hệ hoán vị vòng quanh
TRANSCRIPT
Website: https://sites.google.com/site/toanhoctoantap
HỆ HOÁN VỊ VÒNG QUANH
Xét hệ phương trình ba ẩn dạng:
{
ở đây f là một hàm số.
Thông thường để giải hệ này ta dựa vào một số tính chất của hàm f như đồng biến,
nghịch biến…để chứng minh x = y = z rồi giải phương trình x = f(x). Từ đó tìm ra
nghiệm của hệ đã cho.
Sau đây là một số ví dụ:
Bài Toán 1: Giải hệ phương trình:
{
√
√
√
(1)
Lời giải
Điều kiện là: x, y, z . Viết (1) dưới dạng
{
√
√
√
Do vai trò bình đẳng trong hoán vị vòng quanh của x; y; z trong hệ trên, ta có thể
giả sử x = min{x; y; z}.
Vì x nên √ √ √ √ hay .
Tức là: y = min{x; y; z} = x
Suy ra: x = y = z.
Từ đó ta được phương trình: √ . Giải PT này ta được: √
.
Website: https://sites.google.com/site/toanhoctoantap
Vậy nghiệm của hệ là: (x; y; z) = ( √
√
√
)
Bài Toán 2: Giải hệ phương trình:
{
(2)
Lời giải
Do vai trò bình đẳng trong hoán vị vòng quanh của x; y; z trong hệ trên, ta có thể
giả sử: x = max{x; y; z}
Vì
Suy ra: . Mà .
Lập luận ngược lại quá trình trên ta được:
Vậy x = z. Suy ra: x = y = z.
Từ đó ta được phương trình:
.
Vậy nghiệm của hệ đã cho là: (x; y; z) = (1; 1; 1)
Bài Toán 3: Giải hệ phương trình:
{
(3)
Lời giải
Website: https://sites.google.com/site/toanhoctoantap
Xét hàm số: f(t) = t3 + t
2 + t – 2, t , dễ dàng chứng minh đây là hàm đồng biến.
Hệ đã cho được viết dưới dạng:
{
Ta xét hai trường hợp sau:
TH1: , vì f đồng biến nên
. Suy ra: . => x = y = z.
Từ đó ta được phương trình:
x3 + x
2 + x – 2 = x
x3 + x
2 – 2= 0
(x3 - 1) + (x
2 - 1) = 0
(x - 1)(x2 + 2x + 2) = 0
x = 1
TH2: x < y. Chứng minh tương tự ta được: x < y < z < x. Vô lý.
Vậy nghiệm của hệ đã cho là: x = y = z = 1.
Bài Toán 4: Giải hệ phương trình:
{
(4)
Lời giải
Viết (4) dưới dạng:
{
Website: https://sites.google.com/site/toanhoctoantap
Vì y3 = 6(x - 1)
2 + 2 √
.
Tương tự: √
.
Xét hàm số f(t) = 6t2 – 12t + 8 với √
. Dễ dàng chứng minh được f(t) là hàm
đồng biến. Làm tương tự Bài toán 3 được nghiệm của phương trình là:
(x; y; z) = (2; 2; 2)
Bài Tập Tự Luyện:
Giải các hệ phương trình sau:
{
{
{
{
√
√
√