h. hofer, k. wysocki and e. zehnder- unknotted periodic orbits for reeb flows on the three-sphere

8/3/2019 H. Hofer, K. Wysocki and E. Zehnder- Unknotted Periodic Orbits for Reeb Flows on the Three-Sphere

1/23

U N K N O T T E D P E R I O D I C O R B I T S F O R R E E B F L O W S O N T H E

T H R E E - S P H E R E

H . H O F E R , K . W Y S O C K I , A N D E . Z E H N D E R

F o r L o u i s a n d P e t e r w i t h a d m i r a t i o n a n d g r a t i t u d e .

A b s t r a c t . I t i s w e l l k n o w n t h a t a R e e b v e c t o r e l d o n S

3

p o s s e s s e s a p e r i o d i c

s o l u t i o n . S h a r p e n i n g t h i s r e s u l t w e s h a l l s h o w i n t h i s n o t e t h a t e v e r y R e e b

v e c t o r e l d X o n S

3

p o s s e s s e s a p e r i o d i c o r b i t w h i c h i s u n k n o t t e d a n d h a s s e l f -

l i n k i n g n u m b e r e q u a l t o ? 1 . I f t h e c o n t a c t f o r m i s n o n - d e g e n e r a t e , t h e n t h e r e

i s e v e n a p e r i o d i c o r b i t P w h i c h , i n a d d i t i o n , h a s a n i n d e x ( P ) 2 f 2 ; 3 g , a n d

w h i c h s p a n s a n e m b e d d e d d i s c w h o s e i n t e r i o r i s t r a n s v e r s a l t o X . T h e p r o o f s

a r e b a s e d o n a t h e o r y f o r p a r t i a l d i e r e n t i a l e q u a t i o n s o f C a u c h y - R i e m a n n

t y p e f o r m a p s f r o m p u n c t u r e d R i e m a n n s u r f a c e s i n t o R S

3

, e q u i p p e d w i t h

s p e c i a l a l m o s t c o m p l e x s t r u c t u r e s r e l a t e d t o t h e c o n t a c t f o r m o n S

3

C o n t e n t s

1 . I n t r o d u c t i o n a n d r e s u l t s 1

2 . D e a l i n g w i t h t h e c o v e r i n g - n u m b e r 6

3 . P r o o f f o r o v e r t w i s t e d c o n t a c t s t r u c t u r e s 1 2

4 . P r o o f f o r t i g h t c o n t a c t s t r u c t u r e s 1 6

5 . T h e d e g e n e r a t e c a s e 2 0

R e f e r e n c e s 2 2

1 . I n t r o d u c t i o n a n d r e s u l t s

W e c o n s i d e r t h e t h r e e s p h e r e ( S

3

; ) e q u i p p e d w i t h a c o n t a c t f o r m . R e c a l l

t h a t , b y d e n i t i o n , a c o n t a c t f o r m i s a o n e - f o r m h a v i n g t h e p r o p e r t y t h a t d

i s a v o l u m e - f o r m . T h e t w o d i m e n s i o n a l k e r n e l , = k e r T S

3

, c o n s t i t u t e s t h e

c o n t a c t s t r u c t u r e d e n e d b y . T h e r e s t r i c t i o n o f d o n t o i s n o n - d e g e n e r a t e

s o t h a t ( ; d ) i s a s y m p l e c t i c p l a n e e l d . T h e c o n t a c t f o r m a l s o d e t e r m i n e s t h e

s o c a l l e d R e e b v e c t o r e l d X

= X . I t i s u n i q u e l y d e n e d b y

i

X

d = 0 a n d i

X

= 1 : ( 1 . 1 )

T h e R e e b v e c t o r e l d i s t r a n s v e r s a l t o t h e c o n t a c t s t r u c t u r e , s o t h a t t h e t a n g e n t

b u n d l e T S

3

n a t u r a l l y s p l i t s :

T S

3

= R X

: ( 1 . 2 )

1


2/23

2 H . H O F E R , K . W Y S O C K I , A N D E . Z E H N D E R

I f '

t

i s t h e o w o f X , t h e n ( '

t

)

= . C o n s e q u e n t l y , t h e l i n e a r i z e d o w T '

t

: T S

3

! T S

3

l e a v e s t h e s p l i t t i n g ( 1 . 2 ) i n v a r i a n t

T '

t

( m ) :

m

!

