hand out psd [compatibility mode]

TT 3113TT-3113 PENGOLAHAN SINYALPENGOLAHAN SINYAL

DIJITAL1

DIJITALJangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom

Outline

Pendahuluan (Sejarah Perkembangan PSD)Sinyal & SistemyTransformasi Fourier Waktu DiskritTransformasi ZTransformasi ZTransformasi Fourier DiskritSampling & Rekonstruksi SinyalFilter Dijital

Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom2

j

TT 3113TT-3113 Pengolahan Sinyal DijitalPengolahan Sinyal Dijital

BAB #1BAB #1PENDAHULUAN

3 Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom

Outline

Pendahuluan (Sejarah Perkembangan PSD)PSD)Sinyal & SistemTransformasi Fourier Waktu DiskritTransformasi ZTransformasi ZTransformasi Fourier DiskritFilt Dijit lFilter Dijital


Tujuan

Mengetahui perkembangan teknologii l dijit lpemrosesan sinyal dijital

Mengetahui keuntungan dan kerugianpengolahan secara dijitalMengetahui bidang yang terkait dengang g y g gpengolahan sinyal dijitalMengetahui aplikasi pengolahan sinyalMengetahui aplikasi pengolahan sinyaldijital


Definisi


DefinisiSinyal diartikan sebagai suatu fungsi dari sekumpulanvariabel bebas Sinyal membawa suatu informasi yangvariabel bebas. Sinyal membawa suatu informasi yangkemungkinan besar terdapat dalam suatu pengamatan.Pengolahan diartikan sebagai suatu operasi dalam suatubentuk tertentu pada suatu sinyal, yang untuk selanjutnyadiekstrak ke dalam suatu bentuk yang lebih bermanfaat.Dalam banyak kasus, pengolahan akan berlaku sebagaiy , p g gsuatu transformasi yang bersifat non destruktif yangmenghasilkan sinyal data.Dijit l b i ti b h l h dil k kDijital memberi arti bahwa pengolahan yang dilakukanmenggunakan komputer dijital atau perangkat keras dijitalkhusus.


Sejarah PerkembanganSejarah Perkembangan


Tahun 1807 : Foirier mengembangkan TransformasiFourier untuk menyelesaikan permasalahan pada suatuFourier untuk menyelesaikan permasalahan pada suatupersamaan yang sulit.Awal abad 18 : Laplace memodifikasi TransformasiFourier di atas untuk menyelesaikan persamaan-persamaan diferensial yang lebih luas.Masih di awal abad 18 : Gauss menemukan suatu metodeMasih di awal abad 18 : Gauss menemukan suatu metodeyang dapat secara cepat digunakan untuk menghitungTransformasi Fourier. Gauss kemudian mengembangkand d filt dijit l t k liti t tdasar-dasar filter dijital untuk proses penelitian tentangplanet dan komet.


Tahun 1900-1n : Bunsen menggunakan analisis spektraluntuk menemukan elemen-elemen baruuntuk menemukan elemen elemen baru.Awal 1900-an : Einstein menunjukkan hubungan yangpenting antara spektrum daya dan fungsi korelasi.Tahun 1940-an : Teknologi radar dan sonar telahdikembangkan . Kemajuan-kemajuan dalam bidangpemrosesan sinyal digunakan pada sistem komunikasipemrosesan sinyal digunakan pada sistem komunikasi.Tahun 1960-an : Kalman mengembangkan filter yangpraktis untuk menunjukkan optimasi dari suatufilter/kontrol.


Tahun 1960-an : Filter dijital yang lebih kompleks berikutsistem-sistem kontrol dijital diimplementasikan di NASAsistem sistem kontrol dijital diimplementasikan di NASAdan tempat-tempat lain. Pada masa ini pula filter adaptiftelah mulai dikembangkan.Tahun 1964 : Kecepatan Transformasi Fourierdikembangkan kembali. Algoritma-algoritma Markov yangpenting telah dikembangkan.p g gTahun 1970 : Teori dn pengertian dari filter/kontrol dijitaltelah mapan.Awal tahun 1980-an : Filter dijital sudah sangat populerdikenal.


Tahun 1980-an : terjadi kemajuan yang pesat pada bidangpengkodean gambar dan sinyal bicara pengenalanpengkodean gambar dan sinyal bicara, pengenalansinyalbicara, pencitraan bentuk radar, pencitraan dibidang medis, dsb.Akhir tahun 1980-an : Jaringan syaraf, Wavelets, danfractal mulai ditemukan. TV dijital mulai semakindikembangkan.gTahun 1990-an : Terjadi “ledakan” di dalam penggunaanteknik-teknik pengolahan sinyal dijital untuk menggantikani kit i kit l kt ik k i l ( ti filt k dsirkit-sirkit elektronik konvensional (seperti : filter, kode-

kode, modulator, dsb).


KapabilitasKapabilitas Pengolah Sinyal DijitalPengolah Sinyal Dijital


Perkembangan Chip tidak lepas dari teknologi IC yaitu LSI(Large Scale Integration) dan VLSI (Very Large Scale(Large Scale Integration) dan VLSI (Very Large ScaleIntegration), ULSI (Ultra Large Scale Integration) sertaGSI (Giant Scale Integration).LSI mengandung 1.000 sampai 9.999 transistor per chip.VLSI mengandung 10.000 sampai 99.999 transistor perchipchip.ULSI mengandung 100.000 sampai 999.999 transistor perchip.GSI mengandung jutaan transistor per chip.


Kecepatan suatu prosesor juga tergantung waktu siklus(cycle time) uaitu selang waktu antara pemanggilan (call)(cycle time) uaitu selang waktu antara pemanggilan (call)akan informsi dan penyerahannya (delivery) dari pirantipenyimpan. Waktu siklus ini merupakan parameter unjukk j d i k t t k it dkerja dari kecepatan prosesor yang terkait dengan prosespengepakan rangkaian.


Semakin rumit aplikasi, maka nilai BIPS (Billion Input PerSecond)/GFLOPS (Giga Floating Point Solutions) jugaSecond)/GFLOPS (Giga Floating Point Solutions) jugasemakin tinggi. Nilai BIPS/GFLOPS menunjukkan inputdalam satu detik sebagai solusi pengolahan bagib k d t fl tibanyaknya data floating.


Kebutuhan Kinerja Berdasarkan ServisKebutuhan Kinerja Berdasarkan Servis


Aplikasi yang menggunakan Chip DSP sebagai unjuk dataperbandingan adalah :perbandingan adalah :Video ConferencingGraphics Processingp gSpeech ProcessingVirtual realityVideo RecognisersRadar/Sonar Processing


Sebagai gambaran pertumbuhan kecepatan konverter A/Ddari tahun ke tahun untuk tipe 12 bit adalah :dari tahun ke tahun untuk tipe 12 bit adalah :Tahun 1983 : 100.000 sampel / detikTahun 1987 : dalam jutaan sampel / detikj pTahun 1993 : 30 juta sampel / detikTahun 1996 : 50 juta sampel / detikSaat ini : ????


Dari sisi harga dapat ditunjukkan bahwa :

Tahun 1982 : Chip TMS320C10 biayanya berkisarUS$300

Tahun 1996 : Chip TMS320C30 (kecepatannya lebihti i dib di TMS320C10) bi b ki US$30tinggi dibanding TMS320C10) biayanya berkisar US$30


Grafik Pertumbuhan Pasar Chip DSPGrafik Pertumbuhan Pasar Chip DSP


SekilasSekilas Pengolahan Sinyal DijitalPengolahan Sinyal Dijital


Pengolahan sinyal dijital secara umum meliputi 3 tahap yaitu

Sinyal analog didigitasi melalui proses pencuplikan dank antisasi sehingga sin al dik antisasi ke bent k bit bitkuantisasi , sehingga sinyal dikuantisasi ke bentuk bit-bitsejumlah terbatas. Proses ini disebut konversi Analog kedijital.

Sampel-sampel terdigitasi diolah oleh Digital SignalP (DSP)Processor (DSP).

Sinyal keluaran DSP dikonversi kembali ke bentuk analogSinyal keluaran DSP dikonversi kembali ke bentuk analogoleh analog reconstructor (yang disebut dengan prosesDigital to Analog Convertion/DAC)


Keuntungan :Toleransi terhadap harga komponen tidak kritisPerformansi relatif tidak sensitif terhadap lingkunganPerformansi relatif tidak sensitif terhadap lingkungan ,misalnya temperaturAkurasi tinggi, karena dapat dikontrol secara presisi.gg p pKeakurasian tergantung dari panjang ”word”.Rangkaian mudah direproduksiD t li ik i t l tif id l i l filtDapat merealisasikan sistem yang relatif ideal, misal filterberfasa linear.Parameter-parameter filter seperti frekuensi cut-off dapatParameter parameter filter seperti frekuensi cut off, dapatdikontrol dengan mudah.


Keuntungan :Mudah dikembangkan ke sistem adaptif.Teori matematika yang komplek sekalipun dapatTeori matematika yang komplek sekalipun dapatdiimplementasikan seperti : Aljabar linear untukCoding/Decoding dalam error control, Transformasi Diskrit(DFT, DCT dsb), Teori filter kalman untuk pemrosesansinyal acak.Simulasi software dapat secara eksakSimulasi software dapat secara eksakmenunjukkan/mewakili performansi hasil.Dengan perkembangan teknologi VLSI : Reliabilitas tinggi,Ukuran Kecil, Pemrosesan kompleks, Harga murah.Dan sebagainya


Kerugian :DSP selalu menggunakan daya listrik, tidak ada rangkaiandijital pasifdijital pasif.Keterbatasan frekuensi tinggi yang diolah, karenaketerbatasan frekuensi ADC.Sinyal alam adalah sinyal analog.Dan sebagainya


Bidang Ilmu Terkait

Teori KomunikasiAnalisis NumerikStatistik dan ProbabilitasPemrosesan SinyalAnalogTeori KeputusanTeori KeputusanElektronika Dijital dan Elektronika AnalogDan sebagainya


Aplikasi PSDMedical :

Pencitraan untuk diagnosisPencitraan untuk diagnosisAnalisis ElektrokardiogramMedical ImageMedical Image

Komersial :Kompresi Suara dan Citra untuk MultimediaEfek Spesial pada filmVideo Conferencing


Telephon :Kompresi data dan VoicepReduksi EchoMultipleksing SinyalFilteringFilteringPengkodean sinyal bicara, Pemrosesan Sinyal bicara dan Audio,Pengenalan sinyal Bicara

Militer :RadarSonarPemandu KoordinatKeamanan KomunikasiKeamanan Komunikasi


Industri :Kontrol dan monitoring prosesKontrol dan monitoring prosesPengetesan non destruktifCADCAD

Scientific :Perekaman dan analisis gempaAkuisisi dataAnalisis SpektralSimulasi dan pemodelan


Ruang angkasa :Perbaikan kualitas foto udaraPerbaikan kualitas foto udaraKompresi dataRemote sensingRemote sensing


Penyebab Perkembangan PSDTeknologi Piranti : Mikroelektronik, Superkonduktor, dsbTeknologi Sensor : Sistem Intelegen Interface mesinTeknologi Sensor : Sistem Intelegen, Interface mesin-manusia.Teknologi algoritma : Sistem adaptif, Sistem Expert,g g p pAlgoritma pemodelan (jaringan syaraf tiruan, Fuzzy logic,algoritma genertika dsb)


TT 3113TT-3113 Pengolahan Sinyal DijitalPengolahan Sinyal Dijital

BAB #2BAB #2SINYAL & SISTEM


DefinisiDefinisi


Sistem dapat didefinisikan sebagai sekumpulan objekyang disusun membentuk proses dengan tujuan tertentuyang disusun membentuk proses dengan tujuan tertentu.Sebagai model matematik yang menghubungkan antarainput dan output, umum disebut I/O systemMasukan dari enviroment ke system dan keluaran darisystem ke enviroment di sebut sinyal.Diskrit : hanya terdefinisi pada bilangan integerDiskrit : hanya terdefinisi pada bilangan integer.Kontinyu : di luar definisi diskrit.


Input – OutputInput OutpuSystem

pu

Sinyal

pt

Sinyal

environmentenvironment


Sinyal bisa digambarkan sebagai fungsiwaktu/”time signals” dan fungsi frekuensi Sinyalwaktu/ time signals dan fungsi frekuensi. Sinyalfungsi waktu dapat dibedakan menjadi SinyalWaktu Kontinyu (t) dan Sinyal Waktu Diskrit (n).Waktu Kontinyu (t) dan Sinyal Waktu Diskrit (n).

Sistem yang menghubungkan sinyal inputSistem yang menghubungkan sinyal inputkontinyu dengan sinyal output kontinyu disebutSistem Waktu Kontinyu (SWK) dan Sistem yangy ( ) y gmenghubungkan sinyal input diskrit dengan sinyaloutput diskrit disebut Sistem Waktu Diskrit.


Konvensi :- t = waktu kontinyu- n = waktu diskrit- Ω = frekuensi kawasan waktu kontinyu

ω = frekuensi kawasan waktu diskrit- ω = frekuensi kawasan waktu diskrit


x(t)

x(t) SWK y(t) y(t)=T(x(t))

t

y(n)

x(n) SWD y(n)

x(n)

y(n)=T(x(n))y(n) T(x(n))

n


Sampling

Rekonstruksi

Waktu Kontinyu t Waktu Diskrit

t

Sampling

Pasangan

ℑ ℑ‐1

Kontinyu

Pasangan

ℑ ℑ‐1

Diskrit

Frekuensi KontinyuΩ

y

Frekuensi Diskritω

Rekonstruksi


Si l i l DSinyal-sinyal Dasar


Sinyal impulse δ(t),δ(n) Sinyal impuls / delta kontinyu

)t(δ =

=0 t1,

δ(t)

Si l i l / d lt di k it

t1

=ainnyal t 0,

δ(t)

Sinyal impuls / delta diskrit

)n(δ = 0n1

n1

)(

=

=ainnyaln 0,0n 1,

(n)δ


Setiap sinyal waktu diskrit dapat dinyatakan sebagaideretan sinyal impuls yang dikalikan dengan suatuderetan sinyal impuls yang dikalikan dengan suatukoefisien (konstanta)


Sinyal langkah satuan u(t),u(n)Sinyal impuls / delta kontinyu

)t(δ >=

=0 t1,

u(t)

Si l i l / d lt di k it

t1

=ainnya t 0,

u(t)l

Sinyal impuls / delta diskrit

)n(δ => 0n1

n1

)(

=>

=ainnyan 0,

0n 1,(n)u

l


Sinyal Segitiga

)t(∧

1

)t(∧

t-1 1

1t1-;1)( ≤≤−= ttλ 1t1 ;1)( ≤≤ttλ


Sinyal Persegi Rect(t) atau Π(t)

π(t)( )

t-0,5 0,5

1 , -0,5 ≤ t ≤ 0,5Rect(t) = Π(t)=

0 , t lainnya


Sinyal sinc atau [sin(t)/t]

sinc (t)

t0 1 32-1-2

~t~ t

tsin)t(csin <<π

π=


tπ

Fungsi Genap &

Fungsi GanjilFungsi Ganjil


Seperti halnya fungsi waktu kontinyu, maka fungsi waktudiskrit dapat dibedakan menjadi fungsi genap fungsi ganjildiskrit dapat dibedakan menjadi fungsi genap, fungsi ganjildan bukan fungsi genap maupun ganjil. Namunsepertifungsi waktu kontinyu, setiap fungsi waktu diskrit dapatdi ik j di b i d b i jil B ik tdiuraikan menjadi bagian genap dan bagian ganjil. Berikutcontoh fungsi genap dan fungsi ganjil waktu diskrit.

F i G W kt Di k it F i G jil W kt Di k itFungsi Genap Waktu Diskrit Fungsi Ganjil Waktu Diskrit


Diberikan g(n) adalah fungsi waktu diskrit maka bila ge(n) adalah bagiangenap dari g(n) dan go(n) adalah bagian ganjil dari g(n) maka :

ge(n) = [g(n) + g(-n)]/2 dan go(n) = [g(n) + g(-n)]/2 Bila g(n) adalah fungsi genap maka :Bila g(n) adalah fungsi genap maka :

ge(n) = [g(n) + g(-n)]/2 = g(n) dan go(n) = [g(n) + g(-n)]/2 = 0

Bila g(n) adalah fungsi ganjil maka :

ge(n) = [g(n) + g(-n)]/2 = 0 dan go(n) = [g(n) + g(-n)]/2 = g(n)


Contoh soal 2.1.Periksalah apakah g(n) = sin (2πn/7)(1+n2) merupakanPeriksalah apakah g(n) = sin (2πn/7)(1+n2) merupakanfungsi genap atau fungsi ganjil?


Contoh soal 2.2.Sketsalah bagian genap dan bagian ganjil dari g(n) = u(n) – u(n-4)g g p g g j g( ) ( ) ( )Solusi : Bagian genap dari g(n) adalah :

Bagian genap dari g(n) Bagian ganjil dari g(n)


Latihan :1 Sketsalah bagian genap dan bagian ganjil dari g(n) = cos[2πn/4]1. Sketsalah bagian genap dan bagian ganjil dari g(n) = cos[2πn/4]2. Diberikan sinyal sebagai berikut :

SketsalahSketsalaha. g(-n) b. g(2-n) c. g(2n) d. g(n/2)


Operasi SinyalOperasi Sinyal


Sinyal dapat dioperasikan berdasar amplitudonyamaupun waktunya Pada kuliah ini operasi sinyalmaupun waktunya. Pada kuliah ini, operasi sinyalyang dibahas adalah berdasar waktunya seperti :

PencerminanPenskalaan WaktuPenskalaan WaktuPergeseran


Sinyal Waktu Diskrit f(n)Sinyal Waktu Diskrit f(n)

±±=±±

bn(af)ban(f ±±±±

an(af)ban(f


Sifat & Klasifikasi Sistem


a). Statis (memoryless) dan Dinamis (with)memory)

Sistem statis jika keluaran sistem hanyatergantung/hanya dipengaruhi padamasukan saat itu (memoryless), sedangkansistem dinamis jika keluaran sistem dapatmengingat masa lalu (with memory)


b). Linieritas dan homogenitasSistem linier jika memenuhi prinsip superposisi

SWDx1[n] y1n]

SWDx2[n] y2[n]

SWDx1[n]+x1[n] y1[n]+y1[n]

Dan homogenitasαx1(n)+ β x2(n) = αy1(n) + β y2 (n)


Mengapa diperlukan sistem yang linear ?Pada gambar di bawah ini pada gambar (a) terlihat bahwaPada gambar di bawah ini,pada gambar (a) terlihat bahwa

suatu sinyal sebagai masukan sistem yang linear akandihasilkan sinyal output yang sama dengan sinyalinputnya, hanya mengalami penundaan (delay).Sedangkan pada gambar (b) terlihat bahwa suatu sinyalsebagai masukan suatu sistem yang tidak linear akang y gmenghasilkan sinyal output yang mengalami distorsiphasa.


