hà m sá»', giá»›i hạn và hà m sá»' liên tục
TRANSCRIPT
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
Trần Bảo Ngọc
Bộ môn Toán, Khoa Khoa học, Đại học Nông Lâm
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
1. Khái niệm và phân loại hàm sô
Các hàm số sơ cấp cơ bản (ở bậc THPT)
Hàm lũy thừa
Ví dụ: x5, x−2 :=1
x2, x
23 :=
3√x2,. . .
Hàm mũ và logarit
Ví dụ: 5x , 2−x :=1
2x, 32x = (3x)2 = 9x , 3x = ex ln 3,. . .
Hàm lượng giácVí dụ: sin x , cos x , tan x , cot x .
Khái niệm hàm số sơ cấp (tổng quát)
Hàm số sơ cấp tổng quát là hàm thu được bằng cách lấy tổng,hiệu, tích, thương, hợp của các hàm sơ cấp cơ bản.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
1. Khái niệm và phân loại hàm số
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
1. Khái niệm và phân loại hàm số
Các hàm số lượng giác ngược
1 y = arcsin x ⇐⇒
{−1 ≤ x ≤ 1, −π
2≤ y ≤ π
2x = sin y
2 y = arccos x ⇐⇒{−1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ πx = cos y
3 y = arctan x ⇐⇒
{x ∈ R, −π
2< y <
π
2x = tan y
4 y = arccot x ⇐⇒{
x ∈ R, 0 < y < πx = cot y
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
1. Khái niệm và phân loại hàm số
Ví dụ 1.1.
a) Tính arcsin(1
2), arccos(−
√3
2), arctan(
√3)
b) Tìm tập xác định của hàm số y = arcsin logx
10
a) arcsin(1
2) =
π
6, arccos(−
√3
2) =
5π
6, arctan(
√3) =
π
3b) Điều kiện xác định của hàm số:
−1 ≤ logx
10≤ 1 (x > 0)⇐⇒ log
1
10≤ log
x
10≤ log 10 (x > 0)
⇐⇒ 1
10≤ x
10≤ 10 (x > 0)
⇐⇒1 ≤ x ≤ 100
Tập xác định của hàm số đã cho là D = [1; 100].
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
1. Khái niệm và phân loại hàm số
Ví dụ 1.2.
Cho hàm số y = arcsin1
x. Tập xác định của hàm số là
A. [−1; 1] B. [−1; 0]
C. [0; 1] D. (−∞;−1] ∪ [1;+∞)
Điều kiện xác định của hàm số:
− 1 ≤ 1
x≤ 1
⇐⇒1 + x
x≥ 0 và
1− x
x≤ 0
⇐⇒x ∈ (−∞;−1] ∪ (0;+∞) và x ∈ (−∞; 0) ∪ [1;+∞)
⇐⇒x ∈ (−∞;−1] ∪ [1;+∞).
Chọn đáp án D.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
1. Khái niệm và phân loại hàm số
Ví dụ 1.3. Chọn phát biểu đúng
A. limx→0
arcsin x = 1 B. limx→0
arctan1
x2= +∞
C. limx→∞
arctan x =π
2D. Nếu arcsin x = arccos y thì x2 + y2 = 1.
A. limx→0
arcsin x = arcsin 0 = 0
B. limx→0
arctan1
x2=π
2C. Vì lim
x→+∞arctan x =
π
2và lim
x→−∞arctan x = −π
2, nên suy ra
limx→∞
arctan x không tồn tại.
D. Đặt α = arcsin x = arccos y suy ra x = sinα và y = cosα.
Ta có x2 + y2 = sin2 α+ cos2 α = 1.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
2. Giới hạn của hàm số
Các định nghĩa giới hạn và tính chất có thể xem trong giáo trình
(đã học ở cấp THPT). Ở đây ta nhấn mạnh:
Các quá trình (được xét trong môn Toán B1)
Ta xét 2 quá trình: x → a, x →∞. Ứng với 2 quá trình đó, cácgiới hạn được xét ở dạng:
limx→a
f (x), limx→∞
f (x).
Các dạng vô định thường gặp
0
0,∞∞
, ∞−∞, 0.∞, ∞0, 0∞, 00 và 1∞.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
2.1. Dạng vô định0
0
Phương pháp
Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ hoặc phép chia Horner đểđặt nhân tử chung rồi khử (rút gọn) lượng vô định. Trường hợp cócăn thức, ta thực hiện trục căn thức.
Ví dụ 2.1.
Tính giới hạn L1 = limx→1
x2 − 1
x3 − 2x2 + 3x − 2.
