haliday - exercicios resolvidos-eletromagnetismo.pdf

LISTA 1 - Prof.JasonGallas,IF–UFRGS 11deDezembrode2004, as17:11

ExercıciosResolvidosdeTeoria Eletromagnetica

JasonAlfr edoCarlson Gallas

ProfessorTitular deFısicaTeorica

Doutor em Fısica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha

Universidade Federal do Rio Grande do SulInstituto de Fısica

MateriaparaaPRIMEIRA prova. Numerac¸aoconformeaquarta edicaodo livro“FundamentosdeFısica”,Halliday, ResnickeWalker.

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Conteudo

23 CargaEletrica 223.1 Questoes. . . . . . . . . . . . . . . . . 223.2 Problemase Exercıcios . . . . . . . . . 3

23.2.1 Lei deCoulomb . . . . . . . . 323.2.2 A Cargae Quantizada . . . . . 823.2.3 A Cargae Conservada . . . . . 1023.2.4 As Constantesda Fısica: Um

Aparte. . . . . . . . . . . . . . 10

24 CampoEletrico 1224.1 Questoes. . . . . . . . . . . . . . . . . 1224.2 Problemase Exercıcios . . . . . . . . . 12

24.2.1 Linhasdecampoeletrico . . . . 1224.2.2 O campo eletrico criado por

umacargapuntiforme . . . . . 1324.2.3 O campocriadopor um dipolo

eletrico . . . . . . . . . . . . . 15

24.2.4 O campocriadopor umalinhadecargas . . . . . . . . . . . . 17

24.2.5 O campoeletricocriadoporumdiscocarregado . . . . . . . . . 19

24.2.6 Carga puntiforme num campoeletrico . . . . . . . . . . . . . 19

24.2.7 Um dipolonumcampoeletrico. 23

25 Lei deGauss 2425.1 Questoes. . . . . . . . . . . . . . . . . 2425.2 Problemase Exercıcios . . . . . . . . . 25

25.2.1 Fluxodocampoeletrico . . . . 2525.2.2 Lei deGauss . . . . . . . . . . 2525.2.3 Um condutorcarregadoisolado 2625.2.4 Lei deGauss:simetriacilındrica 2725.2.5 Lei deGauss:simetriaplana . . 2825.2.6 Lei deGauss:simetriaesferica . 30

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23 CargaEletrica

23.1 Questoes

Q 23-1

Sendodadasduasesferasdemetalmontadasemsupor-teportatil dematerialisolante,inventeummododecar-rega-lascom quantidadesde cargasiguais e de sinaisopostos.Vocepodeusarumabarradevidro ativadacomseda,masela nao podetocarasesferas.E necessarioqueasesferassejamdomesmotamanho,parao metodofuncionar?� Um metodosimplese usarinducaoeletrostatica: aoaproximarmosa barradevidro dequalquerumadases-ferasquandoambasestiverememcontatoiremosindu-zir (i) naesferamaisproxima,umamesmacarga iguale opostaa cargadabarrae, (ii) naesferamaisafastada,umacarga igual e de mesmosinal quea da barra. Sesepararmosentaoasduasesferas,cadaumadelasira fi-carcomcargasdemesmamagnitudeporemcomsinaisopostos. Esteprocessonao dependedo raio dasesfe-ras. Note,entretanto,quea densidadede cargassobreasuperfıciedecadaesferaaposaseparac¸aoobviamentedependedo raiodasesferas.

Q 23-2

Na questaoanterior, descubraum modode carregarasesferascomquantidadesdecargaiguaisedemesmosi-nal. Novamente,e necessario queasesferastenhamomesmotamanhoparao metodoa serusado?� O enunciadodo problemaanteriornao permitequetoquemoscom o bastao nasesferas. Portanto,repeti-mosa inducao eletrostaticadescritano exercıcio ante-rior. Porem,mantendosemprea barraproximadeumadasesferas,removemosa outra,tratandodeneutralizara carga sobreela (por exemplo,aterrando-a).Seafas-tarmoso bastaodaesferaeacolocarmosnovamenteemcontatocomaesferacujacargafoi neutralizada,iremospermitir que a carga possaredistribuir-sehomogenea-mentesobreambasasesferas.Destemodogarantimosqueo sinaldascargasemambasesferaseo mesmo.Pa-ra quea magnitudedascargassejatambem identicaenecessarioqueasesferastenhamo mesmoraio. E queadensidadesuperficialcomumasduasesferasquandoemcontatoira sofreralteracoesdiferentesem cadaesfera,aposelasseremseparadas,casoosraiossejamdiferen-tes.

Q 23-3

Umabarracarregadaatraifragmentosdecorticaque,as-simquea tocam,saoviolentamenterepelidos.Expliqueacausadisto.� Comoosdoiscorposatraem-seinicialmente,deduzi-mosqueelespossuemquantidadesdecargascomsinaisdiferentes. Ao tocarem-seaquantidadedecargasmenoreequilibradapelascargasdesinaloposto.Comoacargaquesobrareparte-seentreosdoiscorpos,estespassamarepelir-seporpossuirem,entao,cargasdemesmosinal.�

Note que afirmar existir repulsao apos os corpostocarem-seequivale a afirmarserdiferentea quantida-dedecargasexistenteinicialmenteemcadacorpo.

Q 23-4

As experienciasdescritasnaSeccao23-2poderiamserexplicadaspostulando-sequatrotiposdecarga,a saber,adovidro,adaseda,adoplasticoeadapeledoanimal.Qualeo argumentocontraisto?� E facil verificarexperimentalmentequeosquatroti-pos‘novos’ decarganaopoderiamserdiferentesumasdasoutras. Isto porquee possıvel separar-seos quatrotiposdecargaemdoisparesdeduascargasquesao in-distinguıveisumdooutro,experimentalmente.

Q 23-6

Um isolantecarregadopodeserdescarregadopassando-o logoacimadeumachama.Expliqueporque?� E quea altatemperaturaacimadachamaionizao ar,tornando-ocondutor, permitindoo fluxo decargas.

Q 23-9

Porqueasexperienciasemeletrostaticanaofuncionambememdiasumidos?� Em dias umidos existe um excessode vapor deaguano ar. Conformesera estudadono Capıtulo 24, amoleculadeagua,�� , pertencea classedemoleculasque possuio que se chamade ‘momento de dipoloeletrico’, isto e, nestasmoleculaso centrodascargaspositivas nao coincidecom o centrodascargasnega-tivas. Estedesequilıbrio faz com que tais moleculassejameletricamenteativas, podendoser atraidasporsuperfıciescarregadas,tanto positiva quantonegativa-mente. Ao colidirem com superfıcies carregadas,as



moleculasagemno sentidodeneutralizarpartedacar-ga na superfıcie, provocandodestemodoefeitosinde-sejaveisparaosexperimentosdeeletrostatica.Isto por-quenaosetemmaiscertezasobrequala quantidadedecargaquerealmenteseencontrasobrea superfıcie.

Q 23-13

Umapessoaempesobreumbancoisoladotocaumcon-dutortambemisolado,mascarregado.Havera descargacompletadocondutor?� Nao.Haveraapenasumaredistribuicaodacargaentreo condutorea pessoa.

Q 23-14

(a)Umabarradevidropositivamentecarregadaatraiumobjeto suspenso.Podemosconcluir que o objeto estacarregadonegativamente?(b) A mesmabarracarregadapositivamenterepeleo objetosuspenso.Podemoscon-cluir queo objetoesta positivamentecarregado?� (a) Nao. Poderıamosestarlidandocom um objetoneutroporem metalico, sobreo qual seriapossıvel in-duzir umacarga, quepassariaentao a seratraidopelabarra. (b) Sim, poisnaosepodeinduzir cargademes-mosinal.

Q 23-16

Teria feito algumadiferenca significativa seBenjaminFranklin tivessechamadoos eletronsde positivos e osprotonsdenegativos?� Nao. Tais nomes sao apenasuma questao deconvencao.�

Na terceiraedicao do livro, afirmava-seque Fran-klin, alem de ‘positivo’ e ‘negativo’, haveria introdu-zido tambem asdenominaçoes‘bateria’ e ‘carga’. Naquartaedicao a coisaja mudoudefigura... Eu tenhoaimpressao que ‘positivo’ e ‘negativo’ devem ser ante-rioresaFranklinmasnaoconsegui localizarreferenciasadequadas.O quımico francesCharlesFrancoisdeCis-ternayDu Fay (1698-1739),descobriua existenciadedois“tipos deeletricidade”:vitrea(dovidro) e resinosa(daresina).Porem, a quemsera quedevemosos nomesde cargas“positivas” e “negativas”? Ofereco umagarrafa deboachampanhaa quempor primeiromemostrara solucaodestepuzzle!

Q 23-17

A Lei deCoulombpreve quea forca exercidapor umacargapuntiformesobreoutrae proporcionalaoproduto

dasduascargas.Comovoce poderiatestarestefatonolaboratorio?� Estudandodequemodovariaa forca necessariaparalevar-secargasdedistintosvaloresate umadistancia � ,constante,deumaoutracargafixa noespaço.

Q 23-18

Um eletron(carga � � ) gira ao redorde um nucleo(carga �� ) de um atomo de helio. Qual daspartıculasexercemaiorforca sobrea outra?� Serealmentevoce naosoubera respostacorreta,oufaze entendeo Exercıcio E 23-2ou trancao cursobemrapido!

Q 23-15extra A forca eletricaqueumacargaexercesobreoutrasealteraaoaproximarmosdelasoutrascar-gas?� A forca entreduascargasquaisquerdependeunicae exclusivamentedasgrandezasque aparecemna ex-pressaomatematicadalei deCoulomb. Portanto,e facilconcluir-sequeaforcapre-existenteentreumpardecar-gasjamaispoderadependerdaaproximaçaodeumaoumaiscargas.Observe,entretanto,quea ‘novidade’queresultada aproximaçao de cargasextras e quea forcaresultantesobrecadacargapre-existentepoderaalterar-se, podendotal resultanteser facilmentedeterminadacomo princıpio desuperposiçao.

23.2 ProblemaseExercıcios

23.2.1 Lei deCoulomb

E 23-1Qual seriaa forca eletrostaticaentreduascargasde �Coulombseparadasporumadistanciade(a) �� m e (b)�� km setal configuraçaopudesseserestabelecida?� (a) �� !��"$#&%!'�%%)( *�� +�,�-��" N.

(b) �./�� !��"$#0%-'1%2 %436587 ( *�9� ��,�-��: N.

E 23-2

Uma cargapuntiformede �<;9� �=�>�-�9?A@ C dista �!� cmde umasegundacarga puntiformede B��DCE�F�-�G?H@ C.Calcularo modulodaforca eletrostaticaqueatuasobrecadacarga.



� Deacordocoma terceiraLei deNewton,a forca queuma carga I % exercesobreoutra carga I$� e igual emmodulo e de sentidocontrario a forca que a carga I$�exercesobrea carga I % . O valordestaforca e dadopelaEq.23-4. Conformea convencaodo livro, usamosaquiosmodulosdascargas.Portanto� �J�KML 3 I % I �N � �O�9� ��,�-� " # ��;��,�-�9?A@$#$�)��DC��,�-�G?H@$#�8�!��,�-� ? � # � �9� �� N �E 23-3

Qualdevesera distanciaentreduascargaspuntiformesI % P��Q R C e I$�ST JVU R C paraqueo modulodaforcaeletrostaticaentreelassejade CG� U N?�� W �� !� " #$�O��Q��,�-� ?A@ #X� JGU � �!� ?H@ #CG� UY �� J metros�

E 23-4Na descargade um relampagotıpico, umacorrentede�G�DC��Z�!��[ Amperesflui durante��<R s. Quequantidadedecargae transferidapelorelampago?[Note: AmpereeaunidadedecorrentenoSI; estadefinidanaSeccao28-2 do livro; maso capıtulo 23 fornecemeiosderesolvero problemaproposto.]� Usamosa Eq.(23-3):�\I�P]^��_`T�O�9� C��,�-� [ #X�a��,�-� ?A@ #bc�9�DC C ��

Tal cargaegrandeoupequena?Comparecomascar-gasdadasnosExemplosresolvidosdo livro.

E 23-5

Duaspartıculasigualmentecarregadas,mantidasa umadistancia ;�� d�P�!�G?A: m uma da outra, sao largadasapartir do repouso. O modulo da acelerac¸ao inicial daprimeirapartıculaede

U � � m/s� e o dasegundaede �9� �m/s� . Sabendo-sequeamassadaprimeirapartıculava-le Q9� ;e�*�-�9?Af Kg, quaissao: (a) a massada segundapartıcula?(b) o modulodacargacomum?� (a) Usandoa terceiralei de Newton temos g %$h9% g � h � , demodoquege�SPg % hG%h � Q9� ;�� !� ?Hf � U�

J � ��,�-� ?Hf kg �(b) Comotemos��cI �!i � J�KHj 3 N � #kFg % h % seguequeIl NBm J�KHj 3 g % h % ;9�D�+� �!� ?A: � W ��Q9� ;��,�-� ?Hf #X� U #��,�-� " U �n�� !� ? %o% C �E 23-7

Duasesferascondutorasidenticase isoladas,� e � , pos-suemquantidadesiguaisdecargae estaoseparadasporuma distanciagrandecomparadacom seusdiametros(Fig. 23-13a).A forca eletrostaticaqueatuasobrea es-fera � devida a esfera � e p . Suponhaagoraqueumaterceiraesferaidentica ; , dotadadeum suporteisolan-te e inicialmentedescarregada,toqueprimeiroa esfera� (Fig. 23-13b),depoisa esfera� (Fig.. 23-13c)e, emseguida,sejaafastada(Fig. 23-13d). Em termosde p ,quale a forca prq queatuaagorasobrea esfera� ?� Chamemosde I a carga inicial sobreasesferas� e� . Apossertocadapelaesfera; , a esfera� retemumacargaiguala I i � . Apossertocadapelaesfera; , aesfera� ira ficar comumacargaigual a ��IS�sI i ��# i ��;�I i J .Portanto,teremosemmodulo� q ctvu I�Mw u ;�IJ w ;� txI � ;� �vyonde t e umaconstante(queenvolve

J�KHj 3 bemcomoadistanciafixaentreasesferas� e � , masquenaovemaocasoaqui)e �.z{t�I � representao modulode p .

P 23-8

Trespartıculascarregadas,localizadassobreumalinhareta, estao separadaspela distancia � (como mostraaFig. 23-14). As cargas I % e I$� sao mantidasfixas. Acarga I : , queesta livre paramover-se,encontra-seemequilıbrio (nenhumaforca eletrostaticalıquidaatuaso-breela).DetermineI % emtermosde I � .� Chamede �}| a forca sobreI : devidaa carga I$| . Ob-servandoa figura, podemosver que como I : esta emequilıbrio devemoster � % c� � . As forcas � % e � � temmodulosiguaismassentidosopostos,logo, I % e I � temsinaisopostos. Abreviando-se~�� i � J�KML 3 # , temosentao � % ~ I % I :�O��V# �



�}�� ~ I � I :� � �Substituindoestesvaloresna equac¸ao � % 0�}� , obte-mos � I % �� J � I$�� . Como as cargasdevem ter sinaisopostos,podemosescrever I % � J I$� , quee a respostaprocurada.Observe queo sinal da carga I-� permanecetotalmentearbitrario.

