le comportement observé (Fischinger et al., 1990; Fajfar et Fischinger, 1990 ; Fischinger et al., 1991, 1992) ; cependant, le choix des modèles a été basé sur des paramètres physiques quelque peu arbitraires dont le choix a été basé sur un jugement ou consensus technique.

Bien que des recherches relativement avancées aient été faites pour développer une

modélisation fiable pour les murs-voiles, ce modèle n’a pas été mis en application dans les programmes et logiciels commerciaux. Le modèle n’a pas non plus été suffisamment calibré et validé par des essais expérimentaux tant pour la réponse globale (déplacement et rotation de mur) que locale (courbure et déformation de la section en tout point). La fiabilité du modèle en vue du comportement en cisaillement des murs voiles reste donc incertaine et une méthodologie améliorée qui relie les réponses de flexion et de cisaillement est nécessaire.

Etant donné les imperfections notées ci-dessus, un projet de recherche a été mené par

Orakcal, Wallace et Conté (Orakcal et al., 2004) à l’université de Californie (Los Angeles), dont le but est d’étudier et de valider le comportement, sous chargement cyclique, de murs à parois minces en béton armé. Le projet a démontré, au travers d’une campagne d’essais expérimentaux, le bon fonctionnement de voiles (élancés et courts), simplement posés sur une table vibrante.

La présente étude qui s’inscrit dans le cadre de la maîtrise du risque sismique pour des

voiles en béton armé, voulait démontrer la légitimité de l’approche simplifiée par macro-éléments pour la prédiction de la réponse de la structure sous action sismique. C’est donc sur la base de l’analyse bibliographique et des données expérimentales issues de la littérature, en particulier les résultats des essais effectués par Orakcal (Orakcal et al., 2006) que nous avons réalisé les présentes études. L’approche par macro-éléments et sous-éléments est choisie pour la discrétisation bidimensionnelle (2D) de la structure. Elle garantit une souplesse du calcul

50

grâce au petit nombre de degrés de liberté. Toutefois, des lois de comportement non-linéaires des matériaux, permettent de reproduire les principales caractéristiques du comportement (création et refermeture de fissures, déformations plastiques, dissipation de l’énergie lors du chargement…). Les modèles de béton, qui considèrent ce matériau comme un milieu continu, sont basés sur des lois de comportement tirées de la théorie de la plasticité, et de celle de l’endommagement. Il existe une littérature très abondante relative à ces aspects de modélisation. Ceci permet au concepteur de restituer des réponses analytiques directement liées au comportement physique et fournit une approche de modélisation simple et robuste tenant compte de plusieurs paramètres importants de matériau et de géométrie.

Les considérations précédentes situent le contexte de notre travail, dont l’objectif final est

d’aboutir à une technique de modélisation qui puisse contribuer à évaluer la sécurité des ouvrages à voiles porteurs en béton armé vis-à-vis de l’action sismique. Nous allons montrer par la suite l’aptitude de la méthode à simuler le comportement non-linéaire des voiles en béton armé moyennement élancés soumis à des charges latérales (dues au séisme et/ou au vent). Une description détaillée des lois de comportement utilisées lors des divers calculs effectués dans ce travail, sera également présentée.

La validation des capacités de prédiction du modèle à partir des résultats expérimentaux

sera aussi effectuée. Une étude paramétrique sera réalisée pour étudier l’influence du maillage sur la réponse du modèle et identifier la sensibilité des résultats aux variations des paramètres liés au modèle, au matériau et au type de chargement. La variation des paramètres du modèle et du matériau sera menée à travers une étude de sensibilité, pour identifier la sensibilité de la réponse globale du mur voile aux changements de ces paramètres aussi bien que pour identifier quel(s) paramètre(s) exige(nt) le plus grand soin en ce qui concerne la calibration.

Enfin, une étude menée sur les différentes méthodes d’analyse dynamique non-linéaire

est également présentée, s’ensuit d’une proposition de méthode probabiliste afin d’évaluer la vulnérabilité sismique de ce type d’ouvrage.

51

CHAPITRE 2

MODELISATION SIMPLIFIEE EN "MACRO-

ELEMENT", DESCRIPTION DU MODELE

ANALYTIQUE ET LIMITE DE VALIDITE

52

53

C h a p i t r e 2

Modé l i sa t i on s imp l i f i ée en "mac ro -é lémen t " ,

Desc r i p t i on du modè le ana ly t i que e t L im i t e de

va l i d i t é

2 . 1 I n t r o d u c t i o n

La réponse d’un ouvrage soumis aux charges latérales (séisme et/ou le vent) résulte d’une forte interaction entre les effets non-linéaires de « matériaux » (comportement du béton et de l’acier), les effets « structures » (géométrie, répartition des masses et des raideurs, liaisons) et les effets d’environnement (interaction sol - structure). Une bonne description de ces phénomènes est un passage obligé si l’on veut représenter les variations de raideurs de la structure et avoir accès au comportement jusqu’à la ruine.

Le but de ce chapitre est de présenter les développements théoriques d’une stratégie de

modélisation simplifiées 2D, basée sur le concept des macro-éléments, notamment en relation avec les travaux de recherche en génie parasismique conduits ces dernières années par différents auteurs, particulièrement sur le comportement des murs voiles (élancés ou courts) soumis à des chargements sismiques, incluant les points essentiels : le comportement des matériaux, les particularités de discrétisation et de formulation adaptés au type de problème traité. Une stratégie de modélisation en macro-éléments est proposée, fruit de la recherche de modèles et méthodes simplifiées d’analyse du comportement non-linéaire des murs voiles en béton armé vis-à-vis des forces latérales (Paulay et Priestley, 1992 ; Fischinger, Vidic, et Fajfar, 1992 ; Wallace, 1995 ; Vulcano, 1988 et Orackcal et al., 2004).

2 . 2 I n t é r ê t d e s m é t h o d e s s i m p l i f i é e s

Bien que les modèles éléments finis microscopiques (modélisation "raffinée") permettent une description précise de la réponse locale, ils sont assez complexes à l’échelle de développement du modèle et se prêtent mal à l’interprétation des résultats. La modélisation dite " simplifiée ", qui respecte la bonne description des mécanismes de dégradation et des phénomènes dynamiques non-linéaires, est performante au niveau global et donne de bons indicateurs au niveau local, tout en restant accessible dans sa mise en œuvre et vis-à-vis des temps et des moyens de calcul. Une approche de modélisation "simplifiée" n’est en aucun cas une méthode "simpliste". Son principal avantage est qu’elle est rapide, facile à mettre en

54

œuvre et pourtant suffisamment riche pour accéder aux localisations des dommages et reproduire les mécanismes potentiels mis en cause. Les principaux avantages de la modélisation simplifiée sont (Kotronis, 2000) :

1. La diminution du temps de calcul :

Ceci est particulièrement utile pour les calculs dynamiques qui demandent des temps de

calcul nettement plus importants (un calcul non-linéaire d’un voile soumis à une séquence d’accélérogrammes peut durer des semaines). Une modélisation simplifiée rend ainsi possible la réalisation d’études paramétriques ou d’études de sensibilité en utilisant une analyse statique non-linéaire en poussée progressive " pushover ", pour laquelle les données matérielles (lois de comportement des matériaux) sont identiques à celles de l’analyse dynamique, mais où les difficultés du calcul pas à pas temporel sont évitées.

2. Le traitement des résultats :

Une modélisation fine donne un grand nombre de résultats dont l’exploitation est souvent malaisée. Malgré le développement des post-processeurs sophistiqués, le travail de l’ingénieur n’est pas simple et nécessite toute son expérience et souvent sa patience pour identifier et trier les principaux mécanismes. Un modèle trop fin en dynamique, par exemple, restitue de nombreux modes qui interviennent faiblement dans le comportement dynamique de l’ensemble et fait alors apparaître des phénomènes dont la signification physique peut être douteuse. Il est donc souvent préférable de procéder à une concentration des masses en des points bien choisis pour obtenir des modes véritablement représentatifs du comportement d’ensemble de la structure (Mestat et al. 1999).

3. Les différentes sources d’incertitude :

Une modélisation détaillée se révèle utile quand nous maîtrisons parfaitement les conditions spécifiques au problème étudié (géométrie de la structure, conditions limites, chargement etc.). Dans le cas de modélisation d’une structure dans une région sismique, il est souvent sans intérêt de procéder à des maillages sophistiqués tant que les caractéristiques de chargement (le séisme) sont pratiquement inconnues (Paulay et Priestley, 1992). C’est la principale raison pour laquelle les codes de dimensionnement parasismique partout dans le monde favorisent des analyses spectrales couplées parfois à des analyses non-linéaires. Si néanmoins des calculs non-linéaires sont nécessaires, plusieurs accélérogrammes doivent être choisis pour définir le chargement sismique.

L’utilisation d’une méthode simplifiée n’est néanmoins pas sans danger. L’ingénieur doit

être conscient de son domaine d’application et de ses limites. Les plus grandes catastrophes dans l’histoire des constructions ne sont généralement pas dues aux mauvais calculs mais à la non-identification ou à la négligence des phénomènes considérés comme "secondaires". L’étude sismique d’un bâtiment à l’aide d’un modèle simplifié ne permet pas dans tous les cas de mettre en évidence les modes locaux de la structure, notamment ceux des éléments secondaires (ex. poutres de plancher). Il convient donc d’effectuer des études supplémentaires pour vérifier si ces éléments ne sont pas soumis à des amplifications dynamiques. Des spectres, transférés aux différents niveaux de l’ouvrage, peuvent être établis pour procéder à ces justifications (Mestat et al. 1999).

55

2 . 3 D e s c r i p t i o n d u m o d è l e a n a l y t i q u e Dans le cadre d’une modélisation macroscopique, un modèle analytique bidimensionnel a

été retenu (Figure 2.1) pour modéliser les structures de murs voiles en béton armé. La Figure (2.2) montre la discrétisation du mur voile en une série de N macro-éléments. Chaque macro-élément est composé de n sous-éléments uniaxiaux de rigidité ki (i = 1, … n) assemblés en parallèle au niveau des planchers supposés infiniment rigides.

Figure 2.1 : Présentation du macro-élément

Le nombre des sous-éléments (n) peut être augmenté pour obtenir une discrétisation plus

raffinée du mur voile. Les propriétés de rigidité et les relations " force-déplacement " des sous-éléments

uniaxiaux sont définies à partir des lois de comportement des matériaux et du ferraillage spécifique assigné à chaque sous-élément uni-axial donné à la Figure 2.3.

x=0

Poutre rigide

δδδδ1 δδδδ3

δδδδ2

Poutre rigide

x - x1

(1-c).h

c.h

k1 k2 … … kn kH h

Niveau (i-1)

Niveau i δδδδ4 δδδδ6

δδδδ5

56

Figure 2.2 : Modélisation par macro-élément du mur voile

Figure 2.3 : Exemple de ferraillage de la section droite du macro-élément L’évaluation de la réponse en flexion du modèle et de sa capacité de résistance vis-à-vis

des forces latérales est effectuée en admettant précisément que les déformations dans le béton et l’acier pour chaque sous-élément uni-axial sont égales (adhérence parfaite). L’effet du cisaillement du mur voile est traduit par la présence d’un ressort horizontal non-linéaire de rigidité kH et de comportement élasto-plastique écrouissable tel que la rotation relative du macro-élément se produit autour d’un point défini sur l’axe central à une hauteur c.h (Figure 2.1), où c est un paramètre qui dépend de la distribution spécifique de la courbure (Figure 2.4). Le choix de ce paramètre devient important dans la phase où les déformations anélastiques sont attendues, puisque des petits changements du moment peuvent rapporter des distributions fortement non-linéaires de la courbure. En conséquence, des valeurs plus petites de c devraient être utilisées pour tenir compte de la distribution non-linéaire de la courbure sur la hauteur du mur voile (cf. Figure 1.18 du chapitre 1). Une valeur de c = 0.4 à 0.5 est recommandée par Vulcano et Bertero (Vulcano et al, 1987, Vulcano et al, 1988).

k1 kn k2 k3 k4

kn-1

… … -x

N . . . 2 1

Mur en BA et son modèle

57

Figure 2.4 : Rotations et déplacements du macro-élément Les déformations de flexion et de cisaillement du macro-élément sont découplées (Figure

2.5). Les rotations et les déplacements transversaux résultants sont calculés en fonction de la courbure déterminée à partir des propriétés de la section et du comportement du matériau. La prise en compte de la plasticité induit une relation non-linéaire entre moment et courbure.

Figure 2.5 : Mode de déformation découplée par flexion et cisaillement

2 .3 .1 Re l a t i o ns en t re l es deg rés d e l i b e r t é du mac ro -é lémen t e t l es d eg rés de l i be r t é conv en t i on ne l s

Chaque macro-élément (bidimensionnel) possède six degrés de liberté, trois degrés de

liberté pour chacun des deux nœuds, situés respectivement au centre des poutres rigides supérieures et inférieures, au niveau des planchers (Figure 2.1). La déformation dans chaque sous-élément uni-axial est obtenue à partir des six degrés de liberté nodaux du macro-élément (translations et rotations).

En conséquence, si δ est le vecteur qui représente les composantes de déplacement

correspondant aux six degrés de liberté nodaux de chaque macro-élément (montrés à la Figure 2.1) :

[ ] [ ]654321 δδδδδδδ =T (2.1)

(1-c)h

ch

χ

Moment Courbure

hχθ =

hc)1( −=∆ θθ

+ =

Déformation Flexion Cisaillement

58

Alors, les déplacements résultant des sous-éléments uniaxiaux sont obtenus par :

[ ] [ ][ ]δ.au = (2.2)

où [u] désigne les déplacements axiaux des n sous-éléments uniaxiaux :

[ ] [ ]TniT uuuuu ......21= (2.3)

et [a] est la matrice de transformation géométrique qui transforme les composantes de déplacements nodaux en déformations des sous-éléments uniaxiaux:

[ ]

−

−−

−−−−

=

nn

ii

xx

xx

xx

xx

a

0000

......

......

1010

......

......

1010

1010

22

11

(2.4)

La déformation axiale moyenne εi dans chaque sous-élément uni-axial peut donc être calculée en divisant le déplacement axial par la hauteur du macro-élément, h :

h

uii =ε (2.5)

La déformation du ressort horizontal de cisaillement (uH) de chaque macro-élément peut également être reliée aux composantes de déplacement [δ] correspondant aux six degrés de liberté nodaux comme suit:

[ ] [ ]δT

H bu = (2.6)

où le vecteur de transformation géométrique [b] est défini par:

[ ] [ ]TT hcchb )1(0101 −−−−= (2.7)

L’aire assignée à chaque sous-élément uni-axial résulte de la discrétisation géométrique illustrée à la Figure 2.3. La rigidité et la résistance (relations force-déplacement) des sous-éléments uniaxiaux sont définies selon les lois de comportement uni-axiales adoptées pour les matériaux utilisés (béton et acier). Pour un niveau de déformation donné (εi), la rigidité axiale du ième sous-élément uni-axial (ki) est définie par une relation d’homogénéisation :

[ ]isisibibi AEAE

hk )()()()(

1 += (2.8)

où (Eb)i et (Es)i sont les modules respectifs pour le béton et l’acier, au niveau de déformation

59

donné (εi) ; (Ab)i et (As)i sont les sections du béton et de l’acier du sous-élément et h est sa hauteur. La force axiale dans le ième sous-élément uni-axial (fi) est définie par:

( ) ( ) ( ) ( )isisibibi AAf σσ += (2.9)

où (σb)i et (σs)i sont les contraintes du béton et de l’acier correspondant à la déformation (εi). La rigidité de cisaillement (kH) et la force dans le ressort horizontal (fH) pour un déplacement donné du ressort (uH) sont déterminées à partir de la relation force-déplacement adoptée pour le modèle définissant le comportement en cisaillement du ressort horizontal.

En conséquence, si kH est la rigidité du ressort horizontal, ki la rigidité du ième sous-élément, et xi est la distance entre le ième sous-élément et l’axe central du macro-élément (Figure 2.1), la matrice de rigidité d’un macro-élément relativement aux six degrés de liberté de déformation montrés à la Figure 2.6 est donnée par (Orakcal et al., 2004) :

[ ] [ ] [ ][ ]TKTK T

e = (2.10)

où [T] désigne la matrice de transformation qui convertit les degrés de liberté de l’élément aux déplacements d’extension, de rotation relative au niveau inférieur et de rotation relative au niveau supérieur de chaque macro-élément (Figure 2.6)

[ ]

−−

−=

101001

001101

010010

hh

hhT

(2.11)

et

[ ]

+−

−−+

−

=

∑

∑∑

∑∑∑

=

==

===

2

1

22

2

1

22

1

22

111

)1(.

)1(

i

n

iiH

i

n

iiHi

n

iiH

i

n

ii

n

iii

n

ii

xkhcksym

xkhcckxkhck

xkxkk

K

(2.12)

est la matrice élémentaire correspondant aux trois degrés de liberté d’extension, de rotation relative au niveau inférieur et de rotation relative au niveau supérieur de chaque macro-élément (Figure 2.6). Avec:

h

AGkH

′=

(2.13)

kH : Rigidité du ressort horizontal ;

G: Module de cisaillement ;

A' : Section effective du cisaillement.

60

Figure 2.6 : Modes de déformations du macro-élément (Vulcano et al., 1988)

En utilisant la matrice [T] de l’équation (2.11), on peut relier les six degrés de liberté (Figure 2.1) aux trois degrés de liberté correspondant respectivement aux déplacements d’extension, de rotation relative au niveau inférieur et de rotation relative au niveau supérieur de chaque macro-élément (Figure 2.6) :

−−

−=

6

5

4

3

2

1

sup

inf

101001

001101

010010

δδδδδδ

θθ

hh

hh

e

(2.14)

2 .3 .2 Dév e lo ppemen t de l a ma t r i ce d e r i g i d i t é K du mac ro -é lémen t

Il est à noter que le macro-élément subit trois types de déformations relatives dus aux forces extérieures, à savoir l’extension, la rotation relative de la poutre rigide inférieure et la rotation relative de la poutre rigide supérieure (Figure 2.6).

Ces déformations engendrent simultanément un effort d’extension verticale Fv, un moment

inférieur Minf et un moment supérieur Msup. Ces efforts sont reliés aux déformations dans le repère local, par la relation suivante :

{ } [ ]{ }dKF = (2.15)

tel que : { } [ ]Tv MMFF supinf=

(2.16)

et

Extension Rotation relative Rotation relative au niveau inférieur au niveau supérieur

e

e θinf

θsup

61

{ } [ ]Ted supinf θθ= (2.17)

[K] est la matrice de rigidité du macro-élément donnée par l’équation (2.12) et déterminée de la manière suivante :

D é t e r m i n a t i o n d e l a 1è r e l i g n e d e l a m a t r i c e d e r i g i d i t é o u l ’ e f f o r t d ’ e x t e n s i o n v e r t i c a l e d a n s l e m a c r o - é l é m e n t :

Sous l’action des forces extérieures, les sous-éléments du macro-élément subissent des déformations longitudinales dues :

• E f f o r t d û à l ’ e x t e n s i o n p u r e « e » : L’effort d’extension pure ( verticale) Fe est la somme de tous les efforts des sous-

éléments relativement aux déformations d’extension longitudinales « ei » alors :

ekekNF

n

iii

n

ii

n

iiee ⋅

=⋅== ∑∑∑=== 111

,

• E f f o r t d û à l a r o t a t i o n i n f é r i e u r e d u m a c r o - é l é m e n t « θ i n f » :

Dû à la rotation inférieure « θinf » du macro-élément, les sous-éléments subissent des déformations longitudinales « ei », proportionnelles à leurs distances « xi » par rapport à l’axe neutre du macro-élément :

infinf, θ⋅−= ii xe

L’effort correspondant « Finf » est la somme de tous les efforts Ni des sous-éléments alors :

inf1

inf,11

inf,inf θ⋅

⋅−=⋅== ∑∑∑===

i

n

iii

n

ii

n

ii xkekNF

Extension

k1 k2 ki . . . . e

Fe

Fe

e1

ei

x1 xi

θinf θinf

62

• E f f o r t d û à l a r o t a t i o n s u p é r i e u r e d u m a c r o - é l é m e n t «θ s u p» :

De même, pour la rotation supérieure « θsup » du macro-élément, les sous éléments subissent des déformations longitudinales « ei » proportionnelles à leurs distances « xi » par rapport à l’axe neutre du macro-élément :

supsup, θ⋅= ii xe

L’effort « Fsup » est la somme de tous les efforts des sous éléments :

sup1

sup,11

sup,sup θ⋅

⋅=⋅== ∑∑∑===

i

n

iii

n

ii

n

ii xkekNF

L’effort totale est donné par :

supinf FFFF ev ++=

D’où la première ligne de la matrice de rigidité du macro-élément.

⋅⋅−= ∑∑∑===

sup

inf111 θ

θe

xkxkkFn

iii

n

iii

n

iiv

D é t e r m i n a t i o n d e l a 2è m e l i g n e d e l a m a t r i c e d e r i g i d i t é o u l e m o m e n t i n f é r i e u r d a n s l e m a c r o - é l é m e n t :

Le moment interne inférieur « M inf » est engendré par les trois types de déformations suscitées :

infsup

infinf

infinfθθ MMMM e ++=

• D é t e r m i n a t i o n du moment « M inf» dans le macro-élément du à l’extension pure : Bien que l’extension du macro-élément produise des déformations uniformes des sous-

éléments, les efforts internes peuvent être différents dus à la rigidité inégale des sous-éléments :

Le moment interne d’un sous-élément « i » subissant la déformation pure « ei » est :

iieie xNM ⋅−= ,inf, et iiie ekN ⋅=,

e1 ei

x1 xi

θsup

63

Or, ni eeeee =⋅⋅⋅==⋅⋅⋅=== 21

exkxekMn

iii

n

iiiie ⋅

⋅−=⋅⋅−= ∑∑== 11

inf

• D é t e r m i n a t i o n d u m o m e n t « infinfθM » d u à l a r o t a t i o n i n f é r i e u r e :

Les extensions « ei » des sous-éléments sont dues dans ce cas à la rotation inférieure de la

poutre rigide au niveau inférieur, alors on peut écrire :

∑=

⋅⋅=n

iiii xekM

1

infinfθ

Or, infθ⋅= ii xe

inf1

2

1inf

1

infinf θθθ ⋅

⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅= ∑∑∑===

n

iii

n

iiii

n

iiii xkxxkxekM

• D é t e r m i n a t i o n d u m o m e n t « infsupθM » d u à l a r o t a t i o n s u p é r i e u r e :

De la même manière :

∑=

⋅⋅−=n

iiii xekM

1

infsupθ

Or,

supθ⋅= ii xe

sup1

2

1sup

1

infsup θθθ ⋅

⋅−=⋅⋅⋅−=⋅⋅−= ∑∑∑===

n

iii

n

iiii

n

iiii xkxxkxekM

Alors, inf

supinf

infinfinf

θθ MMMM e ++=

sup1

2inf

1

2

1

inf θθ ⋅

⋅−⋅

⋅+⋅

⋅= ∑∑∑===

n

iii

n

iii

n

iii xkxkexkM

e1 ei

x1 xi

θsup

e1

ei

x1 xi

θinf θinf

Extension

k1 k2 ki . . ... kn

e

64

Donc, la deuxième ligne de la matrice de rigidité est :

⋅−⋅⋅−= ∑∑∑===

sup

inf1

2

1

2

1

inf

θθe

xkxkxkMn

iii

n

iii

n

iii

D é t e r m i n a t i o n d e l a 3è m e l i g n e d e l a m a t r i c e d e r i g i d i t é o u l e m o m e n t s u p é r i e u r e d a n s l e m a c r o - é l é m e n t :

En procédant de la même manière et en tenant compte des conventions de signes, on trouve :

⋅⋅−⋅= ∑∑∑===

sup

inf1

2

1

2

1

sup

θθe

xkxkxkMn

iii

n

iii

n

iii

i

D é t e r m i n a t i o n d e s m o m e n t s d u s a u x d é f o r m a t i o n s t r a ns v e r s a l e ( r e s s o r t h o r i z o n t a l ) p r o d u i t e s p a r l e s r o t a t i o n s i nf é r i e u r e s e t s u p é r i e u r e s : La déformation du ressort engendre un effort égal à : HHH ekf ⋅=

• M o m e n t s i n f é r i e u r s e t s u p é r i e u r s d u s à l a d é f o r m a t i o n p r o d u i t e p a r l a r o t a t i o n i n f é r i e u r e :

La déformation eH peut être déterminée en fonction de la rotation θinf comme suit : infθ⋅= cheH

θinf

(1-c)h

ch

65

Les moments inférieurs et supérieurs dus à l’extension eH sont :

( ) inf2

infinf θθ ⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅= chkchchkchfM HHH

( ) inf2

infsup 1)1()1( θθ ⋅⋅−⋅⋅=−⋅⋅⋅=−⋅= hcckhcchkhcfM HHH

• M o m e n t s i n f é r i e u r s e t s u p é r i e u r s d u s à d é f o r m a t i o n p r o d u i t e p a r l a r o t a t i o n s u p é r i e u r e :

La déformation eH peut être déterminée en fonction de la rotation θsup comme suit :

( ) sup1 θ⋅⋅−= hceH

Les moments inférieurs et supérieurs dus à l’extension eH sont :

( ) ( ) sup2

infinf 11 θθ ⋅⋅−⋅⋅=⋅⋅−⋅=⋅= hcckchhckchfM HHH

( ) ( ) inf22

infsup 1)1(1)1( θθ ⋅⋅−⋅=−⋅⋅−⋅=−⋅= hckhchckhcfM HHH

Enfin, nous retrouvons la matrice K donnée par l’équation (2.12).

ch θinf

eH

θsup

(1-c)h

ch

(1-c)h

θsup

eH

66

L’équation (2.15) peut donc être écrite sous la forme suivante :

( )

( )

⋅

+−

−−+

−

=

∑

∑∑

∑∑∑

=

==

===

sup

inf

1

222

1

22

1

222

111

inf

1.

1

θθe

xkhcksym

xkhcckxkhck

xkxkk

M

M

F

n

iiiH

n

iiiH

n

iiiH

n

iii

n

iii

n

ii

sp

(2.18)

D’une manière générale, le modèle mis en œuvre dans cette étude est une approche simplifiée qui relie la réponse en flexion des structures constituées de murs voiles au seul comportement uni-axial sans avoir recours à des relations empiriques additionnelles. Le modèle est aussi capable de simuler les caractéristiques importantes du comportement non-linéaire, comprenant la dégradation de rigidité, le décalage de l’axe neutre (ou sa position) le long de la section droite du voile, et l’effet de la variation de la force axiale, qui sont généralement ignorés dans les modèles usuels. Les seuls paramètres liés au modèle sont le nombre de sous-éléments uniaxiaux) répartis sur la largeur (n), le nombre de macro-éléments sur la hauteur du mur voile (N), et le paramètre définissant le centre de la rotation (c) de chaque macro-élément. Le nombre de sous-éléments uniaxiaux (n) et de macro-éléments (N) peut être augmenté pour obtenir une description plus raffinée de la section droite et une représentation plus précise de la réponse en flexion du mur voile. Les paramètres liés aux lois de comportement adoptés dans cette étude pour l’acier et le béton sont décrits dans la section suivante.

2 . 4 L o i s d e c o m p o r t e m e n t d e s m a t é r i a u x b é t o n - a c i e r

L’approche de modélisation simplifiée adoptée relie directement la réponse non-linéaire globale au comportement des matériaux à utiliser. L’accent est mis sur le choix d’un modèle robuste et fiable représentant les lois de comportement définies pour le béton et l’acier. Il est nécessaire que les relations choisies soient validées par des données expérimentales. De nombreux modèles numériques de comportement du béton et de l’acier existent dans la littérature, permettant ainsi de mettre en évidence les phénomènes physiques et les caractéristiques principales intervenant lors de la dégradation des matériaux.

Dans cette étude, le modèle d’endommagement développé par Chang et Mander pour le béton, et le modèle élasto-plastique simplifié de Menegotto et Pinto (basé sur la théorie de plasticité) pour l’acier, sont retenus.

2 .4 .1 Mod è l es du b é to n Le béton a un comportement complexe difficile à représenter par une seule loi

macroscopique homogène. Cette difficulté est liée notamment à la forte hétérogénéité du béton qui est un matériau composite constitué de granulats de différentes tailles, d’une matrice cimentaire et de cavités. A cela s’ajoutent des microfissures distribuées de manière

67

aléatoire et présentes même à l’état dit vierge, c’est-à-dire avant toute sollicitation externe (Ramtani, 1990). Selon la nature et l’intensité de la sollicitation, le béton se déforme de manière complexe en faisant intervenir une ou plusieurs combinaisons de mécanismes élémentaires : élasticité, endommagement, glissement, frottement, fissuration… Des recherches ont été lancées depuis le début du XXe siècle sur le comportement mécanique du béton dans l’espoir de mieux comprendre les mécanismes de dégradation de ce matériau. Plusieurs théories appliquées à des matériaux tels que le béton ont été développées. On peut citer l’approche locale de fissuration, la mécanique de la rupture, la théorie de la plasticité, la théorie de l’endommagement, l’approche par homogénéisation… Ceci a conduit à l’élaboration de plusieurs modèles spécifiques aux bétons. Nous pouvons citer les modèles d’endommagement isotropes de Mazars (Mazars, 1984), de La Borderie (La Borderie, 1991), le modèle de Bazant (Bazant, 1984)... Tous ces modèles, intégrés dans les codes de calcul, permettent de modéliser le comportement du béton par l’approche des éléments finis, et sont utilisés actuellement. Cependant, la modélisation du comportement mécanique du béton n’est pas complètement résolue et reste encore une question ouverte. Ceci est confirmé entre autre par la multiplicité des modèles proposés. En effet, la difficulté majeure réside dans l’élaboration d’un modèle suffisamment fiable pour bien représenter le comportement complexe du béton et relativement simple pour qu’il soit exploité dans des modélisations du matériau et de structure en béton armé.

Beaucoup de chercheurs se sont intéressés à définir des lois de comportements pour le béton. Nous présentons ci-dessous un nombre restreint de propositions de ces lois.

Lorsqu’on soumet une éprouvette cylindrique en béton à un essai de compression simple

contrôlé en déformation, l’aspect qualitatif de la loi de comportement « contrainte axiale - déformation axiale » prend la forme de la courbe donnée à la Figure 2.7.

Figure 2.7 : Diagramme σ-ε pour le béton comprimé

Les caractéristiques qualitatives de cette courbe sont :

- Une branche ascendante, à concavité vers le bas, admettant un module tangent initial Eci et un extremum (εbc, fbc) ; à cet extremum de contrainte correspond la résistance à la compression (fbcm);

εbcm

fbcu

fbcm

εbcu

68

- Au delà de ce maximum, une branche descendante présentant normalement un point

d’inflexion, est définie (εbcu, fbcu).

Dans ce travail, deux modèles ont été retenus permettant de tenir en compte des effets non-linéaires spécifiques d’un tel comportement. Le premier apparaît relativement simple et souvent utilisé, et le second est plus raffiné et généralisé, capable de traiter les problèmes en 1D, 2D ou 3D sous l’action des sollicitations mécaniques complexes, y compris les chargements cycliques. Son intérêt est d’autant plus important qu’il est capable de prédire des comportements dans des situations diverses. Le modèle de comportement pour le béton, qui fait encore référence aujourd’hui, est le modèle présenté par Chang et Mander (Chang et al., 1994, Mander et al., 1988). Facile à implémenter, explicite et d’une capacité de prévision correcte dans de nombreux cas.

2 . 4 . 1 . 1 M o d è l e c o n s t i t u t i f d e K e n t e t P a r k ( 1 9 7 1 )

De nombreuses études sur les lois de comportement du béton sous chargement monotone et cyclique ont été faites. On peut citer les recherches de Sinha et al. (1964) et Karsan et Jirsa (1969) qui ont étudié le comportement du béton soumis aux charges répétées de compression. L’on peut constater que l’enveloppe du chargement cyclique coïncide avec la courbe contrainte-déformation liée au chargement monotone. Le modèle uni-axial proposé par Yassin (1994), basé sur les résultats expérimentaux de Sinha et al. (1964) et Karsan et Jirsa (1969), est l’un des modèles qui tient compte des mécanismes physiques de dégradation du béton et de la perte de raideur due à la fissuration. La courbe contrainte-déformation enveloppe du modèle en compression du béton suit le modèle initialement établi par Kent et Park (1971) et développé par Scott, Park, et Priestley (1982). Bien que plusieurs modèles plus précis et plus robustes aient été publiés par d’autres chercheurs par le passé, le modèle modifié de Kent est un modèle qui allie simplicité et précision, et est largement répandu.

Figure 2.8 : Modèle modifié du béton en compression (Kent et Park, 1982)

69

Dans le modèle modifié de Kent et Park (Figure 2.8), la relation contrainte-déformation du béton en compression est décrite par trois branches. En admettant par convention de signe que la compression est positive, les trois branches de la courbe sont :

Branche OA :

−

=≤

2

00

'0 2

εε

εεσεε cc

ccc Kf (2.19)

Branche AB : ( )[ ]0'

200 1 εεσεεε −−=≤≤ cccc ZKf (2.20)

Branche BC : '

20 2.0 ccc Kf=> σεε (2.21)

Le module tangent correspondant Et est donné par les expressions suivantes :

−

=≤

00

'

0 12

εε

εεε cc

tc

KfE (2.22)

'200 ctc ZKfE −=≤≤ εεε (2.23)

020 => tc Eεε (2.24)

où

K002.00 =ε (2.25)

'1

c

yhs

f

fK

ρ+= (2.26)

Ks

h

f

fZ

hs

c

c 002.075.01000145

29.03

5.0'

'

'

−+−

+=

ρ (2.27)

Dans les équations (2.14 à 2.22), ε0 représente la déformation due à la contrainte de

compression maximale, ε20 est la déformation du béton rapportée à 20% de la contrainte de compression maximale, K est un facteur qui tient compte de l’augmentation de la résistance due au confinement, Z est la pente dans le domaine adoucissant de la déformation (« strain softening slope »), f′c la résistance à la compression du béton de la section non-confinée (en MPa), fyh est la résistance à la limite élastique des armatures transversales, ρs est le pourcentage géométrique d’armatures transversales (le rapport du volume des armatures transversales au volume du noyau de béton mesuré en dehors des étriers ou attaches), h′ est la largeur du noyau de béton mesurée en dehors des étriers ou des attaches, et sh est l’espacement des étriers.

70

En raison de son efficacité numérique, le modèle est couramment utilisé par plusieurs chercheurs (Spacone et al., 1996 ; Fishinger et al., 2004 ; Kwak et al., 1995 ; Pinto et al., 2004), et est mis en application dans divers logiciels de calcul de structures de génie civil (ex. IDARC-2D (Valles et al., 1996) ; Ruaumoko (Carr et al., 1998) ; OpenSees (McKenna et al., 2000) ; …).

En revanche, ce modèle n’est pas parfait et comporte néanmoins un certain nombre de

lacunes : le modèle ne permet pas le contrôle de la plupart des paramètres définissant la forme des trois branches de la courbe enveloppe de compression du béton sous chargement monotone ou par hystérésis, ce qui limite de ce fait la calibration du modèle. En plus, il est incapable de reproduire la fermeture progressive des fissures due aux contraintes progressives de contact dans le béton. Un deuxième modèle plus fin, plus précis, et généralisé pour le béton a servi de base à d’autres développements. Il est présenté dans la section suivante.

2 . 4 . 1 . 2 M o d è l e d e C h a n g e t M a n d e r ( 1 9 9 4 )

Le modèle constitutif développé par Chang et Mander (1994) a été également retenu dans la présente étude. Il permet de simuler efficacement le comportement du béton confiné et non-confiné, ordinaire ou à haute résistance à la compression comme à la traction.

La pente initiale (à l’origine) ainsi que la forme des deux branches ascendante et descendante (avant et après le pic de la courbe), sont bien contrôlées par le modèle. La forme de la courbe enveloppe peut être modifiée tout en gardant constantes les valeurs de la contrainte maximale et de la déformation correspondante, permettant un calibrage raffiné du modèle. Afin de décrire l’enveloppe de cette courbe en compression et en traction, le modèle de Chang et Mander utilise l’équation de Tsai (Tsai, 1988), qui est basée sur celle de Popovics (1973), une équation qui s’est avérée très utile pour définir la forme de la courbe enveloppe contrainte-déformation monotone pour le béton.

2 . 4 . 1 . 2 . 1 C o u r b e e n v e l o p p e d e c o m p r e s s i o n

Le comportement du béton en compression, se traduit principalement par une relation contrainte-déformation non-linéaire et présente une certaine pseudo-ductilité reliée à la microfissuration du matériau. La Figure (2.9) illustre la relation contrainte-déformation (σ-ε) du béton en compression.

On remarque sur cette figure trois phases de comportement : une branche ascendante

presque linéaire jusqu’à 40% de sa résistance en compression. En dépassant ce point, on observe que l’allure générale de la courbe tend à se courber graduellement, traduisant une perte de rigidité, jusqu’à une augmentation plus rapide des déformations correspondant à une contrainte de 70 à 80% de la résistance en compression. Au-delà, la courbe présente un pic présentant un point d’inflexion, suivi d’une branche descendante post-pic correspondant à un comportement adoucissant, défini par une ligne droite qui traduit la déformation par éclatement du béton (« spalling strain »). Une fois que le béton perd sa rigidité et se détériore complètement, les contraintes deviennent alors nulles.

La courbe enveloppe de compression (Figure 2.9), est définie par le module tangent initial

Ec, les coordonnées au pic (ε'c, f'c), la déformation critique de compression ε-cr, et la

déformation par éclatement du béton (« spalling strain ») εsp.

