hay problemas en los que la forma y disposición de los
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COORDENADAS CILÍNDRICAS
Hay problemas en los que la forma y disposición de los conductores
se adapta a las coordenadas cilíndricas.
En dichos sistemas la ecuación
de Laplace es de la forma:
Los problemas que en coordenadas
cilíndricas admiten el método de separación
de variables tienen una solución de la forma
2
∴
Si el potencial no varía con la coordenada z , será
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En general los problemas en
coordenadas esféricas son complicados
desde el punto de vista matemático.
Por esta circunstancia limitamos los casos
posibles, y simplificamos algo el
desarrollo matemático suponiendo en
principio que el potencial no depende
del ángulo j
COORDENADAS ESFÉRICAS
Con esa limitación la forma de la
ecuación de Laplace queda:
Separación de variables :
4
Con una relación entre
n y k determinada por
la ecuacióndonde n = 0, 1, 2, …
es un entero positivo
∴
Ecuación
de
Legendre
5
elección
SOLUCIÓN : polinomios de Legendre
de primera y segunda especie
ECUACIÓN DE
LEGENDRE
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SOLUCIÓN : polinomios de Legendre
de primera y segunda especie
ECUACIÓN DE
LEGENDRE
La tabla muestra que tiene una
singularidad para q = 0 o q = p
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SOLUCIÓN : polinomios de Legendre
de primera y segunda especie
ECUACIÓN DE
LEGENDRE
La tabla muestra que tiene una
singularidad para q = 0 o q = p
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SOLUCIÓN general
9
Algunos Polinomios de Legendre
x =
10
x =
11
x =
Con
la ecuación radial queda :
1212
Si suponemos que el potencial no tiene singularidad en el eje polar, es decir,
para q = 0 o q = p, la solución que muestra la ecuación se simplifica dado que en
estas circunstancias en
por tanto,
Soluciones :
Una esfera conductora de radio a y unida a
tierra se dispone como muestra la figura, en
presencia de un campo electrostático.
Dicho campo en puntos alejados de la esfera es
de la forma E = E0 uz.
Ejemplo
Calcular el potencial en el exterior de la esfera.
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Se observa es que el potencial no
depende del ángulo j.
Por otro lado no hay singularidades sobre
el eje, es decir, los polinomios de
segunda especie desaparecen.
La solución general
en este caso será
14
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1- En el infinito:
Condiciones de contorno
el campo en puntos alejados es:
∴
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2- Sobre la esfera:
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MEDIOS DIELECTRICOS
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EL CAMPO ELECTROSTÁTICO EN MEDIOS DIELECTRICOS
Dieléctricos: materiales caracterizados por ser prácticamente aislantes, es
decir, materiales cuya conductividad es muy pequeña.
Estos están compuestos de átomos y moléculas cuya distribución interna de
cargas se modifica en presencia de un campo eléctrico: las cargas positivas se
desplazan con respecto a las negativas dando lugar a una modificación del
campo eléctrico que se puede expresar mediante la caracterización de las
distribuciones atómicas o moleculares de carga por dipolos, cuadripolos, etc.
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EL CAMPO ELECTROSTÁTICO EN MEDIOS DIELECTRICOS
Dieléctricos: materiales caracterizados por ser prácticamente aislantes, es
decir, materiales cuya conductividad es muy pequeña.
Estos están compuestos de átomos y moléculas cuya distribución interna de
cargas se modifica en presencia de un campo eléctrico: las cargas positivas se
desplazan con respecto a las negativas dando lugar a una modificación del
campo eléctrico que se puede expresar mediante la caracterización de las
distribuciones atómicas o moleculares de carga por dipolos, cuadripolos, etc.
Los dieléctricos se diferencian de los conductores en que (para un dieléctrico
ideal) las cargas NO son libres, sino que ESTÁN LIGADAS a los átomos o
moléculas que constituyen el material. Estas cargas ligadas sólo se desplazan
pequeñas fracciones de las distancias interatómicas en presencia de un campo
eléctrico.
EL CAMPO ELECTROSTÁTICO EN MEDIOS DIELECTRICOS
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COMENZAMOS ESTUDIANDO LOS AGREGADOS DE DIPOLOS para introducir
los conceptos de polarización eléctrica, después deducimos el campo debido a
un medio polarizado e introducimos el vector desplazamiento eléctrico.