P 23-10

Na Fig. 23-15,quaissao ascomponenteshorizontalevertical da forca eletrostaticaresultantequeatuasobrea cargado verticeesquerdoinferior doquadrado,sendoIB�� ,�-�9?Af C e h {CG� � cm?� Primeiro, escolhemosum sistemade coordenadascoma origemcoincidentecoma carganocantoesquer-do, como eixo � horizontale eixo � vertical,comodecostume.A forca exercidapelacarga �<I nacarga ��Ie p % �J�KML 3 �a�<I�#$�a��I�#h � �)��#��A forcaexercidapor I sobre��I epr�� J�KML 3 �) I�#$�a��I�#� m � h # � u �� m � w �J�KML 3 I �h � u �m � � �m � w �Finalmente,a forcaexercidapor S��I sobre��I ep : �J�KML 3 �8S��I�#X��I�#h � �) � # �J�KML 3 � J I � #h � � � #��Portanto, a magnitudeda componentehorizontal daforca resultantee dadapor�}� � % �S��}��<�� : � �J�KML 3 I �h � u �S� �m � � J w �O�9� ��,�-� " # �B�,�-�G?HfC��,�-� ? � u �m � � J w �� U N yenquantoqueamagnitudedacomponenteverticale da-dapor �^�� % �r�>�}�� >� : �

�J�KML 3 I �h � u ��r� �m � w �9� � J Q N �P 23-12

Duas esferas condutorasidenticas, mantidas fixas,atraem-secomumaforca eletrostaticademodulo iguala �9�n�-�� N quandoseparadaspor umadistanciade C��9� �cm. As esferassao entao ligadaspor um fio condutorfino. Quandoo fio e removido, asesferasse repelemcomumaforcaeletrostaticademoduloiguala �9� ��;�Q N.Quaiseramascargasiniciaisdasesferas?� SejamI % e I � ascargasoriginaisquedesejamoscal-cular, separadasdumadistancia N . Escolhamosum sis-temade coordenadasde modoquea forca sobre I � epositiva seelafor repelidapor I % . Nestecasoa magni-tudedaforca ‘inicial’ sobreI$� e� | . �J�KML 3 I % I �N � yondeo sinal negativo indica queasesferasseatraem.Em outraspalavras,o sinal negativo indica queo pro-duto I % I-�� J�KML 3 N � � | e negativo, pois a forca � | ,�O� |b� �\# , e forca deatracao.Comoasesferassaoidenticas,aposo fio haversidoco-nectadoambasterao uma mesmacarga sobreelas,devalor ��I % � I$�!# i � . Nestecasoa forcaderepulsao‘final’e dadapor ��+ �J�KML 3 ��I % �>I$�-# �J N � �Dasduasexpressoesacimatiramosa somae o produtode I % e I$� , ouseja

I % I$�� J�KML 3 N � � | �� C�# � ��9�n�-��#�� !� " ;��,�-� ? % � C�e I % �>I � NG� J � J�KML 3 #8� � �� C�# W J �O�9� ��;�Q\#�� !� " ��,�-� ?H@ C �Conhecendo-sea somae o produtode dois numeros,conhecemosna verdadeos coeficientesda equac¸ao dosegundograuquedefineestesnumeros,ouseja,��I % #$��E,I-�-#k*� � F��I % ��I-�!#)��>I % I-��



Dito deoutraforma,sesubstituirmosI$�<.&��;��,�-� ? % � # i I % �a��#naequac¸aodasomaacimatemosduaspossibilidades:I % ;�� ,�-�9? % �I % {�,�+� �!� ?H@ y �O \#ou I % ;�� ,�-�9? % �I % �¡�+� �!� ?H@ � �� \ \#Considerando-sea Eq. , temosI �% Z��,�-� ?H@ I % �;�� !� ? % � P�9ydeondetiramosasduassolucoes

I % S��,�-�9?A@b�c¢ �a�� !� ?A@ # � � J �O;�� !� ? % � #� �O sinal � fornece-nosI % ��B�,�-� ?A@ C e I$�<. ;��,�-� ?H@ C yenquantoqueo sinal fornece-nosI % � ;��,�-� ?A@ C e I � T�B�,�-� ?H@ C yondeusamosaEq.(*) acimaparacalcularI � apartirdeI % .Repetindo-sea analise a partir da Eq. \ percebemosqueexisteoutropardesolucoespossıvel, umavezquerevertendo-seos sinaisdascargas,as forcaspermane-cemasmesmas:I % �B�B�,�-� ?A@ C e I$�Sc;��,�-� ?H@ C you I % P;��,�-� ?A@ C e I � .B�B�,�-� ?H@ C �P 23-15

Duascargaspuntiformeslivres �<I e � J I estao a umadistancia £ umadaoutra. Umaterceiracargae, entao,colocadade tal modo que todo o sistemafica emequilıbrio. (a) Determinea posicao,o moduloe o sinaldaterceiracarga.(b) Mostrequeo equilıbrio e instavel.� (a) A terceiracargadeve estarsituadasobrea linhaqueunea carga �<I com a carga � J I . Somentequan-do a terceiracarga estiver situadanestaposicao, serapossıvel obter uma resultantenula, pois, em qualqueroutra situacao, as forcas serao de atracao (casoa ter-ceiracargasejanegativa)ouderepulsao(casoaterceira

cargasejapositiva). Poroutrolado,aterceiracargadevesernegativa pois,seelafossepositiva,ascargas�<Ie � J I naopoderiamficar emequilıbrio, poisasforcassobreelasseriamsomenterepulsivas.Vamosdesignaraterceiracargapor S¤ , sendo¤ maiorquezero.Seja�a distanciaentre �<I e S¤ . Paraquea carga S¤ estejaem equilıbrio, o modulo da forca que �<I exercesobreS¤ deve serigual aomodulodaforca que � J I exercesobreS¤ . Portanto,�J�KML 3 I�¤� � �J�KML 3 � J I�#8¤�O£� �H# �ouseja �O£� �H# � J � � �As solucoes da equac¸ao do segundo grau sao £ e£ i ; , sendoqueapenasestaultimasolucaoefisicamenteaceitavel.Para determinaro modulo de ¤ , use a condicao deequilıbrio duascargasdo sistema. Por exemplo,paraquea carga �<I estejaemequilıbrio, o modulodaforcaque S¤ exercesobre�<I deveigualaramodulodaforcade � J I sobre�<I :�J�KML 3 I�¤� � �J�KML 3 � J I�#)I£ � �Dai tiramosque ¤¥ J I�� i £ � que, para �¦�£ i ; ,forneceo valorprocurado:¤� J� IV�(b) O equilıbrio e instavel; estaconclusaopodeserpro-vadaanaliticamenteou,demodomaissimples,podeserverificadaacompanhando-seo seguinteraciocınio. Umpequenodeslocamentodacarga S¤ desuaposicaodeequilıbrio (paraaesquerdaouparaadireita)produzumaforca resultanteorientadaparaesquerdaouparaadirei-ta.

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(a) QuecargaspositivasiguaisteriamdesercolocadasnaTerrae naLua paraneutralizara atracaogravitacio-nalentreelas?E necessarioconheceradistanciaentreaTerraeaLuapararesolveresteproblema?Explique.(b)Quantosquilogramasdehidrogenioseriamnecessariosparaforneceracargapositivacalculadano item (a)?� (a) A igualdadedasforcasenvolvidasfornecea se-guinteexpressao:§0¨Z©}¨Zª

N � �J�KML 3 I �N � yhttp://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pagina6 de34


onde

Z©eamassadaTerrae

¨ZªamassadaLua. Por-

tanto,usando-seasconstantesfornecidasno ApendiceC, temosI& ¢ § J�KML 3 ¨�©^¨Zª cC9� U �,�-� % : C �Comofoi possıvel eliminar N entreosdoismembrosdaequaçao inicial, vemosclaramentenao ser necessarioconhecer-seo valor de N .(b) Um atomode hidrogeniocontribui com umacargapositiva de �� Qd�P�-�9? % " C. Portanto,o numero « deatomosdehidrogenionecessariosparaseigualara car-gado item(a) e dadopor«¬ C9� U �,�-� % :�� Q�� !� ? % " P;9�DC�� !� : � C �Portanto,a massade hidrogenio necessaria e simples-mente

¨ ¦«ge® , onde ge® e a massadeum atomodehidrogenio(emkilogramas)[vejao valordaunidadedemassaunificadanoApendiceB, pag.321]¨ ��;9�DC��,�-� : � #$�)�� U #X�)�� Q�Q��\CB�,�-� ? � f # CG� �� !��¯ Kg �P 23-18

Umacarga ¤ e dividida emduaspartesI e ¤.�I , quesao,a seguir, afastadaspor umacertadistanciaentresi.Qual deve ser o valor de I em termosde ¤ , de mo-do quea repulsaoeletrostaticaentreasduascargassejamaxima?� A magnitudedarepulsaoentreI e ¤{,I e�� J�KML 3 �O¤{,I�#8IN � �A condicaoparaque� sejamaximaemrelacaoa I equesejamsatisfeitassimultaneamente asequaçoes° �° I P��y e

° � �° I �{± ��A primeiracondicaoproduz° �° I �J�KML 3 �N � °° I}² ¤BIS,I ��³ ¤cZ��IJ�KML 3 N � P�9ycujasolucaoe I&P¤ i � .Como a segundaderivadae sempre menor que zero,a solucao encontrada,I¬l¤ i � , produzira a forcamaxima.�

Observequearespostadoproblemae IBc¤ i � enao¤�c��I .

P 23-19

Duaspequenasesferascondutorasde massag estaosuspensaspor um fio desedadecomprimento£ e pos-suema mesmacarga I , conformee mostradonafiguraabaixo.Considerandoqueo angulo e taopequenoqueµ6¶�· ´ possasersubstituidapor sen ´ : (a) mostrequeparaestaaproximaçaonoequilıbrio teremos:�= u I � £� KML 3 gE¸ w %�¹ : yonde� eadistanciaentreasesferas.(b) Sendo£>.�!��cm, gº��-� g e �E{CG� � cm,quantovale I ?� (a) Chamandode » a tensaoemcadaum dosfios ede � o modulodaforcaeletrostaticaqueatuasobrecadaumadasbolastemos,paraquehajaequilıbrio:

» sen �»º¼X½�¾9´ gE¸A�Dividindo membroa membroasduasrelacoesanterio-res,encontramos: µ6¶�· ´� �gE¸ �Como ´ e um angulo pequeno, podemos usar aaproximaçao �g�¸ µ6¶�· ´ Y sen� � i �£ �Poroutrolado,a forca eletrostaticaderepulsaoentreascargasedadapor �� J�KML 3 I �� Igualando-seas duasexpressoespara � e resolvendopara� , encontramosque�E¿u �� KML 3 I � £gE¸ w %�¹ : �(b) As duascargaspossuemo mesmosinal. Portanto,daexpressaoacimapara� , obtemos

IBÀ� W � : � KML 3 g�¸£ ��G� J � �!� ?HÁ �� J �,�-� ?A" C �� J nC�http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pagina7 de34


P 23-20

No problemaanterior, cujasesferassaocondutoras(a)O queaconteceraaposumadelasserdescarregada?Ex-plique suaresposta. (b) Calculea nova separaçao deequilıbrio dasbolas.� (a) Quandoumadasbolasfor descarregadanao po-dera maishaver repulsaoCoulombianaentreasbolase,consequentemente,asbolascairao sobacao do campogravitacionalatesetocarem.Ao entrarememcontato,acarga I queestava originalmentenumadasbolasira serepartirigualmenteentreambasbolasque,entao,pores-taremnovamenteambascarregadas,passaraoa repelir-seateatingirumanovaseparaçaodeequilıbrio,digamos�1q .(b) A novaseparaçaodeequilıbrio �Aq podesercalculadausando-seIÂqA*I i � :� q Ãu ��IÂqÄ# � £� KML 3 g�¸ w %8¹ : u �J w %8¹ : Å �-Æ ¯ cmÇ È�É Êu I � £� KML 3 gE¸ w %�¹ : u �J w %8¹ : �e�9� ��C m ;9�n�<�,�-� ? � m ;9�n� cm��E possıvel determinaro valor datensaono fio dese-

da?

P 23-21

A Fig. 23-17mostraumalongabarranaocondutora,demassadesprezıvel e comprimento£ , presapor um pi-no no seucentroe equilibradacomum pesoË a umadistancia � desuaextremidadeesquerda.Nasextremi-dadesesquerdae direitadabarrasaocolocadaspeque-nasesferascondutorascomcargaspositivas I e ��I , res-pectivamente.A umadistanciaÌ diretamenteabaixodecadaumadessascargasestafixadaumaesferacomumacargapositiva ¤ . (a) Determinea distancia � quandoabarraesta horizontaleequilibrada.(b) Qualvalordeve-ria ter Ì paraquea barranaoexercessenenhumaforcasobreo mancalnasituacaohorizontale equilibrada?� (a) Comoa barraestaem equilıbrio, a forca lıquidasobreelae zeroe o torqueemrelacaoa qualquerpontotambeme zero.Pararesolvero problema,vamosescre-veraexpressaoparao torquelıquidonomancal,iguala-la a zeroe resolverpara� .A carga ¤ a esquerdaexerce uma forca para cimade magnitude �8� i9Í J�KHj 3XÎ #$��I�¤ i Ì � # , localizadaa umadistancia £ i � do mancal. Considereseutorquecomo

sendo,por exemplo,positivo. O pesoexerceumaforcaparabaixode magnitudeË , a umadistancia �e�£ i �a partir do mancal. Pelaconvencao acima,seutorquetambem e positivo. A carga ¤ a direita exerceumaforca paracima de magnitude�)� iGÍ J�KHj 3 Î #X�O��I�¤ i Ì � # , aumadistancia£ i � domancal.Seutorqueenegativo.Para que nao haja rotacao, os torque sacimadevemanular-se,ouseja�J�KHj 3 I�¤Ì � £ � ��ËÏu-�� £ � w �J�KHj 3 ��I�¤Ì � £ � c�9�Portanto,resolvendo-separa� , obtemos�E £ � u��Ð� �J�KHj 3 I�¤Ë�Ì � w �(b) A forca lıquidanabarraanula-se.Denotando-sepor« amagnitudedaforcaparacimaexercidapelomancal,entao Ë¥ �J�KHj 3 I�¤Ì � �J�KHj 3 ��I�¤Ì � P�9�Quandoa barranaoexerce nenhumaforca, temos«Ñ� . Nestecaso,aexpressaoacima,fornece-nosfacilmen-teque

Ì� W �J�KHj 3 ;�I�¤Ë ��Observe que e essencialusarsempreum valor po-

sitivo parao braco de alavanca,paranao seinverterosentidodo torque.Nesteproblema,o braco dealavancapositivo e ��£ i � , enao £ i ��,� !23.2.2 A Carga e Quantizada

E 23-24

QualeacargatotalemCoulombsdeU C kg deeletrons?� A massado eletrone g�Ò�9�n��+��-�9?A: % kg dema-

neiraquea quantidadedeeletronsem

¨ U C kg e«Ï ¨ g U C�� !� ?A: % P�� ;�� !� : % eletrons�Portanto,a cargatotal eIB� «.�Ó &��9�D��;��,�-� : % #$�)�� Q�� !� ? % " # B�� ;�� !� % : C �



E 23-26

O modulodaforcaeletrostaticaentredoisıonsidenticosqueestao separadospor umadistanciade CG� ��-�G? %43m vale ;9� U ��-�G?H" N. (a) Quala cargadecadaıon? (b)Quantoseletronsestao“f altando”emcadaıon(o quedaaoıonsuacarganaoequilibrada)?� (a) DaLei deCoulombtemos:I� N ¢ � J�KML 3 #)�T{�P;�� +�,�-� ? % " C �(b) Cadaeletronfaltanteproduzumacargapositiva de�� Qx�Z�!�G? % " C. Usandoa Eq.23-10, I+.ÔM� , encontra-moso seguintenumeroÔ deeletronsquefaltam:

Ô¡ ;9�D��,�-�9? % "�� Q+�,�-� ? % " P� eletrons�E 23-27

Duaspequenasgotasesfericasdeaguapossuemcargasidenticasde B�� x�Z�-� ? % @ C, e estaoseparadas,centroa centro,de �� cm. (a) Qual e o moduloda forca ele-trostaticaqueatuaentreelas?(b) Quantoseletronsemexcessoexistememcadagota,dandoa elaa suacarganaoequilibrada?� (a) Aplicandodiretamentea lei de Coulombencon-tramos,emmagnitude,

� �O�� !��"$#$�)�&�,�-�9? % @$#�)�B�,�-� ? � # � ��,�-� ? % " N �(b)A quantidade« deeletronsemexcessoemcadagotae «Ï I� �� !�G? % @�� Q��,�-� ? % " cQ��CG�P 23-31

Pelofilamentodeumalampadade �!�� W, operandoemumcircuitode �!�� V, passaumacorrente(supostacons-tante)de �9� ��; A. Quantotempoe necessario paraque �mol deeletronspassepelalampada?� De acordocoma Eq. 23-3,a correnteconstantequepassapelalampadae ]�{Õ�I i Õ+_ , ondeÕ�I eaquantida-dedecargaquepassaatravesdalampadanumintervaloÕ+_ .