71

Figure 2.9 : Courbe enveloppe de compression et de traction (Chang et Mander 1994) Les équations des deux courbes enveloppes de compression et de traction peuvent être

écrites sous forme adimensionnelle en utilisant les équations suivantes (Figure 2.10) :

)()(

xD

nxxy =

(2.28)

[ ]2)(

)1()(

xD

xxz

r−= (2.29)

où x est la déformation adimensionnelle (normalisée) sur la courbe enveloppe de la Figure

(2.10), y(x) est la fonction de contrainte adimensionnelle, z(x) est la fonction du module tangent adimensionnelle, et r est le paramètre de Tsai (Tsai, 1988) qui définit la forme enveloppe de compression.

et

111

1)( ≠−

+

−−+= r

r

xx

r

rnxD

r

(2.30)

( ) 1ln11)( =+−+= rxxnxD (2.31)

n et x sont définies pour la courbe enveloppe de compression (signe négatif) par :

'c

cxεε

=− (2.32)

Ligne droite

Ligne droite

Déformation, εc

Traction

Con

trai

nte,

fc

72

'

'

c

cc

f

En

ε=− (2.33)

On note par x-

cr (x-cr > 1) la déformation critique adimensionnelle sur la courbe enveloppe

de compression (utilisée pour définir la ligne tangente à la déformation de ruine). La déformation par éclatement du béton (« spalling strain ») adimensionnelle peut être déterminé par :

)(

)(−−

−− −=

cr

crcrsp

xzn

xyxx (2.34)

Figure 2.10 : Forme normalisée de la courbe enveloppe de compression et de traction Dans les équations ci-dessus, εc est la déformation du béton, ε'c est la déformation du

béton due à la contrainte de compression maximale (confinée ou non-confinée), f'c est la contrainte de résistance à la compression (confinée ou non-confinée), Ec est le module d’Young initial (module d’élasticité) du béton.

Pour une déformation donnée sur la courbe enveloppe de compression, la contrainte f’ c et

le module tangent Et sont définies par :

)( −−= xff cc (2.35)

)( −−= xEE tt (2.36)

où f-c(x

-) et E-t(x

-) sont définies par :

Si x-< x-cr

x-sp

x-cr

Ec

y(x-)

x-

1

E1

x

x=1

Ligne droite

Compression (-)

x+crk x+

cr x+

y(x+)

Traction (+)

Ligne droite

Déformation normalisée, x

Fon

ctio

n de

con

trai

nte,

y(x

)

73

)(' −− = xyff cc (Equation de Tsai) (2.37)

)( −− = xzEE ct (2.38)

Si x-

cr < x -< xsp

[ ]))(()(' −−−−−− −+= crcrcrcc xxxznxyff (Ligne droite) (2.39)

)( −− = crct xzEE (2.40)

Si x > xsp

0== −−tc Ef (Eclatement du béton) (2.41)

Ce qui caractérise une perte totale de la rigidité du béton (détérioration complète), les

contraintes sont alors nulles. Tous ces paramètres peuvent être contrôlés en se basant sur des résultats expérimentaux

spécifiques pour un calibrage plus raffiné de l’enveloppe de compression du béton. Cependant, Chang et Mander (1994) ont proposé des relations empiriques pour les paramètres Ec, ε′c et r, s’appuyant sur un examen détaillé des travaux de recherches antérieures. Les paramètres liés à l’enveloppe de compression du béton non-confiné peuvent être déterminés à partir de la contrainte de résistance du béton confiné f′c (en MPa) par :

83' )(8200 cc fE = (f’ c en MPa) (2.42)

800

)( 41'' cc

f=ε (f’ c en MPa) (2.43)

9.12.5

'

−= cfr (f’ c en MPa) (2.44)

2.4.1.1.2 C o u r b e E n v e l o p p e d e t r a c t i o n

Pour la courbe contrainte-déformation du béton en traction, on peut distinguer deux phases importantes du comportement : dans une première phase, le comportement est quasiment élastique linéaire avec une légère perte de raideur juste avant d’atteindre le pic. Une deuxième phase (phase adoucissante), après le pic, est caractérisée par une chute presque brutale de la contrainte.

La forme de la courbe enveloppe de traction dans le modèle de Chang et Mander est

identique à celle de la courbe enveloppe de compression (Figure 2.9). Les paramètres adimensionnels pour la courbe enveloppe de traction sont donnés par :

t

cxεε

=+ (2.45)

74

t

tc

f

En

ε=+ (2.46)

La déformation de fissuration adimensionnelle est donnée par:

)(

)(++

++ −=

cr

crcrcrk xzn

xyxx (2.47)

où εc est la déformation du béton, εt est la déformation due à la contrainte de traction maximale, ft est la résistance à la traction, Ec est le module d’Young initial du béton, x+ est la déformation adimensionnelle sur la courbe enveloppe de traction, x’cr est la contrainte critique sur la courbe enveloppe de traction (utilisée pour définir une ligne tangente jusqu’au déformation de fissuration εcrk), et xcrk est la déformation de fissuration adimensionnelle (Figure 2.9).

La contrainte fc et le module Et pour une déformation donnée sur la courbe enveloppe de

traction sont définis par:

)( ++= xff cc (2.48)

)( ++= xEE tt (2.49)

où f c

+ (x+) et E+t(x

+) sont définies par :

Si x+< x+cr

)( ++ = xyff tc (Equation de Tsai) (2.50)

)( ++ = xzEE ct (2.51)

Si x+

cr < x +< xcrk

[ ]))(()( ++++++ −+= crcrcrtc xxxznxyff (Ligne droite) (2.52)

)( ++ = crct xzEE (2.53)

Si x > xcrk

0== ++tc Ef (Eclatement) (2.54)

où les fonctions y et z sont définies par les équations (2.23) et (2.24). Quand le béton est fissuré il perd sa résistance quelle que soit la valeur de la contrainte de traction, en raison de l’ouverture de fissure, mais d’autre part la fermeture progressive de fissure et le (« tension-stiffening») peuvent empêcher la fissuration complète, et une grande valeur de x+ peut être définie.

75

Les paramètres liés à la courbe enveloppe de traction comprennent la résistance à la traction ft du béton, la déformation due à la contrainte maximale εbt et le paramètre r définissant la forme de la courbe enveloppe de traction. La déformation critique sur la courbe enveloppe de traction x+ (où la courbe enveloppe commence à suivre une ligne droite) peut être contrôlée et calibrée à partir des résultats expérimentaux ou des relations empiriques (Collins et Mitchell, 1991; Belarbi et Hsu, 1994) pour modéliser le comportement du béton en traction tenant compte du phénomène de la (« tension-stiffening ») pour les voiles.

2 .4 .2 Mod é l i sa t i on de l a t ens ion -s t i f f en ing

La contribution du béton fissuré pour la résistance à la traction des éléments en béton armé est connue par l’effet de la (« tension-stiffening »). Le béton entre les fissures, qui reste adhérent aux barres d’acier, contribue à la résistance en traction de l’élément. Le concept de la (« tension-stiffening») se rapporte comme la capacité des éléments fissurés en béton armé de porter des contraintes additionnelles moyennes dans la direction perpendiculaire à la fissure et offre une rigidité aux éléments après fissuration du béton (Vecchio et Collins, 1993 ; Collins et Mitchell, 1991; Belarbi et Hsu, 1995 ; Pang et Hsu, 1995 ; Hsu et Zhang, 1996 ; Mansour et al., 2001 ; Hsu et Zhu, 2002).

Plusieurs propositions ont été faites pour modéliser ce phénomène de (« tension-stiffening»), l’on peut citer, à titre d’exemple, le modèle proposé par Colotti (Colotti, 1993) (Figure 2.11). Le béton et l’acier dans chaque sous-élément uni-axial sont soumis aux mêmes déformations (section homogénéisée).

Figure 2.11 : Modèle de tension-stiffening (Colotti, 1993) Dans le cas de problèmes plans, le modèle de (« tension-stiffening ») a été proposé par

Okamura (Okamura et al., 1991) et employé par Belarbi (Belarbi et al.,, 1994). Son effet en traction est directement incorporé dans les relations contrainte-déformation mises en application pour le béton et l’acier comme décrit dans les paragraphes suivants. Ainsi, en se basant sur des essais étendus sur des échantillons en béton armé soumis à des contraintes normales, Belarbi et Hsu (1994) ont développé deux modèles constitutifs contrainte-déformation de traction moyenne pour le béton et pour l’acier. Ces modèles ont été largement

76

utilisés et expérimentalement validés dans plusieurs études récentes (Pang et Hsu, 1995 ; Hsu et Zhang, 1996 ; Mansour et al., 2001 ; Hsu et Zhu, 2002 et Bakir et al., 2006).

La relation contrainte-déformation moyenne proposée par Belarbi et Hsu pour le béton en

traction prend la forme suivante (Figure 2.12) :

Si crc εε ≤ alors ccc E ε=σ (2.55)

Si crc εε > alors 4.0

=

c

crcrc f

εεσ (2.56)

où :

)('3875 MPafE cc = (2.57)

)('31.0 MPaff ccr = (2.58)

510.8 −=crε (2.59)

Dans les équations ci-dessus, εc est la déformation de traction moyenne du béton, σc est la

contrainte de traction moyenne, Ec est le module d’élasticité initial de la relation contrainte- déformation moyenne, fcr est la contrainte de fissuration, et εcr est la déformation après fissuration du béton. La constante 0.40 dans la relation (2.56) est un paramètre qui décrit la forme géométrique de la courbe de (« tension-stiffening ») pour des éléments en béton armé.

Figure 2.12: Relation contrainte-déformation moyenne du béton en traction (Belarbi et Hsu, 1994)

La courbe comporte une ligne droite ascendante avant fissuration et une courbe

descendante après fissuration définie par l’équation (2.51) (Figure 2.13). Les expressions de

Déformation, εc

Co

ntr

ain

te,

σσ σσ c

77

fcr, εcr, et Ec, dans les équations précédentes sont obtenues à partir des résultats expérimentaux effectués sur plusieurs spécimens avec des résistances à la compression cylindrique, comprises ente 36.9 MPa et 47.7 MPa.

La Figure 2.13 illustre bien la comparaison d’une courbe enveloppe représentative de

traction (ou courbe de traction sous chargement monotone), reproduite par le modèle de Chang et Mander (1994) avec la relation moyenne de la courbe contrainte-déformation proposée par Belarbi et Hsu (1994) pour le béton.

La forme de la courbe enveloppe de traction dans le modèle de Chang et Mander est

facilement contrôlée par le paramètre de forme r (en plus du module d’élasticité initial Ec, la contrainte de traction maximale ft et la déformation relative à la contrainte de traction maximale εt). La seule différence entre des deux courbes est que l’enveloppe établie en utilisant le modèle de Chang et Mander tient compte également de la non-linéarité dans la relation contrainte-déformation avant l’apparition de la première fissuration du béton (comme observé expérimentalement par Yankelevsky et Reinhardt, 1987).

Figure 2.13 : Comportement du béton en traction (Wallace, 2006)

A la lecture de ce qui précède, nous constatons une légère différence entre les lois.

Certaines sont très difficiles à utiliser vu le nombre d’essais nécessaires pour définir les différents paramètres. La grande majorité des lois récentes simulent de manière identique la partie ascendante des courbes (σ-ε). En revanche la partie post-élastique montre une grande variation entre les différents modèles en fonction des paramètres utilisés. Il est donc nécessaire d’effectuer un choix.

La relation contrainte-déformation choisie pour simuler le comportement du béton est

basée sur le modèle développé par Chang et Mander (Chang et al., 1994). Les résultats de la simulation effectuée sont montrés à la Figure 2.14. Les paramètres liés à la courbe enveloppe de compression du béton sont (Figure 2.14a) : la contrainte de résistance à la compression fbc, la déformation due à la contrainte de compression maximale εbc, le module d’Young initial (module d’élasticité) E0b, et la contrainte de rupture du béton fbcu. Bien que le béton soit principalement conçu pour résister à la compression, la connaissance de ses caractéristiques en traction est importante. La contrainte et la déformation en traction du béton au pic sont

Chang et Mander (1994) Belarbi et Hsu (1994)

Déformation

Con

trai

nte

(MP

a)

.

78

respectivement, fbt et εbt (Figure 2.14b). La contrainte et la déformation à la rupture en traction du béton est εut.

La courbe présente deux phases distinctes : Le comportement avant le pic peut être

considéré comme un comportement élastique linéaire avec une légère non-linéarité à l’approche du pic correspondant à la décohésion de quelques liaisons à l’interface pâte-granulats et à la progression de quelques microfissures dans la pâte de ciment. Le comportement adoucissant post-pic suivi d’une chute importante de la raideur due essentiellement au processus de décohésion du béton soumis à une extension.

(a) Modèle de comportement du béton en compression

(b) Modèle de comportement du béton en traction

Figure 2.14 : Réponse uni-axiale du modèle Chang et Mander en traction et en compression

2 .4 .3 Mod è l es de l ’ a c i e r

Contrairement au béton, le comportement de l’acier est quasi identique en traction et en compression. La courbe de la Figure 2.15 montre l’allure du comportement de l’acier soumis

0 0.0005 0.0010 0.0015 0.0020 0.00250

0.5

1

1.5

2

2.5

Déformation

Con

train

te (M

Pa)

Chang et Mander( , )ε fbtt

(εut, fut)

r +

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.0250

10

20

30

40

Déformation

Con

train

te (M

Pa)

εbc , fbc)(

fbcu

EC

r

79

à un essai de traction. Nous y constatons clairement deux comportements (Lemaitre et al. 1986):

• Tant que l’on reste au-dessous du point de la limite élastique, le comportement reste élastique, c’est-à-dire que la courbe de décharge est confondue avec la courbe de charge (quand le chargement redevient nul, l’éprouvette retrouve sa forme initiale).

• Quand le chargement dépasse la limite élastique, si la charge est supprimée, des

déformations permanentes apparaissent. Contrairement au béton, le module de décharge est pratiquement le même que le module d’élasticité initial.

L’acier des armatures actuelles à " adhérence améliorée " possède une limite élastique

généralement supérieure à 500 MPa, ainsi qu’un allongement à la rupture compris entre 15 et 20 % (pour les barres laminées à chaud).

Suivant les besoins de l’analyse, on peut utiliser : • une idéalisation représentant fidèlement l’allure générale de la courbe de l’essai de

traction comme montrée à la Figure 2.15 ;

• une idéalisation de cette courbe par une loi simplifiée « élasto-plastique parfaite » avec déformation limite εu comme sur la Figure 2.16 (Fib, 1999). Cette formulation nécessite la connaissance de quatre grandeurs caractéristiques :

fy = limite d’écoulement (MPa) ; Es = module d’Young (MPa) ; εy = déformation élastique ; εu = déformation ultime.

Figure 2.15 : Comportement de l’acier en traction simple

εs

σs

80

Figure 2.16 : Représentation de la loi " élasto-plastique parfaite " pour l’acier

2 . 4 . 3 . 1 L o i u n i a x i a l e c yc l i q u e Le comportement de l’acier utilisé dans cette étude est représenté par le modèle modifié

de Menegotto et Pinto (Menegotto et Pinto, 1973). Ce modèle est généralement utilisé pour simuler le comportement des barres d’acier sous chargement cyclique.

Le modèle utilisé est présenté ici dans ses grandes lignes. Le lecteur pourra en trouver

une description plus détaillée dans de nombreux papiers existant sur le sujet (Menegotto et Pinto,1973 ; Guedes et al., 1994 ; Filippou, 1996…).

La courbe de traction cyclique de l’acier est typiquement décrite par une équation unique

en termes de relation contraintes-déformations comme suit :

RR

bb

1*

***

)1(

)1(

ε

εεσ+

−+= (2.60)

où )(

)(

0

*

r

r

εεεεε

−−= (2.61)

)(

)(

0

*

r

r

σσσσσ

−−= (2.62)

et

ξξ+

−=2

10 a

aRR (2.63)

Le point (εr , σr) correspond aux coordonnés du dernier point où l’on a changé le sens de chargement. Le facteur b est défini comme le rapport Eh/E0 et R est un paramètre définissant la forme de transition de la branche de transition de la courbe (Figure 2.17). Ce paramètre permet une bonne représentation de l’effet « Bauschinger » et dépend de l’histoire des déformations. Les paramètres a1, a2 et R0 sont des paramètres qui doivent être obtenus

εy εu

Es

fy

εs

σs

81

expérimentalement. Cependant, les auteurs du modèle suggèrent un jeu de paramètres standard, à savoir: R0 = 20.0, a1= 18.5, et a2= 0.15.

Figure 2.17 : Comportement cyclique de l’acier (Menegotto et Pinto, 1973)

2 . 4 . 3 . 2 L o i u n i a x i a l e m o n o t o n e Le comportement de l’acier utilisé dans cette étude est celui de Menegotto et Pinto

(Menegotto et Pinto, 1973). Dans une version plus récente (Filippou et al., 1983 ; Filippou, 1996 ; Elmorsi al., 1998), le modèle permet de représenter le comportement uni-axial des armatures du béton armé sous chargement monotone. Il traduit en plus la non-linéarité en tenant compte des effets de l’écrouissage cinématique linéaire des barres. La courbe de chargement en traction monotone est décrite par trois zones successives : élasticité linéaire, courbe de raccordement et écrouissage (Figure 2.18). La limite élastique de l’acier utilisé est définie par fsty, avec un module tangent initial E0s. La courbe de la Figure 2.18 montre l’allure du comportement de l’acier. La relation contrainte-déformation est présentée sous forme de deux asymptotes de pente initiale E0s (module d’élasticité initial) et Eh=αE0s, respectivement (α est le paramètre d’écrouissage isotrope). La forme de la courbure de la courbe de raccordement entre les deux asymptotes (branche de transition de la Figure 2.18), est régie par le paramètre R, (constante sans dimension) dépendant des propriétés mécaniques de l’acier. Sa valeur est obtenue expérimentalement (R=20, Menegotto et Pinto,1973 ; Filippou, 1996 ; Elmorsi et al., 1998).

1ξ

2ξ

)( 2ξR

)( 1ξR

0R

Con

trai

nte,

σσ σσ (

MP

a)

Déformation, ε

82

Figure 2.18 : Comportement monotone de l’acier (Menegotto et Pinto, 1973)

2 .5 S t ra tég ie de réso lu t ion numér ique

Les algorithmes de résolution les plus utilisés, dans les codes de calcul par élément finis de type déplacements, sont des algorithmes incrémentaux et itératifs (lois non-linéaires), qui présentent parfois des difficultés de convergence liées aux formes des lois de comportement.

En général, la méthode de résolution d’un problème intégrant des matériaux au

comportement non-linéaire au niveau global, est effectuée par le calcul du champ de déplacements aux nœuds de la structure discrétisée par résolution d’un système d’équations algébriques (Bathe, 1996).

La modélisation par macro-élément et sous-éléments proposée en § 2.2, ainsi que les lois

de comportement décrites en § 2.4 ont été implantés dans le code éléments finis FedeasLab (Fillipou, 2004), avec une procédure d’assemblage direct de la matrice de rigidité des sous-éléments (Figure 2.19). Dans tous les calculs effectués, le schéma itératif d’équilibre statique utilisé est celui de la méthode de Newton-Raphson modifiée. Le programme ainsi modifié permet aujourd’hui d’aborder de manière exhaustive une large gamme de calculs et d’analyses des structures sous chargement statique et dynamique (Annexe A2).

Une stratégie de résolution numérique incrémentale itérative a été adoptée dans cette

étude (Clarke, 1990). Des itérations sont effectuées sur les composantes de charge et de déplacement pour obtenir l’équilibre statique pour une tolérance donnée tout en gardant constante la valeur d’une composante de déplacement choisi (dans notre cas, le déplacement latéral au sommet).

Il a été montré (Thomsen et Wallace, 1995, 2004) que cette stratégie de résolution permet

au modèle de bien reproduire les résultats expérimentaux en termes de déplacements inter-étages sur des spécimens de murs voiles soumis aux charges latérales de type déplacements imposés au sommet. Les détails de la procédure ainsi que d’autres stratégies de résolution numériques sont décrits dans les paragraphes suivants.

0

200

400

600

0 0.005 0.01 0.015 0.02

Déformation

Con

train

te (M

PA

)R

Menegottto et Pinto

E 0s

1

E h = αααα E 0s

1f sty

εεεε y

83

Figure 2.19 : Mur voile et les degrés de liberté du modèle

2 .5 .1 P rob lème no n - l i néa i r e qu as i - s ta t i qu e

La réponse quasi-statique est obtenue quand les charges ou les déplacements extérieurement imposés sont appliqués avec un taux de chargement suffisamment lent tels qu’ils n’induisent pas d’effets dynamiques. Une stratégie d’analyse capable de reproduire la réponse quasi-statique non-linéaire complète du modèle à plusieurs degrés de liberté, (y compris la charge et les points limites de déplacement dans le chemin statique de chargement), est souhaitable.

L’équation non-linéaire d’équilibre relative à la réponse quasi-statique peut être exprimée

par :

( )}{ }{ extFF =δint (2.64)

où {(Fint(δ)} est le vecteur force de résistance interne, fonction non-linéaire des déplacements nodaux du système, et {Fext} est le vecteur force, représentant le vecteur chargement extérieur appliqué aux degrés de liberté nodaux de la structure. Il convient de noter que dans le cas d’un système élastique linéaire, le problème statique se réduirait à l’équation linéaire suivante:

[ ] }{ }{ extFK =δ (2.65)

où [K] désigne la matrice de rigidité et {δ} le vecteur des déplacements nodaux. L’équation (2.64) est une équation algébrique non-linéaire en {δ} du fait de la relation non-linéaire entre le vecteur force interne {Fint} et le vecteur déplacement nodal {δ}.

4 3 2 1

Mur en BA et son modèle

4 5

6 k1 k2 kH … kn

1 2 3

13 14

15

k1 k2 kH … kn

11 12 10

84

2 .5 .2 App roche i n c rémen t a le i t é ra t i v e—Méthod e Newton -Rap hson

Une stratégie d’analyse incrémentale itérative est nécessaire pour résoudre l’équation algébrique non-linéaire du problème. L’équation non-linéaire peut être linéarisée par la méthode conventionnelle de Newton-Raphson, qui constitue la base de diverses stratégies itératives, et qui peut être résolue par itération sur un pas de charge jusqu’à ce que la convergence soit atteinte. La Figure 2.19 illustre un schéma de résolution par cette méthode.

L’équation incrémentale de l’équilibre est exprimée par :

( )}{ }{ extFF ∆=∆∆ δint (2.66)

où{∆Fint(∆δ)} est le vecteur d’incrément des forces internes du aux incréments des déplacements nodaux (∆δ), et {∆Fext} est le vecteur des incréments des forces extérieures.

L’équation (2.66) est linéarisée pour un pas de charge arbitraire i, tel que {δ} = { δ} i, exprimant l’équation de la première itération du pas de charge i, comme suit :

[ ] }{ }{ iexti FK ∆=∆δ1 (2.67)

où [K] est la matrice tangente du système au début du pas de charge, obtenue par différenciation de la fonctionnelle de la force de résistance non-linéaire :

[ ]id

FdK i δδδ ==

)(

)( int1 (2.68)

L’équation d’équilibre incrémentale linéarisée par la méthode de Newton-Raphson de la jème itération au pas de charge i peut être écrite comme suit :S

[ ] }{ }{ ji

ji

ji RK ∆=∆δ (2.69)

où

}{ }{ }{ 1int

1 −− ∆−∆=∆ j

i

ji

ji FRR (2.70)

Le terme {∆R} i j

représente le vecteur forces résiduelles (Figure 2.20) et le terme {∆Fint} ij-1

est l’incrément des forces de résistance internes pour l’itération, égale à la différence entre les deux vecteurs de force de résistance internes { Fint } i

j-1 - { Fint} ij-2 (Figure 2.21).

La résolution par itérations successives de l’équation (2.69) donne }{ jiδ∆ , la convergence

est atteinte en réduisant au minimum le vecteur des forces résiduelles à une valeur de tolérance appropriée. Le vecteur déplacement nodal incrémental résultant pour le pas de charge i peut être calculé par :

}{ }{ }{ }{ liiii δδδδ ∆++∆+∆=∆ ...........21 (2.71)

où 1 est le nombre d’itérations nécessaire pour la convergence. La procédure continue pour les pas de charges qui suivent.

85

Figure 2.20 : Procédure de la méthode itérative de Newton-Raphson

Figure 2.21 : Déplacements nodaux et incréments de la force de résistance interne Bien que la méthode de Newton-Raphson soit généralement rapide et efficace permettant

ainsi la linéarisation de l’équation d’équilibre pour obtenir une solution itérative, cette méthode faisant intervenir un chargement fixe (constant), ne permet pas d’obtenir une solution aux points limites tels que les " pics ", les points de retournement ou de bifurcation (« snap-through ou snap-back »), dans le chemin charge-déplacement quasi-statique du système (Figure 2.22). Pour cela, et afin de fournir une base solide d’une stratégie itérative plus performante, nous faisons appel à d’autres méthodes décrites dans le sous-paragraphe suivant. Les plus connues ont été développées initialement par Riks (1972 et 1979) et Crisfield (1991), pour la résolution par la méthode des éléments finis des problèmes intégrant des comportements avec " pic " et d’obtenir une solution après le " pic ".

86

Figure 2.22 : Points limites dans le chemin charge-déplacement quasi-statique du système

Pour les approches d’analyse non-linéaires incrémentales, le dépassement des points

limites de charge est extrêmement difficile en raison de la nature quasiment singulière de la matrice de rigidité au voisinage d’un point limite de charge (Mounajed et al., 2001). Des itérations devraient être effectuées sur les charges appliquées aussi bien que les déplacements nodaux en introduisant des équations de contrainte dans la stratégie de résolution pour poursuivre la procédure au delà d’un point limite de charge. Plusieurs techniques ont été proposées à cette fin, la plus connue étant la méthode appelée " itération à une longueur d’arc linéarisée " (Riks, 1979).

La technique de résolution itérative qui a été utilisée dans cette étude est une adaptation

de la " méthode de longueur d’arc ", avec une stratégie itérative de type déplacement-contrôlé, basée sur l’incrémentation des composantes choisies de déplacement du modèle (Clarke et al., 1990 ; Graham, 2003 ; Lee et al., 2006). La composante choisie de déplacement à incrémenter dans l’analyse non-linéaire est le déplacement horizontal en tête du mur voile. Les détails de la méthode itérative sont présentés dans les paragraphes qui suivent.

2 .5 .3 S t ra t ég i e d e rés o lu t i on app l i qu ée

Une stratégie de résolution numérique incrémentale-itérative de type déplacement-contrôlé a été adoptée et mise en œuvre, en utilisant la modélisation simplifiée par macro-élément pour l’analyse non-linéaire des murs voiles en béton armé. Les lois de comportement des matériaux sont intégrées pour déterminer la réponse non-linéaire globale satisfaisant les deux conditions d’équilibre structurel et les relations force-déplacement à chaque pas de charge. La méthode de résolution décrite est basée sur une approche de Newton-Raphson modifiée, telle que, la matrice de rigidité est calculée au début du pas de chargement et maintenue constante pendant l’itération.

Déplacement

Cha

rge

Point limite de charge

Point limite de charge

87

Dans la méthode incrémentale-itérative, chaque pas de charge comprend l’application d’un incrément de charge externe suivi par des itérations successives requises pour atteindre l’équilibre satisfaisant une tolérance spécifique donnée. Dans ce contexte, la notation adoptée doit utiliser l’indice i pour désigner le pas de charge et l’indice j pour désigner l’itération (dans chaque pas de charge i). Les cycles d’itération commencent à j = 1, correspondant à l’incrément de charge externe. Les itérations d’équilibre débutent à j = 2. Le scalaire λ qui représente le facteur de charge externe imposé (fixe) pour toutes les itérations de calcul, (facteur de proportionnalité), et {δ} est le vecteur des déplacements nodaux rapporté aux degrés de liberté du modèle. Il existe deux stratégies distinctes requises pour réaliser un simple pas de charge dans une telle procédure incrémentale-itérative :

1. Choix d’un incrément de charge externe approprié ∆λi1 pour le premier cycle

d’itération, désigné comme " l’incrément de charge initial ", déterminé par une stratégie particulière appelée " la stratégie d’incrémentation de charge ".

2. Choix d’une " stratégie itérative " appropriée utilisée dans les cycles itératifs qui suivent (j ≥ 2) dont le but est de restaurer l’équilibre aussi rapidement que possible. Si des itérations sont effectuées sur le paramètre de charge ∆λi

j aussi bien que sur les déplacements nodaux {δ} i

j, une équation nécessaire additionnelle impliquant ∆λi

j est alors exigé. C’est la forme de cette équation additionnelle qui distingue les stratégies d’itération.

Une description de la technique incrémentale-itérative pour le pas de charge i est présentée dans les sous-sections suivantes. L’on suppose que la convergence parfaite a été atteinte au pas de charge (i-1) de sorte que la solution (λ i−1, {δ} i−1 ) est connue pour satisfaire l’équilibre total (Figure 2.22).

2 . 5 . 3 . 1 P r e m i e r c yc l e d ’ i t é r a t i o n , j = 1

Le nouveau pas de charge commence par le calcul de la matrice de rigidité [KI ] i basée sur les déplacements (déformations) et les charges (contraintes) connus à la fin du pas de charge précédent. Les déplacements {δI} i pour ce pas de charge est alors solution de l’équation suivante :

[ ] }{ }{ iIiIiI FK =δ (2.72)

dans laquelle {FI} i est le vecteur charge externe de référence. La valeur des déplacements tangents est arbitraire, par contre leur direction est importante. La valeur de l’incrément de charge initial ∆λi

1 est déterminé selon une stratégie particulière d’incrémentation de charge, désignée dans cette étude par " l’incrémentation d’une composante de déplacement choisie ". Les incréments de déplacements sont alors évalués par :

}{ }{ iIiiI δλδ 11 ∆=∆ (2.73)

Les déplacements totaux et le niveau de charge sont actualisés à partir de ceux calculés à la fin du pas de charge précédent (Figure 2.23) comme suit:

}{ }{ }{ 11

1iii δδδ ∆+= − (2.74)

88

11

1iii λλλ ∆+= − (2.75)

A ce stade, si la solution ne satisfaite pas l’équilibre total pour la tolérance souhaitée, alors des cycles itératifs additionnels sont nécessaires pour rétablir l’équilibre.

Figure 2.23 : Processus adaptatif d’analyse non-linéaire d’un système à 1 seul degré de liberté

2 . 5 . 3 . 2 C yc l e s d ’ i t é r a t i o n d ’ é q u i l i b r e , j ≥ 2

Les stratégies itératives habituelles de Newton-Raphson ou de Newton-Raphson modifiée sont incapables de passer des points limites parce que le niveau de charge est maintenu constant pendant les cycles d’itérations jusqu’à la convergence ; donc le paramètre de charge ∆λ

ij doit être changé si des points limites doivent être dépassés. En utilisant un paramètre de

charge variable, une technique générale de solution est possible si l’on suppose que pour n’importe quelle itération j ≥≥≥≥ 2 pour le pas de charge i, la variation des incréments de déplacements peut être exprimée par :

Par

amèt

re d

e ch

arge

, λλ λλ

Déplacement, δδδδ

89

[ ] }{ }{ }{ 1−Ψ−∆=∆ jiiI

ji

jiiI FK λδ (2.76)

où

}{ }{ }{ 11int

1 −−− −=Ψ j

iextj

ij

i FF (2.77)

L’équation (2.77) représente la force interne déséquilibrée (ou " résiduelle ") agissant sur

la structure à la fin de l’itération précédente. Le vecteur {Fint} ij−1 représente les forces nodales

internes obtenues à l’équilibre (forces dans les sous-éléments uniaxiaux et le ressort horizontal dans le macro-élément étudié). Pour un chargement proportionnel, les forces externes {Fext} i

j -1 à la fin de l’itération précédente peuvent être exprimées par :

}{ }{ iI

ji

j

iext FF 11 −− = λ (2.78)

Le côté droit de l’équation (2.76) est linéaire en ∆λij; ainsi la solution finale peut être

obtenue par une combinaison linéaire de deux vecteurs :

}{ }{ }{ j

iRiIjii δδλδ ∆+∆=∆ 1 (2.79)

dans laquelle {δI } i sont les déplacements déjà calculés pour j = 1, et {∆δR} i

j sont les déplacements " résiduels " (Figure 2.24) obtenus à partir de l’équation (2.80) :

[ ] }{ }{ 1−Ψ−=∆ ji

j

iRiIK δ (2.80)

La variation du paramètre ∆λi

j est obtenue en résolvant l’équation de condition appropriée, comme décrit dans la section suivante. Le changement de l’incrément des déplacements nodaux pour cette itération est calculé en utilisant l’équation (2.79), et les déplacements totaux ainsi que le niveau de charge sont actualisés à partir de l’itération précédente (figure 2.21) comme suit :

}{ }{ }{ j

iji

ji δδδ ∆+= −1

(2.81)

ji

ji

ji λλλ ∆+= −1

(2.82)

Des cycles d’itération sont poursuivis jusqu’à ce qu’un critère de convergence basé sur

les forces ou les déplacements de la structure soit établi. Si la convergence n’est pas atteinte pour un nombre de cycles donné, ou si la divergence de la solution est détectée, une autre stratégie de résolution peut être adoptée. Le critère de convergence et le processus de la résolution utilisé dans cette étude, sont décrits dans la section suivante.

90

Figure 2.24 : Processus itératif et déplacements résiduels

2 . 5 . 3 . 3 S t r a t é g i e d ’ i n c r é m e n t a t i o n d e l a c o m p o s a n t e d e

d é p l a c e m e n t c h o i s i e

Une stratégie d’analyse non-linéaire incrémentale basée sur une composante de

déplacement choisie est adoptée. L’incrément initial de chaque pas de charge est choisi pour déterminer un déplacement "clé" spécifique δn (dans cette étude, δn étant le déplacement latéral en tête de la structure de mur voile). Si l’on suppose que la convergence parfaite est réalisée à la fin du pas de charge précédent, l’incrément de déplacement cible (∆δn)i peut être exprimé par:

}{ }{ }{ iIT

niin b δλδ 1∆=∆ (2.83)

dans laquelle {bn} est un vecteur contenant des valeurs unité dans le nième rang et zéro ailleurs. Par conséquent,

( )}{ }{ iI

T

in

ini

b δδ

λ∆

=∆ 1

(2.84)

Par

amèt

re d

e ch

arge

, λλ λλ

Déplacement, δδδδ

91

2 . 5 . 3 . 4 S t r a t é g i e I t é r a t i v e : I t é r a t i o n e n d é p l a c e m en t c o n s t a n t

La stratégie d’itération en déplacement constant décrite ici est une version plus générale

de la technique présentée par Powell et Simons (1981). La méthode a été adoptée dans cette étude afin d’effectuer une analyse en déplacement-contrôlé qui donne satisfaction au-delà des points limites de charge, définis comme points de réduction de charge dans le chemin statique d’une structure (Figure 2.22).

Dans la première itération (j = 1), la composante " clé " de déplacement dans la structure

(δn dans ce cas) est incrémentée par une quantité imposée comme décrit dans la section précédente. Cette composante de déplacement est maintenue constante durant les itérations suivantes (j ≥ 2). Si on désigne la composante " clé " de déplacement δn par la nième

composante dans le vecteur des degrés de liberté nodaux, l’incrément en δn peut être exprimée par :

}{ }{ j

iRT

nn b δδ ∆=∆ (2.85)

A partir de l’équation (2.74),

}{ }{ }{ }{ j

iRT

niIT

njin bb δδλδ ∆+∆=∆ (2.86)

Si la valeur de δn doit rester inchangée durant les équations d’équilibre (déplacement

constant), alors ∆δn = 0, produisant ainsi un changement itératif du paramètre de charge :

}{ ( )}{ }{ iI

Tn

j

iRT

nji

b

b

δδ

λ∆−

=∆ (2.87)

2 . 5 . 3 . 5 C r i t è r e s d e c o n v e r g e n c e e t s t r a t é g i e d e r é so l u t i o n

Dans l’analyse, des cycles d’itération continuent jusqu’à ce qu’un critère de convergence

basé sur des déplacements de la structure soit satisfait à la fin de chaque pas de charge. Si la convergence n’est pas atteinte dans un nombre déterminé de cycles, une autre stratégie de résolution pour ce pas de charge est recommandée.

Un critère de convergence basé sur les déplacements incrémentaux est utilisé. En règle générale, la convergence est donnée par :

k

k

k δδε ∆

=∞

max (2.88)

où ∆δk est le changement de la composante de déplacement k pendant le cycle d’itération courant et δk est la valeur de laquelle la composante de déplacement est actualisée à la fin de l’itération précédente. La convergence est atteinte quand :

92

cζε p∞

(2.89)

où la tolérance ζc est typiquement comprise entre 10-2 à 10-6 selon la précision désirée. Dans la technique décrite ci-dessus, une stratégie de résolution est nécessaire si la convergence n’est pas atteinte à chaque pas de charge durant les cycles itératifs correspondants ou si la solution semble diverger. Une augmentation brusque de la rigidité dans un simple pas de charge est la raison la plus fréquemment constatée de la non-convergence du modèle. La résolution est possible en récupérant le pas de charge précédemment convergé au niveau du déplacement {δ} i-1, et en commençant le nouveau pas de charge avec la matrice de rigidité initiale du premier pas de charge. Si la convergence n’est pas toujours atteinte dans le nombre d’itérations indiquées, la valeur de l’incrément de déplacement imposé ∆δn est changée (habituellement elle est diminuée), et l’étape courante est répétée jusqu’ à trouver un incrément conforme à l’histoire de déplacement appliqué et qui satisfait la convergence requise.

2 .5 .4 Co nc l us ion

Dans ce chapitre et après une synthèse bibliographique sur les différents modèles existant dans la littérature et leur utilisation pour reproduire le comportement non-linéaire de structures constituées de murs voiles en béton armé, nous avons présenté les développements théoriques d’une stratégie de modélisation simplifiées 2D, basée sur le concept des macro-éléments.

Nous avons présenté aussi les lois rhéologiques des modèles que nous avons mis en œuvre dans les calculs montrés plus loin, ainsi que les algorithmes de résolution employés. La plupart des modèles de matériaux proposés ont été développés et implantés dans le code éléments finis FedeasLab (Filippou et Constandines, 2004). Dans la suite de ce travail, le modèle d’endommagement développé par Chang et Mander pour le béton, et le modèle élasto-plastique simplifié de Menegotto et Pinto (basé sur la théorie de plasticité) pour l’acier, vont être utilisés pour la simulation numérique du comportement non-linéaire des voiles en béton armé soumises à des charges latérales. Nous allons montrer l’aptitude de la méthode à prédire la réponse globale en termes de variables globales (forces et déplacements), ainsi que ses limites d’application pour ce type de structure.

