- 0 -

SAVONIA-AMMATTIKORKEAKOULU

Tekniikka Infrarakentamisen ja kaivannaisalan työnjohdon koulutus (ESR)

MATEMATIIKAN HARJOITTELUMATERIAALI

© Ari Tuomenlehto

- 1 -

Lausekkeen käsittelyä

Lauseke ja lausekkeen arvo

Näkyviin merkittyä laskutoimitusta sanotaan lausekkeeksi. Jos lausekkeessa esiintyvillä

symboleilla on numeroarvot, voidaan laskea lausekkeen arvo.

Esimerkki

Lausekkeita ovat esimerkiksi

a) 5,34m 6,273m 1,55m+ + summalauseke, jossa on 3 yhteenlaskettavaa

b) 2 5x x− summalauseke, jossa on 2 yhteenlaskettavaa

c) 2r hπ tulo jossa on 3 tekijää

d) sin 56,7 45,7 m

sin75,3

° ⋅

° osamäärä

e) 3(2 )x+ potenssilauseke

Tarkka arvo ja likiarvo

Lausekkeen arvoa laskettaessa on huomioitava lasketaanko tarkoilla arvoilla vai mittaamalla tai

pyöristämällä saaduilla likiarvoilla.

Tarkkoina arvoina voidaan useimmiten pitää esimerkiksi lukumäärää – 6 henkilöä – tai

kauppalaskun summaa - 456,23 € - koskevia arvoja. Likiarvoja ovat tyypillisesti erilaiset

mittaustulokset.

Likiarvon tarkkuus voidaan ilmaista eri tavoin:

Esimerkki

Likiarvo 45,75m on ilmaistu

- neljällä numerolla

- kahdella desimaalilla yksikkönä metri

- senttimetrin tarkkuudella

Likiarvon tarkkuutta ilmaiseviksi numeroiksi ei lasketa desimaaliluvun alussa eikä (yleensä) ko-

konaisluvun lopussa olevia nollia. Desimaaliluvun lopussa olevat nollat ovat tarkkuutta ilmaise-

via numeroita.

- 2 -

Esimerkki

Likiarvon 5,320 kg tarkkuus on

- neljä numeroa

- kolme desimaalia yksikkönä kg

- 1g

Laskutuloksen tarkkuus likiarvoilla laskettaessa

Toimintasäännöt:

Yhteen- ja vähennyslaskuissa tulokseen otetaan yhtä monta yksikköä (desimaalia) kuin niitä on

lähtötilanteessa epätarkimmassa likiarvossa.

Muita laskutoimituksia sisältävissä lausekkeissa tulokseen otetaan yhtä monta numeroa kuin niitä

on lähtötilanteessa numeromäärältään epätarkimmassa likiarvossa.

Esimerkki

a) 5,34m 6,273m 1,55m 13,16 m+ + ≈

b) 223,34m 6,27 m73,2 m

2

⋅≈

Harjoitustehtäviä

1. a) laske lausekkeen 3 4 7+ ⋅ arvo

b) laske lausekkeen (3 4) 7+ ⋅ arvo.

2. Laske lausekkeen 11,261 1,962 48,30 0,11+ + + arvo ja pyöristä tulos lähtöarvojen tarkkuutta

vastaavaksi.

3. Laske lausekkeen 3, 456 1,9345

2,34 0,0678

−

+ arvo ja pyöristä tulos lähtöarvojen tarkkuutta vastaavaksi.

4. Laske lausekkeen 152,36 3,001

1,286 1,36 2,175+

+arvo ja pyöristä tulos lähtöarvojen tarkkuutta

vastaavaksi.

5. Laske lausekkeen 4

4 30

xyy

x−

− tarkka arvo (murtoluku) kun 10x = − ja 2y = − .

6. Laske lausekkeen 21

1

d

d

+

− tarkka arvo (murtoluku) kun

1

3d = − .

- 3 -

7. Kahden neliön sivujen pituudet mitattiin ja tuloksiksi saatiin 9,34 m ja 11,41m . Kuinka

suuri on neliöiden yhteenlaskettu pinta-ala?

8. Merkitse lausekkeeksi lukujen a ja b erotus kerrottuna lukujen c ja d erotuksella.

9. Merkitse lausekkeeksi lukujen a ja b osamäärä jaettuna lukujen c ja d summalla.

Sieventäminen

Lausekkeissa olevilla symboleilla voidaan suorittaa laskutoimituksia kuten numeroillakin.

Useimmiten lauseketta ei kuitenkaan voida muokata yhtä yksinkertaiseksi – yhdeksi luvuksi –

kuin numeroilla laskettaessa. Lauseke pyritään kuitenkin saattamaan mahdollisimman yksinker-

taisen muotoon. Lausekkeen yksinkertaistamista sanotaan sieventämiseksi.

Lauseketta sievennettäessä, kuten numerolaskennassakin, suoritetaan kerto- ja jakolaskut ennen

yhteen- ja vähennyslaskuja ellei suluilla toisin osoiteta.