A carga Õ�I correspondentea � mol de eletronsnadamaise doque Õ+I�c«�Ö,� , onde «�Ö�cQ�� \��;��,�-� � : eo numerodeAvogadro.PortantoÕ+_b « Ö �] ��Q�� \��;+� �!� � :-#X�8�� Q��,�-�G? % "!#�9� ��; ��D�+� �!��¯ segundos

�� +�,�-� ¯� J �eQ��=Q�� .�� ;�� dias�P 23-34

Na estrturacristalina do composto ×BØ!×�Ù (cloreto decesio),os ıonsCsÚ formamos verticesde um cuboeum ıon deCl ? esta no centrodo cubo(Fig. 23-18). Ocomprimentodasarestasdocuboe de �9� J � nm. Em ca-daıon CsÚ faltaum eletron(e assimcadaum temumacargade �<� ), e o ıon Cl ? tem um eletronem excesso(e assimumacarga � ). (a) Qual e o moduloda forcaeletrostaticalıquidaexercidasobreo ıonCl ? pelosoitoıonsCsÚ nosverticesdo cubo?(b) Quandoesta faltan-doumdosıonsCsÚ , dizemosqueo cristalapresentaumdefeito; nestecaso,qualseraaforcaeletrostaticalıquidaexercidasobreo ıon Cl ? pelosseteıonsCsÚ remanes-centes?� (a) A forca lıquidasobreo ıon Cl ? e claramenteze-ro poisasforcasindividuaisatrativasexercidasporcadaumdosıonsdeCsÚ cancelam-seaospares,porestaremdispostassimetricamente(diametralmenteopostas)emrelacaoaocentrodocubo.

(b) Em vez de remover um ıon de cesio,podemospo-demossuperporuma carga � na posicao de tal ıon.Isto neutralizao ıon local e, paraefeitoseletrostaticos,e equivalentea removero ıon original. Destemodove-mosqueaunicaforcanaobalanceadapassaaseraforcaexercidapelacargaadicionada.Chamandode h a arestado cubo,temosquea diagonaldo cuboe dadapor m ; h . Portantoa distanciaentreosıonse �� m ; i ��# h ea magnitudedaforca� �J�KHj 3 � ��; i J # h �� !� " # �8�� Q��,�-�G? % "-# ��O; i J #X�O�9� J �+� �!� ?H" # �� ,�-� ?H" N �P 23-35 Sabemosque, dentrodaslimitacoesimpos-

tas pelasmedidas,os modulos da carga negativa doeletron e da carga positiva do proton sao iguais. Su-ponha,entretanto,que estesmodulosdiferissementre



sı por �9� ��-�VÛ . Comqueforcaduaspequenasmoedasdecobre,colocadasa �� m umadaoutra,serepeliriam?O quepodemosconcluir? (Sugestao: Veja o Exemplo23-3.)� Comosugeridonoproblema,supomosqueamoedaea mesmado exemplo23-3,quepossuiumacargatantopositiva quantonegativa igualdadapor I�/�� ; U �,�-� ¯C. Sehouvesseumadiferenca (desequilıbrio) decargas,umadascargasseriamaiordoqueaoutra,terıamosparatal cargaumvalorI-ÜÀFÝGI&��8�-� ?1[ #$�)�!� ? � #X�)�� ; U � �!��¯$#Ð*�9�n�-; U yondeÝ�c�9� ��9�ÂÛT{�9� ��=�� T�!� ?H@ . Portantoa magnitudedaforca entreasmoedasseriaiguala

� I �ÜJ�KML 3 N � �� !��"$#$��9�n�-; U # ��)�� # � �� U � �!� Á N �Comotal forca seriafacilmenteobservavel, concluimosqueumaeventualdiferenca entrea magnitudedascar-gaspositivae negativanamoedasomentepoderiaocor-rercomumpercentualbemmenorque �9� ��Û .Notequesabendo-seo valordamenorforcapossıvel desemedirno laboratorio e possivel estabelecerqualo li-mite percentualmaximodeerro quetemoshojeemdianadeterminac¸aodascargas.Dequalquermodo,tal limi-te e MUITO pequeno,ou seja,umaeventualassimetriaentreo valor dascargasparecenao existir na pratica,pois teria consequenciasobservaveis, devido ao gran-denumerodecargaspresentenoscorposmacroscopicos(queestaoemequilıbrio).

23.2.3 A Carga e Conservada

E 23-37

Nodecaimentobetaumapartıculafundamentalsetrans-forma em outra partıcula, emitindo ou um eletron ouum positron. (a) Quandoum proton sofre decaimen-to betatransformando-senum neutron,quepartıcula eemitida? (b) Quandoum neutronsofredecaimentobe-ta transformando-senum proton, qual daspartıculaseemitida?� (a)Comoexisteconservacaodecarganodecaimento,a partıculaemitidaprecisaserumpositron.(b) Analogamente,a partıculaemitidaeumeletron.

�As reacoescompletasdedecaimentobetaaquimen-

cionadossao,naverdade,asseguintes:

ÞEß Ô�� Ú ��àGy Ô ßºÞ �>� ? �>à9yonde à representauma partıcula elementarchamadaneutrino. Interessados,podemler mais sobreDecai-mentoBetanaSeccao47-5do livro texto.

E 23-38

Usandoo Apendice D, identifique á nas seguintesreacoesnucleares:��â\# %��ã�s%�ä�� ß áÃ�ZÔ`å�oæ-# % � ×F�s%�� ß á�å�oç-# % ¯ «ã� % � ß [ �¡�Ð��á¡�� Comonenhumadasreacoesacimainclui decaimen-to beta, a quantidadede protons, de neutronse deeletronse conservada. Os numerosatomicos(protonse deeletrons)e asmassasmolares(protons+ neutrons)estaonoApendiceD.

(a) % H tem � proton, � eletrone � neutronsenquantoqueo " Be tem

Jprotons,

Jeletronse �+ J ãC neutrons.

Portantoá tem �� J èC protons, �B� J eletronse� ��C<��S J neutrons.Um dosneutronse liberadonareacao.Assimsendo,á devesero boro, " B, commassamolariguala C � J P� g/mol.

(b) % � C tem Q protons,Q eletronse ��S�Q&PQ neutronsenquantoqueo % H tem � proton, � eletrone � neutrons.Portantoá tem Q<�{�& U protons,Q��P�� U eletronse Q��P�eãQ neutronse, consequentemente,deve seronitrogenio, % : N, quetemmassamolar

U ��QBT�-; g/mol.

(c) % ¯ N temU

protons,U

eletronse ��Cé U *� neutrons,o % H tem � proton, � eletrone � neutronse o [ He tem� protons,� eletronse

J >�� neutrons.PortantoátemU �{� ��+ÀQ protons,Q eletronse ��s�B��ÀQ

neutrons,devendosero carbono,% � C, commassamolarde QS�>Q&�� g/mol.

23.2.4 As Constantesda Fısica: Um Aparte

E 23-41

(a) CombineasquantidadesÌ , § e ê paraformarumagrandezacom dimensao de comprimento. (Sugestao:combineo “tempodePlanck”coma velocidadedaluz,conformeExemplo23-7.)(b) Calculeeste“comprimen-to dePlanck”numericamente.



� (a)Usando-seo ApendiceA, fica facil verqueastrescontantesdadastemasseguintesdimensoes:Í ë Î ¬ì Ì� Kví îØ�c«ºg¿Ø� kg g �Ø

[

§] g=:Ø � kg

y[ ê ] g Ø �

Portanto,o produto Í ë Î Í§Î naocontemkg:Í ë Î Í§Î g ¯Ø : �

Atravesdedivisaodo produtoacimapor umapotenciaapropriadade Í ê Î podemosobtereliminarfacilmenteoug ou Ø doproduto,ouseja,Í ë Î Í

§ÎÍ ê Î ¯ g ¯Ø : Ø ¯g ¯ PØ � yÍ ë Î Í§ÎÍ ê Î : g ¯Ø : Ø!:g : Fg � �

Portantoï Planck /¢ ë§ i ê : .

(b) O valor numerico pedido e, uma vez que ë Ì i �O� K # ,ï Planck W Ì

§� K ê : .�� Q9��,�-� ?A: ¯ m �

P 23-42

(a) Combineas grandezasÌ , § e ê paraformar umagrandezacomdimensaodemassa.Nao incluanenhumfator adimensional.(Sugestao: ConsidereasunidadesÌ�y § e ê comoemostradonoExemplo23-7.)(b) Calcu-le esta“massadePlanck”numericamente.� A respostapode ser encontradafazendo-seumaanalisedimensionaldasconstantesdadase de funcoessimplesobtidasapartir delas:

g Planck W ë ê§ W Q9� Q�;��,�-� ?A:�[ �e;��,�-� Á� K Q9� Q U �,�-� ? %�% �9�� U � �!� ?AÁ kg �

Pode-severificarqueestarespostaestacorretafazendo-seagorao ‘inverso’daanalisedimensionalquefoi usa-da paraestabelece-la,usando-seo convenienteresumodadonoApendiceA:Í ë Î Í ê ÎÍ § Î îeØ Ü ðÜ 5ð ( kg

.î Ø � kgg � P«g Ø � kgg � kg

g �Ø � Ø � kgg � kg� �

Portanto,extraindo-sea raiz quadradadesteradicandovemosque,realmente,acombinac¸aodasconstantesaci-matemdimensaodemassa.�

E seusassemosÌ emvezde ë ?...Emoutraspalavras,qualdasduasconstantesdevemostomar?



24 CampoEletrico

24.1 Questoes

Q 24-2. Usamosumacargatestepositivaparaestudaros camposeletricos. Poderıamoster usadoumacarganegativa?Porque?� Nao.Tal usoseriaextremamenteanti-naturaleincon-venientepois,paracomecar, terıamoso ñ e p apontan-doemdirecoesdiferentes.�

Tecnicamente,poderıamosusarcargasnegativassim.Mas isto nosobrigariaa reformularvariosconceitoseferramentasutilizadasnaeletrostatica.

Q 24-3.

As linhasde forca deum campoeletriconuncasecru-zam.Porque?� Seaslinhasdeforca pudessemsecruzar, nospontosdecruzamentoterıamosduastangentesdiferentes, umaparacadalinha quesecruza. Em outraspalavras,emtal pontodo espaço terıamosdoisvaloresdiferentesdocampoeletrico,o queeabsurdo.

Q 24-5.

UmacargapuntiformeI demassag e colocadaemre-pousonumcamponaouniforme. Sera queelaseguira,necessariamente,a linha deforca quepassapelopontoemquefoi abandonada?� Nao.A forcaeletricasemprecoincidiracomadirecaotangentea linhadeforca.A forca eletrica,emcadapontoondeseencontraa car-ga,e dadapor IÂò , onde ò e o vetorcampoeletriconopontoondeseencontraa carga. Comoa cargapartedorepouso,a direcaodesuaaceleraçaoinicial e dadapeladirecaodocampoeletriconopontoinicial. Seo campoeletricofor uniforme(ouradial),atrajetoriadacargade-vecoincidircomadirecaodalinhadeforca. Entretanto,paraum campoeletrico nao uniforme (nem radial), atrajetoria dacarganaoprecisacoincidir necessariamen-te coma direcaoda linha de forca. Semprecoincidira,porem,comadirecaotangentea linhadeforca.

Q 24-20.

Um dipoloeletricoe colocadoemrepousoemumcam-poeletricouniforme,comonosmostraaFigura24-17a,pg.30,sendosoltoa seguir. Discutaseumovimento.

� Sematrito,nasituacaoinicial mostradanaFigura24-17a, o movimentodo dipolo eletrico sera periodico eoscilatorio emtornodoeixo � eemtornodaposicaodealinhamentode óÞ com óò .

Q 24-3extra.

Umabolacarregadapositivamenteestasuspensaporumlongofio deseda.Desejamosdeterminarò numpontosituadono mesmoplanohorizontaldabola. Paraisso,colocamosumacargade prova positiva I 3 nestepontoe medimos� i I 3 . A razao � i I 3 sera menor, igual oumaiordoque ò nopontoemquestao?� Quandoa carga de prova e colocadano ponto emquestao,elarepelea bolaqueatingeo equilıbrio numaposicao em que o fio de suspensao fica numadirecaoligeiramenteafastadada vertical. Portanto,a distanciaentreo centroda esferae a cargade prova passaa sermaiorquedoqueadistanciaantesdoequilıbrio. Dondeseconclui queo campoeletrico no pontoconsiderado(antesde colocara carga de prova) e maior do que ovalor � i I medidopormeiodareferidacargadeprova.


24.2.1 Linhas decampoeletrico

E 24-3.

Trescargasestaodispostasnumtrianguloequilatero,co-mo mostraa Fig. 24-22. Esboceaslinhasde forca de-vidasascargas ��¤ e S¤ e, a partir delas,determinea direcaoe o sentidoda forca queatuasobre�<I , devi-do a presença dasoutrasduascargas.(Sugestao: VejaaFig. 24-5)� Chamando-sede de � % e �}� asforcasna carga �<Idevidasascargas��¤ e S¤ , respectivamente,podemosverque,emmodulo, � % *�}� poisasdistanciasbemco-moo produtodascargas(emmodulo)saoosmesmos.� % P�^��c~ I�¤h � �As componentesverticaisde � % e � � secancelam.Ascomponenteshorizontaissereforcam,apontandodaes-querdaparaa direita.Portantoa forca resultantee hori-zontalcommoduloiguala��*� % ¼X½\¾ K ; �� ¼$½�¾ K ; P~ I�¤h � �



E 24-5.