Ta có L1 = limx→1
(x − 1)(x + 1)
(x − 1)(x2 − x + 2)
= limx→1
x + 1
x2 − x + 2=
1 + 1
12 − 1 + 2= 1.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
2.1. Dạng vô định0
0
Ví dụ 2.2.
Tính giới hạn L2 = limx→1
x −√2− x
x3 − 1.
L2 = limx→1
(x −√2− x)(x +
√2− x)
(x3 − 1)(x +√2− x)
= limx→1
x2 − (2− x)
(x3 − 1)(x +√2− x)
= limx→1
(x − 1)(x + 2)
(x − 1)(x2 + x + 1)(x +√2− x)
= limx→1
x + 2
(x2 + x + 1)(x +√2− x)
=1 + 2
(12 + 1 + 1)(1 +√2− 1)
=1
2.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
2.2. Giới hạn1
0và Giới hạn một bên (trái, phải)
Phương pháp
Sử dụng giới hạn cơ bản1
0= ±∞.
Bài tập 2.3.
Tính giới hạn L3 = limx→2
x2 − 5x + 6
x3 − 6x2 + 12x − 8.
Ta có L3 = limx→2
(x − 2)(x − 3)
(x − 2)3
= limx→2
x − 3
(x − 2)2= −∞
vì limx→2
x − 3
(x − 2)2có dạng cơ bản
1
0và
x − 3
(x − 2)2< 0 khi x tiến tới 2.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
2.2. Giới hạn1
0và Giới hạn một bên (trái, phải)
Chú ý: Các trường hợp không xác định được biểu thức lấygiới hạn âm/dương, ta khẳng định giới hạn không tồn tại.
Ví dụ 2.3
Tính giới hạn L4 = limx→1
x2 + 2x − 3
1− x2.
limx→(−1)−
x2 + 2x − 3
1− x2= lim
x→(−1)−(x − 1)(x + 3)
(1− x)(1 + x)
= limx→(−1)−
−(x + 3)
x + 1= +∞ (1)
limx→(−1)+
x2 + 2x − 3
1− x2= lim
x→(−1)+−(x + 3)
x + 1= −∞ (2)
Từ (1) và (2) suy ra giới hạn L4 không tồn tại.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
2.3. Dạng vô định∞∞
Phương pháp
Chia tử và mẫu cho xbậc cao nhất ở mẫu rồi sử dụng giới hạn cơ bản
limx→∞
1
xk= 0 với k > 0.
Ví dụ 2.4.
Tính giới hạn L5 = limx→+∞
x +√x2 + 2
2x + 3.
Chia tử và mẫu cho x (x > 0) ta được
L5 = limx→+∞
1 +
√1 +
2
x2
2 +3
x
= limx→+∞
1 +√1
2= 1.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
2.3. Dạng vô định∞∞
Ví dụ 2.5. Tính giới hạn
a) L6 = limx→−∞
x2 +√x2 + 2
2x + 3b) L7 = lim
x→+∞
2x + 3
x2 +√x2 + 2
a) Chia tử và mẫu cho x (x < 0) ta được
L6 = limx→−∞
x −√
1 +2
x2
2 +3
x
(=−∞− 1
2
)= −∞.
b) Chia tử và mẫu cho x2 (x2 > 0) ta được
L7 = limx→+∞
2x + 3
x2 +√x2 + 2
= limx→+∞
2
x+
3
x2
1 +
√1 +
2
x2
=0
1 +√1= 0.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
2.3. Dạng vô định∞∞
Từ các ví dụ trước ta dễ dàng rút ra kết luận:
Chú ý: suy ra nhanh kết quả của giới hạn dạng vô định∞∞
a) bậc tử = bậc mẫu: kết quả = tổng hệ số bậc cao nhất ở tửtổng hệ số bậc cao nhất ở mẫu
,
b) bậc tử < bậc mẫu: kết quả = 0,
c) bậc tử > bậc mẫu: kết quả = ±∞.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
2.4. Dạng vô định ∞−∞
Phương pháp
Quy đồng đưa giới hạn đã cho về một trong các dạng0
0,1
0,∞∞
.
Ví dụ 2.6.
Tính giới hạn L8 = limx→2
(1
x2 − x − 2− 1
3x − 6
).
L8 = limx→2
[1
(x + 1)(x − 2)− 1
3(x − 2)
]= lim
x→2
3− (x + 1)
3(x + 1)(x − 2)
= limx→2
2− x
3(x + 1)(x − 2)= lim
x→2
−13(x + 1)
= −1
9.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
2.4. Dạng vô định ∞−∞
Ví dụ 2.7.