Dieléctricos: materiales caracterizados por ser prácticamente aislantes, es
decir, materiales cuya conductividad es muy pequeña.
Estos están compuestos de átomos y moléculas cuya distribución interna de
cargas se modifica en presencia de un campo eléctrico: las cargas positivas se
desplazan con respecto a las negativas dando lugar a una modificación del
campo eléctrico que se puede expresar mediante la caracterización de las
distribuciones atómicas o moleculares de carga por dipolos, cuadripolos, etc.
Los dieléctricos se diferencian de los conductores en que (para un dieléctrico
ideal) las cargas NO son libres, sino que ESTÁN LIGADAS a los átomos o
moléculas que constituyen el material. Estas cargas ligadas sólo se desplazan
pequeñas fracciones de las distancias interatómicas en presencia de un campo
eléctrico.
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Conductor
gas de electrones
Dieléctrico
POLARIZACIÓN
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Las moléculas de los materiales dieléctricos son en general de dos tipos:
1) Las que en ausencia de campo eléctrico exterior tienen una distribución de sus átomos
tal que poseen un momento dipolar neto y se las conoce como moléculas polares.
2) Moléculas que en ausencia de campo no tienen momento dipolar y reciben el nombre de
moléculas no polares.
POLARIZACIÓN
Las moléculas de los materiales dieléctricos son en general de dos tipos:
1) Las que en ausencia de campo eléctrico exterior tienen una distribución de sus átomos
tal que poseen un momento dipolar neto y se las conoce como moléculas polares.
2) Moléculas que en ausencia de campo no tienen momento dipolar y reciben el nombre de
moléculas no polares.
Por otra parte todas las moléculas y átomos se polarizan en presencia de un campo
eléctrico, ya que el campo provoca un desplazamiento relativo de las cargas positivas y
negativas. Esta polarización en la mayoría de los materiales desaparece cuando lo
hace el campo eléctrico.
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POLARIZACIÓN
Las moléculas de los materiales dieléctricos son en general de dos tipos:
1) Las que en ausencia de campo eléctrico exterior tienen una distribución de sus átomos
tal que poseen un momento dipolar neto y se las conoce como moléculas polares.
2) Moléculas que en ausencia de campo no tienen momento dipolar y reciben el nombre de
moléculas no polares.
Por otra parte todas las moléculas y átomos se polarizan en presencia de un campo
eléctrico, ya que el campo provoca un desplazamiento relativo de las cargas positivas y
negativas. Esta polarización en la mayoría de los materiales desaparece cuando lo
hace el campo eléctrico.
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El ejemplo más simple que podemos citar es el de un átomo
que tenga los electrones distribuidos con simetría esférica
alrededor del núcleo en ausencia de campo.
Al aplicar un campo se desplazan los electrones con respecto
al núcleo central dando lugar a una asimetría que origina un
momento dipolar atómico.
• En ausencia de campo eléctrico la mayoría de los dieléctricos con moléculas polares tienen
sus dipolos orientados al azar, no siendo observable macroscópicamente un momento
dipolar neto. Cuando se aplica un campo eléctrico externo los dipolos moleculares se
orientan en la dirección del campo de manera que se puede observar un momento dipolar
neto del conjunto.
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• En ausencia de campo eléctrico la mayoría de los dieléctricos con moléculas polares tienen
sus dipolos orientados al azar, no siendo observable macroscópicamente un momento
dipolar neto. Cuando se aplica un campo eléctrico externo los dipolos moleculares se
orientan en la dirección del campo de manera que se puede observar un momento dipolar
neto del conjunto.
• En general las distribuciones de carga dentro de las moléculas dan lugar a un
potencial, y por tanto a un campo, que se describe mediante una serie de términos en
los que intervienen: el momento monopolar, que en un dieléctrico es nulo, dado que la
carga neta lo es; un momento dipolar cuyo efecto estudiaremos; y un término
cuadripolar, que disminuye muy rápidamente con la distancia y se desprecia frente a la
contribución dipolar.
