h prÉpa toutenun - موقع قصر...

H PRPA TOUT EN UN

1ANNE

RE

Le cours : connaissances et mthodes De nombreux exercices corrigs Des extraits de concours

TOUT LE PROGRAMME EN UN SEUL VOLUME !

MATHSMPSI

Crdits photographiques

Couverture : Getty Images/AKIRA INOUE

Page 187 : Bettmann/CORBIS

Toutes les photographies de cet ouvrage proviennent de la photothque HACHETTE LIVRE.

Composition, mise en page et schmas : PublilogMaquette intrieure : Vronique LefbvreMaquette de couverture : Guylaine MOI

HACHETTE LIVRE 2008, 43 quai de Grenelle 75905 Paris Cedex 15

Tous droits de traduction, de reproduction et dadaptation rservs pour tous pays.

Le Code de la proprit intellectuelle nautorisant, aux termes des articles L.122-4 et L.122-5, dune part, que les copies oureproductions strictement rserves lusage priv du copiste et non destines une utilisation collective , et, dautre part, que les analyses et les courtes citations dans un but dexemple et dillustration, toute reprsentation ou reproduction intgrale oupartielle, faite sans le consentement de lauteur ou de ses ayants droit ou ayants cause, est illicite .Cette reprsentation ou reproduction, par quelque procd que ce soit, sans autorisation de lditeur ou du Centre franais delexploitation du droit de copie (20, rue des Grands-Augustins, 75006 Paris), constituerait donc une contrefaon sanctionne parles articles 425 et suivants du Code pnal.

I.S.B.N. 978-2-0118-1331-2

Avant-propos

En proposant ici runi en un seul ouvrage le programme de la premire anne MPSI des Classes Prparatoires auxGrandes Ecoles, nous avons voulu privilgier la simplicit et la concision. Nous avons cherch pour chaque nouvelle notionlintroduction la plus conomique et les dmonstrations les plus comprhensibles pour le dbutant. Ce livre ne se sub-stitue pas au cours oral dun professeur, mais nous esprons quil constituera pour ltudiant un outil de travail et de rfrence.

Quelques repres typographiques doivent aider le lecteur :

tous les mots nouveaux, dfinis au fil du texte, sont reprs par un fond color et sont rpertoris dans lindex. les rsultats essentiels et les noncs des thormes sont encadrs ; les dmonstrations sont clairement identifies par un

filet marginal.

des applications proposent, au fur et mesure, des situations o sont mises en oeuvre les notions tudies. une fiche-mthode rsume, en fin de chapitre, les principaux savoir-faire indispensables pour les exercices. chaque chapitre comporte un exercice rsolu qui propose une solution rdige et commente dun exercice classique. les exercices de chaque chapitre sont accompagns la fin du livre dindications et rponses qui peuvent aller, suivant la

difficult, dune simple rponse numrique une solution dtaille en passant par le "coup de pouce" souvent ncessaire.Ces lments de rponse nont videmment dintrt que pour le lecteur qui a effectivement cherch lexercice et quiveut vrifier ses rsultats. Ils doivent tre lus de faon active, le crayon la main, et ne sont jamais dfinitifs : cest aulecteur de conclure et, sil le dsire, de rdiger compltement sa solution.

nous avons choisi des exercices poss aux oraux des concours lorsque ceux-ci ne portent que sur le programme dePremire Anne, ce qui est tout de mme assez frquent.

Les nouveaux programmes prconisant lintroduction du calcul formel, nous avons choisi de prsenter tout au long delouvrage lutilisation dune calculatrice, en reprant toutes les fonctions relatives aux notions tudies et les compltantventuellement par de petits programmes.

Nous remercions tous ceux qui ont bien voulu nous faire bnficier de leurs remarques et de leurs conseils.

Les auteurs

H

ache

tteL

ivre

H

Prp

a/M

ath

L

aph

otoc

opie

non

auto

ris

ees

tun

dlit

3

Sommaire

Avant-propos 3

Partie I : Programme de dbut danne

1 Nombres complexes 7

2 Fonctions usuelles 30

3 quations diffrentielles linaires 52

4 Gomtrie lmentaire du plan 73

5 Courbes paramtres 94

6 Coniques 110

7 Gomtrie lmentaire de lespace 127

Partie II : Nombres et structures algbriques usuelles

8 Vocabulaire relatif aux ensembles, aux applications et aux relations 148

9 Nombres entiers naturels Combinatoire 166

10 Nombres entiers relatifs Arithmtique 184

11 Structures algbriques usuelles 197

12 Espaces vectoriels 214

13 Polynmes 235

14 Fractions rationnelles 255

4

Sommaire

Partie III : Nombres rels, suites et fonctions

15 Nombres rels 268

16 Suites relles et complexes 280

17 Fonctions dune variable relle 304

Partie IV : Calcul diffrentiel et intgral

18 Drivation des fonctions dune variable relle 329

19 Intgration sur un segment 352

20 Intgrales et primitives dune fonction continue 372

21 Formules de Taylor. Dveloppements limits 387

22 Approximations 407

Partie V : Algbre linaire

23 Dimension des espaces vectoriels 423

24 Matrices 441

25 Rang dune matrice et systmes linaires 462

26 Groupe symtrique 476

27 Dterminants 486

Partie VI : Espaces vectoriels euclidiens et gomtrie euclidienne

28 Produit scalaire, espaces vectoriels euclidiens 507

29 Automorphismes orthogonaux 521

30 Transformations du plan et de lespace 535

Partie VII : Espace R2 et gomtrie diffrentielle

31 Fonctions de deux variables relles 549

32 Calcul intgral et champs de vecteurs 567

33 tude mtrique des courbes planes 581

Solutions 594

Index 665

H

ache

tteL

ivre

H

Prp

a/M

ath

L

aph

otoc

opie

non

auto

ris

ees

tun

dlit

5

1 Nombrescomplexes

OBJECTIFSOBJECTIFS Rviser et enrichir les notions

vues en Terminale.

Prparer le cours dalgbre endonnant des premiers exemplesde structures.

Prparer le cours danalyse, oles fonctions pourront tre aussibien valeurs complexes querelles.

Utiliser les nombres complexespour la trigonomtrie.

INTRODUCTION

N s de la rsolution gnrale de lquation dutroisime degr par Bombelli (1572) voirExercice rsolu les nombres complexes sont long-temps considrs comme de commodes intermdiairesde calcul nayant pas dexistence propre. Cest Ha-milton en 1837 qui donne pour la premire fois uneconstruction satisfaisante des nombres complexes partir des couples de nombres rels.Lintrt majeur du corps des complexes rside dans lethorme de dAlembert que nous voquerons dans lechapitre Polynmes (chapitre 13) : tout polynmenon constant coefficients complexes possde des ra-cines ! Par ailleurs, les nombres complexes constituentun outil commode en gomtrie plane et en trigono-mtrie.

7

COURS 1Nombres complexes

1 Corps des complexes

1.1 Dfinition des nombres complexesOn appelle ensemble des nombres complexes et on note C lensemble R2 quelon munit des lois de composition interne :

addition :

(x, y) C (x , y ) C (x, y) + (x , y ) = (x + x , y + y )

multiplication :

(x, y) C (x , y ) C (x, y)(x , y ) = (xx yy , xy + x y)

On peut identifier le complexe (x, 0) au rel x, ce qui revient considrer Rcomme une partie de C ; nous constatons que ces deux lois prolongent Claddition et la multiplication dfinies sur R :

(x, x ) R2 (x, 0) + (x , 0) = (x + x , 0)(x, 0)(x , 0) = (xx , 0)

Le complexe (0, 1) est tel que (0, 1)2 = (1, 0), nous le notons i.Lcriture du complexe z = (x, y) devient alors :

z = x + iy, (x, y) R2 o i2 = 1ATTENTION

La partie imaginairedun complexe est un rel.

Par dfinition, (x, y) est lunique couple de rels tel que z = x + iy :x est appel partie relle de z, y est appel partie imaginaire de z.

Notations x = Re (z) y = Im (z).

La TI-92/Voyage 200 sait bien sr calculer avec les nombrescomplexes.

Un complexe z est rel si et seulement si sa partie imaginaireest nulle. Un complexe z est dit imaginaire si sa partie relleest nulle. Lensemble des imaginaires est not iR.

1.2 Structure de corps de CLa loi + dfinie sur C possde les proprits suivantes : elle est associative :

(z, z , z ) C3 (z + z ) + z = z + (z + z ) 0 est lment neutre de C pour + :

z C z + 0 = 0 + z = z tout lment de C possde un symtrique pour + :

z C z C z + z = z + z = 0 :si z = x + iy, z = x + i(y) = z

Ces proprits confrent (C, +) une structure de groupe, de plus laddition estcommutative sur C.On dit alors que (C, +) est un groupe ablien.

8

Nombres complexes COURS1

La loi dfinie sur C possde les proprits suivantes : elle est associative :

(z, z , z ) C3 (zz )z = z(z z ) 1 est lment neutre de C pour :

z C z1 = 1z = z tout lment non nul de C possde un symtrique pour :

z C z C zz = z z = 1 :si z = x + iy, z =

x iyx2 + y2

=1z

(C,) est donc un groupe ablien, puisque est commutative sur C.Enfin, est distributive par rapport + :

(z, z , z ) C3 (z + z )z = zz + z z

Ces proprits confrent (C, +,) une structure de corps commutatif .Ces notions seront tudies de faon plus approfondie dans le chapitre 11Structures algbriques usuelles.

1.3 Conjugu dun nombre complexe

Le conjugu de z est not conj(z).

On appelle conjugu du nombre complexe z = x + iy o(x, y) R2, le complexe :

z = x iy

Cette application est involutive : z C (z ) = z, elle estdonc bijective.De plus :

(z, z ) C2 z + z = z + z , z z = z z

On en dduit :

(z, z ) C2 z z = z z

et

(z, z ) CC zz

=z

z

z C n Z nz = nz ; zn = zn

Le conjugu permet dexprimer facilement la partie relle et la partie imaginairedun complexe, et donc de caractriser les rels et les imaginaires :

z C Re (z) = z + z2

; Im (z) =z z

2i

z C z R z = z ;z iR z = zH

ache

tteL

ivre

H

Prp

a/M

ath

L

aph

otoc

opie

non

auto

ris

ees

tun

dlit

9


1.4 Interprtation gomtrique

xx

y

yuO

y

x

M z( )

Doc. 1 Image dun nombre complexe.

On appelle plan complexe un plan P rapport un repre orthonorm (O, u, v).On peut reprsenter le nombre complexe z = x + iy par le point M de coor-donnes (x, y) (Doc. 1).

Le point M est appel image de z, et rciproquement z est appel affixe deM .

Si M et M sont deux points daffixes z et z , on appelle aussi affixe du vecteurMM le complexe z z.Les axes (O, u) et (O, v) sont appels respectivement axe des rels et axe desimaginaires.

x

y

O

y

y

x

M(z)

M(z)

Doc. 2 Image du conjugu.

Limage de z est symtrique de limage de z par rapport laxe des rels, enaccord avec le caractre involutif de la conjugaison (Doc. 2).

2 Module dun nombre complexe

2.1 Module dun nombre complexeSoit z = x + iy C, o (x, y) R2 :

zz = (x + iy)(x iy) = x2 + y2 : zz R+On appelle module de z le rel positif : |z| = zz .

Le module de z est not abs(z).

Si z est rel, son module est aussi sa valeur absolue, cest pour-quoi on emploie la mme notation.Mais attention ! pour un rel x : |x|2 = x2, tandis que pour uncomplexe quelconque z, |z|2 = zz .

Thorme 1Pour tous complexes z et z :

|zz | = |z| |z |

Dmonstration(z, z ) C2 |zz |2 = (zz )(zz ) = (zz )(z z ) = |z|2 |z |2

On en dduit :

(z, z ) CC zz

=|z||z |

z C n Z |zn| = |z|n

2.2 Ingalit triangulaireThorme 2Pour tous complexes z et z :

|z + z | |z| + |z |

Lgalit est vrifie si et seulement si z = 0 ouzz

R+.

10


DmonstrationLes deux membres de lingalit dmontrer tant des rels positifs, comparonsleurs carrs.|z + z |

2 = (z + z )(z + z ) = z z + z z + z z + z z = |z|2 + 2Re (z z ) + |z |2

(|z| + |z |)2 = |z|2 + 2|z||z | + |z |2 = |z|2 + 2|z z | + |z |2

Or Re (z z ) |z z |. Do lingalit demande. Lgalit est vrifie si etseulement si Re (z z ) = |z z |, cest--dire z z R+. Cette condition estsatisfaite si z = 0, ou (en divisant par z z ) si

zz

R+.

x

y

O

M(z)

z

Doc. 3 Module dun nombrecomplexe.

Dans le plan complexe, le module de z reprsente la distance de lorigine au pointM daffixe z (Doc. 3).

Le rel |z z | reprsente la distance entre les points M et M daffixes z etz .

x

z

z

z

y

O

z z

z z

z z

Doc. 4 Inegalit triangulaire.

Comme dans le cas rel, on dduit de lingalit triangulaire que :

(z, z ) C2 |z| |z | |z z | |z| + |z |et :

(z, z , z ) C3 |z z | |z z | + |z z |

(Cette dernire ingalit reprsente lingalit triangulaire dans le plan complexe(Doc. 4).)

La notion de distance nous permet de dfinir dans le plan complexe :

le disque ferm de centre a et de rayon R : {M P, |z a| R} oR R+ ;

le disque ouvert de centre a et de rayon R : {M P, |z a| < R} oR R+ ;

le cercle de centre a et de rayon R : {M P, |za| = R} o R R+ .Pour sentraner : ex. 2 7

3 Reprsentation des nombrescomplexes de module 1

3.1 Groupe U des nombres complexes de module 1Lensemble U des nombres complexes de module 1, muni du produit dfini surC est un groupe, on dit que cest un sous-groupe de (C,) (voir chapitre 11) : (z, z ) U 2 |zz | = |z|.|z | = 1, la loi multiplicative est bien une loi de

composition interne sur U .

Elle est associative sur C, donc en particulier sur U . Elle possde un lment neutre : le rel 1, qui appartient U . Enfin, tout lment z de U est non nul, donc possde un inverse dans

C : z =1z

tel que |z | = 1|z| = 1, ce qui prouve que z U .x

z

11

i

i

y

Doc. 5 Cercle trigonomtrique.

|z| = 1 OM = 1 : lensemble des points M du plan daffixe z Uest le cercle de centre O de rayon 1, appel cercle trigonomtrique (Doc. 5).

Hac

hette

Liv

re

HPr

pa

/Mat

h

La

phot

ocop

ieno

nau

tori

se

estu

nd

lit

11


3.2 Dfinition de ei

Thorme 3Un complexe z est lment de U si et seulement sil peut scrire :

z = cos + i sin , R

Attention, cette criture nest pas unique.

DmonstrationPour tout rel , | cos +i sin | =

cos2 + sin2 = 1 : cos +i sin U .

Rciproquement, soit z = x + iy un lment de U .Comme x2 + y2 = 1, il existe R tel que x = cos et y = sin , on peutdonc crire z = cos + i sin .Attention, nest pas unique : cos + i sin = cos + i sin quivaut cos = cos et sin = sin , cest--dire 2Z.

x

ei

11

i

i

y

Doc. 6 Reprsentation dun nombrecomplexe de module 1

Dsignons par la fonction de R dans C dfinie par () = cos + i sin .Les fonctions cos et sin sont drivables, ce qui entrane que lest aussi et :

R () = (cos + i sin ) = sin + i cos = i(cos + i sin )

soit :

R () = i()Par analogie avec les fonctions relles dune variable relle t et , on note, pourtout R, () = ei, soit (Doc. 6) :

cos + i sin = ei

Ainsi :

|u| = 1 R u = ei

3.3 Formules dEulerPour tout R, cos et sin sont respectivement la partie relle et la partieimaginaire de ei, do :

R cos = ei + ei

2et sin =

ei ei2i

3.4 Proprit de lapplication ei

RAPPEL : FORMULES DADDITION

cos(a + b)=cos a cos b sin a sin b cos(a b)=cos a cos b + sin a sin b sin(a + b)= sin a cos b + cos a sin b

sin(a b)= sin a cos b cos a sin bThorme 4

(, ) R2 eiei = ei(+ )

12


Dmonstration(, ) R2

eiei = (cos + i sin )(cos + i sin )= cos cos sin sin + i(cos sin + sin cos )= cos( + ) + i sin( + )

= ei(+ )

De mme :

(, ) R2 ei

ei= ei( )

Par rcurrence : n N (ei)n = ein et (ei)n = ein , do :

n Z (ei)n = ein

cest--dire :(cos + i sin )n = cos n + i sin n

ATTENTION

La formule de Moivre na de sensque si n est entier. Pour 2Z,lgalit (e2i)/2 = ei est un non-sens : elle conduirait ei = 1.

Cest la formule de Moivre.

3.5 Exponentielle complexePlus gnralement, on peut tendre C la fonction exponentielle : on appelleexponentielle complexe lapplication dfinie sur C valeurs dans C qui z = x + iy, avec (x, y) R2, associe :

ez = exeiy = ex(cos y + i sin y)

On remarque que le module de ez est ex : z C |ez| = eRe (z).

Thorme 5(z, z ) C2 ez+z = ezez

DmonstrationSi z = x + iy et z = x + iy :

ez+z = ex+x ei(y+y ) = exex eiyeiy = ezez

On montre de mme que :

(z, z ) C2 ezz = ez

ez

et :z C n Z (ez)n = enz

Attention : Tout complexe non nul peut scrire ez, mais un tel z nest pasunique : il nexiste pas dapplication rciproque de z ez dfinie sur C :

ez = ei z = ln + i + 2ik k ZHac

hette

Liv

re

HPr

pa

/Mat

h

La

phot

ocop

ieno

nau

tori

se

estu

nd

lit

13


4 Applications la trigonomtrie

4.1 Linarisation et factorisation dexpressionstrigonomtriques

Un polynme trigonomtrique est une combinaison linaire dexpressions de laforme cosm x sinn x, o (m, n) N2.Les formules dEuler permettent de le transformer en un polynme des variableseix et eix. Aprs dveloppement, en regroupant les termes conjugus, on obtientune combinaison linaire de cos px et sin qx.

Exemple : Linariser cos x sin2 x.

cos x sin2 x =eix + eix

2eix eix

2i

2

= 18

(eix + eix)(e2ix 2 + e2ix)

= 18

(e3ix eix eix + e3ix)

= 14

(cos 3x cos x)

4.2 Transformations de produits en sommeset vice versa

Des formules daddition on peut dduire les formules suivantes :

cos a cos b = 12

(cos(a + b) + cos(a b))

sin a sin b = 12

(cos(a + b) cos(a b))

sin a cos b = 12

(sin(a + b) + sin(a b))En posant a + b = p, a b = q, on obtient les formules inverses : cos p + cos q = 2 cos p + q

2cos

p q2

cos p cos q = 2 sin p + q2

sinp q

2

sin p + sin q = 2 sin p + q2

cosp q

2

sin p sin q = 2 cos p + q2

sinp q

2

4.3 Calcul de cos nx et sin nx en fonctionde cos x et sin x

Daprs la formule de Moivre, nous avons, pour tout n N :cos nx + i sin nx = (cos x + i sin x)n

En dveloppant le premier membre de cette galit par la formule du binme, eten sparant partie relle et partie imaginaire, on obtient cos nx et sin nx.

14


Exemple : Calcul de cos 5x et sin 5x.

e5ix = (cos x + i sin x)5

= cos5 x + 5i cos4 x sin x 10 cos3 x sin2 x 10i cos2 x sin3 x + 5 cos x sin4 x + i sin5 x

Do :cos 5x = cos5 x 10 cos3 x sin2 x + 5 cos x sin4 xsin 5x = 5 cos4 x sin x 10 cos2 x sin3 x + sin5 x

Remarque : Pour tout n N, cos nx est un polynme en cos x.Si n est impair, sin nx est un polynme en sin x, si n est pair, sin nx est le produitde cos x par un polynme en sin x.

Exemple :

cos 5x = cos5 x 10 cos3 x(1 cos2 x) + 5 cos x(1 cos2 x)2sin 5x = 5(1 sin2 x)4 sin x 10(1 sin2 x) sin3 x + sin5 xcos 2x = 2 cos2 x 1sin 2x = 2 sin x cos x

4.4 Calcul den

k=0

cos(a + kb) et den

k=0

sin(a + kb)

Ce sont la partie relle et la partie imaginaire de la somme complexe :

S =n

k=0

ei(a+kb)

On reconnat la somme de (n + 1) termes dune suite gomtrique de premierterme eia et de raison eib.

Si b 2Z , eib = 1 et S = (n + 1)eia ; si b / 2Z , S = eia 1 e

i(n+1)b

1 eib .

Dans ce cas, mettons ei(n+1

2 )b en facteur au numrateur et eib2 en facteur au

dnominateur :

S = eiaei(

n+12 )b(ei(

n+12 )b ei( n+12 )b)

eib2 (ei

b2 ei b2 ) = e

i(a+ nb2 )sin (n+1)b2

sin b2

Do :n

k=0

cos(a + kb) = cos a +nb2

sin (n+1)b2sin b2

et :n

k=0

sin(a + kb) = sin a +nb2

sin (n+1)b2sin b2

Pour sentraner : ex. 8

H

ache

tte

Liv

re

HPr

pa

/Mat

h

La

phot

ocop

ieno

nau

tori

se

estu

nd

lit

15


5 Forme trigonomtriquedun nombre complexe non nul

5.1 Forme trigonomtrique dun nombre complexenon nul

Soit z C ; le complexe z|z| appartient U . Il existe donc R tel que z|z| = e

i, cest--dire :

z = |z|ei

Cette criture est appele forme trigonomtrique de z ; le rel est un argument de z not arg(z).Lensemble des arguments de z est { + 2k, k Z}.

5.2 Proprits des arguments

u x

y

O

M(z)

arg z

Doc. 7 Argument dun nombrecomplexe.

Dans le plan complexe orient, un argument de z est une mesure de langleorient (u,

OM ), o M est limage de z (Doc. 7).

On dduit de (, ) R2 eiei = ei(+ ) :(z, z ) C2 arg(zz ) = arg(z) + arg(z ) [2](z, z ) CC arg( z

z) = arg(z) arg(z ) [2]

z C n Z arg(zn) = n arg(z) [2]

APPLICATION 1Distances et angles dans le plan complexe

1) Soit z un complexe tel que |1 + z| < 12. Montrer

que |1 + z2| > 1.2) Soit z un complexe de module 1 tel que|1 + z| < 1 . Montrer que |1 + z2| > 1 .3) Soit z1 et z2 deux complexes de mme modulesuprieur 1. Montrer que |z1 + z2| 1 ou|z21 + z22 | 1 .

1) Soit I le point daffixe 1, M et M les pointsdaffixes respectives z et z2. M appartient au disque

ouvert de centre I de rayon12. Soit K et K les

points de contact des tangentes issues de O au cercle

de centre I de rayon12

(Doc. 8).

Le triangle (OIK ) est un demi-triangle quilatral,

donc IOK =6.

x

y

3

6

I O

K'

K

Doc. 8

On en dduit que arg z 5 6

,7 6

[2 ] , do

arg z2 53

,73

[2]. Le point M appartient

donc un secteur angulaire inclus dans le demi-planx > 0. La distance IM reste donc strictement sup-rieure 1 : |1 + z2| > 1.2) Ici, les points M et M appartiennent au cerclede centre O de rayon 1.

16


x

y

OI

A

B

Doc. 9

M appartient au petit arc de cercle AB inclus dansle disque ouvert de centre I de rayon 1 (Doc. 9).

On en dduit arg z 23

,43

[2],

do arg z2 43

,83

[2].

Le point M appartient au grand arc de cercle AB.

La distance IM reste donc strictement suprieure 1 : |1 + z2| > 1.3) On pose u =

z1z2

, on a donc |u| = 1. En appli-quant u le rsultat de la question 2), on sait que :

|1 + u| 1 ou |1 + u2| 1

cest--dire :

1 +z1z2

1 ou 1 +z21z22

1

do :

|z2 + z1| |z2| 1 ou |z22 + z21 | |z22 | 1

5.3 Rduction de a cos x + b sin x o (a,b , x) R3Posons : z = a + ib.

z eix = (a ib)(cos x + i sin x)= a cos x + b sin x + i(a sin x b cos x)

donc :a cos x + b sin x = Re (z eix)

crivons z sous forme trigonomtrique :

z = r ei

z eix = rei(x)

do :a cos x + b sin x = r cos(x ) o rei = a + ib

Exemple :

Rsolvons lquation : cos x +

3 sin x =

2.

Ici : z = 1 + i

3 = 2 ei3 .

Donc : cos x +

3 sin x = 2 cos(x 3

).

Lquation devient : cos(x 3

) =

22

= cos4.

Do :

x

3=

4

+ 2k

ou

x 3

= 4

+ 2k

avec k Z

S = { 12

+ 2k,712

+ 2k, k Z}

Pour sentraner : ex. 9 et 10

H

ache

tteL

ivre

H

Prp

a/M

ath

L

aph

otoc

opie

non

auto

ris

ees

tun

dlit

17


6 Racines n-imes dun nombrecomplexe

6.1 Racines n - imes de lunitSoit n N. Rsolvons lquation zn = 1. Cherchons une solution sous laforme trigonomtrique z = |z|ei.

zn = 1 |z|nein = 1 |z|n = 1

n = 2k

|z| = 1

=2kn

(k Z)Lensemble des solutions est donc :

Un = e 2i kn , k Z

Notons que (Un,) est un sous-groupe de (U ,) (voir chapitre 11). On obtienttous ses lments en donnant k , n valeurs conscutives (par exemple, k [[0, n 1]]).

x

y

4i5e

2i5e

6i5e

8i5e

10

Doc. 10 Racines 5-ime de lunit.

Dans le plan complexe, les images des lments de Un forment un polygonergulier n cts (si n 3) (Doc. 10).

La somme des lments de Un est nulle (somme des termes dune suite gom-trique) :

n1

k=0

e2i k

n =1 e 2inn1 e 2in = 0

Exemple : Racines cubiques de lunit. Posons j = e2i3 .

U3 = {1, j, j2} et 1 + j + j2 = 0.

6.2 Racines n -imes dun nombre complexe quelconqueSoit Z un nombre complexe quelconque et n N.Rsolvons lquation zn = Z .

Si Z = 0, il y a une solution unique : z = 0.

Si Z = 0, cherchons les solutions sous la forme trigonomtrique z = |z|ei.Posons Z = |z| ei

zn = Z |z|nein = |Z |ei |z|n = |Z |

n = + 2k

|z| = n |Z |

=n

+2kn

(k Z)

zn = Z z = n |Z | e i n e 2i kn (k Z)

18


Tout nombre complexe non nul a donc n racines n-imes distinctes, qui sedduisent de lune dentre elles en la multipliant par un lment quelconque dugroupe Un. Leur somme est nulle.

x

i1

0

y

z1

z3

z2

Doc. 11 Racines cubiques de 8i.

Exemple : z3 = 8i

|z| = 2

=6

+2k3

z1 = 2ei6 =

3 + i , z2 = 2e

5i6 = 3 + i et z3 = 2e 3i2 = 2i (Doc. 11).

6.3 Cas des racines carresTout nombre complexe non nul Z possde donc deux racines carres opposes.Leur calcul effectif laide de la mthode prcdente nest possible que si lon peutcrire facilement Z sous la forme trigonomtrique, ce qui est rare. La mthodesuivante a lavantage dtre plus systmatique.

Posons Z = X + i Y , avec (X , Y ) R2, et cherchons z = x + i y, avec(x, y) R2 tel que z2 = Z .

z2 = Z x2 y2 + 2ixy = X + i Y x2 y2 = X (1)

2xy = Y (2)

De plus : |z|2 = |Z | x2 + y2 =

X 2 + Y 2 (3)

Les relations (1) et (3) donnent x et y au signe prs. La relation (2) permetdapparier les signes de x et de y.

Attention : la fonction racine carre de la calculatrice nedonne quune solution. On peut utiliser cSolve pour ob-tenir les deux racines.

Exemple : Calculons les racines carres de Z = 3 4i :x2 + y2 = 5

x2 y2 = 32xy = 4

x = 2y = 1xy < 0

x = 2 et y = 1

ou

x = 2 et y = 1Les racines carres cherches sont donc :

z1 = 2 i et z2 = 2 + i

6.4 quation du second degrConsidrons lquation az2 + bz + c = 0, o (a, b, c) C3 eta = 0. On peut crire le trinme sous la forme canonique :

az2 + bz + c = a z +b2a

2

b2

4a+ c

Lquation quivaut donc :

z +b2a

2

=b2 4ac

4a2

Posons = b2 4ac. Si = 0, lquation a une seule solution : z = b

2a.

Si = 0, le nombre complexe a deux racines carres et ; lquationa deux solutions :

z1 =b +

2a; z2 =

b 2a

Hac

hette

Liv

re

HPr

pa

/Mat

h

La

phot

ocop

ieno

nau

tori

se

estu

nd

lit

19


Les formules sont les mmes que celles qui donnent les solutions dune quation dusecond degr coefficients rels ; mais le calcul des racines carres du discriminantconstitue une tape supplmentaire.

Exemple : Rsolvons lquation 2z2 (1 + 5i)z 2(1 i) = 0. = (1 + 5i)2 + 16(1 i) = 8 6i

Cherchons = x + iy tel que 2 =

(x + iy)2 = 8 6i x

2 + y2 = 10x2 y2 = 82xy = 6

x = 1y = 3xy < 0

Do = 1 3i ou = 1 + 3i.Les solutions de lquation sont donc :

z1 =1 + 5i + (1 3i)

4=

1 + i2

z2 =1 + 5i (1 3i)

4= 2i

Comme dans le cas rel, on peut exprimer la somme et le produitdes racines du polynme az2+bz+c en fonction des coefficients :

z1 + z2 = ba ; z1z2 =ca

Rciproquement, deux nombres complexes dont la somme est Set le produit P sont les racines, distinctes ou non, du polynme z2 Sz + P.

Pour sentraner : ex. 11 18

7 Nombres complexes et gomtrieplane

7.1 Configuration de trois pointsSoit A, B et M trois points du plan complexe, distincts deux deux, daffixes

respectives a, b et z. Considrons le complexe Z =z az b : |Z | =

|z a||z b| =

AMBM

arg(Z ) = arg(z a) arg(z b) = (BM ,AM ) [2]

Ainsi, le nombrez az b caractrise la position de M par rapport A et B. Par

exemple :

ABM est un triangle quilatral z az b = e

i 3 ;

ABM est un triangle isocle rectangle en M z az b = i ;


20


7.2 Transformations du plan complexeSoit z z = f (z) une application de C dans C ; nous pouvons lui associerune application f du plan complexe P qui au point M daffixe z fait cor-respondre M daffixe z . Nous allons interprter gomtriquement f , dansquelques cas particuliers :

z zLapplication f est la symtrie orthogonale s par rapport laxe rel. Rappe-lons que cette application est involutive.

z az, a CSi a = 1, f = IdP , sinon lorigine est le seul point invariant par f .Notons a = ei, alors si z = 0, z = |z|ei z = |z|ei(+), cest--dire :

OM = OM et (OM ,

OM ) = [2]

Lapplication f est donc la compose commutative de la rotation de centreO et dangle et de lhomothtie de centre O et de rapport ; cest unesimilitude directe.f est bijective ; sa rciproque est la compose commutative de la rotation de

centre O et dangle et de lhomothtie de centre O et de rapport 1.

z az + b, (a, b) C CCherchons tout dabord si cette application possde des points fixes :

z = az + b z(1 a) = b si a = 1, f ne possde pas dinvariant, lapplication f associe

z z + b est la translation de vecteur V , daffixe b, dont la rciproqueest la translation de vecteur V ;

si a = 1, f possde un unique invariant, z0 =b

1 a , alors

z = az + b z z0 = a(z z0)Soit daffixe z0 ; nous sommes ramens lexemple prcdent : f estla compose commutative de la rotation de centre et dangle et delhomothtie de centre et de rapport . Sa rciproque est la composecommutative de la rotation de centre et dangle et de lhomothtiede centre et de rapport

1.

Dans tous les cas, f est une similitude directe. Rciproquement, toute simili-tude directe, translation ou compose rotation-homothtie, est associe uneapplication de C dans C de la forme z az + b.

z 1z

f est dfinie sur C, valeurs dans C, il est immdiat que cetteapplication est involutive.

Notons z = |z|ei ; alors : z = 1|z| ei, cest--dire :

OM =1

OMet

1OM

OM = s

1OM

OM

o s est la symtrie par rapport laxe des rels.H

ache

tteL

ivre

H

Prp

a/M

ath

L

aph

otoc

opie

non

auto

ris

ees

tun

dlit

21


APPLICATION 2tude de linversion

Soit I lapplication de C dans C dfinie parI (z) =

1z. On note encore I lapplication correspon-

dante du plan complexe, appele inversion.

1) Vrifier que linversion est une involution du plan Ppriv de O dans lui-mme.

2) Dterminer limage par I :

dune droite passant par O, prive de O ; dune droite ne passant pas par O ; dun cercle passant par O, priv de O ; dun cercle ne passant pas par O.3) Soit M = I (M ) et N = I (N ), montrer que :

M N =MN

OM .ON

4) Soit A, B, C , D quatre points cocycliques distincts.En considrant une inversion de ple A, montrer quelune des galits suivantes est vrifie : BC .AD + CD.AB = BD.ACou BC .AD + BD.AC = CD.ABou CD.AB + BD.AC = BC .ADtudier la rciproque.

1) Pour tout M = O, I (M ) = M tel que :O, M et M sont sur la mme demi-droite issue de

O et OM .OM = 1.Ce qui prouve immdiatement que limage par I deM est M : linversion est une involution du planP priv de O dans lui-mme.

2) Image par I :

Dune droite D passant par O, prive de ODaprs la remarque prcdente, limage de D estD , incluse dans D, si D tait strictement in-cluse dans D, on aurait I (D ) strictement inclusedans D, ce qui est absurde puisque I I (D) = D.

Dune droite ne passant pas par OSoit D une telle droite, considrons H projectionorthogonale de O sur D et H image de H par I .Soit alors M un point de D et M son image(Doc. 12). Nous avons :

1 = OH .OH = OM .OM OMOH

=OHOM

et par alignement des points O, H , H dunepart, O, M , M dautre part, (OH , OM ) =(OM , OH ), les triangles OHM et OM Hsont donc semblables, ce qui prouve que langleOM H est droit : limage de D est incluse dansle cercle C de diamtre [OH ], priv de lorigine.

O

H

H 0

M 0

M

Doc. 12

Rciproquement, soit N un point de ce cercleautre que O, la droite (ON ) coupe D en N .Les deux triangles rectangles ONH et OHN onten commun langle O , ils sont donc semblables,ce qui prouve que :

ONOH

=OHON

1 = OH .OH= ON .ON

N = I (N ) N = I (N ).Limage de D \ {O} est donc C \ {O}.

Dun cercle passant par O, priv de ODaprs ltude prcdente limage de C \ {O},o C est un cercle passant par O, dont un dia-mtre est OH , est la droite perpendiculaire enH = I (H ) ce diamtre.

Dun cercle ne passant pas par OSoit un tel cercle C , dquation cartsienne :

(E) x2 + y2 2ax 2by + c = 0 c = 0

Soit M un point de ce cercle et M = I (M ) ,donc M = I (M ), nous avons donc :

(x, y) =x

x 2 + y 2,

yx 2 + y 2

22

Nombres complexes

M C si et seulement si ses composantes x, yvrifient (E), cest--dire si et seulement si :

x 2 + y 2 2ax (x 2 + y 2) 2ay (x 2 + y 2)+ c(x 2 + y 2)2 = 0

Soit, en simplifiant par c(x 2 + y 2), qui nest pasnul :

x 2 + y 2 2ac

x 2bc

y +1c

= 0

M dcrit donc un cercle C , ne passant paspar O.Remarquons que le centre du cercle imageC nest pas en gnral limage du centre ducercle C .

3) Soit M = I (M ) et N = I (N ), montrons que :

M N =MN

OM .ON

Pour ce calcul, choisissons un repre orthonormal(O, i, j) tel que

OM = ai, a > 0, do

OM =1a

i.

N = (x, y), do :

N =x

x2 + y2,

yx2 + y2

Alors :

(M N )2 =x

x2 + y2 1

a

2

+y

x2 + y2

2

=1

a2(x2 + y2)2(a2x2 2ax(x2 + y2)

+(x2 + y2)2 + a2y2)

=a2 2ax + x2 + y2

a2(x2 + y2)

=(x a)2 + y2a2(x2 + y2)

=MN 2

OM2.ON 2

4) Soit A, B, C , D quatre points cocycliques distincts.Supposons que C est entre les points B et D ; etnotons B , C et D les images par I , inversion deple A, de ces points : B , C et D sont aligns etC est entre B et D (Doc. 13), nous avons donc :B D = B C + C D , ce qui se traduit laide de laquestion 3) par :

BDAB.AD

=BC

AC .AB+

CDAC .AD

A

B

C

B 0

D 0

D

O

C 0

I A( )0

Doc. 13

Soit, en rduisant au mme dnominateur :

BC .AD + CD.AB = BD.AC

Les deux autres galits proposes correspondentaux autres dispositions relatives des points B,C et D.

Rciproquement, si lune des trois galits est vrifie,les points B , C et D sont aligns.Considrons alors leurs images B, C et D, directesou rciproques par une inversion de ple A.

si A nest pas un point de la droite (B , C ),limage de cette droite est un cercle passant parA, ce qui signifie que A, B, C et D sont co-cycliques ;

Si A (B , C ), cette droite est invariante par I ,A, B, C et D sont aligns.

Quatre points du plan sont donc aligns ou co-cycliques si et seulement sils vrifient lune destrois conditions proposes, cest le thorme dePtolme.

H

ache

tteL

ivre

H

Prp

a/M

ath

L

aph

otoc

opie

non

auto

ris

ees

tun

dlit

23

Nombres complexes

............................................................................................................MTHODEPour montrer quun nombre complexe est rel, on peut :

montrer que sa partie imaginaire est nulle ; montrer quil est gal son conjugu ; montrer quil est nul ou que son argument est 0 modulo .

Pour montrer quun nombre complexe est imaginaire pur, on peut :

montrer que sa partie relle est nulle ; montrer quil est gal loppos de son conjugu ; montrer quil est nul ou que son argument est

2modulo .

Pour calculer une puissance dun nombre complexe :

le mettre sous la forme trigonomtrique.

Pour calculer une somme de cosinus, respectivement une somme de sinus :

reconnatre la partie relle, respectivement la partie imaginaire, de la somme des termes dune suite gomtriquecomplexe.

Pour crire 1 + ei et 1 ei ( R) sous la forme r ei , avec (r, ) R2 , on peutfactoriser par ei

2 :

1 + ei = ei2 ei

2 + ei

2 = 2 cos

2

ei2

1 ei = ei 2 ei 2 ei 2 = 2 sin 2

ei (2 2 )

...................................................................................................................................................................................................

Exercice rsoluQUATION DU TROISIME DEGR, MTHODE DE TARTAGLIA

On considre lquation dans C : (1) z3 + pz + q = 0, o (p, q) R2

1 Si z est solution de (1), on cherche deux complexes u et v tels que u + v = z et uv = p3.

Montrer que u3 et v3 sont les solutions dune quation du second degr (2).

2 En dduire la rsolution de lquation (1) dans C.3 Discuter selon les valeurs de p et q le nombre de solutions relles de lquation (1).

4 Exemples : Rsoudre dans C et dans R les quations :

z3 12z 65 = 0, z3 12z 16 = 0 et z3 6z + 4 = 0

24

Nombres complexes

Conseils Solution1) Soit u et v deux complexes tels que uv = p

3. Le complexe u + v

est solution de (1) si et seulement si :

(u + v)3 + p(u + v) + q = 0

cest--dire u3 + v3 + (u + v)(3uv + p) + q = 0, do :

u3 + v3 = q et u3v3 = p3

27

Deux nombres complexes de somme Set de produit P sont les racines du po-lynme X 2 SX + P.

u3 et v3 sont donc les solutions de lquation du second degr :

(2) X 2 + qX p3

27= 0

dont le discriminant est rel :

=127

(4p3 + 27q2)

Si u est une racine cubique de U , lesdeux autres racines cubiques de U sontu e

2i3 et u e

2i3 .

2) Si > 0, lquation (2) a deux solutions relles distinctes (U , V ).u3 = U

v3 = V

uv = p3

u { 3U , 3U j, 3U j}v { 3

V , 3

V j, 3

V j}

uv R

Apparier les solutions en u et v de sorteque uv soit rel.

Do : (u, v) {( 3

U , 3

V ), ( 3

U j, 3

V j ), ( 3

U j , 3

V j)}

Lquation (1) a donc une solution relle z0 =3

U + 3

V et deux solutionscomplexes conjugues :

z1 =3

U j + 3

V j et z1 =3

U j + 3

V j

Si = 0, lquation (2) a une racine double relle U = q2

u3 = U

v3 = V

uv = p3

u 3U , 3U j, 3U jv 3U , 3U j, 3U juv R

Do : (u, v) {( 3

U , 3

U ), ( 3

U j, 3

U j ), ( 3

U j , 3

U j)}

Lquation (2) a donc deux solutions relles : z0 = 23

U et z1 = 3

U

Les racines cubiques de U sont u0, u0 jet u0 j.

Si < 0, lquation (2) a deux solutions complexes conjugues

(U , U ). Soit u0, u0 j et u0 j les trois racines cubiques de U .

(u, v) {(u0, u0 ), (u0 j, u0 j ), (u0 j , u0 j)}Lquation (1) a trois solutions relles : z0 = 2Re (u0), z1 = 2Re (u0 j)et z2 = 2Re(u0 j ).

Hac

hette

Liv

re

HPr

pa

/Mat

h

La

phot

ocop

ieno

nau

tori

se

estu

nd

lit

25

Nombres complexes

3) En rsum, lquation (1) a une solution relle simple, deux solutionsrelles dont une double (voire triple) ou trois solutions relles distinctessuivant que 4p3 + 27q2 est strictement positif, nul ou strictement ngatif.On peut retrouver ces rsultats par ltude des variations de la fonctionf : x x3 + px + q. Lquation f (x) = 0 a au moins une solution relle,car f est continue et lim

xf (x) = , lim

x+f (x) = +.

f est drivable sur R et f (x) = 3x2 + p. Si p 0, f est strictementcroissante sur R , il y a une seule solution relle (simple ou triple). Si p < 0,les variations de f sont les suivantes :

x p3

p3

+

+f

avec = q 4p3

27et = q + 4p

3

27do =

4p3 + 27q2

27.

Appliquer le thorme :

Toute fonction continue strictementmonotone sur un intervalle I est unebijection de I dans f (I )

successivement aux intervalles :

, p3

, p3, p

3

et p3, + .

Il y a trois solutions relles si et seulement si < 0, cest--dire4p3 + 27q2 < 0 ;

Il y a deux solutions relles dont une double si et seulement si > 0,cest--dire 4p3 + 27q2 = 0 ;Il y a une solution relle simple si et seulement si > 0, cest--dire4p3 + 27q2 > 0.

4) Exemples :

z3 12z 65 = 0u3v3 = 64 , u3 + v3 = 65 ; do u3 = 1, v3 = 64

u {1, j, j} v {4, 4 j, 4 j} uv RLquation a une solution relle et deux solutions complexes conjugues :

S = 5,5 33 i

2,5 + 33 i

2

z3 12z 16 = 0u3v3 = 64 , u3 + v3 = 16 ; do u3 = v3 = 8

(u, v) {2, 2j, 2j}2 uv RLquation a deux solutions relles : S = {4,2}.

z 3 6z + 4 = 0u3v3 = 8, u3 + v3 = 4 do u3 = 2 + 2i = 2

2 ei

34 , v3 = u3

u

2 ei4 ,

2 ei1112 ,

2 ei

1912 v

2 ei

4 ,

2 ei1112 ,

2 ei

1912

uv RLquation a trois solutions relles : S = {2,1 3,1 + 3}.

26

Nombres complexes

Complment : Pour rsoudre une quation du troisime degr quel-conque z3 + az2 + bz + c = 0, on peut toujours se ramener la formeZ 3 + pZ + q = 0 en posant Z = z +

a3

afin dliminer les termes en z2.

Exemple : Rsoudre lquation : z3 + 12z2 + 42z + 44 = 0.Cette quation quivaut (z + 4)3 6(z + 4) + 4 = 0. On est ramen autroisime exemple ci-dessus. Do S = {2,5 3,5 + 3}.

Note historique

Nicolo Tartaglia (1500-1557) dcouvrit, vers 1540, une merveilleuse mthode de rsolution algbrique dquations dutroisime degr. Lors dun dfi lopposant Antonio Maria Fior, qui laccusait de lavoir plagi, Tartaglia rsolut trentequations proposes par Fior, alors que ce dernier ne put en rsoudre une seule de Tartaglia. Invit par Jrme Cardan quilui proposait de financer ses recherches, Tartaglia commit limprudence de lui confier son secret. Cardan sempressa de lepublier sous son nom et il sensuivit une querelle de plusieurs annes jusqu ce que des menaces de mort fassent renoncerTartaglia dfendre ses droits...La mthode de Tartaglia laissait cependant quelques zones dombre : on se ramenait une quation du second degr qui,lorsquelle possdait deux racines relles, fournissait une unique racine relle de lquation du troisime degr. Mais lorsquelquation du second degr navait pas de racine relle, la mthode semblait impuissante fournir les racines relles videntesde lquation du troisime degr ; pour comble de malchance, cest justement dans ce cas quil y en avait le plus grandnombre... (au maximum trois, les racines ngatives tant lpoque cartes).Quelques annes plus tard, Raffaele Bombelli nhsita pas, non seulement considrer des nombres ngatifs, mais aussi leur attribuer une racine carre... Il complta ainsi la mthode de Tartaglia, trouvant systmatiquement toutes les solutionsrelles de lquation du troisime degr aprs limination des racines carres de ngatifs.Les nombres complexes taient ns...

27

Exercices

1 Vrai ou faux ?a. Deux complexes dont la somme et le produit sont rels,sont des rels.

b. Pour tout complexe z, |z|2 = z2.c. Pour tous complexes a et b,

a + ib = 0 a = b = 0d. Deux complexes de mme module dont les argumentsdiffrent de 2 sont gaux.

e. z C ez = 1 z = if. Lapplication z ez est bijective.g. Lensemble des nombres complexes de module 1 est ungroupe multiplicatif.

h. Tout nombre complexe non nul possde n racines n-imes distinctes.

i. Pour tout entier n 2, la somme des racines n-imesdun nombre complexe est nulle.

j. Une quation du second degr dans C a toujours dessolutions.

Forme algbrique module

2 Soit z et z deux complexes de module 1 et a unrel. On note :

Z = z + z + azz + 1 et Z = z + z + zz + a

1) Montrer que Z = zz Z et que |Z | = |Z |.2) On suppose que 1 + zz = 0. Montrer que le nombre

u =z + z1 + zz

est rel.

3 Dmontrer que :

n Nn

k=1

kik1 =i nin (n + 1)in+1

2

En dduire les sommes relles :

S1 = 1 3 + 5 7 + + (1)p(2p + 1)et

S2 = 2 4 + 6 8 + + (1)p+12p

4 Dterminer z pour que z, z 1 et 1z

aient le

mme module.

5 Soit u et v deux complexes. Montrer que :|u| + |v| |u + v| + |u v||u + v|2 + |u v|2 = 2(|u|2 + |v|2)

(formule du paralllogramme)

6 Un entier n est somme de deux carrs sil existe(a, b) N2 tel que n = a2 + b2. Montrer quun produitfini de tels entiers est encore somme de deux carrs.

7 Pour a et b complexes tels que ab = 1, soitz =

a b1 ab . Montrer que :

|z| = 1 |a| = 1 ou |b| = 1Caractriser de mme |z| < 1.

Applications la trigonomtrie forme trigonomtrique

8 Calculer les sommes :

S1 =n

k=0

cos kx ; S2 =n

k=0

sin kx ;

S3 =n

k=0

cos2 kx ; S4 =n

k=0

sin2 kx ;

S5 =n

k=0

cos kxcosk x

; S6 =n

k=0

sin kxcosk x

;

S7 =n

k=0

n

kcos kx ; S8 =

n

k=0

n

ksin kx.

9 Calculer le nombre complexe 1 + i

31 i

20

10 1) Dterminer le module et un argument de z =1 + cos + i sin en discutant suivant la valeur du rel .

2) Soit z =1 i

1 + cos + i sin o ], [. Calculer

en fonction de le module et un argument de z .

28

Nombres complexes

EXERCICES

1

quations

11 Rsoudre de deux faons lquation(z + 1)5 = (z 1)5.

Comparer les rsultats.

12 Factoriser dans C puis dans R les polynmes suivants :z3 1 ; z3 + 1 ; z4 + z2 + 1 ; z4 z2 + 1 ; z6 1 ; z6 + 1.

13 Soit u = e 2i5 . Calculer 1 + u + u2 + u3 + u4. Endduire la valeur de cos

25

.

Application : trouver une construction la rgle et au com-pas dun pentagone rgulier.

14 On pose u = e 2i7 , S = u + u2 + u4 etT = u3 + u5 + u6.

1) Montrer que S et T sont conjugus et que la partieimaginaire de S est positive.

2) Calculer S + T et ST . En dduire S et T .

15 Rsoudre les quations suivantes dans C :1) z2 2iz 1 + 2i = 02) iz2 + iz + 1 + i = 03) z2 2+1 cos z + 22 = 04) z2 4

sin z +

13sin2

9 = 0 ]0, [5) 2z2(1 cos 2) 2z sin 2 + 1 = 0 ]0, [6) z2 2eiz + 2i sin ei = 0 (on crira les racines sousla forme trigonomtrique)

7) z3 (2 + i)z2 + 2(1 + i)z 2i = 0 (racine vidente)8) 4iz3 +2(1+3i)z2(5+4i)z +3(17i) = 0 (chercherune racine relle)

9) z3 (5 3i)z2 + (6 11i)z + 2 + 16i = 0 (chercherune racine imaginaire)

16 Rsoudre lquation z3 = 42(1 + i).

17 Dterminer sous forme trigonomtrique les racines cu-biques du nombre complexe a = 16(1 i). Pour tout rel

on pose z = 1+ i +2

2ei. Dterminer lensemble (C)des points M daffixes z quand dcrit [0, 2[.Montrer que les solutions de lquation (z (1 + i))3 = asont des affixes de points de (C).

18 Rsoudre dans C lquation :(z2 + 1)n (z i)2n = 0 (n N)

Applications des complexes la gomtrie

19 tout point M daffixe z = 1, on associe le pointM daffixe z =

z 11 z .

tablir que |z | = 1 ; z 1z 1 est rel ;

z + 1z 1 est imagi-

naire pur.En dduire une construction gomtrique du point Mconnaissant le point M .

20 Dterminer lensemble des points M daffixe z telsque les points I daffixe i et M daffixe iz soient alignsavec M . Dterminer lensemble des points M .

21 Dterminer lensemble des points M daffixe z telsque :

Rez 1z i = 0

22 Soit A, B, C trois points distincts du plan com-plexe daffixes a, b, c. Montrer que les trois propositionssuivantes sont quivalentes :

1) ABC est un triangle quilatral.

2) j ou j est solution de lquation az2 + bz + c = 0.

3) a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca.

23 Soit ABCD un carr dans le plan complexe. Montrerque si A et B ont des coordonnes entires, il en est demme de C et D.Peut-on trouver un triangle quilatral dont les trois som-mets ont des coordonnes entires ?

H

ache

tteL

ivre

H

Prp

a/M

ath

L

aph

otoc

opie

non

auto

ris

ees

tun

dlit

29

2 Fonctionsusuelles

OBJECTIFSOBJECTIFS Rviser les fonctions dj

connues : exponentielles, loga-rithmes, puissances, fonctionscirculaires.

Dcouvrir de nouvelles fonc-tions : fonctions hyperboliques ethyperboliques rciproques, fonc-tions circulaires rciproques.

Prparer le cours danalyse en dis-posant de nombreux exemples.

INTRODUCTION

A prs un rappel concernant les fonctions loga-rithmes, exponentielles et circulaires, le cata-logue des fonctions usuelles senrichit ici de plusieursspcimens dont les tudiants disposent dj sur leurcalculatrice : quelles sont ces mystrieuses touches :sin1, cosh, tanh1 ? Ces fonctions seront uti-lises couramment en analyse, notamment dans lescalculs de primitives.

30

Fonctions usuelles COURS2

1 Fonctions logarithmeset exponentielles

1.1 Fonction logarithme nprienNous verrons dans le chapitre 20 que toute fonction continue sur un intervallepossde des primitives sur cet intervalle. Les primitives dune mme fonction surun intervalle sont gales une constante prs. On peut spcifier une primitiveparticulire en prcisant sa valeur en un point de lintervalle.

On appelle logarithme nprien la primitive de la fonction x 1x

sur R+ , quisannule en 1. Cette fonction est note x ln x.Par dfinition, la fonction ln est drivable sur R+ et sa drive

1x

est strictement

positive : ln est strictement croissante sur R+ .Pour tout rel y strictement positif, la fonction x ln(xy) est une primitive de1x

sur R+ , donc ln(xy) = ln x + C .

Pour x = 1, on obtient C = ln y.

IMPORTANT

Cette proprit sera dmontre au 3.4 du chapitre 17.

Do :

(x, y) R+ 2 ln(xy) = ln x + ln y

On en dduit :

x R+ ln1x

= ln x

(x, y) (R+ )2 lnxy

= ln x ln y

n Z x R+ ln xn = n ln xln tant strictement croissante, elle admet une limite finie ou infinie en +.

y

x0

1

ln

x 1

Doc. 1 Logarithme rprien.

Comme ln 2n = n ln 2, limn+ ln 2

n = +. La limite de ln en + ne peut donctre que +.

limx+ ln x = +

En changeant x en1x, on en dduit :

limx0

ln x =

La fonction ln ayant une drive dcroissante (on dit quelle est concave), sacourbe reprsentative est en dessous de sa tangente en tout point, en particulier aupoint 1 (Doc.1) :

x R+ ln x x 1

H

ache

tteL

ivre

H

Prp

a/M

ath

L

aph

otoc

opie

non

auto

ris

ees

tun

dlit

31

COURS 2Fonctions usuelles

APPLICATION 1

Dterminer lensemble des couples (n, p) N2 telsque :

n = p et np = pn

Remarquons que np = pn ln nn

=ln pp

, ce qui

nous conduit tudier la fonction f : x ln xx

.

Cette fonction est drivable sur R+ , de drive1 ln x

x2, elle est donc croissante sur ]0, e], dcrois-

sante sur [e, +[.

Nous cherchons n et p entiers tels que :f (n) = f (p) ; lun de ces deux entiers appartient n-

cessairement ]0, e].

Or f (1) = 0, valeur atteinte en ce seul point,

f (2) =ln 22

=ln 44

= f (4). Les couples (2, 4)et (4, 2) sont donc les seules solutions (Doc. 2).

y

x0 21 4e

1e

Doc. 2

1.2 Fonction exponentielle de base eVous avez vu en Terminale que toute fonction f strictement monotone et conti-nue sur un intervalle I de R ralise une bijection de I sur lintervalle J = f (I );la bijection rciproque f 1 est alors strictement monotone et continue de Jdans I .

La fonction logarithme nprien est continue et strictement croissante sur lin-tervalle ]0, +[. Elle est donc bijective. Sa bijection rciproque est continue etstrictement croissante de R dans ]0, +[; elle est appele exponentielle et noteexp .

Pour tous rels x et y, on a :

ln(exp(x) exp(y)) = ln(exp(x)) + ln(exp(y)) = x + y = ln(exp(x + y))

Do, puisque la fonction logarithme nprien est bijective :

(x, y) R2 exp(x + y) = exp(x) exp(y)

On en dduit :

x R exp(x) = 1exp(x)

(x, y) R2 exp(x y) = exp(x)exp(y)

n Z x R exp(nx) = exp(x) n

On remarque que :

n Z exp(n) = exp(n1) = exp(1) n

32


En notant e le rel exp(1), on a donc : n Z exp(n) = en.On convient dcrire pour tout x R : exp(x) = ex(pour x Z, cest une proprit ; pour x Z, cest une dfinition).La fonction exp est appele exponentielle de base e.

Avec cette nouvelle notation, on a donc :

x R ex = 1ex

(x, y) R2 exy = ex

ey

n Z x R enx = ex n

Nous dmontrerons dans le chapitre 18 : Drivation des fonctions dune variablerelle que, si f est une bijection, drivable, et si sa drive ne sannule pas surI , alors f 1 est drivable sur J = f (I ) de drive :

(f 1) =1

f f 1

y

x

x + 1

0

1

xe

Doc. 3 La fonction exponentielle.

La drive du logarithme nprien ne sannulant pas, la fonction exponentielle estdrivable sur R et :

x R (exp) (x) = 11/ex

= ex

La fonction exponentielle de base e est gale sa drive.

Les limites de lexponentielle se dduisent de celles du logarithme nprien(Doc. 3) :

limx+ e

x = + limx e

x = 0

1.3 Fonctions exponentielles de base quelconqueSoit a R+ . On appelle exponentielle de base a la fonction note expadfinie sur R par :

x R expa(x) = ex ln a

On vrifie que :

(x, y) R2 expa(x + y) = expa(x) expa(y)

En effet :expa(x + y) = e

(x+y) ln a

= ex ln aey ln a

= expa(x) expa(y)

En particulier :n Z expa(n) = expa(1)

n = an

On convient dcrire pour tout x R : expa(x) = ax.H

ache

tteL

ivre

H

Prp

a/M

ath

L

aph

otoc

opie

non

auto

ris

ees

tun

dlit

33


ATTENTION

Seul un rel strictement posi-tif peut tre lev un expo-

sant rel quelconque. 2

2 signifieexp2(

2), cest--dire exp(

2 ln 2);

mais (2)

2 na aucun sens.

Avec cette nouvelle notation, on a donc :

x R ax = ex ln ax R ln ax = x ln a(x, y) R2 ax+y = axay

x R ax = 1ax

(x, y) R2 axy = ax

ay

De plus : (x, y) R2 ax y = ey ln ax = ey(x ln a) = exy ln a = axy

(x, y) R2 ax y = axy

On a aussi :

(a, b) (R+ )2 x R (ab)x = ex ln(ab) = ex(ln a+ln b) = ex ln aex ln b = axbx

(a, b) (R+ )2 x R (ab)x = axbx

y

x

2 x 2 x

1x

10 x 10 xe x e x

0

1

Doc. 4 Les fonctions exponentielles.

Ces relations gnralisent pour les exposants rels les proprits connues pour lesseuls exposants entiers.

Drive

Pour tout a R+ , la fonction expa (Doc. 4) est drivable sur R et :

x R (expa) (x) = ax ln a

Si a = 1, la fonction exp1 est constante : x R 1x = 1. Si a > 1, la fonction expa est strictement croissante. Si a < 1, la fonction expa est strictement dcroissante.

Remarque : Pour driver x u(x)v(x), il faut revenir la dfinition :u(x)v(x) = ev(x) ln u(x). Par exemple x xx = ex ln x a pour drive x (ln x+1)xx.

1.4 Fonctions logarithmes de base quelconqueSi a R+\{1}, la fonction expa est continue et strictement monotone surR : cest donc une bijection de R dans R+ . La bijection rciproque est appelelogarithme de base a et note loga . On a donc :

a R+\{1} y = loga xx R+ x = ay

y R

y

x

a = 2

a = e

a = 10

a = 1/10

a = 1/e

a = 1/2

1

0

Doc. 5 Les fonctions logarithmes.

Comme cette galit quivaut encore ln x = y ln a, on en dduit y =ln xln a

,

cest--dire :

a R+\{1} x R+ loga x =ln xln a

Toutes les fonctions logarithmes sont proportionnelles (Doc. 5).

34


Drive

Pour tout a R+\{1}, la fonction loga est drivable sur R+ et :

x R+ (loga) (x) =1

ln a 1

x


1.5 Fonctions puissancesLa dfinition des fonctions exponentielles permet dlever un rel strictementpositif la puissance dun exposant rel quelconque. Pour tout R, on peut

donc dfinir la fonction : R+ f

Rx x

par :

x R+ x = e ln x

Cette fonction f est drivable sur R+ et :

x R+ f (x) = 1x e ln x = x1

Cette proprit gnralise pour les exposants rels celle qui tait connue pour lesseuls exposants rationnels.

Si = 0, la fonction f est constante sur R+ : x R+ x0 = 1 . Si > 0, la fonction f est strictement croissante sur R+ . Si < 0, la fonction f est strictement dcroissante sur R+ .Pour = 0, on a les tableaux de variation suivants :

Si > 0 x 0 + Si < 0 x 0 ++ +

f(x) f(x)0 0

Doc. 6 Les fonctions puissances.

Notons que si 0, on peut prolonger f par continuit en 0 en posant :f(0) = 0 si > 0 , et f0(0) = 1.

Si > 1, limx0

f (x) = 0, donc f est drivable en 0 et f (0) = 0 .

Si = 1, f1(x) = x ; f1 est drivable en 0 et f (0) = 1 . Si < 1, lim

x0f (x) = +, donc f nest pas drivable en 0 (Doc. 6).

1.6 Croissances compares1) On a prouv que pour tout x R+ :

ln x x 1; a fortiori, ln x < x.

Pour tout > 0, ln x < x, do ln x 0 et x 1, on a : 0ln xx

0 limx+

ln xx

= 0

On dit que ln x est ngligeable devant x au voisinage de + (voir chapitre 17, 5.2).

Plus gnralement, pour tout > 0 et > 0, on a :

(ln x)

x=

ln x

x

,

do :

> 0 > 0 limx+

(ln x)

x= 0

(ln x) est ngligeable devant x au voisinage de +.

En posant x =1X

, on en dduit :

> 0 > 0 limx0

x| ln x| = 0

| ln x| est ngligeable devant 1x

au voisinage de 0.

2) Pour tout > 0 et > 0,ex

x= ex ln x = ex(

ln xx ).

Commeln xx

tend vers 0 quand x tend vers +,

> 0 > 0 limx+

ex

x= +

x est ngligeable devant ex au voisinage de +.

En posant x = X , on obtient de mme :

> 0 > 0 limx |x|

ex = 0

ex est ngligeable devant1|x| au voisinage de +.

2 Fonctions hyperboliques

Toute fonction dfinie sur R est, de faon unique, la somme dune fonctionimpaire et dune fonction paire :

x R f (x) = f (x) f (x)2

+f (x) + f (x)

2

36


2.1 Fonctions sinus et cosinus hyperboliques

Sur la TI-92/Voyage 200 ces deux fonctions sont notessinh et cosh (menu MATH/Hyperbolic).

On appelle sinus hyperbolique et cosinus hyperbolique la par-tie impaire et la partie paire de la fonction exponentielle debase e :

x R sh x = ex ex

2et ch x =

ex + ex

2

Ces deux fonctions (Doc. 7) sont drivables sur R et :

x R (sh ) (x) = ch x et (ch ) (x) = sh x

Il en rsulte les tableaux de variation suivants :

x 0 + x 0 +sh x + 1 + ch x 0 +

+ + +sh x 0 ch x

1y

x

ch

sh

O

2ex

Doc. 7 Cosinus et sinushyperboliques.

Remarque : limx+(ch x

ex

2) = 0 et lim

x+(sh xex

2) = 0. Les courbes dquations

y = ch x, y = sh x et y =ex

2sont asymptotes en +, leurs positions relatives tant

donnes par les ingalits :

x R sh x < ex

2< ch x

2.2 Trigonomtrie hyperboliqueOn vrifie facilement que pour tout x R :

ch x + sh x = ex et ch x sh x = ex

Do :

x R ch 2x sh 2x = 1

Y

X

M

1 chx

shx

Doc. 8 Paramtrage dunedemi-hyperbole.

En posant :

X = ch x et Y = sh x,

on a

X 2 Y 2 = 1 et X 1.

Dans un plan rapport un repre orthonormal, le point de coordonnes (X , Y )dcrit donc une demi-hyperbole quilatre (Doc. 8) (voir chapitre 6 : Coniques) :les fonctions hyperboliques servent paramtrer la demi-hyperbole dquationsX 2 Y 2 = 1 , X 1.H

ache

tteL

ivre

H

Prp

a/M

ath

L

aph

otoc

opie

non

auto

ris

ees

tun

dlit

37


APPLICATION 2Formules daddition en trigonomtrie hyperbolique

Calculer ch (a+b), ch (ab), sh (a+b), sh (ab),ch 2a, sh 2a.

ch (a + b) =12

(ea+b + eab)

=14

[(ea + ea)(eb + eb)

+(ea ea)(eb eb)]

Do :

ch (a + b) = ch a ch b + sh a sh b

En changeant b en b, on obtient :

ch (a b) = ch a ch b sh a sh b

On en dduit :

ch 2a = ch 2a + sh 2a = 2 ch 2a 1 = 2 sh 2a + 1

sh (a + b) =12

(ea+b eab)

=14

[(ea ea)(eb + eb)+(ea + ea)(eb eb)]

Do :

sh (a + b) = sh a ch b + ch a sh b

sh (a b) = sh a ch b ch a sh bet :

sh 2a = 2 sh a ch a

Remarque : La plupart des formules de trigonomtrie stendent aux fonctions hyper-boliques, moyennant certains changements de signe.

2.3 Fonction tangente hyperbolique

Sur la TI-92/Voyage 200, cette fonction est note tanh(menu MATH/Hyperbolic).

La fonction tangente hyperbolique est dfinie sur R par :

th x =sh xch x

=ex exex + ex

=e2x 1e2x + 1

Cette fonction est impaire.

Elle est drivable sur R et :

x R th (x) = ch2x sh 2xch 2x

x R th (x) = 1 th 2x = 1ch 2xy

x

1

0

1

th

Doc. 9 Tangente hyperbolique.

La fonction th est strictement croissante sur R (Doc. 9).

Au voisinage de +, th x ex

ex, donc lim

x+ th x = 1.

Comme la fonction th est impaire, limx

th x = 1.


38


3 Fonctions hyperboliques rciproques

3.1 Fonction argument sinus hyperbolique

Sur la TI-92/Voyage 200, la fonction Argsh est notesinh

1 (menu MATH/Hyperbolic). Ne pas confondre

avec la fonction x 1sh x

.

La fonction sinus hyperbolique est continue et strictement crois-sante sur R ; ses limites en sont . Cest donc unebijection de R dans R. La bijection rciproque est appele argu-ment sinus hyperbolique et note x Argsh x.Par dfinition :

Pour tout x R, Argsh x est lunique lment de R qui apour sinus hyperbolique x :

y = Argsh xx R

x = sh yy R

Daprs le thorme utilis, la fonction argument sinus hyperbolique est galementcontinue et strictement croissante sur R.

Drive

sh

Arg sh

y

xO

Doc. 10 Argument sinus hyperbolique.

La fonction sh tant drivable sur R et sa drive ne sannulant pas, la fonctionArgsh est drivable sur R (Doc. 10) et :

x R (Argsh) (x) = 1ch (Argsh x)

or ch 2(Argsh x) = 1 + sh 2(Argsh x) = 1 + x2 et ch (Argsh x) > 0, doncch (Argsh x) =

x2 + 1 . Do :

(Argsh) (x) =1

x2 + 1

3.2 Fonction argument cosinus hyperbolique

Sur la TI-92/Voyage 200, la fonction Argch est notecosh


avec la fonction x 1ch x

.

La restriction R+ de la fonction cosinus hyperbolique estcontinue et strictement croissante sur R+; sa limite en +est +. Cest donc une bijection de R+ dans [1, +[.La bijection rciproque de [1, +[ dans R+ est appeleargument cosinus hyperbolique et note x Argch x. Pardfinition :

Pour tout x [1, +[ , Argch x est lunique lment de R+qui a pour cosinus hyperbolique x

y = Argch xx [1, +[

x = ch yy R+

Daprs le thorme utilis, la fonction argument cosinus hyperbolique est gale-ment continue et strictement croissante sur [1, +[.

Hac

hette

Liv

re

HPr

pa

/Mat

h

La

phot

ocop

ieno

nau

tori

se

estu

nd

lit

39


Drive

ch

Arg ch

y

x

1

10

Doc. 11 Argument cosinushyperbolique.

La fonction ch tant drivable et sa drive ne sannulant pas sur R+ ,la fonction Argch est drivable sur ]1, +[ (Doc. 11) et :

x > 1 (Argch) (x) = 1sh (Argch x)

or

sh 2(Argch x) = ch 2(Argch x) 1 = x2 1et

sh (Argch x) > 0

donc

sh (Argch x) = x2 1Do

(Argch) (x) =1

x2 1

3.3 Fonction argument tangente hyperbolique

Sur la TI-92/Voyage 200, la fonction Argth est notetanh


avec la fonction x 1th x

.

La fonction tangente hyperbolique est continue et strictementcroissante sur R ; ses limites en sont 1. Cest donc unebijection de R dans ]1, 1[ . La bijection rciproque de ]1, 1[dans R est appele argument tangente hyperbolique et notex Argth x.Par dfinition :

Pour tout x ]1, 1[ , Argth x est lunique lment de Rqui a pour tangente hyperbolique x :

y = Argth xx ]1, 1[

x = th yy R

Daprs le thorme utilis, la fonction argument tangente hyperbolique est gale-ment continue et strictement croissante sur ]1, 1[ .

Drivey

xx'

y'

th

Arg th

1

1

1

10

Doc. 12 Argument tangentehyperbolique.

La fonction th tant drivable sur R et sa drive ne sannulant pas, la fonctionArgth est drivable sur ]1, 1[ (Doc.12) et :

x ]1, 1[ (Argth) (x) = 11 th 2(Argth x)

Or th (Argth x) = x, do :

(Argth) (x) =1

1 x2

40


APPLICATION 3Expression des fonctions hyperboliques rciproques

laide du logarithme nprien

Les fonctions hyperboliques rciproques peuvent sexpri-mer laide de la fonction logarithme nprien ; vrifions-le pour chacune delles.

1) Montrer, de deux faons diffrentes, que :

x R, Argsh x = ln(x +

x2 + 1)


x [1, +[, Argch x = ln(x + x2 1)


x R, Argth x = 12

ln1 + x1 x

1) Rsolvons lquation en y : x = sh y, soitx =

ey ey2

. Posons Y = ey.Lquation devient :

2x = Y 1Y

soit Y 2 2xY 1 = 0

Cette quation du second degr en Y possde deuxracines relles de signes contraires :

Y = x +

x2 + 1 et Y = x

x2 + 1.

Comme Y = ey, on conserve uniquement la so-lution positive :

Y = x +

x2 + 1 do y = ln(x +

x2 + 1).

x R Argsh x = ln(x +

x2 + 1)

Autre mthode : Les deux fonctions x Argsh xet x ln(x+

x2 + 1) sont drivables sur R. Or,

ln(x +

x2 + 1) =1 + 2x

2

x2+1

x +

x2 + 1=

1x2 + 1

o lon reconnat la drive de la fonction Argsh .De plus, ces deux fonctions prennent la mme va-leur nulle pour x = 0, elles sont donc gales.

2) Rsolvons lquation en y : x = ch y, soitx =

ey + ey

2. Posons Y = ey. Lquation de-

vient :

2x = Y +1Y

soit Y 2 2xY + 1 = 0

Cette quation du second degr en Y possde deuxracines relles positives :

Y = x + x2 1 et Y = x x2 1.

Comme on veut que y 0, on conserve unique-ment la solution suprieure 1 :

Y = x+ x2 1, do y = ln(x+ x2 1).

x [1, +[ Argch x = ln(x + x2 1)

Autre mthode : Les deux fonctions

x Argch x et x ln(x + x2 1)

sont drivables sur ]1, +[. Or,

ln(x + x2 1) =1 + 2x

2

x21x +

x2 1 =

1x2 1

o lon reconnat la drive de la fonction Argch .De plus, ces deux fonctions prennent la mme va-leur nulle pour x = 1, elles sont donc gales.

3) Rsolvons lquation en y :

x = th y

soit

x =e2y 1e2y + 1

Posons Y = e2y. Lquation devient :

Y 1 = x(Y + 1)

soitY (1 x) = 1 + x

H

ache

tteL

ivre

H

Prp

a/M

ath

L

aph

otoc

opie

non

auto

ris

ees

tun

dlit

41


do

Y =1 + x1 x

Lquation a une solution relle unique :

y =12

ln1 + x1 x

car1 + x1 x > 0

x ] 1, 1[ Argth x = 12

ln1 + x1 x

Autre mthode : Les deux fonctions

x Argth x et x 12

ln1 + x1 x

sont drivables sur ] 1, 1[. Or,

12

ln1 + x1 x =

12

2(1 x)2

1 x1 + x

=1

1 x2

o lon reconnat la drive de la fonction Argth .De plus, ces deux fonctions prennent la mme va-leur nulle pour x = 0, elles sont donc gales.

Pour sentraner : ex. 5

4 Fonctions circulaires

4.1 Paramtrage dun cercle

y

xO

sin x M

cos x

x i

j

Doc. 13 Paramtrage dun cercle.

Le plan orient est rapport un repre orthonorm direct (O, i, j). Soit C lecercle de centre O de rayon 1. Pour tout rel x, le point M de C tel que langleorient (i,

OM ) ait pour mesure x, a pour coordonnes (cos x, sin x) (Doc. 13).

On dfinit ainsi deux fonctions de R dans R 2 -priodiques, sinus et cosinus,respectivement impaire et paire.

Leur quotient est la fonction tangente dfinie sur R\{2

+ k, k Z} partan x =

sin xcos x

. Cette fonction est impaire et -priodique.

Retrouvons les proprits diffrentielles (limites, drives) de ces fonctions clas-siques partir de ce simple point de vue gomtrique.

4.2 Fonctions sinus et cosinusSoit x ]0,

2[, M le point de coordonnes (cos x, sin x), A le point de

coordonnes (1, 0).

Continuity

A xO

M

Doc. 14 Comparaison daires.

Comparons les aires du triangle OAM et du secteur angulaire OAM (Doc. 14) :

x ]0, 2

[12

sin x12

x, soit : sin x x

Cette ingalit est encore vraie pour x = 0, et comme la fonction sinus estimpaire, on peut crire :

x ] 2,

2

[ | sin x| |x|

42


On en dduit limx0

sin x = 0 = sin 0, donc la fonction sinus est continue en 0.

On sait que x [2,

2

] cos x = 1 sin2 x, donc limx0

cos x = 1 = cos 0 :

la fonction cosinus est continue en 0.

En un point quelconque x0, on a :

h R sin(x0 + h) = sin x0 cos h + cos x0 sin h, donclimh0

sin(x0 + h) = sin x0h R cos(x0 + h) = cos x0 cos h sin x0 sin h, donc

limh0

cos(x0 + h) = cos x0

En dfinitive, les fonctions sinus et cosinus sont continues sur R.

Drivabilit

Soit T le point dintersection de la droite (OM ) et de la tangente en A C.

y T

A xO

M

Doc. 15 Comparaison daires.

Comparons les aires du triangle OAM, du secteur angulaire OAM et du triangleOAT (Doc. 15) :

x ]0, 2

[12

sin xx2

12

tan x

Do lon dduit en divisant les trois membres par12

sin x (qui est strictement

positif) : 1x

sin x1

cos x, ou en passant aux inverses :

x ]0, 2

[ cos xsin x

x1

On en dduit que limx0+

sin xx

= 1. Comme cette fonction est paire, il en est demme de la limite gauche. Do :

limx0

sin xx

= 1

Cette limite exprime la drivabilit de la fonction sinus en 0, sa drive valant 1en ce point.

Comme : 1 cos x = 2 sin2 x2, on en dduit :

limx0

1 cos xx2

=12

En un point x0 quelconque :

sin(x0 + h) = sin x0 cos h + cos x0 sin h

do :sin(x0 + h) sin x0

h= sin x0

cos h 1h

+ cos x0sin h

h

et par consquent :

limh0

sin(x0 + h) sin x0h

= cos x0

De mme :cos(x0 + h) = cos x0 cos h sin x0 sin hH

ache

tteL

ivre

H

Prp

a/M

ath

L

aph

otoc

opie

non

auto

ris

ees

tun

dlit

43


do :cos(x0 + h) cos x0

h= cos x0

cos h 1h

sin x0 sin hhet par consquent :

limh0

cos(x0 + h) cos x0h

= sin x0

y'

x'

x

2

2

ysin

cos

O

Doc. 16 Fonctions sinus et cosinus.

Les fonctions sinus et cosinus sont donc drivables sur R et (Doc. 16) :

x R sin (x) = cos x cos (x) = sin x

Or sin (x) = sin x +2

et cos (x) = cos x +2

.

On en dduit facilement par rcurrence que les fonctions sinus et cosinus sontindfiniment drivables sur R et :

n N sin(n)(x) = sin x + n2

cos(n)(x) = cos x +n2

4.3 Fonction tangente O x

2

2

y

Doc. 17 Fonction tangente.

La fonction tangente (Doc. 17), note tan, est dfinie sur R\{2

+ k , k Z}par tan x =

sin xcos x

; elle est impaire et -priodique. Elle est drivable sur cet

ensemble et :

tan (x) = 1 + tan2 x =1

cos2 x

5 Fonctions circulaires rciproques

Les fonctions que nous venons dtudier ne sont videmment pas bijectives sur toutleur ensemble de dfinition, mais certaines restrictions convenablement choisiespeuvent ltre. Les bijections rciproques correspondantes dfinissent de nouvellesfonctions qui sont trs importantes, notamment en calcul intgral.

5.1 Fonction Arc sinus

X

Y

x

O

2

0

2

1

1

Arc

sin x

Doc. 18 Arc sinus.

Soit f la restriction de la fonction sinus 2,

2

, f est continue et stric-

tement croissante sur cet intervalle. Cest donc une bijection de 2,

2

dans

[1, 1] . La bijection rciproque de [1, 1] dans 2,

2

est appele Arc

sinus et note x Arcsin x (Doc. 18).Par dfinition :

Pour tout x [1, 1] , Arcsin x est lunique lment de 2,

2

qui apour sinus x :

y = Arcsin xx [1, 1]

x = sin yy

2,

2

44


Sur la TI-92/Voyage 200, la fonction Arcsin est note

sin1 . Ne pas confondre avec la fonction x 1

sin x.

Daprs le thorme utilis, la fonction Arc sinus est galementcontinue et strictement croissante sur [1, 1] .

Drive

Comme la fonction f est drivable et que sa drive ne sannule

pas sur 2,

2

, la fonction Arc sinus est drivable sur ]1, 1[et :

x ]1, 1[ (Arcsin) (x) = 1f (f (x))

=1

cos(Arcsin x)

Or cos2(Arcsin x) = 1 sin2(Arcsin x) = 1 x2 etcomme Arcsin x ]

2,

2

[, cos(Arcsin x) > 0. Do

cos(Arcsin x) = 1 x2. En dfinitive :

x ]1, 1[ (Arcsin) (x) = 11 x2

y

x

y

xO

2

2

1

1

Arc sin

sin

Doc. 19 Fonctions Arc sinus.

La fonction Arcsin est continue sur [1, 1], drivable sur ]1, 1[ etlim

x1(Arcsin) (x) = +. Par consquent, Arcsin nest pas drivable en 1, ni de

mme en 1. Sa courbe reprsentative (Doc.19) prsente aux points dabscisse 1et 1 des demi-tangentes verticales.

Remarque : La fonction Arcsin est impaire.

5.2 Fonction Arc cosinus

Y

O

2

0

Arc cos x

11 Xx

Doc. 20 Arc cosinus.

Soit f la restriction de la fonction cosinus [0, ], f est continue et strictementdcroissante sur cet intervalle. Cest donc une bijection de [0, ] dans [1, 1] .La bijection rciproque de [1, 1] dans [0, ] est appele Arc cosinus et notex Arccos x (Doc. 20).Par dfinition :

Pour tout x [1, 1] , Arccos x est lunique lment de [0, ] qui a pourcosinus x :

y = Arccos xx [1, 1]

x = cos yy [0, ]

Daprs le thorme utilis, la fonction Arc cosinus est galement continue etstrictement dcroissante sur [1, 1].

Drive

Comme la fonction f est drivable et que sa drive ne sannule pas sur ]0, [,la fonction Arc cosinus est drivable sur ]1, 1[ et :

x ]1, 1[ (Arccos) (x) = 1f (f (x))

=1

sin(Arccos x)

H

ache

tteL

ivre

H

Prp

a/M

ath

L

aph

otoc

opie

non

auto

ris

ees

tun

dlit

45


Sur la TI-92/Voyage 200, la fonction Arccos est note

cos1 . Ne pas confondre avec la fonction x 1

cos x.

Or sin2(Arccos x) = 1 cos2(Arccos x) = 1 x2 et commeArccos x ]0, [, sin(Arccos x) > 0.Do sin(Arccos x) = 1 x2.En dfinitive :

x ]1, 1[ (Arccos) (x) = 11 x2

La fonction Arccos est continue sur [1, 1], drivable sur]1, 1[ et lim

x1(Arccos) (x) = . Par consquent, Arccos

nest pas drivable en 1, ni de mme en 1. Sa courbe reprsen-tative prsente aux points dabscisse 1 et 1 des demi-tangentesverticales (Doc. 21).

x

yArc cos

1

0

111

cos

Doc. 21 Fonction Arc cosinus.

Remarque : La fonction x Arcsin x + Arccos x est drivable sur ]1, 1[ et sadrive est nulle : cette fonction est donc constante sur cet intervalle. La valeur de cette

constante est2

(valeur en 0). Comme on a aussi :

Arcsin 1 + Arccos 1 =2

et Arcsin (1) + Arccos (1) = 2,

on peut conclure :

x [1, 1] Arcsin x + Arccos x = 2

5.3 Fonction Arc tangente

X

xY 2

0

2

Arctan x

Doc. 22 Arc tangente.

Soit f la restriction de la fonction tangente 2,

2

, f est continue et

strictement croissante sur cet intervalle ; ses limites aux bornes sont . Cestdonc une bijection de

2,

2

dans R. La bijection rciproque de R dans

2,

2

est appele Arc tangente et note x Arctan x (Doc. 22).

Par dfinition :

Sur la TI-92/Voyage 200, la fonction Arctan est note

tan1 . Ne pas confondre avec la fonction x 1

tan x.

Pour tout x R , Arctan x est lunique lment de 2,

2

qui a pour tangente x :

y = Arctan xx R

x = tan yy

2,

2

Daprs le thorme utilis, la fonction Arc tangente est gale-ment continue et strictement croissante sur R.

Drive

Comme la fonction f est drivable et que sa drive ne sannule

pas sur 2,

2

, la fonction Arc tangente est drivable sur Ret (Doc. 23) :

x R (Arctan ) (x) = 1f (f (x))

=1

1 + tan2(Arctan x)

46

Fonctions usuelles

O

y

x

2

tan

Arc tan

2

2

2

Doc. 23 Fonction Arc tangente.

Or tan(Arctan x) = x, do :

x R (Arctan ) (x) = 11 + x2

Remarque : La fonction Arctan est impaire.


............................................................................................................MTHODERetenir les quivalences :

y = Argsh xx R

x = sh yy R

y = Argch xx [1, +[

x = ch yy R+

y = Argth xx ]1, 1[

x = th yy R

Ainsi que :

y = Arcsin xx [1, 1]

x = sin yy [

2,

2

]

y = Arccos xx [1, 1]

x = cos yy [0, ]

y = Arctan xx R

x = tan yy

2,

2

Argsh est continue et drivable sur R :

x R (Argsh) (x) = 11 + x2

Argch est continue sur [1, +[ et drivable sur ]1, +[ :

x ]1, +[ (Argch) (x) = 1x2 1

Argth est continue et drivable sur ]1, 1[ :

x ]1, 1[ (Argth) (x) = 11 x2

H

ache

tteL

ivre

H

Prp

a/M

ath

L

aph

otoc

opie

non

auto

ris

ees

tun

dlit

47

Fonctions usuelles

Arcsin est continue sur [1, 1] et drivable sur ]1, 1[ :

x ]1, 1[ (Arcsin) (x) = 11 x2

Arccos est continue sur [1, 1] et drivable sur ]1, 1[ :

x ]1, 1[ (Arccos) (x) = 11 x2

Arctan est continue et drivable sur R :

x R (Arctan) (x) = 11 + x2

Pour tout > 0 et > 0 :

(ln x) est ngligeable devant x au voisinage de +

| ln x| est ngligeable devant 1x

au voisinage de 0

x est ngligeable devant ex au voisinage de +

ex est ngligeable devant1|x| au voisinage de

Comparaison des fonctions circulaires et des fonctions hyperboliques.

Pour tout x R :

Fonctions circulaires Fonctions hyperboliquessin x =

eix eix2i

cos x =eix + eix

2

sh x =

ex ex2

ch x =ex + ex

2

cos x + i sin x = eix

cos x i sin x = eixch x + sh x = ex

ch x sh x = ex

cos2 x + sin2 x = 1 ch 2x sh 2x = 1

(sin) (x) = cos x(cos) (x) = sin x

(sh ) (x) = ch x(ch ) (x) = sh x

...................................................................................................................................................................................................

48

Fonctions usuelles

Exercice rsoluDAPRS ENSTIM (COLES DES MINES DALBI, ALS, DOUAI, NANTES)

1 Soit g lapplication de R dans R dfinie par :

g(t) = Arctan t t + t3

3

a) Vrifier que g est impaire, drivable sur R, et calculer g (t), pour t R.b) Montrer que : t R, 0 g (t) t2.c) En dduire : t R+, t t

3

3Arctan t t.

2 Soit f lapplication de R dans R dfinie par :

f (0) = 1 et t = 0, f (t) = Arctan tt

a) Montrer que f est continue sur R et paire.b) Montrer que f est drivable en 0 et donner f (0).

c) Justifier que f est drivable sur R et calculer f (t), pour t R.3 laide dune intgration par parties, montrer que :

t R,t

0

u2

(1 + u2)2du = 1

2t2f (t)

En dduire le sens de variation de f .

4 Tracer la courbe reprsentative de f dans un repre orthonorm.

Conseils Solution1) a) g est dfinie sur R, et pour tout t R,

g(t) = Arctan (t) + t t3

3= g(t)

g est impaire ; elle est drivable sur R comme somme de fonctions

drivables et pour t R, g (t) = 11 + t2

1 + t2 = t4

1 + t2.

b) On en dduit immdiatement : t R, 0 g (t) t2.Intgrer lingalit prcdente. c) Pour t R+, on obtient alors, en intgrant sur [0, t], 0 g(t) t

3

3,

cest--dire : t t3

3Arctan t t ().

2) a) f est dfinie et continue sur R comme quotient de fonctionscontinues, elle est paire comme quotient de fonctions impaires.

Calculer limt0+

f (t). Daprs (), nous pouvons crire pour t > 0 : 1 t2

3f (t) 1 (),

ce qui prouve, par le thorme dencadrement, que limt0+

f (t) = 1, f est

continue droite en 0, par parit, elle est continue gauche en 0.

f est donc continue sur R.H

ache

tteL

ivre

H

Prp

a/M

ath

L

aph

otoc

opie

non

auto

ris

ees

tun

dlit

49

Fonctions usuelles

Se souvenir de la dfinition de la driva-bilit dune fonction en un point.

b) Pour t = 0,f (t) f (0)

t=

Arctan t tt2

.

Utilisons encore (), pour t > 0 :

t3

3Arctan t t 0 do t

3Arctan t t

t20

ce qui prouve, par le thorme dencadrement, que limt0+

Arctan t tt2

= 0

et, par parit limt0

Arctan t tt2

= 0 : f est drivable en 0 et f (0) = 0.

c) Dautre part, f est drivable sur R comme quotient de fonctionsdrivables et, pour t R, f (t) = 1

t(1 + t2) Arctan t

t2.

3) Calculons, pour t R,t

0

u2

(1 + u2)2du laide dune intgration

par parties :

12

t

0u 2u

(1 + u2)2du =

12

u 1(1 + u2)

t

0

+12

t

0

1(1 + u2)

du

= t2(1 + t2)

+12

Arctan t

= 12

t2f (t)

Quel est le signe det

0

u2

(1 + u2)2d u ? f (t) est donc du signe oppos celui de t : f est dcroissante sur R+,

croissante sur R.

Prciser les limites de f en . 4) De plus limt+ Arctan t =

2, do : lim

t+ f (t) = 0.

Nous pouvons alors donner lallure du graphe de f :

y

xx

1

101

Doc. 24

50

Exercices

1 Vrai ou faux ?a) Pour tout rel x =

2

+ k : Arctan (tan x) = x

b) Pour tout rel x : tan(Arctan x) = x

c) Pour tout rel x [1, 1] : Arccos x + Arcsin x = 2

d) La fonction Arcsin est continue et drivable sur[1, 1].e) La fonction Arctan est continue et drivable sur R.

f) ln x est ngligeable devant1x

au voisinage de 0.

g) ch x sh x tend vers 0 quand x tend vers +.h) La fonction cosinus hyperbolique est bijective.

i) x R\{1, 1} 12

ln1 + x1 x =

11 x2

Exponentielles et logarithmes

2 Rsoudre les quations suivantes :a) x

x =

x

x

b) 2x3

= 3x2

c) loga x = logx ad) log3 x log2 x = 1e) 2x +2x+1 + +2x+n = 3x +3x+1 + +3x+n o n N

3 Dmontrer que log10 2 nest pas rationnel.

Fonctions hyperboliques

4 Calculern

k=0

ch (a + kb) etn

k=0

sh (a + kb) .

5 Simplifier les expressions suivantes :ch (ln(x + x2 1)) sh (ln(x + x2 1))ch (ln(x +

x2 + 1)) sh (ln(x +

x2 + 1))

6 tudier la drivabilit des fonctions suivantes et cal-culer leurs drives :

a) f (x) = th x 13

th 3x b) f (x) = Arcsin (th x)

c) f (x) = Arctan (sh x) d) f (x) = Arctan (th x)

Fonctions circulaires rciproques7 tudier les variations des fonctions suivantes et tracerleur courbe reprsentative :

a) f (x) = Arcsin2

x1 + x

b) f (x) = thx 1x + 1

c) f (x) = (x 1)2Arctan x d) f (x) = 1 x2eArcsin x

8 Reprsenter graphiquement les fonctions f et g d-finies par :

f (x) = cos(Arccos x) et g(x) = Arccos (cos x)

9 Calculer Arctan x + Arctan y en discutant suivant lessignes des rels 1 xy et x + y.

10 Simplifier les expressions :cos(Arctan x) ; sin(Arctan x) ; tan(2 Arctan x) ;

cos(4 Arctan x) ; tan(Arcsin x) ; tan(Arccos x) ;

Arcsin2x

1 + x2.

11 Dmontrer la formule de Machin :4

= 4 Arctan15 Arctan 1

239

12 tudier la drivabilit des fonctions suivantes et cal-culer leurs drives :

a) f (x) = Arcsin1 + x1 x

b) f (x) =1 Arcsin x1 + Arcsin x

c) f (x) = Arctan1

1 + x2

d) f (x) = Arctan1 sin x1 + sin x

13 1) Soit p N. Calculer Arctan (p + 1)Arctan (p)2) tudier la convergence et la limite de la suite (Sn) dfiniepar :

Sn =n

p=0

Arctan1

p2 + p + 1

Exercice pos aux oraux des concours

14 (Petites Mines 2005)Simplifier lexpression :

f (x) = cos(Arccos xArcsin x) sin(Arccos xArcsin x)Hac

hette

Liv

re

HPr

pa

/Mat

h

La

phot

ocop

ieno

nau

tori

se

estu

nd

lit

51

3 quationsdiffrentielleslinaires

OBJECTIFSOBJECTIFS tudier les quations diffren-

tielles linaires du premier ordre.

Donner un exemple de rso-lution approche : la mthodedEuler.

tudier les quations diffren-tielles linaires du second ordre coefficients constants et secondmembre du type polynme-exponentiel.

INTRODUCTION

D e trs nombreuses applications des mathma-tiques conduisent la recherche dune fonctionassujettie une certaine relation avec ses drivessuccessives. Cest ce quon appelle une quation dif-frentielle. Limmense progrs scientifique des XVIIe

et XVIIIe sicles, en particulier en astronomie, re-pose sur la capacit de prvoir le comportement fu-tur dun systme grce la rsolution dquationsdiffrentielles. De trs nom

h prÉpa toutenun - موقع قصر...

Documents