'

t

( m )

; ( 1 . 3 )

m o r e o v e r , t h e m a p i s s y m p l e c t i c w i t h r e s p e c t t o d .

A n o w h e r e v a n i s h i n g v e c t o r e l d o n S

3

n e e d n o t a d m i t p e r i o d i c s o l u t i o n s , s e e 1 6 ]

a n d 1 7 ] . H o w e v e r , e v e r y R e e b v e c t o r e l d o n S

3

p o s s e s s e s a p e r i o d i c s o l u t i o n , s e e

1 0 ] . T h e a i m o f t h i s n o t e i s t o p r o v e m o r e : e v e r y R e e b v e c t o r e l d o n S

3

p o s s e s s e s

a p e r i o d i c o r b i t w h i c h i s u n k n o t t e d a n d w h i c h h a s s o m e a d d i t i o n a l p r o p e r t i e s . I n

o r d e r t o f o r m u l a t e t h e r e s u l t s w e r s t i n t r o d u c e s o m e n o t a t i o n s .

A s s u m i n g S

3

t o b e e q u i p p e d w i t h a n o r i e n t a t i o n w e s h a l l c o n s i d e r o n l y c o n t a c t

f o r m s s a t i s f y i n g d > 0 . L e t X b e t h e a s s o c i a t e d R e e b v e c t o r e l d a n d

= k e r n ( ) t h e a s s o c i a t e d c o n t a c t s t r u c t u r e . W e r s t r e c a l l t h e c o n c e p t o f a s e l f -

l i n k i n g n u m b e r s l ( x ) 2 Z o f a n a d m i s s i b l e l o o p x : S

1

! S

3

. T h e l o o p x i s c a l l e d

a d m i s s i b l e i f i t h a s t h e f o l l o w i n g p r o p e r t i e s

x i s t r a n s v e r s a l t o a n d x = y

, ( 1 . 4 )

w h e r e y : S

1

! S

3

i s a n e m b e d d e d l o o p a n d : S

1

! S

1

i s a s m o o t h m a p . A

t y p i c a l e x a m p l e i s a p e r i o d i c o r b i t ( x ; T ) o f t h e R e e b v e c t o r e l d X . I n t h i s c a s e

t h e l o o p x

T

, d e n e d b y x

T

( e

2 i t

) = x ( T t ) i s a d m i s s i b l e . T h e i n t e g e r s l ( x ) f o r

a g i v e n a d m i s s i b l e l o o p x i s n o w d e n e d a s f o l l o w s . W e c h o o s e a s m o o t h m a p

u : D ! S

3

, w i t h t h e d i s c D = f z 2 C j j z j 1 g , s a t i s f y i n g

u j @ D = x ; @ D = S

1

:

T h e n w e c h o o s e a n o w h e r e v a n i s h i n g s e c t i o n Z o f u

. I t i n d u c e s a s e c t i o n a l o n g

x

n o w h e r e t a n g e n t t o x . N o w w e p u s h x i n t o t h e d i r e c t i o n o f Z t o o b t a i n a n e w

l o o p x

0

d i s j o i n t o f x . T h e l o o p s x a n d x

0

h a v e n a t u r a l o r i e n t a t i o n s i n d u c e d f r o m

t h e o r i e n t a t i o n o f S

1

a s t h e b o u n d a r y o f D . T h e o r i e n t e d i n t e r s e c t i o n n u m b e r o f x

0

w i t h u w i l l b e d e n o t e d b y s l ( x ) . S i n c e w e a r e o n S

3

, t h i s i n t e g e r d o e s n o t d e p e n d

o n t h e c h o i c e s i n v o l v e d a n d i s c a l l e d t h e s e l f - l i n k i n g n u m b e r o f t h e l o o p x .