Esbocequalitativamenteaslinhasdocampoeletricopa-raumdiscocircularfino,deraio ô , uniformementecar-regado. (Sugestao: Considerecomocasoslimites pon-tos muito proximosao disco,ondeo campoeletrico eperpendiculara superfıcie,e pontosmuito afastadosdodisco,ondeo campoeletrico e igual ao de umacargapuntiforme.)� Empontosmuitoproximosdasuperfıciedodisco,pa-radistanciasmuitomenoresdoqueo raio ô dodisco,aslinhasdeforcasaosemelhantesaslinhasdeforcadeumplanoinfinito comumadistribuicaodecargasuniforme.Comoa cargatotal ¤ do discoe finita, a umadistanciamuito grandedo disco,as linhasde forca tendema seconfundircom as linhasde forca de umacarga punti-forme ¤ . Nafiguraabaixo,esboc¸amosapenasaslinhasdeforca dapartesuperiordodiscoe consideramosumadistribuicaodecargaspositivas.

24.2.2 O campoeletrico criado por uma cargapun-tif orme

E 24-7.

Qualdevesero modulodeumacargapuntiformeesco-lhidademodoa criarumcampoeletricode �� N/C empontosa � m dedistancia?� Da definicao de campoeletrico, Eq. 24-3, sabemosque òT{¤ i � J�KML 3 N � # . Portanto,¤�/� J�KML 3 #)ò N � T��n��,�-� ? %)3 c�9�n�� nC�E 24-9.� Comoa magnitudedo campoeletricoproduzidopor

umacargapuntiformeI e òTcI i � J�KHj 3 N � # , temosqueIl J�KHj 3 N � ò

�� C��#$�O�G� ��#�9� �+�,�-� " CG� Q��,�-� ? %�% C �E 24-10.

DuascargaspuntiformesdemodulosI % c�9� �é��!�G?Hf Ce I � P�� C��,�-�9?AÁ C estaoseparadasporumadistanciade �� cm. (a) Qualo modulodocampoeletricoqueca-dacargaproduznolocaldaoutra?(b) Queforcaeletricaatuasobrecadaumadelas?� (a) O modulodocamposobrecadacargaediferente,poiso valordacargae diferenteemcadaponto.ò % P~ I %N � �� ,�-� " # �G� ��,�-�G?Hf��# � ��D��C+�,�-� ¯ N/C y

òS�SP~ I$�N � �� ,�-� " # �9�DC��,�-�G?HÁ��# � �9�DC�;��,�-� ¯ N/C �(b) O modulodaforca sobrecadacargaeo mesmo.Pe-la ;\õ lei de Newton (acao e reacao): ó� % �Z� ó�^� % e,portanto,� % �Sc�}� % PI % ò �� I$�$ò % ��9�DC��,�-� ?HÁ #X�8��D��C+�,�-��¯!# �� +�,�-� ? � N �Note quecomonao sabemosos sinaisdascargas,naopodemosdeterminaro sentidodosvetores.

E 24-11.

Duas cargas iguais e de sinais opostos(de modulo�9� �E��!�G?Af C) saomantidasa umadistanciade �!C cmumada outra. (a) Quaissao o modulo, a direcao e osentidodeE no pontosituadoa meiadistanciaentreascargas?(b) Queforca (modulo,direcaoe sentido)atua-ria sobreumeletroncolocadonesseponto?� (a) Como o modulo dascargase o mesmo,estan-do elas igualmentedistantesdo ponto em questao, omodulodocampodevido acadacargaeo mesmo.ò % Pò � ~ I�� i ��# � �O�� !� " # �G� �� !�G?Hf��9�n�!C i ��# � ;�� ,�-� ¯ N/C �



Portanto,o campototal eò ©Hö)÷ Pò % ��ò �<P�9�O;9�D�+�,�!��¯$#bcQ9� J � �!��¯ N/C ynadirecaodacarganegativa I .(b) Comoo eletrontemcarganegativa,a forcasobreeletemsentidoopostoaodocampo.O modulodaforca e� I eletronò ©Aö8÷ I eletron ��ò % �>ò � # �8�� Q�� !� ? % " #$��Q�� J �,�-��¯ N, # �� ,�-� ? % : N

nosentidodacargapositiva.

E 24-12.� Comoa cargaesta uniformementedistribuidanaes-fera,o campoeletriconasuperfıcie e o mesmoquequeterıamossea carga estivessetodano centro. Isto e, amagnitudedocampoeò� IJ�KHj 3 ô � yondeI eamagnitudedacargatotale ô eo raiodaesfe-ra.A magnitudedacargatotal e øS� , demodoqueò øS�J�KHj 3 ô � �O�x� �!��"$#$�� J #X�8�� Q�� !�G? % "$#Q�� Q J �,�-� ? % ¯ ;�� U � �!� � % N/C �P 24-17.� Desenhesobreuma linha retadois pontos, I$� e I % ,

separadosporumadistancia� , com I$� aesquerdade I % .Parapontosentreasduascargasoscamposeletricosin-dividuaisapontamnamesmadirecaonaopodendo,por-tanto,cancelarem-se.A carga I-� temmaiormagnitudeque I % , demodoqueum pontoondeo camposejanulodeveestarmaispertode I % doquede I � . Portanto,deveestarlocalizadoadireitade I % , digamosemponto ù .EscolhendoI � comoa origemdo sistemadecoordena-das,chamede � adistanciade I � ateo ponto ù , o pontoondeo campoanula-se.Comestasvariaveis,a magni-tudetotaldocampoeletricoem ù e dadaporòT �J�KHj 3 ì I$�� I %��,�V# � í yonde I$� e I % representamasmagnitudesdascargas.

Paraqueo camposeanule,devemosterI$�� I %��,�V# � �A raiz fısica (das duas raızes possıveis) e obtidaconsiderando-sea raiz quadradapositivade ambosla-dosdaequac¸aoacima.Isto fornece-nosm I %� m I$��\# �Resolvendoagorapara� obtemos�Eºu m I$�m I � m I % w � u m J I %m J I % m I % w � u ��<�� w � �`� �9�O�9�DC�� cm# �-�� cm�O ponto ù esta a C�� cma direitade I % .P 24-21.

Determineo modulo, a direcao e o sentidodo campoeletriconoponto ù daFig. 24-30.

� A somadoscamposdevidosasduascargas �<I e nu-la poisno ponto ù oscampostemmoduloscoinciden-tesporemsentidosopostos.Assimsendo,o campore-sultanteem ù deve-seunicae exclusivamentea carga��I , perpendicularadiagonalquepassapelasduascar-gas �<I , apontadopara‘fora’ dacarga ��I . O modulodocampoeò�P~ ��I� õ$ú �� # � P~ J Ih � �KML 3 Ih � �P 24-22



Qualo modulo,a direcaoe o sentidodo campoeletricono centrodo quadradodaFig. 24-31,sabendoque I�� ,�-�G?HÁ C e h cC cm.

� Escolhamosumsistemadecoordenadasnoqualo ei-xo � passepelascargas I e S��I , eo eixo � passepelascargasI e ��I .No centro do quadrado,os camposproduzidospelascargas negativas estao ambossobreo eixo � , e ca-da um delesapontado centroem direcao a carga quelhe da origem. Comocadacarga estaa umadistancia�� h m � i �� h i m � do centro,o campolıquidoresul-tantedevidosasduascargasnegativaseò � �J�KHj 3 ì ��Ih � i � Ih � i � í �J�KHj 3 Ih � i � ��,�-� " # �� +�,�-��Á�� \C��\# � i � U �n�-��,�-� [ N/C �Nocentrodoquadrado,oscamposproduzidospelascar-gaspositivasestaoambossobreo eixo � , apontandodocentroparafora, afastando-seda carga quelhe da ori-gem.O campolıquidoproduzidonocentropelascargaspositivase ò �� J�KHj 3 ì ��Ih � i � Ih � i � í �J�KHj 3 Ih � i � U �n�-�� !� [ N/C �Portanto,a magnitudedocampoeò � ò �� >ò �� ¢ �9� U ��!�� !� [ # � �� +�,�-� ¯ N/C �

O anguloquetal campofazcomo eixodos � e´ µo¶�· ? % ò �òS� µo¶�· ? %��)�!# J C ö �Tal anguloapontado centrodo quadradoparacima,di-rigido parao centrodo ladosuperiordoquadrado.

24.2.3 O campocriado por um dipolo eletrico

E 24-23.

Determineo momentodedipoloeletricoconstituıdoporum eletrone um protonseparadospor umadistanciadeJ � ; nm.� O modulodacargadasduaspartıculase I=º�� QE��!�G? % " C. Portanto,temosaqui um belo exemplo deexercıcio demultiplicacao:Þ PIÂ� �)�� Q��,�-� ? % " #X� J � ;��,�-� ?A" # Q9� �� !� ? � Á C m �E 24-25

Na Fig. 24-8,suponhaqueambasascargassejamposi-tivas.Mostreque ò noponto ù , considerandoû�üè� , edadopor: òT �J�KML 3 ��Iû � �� Usandoo princıpio desuperposic¸aoe doistermosdaexpansao�8�Ð�Z�H# ? � Y �rZ�Â�+�>;�� : J � [ �*�-�$�Xyvalidaquando� �}� ± � , obtemosò �J�KML 3 ì I�OûB�� i ��# � � I��û<�� i ��# � í �J�KML 3 Iû � ì6ý8�r ��û}þ ? � �Tý��Ð� ��û�þ ? � í �J�KML 3 Iû � ìXu �r��) ��û #��*�-�$� w�u��r�� û #��*�-�$� w í �J�KML 3 ��Iû � �



E 24-26.

Calculeo campoeletrico (modulo, direcao e sentido)devido a um dipolo eletricoemum ponto ù localizadoa umadistancia ûdüÿ� sobrea mediatrizdo segmentoqueuneascargas(Figura24-32).Expressesuarespostaemtermosdemomentodedipolop.

� Obtem-seocampo óò resultantenopontoù somando-sevetorialmente óòT óò Ú � óò ? �A magnitudedosvetoresedadapor:ò Ú Pò ? *~ IN � �� i J �As somadas componentessobrea mediatrizse can-celamenquantoascomponentesperpendicularesa elasomam-se.Portanto,chamando-se o anguloentreoeixododipoloea direcaode ñ Ú (oude ñ ? ), segueòTP��ò Ú ¼X½\¾G´9yonde,dafigura, ¼$½�¾G´� � i �¢ N � �>� � i J �Comistosegueò ��~ IN � �>� � i J � i �¢ N � �>� � i J ~ IÂ�� N � �� i J # : ¹ � ~� N � # : ¹ � IÂ�Í �Ð�>� � i � J N � # Î : ¹ � �Como o problemanos diz que N ü�� , podemosdes-prezaro termo � � i � J N � # no ultimo denominadoracima,obtendoparao modulodocampoo valoròTP~ IÂ�N : �Em termosdo momentode dipolo � �v�`0IÂ� , umavezque ñ e � temsentidosopostos,temosñÀ� ~ �N : �

O vetor ñ apontaparabaixo.

24-27�Quadrupoloeletrico. A figura abaixomostraum qua-drupoloeletricotıpico.

Ele e constituıdopordoisdipoloscujosefeitosempon-tos externosnao chegam a se anular completamente.Mostrequeo valor de ò no eixo do quadrupolo,parapontosaumadistanciaû doseucentro(suporû�ü � ), edadopor:

òT ;�¤J�KML 3 û [ yonde¤x��c��IÂ� � # echamadodemomentodequadrupolodadistribuicaodecargas.� A distanciaentreo ponto ù easduascargaspositivassao dadaspor �Oûxs�V# e ��û��P�V# . A distanciaentre ùe ascargasnegativassao iguaisa û . De acordocomoprincıpio desuperposic¸ao,encontramos:

ò IJ�KML 3 ì ��ûB��\# � � ��û��>�\# � ��Iû � í IJ�KML 3 û � ì ��)�r�� i û\# � � ��8�Ð�� i ûV# � Z��íExpandindoem serie comofeito no livro-texto, paraocasododipolo [verApendiceG],�8�Ð�Z�H# ? � Y �rZ�Â�+�>;�� : J � [ �*�-�$�Xyvalidaquando� �}� ± � , obtemos

ò IJ�KML 3 û � ì6ý��Ð� ��û � ;�� û � �P�$�-� þ�=ý)�r ��û � ;�� û � �P�$�-� þ Z��íGyhttp://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pagina16 de34


deondeseconcluique,considerando-seostermosateasegundaordem,inclusive,temosòT IJ�KML 3 û � ì Q�� û � í ;\¤J�KML 3 û [ yondeo momentode quadrupoloe definidocomo ¤Ï��IÂ� � �Em contrastecom a derivacao apresentadano livro-texto, observe que aqui foi necessario usarmoso ter-mo quadratico na expansao em serie, uma vez que acontribuicaodevidaaotermolineareranula.

24.2.4 O campocriado por uma linha decargas

P 24-30.

Um eletrontemseumovimentorestritoaoeixo do aneldecargasderaio ô discutidonasecao24-6.Mostrequea forca eletrostaticasobreo eletronpodefaze-looscilaratravesdo centrodo anel,comumafrequenciaangulardadapor: � W �!IJ�KML 3 geô : �� Como visto no livro-texto, a magnitudedo campoeletriconum pontolocalizadosobreo eixo deum anelhomogeneamentecarregado,a umadistancia û do cen-tro doanel,e dadopor (Eq.24-19):ò� IÂûJ�KML 3 �Oô � ��û � # : ¹ � yonde I e a cargasobreo anele ô e o raiodoanel.Paraquepossahaver oscilacao a carga I sobreo aneldevesernecessariamentepositiva. Paraumacarga I po-sitiva, o campoapontaparacima na partesuperiordoanele parabaixo na parteinferior do anel. Se tomar-mosa direcaoparacimacomosendoadirecaopositiva,entaoa forca queatuanumeletronsobreo eixo doanele dadapor�.T �}ò.T ��IÂûJ�KML 3 �Oô � ��û � # : ¹ � yonde � representaamagnitudedacargadoeletron.Paraoscilacoesdepequenaamplitude,paraasquaisva-le û��ô , podemosdesprezarû no denominadordaexpressaodaforca,obtendoentao,nestaaproximac¸ao,��. ��IJ�KML 3 ô : û�zT��éû��Desta expressao reconhecemosser a forca sobre oeletronumaforca restauradora: elapuxao eletronem

direcao ao pontode equilıbrio ûP � . Al em disto, amagnitudeda forca e proporcionala û , com umacon-tantedeproporcionalidade�e��I i � J�KML 3 ô�:-# , comoseo eletron estivesseconectadoa uma mola. Ao longodo eixo, portanto,o eletron move-senum movimentoharmonico simples,com umafrequenciaangulardadapor (revejao Cap.14,casonecessario)

� W �g W ��IJ�KML 3 geô : yondeg representaa massadoeletron.

P 24-31.

NaFig.24-34,duasbarrasfinasdeplastico,umadecar-ga �<I eaoutradecarga I , formamumcırculoderaioô num plano �� . Um eixo � passapelospontosqueunemasduasbarrase a cargaem cadaumadelasestauniformementedistribuıda. Qual o modulo, a direcaoe o sentidodo campoeletrico ñ criado no centrodocırculo?� Por simetria,cadaumadasbarrasproduzo mesmocampoeletrico ñ�� queapontano eixo �� no centrodocırculo. Portantoo campototal edadoporñcc��ò 3 �Ó �� ¼X½\¾G´J�KML 3 ô � �\I �� Ú� ¹ �?� ¹ � ¼X½\¾G´J�KML 3 ô � IÂô,��´K ô u �J�KML 3 J IK ô � w ��P 24-32.