93

CHAPITRE 3

QUALIFICATION DU MODELE, LIMITE DE

VALIDITE, ET ETUDE PARAMETRIQUE ET DE

SENSIBILITE

94

95

C h a p i t r e 3

Qua l i f i ca t i on du modè le , l im i t e de va l i d i t é , e t

é tude pa ramé t r i que e t de sens ib i l i t é

3 . 1 I n t r o d u c t i o n

L’analyse du comportement non-linéaire des murs voiles en béton armé exige une approche de modélisation fiable et robuste qui tient compte de plusieurs paramètres importants de matériau et de géométrie. Elle peut être effectuée en utilisant un modèle éléments finis, soit à l’échelle microscopique basée sur une interprétation détaillée du comportement local, soit en utilisant un modèle macroscopique simplifié traduisant le comportement non-linéaire global de la structure en termes de variables globales, soit en faisant appel à des approches intermédiaires de type éléments couches ou éléments poutre multifibre (forces et déplacements). Les travaux présentés dans ce mémoire se situent au niveau global avec une discrétisation semi - globale. Plus spécifiquement, pour étudier le comportement des structures porteuses constituées de murs voiles en béton armé, et afin de décrire leur comportement et d’obtenir ainsi leur capacité résistante vis-à-vis des forces latérales, nous adoptons la modélisation simplifiée en macro-élément proposée au chapitre précédent. Comme pour les chargements sismiques, les calculs temporels sont complexes et couteux en temps de calcul et d’analyse, ils sont réservés à des situations particulières peu fréquentes. Les calculs statiques en poussée progressive (ou « Pushover ») représentent une alternative très intéressante. L’analyse par cette méthode est largement répandue à travers le monde où elle est admise par un certain nombre de règlements parasismiques.

La méthode consiste en première étape à déterminer et reproduire le comportement global

du mur voile, modélisé par une courbe de capacité reliant le chargement (l’effort tranchant à la base) au déplacement, par exemple du toit de la structure. On peut la relier aux courbes contraintes-déformations en ingénierie des matériaux, mais le système modélisé est ici plus complexe et cette courbe est une simplification radicale de la réalité. Les mesures sur table vibrante sont également représentées sous la forme de courbes de capacité et permettent de valider les capacités de prédiction du modèle numérique. Les lois de comportement des matériaux sont basées sur la théorie de la plasticité. Le macro-élément défini et les lois de comportement ont été introduits dans FedeasLab (Filippou et Constandines, 2004), un code élément finis développé dans Matlab. Nous présentons en détail ci-dessous les caractéristiques géométriques et mécaniques de la structure, le maillage (ou discrétisation), les paramètres matériaux ainsi que les résultats du modèle numérique comparés aux résultats expérimentaux. Nous montrons par ailleurs que la modélisation effectuée permet de décrire de manière assez précise le comportement expérimental de la structure.

96

Grâce à sa simplicité de formulation, son utilisation rapide et par le fait qu’il prend en compte bon nombre de paramètres tout en étant très peu coûteux en temps de calcul, le macro-élément va nous permettre de faire, dans cette deuxième étape, des études paramétriques. Nous présentons ci-après trois (3) études spécifiques. La première se rapporte à l’influence du maillage (ou discrétisation) sur le comportement du mur voile et d’identifier la sensibilité des résultats aux changements des paramètres liés au modèle, la seconde à l’influence des caractéristiques mécaniques du matériau, la troisième enfin se rapporte à une comparaison non exhaustive de l’effet du niveau de chargement axial sur le comportement global. Les résultats sont présentés sous forme de graphiques illustrant la relation entre l’effort tranchant à la base et le déplacement au sommet de la structure.

Ce travail se veut le plus pragmatique possible. Nous espérons fournir à l’ingénieur des

réponses à des questions auxquelles il n’a généralement pas le temps de répondre lorsqu’il doit aborder un problème concret de conception.

Une dernière étape consiste à établir, à partir de la définition d’un indicateur global de

dégradation, une carte reproduisant l’évolution de la dégradation (défaillance) et la position des zones d’endommagement dans le mur voile sous l’action des forces latérales à une échelle plus fine. Nous allons montrer que l’approche par macro-éléments et sous éléments permet aussi de suivre la perte de rigidité de chaque macro-élément et d’étudier l’évolution de la dégradation de la rigidité des sous-éléments uniaxiaux au cours de chargement.

3 . 2 E v a l u a t i o n d e l a r é p o n s e g l o b a l e e t q u a l i f i c a t io n d u m o d è l e

La modélisation en macro-élément et sous-éléments proposée au chapitre 2 et les relations

matérielles décrites en § 2.4 ainsi que la stratégie de résolution incrémentale itérative décrite en § 2.4, ont été mis en application dans un programme éléments finis formulé en Matlab (MathWorks, 2007) afin d’effectuer des analyses statiques non-linéaires en poussée progressive (« pushover ») du modèle analytique de mur voile. Les caractéristiques de la réponse et de la sensibilité du modèle aux paramètres liés au modèle et au matériau sont présentées ici.

3 . 2 . 1 A n a l ys e e n p o u s s é e p r o g r e s s i v e ( « p u s h o v e r » )

Le terme d’analyse (« pushover ») ou poussée progressive est une appellation moderne de l’analyse bien connue de l’« effondrement » qui est basée sur l’analyse plastique classique des structures. Cependant, à la différence de l’analyse plastique où la résistance ultime (précisément pour les charges verticales) est de grand intérêt, l’analyse pushover vise à caractériser la résistance latérale aussi bien que les déformations locales dans la structure. Freeman (Freeman, 1975) a initialement utilisé l’analyse pushover dans sa méthode de spectre de capacité (« Capacity Spectrum Method », CSM) développée par la suite. Sasaki et al. (1998) reconduisent l’approche de base (CSM) pour tenir compte des effets des modes les plus élevés. Des modèles de charges latérales basés sur une analyse modale ont été employés pour reproduire une série de courbes pushover.

L’analyse (« Pushover ») est une procédure statique non-linéaire dans laquelle les charges, purement horizontales dans la structure, sont incrémentées suivant un certain schéma prédéfini (semblable à celui des déplacements du mode fondamental de vibration)

97

jusqu’à l’atteinte d’un état d’endommagement plastique considéré comme représentant la limite de ce qui est acceptable pour la sécurité. Le terme (« pushover ») provient de ce que le fondement de la méthode consiste à établir une courbe effort-déplacement unique pour caractériser le comportement de la structure en "poussant" dessus, de plus en plus intensément, jusqu’à ce qu’elle atteigne son déplacement maximal (Chopra et al., 2002 ; Betbeder-Matibet, 2003). La Figure 3.1 montre sous forme graphique la procédure de calcul par cette analyse. La charge latérale (effort tranchant à la base) est représentée en fonction du déplacement (généralement au niveau du sommet). Cette courbe indique donc le comportement de la structure face à n’importe quelle sollicitation horizontale, indépendamment de son intensité. Bien évidemment, le déplacement de la structure augmente avec la force, jusqu’au moment ou celle-ci perd complètement sa capacité de résistance. Ainsi, plusieurs niveaux d’endommagement (I, II, III, IV) peuvent être distingués à travers cette représentation graphique (Figure 3.1). Le premier niveau (niveau I) correspond au comportement élastique de la structure et représente le niveau de conception habituel. Il indique par conséquent un état d’endommagement superficiel (ou bien l’absence d’endommagement). Le deuxième niveau d’endommagement (niveau II) correspond à un niveau de dommage contrôlé. La stabilité de la structure n’est pas en danger, mais un endommagement mineur est susceptible de se développer. Le troisième niveau représente un état d’endommagement avancé, caractérisant une sécurité réduite de la structure, sa stabilité étant en danger. Au delà de ce niveau, la structure, fortement dégradée est susceptible d’atteindre sa ruine (niveau IV).

Figure 3.1 : Signification physique de la courbe Pushover

Cette procédure servira par la suite, d’une part pour l’analyse du comportement non-

linéaire parasismique (chapitre 4) et d’autre part pour le calcul de la probabilité d’endommagement associée à différents niveaux de dommages à travers l’établissement des courbes d’endommagement (ou courbes de fragilité) des structures constituées de murs voiles soumis à une action sismique (chapitre 5).

L’objectif de l’analyse pushover est d’évaluer la performance de la structure à travers

l’estimation des efforts et des déplacements susceptibles d’être atteints sous l’action d’un séisme. Il y a plusieurs critères qui affectent la précision de l’analyse, dont le déplacement cible et le choix de la forme du chargement latéral qui sont basés sur des suppositions très restrictives. Le paragraphe suivant illustre ce constat.

ut

Vb

Cha

rgem

ent

Sol

licita

tion

Déplacement au sommet

Vb

ut

I II III IV

98

i ) E f f e t s d e s h yp o t h è s e s : d é p l a c e m e n t c i b l e

Dans l’analyse Pushover, le déplacement cible de la structure est déterminé à partir du déplacement d’un système à un seul degré de liberté équivalent en utilisant l’équation (4.6) qui sera présentée au chapitre 4. Ce déplacement indépendant du temps, est contrôlé par un seul mode de vibration sans tenir compte de la contribution des effets des modes supérieurs.

Certaines études (Fajfar, 2000 ; Chopra et al., 2002 ; Kunnath, 2004) ont montré que pour

des structures en portiques et en voiles qui ont une période fondamentale comprise entre (0,25 et 0,8 s), cette analyse donne de bons résultats. Cependant, elle ne peut pas être utilisée pour des structures ayant une longue période de vibration.

Une possibilité pratique pour pallier partiellement les limitations en partie imposée par

l’analyse pushover, est de supposer deux ou trois formes différentes de déplacements (modèles des charges), et ensuite de prendre l’enveloppe des résultats, ou d’utiliser la distribution adaptative des forces qui tentent de suivre au plus près la distribution des forces d’inertie qui varient avec le temps (Kalkan et al., 2006).

Beaucoup de méthodes ont été proposées pour appliquer la procédure statique non-linéaire

(NSP) aux structures. On peut citer à titre d’exemples : la méthode de capacité spectrale (CSM) de l’ATC-40 ; la méthode de coefficient du déplacement (MCD) adoptée par le FEMA-273 ; analyse modale pushover (AMP), etc.

En général, le déplacement inélastique du système équivalent est calculé en convertissant la courbe pushover de la structure en courbe force-déplacement du système équivalent et en estimant la valeur du facteur de réduction Rµ. Une fois ce facteur connu, le déplacement du système à un seul degré de liberté est déterminé à partir d’une analyse spectrale.

i i ) E f f e t s d e s h yp o t h è s e s : c h a r g e m e n t l a t é r a l

La sélection du mode de chargement (incrémental) est un des aspects les plus critiques de

la méthode, car ce mode de chargement est censé représenter la distribution des forces d’inertie dans le calcul sismique. Ces forces varient en fonction de la sévérité du séisme (déplacements inélastiques induits), mais dans cette analyse, l’hypothèse de base est que la forme de la distribution des forces latérales doit être invariante (pendant le séisme), et que les déformations obtenues doivent être comparables avec celles données par un calcul dynamique.

Ces hypothèses peuvent être raisonnables si la réponse de la structure n’est pas trop influencée par la contribution des modes supérieurs. Ceci dit, si la structure présente un unique mode de défaillance qui peut être identifié avec une distribution des forces constantes, le choix d’une distribution unique est suffisant. Cependant, l’emploi d’une distribution unique des forces ne peut pas représenter les variations locales des déplacements requis ni prévoir tout mécanisme de défaillance locale.

Il est recommandé (Fajfar, 2000 ; Chopra et al., 2002 ; Kunnath, 2004) d’utiliser au moins deux distributions des forces :

• distribution uniforme c’est-à-dire que la force à chaque niveau est proportionnelle à

la masse de ce niveau (Sj = mj),

99

• distribution modale qui est proportionnelle aux forces latérales qui sont consistantes

avec la distribution des forces latérales déterminée lors de l’analyse élastique. Elle doit être une des distributions suivantes :

1. distribution de mode fondamental : Sj = mj φ j1 ou mj est la masse et φj1 est la

valeur du mode propre au niveau j ;

2. force latérale équivalente : SJ = m j hkj ou hj est la hauteur d’étage j à partir

de la base, et k=1 si la période fondamentale T1≤ 0,5s, k=2 si T1≤ 2.5s, et varie linéairement entre eux ;

3. distribution des forces latérales proportionnelle aux forces d’inerties des

étages et compatible avec la distribution des efforts tranchants dans ces étages. Elle est déterminée par une analyse spectrale de la structure basée sur la combinaison modale SRSS (racine carrée de la somme des carrées), avec un nombre suffisant de modes pour avoir 90% de la masse totale.

4. distribution modale : Sm

mS

jj

jjJ ∑

=1

1

φφ

et qui doit être utilisée si plus que

75% de la masse totale participe au mode fondamental dans la direction prise en considération. Sj est la force latérale à l’étage j, mj est la masse de l’étage j, φ1j est l’amplitude du mode fondamentale au niveau j, et S est l’effort tranchant à la base.

La question du choix du mode de chargement représente le point de faiblesse ou (limite) de

l’analyse pushover, car l’utilisation d’une forme invariante de chargement peut conduire à des résultats erronés, en particulier pour les structures à longues périodes de vibration.

3 . 2 . 2 V a l i d a t i o n d e l a m o d é l i s a t i o n p r o p o s é e

Dans le but de valider la stratégie de modélisation proposée, le macro-élément décrit en § 2, a été mis en application dans un programme éléments finis, avec une procédure d’assemblage direct de la matrice de rigidité des sous-éléments. Une stratégie de résolution numérique incrémentale itérative décrite en § 2.4, a été adoptée dans cette étude. Des itérations sont effectuées sur les composantes de charge et de déplacement pour obtenir l’équilibre statique pour une tolérance donnée (égale à 10-5) tout en gardant constante la valeur d’une composante de déplacement choisie (dans notre cas, le déplacement latéral au sommet).

Une comparaison des résultats numériques du modèle obtenus par l’analyse ("pushover") avec les résultats des essais réalisés par Thomsen et Wallace, 1995, sur des spécimens de murs voiles en béton armé, a été conduite. Le mur voile testé (selon Orakcal et al., 2004) est issu d’un bâtiment prototype (à l’échelle 1/4) conçu suivant le code américain UBC (UBC, 1997) ; sa forme géométrique est de section rectangulaire, de hauteur 3,66m, d’épaisseur 0,102m et de largeur 1,22m. Il est composé de 8 macro-éléments (N=8), chaque macro-élément possède huit sous-éléments uniaxiaux (n=8) répartis sur la largeur. Une valeur de 0,4 a été choisie pour le paramètre c définissant le centre de rotation au niveau de chaque macro-élément, valeur recommandée par Vulcano et al. (Vulcano et al., 1988) suite à des travaux relatifs à la comparaison de la réponse de leur modèle et des résultats expérimentaux. La

100

Figure 3.2 montre les caractéristiques géométriques et le ferraillage de la section droite du mur voile.

Figure 3.2 : Dimensionnement et ferraillage de la section droite du mur voile

L’instrumentation utilisée pour effectuer des mesures globales et locales comporte des

potentiomètres, des LVDT, et des jauges de déformations. Une série de sept LVDT ont été installées à la base du spécimen afin de permettre le calcul de la courbure dans la zone où la rotule plastique était susceptible de se former. Les jauges de déformations servent à mesurer les déformations dans le béton et dans les armatures. Leurs positions sont montrées ci-dessous à la figure 3.3.

L’ouvrage a été sollicité cycliquement en tête. Les niveaux de sollicitations imposées (en

termes de déplacements inter-étages) étaient de 0,25 ; 0,5 ; 0,75 ; 1 ; 1,5 ; 2 ; et 2,5 %. Une charge axiale verticale de Pax = 0.07Ag fbc a été maintenue constante pour la durée de l’essai (où Ag correspond à l’aire totale de la section droite du mur voile et fbc à la résistance à la compression du béton).

Figure 3.3 : Instrumentation et protocole expérimental sur le spécimen testé (Wallace, 2004)

102mm

φ=9.53/51mm φ=6.35/191mm cadres (φ=4.76/76mm) (8 barres)

1220mm

19mm 170mm 38.5mm 4x190mm 38.5mm 170mm

k1 k2 k3 k4 k5 k6 k7 k8

Sous-éléments: 1 2 3 4 5 6 7 8

64mm 19mm

19mm

3660 mm

1220mm

102 mm

Pax = 0.07Ag fbc

Plat, ut

101

Figure 3.3 (suite) : Instrumentation et protocole expérimental sur le spécimen testé (Wallace, 2004)

Nous avons choisi le modèle développé par Chang et Mander (Chang et al., 1994) pour

simuler le comportement du béton, et le modèle de Menegotto et Pinto (Menegotto et Pinto, 1973) pour simuler le comportement de l’acier. Les deux figures 2.16 et 2.17 données au chapitre 2, montrent les courbes « contrainte-déformation » pour ces modèles. Nous rappelons dans le Tableau 3.1 les différents paramètres caractérisant leur comportement.

Tableau 3.1 : Paramètres définissant le comportement des matériaux béton-acier

Matériau Paramètre

fbc ( MPa) 38 εbc 0.0025 Ec (MPa) 30000 fbcu (MPa) 3.83 fbt (MPa) 2.1

Béton

εt 2.5x10-4 E0 (MPa) 200000 fsty (MPa) 434 α 0.02

Acier

R 20

Dans cette étude où l’on s’intéresse au comportement en flexion des murs voiles, une relation effort-déplacement linéaire a été retenue pour le ressort horizontal. La rigidité initiale de cisaillement est calculée à partir de la relation (2.13) du chapitre 2.

Les résultats numériques obtenus en terme d’effort tranchant à la base – déplacement au

sommet sont comparés au comportement global expérimentalement observé sur le spécimen de mur voile (Orakcal et al., 2004).

Le modèle numérique capture convenablement la réponse due au chargement appliqué

(courbe enveloppe de la Figure 3.4), en particulier dans la phase élastique (rigidité initiale) et

Potentiomètres (Déplacement horizontal)

Potentiomètres (Forme en x)

Potentiomètres (Déplacement vertical)

Jauges de déformations (Aciers)

Jauges de déformations (Béton)

Potentiomètres linéaires Mouvement de piédestal

Portique métallique rigide

102

dans la phase plastique. Cependant, le modèle sous-estime légèrement la rigidité et la résistance du mur voile pour des déplacements compris entre (15 et 30 mm), correspondant à la phase de plastification de la section. Une légère surestimation de la rigidité est constatée pour des déplacements compris entre (7 et 15mm). De ces comparaisons, il convient de noter une bonne prédiction du comportement global. Le modèle s’est avéré efficace et fournit une approche souple et fiable pour l’analyse non-linéaire des murs voiles.

Figure 3.4 : Résultats analytiques et expérimentaux de la réponse du spécimen La Figure 3.5 montre une comparaison des déplacements latéraux du mur, pour différents

niveaux de déplacements inter-étages (déplacement en tête), mesurés par les potentiomètres horizontaux (Figure 3.3). Les résultats de l’analyse montrent que le modèle par macro-élément fournit une bonne prédiction du profil de déplacement latéral et de la distribution des déformations le long de la hauteur du mur voile.

Cycles des déplacements latéraux inter-étages

0

1

2

3

4

5

0 20 40 60 80

Déplacement latéral (mm)

Niv

eau

d'ét

age

Simulation Expérimentale

0,25% 0,5% 0,75% 1% 1,5% 2% 2,5%

Figure 3.5 : Profil de déplacement latéral du spécimen de mur voile

0

50

100

150

200

0 20 40 60 80 100

Déplacement horizontal au sommet (mm)

Réa

ctio

n à

la b

ase

(kN

) Expérimentale

Analytique

103

La Figure 3.6 illustre les déformations moyennes mesurées par les sept LVDT placés à la

base du mur voile (Figure 3.3). L’on peut observer que pour les trois niveaux de déplacements inter-étages sélectionnés (0,5% ; 1,0% et 2,0%), le modèle adopté prédit raisonnablement le profil des déformations de traction mais sous-estime de manière significative les déformations de compression. Ce constat peut être du d’une part, aux concentrations des contraintes induites à la jonction voile/socle au pied du mur voile en raison du changement brusque de la géométrie et d’autre part, de l’effet du cisaillement (non-linéaire) sur le spécimen de mur voile, par le fait que les mesures de déformations ont été effectuées au niveau du premier étage.

Nous pouvons donc conclure que les mesures ont été influencés par l’attachement des

capteurs LVDT d’une part, au spécimen, et d’autre part, aux blocs collés au mur voile (Figure 3.3). Néanmoins, la sous-estimation des déformations de compression n’a pas apparemment une influence significative sur la réponse globale du modèle durant l’histoire de chargement utilisé dans cette étude. (Figure 3.4)

-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

Largeur du mur (mm)

Déf

orm

atio

n

2.00%

2.00%

1.00%

1.00%

0.50%

0.50%

Simulation Expérimentale

Déplacement inter-étage (positif)

Figure 3.6 : Mesure des déformations par LVDT suivant la largeur du mur voile La Figure 3.7 compare les déformations longitudinales moyennes prévues au niveau de

chaque sous-élément (de 1 à 8) du macro-élément situé à la base (au pied du mur voile) dues aux charges latérales, illustrant ainsi l’effet du décalage de l’axe neutre (ou sa nouvelle position) sur les déformations attendues. L’on peut observer que l’évolution des déformations longitudinales des sous-éléments, fonction du déplacement au sommet du macro-élément étudié, ne sont pas symétriques par rapport à l’axe de déformations nulle ; et les déformations prévues au centre du mur (axe central) sont de la traction pour presque toute l’histoire de chargement, à l’exception d’une apparition de petits déplacements (dus à la présence de la charge axiale). On constate également que les sous-éléments de (1 à 7) sont tendus alors que le sous-élément (8) est comprimé. Ce qui indique clairement (Figure 3.7) que l’axe neutre s’est décalé pour se positionner entre le sous-élément (7 et 8).

104

La Figure 3.8 par contre, illustre une variation minime de la rigidité des sous-éléments pour un chargement compris entre (0 et 125 kN). Au-delà de cette valeur de chargement, on constate une forte dégradation relative de la rigidité pour les sous-éléments lointains de la nouvelle position de l’axe neutre et ces derniers se trouvent par conséquent en traction à l’exception du sous-élément 8.

0 5 10 15 20 25-0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

1

2

3

4

5

6

7

8

Déplacement au sommet ut (cm)

Déf

orm

atio

n Lo

ngiti

duna

le

Sous élément 1

Sous élément 2Sous élément 3Sous élément 4

Sous élément 5

Sous élément 6Sous élément 7

Sous élément 8

Section droite du mur voile

1 2 3 4 5 6 7 8

Axe Central

Traction

Compression

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8x 10

-3

Déplacement au sommet ut (cm)

Dé

form

atio

n L

ongi

tidun

ale

Sous élément 1

Sous élément 2Sous élément 3

Sous élément 4

Sous élément 5

Sous élément 6Sous élément 7

Sous élément 8

Figure 3.7 : Historique de la déformation longitudinale des sous-éléments en fonction du déplacement au sommet du voile (avec zoom)

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180-0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

1

2

3

4

5

6

7

8

Force au sommet

Déf

orm

atio

n Lo

ngiti

duna

le

Sous élément 1Sous élément 2Sous élément 3Sous élément 4

Sous élément 5Sous élément 6Sous élément 7Sous élément 8

Figure 3.8 : Historique de la déformation longitudinale des sous-éléments en fonction de la force au sommet du voile

105

La Figure 3.9 montre l’évolution des contraintes des sous-éléments (du macro-élément

situé à la base) en fonction du déplacement au sommet du mur voile. L’évolution de la rigidité de chaque sous-élément est marquée par trois étapes. Une première phase élastique où les pertes en rigidité sont considérées négligeables (béton non fissuré). Une deuxième phase post-élastique où la microfissuration du béton s’initie et tend à se propager parallèlement au chargement lors de son augmentation ; les premières fissures importantes du voile apparaissent entre 2.5 et 5.0 mm, traduisant une perte de rigidité qui mène à la rupture par fissuration parallèle à l’axe de chargement. Une dernière période de stabilisation à partir de 10 mm (début de la plastification des aciers). La perte importante de rigidité du sous-élément 7 (ente 5 et 25 mm) peut être expliquée par le fait que ce dernier est dépourvu de tout ferraillage (voir la Figure 3.2). On constate également que les sous-éléments de (1 à 7) sont tendus alors que le sous-élément (8) est comprimé (comportement élastique suivi par l’écrasement progressif du béton, avec plastification de l’acier). Une fois que le processus de fissuration commence, une redistribution des efforts se produit provoquant ainsi le décalage de l’axe neutre vers la partie comprimée, pour se positionner entre le sous-élément (7 et 8).

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2x 10

7

Déplacement au sommet (mm)

Con

train

te n

orm

ale

(MP

a)

Sous élément 1

Sous élément 2Sous élément 3

Sous élément 4

Sous élément 5Sous élément 6Sous élément 7

Sous élément 8

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2x 10

7

Déplacement au sommet (mm)

Con

train

te n

orm

ale

(MP

a)

Sous élément 1Sous élément 2

Sous élément 3Sous élément 4

Sous élément 5Sous élément 6

Sous élément 7Sous élément 8

Traction

Compression

Figure 3.9 : Evolution des contraintes des sous-éléments du macro-élément situé à la base en fonction du déplacement au sommet du voile

3 . 3 E t u d e p a r a m é t r i q u e e t d e s e n s i b i l i t é

On se concentre dans ce paragraphe sur une étude paramétrique, effectuée pour étudier l’influence des paramètres sur la réponse du modèle numérique, à savoir :

- des paramètres relatifs au modèle numérique : nombre de macro-éléments (N), nombre

des sous-éléments uniaxiaux dans chaque macro-élément (n) et le centre de rotation défini par le paramètre (c) ;

- des paramètres relatifs au type de chargement appliqué et aux lois de comportement des

matériaux (béton et acier). L’étude se termine par l’identification de la sensibilité des résultats aux changements de

ces paramètres. Les calculs sont conduits sur la même configuration géométrique qu’au § 3.3.

106

Afin de comprendre l’influence des paramètres importants lors de la conception de la

structure, de vérifier la robustesse de la conception en testant si les paramètres de conception sont influents et de comprendre comment la variation d’un paramètre influence le comportement de la structure, l’on effectue une étude paramétrique : si un paramètre est influent il faudra lui apporter une grande attention lors de la modélisation car une dérive de ce paramètre modifiera significativement le comportement de la structure, il faudra s’assurer aussi que son identification est correcte car l’erreur sur sa valeur provoque une erreur importante sur le résultat du calcul.

3 . 3 . 1 P a r a m è t r e s l i é s a u m o d è l e n u m é r i q u e Indépendamment des paramètres constitutifs des matériaux, les seuls paramètres liés au

modèle du mur voile sont : le nombre de macro-éléments (N) (Figure 3.10), le nombre des sous-éléments uniaxiaux (n) (Figure 3.11), et le paramètre (c) définissant la position du centre de rotation sur la hauteur de chaque macro-élément (Figure 2.1). La sensibilité de la réponse du mur voile aux variations de ces paramètres a été étudiée. On peut observer que la réponse globale (réaction à la base-déplacement au sommet) n’est pas très sensible au choix du nombre de macro-éléments ou du nombre de sous-éléments. La Figure 3.12 compare les réponses globales, en utilisant un modèle constitué respectivement, de 4, de 8 et de 16 macro-éléments (8 macro-éléments sont placés au premier niveau au pied du mur où les déformations anélastiques sont attendues, et le reste est réparti uniformément sur la hauteur du mur voile). Chaque macro-élément de ces trois modèles est composé de 8 sous-éléments uniaxiaux disposés sur la largeur du mur voile (N=4, n=8 ; N=8, n=8 ; N=16, n=8). La comparaison indique que l’augmentation du nombre de macro-éléments ou du nombre de sous-éléments n’affecte pas de manière significative la réponse globale prévue. Cependant, l’utilisation de plusieurs macro-éléments (discrétisation) est valable permet d’obtenir des informations plus détaillées sur le comportement local du mur voile (Fischinger et al., 1990).

L’utilisation d’un grand nombre de sous-éléments sur la largeur permet une discrétisation

plus fine de la section droite du mur voile (n=16). Les résultats obtenus ne sont pas très différents du modèle de "référence" (N=4, n=8). Le temps de calcul est cependant multiplié par 3.

Figure 3.10 : Discrétisation du mur voile en 4, 8 et 16 macro-éléments

1220 mm

915mm

915mm

915mm

915mm

457,5mm

457,5mm

457,5mm

457,5mm

457,5mm

457,5mm

457,5mm

457,5mm

1220 mm

8x50,83mm

406,67mm

406,67mm

406,67mm

406,67mm

406,67mm

406,67mm

406,67mm

406,67mm

1220 mm

107

Figure 3.11 : Discrétisation de la section droite du mur voile en 4, 8 et 16 sous-éléments

(a) Sensibilité de la réponse au nombre de macro-éléments

(b) Sensibilité de la réponse au nombre de sous-éléments uniaxiaux Figure 3.12 : Sensibilité de la réponse respectivement, au nombre de macro-éléments et de sous-éléments uniaxiaux

Nombre de sous-éléments ''n''

0

50

100

150

200

0 5 10 15 20 25

Déplacement horizontal au sommet (cm)

Réa

ctio

n à

la b

ase

(kN

)

n=4n=8n=16

N=4

Nombre de macro-éléments ''N''

0

50

100

150

200

0 5 10 15 20 25

Déplacement horizontal au sommet (cm)

Réa

ctio

n à

la b

ase

(kN

)

N=4N=8N=16

1 2 3 4 5 6 7 8

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 … 16

Sous-élément : 1 2 3 4

108

La sensibilité au paramètre (c) définissant la position du centre de rotation sur la hauteur de chaque macro-élément est illustrée sur la Figure 3.13 qui compare la réponse globale (charge latérale - déplacement au sommet) en utilisant un mur discrétisé en 4 macro-éléments (avec 8 sous-éléments uniaxiaux) pour des valeurs de c=0,2; 0,4 (recommandé par Vulcano et al., 1988) et une valeur extrême de c=0 (centre de rotation au pied de chaque macro-élément). On peut observer une légère variation de la résistance et de la rigidité du mur pour les deux modèles (c=0,2 et c=0,4).

L’augmentation des valeurs du paramètre c mène à des valeurs plus élevées de la

résistance et de la rigidité latérale mais également, au travers de la relation ∆ = θ.(1-c).h à la diminution des valeurs des rotations. Cette variation extrême du paramètre c n’influence pas, de manière significative, la forme caractéristique de la réponse globale prévue. On rappelle que la résistance du mur a été bien capturée en utilisant une valeur comprise ente (c=0,4 à 0.5) comme a été suggérée par Vulcano (Vulcano et al., 1988).

Figure 3.13 : Sensibilité de la réponse au paramètre (c) du centre de rotation 3 . 3 . 2 P a r a m è t r e s l i é s a u m a t é r i a u

Six paramètres " matériaux " ont été pris en considération dans l’analyse de sensibilité. Leur plage de variation est donnée dans le Tableau 3.2.

Afin d’identifier l’influence de la variation de ces paramètres sur le comportement du

mur voile, une étude de sensibilité a été menée en définissant les variables suivantes (Tableaux 3.3 et 3.4) :

∂X/X est la variation minimale (maximale) d’entrée (en %), définie pour chacun des six

paramètres. ∂Y/Y est la variation minimale (maximale) de sortie (en %), représentant la réponse

globale du modèle en termes d’effort tranchant à la base pour un déplacement au sommet (u) donné.

Centre de rotation ''c''

0

50

100

150

200

250

0 5 10 15 20 25

Déplacement horizontal au sommet (cm)

Réa

ctio

n à

la b

ase

(kN

)

c=0.4c=0.2c=0.0

N=4, n=8

109

Tableau 3.2 : Etude paramétrique – choix des paramètres.

Paramètres Désignation Valeurs

- - Min. Réf. (*) Max.

Ecrouissage α (%) 1 2 3

Limite élastique de l’acier fsty (MPa) 250 400 500

Résistance à la traction du béton fbt (MPa) 2 3 4

Résistance à la compression du béton fbc (MPa) 20 30 40

Module d’Young du béton Ec (GPa) 20 30 40

Résistance de rupture du béton fbcu (MPa) 2,5 5 7,5

(*) : Valeur de référence.

Dans cette étude on a opté pour le choix de deux valeurs de déplacement, respectivement,

de u=1cm (correspondant aux premiers pas de chargement, zone linéaire), et u=10cm (pour un pas de charge élevé sur la courbe pushover, zone plastique).

Une mesure de la sensibilité (s) du modèle, peut être définie par :

∂∂

=XX

YYs (3.1)

En examinant les deux Tableaux 3.3 et 3.4 ainsi que les Figures (3.14 et 3.15), on peut observer que la relation " charge latérale - déplacement au sommet " est, comme prévu, influencée par la variation des paramètres constitutifs du matériau béton et acier.

Tableau 3.3 : Etude de sensibilité des paramètres pour un déplacement de 1cm (s en %).

Paramètres (∂∂∂∂X/X)min (∂∂∂∂X/X)max (∂∂∂∂Y/Y)min (∂∂∂∂Y/Y)max smin smax

αααα (%) -50 +50 -0.04 +0.04 +0.08 +0.08

fsty -37,5 +25 -14,06 +2,60 +37,49 +10,40

fbt -33,33 +33,33 -11,46 +11,46 +34,38 +34,38

fbc -33,33 +33,33 -4,95 +4,17 +14,85 +12,51

Ec -33,33 +33,33 0 0 0 0

fbcu -50 +50 0 0 0 0

110

Tableau 3.4 : Etude de sensibilité des paramètres pour un déplacement de 10 cm (s en %).

Paramètres (∂∂∂∂X/X)min (∂∂∂∂X/X)max (∂∂∂∂Y/Y)min (∂∂∂∂Y/Y)max smin smax

αααα (%) -50 +50 -8,14 +7,96 +16,28 +15,92

fsty -37,5 +25 -20,93 +13,92 +55,81 +55,68

fbt -33,33 +33,33 -09,16 +09,45 +27,48 +28,35

fbc -33,33 +33,33 -14,34 -0,50 +43,02 -1,50

Ec -33,33 +33,33 0 0 0 0

fbcu -50 +50 0 0 0 0

La Figure 3.14.a illustre la sensibilité de la réponse du modèle aux différentes valeurs

choisies de la limite élastique fsty pour l’acier. Comme prévu, le choix d’une valeur plus élevée a comme conséquence une plus grande capacité du mur quant aux charges latérales appliquées. La figure 3.14.b montre la sensibilité de la réponse du modèle à l’écrouissage α de l’acier. Le choix d’une plus grande valeur du cœfficient d’écrouissage apporte une plus grande rigidité post-élastique latérale du mur, et ainsi une plus grande capacité de charges latérales pour des déplacements compris entre (5 et 20 cm).

a) Sensibilité de la réponse du modèle à la limite élastique de l’acier

Figure 3.14 : Sensibilité de la réponse du modèle aux paramètres de l’acier

Contrainte limite de l'acier ''f sty ''

0

100

200

300

400

0 5 10 15 20 25

Déplacement horizontal au sommet (cm)

Réa

ctio

n à

la b

ase

(kN

)

fsty 1 = 250 MPa

fsty 2 = 400 MPa

fsty 3 = 500 MPa

111

b) Sensibilité de la réponse du modèle à l’écrouissage de l’acier

Figure 3.14 (suite) : Sensibilité de la réponse du modèle aux paramètres de l’acier

D’une manière générale, la sensibilité de la réponse globale du modèle à la variation des

paramètres liés à la compression du béton est moins importante que celles aux variations des paramètres décrivant le comportement du béton en traction. La Figure 3.15 illustre clairement ce constat. La réponse est sensiblement influencée par les valeurs choisies pour la résistance à la traction (contrainte de traction maximale fbt du béton).

La Figure 3.15a montre en effet la comparaison de la réponse du modèle, en premier lieu,

pour une variation de 33% de la résistance à la compression (fbc) du béton, les réponses ne sont pas considérablement différentes, et le modèle est peu sensible à la valeur de la résistance à la compression choisie pour le béton. Toutefois une trop forte réduction de cette résistance peut avoir des effets significatifs avec l’écrasement local du béton. Comme observé dans la Figure 3.15a, la résistance à la compression du béton n’influence pas de manière significative la capacité du mur quant à la charge latérale avant la dégradation de rigidité due à la branche descendante de la courbe contrainte-déformation (écrasement progressif du béton). La réponse est sensiblement influencée par les valeurs choisies pour la résistance à la traction maximale fbt du béton (Figure 3.15b).

D’autre part, la forme de la courbe contrainte-déformation (Figure 3.15c) n’est influencée

par la variation du module d’élasticité (Ec) du béton que de manière minime aux premiers pas de chargement, comme le montre le zoom localisé sur cette courbe pour un déplacement compris entre (0 et 4) cm. Ce constat peut être du à la faible contribution du béton, grâce à la grande quantité d’armatures utilisée et répartie de façon presque uniforme sur la section droite du mur.