I f x : R ! S

3

i s a T - p e r i o d i c s o l u t i o n o f _ x = X ( x ) f o r s o m e T > 0 , w e d e n e t h e

l o o p x

T

: S

1

! S

3

b y

x

T

( e

2 i t

) = x ( t T ) : ( 1 . 5 )

S i n c e x

T

i s t r a n s v e r s a l t o w e c a n d e n e t h e s e l f - l i n k i n g n u m b e r s l ( x ; T ) i n t h e

o b v i o u s w a y . T h e s m a l l e s t p o s i t i v e n u m b e r T

0

s a t i s f y i n g x ( T

0

) = x ( 0 ) i s c a l l e d t h e

m i n i m a l p e r i o d o f x . T h e p o s i t i v e i n t e g e r T = T

0

i s c a l l e d t h e c o v e r i n g n u m b e r o f t h e

p e r i o d i c s o l u t i o n ( x ; T ) a n d a b b r e v i a t e d i n t h e f o l l o w i n g b y c o v ( x ; T ) . T h e i m a g e

o f a p e r i o d i c s o l u t i o n ( x ; T ) w i l l b e d e n o t e d b y P

x

; i t i s a n e m b e d d e d c i r c l e i n S

3

.

P

x

h a s a n a t u r a l o r i e n t a t i o n a n d w e d e n e t h e s e l f - l i n k i n g n u m b e r s l ( P

x

) b y

s l ( P

x

) = s l ( x ; T

0

) : ( 1 . 6 )

A p e r i o d i c o r b i t ( x ; T ) i s c a l l e d u n k n o t t e d i f T = T

0

a n d i f P

x

i s t h e b o u n d a r y o f

a n e m b e d d e d d i s c . S i n c e i n t h i s c a s e w e c a n i d e n t i f y P

x

a n d ( x ; T

0

) w e w i l l j u s t s a y

t h a t P

x

i s u n k n o t t e d . I t w i l l a l s o b e c o n v e n i e n t i n t h e f o l l o w i n g t o d e n o t e b y P a

p e r i o d i c o r b i t w h o s e p e r i o d i s m i n i m a l . W i t h t h e s e n o t a t i o n s o u r r s t r e s u l t i s t h e

f o l l o w i n g .


3/23

U N K N O T T E D P E R I O D I C O R B I T S F O R R E E B F L O W S O N T H E T H R E E - S P H E R E 3

T h e o r e m 1 . 1 . I f i s a n y c o n t a c t f o r m o n S

3

, t h e a s s o c i a t e d R e e b v e c t o r e l d

X p o s s e s s e s a p e r i o d i c o r b i t P w h i c h i s u n k n o t t e d a n d h a s s e l f - l i n k i n g n u m b e r

s l ( P ) = ? 1 .

W e w o u l d l i k e t o m e n t i o n a n a p p l i c a t i o n t o H a m i l t o n i a n v e c t o r e l d s X

H

i n

( R

4

; !

0

) , w i t h t h e s t a n d a r d s y m p l e c t i c f o r m !

0

. O n a r e g u l a r e n e r g y s u r f a c e S =

f x 2 R

4

j H ( x ) = c o n s t g t h e o w l i n e s o f X

H

a r e t h e i n t e g r a l c u r v e s o f t h e

c a n o n i c a l l i n e b u n d l e k e r n e l ( !

0

j S ) T S . A s s u m i n g t h e h y p e r s u r f a c e S t o

b e o f c o n t a c t t y p e a n d d i e o m o r p h i c t o S

3

w e c o n c l u d e f r o m t h e o r e m 1 . 1 t h a t

S c a r r i e s a n u n k n o t t e d p e r i o d i c o r b i t . W e a l s o c o n c l u d e f r o m t h e o r e m 1 . 1 t h a t

t h e r e a r e s p h e r e l i k e h y p e r s u r f a c e s i n R

4

o n w h i c h t h e H a m i l t o n i a n o w c a n n o t

b e c o n j u g a t e d t o a R e e b o w . I n d e e d , K . C i e l i e b a k c o n s t r u c t e d i n 3 ] s p h e r e l i k e

h y p e r s u r f a c e s S ( R

4

; !

0

) w h o s e H a m i l t o n i a n o w s h a v e o n l y k n o t t e d p e r i o d i c

o r b i t s . I n h i s c o n s t r u c t i o n , t h e h y p e r s u r f a c e S i s e v e n o f c o n f o l i a t i o n t y p e , t h a t i s ,

t h e r e e x i s t s a o n e - f o r m o n S s a t i s f y i n g !