Uma barrafina de vidro e encurvadana forma de umsemicırculo de raio N . Uma carga ��¤ esta distribuıdauniformementeaolongodametadesuperior, eumacar-ga S¤ , distribuıdauniformementeaolongodametadeinferior, comomostraa Fig. 24-35.Determineo campoeletricoE noponto ù , o centrodosemicırculo.

� Paraa metadesuperior:�\ò Ú *~ �\IN � c~� ��ïN �http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pagina17 de34


onde À¤ i �O� K N i J #bÀ��¤ i � K N # e ��ï� N ��´ . Portan-to ��ò Ú c~ ��¤K N N ��´N � P� ~ ¤K N � ��´��O modulodacomponenteñ<Ú� docampototal e,portan-to, ò Ú� �\ò Ú� ��ò Ú ¼$½�¾G´

��~ ¤K N � ¹ �3 ¼X½�¾9´��´ ��~ ¤K N � ì senÂí ¹ �3 ��~ ¤K N � �Analogamente,ò Ú� ��ò Ú� �\ò Ú sen

��~ ¤K N � ¹ �3 sen&��´ ��~ ¤K N � ì1,¼$½�¾G´�í ¹ �3 ��~ ¤K N � �Usandoargumentosdesimetria: Usandoasimetriadoproblemavemosfacilmentequeascomponenteshori-zontaiscancelam-seenquantoqueasverticaisreforcam-se. Assim sendo,o modulo do campototal e simples-mente ò�c��ò � J ~ ¤K N �como vetorcorrespondenteapontandoparabaixo.Usando‘f orca-bruta’: Podemosobtero mesmoresul-tadosemusarasimetriafazendooscalculos.Mastemosque trabalharbem mais (perdermais tempoduranteaprova!!). Vejaso:Tendoencontradoque ò �=Tò �� ( , vemosqueomodulodocampoò Ú devido ascargaspositivasedadopor ò Ú � ò � � ��ò � � m � ��~,¤K N �formando J C ö como eixodos � .Paraa metadeinferior o calculoe semelhante.O resul-tadofinal e � óò ? ��Ò� óò Ú �� m � ��~ ¤K N � �O campo óò ? forma com o eixo dos � um angulode&�� ö � J C ö #b�B�!;�C ö .

Portanto,o modulodocampototal óòT óò Ú � óò ? apon-taparabaixoe temmagnitudedadaporò � ò �Ú �>ò �? m ��ò Ú m ��ò ? m �¡u m � ��~ ¤K N � w J ~,¤K N � �Conclusao: Terminamaisrapido(e com menoserro!)quemestiver familiarizadocoma exploracaodassime-trias. Isto requertreino...

P 24-35.

NaFig. 24-38,umabarranao-condutora“semi-infinita”possuiumacargaporunidadedecomprimento,devalorconstante . Mostrequeo campoeletrico no ponto ùformaum angulode

J C ö coma barrae queesteanguloe independentedadistanciaô .

� Considereumsegmentoinfinitesimal �� dabarra,lo-calizadoa umadistancia � a partir da extremidadees-querdada barra,como indicadona figura acima. Talsegmentocontem uma carga ��I* �� e esta a umadistancia N do ponto ù . A magnitudedo campoque �\Iproduznoponto ù e dadapor�\òT �J�KML 3 ��N � �Chamando-sede ´ o anguloentre ô e N , a componentehorizontal� docampoe dadapor��ò ��T �J�KML 3 ��N � sen9yenquantoquea componentevertical � e�\ò �&� �J�KML 3 ��N � ¼$½�¾G´��



Os sinaisnegativos em ambasexpressoes indicam ossentidosnegativosdeambasascomponentesemrelacaoaopontodeorigem,escolhidocomosendoaextremida-deesquerdadabarra.Vamos usar aqui o angulo ´ como variavel deintegracao.Paratanto,dafigura,vemosque¼$½�¾G´� ô N y sen& � N y �=Pô µo¶�· ´9ye,portanto,que��EPô¬¾��-¼ � ´B��´+cô �¼X½\¾ � ´ ��´9�Oslimitesdeintegracaovaode � ate

K i � . Portanto

ò � ¹ �3 �\ò � J�KML 3 ô ¹ �3 sen��´ � J�KML 3 ô ¼$½�¾G´�� ¹ �3 J�KML 3 ô ye,analogamente,

ò � ¹ �3 ��ò � J�KML 3 ô ¹ �3 ¼$½�¾G´&��´ J�KML 3 ô sen �� ¹ �3 J�KML 3 ô �Destesresultadosvemosque òS� ¿ò � , sempre,qual-querquesejao valor de ô . Al emdisto,comoasduascomponentestem a mesmamagnitude,o camporesul-tante ñ fazum angulode

J C ö como eixo negativo dos� , paratodososvaloresde ô .

24.2.5 O campoeletrico criado por um discocarre-gado

P 24-38.

A quedistancia,aolongodoeixocentraldeumdiscodeplasticoderaio ô , uniformementecarregado,o modulodocampoeletricoe igual ametadedoseuvalornocen-tro dasuperfıciedodisco?� A magnitudedo campoeletrico num pontosituadosobreo eixo de um discouniformementecarregado,a

umadistancia û acimado centrodo disco, e dadopor(Eq.24-27) ò/ �� L 3 ìO�r ûm ô � ��û � íGyondeô e o raiododiscoe � a suadensidadesuperficialde carga. No centrodo disco( û,¿� ) a magnitudedocampoe ò��v � i �O� L 3 # .O problemapedeparadeterminaro valor de û tal quetenhamosò i ò��kT� i � , ouseja,tal que�r ûm ô � ��û � �� you,equivalentemente, ûm ô � �>û � �� Destaexpressao obtemosû � ô � i J �/û � i J , isto eû�À�<ô i m ; .Observequeexistemduassolucoespossıveis:uma‘aci-ma’, outra‘abaixo’ doplanododiscodeplastico.

24.2.6 Cargapuntif orme num campoeletrico

E 24-39.

Um eletron e solto a partir do repouso,num campoeletricouniformedemodulo �G� ��-��[ N/C. Calculeasuaacelerac¸ao(ignoreagravidade).� O modulodetal acelerac¸aoe fornecidopelasegundalei deNewton:

h �g IÂòg *;9�DCG��,�-� % ¯ m/s� �

E 24-43.

Um conjunto de nuvens carregadasproduz um cam-po eletrico no ar proximo a superfıcie da Terra. Umapartıculadecarga S�9� ��,�-�9?A" C, colocadanestecam-po, fica sujeitaa umaforca eletrostaticade ;9� ��>�-�G?H@N apontandoparabaixo. (a) Qual o modulo do cam-po eletrico? (b) Qual o modulo, a direcao e o sentidoda forca eletrostaticaexercidasobreum protoncoloca-do nestecampo?(c) Quala forca gravitacionalsobreoproton?(d) Quala razaoentrea forca eletricae a forcagravitacional,nessecaso?� (a) Usandoa Eq.24-3obtemosparao modulode ñ :òT � I ;�� ,�-�9?A@ N�G� �� !� ?A" C

.��C�� N/C �http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pagina19 de34


A forca apontaparabaixoe a cargae negativa. Logo,ocampoapontadebaixoparacima.(b) O modulodaforca eletrostetica �� exercidasobreoprotone � � PIÂòT{�G� J ��,�-� ? % @ N �Comoo protontemcargapositiva,a forcasobreeleteraa mesmadirecaodocampo:debaixoparacima.

(c) A forcagravitacionalexercidasobreo protone��Pg�¸ �)�� Q U �,�-� ? � f #$��9� ��# �� Q J �,�-� ? � @ N yapontandodecimaparabaixo.

(d) A razaoentreasmagnitudesdasforcaseletricaegra-vitacionale � �� T�� J Q�� !� %)3 �Portanto,vemosque o peso �� do proton pode sercompletamenteignoradoem comparaçao com a forcaeletrostaticaexercidasobreo proton.

E 24-45.

(a) Qual e a aceleraçao de um eletron num campoeletrico uniformede �� J �F�!��@ N/C? (b) Quantotem-po leva parao eletron,partindodo repouso,atingir umdecimodavelocidadedaluz? (c) Quedistanciaeleper-corre?Suponhavalidaa mecanicaNewtoniana.� (a) Usandoa lei deNewton obtemosparao modulodaaceleraçao:

h �g � ��òg � �8�� Q�� !�G? % "$#$�)�� J �,�-��@-#�9�n�B� �!� ?H: % �9� J Q+�,�-� % f m/s� �(b) Partindo-sedo repouso(i.e. com � 3 P� ) e usandoaequaçao �� 3 � h _ obtemosfacilmenteque_` ê i �-�h ;�� !��Á i �-��9� J Q+�,�-� % f �� !� ?A" s�(c) A distanciapercorridae�� h _ � �� O�G� J Q��,�-� % f #X��+�,�-� ?H" # � �� ;�� !� ?A: m �

E 24-46.

Uma armade defesaque esta sendoconsideradope-la Iniciativa de DefesaEstrategica(“GuerranasEstre-las”) usafeixesde partıculas. Por exemplo,um feixede protons,atingindoum mıssil inimigo, poderiainu-tiliz a-lo. Tais feixes podemser produzidosem “ca-nhoes”,utilizando-secamposeletricosparaaceleraraspartıculascarregadas. (a) Queaceleraçao sofreriaumprotonseo campoeletriconocanhaofossede �9� ��-��[N/C. (b) Quevelocidadeo protonatingiriaseo campoatuasseduranteumadistanciade � cm?� (a) Usandoa segundalei deNewtonencontramos:

h �g ��òg T�� +�,�-� % � m/s� �

(b) UsandoaEq.15doCap.2, encontramos:

�� ¢ � h ��x � 3 #bT�-��Q km/s��E precisolembrar-sedasformulasaprendidasnocur-

sodeMecanicaClassica(FısicaI).

E 24-47.

Um eletroncom umavelocidadeescalarde CG� ��F�-��Ácm/s entranum campoeletrico de modulo �� ,�c�-��:N/C, movendo-separalelamenteao campono sentidoqueretardaseumovimento.(a) Quedistanciao eletronpercorrera no campoantesde alcancar (momentanea-mente)o repouso?(b) Quantotempolevara paraisso?(c) Se,em vez disso,a regiaodo camposeestendessesomentepor � mm (distanciamuito pequenaparapa-rar o eletron),quefracao daenergia cineticainicial doeletronseriaperdidanessaregiao?� (a) Primeiro,calculemosa aceleraçaodo eletronde-vidaaocampo:

h ��òg � �)�� Q��,�-� ? % " #X�)�� ,�-� : #��B�,�-� ?A: % �� U Q�� !�\% [ m/s� �Portanto,usandoo fato que � � !� �3 P� h ��ds� 3 # edefinindo�+P��,� 3 temos,paraadistanciaviajada:�� 3� h �aCG� �� !��@$# ��r�)�� U Q�� !� % [ # U ��+� �!� ? � m �(b) Usandoo fatoque �� 3 h _ e que �x*� , temos_` � 3h CG� �� !��@�� U Q�� !� % [ {�� J ��,�-� ?A" s�



(c) Bastadeterminara velocidadedo eletronquandoocampoterminar. Paratanto,usamos� � "� �3 *� h Õ ,onde ÕÒ*��,�-�9?A: m ea extensaodocampo.� � � �3 �� h Õ �OCG� ��,�-� @ # � Z�r�8�� U Q+� �!� % [ #X�O�� !� ?H: # ��G�D�+��-� % � m/s� �Portanto,afracaodaenergiacineticaperdidaedadapor~ºZ~ 3~ 3 � � #� �3� �3 ��G�D�SZ��C��C T �9�n��ouseja,perde ��D��Û dasuaenergiacinetica.Sevocegostade trabalharmais,podecalcularasener-giasexplicitamentee determinaro mesmopercentual.A energiacinetica ~ perdidaedadapor~ �� g$�%� � �� O�9�n�B� �!� ?H: % #$�O��G�D�� !� % � # �� <�,�-� ? % f J�A energiacineticainicial ~ 3 era~ 3 �� g$�%� �3 �� O�9�n�B� �!� ?A: % #$�OC9� ��,�-� @ # � ��n�-;�� !� ? % f J�E 24-49.

Na experienciadeMilikan, umagotaderaio �� Q J R m ededensidade�9� ��C9� g/cm: ficasuspensanacamarainfe-rior quandoo campoeletricoaplicadotemmoduloiguala �� \�<�e�-� ¯ N/C. Determineacargadagotaemtermosde � .� Para a gota estarem equilıbrio e necessario que aforca gravitacional (peso)estejacontrabalançadapelaforca eletrostaticaassociadaao campoeletrico, ou se-ja, eprecisoter-se g�¸x*IÂò , ondeg eamassadagota,I e a carga sobrea gotae ò e a magnitudedo campoeletricono quala gotaesta imersa.A massada gotaedadapor g '&)(� � J�K i ;\# N :*( , ondeN e seuraio e (e a suadensidadedemassa.Comisto tudo,temosI� gE¸ò J�K N : (�¸;�ò

J�K �)�� Q J �,�-�9?A@ m#8:��O��C9� kg/m:$#$�� m/s� #;��)�� \�&�,�-� ¯ N/C# �� ,�-� ? % " C y

e,portanto,

Ô¡ I� �� \��Q+� �!�G? % " C�� Q�� !� ? % " CcC9y

ouseja,IBcC�� .P 24-54.

Duasgrandesplacasdecobre,paralelas,estaoseparadaspor C cmeentreelasexisteumcampoeletricouniformecomoe mostradona Fig. 24-39. Um eletron e libera-do daplacanegativa aomesmotempoqueum protoneliberadodaplacapositiva. Desprezea forca queexisteentreaspartıculase determinea distanciadecadaumadelasate a placapositiva no momentoemqueelaspas-samumapelaoutra. (naoe precisoconhecero modulodo campoeletricopararesolver esteproblema.Issolhecausaalgumasurpresa?)� A aceleraçaodoprotone h,+ P��ò i g + eaaceleraçaodo eletrone h �&Ã �!ò i g$� , onde ò e a magnitudedocampoeletrico e g + e g � representamas massasdoprotone doeletron,respectivamente.Consideremosa origem de referenciacomo sendonaposicao inicial do proton na placaa esquerda.Assimsendo,a coordenadado protonnuminstante_ qualquere dadapor � + h,+ _ � i � enquantoque a coordenadado eletron e �-�� £.� h ��_ � i � . As partıculas pas-samuma pela outra quandosuascoordenadascoinci-dem, � + /�-� , ou seja,quandoh,+ _ � i ��Ò£Z� h �6_ � i � .Istoocorrequando_ � c��£ i � h,+ h ��# , quenosfornece� + h�+h + h � £ ��ò i g +�!ò i g + ��ò i g � £ g �g � ��g + £ ��<�,�-�9?A: %�9�n�� !� ?H: % �P�� Q U �,�-� ? � f �O�9� ��C�� m# �G� U �,�-� ? ¯ m �G� U �,�-� ?A: cm�Portanto,enquantoo eletronpercorreos C cm entreasplacas,o protonmal conseguiumover-se!

