Centrul de excelenŃă - Timişoara Clasa a XI-a

2005 prof. Marius Lobază

Polinom caracteristic

DefiniŃie: Fie A = ( )ija o matrice pătratică de ordinul n cu coeficienŃi complecşi. Atunci matricea

( )nxIA − se numeşte matricea caracteristică a matricii A.

−

−

−

=−

xa...aaa

...............

a...axaa

a...aaxa

xIA

nn3n2n1n

n2232221

n1131211

n

PropoziŃie: Polinomul ( )nxIAdet − este de gradul n.

Produsul elementelor de pe diagonala principală conŃine termenul ( ) nnx1− , oricare alt produs va

conŃine cel mult n-2 elemente de pe diagonala principală, deci va conŃine puterea 2nx − . Coeficientul lui 1nx − este ( ) ( )nn332211

1na...aaa1 ++++− −

, iar termenul liber al polinomului coincide cu det(A).

DefiniŃie: Polinomul ( ) ( ) ( )n

n

A xIAdet1xp −−= se numeşte polinomul caracteristic al matricii A, iar

rădăcinile sale se numesc valori proprii ale acestei matrici.

DefiniŃie: Matricile A şi B se numesc matrici asemenea dacă există matricea inversabilă Q, astfel încât

AQQB 1−= .

Teoremă: Două matrici asemenea au acelaşi polinom caracteristic şi aceleaşi valori proprii.

Teoremă: Matricile AB şi BA au acelaşi polinom caracteristic.

Teorema lui Hamilton-Cayley: Orice matrice pătratică îşi satisface propria ecuaŃie caracteristică.

( ) ( )�nnA A,OAp M∈∀=

Pentru o matrice pătratică de ordinul doi avem:

( ) ( ) ( )AdetxAtrxxpaa

aaA 2

A

2221

1211 +⋅−=⇒

= , unde ( ) 2211 aaAtr +=

Metoda Fadeev de determinare a coeficienŃilor polinomului caracteristic:

( ) n1n

2n

2

1n

1

n

A cxc...xcxcxxp +++++= −−−

unde coficienŃii ci se determină cu ajutorul următorului tabel:

( )

( )

( )

( )

( ) nnnnnnn1nn

nkkkkk1kk

n3333323

n2222212

n111111

0IcABAtrn

1cABA.

............................................................

IcABAtrk

1cABA.

............................................................

IcABAtr3

1cABA

IcABAtr2

1cABA

IcABAtrcAA

=+=−==

+=−==

+=−==

+=−==

+=−==

−

−

ultima relaŃie fiind una de control.

ObservaŃie: Dacă A este nesingulară, atunci 1n

n

1

nnn1n Bc

1A0IcAB −

−−

−=⇒=+ .

ObservaŃie: Teorema lui Hamilton-Cayley ne oferă o altă modalitate de a determina 1A − .

( ) nnn1n

2n

2

1n

1

n

A 0IcAc...AcAcAAp =+++++= −−−

de unde ( )n1n

3n

2

2n

1

1n

n

1 Ic...AcAcAc

1A −

−−−− ++++−= .

Centrul de excelenŃă - Timişoara Clasa a XI-a

2005 prof. Marius Lobază

Probleme:

1) DeterminaŃi polinomul caracteristic al matricii

−=

110

111

051

A .

( ) 33323

2212

111

0B393

1c

300

030

003

ABA

411

111

552

B122

1c

311

121

553

ABA

210

121

052

B3c

110

111

051

A

==−⋅−=

−

−

−

==

−−

−

−−

=−=⋅−=

−−

−

−−

==

−

−−

−

=−=

−=

Polinomul caracteristic este ( ) 3xx3xxp 23

A +−−=