h nh hÅc thi lÎp 10sigmaths.com/uploads/mxdoc/2018/02/08/tnkdk.pdf · 2018. 2. 8. · s³ d¹ d...

�°ng Thà Thu Thõy − Ths. Ho ng V«n TüuTS. Nguy¹n V«n Lñi (chõ bi¶n)

H�NH HÅC THI LÎP 10

Sigma - MATHS

MÖC LÖC Sigma - MATHS

Möc löc

1 Chòm b i to¡n v· �ành lþ Pythagore 3

1.1 Lþ thuy¸t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 B i tªp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Chòm b i to¡n v· �ành lþ Thales 9

2.1 Lþ thuy¸t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2 B i tªp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3 C¡c b i to¡n bê sung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3 Chòm b i to¡n v· trüc t¥m 16

3.1 Mæ h¼nh cì b£n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.2 Khai th¡c mæ h¼nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.3 H÷îng d¨n gi£i ph¦n 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4 Chòm b i to¡n v· ph÷ìng t½ch 26

4.1 Mæ h¼nh cì b£n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.2 Khai th¡c mæ h¼nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.3 H÷îng d¨n gi£i ph¦n 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1

MÖC LÖC Sigma - MATHS

Líi nâi �¦u

Th¥n gûi c¡c em håc sinh!

Vªy l ch°ng �÷íng håc tªp THCS sp træi qua. Bèn n«m THCS l bèn n«m �¦y khâ kh«nvîi nhi·u ki¸n thùc tø �¤i sè �¸n h¼nh håc. �i·u �â ph¦n n o l m cho c¡c em cho¡ng ngñp vîil÷ñng ki¸n thùc lîn. �°c bi»t l mæn h¼nh håc.

�º còng c¡c b¤n håc sinh chõ �ëng tü tin trong håc tªp mæn h¼nh håc ph¯ng. Chóng tæitªp chung ki¸n thùc v o bèn nhâm: �ành lþ Pythagore, �ành lþ Thales, �· t i �÷íng trán nëingo¤i ti¸p, v mët sè kÿ thuªt trong ph÷ìng t½ch. Méi nhâm �· t i nh÷ mët chòm b i to¡n cìb£n ph¥n nhä. N¸u chóng ta tü l m �º hiºu c¡c b i to¡n n y th¼ vi»c l m c¡c b i to¡n �i this³ d¹ d ng hìn nhi·u v c¡i �µp cõa h¼nh håc công �÷ñc thº hi»n mët c¡ch tü nhi¶n.

Và tr½ cõa b i to¡n h¼nh håc trong �· thi v o lîp 10 l væ còng quan trång. V¼ th¸, vi»ckhæng nm chc ki¸n thùc ph¦n n y câ thº quy¸t �ành vi»c th nh b¤i trong k¼ thi tuyºn sinh.V¼ l³ �â, chóng tæi m¤nh d¤n s÷a t¦m v bi¶n so¤n cuèn s¡ch H¼nh håc thi lîp 10 vîi möc�½ch gióp �ï c¡c em câ mët t i li»u tèt �º æn tªp.

Chóng tæi mong nhªn �÷ñc þ ki¸n �âng gâp quþ b¡u cõa quþ b¤n �åc �º cuèn s¡ch �÷ñcho n thi»n hìn.

Xin tr¥n trång c£m ìn!

Måi þ ki¸n �âng gâp xin chuyºn v·: [email protected]

Ng y ch¿nh sûa: 8 th¡ng 2 n«m 2018

2

Sigma - MATHS

1 Chòm b i to¡n v· �ành lþ Pythagore

Trong hai ch÷ìng �¦u, chóng tæi tham th£o r§t nhi·u þ t÷ðng cõa th¦y Nguy¹n B¡ �ang v·hai �ành lþ h¼nh håc nêi ti¸ng v câ sû döng mët sè b i tªp cõa th¦y trong cuèn s¡ch "Nhúng�ành lþ chån låc trong h¼nh håc ph¯ng v c¡c b i to¡n ¡p döng".

1.1 Lþ thuy¸t

�ành lþ 1.1. Trong mët tam gi¡c vuæng. B¼nh ph÷ìng c¤nh huy·n b¬ng têng b¼nh ph÷ìng haic¤nh gâc vuæng.

1. Chùng minh b¬ng �¤i sè.

2. Chùng minh b¬ng ct gh²p.

3. Chùng minh cõa têng thèng James A. Garfield .

3

1.1 Lþ thuy¸t Sigma - MATHS

Di»n t½ch h¼nh thang S =1

2(a + b)2.

V¼ têng di»n t½ch c¡c tam gi¡c b¬ng di»n t½ch h¼nhthang.

Do �â,1

2(a + b)2 = ab +

1

2c2 ⇔ a2 + b2 = c2.

4. Chùng minh cõa Leonardo da Vinci .

5. (a− b)2 + 4 · 1

2ab = c2 ⇔ a2 + b2 = c2.

6. Chùng minh b¬ng g§p h¼nh (thæng qua mët m»nh �· mð rëng.)Têng di»n t½ch c¡c �a gi¡c �çng d¤ng düng tr¶n c¡c c¤nh gâc vuæng cõa mët tam gi¡c vuængb¬ng di»n t½ch �a gi¡c �çng d¤ng düng tr¶n c¤nh huy·n.

�ành lþ 1.2 (�ành lþ Pythagore �£o). Tam gi¡c ∆ABC thäa m¢n BC2 = AB2 +AC2 th¼ tamgi¡c ∆ABC vuæng t¤i A.

4

1.2 B i tªp Sigma - MATHS

Chùng minh.

BC2 > A′B2 + AC2, BC2 = AB2 + AC2, BC2 < A”B2 + AC2.

1.2 B i tªp

1 (Cûa thi¶n �÷íng). Mët thanh gé th¦n d i 2000m, hai �¦u �÷ñc buëc ch°t bði mët sñ d¥yd i 2001m. Ai muèn thû láng dông c£m th¼ chui qua khe hð cõa sñi d¥y v thanh gé.Bao nhi¶u ng÷íi �i d¡m v÷ñt qua t¼m may mn?

2. Chùng minh r¬ng SCAG = SCHB

Gñi þ: Hai tam gi¡c chçng kh½t l¶n nhau.

3. Chùng minh di»n t½ch c¡c tam gi¡c sìn m u câ di»n t½ch b¬ng nhau.

5


4. Chùng minh di»n t½ch c¡c h¼nh còng m u sìn b¬ng nhau.

5. Cho tam gi¡c vuæng ∆ABC. V³ c¡c h¼nh vuæng v· ph½a ngo i tam gi¡c (h¼nh v³). Chùngminh c¡c �÷íng th¯ng qua A vuæng gâc vîi BI, qua B vuæng gâc vîi AD, qua C vuæng gâcvîi AB �çng quy.

6


Gñi þ: Ba �÷íng cao g°p nhau t¤i mët �iºm.

6. Chùng minh r¬ng: di»n t½ch tam gi¡c vuæng b¬ng têng di»n t½ch hai h¼nh tr«ng khuy¸t.

Gñi þ: �ành lþ Pythagore.

7. Trong h¼nh chú nhªt ABCD l§y �iºm G. Chùng minh r¬ng GA2 + GC2 = GB2 + GD2.

Gñi þ: Tø G h¤ c¡c �÷íng vuæng gâc xuèng c¡c c¤nh. Sû döng �ành lþ Pythagore.Nhªn x²t: K¸t qu£ cõa b i to¡n khæng thay �êi khi �iºm G ð và tr½ têng qu¡t.

8. Nguíi ta muèn �o kho£ng c¡ch tø D �¸n C nh÷ng khæng thº n o �¸n C �÷ñc. Häi câ thº �ogi¡n ti¸p CD khæng? Bi¸t r¬ng AB = 240m, DAC = ABC = 900, BAC = 600, ADC = 300.

9. Cho tam gi¡c EDF vuæng t¤i F . V³ c¡c h¼nh vuæng ra ph½a ngo i nh÷ h¼nh v³. Chùng minhr¬ng: KE = DL.

7


10. Cho c¡c h¼nh vuæng nh÷ h¼nh v³. Chùng minh r¬ng: b = 2d.

11. Cho c¡c sè a, b thäa m¢n 0 < a < b. Chùng minh c¡c b§t �¯ng thùc sau:

a <2ab

a + b<

a + b

2<

√a2 + b2

2<

a2 + b2

a + b< b

8

Sigma - MATHS

2 Chòm b i to¡n v· �ành lþ Thales

2.1 Lþ thuy¸t

�ành lþ 2.1 (�ành lþ �÷íng trung b¼nh). Cho tam gi¡c ABC.Ph¦n thuªn: �o¤n th¯ng �i qua trung �iºm M cõa AB v song song vîi BC th¼ �i qua trung

�iºm N cõa AC v MN =1

2BC.

Ph¦n �£o: �o¤n th¯ng �i qua c¡c trung �iºm M, N cõa AB v AC th¼ song song v b¬ngnûa BC.

Chùng minh. Ph¦n thuªn: Qua trung �iºm M cõa AB, v³ �÷íng th¯ng d1 song song vîi BCct AC t¤i N ′, v d2 song song vîi AC ct BC t¤i K.∆AMN ′ = ∆MBK (g.c.g) ⇒MN ′ = BK, MK = AN ′.

∆MBK = ∆KN ′M (g.c.g) ⇒ KN ′ = MB v MKN ′ = BMK ⇒ KN ′//AB, KN ′ =1

2AB.

⇒ ∆AMN ′ = ∆N ′KC (g-c-g).⇒ AN ′ = N ′C . Vªy N ≡ N ′.Ph¦n �£o: Tø M k´ �÷íng th¯ng d1 song song vîi BC. �÷íng th¯ng �i qua trung �iºm cõaAC. Do �â MN n¬m tr¶n d1 l �pcm.

Bê �· 2.1 ( Bê �· c¡c �o¤n th¯ng song song). Hai nûa �÷ìng th¯ng Ox,Oy còng xu§t ph¡ttø �iºm O. Tr¶n núa �÷íng th¯ng Ox l§y c¡c �iºm A1, A2, A3, . . . , An sao cho OA1 =A1A2 = . . . = An−1An. Tr¶n nûa �÷íng th¯ng Oy l§y c¡c �iºm B1, B2, B3, . . . , Bn sao choOB1 = B1B2 = . . . = Bn−1Bn. Chùng minh r¬ng AiBi, (i = 1, 2, . . . , n) song song vîi nhau.

Chùng minh.

Theo bê �· �÷íng trung b¼nh cõa tam gi¡c, ta nhªn �÷ñc A1B1//A2B2. Ti¸p töc l m vîi tam

9


gi¡c câ c¤nh l A1A3 ta nhªn �÷ìc A2B2//A3B3 . . .. Cù ti¸p töc nh÷ vªy ta �÷ñc c¡c �o¤nth¯ng AiBi song song vîi nhau.

Bê �· 2.2 (Bê �· húu t�). Cho xOy. Tr¶n c¤nh Ox l§y hai �iºm A, B, tr¶n c¤nh Oy l§y hai�iºm C, D sao cho OA : OB = m : n = OC : OD vîi m, n l c¡c sè nguy¶n d÷ìng. Khi �âAC//BD.

Chùng minh. Chia OB th nh n + m ph¦n, chia OD th nh n + m ph¦n. �p döng (2.1).

Bê �· 2.3 (Bê �· væ t�). (Cæng nhªn khæng chùng minh)Cho xOy. Tr¶n c¤nh Ox l§y hai �iºm A, B v tr¶n c¤nh Oy l§y hai �iºm C, D sao choOA : OB = m : n = OC : OD. Khi �â AC//BD.Chó þ: Muèn chùng minh ph£i sû döng cæng cö giîi h¤n.

Bê �· 2.4 (Bê �· h¼nh b¼nh h nh). Cho h¼nh b¼nh h nh ABCD. Tr¶n c¤nh AB v CD l¦nl÷ñt l§y hai �iºm P v Q sao cho PA : PB = m : n = QC : QD (m,n thüc). Khi �âPQ//BC//AD.

Chùng minh.

�ành lþ 2.2 ( �ành lþ Thales). C¡c �÷íng th¯ng song song chn hai c¡t tuy¸n (�÷íng th¯ng)d, d′ th¼ t¤o ra tr¶n d, d′ c¡c �o¤n th¯ng t÷ìng ùng t¿ l».

2.2 B i tªp

12. Cho h¼nh thang c¥n ABCD. C ′ l �iºm tòy þ tr¶n CD. K´ �÷íng th¯ng qua C ′ v songsong vîi BD ct AB t¤i D′. Chùng minh r¬ng: AC ′ = B′C.

13. Cho tam gi¡cABC. M l trung �iºm cõa c¤nh BC. Qua B v C düng c¡c �÷íng th¯ngsong song vîi AM ct AC v AB l¦n l÷ñt t¤i P v Q.

Chùng minh r¬ng:1

AM=

1

PB+

1

QC.

10


Gñi þ: Nh¥n hai v¸ vîi AM rçi dòng c¡c �o¤n th¯ng t¿ l» tr¶n BC.

14. Cho tam gi¡c c¥n ABC (AB = AC), k²o d i BC v· ph½a C l§y �iºm M . �÷íng th¯ng d

qua M ct AB v AC l¦n l÷ñt t¤i P v Q. Chùng minh r¬ng:BM

BP− CM

CQkhæng phö thuëc

v o và tr½ cõa M v �÷íng th¯ng d.

Gñi þ: K´ AN//d, bi¸n �êi th nh t¿ l» t÷ìng �÷ìng câ m¨u l AN . Ch¿ ra t¿ l» c¦n t¼m l BC : BA.

15. Cho tam gi¡c ABC câ AB > AC. M l trung �iºm cõa BC. Ph¥n gi¡c gâc A ct BC t¤iL. Tø M k´ �÷íng vuæng gâc vîi AL ct AB t¤i D, ct AC t¤i E. Chùng minh r¬ng:

a) AD =1

2(AB + AC).

b) Gåi F l trung �iºm cõa AC. Chùng minh r¬ng: EF =1

2AB.

Gñi þ :

11


a) DB = CP (CP//AB).∆PCE c¥n ⇒ CP = CE.

b) AT = 2.FC,BT = 2.CE ⇒ AB = 2.FE.

16. Cho tam gi¡c ABC. D v E n¬m l¦n l÷ñt tr¶n c¡c c¤nh AB v AC sao cho BD = CE.Gåi P l trung �iºm DE, M l trung �iºm cõa BC. Chùng minh r¬ng: PM song song vîi ph¥ngi¡c gâc A.Gñi þ: K´ BG v DK vuæng gâc vîi ph¥n gi¡c gâc A. Ch¿ ra MPUV l h¼nh b¼nh h nh.

17 (�÷íng th¯ng Gauss). Cho tù gi¡c to n ph¦n ABCDEF .

a) Chùng minh r¬ng trung �iºm cõa c¡c �÷íng ch²o AC, BD, EF n¬m tr¶n mët �÷íngth¯ng g, ta gåi l �÷íng th¯ng Gauss.

b) g ct AD v BC l¦n l÷ñt t¤i Y v Z. Chùng minh r¬ng:AY

Y D=

CZ

BZ.

Gñi þ:

a) L§y E l t¥m �çng d¤ng chi¸u c¡c �iºm P, Q, R th nh G, K, F th¯ng h ng.

12


b) K´ Al v CK còng song song vîi BD. Sû döng �ành lþ Thales.

18. Cho h¼nh b¼nh h nh ABCD. P l �iºm trong h¼nh b¼nh h nh sao cho APB+CPD = 1800.Chùng minh r¬ng gâc PBC = CDP .

Gñi þ: Tành ti¸n P th nh X theo−−→BC. Tù gi¡c DPCX nëi ti¸p.

19. Cho tam gi¡c ABC, O l �iºm n¬m trong tam gi¡c. AO, BO, CO ct c¤nh BC, CA, ABl¦n l÷ñt t¤i D, E, F . Qua O k´ c¡c �÷íng th¯ng song song vîi BC ct DE, DF l¦n l÷ñt t¤iN v M . Chùng minh r¬ng: ON = OM.Gñi þ: Qua A k´ �÷íng th¯ng song song vîi BC. Chùng minh DA l trung tuy¸n cõa tamgi¡c HDI. Biºu di¹n AQ : BC = AH : BD,BC : AP = DC : AI. Sû döng t½nh �çng d¤ng cõatam gi¡c OPQ v OBC.

20. Cho tam gi¡c nhån ABC, �÷íng ph¥n gi¡c AD. Gåi M v N l¦n l÷ñt l h¼nh chi¸u cõa Dtr¶n AC v AB. Giao �iºm cõa BM v CN l P . Chùng minh AP⊥BC.Nhªn x²t: �¥y l b i to¡n r§t hay, nâi l¶n sü li¶n h» giúa �÷íng ph¥n gi¡c v �÷íng cao trongtam gi¡c.

13

2.3 C¡c b i to¡n bê sung Sigma - MATHS

21. C¡c c¤nh cõa tù gi¡c chia th nh ba ph¦n b¬ng nhau. Chùng minh r¬ng:

a) Di»n t½ch ph¦n tæ x¡m b¬ng1

9di»n t½ch tù gi¡c.

b) C¡c �o¤n th¯ng �·u bà chia th nh ba ph¦n b¬ng nhau.

2.3 C¡c b i to¡n bê sung

22 (�ành lþ Ptoleme). Cho tù gi¡c lçi ABCD. Chùng minh r¬ng:N¸u tù gi¡c ABCD nëi ti¸p th¼ AB · CD + BC · AD = AC ·BD.

Gñi þ Tr¶n AC l§y E sao cho ABE = CBD.

23. Cho h¼nh b¼nh h nh ABCD. �÷íng trán (k) ct c¡c c¤nh AB, AD v �÷íng ch²o AC l¦nl÷ñt t¤i B′, D′ v C ′. Chùng minh r¬ng: AB′.AB + AD′.AD = AC ′.ACGñi þ: Sû döng �ành lþ ptoleme cho tù gi¡c nëi ti¸p AD′C ′B′ v ∆ADC v ∆B′D′C ′.

14

2.3 C¡c b i to¡n bê sung Sigma - MATHS

24. Cho tam gi¡c ABC câ 2BC = AB + AC. Gåi I l t¥m �÷íng trán nëi ti¸p, O l t¥m�÷íng trán ngo¤i ti¸p ∆ABC. Chùng minh r¬ng: AI⊥OI.Gñi þ: Sû döng �ành lþ ptoleme

25. Cho hai �iºm D v E n¬m tr¶n nûa �÷íng trán �÷íng k½nh AB. Düng h¼nh b¼nh h nhADCE. Chùng minh r¬ng DE⊥BC.Gñi þ: Ch¿ ra E l trüc t¥m cõa tam gi¡c BCD.

15

Sigma - MATHS

3 Chòm b i to¡n v· trüc t¥m

Trong ch÷ìng n y, chóng tæi x²t b i to¡n xung quanh mèi quan h» giúa trång t¥m, trüct¥m, t¥m �÷íng trán ngo¤i ti¸p v mët sè v§n �· li¶n quan.

3.1 Mæ h¼nh cì b£n

Cho tam gi¡c ABC nhån nëi ti¸p �÷íng trán (O;R). C¡c �÷íng cao AD, BE, CF ct nhaut¤i H. AD, BE, CF ct �÷íng trán (O,R) l¦n l÷ñt t¤i P, Q, R. Gåi M l trung �iºm cõaBC.

3.2 Khai th¡c mæ h¼nh

26. Chùng minh r¬ng tù gi¡c BFEC nëi ti¸p mët �÷íng trán.

27. Vîi c§u h¼nh cì b£n chùng minh r¬ng:

a) P �èi xùng vîi H qua BC, Q �èi xùng vîi H qua AC.

b) B¡n k½nh c¡c �÷íng trán ngo¤i ti¸p c¡c ∆AHB,∆AHC,∆BHC b¬ng nhau v b¬ng b¡nk½nh cõa (O).

28. Vîi c§u h¼nh cì b£n.

a) K²o d i AO ct �÷íng trán (O) t¤i K. Chùng minh r¬ng tù gi¡c BHCK l h¼nh b¼nhh nh.

b) Chùng minh r¬ng K, H, M th¯ng h ng.

29.

a) Chùng minh r¬ng: A l �iºm ch½nh giúa cung QR.

16

3.2 Khai th¡c mæ h¼nh Sigma - MATHS

b) Chùng minh r¬ng: EF//RQ.

c) Chùng minh r¬ng: OA⊥EF .

30 (�÷íng th¯ng Euler). Gåi G l trång t¥m cõa tam gi¡c ABC . Chùng minh r¬ng :H, G, Oth¯ng h ng ( �÷íng th¯ng �i qua H, G, O gåi l �÷íng th¯ng ìle ).

31.

a) Chùng minh r¬ng khi A chuyºn �ëng tr¶n cung BC lîn th¼ b¡n k½nh �÷íng trán ngo¤iti¸p tam gi¡c AEF khæng �êi.

b) T¼m và tr½ cõa A tr¶n cung BC lîn sao cho (DH ·DA) lîn nh§t.

32.

a) Chùng minh r¬ng : BH ·BE + CH · CF = BC2.

b) Chùng minh r¬ng : AH · AD + BH ·BE + CH · CF =AB2 + BC2 + AC2

2.

33. Chùng minh r¬ng H l t¥m �÷íng trán nëi ti¸p tam gi¡c EFD.

34. Khi gâc ABC = 600. Chùng minh r¬ng tam gi¡c MEF �·u.

35. Cho gâc BAC = 450.. T½nh di»n t½ch tam gi¡c MEF theo R.

36. Chùng minh r¬ngAR

AD+

BP

BE+

CQ

CF= 2.

37. �÷íng trán �÷íng k½nh AB ct CF t¤i M , �÷íng trán �÷íng k½nh AC ct BE t¤i N .Chùng minh r¬ng: AM = AN .

38. K´ �÷íng k½nh BOS, tø C k´ CT⊥BS. Chùng minh r¬ng : EF = CT .

39. Gåi I l trung �iºm cõa EF . Chùng minh r¬ng : OA · AI = AM ·MO.

40. T¼m và tr½ cõa A tr¶n cung BC lîn sao cho : EF + ED + FD �¤t gi¡ trà lîn nh§t.

41. Cho R l b¡n k½nh �÷íng trán ngo¤i ti¸p ∆ABC. Chùng minh r¬ng:

a) AB.AC = 2R.AD.

b) S =AB.BC.CA

4R.

42. �÷íng k½nh AK ct EF t¤i J . Chùng minh r¬ng tù gi¡c FJKB nëi ti¸p �÷íng trán.

43. Tø A k´ ti¸p tuy¸n AL,AN �¸n �÷íng trán ngo¤i ti¸p tù gi¡c BFCE. Chùng minh r¬ng:L,H,N th¯ng h ng.

44. B i to¡n câ thº mð rëng th nh b i to¡n sau: Cho �iºm M n¬m ngo i �÷íng trán (O), k´hai c¡t tuy¸n MBC (B n¬m giúa M v C) v MAD (A n¬m giúa M v D). Gåi H l giao�iºm cõa AC v BD. ML v MN l¦n l÷ñt l ti¸p tuy¸n cõa (O) t÷ìng ùng t¤i L v N . Chùngminh r¬ng: L, H, Nth¯ng h ng.

17

3.3 H÷îng d¨n gi£i ph¦n 3 Sigma - MATHS

3.3 H÷îng d¨n gi£i ph¦n 3

B i 26. �º þ BEC = BFC = 900.

B i 27.

a) Tù gi¡c ABDC nëi ti¸p, ta câ DBE = PAE ⇒ CBQ = PAC = PBC.

b) Chó þ: ∆BPC = ∆BHC; ∆CHA = ∆CQA; ∆AHB = ∆ARB.

B i 28.

a) Ta câ KB ⊥ AB; CF ⊥ AB ⇒ KB//CF ⇒ KB//CH. M°t kh¡c, KC ⊥ AC; BE ⊥AC ⇒ KC//BE ⇒ KC//BH. Vªy BHCK l h¼nh b¼nh h nh.

b) V¼ BHCK l h¼nh b¼nh h nh;M l trung �iºm cõa BC ⇒M trung �iºmKH ⇒K,M,Hth¯ng h ng.

18


B i 29.

a) X²t tù gi¡c nëi ti¸p BCEF câ ABQ = ACR = sd_EF . Suy ra AR = AQ.

b) Chùng minh EF l �÷íng trung b¼nh ∆HQR.

c) Theo c¥u a, OA ⊥ RQ, suy ra OA ⊥ EF .

B i 30.

X²t tam gi¡c AKH câ O l trung �iºm cõa AK, M l trung �iºm HK. Suy ra OM =1

2AH

⇒MG =1

2GA ⇒ AM ct OH t¤i G.

19


B i 31.

a) ∆AEF ngo¤i ti¸p �÷íng trán �÷íng k½nh AH. M AM = 2OM , OM cè �ành. Suy ra

b¡n k½nh1

2AH cè �ành.

b) DH ·DA = DP ·DA = DB ·DC ≤(BD + DC

2

)2

=1

4BC2.

D§u "=" x£y ra khi DB = DC.

B i 32.

a) ∆BDH v ∆BEC ⇒ BD

BE=

BH

BC⇒ BH ·BE = BD ·BC.

∆CDH v ∆CFB ⇒ CD

CF=

CH

CB⇒ CH · CF = CD · CB.

b) Chùng minh t÷ìng tü.

B i 33.+) FEB = FCB = BADBED (tù gi¡c ACDF nëi ti¸p).

+) EDA = EBA = ECF = FDA.Vªy DA v BE l c¡c �÷íng ph¥n gi¡c trong cõa tam gi¡c EFD.

20


B i 34.

Ta câ ABC = 600 ⇒ FCB = 300 = FEB.M l t¥m �÷íng trán ngo¤i ti¸p BCEF ⇒ EMF = 2FEB = 600; ME = MF ⇒ ∆MEF �·u.

B i 35.

∆AFC vuæng t¤i F , BAC = 450 ⇒ FCA = 450.

FCA =1

2EMF = 450 ⇒ EMF = 900. L¤i câ ME = MF ⇒ ∆MEF vuæng c¥n t¤i M .

Ta câ1

2BC = ME = MF =

R√

2

2.

21


S∆MEF =1

2ME ·MF =

1

2· R√

2

2· R√

2

2=

1

4R2.

B i 36.

Ta câAR

AD+

BP

BE+

CQ

CF=

AH

AD+

BH

BE+

CH

CF= 2.

M AH

AD=

AH ·BC

AD ·BC=

1

2AH · (BD + DC)

1

2AD ·BC

=S∆AHB + S∆AHC

S∆ABC

(1)

T÷ìng tü:BH

BE=

S∆BHC + S∆BHA

S∆ABC

(2)

CH

CF=

S∆CHA + S∆CHB

S∆ABC

(3)

Tø (1), (2), (3) ta câ:2S∆AHB + 2S∆AHC + 2S∆BHC

S∆ABC

=2S∆ABC

S∆ABC

= 2.

B i 37.

X²t ∆AMB câ AM2 = AF · AB; ∆ANC câ AN2 = AE · AC. M AF · AB = AE · AC(ph÷ìng t½ch cõa A vîi �÷íng trán ngo¤i ti¸p BCEF ) ⇒ AM = AN .

22


B i 38.

Ta câ ∆AFC v ∆OMB v¼ AFC = OMB = 900, FAC = MBO.

⇒ OBM = ACF ⇒ TBC = ECF ⇒_CT=

_EF⇒ CT = EF .

B i 39.

Chùng minh ∆AEF v ∆ABC. Câ I l trung �iºm EF , M l trung �iºm BC, AI v AMl hai trung tuy¸n t÷ìng ùng cõa hai tam gi¡c; �÷íng trán t¥m O ngo¤i ti¸p ∆ABC, AH l

�÷íng trán ngo¤i ti¸p ∆AEF . Suy raOA

AM=

12AH

AI=

MO

AI⇒ OA · AI = MO ·MA.

B i 40. Ta gåi W, Z t÷ìng ùng l h¼nh chi¸u cõa O tr¶n AB, AC. Chùng minh 2S∆ABC =OM.BC + OW.AC + OZ.AB.

B i 41. a) Chùng minh ∆ABD v ∆AKC ⇒ AB

AK=

AD

AC⇒ AB · AC = AD · AK. M

AK = 2R. Vªy ta câ �pcm.

b) Tø c¥u a ta câAD =AB · AC

2R; S∆ABC =

AD ·BC

2=

(AB · AC) ·BC

2 · 2R=

AB ·BC · CA

4R.

23


B i 42.

Ta câ BAK + BKA = 900. M BAK = BPA = sd_AB.

M°t kh¡c:AFJ = AFE

= AHE (tù gi¡c AEHF nëi ti¸p)= BHP (�èi �¿nh)= BPA (∆BHP c¥n t¤i B)

= BPD = sd_AB

Suy ra AFJ + F JA = 900 ⇒ ∆AJF vuæng t¤i J ⇒ AK⊥EF .Tù gi¡c FJKB câ FBK = F JK = 900 ⇒ FJKB nëi ti¸p �÷íng trán �÷íng k½nh FK.

B i 43. Gåi AM ct LN t¤i �iºm Z. Ta câ AZ ·AM = AN2 = AL2 = AE ·AC = AF ·AB ⇒∆AZE v ∆ACM v ∆AZF v ∆ABM . Suy ra AZE = ACM v AZF v ABM .M°t kh¡c, FZE = AZE+ AZF = MCE+MBF = FHE. Suy ra EZHF nëi ti¸p �÷íng trán�÷íng k½nh AH ⇒ HZA = 900 ⇒ L,H,Z,N th¯ng h ng.

24


B i 44. Chùng minh t÷ìng tü b i to¡n tr¶n.Möc �½ch cõa t i li»u �º luy»n thi n¶n chóng tæi khæng �i s¥u v o khai th¡c b i to¡n d÷îi d¤ngnghi¶n cùu, nh÷ng công gñi þ cho c¡c b¤n �¥y l mët �· t i thó và.

25

Sigma - MATHS

4 Chòm b i to¡n v· ph÷ìng t½ch

Trong ch÷ìng n y, chóng tæi bt �¦u vîi b i to¡n quen thuëc xoay quanh ki¸n thùc v·ph÷ìng t½ch v mët sè v§n �· li¶n quan.

4.1 Mæ h¼nh cì b£n

Cho �÷íng trán t¥m (O). Cho �iºm M n¬m ngo i (O), v³ c¡c ti¸p tuy¸n MA, MB v c¡ttuy¸n MCD tîi (O), vîi MC < MD. I l trung �iºm cõa CD. AB ct MO t¤i H.

4.2 Khai th¡c mæ h¼nh

45.

a) Chùng minh r¬ng: MA2 = MC.MD.

b) Chùng minh r¬ng OH.OM + MC.MD = MO2

c) Chùng minh r¬ng n«m �iºm M, A, I, O, B thuëc mët �÷íng trán.

d) IM l tia ph¥n gi¡c cõa AIB.

e) Gåi H1 l trüc t¥m ∆MAB. Chùng minh r¬ng �ë d i cõa H1A khæng phö thuëc v o vàtr½ cõa �iºm M.

46.

a) Chùng minh r¬ng: Tù gi¡c CHOD nëi ti¸p mët �÷íng trán.

b) HA l tia ph¥n gi¡c cõa CHD.

47. BI ct (O) t¤i Y ′. Chùng minh r¬ng: AY ′//MD.

48 (Tr½ch �· thi v o 10 H Nëi, 2013−2014). K´ �÷íng th¯ng d qua D, d//MO ct �÷íng k½nhAA′ t¤i Y . Chùng minh r¬ng: IY//A′C.

26


49. E l trung �iºm cõa MA. Gåi W l h¼nh chi¸u cõa E tr¶n MO. K´ WV l ti¸p tuy¸n vîi(O). Chùng minh r¬ng MV⊥V H.

50.

a) Gåi J giao �iºm cõaMO vîi (O). Chùng minh r¬ng J l t¥m �÷íng trán nëi ti¸p ∆MAB.

b) Gåi N l giao �iºm cõa AB v CD. Chùng minh r¬ng: Tù gi¡c OHNI nëi ti¸p mët�÷íng trán.

c) Chùng minh r¬ng: MA2 = MN.MI.

51. Ti¸p tuy¸n t¤i C v D cõa (O) ct nhau t¤i K. Tø K k´ �÷íng th¯ng vuæng gâc vîi MOct (O) t¤i A v B. Chùng minh MA v MB l ti¸p tuy¸n cõa (O).

52. Ti¸p tuy¸n t¤i C v D cõa (O) ct nhau t¤i K. Chùng minh r¬ng: A, B, K th¯ng h ng.

53. Tø mæ h¼nh cì b£n cho M, C, D cè �ành. �÷íng trán (O) nh÷ng luæn qua C v D. Chùngminh A, B luæn chuyºn �ëng tr¶n �÷íng trán cè �ành.

54. �÷íng th¯ng �i qua C v vuæng gâc vîi OA ct AB, AD l¦n l÷ñt t¤i A1 v A2. Chùngminh r¬ng CA1 = A1A2.

55. Gåi P l trung �iºm cõa MA, E l giao �iºm cõa BP vîi �÷íng trán (O). Tia ME ct�÷íng trán (O) t¤i F. Chùng minh r¬ng ∆MPE v ∆BPM. v BF//MA.

56. X¡c �ành và tr½ cõa �iºm M �º tù gi¡c AMBF l h¼nh b¼nh h nh.

57. Qua (O) k´ �÷íng th¯ng vuæng gâc vîi MO ct MA v MB t¤i P v Q. T¼m và tr½ cõaM �º di»n t½ch tam gi¡c MPQ nhä nh§t.

58 (Tr½ch �· thi tuyºn sinh v o 10 Ninh B¼nh 2017 − 2018). Ti¸p tuy¸n t¤i M cõa �÷íng trán(O) ct MA v MB t¤i E v F . Chùng minh r¬ng: POE = OFQ v PE + QF ≥ PQ.

59. AB ct OE v OF l¦n l÷ñt t¤i Q′ v P ′. Chùng minh r¬ng: T¥m �÷íng trán ngo¤i ti¸p∆OEF n¬m tr¶n �÷íng th¯ng cè �ành khi C di �ëng tr¶n cung AB.

4.3 H÷îng d¨n gi£i ph¦n 4

B i 45.

a) Chùng minh ∆MAC v ∆MDA

27


b) OH.OM = OA2, MC.MD = MA2.

c) L§y O′ l trung �iºm cõa MO. Chùng minh M, A, I, O, B thuëc mët �÷íng trán (O′).

d) Chùng minh AIM = MIB.

e) Chùng minh AOBH1 l h¼nh b¼nh h nh.

B i 46.

a) Do tam gi¡c MAB vuæng t¤i A n¶n MH.MO = MA2 m MA2 = MC.MD n¶nMH.MO = MC.MD.Do �â 4MHC �çng d¤ng vîi 4MDO n¶n CHM = CDO.

b) Ta câ DHO = DCO(gâc nëi ti¸p chn cung OD) m DCO = CDO (tam gi¡c OCD c¥n)n¶n DHO = CDO. Do CDO = CHM n¶n DHO = CHM .

B i 47.

Chùng minh MIB = MAB (gâc nëi ti¸p chn cung MB) m MAB = AY ′B suy ra AY ′B =

MIB n¶n AY ′//MD..

B i 48.

28


Chùng minh Ta câ IDY = OMI (do DY//MO) m OMI = OAI = Y AY n¶n tù gi¡cAY ID nëi ti¸p. Suy ra DIY = DAA′ m DAA′ = = DCA′ n¶n CA′//IY.

B i 49.

Chùng minhTa câ OV 2 + WV 2 = WO2 = (WH + HO)2 = WH2 + HO2 + 2WWH.HO = WH2 + HO2 +MH.HO = WH2 + HO2 + AH2 = WH2 + OA2. Suy ra OV 2 + WV 2 = WH2 + OA2. VªyWV = WH m E l trung �iºm cõa MA n¶n W l trung �iºm cõa MH n¶n tam gi¡c MVHvuæng t¤i V .

B i 50.

a) Chùng minh AJ l ph¥n gi¡c cõa gâc MAB . Thªt vªy, MAJ =1

2AOJ =

1

2BOJ = JAB.

b) Chùng minh NIO + NHO = 1800.

29


c) MI.MN = MO.MH (do HNIO l tù gi¡c nëi ti¸p) m MO.MH = MA2(do tam gi¡cMAO vuæng ) n¶n MA2 = MN.MI.

B i 51.

Chùng minh. Hiºn nhi¶n O, I,K th¯ng h ng v OA2 = OD2 = OI.OK. n¶n 4AOI �çng d¤ngtam gi¡c 4AOK n¶n IAO = OKA = OKH m OKH = IMO (hai gâc câ c¤nh t÷ìng ùngvuæng gâc ) n¶n IMO = IAO n¶n tù gi¡c MAIO nëi ti¸p. Vªy MAO = MIO = 900

B i 52.

Chùng minh K, H, A th¯ng h ng.Nhªn x²t: N¸u b i to¡n ph¡t biºu th nh Ti¸p tuy¸n t¤i C v D cõa (O) ct nhau t¤i K. Chùngminh r¬ng: K n¬m tr¶n �÷íng th¯ng cè �ành khi �÷íng th¯ng d thay �êi v thäa m¢n �· b i.

B i 53.

30


Chó þ �¯ng thùc MA2 = MB2 = MC.MD.

B i 54.

Chùng minh AI l �÷íng trung b¼nh cõa ∆CA2D

B i 55.

Chùng minh ∆MPE v ∆BPM .

B i 56.

31


Chùng minh ∆MAB �·u.

B i 57.

Chùng minh MP = MA + AP ≥√MA.AP = R.

B i 58.

Chùng minh POE = OFQ.

B i 59.

32


Gåi T l giao �iºm cõa �÷íng trán ngo¤i ti¸p ∆OEF vîi MO.Chùng minh OT l �÷íng k½nh cõa (OEF ).

33

h nh hÅc thi lÎp 10sigmaths.com/uploads/mxdoc/2018/02/08/tnkdk.pdf · 2018. 2. 8. · s³ d¹ d...

Documents