0

j S = d a n d d 0 ( i n c o n t r a s t

t o t h e c o n t a c t c o n d i t i o n d > 0 ) . S i n c e e v e r y c o m p a c t t h r e e m a n i f o l d a d m i t s

c o n t a c t f o r m s , t h e o r e m 1 . 1 a n d a l s o t h e o r e m 1 . 4 b e l o w g i v e n e c e s s a r y c o n d i t i o n s

f o r a 3 - m a n i f o l d t o b e d i e o m o r p h i c t o S

3

. F o r a c h a r a c t e r i z a t i o n o f t h e t i g h t S

3

w e r e f e r t o 1 1 ] .

W e n e x t r e s t r i c t t h e c l a s s o f c o n t a c t f o r m s u n d e r c o n s i d e r a t i o n . W e c a l l t h e

c o n t a c t f o r m n o n - d e g e n e r a t e i f a l l t h e p e r i o d i c o r b i t s ( x ; T ) o f t h e a s s o c i a t e d

R e e b v e c t o r e l d s a r e n o n - d e g e n e r a t e . T h i s r e q u i r e s , t a k i n g a t r a n s v e r s a l s e c t i o n

o f P

x

, t h a t t h e l i n e a r i s a t i o n s o f t h e P o i n c a r e s e c t i o n m a p a n d a l l i t s i t e r a t e s d o n o t

c o n t a i n 1 i n t h e i r s p e c t r a . T h e r e a r e m a n y n o n - d e g e n e r a t e c o n t a c t f o r m s a s t h e

f o l l o w i n g r e s u l t f r o m 1 2 ] s h o w s .

P r o p o s i t i o n 1 . 2 . F i x a c o n t a c t f o r m o n S

3

. T h e r e e x i s t s a d e n s e s e t R

C

1

( S

3

; ( 0 ; 1 ) ) s o t h a t f o r e v e r y f 2 R t h e c o n t a c t f o r m f i s n o n - d e g e n e r a t e .

W i t h a n o n - d e g e n e r a t e p e r i o d i c o r b i t ( x ; T ) o f a R e e b v e c t o r e l d X o n S

3

w e

c a n a s s o c i a t e a n o t h e r i n t e g e r - v a l u e d i n d e x a s f o l l o w s . A g a i n w e t a k e a d i s c m a p

u : D ! S

3

e x t e n d i n g x

T

a n d c h o o s e a n o w h e r e v a n i s h i n g s e c t i o n Z o f u

. T h i s

s e c t i o n c a n b e u s e d t o d e n e a s y m p l e c t i c t r i v i a l i z a t i o n o f u

. T h i s w a y w e o b t a i n

a s m o o t h f a m i l y o f s y m p l e c t i c m a p s ( z ) :

x

T

( z )

! C , f o r z 2 S

1

= @ D . I f '

t

i s

t h e o w o f X , t h e m a p s

L ( t ) : = T '

t

( x ( 0 ) ) j

x ( 0 )

:

x ( 0 )

!

x ( t )

( 1 . 7 )

a r e s y m p l e c t i c a n d w e d e n e

L ( t ) = ( e

2 i t

)

L ( t T ) ( 1 )

? 1

; 0 t 1 : ( 1 . 8 )

T h i s i s a n a r c o f l i n e a r s y m p l e c t i c m a p s i n C s t a r t i n g a t t h e I d e n t i t y a t t i m e t = 0

a n d e n d i n g a t t i m e t = 1 a t a s y m p l e c t i c m a p w h i c h d o e s n o t h a v e 1 i n i t s s p e c t r u m .

F o r s u c h a r c s L ( t ) o n e c a n d e n e a M a s l o v - t y p e i n d e x a s f o l l o w s .