Tính giới hạn L9 = limx→0
(1
x− 1
x2 − x
).
Ta có
L9 = limx→0
(x − 1)− 1
x(x − 1)= lim
x→0
x − 2
x(x − 1)
(1
0
).
Mặt khác
limx→0−
x − 2
x(x − 1)= −∞,
limx→0+
x − 2
x(x − 1)= +∞,
nên giới hạn L9 không tồn tại.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
2.4. Dạng vô định ∞−∞Nếu đúng dạng ∞−∞ và xuất hiện căn thức, ta sẽ trục cănthức.
Ví dụ 2.9.
Tính giới hạn L10 = limx→+∞
(√x2 + 3x − x
).
L10 = limx→+∞
(√x2 + 3x − x)(
√x2 + 3x + x)
(√x2 + 3x + x)
= limx→+∞
3x
(√x2 + 3x + x)
(∞∞
)Chia tử và mẫu cho x (x > 0) ta được
L10 = limx→+∞
3√1 + 3
x + 1=
3√1 + 1
=3
2.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
2.5. Các giới hạn cơ bản (dạng 00 và 1∞)
Định lý 1
1 limx→0
sin x
x= 1.
2 limx→0
ln (1 + x)
x= 1.
3 limx→0
ex − 1
x= 1.
Ví dụ 2.10. Tính giới hạn
a) limx→0
tan ax
xb) lim
x→0
1− cos ax
x2.
a) limx→0
tan ax
x= lim
x→0
sin ax
ax.
a
cos ax= a.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
2.5. Các giới hạn cơ bản
b) limx→0
1− cos ax
x2= lim
x→0
2 sin2(ax2
)x2
= limx→0
[sin(ax2
)(ax2
) ]2.a2
2=
a2
2.
Ví dụ 2.11. Tính giới hạn
a) limx→0
ln(cos x)
x2b) lim
x→0+
3x − 1
xc) lim
x→1
x − 1
lg x.
a) limx→0
ln(cos x)
x2= lim
x→0
ln(1 + (cos x − 1))
cos x − 1.cos x − 1
x2= −1
2.
b) limx→0+
3x − 1
x= lim
x→0+
ex ln 3 − 1
x ln 3. ln 3 = ln 3.
c) limx→1
x − 1
lg x= lim
x→1
x − 1
ln xln 10 = lim
x→1
1[ln(1+(x−1))
x−1
] ln 10 = ln 10.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
2.5. Các giới hạn cơ bản
Định lý 2
lim [u(x)]v(x)(
có dạng 1∞)= e lim[u(x)−1].v(x).
Ví dụ 2.12. Tính các giới hạn
a) limx→0
(1 + x)1x b) lim
x→∞
(1− 1
x
)x
c) limn→+∞
(n + 1
n − 1
)1−2n
a) limx→0
(1 + x)1x = e
limx→0
(1+x−1). 1x = e.
b) limx→∞
(1− 1
x
)x
= elim
x→∞(1− 1
x−1)x
= e−1 =1
e.
c) limn→+∞
(n + 1
n − 1
)1−2n= e
limx→0
( n+1n−1−1).(1−2n)
= elimx→0
2(1−2n)n−1 =
1
e4.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
2.6. Khái niệm vô cùng bé (VCB)
a) Định nghĩa
Hàm α(x) được gọi là VCB trong một quá trình nào đó nếulimα(x) = 0 trong quá trình đó.
Chú ý 1: x , sin x , arcsin x , tan x , arctan x , xα (α > 0) là các VCBxét trong quá trình x → 0.
Chú ý 2: ,1
xα(α > 0), qx (|q| < 1) là các VCB xét trong quá
trình x → +∞.
b) Tính chất
limα(x) = L ⇐⇒ {α(x)− L} là một VCB.
Nếu α(x) là 1 VCB và |β(x)| ≤ M thì α(x).β(x) là 1 VCB.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
2.6. Khái niệm vô cùng bé (VCB)
c) So sánh hai VCB trong cùng quá trình
Nếu limα(x)
β(x)= 0 thì α(x) gọi là VCB bậc cao hơn β(x).
Nếu limα(x)
β(x)= k thì α(x) và β(x) gọi là hai VCB cùng cấp.
Đặc biệt nếu k = 1 thì α(x) và β(x) gọi là hai VCBtương đương. Kí hiệu α(x) ∼ β(x).
d) Quá trình u → 0 và VCB tương đương thường gặp
sin u ∼ arcsin u ∼ tan u ∼ arctan u ∼ u.