P 24-55.� (a) Suponhaqueo pendulofaca um angulo ´ comavertical. Desenhado-seo diagramadeforcastemosg�¸



parabaixo, a tensao no fio, fazendoum angulo ´ paraa esquerdado vetor IÂò , queapontaparacima ja queacargae positiva.Consideremoso anguloassimdefinidocomosendopo-sitivo. Entaoo torquesobrea esferaemtornodo pontoondeo fio estaamarradoa placasuperiore. �&��g�¸��IÂò�#4ï sen9�Se g�¸ � IÂò , entaoo torquee um torquerestaurador:eletendeaempurraro pendulodevoltaasuaposicaodeequilıbrio.Sea amplitudedeoscilacao e pequena,sen podesersubstituidopor ´ emradianos,sendoentaoo torqueda-dopor . �&��g�¸+,IÂò�#4ïX´9�O torquee proporcionalao deslocamentoangulare opendulomove-senum movimentoharmonico simples.Suafrequenciaangulare� ¢ ��gE¸��IÂò�#�ï i �yonde e o momentode inerciarotacionaldo pendulo.Comoparaumpendulosimplessabemosque �Pg�ï � ,segueque

� W ��gE¸�,IÂò+#�ïgEï � W ¸�,IÂò i gïe o perıodoe

»P � K� {� K0/ ï¸��IÂò i g �Quando IÂò � gE¸ o torque nao e restauradore opendulonaooscila.

(b) A forca do campoeletricoesta agoraparabaixoe otorquesobreo penduloe. T&��gE¸<��IÂò+#�ïX´seo deslocamentofor pequeno.O perıododeoscilacaoe

»*{� K0/ ï¸��IÂò i g �P 24-56.

NaFig.24-41,umcampoeletrico ñ , demodulo �r�x�!��:N/C, apontandoparacima, e estabelecidoentre duasplacashorizontais,carregando-sea placainferior posi-tivamentee a placasuperiornegativamente.As placastem comprimento£ è�-� cm e separaçao �>0� cm.Um eletrone, entao,lancadoentreasplacasa partir daextremidadeesquerdada placainferior. A velocidadeinicial tem um modulode QE��-��@ m/s. (a) Atingira oeletronumadasplacas?(b) Sendoassim,qualdelase aquedistanciahorizontala partir daextremidadeesquer-da?� Considerea origem � comosendoo pontoemqueoeletrone projetadoparao interior do campo.Seja �� oeixohorizontale �� o eixoverticalindicadonaFig.???-36. Oriente �� daesquerdaparaa direitae �� debaixoparacima, comoa cargado eletrone negativa, a forcaeletricaesta orientadade cima parabaixo (no sentidoopostoaosentidodo campoeletrico). A aceleraçaodoeletrone dadapor

h �g �!òg c;9�DCG�!;��,�-� % [ m/s� �

Parasaberseo eletronatingeou nao a placasuperior,devemoscalcularinicialmenteo tempo _ necessario pa-ra queeleatinjaa altura �T�� \� m daplacasuperior.Podemosescreveraseguinterelacao:

��1� 3 sen�#4_�� h _ �� Temos: � 3 sen Ï�OQ9� �=�>�-��@$# sen

J C 3 J � � J �>�-��@m/s.Substituindoosvaloresadequadosnarelacaoante-rior e resolvendoa equaçaodo segundograuem _ , en-contramos:

_ % *Q�� J �� !� ?H" s e _ � �� U�U�J �,�-� ?HÁ s�O menorvalor de _ e o quenosinteressa(o outro cor-respondeaotrechodescendentedatrajetoria). Nestein-tervalodetempo_ % o eletronsedeslocouumadistancia� dadapor�=T�2� 3 ¼X½�¾9´�#4_ % � J � � J � �!� @ #$��Q9� J �� !� ?A" # �9� �� U � m � �G� U � cm�Como �9� U � ± �-� cm, concluimosque: (a) o eletronatingea placasuperior, e, (b) numpontosituadoa �9� U �cmdaextremidadeesquerdadaplacasuperior.



24.2.7 Um dipolo num campoeletrico

P 24-60.

Determine a frequencia de oscilacao de um dipoloeletrico,demomentodedipolo Þ e momentodeinercia , parapequenasamplitudesdeoscilacao,emtornodesuaposicaodeequilıbrio, numcampoeletricouniformedemodulo ò .� A magnitudedo torquequeatuano dipolo eletricoedadapor . Þ ò sen , ondeÞ e a magnitudedo mo-mentode dipolo, ò e a magnitudedo campoeletricoe ´ e o anguloentreo momentode dipolo e o campoeletrico.O torquee sempre‘restaurador’:elesempretendeagi-rar o momentodedipolo emdirecaoaocampoeletrico.

Se ´ e positivo o torquee negativo e vice-versa: . Þ ò sen .Quandoa amplitudedo movimento e pequena,pode-mos substituir sen por ´ em radianos. Nestecaso,. Þ òB´ . Como a magnitudedo torque e pro-porcionalao angulo de rotacao, o dipolo oscila nummovimentoharmonicosimples,demodoanalogoa umpendulodetorsaocomconstantedetorsao t, Þ ò . Afrequenciaangulare dadapor� � t Þ ò yonde e o momentode inercia rotacionaldo dipolo.Portanto,a frequenciadeoscilacaoe

à� �� K �� K W Þ ò �



25 Lei deGauss

25.1 Questoes

Q 25-4.

Considereuma superfıcie gaussianaenvolvendoparteda distribuicao de cargasmostradana Fig. 25-22. (a)Qualdascargascontribui parao campoeletriconopon-to ù ? (b) O valor obtido parao fluxo atraves da su-perfıciecirculada,usando-seapenasoscamposeletricosdevidosa I % e I � , seriamaior, igualou menorqueo va-lor obtidousando-seo campototal?

� (a) Todasascargascontribuemparao campo.Ouse-ja, o campoe devido a todasascargas.(b) O fluxo totale sempreo mesmo.Por estaremfora da gaussiana,ascargas I : e I [ naocontribuemefetivamenteparao flu-xo totalumavezquetodofluxo individualaelasdevidoentra poremtambemsaidasuperfıcie.

Q 25-5.

Umacargapuntiformee colocadanocentrodeumasu-perfıcie gaussianaesferica. O valor do fluxo 3 mudarase (a) a esferafor substituıda por um cubode mesmovolume?(b) asuperfıcie for substituidaporumcubodevolumedezvezesmenor? (c) a carga for afastadadocentrodaesferaoriginal, permanecendo,entretanto,noseuinterior?(d) acargafor removidaparaforadaesferaoriginal? (e) umasegundacargafor colocadaproxima,e fora, da esferaoriginal? (f) uma segundacarga forcolocadadentrodasuperfıciegaussiana?� (a) Nao. O fluxo total so dependeda carga total nointerior da superfıcie gaussianaconsiderada.A formadasuperfıciegaussianaconsideradanaoe relevante.

(b) Nao. O fluxo total so dependedacargatotal no in-terior da superfıcie gaussianaconsiderada.O volumeenglobadopelasuperfıcie gaussianaconsideradanao erelevante.

(c) Nao. O fluxo total so dependedacargatotal no in-terior da superfıcie gaussianaconsiderada.A posicaodascargasnao alterao valor do fluxo total atravesdasuperfıcie gaussianaconsiderada,desdequeo o valordestacarga total naosejamodificado.

(d)Sim. Nestecaso,comoacargatotalnointeriordasu-perfıciegaussianaconsideradae nula,o fluxo total seraiguala zero.

(e)Nao.O fluxo totalso dependedacargatotalno inte-rior dasuperfıcie gaussianaconsiderada.Colocando-seumasegundacarga fora da superfıcie gaussianacon-siderada,naoocorrera nenhumavariacaodo fluxo total(que e determinadoapenaspelascargasinternas). Ascargasexternasproduzemumfluxo nuloatravesdasu-perfıciegaussianaconsiderada.

(f) Sim. Nestecaso, como a carga total no interiordasuperfıcie gaussianaconsideradapassaa serigual aI % ��I-� , o fluxo total e iguala �OI % �>I$��# i L 3 .Q 25-7.

Suponhaquea cargalıquidacontidaemumasuperfıciegaussianasejanula. Podemosconcluirda lei deGaussque ñ e igual a zero em todosos pontossobrea su-perfıcie? E verdadeiraa recıproca,ou seja,seo campoeletrico ñ emtodosospontossobreasuperfıcie for nu-lo, a lei de Gaussrequerquea carga lıquidadentrodasuperfıciesejanula?� Seacargatotalfor nulapodemosconlcuirqueo fluxototalsobreagaussianaezeromasnaopodemosconcluirnadasobreo valorde ñ emcadapontoindividualdasu-perfıcie. Paraconvencer-sedisto,estudeo campogera-doporumdipolosobreumagaussianaqueo envolva.Ocampoñ sobrea gaussiananaoprecisaserhomogeneoparaa integralsobreasuperfıciedarzero.A recıprocae verdadeira,poisnestecasoa integral seracalculadasobreo produtodedoisvetores,umdoisquaise identicamentenulosobretodaa gaussiana.

Q Extra – 25-8da terceira edicaodo livro

Nalei deGauss, L �54ãñ�687�9ÃPIVyo campoñ e necessariamentedevido acarga I ?� Nao. O fluxo total atraves da gaussianadependedo excessode carga (i.e. da carganao-balanceada)ne-la contida. O campoeletrico ñ em cadapontoda su-perfıcie gaussianadependede todasas cargasexisten-



tes, internasounao.O queocorreeque,comodemons-tradonoExemplo25-1do livro texto, o fluxo totaldevi-doaqualquercargaexternaserasemprezeropois“todocampoqueentranagaussiana,tambemira sairdagaus-siana”.RevejaosdoisparagrafosabaixodaEq.25-8.


25.2.1 Fluxo do campoeletrico

E 25-2.

A superfıciequadradadaFig. 25-24,tem ;9�D� mmdela-do. Ela esta imersanum campoeletricouniformecomòT��!�� N/C.As linhasdocampoformamumangulode ;\C ö com a normal “apontandoparafora”, como emostrado.Calcularo fluxo atravesdasuperfıcie.� Emtodosospontosdasuperfıcie,o modulodocampoeletricovale �-�� N/C, eo angulo , entreñ eanormaldasuperfıcied9 , edadopor ´+T�)�-�� ö e;�C ö #k.� J C ö .Note que o fluxo esta definido tanto para superfıciesabertasquantofechadas.Sejaa superfıcie comofor, aintegraldevesersemprecomputadasobreela.Portanto,:-; 4ãñ�6-�<9

ò ¼$½�¾G´B�<= ò>=d¼X½�¾9´ �8�-�� N/C#$��9� ��;�� m# � ¼$½�¾ � J C�3 �� !CG� N.m� /C �Notequeo objetivo destaquestaoe relembrarcomofa-zercorretamenteum produtoescalar:antesdemediroanguloentreos vetorese precisoquecertificar-sequeambosestejamaplicadosaomesmoponto, ou seja,queambasflechaspartamdeummesmopontonoespac¸o (enaoqueumvetorpartada‘ponta’ dooutro,comoquan-do fazemossuasoma).

25.2.2 Lei deGauss

E 25-7.

Umacargapuntiformede �� <R C encontra-seno centrodeumasuperfıciegaussianacubicade C�C cm dearesta.Calculeo valor 3 ; atravesdestasuperfıcie.

� Usandoa Eq. 9, encontramoso fluxo atravesda su-perfıcie gaussianafechadaconsiderada(que, no casodesteexercıcio, e umcubo):

:-; ?4ãñ�6$�<9 IL 3 �� +�,�-�9?A@ C�� \C��,�-� ? % � C� /(N m� ) �9� ��;+�,�-� ¯ N m� /C �P 25-11.

Determinou-se,experimentalmente,queo campoeletri-co numacertaregiaodaatmosferaterrestreesta dirigi-do verticalmenteparabaixo. Numaaltitudede ;�� mo campotemmodulode Q�� N/C enquantoquea �� ocampovale �!�� N/C. Determineacargalıquidacontidanumcubode �!�� m dearesta,comasfaceshorizontaisnasaltitudesde �� e ;�� m. Desprezea curvaturadaTerra.� Chamemosde = a areade umafacedo cubo, ò ð amagnitudedocamponafacesuperiore ò | a magnitudena faceinferior. Comoo campoapontaparabaixo, ofluxo atravesdafacesuperiore negativo (poisentra nocubo)enquantoqueo fluxo nafaceinferior epositivo. Ofluxo atravesdasoutrasfacesezero,demodoqueo flu-xo totalatravesdasuperfıciedocuboe 3s@=+��ò |oSò ð # .A cargalıquidapodeagoraserdeterminadafacilmentecoma lei deGauss:IB L 3 3 L 3 =��ò | �ò ð # �O�9� ��C��,�-� ? % � #X�8�-��\# � �)�-��<,Q��# ;�� C J � �!� ?H@ C ;�� C J R C �P 25-13.

UmacargapuntiformeI e colocadaemumdosverticesdeum cubodearestah . Quale o valor do fluxo atravesdecadaumadasfacesdocubo?(Sugestao: Usea lei deGausse osargumentosdesimetria.)� ConsidereumsistemadereferenciaCartesianoáBA+ønoespac¸o, centradonacarga I , esobretal sistemacolo-queo cubodemodoa ter tresdesuasarestasalinhadascom os eixos, indo de �O�9y��y��\# ate os pontos � h y��y��\# ,�O�9y h yo��# e ��y��y h # .



Usandoa lei deGauss:O fluxo eletricosobrecadaumadastresfacesqueestaosobreosplanosáCA , á,ø e A�øe igual a zero pois sobreelasos vetores ñ e �<9 saoortogonais(i.e.seuprodutoescalare nulo).Comosepodeperceberdasimetriadoproblema,o fluxoeletricosobrecadaumadastresfacesrestantese exata-menteo mesmo.Portanto,paradeterminaro fluxo total,bastacalcularo fluxo sobreumaqualquerdestastresfa-cesmultiplicando-setal resultadopor tres. Paratanto,consideremosa facesuperiordocubo, paralelaaoplanoáBA , esobreelaumelementodearea�<={c��A�� . Paraqualquerponto ù sobreestafaceo modulo do campoeletricoeòT �J�KML 3 IN � �J�KML 3 Ih � �� Chamandode ´ o angulo que a direcao do campoeletrico em ù faz com o eixo ø percebemosqueesteangulocoincidecomo anguloentrea normal 9 e ñ e,ainda,que ¼X½\¾G´� h i N . Portanto,o fluxo eletricoedadopelaseguinteintegral::

face 4 ñ�6!�D9 òZ¼$½�¾G´B�� h IJ�KML 3 õ3 õ3 ��1�� h � �� Z� � # : ¹ � �

Observe que a integral e sobreuma superfıcie aberta,pois correspondeao fluxo parcial, devido a uma dasarestasapenas.Integrandoemrelacaoa � e depoisin-tegrandoemrelacaoa � comauxılio dasintegraisdadasnoApendiceG, encontramoso fluxo eletricosobreafa-ceemquestaocomosendodadopor:

face I� J�L 3 �Portanto,o fluxo totalsobretodoo cuboe

3s*; : face I� L 3 �Usando argumentosde simetria: E a maneiramaissimplesdeobtera resposta,pois prescindeda necessi-dadedacalculara integral dupla. Porem,requermaiormaturidadenamateria. Observandoa figurado proble-ma,vemosquecolocando-se8 cubosidenticosaoredordacarga I poderemosusara lei deGaussparadetermi-narqueo fluxo total atravesdos8 cubosedadopor:

total IL 3 �

Devido a simetria,percebemosqueo fluxo 3 sobreca-daumdos8 cubosesempreo mesmoeque,portanto,ofluxo 3 sobreumcubovale

3s : total� I� L 3 yque,emparticular, e o fluxo sobreo cubodo problemaemquestao.Simplese bonito,nao?