D e n o t e b y t h e c o l l e c t i o n o f a l l a r c s o f l i n e a r s y m p l e c t i c m a p s : 0 ; 1 ] ! S p ( 1 )

s t a r t i n g a t I d a n d s a t i s f y i n g 1 62 ( ( 1 ) ) . D e n o t e b y G t h e s e t o f s m o o t h a r c s

s t a r t i n g a n d e n d i n g a t I d . T h e h o m o t o p y c l a s s e s i n G r e p r e s e n t

1

( S p ( 1 ) ) . W e

o b s e r v e t h a t G o p e r a t e s o n v i a

G ! : ( ; ) 7! ;


4/23


w h e r e ( ) ( t ) = ( t ) ( t ) . G i v e n 2 w e d e n e t h e a r c

? 1

2 b y

? 1

( t ) =

( t )

? 1

. W e r e c a l l t h a t t h e r e i s a n a t u r a l i s o m o r p h i s m

M

:

1

( S p ( 1 ) ) ! Z , c a l l e d

M a s l o v i s o m o r p h i s m , m a p p i n g t h e l o o p t ! e

2 i t

I d ] o n t o 1 . T h i s i n d u c e s a h o -

m o t o p y i n v a r i a n t m a p

M

: G ! Z . T h e f o l l o w i n g p r o p o s i t i o n i s a s p e c i a l c a s e o f

a r e s u l t i n 1 4 ] .

P r o p o s i t i o n 1 . 3 . T h e r e e x i s t s a u n i q u e m a p : ! Z h a v i n g t h e f o l l o w i n g p r o p -

e r t i e s :

i s h o m o t o p y i n v a r i a n t .

F o r 2 a n d 2 G w e h a v e ( ) = ( ) + 2

M

( ) .

( ) + (

? 1

) = 0 .

( ) = 1 f o r t h e a r c ( t ) = e

i t

I d ; t 2 0 ; 1 ] .

T h e i n d e x ( x ; T ) 2 Z o f a n o n - d e g e n e r a t e p e r i o d i c o r b i t ( x ; T ) o f t h e R e e b

v e c t o r e l d X a s s o c i a t e d w i t h o n S

3

i s d e n e d b y ( x ; T ) = ( L ) , w h e r e L 2 i s

t h e s y m p l e c t i c a r c i n t r o d u c e d i n ( 1 . 8 ) a b o v e . S i n c e w e a r e o n S

3

, t h e d e n i t i o n d o e s

n o t d e p e n d o n t h e c h o i c e s i n v o l v e d i n t h e c o n s t r u c t i o n . R e c a l l t h a t i f T = T

0

i s t h e

m i n i m a l p e r i o d , w e c a n i d e n t i f y ( x ; T

0

) a n d P

x

. O u r s e c o n d r e s u l t i s a s f o l l o w s .

T h e o r e m 1 . 4 . A s s u m e t h e c o n t a c t f o r m o n S

3

i s n o n - d e g e n e r a t e . T h e n t h e

a s s o c i a t e d R e e b v e c t o r e l d X p o s s e s s e s a n u n k n o t t e d p e r i o d i c o r b i t P h a v i n g t h e

f o l l o w i n g p r o p e r t i e s . T h e o r b i t P s p a n s a n e m b e d d e d d i s c w h o s e i n t e r i o r i s t r a n s v e r -

s a l t o X . M o r e o v e r , P h a s s e l f - l i n k i n g n u m b e r s l ( P ) = ? 1 a n d i n d e x ( P ) 2 f 2 ; 3 g .

I f t h e c o n t a c t f o r m i s o v e r t w i s t e d w e n d a n u n k n o t t e d p e r i o d i c o r b i t P w i t h s e l f -

l i n k i n g n u m b e r ? 1 a n d i n d e x ( P ) = 2 .

I t i s a n o p e n q u e s t i o n w h e t h e r f o r a n o n - d e g e n e r a t e t i g h t c o n t a c t f o r m t h e r e

a l w a y s e x i s t s a n u n k n o t t e d p e r i o d i c o r b i t P h a v i n g s e l f - l i n k i n g n u m b e r ? 1 a n d

i n d e x ( P ) = 3 . W e p o i n t o u t t h a t i f ( P ) = 3 i n t h e o r e m 1 . 4 a n d i f , m o r e o v e r ,

t h e p e r i o d T

0

i s m i n i m a l a m o n g a l l p e r i o d i c s o l u t i o n s o f X t h e n t h e p e r i o d i c o r b i t

P i s t h e b i n d i n g o r b i t o f a n o p e n b o o k d e c o m p o s i t i o n o f S

3

i n t o s p e c i a l e m b e d d e d

p l a n e s . E v e r y p l a n e o f t h i s d e c o m p o s i t i o n i s a g l o b a l s u r f a c e o f s e c t i o n f o r t h e R e e b

o w o n S

3

n P . I t f o l l o w s t h a t t h e c o n t a c t s t r u c t u r e c o n s i d e r e d i s t i g h t . T h i s i s

a s p e c i a l c a s e o f r e s u l t s i n 1 1 ] a n d 1 2 ] .