Ecrouissage '' alpha ''

0

100

200

300

400

0 5 10 15 20 25

Déplacement horizontal au sommet (cm)

Réa

ctio

n à

la b

ase

(kN

)

alpha 1 = 1%

alpha 2 = 2%

alpha 3 = 3%

112

Enfin, la variation du paramètre définissant la contrainte de rupture fbcu du béton n’apporte aucune influence sur la réponse du modèle (Figure 3.15d); ceci peut être expliqué par le fait que le mécanisme de plastification a pris le pas sur le mécanisme de ruine par compression du béton.

a) Sensibilité de la réponse du modèle à la contrainte de compression fbc

b) Sensibilité de la réponse du modèle à la contrainte de traction fbt

Contrainte de traction du béton '' f bt ''

0

100

200

300

400

0 5 10 15 20 25

Déplacement horizontal au sommet (cm)

Réa

ctio

n à

la b

ase

(kN

)

fbt 1 = 2 MPa

fbt 2 = 3 MPa

fbt 3 = 4 MPa

Contrainte de compression du béton '' f bc ''

0

100

200

300

400

0 5 10 15 20 25

Déplacement horizontal au sommet (cm)

Réa

ctio

n à

la b

ase

(kN

)

fbc 1 = 20 MPa

fbc 2 = 30 MPa

fbc 3 = 40 MPa

113

c) Sensibilité de la réponse du modèle au module d’Young Ec (avec zoom)

d) Sensibilité de la réponse du modèle à la contrainte de compression fbcu Figure 3.15 (suite) : Sensibilité de la réponse du modèle aux paramètres du béton

Contraine de compression ultime '' f bcu ''

0

100

200

300

400

0 5 10 15 20 25

Déplacement horizontal au sommet (cm)

Réa

ctio

n à

la b

ase

(kN

)

fbcu 1 = 2.5 MPa

fbcu 2 = 5 MPa

fbcu 3 = 7.5 MPa

0 1 2 3 40

50

100

150

200

250

Déplacement horizontal au sommet (cm)

Réa

ctio

n à

la b

ase

(KN

)

Module de Young du béton '' E c ''

0

100

200

300

400

0 5 10 15 20 25

Déplacement horizontal au sommet (cm)

Réa

ctio

n à

la b

ase

(kN

)

Ec 1 = 20 GPa

Ec 2 = 30 GPa

Ec 3 = 40 GPa

114

Nous pouvons considérer également l’effet du type de chargement latéral sur la réponse du macro-élément. Une comparaison de la courbe pushover est effectuée, respectivement pour une charge latérale uniforme, triangulaire et concentrée au sommet. La Figure 3.16 montre clairement l’impact du type de chargement qui affecte considérablement la rigidité et la résistance du mur voile. Le chargement uniforme conduit à la mobilisation d’une grande capacité de résistance à tous les niveaux.

Figure 3.16 : Influence du type de chargement latéral sur la réponse du modèle

3 . 3 . 3 P a r a m è t r e s l i é s a u t yp e d e c h a r g e m e n t

L’effet de la charge axiale sur la réponse du macro-élément est aussi examiné. Une comparaison de la réponse globale pour une charge axiale nulle et une charge axiale appliquée de 7% de la capacité du mur voile est effectuée. L’on peut observer que la forme de la courbe caractéristique est beaucoup influencée par la valeur de la charge axiale, qui affecte considérablement la rigidité et la résistance du mur (Figure 3.17). Ce qui est peut être expliqué par le confinement du béton.

Figure 3.17 : Influence de la charge axiale sur la réponse du modèle

CHARGE CONCENTREE

0

50

100

150

200

0 5 10 15 20 25Déplacement horizontal au sommet (cm)

Réa

ctio

n à

la b

ase

(kN

) Pax=0.07.Ag.fbcPax=0

Type de chargement latéral

0

100

200

300

400

0 5 10 15 20 25Déplacement horizontal au sommet (cm)

Réa

ctio

n à

la b

ase

(kN

) Charge uniformeCharge triangulaireCharge concentrée

115

3 . 4 I n d i c a t e u r d e d é g r a d a t i o n

L’approche par macro-éléments et sous éléments permet aussi d’étudier l’évolution de la dégradation (défaillance) dans le mur voile sous l’action des forces latérales à une échelle plus fine. Un indicateur de dégradation global dG de la structure peut être défini par (Figure 3.18) :

1d0 1 G0

≤≤−=K

Kd G

G (3.2)

où KG est la rigidité latérale globale du mur voile (rigidité actuelle fonction du niveau de déformation atteint) et K0 est la rigidité élastique. On peut observer (Figure 3.18b) trois régimes différents correspondant aux trois parties de la courbe de la Figure 3.18a.

a) Courbe pushover (chargement triangulaire)

b) Dégradation globale de la rigidité du mur voile

Figure 3.18 : Courbe pushover et dégradation globale de la rigidité

Courbe Charge-Déplacement

0

50

100

150

200

250

0 20 40 60 80 100 120

Déplacement horizontal au sommet (mm)

Réa

ctio

n à

la b

ase

(kN

)

Charge triangulaire

3

2

1

Dégradation globale du mur voile

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 50 100 150 200 250

Réaction à la base (kN)

Dég

rada

tion

''dG

''

0

1K

Kd G

G −=2

1

3

116

Il est possible de suivre la perte de rigidité de chaque macro-élément au cours de ce chargement (Figure 3.19). Cela peut se faire en définissant un indicateur de dégradation global du macro-élément (dm) comme suit :

0,

1m

mm K

Kd −= (3.3)

où Km est la rigidité actuelle du macro-élément lorsqu’il atteint un niveau de déformation inélastique donné) et Km,0 est sa rigidité élastique. L’on peut observer une évolution importante de la dégradation de l’élément 1 (au pied du voile) et moins importante (voire nulle) au niveau du dernier élément (en tête du mur voile).

Figure 3.19 : Dégradation de la rigidité dm des macro-éléments On peut enfin, dans chaque macro-élément, étudier l’évolution de la dégradation de la

rigidité des sous-éléments uniaxiaux (de 1 à 8), par exemple pour l’élément le plus sollicité du mur voile (l’élément 1). Pour faciliter l’illustration nous avons choisi quatre incréments de charge correspondant respectivement aux quatre valeurs d’intensités (24,95; 144,95; 184 et 200 kN). Sous l’action des forces latérales, le voile subit des efforts de compression et de traction au niveau des sous-éléments. L’intensité de la force de traction (ou de compression) d’un sous-élément de rigidité ki, dépend de sa position x par rapport à l’axe central du macro-élément, ce qui entraîne la dégradation de sa rigidité qui progresse à mesure que la force de traction (ou de compression) augmente (Figure 3.20).

La rigidité globale de traction (ou de compression) d’un sous-élément uni-axial considéré

comme inélastique peut être définie comme suit :

h

EAKsel

)(= (3.4)

Étant donné que le macro-élément travaille en flexion, se compose de huit sous-éléments, leurs rigidités à l’effort de traction (ou de compression) sont différentes. On constate ce qui suit (Figure 3.20) :

DEGRADATION DES MACRO-ELEMENTS

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0 50 100 150 200 250

Réaction à la base (kN)

Dég

rada

tion

''dm

''

Macro-élément 1

Macro-élément 2

Macro-élément 3

Macro-élément 4

117

- dans la phase élastique correspond au niveau de charge de 24,95 kN, les sous-éléments extrêmes (1 et 8) possèdent une rigidité plus grande que celle des sous-éléments (3 à 6). En revanche, les sous-éléments (2 et 7) ont une faible rigidité. Cela peut s’expliquer par le fait que les sous-éléments extrêmes (1 et 8) du mur voile sont fortement ferraillés alors que les sous-éléments (2 et 7) sont dépourvus de tout ferraillage (Figure 3.2).

- dans la phase post-élastique, les sous-éléments tendus subissent progressivement une

chute de rigidité suite à l’accroissement de la charge appliquée jusqu’à la plastification complète de la partie tendue, avec une légère chute de la rigidité des sous-éléments comprimés due à l’écrasement du béton. La chute de rigidité dépend d’une part du ferraillage et d’autre part de la position (sollicitation en compression ou en traction) du sous-élément par rapport à l’axe central du mur voile.

Figure 3.20 : Dégradation de la rigidité des sous-éléments

La Figure 3.21 représente l’évolution de l’indicateur de dégradation des sous-éléments du macro-élément 1 qui se trouve au niveau du pied du mur voile (où les déformations sont les plus élevées). Cet indicateur peut être défini ainsi :

0,

1sel

selsel K

Kd −= (3.5)

où Ksel est la rigidité actuelle du sous-élément (fonction du niveau de déformation atteint) et Ksel,0 est sa rigidité élastique. Pour les différentes charges indiquées précédemment, on constate que la dégradation s’accroît en fonction de l’intensité de la charge appliquée.

RIGIDITE DES SOUS-ELEMENTS (MACRO-ELEMENT ''1'')

0

100

200

300

400

500

600

700

1 2 3 4 5 6 7 8

Sous-élément ''n ''

Rig

idité

glo

bale

'' Kse

l''

Plat= 24.95 kN

Plat=144.95 kN

Plat=184.00 kN

Plat=200.00 kN

118

Figure 3.21 : Dégradation des sous-éléments

La Figure 3.22 représente l’évolution de la dégradation des sous-éléments définie par la relation (3.5) pour chaque macro-élément pour une charge fixe de 184 kN. On note une assez grande dégradation au niveau du pied du mur (macro-élément (1)). Les macro-éléments (2) et (3) subissent une dégradation importante qui varie d’un sous-élément à l’autre selon son ferraillage et sa position. Seul le sous-élément (8) comprimé reste peu affecté. On constate enfin une légère dégradation en tête du voile (macro-élément (4)).

Figure 3.22: Dégradation des sous-éléments de chaque macro-élément Cette première analyse du comportement global du mur voile nous amène à conclure qu’il

est nécessaire de situer l’échelle de modélisation proposée au niveau des mécanismes potentiels du mode de fonctionnement global du mur voile (fissuration du béton, plastification de l’acier et la dégradation de la rigidité), afin d’avoir accès à la distribution spatiale de l’état d’endommagement et d’essayer notamment de prédire son mode de ruine. A cette fin, nous avons établi une carte de dégradation (Figure 3.22) pour mieux mettre en évidence les phénomènes qui régissent le comportement global du mur voile étudié. L’indicateur de dégradation varie entre 0 et 1 et l’endommagement engendré dans le mur s’obtient directement par la valeur finale de cet indicateur de dégradation. En filtrant ces valeurs entre 0,4 et 1, on peut dans une certaine mesure identifier les zones fortement macrofissurées,

DEGRADATION DES SOUS-ELEMENTS (MACRO-ELEMENT ''1'')

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1 2 3 4 5 6 7 8Sous-élément (n )

Déd

rada

tion

''dse

l''

Plat= 24.95 kN

Plat= 144.95 kN

Plat= 184.00 kN

Plat= 200.00 kN

DEGRADATION DES SOUS-ELEMENTS

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1 2 3 4 5 6 7 8

Sous-élément '' n ''

Dég

rada

tion

'' dse

l ''

Macro-élément 1

Macro-élément 2

Macro-élément 3

Macro-élément 4

119

l’endommagement observé au niveau des zones tendues semble conséquent. Le voile est principalement endommagé à la base, ce qui correspond bien à la philosophie de l’EC8 qui y prévoit le développement d’une rotule plastique. De par sa simplicité, le modèle permet de décrire de façon satisfaisante le comportement global de la structure. De plus, il est capable de reproduire qualitativement les tendances du schéma de dégradation globale de la rigidité et la position des zones d’endommagement.

On peut faire les remarques suivantes (pour le niveau de charge de 184kN) :

• Au pied du mur voile dans la zone tendue, on observe une dégradation critique d’un indice variant de 0,7 à 1, indiquant une fissuration préjudiciable, et au même niveau vers la partie comprimée l’indice de dégradation diminue légèrement, ce qui indique une fissuration par écrasement du béton accompagné éventuellement d’un risque de flambement des armatures à la base. La ductilité peut être obtenue en plaçant des armatures de confinement dans les zones situées aux extrémités de la section transversale, parfois appelées « éléments de rive ». Ces éléments de rive constituent en quelque sorte des membrures latérales plus résistantes et plus ductiles que le reste du voile. Comme ces zones sont les plus sollicitées, c’est à cet endroit que se produirait en premier lieu l’éclatement du béton. On peut donc prévenir la ruine en renforçant ces zones.

• Vers le haut du mur voile, on remarque une diminution de l’indice de dégradation de l’ordre de 0 à 0,3, exprimant une dégradation légère due à la diminution de la traction, et une fissuration moins importante se manifeste.

La Figure 3.23 compare la carte de dégradation globale du mur voile en utilisant un modèle de 4 macro-éléments avec respectivement 4, 8 et 16 sous-éléments. On peut observer que les trois modèles présentent une dégradation très semblable, ce qui confirme que la discrétisation n’affecte pas de manière significative la réponse globale du mur voile, ni les faciès d’endommagement.

Figure 3.23 : Carte de dégradation du mur voile

0 1.20

3.66

Largeur (m)

Ha

ute

ur

(m)

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

N=4, n=8

0 1.20

3.66

Largeur (m)

Ha

uteu

r (m

)

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

N=4, n=4

0 1.20

3.66

Largeur (m)

Ha

ute

ur (

m)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

N=4, n=16

120

3 . 5 C o n c l u s i o n

La présente étude avait pour objectif l’analyse du comportement non-linéaire des structures constituées de murs voiles en béton armé en utilisant une approche simplifiée basée sur la notion de macro-élément. Les éléments de réponse globale obtenus par l’analyse en poussée progressive (« pushover »), ont été étudiés. Des variations des paramètres liés au modèle et au matériau ont été également effectuées afin de vérifier d’une part, l’efficacité du modèle analytique proposé et d’autre part, pour identifier la sensibilité de la réponse du modèle vis-à-vis aux changements de ces paramètres.

D’après les résultats obtenus, il a été vérifié que le modèle par macro-élément capture

convenablement les caractéristiques importantes de la réponse due aux forces latérales appliquées. Le modèle analytique est aussi capable de simuler le comportement non-linéaire des murs voiles où des lois utilisées pour le béton et l’acier sont basées sur l’endommagement et la plasticité, en tenant compte notamment de l’effet de la variation de la force axiale, qui est généralement ignorée dans les modèles simples. Il a été constaté en outre que les réponses du modèle sont peu sensibles aux variations des paramètres liés au modèle (choix du nombre de macro-éléments ou du nombre de sous-éléments). Cependant, la discrétisation en élévation du mur voile par l’introduction d’un grand nombre de macro-éléments sur la hauteur du mur voile n’est utile que pour obtenir des informations plus détaillées sur le comportement local du mur voile, tel que l’état de contrainte ou de déformation à chaque point de la structure car assez coûteuse en temps de calcul.

L’analyse des courbes caractéristiques en termes de réaction à la base-déplacement au

sommet montre clairement l’impact significatif du type de chargement qui affecte considérablement la rigidité et la résistance du mur voile.

D’autre part, la réponse globale du modèle est influencée par la variation des paramètres

constitutifs des matériaux béton et acier. Le modèle est peu sensible à la valeur de la résistance à la compression choisie pour le béton, par rapport aux variations des paramètres définis pour le béton en traction (fbt) et pour l’acier (fsty). Ainsi, un choix judicieux de ces paramètres sur la base des essais cycliques expérimentaux est important pour une bonne évaluation de la réponse du mur voile vis-à-vis des forces latérales, aussi bien que pour identifier quels paramètres exigent le plus grand soin en ce qui concerne la calibration.

De façon générale, l’approche de modélisation par macro-élément présentée au deuxième

chapitre s’est avérée efficace et fournit, malgré sa simplicité, une plateforme souple pour l’analyse non-linéaire des murs voiles en béton armé.

Enfin, il faut noter que la question du choix du type de chargement reste un problème

majeur pour l’analyse pushover. La sélection du mode de chargement est une étape très importante dans l’analyse dynamique parce que ce mode de chargement est sensé représenté les forces d’inerties dans le calcul parasismique. Plusieurs formes du mode de chargement ont été proposées dans la littérature pour appliquer l’analyse pushover. N’importe quelle forme raisonnable peut être utilisée, mais le moyen le plus pratique est d’appliquer deux formes différentes et de dégager l’enveloppe. Cependant, l’analyse du comportement dynamique (simplifié) qui sera présenté au chapitre suivant, en utilisant des méthodes simplifiées, demande de considérer un schéma "modal", proportionnel aux forces latérales déterminées par la méthode modale. Il permet d’estimer les réponses enveloppe pour un spectre de chargement sismique sans produire l’historique de leurs évolutions. Dans un premier temps on évalue les

121

caractéristiques modales de la structure, notamment avec l’évaluation des modes propres (fréquences et déformées). En s’appuyant sur le spectre non-linéaire qui reproduit le chargement sismique, on évalue les efforts dynamiques associés à chaque mode de vibration, puis grâce aux règles de combinaison modale on évalue les efforts et les déplacements.

122

123

CHAPITRE 4

MODELISATION DU PROBLEME DYNAMIQUE ET

DIFFERENTES METHODES D’ANALYSE

PARASISMIQUE

124

125

C h a p i t r e 4

Modé l i sa t i on du p ro b lème dy namique e t d i f f é ren tes mé thodes d ’ana ly se pa ras i sm ique

4 . 1 I n t r o d u c t i o n

Depuis plusieurs années, il est clairement admis par la nouvelle génération des codes et règlements parasismiques que le dimensionnement des structures et/ou la vérification des constructions existantes contre l’action des séismes doit s’appuyer nécessairement sur des analyses non-linéaires (dimensionnement en capacité et comportement dissipatif des structures), ce qui conduit d’une part à maîtriser la ductilité des éléments structuraux et la position des zones critiques et d’autre part de hiérarchiser les modes de rupture.

Les codes de calcul antérieurs (RPA99, PS92,…) valorisaient les structures dissipatives en

permettant de réduire par un facteur de comportement l’action de calcul qui sert à les dimensionner à l’aide d’une analyse élastique. Surtout s’il s’agit de la conception d’une structure neuve. Cette approche est cependant inadéquate pour la réévaluation de structures existantes et la conception de structures irrégulières dont le comportement dynamique est trop complexe pour être traité par une méthode simplifiée. Par conséquent, l’utilisation de l’analyse linéaire devient insuffisante (voire non économique). Dans ce cas il est plus prudent de recourir à des simulations complètes par la méthode des éléments finis, avec l’emploi d’algorithmes d’intégrations temporelles. En présence de non-linéarités, certaines méthodes ne sont plus applicables ou alors leur adaptation aux cas particuliers exige une très bonne connaissance de leur fondement théorique. Ces non-linéarités peuvent être liées au comportement des matériaux (fissuration et écrasement du béton, plastification des armatures, …), ou géométriques (flambement, effet P-∆, …). Pour d’autres situations où il est intéressant d’évaluer au plus juste les marges de sécurité, il est également intéressant d’employer des méthodes plus complètes permettant de prendre en compte les diverses sources possibles d’atténuation des efforts sismiques. La méthode la plus rigoureuse et plus complète d’analyse des structures dont le comportement est non-linéaire sous action sismique est le calcul dynamique temporel non-linéaire qui permet de reproduire le plus fidèlement le comportement de la structure et de connaitre ses états de performance à différents instants du séisme. Ce type d’études peut se révéler très couteux en temps de calcul en raison de la taille des modèles de plus en plus complets et du nombre de calculs à réaliser (plusieurs accélérogrammes sont nécessaires). Il est donc difficilement envisageable pour des structures courantes et est réservé à des études particulières.

126

Le calcul statique non-linéaire en poussée progressive (ou pushover) représente une alternative très intéressante (§ 3.3.1). C’est une méthode pas à pas pour laquelle les données matérielles (lois de comportement des matériaux, des sections) sont similaires à celles de l’analyse dynamique élasto-plastique, mais où les difficultés du calcul temporel pas à pas sont évitées. Elle permet d’évaluer les mécanismes potentiels d’effondrement attendus et la distribution des dommages dans la construction. La relation avec le problème dynamique est assurée par la définition d’un déplacement " cible ", déplacement maximum atteint par la structure (Plumier et al., 2009). La démarche proposée du point de performance est valable aussi bien pour le dimensionnement des constructions nouvelles (pour un niveau de protection parasismique donné) que pour l’évaluation de bâtiments existants, comme cela apparaît dans l’ATC-40 (« Applied Technology Council », 1996), et dans le FEMA-274 (« Building Seismic Safety Council », 1997), en vue d’une requalification ou mise en conformité sismique.

Le but de ce chapitre est de présenter une nouvelle approche en s’appuyant sur les travaux

conduits ces dernières années par différents auteurs. Parmi les différents types d’analyse dynamique, la méthode modale spectrale est une approche attrayante. En l’associant aux méthodes statiques non-linéaires basées sur le concept de déplacement et afin d’intégrer les mécanismes possibles d’effondrement dus aux effets des modes les plus élevés, l’on peut adopter une approche fondée sur la notion de capacité et de performance. Plusieurs propositions sont faites, l’on citera :

• la Méthode Spectrale Non-Linéaire (MSNL) inspirée de celle de Fajfar (2000) ;

• la méthode d’Analyse Multi-modale Pushover (AMP), développée par Chopra et

Goel (2002) ;

• et la Méthode des Combinaisons Modales (MCM), proposée par Kunnath (2004).

Ces méthodes d’analyse doivent être capables de prédire de façon réaliste la réponse d’une

structure susceptible d’avoir un comportement non-linéaire pendant un séisme, exprimée en termes de forces et de déplacements. Afin de réaliser le meilleur choix parmi elles, plusieurs critères entrent en compte ; le plus important concerne leur domaine de validité.

Après un rappel théorique des principes de base, une étude comparative ainsi que sa

validation, sont présentées au travers de simulations numériques. Nous allons expliquer comment ces différentes méthodes d’analyse parasismique peuvent être particularisées pour l’analyse des structures porteuses constituées de murs voiles en béton armé soumises à une action sismique. La sollicitation sismique est déterminée à partir de la représentation du spectre de réponse non-linéaire, dérivé du format traditionnel "accélérations-périodes" au format "accélérations-déplacements". Pour des raisons de comparaison, nous considérerons la simulation du comportement dynamique d’une structure porteuse comportant un mur voile fortement armé, conçu selon les règles de l’Eurocode 8. Une analyse modale est effectuée en premier lieu, pour chaque exemple, afin d’accéder aux modes propres de la structure. L’étape suivante consiste à déterminer et reproduire le comportement global de la structure en poussée progressive (« Pushover »), puis à calculer le déplacement maximal correspondant au point de performance en tenant compte (lorsque cela est possible) de l’effet des modes les plus élevés. Les réponses modales en termes de déplacements inter-étages seront ensuite combinées selon une règle appropriée de combinaison modale pour trouver la réponse totale de la structure.

127

Nous allons montrer qu’à partir d’une procédure de combinaisons modales (la Méthode

MCM), nous pouvons obtenir une meilleure estimation de la réponse globale du mur voile au sens de la sécurité.

La solution de référence choisie pour l’étude comparative est la méthode d’Analyse

Modale Temporelle Découplée (AMTD) dérivée de celle de l’analyse temporelle non-linéaire. Il s’agit d’une méthode d’analyse dynamique non-linéaire simplifiée (système équivalent à un seul degré de liberté et loi de comportement globale équivalente). Sur la base de ces approximations, il a été démontré par Chopra (Chopra, 2002) que la méthode d’Analyse Modale Temporelle Découplée (AMTD) est équivalente à la méthode bien connue d’Analyse Temporelle Non-Linéaire (ATNL). Toutefois, étant donné que le comportement est non-linéaire et qu’il n’est pas possible de découpler analytiquement le système, la résolution se fait en utilisant l’une des méthodes numériques classiques de résolution des systèmes d’équations différentielles non-linéaires en tenant compte notamment des effets interactifs des modes propres. Cette procédure est difficile à résoudre et fut adoptée par Chopra sous le nom de UMRHA (« Uncoupled Modal Response History Analysis ») juste pour valider les résultats d’une méthode nouvelle d’Analyse Modale Pushover (AMP) qui sera aussi décrite en détail par la suite. Avant de décrire les principes de base et les développements théoriques de la méthode d’Analyse Modale Temporelle Découplée (AMTD), il est nécessaire de rappeler des notions de bases des procédures d’analyse dynamique existantes.

4 . 2 P r o c é d u r e s d ’ a n a l y s e d y n a m i q u e

4 . 2 . 1 A n a l ys e M o d a l e t e m p o r e l l e ( s ys t è m e s é l a s t i q u es ) L’équation différentielle régissant la réponse d’une structure à plusieurs degrés de liberté

(multi-étages) soumise à une excitation sismique, )(tug&& est donnée par :

)( tumkuucum g&&&&& ι−=++ (4.1)

où u est le vecteur des N-déplacements latéraux des planchers par rapport au sol, m, c et k sont respectivement, la masse, la constante d’amortissement et la rigidité latérale du système, et ι est le vecteur d’influence (vecteur de couplage dynamique qui relie la direction du mouvement à la base avec la direction de chaque degré de liberté ; lorsque la structure se déplace comme corps rigide, il est égal à l’unité).

Le membre de droite de l’équation (4.1) peut être interprété comme le vecteur de forces effectives :

)( )( tumtP geff &&ι−= (4.2)

La distribution spatiale de ces " forces " sur la hauteur de la structure est définie par le

vecteur s=mι et leur variation dans le temps par )(tug&& . Cette distribution de forces peut être

exprimée par la somme des forces d’inertie modale sn (Chopra, 2001), comme suit :

128

∑∑==

Γ==N

nnn

N

nn msm

11

φι (4.3)

où φn est le nième "mode" de vibration de la structure, et

nTnn

Tnn

n

nn mMmL

M

L φφιφ ===Γ ,,

Les forces effectives imposées par l’action sismique peuvent être alors exprimées par :

∑∑==

−==N

ngn

N

nneffeff tustPtP

11, )()()( && (4.4)

La contribution du nième "mode" à s et à Peff (t) est :

nnn ms φΓ= )()(, tustP gnneff &&−= (4.5)

Ainsi, la réponse du système à plusieurs degrés de liberté à Peff,n (t) est entièrement liée au

nième mode, sans tenir compte de la contribution des autres modes.

L’équation régissant la réponse du système est donnée par :

)(tuskuucum gn &&&&& −=++ (4. 6)

Par suite du principe d’orthogonalité des modes, on peut démontrer qu’aucun mode autre

que le nième "mode" ne contribue à la réponse. Alors les déplacements s’expriment par :

)()( tqtu nn nφ= (4.7)

où )(tqn , coordonnée modale généralisée, est solution de l’équation :

)(2 2 tuqqq gnnnnnnn &&&&& Γ−=++ ωωζ (4.8)

où ωn est la fréquence naturelle et ζn est le coefficient d’amortissement du nième "mode".

La solution qn(t) peut être directement obtenue par analogie, en comparant l’équation (4.7) à l’équation de mouvement du système élastique à un seul degré de liberté ayant les propriétés

129

de vibration (la fréquence naturelle de vibration ωn et la constante d’amortissement ζζζζn) du nième "mode" du système à plusieurs degrés de liberté, soumis à )(tug&& :

)(2 2 tuDDD gnnnnnn &&&&& −=++ ωωζ (4.9)

En comparant les deux équations (4.8) et (4.9), on trouve :

)()( tDtq nnn Γ= (4.10)

où Dn(t) est la réponse du nième "mode" en termes de déplacements du système équivalent à un seul degré de liberté.

En substituant l’équation (4.10) dans l’équation (4.7), on trouve les déplacements :

)()( tDtu nnn nφΓ= (4.11)

Chaque élément de réponse r(t), (par exemple les déplacements inter-étages, les forces

internes…), peut être obtenu par :

)()( tArtr nst

nn = (4.12)

où rnst

est la réponse statique modale, la valeur statique de r due à la force externe sn.

La pseudo-accélération du nième "mode" du système équivalent à un seul degré de liberté est donnée par (Chopra, 2001) :

)()( 2 tDtA nnn ω= (4.13)

Les deux analyses conduisant à rn

st et à An(t) sont illustrées à la Figure (4.1). Les équations (4.11) et (4.12) représentent la réponse du système à plusieurs degrés de

liberté, soumis à Peff,n (t). Par conséquent, la réponse du système à l’excitation totale Peff,n (t) est donnée par :

∑∑==

Γ==N

nnn

N

nn tDtutu

11

)()()( nφ (4.14)

∑∑==

==N

nn

stn

N

nn tArtrtr

11

)()()( (4.15)

130

Figure 4.1 : Concept de l’analyse modale temporelle des systèmes élastiques à plusieurs degrés de liberté

C’est la procédure classique de la méthode d’analyse modale temporelle non-linéaire où

l’équation (4.8) est l’équation générale régissant qn(t), les équations (4.11) et (4.12) définissent la contribution du nième " mode ", et les équations (4.14) et (4.15) combinent la contribution de tous les modes à la réponse. 4 . 2 . 2 A n a l ys e M o d a l e S p e c t r a l e

La valeur maximale ro de la réponse totale r(t) peut être exprimée directement à partir de la réponse spectrale sans passer par l’analyse temporelle (ATNL) menée à partir des équations (4.8) à (4.15). Dans une telle analyse, équivalente à la méthode de spectre de réponse standard (« Response Spectrum Analysis », RSA), la valeur maximale rno du nième " mode " rn(t) est déterminée par :

nst

nno Arr = (4.16)

où An est l’ordonnée An(Tn, ζn) du spectre de pseudo-accélération pour le nième " mode " du système à un seul degré de liberté, et Tn est la période naturelle de vibration du nième " mode " du système à plusieurs degré de liberté.

Les réponses modales maximales sont combinées selon la règle SRSS (Square-Root-of-Sum-of-Squares) ou par la combinaison quadratique complète (CQC). La règle SRSS, valide pour les structures avec des fréquences naturelles bien-séparées, telles que les bâtiments multi-étagés ayant un plan de symétrie, fournit une évaluation de la valeur maximale de la réponse totale donnée par :

21

1

2 )(∑=

≈N

nnoo rr (4.17)

An(t)

ωωωωn, ξξξξn

ug(t)

Forces Sn

rnst

(a) Analyse statique

(b) Analyse dynamique du système équivalent

131

R e m a r q u e :

Pour développer une procédure d’analyse pushover équivalente à la méthode RSA, il a été démontré par Chopra (Chopra, 2001), que l’analyse statique d’une structure soumise aux forces latérales définies par :

nnnno Amf φΓ= (4.18)

fournit la même valeur de la réponse maximale rno du nième " mode " que l’équation (4.16). Cette valeur de la réponse peut être obtenue différemment par l’analyse statique de la structure soumise à une distribution de forces latérales selon l’équation :

nn ms φ=∗

(4.19)

et la structure est " poussée " jusqu’à ce qu’elle atteigne un déplacement cible du sommet urno, du au nième mode, calculé à partir de l’équation (4.11) comme suit :

nrnnrno Du φΓ= (4.20)

où 2

nnn AD ω= (Dn et An sont déterminés directement à partir du spectre de réponse).

Les réponses modales maximales rno, déterminées chacune par une analyse pushover,

peuvent être combinées selon l’équation (4.17) pour obtenir une estimation de la valeur maximale ro de la réponse totale. Cette procédure dénommée (« Analyse Modale Pushover », AMP) sera présentée par la suite pour l’analyse dynamique des structures à voiles porteurs.

4 . 2 . 3 A n a l ys e T e m p o r e l l e N o n - l i n é a i r e ( A T N L )

En général pour les structures non-linéaires (inélastiques), la courbe de chargement initial est bilinéaire, et les courbes de déchargement et de rechargement diffèrent de la branche de chargement initial. Ainsi, les relations entre les forces latérales fs et les déplacements latéraux u de chaque niveau dépendent de l’histoire des déplacements:

) ,( usignuff ss &= (4.21)

A cet effet pour les systèmes inélastiques, l’équation (4.1) devient :

)( ) ,( tumusignufucum gs &&&&&& ι−=++ (4.22)

L’approche habituelle consiste à résoudre directement ces équations couplées, qui aboutissent à l’analyse temporelle non-linéaire " complète " (ATNL). Bien que l’analyse modale classique soit inadmissible pour les systèmes inélastiques, elle est utile par la suite

132

pour transformer l’équation (4.22) en coordonnées modales correspondant au système linéaire équivalent. Chaque élément structural de ce système élastique est défini pour avoir la même rigidité initiale que celui du système inélastique. Les deux systèmes ont la même masse et le même amortissement. Par conséquent, les périodes propres de vibration et les modes du système linéaire équivalent sont identiques à ceux du système inélastique subissant de petites perturbations (domaine élastique linéaire).

En exprimant les déplacements du système inélastique en termes de coordonnées modales généralisées )(tqn du système linéaire équivalent, on obtient :

∑=

=N

nn tqtu

1

)()( nφ (4.23)

En substituant l’équation (4.23) dans l’équation (4.22), en pré-multipliant par φn

T et en utilisant les propriétés d’orthogonalité des modes, on trouve :

NntuM

Fqq gn

n

snnnnn ..., ,2 ,1)(2 =Γ−=++ &&&&& ωζ

(4.24)

où ωn est la fréquence naturelle et ζn est le coefficient d’amortissement du nième "mode".

La force de résistance dépend donc de toutes les coordonnées modales qn(t) impliquant leur couplage en raison de la plastification de la structure :

) ,() ,( nnsTnnnsnsn usignufqsignqFF && φ== (4.25)

C’est la procédure classique de la méthode d’analyse temporelle non-linéaire (ATNL) où

L’équation générale (4.24) représente les N-équations en coordonnées modales qn(t). Pour les systèmes inélastiques, ces équations sont couplées et la solution devient difficile. En revanche, la résolution simultanée de ces équations en utilisant l’équation (4.29) donnera en principe (selon Chopra, 2001), les mêmes résultats que ceux obtenus directement à partir de l’équation (4.22).

L’analyse d’un problème dynamique par la méthode d’intégration temporelle se fait par

deux approches : implicites et explicites. On peut citer à titre d’exemple la méthode de l’accélération moyenne de Newmark pour le premier cas, et la méthode des différences finies centrées pour le second cas. La fiabilité des résultats est assurée par l’utilisation d’un algorithme inconditionnellement stable et le choix d’un pas de temps qui conditionnent la stabilité et la précision de calcul.

Dans cette méthode, le calcul s’effectue pas à pas sur le temps et peut durer longtemps,

même pour des structures simples ; il est difficilement envisageable pour des structures complexes et est réservé à des études particulières, comme l’établissement des coefficients de comportement q (définis au chapitre 2).

133

4 . 2 . 4 A n a l ys e M o d a l e T e m p o r e l l e D é c o u p l é e ( A M T D ) Si on néglige le couplage des N-équations en coordonnées modales (équation (4.23)) on

obtient la méthode de l’analyse modale temporelle découplée (AMTD). Cette procédure approchée représente l’idée de base pour le développement de la procédure d’analyse modale pushover pour les systèmes inélastiques.

La distribution spatiale s des forces effectives peut s’exprimer en termes de contributions modales sn selon l’équation (4.2), où les φn représentent cette fois-ci les modes propres du système linéaire correspondant.

Les équations régissant la réponse du système inélastique à Peff,n(t), donnée par l’équation (4.6) sont :

)() ,( tususignufucum gns &&&&&& −=++ (4.26)

La résolution de l’équation (4.26), pour les systèmes inélastiques ne sera plus déterminée

par l’équation (4.7) vu que les modes autres que le nième "mode" contribueront aussi à la réponse du système. En revanche, étant donné que pour les systèmes linéaires, qn(t) = 0 pour tous les modes autre que le nième " mode " ; donc, il est raisonnable de considérer que le nième " mode " devrait être dominant, même pour les systèmes inélastiques.

En substituant l’équation (4.7) dans l’équation (4.26), et pré-multipliant par φnT, ce qui

donne l’équation (4.24), et en admettant que Fsn dépend seulement d'une coordonnée modale qn, on a :

) ,() ,( nns

Tnnnsnsn qsignqfqsignqFF && φ== (4.27)

La réponse de la structure est donc approchée et la résolution de l’équation (4.24) peut être

obtenue par l’équation (4.10) où Dn(t) est donnée par :

)(2 tuL

FDD g

n

snnnnn &&&&& −=++ ωζ (4. 28)

Et

)D ,()D ,( nnsTnnnsnsn signDfsignDFF && φ== (4. 29)

est reliée à ) ,( nnsn qsignqF & par le biais de l’équation (4. 10).

L’équation (4.28) peut être interprétée comme l’équation régissant le système inélastique à

un seul degré de liberté liée au nième "mode"; et dans ce cas, chaque mode est considéré comme un système à un seul degré de liberté ayant les caractéristiques suivantes :

134

• ωn : Pulsation propre • ξn: Amortissement propre du nième "mode" correspondant au système linéaire à

plusieurs degrés de liberté

• Fsn/Ln - Dn : relation entre la force de résistance Fsn/Ln et les coordonnées modales Dn définies par l’équation (4.29).

La résolution de l’équation non-linéaire (4.28) formulée de cette manière fournit Dn(t) qui

substituée dans l’équation (4.11) donne les déplacements de la structure liée au nième "mode" du système inélastique à un seul degré de liberté. La réponse en termes de déplacements de planchers (déplacements inter-étages), ou n’importe quelle réponse rn(t) est donnée par les équations (4.12) et (4.13), où An(t) est la pseudo-accélération du nième "mode" du système inélastique (à un seul degré de liberté). Les deux analyses menant à rn(t) et An(t) pour le système inélastique sont illustrées à la Figure (4.2). Les équations (4.12) et (4.13) représentent la réponse du système inélastique à plusieurs degrés de liberté, sous l’action de Peff,n(t) du nième "mode". Par conséquent, la réponse du système à l’excitation totale Peff(t) est donnée par l’équation (4.14) et (4.15). C’est la procédure de la méthode (AMTD).

Figure 4.2 : Concept d'analyse modale temporelle découplée (AMTD) des systèmes à plusieurs degrés de liberté 4 . 2 . 4 . 1 L i m i t e s d e l a m é t h o d e A M T D

Les hypothèses et les approximations relatives à cette procédure peuvent se résumer ainsi :

1) Le couplage par les coordonnées modales qn(t) du à la plastification du système (équations (4.24) et (4.25)) est négligé ;

2) La superposition des réponses pour Peff,n(t), (n= 1, 2,…, N) selon l’équation (4.15) est

strictement valide seulement pour les systèmes élastiques linéaires ;

Forces Sn

rnst

(a) Analyse statique

(b) Analyse dynamique du système inélastique équivalent

An(t)

ωωωωn, ξξξξn, Fsn / Ln

ug(t)

Masse unité

135

3) La relation Fsn/Ln-Dn est idéalisée par une courbe bilinéaire pour faciliter la résolution de l’équation (4.28) en AMTD.

Sur la base de ces approximations, la relation entre les forces latérales fs et Dn dans

l’équation (4.9) est difficile à obtenir et devrait être déterminé par analyse statique non-linéaire (type force-contrôlée) de la structure subissant les déplacements (u=Dnφn) avec une distribution invariable des forces latérales. Cependant, pour un système inélastique aucune distribution invariable de forces ne peut produire à chaque déplacement (ou niveau de force), des déplacements proportionnels à φn. Dans la branche linéaire élastique de la structure, la seule distribution de force qui produit des déplacements proportionnels à φn est donnée par l’équation (4.25). Par conséquent, cette distribution semble être un choix judicieux même pour les systèmes inélastiques pour déterminer Fsn dans l’équation (4.29).