25.2.3 Um condutor carregadoisolado

E 25-16.

Umaesferacondutorauniformementecarregada,de ��D�m dediametro,possuiumadensidadesuperficialdecar-gade �9�n�ÐR C/m� . (a) Determinea cargasobrea esfera.(b) Qualeo valordofluxo eletricototalqueestadeixan-doa superfıciedaesfera?� (a) A cargasobrea esferasera

I� � ={ � J�K N � *;�� Q�Q+�,�-� ? ¯ C c;�Q�� QPR C �(b) Deacordocoma lei deGauss,o fluxo edadopor: ; IL 3 J �n� J �,�-� @ N m� /C �P 25-19.

Um condutorisolado,de forma arbitraria, possuiumacargatotal de �+�!��-�G?H@ C. Dentrodo condutorexis-te umacavidadeoca,no interior da qualha umacargapuntiformeIBc�<;��-�G?H@ C. Qualeacarga: (a) sobrea parededacavidadee (b) sobrea superfıcieexternadacondutor?� (a) O desenhoabaixoilustra a situacao propostanoproblema.

ConsidereumasuperfıciegaussianaE envolvendoa ca-vidadedocondutor. A carga I encontra-senointeriordacavidadeeseja¤ % acargainduzidanasuperfıcieinternadacavidadedo condutor. Lembrequeo campoeletrico



ò no interior dapartemacica deum condutore sempreiguala zero.Aplicandoa lei deGauss,encontramos:: ; 4 ñ�6-�<9Ã Ir��¤ %L 3 �Como ò0ã� , devemoster ��I��P¤ % # i L 3 � , ou seja,que ¤ % . IB� ;�� +R C å(b) Comoa cargatotal do condutore de �-�&R C, vemosquea carga ¤B� sobrea superfıcie externada condutordeveraserde¤ � ��-��Z¤ % .�!��s�8 ;�#`{�+�!;PR C �25.2.4 Lei deGauss:simetria cilındrica

E 25-21.

Umalinha infinita decargasproduzumcampodeJ �DC<��-��[ N/C a umadistanciade � m. Calculea densidade

lineardecargasobrea linha.� Usandoa expressao parao campodevido a umali-nhadecargas,òT i �a� KML 3 N # , Eq.25-14,encontramosfacilmenteque

��a� KML 3 N #8ò/cC9� ��>R C/m�P 25-23.� UseumasuperfıcieGaussiana= cilındricaderaio N e

comprimentounitario,concentricacomo tubometalico.Entao,porsimetria,

4 Ö ñ�6!�D9Ã{� K N òT I dentroj 3 �(a)Para N � ô , temosI dentro , demodoque

òT � K N j 3 �(b) Para N ± ô , a carga dentroe zero,o que implicatermos òTP�.

Parapodermosfixar a escalaverticaldafigura,precisa-mosdeterminaro valornumericodocamponopontodetransicao, ôÀ*; cm:ò � K N j 3 �G� �� !� ?HÁ� K �� ;��\#X�� \C&�,�-� ? % � # ��D��,�-� [ N/C �

P 25-24.� Useumasuperfıcie Gaussiana= cilındricaderaio Ne comprimentounitario, concentricacom amboscilin-dros.Entao,a lei deGaussfornece-nos

4 Ö ñ�6!�D9Ã{� K N ò/ I dentroj 3 ydeondeobtemos òT I dentro� KHj 3 N �(a)Para N ± h acargadentroezeroe,portantoò�c� .(b) Para h ± N ±GF acargadentroe , demodoque� òE�� KHj 3 N �P 25-26.

A Fig. 25-32mostraumcontador deGeiger, dispositi-vo usadoparadetectarradiacaoionizante(radiacaoquecausaa ionizacaode atomos).O contadorconsisteemum fio central,fino, carregadopositivamente,circunda-do por um cilindro condutorcircular concentrico,comumacarga igual negativa. Dessemodo,um forte cam-po eletricoradial e criadono interior do cilindro. O ci-lindro contem um gas inertea baixapressao. Quandoumapartıcula de radiacao entrano dispositivo atravesdaparededo cilindro, ionizaalgunsatomosdo gas. Oseletronslivresresultantessaoatraidosparao fio positi-vo. Entretanto,o campoeletricoe taointensoque,entreas colisoescom outrosatomosdo gas, os eletronsli-vresganhamenergiasuficienteparaioniza-lostambem.



Criam-seassim,maiseletronslivres,processoquesere-peteate oseletronsalcancaremo fio. A “avalanche”deeletronsecoletadapelofio, gerandoumsinalusadopararegistrara passagemdapartıculaderadiacao. Suponhaqueo raiodofio centralsejade ��CkR m; o raiodocilindrosejade �� J cm; o comprimentodo tubosejade �-Q cm.Seo campoeletriconaparedeinternadocilindro for de�G� �=�>�!��[ N/C, qual sera a carga total positiva sobreofio central?� O campoeletrico e radial e apontaparafora do fiocentral. Desejamosdescobrirsuamagnitudena regiaoentreo fio e o cilindro, emfuncaodadistancia N a par-tir do fio. Paratanto,usamosumasuperfıciaGaussianacoma formadeum cilindro comraio N e comprimentoï , concentricacomo fio. O raioemaiordoqueo raiodofio e menordo queo raio internoda paredecilındrica.Apenasa cargasobreo fio esta localizadadentrodasu-perfıcieGaussiana.Chamemo-lade I .A area da superfıcie arredondadada Gaussianacilındricae � K N ï e o fluxo atravesdelae 3 ã� K N ï$ò .Sedesprezarmoso fluxo atravesdasextremidadesdoci-lindro, entaoo 3 sera o fluxo total e a lei deGaussnosforneceIBc� KML 3 N ï$ò . Comoa magnitudedocamponaparededocilindro econhecida,suponhaqueasuperfıcieGaussianasejacoincidentecoma parede.Nestecaso,Ne o raiodaparedeeI� � K �O�9� ��C+��-� ? % � #X�O�9� �9� J #X�O�9�n�-Q�#$�O�9� �+� �!� [ # ;9� Q��,�-� ?H" C �P 25-30.

Uma carga esta uniformementedistribuida atraves dovolumede um cilindro infinitamentelongo de raio ô .(a) Mostreque ò a umadistanciaN do eixo do cilindro( N ± ô ) edadopor ò/ ( N� L 3 yonde ( e a densidadevolumetricadecarga. (b) Escrevaumaexpressaoparaò a umadistanciaN � ô .� (a) O cırculo cheio no diagramaabaixo mostraa seccao reta do cilindro carregado, enquantoque ocırculo tracejadocorrespondea seccaoretadeumasu-perfıcieGaussianadeformacilındrica,concentricacomo cilindro de carga, e tendoraio N e comprimentoï .Queremosusara lei de Gaussparaencontrarumaex-pressaoparaa magnitudedo campoeletricosobrea su-perfıcieGaussiana.

A cargadentrodaGaussianacilındricae

IB@(H&T�(�� K N � ï-#�yonde &T K N � ï e o volumedocilindro. Se ( e positivo,as linhasde campoeletrico apontamradialmenteparafora, sao normaisa superfıcie arredondadado cilindroe estaodistribuidasuniformementesobreela. Nenhumfluxo atravessaasbasesdaGaussiana.Portanto,o fluxototal atravesdaGaussianae 3c.òI=T�� K ô�ï$ò , onde=c h K N ï eaareadaporcaoarredondadadaGaussiana.

A lei deGauss(L 3 3s*I ) nosforneceentao � KML 3 N ï$òTK N � ïJ( , deondetira-sefacilmenteque

òT ( N� L 3 �(b) nestecasoconsideramosa Gaussianacomo sendoum cilindro de comprimentoï e com raio N maior queô . O fluxo enovamente3sP� K N ï$ò . A cargadentrodaGaussianae a carga total numaseccaodo cilindro car-regadocom comprimentoï . Ou seja, I� K ô � ïJ( . Alei deGaussnosforneceentao � KML 3 N ï$òÏ K ô � ïJ( , demodoqueo campodesejadoedadopor

òT ô � (� L 3 N �Observe que os valoresdadospelasduasexpressoescoincidemparaN *ô , comoeradeseesperar.

Um graficodavariacaode ò emfuncaode N e bastantesemelhanteaomostradonaFig. 25-21,porem,apresen-tandopara N � ô um decaimentoproporcionala � i N(emvezde � i N � comonaFig. 25-21).

25.2.5 Lei deGauss:simetria plana

E 25-32.

Umaplacametalicaquadradade � cm de ladoe espes-suradesprezıvel temumacargatotal dede Q��,�-�9?A@ C.(a) Estimeo modulode ò docampoeletricolocalizadoimediatamenteforadocentrodaplaca(aumadistancia,digamos,de �� C mm), supondoquea cargaestejauni-formementedistribuidasobreasduasfacesdaplaca.(b)



Estimeo valor do campoa umadistanciade ;�� m (re-lativamentegrande,comparadaao tamanhoda placa),supondoquea placasejaumacargapuntiforme.� (a) Paracalcularo campoeletriconum pontomuitopertodo centrodeumaplacacondutorauniformemen-te carregada,e razoavel substituirmosa placafinita porumaplacainfinita contendoamesmadensidadesuperfi-cial decargae considerara magnitudedo campocomosendoòã � i L 3 , onde � e a densidadedecargadasu-perfıciesobo pontoconsiderado.A cargaestadistribui-dauniformementesobreambasfacesdaplacaoriginal,metadedelaestandopertodo pontoconsiderado.Por-tanto

� I��= Q�� !�G?H@��9� ��\# � J � Q��,�-� ?1[ C/m� �A magnitudedocampoeò/ �L 3 J � Q��,�-�G?A[�9� ��C+� �!� ? % � {CG� ;�� !� f N/C �(b) Paraumadistanciagrandedaplacao campoeletricosera aproximadamenteo mesmoque o produzidoporuma partıcula puntiformecom carga igual a carga to-tal sobrea placa. A magnitudede tal campoe ò�I i � J�KML 3 N � # , ondeN e a distanciaaplaca.PortantoòT ��x�,�-��"$#X�OQx� �!�G?H@$#;�� PQ�� N/C �P 25-34.

Na Fig. 25-36, uma pequenabola, nao-condutora,demassa� mg e carga Ic � �P�!�G?AÁ C uniformemen-te distribuida,esta suspensapor um fio isolantequefazumangulo�c;�� ö comumachapanao-condutora,ver-tical, uniformementecarregada. Considerandoo pesodabolae supondoa chapaextensa,calculea densidadesuperficialdecarga � dachapa.� Tresforcasatuamnapequenabola: (i) umaforcagra-vitacionaldemagnitudeg�¸ , onde g e a massadabo-la, atuana vertical,de cima parabaixo, (ii) umaforcaeletrica de magnitudeIÂò atuaperpendicularmenteaoplano, afastando-sedele, e (iii) e a tensao » no fio,atuandoao longo dele,apontandoparacima, e fazen-doumangulo ( *;�� ö ) coma vertical.Como a bola esta em equilıbrio, a forca total resul-tante sobre ela deve ser nula, fornecendo-nosduasequaçoes,somadascomponentesverticaisehorizontaisdasforcas,respectivamente:»¼X½\¾G´B gE¸ �9y �LK vertical#IÂò.,» sen �9��MK horizontal#

Substituindo-se» IÂò i sen , tirado da segundaequaçao,naprimeira,obtemosIÂòT*gE¸ tan ´ .O campoeletrico por um planograndee uniformedecargase dadopor ò0 � i �a� L 3 # , onde � e a densidadesuperficialdecarga.Portanto,temosI �� L 3 Pg�¸ tan ´deondeseextrai facilmenteque

� � L 3 g�¸ tan Í ��9� ��C��,�-�G? % � #X�8�B� �!�G?A@-#X�� \# tan ;�� ö��,�-� ?AÁ C C9� ��,�-� ?H" C/m� �P 25-35.

Um eletron e projetadodiretamentesobreo centrodeuma grandeplaca metalica, carregadanegativamentecom uma densidadesuperficial de carga de modulo�� !�G?A@ C/m� . Sabendo-sequeaenergiacineticainicialdoeletronede �-�� eV equeelepara(devido arepulsaoeletrostatica)imediatamenteantesdealcancaraplaca,aquedistanciadaplacaelefoi lancado?� A carganegativa sobrea placametalica exerceumaforca de repulsao sobreo eletron, desacelerando-oeparando-oimediatamenteantesdeletocarnasuperfıciedaplaca.Primeiramente,vamosdeterminarumaexpressao paraa aceleraçao do eletron,usandoentaoa cinematicapa-ra determinara distanciade paragem. Consideremosa direcao inicial do movimento do eltron como sen-do positiva. Nestecasoo campoeletrico e dadoporòT � i L 3 , onde� e adensidadesuperficialdecarganaplaca.A forca sobreo eletrone �.T ��òT� � � i L 3 eaaceleraçaoe

h �g T � �L 3 g yondeg e a massadoeletron.A forca e constante,de modo que podemosusar asformulasparaaceleraçao constante.Chamandode � 3a velocidadeinicial do eletron, � suavelocidadefinal,e � a distanciaviajadaentreasposicoesinicial e final,temosque � � �� 3 Ñ� h � . Substituindo-se�*Ñ� eh � � i � L 3 g# nestaexpressaoe resolvendo-apara�encontramos�=. � �3� h L 3 gN� �3�� L 3 ~ 3� � y



onde ~ 3 z*gO� �3 i � e aenergiacineticainicial.Antesdeaplicara formula,e precisoconvertero valordadode ~ 3 parajoules. Do apendiceF do livro tira-mos que � eV �� Q��d�P�-�9? % " J, donde �!�� eV �� Q��,�-�9? % f J.Portanto� �� \C+� �!�G? % � #$�)�� Q��,�-�9? % f$#�)�� Q�� !� ? % " #$�O��,�-� ?H@ # J � J � �!� ?A[ m �P 25-39� .

Uma chapaplana,de espessura� , tem umadensidadevolumetricade carga igual a ( . Determineo modulodo campoeletricoemtodosospontosdo espac¸o tanto:(a) dentrocomo (b) fora da chapa,em termosde � , adistanciamedidaa partir doplanocentraldachapa.� Suponhaquea cargatotal ��¤ estejauniformementedistribuidaao longodachapa.Considerandoumaareamuitogrande(oumelhor, parapontosproximosdocen-tro dachapa),podemosimaginarqueo campoeletricopossuaumadirecaoortogonalaoplanodasuperfıcieex-ternada placa; a simetriadestachapauniformementecarregadaindica queo modulo do campovaria com adistancia � . No centroda chapa,a simetriado proble-ma indicaqueo campoeletricodeve sernulo, ou seja,ò�¬� , para �.¬� . Na figura da solucao destepro-blemamostramosumasuperfıciegaussianacilındrica Ecujasbasessaoparalelasasfacesdachapa.