I n o r d e r t o p r o v e t h e o r e m 1 . 1 a n d t h e o r e m 1 . 4 w e n e e d s o m e r e s u l t s o n p s e u d o -

h o l o m o r p h i c c u r v e s d e s c r i b e d n e x t . W e c o n s i d e r a c o m p a c t t h r e e - m a n i f o l d e q u i p p e d

w i t h t h e c o n t a c t f o r m , a s s o c i a t e d c o n t a c t s t r u c t u r e a n d R e e b v e c t o r e l d X . W e

n o w c h o o s e a n a l m o s t c o m p l e x s t r u c t u r e J : ! c o m p a t i b l e w i t h t h e s y m p l e c t i c

s t r u c t u r e d o n i n t h e s e n s e t h a t ( h ; k ) ! d ( h ; J k ) d e n e s a n i n n e r p r o d u c t

o n . O n t h e f o u r - m a n i f o l d R S

3

w e n e x t d e n e a s p e c i a l , R - i n v a r i a n t a l m o s t

c o m p l e x s t r u c t u r e a s s o c i a t e d w i t h a n d J a s f o l l o w s .

~

J ( a ; m ) ( h ; k ) = ( ? ( m ) ( k ) ; J ( m ) k + h X ( m ) ) ; ( 1 . 9 )

w h e r e : T M = R X ! i s t h e p r o j e c t i o n a l o n g X a n d ( h ; k ) 2 T

( a ; m )

( R S

3

) .

A n i t e e n e r g y p l a n e i s a s m o o t h m a p ~ u = ( a ; u ) : C ! R M s a t i s f y i n g , i n t h e

c o o r d i n a t e s z = s + i t , t h e f o l l o w i n g p a r t i a l d i e r e n t i a l e q u a t i o n o f C a u c h y - R i e m a n n

t y p e :

~u

s

+

~

J ( ~u ) ~u

t

= 0 ; ( 1 . 1 0 )


5/23


a n d t h e e n e r g y r e q u i r e m e n t 0 < E ( ~u )


6/23


i s a n i n j e c t i v e i m m e r s i o n . T h e n e v e r y a s y m p t o t i c l i m i t ( x ; T ) o f ~u i s s i m p l y c o v e r e d ,

c o v ( x ; T ) = 1 . T h e s e l f - l i n k i n g n u m b e r o f ( x ; T ) i s s l ( x ; T ) = ? 1 . M o r e o v e r ,

P

x

= x ( R ) i s u n k n o t t e d a n d P

x

\ u ( C ) = ; .

O u r m a i n r e s u l t ( T h e o r e m 1 . 1 ) w i l l f o l l o w i m m e d i a t e l y f r o m T h e o r e m 1 . 7 a n d

P r o p o s i t i o n 1 . 5 i n v i e w o f t h e f o l l o w i n g e x i s t e n c e r e s u l t .

T h e o r e m 1 . 8 . L e t b e a c o n t a c t f o r m o n S

3

a n d J a c o m p a t i b l e a l m o s t c o m p l e x

s t r u c t u r e o n t h e a s s o c i a t e d c o n t a c t s t r u c t u r e . T h e n t h e r e e x i s t s a n o n - c o n s t a n t

n i t e e n e r g y p l a n e ~u : = ( a ; u ) : C ! R S

3

s u c h t h a t u i s a n i n j e c t i v e i m m e r s i o n .

T h e p r o o f s o f t h e t h e o r e m s w i l l b e b a s e d o n t h e t e c h n i q u e s o f p s e u d o h o l o m o r p h i c

c u r v e s i n s y m p l e c t i z a t i o n s o f c o n t a c t m a n i f o l d s d e v e l o p p e d i n 1 0 ] { 1 5 ] .

2 . D e a l i n g w i t h t h e c o v e r i n g - n u m b e r

T h e a i m o f t h i s s e c t i o n i s t o p r o v e T h e o r e m 1 . 6 a n d T h e o r e m 1 . 7 o f t h e i n t r o -

d u c t i o n .