En effet, si Fsn est la force de rappel de la structure suite à un déplacement qn, ces deux

grandeurs physiques peuvent exprimer le comportement global de la structure. C’est pour cela qu’il est souhaitable de trouver d’abord la courbe reliant la réaction à la base du nième "mode", «Vbn

» au déplacement au sommet (« roof displacement ») de la structure «urn», c’est-à-dire la

courbe Pushover qui est différente de la courbe Fsn/Ln-Dn. Une idéalisation bilinéaire de cette courbe Pushover pour le nième "mode" est montrée dans la Figure (4.3a). Au niveau de la limite élastique, l’effort tranchant à la base est Vbny et le déplacement au sommet est urny. La Figure (4.3b) montre la conversion de la courbe Pushover Vbn-urn en relation Fsn/Ln-Dn, en utilisant les relations suivantes :

rnn

rnn

n

bnsn

uD

VF

φΓ=

Γ= , (4.30)

où les valeurs limites de Fsn/Ln et Dn sont :

rnn

rnyny

n

bny

n

sny uD

M

V

L

F

φΓ== ,

* (4.31)

dans laquelle Mn

* = Ln Гn, est la masse modale effective (Chopra, 2001). Les deux grandeurs sont reliées par :

nynn

sny DL

F 2ω= (4.32)

tel que la pente initiale de la courbe dans la Figure (4.3b) est ωn

2. Connaissant Fsn/Ln et Dn de l’équation (4.31), la période élastique Tn du nième " mode " est calculée par :

21

2

=

sny

nynn F

DLT π

(4.33)

136

Cette valeur Tn qui peut être différente de la période du système linéaire équivalent, devrait être utilisée dans l’équation (4.28).

Figure 4.3 : Courbe pushover et propriétés du système inélastique à un seul degré de liberté du nième "mode" 4 . 2 . 4 . 2 R é s u m é d e l a m é t h o d e ( A M T D )

La réponse inélastique d’une structure à N-étages possédant un plan de symétrie autour de deux axes orthogonaux soumise à une excitation sismique selon une direction, peut être estimée par la méthode temporelle relative à la procédure AMTD développée ci-dessus, et qui peut se décomposer selon les étapes suivantes :

ETAPE 1 :

Effectuer une analyse modale en calculant les fréquences propres, ωn et les modes propres, φn du système élastique linéaire.

ETAPE 2 :

Pour le nième "mode" de vibration, établir la courbe pushover (Vbn - urn) pour la distribution de force sn

*, donnée par l’équation (4.19) et incrémentée jusqu’à ce que la structure atteigne un déplacement cible du sommet prédéterminé pour le mode considéré. Ce déplacement cible est inconnu au début de la procédure, et des itérations s’avèrent être nécessaires. Cette étape est facilement effectuée en utilisant un logiciel par éléments finis.

ETAPE 3 :

Idéaliser la courbe pushover en courbe bilinéaire (Figure 4.3a), suivant la procédure donnée en annexe A1.

ETAPE 4 :

Convertir la courbe pushover idéalisée en relation Fsn/Ln - Dn (Figure 4.3b), en utilisant les équations (4.30) et (4.31).

Vbn

urny

ααααn kn

kn

Vbny

urn

(a) Idéalisation de la courbe

Fsn/Ln

Vbny/M*n

Dny= urny/Гnφφφφrn

ααααnωωωω²

Dn

ωωωω²n

(b) Relation Fsn/Ln - Dn

137

ETAPE 5 :

Calculer le déplacement Dn(t) et la pseudo-accélération, An(t) du nième "mode" du système inélastique à 1SDDL (Figure 4.5b), de masse unitaire et de relation de force-déplacement de la Figure (4.3b).

ETAPE 6 :

Calculer les différentes réponses en utilisant les équations (4.11) et (4.12).

ETAPE 7 :

Répéter les étapes 2 à 6 pour autant de modes jusqu’à obtention d’une précision suffisante. En général les deux ou trois premiers modes suffissent.

ETAPE 8 :

Combiner les réponses "modales" en utilisant les équations (4.14) et (4.15) pour déterminer la réponse totale.

ETAPE 9 :

Calculer la valeur maximale ro, de la réponse totale obtenue à l’étape 8.

4 .2 .5 Exemp l e d ’ap p l i ca t i on e t résu l t a t s de s i mu l a ti ons

La structure considérée dans cette application et qui constituera le fil conducteur applicatif a été réalisée par Wallace (Wallace, 1994), c’est un bâtiment de 30,5 m par 23 m (en plan) et de 5 étages, contreventé par un seul mur voile en béton armé de section (6,1x 0,61m²) et de hauteur 18.3 m (Figure 4.4). La hauteur h de chaque niveau est de 3,66 m. Seules les charges dans la direction nord-sud sont considérées ; donc, un mur voile simple est utilisé pour fournir la résistance latérale dans cette direction. L’élancement du mur est égal à 3 et le rapport de l’aire de la section du mur à la section total en plan du plancher est de 0,0053. Figure 4.4 : Vue en plan du bâtiment

138

La discrétisation du voile en macro-éléments et le ferraillage assigné à la section droite du mur sont montrés à la Figure 4.5.

Le voile est conçu suivant le code américain UBC (UBC, 1997). En utilisant la méthode proposée, nous estimerons le déplacement maximum inter-étage.

Figure 4.5 : Discrétisation du voile et ferraillage de la section droite Les principales caractéristiques définissant le comportement du béton et de l’acier sont récapitulés dans les Tableaux 4.1 et 4.2.

Tableau 4.1 : Caractéristiques principales du béton

Matériau Paramètre fbc ( MPa) 38 Ec (MPa) 30000 fbt (MPa) 2.1

Béton εt 2.5x10-4

Tableau 4.2 : Caractéristiques principales de l’acier

E0 (MPa) 200000 fsty (MPa) 434

Acier

α 0.02

4 . 2 . 5 . 1 A n a l ys e m o d a l e

L’analyse modale du modèle numérique nous permet d’obtenir les fréquences et les

déformées modales données dans le tableau 4.3 et par la Figure 4.6, en considérant la contribution des trois premiers modes. La structure est poussée progressivement en utilisant la distribution des forces latérales s*

n = mφn définies par l’équation (4.19) avec n = 1, 2, et 3 (Figure 4.7).

18.3

m

3.66m

3.66m

3.66m

3.66m

3.66m

61cm

14φ40

7.62 76.20 15.24 30.48

Ferraillage de la section droite

139

Tableau 4.3 : Modes et fréquences de la structure.

Modes Fréquences (HZ) Périodes (s)

1 15,46 0,41

2 70,83 0,09

3 146,2 0,043

-0.5 0 0.5 1Niv 0

Niv 1

Niv 2

Niv 3

Niv 4

Niv 5

Mode 1T=0.406 s

Mode 2T=0.09 s

Mode 3T=0.043 s

Composantes des formes modales

Niv

eau

d'ét

ages

Figure 4.6 : Trois premiers modes de vibration et leurs périodes correspondantes

0.5075

1.438

2.637

3.963

5.3

S1*

-3.921

-6.442

-5.333

-0.7

5.3

S2*

8.625

4.674

-5.942

-5.934

5.3

S3*

Figure 4.7 : Distribution de forces (s*n = mφn), n=1; 2 et 3.

140

Les résultats de l’analyse en poussée progressive (pushover) sont donnés sous forme d’une

courbe non-linéaire représentant la variation de l’effort tranchant à la base en fonction du déplacement au sommet de la structure. La figure 4.10 montre les courbes pushover de chaque mode ainsi que leurs idéalisations. Il est clair que le premier mode contribue beaucoup à la réponse globale de la structure.

0 5 10 15 20 25 300

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

Courbe Puhsover du mode 1et sa courbe idéalisée

Déplacement horizontal au sommet (cm)

Réa

ctio

n à

la b

ase

(kN

)

0 5 10 15 20 25 300

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4x 10

4

Courbe Puhsover du mode 2et sa courbe idéalisée

Déplacement horizontal au sommet (cm)

Réa

ctio

n à

la b

ase

(kN

)

Figure 4.8 : Analyse modale et courbes pushover pour les 3 premiers modes de vibration

141

0 5 10 15 20 25 300

1

2

3

4

5

6x 10

4

Courbe Puhsover du mode 3et sa courbe idéalisée

Déplacement horizontal au sommet (cm)

Ré

actio

n à

la b

ase

(kN

)

Figure 4.8 (suite) : Analyse modale et courbes pushover pour les 3 premiers modes de vibration 4 . 2 . 5 . 2 C a r a c t é r i s t i q u e s d u s ys t è m e é q u i v a l e n t

L’application des équations (4.30) à (4.33) donnent les différentes réponses caractérisant le système équivalent à un seul degré de liberté. Les résultats obtenus sont récapitulés dans le Tableau 4.4.

Tableau 4.4 : Caractéristiques du système équivalent à un seul degré de liberté

Mode urny(m) Dny(m) Vbny(N) Any(m/s2) Teff(s) 1 0,0401 0,029 6,7889 106 3,5463 0,5683 2 0,017 0,033 2,8557 107 49,8517 0,1616 3 0,0041 0,022 3,2782 107 266,67 0,0574

On remarque que la plastification du premier mode commence plus tôt que celle des deux

derniers modes, proportionnellement aux accélérations correspondantes comme cela est montré au Tableau 4.4. Ceci dit, les modes 2 et 3 sont rigides et élastiques. La réponse de la structure est donc totalement contrôlée par le premier mode.

La période Teff et la pseudo-accélération Any (caractéristiques du système équivalent), ainsi que la pente de la deuxième branche de la courbe pushover (Figure 4.8), permettent d’effectuer, grâce à la méthode temporelle simplifiée (AMTD), une analyse dynamique, dans laquelle le système équivalent est soumis à un chargement sismique représenté par des accélérogrammes synthétiques généré à partir du spectre élastique. Les résultats des simulations sont présentés dans le paragraphe suivant.

142

4 . 2 . 5 . 3 A n a l ys e d yn a m i q u e Des accélérogrammes synthétiques représentatifs ont été construits à partir des travaux de

Sabetta & Puglièse (1996), ont été employé dans cette étude pour obtenir en particulier l’histoire du déplacement. Plusieurs méthodes de génération des spectres existent, reproduisant plus au moins fidèlement les caractéristiques essentielles des séismes naturels. Nous avons utilisé le programme initialement développé par Lestuzzi (Lestuzzi, 2004) selon une méthode empirique basée sur la régression des relations d’atténuation d’une collection de séismes mesurés en Italie (95 accélérogrammes de 17 séismes). Ce programme a été modifié et implanté dans le code FedeasLab. La simulation est qualifiée de semi-empirique compatible avec le spectre de la composante horizontale du règlement PS92 (correspondant au site rocheux S0 calé sur une accélération du sol égale à 1.g, avec un amortissement de la structure de 5%). Plusieurs accélérogrammes sont nécessaires pour éviter de biaiser certains aspects du contenu fréquentiel du spectre de réponse reconnu comme la référence d’action sismique de la région. L’Eurocode 8 (EC8) prescrit l’usage d’un minimum de 3 accélérogrammes dont les 3 spectres « remplissent » correctement le spectre de calcul (Plumier et al., 2009).

Un jeu de six accélérogrammes synthétiques est utilisé pour l’analyse dynamique. Comme

le montre la Figure (4.9), le spectre de réponse de l’accélération (en fonction respectivement, de la fréquence et de la période) suit convenablement le spectre de réponse cible (en pointillé). La Figure 4.9 présente le spectre de chargement imposé, l’un des accélérogrammes généré, ainsi que son spectre.

(a) Séisme artificiel généré compatible avec le spectre de réponse du PS 92 Figure 4.9 : Caractéristiques du chargement sismique.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-2

0

2

temps [s]

accé

léra

tion

[m/s

²]

10-1

100

101

0

2

4

Fréquence [Hz]

Sa

[m/s

²]

10-1

100

101

0

2

4

Periode [T]

Sa

[m/s

²]

143

La Figure 4.10 représente l’histoire du déplacement en tête, relatif au système à un seul

degré de liberté. La réponse temporelle Dn(t) obtenue par le biais de l’équation (4.31), est convertie par la suite en déplacement au sommet du système à plusieurs degrés de liberté selon l’équation (4.11).

Figure 4.10 : Histoire de la réponse en termes de déplacements en tête du système équivalent

Les résultats présentés à la Figure 4.11 concernent l’évolution des déplacements et des

déplacements inter-étages en tête de la structure (système à plusieurs degrés de liberté), décomposée en ses composantes '' modales ''. Les valeurs maximales des déplacements de toit dû à chacun des trois '' modes '', sont respectivement de ur1 = 24,22 cm, ur2 = 1,13 cm et ur3 = 0,04 cm. Les déplacements inter-étages sont de l’ordre de : d1 = 1,67 cm ; d2 = 0.35 cm et d3 = 0,02 cm. Une première constatation est qu’au mode ''1'' correspondent des déplacements supérieurs par rapport aux deux derniers modes. Ceci pourrait en partie s’expliquer par la grande rigidité du bâtiment moyennement élancé et fortement ferraillé. Le comportement de la structure en termes de déplacements est principalement guidé par le premier mode, il est donc prépondérant (car le plus flexible) relativement aux deux autres modes (très rigides).

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -4

-2

0

2

• ← 2.1771

Temps (s)

Dn2

(cm

)

"Mode" 2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -0.2

0

0.2

0.4

0.6

•← 0.21666

Temps (s)

Dn3

(cm

)

"Mode" 3

0 1 2 3 4 6 7 8 9 10 -20

0

20•17.5126

Temps (s)

Dn1

(cm

) "Mode" 1 →

144

Figure 4.11 : Histoire de la réponse en termes de déplacements et déplacements inter-étages au sommet de la structure

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-2

0

2 •←1.6687

Temps (s)

d 1 (c

m)

"mode" 1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-2

0

2

•←0.34761

Temps (s)

d 2 (cm

)

"mode" 2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-2

0

2

•←0.022944

Temps (s)

d 3 (c

m)

"mode" 3

(b) Déplacements inter-étages au sommet

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-20

0

20

40

•←24.2126

Temps (s)

ur1 (c

m)

"mode" 1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-40

-20

0

20

40

•←1.124

Temps (s)

ur2 (c

m)

"mode" 2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-40

-20

0

20

40

•←0.039619

Temps (s)

ur3 (c

m)

"mode" 3

(a) Déplacements au sommet

145

La réponse totale du système en termes de déplacement u(t) est obtenue par la somme

algébrique des réponses dues aux trois modes (Figure 4.11) selon l’équation (4.14). Le résultat est montré à la Figure 4.12.

Figure 4.12 : Réponse totale du système en termes de déplacement au sommet u(t) L’équation 4.15 permet de calculer n’importe quel élément de réponse r(t), (par exemple les déplacements inter-étages, les forces internes…). En effet, La Figure (4.13) illustre les déplacements inter-étages temporels di(t) à chaque niveau de la structure dont les valeurs maximums sont récapitulés dans le Tableau 4.5. Figure 4.13 : Déplacements inter-étages temporels à chaque niveau de la structure

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-20

0

20

40

• ← 24.6175

Ur to

tale (

cm)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -1

0

1 • ← 0.72623

d1

(cm

)

"Niveau" 1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -2

0

2 • ←1.1579

"Niveau" 2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -2

0

2 • ←1.5274

"Niveau" 3

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -2

0

2 •←1.7548

"Niveau" 4

Temps (s)

d2

(cm

) d

3 (c

m)

d4

(cm

)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

•← 1.7919

"Niveau" 5 -2

0

2

d5

(cm

)

146

Tableau 4.5 : Déplacements inter-étages maximums à chaque niveau

Niveau 1 2 3 4 5 Déplacement inter-étage

max (cm) 0,7262 1,1579 1,5274 1,7548 1,7919

R e m a r q u e i m p o r t a n t e :

Les premiers résultats présentés ici, et en particulier les déplacements inter-étages calculés

(Tableau 4.5), constituent les éléments préliminaires de la solution de référence donnée par la méthode d’Analyse Modale Temporelle Découplée (AMTD). Nous exposerons rapidement dans ce qui suit les principes de base et les développements des différentes méthodes statiques non-linéaires basées sur la performance à savoir : Méthode d’Analyse Spectrale Non-Linéaire (MSNL), la Méthode d’Analyse Modale Pushover (AMP) et la Méthode de Combinaison Modale (MCM), suivie d’une étude comparative afin de dégager une synthèse des analyses effectuées et des résultats observés.

4 . 3 Méthod e d ’An a l ys e Sp ec t ra l e Non -L i néa i re (MSNL)

Le premier modèle mis en œuvre dans cette étude est celui de la méthode d’analyse Spectrale Non-linéaire (MSNL), inspirée de celle de la méthode N2, établie par P. Fajfar (Fajfar, 1999) et validée sur une structure-test au laboratoire ELSA (European Laboratory for Structural Assessment) en Italie. L’abréviation (N2) indique que la méthode est basée principalement sur la combinaison de deux modèles mathématiques tenant compte du comportement non-linéaire à savoir :

• La courbe de capacité obtenue par analyse pushover d’un système à plusieurs degrés

de liberté ; • L’analyse de la réponse spectrale d’un système à un seul degré de liberté.

4 . 3 . 1 P r i n c i p e d e l a m é t h o d e e t é q u a t i o n s :

Le principe du modèle (MSNL) consiste à superposer une courbe représentant la capacité

résistante d’une structure issue d’une analyse statique non-linéaire en poussée progressive (pushover) avec une courbe représentative de la sollicitation apportée par le séisme (le spectre de réponse). L’intersection de ces deux courbes évaluées à partir de considérations qui vont suivre représente un point de fonctionnement permettant d’évaluer le déplacement maximal que la structure subira et subséquemment son degré de pénétration dans le domaine plastique. La distribution de charges et le déplacement cible sont basés sur l’hypothèse que la réponse est fondamentalement contrôlée par un seul mode de vibration et que la forme de ce mode demeure constante durant le séisme. Des spectres non-linéaires, en lieu et place des spectres élastiques, avec un facteur d’amortissement et une période propre équivalents, sont utilisés.

147

L’analyse par cette méthode requiert donc à la fois la donnée d’une courbe représentative de la sollicitation sismique (demande de déformation) et celle d’une courbe issue de l’analyse statique non-linéaire (capacité) qui caractérisent l’« offre de déformation ».

La sollicitation sismique est représentée directement au format (Sa - Sd), c’est-à-dire par

une courbe reportant l’accélération spectrale associée à un séisme en ordonnée et le déplacement spectral en abscisse. La courbe représentant le comportement de la structure est directement issue de la courbe Pushover reliant la force appliquée au déplacement en tête (Vb en fonction de ut). Cette courbe n’est pas directement superposée au spectre (Sa - Sd) ; elle doit subir la conversion nécessaire pour homogénéiser ses paramètres en accélération spectrale Sa et en déplacement spectral Sd. la courbe Pushover subit donc les transformations suivantes :

*1M

VS b

a = 1,1 t

td

uS

φΓ= (4.34)

M*1 est la masse effective de la construction, liée à l’amplitude du premier mode de vibration

et aux masses mj des différents niveaux (équation (4.35)), φt,1 est l’amplitude du premier mode de vibration au sommet et Г1 est le facteur de participation modale correspondant au premier mode de vibration (équation (4.35)).

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=∗ =Γ

=N

jjj

N

jjj

N

jjj

N

jjj

m

m

m

m

M

1

21,

11,

1

1

21,

2

11,

1

φ

φ

φ

φ (4.35)

La procédure peut être décomposée selon les six étapes suivantes :

ETAPE 1: Introduction des données

L’on considère une structure à plusieurs degrés de liberté et un spectre de réponse élastique, dans lequel les accélérations (Sa) sont données en fonction des périodes naturelles (T) de la structure. Le spectre de réponse peut soit être un spectre réglementaire, enveloppe des spectres de nombreux séismes (par exemple le spectre de réponse de l’Eurocode 8, PS92,…), soit obtenu à partir d’un séisme particulier. ETAPE 2 : Transformation du spectre élastique au format accélérations-déplacements

Le spectre de réponse élastique (Figure 4.14a) est transformé du format traditionnel

accélérations-périodes (Sa-T) au format accélérations-déplacements (Sa-Sd) en utilisant la relation suivante :

aen

de ST

S2

2

4π= (4.36)

148

où Sae et Sde sont respectivement, l’accélération spectrale et le déplacement spectral correspondant aux périodes T, avec une constante d’amortissement visqueux fixée à 5% (Figure 4.14b).

(a) Spectre de réponse dans le format traditionnel accélérations-périodes

(b) Spectre d’accélération dans le format accélérations-déplacements Figure 4.14 : Transformation du spectre élastique (Sa-T) au format (Sa-Sd)

Basée sur le principe que la structure (M, K, ξ, données), est modélisée par un oscillateur

simple équivalent à un seul degré de liberté, caractérisé par :

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0

0.5

1

1.5

2

2.5

Périodes T(s)

Acc

élér

atio

ns S a

(g)

T=1s

T=2s

10 20 30 40 50 60 0

0.5

1

1.5

2

2.5

Spectre de déplacement Sd (cm)

Spe

ctre

d’a

ccél

érat

ions

S a

(g)

149

• Sa période propre

( )kmT π2= (en seconde) (4.37)

• Sa fréquence propre ou sa pulsation propre respectivement

Tf 1= (en Hertz); Tf ππω 2 2 == (en rad/s) (4.38)

• Sa constante d’amortissement critique

ωξ mCkmC 22 == (4.39)

Le spectre non-linéaire (inélastique), peut être facilement déterminé à partir du spectre

élastique (selon la proposition de Vidic et al., 1994) avec une relation force-déplacement bilinéaire en appliquant les expressions suivantes :

µR

SS ae

a = (4.40)

aaeded ST

ST

RS

RS

2

2

2

2

44 πµ

πµµ

µµ

=== (4.41)

où : Sa : spectre d’accélération non-linéaire; Sd : spectre de déplacement non-linéaire; µ: facteur de ductilité, défini comme le rapport entre le déplacement maximal et le déplacement à la limite élastique. Rµ: facteur de réduction du à la ductilité c’est-à-dire du à la dissipation d’énergie d’hystérésis.

Plusieurs propositions ont été faites pour la détermination du facteur de réduction Rµ et qui

ont fait l’objet d’une attention particulière (Newmark et Hall, 1982 ; Riddell, Hidalgo, et Cruz, 1989 ; Tso et Naumoski, 1991 ; Krawinkler et Nassar, 1992 ; Miranda et Bertero 1994). Parmi ces propositions l’on utilise celle donnée par les relations suivantes (Vidic et al. 1994) :

TT 1)1( c<+−=cT

TR µµ (4.42)

TT c≥= µµR (4.43)

150

Tc: est la période caractéristique du mouvement sismique. Elle est typiquement définie comme la période de transition où le segment des accélérations constantes du spectre de réponse (la gamme des courtes périodes) passe au segment des vitesses constantes du spectre (la gamme des moyennes périodes).

Les équations (4.41) et (4.43) indiquent que dans la gamme des moyennes et longues périodes, le principe des déplacements égaux s’applique (selon Veletsos et Newmark, 1960), c’est-à-dire que le déplacement du système non-linéaire est égal au déplacement du système élastique linéaire avec la même période. Les équations (4.42) et (4.43) représentent une version simple de la formule proposée par Vidic et al. (1994), avec bien entendu, certaines limites d’application (Fajfar, 2000).

A partir du spectre élastique de dimensionnement montré dans la Figure (4.14) et en utilisant les relations (4.40) à (4.43), on peut construire les spectres non-linéaires pour une ductilité µ constante, dans le format (Sa-Sd). Un tel ensemble de spectres est présenté dans la Figure (4.15).

Figure 4.15 : Détermination du spectre non-linéaire pour différentes ductilités ETAPE 3 : Analyse en poussée progressive (« Pushover »)

L’analyse "Pushover" est effectuée en appliquant sur la structure une distribution de forces latérales croissantes de façon progressive et incrémentées jusqu’à ce que le déplacement de la structure atteigne son maximum. La courbe traduisant le comportement de la structure est tracée en portant en abscisse le déplacement du sommet ut et en ordonnée l’effort tranchant à la base Vb (Figure 4.16).

Ce calcul non-linéaire est coûteux. C’est à cette étape que le recours aux macro-éléments

permettra une économie significative.

Spectre de déplacement Sd (cm)

Spe

ctre

d’a

ccél

érat

ion S a

(g)

0 10 20 30 40 50 0

0.5

1

1.5

2

2.5

60

µ=1 µ=2 µ=4 µ=6

151

Le choix d’une distribution appropriée de forces latérales constitue une étape très importante dans l’analyse "Pushover". Si on note par P, le vecteur des forces latérales, ce dernier peut être déterminé par l’expression suivante :

[ ]{ }φMpP = , iipmP φ= (4.44)

[M] : Matrice diagonale correspondant aux masses de chaque niveau ; { φ} : Vecteur forme normalisé pour le déplacement ; p : facteur qui contrôle l’amplitude des forces latérales.

Figure 4.16 : Principe d’établissement de la courbe Pushover

Une telle distribution a un sens physique (forces d’inertie exprimées en fonction des modes

et des masses), et reste d’utilisation simple quant à la transformation des systèmes à plusieurs degrés de liberté en systèmes à un seul degré de liberté (Fajfar et al., 1996). Cependant, n’importe quelle distribution raisonnable peut également être employée. La distribution de forces latérales reste constante pendant le processus de l’analyse pushover.

ETAPE 4 : Caractéristiques du système équivalent à un seul degré de liberté

Une fois la courbe pushover obtenue, on cherche à la transformer en une courbe de capacité équivalente reliant l’accélération d’une structure à un seul degré de liberté à son déplacement (Figure 4.17).

L’expression des déplacements de la structure originale en fonction des déplacements

modaux est donnée par l’équation (4.11). Si on prend seulement le mode fondamental, l’expression se réduit à :

)()( 1111 tDtu φΓ= (4.45)

Pour un instant donné, la relation entre le déplacement du toit ut (composante N de u(t)) et le déplacement correspondant au premier mode est :

Eff

ort

tran

chan

t à la

bas

e Vb

(kN

)

Déplacement du sommet ut (cm)

0 5 10 15 20 25 30 35 40 0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

Courbe Pushover

ut

Vb

P

152

Γ=∗ tu

u (4.46)

ce qui permet de relier les déplacements du point de contrôle de la courbe pushover aux déplacements correspondant à un seul système degré de liberté.

Pour obtenir une correspondance entre l’effort tranchant à la base de la courbe pushover et l’accélération correspondante du système à un seul degré de liberté, on peut prendre les forces latérales équivalentes statiques :

Γ=∗ V

F (4.47)

tel que { } { } ∑=

==N

iii

T mpMpV1

φιφ , l’effort tranchant à la base du système à plusieurs degrés

de liberté.

u* et F* sont respectivement le déplacement et la force équivalente du système à un seul degré de liberté.

La constante Γ, habituellement appelée facteur de participation modale, contrôle la

transformation des quantités du système à plusieurs degrés de liberté au système à un seul degré de liberté et vice versa. Il est déterminé à partir de l’équation suivante :

∑∑∑ ===Γ

2

*

2iiii

ii

T

T

m

m

m

m

M

M

φφφ

φφιφ

(4.48)

Figure 4.17 : Caractéristiques du système équivalent à un seul degré de liberté

La courbe pushover (F*-u*) ainsi obtenue, est idéalisée par une courbe bi-linéaire (Figure

4.17), ce qui permet de déterminer respectivement, la force et le déplacement à la limite élastique F*

y et uy* du système équivalent.

M1

M2

Mn

Vb

u* m*

F* u*

uy*

F*

Fy*

153

La période élastique du système équivalent peut être déterminée à partir de la courbe idéalisée, par l’expression suivante:

*

**

2y

y

F

umT π=∗

(4.49)

F*y et uy

* sont respectivement, la force et le déplacement à la limite élastique du système équivalent.

Finalement, le diagramme de capacité dans le format accélérations-déplacements (Sa-Sd)

est obtenu comme suit :

**

*

; uSm

FS da == (4.50)

ETAPE 5 : Détermination du déplacement du système équivalent Le calcul du déplacement du système équivalent à un seul degré de liberté dépend de sa

période élastique T* (équation (4.49)) et de la position de cette dernière par rapport à la période caractéristique Tc. Il peut être déterminé en utilisant une procédure graphique illustrée à la Figure (4.18). Les deux diagrammes du spectre de dimensionnement et de capacité sont tracés dans le même graphe. L’intersection de la droite correspondant à la période élastique de la courbe de capacité idéalisée T* avec le spectre de réponse élastique fournit l’accélération du système élastique (Sae) et le déplacement élastique correspondant (l’exigence). L’accélération à la limite élastique Say représente l’accélération du système non-linéaire (la capacité). Le facteur de réduction Rµ peut être définit comme le rapport entre les deux accélérations comme suit :

( )*

*

y

ae

ay

ae

µF

mTS

S

SR

∗

== (4.51)

Figure 4.18 : Détermination du déplacement du système équivalent

Spectre de déplacement

Sa

Sd = Sde

Sae

Say

T*

Sd u*

y

Spectre élastique

Courbe de capacité

Spectre inélastique

Tc

Spe

ctre

d’a

ccél

érat

ion

154

On distingue deux cas : 1. Premier cas : T* ≥≥≥≥ Tc

Si la période élastique est supérieure ou égale à la période caractéristique Tc, le

déplacement non-linéaire Sd est égal au déplacement élastique Sde conformément au critère de l’égalité des déplacements dans la gamme des moyennes et longues périodes (équations (4.40) et (4.43)). La Figure (4.19) illustre graphiquement cette étape (triangles semblables) et la ductilité définie par µ =Sd /uy

*, est égale au facteur de réduction selon les équations ci-après :

( )∗= TSS ded (4.52)

µµ R= (4.53)

2. Deuxième cas : T* < Tc

Dans le cas où la période élastique est inférieure à la période caractéristique Tc, la ductilité

peut être calculée (à partir de l’équation 4.42) comme suit (proposition de Vidic et al., 1994) :

( ) 11 +−= ∗T

TR c

µµ (4.54)

En se référant à la Figure (4.19b), le déplacement non-linéaire défini en fonction de la ductilité, est déterminé par les relations suivantes :

( )

−+== ∗T

TR

R

SuS cde

yd 11*µ

µ

µ (4.55)

Figure 4.19 : Spectres élastique et inélastique et le diagramme de capacité

Sa

(b) Courtes périodes

Sd = Sde

Sae

Say

T*> Tc

Sd

T*= Tc

Spectre élastique

Courbe de capacité

Spectre inélastique

(a) Longues et moyennes périodes

Sde Sd

Sae

Say

T*= Tc

Courbe de capacité

Spectre inélastique

Sa

Sdp

Spectre élastique

T*< Tc

155

La Figure 4.19 indique que si la structure réagit de manière élastique face au spectre de réponse (séisme), les deux courbes se coupent dans la partie linéaire de la courbe de capacité en un point appelé point de performance. Si l’endommagement a commencé, le point de performance est obtenu différemment selon la méthode utilisée (méthode en ductilité ou en amortissement). La valeur en déplacement du point de performance indique l’état de la structure, c’est-à-dire son niveau de performance ou encore son niveau d’endommagement. ETAPE 6 : Déplacement global du système à plusieurs degrés de liberté

Une fois le déplacement du système équivalent déterminé, il est transformé en déplacement maximum du système à plusieurs degrés de liberté (déplacement cible) en utilisant l’équation suivante (Figure 4.20) :

Γ= dt Su (4.56)

Figure 4.20 : Détermination du déplacement du système à plusieurs degrés de liberté 4 . 3 . 2 R é s u l t a t s d e s s i m u l a t i o n s

Reprenons l’exemple de la structure examinée en § 4.2.5 et effectuons une analyse de la

structure en considérant seulement la contribution du mode fondamental de vibration. Les résultats des simulations peuvent se présentés ainsi : 4 . 3 . 2 . 1 D é t e r m i n a t i o n d e s s p e c t r e s

Le bâtiment a été sollicité par la composante horizontale du spectre de réponse

règlementaire PS92 (Figure 4.21), correspondant au site rocheux S0 (Tc = 0,3 s), normalisé à une accélération du sol égale à 1.0g, avec un amortissement de la structure de 5%.

u*

m*

F*

M1

M2

Mn

Vb

u1

un

u2

…

…

156

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Sae

(g)

T (s) Figure 4.21 : Spectre élastique pour un sol rocheux

La Figure (4.22) représente le spectre élastique de déplacement en fonction des périodes

obtenus à partir de l’équation (4.36).

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

10

20

30

40

50

60

Sde

(g)

T (s)

Figure 4.22 : Spectre de déplacement.

Le spectre d’accélération ainsi que le spectre de déplacement sont conjointement

représentés en fonction de la période à la Figure (4.23).

157

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Sae

(g)

Sde

(cm

)

T (s) Figure 4.23 : Spectre élastique dans le format traditionnel

La détermination du spectre de réponse élastique dans le nouveau format accélérations-

déplacements se fait par une simple application de l’équation (4.46), et il prend la forme représentée à la Figure (4.24) :

0 10 20 30 40 50 600

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Sae

(g)

Sde (cm)

Tc

T=1s

T=2s T=3s

Figure 4.24 : Spectre élastique dans le format accélérations-déplacements

4 . 3 . 2 . 2 A n a l ys e e n p o u s s é e p r o g r e s s i v e ( « p u s h o v e r » ) La distribution des forces latérales dépend de la forme du premier mode (privilégie). On

considère que la structure oscille en prédominance dans le premier mode et que ses composantes sont normalisées de telle façon que le déplacement au sommet soit égal à 1. { Φ}= [0.1017 0.2833 0.5119 0.7583 1.0000].

158

Le vecteur des forces latérales est obtenu à partir de l’équation (4.33), et normalisé de sorte que la charge au sommet est égal à 1,0 : PT = [0.1592 0.2210 0.2744 0.4023 1.0].

Avec ce modèle de force, l’analyse en poussée progressive (« pushover ») reproduit la relation '' effort tranchant à la base (V) – déplacement au sommet (ut) '', représenté à la Figure 4.25.

0 5 10 15 20 250

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

Déplacement horizontal au sommet (cm)

Réa

ctio

n à

la b

ase

(KN

) Courbe pushover réelleCourbe pushover idéalisée

Mécanisme de fissuration du béton tendu

Mécanisme de plastification

Fy* = 6800

uy* = 4,0

Figure 4.25 : Courbe de capacité et son idéalisation

Cette courbe qui traduit le comportement du système à plusieurs degrés de liberté est

transformée en un système équivalent à un seul degré de liberté en utilisant les équations (4.46) et (4.47). La masse effective s’élève à m* = 1914.3 tonnes, et le facteur de participation modale Г1 (ou constante de transformation) est égal à 1,38 (équation (4.48). 4 . 3 . 2 . 3 I d é a l i s a t i o n d e l a c o u r b e ( « p u s h o v e r » )

La courbe pushover est idéalisée par une courbe bilinéaire (Figure 4.25), en utilisant une

équivalence basée sur l’égalité des énergies et en tenant compte notamment de l’effet de l’écrouissage et des considérations suivantes :

1) La rigidité initiale du système idéalisé est déterminée de telle manière que les surfaces

en-dessous des deux courbes « force-déplacement » réelle et idéalisée sont égales.

2) Les deux courbes se croisent à une force égale à 60 % de la limite élastique. Une procédure itérative est adoptée pour aboutir à une idéalisation de la courbe pushover (Annexe A1).

159

La force et le déplacement à la limite élastique du système équivalent s’élèvent à F*y =

6788,9 kN et uy* = 4,01 cm. La période élastique T* (équation (4.49)) est égale à 0,57 s. La

rigidité k* = 16930 kN/m. (k*= F*y / uy

*).

4 . 3 . 2 . 4 C o u r b e d e c a p a c i t é La courbe de capacité (Figure 4.26), transformée du format efforts-déplacements au format

(accélérations-déplacements), est obtenue en divisant les forces dans la courbe pushover idéalisée par la masse équivalente (équation (4.50)). L'accélération à la limite élastique vaut Say = F*

y / m* = 6788,9 /1914,3 = 3,55 m/s² = 0,36 g.

Figure 4.26 : Courbe de capacité

4 . 3 . 2 . 5 S p e c t r e i n é l a s t i q u e Le spectre inélastique se déduit du spectre élastique en réduisant ce dernier par le facteur

de réduction Rµ, et le calcul de facteur nous amène à calculer par la suite l’accélération élastique Sae et l’accélération inélastique Say.

Dans le cas du comportement purement élastique (structure non dissipative, conçue pour

rester élastique pendant tout le chargement sismique), la performance sismique est représentée par l’intersection du spectre de réponse élastique et la droite correspondant à la période du système équivalent (T*=0,57 s), ce qui permet d’obtenir graphiquement (Figure 4.21) l’accélération élastique.

La valeur Sae peut aussi être obtenue analytiquement en calculant l’accélération

correspondant à la période équivalente par l’application de l’expression suivante :

= *)(T

TRTS c

mae

0 5 10 150

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

u* (cm)

Sa

(g)

uy* = 4,01

Say = 0,36 g

160

avec : Rm = 2,5 g (facteur d’amplification dynamique donné par le spectre de réponse) et Tc = 0,3 s.

Tout calcul fait, on trouve l’accélération élastique Sae = 1,30 g. Le facteur de réduction Rµ peut aisément être exprimé ainsi (équation (4.51)) :

.6,336,0

30,1 ===g

g

S

SR

ay

aeµ

Les équations (4.42) à (4.43) sont employées pour obtenir les spectres de réponse

inélastiques. Dans notre cas, en divisant le spectre élastique par le facteur de réduction Rµ calculé, on obtient le spectre inélastique représenté par la Figure (4.27) :

0 5 10 15 20 250

0.5

1

1.5

2

2.5

Sd (cm)

Sa

(g)

Spectre inélastique

Spectre élastique

Figure 4.27 : Spectre élastique et spectre inélastique

4 . 3 . 2 . 6 P o i n t d e p e r f o r m a n c e :

La performance sismique du système équivalent à un seul degré de liberté est

graphiquement représentée par l’intersection de la courbe de capacité et le spectre de réponse réduit (sollicitation sismique) pour Rµ= 3,6 (Figure 4.28).