Sievennettäessä voidaan käyttää seuraavia reaalilukujen laskutoimitusten ominaisuuksia:

a b b a+ = + yhteenlaskun vaihdantalaki

( ) ( )a b c a b c+ + = + + yhteenlaskun liitäntälaki

ab ba= kertolaskun vaihdantalaki

( ) ( )a bc ab c= kertolaskun liitäntälaki

( )a b c ab ac+ = + osittelulaki

Summalausekkeet

Summalausekkeessa oleviä termejä sanotaan samanmuotoisiksi, jos niillä on täsmälleen sama

kirjainosa.

Toimintasääntö:

Samanmuotoiset termit voidaan yhdistää numerokertoimien yhteen/vähennyslaskuilla.

Esimerkki

a) 3 5 (3 5) 8a a a a+ = + ⋅ =

b) 3 4 2 (3 2) (4 1) 5x y x y x y x y+ − + = − ⋅ + + ⋅ = +

c) 2 3 4 6 6 ( 4 6) 3 ( 2 6) 10 3 4ab b a ba a a b ab a b ab− + − + − = − − + + − + = − + +

d) 2 2 2 24 3 4 6 6 6 (4 6) (3 6) ( 4 6) 2 9 2x xy y xy x y x xy y x xy y+ − + − + = − + + + − + = − + +

- 4 -

Sulkujen poistaminen summalausekkeesta

Toimintasäännöt:

+ merkin edeltämät sulut poistetaan säilyttämällä kaikkien suluissa olevien termien merkit.

− merkin edeltämät sulut poistetaan vaihtamalla kaikkien suluissa olevien termin merkit.

Esimerkki

a) 3 4 (2 6 ) 3 4 2 6 5 2x y x y x y x y x y+ + − = + + − = −

b) 3 4 (3 7 ) 3 4 3 7 4x y y x x y y x x y− + − − = − + − + = +

Summan kertominen tai jakaminen luvulla

Toimintasäännöt:

Summa voidaan kertoa luvulla kertomalla jokainen yhteenlaskettava erikseen ja laskemalla tulot

yhteen.

Summa voidaan jakaa luvulla jakamalla jokainen yhteenlaskettava erikseen ja laskemalla osa-

määrät yhteen.

Esimerkki

a) 3(5 4 5 ) 3 5 3 4 3 ( 5 ) 15 12 15x y z x y z x y z+ − = ⋅ + ⋅ + ⋅ − = + −

b) 16 6 8 16 6 8 3

4 24 4 4 4 2

a b c a b ca b c

+ −= + − = + −

Soveltamalla kertolaskun sääntöä toistuvasti voidaan kertoa summalausekkeita keskenään:

Esimerkki

a) ( 3) ( 5 ) 5 3 3 5 5 3 15a x z a x a z x z ax az x z+ ⋅ + = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = + + +

b) ( 3 )(4 ) ( 3) 4 ( 3) ( ) 4 ( ) 12 3 4c y y c c y y c cy− + − = − ⋅ + − ⋅ − + ⋅ + ⋅ − = − + + −

Tekijän erottaminen

Edellä esitettyä osittelulakia ( )a b c ab ac+ = + voidaan soveltaa myös oikealta vasemmalle, jol-

loin on kyse tekijän erottamisesta.

Toimintasääntö:

Jos summalausekkeen jokaisessa termissä on sama tekijä, se voidaan erottaa koko lausekkeen

yhteiseksi tekijäksi sulkumerkkejä käyttämällä.

- 5 -

Esimerkki

a) 3 (3 )a ab a b+ = +

b) ( 1)mx nx x x m n− + = − +

c) ( ) ( ) ( )( )a x y b x y x y a b+ + + = + +

d) 1( )x y x y− − = − +

Kannattaa huomata että tekijäksi voidaan erottaa myös summa (edellisen esimerkin c-kohta) tai

luku 1− (edellisen esimerkin d-kohta).

Harjoitustehtäviä

10. Sievennä seuraavat lausekkeet.

a) 2 4 8 5 3 6x y x y− + − + −

b) 2 23 3a a ab ab a a b+ − + − − +

11. Poista sulut ja sievennä seuraavat lausekkeet.

a) 2 1 (4 5 )x x+ − −

b) (1 ) (3 )x y y x+ + −

c) 2 3 3 21 3 ( 4 7)x x x x x x+ − − − − + −

12. Suorita kertolaskut.

a) 3(4 5 4 )x y− −

b) ( 3 )( 3 4 )x y z− + − +

13. Suorita jakolaskut.

a) 30 5 40

5

x y− −

b) 10 6 2

2

z xz yz

z

− − +

14. Erota yhteiset tekijät.

a) 4 6 2mn an n− +

b) (3 ) (3 )c x y c+ + +

c) 3ay xz− − −

- 6 -

Murtolausekkeet

Murtolausekkeessa a

b ( 0b ≠ ) lukua a sanotaan osoittajaksi (jaettavaksi) ja lukua b nimittä-

jäksi (jakajaksi). Luvun a

b käänteisluku on luku

b

a ( 0a ≠ ).