T h e o r e m 2 . 1 . A s s u m e ~u : = ( a ; u ) : C ! R S

3

i s a n e m b e d d e d n i t e e n e r g y p l a n e

w i t h n o n - d e g e n e r a t e a s y m p t o t i c l i m i t ( x ; T ) . I f ( ~u ) 3 t h e n u ( C ) \ P

x

= ; a n d

u : C ! M n P

x

i s a n e m b e d d i n g t r a n s v e r s a l t o t h e R e e b v e c t o r e l d X .

W e b e g i n t h e p r o o f w i t h

L e m m a 2 . 2 . A s s u m e t h e n i t e e n e r g y p l a n e ~u : = ( a ; u ) : C ! R S

3

i s n o n -

d e g e n e r a t e a n d s a t i s e s ( ~u ) 3 . I f R > 0 i s s u c i e n t l y l a r g e ,

u : C n B

R

! S

3

n P

x

a n d i s a n e m b e d d i n g .

P r o o f . S e t t i n g z = e

2 ( s + i t )

w e k n o w f r o m p r o p o s i t i o n 1 . 5 t h a t u ( s ; t ) : = u ( e

2 ( s + i t )

)

! x ( T t ) a s s ! 1 a n d w e c a n s t u d y t h e m a p u i n t h e c o n v e n i e n t l o c a l c o o r d i n a t e s

S

1

R

2

o f a t u b u l a r n e i g h b o r h o o d o f P = P

x

S

3

i n t r o d u c e d i n 1 3 ] . I n t h e s e

c o o r d i n a t e s S

1

f 0 g c o r r e s p o n d s t o P a n d f 0 g R

2

R R

2

c o r r e s p o n d s t o t h e

c o n t a c t p l a n e s a l o n g P . F o r t h e p e r i o d w e h a v e T = k T

0

w h e r e k = c o v ( x ; T ) . W e

s e t t h e m i n i m a l p e r i o d T

0

= 1 f o r n o t a t i o n a l c o n v e n i e n c e . W o r k i n g i n t h e c o v e r i n g

s p a c e R o f S

1

= R = Z t h e m a p ~ u : R

2

! R R R

2

h a s t h e f o l l o w i n g p r e s e n t a t i o n

i n t h e s e l o c a l c o o r d i n a t e s , w h e r e s s

0

i s l a r g e :

~u ( s ; t ) = ( a ( s ; t ) ; # ( s ; t ) ; z ( s ; t ) ) ( 2 . 1 )

a n d

a ( s ; t ) = s + a

0

+ ( s ; t )

# ( s ; t ) = k t + ( s ; t )

z ( s ; t ) = e

R

s

s

0

( ) d

e ( t ) + r ( s ; t )

:

( 2 . 2 )

T h e f u n c t i o n s ; a n d r a r e p e r i o d i c i n t o f p e r i o d 1 . M o r e o v e r , a s s ! 1 ,

r ( s ; t ) ! 0 w i t h a l l i t s d e r i v a t i v e s , u n i f o r m l y i n t . T h e f u n c t i o n s a n d c o n v e r g e

e x p o n e n t i a l l y f a s t t o z e r o t o g e t h e r w i t h a l l t h e i r d e r i v a t i v e s . I n a d d i t i o n , ( s ) ! ,

w h e r e i s a n e g a t i v e e i g e n v a l u e w i t h n o r m a l i z e d e i g e n f u n c t i o n e ( t ) = e ( t + 1 ) 2 R

2

o f a l i n e a r s e l f a d j o i n t o p e r a t o r . I t i s o f t h e f o r m h 7! ? J ( t )

_

h ? A ( t ) h i n L

2

( S

1

; R

2

)


7/23


o n t h e d o m a i n H

1 ; 2

( S

1

; R

2

) . C l e a r l y e ( t ) 6= 0 . T h e m a t r i x f u n c t i o n s A ( t ) a n d

J ( t ) a r e p e r i o d i c i n t w i t h p e r i o d

1

k

. I n a b s t r a c t t e r m s o n e m a y c o n s i d e r e a s a

d i s t i n g u i s h e d s e c t i o n o f x

T

s o t h a t e ( t ) 2

x ( k t )

. F o r d e t a i l s w e r e f e r t o 1 3 ] .