En première lecture, les valeurs Sae = 1,30 g et Sde = 10,6 cm sont directement lus sur le graphique de la Figure.

La période élastique du système T* = 0,57 s est plus grande que la période caractéristique

du sol Tc = 0,3 s. Ainsi le principe des déplacements égaux dans la gamme des moyennes périodes des systèmes élastique et inélastique (équations (4.41) et (4.43)) s’applique :

µ = Rµ= 3,6 et Sd = Sde = 10,6 cm.

Sachant que le déplacement maximal du système équivalent à un seul degré de liberté est

de 10,6 cm (Figure 4.28), le point de performance correspondant au déplacement maximal ut du mur voile est quant à lui estimé à 14,63 cm (ut=Г1.Sd,perf..φj,1 =1,38x10.6x1).

161

0 5 10 15 20 250

0.5

1

1.5

2

2.5

T = 0.57 s

Spectre de déplacement Sd (cm)

Spe

ctre

d'a

ccél

érat

ion

Sa

(g) Spectre inélastique

Spectre élastique

Courbe de capacité

Coure élastique

Sd, perf = 10,6 cm

Figure 4.28 : Détermination du point de performance (méthode MSNL)

Le Tableau 4.6 résume les résultats obtenus par l’application de la méthode MSNL :

Tableau 4.6 : Résultats de la méthode MSNL

Paramètres Valeurs

Ductilité 3,6

Accélération à la limite élastique (g) 0,36

Période élastique (s) 0,57

Rigidité (kN/m) 16930

Effort tranchant (kN) 9329,5

Déplacement à la limite élastique (m) 0,0401

Déplacement maximum (*) (m) 0,106

Déplacement maximum réel (m) 1,463 (*) : Système à un seul degré de liberté

Dans cette application, une évaluation des performances du mur voile a été faite. Dans la

méthode en capacité (directe), la procédure est inversée (Figure 4.28). Commençons à partir d’un déplacement cible ut = 14,63 cm. Le déplacement correspondant du système équivalent à un seul degré de liberté vaut Sd = 14,63 /1,38 = 10,6 cm. A partir du spectre de réponse de la Figure (4.28), il est évident que la période de la structure soit dans la gamme des moyennes périodes. Ainsi, le critère de l’égalité des déplacements s’applique. La période de la structure correspond donc à la droite radiale d’intersection du spectre élastique et la droite verticale correspondant au déplacement calculé Sd = 10,6 cm. Les valeurs de Sag=1,3 g et T*

=2π(Sd/Sae)1/2 = 0,57 s, sont facilement obtenues. Connaissant la ductilité, on peut déterminer

l’accélération requise du système ainsi que la résistance. Si on admet par exemple que la ductilité µ = 3,6 alors l’accélération est égale à Sa= Sae / 3,6 = 0,36 g. L’effort tranchant à la base requis du bâtiment est quant à lui égal à Vb = Г1 x m* x Sa = 9329,5 kN.

162

4 .3 .3 In d i ca t eu r d e d ég rad a t i on

En utilisant l’indicateur de dégradation global dG de la structure défini en § 3.4.3 par l’équation (3.2), l’on peut observer (Figure 4.29b) une dégradation assez rapide pour un déplacement compris entre (1 et 15cm), puis un ralentissement avec un seuil à 0.91.

Figure 4.29: Courbe Pushover et dégradation globale de la rigidité (mode 1) Enfin, Le calcul des déplacements au niveau des planchers et des déplacements inter-

étages à chaque niveau (Tableaux 4.7 et 4.8), permet d’estimer les erreurs de la méthode comparativement à celle de référence (AMTD). Elles sont en moyenne de 17% pour les déplacement et 25% pour les déplacements inter-étages.

Tableau 4.7 : Valeurs maximales des déplacements au niveau des planchers

Déplacement/Hauteur (%)

Niveau MSNL AMTD TM (*) Erreur (%)

1 0,4517 0,5472 -17,45 2 1,2603 1,4340 -12,12 3 2,1506 2,5357 -15,19 4 3,0700 3,8314 -19,87 5 3,9911 5,2222 -23,57

TM (*) : Tous les Modes Tableau 4.8 : Valeurs maximales des déplacements inter-étages

Déplacement inter-étages (%)

Niveau MSNL AMTD TM (*) Erreur (%)

1 0,4517 0,4553 -17,44 2 0,8086 0,8094 -10,63 3 0,8903 0,8913 -25,21 4 0,9194 0,9280 -33,48 5 0,9211 0,9343 -35,59

TM (*) : Tous les Modes

dG=(1-Kact/Kélast)

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 5 10 15 20 25

Déplacement horizontal au sommet (cm)

Dég

rada

tion

dGCourbe pushover (Mode 1)

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

0 5 10 15 20 25 30

Déplacement horizontal au sommet (cm)

Réa

ctio

n à

la b

ase

(kN

)

163

4 .4 Mé thod e d ’An a l ys e Mod a le Pus hov er (AMP)

La Méthode d’Analyse Spectrale Non-Linéaire est basée sur l’hypothèse que la réponse est fondamentalement contrôlée par un seul mode de vibration et que la forme de ce mode demeure constante durant toute la durée de l’excitation sismique.

Il est évident que cette hypothèse peut être parfois insuffisante, notamment après

plastification de la structure. Des investigations faites par plusieurs auteurs (Saiidi et Sozen, 1981 ; Miranda, 1991 ; Qi et Moehle, 1991 ; Lawson et al., 1994 ; Fajfar et Fischinger, 1988 ; Krawinkler et Seneviratna, 1998 ; Maison et Bonowitz, 1999 ; Gupta et Krawinkler, 2000) ont montré que cette hypothèse peut conduire à de bonnes prédictions de la réponse sismique globale d’un système à plusieurs degrés de liberté si ce dernier oscille dans son premier mode de vibration. Pour surmonter cette limitation, plusieurs auteurs ont proposé des distributions de charges adaptatives qui essayent de suivre la redistribution des forces d’inertie liée aux effets de variation des caractéristiques dynamiques durant la réponse inélastique, (Fajfar et Fischinger, 1988 ; Bracci et al., 1997 ; Gupta et Kunnath, 2000). Bien que ces distributions de charges adaptatives peuvent fournir de meilleurs résultats quant aux évaluations des exigences sismiques (Gupta et Kunnath, 2000), elles sont plus ou moins compliquées et exigent un outil informatique puissant pour leur application usuelle dans la pratique.

Dans toutes les méthodes précédentes la superposition modale est effectuée au niveau du chargement. La méthode d’Analyse Modale Pushover (AMP), initialement développée par Chopra et Goel (Chopra et Goel, 2002), amélioré par la suite par Goel et Chopra (Goel et Chopra, 2004), pour l’analyse des structures en acier, est appliquée afin d’estimer de meilleure façon la réponse maximale du mur voile. Elle consiste à découpler une structure à plusieurs degrés de liberté en plusieurs modes et la réponse totale dynamique de la structure s’obtient en combinant les réponses d’un nombre réduit de modes jugées prépondérants. Bien que, théoriquement, la superposition des réponses modales ne s’applique pas dans la phase inélastique de la réponse (les modes ne sont plus découplés), Goel et Chopra (Goel et Chopra, 2004) ont prouvé que l’erreur, considérant les résultats de l’analyse temporelle non-linéaire, est en général plus petite que dans le cas où la superposition est effectuée au niveau du chargement (avec un modèle fixe de chargement), comme recommandé dans les directives du code FEMA-356 (Kappos et al., 2004) ; ces directives adoptent la procédure statique non-linéaire (NSP), c.-à-d. analyse pushover, avec deux modèles différents de charge, le premier est similaire au chargement du mode fondamental (distribution '' triangulaire '') et le second avec une distribution '' modale '' (combinaison de type SRSS des charges modales élastiques).

Comme décrit dans le paragraphe 4.2.4, l’analyse statique non-linéaire en poussée

progressive suivant une distribution de forces latérales sn* = mφn, peut fournir une estimation

de la valeur maximale rno de la réponse rn(t) en termes de déplacements inter-étages, de forces internes…).

La valeur rno représente en effet la valeur maximale exacte de la contribution du nième mode

rn(t) à la réponse r(t). Ainsi, nous nous référerons à rno comme la réponse " modale " maximale du système non-linéaire sollicité par Peff,n (t).

Les réponses "modales" maximales, rno déterminées par chaque analyse pushover, seront

combinées en utilisant une règle appropriée de combinaison modale (SRSS ou CQC), pour obtenir une estimation de la valeur maximale de la réponse totale ro. Du point de vue

164

méthodologique, la méthode AMP est une simple adaptation de la méthode temporelle non-linéaire. Cependant, le processus exige en soi un effort considérable à moins que très peu de modes soient considérés dans le calcul. Sous sa forme originale, la méthode AMP requiert plusieurs analyses pushover effectuées pour chaque mode indépendamment. 4 . 4 . 1 L i m i t e s d e l a m é t h o d e AMP

En évaluant la potentialité de la méthode AMP, on doit noter que la procédure est basé sur trois principales approximations : (a) le couplage des coordonnées modales liées aux modes du système linéaire correspondant, résultant de la plastification de la structure, est pratiquement négligé, et (b) l’évaluation de la réponse totale est obtenue en combinant les réponses modales '' maximales '' en utilisant une règle statistique de combinaison (c) le modèle de charge appliqué est lui-même invariable dans chaque étape de la procédure. Dans un autre développement récent, Aydinoglu (Aydinoglu, 2004) a proposé une extension de la procédure AMP dénommée (« Incremental Response Spectrum Analysis, IRSA »), qui permet de tenir compte dans chaque pas de charge, de la variation des propriétés dynamiques de la structure lors de l’apparition des rotules plastiques dans la structure. 4 . 4 . 2 R é s u m é d e l a m é t h o d e A M P

La réponse non-linéaire maximale de la structure à plusieurs degrés de liberté soumise à

une excitation sismique représentée par les forces Peff (t) pour une distribution spatiale s*n,

(équations (4.1) à (4.5)), peut être décomposée selon les étapes suivantes :

ETAPE 1 :

Effectuer une analyse modale en calculant les fréquences propres, ωn et les modes propres, φn du système élastique linéaire.

ETAPE 2 :

Pour le nième "mode" de vibration, établir la courbe pushover (Vbn - urn) pour la distribution de force sn

*, donnée par l’équation (4.19) et incrémentée jusqu’à ce que la structure atteigne un déplacement cible du sommet prédéterminé pour le mode considéré. Ce déplacement cible est inconnu au début de la procédure, et des itérations s’avèrent être nécessaires. Cette étape est facilement effectuée en utilisant un logiciel par éléments finis.

ETAPE 3 :

Idéaliser la courbe pushover en courbe bilinéaire (Figure 4.3a), suivant la procédure décrite en annexe A1.

ETAPE 4 :

Convertir la courbe pushover idéalisée en relation Fsn/Ln - Dn (Figure 4.3b), en utilisant les équations (4.29) et (4.30).

ETAPE 5 :

Calculer pour chaque mode, le déplacement maximal Dn = maxt |Dn(t)|. Pour un système à un seul degré de liberté ayant une période Tn et un coefficient d’amortissement ξn connus (Figure 3.3b), et soumis à une sollicitation sismique üg(t), le déplacement maximal Dn peut être

165

calculée par une analyse dynamique temporelle non-linéaire simplifiée en résolvant l’équation (4.27), ou tirée directement à partir du spectre de réponse non-linéaire.

ETAPE 6 :

Calculer le déplacement maximal urno, lié au mode "n", du système inélastique à partir de l’équation (4.20).

ETAPE 7 :

A partir de la base de données de l’analyse pushover (étape 2), extraire pour chaque mode, les éléments de réponse nécessaires (rn), correspondant à chaque valeur urno, (dans notre cas les déformations inter-étages).

ETAPE 8 :

Répéter les étapes 3 à 7 pour autant de "modes" que nécessaire jusqu’à l’obtention d’une précision satisfaisante. Généralement les 3 premiers modes suffisent.

ETAPE 9 :

Déterminer la réponse totale maximale (rAMP), en utilisant une règle de combinaison "modale" appropriée. On utilise souvent la règle SRSS donnée par l’expression (4.17).

4 . 4 . 3 R é s u l t a t s d e s i m u l a t i o n s

Reprenons l’exemple de la structure analysée précédemment en § 4.2.5. Une analyse

modale du système a été effectuée en considérant la contribution des trois premiers modes. Les résultats de référence son présentés en § 4.2.5.1 (Tableau 4.3 et Figures 4.6 et 4.7). La Figure 4.30 illustre les courbes pushover pour les 3 premiers modes de vibration rassemblés dans le même graphe, permettant de distinguer leur comportement. En effet, les deux derniers modes montrent une pente initiale élastique plus raide que le premier mode qui atteint la plastification dès les premiers pas de charges.

0 5 10 15 20 250

1

2

3

4

5

6x 10

4

Déplacement horizontal au sommet (cm)

Ré

actio

n à

la b

ase

(K

N)

Mode 1

Mode 2

Mode 3

Figure 4.30 : Courbes pushover pour les 3 premiers modes de vibration

166

Les facteurs de participation modale valent respectivement Γ1 = 1,38, Γ2 = -0,52, Γ3 = 0.18.

Le déplacement maximal au sommet dû à chacun des trois " modes " vaut respectivement ur10 = 14,64 cm, ur20 = 0,84 cm et ur30 = 0,024 cm. Les valeurs maximales des déplacements au niveau des planchers et les déplacements inter-étages à chaque niveau (étage) sont présentés aux Tableaux 4.9 et 4.10, qui contiennent également les réponses combinées dues à un, deux, et trois modes (en utilisant la combinaison modale SRSS) et les erreurs en % par rapport aux valeurs "exactes" issues de la méthode d’Analyse Modale Temporelle Découplée (AMTD).

Tableau 4.9 : Valeurs maximales des déplacements au niveau des planchers

Déplacement/Hauteur (%)

Réponse " Modale" AMP (Combinée) Erreur (%)

Niveau (a) (b) (c) (d) (e) (f)

AMTD TM(*) (d) (e) (f)

1 0,4517 -0,0574 0,0100 0,4517 0,4553 0,4554 0,54715 -17.45 -16.78 -16.76 2 1,2603 -0,0937 0,0057 1,2603 1,2637 1,2638 1,434 -12.12 -11.87 -11.87 3 2,1506 -0,0520 -0,0064 2,1506 2,1512 2,1512 2,5357 -15.19 -15.16 -15.16 4 3,0700 0,0739 -0,0065 3,0700 3,0709 3,0709 3,83135 -19.87 -19.84 -19.85 5 3,9911 0,2305 0,0059 3,9911 3,9977 3,9977 5,22215 -23.57 -23.45 -23.45

Tableau 4.10 : Valeurs maximales des déplacements inter-étages

Déplacement inter-étages (%)

Réponse " Modale" AMP (Combinée) Erreur (%)

Niveau (a) (b) (c) (d) (e) (f)

AMTD TM(*) (d) (e) (f)

1 0,4517 -0,0574 0,0100 0,4517 0,4553 0,4554 0,7262 -17,445 -16.781 -16.760

2 0,8086 -0,0363 -0,0044 0,8086 0,8094 0,8094 1,1579 -10,633 -10.543 -10.542

3 0,8903 0,0417 -0,0120 0,8903 0,8913 0,8914 1,5274 -25,218 -25.136 -25.129

4 0,9194 0,1259 -0,0001 0,9194 0,9280 0,9280 1,7548 -33,484 -32.863 -32.863

5 0,9211 0,1565 0,0124 0,9211 0,9343 0,9344 1,7919 -35,593 -34.670 -34.664 TM (*) : Tous les Modes (a) déplacement dû au premier mode (d) déplacement dû à la combinaison SRSS (1mode) (b) déplacement dû au second mode (e) déplacement dû à la combinaison SRSS (2 modes) (c) déplacement dû au troisième mode (f) déplacement dû à la combinaison SRSS (3 modes)

La figure (4.31) illustre la réponse de la structure en termes d’effort tranchant à la base -

déplacement horizontal au sommet, pour les trois premiers modes de vibration identifiés pour différents valeurs de l’accélération maximale : 0,1g ; 0,25g ; 0,5g ; 0,75g ; 0,85g ; 1g ; 1,5g. On constate que la plastification de la structure pour les deux premiers modes est rapidement atteinte (plus ou moins importante pour le mode 1), lors des premières excitations sismiques (spectre de réponse) pour des valeurs faibles en (0,1g ; 0,25g ; 0,5g). Le mode 3 apparaît nettement rigide et la structure est purement élastique. Les trois courbes montrent également une pente de rigidité initiale absolument différente, ce qui distingue les forces et les déplacements à la limite élastique ou seuil de plasticité.

167

0 5 10 15 20 250

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

Déplacement horizontal au sommet (cm)

Réa

ctio

n à

la b

ase

(kN

)

(a) Courbe pushover Mode 1

0.1

0.25

0.5 0.75

0.85 1

1.5

uy = 4,0 cm; Vby = 6789 kN

0 5 10 150

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4x 10

4

Déplacement horizontal au sommet (cm)

Ré

act

ion

à la

ba

se (

kN)

(b) Courbe pushover '' Mode '' 2

0.1

0.25

0.5 0.75 0.85 1

1.5

uy = 1,71 cm; Vby = 28558 kN

Figure 4.31 : Courbes pushover " modales " avec identifiés pour différents valeurs de l’accélération maximale de sol (0,1 ; 0,25 ; 0,5 ; 0,75 ; 0,85 ; 1 et 1,5)g

168

0 5 10 15 20 25 300

1

2

3

4

5

6x 10

4

Déplacement horizontal au sommet (cm)

Ré

act

ion

à la

ba

se (

kN)

0.1 0.25 0.5 0.75 0.85 1

1.5

(c) Courbe pushover Mode 3

uy = 0.41 cm ; Vby = 32800 kN

Figure 4.31 (suite) : Courbes pushover " modales " avec identifiés pour différents valeurs de l’accélération maximale de sol (0,1 ; 0,25 ; 0,5 ; 0,75 ; 0,85 ; 1 et 1,5)g

La Figures 4.32 illustre la réponse combinée en termes de déplacement au niveau des

planchers et de déplacements inter-étages, estimée par la méthode d’Analyse Modale Pushover (AMP), comparée à celle de la méthode d’Analyse Modale Temporelle Découplée (AMTD), en considérant un, deux, et trois " modes, " respectivement. Comme montré dans la figue 4.32 et les deux Tableaux 4.9 et 4.10, l’analyse modale pushover AMP sous-estime légèrement les déplacements au niveau des planchers inférieurs par rapport aux planchers supérieurs, comparativement à la méthode AMTD. Les déplacements inter-étages sont également sous-estimés. Ceci est peut être du à l’approximation inhérente de la règle de combinaison modale (SRSS) utilisée dans la méthode AMP.

La figure 4.33 présente l’évaluation des erreurs dans l’estimation des déplacements au

niveau des planchers et des déplacements inter-étages par la méthode AMP comprenant un, deux, et trois modes. L’on peut constater également que les erreurs diminuent faiblement même si l’on considère la contribution des modes supérieurs à la réponse. Ceci peut être expliqué par le fait que le mur voile considéré est très rigide (Figure 4.30). Par conséquent, la réponse est beaucoup plus influencée par le premier mode prépondérant, ce dernier capable seul à estimer adéquatement les déplacements inter-étages, ce qui caractérise en général le comportement du mur voile par rapport aux structures flexibles comme dans le cas des portiques.

169

0 2 4 6 80

1

2

3

4

5Déplacements de planchers

Déplacement/Hauteur(%)

Eta

ges

AMTD

AMP 1 " Mode "AMP 2 " Modes "

AMP 3 " Modes "

0 0.5 1 1.5 20

1

2

3

4

5Déplacements inter-étages

Déplacement inter-étage/Hauteur(%)

Eta

ges

AMTD

AMP 1 " Mode "AMP 2 " Modes "

AMP 3 " Modes "

Figure 4.32 : Variation sur la hauteur des déplacements de planchers et des déplacements inter-étages par la méthode AMP et AMTD pour les trois modes

-25 -20 -15 -10 -5 00

1

2

3

4

5Déplacements de planchers

Erreurs(%)

Eta

ges

AMP 1 " Mode "

AMP 2 " Modes "

AMP 3 " Modes "

-40 -30 -20 -10 00

1

2

3

4

5Déplacements inter-étages

Erreurs(%)

Eta

ges

AMP 1 " Mode "

AMP 2 " Modes "

AMP 3 " Modes "

Figure 4.33 : Erreurs dans l’estimation des déplacements au niveau des planchers, et des déplacements inter-étages par la méthode AMP comprenant un, deux, et trois " modes.

170

4 .5 M é t h o d e d e s C o m b i n a i s o n s M o d a l e s ( M C M )

La méthode précédente d’Analyse Modale Pushover (AMP) qui tient compte de la contribution des modes les plus élevés, est en général basée sur le concept de découplage des effets de chaque mode. Les réponses modales sont ensuite combinées pour trouver la réponse totale de la structure. Un choix attrayant utilisé originalement par Matsumori (Matsumori et al., 1999), dans lequel la combinaison est effectuée numériquement en additionnant et en soustrayant la contribution des différents modes. Pour une meilleure estimation de la réponse sismique de la structure, ils ont utilisé deux modèles de distribution de forces : la somme et la différence de deux distributions de forces modales, respectivement. Dans leur étude, ils ont considéré seulement le premier et le deuxième mode, dont l’analyse a été effectuée séparément pour chaque mode. La mise en application de la méthodologie a fournit une bonne corrélation avec les résultats issus de l’analyse temporelle non-linéaire.

4 .5 .1 P r i n c ip e de l a mé t hod e :

Le principe de la méthode des combinaisons modales est basé sur la méthode d’analyse modale spectrale, la plus fréquemment utilisée pour l’analyse sismique des structures. L’idée de séparer les composantes de la fonction de charge dépendant du temps dans l’équation du mouvement dynamique est discutée par Clough et Penzien (Clough et Penzien, 1993). La méthode présentée ici est basée sur la procédure décrite en § 4.2.2, selon la procédure donnée par Chopra (Chopra, 2001). L’équation (4.1) donne la réponse d’un système à plusieurs degrés de liberté soumise à une excitation sismique.

Rappelons que la distribution spatiale des forces latérales pouvant être utilisée conjointement avec une analyse pushover, est exprimée en termes de contribution modales maximales comme suit :

),( nnannn TSmf ζΦΓ= (4.57)

Les forces modales calculées par l’équation (4.57) représentent la contribution du nième

mode seulement, où Sa est l’accélération spectrale du chargement sismique donné, pour une fréquence naturelle de vibration ωn correspondant à une période Tn et un coefficient d’amortissement ζn du nième mode.

Proposée originalement par S. K. Kunnath (2004), la méthode (MCM) tient compte

également de l’effet des modes les plus élevés par une nouvelle procédure améliorée en utilisant une forme de combinaison factorielle des charges latérales appliquées donnée par une analyse modale.

La procédure de la méthode de combinaisons modales implique l’identification appropriée

des modes retenus pour l’analyse et la manière dans laquelle la combinaison sera effectuée, elle exige par ailleurs, une analyse de valeurs propres à l’état élastique initial de la structure.

Le principe de base de cette méthode consiste à calculer la réponse due à différentes

combinaisons de charges latérales pour différents modes. En général, la variation spatiale des forces appliquées sera calculée à partir de l’expression suivante (Kunnath, 2004) :

171

∑ ΦΓ= nn

n nnanmnnj TSmF1

),(ζα (4.58)

[ ] [ ]{ }[ ] [ ][ ]n

Tn

Tn

nm

m

φφιφ=Γ

(4.59)

où Fj est la force latérale appliquée au niveau j ; φn est le vecteur propre relatif au nième

"mode"; Sa est l’accélération spectrale pour la période correspondante au nième mode ; Гn est le facteur de participation modale lié au mode n donné par l’expression de l’équation (4.59) ; et αn est un facteur de couplage, qui peut être utilisé pour contrôler les effets relatifs de chaque mode introduit dans la combinaison. Il a été suggéré par plusieurs auteurs (Chopra et al., 2004 ; Kunnath, 2004), que le mode fondamental est privilégié, et sa contribution est d’un effet prépondérant, la combinaison devrait alors exclure le premier mode, ou sa contribution devrait être réduite par utilisation de ce facteur de modification. Une valeur unité de signe positive ou négative peut être assignée à ce facteur, cependant, la réponse peut être sensible à ce paramètre si la participation modale est faible mais l’accélération spectrale pour les modes supérieurs est significative (Kunnath, 2004). La sommation dans l’équation (4.60) peut inclure autant de modes selon la nécessité pour représenter adéquatement les modes critiques et leur contribution à la réponse. Si les trois premiers modes sont considérés, la combinaison suivante sera utilisée :

),(),(),( 333332222211111 TSmTSmTSmF aaaj ζαζαζα ΦΓ±ΦΓ±ΦΓ= (4.60)

La procédure, par conséquent, requiert plusieurs analyses pushover, où une série de

modèles de charges modales sont appliqués. Dans chaque cas, le modèle de charge lui-même est invariable. Afin d’effectuer une bonne estimation des déplacements et des forces internes, il est nécessaire de considérer les réponses maximales en terme de déplacement à chaque niveau d’étage et ensuite établir une enveloppe (ou base de données) de valeurs maximales de déplacements inter-étages, valable pour une analyse performantielle.

Deux questions importantes qui découlent évidemment de la formulation ci-dessus

(équation (4.60)), se posent : quels modes devraient être précisément retenus dans la combinaison et comment calculer les facteurs de modification (ou de couplage) αi ?

Des études préliminaires effectuées sur plusieurs structures de diverses hauteurs, indiquent

que le nombre de modes à retenir dans l’analyse est fonction de la hauteur de la structure. Toutefois, un seul mode (fondamental) suffit pour les structures de petite hauteur, alors que plusieurs modes sont nécessaires pour les structures de grande hauteur. Pas plus de trois modes étaient nécessaires pour obtenir une réponse raisonnable dans tous les cas considérés (Chopra et al., 2004 ; Kunnath, 2004).

4 .5 .2 Exemp l e d ’ap p l i ca t i on La méthode proposée a été mise en application en utilisant le modèle de la structure

analysée précédemment en § 4.2.5, dans lequel une analyse de valeurs propres a été conduite. Le Tableau 4.11 donne les propriétés dynamiques essentielles de la structure issues de cette

172

analyse modale à savoir : les périodes propres et les contributions modales relatives (équivalents à la contribution des masses modales).

On peut constater que la participation modale des deux premiers modes est estimée à 72,24 et 21. 62 %, respectivement, ainsi plus de 90 % de la réponse totale. La prise en compte du 3ème mode couvre environ 98,5 % des contributions modales à la réponse. L’équation (4.58) est utilisée pour estimer les forces latérales entrant dans l’analyse, la distribution spatiale résultante est illustrée à la Figure 4.34. Seulement les deux premiers modes sont présentés.

Tableau 4.11 : Propriétés dynamiques de la structure

Mode 1 Mode 2 Mode 3 Mode 4 T1 PM* % T2 PM* % T3 PM* % T4 PM* %

0,4057 72,24 0,0887 21,62 0,0430 4,64 0,0304 1,26 PM* : Participation Modale en %.

En se référant à la Figure 4.34, il est clair que la somme modale des deux premiers modes

amplifiera les forces au niveau des étages inférieurs et que la différence modale amplifiera les forces au niveau des étages supérieurs. Par ailleurs, l’enveloppe des deux combinaisons modales fournira alors une évaluation conservatrice des déplacements inter-étages sur toute la hauteur de la structure. Sans tenir compte des facteurs de couplage, la combinaison des deux premiers modes utilisés s’exprime comme suit :

),(),( 22221111 TSmTSmF aaj ζζ ΦΓ±ΦΓ= (4.61)

Les forces modales résultantes à utiliser dans l’analyse pushover sont montrées à la Figure

4.35.

0 5000 10000 150000

1

2

3

4

5

Niv

eau

d'ét

age

Force latérale (kN)

Mode 1

-10000 -5000 0 5000 100000

1

2

3

4

5

Niv

eau

d'ét

age

Force latérale (kN)

Mode 2

Figure 4.34 : Distribution spatiale des forces latérales (chaque mode indépendant)

173

0 5000 10000 150000

1

2

3

4

5

Niv

ea

u d

'éta

ge

Force latérale (kN)

Mode 1+Mode 2

-5000 0 5000 100000

1

2

3

4

5

Niv

ea

u d

'éta

ge

Force latérale (kN)

Mode 1-Mode 2

Figure 4.35 : Distribution spatiale des forces latérales (combinaison modale)

Des analyses pushover ont été effectuées d’abord en utilisant les deux distributions

modales de la Figure 4.34 indépendamment. Ensuite, les combinaisons modales de la Figure 4.35 sont utilisées comme forces latérales appliquées. Dans les deux cas, les charges latérales ont été incrémentées jusqu’à ce que le déplacement cible soit atteint. Les résultats de l’analyse en termes de déplacement latéral à chaque niveau d’étage sont présentés à la Figure 4.36. L’on peut observer que l’accroissement du déplacement aux niveaux supérieurs du au deuxième mode est évident pour le premier cas (chaque mode indépendant), et aussi pour le deuxième cas du à la différence modale (mode 1 − mode 2). Le problème majeur relatif à la réponse obtenue à partir des analyses modales pushover indépendantes est le besoin de développer une procédure pour leur combinaison. La Figure 4.37 illustre l’enveloppe des déplacements relatifs inter-étages pour chaque cas. Nous constatons que les déplacements aux niveaux intermédiaires sont considérablement surestimés et ceux des niveaux inférieurs et supérieurs sont légèrement surestimés. Si les résultats des analyses modales pushover sont combinés, on peut constater une légère sous-estimation des déplacements mais l’enveloppe reste surestimée à tous les niveaux comparativement à la méthode AMTD.

174

-20 0 20 400

1

2

3

4

5

Niv

eau

d'et

age

Déplacement latéral (cm)

Mode 1

Mode 2

0 10 20 300

1

2

3

4

5

Niv

eau

d'et

age

Déplacement lateral (cm)

Mode 1+Mode 2

Mode 1-Mode 2

Figure 4.36 : Déplacement obtenu (a) chaque mode indépendant ; (b) combinaison modale

0 1 2 30

1

2

3

4

5

Niv

eau

d'ét

age

Déplacement inter-étage (%)

CombinaisonChaque modeAMTD

Figure 4.37 : Enveloppe des déplacements maximaux pour les différentes approches

175

Rappelons que seulement les deux premiers modes liés à la distribution des forces latérales ont été considérés. La contribution des modes supérieurs semble nécessaire ou bien les facteurs de modification peuvent être indispensables pour améliorer l’évaluation de la réponse de la structure. Par ailleurs, une étude complémentaire doit être effectuée afin de pouvoir tenir compte de ces facteurs de modification au lieu d’utiliser des combinaisons arbitraires pour améliorer l’estimation des déplacements. Une nouvelle approche est proposée afin d’identifier la contribution des différents modes critiques à la réponse. Le concept de base pour telle approche est expliqué dans le paragraphe suivant.

4 .5 .3 App roche d e co mb ina i son mo d a le p ro pos ée

Il a été suggéré par plusieurs auteurs (Chopra et al., 2004 ; Kunnath, 2004), que le mode fondamental est privilégié, et sa contribution est d’un effet prépondérant. Ceci dit que, lorsque on considère des modes plus élevées, la combinaison devrait réduire l’effet du premier mode par utilisation du facteur de modification αi (tel que 1<iα ).

Pour illustrer ce concept, nous considérons de nouveau la structure de 5 étages. Plusieurs

analyses pushover ont été effectuées en utilisant les combinaisons suivantes :

• Mode 1 ± mode 2 → 2 simulations • Mode 2 ± mode 3 → 2 simulations • α1 x Mode 1 ± mode 2 (± mode 3) → 4 simulations • α1 x Mode 1 ± α 2 x mode 2 ± α3 x mode 3 → 4 simulations Les facteurs de modification αi sont obtenus en divisant, à l’état élastique initial du

système, l’accélération spectrale correspondant à chaque période modale par la somme des accélérations spectrales des modes considérés :

∑=

=n

iia

iai

TS

TS

1

)(

)(α (4.62)

où n est le nombre de modes considérés. Les facteurs de modification valent respectivement αi = 0,36 ; 0,37 et 0.28.

La Figure 4.38 présente les différentes combinaisons modales utilisées pour effectuer des

analyses en poussée progressive (pushover). Les résultats des analyses sont montrés à la Figure 4.39. La numérotation utilisée (de 1 à 12) sur la Figure 4.39 correspond au même ordre que la combinaison modale montrée à la Figure 4.38.

176

0 0.5 10

1

2

3

4

5M1+M2

-0.5 0 0.5 10

1

2

3

4

5M1-M2

-1 0 10

1

2

3

4

5M2+M3

-1 0 10

1

2

3

4

5M2-M3

-0.5 0 0.5 10

1

2

3

4

5α1*M1+M2

-0.5 0 0.5 10

1

2

3

4

5α1*M1-M2

0 0.5 10

1

2

3

4

5α1*M1+M3

-0.5 0 0.5 10

1

2

3

4

5α1*M1-M3

0 0.5 10

1

2

3

4

5α1*M1+α2*M2+α3*M3

0 0.5 10

1

2

3

4

5α1*M1+α2*M2-α3*M3

-0.5 0 0.5 10

1

2

3

4

5α1*M1-α2*M2+α3*M3

-0.5 0 0.5 10

1

2

3

4

5 α1*M1-α2*M2-α3*M3

Figure 4.38 : Combinaisons modales utilisées pour évaluer l’enveloppe des déplacements inter-étages

177

0 10 20 30 40 50 600

1

2

3

4

5

6x 10

4

1

2

3

4

5

6

7

8

910

1112

Déplacement horizontal au sommet (cm)

Réa

ctio

n à

la b

ase

(kN

)

Figure 4.39 : Courbes en poussée progressive (pushover) de différentes combinaisons modales

Bien que les contributions relatives entre les modes semblent inchangées (en moyenne) à

l’état élastique et inélastique, les réponses en termes de déplacements réels peuvent être différentes. Le Tableau 4.12 fournit une liste des différentes contributions modales qui reproduisent le déplacement inter-étage maximal pour un niveau d’étage donné. En examinant ce Tableau ainsi que la Figure (4.40), nous constatons une amélioration significative des résultats par rapport à la méthode AMTD.

Tableau 4.12 : Combinaisons modales utilisées pour évaluer l’enveloppe des déplacements inter-étages

Niveau d’étage Déplacements inter-

étages (AMTD) Valeurs de l’enveloppe

modale

Combinaison modale utilisée

5 1.7919 1.4894 α1M1+M2 4 1.7548 1.4916 α1M1-M2 3 1.5274 1.4756 α1M1+α2M2+α3M3 2 1.1579 1.4087 M1-M2 1 0.7262 0.8182 α1M1-M3

178

0 0.5 1 1.5 2 2.50

1

2

3

4

5

Niv

eau

d'ét

age

Déplacement inter-étage (%)

Enveloppe modaleChaque modeAMTD

Figure 4.40 : Simulation améliorée des déplacements inter-étages utilisant différentes combinaisons issues des trois premiers modes

4 .6 Co mp ara i s on d es d i f f é ren t es app ro ches s i mp l i f i ées Les réponses non-linéaires du mur voile sont déterminées en utilisant les trois modèles

(MSNL, AMP et MCM). La prise en compte du déplacement au sommet et de l’effort tranchant à la base comme paramètres de référence dans la conversion du système à plusieurs degrés de liberté en un système à un seul degré de liberté est une première façon d’aborder l’aspect d’équivalence. Par ailleurs, l’effet de la contribution des modes les plus élevés est pris en considération dans l’estimation des déplacements inter-étages.

Les principaux résultats obtenus en termes de déplacement inter-étages sont résumés dans la Figure 4.41, à partir desquels une comparaison avec la méthode d’Analyse Modale Temporelle Découplée (AMTD), équivalente à celle d’analyse dynamique temporelle non-linéaire simplifiée (système équivalent à un seul degré de liberté et loi de comportement globale équivalente) a été menée.

L’on peut observer d’une part, que les deux méthodes MSNL et AMP conduisent à une sous-estimation des déplacements relatifs inter-étages, du fait que le premier mode est privilégié. D’autre part, la méthode AMP, montre une surestimation minime des déplacements inter-étages par rapport à la méthode MSNL. Cela peut s’expliquer par les effets négligeables des modes supérieurs. Les résultats montrent aussi qu’à partir d’une simple combinaison

179

modale (considération de la contribution des modes élevés tenant compte du facteur de modification), la méthode MCM, donne une meilleure évaluation des déplacements inter-étages (voisine de l’analyse dynamique temporelle).

0 1 2 30

1

2

3

4

5

[Déplacement inter-étage d/h (%)]

Niv

eau

d'ét

ages

MCMAMPMSNLAMTD

Figure 4.41 : Comparaison des déplacements maximums inter-étages obtenus par (MSNL, AMP, MCM et AMTD).

A l’issu de ces études nous avons également établi une comparaison entre les différentes

approches, en intégrant aussi bien le temps de calcul de simulations informatiques que la durée liés à l’interprétation des résultats (Tableau 4.13).

Tableau 4.13 : Comparatif des différentes méthodes d’analyses en temps de calcul.

Méthode d’analyse Temps de calcul sur Matlab (en mn)

AMTD 240 MSNL 10 AMP 20 MCM 45

4 .7 Con c lu s ion

La procédure décrite dans ce travail est basée sur l’étude de la validité et la fiabilité des procédures statiques non-linéaires pour reproduire les aspects de la réponse dynamique. Un

180

des concepts principaux qu’on a essayé de montrer est que les procédures statiques sont limitées dans leur capacité à reproduire le comportement dynamique. Par conséquent, il n’y a en toute rigueur aucune alternative à l’analyse dynamique temporelle non-linéaire. Cependant, ces méthodes statiques ont montré leur intérêt et continuent à être utilisées dans la pratique, ce qui exige d’améliorer ces méthodologies courantes. Les solutions alternatives offertes sont censées contribuer aux efforts entrepris pour améliorer l’analyse pushover pour une évaluation performante et fiable de la réponse des structures. La méthode proposée évite le recours aux méthodes adaptatives qui sont coûteuses et complexes à l’échelle d’un bureau d’ingénierie. L’approche proposée n’exige pas un programme de calcul spécial et peut être utilisée par n’importe quel logiciel non-linéaire car les forces modales peuvent être calculées séparément et fournissent une base de données en termes de forces latérales.

L’examen des principaux résultats obtenus montre que la méthode de combinaison modale

(MCM), permet une meilleure estimation des déplacements horizontaux inter-étages que les deux méthodes (MSNL et AMP).

Pour des structures qui répondent principalement dans leur premier mode élastique, la

technique donnera en général des bonnes estimations des déplacements globaux requis. Elle révélera des défaillances potentielles que l’on ne pourra pas apercevoir avec une analyse linéaire élastique : mécanismes de défaillance d’étages, modes de déformations, estimations des déplacements inter-étages etc. En revanche, l’analyse reste statique et on ne peut pas attendre une représentation précise des phénomènes dynamiques.

Les deux aspects de la réponse dynamique qui doivent être introduites, d’une façon ou

d’une autre, dans une procédure statique non-linéaire, sont :

(a) la considération de plusieurs modes dans l’estimation des forces latérales à utiliser dans l’analyse pushover en employant les facteurs de modification qui tiennent compte des effets inélastiques sur la réponse de la structure ;

(b) la considération des caractéristiques du chargement sismique en établissant ces

forces. D’une manière primordiale, les résultats suggèrent également que les modes ne devraient pas être considérés indépendamment mais dans une certaine combinaison appropriée qui représente de façon raisonnable la contribution significative des modes à la réponse finale.

Comme nous l’avons montré dans ce chapitre, la modélisation basée sur l’utilisation des

macro-éléments ainsi que des lois de comportements issues de la mécanique de l’endommagement et de la plasticité, est capable de reproduire avec une très bonne approximation la réponse globale d’un ouvrage de 5 étages contreventé par un mur voile. Cette modélisation est aussi capable de donner qualitativement de bonnes indications sur la distribution des déplacements inter-étages de la structure. De plus, cette approche simplifiée permet de réduire significativement les temps de calculs (une séquence prend environ 2h avec Matlab). Il apparaît maintenant possible d’utiliser ce genre de modélisation pour étudier de plus larges variétés de structures et de faire des études paramétriques, chose qui est difficile et coûteuse d’un point de vue expérimental.

181

CHAPITRE 5

EVALUATION DE LA VULNERABILITE SISMIQUE

DES STRUCTURES

182

183

C h a p i t r e 5

Eva lua t i on de l a vu lné rab i l i t é s i sm ique des

s t ruc tu res

5 . 1 I n t r o d u c t i o n

Dans plusieurs pays à sismicité modérée, comme la France, ou forte, comme l’Algérie, la plupart des bâtiments en béton armé a été construite avant l’application des nouvelles normes ou règlements parasismiques (EC8, RPA-2003). En raison de l’absence de prise en compte du séisme lors de leur dimensionnement ou de la modification de l’aléa sismique, de nombreuses structures en béton armé ne respectent pas les normes actuelles sans être pour autant moins sures. Les méthodes de dimensionnement sont par ailleurs utilisées la plupart du temps sans précautions, parfois hors de leur domaine d’application, ce qui peut conduire compte tenu de l’hétérogénéité des structures existantes, à des interprétations erronées. Il est par conséquent primordial de se préoccuper de la problématique du risque et de la vulnérabilité sismique.

La notion de risque peut s’exprimer de manière simple comme la combinaison de l’aléa et

de la vulnérabilité. Une bonne connaissance de l’aléa, c’est à dire la probabilité qu’un évènement se produise, est nécessaire pour bien comprendre les phénomènes. C’est le travail du sismologue. La vulnérabilité quant à elle peut être exprimée par la capacité de réponse d’une structure, ici d’un bâtiment, à une sollicitation sismique donnée. Elle est fonction de nombreux paramètres physiques, comme par exemple le matériau de construction utilisé, les périodes de vibration fondamentales ou encore la géométrie en plan ou en élévation de l’ouvrage.

Il existe deux familles d’approches dans l’analyse de la vulnérabilité : les méthodes

empiriques qui sont fondées sur le retour d’expérience et les caractéristiques structurales des bâtiments, et les méthodes de vulnérabilité calculée qui se fondent sur le comportement des structures obtenu par modélisation numérique et essais à échelle réduite. Les méthodes de vulnérabilité calculée utilisent les méthodes d’intégration temporelle à partir d’un modèle mathématique complet du bâtiment considéré ou à partir de la modélisation simplifiée pour obtenir sa courbe de capacité reliant forces et déplacements (méthode du Pushover). La combinaison avec un aléa (déterministe ou probabiliste) permet d’estimer l’endommagement de la structure.

184

Généralement les méthodes antérieures ont été basées sur l’application de l’échelle EMS 98 (EMS, 1998), qui associe un niveau d’endommagement à un niveau d’intensité. Pourtant l’intensité macrosismique exprime les conséquences du séisme, et non ses caractéristiques physiques. Comme nous l’avons constaté dans les chapitres précédents, contrairement à ce type d’approche, l’utilisation des courbes de capacité pour l’estimation de l’état de dommages prend directement en compte les paramètres liés au mouvement du sol, tels que l’accélération et le déplacement. Par ailleurs, nous avons pu constater une forte dépendance du comportement parasismique avec les caractéristiques structurales des constructions, aspect non considéré par l’EMS 98. Ainsi, l’application des courbes de capacité pour différentes typologies de structures permet une évaluation de dommage d’une manière différente, en analysant des points souvent négligés dans la méthode classique.

L’objectif de ce travail est de montrer que l’analyse dynamique des structures, basée sur la

méthode de capacité spectrale, peut être une aide précieuse dans l’application des méthodes existantes d’évaluation de la vulnérabilité sismique des ouvrages. Par ailleurs, nous proposons une méthode d’évaluation de la vulnérabilité sismique à l’échelle de la structure, dans laquelle, le mur voile est modélisé par le macro-élément présenté au chapitre 2, conduisant ainsi à une modélisation simplifiée de la structure. Comme montré dans le chapitre 4, la courbe de capacité permet de déterminer directement le point de performance du bâtiment pour un mouvement sismique donné, représenté par son spectre de réponse non-linéaire dans le plan (Sa, Sd) et donc d’en déduire l’état de dommage attendu. Le paramètre utilisé pour déterminer les différents niveaux d’endommagement est le déplacement inter-étage dont les valeurs limites sont données par la modèle de Park (Park et al., 1985).

Sur la base de l’étude paramétrique et de sensibilité effectuée au chapitre 3, la

méthodologie permet de mettre en évidence l’influence de la variabilité des paramètres liés au matériau (béton-acier), au chargement (action sismique) et à la géométrie du mur voile.

Nous nous focaliserons donc sur la problématique de l’étude de la vulnérabilité

sismique à l’échelle de la structure. Les méthodes empiriques d’analyse de vulnérabilité sont tout d’abord présentées. Les méthodes de vulnérabilité calculée et particulièrement les méthodes en déplacement sont ensuite présentées. Enfin, la méthode développée dans le cadre de ce travail et fondée sur la méthode de capacité spectrale (analyse en poussée progressive ou pushover) est détaillée.

5 . 2 M é t h o d e s e x i s t a n t e s d ’ a n a l y s e d e l a v u l n é r a b i l it é

Les méthodes d’évaluation de la vulnérabilité sismique diffèrent par leur complexité, leur précision et leur objectif. L’évaluation d’un bâtiment unique se fait par des analyses structurales détaillées alors que les différentes approches d’évaluation de la vulnérabilité d’un ensemble de bâtiments reposent généralement sur l’utilisation de fonctions de vulnérabilité qui expriment le pourcentage de dommages subis par un type de structure pour différentes intensités sismiques. Ces fonctions de vulnérabilité sont élaborées en général à partir de l’observation des dommages causés par les séismes passés (matrice de probabilité de dommages, jugements experts, etc.). En l’absence de données suffisantes, le recours à des modèles analytiques permettant de construire les courbes de fragilité de bâtiments typiques, et donc de prédire les dommages, est une alternative intéressante. On peut considérer qu’il y a deux grandes méthodes pour évaluer la vulnérabilité sismique des bâtiments :

185

1. Les études statistiques basées sur les dommages observés lors de séismes passés et

qui permettent d’obtenir des matrices de dommages probables associées à une classe de bâtiment. Ces matrices servent ensuite à développer des fonctions de vulnérabilité donnant pour un type de bâtiment la probabilité qu’un certain degré d’endommagement survienne en fonction de l’intensité d’un séisme. La valeur des résultats est essentiellement probabiliste.

2. Les simulations par modèles numériques ou analytiques permettant d’obtenir la

réponse d’une structure à un ou plusieurs scénarios de séismes. Les résultats sont généralement déterministes et valables pour un bâtiment en particulier.

5 . 2 . 1 M é t h o d e s e m p i r i q u e s ( s t a t i s t i q u e s ) Les premières méthodes d’analyse de la vulnérabilité à grande échelle, basées sur les

inspections visuelles, se sont développées dans des pays à forte sismicité, aux états unis (ATC-21, 1988 ; FEMA, 1997 ; Hazus, 1999). La méthodologie HAZUS (Hazus, 1999) est une approche alternative développée par l’Institut National des Sciences de la Construction (« National Institute of Building Sciences, NIBS ») et soutenue par le FEMA (FEMA, 1988, 1997, 1999, 2003, 2004). Le rapport ATC-13 (1985) a servi de fondement pour l’élaboration en 1997 du logiciel HAZUS. Ce logiciel interactif permet d’évaluer le risque sismique à partir du jugement d’experts pour 36 modèles de bâtiments correspondant à la classification typologique du FEMA (FEMA, 1999).

A l’échelle européenne plusieurs groupes travaillent en collaboration, parmi lesquels on peut citer le Groupe National de Défense contre le Tremblement de terre en Italie GNDT (GNDT, 1993), le groupe AFPS, le CETE en France,... Récemment, un projet européen (RiskUE, 2003) s’est focalisé sur la vulnérabilité de 7 grandes villes européennes et un consensus a été atteint pour la définition d’une méthodologie d’évaluation de la vulnérabilité. Le programme RISK-UE (RiskUE, 2003), à l’image de la méthode HAZUS (Hazus, 1999), est un programme d’évaluation du risque sismique appliqué à l’échelle européenne. Piloté par des institutions universitaires et des organismes de recherches, l’étude a abouti à une méthodologie d’analyse du risque sismique des bâtiments existants et historiques spécifiques à l’Europe. Le projet s’est focalisé sur la vulnérabilité de 7 grandes villes européennes : Nice (France), Barcelone (Espagne), Catania (Italie), Sofia (Bulgarie), Bucarest (Roumanie), Thessalonique (Grèce) et Bitola (Macédoine). Un consensus a été atteint pour la définition d’une méthodologie permettant une analyse plus fine du risque et de la vulnérabilité. Une étude bibliographique a été menée par le groupe de travail de l’Association Française de Génie Parasismique (AFPS) « Vulnérabilité sismique du bâti existant - Approche d’ensemble » (Combescure et al., 2005), en vue d’une application en France.

Le projet VulnéRAlp (Guéguen, 2004; Guéguen et al., 2007b) « Vulnérabilité Sismique à

l’échelle d’une ville Rhône-Alpine - Application à Grenoble », propose une adaptation des méthodes italiennes au contexte français. Piloté par le LGIT (Laboratoire de Géophysique Interne et Tectonophysique, Université Joseph Fourier, Grenoble), la méthode développée permet une évaluation simplifiée de la vulnérabilité, elle s’est concentrée sur la possibilité de collecter des informations fiables sur la nature du bâti et sur la perception et la connaissance du risque sismique par la population. L’objectif principal du projet VulnéRAlp

186

(2003-2006) est donc l’application d’une méthode élémentaire d’évaluation sismique du bâti et de recensement de la vulnérabilité sociale.

Dans la plupart des cas, ces méthodes ont été établies pour ce qui concerne la vulnérabilité physique sur la base d’observations post-sismiques, recensant les niveaux de dommage observés en fonction de la nature de la construction. Ces niveaux de dommage constatés (dans le cas notamment d’un pays à sismicité modéré), ne peuvent être reliés à un mouvement du sol en l’absence d’enregistrement, mais seulement à une Intensité Macrosismique, estimée elle-même à partir des dégâts. Cette incohérence est une des limitations de ces méthodes. Par ailleurs, les relations entre paramètres structuraux et dommages sont estimées de manière statistique. Ces approches basées sur le retour d’expérience statistique exigent beaucoup de données et ne sont valides que pour la région étudiée ou une région similaire, et n’ont pas d’intérêt pour un bâtiment isolé. Idéalement la classification typologique des bâtiments devrait être redéfinie pour chaque région en fonction des techniques de construction, des matériaux utilisés, etc. Ces méthodes ont aussi l’inconvénient de ne pas considérer les travaux de mise en conformité sismique.

5 . 2 . 2 M é t h o d e s b a s é e s s u r l a p e r f o r m a n c e Les caractéristiques mécaniques et géométriques réelles d’une structure, ainsi que les

actions exercées sur celle-ci, peuvent présenter des écarts défavorables par rapport aux valeurs choisies lors de l’établissement du projet. Dans les règlements traditionnels, ces écarts sont pris en compte par l’intermédiaire de coefficients partiels de sécurité applicables aux valeurs caractéristiques des actions et des résistances. Les procédures de calcul sont typiquement basées sur le retour d’expérience et les dimensionnements ainsi obtenus ne sont pas toujours suffisants pour le concepteur dans le cas des chargements exceptionnels (cas du séisme). Par ailleurs, il est nécessaire pour l’analyse de la vulnérabilité sismique et le dimensionnement parasismique de définir l’état d’une structure lors de sa sollicitation par un séisme (Nazé et al., 2006). La notion de niveau de performance est ainsi venue se substituer à la notion d’état limite (de service et ultime) d’utilisation largement répandue dans le BAEL (BAEL, 1991) ou dans d’autres codes règlementaires.

L’avènement du "Performance Based Design" en ingénierie sismique a mené au

développement récent de diverses méthodes, tant pour la conception parasismique de nouveaux bâtiments que pour l’évaluation des bâtiments existants. Ces nouvelles méthodes qui se fondent sur le comportement des structures obtenu par modélisation numérique et essais à échelle réduite, tendent à se substituer aux méthodes conventionnelles existantes basées sur le retour d’expérience des séismes passés. En effet, des niveaux de performance plus détaillés sont définis par les différentes méthodes utilisant ce concept. Le FEMA-356 (FEMA, 2000), destiné à la réhabilitation sismique des bâtiments existant, définit par exemple quatre niveaux de performance correspondant à l’endommagement attendu après un séisme (cf fig. 5.1) :

- Opérationnel (Léger) : Les fonctions du bâtiment restent opérationnelles ; les

dommages sont insignifiants. - Occupation immédiate (Modéré) : Le bâtiment reste sûr et habitable ; les réparations

sont mineures.

187

- Sécurité des personnes (Important) : La structure reste stable avec une marge de sécurité confortable; les dommages sont non structuraux et restent localisés.

- Non-effondrement (Ruine) : Le bâtiment ne s’effondre pas ; les dommages ne sont pas

limités.

Ceci peut être illustré à la Figure 5.2 par la matrice de performance proposée par le Comité de la Vision 2000 (Hamburger, 1996). Ces niveaux de performance sont repris dans la méthode Risk-UE (2003). Les niveaux de dommage, au nombre de 4, ne sont donc pas les mêmes que les niveaux de dommage de la méthode Risk-UE (fondée sur l’EMS98). L’endommagement structural dans ce cas est déterminé par l’accélération ou le déplacement spectral au lieu et place de l’intensité macrosismique.

Figure 5.1 : Niveaux de performance et endommagement correspondant selon Vision 2000

Pour répondre à l’exigence sécuritaire susmentionnée, ces niveaux de performance sont mis en perspective avec un niveau d’aléa. Le choix du niveau de performance acceptable associé à celui d’un aléa, qui prend en compte des facteurs politiques, sociaux et économiques, peut s’appliquer aussi bien pour la conception d’un nouveau bâtiment que pour le diagnostic d’une construction existante et constitue le fondement même d’une politique de prévention sismique. Ce changement conceptuel s’est accompagné de changements fondamentaux traduits cette fois par l’évolution récente des méthodes de calculs en ingénierie sismique.

On peut définir pour différents sites, un spectre d’aléa sismique uniformisé couvrant

des évènements lointains (de petites magnitudes produisant des risques négligeables) et des évènements locaux (de grandes magnitudes produisant des risques et des potentialités très préjudiciables). Le comité de la Vision 2000 (Hamburger, 1996) définit les niveaux de conception parasismique en fonction des spectres enveloppe de nombreux séismes associé à des risques en termes d’intervalle moyen de probabilité d’occurrence. La définition de ces niveaux de performance changera en fonction du site, selon la sismicité de la région.

Déplacement latéral

Eff

ort

tran

chan

t la

bas

e

Occupation Immédiate

Sécurité des Personnes

Non Effondrement

Opérationnel

∆ OI ∆ SP ∆ NE

188

Comme indiqué précédemment, des recommandations sont données pour des objectifs de performance. Ces derniers sont illustrés par des lignes diagonales dans la matrice de performance de la Figure 5.2.

Figure 5.2 : Matrice de performance vis-à-vis de l’aléa sismique (FEMA-356)

La méthode d’estimation du niveau de performance atteint pour un mouvement

sismique donné est désormais assez uniformisée en génie parasismique. Dans les méthodes récentes, développées dans le cadre des projets régionaux (HAZUS, RISK-UE), les différents niveaux d’étude sont redéfinis. Par ailleurs, des améliorations ont été apportées que ce soit sur les typologies constructives ou sur l’évaluation de la vulnérabilité.

L’approche d’évaluation retenue consiste à utiliser des méthodes de calcul très élaborées,

telle celle développée par ATC-40 (ATC-40, 1996), appelée la méthode du (« Pushover »), ou la méthode de la capacité spectrale. Dans cette approche, chaque type de bâtiment est modélisé par une courbe de capacité qui relie la force appliquée aux déplacements de la structure. La partie élastique de cette courbe est théoriquement une droite de pente égale au carré de la pulsation propre du bâtiment. La partie post-élastique, de pente plus faible, représente le comportement ductile jusqu’à la ruine.

Le projet RISK–UE (Risk-UE, 2003) qui a concerné sept (7) grandes villes européennes

avait pour objectif l’élaboration d’une méthodologie de scénario sismique adapté au contexte euro–méditerranéen, qui implique l’émergence d’une typologie plus détaillée que celle de l’EMS 98 (EMS, 1998). Lagomarsino et Giovinazzi (2006) de l’Université de Gênes (UNIGE) utilisaient, dans ce même projet, un code numérique 3D avec des macro-éléments pour calculer les courbes en poussée progressive des bâtiments en maçonnerie. Ce code a été validé par des expériences de laboratoire à l’Université de Pavie (Risk-UE, 2003; Lagomarsino et Giovinazzi, 2006).

Dans tous les cas, ces méthodes permettent de procéder à une estimation des dommages et dégâts sur différentes typologies de structures (en maçonnerie, en béton armé, en charpente métallique,…), à travers l’établissement des courbes d’endommagement (ou courbes de fragilité) qui constituent une information et une donnée fondamentale et incontournable dans les études probabilistes de sûreté. Elles sont donc en passe de devenir la représentation standard de la vulnérabilité des structures, ce qui permet à la fois de les définir pour un grand

189

nombre de bâtiments et pour une structure particulière dont les caractéristiques ne sont pas parfaitement connues (bâti existant).

5 . 3 M é t h o d o l o g i e p r o p o s é e p o u r l ’ e s t i m a t i o n

s i m p l i f i é e d e l a v u l n é r a b i l i t é

L’évaluation de la vulnérabilité sismique des ouvrages exige la mise en œuvre d’une méthodologie crédible et fiable. Par conséquent, une bonne évaluation parasismique requiert un modèle capable d’analyser un large éventail de bâtiments en captant l’essentiel des caractéristiques mécaniques et architecturales des constructions multi-étages dans le souci d’obtenir des courbes de vulnérabilité réalistes.

Nous proposons une approche s’appuyant sur la méthode de capacité spectrale décrite

au chapitre 4. Elle consiste à placer dans le plan des accélérations spectrales en fonction des déplacements spectraux (Sa, Sd) la courbe de comportement de la structure (courbe de capacité) et la courbe de sollicitation du séisme (spectre de réponse).

L’analyse de la performance de la structure dans le plan (Sa, Sd) est nécessairement

déterministe si l’on connaît précisément ses caractéristiques mécaniques et géométriques ainsi que celles de l’action appliquée. Or, en réalité, le spectre de réponse représentatif de l’action sismique est aléatoire et imparfait (prise en compte de la période fondamentale, négligence de l’effet des modes supérieurs, …). De même, les propriétés des matériaux sont entachées d’incertitude (liée à l’hétérogénéité du béton, erreur de modèles, imprécision des mesures, …). La résistance de l’ouvrage est donc une variable aléatoire dont la distribution peut être décrite par une fonction de répartition ou une fonction de densité de probabilité.

L’analyse dynamique non-linéaire temporelle est évidemment la plus complète pour le

calcul de la réponse d’une structure à une excitation déterministe. Mais son utilisation dans le cadre de nombreuses simulations visant à évaluer l’impact du caractère aléatoire de la sollicitation sismique est coûteuse en temps de calcul. Basées sur la méthode de capacité spectrale, les analyses statiques non-linéaires semblent promises à une utilisation généralisée par les bureaux d’études dans les prochaines années.

A la notion de vulnérabilité est associée la notion de la fragilité (Risk-UE, 2003). Elle

consiste à représenter les frontières des niveaux de performances de façon probabiliste en fonction d’un paramètre représentant l’agression sismique (Sd ou Sa). A un niveau de sollicitation donné, et pour les quatre niveaux de performance définis, sont construites quatre courbes donnant la probabilité de dépassement d’un niveau de dommage défini (Léger, Modéré, Important ou Ruine).

Les courbes de fragilité peuvent être interprétées de deux façons : • soit la proportion de structures (de même typologie) endommagées pour un aléa donné • ou bien la probabilité d’endommagement d’un bâtiment particulier pour ce même aléa.

190

La probabilité de défaillance d’une structure peut être évaluée par diverses techniques, se distinguant notamment par les hypothèses simplificatrices admises, hypothèses qui peuvent parfois conduire à des résultats largement différents les uns des autres.

Pour estimer la probabilité d’endommagement d’un bâtiment à un niveau de sollicitation

donné (défini ici par Sd), on sollicite la structure par les séismes sélectionnés (au travers des spectres de réponse) et on étudie la distribution des déformations inter-étages pour chaque niveau de sollicitation. On construit la distribution des déformations inter-étages maximales calculées. On identifie ensuite les paramètres descripteurs de distribution choisie (Log-normale dans notre cas). Une fois la distribution des déformations inter-étages modélisée, on détermine la probabilité de dépasser la limite-seuil fixée ds P[Sd > ds]. Cette probabilité, associée au niveau de sollicitation, constitue un point de la courbe de fragilité de la structure séparant ainsi le domaine d’intégrité du domaine de dommage. La même procédure appliquée à tous les niveaux de sollicitation (Sd) permet d’obtenir l’ensemble des courbes de fragilité.

Une étude paramétrique a été menée au travers de simulations de type '' Monte-Carlo

'' pour :

• déterminer les fonctions de distribution des courbes de fragilité, • Identifier les paramètres qui contrôlent la vulnérabilité et la "fiabilité" de ce

type de structures, • quantifier leurs effets, • montrer la nécessité de prendre en compte la variabilité des caractéristiques

géométrico-mécaniques lors du dimensionnement d’un ouvrage.

Nous tiendrons compte dans cette étude des variabilités :

o Pour la structure (les matériaux béton et acier) :

• de la résistance du béton à la compression et à la traction, • de la déformation ultime du béton, • de la limite élastique et de la résistance de l’acier, • de l’écrouissage et de la déformation ultime des armatures,

o Pour les actions extérieures (le spectre de réponse non-linéaire du PS92) :

• du maximum de l’accélération du sol (PGA), • des périodes Tb et Tc ainsi que du facteur d’amplification dynamique Rm (valant

respectivement 2,5 et 3 pour une accélération horizontale ou une accélération verticale).

5 . 3 . 1 S i m u l a t i o n d e M o n t e - C a r l o

Une première démarche, très répandue, est l’utilisation de la méthode Monte-Carlo, détaillée dans de nombreux ouvrages spécialisés, qui est une approche statistique, car l’évaluation des caractéristiques aléatoires de la réponse du système passe par le calcul d’un grand nombre de problèmes déterministes.

L’utilisation de cette méthode permet de générer des réalisations des paramètres aléatoires définissant le modèle, aussi appelées tirages, qui tiennent compte des lois de

191

probabilité respectives et des fonctions de corrélation entre les différentes variables aléatoires entrant en jeu ; on obtient ainsi, pour chaque tirage des différents paramètres aléatoires, une structure pour laquelle un calcul déterministe de la réponse peut être mené. Une étude statistique de ce jeu de réponses permet alors de déterminer une moyenne et un écart type, ou encore une probabilité d’occurrence d’un critère mécanique, pour des systèmes qui initialement n’avaient généralement pas de solution analytique.

5 . 3 . 1 . 1 A v a n t a g e s e t i n c o n v é n i e n t s Le principal avantage de la méthode Monte-Carlo est de permettre de mener successivement plusieurs calculs déterministes une fois que les jeux de paramètres ont été tirés ; pour peu que le problème déterministe soit traitable par un code de calcul classique ou spécialement dédié, on peut facilement étudier la réponse du modèle probabiliste traité.

Néanmoins cet avantage constitue également le principal inconvénient de la méthode car un nombre suffisamment grand de tirages doit être effectué pour que l’étude statistique de la réponse converge.

Un résultat de convergence en dimension un peut être donné par une application du théorème central limite : on cherche à estimer l’espérance d’une variable aléatoire Y(θ) ; la méthode de Monte-Carlo pour n tirages nous donne alors une estimation de cette espérance, à l’aide de n variables aléatoires {Yk(θ)} k=1,…, n de même loi de probabilité que Y(θ). On montre alors que l’écart

∑=

−=n

kkn Y

nY

1

)(1

)( θθε

entre l’espérance de Y(θ) et son estimé suit une loi normale centrée d’écart type n

σ, où σ est

l’écart type de la variable aléatoire Y(θ). Autrement dit, la vitesse de convergence de la

méthode de Monte-Carlo est donc de l’ordre de n

1, où n est le nombre de tirages.

Le nombre minimal de tirages requis pour un certain niveau de convergence peut alors

devenir considérable suivant l’objet de l’étude statistique, mais aussi suivant le nombre de paramètres aléatoires du problème. C’est pourquoi de nombreuses techniques numériques ont été mises au point pour contrebalancer cette exigence, dont quelques unes sont présentées ci-dessous.

5 . 3 . 1 . 2 A m é l i o r a t i o n d e l a m é t h o d e

La technique directe de Monte-Carlo exige un grand nombre de cycles de simulation à réaliser pour atteindre un niveau acceptable de confiance en probabilités estimées. Plusieurs techniques existent dans la littérature.

192

- P a r a l l é l i s a t i o n La structure même de la méthode de Monte-Carlo permet une parallélisation aisée des opérations : il suffît de mener les résolutions des systèmes déterministes sur plusieurs processeurs (ou ordinateurs), ce qui réduit ainsi assez fortement les temps de calcul ; on trouvera dans (Johnson et al, 1997) et (Papadrakakis et Papadopoulos, 1999) quelques exemples récents d’implémentations.

- R é d u c t i o n d e v a r i a n c e Les techniques dites de réduction de variance (faisant partie de ce qu’on appelle également « Importance sampling ») permettent d’accélérer la convergence de la méthode en augmentant la densité des réalisations dans les régions d’intérêt, à savoir celles qui contribuent le plus à l’estimation statistique désirée ; en effet, on a vu précédemment que l’écart entre l’espérance et l’estimation par Monte-Carlo suivait une loi normale centrée

d’écart type n

σ, où σ est l’écart type (i.e., la racine carrée de la variance) de la variable

aléatoire étudiée, d’où l’idée de vouloir réduire cette variance.

La principale limitation de ce genre de méthode est lié au nombre de variables aléatoires indépendantes : au-delà de dix, le coût de la technique de réduction de variance devient abusif par rapport au coût d’une méthode de Monte-Carlo classique. On trouvera plus de détails sur ces techniques dans (Thompson, 1992).

- E c h a n t i l l o n n a g e d e l ’ H y p e r c u b e L a t i n

La technique dite du Latin-hypercube sampling, introduite dans (MacKay et al., 1979, Sellier, 1995), est très employée ; sa propriété de stratification permet de réduire assez nettement le nombre N de tirages requis : le domaine de définition de chaque variable aléatoire est divisé en N intervalles d’égales probabilités, et on tire aléatoirement une valeur sur chacun de ces intervalles ; ensuite, les N valeurs ainsi tirées pour la première variable aléatoire sont appariées aléatoirement avec les N valeurs tirées pour la seconde variable aléatoire, formant ainsi N couples qui sont alors associés aléatoirement avec les N valeurs tirées pour la troisième variable aléatoire, et ainsi de suite pour obtenir N p-uplets, où p est le nombre de variables aléatoires du modèle, qui constituent les N tirages finalement utilisés pour caractériser la réponse.

En pratique, ce nombre N de tirages est bien plus faible que celui requis avec une méthode de Monte-Carlo classique pour un même niveau de convergence. Diverses améliorations ont été menées depuis, par exemple dans (Helton et David, 2003)

- M é t a - m o d è l e s Les techniques précédentes s’attachent à modéliser la méthode de Monte-Carlo elle-même ; il est bien sur possible de réduire le temps de calcul requis par les résolutions déterministes en remplaçant le modèle « complet » initial par un modèle approché de substitution qui soit plus rapide à mettre en œuvre ; on parle souvent de méthodes de

193

surface de réponse (« response surface methods, RSM »), ou encore de méta-méthodes (Veneziano et al., 1983 ; Fravelli, 1989), dont le principe consiste à établir une surface approchée de la réponse du modèle.

Pour cela la réponse du modèle déterministe complet est calculée pour différents jeux de paramètres, de façon à obtenir suffisamment de points de réponse pour interpoler ces derniers par une certaine forme de modèle de régression ; on trouvera quelques exemples récents de cette façon de procéder dans (Schultze et al., 2001 ; Hemez et al., 2001). Bien entendu, une étape préliminaire indispensable dans l’établissement de ces méta-modèles consiste à sélectionner les paramètres des modèles les plus influents dans la réponse, car comme pour les techniques précédentes, la principale limitation réside dans le nombre de variables aléatoires indépendantes du modèle.

Dans le domaine de la mécanique, les calculs déterministes qui sont réalisés pour les jeux de paramètres tirés font intervenir généralement une discrétisation spatiale du problème, de types éléments finis ; on est donc en présence quoique de façon indirecte, d’une méthode que l’on pourrait qualifier d’éléments finis en stochastique.

5 . 3 . 2 P r o c é d u r e d ’ a n a l y s e

L’approche utilisée pour l’estimation des dommages repose comme l’on a déjà dit sur la méthode de capacité spectrale. Elle se décompose en quatre étapes principales (Figure 5.3) : la définition de la courbe de capacité (Figure 5.3a), la définition du scénario sismique (Figure 5.3b), l’obtention du point de performance (Figure 5.3c) et la détermination des courbes de fragilité (Figure 5.3d) pour estimer l’endommagement produit par un séisme donné (Fajfar, 2000 ; Chopra et Goel, 2001 et 2002).

Figure 5.3 : Schéma conceptuel d’estimation de dommages utilisant la méthode du spectre de capacité.

(e) Niveau de dommages

Pro

bab

ilité

d

’en

dom

ma

gem

ent

100 % 50 %

D0 D1 D2 D3 D4

Dommages (D)

(d) Courbes de fragilité

Sd

Pro

bab

ilité

d

’en

dom

ma

gem

ent

0 20 40 60 80 100 120

1.0

9.0

8.0

7.0

6.0

5.0

4.0

3.0

2.0

1.0

0.0

---- Léger ---- Modéré ---- Important ---- Ruine ---- Considéré

Dp

Sa

Sd

(a) Courbe de capacité (b) Spectre non-linéaire

Sd

Sa Tc

T + =

(c) Point de performance

Sa

Sd Dp

194

Le croisement de la courbe de capacité (5.3a) avec la demande sismique (5.3b) permet

l’obtention du point de performance (5.3c). A partir des courbes d’endommagement (5.3d), qui ont en entrée les coordonnées du point de demande, on obtient la probabilité d’endommagement pour chaque niveau de dommages (5.3e).

La première étape consiste à déterminer et reproduire le comportement global d’une structure en poussée progressive. La forme des actions sismiques appliquées à la structure est en règle générale, triangulaire ou trapézoïdale, d’intensité proportionnelle aux premiers modes propres de la structure, les coefficients de proportionnalité (φi) étant simplement les masses de chacun des niveaux.

La seconde étape consiste à définir et reproduire le chargement sismique : choix d’un

accélérogramme pour une analyse dynamique directe ou choix d’un spectre de réponse, si l’étude est pseudo-dynamique.

La troisième étape consiste à transformer à la fois le spectre de réponse qui définit

l’exigence sismique et la courbe de capacité qui définit la performance potentielle de la structure, en un spectre de capacité en termes de déplacement spectral Sd en fonction de l’accélération spectrale Sa puis d’en déterminer le point de performance obtenu par l’intersection des deux courbes.

La dernière étape consiste à identifier les déplacements spectraux en fonction des degrés

ou niveaux de dommages prédéfinis. Le déplacement spectral (correspondant au point de performance de la structure étudiée) est utilisé pour évaluer la vulnérabilité sismique en déterminant pour chaque degré de dommage la probabilité d’occurrence d’un niveau d’endommagement donné de la structure. Dans le cas des structures traitées dans cette étude (à voiles porteurs), l’endommagement se produit principalement par la formation d’une rotule plastique en pied d’édifice (Paulay et Priestley, 1992).

5 . 3 . 2 . 1 C o u r b e s d e c a p a c i t é e t d é t e r m i n a t i o n d u p o in t d e p e r f o r m a n c e

L’estimation du niveau de performance atteint lors d’une action sismique donnée est obtenue à partir de la courbe de capacité. Elle consiste, comme l’on a déjà dit, à placer dans le plan des accélérations spectrales (Sa) en fonction des déplacements spectraux (Sd), la courbe de comportement de la structure (obtenue à partir d’une analyse statique en poussée progressive ou "Pushover") et la courbe de sollicitation du séisme (spectre de réponse pouvant être un spectre réglementaire, enveloppe des spectres de nombreux séismes ou le spectre de réponse d’un séisme particulier). En réalité, ces valeurs spectrales définissent la capacité de la structure dans le plan (Sa-Sd), avec (Sd) le maximum en déplacement de la réponse du modèle à un degré de liberté équivalent qui reproduit le mode désiré généralement le mode fondamental de vibration de la structure et (Sa) le maximum en accélération de la réponse de ce même modèle. Pour simplifier, en deux changements de variables, la force sismique F (effort tranchant à la base Vb) de la structure dans le premier mode est transformée en accélération spectrale du modèle équivalent (Sa) et le déplacement réel au niveau du toit ut est transformé en déplacement spectral du modèle équivalent (Sd) en utilisant les relations (4.41) et (4.42) données en § 4.3.1.

195

La conversion du spectre de réponse élastique en un spectre de réponse inélastique s’effectue selon deux approches, soit en se basant sur un spectre de réponse élastique d’un système sur-amorti équivalent ou directement sur un spectre non-linéaire (Chopra et Goel, 1999). La première approche décrit la réponse des systèmes élastiques sur-amortis. Le comportement non-linéaire est simulé par l’augmentation de l’amortissement. Le modèle HAZUS, basé sur l’ATC-40, adopte cette technique dans l’analyse des structures. Le modèle Risk-UE en revanche, utilise la seconde approche. Nous avons choisi d’adopter le spectre de réponse non-linéaire obtenu directement à partir du spectre de réponse élastique linéaire en utilisant les équations Rµ-µ-Tn (qui expriment les liens entre les facteurs de réduction Rµ, de la ductilité µ et de la période propre de la structure Tn) proposées par Vidic (Vidic et al., 1994) (Hemsas et al., 2007a). En général, cette méthode permet de donner de meilleurs résultats pour le dimensionnement des structures et bien évidemment pour l’analyse des structures existantes, plus particulièrement pour les systèmes à ductilité élevée (Reinhorn 1997).

L’intersection entre la courbe de capacité de la structure et celle de l’agression sismique, représentée par un spectre de réponse donne le point de performance atteint (ou atteignable) par la structure (Figure 5.3c).

5 . 3 . 2 . 2 E v a l u a t i o n d e l a v u l n é r a b i l i t é s i s m i q u e e t i d e n t i f i c a t i o n d e s d e g r é s d e d o m m a g e s

L’un des paramètres représentatif de l’évolution des degrés de dommages dans une structure ou d’un élément structural est l’indice de dommages ou indice d’endommagement (''Damage Index'', DI). Cet indice est normalisé et discrétisé en une série de valeurs partant de ''0'', indiquant que la structure n’a subi aucun dommage structurel, jusqu’à la valeur de ''1'' indiquant que la structure a atteint sa capacité maximale et une instabilité structurelle au voisinage de la rupture ou l’effondrement total. Par exemple si DI > 1, le bâtiment est complètement effondré et irrécupérable, si par contre DI = 0.7, le bâtiment sera considéré comme récupérable et donc peut être conservé avec un dispositif de renforcement adéquat. Plusieurs modèles existent dans la littérature (Krawinkler et al., 1983 ; Park et al., 1985 ; Powell et al., 1988 ; Ghobarah et al., 1999 ; Cornell et al.,2000).