Erikoisesti luvun a ( 0a ≠ ) käänteisluku on luku 1

a.

Esimerkki

a) luvun 4

7 käänteisluku on

7

4

b) luvun 3− käänteisluku on 1 1

3 3= −

−

Murtolausekkeiden kerto- ja jakolaskut

Toimintasäännnöt:

Murtolausekkeet voidaan kertoa keskenään siten, että osoittajien tulo jaetaan nimittäjien tulolla.

Murtolausekkeet voidaan jakaa keskenään siten, että jaettavalla kerrotaan jakajan käänteisluku.

Esimerkki

a) 4 3 4 3 12

7 5 7 5 35

⋅⋅ = =

⋅

b)

x

x w x w xwy

z y z y z yz

w

⋅= ⋅ = =

⋅

c)

7

7 1 73

2 3 2 6= ⋅ =

d) 7 2 7 2 14

73 3 3 3

2

⋅= ⋅ = =

- 7 -

Supistaminen ja laventaminen

Toimintasäännnöt:

Murtolauseke, jonka osoittajassa ja nimittäjässä on sama tulon tekijä, voidaan supistaa tällä te-

kijällä.

Murtolauseke voidaan laventaa millä tahansa nollasta eroavalla lausekkeella. Laventaminen tar-

koittaa sitä, että jaettava ja jakaja kerrotaan laventajalla.

Esimerkki

a)

(510 2

15 3= b)

( xaxy ay

bzx bz=

c)

( 3( 3)

3

nm n

mn

−−

=−

d)

( ( 1( 1) ( 1)

( 1) ( 1)

y xx yz x z z

xy x x x x

++ +

= =+ +

d)

3)3

3

a a

y y=

e)

)2 ( 2)

ax a x

z az

+ +=

Murtolausekkeiden summa

Toimintasäännnöt:

Samannimiset murtolausekkeet (joilla on siis täsmälleen sama nimittäjä) voidaan laskea yhteen

siten, että summan osoittaja on yhteenlaskettavien osoittajien summa ja nimittäjä on yhteenlas-

kettavien yhteinen nimittäjä.

Esimerkki

a) 5 3 4 5 3 4 1 3x x x

a a a a a

+ − ++ − = =

b)

(3 3 3 (3 ) 3 3 2 2 2( )

2

a ba b b a a b b a a b b a a b a b

a b a b a b a b a b a b a b

+− − + − − + − + +

− + = = = = =+ + + + + + +

Jos murtolausekkeet, joilla on eri nimittäjä, halutaan laskea yhteen, pitää ne ensin laventaa sa-

mannimisiksi.

- 8 -

Esimerkki

a)

4) 7)5 3 4 5 7 3 4 5 7 3 20 21 41

7 4 4 7 7 4 4 7 4 7 28

⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ++ = + = = =

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

b)

6) 4) 3)3 7 1 18 28 3 18 28 3 7 7

2 3 4 12 12 12 12 12 12y y y y y y y y y

− + −− + = − + = = = −

c)

) )3 5 4 3 5 4 8 4

a ba a a b a b

ab b a ab ab

+ + ++ + = =

Sopivin luku yhteiseksi nimittäjäksi on alkuperäisten nimittäjien pienin yhteinen jaettava (pyj) eli

luku tai lauseke joka on jaollinen kaikilla yhteenlaskettavien jakajilla, mutta jossa on mahdolli-

simman vähän tekijöitä (vrt edellisen esimerkin b)- ja c)-kohdat).

Harjoitustehtäviä

15. Sievennä seuraavat lausekkeet.

a) 2 4

3 5

a x

b y⋅

b) 4

37

ap

w⋅

c) : 52

a

b

d) 5

:5

x z

y w

16. Supista seuraavat lausekkeet.

a) 42

28

abc

xya

b) 64

16

xyz

xz

c) ab ac

b c

+

+

d) ab ac

xb xc

+

+

- 9 -

17. Suorita yhteenlaskut ja sievennä (jos mahdollista).

a) 6 4 3

a a a− +

b) 1 1 2

1 1

x

x x

++

+ +

c) 3 2

4 6

x x+ ++

d) 3 2

2 2y y−

− −

e) 3 1

2 1 2z z−

+ +

Potenssilausekkeet

Jos n on positiivinen kokonaisluku, käytetään tulolle

n kpl tekijöitä

...a a a a⋅ ⋅ ⋅ ⋅�����

lyhennysmerkintää na , joka

on potenssilauseke ja luetaan ” a potenssiin n ” tai ” a :n n :s potenssi”. Luku a on kantaluku

ja luku n eksponentti.

Potenssimerkintä on kirjoitettava siten että kantaluku on yksikäsitteinen.

Toimintasääntö:

Negatiivisen luvun, summan, osamäärän tai tulon potenssi on aina kirjoitettava sulkujen avulla.

Esimerkki

a) 4( 3) ( 3) ( 3) ( 3) ( 3) 81− = − ⋅ − ⋅ − ⋅ − =

b) 43 (3 3 3 3) 81− = − ⋅ ⋅ ⋅ = −

c) 4( ) ( ) ( ) ( ) ( )x y x y x y x y x y+ = + ⋅ + ⋅ + ⋅ +

d) 4x y x y y y y+ = + ⋅ ⋅ ⋅

e) 3( ) ( ) ( ) ( )xy xy xy xy= ⋅ ⋅

f) 3xy x y y y= ⋅ ⋅ ⋅

- 10 -

Potenssikaavat

Potenssilausekkeiden sieventämisessä tarvitaan seuraavia sääntöjä:

( )n n nab a b=

( )n

n

n

a a

b b= ( 0b ≠ )

m n m na a a

+⋅ =

m

m n

n

aa

a

−= ( m n> )

( )m n m na a

⋅=

Esimerkki

a) 4 4 4 4(2 ) 2 16x x x= =

b) 3

3

3 3

2 2 8( )x x x

= =

c) 2 3 4 3 2 3 3 4 5 7 72 2 2 2 32y y y y y+ +⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ =

d) 5

5 3 2

3

xx x

x

−= =

e) 2 2 2( )x x xe e e

⋅= =

Jos lisäksi sovitaan että 1a a=

0 1a = ( 0a ≠ )

1n

na

a

− = ,

voidaan edellä esitettyjä potenssisääntöjä käyttää kaikilla kokonaislukueksponenteilla. Samalla

ne antavat oikeuden siirtää tulon tekijä osoittajasta nimittäjään tai päinvastoin kun samalla muu-

tetaan eksponentin etumerkki.

Potenssilausekkeiden arvojen laskemista varten laskimissa on erilliset näppäimet.

Esimerkki

a) 2

2

1 13

3 9

− = =

b) 5

5 7 2

7 2

1yy y

y y

− −= = =

c) 2 2 2 2 0( ) ( ) ( ) ( ) 1a b a b a b a b− − ++ ⋅ + = + = + =

d) 3 2 3 ( 2) 6( )x x x− ⋅ − −= =

- 11 -

e) 5 5 3 5 3 2

6 3 6 1 6 1 5

x z x x x x

z x z z z z

− −

− −

⋅ ⋅= = =

⋅ ⋅

Harjoitustehtäviä

18. Laske seuraavien lausekkeiden arvot.

a) 2( 2) 5− +

b) 22 5− +

c) 03 5+

19. Sievennä seuraavat lausekkeet.

a) 5

8

1a

a⋅

b) 2 5

4 2

x y

x y

c) 1 0

1 0

1 1

( 1) ( 1)

−

−

−

− − −

d) 2 5

4

10

25

x y

x y

+

+

20. Sievennä seuraavat lausekkeet.

a) 2

2

(2 )

(4 )

az

ay

b) 2 3 2( )ab c

c)

22 2 3 3 3 3 3

2 3 3 2 3 4

( ):

( )

x y z x y z

ab c a b c

- 12 -

Rationaalilausekkeet

Lauseketta, jossa esiintyy vai yhteen- , vähennys- , kerto- ja jakolaskuja, sanotaan rationaalilau-

sekkeeksi. Rationaalilausekkeita voi sieventää edellä esitettyjen lausekkeenkäsittelyn sääntöjen

avulla.

Harjoitustehtäviä

21. Sievennä seuraavat lausekkeet.

a) 2

4

( )

( )

x a b

x a b

+

+

b) c b a

ab ac bc+ +

c) 1

(1 )( )1

xx

x x− +

−

d) 1 1

( ) : ( )a bb a

+ +

e) 2

1 1 1( ) : 2

2a a a+ −

f) 3 2

( 2)( 2)a a

a aa

−+ − −

22. Suorita laskutoimitukset.

a) a a b

a b a

+−

+

b) 1 2

(1 )(3 )y y

− −

c) 1 1

( ) : 1xx x

− +

d) 1 1

( )( )x yy x

− +

e)

11

a

a

a+

−

- 13 -

Juurilausekkeet

Ei-negatiivisen luvun a (siis 0a ≥ ) neliöjuurella a tarkoitetaan lukua jolle pätee:

0a ≥

( )2

a a=

Merkinnässä a lukua a sanotaan juurrettavaksi.