1− cos u ∼u2
2.
ln (1 + u) ∼ (eu − 1) ∼ u.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
2.6. Khái niệm vô cùng bé (VCB)
e) Dạng vô định0
0và VCB tương đương
Nếu α(x) ∼ α(x) và β(x) ∼ β(x) thì
limα(x)
β(x)= lim
α(x)
β(x).
Ví dụ 2.13. Tính giới hạn
a) limx→0
ln cos x
x2
(0
0
)b) lim
x→a
sin x − sin a
x − a
(0
0
)c) lim
x→0+
3√x − 1
x
a) limx→0
ln cos x
x2= lim
x→0
ln(1 + (cos x − 1))
x2= lim
x→0
cos x − 1
x2
= limx→0
(− x2
2
)x2
= −1
2vì cos x − 1 ∼ −x2
2khi x → 0.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
2.6. Khái niệm vô cùng bé (VCB)
b) limx→a
sin x − sin a
x − a= lim
x→a
2 cos(x+a2
)sin(x−a2
)x − a
= limx→a
2 cos(x+a2
).(x−a2
)x − a
vì sin
(x − a
2
)∼ x − a
2khi x → a.
= limx→a
cos
(x + a
2
)= cos a.
c) limx→0+
3√x − 1
x= lim
x→0+
e√x ln 3 − 1
x
= limx→0+
√x ln 3
xvì e√x ln 3 − 1 ∼
√x ln 3 khi x → 0
= limx→0+
ln 3√x= +∞.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
2.6. Khái niệm vô cùng bé (VCB)
Ví dụ 2.14. Tính giới hạn
a) limx→0
(cos 2x)1x2 b) lim
x→0(1− cos x). cot2 x c) lim
x→0+x
34+ln x
a) limx→0
(cos 2x)1x2 = e
limx→0
(cos 2x−1). 1x2 = e
limx→0− (2x)2
2. 1x2 = e−2 =
1
e2.
Chú ý: ta sử dụng 1− cos 2x ∼ (2x)2
2 khi x → 0.
b) limx→0
(1− cos x). cot2 x = limx→0
(1− cos x)
tan2 x= lim
x→0
(x2
2
)x2
=1
2.
Chú ý: ta sử dụng tan x ∼ x khi x → 0.
c) limx→0+
x3
4+ln x = elim
x→0+
34+ln x
. ln x= e
limx→0+
3 ln x4+ln x
= elim
x→0+
34
ln x+1 = e3.
Chú ý: ta sử dụng công thức ab = eb ln a cho giới hạn lim[u(x)]v(x)
nếu nó không có dạng 1∞.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
3. Hàm số liên tục
a) Chú ý: Hàm số có công thức khác nhau với x < a và x > a
Nếu limx→a−
f (x) = limx→a+
f (x) = L thì limx→a
f (x) tồn tại và bằng L.
Ví dụ 3.1. Cho hàm số
f (x) =
sin(x2
)x
với x < 0
√x2 + 1− 1
x2với x > 0
. Tính limx→0
f (x).
limx→0−
f (x) = limx→0−
sin(x2
)x
=1
2lim
x→0−
sin(x2
)(x2
) =1
2.
limx→0+
f (x) = limx→0+
√x2 + 1− 1
x2= lim
x→0+
√x2 + 1
2 − 12
x2(√
x2 + 1 + 1)
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
3. Hàm số liên tục
= limx→0+
1√x2 + 1 + 1
=1
2.
Suy ra limx→0
f (x) = limx→0−
f (x) = limx→0+
f (x) =1
2.
b) Định nghĩa
Hàm số y = f (x) liên tục tại x = a nếu
i) f (a) xác định vàii) lim
x→af (x) tồn tại
iii) limx→a
f (x) = f (a).
Ví dụ 3.2. Xét tính liên tục của hàm số
f (x) =
√sin2 x + 1− cos x
sin2 xvới −π
2 < x < 0
arccos x với x ≥ 0
tại x = 0.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
3. Hàm số liên tục
Ta có f (0) = arccos 0 =π
2.
limx→0+
f (x) = limx→0+
arccos x = arccos 0 =π
2.
limx→0−
f (x) = limx→0−
√sin2 x + 1− cos x
sin2 x
= limx→0−
√sin2 x + 1
2− cos2 x
sin2 x(√
sin2 x + 1 + cos x)
= limx→0−
2 sin2 x
sin2 x(√
sin2 x + 1 + cos x)
= limx→0−
2√sin2 x + 1 + cos x
= 1
Suy ra limx→0
f (x) không tồn tại. Vậy hàm số đã cho gián đoạn
tại x = 0.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
Mô-đun: Hàm số, Giới hạn và Hàm số liên tục.
Hết.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục