h - universidad nacional de colombia: repositorio .... flujo confinado.pdf · debido a la facilidad...

Debido a la facilidad de construccion y al optimo usa estructural ~,e lo~ matedales los conductos para flujo confinado tienen gene.ralmente ~ccIOn CIrcular. Las ecuaciones que se deduciran mas adelante se aphc~m a fluJo ~m conductos de seccion circular pero con ligeros ajustes pueden aphcarse a fluJo en conductos cerrados de otras form as geometricas.

2.1 CONSERV ACION DE ENERGIA.

La energia total que posee un fluido en ~ovimient? se compone de dos partes principales: cinetica y potenciaJ. La en~r~!a pote~clal a su ve~ se"d~~o~pone en: energia de presion y energla de pOSICIOn. Debldo a la preSIon P eXIstente en un punto la masa de fluido puede ascender hasta ~na altura Ph sobre eS,e punta si tiene libertad de hacerlo, 'Y es el peso por umdad de volumen del flUldo.

_J:!!!.e.!.-.2e ener"ra ---

La figura 4 muestra un conducto con flujo en la direccion 1-2. En ambas secdones si el fluido tuviera libertad ascenderia hasta una altura (z + PII') con res'pecto al plano de referencia. La linea definida por la altura anterior se llama "linea de presion" 0 mas comun "linea piezometrica".

Una masa d~ fluido "M" con peso "W" que se mueve en el conducto posee una energia potencial con respecto al plano de referencia.

= W(z + Ptr) (12)

La energia cinetica de la misma masa sera:

(13)

La energia total del fluido es:

= (14)

La energia total del fluido por unidad de peso es:

H z + P/'Y + v l /2g (15)

La velocidad del fluido en el conducto varia desde cero en las paredes hasta un maximo en el centro, esto hace que la energia cinetica sea diferente para todas las lfneas de flujo. Para fines practicos se trabaja con la velocidad media del flujo. La energia cinetica de unas lineas de flujo sera menor que la correspondiente a la velocidad media y a la de otras mayor. Para poder utilizar la velocidad media en el calculo de la energfa cinetica se aplica un factor de correccion "a", y la energfa cinetica sera:

He = ay2/2g

En donde: y = velocidad media del flujo g = aceleracion de la gravedad.

Figura 5

Ans. Fac. Nal. Minas, Medellin (Colombia), No. 61,1985. 13

14

.. . I d" tro DLa velocidad La fi~ura 5 muestra u1n condudcto d~ s:~c~~~~~~~~.a;:ra ~~maenillo de radio ryes.}' vana entre cero en as pare es y I I pesor dr se tiene:

dA, = 2rrrdr (16) dQ == l'dA

En donde:

Q == Gasto 0 caudal que fiuye por el conducto.

Integrando la ecuacion (17) se obtiene:

Q == =j:"dr .D'V/4 En cada caso particular se requiere conocer la ecuacion I' = calcular V.

La energia dm~tica del fluido que cruza el anillo diferencial es:

dEc = idQI,l/2g = pl,3 dA/2

La energia cinetica total es: " fAE "= (p /2) " 1,3 dA

c 0

(17)

(18)

fer) para poder

La energia cinetica correspondiente a la velocidad media y el gasto total es:

E~ = iQy2/2g = (p y2/2!AvdA

Para igualar la energia cinetica calculad~. c~? !~ velocidad media con la energia total se debe aplicar el factor de correCClOn 0:

E = o:E~, (o:pY2/2)j~'dA = (P/2)j~'3dA 0:c == (19)(1/Y~) (j~'3d;) /cf~'dA)

H = z + Ph + o:y2/2g (20)

Ans. Fac. Nal. Minas, Medellin (Colombia), No. 61,1985.

La turbulencia y friccion generados por el movimiento del fluido prl transformacion de energia en calor con disminucion de la energia total nible para el movimiento del fluido a 10 largo del conducto.

Entre las secciones (1) y (2) a 10 largo del conducto puede escribirse Iecion:

En donde h l - 2 es la energia por unidad de peso transformada en calor las secciones (1) y (2).

} k La ecuacion (21) se conoce como ecuacion de conservacion de la energia

teriormente se estudiaran en detalle los componentes de h - y las ecuac i, para su calculo. l 2 I I, EI coeficiente a: es un valor siempre mayor 0 igual a la unidad. Es. igual ( I cuando la velocidad v es constante e igual a la velocidad media. Situacion

cercana a la anterior se obtiene para flujo turbulento de alta velocidad. E mayorla de los casos pnicticos 0: tiene un valor muy cercano ala unidad y c una aproximacion puede tomarse 0: =1,0.I

;.I

2.2 PERDIDAS DE ENERGIA

Cuando un fluido avanza a traves de un conducto parte de la energia uti! de este dispone se transform a en calor como se indico en la ecuacion (21). La el gia transformada en calor deja de ser utH para el movimiento porque el proc es irreversible y se design a como "perdida de energia". Las perdidas de ener tienen varios origenes:

Fricci6n entre particulas, entre estas y las paredes del conducto, choque de I queiios grupos de particulas debido a la turbulencia, choque de grandes rna! de particulas debido a la turbulencia, choque de grandes masas de particul con formacion de vortices 0 rerftolinos debido a cambios sUbitos en la forr geometrica del conducto.

Las perdidas por fricci6n y turbulencia se Haman "perdidas por fricci6n", algnos autores las Haman impropiamente perdidas mayo res.

Las perdidas debidas a cambio subito del conducto se Haman "perdidas locale o singulares" algunosautores las Haman impropiamente perdidas menore!


(21)

La turbulencia y fricdon generados por el movimiento del fluido producen transformadon de energia en calor con disminucion de la energia total disponible para el movimiento del f1uido a 10 largo del conducto.

Entre las secciones (1) y (2) a 10 largo del conducto puede escribirse la ecuacion:

En donde h t - z es la energia por unidad de peso transformada en calor entre las secciones (1) y (2).

La ecuadon (21) se conoce como ecuacion de conservacion de la energia. Posteriormente se estudianin en detalle los componentes de h t - z y las ecuaciones para su calculo.

EI coeficiente a es un valor siempre mayor 0 igual a la unidad. Es igual a 1,0 cuando la velocidad v es constante e igual a la veloddad media. Situacion muy cercana a la anterior se obtiene para flujo turbulento de alta velocidad. En la mayoria de los casos practicos a tiene un valor muy cercano a la unidad y como una aproximacion puede tomarse a = 1,0.

2.2 PERDIDAS DE ENERGIA

Cuando uri fluido avanza a traves de un conducto parte de la energia 6tH de que este dispone se transform a en calor como se indico en la ecuacion (21). La energia transformada en calor deja de ser 6tH para el movimiento porque el proceso es irreversible y se designa como "perdida de energia". Las perdidas de energia tienen varios origenes:

Friccion entre particulas, entre estas y las paredes del conducto, choque de pequeiios grupos de particulas debido a la turbulencia, choque de grandes masas de particulas debido a la turbulencia, choque de grandes masas de particulas con formacian de vortices 0 rerfioIinos debido a cambios s6bitos en la forma geometrica del conducto.

Las perdidas por friccion y turbulencia se llaman "perdidas por friccion", algunos autores las llaman impropiamente perdidas mayores.

Las perdidas debidas a cambio s6hito del conducto se llaman "perdidas locales o singulares" algunosautores las llaman impropiamente perdidas menores.


16

2.2.1 Perdidas de energia por friccion. Simplificando la ecuacion anterior se obtiene:

Figura 6

La figura 6 muestra parte de, un conducto dIe sed,ccio~ cirl~~ardo~~n;nl~i~~~t U fl 'do no compreslble avanza en a IreCClOn ,

tan e. n !-II b . s'bilidad su peso especifico "-y" permane.no compresIble 0 de muy ala compre 1 un tramo corto del conducto de

l~n.~it~~dadflf::e~~!~irRdo~dr'm\laf~r~~~~~:~elJ~~~~i!idi~~~~i.t:.sdW~d~~S~el area e a secclOn n , En "I" la velocidad, altura y presion son V, Z, p, En "2" lOtS valoQre~ ~~r:~~~~

, V + d y P + dP Como A y Q son constan es y - " " ~~:n~~s~~nst~~te. At aplicar la ~cqacion de energia entre las secciones 1 y "2" se obtiene la ecuacion:

z + P 11' + a V2 /2g = z + dz + (P + dP) h + a V2/2g + dhr

En donde dhr es la energia transiorma,da en calor por la friccion, 0 perdida por friccion. De la ecuacion anterior se obtlene:

dhr = - d (z + P h) (22) ,

1 1 l'mitado por las paredes del conducto y AJ tomar como volumen d; cdonltr~ e 1 "I" y "2" y aplicando la ecuacion las secciones normales al eJe e mlsn:? en ,de momenta lineal se obtien~la ecuaClOn:

PA - (P + dP)A - PI dS7(;, - dW dz/dS = h/g) Q (V - V) = 0

En donde:

= Perimetro del conducto, = Esfuerzo unitario de friccion en la pared del conducto,

Ans. Fac, Nal. Minas, Medellin (Colombia), No. 61, 1985.

1'0 =- hA/Pd d (z +P h) IdS = - -yRd (z + P / ')') / dS

R = AlP I es un valor con dimension longitud Hamado radio hidniulico.

Reemplazando la ecuacion (22) en la (23) se obtiene:

1'0 = ')'Rdhr/dS

Para una longitud "L" de tuberia, la perdida de energia por friccion es integrar (24) se obtiene:

o

Si en la figura 6 se toma un cilindro central de fluido de radio "r" (conr ~ : se obtiene una ecuacion similar a la (25)

l' = hA/P1 ) (hr/L) = (,),1Tr 2 /21Tr) (hr/L) = ,),rhf/2L

De la ecuacion (26) se deduce que el esf'uerzo unitario de friccion;varia Iii mente con "r", es cero en el centro del cbnducto y maximo en Ia par,ed d boo Las ecuaciones para "1''' han sido deducidas sin considerar el tipo de f]luego son aplicables a fluido laminar 0 turbulento.

La fuerza de dragado ejercida por el fluido en movimiento sobre una placa . na en reposo paralela a la direccion del movimiento puede calcularse COlecuacion:

F = cpv2 A/2

En esta ecuacion c es un coeficiente adimensional y A es el area de la placa contacto con el 'fluido. Aplicando la ecuacion antetior aun traino de tube de diametro D y longitud dS se obtiene: '"', . . _

F = (cpV2 /2),1TDdS

Cuando el fluido contenido en el tramo definido .teriormente recorre una 10 gitud "L". a 10 largo del tuba la fuerza de friccion e~ectua un trabajo E.

(2

Este trabajo transform a parte de la energia del fluido en calor, 0 sea que la ecu: cion (28) define la energia perdida por friccion cuando el volumen 1T D2 dS/. recorre la longitud "L", EI peso del fluido en movimiento es W = ')'1T D2 dS/4

Ans. Fac, Nal, Minas, Medellin (Colombia), No. 61, 1985. l'

Simplificando la ecuacion anterior se obtiene: . "

To =-(,A/Pdd(z+P/,)/dS = -,Rd(z+Ph)/dS (23)

R = AIPI es un valor con dimension longitud llamado radio hidrimlico.

Reemplazando la ecuacion (22) en la (23) se obtiene:

To = ,Rdllr/dS (24) /\~\,./ ,t

Para una longitud "L" de tuberia, la perdida de energia por friccion eshr, al integrar (24) se obtiene:

(25)o

Si en la figura 6 se toma un cilindro central de fluido de radio "r" (con r ~ D/2), se obtiene una ecuacion similar a la (25)

T= ('YAfPI) (hf/L) = (,1Tr 2 /21Tr) (hf/L) = ,rhr/2L (26)

De la ecuacion (26) se deduce que el esfuerzo unitario de friecion varia linealmente con "r", es eero en el centro del conducto y maximo en la pared del tuboo Las ecuaciones para "r" han sido deducidas sin eonsiderar el tipo de flujo, luego son aplicables a fluido laminar 0 turbulento.

La fuerza de dragado ejercida por el fluido en movimiento sobre una placa plana en reposo paralela a la direecion del movimiento puede calcularse con la ecuacion:

(27)

En e;;ta ecuacion, c es un coeficiente adimensional y A es el area de la placa en contacto con el fluido. Aplicando la ecuacion anterior a un traino de tuberia de dhimetro D y longitud dS se obtiene:.... . -

Cuando el fluido contenido en el tramo definido .teriormente recorre una longitud "L" a 10 largo del tuba la fuerza de fricci6n eEectiia un trabajo E. . E = 'FL (cp V2 /2). 1TDLdS (28)

Este trabajo transform a parte de la energia del fluido en calor, 0 sea que la ecuacion (28) define la energia perdida por fdccion cuando el volumen 1T D2 dS/4 recorre la longitud "L". El peso del fluido en movimiento es W = ,1T D2 dS/4.

Ans. Fac, !'Ial. Minas, Medellin (Colombia), No. 61, 1985. 17

l

18

llamando hr la perdida de energia por unidad de peso, se tiene como perdida de energia totalla cantidad:

(29)

Las ecuaciones (28) y (29) definen la misma energia, luego se pueden igualar. Al igualar, las ecuaciones y simplificar se tiene:

hf = 4c(L/D) (y2/2g)

En la ecuacion anterior como c es un coeficiente adimensional que depende de las condiciones del flujo podemos hacer 4c f, en donde f es otro coeficiente de propiedades similares. Haciendo esta sustitucion se obtiene:

hr = f(L/D) (y2/2g) (30)

La ecuacion anterior se conoce como ecuacion racional para el calculo del flujo en tuberias. Tambiim se Ie conoce como ecuacion de Darcy-Weisbach, porque ecuaciones deducidas empiricamente por estos senores en forma separadase pueden transformar a una forma similar a la ecuacion (30). Esta ecuacion tuvo gran aplicacion a fines del siglo pasado y comienzos del presente, pero fue sustituida por ecuaciones empiricas en las primeras decadas de este siglo debido a que no se conocian con exactitud las caracteristicas del coeficiente "f".

Estudios teorico-experimentales han permitido en los ultimos aiios conocer con exactitud las variables que afectan el coeficiente f y han permitido regresar al uso de la ecuacion racional para el calculo del flujo en tuberias y tambien en canales como se vera mas adelante.

EI coeficiente "f" se conoce con el nombre de factor de friccion y es un valor adimensional. EI factor de friccion depende de: la velocidad media del fluido, la rugosidao absoluta de las paredes del tubo, el diametro del tuba y la viscosidad del fluido.

Al igualar las ecuaciones (25) y (30) se obtiene la ecuacion ~

.,jf/8,Y (31)

EI valor .,j I p tiene dimensiones de velocidad, aparece con frecuencia enTo ecuaciones, no representa ningiin ente fisico, pero debido a su forma dimensional se Ie denomina "velocidad de friccion".

Yf = ..J:;;:r;

AnS. Fat:. Nal. Minas, Medellin (Colombia), No. 61, 1985.

La ecuacion (31) se pU,ede transformar a: ! I Y v'87T. Yr r De la ecuacion (25) se obtienen:I

Yr ..J:;;:r; = .,j gRSr ( ~

En donde:

R radio hidniulico. Sf hf IL pen,diente de la linea de energia.. g aceleracion de la gravedad.

densidad del fluido. esfuerzo unitario de friccion en la pared del conducto.

2.2.1.1 Ecuacion general para el factor de friccion. I I ' /'

I,i,

,iI'

La fig~ra 7 muest~a un tubo. de ~ccion circular y diametro D por donde fluy un flUldo .de densldad p ~ Vlscosldad 11 a una velocidad media V. Las pared del tubo tu:nen una rugo~ldad ~bsoluta ~e .espesor promedio e. Las paredes dE c~:mducto e}ercen una reslstencla al mOVlmlento del fluido con esfuerzo unit;: no prOmedl? To' Este ~sfuerzo unitario es una funcion de las variables represer. tadas er. la flgura 7 y solo de esas, luego se puede escribir la ecuacion:

F(Y,p,Il,D,e) (34

La~ cinc? variabl~s del, l~do derech? de la ecuacion anterior pueden agnipars en. ~ropledades cI.ne~atlCas del flUldo V, propiedades fisicas del fluido P, 11 ' propledades geometncas del conducto D, e. La yariable mas importante de cad; uno de los tres grupos es V, p y D. La ecuacion (34) puede reagruparse en I, fu~a , '

(35

AilS. Fac. Nal. Minas, Medellin (COlombia), No. 61,1985.

To

v UP--, Figura 7

La ecuacion (31) se puede transformar a:

v = ..JSTT. Vr

De la ecuacion (25) se obtienen:

Vr =...r;;:r;; = VgRSr En donde:

== radio hidnlulico. R Sf g

== hfIL pendiente de Ia linea de energfa .. aceleracion de la gravedad. densidad del fluido. esfuerzo unitario de friccion en la pared del conducto.

2.2.1.1 Ecuacion general para el factor de friccion.

v Ill)--Figura 7

,.11>

(32)

(33)

La figura 7 muestra un tubo de seccion circular y diametro D por donde fluye un fluido de densidad p y viscosidad IJ. a una velocidad media V. Las paredes del tuba tienen una rugosidad absoluta de espesor promedio e. Las paredes del conducto ejercen una resistencia al movimiento del fluido con esfuerzo unitario promedio To' Este esfuerzo unitario es una funcion de las variables representadas ep. la figura 7 y solo de esas, luego se puede escribir la ecuacion:

F(V,p,;t,D,e) (34)

Las cinco variables del Iado derecho de la ecuacion anterior pueden agruparse en: propiedades cinematicas del fluido V, propiedades ffsicas del fluido p, /" Y propiedades geometricas del conducto D, e. La variable mas importante de cada uno de los tres grupos es V, p yD. La ecuacion (34) puede reagruparse en la fu~a .

F (To' V, il, ,", D, e) (35)

Ans. Fac. Nat. Minas, Medellin (ColomOiaj. No. 61, 1985. 19

Endonde:

= Los numeros n son valores adimensionales que agrupan las variables definid~s en cada ecuacion. Los exponentes a, bye tienen valor diferente para cada numero. EI numero II I puede expresarse dimensionalmente como:

De la ecuacion anterior se obtiene para cada dimension la siguiente ecuacion:

F: o = 1 + b L: O=-2+a 4b + c T: o - a + 2b

La solucion de estas ecuaciones es: a = - 2, b = - 1, c = 0, y el numero II I tiene por ecuacion:

AI operar en forma similar con el numero n:2 se obtiene:;

o =

F: 0 = 1 + b L: 0 = - 2 + a - 4b + c T: 0 = 1 - a + 2b a =-1 b =-1 c =-1

112 :: /1 (p VD)-1 (pYDIJ.L)-l = R-1

En donde R es.el numero de Reynolds.

19ualrpente se obtiene para 11 3 :

0 = (L) (LIT) a (FTz /L4 ) b (L)C F: 0 = b L: 0 1 a - 4b + c= + T: 0 - a + 2b a = 0 b = 0 c =-1 == fl3 = eD-1 = e/D

Ans. Fac. Nal. Minas. Medellin (COlombia), No. 61, 1985.20 .

Al reemplazar los valores anteriores en la ecuacion (35) resulta:

F(nl,nZ,n 3 )= F('0/py 2,R,e/D) = 0

La ecuacion anterior puede transformarse a:

F( (R,e/D)

Despues de reemplazar la ecuacion (36) en la (31) y simplificar se obtie:

f = F2 (R. e/D)

La ecuacion (37) indica que el factor de friccion es una funcion del numero Reynolds y la relacion e/D Hamada rugosidad relativa del conducto. Esta fl cion es valida para flujo laminar 0 flujo turbulento.

2.2.1.2 Coeficiente de friccion para flujo laminar.

En el capitulo anterior se demostro matemiiticamente que el factor de friccil es una funcion del numero de Reynolds y de Ia rugosidad relativa

dA

Figura 8

La figura 8 muestra un tubo de seccion circular y diiimetro D. El esfuerzo un tario de friccion es un punto a una distancia "y" de la pared del tubo, 0 "r" dl

. . centro esta dado por la ecuacion (26), T = -yRSr 'YrSr /2

De acuerdo con Ia ecuacion anterior para un determinado problema 'YSr/2 es u valor constante y el esfuerzo unitario de friccion varia linealmente con "r", tc mando valores extremos cero en el centro del tuba y '0 en la pared del mismc

. La ecuacion de Newton para el flujo laminar es:

= }Jdl' Idy dl' (. /}J) dy

Ans. Fac. Nal. Minas. Medellin (COIOmlllal. No. 61, 1985 2:

Al reemplazar los valores anteriores en la ecuacion (35) resulta:

F(n1>n2,n3) F(To /pV2,R,e/D) = 0

La ecuacion anterior puede transformarse a:

(36)

Despues de reemplazar la ecuacion (36) en la (31) y simplificar se obtiene:

f = F2 (R, e/D) (37)

La ecuacion (37) indica que el factor de friccion es una funcion del numero de Reynolds y la relacion e/D Hamada rugosidad relativa del conducto. Esta funcion es valida para flujo laminar 0 flujo turbulento.

2.2.1.2 Coeficiente de friccion para flujo laminar.

En el capitulo anterior se demostro matematicamente que el factor de friccion es una funcion del numero de Reynolds y de la rugosidad relativa.

dA

-"",,---

Figura 8

La figura 8 muestra un tubo de seccion circular y diametro D. EI esfuerzo unitario de friccion es un punto a una distancia "y" de la pared del tubo, 0 "r" del centro esta dado por la ecuacion (26).

T IRSI' ),rSf/2

De acuerdo con la ecuacion anterior para un determinado problema)' Sf/2 es un valor constante y el esfuerzo unitario de friccion varia linealmente con "r", tomando valores extremos cero en el centro del tubo y To en la pared del mismo .

. La ecuacion de Newton para el flujo laminar es:

Ans. Fac. Nal. Minas, Medellin (Colombia), No. 61, 1985. 21 .

Al reemplazar la ecuacion Ten la anterior se obtiene:

dl' = ,Srrdy/2il, r + y D/2 dr + dy == 0 , d)' = -,Srrdr/2il

La integracion de la ecuacion anterior produce:

l' = - ,Srr2/4il + C

En la pared del tubo r == D/2 , )' == 0, C == ,SfD2 116il y la ecuacion de la velocidad queda:

)' == (,SfD2/16il) (1 - 4r2 /D2) (38)

La ecuacion (38) muestra que para el flujo laminar el perfil de velocidad tiene forma parabolica con maximo en el centr,o del tubo, cuyo valor es:

1'0 == ,Sf D2/16il

En la figura 8 dA == 21Trdr. EI gasto que avanza por el tubo es Q = AV en donde A es el area total del tubo y V la velocidad media.

dQ j'dA = 21Tvrdr = (21T,SfD2 /16il) (1 - 4r2 /D2) rdr

Q = - (1T,Scn4 /64Jl) l~t-4r2/D2) d (1 - 4r2 /D2) = 1T,SfD4 /128il v == ,SfD2/32il == 1'0/2 (39)

La ecuacion (39) da la ve10cidad media para flujo laminar en conductos circulares. De la ecuacion (39) se obtiene:

Sf '= 32Jl V/,D'2

AI reemplazar la ecuacion anterior en la (32) y simplificar se obtiene:

r == 64Jl/pVD = 64/11. (40)

La ecuacion (40) muestra que para el flujo laminar en tuberias el factor de friccion es una funcion del numero de Reynolds 10 cua1 se habia demostrado dimensionalmente en el capitUlo anterior.

La ecuacion (39) puede transformarse a:

V = ,D2hf/32ilL (41)

22 Ans. Fac. Nal. Minas, Medellin (Colombia). No. 61.1985.

De ,esta ,ecuacion se deduce 9u~ en el flujo l~minar la v~locidad media y el gast var~an hnealmente con la perdIda de energla. Este fenomeno fue verificado eJ penmentalmente en forma independiente por Hagen y Poiseuille en mitad d siglo pas~do,.por'lo cu~l.la ~~uacion ~41) se conoce come:' ley o,ecuacion d Hagen-Po~s~Ull1e, La verIfIcaclOn experImental de la ecuacion (41) prueba qu las SUPOSICIones que se hicieron para su integracion: 1) v = 0 para r = D / 2)r = il dl' Idy son ciertas,

2.2.1.3 Coeficiente de friccion para flujo turbulento.

En elJlujo turbulento el esfuerzo un ita rio de friccion pue'de calcularse con I. ecuaClOn:

(10]

La ecuaci0!.l ~26) prueba que el esfuerzo unitario de friccion varia lineal mente entre un maXImo To en la pared del tubo y cero en el centro del mismo.

Lo anterior se expresa p~r medio de la ecuacion:

T = TO (1- 2y/D) (42)

Al igualar las ecuaciones (10) y (42) se obtiene:

To (1-2y/D) =pK2 (dp/dy)4/(d21'/dy2)2

Al tomar la raiz cuadrada de la ecuacion anterior se obtiene:

(dl'/dy)2 "" (IlK) ~ (1- 2y/D)112 d2 V/dy2

Por la forma d~)a concayidad del perfil de velocidad se deduce que d2v/dy 2 < 0, luego la ecuaClOn anterIor se tom a con signo negativo y al reemplazar .JT::TP por Vf se obtiene: 0

(dl'/dy)2 - (Vf/K) (1- 2y/D)1/2 d 21'/dy2

Para integrar esta ecuacion se introduce la variable:

z = dl'/dy dz/dy = d21'/dy2 Z2 - (Vi !K) (1- 2y/D)112 (dz/dy)

dz/z2 == - (K/Vc) (1 - 2y/D) -1/2 dy


-lIz == (DK/Vr) (1- 2Y/D)1/2 + C

Ans. Fac. Nal. Minas, Medellin (Colombia), No, 61,1985. 23

I De esta ecuacion se deduce que en el flujo laminar Ia velocidad media y el gasto varian linealmente con Ia perdida de energia. Este fenomeno fue verificado experimentalmente en forma independiente por Hagen y Poiseuille en mitad del siglo pasado, por'10 cual la ecuacion (41) se conoce como ley 0 ecuacion de Hagen-Poiseuille. La verificacion experimental de la ecuacion (41) prueba que las suposiciones que se hicieron para su integracion: 1) v = 0 para r = D /2 2) 1 = IJ dl' /dy son ciertas.

2.2.1.3 Coeficiente de fdccion para flujo turbulento.

!, En el flujo turbulento el esfuerzo unitario de friccion puede calcularse con la ecuacion:

(10)

La ecuacion (26) prueba que el esfuerzo unitario de friccion varia linealmente entre un maximo 10 en la pared del tubo y cero en el centro del mismo.

Lo anterior se expresa por medio de la ecuacion:

1 = To (1 2y/D) (42)

Al igualar las ecuaciones (10) y (42) se obtiene:

TO (1-2y/D) =pK2 (dv/dy)4/(d2 1'/dy2)2

Al tomar la raiz cuadrada de la ecuacion anterior se obtiene:

(dl'/dy)2 "" (l/K)..;-;;:r;:: (1 2y/D)1/2. d2 v/dy2

Por la forma de la concavidad del perfil de velocidad se deduce que d2 v Idy 2 < 0, luego la ecuacion anterior se toma con signo negativo y al reemplazar ...;-:r;:r; por Vi se obtiene:

(dl'/dy)2 = - (Vf/K) (1- 2y/D)1/2 d 2vldy2

Para integrar esta ecuacion se introduce la variable:

z = dl'/dy dz/dy = d2 l'/dy 2 Z2 (Vf IK) (1- 2y/D)1/2 (dz/dy)

dz/z2 =- (K/Vr) (1- 2y/D)-1/2 dy


-lIz (DK/Vf) (1 2y/D)1/2 + C

Ans. Fac. Nal. Minas, Medellin (Colombia), No. 61, 1985, 23

Suponiendo que en la pared el gradiente de velocidad es muy alto y tom an do y -+ 0 z -+ ex: se obtiene:

C :::: - DK/Vf , lIz (DK/Vf) (1- (1- 2y/D)iI2)

Reemplazando Ia variable z se obtiene:

dv = (Vf/KD) (1-(1-2y/D)1/2)-1 dy

Para integrar esta ecuacion se introduce la variable

U = (1- 2Y/D)1/2 dy =-DUdU

AI reemplazar se obtiene:

dv =-(Vf/K)(UdU)/(1-U) (VfiK) (1-1/(1 U dU

Despues de integrar se obtiene:

V=(Vf/K)(U+1n(1-U + C1 =(Vf/K)1-2y/D)1/2 + In(l (1-2y/D)1I2+C 1

Para y =D/2 v = v0 velocidad maxima en el centro del tuba C I I' o La ecuacion anterior se puede transformar a la forma:

(43)

Con ia ecuacion anterior se puede calcular el valor de K si se miden experi mentalmente con un tuba pitot 1'0, v, y, hr, L ..La velocidad de friccion se calcula con la ecuacion Vf:::: V gOhf/4L. Medidas cuidadosas efectuadas por Nikuradse en tubos con granos de arena pegada en sus paredes inteiiores permitieron calcular K. Este parametro varia ligeramente con un valor medio de 0,40. .

La ecuacion (43) permite calcular el perfil de velocidad si se conocen VI' , I' 0' K pero su forma es compleja y dificil de manejar. Mediciones experimentales del pet:fil de velocidad en flujo turbulento hechas por Nikuradse muestra que este se puede aproximar por la ecuacion:

(ve -1') / Vf ::::- 2,5 In (2y/D) (44)

La variacion de K se debe a la suposicion de que cuando y -+ 0 dv /dy -+ ex: en la integracion de la ecuacion (43); si se Ie hubiera dado un valor constante a dl,/dy, K hubiera tornado valores aproximadamente constantes cercanos a 0,40 el valor comunmente aceptado para este parametro.

24 Ans. Fac. Nal. Minas, Medellin (ColombIa), No. 61, 1985.

Para, enc

Para encontrar una relacion entre la velocidad media V y la maxima l' 0 se efectuanlla siguiente integracion:

Q = (.n' /4). V =f~2>

26

La ecuacion (47) sirve para el calculo del perfil de v,~locida~ ~n flujo turbulento con superficie hidraulicamente lisa, Esta ecuaClon es facd de usar pues define la velocidad en funcian de Vr =y"g'RSf valor que se puede calcular con la medicion de R. hr. L, En la ecuaci6n ,(47), v, = Vo para,! == D 12, al reempiazar" las ecuaciones (32) y (46) en la (47) y slmphflcar se obtlene:

1/.jT= -1,03 + 2,03 log (Ry'1)

Sin embargo para una mejor coincidencia de esta e~u,acion con lo~ r,esultados medidos experimentalmente por Nikuradse se modlflCan sus coeflclentes numericos y se obtiene la ecuacian:

1/yY:::-O,80 + 2log(RyY) (48)

Esta ecuacion sirve para calcular el factor de friccion para tubos con flujo turbulento y superficie hidraulicamente lisa.

Espesor de la subcapa laminar.

La ecuacion (47) fue obtenida experimenta.l"!en~e ~ s~ ajusta bi~n ai, perfil de velocidad en flujo turbulento con superflcle hldrauhcamente hsa, SlI~ embargo tiene dos limitaciones: 10. cuando y -+ 0 v -+ 0: 10 cual contra~lCe la realidad 20. cuando y == D/2 dvldy i= 0 situacion igualmente contrana a la realidad. Esta ecuacion es valida para flujo turbulento y cerca a las t:a:edes cuando y -+ 0 el flujo puede ser laminar, luego en esta zona, no es valIda la ecuacion (47). Cerca a las paredes del tubo en la subcapa laI?mar el esfuerzo unitario de friccion es aproximadamente constante, luego se tlCne:

T =To 'J-Id~'/dy

al integrar la ecuacion anterior se tiene:

I' (To / J-I)Y vIp == (To / p) (y/J-I) =: Vr2 Y/J-I, v/Vr "'" V(PY/J-I (49)

La ecuacion (49) tiene forma similar a la ecuacion (47) y es valida para flujo en la subcapa laminar.

Figura 9

Ans. Fac. Nal. Minas, Medellin (Colombia). No. 61,1985.

En la figura 9 se muestran las ecuaciones (47) y (49). Se acostumbra tom como espesor de la subcapa laminar 50 el punto de corte de las dos curve r~~lm~nte ~ste punto corresponde a una zona de flujo transicional. La sol CIOn slmultanea de. las dos ecuaciones da: Vr P j J-I == 11,6-26-. Este'valor se pu

0de transformar haCIendo Vr == V vITi8, R =: PVDIJ-I y se obtiene: /j olD 32,884 j ( R v7)

, (51

Con. es~a ecuacion se calcula el espesor de la subcapa laminar. Al aument. R d!sI?muye 0. 0 I,? ~ual hace q.ue en un mismo tuba para baja velocidad la Sl; perfIcle sea hldrauhcamente hsa y para alta velocidad . sea hidraulicament rugosa.

La ecuacion (50) puede escribirse en la siguiente forma: .

(ooID) R.jT 32,884

Si en el lado izquierdo de la ecuacion anterior se reemplaza "6 "eI espesor dl l~ subcapa laminar por "e" la altura promedio de la rugosidalabsoluta se obtlene:

(ejD) RVr

AI tomar los valo~e?_corresp(:>ndientes de las experiencias de Nikuradse y reem. plaza!, et; l~ expreslO~ antenor se encuentra que la superficie se comporta co. mo hldrauhcamente lIsa cuando

(e/D) RVr< "'" 8 (51)

La ec:ua~io~ (11) est~blece l!l condicion para que la superficie se comporte como hldrauhcamen.~e hsa segun las experiencias de H. Schlichting. AI reemplazar V f de la ecuaClon (32) en la (11) y reorganizando se obtiene:

(e/D) aVr< 5 V 8 14.14 (52)

EI lft;nite superior de la velocidad para que la turbulencia generada en las irregulandad~s de la pared del tubo comience a destruir fa subcapa laminar no es muy preclso. co~o se d~sprende de las ~cu~ciones (51) y (52) repr:esentativasd~ las expenen.cIas de Nl.lmradse y Schhchtmg, pero cualquiera de estas eeuaClones n~s defme aproxlmadamente el limite maximo en don de se inicia la destrucclOn de la subcapa laminar.

Si se ~o:nanlas eXI?~riencias de Nikuradse por ser un poco mas conservadoras y se dlVlde la ecuaClon (51) por la ecuacion (59) se obtiene:

e I ho < 1/4,1 (53)

Ans. Fac. Nal, Minas, Medellin (Colombia). No, 61, 1985. 27,

En la figura 9 se muestran las ecuaciones (47) y (49), Se acostumbra tomar como espesor de la subcapa laminar 6" el punta de corte de las dos curvas, realmente este punta corresponde a una zona de flujo transicional. La solucion simultanea de las dos ecuaciones da: Vfp"o/ll '" 11,626. Este valor se pue-' de transformar haciendo Vf = v..;Ti8,:R = pVDl1l Y se obtiene:

"olD 32,884 I ( R.j7) (50)

Con esta ecuacion se calcula el espesor de la subcapa laminar. Al aumentar R disminuye 00 10 cual hace que en un mismo tuba para baja velocidad la superficie sea hidniulicamente lisa y para alta velocidad sea hidrimlicamente rugosa.

La ecuacion (50) puede escribirse en la siguiente forma:

(oo/D) RYf = 32,884

Si en el lado izquierdo de la ecuacion anterior se reemplaza "0 0 " el espesor de la subcapa laminar por "e" la altura promedio de la rugosidad absoluta se obtiene:

(e/D) Rv'T

AI tomar los valores correspondientes de las experiencias de Nikuradse y reem plazar en la expresion anterior se encuentra que la superficie se comporta como hidraulicamente lisa cuando

(e/D) Rv'T

28

La ecuacion (53) muestra que cuando la rugosidad absol~~a es menor que el es esor de la subcapa laminar dividido por 4,1 la superflcle del conducto se ctmporta como hidrimIicamente lisa. Cu!':,ndo la rugosidad. absoluta is mat

.Esta ecuacion comparada con los resultados experimentales de Nikuradse muestra que su forma matematica es correcta pero que para un mejor ajuste es necesario modificar sus coeficientes y la ecuacion queda:

1/ yT = 1,14 + 2 log (DIe) (57)

La ecuacion (48) sirve para calcular "f" cuando la superficie es hidraulicamente lisa y la ()7) cuando ~s hidrtlulicamente rugosa; el primer caso se cumple cuando (e/D)R.jT~ 8 el segundo cuando (e/D R V f ~ 200. Para valores bajos de RIa ecuacion (48) da valores mayo res de "f" que la (57), al aumentar R la situacion se invierte. Si se igualan las ecuaciones (48) y (57) y se simplifica se obtiene la ecuacion (e/D)R.jT= 9,33.

Cuando el factor (e/D)R ~~ 9,33 se debe usar la ecuacion (48) para el calcu10 de "f" en caso contrario se debe usar la ecuacion (57). Siguiendo la norma anterior se obtienen valores de "f" ligeramente mayo res 0 iguales al valor real.

2.2.1.4 Estudios experimentales del~actor de friccion.

Los resultados de los capftulos anteriores demostraron que el factor de friccion es una funcion del numero de Reynolds y de la rugosidad relativa del tubo.

Experimentalmente pueden medirse los parametros necesarios para calcular "f" con la ecuacion (30) en la siguiente forma: se colocan dos piezometros en un tuba de diametro D y espaciados una longitud L, se miden el gasto Q que pasa por el tub'o, la diferencia de altura piezometrica hf y la temperatura del agua.

Con las medidas anteriores se calculan: V = 4QlnD2, R= VDlv y f con la ecuacion (30) 0 con las ecuaciones ht = 8fLQ2 In 2 gD5 y R = 4Q InDv. Se aumenta el gasto Q desde cero hasta obtener un numero de Reynolds que garantice turbulencia total, en esta forma se obtiene un numero conveniente de pares de valores f, R para dibujar su relacion.

Stanton (1914) dibujo f contra Ren escalas logarftmicas y encontro una rela cion entre f y Rpara los diferentes tipos de flujo, pero no pudo definir un pa rametro para representar la rugosidad de las paredes del tubo.

Nikuradse< (1933) preparo tubos con rugosidad conocida, para ella pego granos de arena de tamaiio uniforme y diametro conocido al interior de tubos de dife rentes diametros. Las experiencias de Nikuradse son universalmente aceptadas como validas para el estudio del flujo turbulento.

La figura 10 presenta el resumen de las experiencias de Nikuradse, dibujadas sobre el diagrama de Stanton. Para valores de R inferiores a 2000 todos los pun tos experimentales se agrupan sobre una recta de ecuacion f = 64 / R. Al au-

Ans. rae. Nal. Minas, Medellin (Colombia), No. 61, 19B5. 29
http:e/D)R.jThttp:e/D)R.jT

--

--

, 0.10

0.08

0.06 I\... V

\' ........v~ i...-~0.04 \ I -

" +-\ "'" I- 2 ....1\ '"

I 104 10 5 I,310 0 6

IR

Figura 10

. 1 irregular entre 2000 y 5000. Paramen tar R se presenta una zona transl~lOna erimentales se agrupan inicialmenvalores de R mayores de 5000 losdunl ~~~~Pturbulento con superficie hidraulite sobre una curva que coRsPdn e d.' ndo del valor de e/D los puntos se sepacamente lisa. Al au~entar y epene~ecurvas separadas para cad a valor de eiD. ran de la curva comun y se algrupan t t independiente de R para cada eiD.Finalmente "f" toma un va or cons an e .

0.0333

0.0163

0.00B3f e/d 0.0040

0.0020 0.0

0.0010

0.0

. . d N'k d no se pueden aplicar directa Los resultados de las ~xpenencblas e I c~:~ss~orque la rugosidad de estos es mente al calculo de flu]o en tu os comer diferente.

. , t resultados y las ecuaciones obtenidas CO!!Colebrook (1939) demostro que. es os idad de los tubos comerciales. ExpenelIos pueden, utilizarse para :nedIr la rufos de R suficientemente altos p-ara obmentando en tubos comercIales con va ores laza en la ecuacion (57). En tener "f" constante kse mlidel.estleDval~:aYatg~~~~~~bos comerciales Y obtuvo los esta forma Colebroo ca cu 0 e p siguientes valores para e:

Hierro vaciado sin revestimiento 0,25 mm Hierro galvanizado 0,15 mm Hierro vaciado y asfalto 0,13 mm Hierro forjado 0,05 mm

30 Fa.. Minas.Medellin (Colombia). No. 61. 1985.Ans. C Nal

~------------

Las ecuaciones (48) y (57) se pueden transformar a:

I/Yf- 2 log(D/e) :::: - 0,8 + 2Iog(e/D)RV'Y 1/ ..[f - 2 log(D/e):::: 1,14

Si en un grcifico se tom a como abscisa la variable (e/D)R V7en escala loga mica y como .ordenada la variable 1/..;7- 2 log(D/e) en escala aritmetica se tienen dos rectas para las ecuaciones (48) y (57) esto se muestra en la figura las cuales corresponden a superficies hidraulicamente lisa e hidraulicamente gosa en su orden.

De acuerdo con las experiencias de Nikuradse y Colebrook la ecuacion (48) valida para valores de (e/D)R ..;7hasta"", 8 la ecuacion (57) es valida para va res de (e /D) Rv' f mayores de aproximadamente 200, en el intermedio de est dos valores se encuentra una zona transicional; Colebrook encontro que los] sultados de todas las superficies en tubos comerciales se pueden aproximar p la ecuacion: .

l/V'Y- 2 Jog (DIe) "" 1,14 210g (1 + 9,28/ e/D)RYf) (5

La ecuacion (58) si bien se puede aplicar a toda c1ase de tubos comerciales eJ muy compleja para su usa en el tiempo en que se propuso, (hoy no 10 es por I facilidad que prestan las calculadoras electronicas) para obviar esta dificulta Moody (1944) dibuj6 la ecuacion (58) en una forma similar a la propuesta pc Stanton y present6 el grclfico de la ligura 12 basado en las experiencias d Colebrook y en las propias, este gratico ha sido muy utilizado para ciilculo d tuberfas y se conoce con el nombre de "diagram a de Moody".

~ B . 0 C'l

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+2~---~~L--________I_ I~____~L______~__I~ r 100 to00 10.000

(e /D) It v' f

Figura 11

Ans. Fac. Nal. Minas. Medellin (Colombia). No. 61. 1985.

31

Las ecuaciones (48) y (57) se pueden transformar a:

1/-/T 2 log(D/e) =- 0,8 + 21og(e/D)R-/T 1/ .JT - 2 log(D/e) = 1,14 Si en un grafico se toma como abscisa la variable (e/D)R .JTen escala logaritmica y como. ordenada la variable 1/.jT 2 log(D Ie) en escala aritmetica se obtienen dos rectas para las ecuaciones (48) y (57) esto se muestra en la figura 11, las cuales corresponden a superficies hidraulicamente lisa e hidraulicamente rugosa en su orden.

De acuerdo' con las experiencias de Nikuradse y Colebrook la ecuaci6n (48) es valida para valores de (e/D)R .jThasta "'" 8 la ecuacion (57) es valida para valores de (e/D) Rv' f mayores de aproximadamente 200, en el intermedio de estos dos valores se encuentra una zona transicional; Colebrook encontro que los resultados de todas las superficies en tubos comerciales se pueden aproximar por la ecuacion:

1/.JT- 2 log (D/e) = 1,14 - 2log (1 + 9,28 / e/D)R v'T (58) La ecuacion (58) si bien se puede aplicar a toda clase de tubos comerciales era muy compleja para su uso en el tiempo en que se propuso, (hoy no 10 es por la facilidad que prestan las calculadoras electronicas) para obviar esta dificultad Moody (1944) dibujo la ecuacion (58) en una forma similar a la propuesta por Stanton y presento el grafico de la figura 12 basado en las experiencias de Colebrook y en las propias, este grafico ha sido muy utilizado para calculo de tuberias y se conoce con el nombre de "diagrama de Moody".

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(e ID) 1R v' f

Figura 11

Am. Fac. Nal. Minas, Medellin (Colomblal, No. 61, 1985. 31

Moody continuo, la medicion de rugosidad absoluta en tubos comerciales iniciada por Colebrook y obtuvo los siguientes valores:

Madera 0,18 - 0,91 mm Concreto 0,30 - 3105 mm Acero remachado 0,89 - 8,89 mm

La rugosidad de cada material varia ampliamente con el proceso de fabricacion del tubo y algunos materiales cambian rugosidad con el tiempo de uso del tubo.

En la actualidad mediante el uso de calculadoras electronicas es mas facil utilizar las ecuaciones (48), (57) y (58) para calcular f que usar el diagrama de Moody.

2.2.1.5 Formulas empiricas para el calculo de flujo en tuberia.

Durante el siglo pasado y comienzos del presente se obtuvieron much as formulas empiricas basadas en resultados experimentales de flujo de agua en tubos de diversos materiales.

Cada una de estas formulas representa un modelo matematico que se aproxima a los valores de velocidad y friccion obtenidos en ellaboratorio para unas determinadas condiciones, pero no puede asegurarse que este modelo sea valida por fuera del rango de experimentacion. Sin embargo algunas de estas formulas dan resultados aceptables y han tenido amplio uso. La formula empirica mas en uso durante el presente siglo para el ciilculo de flujo de agua en tuberias ha sido la de "Williams and Hazen".

La ecuacion correspondiente es:

v = O,8492CRo.63 8fo;54 (59)

En donde:

v velocidad media en m/s C = coeficiente de rugosidad del tubo

'R = radio hidriiuIico del tubo en m Sf pendiente de la linea de energia

EI coeficiente C depende solamentedel material del tuba y no del diametro, en estas condiciones C parece representar la rugosidad relativa del material.

Para establecer una relacion entre C y f, se hace en la ecuacion (59) R = D/4,Sf = hf/L, se despeja hf y se'obtiene: . hf = 6,8213LV1,8S /cl,8Snl.167

32 Ans. Fac::. Nal. Minas, Medellin (Colombia), No. 61, 1985.
http:O,8492CRo.63

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12

.. 2/2 O,15/VO,lS sehacev= 10-6 m2/sLa ecuacion anterior se multlphca por g g, v , , y se reorganiza para obtener: debido a cambio fuerte en las paredes del conducto, Ia corriente de fluid,

aparta de estas y la zona comprendida entre la corriente de fluido lIam hf = (1074/C 1,BS Ro,15) (LID) (V 2 /2g) , "vena viva" y las paredes se llena con fluido de baja velocidad. En la supert ,

de contacto entre la vena viva y el flujo de baja velocidad se produce un fUit Igualando hr de la ecuaClOn., antenor. aI d e Ia ecuaCI'on (30) se obtiene:

f 1074/C1,B5 Ro,15 (60)

, " C artir de "f" 0 viceversa, Estaecua-La eeuaeion anterior permite eal~llal he~hos por el sistema racional con los cion es util para e~~quear los c~ eu, os EI eoeficiente numerieo de la ecuacion heehos por el empmco, 0 10 deon rano. dentro de un rango pequeno- ("'" 1060(60) varia con el valor que se e a v pero 1090),

2.2.1.6 Conductos de seeeion no circular. ,

' . . I trans orte de fluidosen forma eonfmada Los conductos que se utI~~zan 'paraI , e - ~Igunas veces se utilizan conductos ' I nte de seCClOn Circu ar, pero .dens:~ci6~ ::;~tangular, eliptica u otras formas geometncas.

, . I una aproximacion pueden calcular-Los conduct?s de secci~n no d1r:1u ~d~~m~a conductos circulares y utilizando ~~ ~~~!~r~~~i!a~~~~~l:~i a ~u~~:o ve~es el radio hidraulico. D 4R = 4A/P (61)

E; valor de D de la eeuacion anterior se ,ee!"plaza ef~i~'::':6~uaciones (30), (40), (48) y (57) para calcular el factor y las perdldas por .

EI numero de Reynolds se calcula con la ecuacion

R= VDelv = 4VRlv = 4Q/Pv

. ., 'I I d 1 erdidas por friecion en conduc.tos no Esta aprOXlmaClon para ell cadcu 0 ~i:J'o turbulento en el flujo lammar se circulares da buenos resu ta os en e el , aparta bastante de la realidad.

2.2.2 Perdidas de energia locales 0 singulares.

. I I . gulares se deben a formacion Las perdidas de energia denomll~adas oca eS I:l~orma geometrica de los con-de vortices originados por camblOs fuertes ~ntrica del conducto puede generar ductos. EI cambio fue:-te en la forma. ,geom~lujo secundario. E~ la separacion los fenomenos denommados separaClOn y

34 Ans. Fac. Na.I Minas, Medellin (Colombia), No. 61, 1985.

I gradiente de velocidad con desarrollo de altos esfuerzos de friccion. Estos fuerzos generan vortices dentro de la zona de baja velocidad 0 zona mue La formacion de vortices consume energfa 10 cual se manifiesta como una I dida adicional denominada perdida local 0 singular. La figura 13 presenta valejemplos de separacion.

I t I ~ ----------'-'--"--- ~ :::

~-"~'-'-'-

~r Figura 13

En el ejemplo 1 de la figura 13 se produce una separacion en la expansion co formacion de vortices en las zonas muertas A. Estds vortices son periodic. mente arrastrados por Ia corriente y se forman otros nuevos, 10 cual produc una disipacion continua de energia. La contraccion subita del eJempio 2 de I figura 13 produce separacion con formaCion de vortices en las onas A yB

Una curva gradual en un conducto como la indicada por el codo circular de 1< figura 14 presenta otro caso de perdidas locales. La curva crea una fuerza cello trifuga inversamente proporcional al radio de curvatura y como este crece par~ las line as de flujo de adentro hacia afuera de Ia curva se genera un gradiente de presion en Ia direccion 12 de la figura. La diferencia de presion en el plano normal al flujo genera un flujo llamado secundario formando dos vortices como muestra Ia seccion de la figura 14. EI flujo secundario se superpone al flujo principal dando como resultado final un flujo en espiral. La energia necesaria para generar el flujo secundario proviene de la energia del flujo, adelante dela curva se disipa el flujo seeundario produciendo una perdida de energia.

La separacion y el flujo secundario son las causas de las perdidas locales 0 singu. lares. Se acostumbra calcular estas perdidas con una ecuacion de Ia forma: hf

(62)


35

debido a cambio fuerte en las paredes del conducto, la corriente de fluido se aparta de estas y la zona comprendida entre la corriente de fluido Hamada "vena viva" y las paredes se llena con fluido de baja velocidad. En la superficie de contacto entre Ia vena viva y el flujo de baja velocidad se produce un fuerte gradiente de velocidad con desarrollo de altos esfuerzos de friccion. Estos esfuerzos generan vortices dentro de la zona de baja velocidad 0 zona muerta. La formacion de vortices consume energia 10 cual se manifiesta como una perdida adicional denominada perdida local 0 singular. La figura 13 presenta varios ejemplos de separacion.

'--'--_0-- -_.------.__ .

2

Figura 13

En el ejemplo 1 de la figura 13 se produce una separacion en la expansion con formacion de vortices en las zonas muertas A. Estos vortices son periodicamente arrastrados por la corriente y se forman otros nuevos, 10 cua! produce una disipacion continua de energia. La contraccion subita del e]emplo 2 de la figura ~3 produce separacion con formacion de vortices en las zonas A y B.

Una curva gradual en un conducto como la indicada por el coda circular de la figura 14 presenta otro caso de perdidas locales. La curva crea una fuerza centrifuga inversamente proporcional al radio de curvatura y como este crece para las lineas de flujo de adentro hacia afuera de Ia curva se genera un gradiente de presion en la direccion 1-2 de Ia figura. La diferencia de presion en el plano normal al flujo genera un flujo llamado secundario formando dos vortices como muestra la seccion de la figura 14. EI flujo secundario se superpone al flujo principal dando como resultado final un flujo en espiral. La energia necesaria para generar el flujo secundario proviene de la energia del flujo, adelante de Ia curva se disipa el flujo secundario produciendo una perdida de energia.

La separacion y el flujo secundario son las causas de las perdidas locales 0 singulares. Se acostumbra calcular estas perdidas con una ecuacion de la forma:

(62)

Ans. Fac. Nal. MInas, Medellin (ColombIa), No. 61, 1985. 35

v K == es un coeflclente que epen e e

t

I Figura 14 2

En donde:

:: velocidad I?:dia del fludjo d d la forma geometrica de la variacion en el conducto.

'd'd IocaI causado por una contraccion La figura 15 presenta el ejemplo de per I a , siibita.

Figura 15

, 'd ' d ciende en forma uniforme segiin Antes de la seccion.~ l~ hnedt e~ed;bid:~ la contraccion el flujo se acel!:.ra una recta. De la seCClon en a ~ ,an e de la seccion 2 se produce separaClOny en las esquinas de la contracclOn. antes t - Delante de la seccion 2 con formacion de vortic:s 0 ~emoh":o~ de gratn a:r:.d~~~ hasta 2'. De 2' en ade~a vena viva depido a la medrclah cOtn\~n~:/~o~~~:nte el tuba en 3. En la zonalante la vena vIva se expan e as a e

,36 Ans. Fac. Nal. Minas. Medellin (Colombia). No. 61, 1985.

23 se produce separacion con formacion de remolinos en la flujo se acelera en el trayectol2' y desacelera en 2'.3. La acel p~oduce transformacion de energia potencial en cinetica y es u ciente. La desaceleracion produce transformacion de energia cil cial pero es un fenomeno ineficiente porque al separarse las IiI forman vortices que consumen parte de la energfa. Los vortices la expansion en 2' 3 son disipados por efecto de la viscosidad en de la seccion 4 las perdidas de energia se deben excIusivamer.

La linea de energia en el trayecto 14 es una curva dificil de cal las perdidas de energia se deben al efecto combinado de: 'friccio mayor, separacion antes y despues de la contraccion,formacion d la expansion y friccion en el tubo menor. Para simplificarlos calci tum bra suponer artificialmente que las perdidas de energfa en el tl pueden distribuirse en: perdidas por friccion en el tubomayor hfl_: por friccion en el tubo menor hfl"4 y perdidas por contra~cion h, la: ponen concentradas en la seccion 2. Las perdidas por friccion en los se calculan con la ecuacion (30) y las perdidas locales con la ecuaci( continuacion se trataran varios ejemplos de perdidas locales.

2.2.2.1 Expansion subita.

La figura 16 presenta una expansion subita con separacion adelante

---- --- ------ --- --,...-- --t........ _

( Figura 16

Las ecuaciones de continuidad, mom en to lineal y energia aplicadas entre la:secciones 1 y 2 de la figura 16 dan:

Q == At Vt ::: A2 V2 PI Al -P2 A2 == (r/g)A2 -VdV2 (V1 PIIr+Vt2/2g=P21r+V2/2g+h,

Ans. Fac. Nal. Minas, Medellin (Colombia), No. 61.1985.

..i ' I ,,"

37
http:acel!:.ra

. ~ : I '

23 se produce separacion con formacion de remolinos en la zona muerta. EI flujo se acelera en el trayecto 12' y desacelera en 2'3. La aceleracion del flujo p~oduce transformacion de energia potencial en cinetica yes un fenomeno efi

. ciente. La desaceleracion produce transformacion de energi'a cinetica en potencial pero es un fenomeno ineficiente porque al separarse las lineas de flujo se forman vortices que consumen parte de la energfa. Los vortices generados por la expansion en 2/.3 son disipados por efecto de la viscosidad en 3-4. Adelante de la seccion 4 las perdidas de energia se deben exclusivamente a friccion.

La linea de energia en el trayecto 1-4 es una curva dificil de calcular, porque las perdidas de energia se deben al efecto combinado de: friccion en el tubo mayor, separacion antes y despues de la contraccion, formacion de vortices en la expansion y friccion en el tuba menor. Para simplificar los calculos se acostum bra suponer artificialmente que las perdidas de energia en el trayecto .1-4

I; pueden distribuirse en: perdidas por friccion en el tubo mayor hfl-2 , perdidas por friccion en el tuba menor hfl-4 y perdidas por contra~ci6n h, las cuales suo ponen concentradas en la seccion 2. Las perdidas por friccion en los dos tubos se calculan con la ecuacion (30) y las perdidas locales con la ecuacion (62). A continuaci6n se trataran varios ejemplos de perdidas locales.

2.2.2.1 Expansion subita.

La figura 16 presenta una expansion subita con separacion adelante de ella.

V, ~ _,..--- --- ------ --- --r--- ---I~

Figura 16

Las ecuaciones de continuidad, momento lineal y energia aplicadas entre las secciones 1 y 2 de la figura 16 dan:

Q = AI VI = A2 V2 PI A2 -P:z A2 = (rIg) A2 V2 (V2 -Vd P, h+V 1

2 /2g=P2 h+V2 /2g+h,


I '

La solucion simultanea de estas tres ecuaciones da:

h, == (V I - V 2)2 I 2g

Experimentalmente se ha encontrado que las perdi~,as de energia causadas por una expansion subita pueden calcularse con la ecuaClOn:

h, == K(VI - V2 )2 12g (63)

En donde K es un coeficiente numerico muy cercano a la unidad. Un ca~ especial de expansion subita e.s la entrega sumergida deVun tugo hu~ ta~q~i2ge ~:~~ tamaiio 0 a un embalse. En este caso A2 -> 0; y 2 -> , d' ! . f r quiere decir que toda la e~ergia cinetica del agua en el tuba .se ISlpa por o. mac ion de macroturbulencla en el estanque.

. 2.2.2.2 Expansion gradual. .

A H Gibson determino experimentalmente que la ecuacii:n .(63) es valida para '1 'Iar las erdidas de una expansion gradual ~e forma cO~lca pero e~.este ca~~ ~u es unaPfuncion del angulo II de la expansion y la relaclOn de los dlametros

. extremos.

I I I I

-I

.--.----t-.e I tg (012) ==

,I (D 2 -D I )/2L, I I I

l!

Figura 17

Experimentaciones posteriores han cuestionado los valores obtenidos por Gibson y han obtenido valores de K funciosuperior de 1,00.

o == 20 30 40K == 600,42 0,67 0,83 50

0,93 0,9(

2.2.2.3 Contraccion subita.

La figura 15 muestra una contraccion silbita causada por redu, tro en la tuberia.

Debido a la presencia de la contracci6n, el flujo se acelera y del produce separaci6n del flujo con area minima 1\ y velocidad ma Las perdidas debidas a la contraccion pueden expresarse con la eCl hi = KV2

2 /2g

EI cbeficiente K se ha encontrado experimentalmente que varia COl de areas de los dos tubos A IA{. Cuando AI es muy grande con A2 , A2 I Al y experimen1almente se ha obtenido K ::: 0,50 para, cion. Cuando AI ::: A2 no hay contraccion y K ::: 0. Los valores expe. obtenidos para K varian entre 0,50 y 0,0 para los valores extremos c para valores intermedios de esta relacion se puede obtener un valor apl de K suponiendo que las perdidas totales se deben a una aceleraci6n seccion 1 hasta 2' cuya magnitud es es K { Vol 12g y una desaceleracion cion 2' a 4 de magnitud (Vo - V2)2 12g considerando la ultima como pansion sll.bita. Con base en esta suposicion se escribe la ecuaci6n:

K Vc "12g ::: K 1 Vo 2/2g + (Vo - V2 )2 12g

La seccion minima en 2' debida a la contraccion, fue experimentada p Weisbach y obtuvo los coeficientes de contracci6n Co que aparecen en la \ No.2. Weisbach tomo Ao ::: Co A2 , en donde All. es el area de la secci6n con,

II 7 D2/D{

1,5 0,13 2 0,13 3 0,13

38

TABLA No.1

Valoresde K ::: (II, D2 /D I )

20 40 60 80

0,43 0,78 1,02 1,04 0,43 0,88 1,14 1,15 0,43 1,00 1,15 1,15

100

1,03 1,10 1,10

140 180

1,03 1,03 1,02 0,97 1,02 0,97

An;. Fae. Na!. Minas, Medellin (Colombia), No. 61.1985.

da. Al aplicar la ecuacion de continuidad entre ;G' y 4 se obtiene:

Despues de reemplazar el valor de Vo en la ecuacion de perdidas para la COl traccion planteada anteriormente y simplificgtr se obtiene:

K ::: "I ICo 2 + (lICo - 1)2 (64 Reemplazando en la ecuacion (64) K ::: 0,50 Co == 0,617 correspondiente 1A 2 IA, ::: 0, se obtiene K 1 IC o 2 == 0,115.

Ans. Fae. Na!. Minas, Medellin (Colombia). No. 61. 1985. 3~

Experimentaciones posteriores han cuestionado los valores experimentales de K obtenidos por Gibson y han obtenido valores de K funcion de f} con un limite superior de 1,00.

o = 20 30 40 50 60 70 80'" K = 0,42 0,67 0,83 0,93 0,96 0,99 1,00

2.2.2.3 Contraccion subita.

La figura 15 muestra una contraccion subita causada por reduccion del diametro en la tuberfa.

Debido a la presencia de la contraccion, el flujo se acelera y delante de esta se produce separacion del flujo con area minima A., y velocidad maxima Vo en 2'. Las perdidas debidas a la contraccion pueden expresarse con la ecuacion

hi = KV2 2 /2g

EI cbeficiente K se ha encontrado experimentalmente que varia con la relacion de areas de los dos tubos A~ IAI' Cuando AI es muy grande con respecto a A2 , A2 I A1 0 y experimentalmente se ha obtenido K = 0,50 para esta condicion. Cuando AI = A2 no hay contraccion y K O. Los valores experimentales obtenidos para K varian entre 0,50 y 0,0 para los valores extremos de A2 IAI , para valores intermedios de esta relacion se puede obtener un valor aproximado de K suponiendo que las perdidas totales se deben a una aceleracion desde la seccion 1 hasta 2' cuya magnitud es es K I V0 2 12g y una desaceleracion de la seccion 2' a 4 de magnitud (V 0 - V2)2 12g considerando la ultima como una ex pansion su~ita. Con base en esta suposici6n se escribe la ecuaci6n:

KV" 2/2g == KI VO 2/2g + (Vo -V2 )2/2g

La secci6n minima en 2' debida a la contracci6n, fue experimentada por J. Weisbach y obtuvo los coeficientes de contraccion Co que aparecen en la tabla No.2. Weisbach tom6 Ao Co A2 , en donde A9,. es el area de la seccion contrai da. Al aplicar la ecuacion de continuidad entre ~I y 4 se obtiene:

Despues de reemplazar el valor de V 0 en la ecuaci6n de perdidas para la con tracci6n planteada anteriormente y simplific~r se obtiene:

(64)

Reemplazando en la ecuaci6n (64) K == 0,50 Co 0,617 correspondiente a A2/AI O,seobtieneK,JCo 2 =0,115.

Ans. Fac. Nal. Minas, Medellin (Colombia). No. 61,1965. 39

Cuando Al IA I = 1 no hay contraccion y K I ICc l = O.

Para valores intermedios de A2 I Al puede suponerse.que K 1 ICo 2 varia lineal mente con Dl IDI , 0 con (A2 IAl )112

Con esta suposicion se calculan los valores de K I ICo 2 Y K que presenta la tao bla No.2.

TABLA No.2

A2/AI 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,6 0,8 1,0 Co 0,617 0,624 0,632 0,643 0,659 0,712 0,813 1,00 (1/Co - 1)2 0,385 0,363 0,339 0,308 0,268 0,164 0,053 0,00

K I ICo :2 0,115 0,079 0,064 0,052 0,042 0,026 0,012 0.00 K 0,500 0,442 0,403 0,360 0,310 0,190 0,065 0,00

Este metoda aproximado para el calculo de perdidas debidas a una co~traccion subita da resultados aceptables para uso pnlctico en calculo de tube.na:,- De la ecuacion (64) y la tabla No.2 se observa que la compo.nente de las perdldas de

. bida a la aceleracion del flujo en el sector 12' es apreclabl?:nen,te.menor q.ue la desaceleracion entre 2' y 4. Un caso extremo de contracCl0n sublta constltuye la entrega de un tanque a una tuberia indicado en la figura 18. En este caso A2 IAI = 0 Y K = 0,50.

'

-,V___+_-;t- ___

X>D --:-l

__-,.__v_.~__ ___

Figura 18 Figura 19 Figura 20

Algunas veces la tuberia es reentrante como se indica en la figura 19, esta con dicion obliga las lineas de flujo a contraerse mas a la entrada .del tubo y au mentar las perdidas. Experimentalmente se ha encontrado que SI la pared del tub? es muy delgada y la entrada "X" es mayor de un diametro del tubo, el coefl'

. ciente de perdidas tom a un valor K = 0,80, para valores de X entre cero !' D K varia entre 0,50 y 0,80. C. W. Harris encontro experimen~a!mente que SI el espesor.de la pared del tuba "t" es mayor de 0,05D, el coeflClente K toma el valor 0,50 para cualquier valor de X.

40 Ans. Fac. Nal. Minas. Medellin (Colombia). No. 61. 1985.

En c~sos especiales cuando se requiere reducir las perdi( tuben~, se pu.ede curvar la .~ntrada como 10 indica la figL por,obJeto eVltar la expanSIon del fJujo dentro del tubo. E sera AI = (1T14( (0 + 2r)2y la de la seccion.2, A2 = 1T0 ~abla No.2 A2/ A l = Co = 0,617 Y reemplazando los vale tlene r = 0,140; Para entradas curvas con r> 140se ha mentalmente K "'" 0,1 pero el valor exacto depend~ de la form~ 2.2.2.4 Curvas y cod os.

Normalmente. una tuberia su~re cam bios importantes en su al zontal. y vertIcal, estos cambl!?s de di~ec:ion, originan perdida

.v~ces .1~portante~. Para reduclr las perdldas locales originada~dlre~clOn en el almeamiento de la tuberfa," se acostumbra hacer medlo de una curva gradual 0 codo.

Debido al ~~mbio de direccion la fUerza centrifuga origina un flu en el planon.or~al al movi~iento.La rotacion superpuesta a la i ~uce un. ~ovlmlento en esptral denominado fJujo secundario. EI f rIO contmua en un trayecto largo de la tuberia despues de la curv d~ d!reccion en la tuberia puede originar separacion. En las curvru perdld.a l?cal se debe a la accion combinada de la separacion el flujc y la fncclOn. '

En curvas circulare,s en tuberia de seccion circular se ha encontrado E talmente que las. perdidas locales son funcion de: el angulo de giro, de la ~ur.va, el dlamet~o del tubo y la rugosidad absoluta del material Las perd.l~as de energla producida por un codo pueden calcularse por 1 la ecuaClOn (62), en donde el coeficiente K es en general funcion de e K == f (0 .. RID, e), Las formas geometricas de codos comunmente u son l11l!y vanadas, se han efectuado mediciones experimentales de K Pal pos .mas comunes ~e codos en uso. Para determinar el valor de K de l partICular se recomlenda consul tar manuales de hidraulica en donde aplos valores medidos experimentalmente.

Algunas veces en instalaciones industriales y tuberias de aire acondiciona necesario instalar codos de sin curva en estos casm ha obtenido experimentalmt K "'" 1,10. Si se instalan inter mente al codo laminas cur Como se indica en la 'figura r 21 se pueden reducir las per das locales y el coeficiente

Figura 21 rna valor """ 0,2.K

Ans. Fac. Nat Minas. Medellin (Colombia). No. 61, 1985.
http:movi~iento.Lahttp:pesor.de

En casos especiales cuando se requiere reducir las perdidas por entrada a una tuberfa, se puede curvar la entrada como 10 indica la figura 20. La curva tiene por objeto evitar la expansion del flujo dentro del tubo. EI area de la sec,cion 1 sera Al :::: (rr/4( (D + 2r)2y la de la seccion 2', A z :::: rrD z /4. Tomando de la Tabla No.2 Az/AI :::: Co == 0,617 Y reemplazando los valores anteriores se obtiene r :::: 0,14D. Para entradas curvas con r> 0,14D se ha encontrado experimentahnente K:::.. 0,1 pera el valor exacto depende de la forma de la contraccion.

2.2.2.4 Curvas y cod os.

Normalmente una tuberia sufre cam bios importantes en su alineamiento horizontal y vertical, estos cambios de direccion originan perdidas locales algunas

,veces import antes. Para reducir las perdidas'locales originadas por cambio de direccion en el aIineamiento de la tuberia, se acostumbra hacer el cambio por medio de una curva gradual 0 codo.

Debido al cambio de direccion la fuerza centrifuga origin a un flujo de rotacion en el plano~normal al movimiento. La rotacion superpuesta a la traslacion produce un movimiento en espiral denominado flujo secundario. El flujo secundario continua en un trayecto largo de la tuberfa despues de la curva. EI cambio de direccion en la tuberia puede originar separacion. En las curvas 0 codos la perdida local se debe a la accion combinada de la separacion, el flujo secundario y la friccion.

En curvas circulares en tuberia de seccion circular se ha encontrado experimentalmente que las perdidas locales son funcion de: el angulo de giro, el radio R de lacurva, el diametro del tuba y la rugosidad absoluta del material del tubo. Las perdidas de energia producida poor un coda pueden calcularse por medio 'de' Ia ecuacion (62), en donde el coeficiente K es en general funcion de 0, R, D, e K :::: f (0, RID, e). Las formas geometricas de codos comunmente utilizadas son muy variadas, se han efectuado mediciones experiment ales de K para los tipas mas comunes de codos en uso. Para determinar el valor de K de un caso particular se recomienda consuItar manuales de hidraulica en donde aparecen los valores medidos experimentalmente.

Algunas veces en instalaciones industriales y tuberfas de aire acondicionado es

Figura 21


necesario instalar codos de 900 sin curva en estos casas se ha obtenido experimentalmente K :::.. 1,10. Si se instalan interiormente al coda laminas curvas como se indica en lafigura No. 21 se pueden reducir las perdidas locales y el coeficiente torna valor K 0< 0,2.

41

42

2.2.2.5 Valvulas y accesorios.

Las valvulas y otros accesorios utilizados en las instalaciones de tuberias producen perdidas locales debidas principalmente a separacion y en algunos casos a flujo secundario. Existen gran numero de tipos de valvulas, en cada caso es necesario consul tar los catalogos de fabricacion 0 manu ales de hidrimlica para ob

" tener elvalor correspondiente de 1(. Los demas accesorios de uso comim han sido estudiados experimentalmente y en manuales de hidraulica se encuentran los coeficientes para el calculo de las perdidas locales.

2.3 CALCULOS DE TUBERIAS. .

En la utilizacion practica de tuberias se presentan problemas muy variados que abarcan desde la simple alimentacion de un usuario con una linea proveniente de un tanque, hasta la alimentacion de multiples usuarios con muchas lineas de tuberia interconectadas entre sl y a su vez alimentadas por varias fuentes. Se estudiaran a continuacion los casos mas comunes que se presentan en la utilizacion de tuberias, otros problemas diferentes de estos pueden ser estudiados en forma similar. En primer termino se estudiaran los casos mas comunes de tuberiassimples y finalmente los casos de mas uso en tuberias compuestas. Se llama tuberfa simple aquella en que una sola linea conecta una fuente unica a un usuario unico. Be Haman tuberias compuestas aquellas formadas por vadas lineas

I. interconectadas que se unen 0 se separan. 2.3.1 Tuberias simples.

,Se presentan a continuacion los casos tipicos mas comunes en tuberias simples. . .

Problema No. 1.

Por un tubo de diametro 1" fluye agua a 150 C. La velocidad maxima en el cen"tro del tubo es VI::::: 0,1 mls suponiendo que el flujo es laminar, calcular el esfuerzo unitario de friccion sobre las paredes, en un punto a 5 mm del centro, y en el centro del tubo.

Comoelflujoeslaminarv=vl (1 4r2 1D2 ),T = .udv/dy,r+y=D,dy=-dr,T = .udv/dr, dv/dr =-,8VI r/D2 , T = IJ. .8vI r1D2, IJ. 1,1528 X 10-4 kg. s/m2 Para r = 0,005 m , T 1,1528 X 10-4 x 8 x 0,10 x 0,005 10,02542 7,15 X 10-4 kg/m2

En fa pared r =0,0127 m ,T ::::: 7,15 X 10-4 x 0,0127/0,005 = 18,15 x 10-4 kg/m2

En el centro r = 0 ,T ::::: 0

En flujo laminar V =VI 12, V = 0,05 mis, IJ.lp 1.13 x 10-6 m2 /s, R= 0,05 x 0,0254/1.13 x 10-6 ,R= 1.124 < 2.000 luego el flujo sf es laminar.


Problema No.2

Por un tubo de 24" de .dhimetro flu~e agua a 15C. La velocidad medida expe mentalmente se aprOXlma por medlO de la ecuacion v = (3 30 +. 0 3 I rt'fls. Tor;na~,do la constante de turbulencia I( :;: 0 40. Calcul~r el esf~er n (y/~no de fncclOn para y 2 cm. ' zo um

De acuerdo con la forma de la ecuacion de velocidad el flujo e~ turbulento lueg T :::; PI( 1. (dv/dy)4/(d2 v/dy2)2 , dv/dy = 0,3/y, d1. vldy1. =_0,3/y2 P ::::: fig = 1.000 kg.s2 19,8 m4

T (1.000 kg.s2

/9,8 m4

) 0,4 2 (0,310,02 S)4 1(- 0,310,022 s.m)2, T :;: 1,47 kg/m2"

Problema No.3

~~l~u~ar dl cd-~ficiente de corre~cion de la en~rgia cinetica p~ra flujo laminar e lu 0 e. ,mmetro D, supomendo que el dlagrama de velocidad esta definl'd

por a ecuaClOn

V = V I (1 4r2 I D2 )

0: ::::: (ljv2)(fA v3dA) I {AvdA) , V =(I oJ.A v. dA' ) 1A d~. ' A = 21Trdl AI reemplazar, integra~ y simplificar las ~cuaciones anteriores se obtiene 0: = 2

Problema No.4

Por, u~ tubo de .18" d,e diametro fluye agua a 150 C con una descarga de 80 1/s Que tJpo de fluJo se tlene? Calcular el factor de friccion "f" si la rugosidad ab: ~~~Jie~:eId~i:~~:!~: ~~!~~~' Calcular el espesor de la subcapa laminar y la

Para T = 150 C , v 1,13 X 10-6 m2 Is., R = 4QIlTDv

R = 4 x 0,080 I (11' x 0,4572 x 1,13 x 10-6 ), R = 1,97 X 105 se tiene flujo turbulento.

~cir:;l~c~~~~{~li~a :rr~~n:.a~i~~ se supone flujo turbulento con s~perficie ~i-, v ,- ,+ 2 log lyTpara R= 1,97 x lOs, f=. 0,15683.

(:ID) RyIr"': (0,0001/0,4572)1,97 X 10 5 Y 0015683 - 540 . tlene flujo turbulento con superficie hidrauli~amente lis; y~ 9~3g,~~~g~8~

Ans. Fac. Nat. Minas, Medellin (COlombia), No. 61, 1985. 43
http:0,0254/1.13

Problema No.2

Por un tubo de 24" de dicimetro fluye agua a 15C. La velocidad medida experimentalmente se aproxima por medio de la ecuacion u = (3,30 + 0,3 In (yjO m/s. Tomando la constante de turbulencia I( = 0,40. Calcular el esfuerzo unita.; rio de friccion para y 2 cm.

De acuerdo con la forma de la ecuacion de velocidad el flujo es turbulento luego:

T = pl(2 (du/dy)4 /{d2 vjdy2)2 , duldy ::: 0,3/Y, d2 uldy 2 ::: - 0,3/y2

p = "fIg::: 1.000 kg.52/9,8 m4

i = (1.000 kg.52 /9,8 m4) 0,42 (0,3/0,025)4 1(- 0,310,022 5.m)2, T 1,47 kgjm2

Problema No.3

Calcular el coeficiente de correccion de la energia cinetica para flujo laminar en un tuba de diametro D, suponiendo que el diagrama de velocidad esta definido por la ecuacion

!1 :: U 1 (1 - 4 r2 /0'2 )

a: = (-lLy2) (jAv3dA ) j {AudA) , Y :::

44

(oo/D) It .,f7::: 3,2,884 en donde 00 ::: espesor de la subcapa laminar

0 :::; 32,884 x 0,4572 I 197158.J 0,015683 b Q = 0,00061 m :::; 0,61 mm > e = 0,10 mm Sf= hf/L= 8fQ'/7i'gD 5

Sf= 8 x 0,015683 X 0,080' I (7i' x 9,8 x 0,4572 5 ), Sf::: 0,000416 V =: 4Q/7iD2 V:::: 4 x 0,080 I 7i x 0,4572 2 V::: 0,487 m/s

Problema No.5

Repetir el problema anterior con D ::: 10" =0,254 m.

It :::: 4 x 0,08 I (7i x 0,254 x 1,13 x 10-6 ), R:::: 354.885 :::: 3,55 X 105

Se tiene flujo turbulento.

Suponiendo superficie hidraulicamente lisa se tiene:

1 1..[7" = - 0,80 + 2 log (3,55 x 105 .,(7) , f :::; 0,01416 (e/D) It ..Jf= (0,0001/0,2540) 354.885 .J 0,01416 = 16,54 > 9,33 luego se tiene flujo turbulento con superficie hidraulicamente rugosa y

1/.,f7'=l,l4;+2Iog(254,0/0,1), f == 0,01582

En este caso no existe subcapa laminar.

Sf :::; 8 x 0,01582 X 0,080 2 /(7i 2 x 9,8 x 0,254 5) , Sf ;:; 0,007923

V :::; ,4 x 0,080 1(7i x 0,2542) , V :::; 1,58 m/s

Problema No.6

Calcular para dos tuberias DI ::: 10" yD. ::: 8", el = e. = 0,10 mm, LI ::: L 2 ::: 1.000 m. Las curvas V = fl (Q), Sf = f2 (Q) h'f= f3 (Q) Y comparar las caracteristicas de los dos tubos. '

V = 4Q/lTD2 , Sf = fV 12gD , he = SrL. Se supone turbulencia total 11 ..Jf= 1,14 of 2 log (D Ie), con las ecuaciones anteriores se obtienen los valores de la tabla siguiente:

Q VI V2 SrI

10 0,20 0,31 0,00012

50 0,99 1,54 0,0031

70 1,38 2,16 0,0061

100 1,97 3,08 0,0124

200 3,95 6,17 0,0495

400 7,89

12,33 . 0,1981

lip m/s m/s

Sr2 0,00040 0,0099 0,0194 0,0397 0,1588 0,6350 .hfl hr,

0,12 0,40

3,09 9,92

6,07 19,45

12,38 39,69

49,52 158,76

198,07 635,05

m m

Ans, Fac. Nal. Minas, Medellin (Colombia), No. 61,1985.

La t!lbla anterio~ muestra que para un tubo dado al media aume!lta .lmealmente, Sf Y hr aumentan pro orci:r

I ~ 1~;dp~r~i3~~n;;g~ri~~~!~~~~~~a~e~~~\~~~:n1:~~i~nt~ tante Y, debe ser considerada en la seleccion del di~ ~ caI determmado problema. e ro

f I I Problema No.7 I

Un tan que A esta comunicado a un tanque B media .I D, longltud L Y rugosidad absoluta e. La diferenci:~ unfl tlu ques es H. Calcular el gasto Q d e mve

r c~ra~teristicas de la tuberia Y j:elf~~e~ I?a~r P?r It ~be~ia perdldas loc;'lles. Calcular Q para D = 6.~la L e =mre780 nalIzaJ( ~~o~tq~~~l~~r:l~~l~rs~~ l~nr~~~~rJ~ds~e~~t~s .1.~~~les.T~;pr las perdldas locales. Calcular el coeficiente "c" de H nec~~lrl~a

. azen vvi Ian

~nt~~Ba como pl~po de refer~ncia para medir la ene~ia el nivel I q . La ecuaClOn de energla entre las secciones (1) Y (2) da:

H :::: he + hr + hs

~b'o~S son las perdidas locales por entrada Y salida, hr perdida por fricciol 2

he = 0,5V /2g , hs = V/2g , hI' = C(L/D) V./2g Al reemplazar se obtiene:

H :::: (1,5 + fL/D)V2/2g


La tabla anterior muestra que para un tubo dado al aumentar Q la velocidad media'aumenta linealmente, Sf y hf aumentan proporcional a Q2. Para un gasto Qdado al disminuir el diametro la velocidad,la pendiente de la linea de energia y las perdidas por friccion aumentan rapidamente. Esta caracteristica es importante y debe ser considerada en la seleccion del diametro de la tuberia para un determinado problema.

Problema No.7

Un tanque A esta comunicado a un tanque B mediante una tuberfa de diametro D, longitud L y rugosidad absoluta e. La diferencia de nivel entre los dos tanques es H. Calcular el gasto Q que puede pasar por la tuberfa en funcion de las caracterfsticas de la tuberfa y la diferencia de nivel. Analizar el efecto de las perdidas locales. Calcular Q para D = 6" , L = 1.780 m ,e 0,1 mm , H = 60,0 m considerando y sin considerar las perdidas locales. Temperatura del agua 150C. Calcular el valor de la rugosidad absolu ta "e" necesaria para considerar las perdidas locales. Calcular el coeficiente "C" de Hazen-Williams.

Se tomara como plano de referenda para medir la energfa el nivel del agua en 'el tanque B. La ecuacion de energia entre las secciones (1) y (2) da:

~h ------------------------*--T- T =-=--=.:----------------------r ' -----__lin.o

. ,--..!!....~.!.,g!.! - _____ r H , j L, D, e B

I

cO

H :: he + hf + hs

he ,hs son las perdidas locales por entrada y salida, hr perdida por friccion en el tubo.

he' O,5V 2 /2g, hs V'2/2g , hI' = f(L/D) V 2 /2g

AI reemplazar se obtiene:

H = (1,5 + fL/D)V'2/2g

Ans. Fac. Nal. Minas. Medellin (Colombia). No. 61. 1985. 45

La cantidad entre parentesis de la ecuacion anterior esta compuesta por 1,5 que represent a las perdidas locales y fLlD que representa las perdidas por friccion. Llamamos hi el primer termino y hf el segundo y analizamos como varia la influencia de cada uno cuando aumenta fa longitud de tuberia.

Suponiendo que se tiene turbulencia total resulta:

1/v'7='l,14 + 210g(152,4/0,l) , f 0,017750

LID 10 100 1.000 10.000 hi 1,50 1,50 1,50 1,50 he 0,18 1,77 17,75 177,50 ~ 1,68 3,27 19,25 179,00 hi 0/0 89,3 45,9 7,8 '0,8 beOjo " 10,7 54,1 92,2 99,2

, En la tabla anterior LID es la relaci6n entre la longitud y el dhimetro del tubo y !: la suma de hi mas hf, Las dos filas inferiores presentan a hi y hf expresados como porcentaje del total k, A medida que aumenta la longitud de la tuberia la influencia de las perdidas locales disminuye rapidamente, EI cuadro anterior, muestra que para tubos cortos las perdidas locales son dominantes, en cambio para tubos largos las perdidas locales tienen muy poca influencia y las perdidas i por friccion son dominantes, En instalaciones con tubos muy cortos y muchos ! accesorios se pueden ignorar las perdidas por friccion y considerar sOlo per

. didas locales, ejemplo, en instalaciones industriales, plantas de tratamiento de agua. En instalaciones con tubos largos se pueden ignorar las perdidas locales y considerar sOlo las perdidas por fricci6n. En casos intermedios se pueden considerar indirectamente las perdidas locales aumentando un poco el coeficiente de

I ! ; rugosidad absolut~ del tubo.

AI reemplazar en la ecuacion de energfa los valores numericos de este problema se tiene:

\ ' 60 =(1,5 + 0,01775 x 1780/0,1524)y2 119,6, y::;: 2,37 m/s

l !

Para T ::; 150C la viscosidad cinematica del agua es '

j I v 1,13 X 10-

6 m 2 /s , It = YDlv . 2,37 x 0,1524/1,13 x 10-6

I It == 3,2 x 105, (elD R..jT= (0,101152,4) 3,2 x ios V 0,01775 == 27,98> 9,33

Luego la ecuacion utilizada para el calculo de f es la correcta

Q = AY:::: 1TD 2 Y/4, Q = 1TxO,1524 2 x 2,37/4 0,0433 m 3 Is = 43,3 l/s

46 Ans. Fac. Nal. Minas, Medellin (Colombia), No. 61,1985.

.' '(

Si se ignoran las perdidas locales se. tiene: !