Määrittelystä seuraa ominaisuus:

2jos 0

jos 0

a aa a

a a

≥= =

− <......(Huom! lukua a sanotaa luvun a itseisarvoksi)

Esimerkki

a) 9 3= , koska 3 0≥ ja 23 9= (Huom! myös luvulle 3− pätee 2( 3) 9− = , mutta 3 0− < )

b) 196 14= , koska 14 0≥ ja 214 196=

Luvun b kuutiojuurella 3 b tarkoitetaan lukua jolle pätee:

( )3

3 b b=

Määrittelystä seuraa ominaisuus:

3 3b b=

Esimerkki

a) 3 64 4= , koska 34 64=

b) 31 1

8 2= , koska

31 1

2 8

=

Juurilausekkeiden arvojen likiarvoja varten laskimissa on erilliset näppäimet.

- 14 -

Juurilausekkeita sievennettäessä voidaan käyttää seuraavia käsittelysääntöjä:

a b ab=

3 3 3a b ab=

a a

bb=

3

33

a a

bb=

Harjoitustehtäviä

23. Päättele ilman laskinta seuraavien juurilausekkeiden arvot.

a) 0,25

b) 3

3

81

3

c) 1

100010

⋅

24. Sievennä seuraavat lausekkeet.

a) 2 2( 1)x +

b) 2

9x

c) 6

39

x

y

d) ( )2

4 7 4 7+ − −

- 15 -

Yhtälö

Kahden lausekkeen keskinäistä yhtäsuuruutta sanotaan yhtälöksi.

Esimerkki

yhtälöitä ovat esimerkiksi

a) 5 7 4x + =

b) 2 3 6 7x y z+ = +

c) 2V r hπ=

d) 0v v at= +

e) 2

0

1

2h v t gt= −

Käytännössä yhtälö sisältää aina tuntemattoman suureen, jonka arvoa ei tunneta. Tätä suuretta

sanotaan tuntemattomaksi. Tuntemattoman arvoja, jotka toteuttavat yhtälön, sanotaan yhtälön

juuriksi.

Esimerkki

Luku 5 on yhtälön 2 14 6x x− = + juuri koska yhtälö toteutuu (vasen ja oikea puoli saavat

saman arvon) kun niihin sijoitetaan kyseinen luku:

vp: 25 14 25 14 11− = − =

op: 5 6 11+ =

Huom! yhtälöllä on myös toinen juuri (joka on luku 4− ).

Yhtälön ratkaiseminen tarkoittaa yhtälön kaikkien juurien määrittämistä.

Kaavoissa olevia suureita merkitään aina omilla vakiintuneilla symboleillaan. Tällöin tuntema-

ton määräytyy aina tilanteen mukaan.

Esimerkki

Yhtälössä (kaavassa) 0v v at= + voi tilanteesta riippuen mikä tahansa suureista v , 0v , a tai

t olla tuntematon.

Esimerkki

Yhtälössä (kaavassa) 2V r hπ= voi tilanteesta riippuen mikä tahansa suureista V , r tai h

olla tuntematon.

Yhtälöä ratkaistaessa tavoitteena on pelkistää yhtälö sellaiseen muotoon, että juuret saadaan sel-

ville. Pelkistäminen on tehtävä siten, että välivaiheet ovat keskenään yhtäpitäviä. Välivaiheitten

yhtäpitävyyttä merkitään usein ekvivalenssinuolella ⇔ .

Yhtälöä pelkistettäessä on käytettävissä toimintasääntöjä, joista muutamia seuraavassa.

- 16 -

Toimintasääntöjä:

Yhtälön molemmat puolet voidaan kertoa tai jakaa samalla nollasta eroavalla luvulla tai lausek-

keella.

Yhteenlaskettava voidaan siirtää yhtälön toiselle puolen kun sen etumerkki samalla vaihdetaan

(sama hieman toisin: yhtälön molemmille puolille voidaan lisätä tai niistä voidaan vähentää sama

luku tai lauseke).

Huom! yhtälön vasen ja oikea puoli voidaan vaihtaa keskenään (vaihtamatta etumerkkejä).

Esimerkki 3 7 1x x− = + siirretään 7− oikealle ja x vasemmalle

⇔ 3 1 7x x− = + sievennetään

⇔ 2 8x = : 2 jaetaan puolittain luvulla 2

⇔ 2 8

2 2

x= sievennetään

⇔ 4x = saadaan ratkaisu (eli yhtälön kaikki juuret)

Esimerkki ratkaistaan 0v yhtälöstä 2

0

1

2h v t gt= −

⇔ 2

0

1

2h v t gt= − vaihdetaan yhtälön eri puolet keskenään

⇔ 2

0

1

2v t gt h− = siirretään 21

2gt− oikealle

⇔ 2

0

1

2v t h gt= + : t jaetaan puolittain t :llä ( 0t ≠ )

⇔

2

0

1

2h gt

v t

t t

+= sievennetään

⇔

22

0

1

2 2

gtgt

h hv

t t t t= + = + sievennetään

⇔ 2

02 2

h gt h gtv

t t t= + = + saadaan ratkaisu

- 17 -

Ensimmäisen asteen yhtälö

Yhtälöä ratkaistaessa pyritään pelkistämään yhtälö muotoon, josta eteenpäin eteneminen tunne-

taan (algoritmin omaisesti). Edellä ratkaistut yhtälöt ovat olleet erästä tällaista muotoa – ensim-

mäisen asteen yhtälöitä.

Yhtälöä joka pelkistyy muotoon ax b= , missä 0a ≠ ( x tuntematon), sanotaan ensimmäisen as-

teen yhtälöksi.

Yhtälö voidaan tällöin ratkaista jakamalla yhtälö puolittain tuntemattoman kertoimella

ax b= : a

⇔ b

xa

=

Esimerkki 4 8x = − : 4

⇔ 2x = −

Harjoitustehtäviä

25. Ratkaise x seuraavista yhtälöistä.

a) 7 5x =

b) kx m=

c) 7 2 11 5x x+ = −

d) ax b cx d+ = +

26. Ratkaise seuraavat yhtälöt. Vastauksena tarkat arvot.

a) 3 1

4x x

+ =

b) 1 3

2 4x x=

+ −

27. a) Ratkaise a kaavasta F ma=

b) Ratkaise C kaavasta 21

2W CU=

c) Ratkaise R kaavasta 2

UP

R=

d) Ratkaise T∆ kaavasta Q mc T= ∆

- 18 -

28. a) Ratkaise r kaavasta E R r

e r

+=

b) Ratkaise B kaavasta 1

1

BA C

B

+= ⋅

−

c) Ratkaise p kaavasta (1 )100

pa b+ =

d) Ratkaise c kaavasta 2 ( )( )( )A p p a p b p c= − − −

29. Luokalla oli sovittu pidettäväksi neljä matematiikan koetta. Liisa arveli pystyvänsä paranta-

maan pistemääräänsä joka kokeessa yhdellä edelliseen kokeeseen verrattuna. Kuinka monta

pistettä hän laski tarvitsevansa ensimmäisestä kokeesta, kun hän oli asettanut tavoitteekseen

yhteensä 66 pistettä?

30. Omakotitalon sähkönkulutus on 8700kWh vuodessa. Kuinka monta prosenttia kulutuksesta

aiheutuu valaisimesta, jonka teho on 60 W ja jota käytetään keskimäärin 7,3 tuntia

vuorokaudessa.

31. Parturimaksujen ALV pienenee 22%:sta 8%:iin. Kuinka monta % parturimaksut alenevat, jos

koko ALV:n pienennys siirretään asiakkaiden hyväksi. ALV lasketaan verottomasta hinnasta.

32. Kurkun massa oli 400g ja sen vesipitoisuus oli tällöin 99%. Viikon kuluttua kurkusta oli

haihtunut vettä siten, että vesipitoisuus oli pudonnut 98%:iin. Mikä oli tällöin kurkun massa?

33. Astiassa on 36,7 kg suolaliuosta, jonka suolapitoisuus (painoprosentteina) on 15,2%.

Kuinka paljon sellaista suolaliuosta, jonka suolapitoisuus on 11,3%, on astiaan lisättävä,

jotta syntyvän liuoksen suolapitoisuudeksi tulisi 12,3%?

34. Henkilöltä A kuluu nettopalkastaan 34,5% asuntolainan lyhennyksiin ja korkoihin. Jäljelle

jääneestä summasta 87,2% menee erilaisiin kulutusmenoihin. A säästää loput, jolloin sääs-

töön jää 109 €/kk . Mikä on A:n bruttopalkka, kun hänen ennakonpidätysprosenttinsa on

35,0% ?

- 19 -

Toisen asteen yhtälö

Yhtälöä, joka pelkistyy muotoon 2 0ax bx c+ + = , missä 0a ≠ , sanotaan toisen asteen

yhtälöksi.

Yhtälö voidaan tällöin ratkaista ratkaisukaavalla:

2 0ax bx c+ + =

⇔ 2 4

2

b b acx

a

− ± −= Huom! jos 2 4 0b ac− < , ei yhtälöllä ole reaalijuuria.

Ratkaisukaavaa ei kannata käyttää jos 0b = tai 0c = , tällöin menetellään seuraavasti.

Toimintasäännöt:

Jos 0b = , saadaan yhtälö muotoon 2 cx

a= − , jonka ratkaisut ovat

cx

a= ± −

Jos 0c

a− < , ei yhtälöllä ole reaalijuuria.

Jos 0c = , saadaan yhtälö muotoon ( ) 0x ax b+ = , josta edetään ns. tulon nollasäännön avulla:

( ) 0x ax b+ =

⇔ 0x = tai 0ax b+ =

⇔ 0x = tai b

xa

= −

Esimerkki 22 8 6 0x x− + =

⇔

2( 8) ( 8) 4 2 6

2 3x

− − ± − − ⋅ ⋅=

⋅

⇔ 38 16 8 4

14 4x

± ±= = =

Esimerkki 22 18 0x − =

⇔ 22 18x = : 2

⇔ 2 9x =

⇔ 9 3x = ± = ±

- 20 -

Esimerkki 2 6 0x x+ =

⇔ ( 6) 0x x + =

⇔ 0x = tai 6 0x + =

⇔ 0x = tai 6x = −

Harjoitustehtäviä

35. Ratkaise seuraavat yhtälöt. Vastauksena tarkat arvot.

a) 2 2 1 0x x− + =

b) (2 3) 1 3 (1 )x x x x− = − + −

c) 2 4

12 2

x x

x x

+ −− =

− +

36. Kuvassa näkyvän raviradan kenttäalueen pinta-ala on 249500m ja kenttäalueen ympärys-

mitta (radan pituus) 1000m . Suorat osat ovat keskenään yhdensuuntaisia ja kaarteina on

puoliympyrät. Laske kenttäalueen pituus s. Ohje: ratkaise ensin ympyrän säde.

s

37. Erästä tuotetta on pakattavana 20000 kg. Pakkaamiseen pitää käyttää joko pieniä tai suuria

laatikoita. Suureen laatikkoon mahtuu 80,0 kg/laatikko enemmän kuin pieneen laatikkoon

(laatikot pakataan täyteen). Pieniä laatikoita tarvittaisiin 100 kpl enemmän kuin suuria.

Kuinka monta kg mahtuu pieneen laatikkoon?

- 21 -

Suorakulmainen kolmio

c

a

β

α

b

Suoran kulman viereisiä sivuja sanotaan kateeteiksi, ja suoran kulman vastaista sivua hypo-

tenuusaksi.

Suorakulmaisen kolmion ratkaiseminen

Jos kolmiosta tunnetaan riittävästi kulmia/sivuja, voidaan loput osat ratkaista Pythagoraan lau-

seen ja trigonometristen funktioiden avulla.

Pythagoraan lause:

Hypotenuusan pituuden neliö on kateettien pituuksien neliöiden summa:

kuvassa 2 2 2c a b= +

Trigonometriset funktiot:

terävän kulman sini on kulman vastaisen kateetin pituuden suhde hypotenuusan pituuteen:

kuvassa sina

cα = ja sin

b

cβ =

terävän kulman kosini on kulman viereisen kateetin pituuden suhde hypotenuusan pituuteen:

kuvassa cosb

cα = ja cos

a

cβ =

terävän kulman tangentti on kulman vastaisen kateetin pituuden suhde viereisen kateetin

pituuteen:

kuvassa tana

bα = ja tan

b

aβ =

Kun tunnetaan terävän kulman trigonometrisen funktion (sini, kosini tai tangentti) arvo, saadaan

kulman arvo selville laskimen avulla arcusfunktiota (laskimessa joko arcsin tai sin-1

–näppäin)

käyttämällä.

- 22 -

Esimerkki Jos tunnetaan terävän kulman sini, voidaan kulma ratkaista.

sin 0,562α =

⇔ arcsin 0,562 34,2α = ≈ °

Esimerkki Ratkaistaan oheisen suorakulmaisen kolmion tuntemattomat osat kun

tiedetään, että 12,3mc = ja 38,0α = ° .

c

a

β

α

b

sina

cα = c⋅

⇔ sinc aα⋅ =

⇔ sina c α= ⋅

⇔ 12,3m sin 38,0 7,57 ma = ⋅ ° ≈

cosb

cα = c⋅

⇔ cosc bα⋅ =

⇔ cosb c α= ⋅

⇔ 12,3m cos38,0 9,69mb = ⋅ ° ≈

90,0 90,0 38,0 52,0β α= ° − = ° − ° = °

- 23 -

Esimerkki Ratkaistaan oheisen suorakulmaisen kolmion tuntemattomat osat kun

tiedetään, että 3,54 ma = ja 4,36mb = .

c

a

β

α

b

2 2 2c a b= +

⇔ 2 2

c a b= +

⇔ 2 2(3,54 m) (4,36m)c = +

⇔ 231,5412 mc =

⇔ 231,5412 mc =

⇔ 5,62 mc ≈

tana

bα =

⇔ 3,54m

tan 0,8119...4,36 m

α = =

⇔ 3,54

arctan arctan 0,8119... 39,14,36

α = = ≈ °

90,0 90,0 39,1 50,9β α= ° − ≈ ° − ° = °

Harjoitustehtäviä

38. Ratkaise kuvassa olevan suorakulmaisen kolmion kaikki tuntemattomat osat kun

c

a

β

α

b

a) 16,8mma = ja 23,7 mmc =

b) 58,3kmb = ja 25,0β = °

c) 13,4mma = ja 26,8mmb =

- 24 -

39. Ratkaise oheisen suorakulmaisen kolmion sivut a ja c.

56,6°

2,76 m

ac

40. Laske janan AD pituus, kun AC 6,02cm= ; BC 6,68cm= ; ja kulmat BAC ja ADC ovat

suoria kulmia.

C

D

A

B

41. Oheisessa suorakulmaisessa kolmiossa pätee : 2 : 3a b = . Laske α , β , a ja b.

2,95ma

β

α

b

42. Laske x .

30

90

107°x

34

- 25 -

43. Suorakulmaisen kolmion pitempi kateetti on kaksi kertaa niin pitkä kuin lyhempi kateetti.

Hypotenuusan pituus on 5,00 m . Laske kolmion pinta-ala.

44. Tehtaan piipun varjo vaakasuoralla maanpinnalla on 112 m pitkä. Auringon valo tulee 36,0°

kaltevuudessa (vaakatasoon nähden). Määritä piipun korkeus.

45. Merivartioasemasta etelään on majakka, jonne etäisyys on 5,0 km . Merellä on tapahtunut

onnettomuus paikassa, joka sijaitsee majakasta suoraan länteen. Merivartioasemalta katsot-

tuna onnettomuuspaikan ja majakan suunnat poikkeavat toisistaan °52 . Kuinka pitkä matka

on merivartioasemalta onnettomuuspaikalle?

46. Harjakattoisen rakennuksen leveys on 9320 mm . Kuinka pitkä on katon lape harjalta räys-

täälle, kun katon kaltevuus on 1: 3 ja sivuräystäs ulkonee seinästä 500 mm ?

47. Herra X osti valmiin komeron, jonka mitat ovat 600 mm , 700 mm ja 2420 mm . Voiko

komeron nostaa pystyyn purkamattomana huoneessa, jonka korkeus on 250cm ?

- 26 -

Taso- ja avaruusgeometriaa

Seuraavassa on esitetty eräitä sovelluksissa esiintyviä taso- ja avaruusgeometrian tuloksia –

pinta-aloja ja tilavuuksia.

Kolmio

c

α

b

h

Kolmion pinta-ala: 1

sin2 2

bhA bc α= = (b on kolmion kantasivu)

Ympyrä

r

α

Kolmion jänne jakaa ympyrän kahteen segmenttiin (kuvassa toinen segmentti viivoitettuna)

Ympyrän pinta-ala: 2A rπ=

Segmentin pinta-ala: 2 2

segmentti

1sin

360 2A r r

απ α= −

°, missä α on segmenttiä vastaava keskus-

kulma.

- 27 -

Suora ympyrälieriö

h

r

Suoran ympyrälieriön tilavuus: 2V r hπ=

Suoran ympyrälieriön vaipan ala: vaippa 2A rhπ=

Suora ympyräkartio

h

r

Suoran ympyräkartion tilavuus: 21

3V r hπ=

- 28 -

Pallo

r

Pallon tilavuus: 34

3V rπ=

Pallon pinta-ala: 24A rπ=

Harjoitustehtäviä

48. Jos vuorokautinen sademäärä on 10 mm , kuinka monta kuutiometriä ( 3m ) vettä sataa vuoro-

kaudessa yhden neliökilometrin ( 21km ) alueelle?

49. Kuinka monta kuutiokilometriä ( 3km ) vettä suomalaiset (väkiluku 5,3 miljoonaa) kuluttavat

vuodessa jos keskikulutus henkilöä kohden vuorokaudessa on 160 l .

50. Ympyrän säde on 4,56 m ja sektorin ala on 215,77 m . Kuinka suuri on on keskuskulma?

51. Suorakulmion muotoiseen levyyn tehdään kaksi yhtä suurta ympyrän muotoista reikää, joi-

den yhteenlaskettu pinta-ala saa olla korkeintaan 17,2% levyn alasta. Kuinka suuri saa

ympyröiden säde korkeintaan olla?

8,40 m

3,16 m

- 29 -

52. Suoran ympyrälieriön muotoisen tynnyrin pohjan säde on 0,42 m ja korkeus 0,92 m .

Tynnyriä täytetään vedellä nopeudella 3,5 l / min . Kuinka kauan täyttö kestää?

53. Suoran ympyrälieriön muotoisessa astiassa on vettä. Veteen upotetaan (kokonaan) pallon

muotoinen kappale. Kuinka paljon vedenpinta nousee, kun lieriön pohjan halkaisija on

200 mm ja pallon halkaisija on 180 mm . Oletetaan ettei vesi virtaa pois lieriöstä.

54. Ympyrän halkaisija on 26,0m . Ympyrä jaetaan 24,0m pitkällä jänteellä kahteen segment-

tiin. Laske segmenttien alat.

55. Putkesta tulee 328,0 m ainetta, joka kestää vierimättä enintään 30,0° :n kulmassa vaaka-

tasoon nähden. Kuinka korkea kasa putken alle voi enintään muodostua? Alusta oletetaan

vaakasuoraksi.

56. Kuvassa on 3,50cm paksuun levyyn poratun reiän poikkileikkaus.

a) Laske reiän tilavuus, kun kulma 34,0α = ° ja reiän (poran) halkaisija on 1,80cm .

b) Mikä pitäisi kulman α olla jos reiän tilavuudeksi haluttaisiin 330,0cm ?

α