Seja = a areadabasedestasuperfıciegaussianaE . Co-mo as duasbasesda superfıcie gaussianacilındrica Eestao igualmenteafastadasdo plano central � � elembrandoqueo vetorE e ortogonalaovetordA nasu-perfıcielateraldasuperfıciegaussianacilındrica E , con-cluımosqueo fluxo totalatravesdasuperfıciegaussianacilındrica E e dadopor:-; �4 ñ@6$�D9ºP��òP=onde ò e o modulodo campoeletricoa umadistancia� do planocentral �P0� . A carga I |RQ ÷ englobadanointerior dasuperfıcie gaussianacilındrica E e dadape-la integral de (c�H& no volume situadono interior da

superfıciegaussianacilındrica E . Comoa densidadedecarga ( econstante,acargatotalnointeriordasuperfıcieE e dadapor I |RQ ÷ �(H�O��S=�#X�Portanto,aplicandoalei deGaussparaasuperfıciecon-siderada,encontramosfacilmentea seguinteresposta:òT (\�L 3 �(b) Construanovamenteumasuperfıciegaussianacilın-dricacontendotodaa chapa,isto e,construanovamenteumasuperfıciesemelhanteagaussianacilındrica E indi-cadanafiguradasolucaodesteproblema,onde,agora,a areadabase= esta situadaa umadistancia �� i �doplanocentral�e{� . Deacordocoma figura,vemosfacilmenteque,nestecaso,temos:I |RQ ÷ �(H=S�1�Portanto,aplicandoa lei de Gausspara a superfıciegaussianacilındrica considerada,encontramosfacil-mentea seguinteresposta:òT (V�� L 3 �25.2.6 Lei deGauss:simetria esferica

P 25-40.Umaesferacondutorade �-� cmdaraiopossuiumacar-ga de valor desconhecido.Sabendo-seque o campoeletrico a distanciade ��C cm do centroda esferatemmoduloigual a ;E�Z�-� : N/C e apontaradialmenteparadentro,quale cargalıquidasobrea esfera?� A carga esta distribuida uniformementesobrea su-perfıcie da esferae o campoeletrico que ela produzem pontos fora da esferae como o campo de umapartıcula puntiformecom carga igual a carga total so-brea esfera.Ouseja,a magnitudedocampoe dadoporòÃ/I i � J�KML 3 N � # , onde I e magnitudedacargasobreaesferae N e a distanciaa partir do centroda esferaaopontoondeo campoe medido.Portanto,temos,

IB J�KML 3 N � òT ��9�n�!C�# � �O;�� !��:$#�� !� " U �DC��,�-� ?H" C �Comocampoapontaparadentro,emdirecaoa esfera,acargasobreaesferae negativa: U �DC+� �!�G?A" C �E 25-41.



� (a) O fluxo continuariaa ser U C�� N 6m� /C, poiseledependeapenasdacargacontidanaGaussiana.

(b) A cargalıquidaeI� j 3 3 �O�9� ��C+� �!� ? % � #$�) U C��#`T Q9� Q J �,�-� ? %43 C

E 25-42.� (a)Para N ± ô , temosò/*� (vejaEq.25-18).

(b) Para N umpoucomaiorde ô , temosò/ �J�KHj 3 IN � Y �J�KHj 3 Iô � �O�9� ��,�-��"-#X�O�9� ��,�-�9?Af$#�O�9�D��C�# � �9� ��,�-� [ N/C �(c) Para N � ô temos,aproveitandoo calculo do itemanterior, ò �J�KHj 3 IN � �O�9� ��-� [ # u �� C;�� w � �� N/C �E 25-45.

Num trabalhoescritoem 1911,ErnestRutherforddis-se: “Para se ter algumaideia das forcas necessariaspara desviar uma partıcula T atraves de um grandeangulo,considereum atomocontendoumacargapun-tiforme positive øS� no seu centrooe circundadaporumadistribuicao de eletricidadenegativa �øS� , unifor-mementedistribuıdadentrodeumaesferaderaio ô . Ocampoeletrico òÃ�$�$� a umadistancia N do centroparaumpontodentro do atmoeòT øS�J�KHj 3 u �N � Nô : w � q qVerifiqueestaexpressao.� Usamosprimeiramentea lei deGaussparaencontraruma expressao paraa magnitudedo campoeletrico aumadistancia N do centrodo atomo. O campoapontaradialmenteparafora e e uniformesobrequalqueres-feraconcentricacomo atomo. EscolhaumasuperfıcieGaussianaesfericade raio N com seucentrono centrodo atomo.

Chamando-sede ò a magnitudedo campo,entaoo flu-xo total atravesda Gaussianae 3 J�K N � ò . A car-gacontidanaGaussianae a somadacargapositiva nocentrocome partedacarganegativaqueesta dentrodaGaussiana.Umavezquea carganegativa e supostaes-tar uniformementedistribuida numaesferade raio ô ,podemoscomputara carganegativa dentrodaGaussia-na usandoa razao dosvolumesdasduasesferas,umaderaio N e a outraderaio ô : a carganegativadentrodaGaussiananadamaisedoque �ø � N : i ô : . Comistotu-do,acargatotaldentrodaGaussianae øS�é,øS� N : i ô�: .A lei deGaussnosforneceentao,semproblemas,queJ�KHj 3 N � ò�ÀøS� u �r N :ô : w ydeondetiramosfacilmenteque,realmente,ò� ø �J�KHj 3 u �N � Nô : w �P 25-47.

Uma cascaesfericametalica, fina e descarregada,temumacargapuntiforme I no centro. Deduzaexpressoesparao campoeletrico: (a) nointeriordacascae (b) foradacasca,usandoa lei deGauss.(c) A cascatemalgumefeito sobreo campocriadopor I ? (d) A presenc¸a dacarga I tem algumainfluenciasobrea distribuicao decargassobrea casca?(e) Seumasegundacargapunti-formefor colocadado ladodeforadacasca,elasofreraaacaodealgumaforca?(f) A cargainternasofreaacaodealgumaforca? (g) Existealgumacontradicaocomaterceiralei deNewton?Justifiquesuaresposta.NOTA: naquartaedicaobrasileirado livro esqueceramdemencionarqueacascaesfericae METALICA!!� Antesderesponderaositens,determinamosumaex-pressao parao campoeletrico, em funcao da distanciaradial N a partir da carga I . Para tanto,consideremosumasuperfıcieGaussianaesfericaderaio N centradanacarga I . A simetriadoproblemanosmostraquea mag-nitude ò e a mesmasobretodasuperfıcie,demodoque

4 ñ�6!�D9Ã J�K N � ò� IL 3 yfornecendo-nos ò�� N #Ð �J�KML 3 IN � yonde I representaa cargadentrodasuperfıcieGaussia-na. Se I for positiva,o campoeletricoapontaparaforadaGaussiana.



(a)Dentrodacascacontendoa carga I temosò�� N #Ð �J�KML 3 IN � �(b) Comofora da cascaa carga lıquidae I , o valor docampoeletricoe o mesmodo itemanterior.(c) Nao,poisnaoinflui nadeducaode ò�� N # , acima.(d) Sim: comoa cascafina e metalica,nasuasuperfıcieinternairaaparecerumacarga I INDUZIDA. Comoacargatotaldacascaesfericaezero,suasuperfıcieexter-nadevera conterumacarga �<I induzida,demodoquea somadeambascargasinduzidassejazero.(e)Claroqueexperimentaraforcaspoisestaraimersanocampoò�� N # devido a cargacentral.(f) Nao,poiso metaldacascablindacamposexternos.(g) Nao.

P 25-48.

A Fig. 25-38 mostrauma esfera,de raio h e carga�<I uniformementedistribuıda atraves de seuvolume,concentricacom umacascaesfericacondutorade raiointerno F eraioexternoê . A cascatemumacargalıquidade I . Determineexpressoesparao campoeletricoemfuncao do raio N nasseguinteslocalizacoes: (a) den-tro da esfera( N ± h ); (b) entre a esferae a casca( h ± N ±UF ); (c) no interior da casca( F>± N ± ê );(d) fora dacasca( N � ê ). (e) Quaissaoascargassobreassuperfıciesinternae externadacasca?� Para comecar, em todospontosondeexiste campoeletrico,eleapontaradialmenteparafora. Emcadapar-tedoproblema,escolheremosumasuperfıcieGaussianaesfericae concentricacom a esferade carga �<I e quepassepelo pontoondedesejamosdeterminaro campoeletrico. Como o campoe uniformesobretoda a su-perfıcie das Gaussianas,temossempreque, qualquerquesejao raio N daGaussianaemquestao,

4 ñ�6$�<9¿ J�KHj 3 N � ò��(a) Aqui temos N ± h e a carga dentroda superfıcieGaussianae IG� N i h #8: . A lei deGaussfornece-nosJ�K N � ò� u Ij 3 w u Nh w : ydondetiramosque ò� I NJ�KHj 3 h : �(b) Agora temos h ± N ±VF , com a carga dentrodaGaussianasendo�<I . Portanto,a lei deGaussaquinos

diz que J�K N � òT Ij 3 ydemodoque òT IJ�KHj 3 N � �(c) Comoa cascae condutora, e muito facil saber-seocampoeletricodentrodela:òTP��(d) Foradacasca,i.e.paraN � ê , acargatotal dentrodasuperfıcieGaussianae zeroe, consequentemente,nestecasoa lei deGaussnosdiz queòTP��(e) TomemosumasuperfıcieGaussianalocalizadaden-tro dacascacondutora.Comoo campoeletrico e zerosobretodasuprfıcie,temosque

3s 4 ñ@6$�<9¿P�e, deacordocoma lei deGauss,a cargalıquidadentrodasuperfıcie e zero. Em outraspalavras,chamandode¤ | a cargasobrea superfıcie internadacasca,a lei deGaussnosdiz quedevemoster I �>¤ | P� , ouseja,¤ | T IV�Chamandoagorade ¤ � acarganasuperfıcieexternadacascae sabendoquea cascatem umacarga lıquidade I (dadodo problema),vemosquee necessario ter-seque ¤ | �>¤P�éT I , o queimplica termos¤ � . I<Z¤B|�� I�F�) I�#b*��P 25-51.

Um protondescreve um movimentocircularcomvelo-cidade�T;��Z�-� ¯ m/saoredore imediatamenteforadeumaesferacarregada,de raio N Ï� cm. Calculeovalordacargasobrea esfera.� O protonesta emmovimentocircularuniformeman-tido pelaforca eletricadacarganaesfera,quefuncionacomo forca centrıpeta. De acordocom a segundaleideNewtonparaummovimentocircularuniforme,sabe-mosque � � cgN� � i N , onde� � e a magnitudedaforca,� e a velocidadedo proton e N e o raio da suaorbita,essencialmenteo mesmoqueo raiodaesfera.



A magnitudeda forca eletricasobreo proton e ��,��I i � J�KML 3 N � # , onde I e a magnitudedacargasobrea es-fera.Portanto,quando��rc� � , temos�J�KML 3 IÂ�N � gN� �N ydemodoquea cargaprocuradaseradadaporI� J�KML 3 gO� � N� �8�� Q U �,�-�G? � f kg#$��;x�,�-� ¯ m/s# � �� m#��,�-� " N m� /C� #X�8�� Q��,�-� ? % " C# �� J nC�P 25-53

Na Fig. 25-41,umacascaesfericanao-condutora,comraio interno h e raio externo F , tem umadensidadevo-lumetricadecargadadapor ( W= i N , onde = e cons-tantee N e a distanciaaocentrodacasca.Al emdisso,umacargapuntiformeI esta localizadano centro.Qualdeve sero valor de = paraqueo campoeletriconacas-ca( hBX N X F ) tenhamoduloconstante?(Sugestao: =dependede h masnaode F .)� O problemapedeparadeterminarumaexpressaopa-ra o campoeletrico dentroda cascaem termosde = eda distanciaao centroda cascae, a seguir, determinaro valor de = de modoque tal camponao dependadadistancia.Paracomecar, vamosescolherumaGaussianaesfericaderaio N � , concentricacomacascaesfericae localizadadentroda casca,i.e. com h ± N � ±YF . Usandoa leide Gausspodemosdeterminara magnitudedo campoeletricoa umadistanciaN � a partirdocentro.A cargacontidasomentesobrea cascadentrodaGaus-sianaeobtidaatravesdaintegral I � �Z[(Ð�H& calculadasobrea porcao da cascacarregadaque esta dentrodaGaussiana.Comoa distribuicaodecargatemsimetriaesferica,po-demosescolher�<& comosendoo volumedeumacascaesfericade raio N e largurainfinitesimal � N , o quedosfornece�H&T J�K N � � N . Portanto,temosI � J�K �]\õ ( N � � N

J�K �]\õ = N N � � N J�K = �]\õ N � N � K =+� N �� h � #��

Assim,a cargatotal dentrodasuperfıcieGaussianaeIv�>I8�éPIr�>� K =�� N �� h � #��O campoeletricoe radial,demodoqueo fluxo atravesdasuperfıcieGaussianae 3� J�K N �� ò , ondeò eamag-nitudedo campo.Aplicandoagoraa lei deGaussobte-mos J�KML 3 ò N �� cIv�� K =+� N �� h � #�ydeondetiramosòT �J�KML 3 ì IN �� K =F � K = h �N �� í9�Paraqueo camposejaindependentede N � devemoses-colher = de modoa que o primeiro e o ultimo termoentrecolchetesse cancelem. Isto ocorrese tivermosI�Z� K = h � c� , ouseja,para

=c I� K h �quandoentaoteremosparaamagnitudedocampoò/ =� L 3 IJ�KML 3-h � �P 25-55� .

Mostrequeo equilıbrioestavel e impossıvelseasunicasforcas atuantesforem forcas eletrostaticas. Sugestao:Suponhaqueumacarga �<I fiqueemequilıbrio estavelaosercolocadanumcertoponto ù numcampoeletricoñ . DesenheumasuperfıcieGaussianaesfericaemtornode ù , imaginecomo ñ deve estarapontandosobreestasuperfıcie, e apliquea lei deGaussparamostrarqueasuposic¸ao[deequilıbrioestavel] levaaumacontradicao.Esseresultadoe conhecidopelo nomede TeoremadeEarnshaw.� Suponhaquenaoexistacarganavizinhacamaisime-diatade I masque a carga I estejaem equilıbrio de-vido a resultantede forcas provenientesde cargasemoutrasposicoes.O campoeletriconaposicao ù de I ezeromas I ira sentirumaforca eletricacasoela venhaa afastar-sedo ponto ù . O queprecisamosmostrarequee impossıvel construir-seem torno de ù um cam-poeletricoresultanteque,emtodasdirecoesdoespac¸o,consiga“empurrar” I de volta parao ponto ù quandoeladestepontoafastar-se.Suponhaque I estejaem ù e envolva-acom umasu-perfıcieGaussianaesfericaextremamentepequena,cen-tradaem ù . Desloqueentao I de ù paraalgumponto



sobrea esferaGaussiana.Se uma forca eletrica con-seguir empurrar I de volta, devera existir um campoeletrico apontandopara dentroda superfıcie. Se umcampoeletricoempurrarI emdirecaoa ù , nao impor-tandoondeisto ocorrasobrea superfıcie, entaodeveraexistir umcampoeletricoqueaponteparadentroemto-dospontosdasuperfıcie. O fluxo lıquidoatravesdasu-perfıcie nao sera zeroe, de acordocom alei de Gauss,deveexistir cargadentrodasuperfıcieGaussiana,o que

e uma contradicao. Concluimos,pois, que o campoatuandonumacarganaopodeempurra-ladevolta a ùparatodosdeslocamentospossıveis e que, portanto,acarganaopodeestaremequilıbrio estavel.Seexistiremlocaissobrea superfıcieGaussianaondeocampoeletricoaponteparadentroe empurreI devoltaparasuaposicaooriginal, entaodeveraoexistir sobreasuperfıcieoutrospontosondeo campoaponteparaforaeempurreI paraforadasuaposicaooriginal.


haliday - exercicios resolvidos-eletromagnetismo.pdf

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