60 0,01775(1.780/0,1524)~Z 119,6 , Y =:: 2,38 m/s

Q =: 2rr(0,1524 14) x 2,38 , Q :;::: 0,0434 m J Is =:: 43,4 lis . i

PIadradcobnsildetrar indirectal mente las perdidas locales se puede aumentar la rugcS a a so u a e a un va or e l

hI' =. fl (L/D)yl/2g = (1,5 -t! fL/D)y2/2g, fl, 1,5(D/L) + f 1,5 (0,1524/1.780) + 0,17750 ::: 0,017878

11 ";'-:0=-,0"""'1"""7-8-78- = 1,14 + 2 log (152,4/e l)

1;)1 0,103 mm

~ic~i6~ic;ed!eI; de l~, ectiac~(m empirica ,de Hazen-Williams y el factor de 1 074/Cl.85 >.15 :cuaclOln raCdlOnal!.se relaclOnan mediante,la ecuacion f =

. reemp azan 0 se bene:.

0,01775 =: 1.0741 (Cl,SS (3,2 x 10 5)0.15) , C ::: 137,5 . ,I ! Para este tipo de tuberfa los manu I d h'd' r .valor entre 130 y 140, ~ es e 1 rau lca recomlendan para C un

rroblema No.8

Jan e~~ui l08~gayd~i~~1 ~3g + sOOly n~ve117100 m alimenta una casa localizad 5 1/ II m. e reqmere evar deUanque a la casa un t ~ . s y ~gar ~l 7xtremo inferior idel tubo con una presion de 3 k Icm~as&

utlhz~ t';lbena plastIca con una rugosidad absoluta e = 0 10 mm D' g, . I tubena 19norando perdidas locales. " ImenSlonar ai

~oo~~t;~ ~;Ja tu~eria L =:: 1J~00 ~, diferencia de nivel total disponible H I . -. . m, e esta energla 30 Im se requieren como presion residual en' i:n~~~~ 1~~f;&~~rid~~sl~~~I:s:O m se disipan como perdidaspor friccion ya que se h!:=40m, hr=8fLQ 2 /rr 2 gD S ,Q=5 I/s,e 0,10mm 1/v'f= 1,14 + 2 log (DIe) i

i ,

(~uponiendo turbulencia total), al reemplazar en las eCilaciones anteriores setlene: I 40 8fx 1.800 x 0,005 2 I(1T Z X 9,8 D S )

1/v'f 1,14 + 2 log (D/O,OOOl) !

Ans. Fac:. Nal. Minas. Medellin (Colombia). No. 61 1985, 47
http:105)0.15http:raCdlOnal!.sehttp:074/Cl.85

+'

, \

'.

Si se ignoran las perdidas locales se tiene:

60 0,01775(1.78010,1524)N 2 /19,6 V 2,38 m/s

Q 7T(0,1524 2 /4) x 2,38 Q = 0,0434 m J /s = 43,4 lIs

Para considerar indi:t'ectamente las perdidas locales se puede aumentar la rugosidad absoluta e a un valor el .

hI' '''''' f\ (L/D)V 2 /2g = (1,5 + fL/D)V2/2g , f1 = 1,5(D/L) + f

fl - 1,5 (0,1524/1.780) + 0,17750 == 0,017878

1/.J 0,017878 = 1,14 + 210g (152,4/el)

= 0,103 mm

EI coeficiente C de la ecuacion empmca de Hazen-Williams y el factor de friccioi1 f de la ecuacion racional se relacionan mediante la ecuacion f 1.074/C \,85 .e.lS reemplazando se tiene: 0,01775 1.0741 (Cl,85 (3,2 x 105 )0.15) , C = 137,5

Para este tipo de tuberfa los manuales de hidniulica recomiendan para C un valor entre 130 y 140.

Eroblema No.8

Un tanque localizado en K 0 + 000 y nivel 700 m alimenta una casa loc'alizada en K 1 + 800 y nivel 630 m. Se requiere llevar del tanque a la casa un gasto de 5 lis y llegar al extremo inferior del tubo con una presion de 3 kg/cm2. Se utiliza tuberia plastica con una rugosidad absoluta e 0,10 mm. Dimensionar la tuberia ignorando perdidas locales.

Longitud de la tuberfa L 1.800 m, d-iferencia de nivel total disponible H 700630 70 m, de est a energia 30 'm se requieren como presion residual en li! parte inferior; los otros 40 m se disipan como perdidas par friccion ya que se ignoran las perdidas locales.

ht = 40 m , hr 8fLQ2/ 7T 2 gD s Q = 5 I/s. e 0,10 mm l/.JT= 1,14 +,2 log (D/e)

(suponiendo turbulencia tota!), al reemplazar en las ecuaciones anteriores se tiene:

i . . 40 = 8(x 1.800 x O.005 2/(rr2 x 9,8 DS)

l/yf = 1,14+ 2 log (D/O,OOOI)


--------------

----------------

. , I I aproximaciones sucesivasD 0,072 m"Con est as ecuaclOnes se ~a cu a por, t bos de 25" y 3" pero.no 2,85 ,2 85" En el comercio solo se conslguen 0 uX) t 'd 2' 5" ,. X me ros t de 3" y (1 .80 me ros e , 'luego deben usarse

Para 2,5", f = 0,021977, para 3", f 0,020980

2 gD 2 5hI"'" 8f l XQ2 I (rr 2 /g'D, 5) + 8f2 (L.X)Q2 I (7T )

'40 ::: (8 X 0,0050 2 /7T 2 x 9,8) (0,020980X/0,0762 5 + 0,021977(1.800X) 10,0635 5 )

x ::: 1.445,20 m , D = 3" , 1.800X 354,80 m , D 2,5"

Problema No.9

. 720 alimenta a traves de una tuberia con D = Un tanque con mvel de agua m. I d salida 500 m una rueda pelton. " L 1300 e - 012 mm y mve e d' t

20 , =. m, -, " ,. y la potencia correspon len e. Calcular el gasto Q que da la potencla maXIma 'Se ignoran perdidas locales.

--------------------,~~~~--4?-=:------J:!~~~!!l!!:g10 _' ~i -------l

H

500 r v-

Las perdidas por fricc}on son hr = 8rLQ2/n~ gD 5 . La caida total dispomble es Ho ::: 720500 - 220 72 D La energia utilizable es If = Ho - h r = Ho 8fL~ 2 7T g 5 La potencia utilizable por la rueda pelton es P - rQ ~. 2. DS ) _ 0

o 21 2. D5 ) dP/dQ r(H -24fLQ In g - . P=rQ(H -8fLQ n g2 D~ d2P/dQ2/0IuegoPposeeunmaximoyparaesd2 P/dQ2 ::::: -~_8rf~Q/~ g s ,. I

. te valor H ::::: 24fLQ 17T gD ;:: 3hr j) ,

" H = H o, -:hr = 2Ho/3

48 A ns. Fac. Nal ~ Minas Medellin (ColOmbia), No. 61, 1985.t

Suponiendo turbulencia total lIvTC== 1,14 + 2 log (508/0,12) , f::: O,014H 220 =: 24 x 0,014195 x 1.300 Q2 /(7T 2 x 9,8 X 0,508 5 )

,

Q = 1,275 m 3 /s = 1.275 115

Suponiendo T = 150 C para el agu'a

R = 4Q/7TDv 4 x 1,275/nO,508 x 1,13 x 10-6 , R 2'827.876 (e/D)Ryr- = (0, 12 /508)2,8 x 106 v' 0,01419 = 79,6luego Ia ecuacion usad;para calcuIar f es correcta.

P rQH (1.000 kg/m 3) (1,275 m 3 /5) (2 x 220 m/3) = 186.992 kg. m/s2493hp 1835 KW

Problema No. 10

La tuberia de succion de una bomba tiene D ::: 10" , L ::;.50 m, e ::: 0,20 mm y Ia de impulsion tiene D == 8" ,L -:1.800 m, e ::::: 0,10 mm. Se desea bombear Q 150 l/s de un tanque con nivel de agua 1.000 m a otro cuyo nivel eS'1.300 m. Despre,ciando perdidas locales calcular la potencia que se debe suministrar al motor si la eficiencia combinada de motor y bomba es !7 ::; 0,85 .. CaIcular el niveI maximo de instalacion de I~ bomba para que Iii presion negativa a su entrada no sobrepase 600/0 de una atmosfera. . ,

1- --- i /,300

--------,-----------~

.........

r -la), No. 61,1985.

49

i

Is-

Suponiendo turbulencia total 1/.jf::::: 1,14 + 2 log (508/0,12) , f = 0,014195

220 = 24 x 0,014195 x 1.300 Q2/(rr2 x 9,8 x 0,508 5 )

Q = 1,275 m 3 Is ::::: 1.275 lIs

Suponiendo T 150 C para el agua

R = 4Q/rrDv = 4 x 1,275/rrO,508 x 1,13 x 10-6 , R::::: 2'827.876 (e/D)Ry'T::::: '(0,12/508)2,8 X 10 6 ..j 0,01419 79,6 luego la ecuacion usada para calcular f es correcta.

P rQH = (1.000 kg/m 3 ) (1,275 ml/s) (2 x 220 m/3) 186.992 kg. m/s = 2493hp ::::: 1835 KW

Problema No. 10

La tuberfa de succion de una bomba tiene D 10", L =50 m, e = 0,20 mm y la de impulsion tiene D = 8" ,L -1.800 m, e = 0,10 mm. Se desea bombear. Q = 150 I/s de un tanque con nivel de agua 1.000 m a otro cuyo nivel es 1.300 m. Despre,ciando perdidas locales calcular la potencia que se debe suministrar al motor si la eficiencia combinada de motor y bomba es n = 0,85; Calcular el nivel maximo de instalacion de la bomba para que la presion negativa a su entrada no sobrepase 60?/o de una atmosfera.

1-------_ 1.300 t -------=========~~~-~ I

....I,......O.....OO~I-J_ R,

Ans. Fac. Nal. Minas, Medellin (Colombia), No. 61, 1985

, ..

D2

: 8"

L2 : 1800m

e2 :O.IOmm

49

De acuerd~ con las Uneas de energia de la figura:

HI = Ho + hI + h 2 HI energia suministrada por la bomba al agua.

h h son las perdidas por friccion en las tuberias de succion e impulsion, H~ ~ d~erencia de nivel de los tanques.

Ho = 1.300 - 1.000 = 300 m , hr = ~fLQ2 /rr2gD5 h 1= 8Cx50xO,150 2 / (rr2 x 9, 8xO,254 ) l/rr 1 14 + 2 log (254/0,20) ,hI = 1,63 m

2h2 = 8f ;'i.800 x 0,150 2 / (1T x 9,8 x 0.2032 5) 1/F::: 1,14 + 2 log (203,2/0,10), h2 ::: 160,75 m H = 30000 + 1,63 + 16075 ,HI::: 462,38 m p ~ 'YQH/TJ: P = (1.000 kg/m ~ )(0,150 m3 Is) (462,38 m/0,S5) P ::: 1088 hp ::: SO 1 KW

= S1.596kg. m /s ,

I

I I

120 IV--.

I I I

!~ KO+7Z0 I

K2 +080

La energfa disponible.para transportar Q = 220 lIs es H = 120 - 40 = SO m, longitud total de tuberias L ::; 3.460 m. Si se usa un diametro constante para todala tuberia se tiene: pendiente de la linea de energia.S= SO/.3:460, S:: 0,02312. En K 1 + 220 el niyel de la linea de energia es C ::; 120.,- ,1.22.9 x 0,023f2 C == 91,79 m < 108, luego la linea de energia y la piezomet"i'ica cruzan por de~ bajo de la tuberfa, situacion que debe evitarse en todo diseno, pues se generarian presiones negativas dentro del tubo. La linea piezometrica debe pasar porencima de la tuberia en toda su extension. .

'I

Suponiendo como una primera aproximaci6n nivel de la linea de ene~ia 110 en K 1 + 220, se tiene para esta'pl'imera parte de la tuberia L 1.220 m,caida disponible H = 120 - 110 10 rd, H. hf = SCLQ 2 /(rr 2 gD s ), 10:; SCx1.(220 X 0,220

2 /(rr2 x9,SxD

h - universidad nacional de colombia: repositorio .... flujo confinado.pdf · debido a la facilidad...

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