Pergeseran WaktuSistem tak ubah waktu jika output sistem tidak berubah

bentuk walaupun inputnya digeser tetapi outputnya akanbergeser sejauh pergeseran input.g j p g p

SWD y[n]x[n]

SWDx[n - k]y[n - k]


Dengan kata lain :

Jika y1 (n) adalah output sistem dengan input x1 (n)y2 (n) adalah output sistem dengan input x2 (n)y2 (n) adalah output sistem dengan input x2 (n)

dan x(n) = x1 (n-k) maka y(n) = y1 (n – k)

Sistem disebut LTW (Linear dan Tak Berubah terhadapW kt ) t LTI (Li Ti I i t) jik Li i d t kWaktu) atau LTI (Linear Time Invariant) jika Linier dan takubah waktu .


d). KausalitasSistem LTW disebut kausal adalah sistem yang dapatSistem LTW disebut kausal adalah sistem yang dapat

direalisasikan. Sistem LTW disebut kausal bila keluaranpada waktu n=n0 (untuk SWD) hanya bergantung padaharga-harga dari masukan n<n0 (sebelumnya dansekarang)dan keluaran-keluaran sebelumnya.

Dengan kata lain bahwa keluaran saat ini y(n) (untuk SWD)hanya bergantung pada harga-harga dari masukan saatini x(n) dan atau masukan-masukan sebelumnya dan ataukeluaran-keluaran sebelumnya.


Kondisi Perlu dan Cukup (KPC) untuk menyatakanKondisi Perlu dan Cukup (KPC) untuk menyatakankausalitas adalah :

h (n) = 0 untuk n < 0 . h(n) adalah respon impuls sistem.( ) ( ) p p

Respons impuls

h(n)

kausal

h(n)

Non kausal

n0

ausa

n0

Non kausal


e). StabilitasSistem LTW disebut stabil bila setiap masukan terbatasSistem LTW disebut stabil bila setiap masukan terbatas

menghasilkan keluaran terbatas “BIBO” Bounded inputBounded output.

Kondisi yang diperlukan dan cukup (KPC)untuk menyatakanstabilitas adalah :

untuk SWD( )∑

∞

∞=

∞<n

nhuntuk SWD

untuk SWK

−∞=n

( )∫∞

∞<dtth


∫∞−

Contoh : Respons impuls LTW suatu SWDh(n)

Stabil

n0

.......

h(n)

Tidak Stabil

n0

.......


Stabilitas sistem dapat juga dilihat dari letak pola dari fungsitransfer sistem:transfer sistem:Untuk SWK stabil, letak pole di sebelah kiri sumbuimajinerUntuk SWD stabil, letak pole didalam lingkaran satuan

J di t k k li h i l d i t i i i t lJadi untuk kuliah sinyal dan sistem ini sistem yang perluadalah LTW/LTI (Linier tak ubah waktu / linier timeinvariant) dengan memeriksa apakah sistem tersebut) g pkausal dan stabil.


Contoh soal 2.3.Diketahui suatu SWD yang merupakan transformasi deretanDiketahui suatu SWD yang merupakan transformasi deretan

masukan x(n) dengan hubungan input – output sebagaiberikut :y(n) = ax2(n-1)y(n) = ax(n-2) + bx(n+2)

P ik if t i t di tPeriksa sifat sistem diatas


Solusi :y(n) = ax2 (n 1)y(n) = ax2 (n-1)

LinearitasJika input x1(n) maka output y1 (n) = ax1

2 (n-1)Jika input x1(n) maka output y1 (n) ax1 (n 1)Input x2 (n) maka output y2 (n) = ax2

2 (n-1)Ambil x(n) = x3(n) = αx1 (n) + (3x2(n)Makay(n) = y3(n) = a [x(n-1)]2

= a [α x1(n-1) + β x2 (n-1)]2

= a [α2 x12 (n-1) + 2αβx1 (n-1) x2 (n-1) + β2 x2 (n-1)]

≠ y (n) + β y (n)≠ α y1(n) + β y2 (n)


Pergeseran waktuJika input x (n) maka output y (n) = a x 2 (n 1)Jika input x1 (n) maka output y1 (n) = a x1

2 (n-1)Jika input x1 (n-k) maka output y1(n) = a x1

2 (n-k-1)= y1 (n-k)y1 (n k)

Syarat kausal : output saat ini hanya tergantung padainput saat ini dan/atau input saat sebelumnya dan / atau

t t t b loutput saat sebelumnya.Stabilitas

y(n) = a x2 (n 1) jika < M makay(n) = a x2 (n-1) jika < M maka

Jadi sistem tsb nonlinier – time invariant – kausal – stabilJadi sistem tsb nonlinier time invariant kausal stabil


y(n) = a x(n-2) + b x (n + 2)Bukti kausal dapat dilihat dari respons impuls

h(n)h(n)ab

20-2321

l

karena h(n) ada untuk n < 0causal non


Diambil x(n) = x3(n) = α x1(n) + β x2(n)maka y(n) = y (n) = α a x (n 2 + b x(n+2)+β a x (n 2) + bmaka y(n) = y3 (n) = α a x1(n-2 + b x(n+2)+β a x2(n-2) + b

x2 (n+2)= α y1(n) +β y2(n)y1( ) β y2( )

sistem LinierJika x(n) = x1(n) maka y(n) = y1(n) = ax1(n-2) +bx1(n+2)

Jika x(n) = x (n-k) maka y (n) = a x1 (n-k-2) + b x1 (n-k-2)= y1 (n-k-t)

Kesimpulan sistem : Linier, Tak ubah waktu, Non kausal, StabilStabil


Sistem OperatorSistem Operator


Sistem operator :L = Output/Input =Fungsi alih sistem (fungsi transfer sistem)p p g ( g )Untuk SWK L(p) = N(p)/D(p) = Numerator/Denumerator

Dimana p = operator diferensial d/dtp-1 = operator integral ∫ ( ) dtp-1 = operator integral ∫ (.) dt

Untuk SWD L(q) = N(q)/D(q) = Numerator/DenumeratorDimana q = operator maju

q-1 = operator tundaq-1.x(n) = x(n-1)q.x(n) = x(n+1)q ( ) ( )

Untuk menganalisis suatu sistem maka buat dulu model matematis(hubungan input-outputnya).


Contoh soal: 2.4.Carilah sistem operator (Fungsi transfer sistem) dari SistemCarilah sistem operator (Fungsi transfer sistem) dari Sistem

Waktu Diskrit dengan hubungan input-output sebagaiberikut :

3y(n) + 4y(n-1) + 7y(n-2) = 2x(n) + 5x(n-1)Solusi :D k t did tDengan menggunakan operator q didapat :y(n)(3 + 4q-1 + 7q-2 ) = x(n) (2 + 5q-1)

74352

74352

2

2

2

2

21

1

+++

=++

+== −−

−

qqq

qqx

qqq

)n(x)n(y)q(L

Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom

77

Solusi Persamaan DifferenceSolusi Persamaan Difference (Perbedaan)


Persamaan Perbedaan (u/ SWD)

Bentuk umum sistem LTW

∑ ∑= =

≥>−−−=−N

i

M

iii M)in(xb)in(ya

0 0

0

Untuk penyederhanaan , ambil a0 = 1y(n) + a1y(n-1) + … + aNy(n-N) = b0x(n) + … + bMx(n-M)

dengan operator q :dimana q-1 x(n) = x(n-1) dan q x(n) = x(n+1),maka didapat:

y(n) (1 + a1q-1 + … + aNq-N ) = x(n) (b0 + b1q-1 + … + bMq-M)


NN

MM

qa...qaqqb...qbb

)q(D)q(N

)n(x)n(y)q(L −−

−−

++++++

=== 11

110

jadi : D(q) y(n) = N(q) x(n)jadi : D(q). y(n) = N(q). x(n)


Seperti halnya SWK ,maka pada SWD juga ada dua macamsolusi yaitu solusi komplementer (solusi umum) dan solusisolusi yaitu solusi komplementer (solusi umum) dan solusipartikular (solusi khusus) :

y(n) = yc(n) + yp(n)

S l i k l t jik d t k ( ) 0Solusi komplementer jika deretan masukan x(n) = 0D(q) yc(n) = N(q).0 = 0, maka D(q) = 0 dengan solusi :

∑ ∑= =

==m

k

m

k

mkkkkc rA)n(yA)n(y

1 1


dimana rk = akar polynomial D(q) dengan solusi :(i) r riil dan tunggal y (n) = r n(i) . rk riil dan tunggal yk(n) = rk

n

(ii). rk riil dan jamak sejumlah m buahyk (n) = rn, nrn, n2rn,…,nm-1rnyk (n) r , nr , n r ,…,n r

(iii). rk kompleks tapi tunggal , rk = α + jβ = rejΦ

yk(n) = rn cos nφ dan rn sin nφ(iv). rk kompleks dan jamak sejumlah m buah

yk(n) = rn cos nφ ; rn sin nφ= nrn cos nφ ; nrn sin nφ

.= nm-1rn cos nφ ; nm-1rn sin n= nm-1rn cos nφ ; nm-1rn sin n


Solusi khusus jika deretan masukan adaD(q) y (n) = N(q)x(n)D(q) yp(n) = N(q)x(n)

yp(n) = )n(x)q(L)n(x)q(Nyp(n)

Kasus khusus jika input eksponensial , ambil x(n) = A(s)n

)n(x)q(L)n(x)q(D

q=

didapat : yp(n) = L(q)x(n) q = s

Stabilitas sistem SWD stabil jika magnitudo akar polynomialD(q) < 1 (atau didalam lingkaran satuan).


Contoh soal 2.5.y(n + 3) 8y(n + 2) + 37y(n+1) 50y(n) = 8(0 5)n y(0) = 2y(n + 3) – 8y(n + 2) + 37y(n+1) – 50y(n) = 8(0,5)n , y(0) = 2,

y(1) = 3, y(2) = 5dengan operator qg p qy(n) (q3 – 8q2 + 37q - 50) = 8(0,5)n

508 ),()(L)q(N)n(y n

D( ) ( 3 8 2 37 50) ( 2)( 2 6 25)

50378508

23 −+−=== − qqq

),()q(L)q(D)q(N

)n(x)n(y

D(q) = (q3 – 8q2 + 37q –50) = (q – 2)(q2 – 6q + 25)


D(q) = (q3 – 8q2 + 37q –50) = (q – 2)(q2 – 6q + 25)Akar-akar D(q)

q1 = 2

q2,3 = 432

100366 jj±=

−±

q2 = 3 + j4 = 5 < 0,927 radq3 = 3 – j4 = 5 < -0,927 rad 3 jSolusi komplementer

yc(n) = A(2)n + B(5)n cos 0,927n + C(5)n sin 0,927n


solusi partikulary (n) = L(q) x(n) =

50823

),( n

yp(n) = L(q) x(n) = q = s q = 0,5

50378 23 −+− qqq

yp(n) = nn

),(),(),(),(

),( 5026769

50503750850508

23 −=−+−

solusi total/lengkap

i)(C)(B)(A)()( nnnn 927059270525064 n,sin)(Cn,cos)(B)(A),()n(y nnnn 927059270525026764

+++−=


64 CBA)( 2267640 =+++−= CBA)(y

32 B)( 392705927052267321 =+++−= ,sinC,cosBA)(y

5854612585461254162 =+++= sincosBA)(y 5854612585461254267

2 =+++−= ,sin,cosBA)(y

didapat : A = 2,1886B = 0,05108C = 0 35666C = 0,35666


Sehingga:

- cek stabilitas :

n,sin)(,n,cos)(,)(,),()n(y nnnn 92705356660927050510802188625026764

+++−=

cek stabilitas : Plot akar D(q) :

Im D(q) x

1 2 3 Re D(q)

xsistem tidak stabil (karena ada akar polinomial D(q) yang

terletak di luar lingkaran satuan)


Realisasi SWD


Syarat sistem dapat direalisasi jika kausal dapat direalisirdalam bentukdalam bentuk

struktur langsung tipe Istruktur langsung tipe IIg g p


Realisasi SWDStruktur Langsung Tipe I :Hubungan input output Sistem Waktu Diskrit dapat dituliskanHubungan input-output Sistem Waktu Diskrit dapat dituliskan

sebagai berikut

∑∑NN

∑∑==

−=−0i

i0i

i )in(xb)in(ya

Untuk penyederhanaan, ambil a0 = 1, sehingga didapathubungan berikut :

NN

)nn(xb...)1n(xb)n(xb

)in(ya)in(xb)n(y

n10

N

0ii

N

0ii

−++−+=

−−−= ∑∑==


)mn(ya...)1n(ya n1 −++−−

q-1 q-1

b1bN

+ + +

x(n)

y(n)

1

b0 q-1

q-1

aN aN-1

q-1


Struktur Langsung Tipe IIMengacu pada hubungan input outpur SWD berikut iniMengacu pada hubungan input-outpur SWD berikut ini,

)in(xb)in(yaN

i

N

i −=− ∑∑

)(b)1(b)(b)nn(ya...)1n(ya)n(ya

)in(xb)in(ya

n10

0ii

0ii

=−++−+

∑∑==

)nn(xb...)1n(xb)n(xb n10 −++−+


[ ] [ ]n1n1 bbb)()( −−−−[ ] [ ]

n1

nn

110

nn

110

nn

110

qa1qb...qbb)n(y)q(N)q(L

qb...qbb)n(xqa_...qaa)n(y

=+++

===

+++=++

∑ −−−

−−−−

43421

43421)q(L

0ii

)q(L

n

0i

ii

nn

110

2

1

qaqaqa...qaa)n(x)q(D

)q(L

=+++

=== ∑∑ =

=

−−−


Fungsi Transfer L(q) diuraikan menjadi 2, sehingga L(q) =L1(q) L2(q) Masing-masing fungsi transfer dapatL1(q). L2(q) . Masing masing fungsi transfer dapatdigambarkan struktur realisasinya dan kemudian digabungkembali, hingga didapat L(q) total.

∑∑

=ω⇒ω

===

−

−

n

0i

1in

1i

1 )n(xqa)n()n(x)n(

qa

1)q(L

∑

∑

ωω

=n

0ii

)in(a)n(x)n(

qa

∑ −ω−=ω i )in(a)n(x)n(


x(n) ω(n)+

q‐1

q‐2

‐a1

q‐N

‐a2

‐aN

∑ ∑ −− ω=⇒==N N

1i

1i qb)n()n(yqb)n(y)q(L ∑ ∑

= =ω=⇒=

ω=

0i 0iii2 qb)n()n(yqb

)n()q(L


y(n)ω (n)

+b0

q-1

q-2

b1

q-N

b2

bN


Rangkaian total digabung :L(q) = L (q) L (q)L(q) = L1(q) . L2(q)

)n(y.)n()n(y ω=

)n()n(x)n(x ω

( )x (n) b0 y(n)

q‐1

b1‐a1

++b0

q‐2

b2‐a2

bN‐aN

q‐N


NN

Contoh soal 2.6.Buat realisasi tipe I dan tipe II dari SWD dengan hubunganBuat realisasi tipe I dan tipe II dari SWD dengan hubungan

input-output sebagai berikut:y(n) + 3y(n-1) + 5(n-2) + 7y(n-2) = 6 x(n) + 4 x(n-1)y( ) y( ) ( ) y( ) ( ) ( )

Jawab :Struktur langsung tipe I :y(n) = 6x(n) + 4x(n-1) – 3y(n-1) – 5y (n-2) – 7y(n-3)


x (n)

q-1

6

4

+

q-1

y (n)

-3

q-1

-5

q-1

-7


Struktur langsung tipe II :y(n) [1 + 3q-1 + 5q-2 + 7q-3] = x(n) [6 + 4q-1]y(n) [1 + 3q 1 + 5q 2 + 7q 3] = x(n) [6 + 4q 1]

1321321

q46x1q46)()n(y 1 −+=

+=

−

ω(n)/x(n) = 1/[1 + 3q-1 + 5q-2 + 7q-3]

321321q

q7q5q31q7q5q31)n(x −−−−−− ++++++

→ x(n) = ω(n) + 3ω(n-1) + 5ω(n-2) + 7ω(n-3)ω(n) = x(n)-3ω(n-1)-5ω(n-2)-7ω(n-3)

y(n)=6ω(n) + 4ω(n-1)⇒+=ω

−1q46)n()n(y


x (n)6ω

y(n)

q-1

43

++6ωn

q-2

4-3

-5

ωn-1

-7q-1

ωn-2

ωn-3


Respons ImpulseRespons Impulse


Respons impuls adalah respons sistem (output sistem) jika masukannyadiberi sinyal impuls

SWD h (n)δ(t)

δ(n)

Si t i di b k d i l k d

SWK

(n)

h (t)

δ(t) Respons impuls

Sistem sering digambarkan dengan respons impulsnya karena denganrespons impuls dapat dilihat apakah sistem tersebut kausal dan stabilatau tidak.

h(n)

h( )

y (n)x (n)

x (t)

SWD

SWK

⇒

⇒


h(t) y (t)( )

Respons Impuls SWDDiketahui SWD - LTWy(n) + a y(n 1) + a y(n 2) + + a y(n N) = x(n)y(n) + a1 y(n-1) + a2 y(n-2) + ….+ an- y(n-N) = x(n)Respons impuls sistem adalah respons sistem (output) jika

x(n) = δ(n)( ) ( )Sehingga dapat dituliskan h(n) = y(n)

x(n) =δ (n)Jadih(n) + a1 h(n-1) + a2 h(n-2) + …. + aN h(n-N) = δ(n)k SWD k l > h( ) 0 t k <0karena SWD kausal ==> h(n) = 0 untuk n<0


makan = 0 h(0) = δ(0) = 1 ; h(n 1) ; h(n 2) dst = 0n = 0 h(0) = δ(0) = 1 ; h(n-1) ; h(n-2) dst = 0n = 1 h(1) + a1 h(0) + 0 + ….+ 0 = δ(1) = 0n = 2 h(2) + a1 h(1) + a2 h(0) + … = δ(2) = 0n 2 h(2) a1 h(1) a2 h(0) … δ(2) 0… dstingat solusi persamaan y(n) = yc(n) + yp(n)p

D(q) y(n) = N(q) x(n)

m⇒yc(n) ⇒ D(q) yc(n) = 0 ⇒ D(q) = 0 maka yc(n) = ∑

=

m

1k

nkk rA


⇒yp(n) ⇒ yp(n) = L(q) x(n)q=s untuk x(n) = A(s)n

tetapi input disini bukan eksponesial maka y (n)=0tetapi input disini bukan eksponesial maka yp(n)=0


Contoh soal 2.7.y(n) 0 8y(n 1) + 0 15 y(n 2) = x(n)y(n) – 0,8y(n-1) + 0,15 y(n-2) = x(n)

Respons impulsh(n)-0,8 h(n-1) + 0,15 h(n-2) = δ(0)h(n) 0,8 h(n 1) 0,15 h(n 2) δ(0)

n=0 ⇒ h(0) – 0,8 h(-1) + 0,15 h(-2) = δ (0) = 1 ⇒ h(0) = 1n=1 ⇒ h(1) – 0,8 h(0) + 0,15 h(-1) = δ(1) = 0 ⇒ h(1) = 0,8n=2 ⇒ h(2) – 0,8 h(1) + 0,15 h(0) = δ(2) = 0 ⇒ h(2) = 0,8 x

0,8 – 0,15 = 0,49


solusiy (n) = nn

mn AAA )()(∑yc(n) =

dimana y(n) [1- 0,8 q-1 + 0,15 q-2] = x(n)

nn

k

nkk rArArA )()( 2211

1+=∑

=

dimana y(n) [1 0,8 q 0,15 q ] x(n)

qqq1 222

L(q) = )3,0q)(5,0q(q

15,0q8,0q

q

2

qxq15,0q8,01

12321 −−

=+−

=+− −−


Jadiy (n) = A (0 5)n + B (0 3)nyc(n) = A (0,5)n + B (0,3)n

n=0 ⇒ y(n) = A + B = h(0) = 1n=1 ⇒ y(n) = 0,15A + 0,3 B = h(1) = 0,8n 1 ⇒ y(n) 0,15A 0,3 B h(1) 0,8

A + 0,6 B = 1,6A + B = 1

- 0,4B = 0,6 ⇒ B = -1,5A = 2,5

Maka y(n) = h(n0 = [2,5 (0,5)n – 1,5 (0,3)n] u(n) Bagaimana kalau imputnya superposisi ?Karena sistem linier maka outputnya juga superposisiKarena sistem linier maka outputnya juga superposisi


Contoh soal 2.8.y(n) 2y(n 1) + 1 31 y(n 2) 0 28 y(n 3) = x(n) + 3x(n 2)y(n) – 2y(n-1) + 1,31 y(n-2) – 0,28 y(n-3) = x(n) + 3x(n-2)

respons impuls didapat jika x(n) = δ (n) dan 3x(n-2) = 3δ(n-2)y(n) [1 – 2 q-1 + 1,31 q-2 – 0,28 q-3] = x(n) [1 + 3 q-2]y(n) [1 2 q 1,31 q 0,28 q ] x(n) [1 3 q ]L(q) = y(n)/x(n) = N(q)/D(q) = [1 + 3 q-2] / [1 – 2 q-1 + 1,31 q-2 – 0,28 q-3]Kalikan L(q) dengan q3 / q3 , didapat :

q3q3 +

28,0q31,1q2q

q3q)q(L23 −+−

+=


D(q) = q3-2 q2 + 1,31 q - 0,28 = (q - 0,5) (q - 0,7) (q - 0,8)yc(n)=A(0,5)n + B(0,7)n + C(0,8)nyc( ) ( , ) ( , ) ( , )

Input 1 : δ(n) maka h(n) = 2h(n-q) + 1,31 h(n-2)-0,28 h(n-3)=δ(n)]n = 0 ⇒ h(0) = 1n =1 ⇒ h(1) 2h(0) + 0 + 0 = 0 ⇒ h(1) = 2n =1 ⇒ h(1) –2h(0) + 0 + 0 = 0 ⇒ h(1) = 2n = 2 ⇒ h(2) –2h(1) + 1,31 h(0) – 0 = 0 ⇒ h(2) = 2,69

dimana

2/496/25

28,07,05,0)1(1)0(

−==

=++=

=++=BA

CBAhCBAh

3/6469,264,049,025,0)2( ==++= CCBAh


Jadi

untuk n ≥ 0nnn1 )8,0(

369)7,0(

249)5,0(

125)n(h +−=

Input 2 : 3δ(n-2)outputnya h(n) – 2h(n-1) + 1,31 h(n-2) – 0,28 h(n-3) = 3δ (n-2)n = 0 h(0) – 2h(-1) + 1,31 h(-2) – 0,28 h(-3) = 3δ (-2) = 0

h(0) = 0n = 1 h(1) – 2h(0) + 0 – 0 = 3δ (-1) = 0 ⇒ h(1) = 0( ) ( ) ( ) ( )n = 2 h(2) –2 h(1) + 1,31 h(0) – 0 = 3δ (0) = 3 ⇒ h(2) = 3


Makah(0) = A + B + C = 0 A= 50h(0) = A + B + C = 0 A= 50h(1) = 0,5A + 0,7B + 0,8C = 0 B = -150h(2) = 0,25A + 0,49B + 0,64C = 3 C = 100h(2) 0,25A 0,49B 0,64C 3 C 100jadi

h2(n) = 50(0,5)n – 150 (0,7)n + 100 (0,8)n n ≥ 2Maka : h(n) = h1 (n) + h2 (n)

=+−= 1dan0nuntuk)80(64)70(49)50(25 nnn

≥+−=

=+−=

2 n untuk )8,0(3

364)7,0(2

349)5,0(6

325

1dan 0n untuk )8,0(3

)7,0(2

)5,0(6)n(h

nnn


Latihan :Carilah respons impuls sistem dengan persamaanCarilah respons impuls sistem dengan persamaan

perbedaan berikut :y(n) = x(n) +0,8 y(n-1)y( ) ( ) y( )25y(n) + 6y(n-1) + y(n-2) = x(n)2y(n) + 6y(n-2) = x(n) – x(n-2)


Konvolusi


KonvolusiAdalah suatu operasi perkalian sekaligus penjumlahandalam kawasan waktu (SWD) atau suatu operasidalam kawasan waktu (SWD) atau suatu operasiperkalian sekaligus integral dalam kawasan waktu (SWK).Dapat digunakan untuk mendapatkan respons sistemt h d k b b J di k t f iterhadap masukan bebas. Jadi merupakan transformasidari masukan ke keluaran.


Penjumlahan KonvolusiJika x(n) adalah input suatu SWD – LTW dan y(n) adalah

output sistem tersebut dimana y(n) = T [x(n)] maka :output sistem tersebut dimana y(n) T.[x(n)] , maka :

∑ ∑ −=−=~ ~

)k(h)kn(x)kn(h)k(x)n(y

dimana operasi diatas didefinisikan sebagai operatork l i “ * ” hi

∑ ∑−= −=~k ~k

)k(h)kn(x)kn(h)k(x)n(y

konvolusi “ * ” , sehingga

∑ ∑∆

−=−==~ ~

)k(*)kn(x)kn(h)k(x)n(h*)n(x)n(y

Dimana h (n) adalah respons impuls

∑ ∑−= −=~k ~k

)k()kn(x)kn(h)k(x)n(h)n(x)n(y

Dimana h (n) adalah respons impuls


Blok diagram penjumlahan konvolusi

x[n] y[n]H

[ ] y[ ]

x(n) * h(n) = y(n)


Sifat-sifat Konvolusi :Komutatif :

x(n) * y(n) = y(n) * x(n)Asosiatif :

x(n) * [y(n) * z(n)] = [x(n) * y(n)] * z(n)x(n) * [y(n) * z(n)] = [x(n) * y(n)] * z(n)Distributif untuk operasi penjumlahan

x(n) * [y(n) + z(n)] = x(n) * y(n) + x(n) * z(n)Memiliki elemen identity : δ(n)

x(n) * δ (n) = δ(n) * x(n) = x(n)Konvolusi dari suatu deretan pulsa sampling tertunda dengan x(n)p p g g ( )

x(n) * δ(n-k) = x(n-k)

Lihat lagi operasi pencerminan dan pergeseran


Contoh soal 2.9.x[n] y[n]

h(n)x[n] y[n]

Dengan input x(n) dan respons impuls h(n) seperti di bawahini, dapatkan output sistem y(n) = x(n)*h(n)

x (n) h (n)

32

n0 1 2

0,5

n0

1


Jawab :

∑−=

−==~

~k)kn(h)k(x)n(h*)n(x)n(y

Disini k merupakan variabel penjumlahan untuk harga ntertentu. Misalnya diberikan harga suatu n=N0 makaj l hk k li t d t (k) djumlahkan semua perkalian antara deretan x(k) denganh(n0-k) untuk semua k [-~ , ~], dimana h(n0-k) = h-(k-n)yaitu pencerminan dari h(k) kemudian digeserkan sejauhy p ( ) g jn0.


Dengan kata lain dapat dituliskan langkah-langkah penjumlahan konvolusi sebagai berikut :penjumlahan konvolusi sebagai berikut :

Gambarkan x(n) dan h(n)( ) ( )Ubah peubahnya dari n menjadi k, sehingga didapat x(k) dan h(k)L k k i t h d b tik l d i h(k)Lakukan pencerminan terhadap sumbu vertikal dari h(k) atau x(k) sehingga didapat h(-k) atau x(-k)


Misalkan yang dicerminkan adalah h(k) maka didapat h(-k) dan x(k) Geser h(-k) untuk n =0 dan kalikan besarank) dan x(k). Geser h( k) untuk n 0 dan kalikan besaranpada h(-k) dan x(k) pada waktu yang sama danjumlahkan. Sehingga akan dikalikan h(-k) dengan x(k).G l i h( k) t k 1 k kit k likGeser lagi h(-k) untuk n=1, maka kita akan mengalikanh(1-k) dengan x(k), begitu seterusnya hingga antara h(n-k)dan x(k) tidak bersinggungan lagi.


Energi & Daya SinyalEnergi & Daya Sinyal


Energi SinyalEnergi sinyal waktu diskrit x(n) didefinisikan sebagai Exberikut :berikut :


Contoh 2.10.Carilah energi sinyal waktu diskrit x(n) = (½)n u(n)Carilah energi sinyal waktu diskrit x(n) = (½)n u(n)Solusi :Dari definisi :Dari definisi :

= 1/[1-1/4] = 4/3


Daya SinyalDaya rata-rata sinyal waktu diskrit didefinisikan sebagai

berikut :berikut :

Untuk sinyal waktu diskrit periodik, daya rata-ratanya adalah :


Latihan :Carilah energi dan daya sinyal berikut ini :Carilah energi dan daya sinyal berikut ini :

x(n) = 10 sin (2πn/4)


TT-3113 Pengolahan Sinyal DijitalPengolahan Sinyal Dijital

BAB #3BAB #3TRANSFORMASI FOURIER

WAKTU DISKRIT


Tujuan

Memahami prinsip dasar deret Fourier danT f i F i W kt Di k it tTransformasi Fourier Waktu Diskrit sertadapat menerapkannya pada berbagaiSi l W kt Di k itSinyal Waktu Diskrit

Memahami sifat-sifat deret Fourier danTransformasi Fourier Waktu Diskrit danmenerapkan dalam analisis sinyal


Deret Fourier Waktu Diskrit(DFWK)


DFWK bentuk TrigonometriDiberikan sebuah sinyal waktu diskrit x(n) periodik dengan

periode N :periode N :x(n)=x(n+kN)

nx(n) = an cos ( 2πn/N)

n

x(n) = bn sin ( 2πn/N)n

0 17


DFWK : ∑∞

Ω+Ω+= 000 )sincos()( nn tnbtnaatxDFWK :

DFWD :

∑=

Ω+Ω+1

000 )sincos()(n

nn tnbtnaatx

∑∞

=

++=1

0 )sincos()(k

okok nkwbnkwaanxDFWD : Dimana frekuensi sudut = 2π/periode Ώ0 = 2π/T; ω0 =

2π/N

=1k

Bentuk-bentuk trigonometri yang penting :cos(Nω0n)=cos (2πn)=cos (0ω0n)

([N 1] ) ( )cos([N+1]ω0n)=cos(ω0n)cos([N+2]ω0n)=cos(2ω0n)

cos([N+k]ω0n)=cos(kω0n)cos([N k]ω0n) cos(kω0n)


DFWK bentuk EksponensialDFWK : ∑

∞

−∞=

Ω−=n

tjnnectx 0)(

∫+ Ω−−=

Tt

t

tjnn dtetx

Tc 0

0

0 )(1

DFWD : ∑−

±±==1

0,....2,1,0,)( 0

N

kk neanx

njkω

=0k

( ) 1...2,1,0,10

1

0

−== −−

=∑ Nkenx

Na njk

N

nk

ω

0n


Disingkat penulisannya : ∑−

=

±±==1N

0k

knNk ,....2,1,0n,wa)n(x

( ) 1...2,1,0,1 1

0−== −

−

=∑ Nkwnx

Na kn

N

N

nk

0

2ω

πjN

j

N eew =∆

Nk2j

kN ew

π

=


Bentuk DFWD cukup dianalisis 1 periode dari n =0 sampaidengan N-1 karena sifat eksponensial dan periodisitas :dengan N 1, karena sifat eksponensial dan periodisitas :

[ ] 122

0 ==

= kj

N

Nkj

Njk eee ππ

ω

Dimana k adalah integer sejumlah N dari 0 sampai N-1.

[ ]


Respons Steady State thd masukan sinusoidal


Sistem dalam notasi operator q : L(q) = y(n)/x(n) = N(q)/D(q)Respons sistem : y(n) = y (n) + y (n)Respons sistem : y(n) = yc(n) + yp(n)Respons steady state input eksponensial x(n) = Ayss(n) = [N(q)/D(q)] x(n) dimana q=

[ ]njke 0ω

[ ]0ωjeyss(n) [N(q)/D(q)] x(n) dimana qJika input sinusoidal maka ubah dahulu ke dalam bentuk

eksponensial

[ ]e


ContohTentukan respon tunak (steady state) dari sistem waktu

diskrit berikut :diskrit berikut :y(n+2)-0.8y( n+1)+0.15y(n)= x(n) dimana x(n) = 5 + 2 ej2πn/10

Jadi disini seolah-olah inputnya ada 2 buah yaitu x1(n) = 5dan x2(n) = ej2πn/10

Dengan menggunakan operator q dapat ditulis :Dengan menggunakan operator q, dapat ditulis :y(n)[q2 – 0,8 q + 0,15] = x(n)L(q) = y(n)/x(n) 1

2=L(q) y(n)/x(n)yss1(n) = L(q) x1(n) dengan q = ej0

15.08.02 +− qq

28614350/55


286,1435,0/515.08,0 00 ==

+−= jj ee

yss2(n) = L(q) x2(n) dengan q = ej2π/10

102

104

102

15080

2=

jj

nj

eππ

π

102

1010

15,0)4.0sin8,02.0cos8,04,0sin4,0(cos2

15.08,0

+−−+=

+−nj

jje

eeπ

ππππ

)94,12,0(102

873,3488,0188,0

2

,),,,,(

−=+−

= nj

nj

ej

e

jj

π

π

Sehingga : yss(n) = )94,12,0(873,3286,14 −+ nje π


Transformasi Fourier Waktu Diskrit

(TFWD)( )


Tinjau sinyal waktu diskrit terbatas :x(n) ≠ 0 0 ≤ n ≤ Nx(n) ≠ 0 , 0 ≤ n ≤ N1

Buatlah x(n) menjadi sinyal periodik dengan periode N (dimana N> N1)( 1)

x(n) nN1-10(a)

)(~ nxN1-10-N N n(b)


Dengan menggunakan analisis DFWD dapat ditulis :

∑−

=

ω=1N

0n

)njk(k

0ea)n(x~

)njk(1N

0nk

0e)n(x~N1a ω−

−

=∑=

Karena =0, n> N1, maka

)(1

0)(1 njkN

ω−−

∑ )(

0

0)( njk

nk enx

Na ω

=∑=

knN

wnxa −−

∑1

)(1


Nn

k wnxN

a=

∑=0

)(

Karena x(n) ≠ 0, 0≤n≤N1 maka

knN

n

nk wnx

Na −

∞=

−∞=∑= )(1

)( 0)(1 njkn

nk enx

Na ω−

∞=

−∞=∑=

Perlu diingat bahwa ω0 = 2π/NPerlu diperhatikan bahwa akan mendekati x(n) untuk nilai N

yang semakin tinggi.


Sehingga dapat dinyatakan :

)n(x)n(x~limN

=∞→

Sedangkan bila N ~ maka ω0 0 sehingga spektrumnya kontinyu.

)( 0)(. njkn

nk enxaN ω−

∞=

−∞=∑=

)()(. njn

k enxaN ω−∞=

∑=


n −∞=

)(. ωjk eXaN −=

Dengan ω = k.ω0

inilah yang disebut sebagai Transformasi Fourier Waktu

)(k

inilah yang disebut sebagai Transformasi Fourier WaktuDiskrit dari x(n).

Kembali ke persamaan sebelumnya :

∑−

=

=1

0

)( 0)()(~ N

n

njkk eanx ω

∑−

=

=1

0

)(0

0)](1[)(~ N

n

njkekXN

nx ωω


)njk0

N0 0e)k(X

2)n(x~ ωω

ω=∑

Untuk N ~, ω0 0 maka x(n)

0n 2= π∑

Untuk N , ω0 0 maka x(n)Sehingga ω0 berubah menjadi suatu elemen frekuensi dω,

dengan demikian :

ωωπ

= ∫π ω2

0

)njk de)(X21)n(x


Jadi pasangan Transformasi Fourier Waktu Diskrit (TFWD)dan inversenya adalah sebagai berikut :dan inversenya adalah sebagai berikut :

)()()( njn

enxX ωω −∞=

∑= )()(n −∞=∑

π ω∫2 ))(1)( dX njk ωω

πω∫=

0

))(2

)( deXnx njk


TFWDTFWD Sinyal SinusoidalSinyal Sinusoidal


nj 0Ae)n(x ω=

∑∞

−∞=

π−ω−ωπδ=ωk

0 )k2(2)(X

( ) )ee(2AncosAnx njnj

000 ω−ω +=ω=

∑∞

−∞=

π−ω+ωδ+π−ω−ωδπ=ωk

00 )k2()k2()(X


Dengan cara yang sama kita dapat menunjukkan bahwa TFWD dari fungsi sinusTFWD dari fungsi sinus

)ee()j2(

AnsinA)n(x njnj0

00 ω−ω −=ω=

Adalah :

)j2(

∑∞

−∞=

π−ω+ωδ+π−ω−ωδπ−=ωk

00 )k2()k2([j)(X


TFWD sinyal cosinusoidalX(n)

n

π π π ππ π

TFWD sinyal sinusoidal

n-2π 0 2π−ω0 ω0

π ππ

X(n)

n-2π 0

−π

2π

−π−π

−ω0ω0


Sifat sifat TFWDSifat-sifat TFWD


a. Periodik atau berulang

X(ω+2π)=X(ω)b. Linearitasb. Linearitas

Jika dan[ ] )(X)n(x 11 ω=F [ ] )(X)n(x 22 ω=F

Maka :[ ] 11

[ ] )(Xa)(Xa)n(xa)n(xa 22112211 ω+ω=+F[ ] )()()()( 22112211


c. Pergeseran waktu dan frekuensimaka

Jika maka[ ] )(X)n(x ω=F [ ] )(Xe)nn(x 0nj0 ω=− ω−F

Jika maka[ ] )(X)n(x ω=F [ ] )(X)n(xe 0nj 0 ω−ω=ω−F


d. Penskalaan waktu dan frekuensi

Jika maka dimana k> 1

[ ] )(X)n(x ω=F [ ] )k/(X)nk(x ω=F

dimana k> 1e. Differensiasi dan penjumlahan

Jika maka [ ] )(X)n(x ω=F [ ] )(Xe1()1n(x)n(x )j ω−=−− ω−F

∞ n 1Dan ∑∑−∞=

ω−−∞=

π−ωδπ+ω−

=

kj

m

)k2()0(X)(Xe11)m(xF


f. Differensiasi dalam frekuensi

Jika maka[ ] )(X)n(x ω=F [ ])(d)(dXj)n(nx

ωω

=F

g.Teorema Parseval

∞ 1Jika maka [ ] )(X)n(x ω=F ∫∑

π∞

−∞=

ωωπ

=2

0

2

n

2 d)(X21)n(x

h. KonvolusiJika maka ∑

∞

∞=

−=k

)kn(h)k(x)n(y )(X)(H)(Y ωω=ω


−∞=k

i. Konvolusi Periodik/Konvolusi sirkular

)n(R)mn(x~)m(x~mnxmx)n(y N2

1N

0m1

Nk

1k21 −=⟩−⟨⟩⟨= ∑∑

−+

+

dimana ,

0m1k =+

k adalah integer, ekspresi <r> adalah r modulo N untuk rinteger sembarang, N adalah perioda( ) ( ) d t t b tx1(n)=x2(n)= deretan terbatas

y(n) adalah respons sistem



BAB #4BAB #4 T f i ZTransformasi Z


TujuanMemahami sifat sifat Transformasi ZMemahami sifat-sifat Transformasi ZMemahami hubungan antara Transformasi Z denganTransformasi Fourier Waktun Diskrit serta hubungangTransformasi Z dengan Transformasi LaplaceDapat menggunakan Transformasi Z untuk memecahkanpersamaan perbedaan dengan kondisi awalpersamaan perbedaan dengan kondisi awal.


Bila ada deretan x(n) maka TZ[x(n)] didefinisikan sebagai :

TZ 2 sisi∑∞=

−=n

nznTxzX ).()(TZ 2 sisi−∞=n

TZ 1 sisi∑∞=

=

−=n

n

nznTxzX0

).()(


Definisi diperluas :

TZ[h(n)] = H(z) = h(n) z-n∑∞

−∞=n

Untuk z = ejω didapat H(ejω)

Sehingga bila ada respons frekuensi h(n), dapat dihitungH(z), kemudian z diganti dengan ejω didapat H(ejω ) yaituRespons FrekuensiRespons Frekuensi.Dengan kata lain, untuk mencari respons frekuensi dapatdilakukan melalui TZ.


Daerah KonvergensiDaerah Konvergensi


Daerah Konvergensi merupakan tempat kedudukan (harga-harga) dari z yang menyebabkan TZ nya berhargaharga) dari z yang menyebabkan TZ nya berhargaberhingga.

a. Diberikan sinyal kausal x(n) = Aαn u(n), |α| >0 maka :

X( ) A ( ) A A A ( / )∑∞

∑∞

∑∞

∑∞

X(z) = Aαn u(n).z-n = Aαn z-n = A αn z = A (α/z)n

X(z) akan berhingga bila (α/z) < 1 atau |z| > |α|

∑−∞=n ∑

=0n∑

=0n∑

=0n

X(z) akan berhingga bila (α/z) < 1 atau |z| > |α|Sehingga X(z) = , |z| > |α| dengan daerah konvergensidi setiap titik di luar lingkaran dengan jari-jari α.

11 −− zAα

di setiap titik di luar lingkaran dengan jari jari α.


b. Diberikan sinyal antikausal x(n) = Aα-n u(-n), |α| >0 maka :

X(z) = Aα-n u(-n).z-n = Aα-n z-n = A α-n z-n = A (α.z)n∑∞

−∞=n∑

∞

=0n∑

∞

−∞=n∑

∞

−∞=n

X(z) akan berhingga bila (αz) < 1 atau |z| < |1/α|Sehingga X(z) = , |z| < |1/α| dengan daerah konvergensiA

1disetiap titik di luar lingkaran dengan jari-jari 1/α.

zα−1


DeretanDeretan dalam Waktu Terbatasdalam Waktu Terbatas


Bila x(n) ≠ 0, n € [N1,N2] dengan N1< N2 dan N1,N2 terbatas, maka :maka :

X(z) = x(n).z∑=

2

1

N

Nn

X(z) konvergen di setiap titik pada bidang z dengankemungkinan pengecualian di z = 0 atau z = ~.

( 3) 2 ( 2) 5 ( 1) 3 (0) 0 (1) 4 (2) 2 (3)x(-3) = 2, x(-2) = -5, x(-1) = 3, x(0) = 0, x(1) = 4, x(2) = 2, x(3)= -4, x(4) = -2

23

4

2

x(n)

0-1

-2

-3 1 2

3 4

5-4

-2


-5

4321123 2424352)( −−−− −−+++−= zzzzzzzzXTerlihat bahwa bila ada z berpangkat positif, maka z = ~ tidak berlaku

karena hasilnya tak terhingga. Begitu pula bila ada z berpangkatnegative maka z = 0 tidak berlaku karena hasilnya juga tak terhingganegative maka z 0 tidak berlaku karena hasilnya juga tak terhingga.

Bila deretan dengan waktu terbatas adalah Respons Impuls h(n) darisuatu sistem linear dan tak berubah terhadap waktu maka sistemsuatu sistem linear dan tak berubah terhadap waktu maka sistemtersebut disebut dengan “SISTEM RESPONS IMULS TERBATAS”(RIT) atau FINITE IMPULSE RESPONSE SYSTEM (FIR SYSTEM).

Bila N1 = -~ dan/ N2 = ~ maka sistemnya disebut dengan “SISTEMRESPONS IMULS TAK TERBATAS” atau INFINITE IMPULSERESPONSE SYSTEM (IIR SYSTEM)RESPONSE SYSTEM (IIR SYSTEM).


Deretan KausalDeretan Kausal


Bila x(n) ≠ 0, n € [N1,~] dengan N1 ≥ 0 , maka :

X(z) = x(n).z-n∑∞

= 1Nn

Contoh : Diberikan sinyal x(n) = an u(n)

X(z) = , |z| > |α|11

1−− az

X(z) konvergen di setiap titik di luar lingkaran dengan jari-jari a. Bila a < |1|, maka sistem stabil.


Deretan Tidak KausalDeretan Tidak Kausal


Bila x(n) ≠ 0, n € [-~, N1] dengan N1 <0 , maka :

X(z) = x(n).z-n∑−∞=

1N

n

Contoh : Diberikan sinyal x(n) = - bn u(-n-1)

X(z) = -bn.z - n = -b-n.z n = - b-n.z n = 1 - b-n.z n∑−

−∞=

1

n∑

∞

=1n∑

∞

=1n

∑∞

=0n

= 1 - (b-1.z) n∑∞

=0n


X(z) akan konvergen bila |b-1.z| < 1.

X(z) = 1 - = , |z| < |b|zb 111

−− bzz−

X(z) konvergen di setiap titik di dalam lingkaran dengan jari-jari b.


Deretan Dua SisiDeretan Dua Sisi


Bila x(n) ≠ 0, n € [-~, ~], maka :

X(z) = x (n) z-n = x(n). z-n + x(n). z-n∑∞

−∞=n∑

∞

=0n∑−

−∞=

1

n

Contoh :Diberikan sinyal x(n) = an u(n)

b ( 1) | | |b|= - bn u(-n-1) , |a| < |b|

X(z) = + = dengan ROC |a| < |z| < |b|z z 2( bazz −−X(z) = + = , dengan ROC |a| < |z| < |b|az − bz − ))(( bzaz −−


TZTZ beberapa Sinyalbeberapa Sinyal


a. Sinyal impuls 0n1

X (z) = x(n) z-n = 1

=

=ainnyaln 0,0n 1,

(n)δ

∑∞

X (z) = x(n) z n = 1

b. Deretan konstan

∑=0n

∞== ,,.........2,1,0,)( nAnx∞

X(z) = z-n = A( 1 + z-1 + z-2 + …)∑=0

)(n

nx

A= , |z| > |1|


11 −− zA

c. Deretan eksponensialnrAnx )( u(n)

X (z) = A rn z-n = A (r z-1 )n = = , >

rAnx .)( =∑

∞

=0n∑

∞

=0n

11 −− rzA

rzAZ− z r

d. Deretan sinusoidal/cosinusoidal Diberikan sinyal cosinusoidal

nAnx βcos.)( =Diberikan sinyal cosinusoidal

X(z) = TZ TZ [ ]nA βcos

+

−

22

njnj AeAe ββ

X(z) = (A/2)

− βjezz

−+ − βjez

z

−+− − ββ jj ezezAz=


+−−

+− 12 2 ββ jj zezezezezAz

=

+−

−1cos2

cos222 2 β

βzz

zAz

= , > 1]1cos2

cos[2 +−

−ββ

zzzAz z

Im[z]lingkaransatuan

β

n Re[z]


Diberikan sinyal sinusoidalX(z) =TZ [A sin ] = TZnβ

−AeAe njnj ββX(z) =TZ [A.sin ] = TZ

=

nβ

−

je

je

22

− ββ jj

zzA

= ; > 1

−− − ββ jj ezezj2

1cos2sin

2 +− ββ

zzAz z1cos2 +βzz

Im[z]lingkaransatuan

n Re[z]

β


Sifat-sifat TZSifat sifat TZ


LinearitasBila deretan x(n) = αx1(n) + βx2(n), dengan α dan β konstan,

maka :maka :

X(z) = TZ [ ])()( 21 nxnx βα +( )

)()(

).().(

21

20

10

zXzX

znxznx n

n

n

n

βα

βα

+=

+= −∞

=

−∞

=∑∑

dengan X1(z) = TZ[x1(n)] , ROC R1 -< < R1+;

X ( ) TZ[ ( )] ROC R < <R d

)()( 21 β

zX2(z) =TZ[x2(n)] , ROC R2 -< <R2+ dan X(z) = Z [x(n)],

z


Maka TZ[αx1(n) + βx2(n)] dengan ROC dari hasil TZ inidiberikan oleh irisan ROC dari X1 (z) dan ROC dari X 2 (z)diberikan oleh irisan ROC dari X1 (z) dan ROC dari X 2 (z).

ROC : max [R1 - ; R2-] < < min [R1+ ; R2+]z


Pergeseran DeretanDiberikan xk(n) = x(n-k) adalah deretan x(n) yang tergeser

sebesar k cuplikan dan bilasebesar k cuplikan dan bilaTZ[x(n)] = X(z) maka :TZ[x(n-k)] = Xk(z)[ ( )] k( )

= xk(n) z-n = x(n-k) z-n∑∞

−∞=n∑

∞

−∞=n

Sebut n-k = m maka Xk(z) = x(m)z-(m+k)=z-k x(m) z-m∑∞

−∞=n∑

∞

−∞=n

= z-k X(z)


Bila TZ[x(n)] = X(z) , Rx -< < Rx+;

Maka :z

Maka :TZ[x(n-k)] = z-k X(z), Rx -< < Rx+;

Jadi daerah konvergensi (ROC) dari x(n) dan x(n-k) adalahz

Jadi daerah konvergensi (ROC) dari x(n) dan x(n k) adalahsama , dengan kemungkinan pengecualian di z = 0 dan z= ~.


Perkalian dengan n (diferensiasi)Jika : X(z) = TZ [x(n)], maka :

TZ [ ] )()( zXdzdznnx −=

Bentuk umum : [ ] m

mmm

dzzxdznxn )()()( −=

Bukti TZ [ ] ∑∑∞

=

−−∞

=

− ==0

1

0)()()(

n

n

n

n znnxzznnxnnx

∑∑∞

−∞

−−

== 1 )())(( nn zdznxzznnxz ∑∑

==

−==00

).().)((nn

zdz

znxzznnxz

)().( zXddzznx

ddz n −=

−= ∑

∞−


0 dzdz n

∑

=

Perkalian dengan rn

Jika : X(z) = TZ [x(n)], maka : TZ [ ] )()(rzXnxr n =

Bukti :

[ ] )().().()(00 r

zXrznxznxrnxr

n

n

n

nnn ∑∑∞

=

−∞

=

− =

==


Penjumlahan KonvolusiJika X (z) =TZ [x (n)] , ROC R1- < < R1+;

X (z)=TZ[ x (n)] ROC R < < RzzX (z)=TZ[ x (n)] , ROC R2 -< < R2+,

Maka :X1(z) X2(z) = TZ Bukti :

z

−∑

∞

=021 )().(

kknxkx

Bukti :

TZ n

n kkzknxkxknxkx −

∞

=

∞

=

∞

=∑ ∑∑

−=

− .)().()().(

0 021

021

,).()(0 0

21 knmzmxkxk n

km −== ∑ ∑∞

=

∞

=

−−

[ ] [ ])().(

,).()(

21

0 021

zXzX

zmxzkxk n

mk

=

= ∑ ∑∞

=

∞

=

−−


Contoh :x(n) = u(n) maka X(z) = z-n = |z| > |1|1∑

∞

x(n) = u(n), maka X(z) = z n = , |z| > |1|

h(n) = an u(n), maka H(z) = anz-n = , |z| > |a|, dengan

11 −− z∑=0n

∑∞ 1h(n) a u(n), maka H(z) a z , |z| |a|, dengan

a < 1, maka :∑

=0n 11 −− az

1 2zY(z) = X(z).H(z) = . = , |z| > |1|11

1−− z 11

1−− az

−− ))(( bzaz

z


Teorema Nilai AwalJika : X(z) = Z [x(n)], maka :

Penerapan utama dari sifat ini adalah untuk menentukan

)(lim)0( zXxz ∞→

=Penerapan utama dari sifat ini adalah untuk menentukan

nilai awal x(0) secara langsung dari X(z), tanpa melakukan evaluasi inverse TZ. Buktinya diberikan seperti berikut ini :berikut ini :

Dari persamaan definisi TZSS,X(z) = x(0) + x(1) z-1 + x(2) z-2 + x(3) z-3 +X(z) x(0) x(1). z x(2).z x(3).z ....

Bila z , maka seluruh suku akan menjadi sangat kecil,kecuali suku pertama. Hal ini membuktikan persamaannilai awal di atas.


Teorema Nilai AkhirJika TZ [x(n)] = X(z) dan semua pole X(z) terletak didalam

lingkaran satuan dengan pengecualian yang mungkin darilingkaran satuan, dengan pengecualian yang mungkin daripole yang sederhana pada z = 1, maka nilai x(n) pada ndiberikan oleh :li x(n)=

Bukti :

xn→lim lim

z→1z

zX z

−

1( )

Bukti :Dengan mempertimbangkan TZ , Dari sifat

pergeseran maka dapat dituliskan :)]()1([ nxnx −+

p g pTZ )]()1([ nxnx −+ )()]0()([ zXzxzzX −−=

nk

znxnx −−+= ∑ )]()1([lim


nkznxnx

=∞→

+∑ )]()1([lim0

Hal ini dapat disusun kembali sebagai :

dengan pengambilan z pada kedua sisi, kita dapatkan :

nk

nkznxnxxzXz −

=∞→

−+=−− ∑ )]()1([lim)0()()1(0

dengan pengambilan z pada kedua sisi, kita dapatkan :

...)]1()[...)]1()2([)]0()1([)0()()1(1

kxXkxxxxxzXzimlz→

+−−++−+−+=−

)(lim kxk ∞→

=


PenskalaanBila TZ[x(n)] = X(z) maka :

TZ[αn x(n)] = αn x(n) z-n = x(n) (z/α)-n∑∞

=0n∑

∞

=0n

= G(z/α)

Dengan cara yang sama : nje 0ω

0ωje−

TZ[ x(n)] = G(z )


LatihanCarilah hasil TZ dan daerah konvergensi dari sinyal :

x(n) = [3(4/5)n (2/3)2n] u(n)x(n) = [3(4/5)n – (2/3)2n] u(n)x(n) = 2n u(n) + 3n u(-n)


Inverse Transformasi ZInverse Transformasi Z


Tujuan dari Inverse Transformasi Z adalahb lik d i k f k i ( )mengembalikan dari kawasan frekuensi (z)

ke kawasan waktu (n).

Ada beberapa metode InversepTransformasi Z, antara lain :


Metode Penyesuaian Koefisien

Jika X (z) = maka : x (n) = a untuk n=0 1 2∑∞

−nJika X (z) = maka : x (n) = a untuk n=0,1,2,…

Contoh :

∑=0n

nnza

Contoh :X (z) =

lakukan pembagian :464

5323

2

++−−

zzzzz

x (z) = 0z0 +3z-1 +7z-2 + …↑ ↑ ↑a0 a1 a2

x(0) x(1) x(2)↑ ↑ ↑

x(0) x(1) x(2)


Metode Deret TaylorMerefer pada suatu bilangan komplek c dimana |c| < 1.

1 ∑∞

= c−11 ∑

=0n

nc


Metode Ekspansi ParsiilMetode ini merupakan metode yang paling popular, karena

cukup melihat pasangan TZ dan inversenya yangcukup melihat pasangan TZ dan inversenya yangsederhana.

N )(iaX(z) =

(i) (i)

∑=

N

i 11)(1

)(−− zip

ia

)(iaa(i) pn(i)

Maka x(n) = a(i) pn(i) n ≥ 0

1)(1)(

−− zip

∑N

Maka x(n) = a(i) pn(i) , n ≥ 0= 0 , n < 0

∑=i 1



BAB #5BAB #5 TRANSFORMASI FOURIERTRANSFORMASI FOURIER

DISKRIT201 Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom

Tujuan

Memamahi hubungan Transformasi FourierDiskrit dengan Transformasi Fourier Waktu DiskritDiskrit dengan Transformasi Fourier Waktu Diskritdan Transformasi ZMemahami sifat sifat Transformasi Fourier WaktuMemahami sifat-sifat Transformasi Fourier WaktuDiskritMemahami aplikasi Transformasi Fourier DiskritMemahami aplikasi Transformasi Fourier Diskritpada pengolahan sinyal dijital


Analisis FourierSinyal Waktu Kontinyu Periodik, digunakan Deret Fourier WaktuKontinyu (DFWK), akan didapatkan spektrum yang diskrit.Sinyal Waktu Kontinyu Non Periodik (terbatas), digunakanTransformasi Fourier Waktu Kontinyu (TFWK), akan didapatkanspektrum yang kontinyu.Sinyal Waktu Diskrit Periodik, digunakan Deret Fourier Waktu Diskrit(DFWD), akan didapatkan spektrum yang diskrit.Sinyal Waktu Diskrit Non Periodik (terbatas), digunakan Transformasiy ( ), gFourier Waktu Diskrit (TFWD), akan didapatkan spektrum yangkontinyu.Sinyal Waktu Diskrit Non Periodik (terbatas), dan diinginkan spektrumy ( ), g pdiskrit, maka digunakan Transformasi Fourier Diskrit (TFD).


Representasi Fourier


Formulasi Transformasi Fourier Diskrit

∑− π−

−==1N

Nkn2j

1N10ke)n(x)k(X ∑=

==0k

1N,....1,0k,e)n(x)k(X

k ))Nk2(X)(X)k(X

N/kn2

π=ω=

π=ω )

1,...2,1,0,)(1)(1

−== ∑−

− NnwkXN

nxN

knN)()(

0∑

=N kN


ContohDiberikan respons impuls sistem adalah :h(n) = 1/3 0 ≤ n ≤ 2h(n) = 1/3 , 0 ≤ n ≤ 2

= 0 , n lainnya

Bila dicari hasil TFWD[(h(n)] yaitu H(ejω) dan hasil TFD[h(n)] yaitu H(k) seperti ditunjukkan dalam gambar berikuti iini.


Hubungan antara TFWD dan TFD dari deretan kausal untuk N=4 dan N=8


Sifat-sifat TFDJika maka: [ ] N,....3,2,1,0k),k(X)n(x ==F

1 i i [ ] )()()()( kXkXF1.Linearitas

2.Pergeseran waktu kmNwkXmnx −=− )()]([F

[ ] )()()()( 22112211 kXakXanxanxa +=+F

3.Pergeseran frekuensi

4 D lit )()]([ NkF

)(])([ mkXwnx mnN −=−F

4.Dualitas

5. Konvolusi Sirkular

)()]([ nNxkx −=F

)()()(]mod)[(1

0kYkXiyNinx

N

i=

−∑

−

=

F

6. Perkalian

7 T P l

−= ∑

−

=

−1

0

1 )(]mod)[()]()([N

iiYNikxNnynx F

∑∑−−

=1

21

2 )()(NN

kXnxN


7.Teorema Parseval ∑∑== 11

)()(kn

kXnxN

Transformasi Fourier Cepat


Komputasi langsung dari TFD tidak efisien, karena tidakmemanfaatkan sifat simetri dan sifat keperiodikanmemanfaatkan sifat simetri dan sifat keperiodikan(periodisitas).

Sifat simetri : WNkn = - WN

k

Sifat periodisitas : W k+n = W kSifat periodisitas : WNk+n = WN

k

TFD langsung : N2 perkaliang g pN2 – N penjumlahan


Refer TFD :N 1N-1

X(k) = ∑ x(n) WNkn , k = 0, 1, ...., N-1

n=0

WNk = e-j2π/N

Bila x(n) deretan waktu diskrit dengan panjang N, maka X(k)merupakan deretan frekuensi dengan panjang N.p g p j g


TFD 2 Titik1

X(k) = ∑ x(n) W kn k = 0 1X(k) = ∑ x(n) W2kn, k = 0, 1

n=0

k =0 → X(0) = x(0) + x(1)k 0 X(0) x(0) x(1)k=1 → X(1) = x(0) – x(1)

Diperlukan : 4 perkalian dan 2 penjumlahan.

x(0) X(0)x(1) X(1)


TFD 4 Titik3

X(k) = ∑ x(n) W kn k = 0 1 2 3X(k) = ∑ x(n) W2kn, k = 0, 1 , 2 , 3

n=0

X(0) = x(0) + x(1) + x(2) + x(3)X(0) x(0) x(1) x(2) x(3)X(1) = x(0) + x(1) W4

1 + x(2) W42 + x(3) W4

3

= x(0) -j x(1) - x(2) + j x(3) X(2) = x(0) + x(1) W4

2 + x(2) W44 + x(3) W4

6

= x(0) - x(1) + x(2) - x(3) X(3) = x(0) + x(1) W4

3 + x(2) W46 + x(3) W4

9

= x(0) +j x(1) - x(2) – j x(3) Diperlukan : 16 perkalian dan 12 penjumlahanDiperlukan : 16 perkalian dan 12 penjumlahan.


X(0) = [x(0) + x(2)] + [x(1) + x(3)]X(1) = [x(0) x(2)] j[ x(1) x(3)]X(1) = [x(0) - x(2)] – j[ x(1) - x(3)] X(2) = [x(0) + x(2)] - [x(1) + x(3)]X(3) = [x(0) - x(2)] + j[ x(1) - x(3)]X(3) [x(0) x(2)] j[ x(1) x(3)]

x(0) X(0) (1) X(1)x(1) X(1)

x(2) X(2)x(3) X(3)


Transformas Fourier Cepat(Fast Fourier Transform)

FFT


Algoritma FFT

Desimasi dalam waktuDesimasi dalam frekuensi


Desimasi dalam Waktu

N-1

Refer TFD : X(k) = ∑ x(n) WNkn , k = 0, 1, ...., N-1

n=0

WN = e-j2π/N


Misalkan n = 2r , untuk ndeks genapn = 2r+1 untuk indeks ganjiln = 2r+1 ,untuk indeks ganjil

(N/2)-1 (N/2)-1( ) ( )

X(k) = ∑ x(2r) WN2rk + ∑ x(2r+1) WN

(2r+1)k

r=0 r=0

(N/2)-1 (N/2)-1

= ∑ x(2r) WN2rk + WN

k ∑ x(2r+1) WN2rk

r=0 r=0

↓ ↓= N/2 point TFD bag genap + N/2 point TFD bag ganjil


Dengan W 2rk = exp[ j(2π/N)2rk] = exp exp[ j2π/(N/2)rk] = WrkWN

2rk = exp[-j(2π/N)2rk] = exp exp[-j2π/(N/2)rk] = WrkN/2

Sehingga :gg

(N/2)-1 (N/2)-1

X(k) = ∑ x(2r) WrkN/2+ Wk

N ∑ x(2r+1) WrkN/2

r=0 r=0

= G(k) + WkN . H(k) ; k = 0, 1, ..., N-1


Dimana :

G(k) = TFD N/2 titik bagian genap dari deretan x(n)

H(k) = TFD N/2 titik bagian ganjil dari deretan x(n)


Gambar aFFT 8 titik (N = 23) Desimasi dalam Waktu( )

TFD N titik didekomposisi dalam TFD N/2 titik


Gambar bFFT 8 titik (N = 23) Desimasi dalam Waktu( )

TFD N/2 titik didekomposisi dalam TFD N/4 titik


Gambar bSubstitusi gambar b ke dalam gambar a


Flow Graph 2 titikFlow Graph 2 titik


Flow Graph dari perhitungan TFD 8 titik dekomposisi desimasi dalam waktup p g p


Struktur FFT 8 titik


Perhitungan kompleksitas perkalian dan penjumlahan dalam FFTPerhitungan kompleksitas perkalian dan penjumlahan dalam FFT


Pengurutan kembali deretan dengan bit reversalPengurutan kembali deretan dengan bit reversal


Tugas

Turunkan formulasi Desimasi DalamF k i d FFTFrekuensi pada FFT



BAB #6BAB #6 SAMPLING &SAMPLING &

REKONSTRUKSI SINYAL230 Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom

Tujuan

Memahami kaidah-kaidah pencuplikani l t k t k isinyal serta rekonstruksinya

Memahami kaidah-kaidah pada quantisasi


Latar BelakangLatar Belakang


Pemrosesan Sinyal Dijital


Sampling

Sampling ideal :


ContohSinyal Sinusoidal x(t) = e2∏jft dengan frekuensi f ,

Sebelum proses sampling : spektralnya pada frekuensi fSebelum proses sampling : spektralnya pada frekuensi fSetelah proses sampling :X(nT) = e2∏jnft : spektralnya pada frekuensi = f yangX(nT) e : spektralnya pada frekuensi f yangperiodik dengan dengan n fs.

Pengulangan Spektrum akibat pencuplikan


fs = frekuensi sampling = 1/T = sampling rate

Sinyal x(t) dibuat bandlimited, spektrumnya bandlimiteddengan frekuensi sebesar fmax

Samping rate dipilih paling tidak = 2 x frekuensi maksimum dariSamping rate dipilih paling tidak = 2 x frekuensi maksimum dari sinyal yang ada.

fs ≥ 2 fmax atau T ≤ 1/(2 fmax)


Sampling Rate minimum fs = 2 fmax disebutN i t R tNyquist Rate

Sedangkan besaran fs/2 disebut frekuensiNyquist atau Folding frequencyyq g q y

[ fs/2 fs/2 ] disebut Nyquist Interval[-fs/2 , fs/2 ] disebut Nyquist Interval


Contoh

Aplikasi fmax fsGeofisika 500 Hz 1 kHzBiomedical 1 kHz 2 kHzMekanikal 2 kHz 4 kHzSpeech 4 kHz 8 kHzSpeech 4 kHz 8 kHzAudio 20 kHz 40 kHzVideo 4 MHz 8 MHz


Untuk sinyal yang tidak bandlimited, dibuatb dli it d d di” filt ” l h filtbandlimited dengan di”prefilter” oleh filteranalog Low Pass disebut sebagai“A ti li i filt ” d t ff“Antialiasing pre filter” dengan cut offfrequency :

fmax ≤ fs/2 max s


Output dari analog Low Pass Pre Filter menjadi bandlimited

Prefilter AntialiasingPrefilter Antialiasing


Pembatasan HardwareBila total waktu proses atau waktu komputasi = Tprocessdan periode pencuplikan = T maka :dan periode pencuplikan T, maka :

T ≥ Tprocess

Dengan kata lain : Computation Rate atau ProcessingRate adalah :

fprocess = 1/Tprocess

Sehingga berlaku : 2 fmax ≤ fs ≤ fprocess


IlustrasiSinyal frekuensi tunggal :x(t) = Cos (2∏ft) disampling dengan 3 macam frekuensix(t) = Cos (2∏ft) disampling dengan 3 macam frekuensisampling : fs1= 8f, fs2= 4f dan fs3= 2f

Sinyal Sinusoidal pada rate fs = 8f; 4f; 2fs


Dari ketiga gambar tersebut di atas, apa komentar anda ???

Jumlah sample/cycle = fs/f = (sample/sec)/(cycles/sec) (sample/sec)/(cycles/sec) = samples/cycle

fs/f » 2 samples/cycle sehingga fs » 2f

Seringkali f dinormalisir terhadap frekuensi Nyquist :

f = f /2 sehingga f/ ffN = fs/2 sehingga f/ fN


Dalam hal ini interval Nyquist menjadi [-1, 1]

Unit Frekuensi


Analog Reconstruction & Aliasing

x(t) = ejΩt = ej2Πft disampling dengan periode T sehingga t = nT :

x(nT) = ejΩnT = ej2ΠfnT

Definisikan m=0 + 1 + 2 x (t) = exp2∏j(f+mf )nTDefinisikan m=0,+-1, +-2,……. xm(t) = exp2∏j(f+mfs)nT

Ingat : exp2∏jmfsnT = exp2∏jmn = 1

Maka : xm(t) = exp2∏j(f+mfs)nT = exp2∏jfnT. exp2∏jmfsnT

= exp2∏jfnT

= x(nT)= x(nT)


Ideal ReconstructorIdeal Reconstructor


Ideal Analog Reconstructor melewatkani l d k f k isemua sinyal dengan komponen frekuensi

yang ada di dalam interval Nyquist [-fs/2 ,f /2 ] d hil k i l dfs/2 ] dan menghilangkan sinyal denganfrekuensi di luar interval tersebut.

Dengan kata lain : Ideal Analogg gReconstructor bekerja sebagai LPF dengancut off sama dengan frekuensi Nyquist fs/2.g yq


IlustrasiDiberikan x(t) = 4 + 3 Cos (πt) + 2 Cos (2πt) + Cos (3πt)(t dalam ms) Tentukan sampling rate minimum agar tak(t dalam ms). Tentukan sampling rate minimum agar takterjadi aliasing.Tunjukkan bila sinyal disampling ½ Nyquist rate(tunjukkan xa(t) dan x(t))

Solusi :Solusi :Frekuensi yang ada pada x(t) adalah :f1 = 0 Hz f2 = 0 5 kHz f3 = 1kHz f4 =1 5 kHzf1 0 Hz, f2 0,5 kHz, f3 1kHz, f4 1,5 kHz,fmax = f4 =1,5 kHzNyquist rate = 2 fmax = 2f4 = 3 kHzmax 4


Bila sinyal disampling 0,5 Nyquist rate :fs = 1 5 kHz interval Nyquist [ 0 75; 0 75] kHzfs = 1,5 kHz, interval Nyquist [-0,75; 0,75] kHzf1 dan f2 tidak masalah (f1a = f1 , f2a = f2)

Tetapi f3 dan f4 di luar interval Nyquist.f3a = f3mod(fs) = 1 mod(1,5) = 1 – 1,5 = -0,5 kHzf4a = f4mod(fs) = 1,5 mod(1,5) = 1,5 – 1,5 = 0 kHz

Ditulis kembali x(t) dengan frekuensi yang “baru” :

x(t) = 4Cos 2Πf t + 3Cos 2Πf t 2 Cos 2Πf t + Cos 2Πf tx(t) = 4Cos 2Πf1t + 3Cos 2Πf2t 2 Cos 2Πf3t + Cos 2Πf4t


Terjadi aliasing :

xa(t) = 4Cos2Πf1at + 3Cos 2Πf2at+2Cos2Πf3at+Cos 2Πf4at= 4 + 3 Cos Πt + 2 Cos(-Πt) + Cos 0 4 3 Cos Πt 2 Cos( Πt) Cos 0= 5 + 5 Cos Πt


Pada frekuensi = 0 kHz, amplitudonya (4 + 0,5 + 0,5) = 5= + 0 5 kHz amplitudonya (3/2 + 2/2) = 2 5= +- 0,5 kHz, amplitudonya (3/2 + 2/2) = 2,5


Kuantisasi

Konversi Analog ke DijitalKonversi Analog ke Dijital


Setelah melewati DS Processor, terapkan D/A Converteruntuk mengembalikan ke bentuk analog kembaliuntuk mengembalikan ke bentuk analog kembali.

Sinyal terkuantisasi xQ(nT) direpresentasikan oleh B bitsy Q( ) pyang mempunyai nilai 2B yang mungkin (2B levelquantisasi)Dimana : R = rangeDimana : R = range

Q = spasi antar level= lebar quantisasi lebar quantisasi= resolusi quantizer

2B = jumlah level quantisasi


Kuantisasi sinyalKuantisasi sinyal


Dalam range skala penuh dibagi secara uniform ke dalam 2B levelquantisasi.

Q = R/(2B) atau R/Q = 2B

Misal harga R antara 1 s/d 10 volt, dengan melihat gambarsebelumnya , maka B = 3 atau 2B = 8 level.

Untuk Bipolar ADC : -R/2 ≤ xQ(nT) < R/2

Untuk Unipolar ADC : 0 ≤ x (nT) ≤ R/2Untuk Unipolar ADC : 0 ≤ xQ(nT) ≤ R/2

Dengan maksimum level : R/2 - Q.


Beberapa Definisi dalam Kuantisasi

ROUNDING : pembulatan ke harga terdekat dari levelquantisasiquantisasiTRUNCATION : memotong bagian atas (membulatkan ke

harga di bawahnya yang terdekat)QUANTIZATION ERROR : selisih antara sinyalterkuantisasi dengan sinyal tersample x(nT)e(nT) = x (nT) x(nT) atau e = x xe(nT) = xQ(nT) – x(nT) atau e = xQ – x

Q/2 ≤ e ≤ Q/2


Mean Error Mean Square Error

Terlihat bahwa e tidak dapat merepresentasikan error.Perlu definisi harga rms :

Pelajari lebih lanjut mengenai probabilitas dan statistik


Bila R = range dari sinyal dan Q = noise kuantisasi makaS/N Ratio (SNR) adalah :S/N Ratio (SNR) adalah :

SNR = 20 log10(R/Q) = 20 log10 (2B)g10( ) g10 ( )= B. 20 log10 2

Jadi :Jadi :

SNR = 20 log10(R/Q) = 6 B (dB)SNR 20 log10(R/Q) 6 B (dB)

= disebut “dynamic range” dari quantizer


Contoh soalDalam aplikasi audio dijital, sinyal dicuplik pada lajupencuplikan 44 kHz dan masing-masing cuplikanpencuplikan 44 kHz dan masing masing cuplikandikuantisasi menggunakan A/D konverter yangmempunyai range/jangkauan skala penuh 10 volt.T t k j l h bit B jik k l h k ti i f ktifTentukan jumlah bit B jika kesalahan kuantisasi efektif(rms) dijaga di bawah 50 mikro volt. Kemudian tentukankesalahan (dalam rms) dan bit rate per second. Hitungpula dynamic range dari kuantiser.


SolusiJumlah bit B = log2 [R/(erms √12)] = log2 [10/(50.10-6√12)] =15 82 dibulatkan ke 16 Sehingga terdapat 2B = 65 53615,82 , dibulatkan ke 16. Sehingga terdapat 2 65.536level kuantisasi.Dengan harga B tersebut dapat dihitung erms = R.2-B/√12= 44 mikro volt.Bit Rate =B.fs = 16. 44 = 704 kbits/sec. Ini merupakantipikal bit rate untuk CD playertipikal bit rate untuk CD player.Dynamic range dari kuantiser : 6B = 6. 16 = 96 dB.Sebagai catatan, dynamic range alat pendengaranmanusia sekitar 100 dB. Ini sebagai alasan mengapaDijital Audio kualitas CD diperlukan minimal 16 bitkuantisasi.kuantisasi.



BAB #7BAB #7 FILTER DIJITALFILTER DIJITAL


Tujuan

Memahami sifat-sifat filter dijitalDapat merancang filter dijital responsimpuls terbatas dan filetr dijital responsimpuls tak terbatas dengan berbagaimetode


PendahuluanPemfilteran Dijital adalah pemrosesan sinyal denganmenggunakan program komputer yakni memproses suatumenggunakan program komputer yakni memproses suatufile dari sampel-sampel sinyal dan menghasilkan suatu filebaru dari sampel-sampel terfilter.

Sehingga pemfilteran dijital dapat diimplementasikan padasuatu komputer dijitalsuatu komputer dijital.

Dewasa ini ada kecenderungan untukgmengimplementasikannya secara cepat, untuk desainkhusus dan murah sehingga sering ditambahkan dengansuatu Digital Sinyal Prosessor (DSR) Chipsuatu Digital Sinyal Prosessor (DSR) Chip.


Deskripsi Desain Filter DijitalBlok Diagram Pemfilteran Dijital

Sinyal analog band limited dicuplik periodik dandikonversikan dalam sampel dijital x(n), untuk n = 0, 1, 2,.....Prosesor Dijital mengimplementasikan operasi filtering,mapping deretan input x(n) ke deretan output y(n)menurut algoritma komputasi pada filter.


Digital to Analog Converter (DAC) mengkonversi outputfilter dijital ke dalam nilai-nilai analog kemudian difilter dijital ke dalam nilai nilai analog, kemudian dismoothing dan menghilangkan komponen frekuensi tinggiyang tidak diinginkan. Prosesor Dijital

i l t ik i filt i i d tmengimplementasikan operasi filtering, mapping deretaninput x(n) ke deretan output y(n) menurut algoritmakomputasi pada filter.


Keuntungan Filter DijitalFilter dijital dapat mempunyai karakteristik yang tidakdapat dipenuhi filter analog seperti respons fasa yangdapat dipenuhi filter analog, seperti respons fasa yangbenar-benar linear.Performansi filter dijital relatif tak berubah denganperubahan lingkungan seperti variasi temperatur.Cut off, daerah transisi dsb di bawah kontrol komputer,sehingga dapat diset “high precission” Kepresisiansehingga dapat diset high precission . Kepresisianditentukan panjang wordFleksibilitas tinggi : cut off, daerah transisi dsb dapatbervariasi dengan perubahan kecil pada program.


Mudah membangun filter linear fasaRespons Frekuensi dapat otomatis di “ajust” jikaRespons Frekuensi dapat otomatis di ajust jikadiimplementasikan menggunakan prosesor terprogram(kasus Filter adaptif)Dapat memfilter sejumlah inputData terfilter & data tak terfilter dapat disimpan untukkeperluan yang akan datangkeperluan yang akan datangDengan perkembangan teknologi elektronika, filter dijitaldapat dipabrikasi dengan ukuran kecil, konsumsi dayap p g , yrendah, harga murahMudah dalam pengembangan ke filter adaptif.


Aplikasi Filter DijitalKompresi Data.Biomedical Signal ProcessingBiomedical Signal Processing.Speech Processing.Image Processing.Image Processing.Digital Audio.Telephone Echo Cancellation.Video Processing.Watermaking.Steganografi.Inverse Filtering.DsbDsb.


Gambaran Implementasi Sederhana

Step 1 : Pada sampel sinyal x(n) diterapkan TransformasiFourier sehingga didapat fungsi di kawasan frekuensiFourier, sehingga didapat fungsi di kawasan frekuensiX(f).

Step 2 : Terapkan fungsi “pemberat” H(f) pada kawasanfrekuensi, sehingga didapatkan X(f) yang terfilter.

Step 3 : Terapkan Inverse Transformasi Fourier untukmendapatkan sinyal y(n).p y y( )


Implementasi Sederhana Pemfilteran Dijitalp j


Tipe Filter DijitalFilter Respons Impuls Tak Terbatas (RITT) /Infinite Impulse

Response (IIR) :Response (IIR) :

~y(n) = ∑ h(k).x(n-k) y( ) ∑ ( ) ( )

k=0

Terlihat bahwa Respons Impuls IIR Filter TAK TERBATASSecara Praktis tidak feasibel menghitung output filter IIRdengan persamaan di atas karena respons impulnyadengan persamaan di atas, karena respons impulnyasangat panjang (teori : tak terbatas)


Sehingga Filtering IIR diekspresikan dalam bentuk Rekursifsebagai berikut :sebagai berikut :

~y(n) = ∑ h(k).x(n-k)y( ) ∑ ( ) ( )

k=0

~ ~= ∑ ak.x(n-k) - ∑ bk.y(n-k)

k=0 k=1

ak dan bk adalah koefisien filter IIR


Filter Respons Impulse Terbatas (RIT) / Finite ImpulseResponse (FIR) :Response (FIR) :

N-1N 1y(n) = ∑ h(k).x(n-k)

k=0


Komparasi FIR & IIR FilterFIR Filter :

Sederhana (+)Sederhana (+)Stabil (+)Hampir selalu berfasa linear (+)Hampir selalu berfasa linear ( )Delay = 0,5 panjang h(n) (-)

IIR Filter :Orde rendah & Delay pendek (+)Sulit membuat fasa linear (-)Ada kemungkinan tak stabil (-)


Pertimbangan Pemilihan1. Filter FIR dapat secara tepat mempunyai respons fasa

linear implikasinya tak ada distorsi fasa (Perlu dalamlinear, implikasinya tak ada distorsi fasa (Perlu dalamtransmisi data, biomedical, digital audio, image processingdsb.)Fasa Filter FIR non linear

2 Filter FIR direalisasikan non rekursif2. Filter FIR direalisasikan non rekursifFilter FIR selalu stabilFilter IIR belum tentu stabilFilter IIR belum tentu stabil


3. Filter FIR banyak memerlukan koefisien dibanding FilterIIR Kurang ekonomis dalam hal komputasi dan memoryIIR. Kurang ekonomis dalam hal komputasi dan memorypenyimpanan

4. Filter analog dapat dengan mudah ditransform dalamekivalen Filter IIR menyesuaikan spesifikasi.Tak dapat dilakukan pada Filter FIR karena tak adaTak dapat dilakukan pada Filter FIR karena tak ada“analoque counterpart” nya

5. Dan sebagainya.


Kompromi (Pedoman umum)Penggunaan IIR FilterBila diperlukan filter dengan cut off curam terutamaBila diperlukan filter dengan cut off curam, terutamapenggunaan karakteristik ellyptic akan menggunakankoefisien yang lebih kecil dibanding ilter FIR

Penggunaan FIR FilterBil j l h k fi i tid k t l l b d kh bilBila jumlah koefisien tidak terlalu besar dan khusunya biladiperlukan syarat tanpa distorsi fasa (distorsi fasa yangkecil))


IlustrasiDua fungsi transfer yang mempunyai respons amplitudo

hampir sama sebagai berikut :hampir sama sebagai berikut :

IIR : H(z) =[a0+a1z-1+a2z-2]/[1+b1z-1+b2z-2]( ) [ ] [ ]

dengan a0 = 0,4981819 b1 = -0,6744878a1 = 0,9274777 b2 = -0,3633482a2 = 0,4981819


11FIR : H(z) = ∑ h(k) z-k

k=0

dengan h(0) = 0,546.10-12 = h(11)h(1) = -0,450.10-1 = h(10)h(2) = 0,691.10-1 = h(9)h(3) 0 553 10 1 h(8)h(3) = -0,553.10-1 = h(8)h(4) = -0,634.10-1 = h(7)h(5) = 0 5789 10-0 = h(6)h(5) 0,5789.10 0 h(6)


Blok Diagram IIR untuk kasus di atas :

w(n) = x(n) – b1(n-1) – b2(n-2)y(n) = a0(n) + a1w(n-1) + a2w(n-2)

Jumlah perkalian = 5; jumlah penambahan = 4Data & koefisien yang disimpan = 10 (?) yaitu :x(n) w(n) w(n 1) w(n 2) dan koefisien : a a a b byaitu :x(n), w(n), w(n-1), w(n-2), dan koefisien : a0, a1, a2, b1, b2


Blok Diagram FIR untuk kasus di atas :

11

y(n) = ∑ h(k) x(n-k)k=0

Jumlah perkalian = 12; jumlah penambahan = 11Data dan koefisien yang disimpan = 24 yaitu x(0) s/d x(11)

d h(0) /d h(11)dan h(0) s/d h(11)


Mengapa diperlukan Filter Fasa Linear?


Filter Fasa MinimumSecara umumn, diinginkan adanya delay sekecil-kecilnyayang mungkin dalam suatu filter Delay minimum atauyang mungkin dalam suatu filter. Delay minimum ataufasa minimum filter dapat dicapai dengan tidakmembangun “Right Half Plane Zeros”.Filter berfasa minimum adalah suatu filter dimana seluruhpole dan zero dari fungsi transfernya di dalam lingkaransatuan. Bila dilihat dari fasanya, sistem berfasa minimumy ,akan memenuhi hubungan :

ω=π - ω=0 = 0


Filter DijitalFilter DijitalRespons Impuls TakRespons Impuls Tak

TerbatasTerbatas


Respons Impuls h(n) = 0 , n < 0

)(...)1()(...)1()()(

1

10

qnybnybpnxanxanxany

n

n

−++−−−++−+=

Transformasi Z :

)()(1 qyy n


Syarat : Minimum ada sebuah ak ≠ 0Akar-akar dari penyebut tidak dihilangkan oleh akar-akar dari pembilangZ d t di b t t l h di d lZero dapat disembarang tempat, pole harus di dalam lingkaran satuan.Biasanya M ≤ NBiasanya M ≤ N


Penentuan Koefisien Filter RITTMenentukan b dan a agar Respons Filter mendekatiMenentukan bk dan ak agar Respons Filter mendekati sifat yang diinginkan.Pendekatan : bidang z untuk filter dijitalg j

bidang s untuk filter analog

Penentuan h(n) Filter : Spesifikasi filterS ifik i filt did k ti d filt di it l k lSpesifikasi filter didekati dengan filter digital yang kausal (pole berhingga).Realisasi filterRealisasi filter


Metode Pendekatan :

Transformasi Respons Impulsp pTransformasi z Bilinear (BZT Method)Transformasi Matched ZTransformasi Matched Z


Transformasi Respons ImpulsRespons Impuls Filter Dijital adalah versi cuplikan darirespons impuls analogrespons impuls analogFungsi Transfer Filter Analog :

M M∑ bk.sk ∏ (s +ck)k=0 k=1k 0 k 1

H(s) = ----------- = ------------N N∑ ak. Sk ∏ (s + dk)k=1 k=1


Dengan perluasan pecahan parsial :

N

H(s) = ∑ ck/(s+dk) k=1

Dimana : ck = H(s).(s+dk)|s=dk

dk = tempat pole ke-k


Respons Impuls :

Nh(t) = ∑ ck. exp[-dkt u(t)]

k=1k=1

Dengan pencuplikan :g p p

Nh(nT) = ∑ ck. exp[-dknT u(nT)] ;

k=1

T= Periode pencuplikan


Transformasi Z :

~ ~ NH(z) = ∑ h(nT) z-n = ∑ ∑ ck. exp[-dknT] z-n

n=0 n=0 k=1

~ N

= ∑ ck ∑ exp[-dkT. z-1]nn=0 k=1

N= ∑ ck/[1- exp(-dkT. z-1)]

k=1


Hubungan Pemetaan :

1/(s+dk) →1/[1- exp(-dkT. z-1)] untuk pole sederhana

Bila dk komplek maka ck juga komplek, karena h(t) riil makaakan ada pole dk* dan ck* , dimana * = komplek konjugate

ck/(s+dk) + ck* /(s+dk*)


Bila dk = σk + jΩk dan ck = gk + jhk

ck/(s+dk) + ck* /(s+dk*)

= 2 gk. s+2(σk gk+Ωk hk)/[s2+2 σk.s +(σk2+Ωk

2)


Dengan pemetaan : 1/(s+dk) → 1/[1- exp(-dkT. z-1)]

maka :

ck/[1- exp(-dk.T. z-1)] + ck*/[1- exp(-dk*T. z-1)]

= 2 gk- exp(-σkT) . z-1 [2 gk Cos(ΩkT)-2 hk Sin(ΩkT)(7.17)

1 2 ( d *T) 1 C (Ω T) ( 2 T) 21- 2 exp(-dk*T). z-1 Cos(ΩkT) + exp(-2 σkT). z-2


Sehingga :

s + σ + Ω(h/g) →s2+2 σ s + σ2+Ω2s 2 σ s σ Ω

1 - exp(-σT). z-1 [Cos(ΩT) - (h/g) Sin(ΩT)](7.18)

1 - 2 exp(-σT). z-1 Cos(ΩT) + exp(-2σT). z-2


Contoh :h(t) = exp( σT) Cos (Ωt) u(t)h(t) = exp(-σT). Cos (Ωt).u(t)

H(s) = (s+σ)/s2+2 σ s+σ2+Ω2H(s) (s σ)/s 2 σ s σ ΩH(z) = [1- exp(-σT). z-1 Cos (ΩT)] / [1-2 exp(-σT).z-1

Cos(ΩT)+exp(-2σT) z-2]

K i lKesimpulan :Koefisien filter dijital tergantung periode pencuplikan


Karena respons impuls filter dijital adalah hasil cuplikandari respons impuls filter analog maka ada efek aliasingdari respons impuls filter analog maka ada efek aliasing.

~H(ejΩT) = (1/T) ∑ H(jΩ +j l Ωs)( j ) ( ) ∑ (j j s)

l=-~

Ω 2 /T F k i lik ( di ) t kΩs = 2π/T = Frekuensi pencuplikan (radian) untuksistem dijital


Transformasi Z BilinearDefinisi : s → (2/T) (1-z-1)/(1+z-1)

z = [(2/T)+s]/[(2/T)-s]

Bila s = jΩ → z = [(2/T) + jΩ]/[(2/T)- jΩ]

Ω = 0 → z = 1Ω = ~ → z = -1Ω → z 1

= - ~ → z =-1


Bila s = σ + jΩ → z = [(2/T) + σ + jΩ]/[(2/T)- σ -jΩ]

σ < 0 (Bidang s sebelah kiri) → |z | < 1 (didalam lingkaran ( g ) | | ( gsatuan)

F i t f filt dijit l did t d t f iFungsi transfer filter dijital didapat dengan transformasibilinear

H(z) = H(s) untuk s=(2/T)(1-z-1)/(1+z-1)


Transformasi dari bidang s ke bidang zTransformasi dari bidang s ke bidang z


Jadi dengan transformasi Bilinear ini tidak terjadi AliasingJadi dengan transformasi Bilinear ini tidak terjadi Aliasing


Hubungan Non Linear

Hubungan antara frekuensi analog dan frekuensi dijital ditunjukkan pada persamaan sebagai berikut :j p p g

Bila s = jΩ dan z = exp(jωT) , maka :

jΩ →(2/T)(1 – exp(-jωT)/ (1 + exp(-jωT)

jΩ →(2/T)[ exp(jωT/2) – exp(-jωT/2)]. exp(-jωT/2)/[exp(jωT/2 + exp(-jωT/2)]. exp(-jωT/2)


Hubungan antara Frekuensi Analog dan Frekuensi Dijital dalam Transformasi Bilinear

jΩ →(2/T) j tan (ωT/2)Ω →(2/T) tan (ωT/2)Ω →(2/T) tan (ωT/2)


Sifat-sifat Transformasi Bilinear :Pemetaan sederhana :Pemetaan sederhana :

Bidang s Bidang zSumbu jΩ → Lingkaran satuanSumbu jΩ Lingkaran satuan

Bila filter analog stabil dan kausal (dapat direalisasikan)maka filter dijitalnya juga stabil dan dapat direalisasikan.Karena Transformasi Non Linear maka responsefrekuensi filter analog harus konstan per segmen.Response Impuls maupun response fasa filter tidak samaResponse Impuls maupun response fasa filter tidak samadengan filter analog.


Filter Analog sbg Counterpart g gFilter Dijital


Filter analog yang digunakan sebagaiC t t filt IIR d l hCounterpart filter IIR adalah :Filter ButterworthFilter ChebyshevFilter EllypticFilter Ellyptic


Respons Frekuensi Filter(a) Butterworth (b) Chebyshev tipe-I (c) Chebyshev tipe-II (d) Elliptic


Filter ButterworthFilter Butterworth


Filter yang akan kita rancang biasanya adalah filter yang sudah dinormalisasisudah dinormalisasi.

Contoh : LPF dengan Frekuensi Cut Off fco = 1 rad/detFilter frekuensi kendali (normalisasi).( )Respons Magnitude Squared :

|H(Ω )|2 = 1/[1+(Ω2)n]

D Ω f k i t ff (1 d/ )Dengan Ω = frekuensi cut off (1 rad/s)n = derajad filterH(s) H(-s) = 1/[1+(-s2)]nH(s).H(-s) = 1/[1+(-s )]


Tempat kedudukan pole-pole filter Butterworthp p p(a). n ganjil (b). n genap


Fungsi transfer Filter Butterworth dapat dituliskan sebagai berikut :berikut :

n

H(s) k /[ Π (s s )]H(s) = k0/[ Π (s-sk)]k=1

dimana sk adalah pole-pole filter Butterworthsk = exp [jπ(0,5 + (2k-1)/2n] dengan k = 1, 2, …, n


H(s) = 1/[ Π (s-sk)] = 1/Bn(s)LHP

Poles

Dengan Bn(s) adalah polinomial Butterworth.Pole-pole sk dicari dari hubungan sebagai berikut :

Untuk n ganjil : 1 kπ/n ; k = 0 1 2 2n-1Untuk n ganjil : 1 kπ/n ; k 0, 1, 2, ..., 2n 1.

Untuk n genap : 1 π/2n + kπ/n; k = 0, 1, 2, ..., 2n-g p ; , , , ,


Polinomial Butterworth


Sifat Filter Butterworth :Hanya mempunyai poleHanya mempunyai polePada Ω =1 → H(Ω) = 1/√2 Derajad filter n menentukan karakteristik filterDerajad filter n menentukan karakteristik filter

Bila redaman pada Ωt > 1 (yaitu di daerah stopband)sebesar A db, maka dari hubungan :

|H(Ω )|2 1/[1 (Ω2)n] t lih t b h H(Ω ) 1/A|H(Ω )|2 = 1/[1+(Ω2)n], terlihat bahwa H(Ωt ) = 1/A


Sehingga didapat persamaan :

|(1/A)2|= 1/[1 + Ωt2n]

Dari persamaan tersebut, derajad (orde) filter n dapat dicari :

n = log (A2 – 1)/(2 log Ωt)


Kuadrat respons frekuensi untuk berbagai orde filter

Semakin tinggi orde filter (n) maka semakin curam respons frekuensi dan kuadrat respons frekuensinyafrekuensi dan kuadrat respons frekuensinya.


Contoh-contoh :1) H(s) =k /(s s ) Orde 11). H(s) =k0/(s-s1) Orde-1

s1 = ejπ(0,5+0,5) = ejπ = -1s1 ejπ(0,5 0,5) ejπ 1

H(s) = k0/(s+1) pada s =0 maka H(s) = 1 sehingga k0=1

Didapat H(s) = 1/(s+1)


2. Diberikan LPF Butterworth dengan redaman pada Ωt > 3 rad/detik sebesar 30 dbrad/detik sebesar 30 dbBerapakah orde filter tersebut?Carilah pole-pole filter tersebut.p pCarilah fungsi transfer filter tersebut.


Gain Filter Butterworth untuk berbagai orde nGain Filter Butterworth untuk berbagai orde n


Perencanaan Filter Dijital dengan Transformasi Analog-AnalogAnalog Analog

Dengan Transformasi Analog-Analog

LPF Transformasi Pencuplikan Filter Dijital p janalog Analog-analogΩc = 1


T f i A l A lTransformasi Analog-Analog


Dengan Transformasi Dijital-DijitalPerencanaan Filter Dijital dengan Transformasi Dijital DijitalPerencanaan Filter Dijital dengan Transformasi Dijital-Dijital

LPF Pencuplikan Transformasi Filter DijitalAnalog Dijital-DijitalΩc = 1


T f i Dijit l Dijit lTransformasi Dijital-Dijital


Perencanaan LPF ButterworthBila Ω1 dan Ω2 masing-masing adalah frekuensi passband

dan frekuensi stop band serta K1 dan K2 masing-masingdan frekuensi stop band serta K1 dan K2 masing masing gain pada frekuensi Ω1 dan Ω2 maka :


Gain (dalam dB) dari LPF


Gain pada passban dan Gain pada stop band


Derajad filterDerajad filter


Perencanaan BPF ButterworthTipikal BPF untuk ditransformasike LPF


Fungsi Transfer BPF


Ωr diambil yang lebih kecil dari harga mutlak A atau hargamutlak B, dimana A dan B adalah kecuraman daerahtransisi dari BPF.


Latihan

Diinginkan filter dijital yang akan melalukanit f k i d i 0 /d 100 H J i filtpita frekuensi dari 0 s/d 100 Hz. Jenis filter

yang dipilih adalah Butterworth derajad( d ) 2 F k i lik 625 H(orde) 2. Frekuensi pencuplikan 625 Hz.Perencanaan filter dengan menggunakanT f i BiliTransformasi Bilinear.Tentukan fungsi transfer filter analog H(s)dan Fungsi Transfer filter Dijital H(z)


Filter ChebyshevFilter Chebyshev


Tipe I : Hanya mempunyai poleResponse Magnitude Squared :Response Magnitude Squared :

Dimana Tn(Ω) = polinomial Chebyshev derajad n

Tn(Ω) = Cos (n Cos-1 Ω) |Ω| ≤ 1

= Cosh (n Cosh-1 Ω) |Ω| > 1

ε = parameter ripple di passbandε = parameter ripple di passband


Ω = 1 maka |H(1)| = 1/(1 + ε2)Ω = Ωr maka |H(Ωr)| = 1/A2Ω = Ωr maka |H(Ωr)| = 1/A2

n ganjil n genap


Kuadrat Respon Magnitude dari Filter Che Byshev type Iuntuk orde n ganjil dan n genapuntuk orde n ganjil dan n genap

Pada Ω = 1 → H(1)2 = 1/(1 +ε2) ( ) ( )

Ω = Ωr → H(Ωr)2 = 1/A2


Polinomial ChebyshevT0(Ω) = 1T (Ω) = ΩT1(Ω) = ΩT2(Ω) = 2 Ω2 – 1T3(Ω) = 4 Ω3 – 3 ΩT3(Ω) 4 Ω 3 ΩT4(Ω) = 8 Ω4 – 8 Ω2 + 1T5(Ω) = 16 Ω5 – 20 Ω3 + 5ΩT6(Ω) = 32 Ω6 – 48 Ω4 + 18 Ω2 – 1

Tn+1(Ω) = 2 Ω Tn(Ω) – Tn-1(Ω)

T 2(Ω) = 0 5 [T (Ω) + 1]Tn (Ω) = 0,5 [T2n(Ω) + 1]


(a). plot dari polinomial Chebyshev orde 5 yaitu T5(Ω)(b) plot kuadrat respons magnitudenya |H (jΩ)|2(b). plot kuadrat respons magnitudenya |H5(jΩ)|2


Pole=pole dari Hn(s). Hn(-s) didapat dengan menentukan akar-akar dari persamaan :akar akar dari persamaan :

1 + ε2 Tn2(s/j) = 0 n ( j)

T t k d d k l l Filt Ch b h d l hTempat kedudukan pole-pole Filter Chebyshev adalah sebagai berikut :

Bila sk = σk + j Ωk dengan k = 1 2 n maka :Bila sk σk j Ωk dengan k 1, 2, …n, maka :

σk2/sinh Q + Ωk

2/cosh Q = 1k k


Dimana :

σk = - sinh Q sin[(2k-1)π/2n] ; Ωk = cosh Q cos [(2k-1)π/2n]Ωk cosh Q cos [(2k 1)π/2n]

sinh Q = (γ - γ-1)/2; cosh Q = (γ + γ-1)/2

γ = [(1 + √1 +ε2 )/ε]1/n


(a). Tempat kedudukan pole-pole (b). Dari H(s) untuk n=6, ε = 0,7647831


Sifat-sifat Filter Chebyshev :

Tempat kedudukan pole-pole nya didalam lliellip

Passband tidak rata (tipe-I)Daerah Transisi curamFasanya terpengaruh ripple jugaFasanya terpengaruh ripple jugaAplikasi filter microwave


Sifat filter Chebyshev ditentukan oleh :Derajad filter (n)Faktor ripple (ε)pp ( )Frekuensi daerah stopband (Ωr)Redaman pada stopband (A)Redaman pada stopband (A)


Bila Faktor ripple, Redaman stopband dan frekuensistopband diketahui maka orde (derajad) filter dapat dicaristopband diketahui, maka orde (derajad) filter dapat dicaridengan hubungan :

n = log (g +√ g2 -1)/[log(Ωr + √Ωr2 -1]

Dimana g = √[A2 – 1)/ε2]


Pole-pole Filter Chebyshev dapat juga ditentukan denganmenggunakan persamaan sebagai berikut :menggunakan persamaan sebagai berikut :


Fungsi Transfer :

Dimana K adalah konstanta sedemikian sehingga harga H(0)= 1 untuk n ganjil dan H(0) = 1/(1 +ε2)1/2 untuk n genap.

S d k V ( ) d l h li i l d l b i b ik tSedangkan Vn(s) adalah polinomial dalam s sebagai berikut :

V (s) = s + b sn-1 + + b s + bVn(s) = sn + bn-1 s +…+ b1s + b0


Sehingga Konstanta K dapat dengan mudah ditentukansebagai berikut :sebagai berikut :


Langkah-langkah Perencanaan Tipe-IData data εData-data – ε

- Ωr- AA

Hitung Pole dan Zero untuk mendapatkan H(s)H(s) rangkaian L/C (analog) dengan cara sintesaUntuk filter dijital :H(s) dengan pendekatan didapat H(z), dengan t f i Bilitransformasi Bilinear


Perencanaan (seperti pada Filter Butterworth).

Low Pass FilterBand Pass FilterBand Pass FilterHigh Pass FilterBand Stop Filter

Dengan menggunakan filter prototipe nya adalah LPF


Dengan Transformasi Frekuensi :1) LPF analog Transf Frekuensi Pencuplikan1). LPF analog Transf. Frekuensi Pencuplikan

Filter DijitalΩc=1 analog-analogg g

2). LPF analog Pencuplikan Tranf. Frekuensi Filt Dijit lFilter Dijital

Ωc=1 Dijital-dijital


Contoh-contoh :

LPF ke HPFH(s) = 1/(s+1)H(s) 1/(s 1)misal Ωu = 2 rad/s maka H(s) = 1/(2/s +1) = s/(2 + s)

s (2/T) (1-z-1)/(1+z-1)Didapat H(z)


LPF ke BPFmisal ΩL = 2 rad/s Ωu = 3 rad/smisal ΩL = 2 rad/s, Ωu = 3 rad/s H(S) = 1/[(s2+6)/s(1)+1] = s/[s2 + s + 6]Untuk s=0, H(s) = 0Untuk s 0, H(s) 0s= ~ , H(s) = 0s= j3, H(s) =j3/(-9+j3+6) = j3/(j3+3), |H(s)|= 3/(3√2) = 1/√2s=j2, H(s) = j2/(-4+j2+6) = j2/(2+j2), H(s) =2/(2√2) = 1/√2


LatihanTransformasi Bilinear dengan bentuk umum :

s →k(z-1)/(z+1)( ) ( )Diinginkan filter dijital yang akan melalukan pita frekuensi dari 0 Hz

sampai 100 Hz dengan ripple 0,5 db, diluar pita frekuensi tersebut di atas redaman akan naik secara monoton sehingga pada frekuensi gg p183 Hz minimum redaman 19 db. Bila k=1 dan frekuensi pencuplikan 1000 Hz :

a). Hitung frekuensi ekivalen dari 100 Hz dan 183 Hz pada domain ) g panalog

b). Jenis filter analog adalah Chebyshev tipe-I, hitung derajad filter (n) yang dibutuhkany g

c). Hitung harga-harga pole dan tentukan fungsi transfer dari filter analogd). Dengan menggunkan transformasi bilinear, tentukan fungsi transfer

H(z) dari filter dijitalH(z) dari filter dijital


Polinomial Chebyshev Vn(s)


Filter EllypticFilter Ellyptic


Respons Magnitude Squared

Dimana Rn(Ω) adalah fungsi rasional Chebyshev sebagai fungsi Ω yang ditentukan dari karakterisstik ripple.


Kuadrat Respons Magnitude untuk LPF Ellyptic


Kuadrat Respons magnitude Ternormalisasi


Fungsi Transfer Filter Elliptic


Parameter-paremeter filter Elliptic :εεAΩrΩrG1 dan G2

Dengan hubungan sebagai berikut :


Koefisien dari Fungsi Transfer LPF Ellipticternormalisasi HN(s)ternormalisasi HN(s)


Filter Non RekursifFilter Non Rekursif


Fungsi Transfer :

H(z) = Y(z)/X(z)

N-1

H(z) = ∑ h(n) z-n

N 0N=0

Persamaan Perbedaan :

N-1

y(n) = ∑ h(i).x(n-i) = h(0).x(n) + h(1).x(n-1) + ...+ h(N-1).x(n-N+1)i=0


Struktur Filter Non Rekursif


Karakteristik Filter Respons Impuls Terbatas (RIT) dengan Fasa Linear(RIT) dengan Fasa Linear

Bila h(n) adalah deretan waktu terbatas kausal 0 ≤ n ≤ N-1,makamaka

TZ :

N-1N 1

H(z) = ∑ h(n) z-n = h(0) + h(1). z-1 +...+ h(N-1).z-N+1

n=0

TFWD :

N-1

H(ejω) = ∑ h(n) e-jωn

n=0


Fungsi periodik dengan periode 2π :

H(ejω) = H(ej(ω+2πm) , m = 0, +- 1, +- 2, ...

Bila h(n) nyata : H(ejω) = H(ejω) ejΘ(ω)

H(ejω) = H(e-jω); 0 ≤ ω ≤ π fungsi genap

Θ( ) Θ( ) f i jilΘ(ω) = - Θ(-ω) fungsi ganjil


Persyaratan h(n) agar karakteristik tercapai linear :

Θ(ω) = - α.ω -π ≤ ω ≤ π

α = konstanta pelambat fasa

maka :

N-1

H(ejω) = ∑ h(n) e-jωn = H(ejω) e-jωα

n=0


Bagian Riil :

N-1

H(ejω) Cos αω = ∑ h(n) Cos ωnn=0

Bagian Imajiner :

N-1

H(ejω) Sin αω = ∑ h(n) Sin ωnn=0

N-1 N-1

tan αω = Sin αω / Cos αω = ∑ h(n) Sin ωn /[h(0) + ∑ h(n) Cos ωn ]n=0 n=0


Solusi :1) α = 0 → h(0) sebarang1). α = 0 → h(0) sebarang

h(n) = 0, n ≠ 0Respons Impuls dari filter adalah sebuah impuls.Respons Impuls dari filter adalah sebuah impuls.

N-1 N-1

2). α ≠ 0 → ∑ h(n) Cos ωn Sin αω - ∑ h(n) Sin ωn Cos αω = 0n=0 n=0

N-1

∑ h(n) Sin [(α-n)ω] = 0n=0


Salah satu solusi :

α = (N-1)/2

h(n) = h(N-1-n) , 0 ≤ n ≤ N-1

Untuk setiap N hanya ada satu α sehingga fasa linear danUntuk setiap N, hanya ada satu α sehingga fasa linear dan deretan h(n) simetris.


a). N ganjil → α bilangan bulatFilter delay adalah sejumlah cuplikan yang berhargaFilter delay adalah sejumlah cuplikan yang berharga bulat.Contoh N = 11 → α = 5


b). N genap → α bilangan pecahanContoh N = 10 → α = 4 5Contoh N = 10 → α = 4,5


Filter dengan fasa linear :

H(ejω) = H(ejω) ej(β-α) ω

Solusi : α = (N-1)/2 dan β = +- π/2

h( ) h(N 1 ) 0 N 1h(n) = - h(N-1-n) , 0 ≤ n ≤ N-1

maka respons impulsnya anti simetris terhadap pusatmaka respons impulsnya anti simetris terhadap pusat deretan.


Respons Frekuensi Filter FIR fasa Linear

H( jω) H*( jω) j(β αω)H(ejω) = H*(ejω) ej(β-αω)

β 0 i t iβ = 0, simetris

β = π/2 anti simetrisβ π/2, anti simetris

Tanda * bukan menyatakan konjugate, tetapi menyatakany j g , p yamplitudo yang bukan harga mutlak.


1). Respons Impuls Simetri dan N ganjil

(N-1)/2

H(ejω) =[ ∑ a(n) Cos ωn ] e-jω(N-1)/2

0n=0

(N-1)/2

H*(ejω) =[ ∑ a(n) Cos ωn ]H*(ejω) =[ ∑ a(n) Cos ωn ] n=0

a(0) = h[(N-1)/2]( ) [( ) ]

a(n) = 2 h[(N-1)/2 – n] , n = 1, 2, ..., (N-1)/2


Gambarkan Respons Frekuensi Sistem dengan responsImpuls sebagai berikut :Impuls sebagai berikut :

a). h(n) = δ(n) + 2 δ(n-1) + 3 δ(n-2) + 2 δ(n-3) + δ(n-4)) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )b). h(n) = 1 , 0 ≤ n ≤4

= 0 , n lainnya


2). Respons Impuls Simetri dan N genap

N/2

H(ejω) =[ ∑ b(n) Cos ω(n-0,5) ] e-jω(N-1)/2

n=1

N/2

H*(ejω) =[ ∑ b(n) Cos ω(n 0 5) ]H*(ejω) =[ ∑ b(n) Cos ω(n-0,5) ]n=1

Terlihat bahwa untuk ω = π → H*(ejω) = 0, sehingga( ) , ggtidak cocok untuk HPF.

b(n) = 2 h[(N/2) – n]



a). h(n) = - δ(n) - 2 δ(n-1) + 3 δ(n-2) + 3 δ(n-3) - 2 δ(n-4) -δ(n-5)

b). h(n) = 1 , 0 ≤ n ≤ 5= 0 , n lainnya


3). Respons Impuls Anti Simetri dan N ganjil

(N-1)/2

H(ejω) =[ ∑ c(n) Sin ωn ] e-jω(N-1)/2 . ejπ/2

n=1

(N-1)/2

H*(ejω) =[ ∑ c(n) Sin ωn ]1n=1

Dengan : c(n) = 2 h[(N-1)/2 - n] , n = 1 , 2, ..., (N-1)/2

Terlihat bahwa respons frekuensinya imajiner.



h(n) = - δ(n) + 2 δ(n-1) - 3 δ(n-3) + δ(n-4) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )


4). Respons Impuls Anti Simetri dan N genap

N/2

H(ejω) =[ ∑ d(n) Sin ω(n-0,5) ] j. e-jω(N-1)/2

n=1

N/2

=[ ∑ d(n) Sin ω(n-0,5) ] e-jω(N-1)/2 . ejπ/2

1n=1

N/2

H*(ejω) =[ ∑ d(n) Sin ω(n 0 5) ] denganH (ejω) =[ ∑ d(n) Sin ω(n-0,5) ] dengan n=1

d(n) = 2 h[(N)/2 - n] , n = 1 , 2, ..., N/2


Untuk ω = → 0 H*(ejω) = 0

Cocok untuk : Transformator HilbertDiferensiatorDiferensiator

Gambarkan Respons Frekuensi Sistem dengan responsImpuls sebagai berikut :

h(n) = - δ(n) - 2 δ(n-1) + 3 δ(n-2) - 3 δ(n-3) + 2 δ(n-4) + δ(n-5)5)


Perbandingan respons impuls dari ke empat tipe FIR linear fasatipe FIR linear fasa.


Delay Filter FIR fasa LinearUntuk Sistem dengan Respons Impuls Simetris → GroupDelay nya sebesar :Delay nya sebesar :

[(N-1)/2] T[( ) ]

Untuk Sistem dengan Respons Impuls Anti Simetris →Group Delay nya sebesar :Group Delay nya sebesar :

[(N-1-π)/2] T[(N 1 π)/2] T

Dengan T adalah Periode Pencuplikan.


Perancangan Filter FIR Fasa Linear dengan Metode Jendela (Windowing)Jendela (Windowing)


Respons frequensi yang diinginkan:

)()().()( ωφωωω j

n

njnjj eeHenheH −∞

−∞=

−∑ ==

Dimana :

∫−

−=π

π

ωω ωπ

deeHnh njj ).(21)(

Maka : koefisien dari deret Fourier h(n) identik denganrespons impuls filter.


(a). Respons Frekuensi LPF Ideal (b). Respons Impuls LPF Ideal


Umumnya respons impuls tak kausal, dan panjangnya takterbatas atau dengan kata lain akan dtemukan kesulitanterbatas, atau dengan kata lain akan dtemukan kesulitankarena :

Respons Impuls tak terbatasFilter tak dapat direalisasikan, karena diperlukan pelambat tak terbatas agar bersifat kausal

Pendekatan :Pendekatan : H(ejω) didekati dengan deret Fourier terbatas → n = +- MAkibatnya :Akibatnya :

Fenomena GibbsOvershoot dan ripple di titik diskontinyu respons frekuensi.


Efek pemotongan(pembatasan) respons impuls terhadap respons frekuensi(a) 13 koefisien (b) 25 koefisien (c) Koefisien tak terbatas(a). 13 koefisien (b). 25 koefisien (c). Koefisien tak terbatas


Ilustrasi penentuan koefisien filter dengan metode jendelaIlustrasi penentuan koefisien filter dengan metode jendela


h(n) Low Pass Filter :

h(n) = 2.fc. Sin (nωc) ; - ∞ ≤ n ≤ ∞ dan n ≠ 0= 2.fc ; n = 0 (menggunakan aturan L’Hopital) 2.fc ; n 0 (menggunakan aturan L Hopital)


Respons Impuls LPF HPF BPF dan BSFRespons Impuls LPF, HPF, BPF dan BSF


Contoh :a. LPF Ideal dengan

diil idil ωω

01

)(≤

=ωjeHatasdinilaidiluar 0

)(

∫ −π

ωω dHh njj )(1)( ∫π1∫

−

=π

ωω ωπ

deeHnh njj ).(2

)( ∫−

−=π

ω ωπ

de nj.121

ωsin 0n

c

πωsin

= 0 , ≠∞<<∞− nn

ωc

“h(n) merupakan deretan tak terbatas dan tidak kausal”

πc= 0=n



b. LPF Ideal denganatas di nilaidiluar

ωω

0)(

≤

=αω

ωj

j eeH

∫−

−=π

π

ωω ωπ

deeHnh njj ).(21)( ∫

−

−−=π

π

ωαω ωπ

dee njj .21

π π

)()(sin

απαω

−−

=nn

nc α≠∞<<∞− nn ,

πωc= 0=n

“h(n) hanya merupakan deretan h(n) pada a) yang digeser( ) y p ( ) p ) y g gkekanan sebesar α, tetap merupakan deretan tak terbatasdan tidak kausal”


c. HPF Ideal denganatas di nilaidiluar

ωω

01

)( c πω ≤≤

=jeH

∫ −=π

π

ωω ωπ

deeHnh njj ).(21)(

+= ∫∫ −

−

−

−π

ω

ωω

π

ω ωωπ

c

c

dede njnj .1.121

−π

nc

πωsin

−= 0 , ≠∞<<∞− nn

πωc−=


Untuk mendapatkan respons impuls terbatas dapatdilakukan pemotongan respons impuls tak terbatasdilakukan pemotongan respons impuls tak terbatas.


Untuk membuat respons impuls terbatas maka n akandibatasi -M ≤ n ≤ M diperoleh :dibatasi M ≤ n ≤ M , diperoleh :

≤≤−

=diatasnilaidiluar

MnMnhnh

0 )(

)(~

Jadi :

diatasnilaidiluar0

)(*)()(~ ωωω jjj eWeHeH Π=

∫−

−=π

π

θθ θπ

deWeHnh njj )(().(21)(~


“Produk konvolusi antara dua buah respons frequensi’Ada perubahan bentuk spektral yang inginkan olehAda perubahan bentuk spektral yang inginkan, olehkarena itu kita harus memilih window yang baikZero menjadi terbatasjAda fenomena Gibbs


Agar kausal, kalikan respons impuls yang tak kausal dengan deretan pemberat terbatasderetan pemberat terbatas.

≤≤−

=MnMnh

nh 20)(

)(~

Respons frekuensi filter :=

diatasnilaidiluarnh

0)(

)()(~)(ˆ ωωω jMjj eeHeH Π=


Jenis Filter Respons Impuls Terbatas

Spesifikasi I II III IVPanjang N Ganjil Genap Ganjil Genap

Derajat Filter Genap Ganjil Genap Ganjil

Sifat h(n) Simetri Simetri Anti Simetri Anti Simetri

Sifat H(ejw) Simetri Simetri Anti Simetri Anti Simetri

Perioda H(ejw) 2π 4π 2π 4π

H(1) Sembarang Sembarang 0 0

H(-1) Sembarang 0 0 Sembarang

Pemakaian LP, HP, BP,Multiband

LP, BP DifferensiatorTransformasi Hilbert

DifferensiatorTransformasi Hilbert


Perbandingan Karakteristik Jendela pada Kawasan Waktu dan FrekuensiWaktu dan Frekuensi


Jendela Persamaan

Rectangular ≤≤ Nn 101gKausal

−≤≤

=diatasnilaidiluar

Nnnw

,0 10,1

)(

Tidak kausal −≤≤

=diatasnilaidiluar

Nnnw

,0 10,1

)(

Bartlett −≤≤−−

= ,0

2/)1(2/)1(,1)(

diatasnilaidiluarNnN

nw

−≤≤−

−≤≤−−

−= )1(2/)1(

2/)1(0)1/(22

)1/(2)( NnN

NnNn

Nnnw

≤≤atas di nilaidiluar

)1(2/)1( 0

)1/(22)( NnNNnnw


Jendela Persamaan

Hanning −≤≤

Nnn 102cos5050 πHanning

H i

≤≤

−

−=diatasnilaidiluar

NnNnw

, 10,

01

cos5,05,0)(

Hamming

−≤≤

−−=

dld lNn

Nn

nw 10,

12cos46,054,0)(π

Blackman diatasnilaidiluarN , 0

1)(

42

Keiser

−≤≤

−+

−−=

diatasnilaidiluarNn

Nn

Nn

nw , 10,

01

4cos08,01

2cos5,042,0)(ππ

Keiser

diil idil

1Nn,0

)(

1121

)(0

2

0

−≤≤

−−−

−=

aI

NNnaI

nw


atasdinilaidiluar ,0)(0

Window Kaiser

2

, L ≤ 25 adalah fungsi bessel termodifikasi orde nol∑=

=

L

kk

k

kxxI

0

2

0 !2)(

),log(min20 spA δδ−=

50A)78(11020 A

21A50A21

50A

0)21(07886,0)21(5842,0

)7,8(1102,0

<≤<

>

−+−

−= AA

Aα

)(285,295,7

ps

ANωω −

−≥


Parameter dari berbagai Jendela


LatihanDiinginkan membuat filter digital respons impuls terbatas

yang mempunyai karaktersitik sbb :yang mempunyai karaktersitik sbb :

2/2/,-2/,-

ej).e-j(-

)( j4,5-

j4,5-

πωππωπ

ωπω

ω

ω

ω ≤≤−≤≤

=jeH 2/,

).ej(-

.ej)(j4,5- πωππω

ωω ≤≤

+

=eH

Desain filter ini memakai metoda windowing, window yangdipakai Blackman dengan persamaan :

−≤≤

−+

−−=

diatasnilaidiluarNn

Nn

Nn

nw , 10,

01

4cos08,01

2cos5,042,0)(ππ


Frequensi sampling 20 KHzGambarkan respons frekuensi AmplitudaGambarkan respons frekuensi AmplitudaHitung koefisien filter digital tsb.Apakah desain saudara menghasilkan filter stabil danApakah desain saudara menghasilkan filter stabil dan kausal? Gambarkan realisasi filter tsbGambarkan respon amplituda yang didapatkanFilter ini sebagai apa ?


Perancangan FilterPerancangan Filter FIR Metode SamplingFIR Metode Sampling

FrekuensiFrekuensi


Filter Non Rekursif Sampling Frekuensi

Respons frekuensi LPF Ideal

Dengan mengambil N sample dari Respons Frekuensi pada interval :

Tipe I : fk = Fs .(k/N) ; k = 0, 1, 2, ..., N-1 (7 116)(7.116)

Tipe II : fk = Fs .(k+0,5)/N ; k = 0, 1, 2, ..., N-1Tipe II : fk Fs .(k 0,5)/N ; k 0, 1, 2, ..., N 1


Refer : Inverse Transformasi Fourier Diskrit (TFD)

Koefisien filter h(n) ditentukan dengan menggunakan InverseTFDdari sampel-sampel ideal/target respons frekuensi .

Sampel-sampel dari LPF IdealSampel-sampel dari LPF Ideal


Untuk filter fasa linear, respons impuls simetris dan N genap

Dengan α = (N-1)/2


Untuk filter fasa linear, respons impuls simetris dan N ganjil,persamaannya seperti di atas hanya k = 0 1 (N-1)/2persamaannya seperti di atas hanya k 0,1,...(N 1)/2.

Respons Frekuensi LPF yang diturunkan dari sampel-p y g psampel frekuensi gambar sebelumnya.


Ada 4 kemungkinan sampling pada bidang z sebagai berikut :


Contoh soalDiberikan spesifikasi LPF Filter sebagai berikut :

Passband 0 5 KHzPassband 0 – 5 KHzFrekuensi Sampling 18 KHzPanjang Filter 9Panjang Filter 9

Tentukan koefisien filter menggunakan metoda sampling frekuensi.


Solusi Respons Frekuensi ideal

Sampel-sampel yang diambil pada interval k. Fs/N adalah18/9 = 2 KHz. Sehingga sampel-sampel frekuensi tersebutadalah :adalah :

H(k) = 1 ; k = 0, 1, 2= 0 ; k = 3, 40 ; k 3, 4


Lanjutkan sehingga didapat : h(0)= 0 07252 = h(8)h(0)= 0,07252 = h(8)h(1)= -0,1111 = h(7)h(2)= -0,05912 = h(6)h(2) 0,05912 h(6)h(3)= 0,3199 = h(5)h(4)= 0,5555 = h(4)


Filter Rekursif Sampling Frekuensi

Transformasi Fourier Diskrit dan Inverse-nya :

N-1

H(k) = ∑ h(n) e-j(2π/N)kn

n=0

N-1

h(n) = (1/N) ∑ H(k) ej(2π/N)kn

0n=0

dan H(k) = H(z) untuk z = ej(2π/N)kdan H(k) = H(z) untuk z = ej(2π/N)k


Fungsi transfer filter :

N-1 N-1 N-1

H( ) ∑ h( ) n ∑ [(1/N) ∑ H(k) j(2π/N)kn ] nH(z) = ∑ h(n) z-n = ∑ [(1/N) ∑ H(k) ej(2π/N)kn ] z-n

n=0 n=0 k=0

N-1 N-1

= ∑ [(1/N) ∑ H(k) ej(2π/N)kn ] z-n

k=0 n=0

N-1 N-1N 1 N 1

= ∑ [(H(k)/N)] ∑ (ej(2π/N)kn z-1) nk=0 n=0

N-1

= ∑ [(H(k)/N)] [(1 - ej2πk z-N) / (1 - ej2πk/N z-1)]k=0


Karena ej2πk = 1 , maka :

N-1

H(z) = [(1- z-N)/N)] ∑ [H(k) / (1 - ej2πk/N z-1)]k=0

= H1(z). H2(z)

Dengan : H1(z) = (1- z-N)/N)

N-1

H2(z) = ∑ [H(k) / (1 - ej2πk/N z-1)]K=0


Terlihat bahwa pada bentuk rekursif, H(z) dapatdiekspresikan dengan cascade 2 filter :diekspresikan dengan cascade 2 filter :H1(z) yang mempunyai N zero uniform yang terdistribusi disekeliling lingkaran satuan.H2(z) yang merupakan penjumlahan N single All-polefilter

Zero dari H1(z) dan pole dari H2(z) terletak pada lingkaransatuan pada titik zk = ej2πk/N → Pole-Zero Cancelation →p kmembuat H(z) sebagai filter tanpa pole.


Secara praktis, efek finite wordlength menyebabkan poledari H2(z) tidak benar-benar pada lingkaran satuan → poledari H2(z) tidak benar benar pada lingkaran satuan → poletidak dihilangkan oleh zero yang ada → H(z) sebuah IIRyang potensial tidak stabil.

Problem di atas dapat dihindari dengan mencuplik H(z) padajari-jari r yang sedikit lebih kecil ( mendekati) jari-jarijari jari r yang sedikit lebih kecil ( mendekati) jari jarilingkaran satuan, sehingga :

N-1

H(z) = [(1- z-N)/N)] ∑ [H(k) / (1 – r.ej2πk/N z-1)]k=0k=0


Untuk kasus linear fasa dan simetris :

H(z) = [(1- z-N)/N)]

Mx ∑ [H(k)2 cos(2πkα/N)-2 r cos[2πk(1+α)/N].z-1/[1-2r cos(2πk/N) z-1 + r2 z-2 ]

k=1

+ H(0)/(1 – z-1 r)

Dengan α = (N-1)/2

U t k N jil M (N 1)/2Untuk N ganjil : M = (N-1)/2

Untuk N genap : M = (N/2) – 1Untuk N genap : M (N/2) 1


Latihan1. Rancanglah filter IIR dengan spesifikasi sbb :

High pass filter dengan bandwidth –0,5 dB pada frequensi digitalg p g , p q gf=0,375 siklus per cuplikan (cycles per sample)Frequensi pencuplikan 20.000 HzMenggunakan transformasi Bilinier dan filter Low-pass anlogMenggunakan transformasi Bilinier dan filter Low pass anlogternormalisasi yang dipakai mempunyai respons impuls sbb :

43138,1)(H5162,14256,1

,)( 2 ++=

sssH

a. Turunkan Persamaan H(s) filter High pass analog ekivalen, dan hitungnilai Ω pada gain = -0,5 dB

b. Turunkan persamaan H(z) filter highpass digital tsbc. Gambarkan realisasi filter tersebut


2. Sebuah filter analog dengan fungsi transfer

01,92,01,0)( 2 ++

+=

ssssH

Filter tersebut ingin diubah menjadi filter digital respons impuls takterbatas dengan memakai metoda transformasi respons impuls.Frequensi pencuplikan 20 HzFrequensi pencuplikan 20 HzTurunkan persamaaan fungsi transfer H(z) filter digital tsbTurunkan dan gambarkan respons frequensi yang diinginkan H(ejw)Gambarkan realisasi filter iniMenurut pendapat anda filter digital ini berfungsi sebagai apa ?


3. Rencanakan sebuah filter Band Stop Filter respons impuls terbatas dengan spesifikasi sbb:Penguatan pada frequensi 0 Hz = 1 dan penuatan pada frequensi 8000 Hz = 1Tidak melalukan daerah frequensi 3000 Hz sampai dengan 4000 Hzq p gFrequensi pencuplikan yang dipakai 16000 HzMetoda window dengan window HammingJumlah koefisien filter 11Jumlah koefisien filter 11

a. Gambarkan respons frequensi yang diinginkan H(ejw) sbg fungsi wb. Hitung koefisisen filter c. Tulis persamaan H(ejw) yang diperolehd. Hitung amplituda respons frekuensi pada frekuensi 4000 Hz


4. Diberikan spesifikasi filter LPF sebagai berikut :Passband 0 4 KHzPassband 0 – 4 KHzFrekuensi Sampling 18 KHzPanjang filter 9Panjang filter 9Tentukan fungsi transfer dalam bentuk rekursif.Gambarkan struktur realisasinya.


Terima KasihTerima Kasih


hand out psd [compatibility mode]

Documents