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• En ausencia de campo eléctrico la mayoría de los dieléctricos con moléculas polares tienen
sus dipolos orientados al azar, no siendo observable macroscópicamente un momento
dipolar neto. Cuando se aplica un campo eléctrico externo los dipolos moleculares se
orientan en la dirección del campo de manera que se puede observar un momento dipolar
neto del conjunto.
• En general las distribuciones de carga dentro de las moléculas dan lugar a un
potencial, y por tanto a un campo, que se describe mediante una serie de términos en
los que intervienen: el momento monopolar, que en un dieléctrico es nulo, dado que la
carga neta lo es; un momento dipolar cuyo efecto estudiaremos; y un término
cuadripolar, que disminuye muy rápidamente con la distancia y se desprecia frente a la
contribución dipolar.
• Por otra parte el dieléctrico a través de los dipolos que lo forman modifica el campo
eléctrico tanto en el interior como en el exterior del material. A su vez, el campo en el
interior determina la polarización de los átomos y moléculas. En consecuencia es
necesario introducir relaciones entre los campos exterior e interior del material, que
tengan en cuenta los efectos de dicho material y nos permitan conocer el campo en el
interior en función de un campo medible en el exterior. Para ello comenzamos
introduciendo el vector polarización eléctrica que es un promedio macroscópico del
momento dipolar que tienen los átomos o moléculas del material.27
POLARIZACIÓN ELÉCTRICA
Un dieléctrico polarizado se puede considerar
como un conjunto muy numeroso de pequeños dipolos en el vacío.
Para caracterizar dicho conjunto de dipolos se introduce el concepto de
polarización P , que se define como el momento dipolar por unidad de volumen
cuando dicho volumen es muy pequeño:
= la suma vectorial de todos los momentos dipolares que
existen en el volumen elemental ∆v
pm es el momento dipolar de cada átomo o molécula en ∆v
28
???
POLARIZACIÓN ELÉCTRICA
Como en todas las magnitudes que representan un valor medio, la polarización
asocia a cada punto, cuyo entorno es el volumen ∆v, un vector P que es el valor
medio de los momentos dipolares de los átomos o moléculas existentes en el
citado volumen.
∆v se considera muy pequeño en comparación con las dimensiones del
sistema, pero en su interior existe un gran número de moléculas o átomos
con momentos pm.
La polarización P es por tanto una función de punto que caracteriza al
dieléctrico desde un punto de vista macroscópico.
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30
Se muestra un volumen V´ de material, cuya polarización en cada punto es P(r´).
A un volumen elemental dv´, situado en r´, le corresponde un momento dipolar
El operador ∇´ indica derivación con
respecto las coordenadas del vector de
posición r´, es decir, de las coordenadas
donde se sitúan los dipolos.
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33
34
x teorema de Gauss
S´ es la superficie que limita el volumen V´
n es el vector normal a S´ y con sentido hacia el exterior de V´
ds´ es la superficie elemental sobre S´
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Los términos P(r´) · n y −∇´·P(r´)
son dos funciones escalares que permiten calcular el potencial como si fueran
unas densidades de carga, y tienen un significado especial por lo que sirven
para introducir las densidades de carga de polarización.
Densidad superficial de carga de polarización
Densidad volumétrica de carga de polarización
Es la densidad superficial de carga que se obtiene en la superficie de separación
a través del producto escalar de la polarización en dicha superficie por el vector
normal a ella.
Es la densidad volumétrica de carga de polarización obtenida mediante la
divergencia de la polarización dentro del volumen ocupado por el material.
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Densidad superficial de carga de polarización
Densidad volumétrica de carga de polarización
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Campo eléctrico debido a un dieléctrico
Se obtiene a partir del potencial
y de que
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Campo eléctrico debido a un dieléctrico
Se obtiene a partir del potencial
y de que
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Campo eléctrico debido a un dieléctrico
Se puede introducir el operador dentro de la
integral, ya que opera sobre la variable que
no es de integración y las fronteras son fijas.
Se obtiene a partir del potencial
y de que
No opera sobre la variable de integración
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ORIGEN FÍSICO DE LAS DENSIDADES DE CARGA
Se muestra un dieléctrico uniformemente
polarizado. Los dipolos que contribuyen a la
polarización P están alineados de forma que en el
interior se compensa la carga positiva de un
dipolo con la negativa del siguiente, de tal manera
que solo quedan sin compensar las negativas de la
superficie límite izquierda y las positivas
correspondientes a la superficie de la derecha.
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Se muestra un dieléctrico uniformemente
polarizado. Los dipolos que contribuyen a la
polarización P están alineados de forma que en el
interior se compensa la carga positiva de un
dipolo con la negativa del siguiente, de tal manera
que solo quedan sin compensar las negativas de la
superficie límite izquierda y las positivas
correspondientes a la superficie de la derecha.
ORIGEN FÍSICO DE LAS DENSIDADES DE CARGA
Esto explica la densidad de carga de polarización superficial .
El vector n tiene sentido contrario a P en la superficie de la izquierda y por
tanto su producto es negativo e igual a .
En la superficie de la derecha n y P tienen el mismo sentido y en consecuencia la
densidad es positiva e igual a .
La carga neta, incluidas las dos superficies, es nula como corresponde a un
dieléctrico sin más carga que la de sus átomos.
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Cuando tenemos un material cuya
polarización no es uniforme podemos
explicar el proceso con el modelo indicado.
En el modelo se supone que la polarización
crece de izquierda a derecha, y se representa
gráficamente dibujando más dipolos en un
plano que en el precedente.
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Cuando tenemos un material cuya
polarización no es uniforme podemos
explicar el proceso con el modelo indicado.
En el modelo se supone que la polarización
crece de izquierda a derecha, y se representa
gráficamente dibujando más dipolos en un
plano que en el precedente.
En la zona central se ha dibujado la sección de una caja que incluye la parte final de
un conjunto de dipolos y la inicial del siguiente.
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Cuando tenemos un material cuya
polarización no es uniforme podemos
explicar el proceso con el modelo indicado.
En el modelo se supone que la polarización
crece de izquierda a derecha, y se representa
gráficamente dibujando más dipolos en un
plano que en el precedente.
En la zona central se ha dibujado la sección de una caja que incluye la parte final de
un conjunto de dipolos y la inicial del siguiente.
Como la polarización no es uniforme el flujo de la polarización que entra en la cara
de la izquierda es menor que el flujo saliendo por la cara derecha. Por tanto la
divergencia es positiva y como consecuencia la densidad de carga de polarización
es distinta de cero, en este ejemplo negativa.
En la figura se pone de manifiesto porque hay más cargas negativas que positivas en
el volumen considerado. Vemos que la existencia de es consecuencia de la falta
de uniformidad en la polarización.Cuando P es uniforme ∇ · P = − = 0.
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Demostramos la neutralidad
de carga en un dieléctrico.
Teorema de Gauss
Se mantiene el dieléctrico con carga neta
nula, como cabía esperar, pues lo único que
hacemos en todo el proceso matemático
es transformar la ecuación
de forma que se pueda expresar el potencial
en función de las densidades de carga de
polarización.
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CAMPO EN EL INTERIOR DEL DIELÉCTRICO
Hemos calculado el campo en el exterior del material, lo que en principio nos evita
tener que manejar | r − r´| en puntos del interior.
El proceso seguido consistió en sustituir una distribución de dipolos por otra de
cargas ligadas, con una distribución en la superficie y otra en el interior.
Una vez demostrado que es posible tal transformación para obtener el potencial fuera
del material, se puede calcular dicho potencial, y por tanto el campo electrostático,
en el interior con la misma ecuación, ya que esta situación es similar al cálculo de
un potencial en el interior de un volumen con densidad de carga libre y una
densidad sobre la superficie.
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Vamos a demostrar que la integral no diverge cuando |r − r´| → 0
Rodeamos el punto de coordenada r de una esfera de radio | r − r´ | .
El potencial debido a la carga exterior a la esfera es finito pues | r − r´ | > 0
CAMPO EN EL INTERIOR DEL DIELÉCTRICO
Hemos calculado el campo en el exterior del material, lo que en principio nos evita
tener que manejar | r − r´| en puntos del interior.
El proceso seguido consistió en sustituir una distribución de dipolos por otra de
cargas ligadas, con una distribución en la superficie y otra en el interior.
Una vez demostrado que es posible tal transformación para obtener el potencial fuera
del material, se puede calcular dicho potencial, y por tanto el campo electrostático,
en el interior con la misma ecuación, ya que esta situación es similar al cálculo de
un potencial en el interior de un volumen con densidad de carga libre y una
densidad sobre la superficie.
La contribución de la carga
dentro de la esfera será :
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En esféricas
Hemos supuesto que la densidad de
carga es finita en el punto de
coordenadas r = (x,y, z) en el interior.
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Por lo tanto, en el interior se calcula el
campo eléctrico con la misma ecuación
que se usa para el exterior:
En esféricas
Hemos supuesto que la densidad de
carga es finita en el punto de
coordenadas r = (x,y, z) en el interior.
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Un dieléctrico en forma de esfera, cuyo radio
es R, tiene una polarización uniforme P = P uz
como muestra la figura.
Calcular las densidades de carga de
polarización y el campo creado en el centro de
la esfera.
Ejemplo
Polarización uniforme
La simetría de la distribución es cilíndrica, ya que la
polarización es uniforme y en la dirección del eje Z.
El vector normal sobre la superficie de la esfera es :
51
La integración de la componente es
nula. La simetría cilíndrica de la
distribución determina que para cada
con existe otra simétrica con − y
al integrar se anula dicha componente.
;
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La integración de la componente es
nula. La simetría cilíndrica de la
distribución determina que para cada
con existe otra simétrica con − y
al integrar se anula dicha componente.
;
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DESPLAZAMIENTO ELÉCTRICO
Demostraremos el teorema de Gauss cuando
las cargas están dentro de un dieléctrico.
Para fijar las ideas vamos a suponer dos
conductores con cargas Q1 y Q2 dentro de un
dieléctrico.
Aplicamos el teorema de Gauss a una superficie S
que limita el volumen de dieléctrico V, en cuyo
interior se encuentran las cargas.
En este caso el campo eléctrico lo crean los dos
tipos de cargas, las ligadas a átomos Qp y libres,
no ligadas, Q = Q1+ Q2.
Cargas ligadas en función de la polarización :
CUIDADO!!! En S no existe
discontinuidad del medio, por tanto ésta
no se considera en la integral de superficie
54
∴
55
∴
La integral de superficie del vector
compuesto por el campo eléctrico y la
polarización, depende únicamente de la
carga libre Q encerrada por la superficie S.
Se lo define como un
nuevo vector D llamado
desplazamiento eléctrico
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∴
El flujo total del vector
desplazamiento a través de
una superficie cerrada es
igual a la carga libre que
encierra
∴
La integral de superficie del vector
compuesto por el campo eléctrico y la
polarización, depende únicamente de la
carga libre Q encerrada por la superficie S.
Se lo define como un
nuevo vector D llamado
desplazamiento eléctrico
57
se transforma en :
Si en lugar de unos conductores
cargados tenemos una distribución de
carga dentro del volumen considerado,
la ecuación
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se transforma en :
Si en lugar de unos conductores
cargados tenemos una distribución de
carga dentro del volumen considerado,
la ecuación
Esta es la FORMA DIFERENCIAL
de la Ley de Gauss
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se transforma en :
Si en lugar de unos conductores
cargados tenemos una distribución de
carga dentro del volumen considerado,
la ecuación
Constituye una de las ecuaciones de Maxwell para medios materiales.
Dicha ecuación expresa una relación puntual entre la divergencia del vector D
y la densidad de carga libre, no ligada, en el punto considerado muestra
que una de las fuentes de las líneas del vector D son las cargas libres.
Carga libre es una carga
que se aplica externamente en determinadas regiones del dieléctrico,
y en dieléctricos ideales no se mueve.
Esta es la FORMA DIFERENCIAL
de la Ley de Gauss
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El flujo del campo eléctrico, y por tanto su
divergencia, en el caso de que exista una
densidad de carga libre además de la densidad
de carga de polarización, se expresa mediante
el teorema de Gauss en la forma siguiente
Que es la forma diferencial de la
Ley de Gauss para E,
que pone de manifiesto que las fuentes
del campo eléctrico son los dos tipos
de cargas, libres y de polarización.