Le programme Risk-UE définit, 4 niveaux ou degrés de dommages : faibles, modérés, importants et très importants (Tableau 5.1). La même constatation est valide pour HAZUS (Tableau 5.2). Tableau 5.1 : Equivalence entre le niveau de dommage et l’indice de dommages (Risk-UE)

Niveau de dommages Définition Indice dommages

0 Aucun dégât 0

1 Faible 0-5

2 modéré 5-20

3 importants 20-50

4 Effondrement 50-100

196

Ces propositions sont le produit d’une large expérience du comportement des structures sous chargement sismique, issue aussi bien de l’observation de séismes réels que des expériences menées en laboratoire.

Dans la bibliographie consultée, aucune proposition spécifique concernant les murs en

béton armé n’a été trouvée. Sur la base de ces observations, il semble pertinent d’évaluer l’endommagement du mur au moyen d’un indice dépendant uniquement de la variation de raideur (Ghobarah al., 1999). L’indice de dommages est défini par rapport au déplacement latéral du mur comme suit (Park et al., 1085) :

yu

ymDIδδδδ

−−

= (5.1)

où δm est le déplacement maximum dans la zone non-linéaire (point de performance) ; δu est le déplacement ultime (ruine totale); δy est le déplacement élastique (sans endommagement).

Figure 5.4 : Caractéristiques de la capacité d’une structure dans le plan (Sa-Sd). En se basant sur les degrés de dommages structurels, une équivalence entre l’indice de

dommages précédemment défini DI et l’état de dégradation est donnée au Tableau 5.2 selon Park (Park et al. 1992).

Tableau 5.2 : Equivalence entre l’indice de dommages et l’état de dommages (Park and Ang)

Degrés de dommage, DI Indice de dommages Etat de dommages

0 DI ≤ 0,1 Aucun dégât 1 0,1 < DI ≤ 0,25 Léger 2 0,25 < DI ≤ 0,40 Modéré 3 0,40 < DI ≤ 1,00 Important 4 DI > 1,00 Ruine

Déplacement au sommet

So

llici

tatio

n

Sd

Ad

Capacité ultime

δd

Ay

Au

Sa

Spectre de réponse inélastique

Capacité de conception

δy δu

Capacité de plastification

δm

197

Pour procéder à la calibration des paramètres des fonctions de fragilité, il est nécessaire d’établir une corrélation entre l’indice de dommage précédemment défini DI et le déplacement inter-étage ∆∆∆∆i.

Le modèle de distribution statistique retenu pour représenter les fonctions de fragilité de la

structure est un modèle de type Log-normal qui représente convenablement la combinaison de variables dont les effets sont multiplicatifs (Chintanapakdee et Chopra, 2003). Un autre aspect pratique du choix de cette distribution est son domaine d’utilisation (de zéro à l’infini), permettant ainsi d’éviter de générer des valeurs négatives. Elle est contrôlée par deux paramètres : la valeur moyenne Sd et son écart type βSd. Sa densité de probabilité cumulée s’exprime par la relation suivante :

[ ]

Φ=

dsd

d

dsd S

SSdsP

,

ln1

β (5.2)

où :

Sd,ds est la valeur médiane du déplacement spectral pour laquelle la structure atteint le seuil de l’état de dommages ds ; βds est l’écart type du déplacement spectral pour l’état de dommages ds, et Φ est la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite. P [ds|Sd,] est la probabilité d'obtenir un niveau de dommages donné ds pour un déplacement spectral Sd,

La valeur médiane de Sd est déterminée pour chaque niveau de dommage à partir des

déformations inter-étages moyennes ∆ds. Le déplacement spectral lié au premier mode fondamental de vibration de la structure Sd pour chaque niveau de dommage ds est ensuite calculé par l’expression :

1, Γ

×∆= HS ds

dsd (5.5)

avec H hauteur de la structure et Γ1 facteur de participation du premier mode.

Une fois les paramètres de la fonction de fragilité Sd,ds et βds obtenus, on peut déterminer les courbes de fragilité à partir de l’équation (5.1).

5 . 3 . 3 E x e m p l e d ’ a p p l i c a t i o n e t r é s u l t a t s d e s s i m u l at i o n s

Dans cette étude et à l’échelle de la structure, nous nous intéressons à une seule typologie, celle des ouvrages quasi-symétriques à murs porteurs (voiles) en béton armé. Une stratégie de modélisation simplifiée basée sur la notion de macro-élément a été élaborée et validée sur la base des résultats expérimentaux (Hemsas et al., 2009). La structure est discrétisée en un ensemble de macro-éléments, chaque macro-élément étant représentatif d’un niveau de la structure. Le mur voile considéré dans cette application est le même que celui analysé au chapitre 2.

198

Comme nous l’avons déjà évoqué dans l’introduction de ce chapitre, les méthodes probabilistes consistent à étudier les effets des incertitudes affectant les paramètres incertains du modèle sur la variabilité de la sortie. Pour cela, il faut déjà préciser comment on va définir les paramètres incertains en termes probabilistes, c’est-à-dire les variables aléatoires généralement caractérisées chacune par une densité de probabilité ou une fonction de répartition.

Afin d’accélérer la convergence des estimations, nous avons choisi l’échantillonnage

par la méthode de l’Hyper-cube Latin. La technique de l’Hyper-cube Latin emploie l’échantillonnage cumulé ''stratified sampling'' des variables d’entrée, qui a habituellement comme conséquence une diminution significative de la variance. En bref, la technique de simulation comprend les étapes suivantes (Văcăreanu, 2000) :

• Simulation des paramètres structuraux; • Permutations aléatoires de ces paramètres structuraux; • Détermination des courbes pushover en utilisant l’échantillonnage des paramètres

générés; • Calcul statistique et interprétation des résultats des analyses.

La procédure suivie pour obtenir les courbes de vulnérabilité à partir de simulations de Monte-Carlo est une procédure en sept étapes.

Etape 1: Générer les variables aléatoires par la technique LHS (Latin hyper-cube sampling).

Une distribution de probabilité log-normale pour les paramètres retenus est employée. A partir de la distribution choisie pour chaque variable définie par la moyenne µx et l’écart type σx, prendre un échantillon de N valeurs tel que N représente le nombre de simulation donné.

Les deux Tableaux 5.3 et 5.4 synthétisent les différents paramètres des caractéristiques

mécaniques de la structure ainsi que de l’action sismique appliquée. Nous avons tenu compte des variabilités de la résistance du béton à la compression fcc et à la traction fct, de la limite élastique (fsty,εsy) de l’écrouissage α (défini comme le rapport entre le module tangent au seuil de plasticité et le module sécant) et du paramètre fact_εsu (défini comme le rapport entre la déformation ultime de l’acier εsu et la déformation élastique εsy). Tableau 5.3 : Variabilité des caractéristiques mécaniques de la structure (JCSS, 2001)

(Distribution log-normale)

Matériau Paramètre Moyenne Ecart type

fcc (MPa) 32 5 fct (MPa) 3 0,1

fsty (MPa) 430 12 α (%) 2 0,2

Béton- Acier

fact_εsu 25 5

199

L’action sismique est représentée par un spectre de réponse non-linéaire en déplacement. La variabilité du mouvement sismique et des effets de l’aléa local (zonage sismique) est intégrée au travers de : l’accélération maximale (PGA), des paramètres définissant le spectre de réponse élastique à savoir : les périodes de coin Tb et Tc (qui sont les limites inférieure et supérieure correspondant au palier d’accélération spectrale constante), et Rm (introduit au §5.6.3) qui est le paramètre définissant le palier d’accélération constante. Les combinaisons de valeurs aléatoires pour le spectre de réponse sont présentées au Tableau 5.4. A la Figure 5.5 est présenté un ensemble de spectres générés dans le plan (Sa-Sd).

Tableau 5.4 : Variabilité de l’action sismique (spectre de réponse) (JCSS, 2001)

(Distribution log-normale)

Action sismique Paramètre moyenne Ecart type PGA (m/s²) 0,6 0,06

Tb (s) 0,15 0,02Tb Tc (s) 0,30 0,05Tc

Spectre de réponse

Rm 2,5 0,01Rm

.

Figure 5.5 : Spectres de réponse (exemple de 20 combinaisons) Etape 2 : Construire la courbe de poussée progressive. Les sorties en terme d’effort à la base

fonction du déplacement au sommet sont présentées à la Figure 5.6 (exemple de 100 simulations).

0 5 10 15 20 250

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Spectre de déplacement Sd (cm)

Sp

ectre

d'a

ccé

jéra

tion

Sa

(g)

200

Figure 5.6 : Courbes pushover, Simulation Monte-Carlo Etape 3 : Pour chaque courbe pushover, déterminer le point de performance (point de

croisement entre les deux courbes) dans le repère (Sa-Sd). La méthode du spectre de capacité non-linéaire MSNL (présentée en § 4. 5 . 3 ), est considérée dans cette étude (Hemsas et al, 2007). En effet, cette méthode consiste à déterminer deux paramètres essentiels : le déplacement spectral correspondant Sd et les déplacements inter-étages ∆i. La Figure 5.7 illustre les intersections entre le fuseau des courbes de capacité (courbes pushover idéalisées) et les spectres de réponse inélastiques, identifiant ainsi le nuage de points de performance. Nous avons considéré dans cet exemple 100 simulations.

0 5 10 15 20 250

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

Spectre de déplacement Sd (cm)

Sp

ectr

e d'

acc

élé

ratio

n (

g)

Spectres inélastiquesCourbes de capacitépoints de performance

Figure 5.7 : Obtention du point de performance, Simulation Monte-Carlo

201

Etape 4 : Evaluer l’endommagement du mur voile au moyen de l’indice de dommage défini

selon l’équation (5.21), fonction respectivement des déplacements δm (le déplacement maximum correspondant au point de performance); δy (le déplacement élastique) et δu (le déplacement ultime correspondant au point de rupture du mur voile (Figure 5.8)).

Figure 5.8 : Valeurs des déplacements ultimes (δu)

Etape 5 : Etablir une équivalence (corrélation) entre l’indice de dommage précédemment défini

(étape 4) et le déplacement inter-étage ∆i (étape 3), en tant que valeurs moyennes et écart type, (Figure 5.9). Il faut noter que les déplacements inter-étages sont obtenus pour chaque niveau d’étages et qu’il n’est considéré, dans notre cas, que le déplacement inter-étage maximum (au niveau du toit).

Figure 5.9 : Corrélation entre l’indice de dommages et le déplacement inter-étage

0 5 10 15 200

20

40

60

80

100

120

140

160

Déplacement horizontal au sommet (cm)

Ré

act

ion

à la

ba

se (

kN)

Du

0.2 0.4 0.6 0.8 10

1

2

3

4

Indice d'endommagement (DI)

Dé

plac

eme

nts

inte

r-ét

ages

(%

)

202

Etape 6 : A partir des classes d’indices de dommages définies au Tableau 5.2 (4 au total), l’on

détermine la valeur moyenne ∆∆∆∆ds et l’écart type du déplacement inter-étage par classe de l’état de dommages DI . La valeur médiane du déplacement spectral pour laquelle le bâtiment atteint le seuil de l’état de dommages, Sd,ds, est obtenue par la relation (5.23). Une fois les paramètres de la fonction de fragilité Sd,ds et βds obtenus, l’on détermine et reproduit les courbes de fragilité (Figure 5.10) en utilisant l’équation (5.1).

Etape 7 : Connaissant le déplacement spectral maximum Sd (calculé à partir de la méthode MSNL,

décrite au chapitre 4), il est possible de déterminer la probabilité d’endommagement d’un type de bâtiments donné, en fonction des quatre niveaux de dommages. Ainsi, pour un déplacement subi de X cm par le type de structure, nous pouvons quantifier les probabilités d’avoir respectivement P1% d’endommagement de niveau 1 (dommages légers), P2% d’endommagement du niveau 2 (dommages modérés), P3% d’endommagement du niveau 3 (dommages importants), P4% d’endommagement du niveau 4 (dommages très importants allant jusqu'à la ruine).

A titre illustratif, pour un déplacement spectral de 6 cm, les probabilités que la structure se

trouve aux niveaux d’endommagement 1, 2, 3 ou 4 sont respectivement de 98%, 87%, 64% et 5%.

Figure 5.10 : Courbes de fragilité, simulation Monte-Carlo

0 20 40 60 80 100 120 1400

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Déplacement Sd (mm)

Pro

babi

lité

d'en

dom

mag

emen

t P(>

ds/S

d)

Dommages légers

Dommages modérés

Dommages importants

Dommages tès importants

203

Après avoir déterminé les courbes de fragilité, il est intéressant d'analyser la propagation des incertitudes des variables d'entrée sur les variables de sortie et considérés comme importants de cette analyse probabiliste, en d’autres termes il s'agit d’identifier les paramètres (du matériau ou de la sollicitation) qui jouent le plus sur la dispersion des réponses. Ce dernier point est important si l'on souhaite pouvoir mieux appréhender et éventuellement réduire la variabilité des grandeurs d’intérêt en sortie du modèle.

Par ailleurs, les incertitudes relatives à la modélisation de la structure peuvent également

être prises en compte. Une analyse de sensibilité permet de hiérarchiser les paramètres d’entrée en fonction de leur contribution à la variabilité des grandeurs d’intérêt fournis en sortie du calcul. Ces points ont été discutés dans l’étude paramétrique et de sensibilité, qui a déjà fait l’objet du chapitre 3..

En examinant la Figure 5.7, nous pouvons constater que les paramètres susceptibles

d’influencer de façon conséquente les courbes de fragilité sont :

1. Les paramètres liés au mouvement sismique à savoir : l’accélération maximale du sol PGA, les périodes de coin Tb et Tc (qui sont les limites inférieure et supérieure correspondant au palier d’accélération spectrale constante), et le paramètre Rm définissant le palier d’accélération constante. Ceci est illustré par la dispersion des points de performance sur un intervalle de (4 à 10 cm) en termes de déplacement spectral Sd.

2. Les paramètres liés au matériau, en particulier l'acier, ont une influence remarquable

sur la dispersion des résultats (Figure 5.7). La sensibilité de la réponse du modèle (dispersion du nuage de points) peut être du aux perturbations des valeurs choisies d’une part de la limite élastique fsty et d’autre part de l’écrouissage α de l’acier.

3. Le type de la structure (valeur de déplacement inter-étage limite), sa déformée modale

(coefficient de participation) et sa hauteur peuvent avoir aussi une influence sur la courbe de fragilité. Une analyse de sensibilité approfondie qui vise à quantifier les perturbations sur la réponse engendrées (liée aux courbes de fragilité) par des perturbations sur les variables et données d’entrée serait donc nécessaire.

5 . 4 C o n c l u s i o n

Une méthode simplifiée basée sur la méthode du point de performance permettant la détermination de courbes de vulnérabilité a été présentée. Des courbes de vulnérabilité ont été établies pour une structure quasi-symétrique à murs porteurs (voiles) en béton armé.

Cette étude montre que, la modélisation "simplifiée" (par macro-éléments), permet

d’approcher au mieux les aspects dynamiques au niveau global et permets d’obtenir de bons indicateurs.

Les résultats présentés ici constituent des exemples d’utilisation pour l’évaluation des

dommages et constituent une première estimation des niveaux de risques.

204

Sur un plan plus général, la méthodologie présentée a un caractère assez générique et applicable à divers types de structures, et peut donc être appliquée pour tout type de construction.

Ce type de modélisation probabiliste peut être appliqué dans le cadre de réévaluations de

sûreté sismique des structures à voiles porteurs pour déterminer les courbes de fragilité par simulation numérique. Rappelons que les courbes de fragilité constituent, avec les courbes d’aléa sismique, l’un des éléments clés dans les études probabilistes de sûreté (EPS) sismiques. L’analyse de sensibilité, quant à elle, contribue à une meilleure compréhension du modèle probabiliste. D’une part, elle peut permettre une réduction de modèle en écartant les variables non pertinentes et, d’autre part, de faire porter les efforts de modélisation sur les variables susceptibles d’influencer de façon conséquente la grandeur d’intérêt en sortie du modèle.

205

CONCLUSIONS ET PERSPECTIVES

206

207

C o n c l u s i o n s e t p e r s p e c t i v e s

Cette thèse s’inscrit dans le cadre d’un programme général de recherche ayant deux objectifs principaux : d’une part, l’amélioration de nos connaissances sur le comportement non-linéaire des ouvrages à voiles porteurs en béton armé sous action sismique et d’autre part, le développement de méthodes simplifiées d’analyse dynamique et de vulnérabilité sismique.

Après avoir présenté les caractéristiques essentielles du comportement sismique des voiles

en béton armé, nous avons choisi de nous intéresser à une seule typologie structurelle celle des murs voiles moyennement élancés de section rectangulaire.

L’étude bibliographique a permis ensuite de sélectionner parmi plusieurs natures de

modélisations possibles, un modèle basé sur le concept de macro-éléments sur lequel il nous a paru prioritaire de porter notre effort. Cette première analyse, ainsi que les objectifs de notre étude nous ont amenés à conclure qu’il était nécessaire de situer l’échelle de la modélisation au niveau des mécanismes élémentaires: la fissuration du béton, la plastification de l’acier. Si celle définie comme « raffinée » permet d’accéder à des informations très détaillées, la modélisation «simplifiée », qui respecte la bonne description des phénomènes dynamiques non-linéaires, est performante au niveau global et donne de bons indicateurs au niveau local, tout en restant accessible dans sa mise en œuvre et vis-à-vis du nombre nécessaire de degrés de liberté, du temps et des moyens de calcul.

La discrétisation choisie a la possibilité d’associer dans chaque macro-élément les

caractéristiques importantes du comportement non-linéaire du béton et de l’acier. Les lois de comportement utilisées pour le béton et l’acier sont basées sur la mécanique de l’endommagement et la plasticité respectivement, en tenant compte notamment de l’effet de la variation de la force axiale, qui est généralement ignorée dans les modèles simples. Malgré sa simplicité, le modèle est aussi capable de reproduire qualitativement les tendances du schéma de dégradation globale de la rigidité et la position des zones d’endommagement.

L’outil numérique employé dans les différents simulations est simple, facile d’utilisation et

très peu coûteux en temps de calcul. Toutefois, la simulation avec le logiciel développé a nécessité l’introduction de techniques numériques adaptées pour régler les problèmes de convergence provenant du caractère plutôt complexe du comportement mécanique du béton, et des instabilités qui en résultent.

A la suite de cette étude, il nous semble utile de rappeler quelques conclusions importantes

obtenues au cours de ce travail :

208

E v a l u a t i o n d e l a r é p o n s e g l o b a l e Sur la base des éléments de réponse globale en termes de « réaction à la base-déplacement

au sommet » obtenus par l’analyse en poussée progressive (« pushover »), le modèle numérique permet de prédire correctement les aspects essentiels du comportement expérimentalement observé. Il permet en effet de faire des études paramétriques pour identifier la sensibilité des résultats aux variations des paramètres liés au modèle, au matériau et au type de chargement aussi bien que pour identifier quel(s) paramètre(s) exige(nt) le plus grand soin en ce qui concerne la calibration. Il a été constaté que les réponses du modèle sont peu sensibles aux variations des paramètres liés au modèle (choix du nombre de macro-éléments ou du nombre de sous-éléments). Cependant, la discrétisation en élévation du mur voile par l’introduction d’un grand nombre de macro-éléments sur la hauteur du mur voile n’est utile que pour obtenir des informations plus détaillées sur le comportement local du mur voile, tel que l’état de contrainte ou de déformation à chaque point de la structure car assez coûteuse en temps de calcul. D’autre part, la réponse globale du modèle est peu influencée par la variation des paramètres constitutifs des matériaux béton et acier. Cette première analyse, ainsi que les objectifs de notre étude nous ont amenés à conclure qu’il était nécessaire de situer l’échelle de la modélisation au niveau des mécanismes élémentaires: la fissuration du béton et la plastification de l’acier. Si nous avions à notre disposition les modèles qui tiennent en compte de la dégradation de la liaison acier-béton, en revanche il était nécessaire de bien préciser une méthodologie d’identification des paramètres matériaux, afin de rendre la modélisation plus prédictive.

L’analyse des courbes caractéristiques montre clairement l’impact significatif du type de

chargement qui affecte considérablement la rigidité et la résistance du mur voile. La sélection du mode de chargement est donc une étape très importante dans l’analyse pushover, mais dans cette dernière, le choix était basé sur un schéma "modal", proportionnel à la distribution des forces latérales de sorte que les déformations obtenues doivent être comparables avec celles données par un calcul dynamique.

L’étude nous a permis aussi de valider la capacité de notre modèle à fournir une prédiction

fiable du comportement des structures d’une part, et d’apporter également, une contribution à la compréhension des mécanismes de ruine sous chargement latéral, d’ autre part.

A n a l y s e d y n a m i q u e e t d e v u l n é r a b i l i t é s i s m i q u e Cette partie de la thèse a visé à développer une procédure améliorée d'analyse pushover

basée sur la dynamique de structure, qui maintient la simplicité conceptuelle en tenant compte des progrès actuels des méthodes existants dans la littérature. Une analyse basée sur les notions de performance et de capacité a été menée. Ce type d'analyse permet de ramener l’étude du comportement dynamique d’ensemble d’un ouvrage souvent complexe (le voile) à l’étude d’un simple oscillateur élasto-plastique à un degré de liberté.

La méthode dynamique modale spectrale (standard), destinée pour l’analyse des structures

à plusieurs degrés de liberté, a été reformulée dans la forme de l’analyse pushover monomodale (MSNL) ou multimodale (AMP ou MCM). Les réponses modales maximales déterminées chacune par une analyse pushover, peuvent être combinées selon une règle de combinaison appropriée pour obtenir une estimation de la valeur maximale de la réponse

209

totale. Cette procédure nommée (« Analyse Modale Pushover », AMP) a été présentée au chapitre 4.

La comparaison des résultats obtenus par les trois méthodes MSNL AMP et MCM met en

évidence quelques écarts significatifs. En considérant comme résultats de référence ceux de la méthode AMTS, il apparaît que la méthode de combinaison modale (MCM), donne des valeurs assez proches en termes de déplacements inter-étages, et conduit donc au sens de la sécurité à une meilleure estimation de la réponse globale que les deux méthodes (MSNL et AMP).

La partie finale de ce travail de thèse a été consacrée à la mise au point d’une méthode

probabiliste basé sur l’approche de capacité spectrale permettant d’obtenir pour une typologie située dans une région donnée des courbes de fragilité plus réalistes.

Les courbes de fragilité déterminées pour les ouvrages quasi-symétriques à murs porteurs

(voiles) en béton armé semblent cohérentes avec le niveau de sollicitation sismique réglementaire.

L’approche proposée ici du point de vue de la vulnérabilité, est très bien adaptée pour ce

type d’ouvrages. L’utilisation d’un modèle probabiliste nous a permis de prendre en compte le degré d’incertitude des paramètres choisis pour quantifier le degré de dommages et ainsi d’estimer une probabilité de l’apparition de ces dommages dans le mur voile.

Les résultats présentés ici constituent des exemples d’utilisation pour l’évaluation des

dommages et constituent une première estimation des niveaux de risques. La poursuite de ce travail sera donc tout particulièrement orientée vers l’amélioration des données (côté aléa et côté fragilité) pour chercher à obtenir des résultats plus cohérents avec les observations (relations PGA / Intensité et retour d’expérience des séismes historiques pour une région donnée). Par ailleurs, cette approche méritera d’être mise en œuvre sur une gamme de bâtiments plus complète que ceux traités ici.

Au terme de cette étude basée sur la performance, la modélisation "simplifiée" (par macro-

éléments), permettant d’approcher au mieux les aspects dynamiques, est intéressante au niveau global et permet d’obtenir de bons indicateurs. Ceci conduit à dire que l’approche présentée valide à la fois le concept parasismique pour ce type de structure (à voiles porteurs en béton armé) et la capacité des outils numériques utilisés, aussi bien dans leur forme complète que dans leur forme simplifiée.

Les apports les plus significatifs de ce travail sont donc :

- Le développement d’un modèle en macro-élément avec son implantation dans un

code de calcul aux éléments finis (FedeasLab), sa confrontation et sa validation sur la base de données expérimentales.

- La discussion détaillée des résultats de simulations et la mise en relief des divers

facteurs influencent le mode de comportement du mur voile étudié. - La mise en œuvre de méthodes simplifiées permettant de ramener l’analyse du

comportement dynamique d’un ouvrage à voile porteur (souvent complexe), à l’étude d’un simple oscillateur élasto-plastique à un degré de liberté.

210

- Le développement d’une méthode probabiliste basée sur la méthode de capacité

spectrale permettant d’obtenir pour une typologie de structure à voiles porteurs, les courbes de fragilité.

Cependant, au delà de ses performances et malgré ses résultats encourageants, le modèle

présente quelques limites qui rendent nécessaires des développements ultérieurs. Les quelques propositions qui suivent constituent un ensemble de sujets de recherche qu'il semble intéressant d'explorer pour approfondir les connaissances actuelles sur le comportement non-linéaire des murs voiles en béton armé sous action sismique.

- Pour une prédiction fiable de la réponse du mur, le modèle peut être étendu pour

incorporer diverses formes de section (en T, en U etc.) et des modifications peuvent être recommandées pour tenir compte de la variation de la déformation longitudinale des sous-éléments du macro-élément au niveau de leur assemblage.

- la modélisation de structures avec des modèles locaux d’endommagement de béton est

plus délicate et moins robuste que la modélisation avec un modèle d’endommagement global de béton armé avec l'utilisation de macro-éléments, qui offre l’avantage de tenir compte de la raideur intégrée apportée par les aciers. Il semble donc nécessaire de disposer de la panoplie de ces deux types de modélisations : les modèles locaux, aptes à représenter plus précisément les phénomènes d’endommagement, comme outil de référence, et un modèle global, efficace pour simuler des structures de béton armé de grande taille, sous des chargements divers et complexes, après avoir réalisé une étape de recalage par rapport à des données expérimentales.

- Il apparaît de plus comme naturel dans les travaux futurs de devoir étendre le modèle

de comportement à une configuration à trois dimensions. Une approche locale biaxiale sera donc nécessaire, afin d’avoir accès à la distribution spatiale de l’état d’endommagement et surtout d’essayer de prédire les différents modes de ruine. Cependant, il faut remarquer que cela conduit à considérer dans la construction du modèle le moment bi-axial ainsi que le couplage de plusieurs critères d’endommagement, ce qui peut constituer une difficulté majeure.

- Les modèles uni-axiaux disponibles dans la littérature, pour tenir compte de l’effet de

glissement et de gauchissement des barres d’armatures, peuvent aisément être incorporés dans les sous-éléments uniaxiaux du modèle analytique.

- Le modèle peut être étendu pour reproduire des réponses dynamiques non-linéaires, par

l’adaptation d’un algorithme d'analyse dynamique incrémentale qui implique l’intégration numérique pas-à-pas en utilisant la méthode de Newmark avec schéma itératif de la méthode de Newton-Raphson décrite en chapitre 2, pour obtenir la réponse dynamique non-linéaire du modèle.

- L’interaction cisaillement-flexion peut être prise en compte pour simuler le

comportement en cisaillement et en flexion couplé de la réponse des murs voiles sous chargement monotone et cyclique. Le couplage cisaillement-flexion (comportement difficile à simuler), permet non seulement de capturer les déformations non-linéaires de cisaillement dans le mur mais fournit également des prédictions plus précises de la réponse en particulier pour les murs faiblement élancés.

211

- Le modèle doit être validé sur une grande variété de structures à voiles en béton armé

soumises à des chargements dynamiques, en particulier les voiles ouverts qui présentent un comportement difficile à simuler. Une modélisation plus réaliste de la torsion est sans doute un point clé pour l’amélioration des résultats. Il conviendrait donc de poursuivre et d’enrichir les recherches aussi bien dans la voie numérique que dans la voie expérimentale.

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229

ANNEXES

230

231

A n n e x e s

A n n e x e A 1

Idéa l i sa t ion de la courbe (« pushover »)

L’idéalisation de la courbe pushover en une courbe bilinéaire emploie la procédure donnée par le FEMA-450 (Building Seismic Safety Council, 2003). Une procédure itérative est adoptée en utilisant une équivalence basée sur l’égalité des énergies de telle manière que les aires en-dessous des deux courbes réelle et idéalisée sont égales. Deux points sont donc nécessaires : le point A, qui représente l’entrée dans le domaine post - élastique, et le point B, qui représente la perte totale de la capacité de résistance de la structure (Fig. A1).

La procédure est décomposée selon les étapes suivantes : 1. Définir sur la courbe bilinéaire le point B de coordonnées le déplacement cible au sommet

et l’effort tranchant à la base (urno, Vbno), respectivement. 2. Calculer l’aire Apn en-dessous de la courbe réelle pushover en utilisant une méthode

numérique appropriée, 3. Estimer l’effort tranchant à la base Vi

bny. Cette valeur, obtenue par jugement, doit être raffinée par une procédure itérative de manière à ce que les aires de la courbe réelle et la courbe idéalisé soient égales,

4. Calculer la pente initiale de la courbe bilinéaire idéalisée ki

n, en reliant une ligne droite entre le point d’origine O et un point sur la courbe réelle pushover avec un effort tranchant à la base égal à 0.6×Vi

bny. Cette étape donne la rigidité sécante correspondant à un effort tranchant à la base égal à 60% de l’effort tranchant à la limite élastique Vbny. 4.1. A partir de la base de données de la courbe pushover, déterminer le déplacement au

sommet uirn,0.6, correspondant à l’effort tranchant égal à 0.6×Vbny.

4.2. Calculer la pente irn

ibny

in uVk 6.0,)6.0( ×= .

5. Calculer le déplacement à la limite élastique i

ni

bnyirny kVu = , correspondant à l’effort

tranchant Vibny. Appelons ce point de coordonnées (ui

rn,Vibny ), le point A.

6. Tracer la courbe OAB en reliant les trois points O, A, B, par deux segments pour obtenir

la courbe bilinéaire idéalisée.

232

7. Calculer le rapport de l’écrouissage [ ] [ ]1)(1)( −−= i

rnyrnoi

bnybnoin uuVVα .

8. Calculer la surface Ai

bn en-dessous de la courbe bilinéaire OAB. 9. Calculer l’erreur ApnAA pn

ibn )(100 −×= . Si l’erreur dépasse une certaine valeur de

tolerance prédéfinie, des itérations sont nécessaires :

9.1. Calculer )(1 i

bnpni

bnyi

bny AAVV ×=+

, d’autres méthodes appropriées peuvent être utilisées dans cette étape.

9.2. Replacer i par i+1 et répéter les étapes précédentes.

Figure A2 : Idéalisation de la courbe (« pushover »)

αnkn 1

kn

1

0.6Vbny

urn,0,6

ki

urn

Vbno

Vbny

Vbn

urny urno

A

B

233

A n n e x e A 2

P r é s e n t a t i o n d u c o d e n u m é r i q u e F E D E A S L a b

(Simulations numériques de la réponse statique et dynamique des structures)

Le macro-élément est implanté dans FedeasLab, un code éléments finis développé sous Matlab par Filippou et al. (2004) à l’Université de California, Berkeley. • FEDEASLab se concentre principalement sur la simulation de la réponse statique et

dynamique des structures linéaire et non-linéaire et comporte plusieurs types d’éléments structuraux (en béton armé, en charpente métallique, composite, etc.), pour différents types d’analyses communes dans la pratique d’ingénierie structurale tels que :

� Analyse du second ordre. � Analyse P-∆. � Analyse de Pushover. � Plusieurs stratégies de solutionnons non-linéaire (longueur d’arc, ..) � Différents stratégie d’intégration temporelle (Newmark, Wilson-θ, α-

Method, …) � Tient compte des Masses concentrées et consistantes, etc.

• FEDEASLab est très simple dans son architecture de base, et peut être facilement enrichie par d’autre type d’analyse et d’éléments.

• FEDEASLab est écrit en Matlab, et se compose de plusieurs répertoires contenant diverses catégories de fonctions :

General

Geometry

Utilities

Output FEDEASLab

Function Categories Element_Lib Section_Lib

Material_Lib Solution_Lib

Examples

234

O r g a n i s a t i o n • Les données sont menées dans des structures ou ‘’objets’’ de nombre de 5 principales et

une optionnelle : 1. Model : comporte les informations sur le modèle de la structure, telles que la

géométrie, types d’éléments, dégréé de liberté, etc. 2. ElemData {.} : les propriétés des éléments. 3. Loading : cas de charges, forces, déplacements, chargements temporels. 4. State : comporte la réponse de la structure après l’analyse (déplacement,

réactions, forces, vitesses, accélérations, matrice de rigidité et d’amortissement, les variables nécessaire à l’analyse temporelle),

5. SolStrat : Paramètres de stratégie de solution statiques ou transitoires. 6. Poste : informations après l’analyse («post-traitement) (Optionnel).

• La principale fonction et le moteur du programme qui gère les différentes taches est :

Structure(action,Model,ElData,State,ElemList); En fonction des paramètres d’entrée « action », Structure exécute une tache spécifique et stocke le résultat dans un objet de données « Output » pour l’envoyer comme paramètre de sortie.

S é q u e n c e t y p i q u e d ’ u n e s i m u l a t i o n : 1. Définition de la géométrie de modèle et création de l’objet de données « Model ». 2. Spécification des propriétés des éléments et création de l’objet de données « ElemData ».

3. Initialisation d’état (création de l’objet de données « State »).

4. Spécification un ou plusieurs modèles de charge et création de l’objet de

données « Loading ». 5. Création de l’objet de données « SolStrat» avec des paramètres par défaut de la stratégie

de solution. 6. Initialisation du processus de la solution et application d’une ou plus pas.

7. Stockage des informations de la réponse de la structure pour un post-traitement immédiat

ou postérieur.

235

1. Exemple simple d’une analyse statique linéaire :

Model ElemName{

Champs

XYZ(1 :nn, 1 : ndm)

BOUN(1 :nn, 1 : ndfx)

CON{1 : ne}

ElemName{1 : ne}

Create_Model Model

CleanStart

Print_Model Plot_Model Label_Model

Create_Loading Loading Model

Pe(1 :nn, 1 :ndfx, 1 :ncas)

Ue(1 :nn, 1 :ndfx, 1 :ncas)

Structutre(‘chec’,.. ElemData ElemData{1 :ne}

SecName{ }

SecData{ } Champs{ }

Model

ElemData{1 :ne}

Initialise_State State Model

ElemData{1 :ne}

1. C

réat

ion

du M

odel

2.

Vér

ifica

tion

du M

odel

3.

Initi

alis

atio

n

4. S

péci

ficat

ion

des

cas

de

cha

rge

Paramètres d’entrées Paramètres de Sorties Séquence de la simulation

Les 4 premières taches sont communes pour n’importe quelle analyse.

CleanStart

Craete_Model

Structure(‘chec’,..

Create_Loading

LinearStep

Structure(‘post’,..

Model

ElemData

Loading

State

Ana

lyse

Sta

tique

Post

Print_State Structure(‘defo‘…)

Plot_ForcDistr

236

2. Exemple d’une analyse PUSHOVER (Statique non linéaire):

NB : Nous avons créé notre propre sous-programme appelé « push_analysis », ce dernier permet d’appliquer progressivement un chargement prédéfini sur la structure par un incrément de charge jusqu’a ce que la structure atteigne un déplacement cible fixé préalablement. Pour chaque incrément (ou pas de charge) l’équilibre de la structure est assuré par un nouveau sous programme appelé « NRCD_Step » qui adopte la méthode Newton-Raphson type déplacement contrôlé.

3. Analyse dynamique (Analyse Modale): Pour effectuer une analyse dynamique, il faut ajouter aux objets « Model » et « State » certaines données telles que les masses concentrées aux nœuds et les coefficients d’amortissement.

CleanStart

Craete_Model

Structure(‘chec’,..

Create_Loading

Initialize_State

Initialize_SolStart

Increment

Initialize

Iterate

Update_State

Initialize_SolStart

ElemData

Pe(.)

Loading

Model

ElemData

Loading

State

Post

SolStart

K=2 : no step

237

4. Analyse MSNL : La méthode MSNL est le résultat de deux analyses, la première fournit la réponse statique de la structure soumise à une distribution de force latérale prédéfinie et la seconde traduit la réponse dynamique de la structure modélisée par un système à un seul dégrée de liberté. Le

Add_Mass2Model Model avec Ml (vecteur de masse) Model

Me(1 :nn,1 :ndfx)

Add_Damping2Model State avec C : coefficient

d’amortissement

Model

zeta

State

mode

CleanStart

Craete_Model

Structure (‘chaec’,..

Create_Loading

LinearStep

Add_Mass2Model

Modal_Analysis

Model

ElemData

Loading

State

Model avc Ml

Model

Me(1 :nn,1 :ndfx)

Initialize_State State

Structure(‘stif’,…) State avec Kf

Veig(.,.)

Y_t(.,.)

Omega(.)

Loading

zeta

State.Kf

Model.Ml

238

résultat de telle analyse reproduit un déplacement au sommet correspond au point de performance statique de la structure.

CleanStart

Chargement de Model

Ml = Model.Ml DOF= Model.DOF

Model.Cible_value=value Model.dep_cible_comp=DOF(Nœud, degré de liberté)

result = push_analysis(Model,ElemData, P)

xr = result.x (déplacement au sommet) yr = result.y (réaction à la base) Post = result.Post;

• (D*,F*) = Idéaliser (D*,F*) • Evaluation du Dy

* et Fy* (état limite élastique)

• Calcul de la période effective T* :

Idéalisation de la courbe PUSHOVER du SDOF en courbe bilinéaire

• Choix du spectre de réponse dans le format Sa-Sd • Choix de l’intensité du séisme PGA • Dpp=point_perf (Sac,Sdc, PGA)

Recherche du point de performance

Conversion du point de performance représentant le déplacement du système d’1 degré de liberté en déplacement de système réel (plusieurs degrés de liberté) qui est le déplacement au sommet de la structure

Recherche dans les résultats stockés dans « Post » correspond au déplacement Ur

• Calcul du déplacement de chaque niveau de la structure. (Uetage_imode) • Calcul des drifts (déplacement inter-étages) (Driftimode)

Proposition d’une forme de déplacement

Model d’1 seul dégré de liberté équivalent (SDOF)

• Sdc=D* • Sac=F*/m*

Conversion de la courbe bilinéaire (D*, F*) dans le plan (Sac,Sdc)