C o n s i d e r i n g t h e e i g e n f u n c t i o n e ( t ) w e a s s u m e t h a t 1 j k i s t h e s m a l l e s t

i n t e g e r s a t i s f y i n g

e ( 0 ) = e

?

j

k

f o r s o m e > 0 ( 2 . 3 )

a n d s h o w t h a t

j

k

=

1

l

( 2 . 4 )

f o r a n i n t e g e r l a n d

e ( t ) = e

?

t +

1

l

; t 2 R : ( 2 . 5 )

S i n c e e ( t ) i s a n e i g e n f u n c t i o n o f a r s t o r d e r d i e r e n t i a l e q u a t i o n w h o s e c o e c i e n t s

a r e

1

k

- p e r i o d i c w e c o n c l u d e f o r m ( 2 . 3 ) t h a t e ( t ) = e (

j

k

+ t ) s o t h a t e ( t ) =

m

e ( m

j

k

+

t ) f o r e v e r y i n t e g e r m a n d t 2 R . S e t t i n g m = k a n d r e c a l l i n g e ( t + 1 ) = e ( t ) w e

c o n c l u d e f r o m e ( t ) =

k

e ( t ) t h a t = 1 . I t r e m a i n s t o v e r i f y t h a t

k

j

i s a n i n t e g e r .

A r g u i n g b y c o n t r a d i c t i o n w e a s s u m e

k

j

= l +

r

j

a n d 1 r j ? 1 . T h e n l

j

k

= 1 ?

r

k

a n d

e ( t ) = e ( l

j

k

+ t ) = e ( 1 ?

r

k

+ t ) = e ( ?

r

k

+ t ) :

S e t t i n g t =

r

k

w e o b t a i n e ( 0 ) = e (

r

k

) c o n t r a d i c t i n g t h e c h o i c e o f t h e i n t e g e r j , w h i c h

i s t h e s m a l l e s t s u c h i n t e g e r . H e n c e ( 2 . 4 ) a n d ( 2 . 5 ) a r e p r o v e d .

W e n e x t s h o w t h a t t h e a s s u m p t i o n ( ~u ) 3 i m p l i e s t h a t l = 1 . W e r e c a l l t h e

d e n i t i o n o f t h e w i n d i n g n u m b e r w i n d

1

( ~u ) 2 Z a s s o c i a t e d w i t h a n o n - d e g e n e r a t e

n i t e e n e r g y p l a n e ~ u , i n t r o d u c e d i n 1 4 ] . R e c a l l i n g t h a t T S

3

= R X w e t a k e t h e

t u b u l a r n e i g h b o r h o o d V = ( U ) o f t h e p e r i o d i c o r b i t P , w h e r e i s a d i e o m o r -

p h i s m

: U j P ! V = ( U ) S

3

( 2 . 6 )

o f a n e i g h b o r h o o d U o f t h e z e r o s e c t i o n o f j P s a t i s f y i n g , a t e v e r y p 2 P , t h a t

( 0

p

) = p . M o r e o v e r , t h e b r e w i s e d e r i v a t i v e o f a t 0

p

i s t h e i n c l u s i o n o f

p

i n t o

T

p

S

3

. F o r l a r g e s w e c a n r e p r e s e n t u ( s ; t ) u n i q u e l y a s

u ( s ; t ) = ( x ( k ( s ; t ) ) ; w ( s ; t ) ) ; ( 2 . 7 )

w i t h w ( s ; t ) 2

x ( k ( s ; t ) )

. T h e f u n c t i o n s a t i s e s ( s ; t + 1 ) = ( s ; t ) + 1 a n d

( s ; t ) ! t a s s ! 1 . W e o b t a i n t h e d i s t i n g u i s h e d n o w h e r e v a n i s h i n g s e c t i o n v o f

x

T

b y

v ( t ) = l i m

s ! 1

w ( s ; t )

j w ( s ; t ) j

2

x ( k t )

: ( 2 . 8 )

L e t D = f z j j z j 1 g a n d c h o o s e a d i s c m a p ' : D ! S

3

s a t i s f y i n g ' ( e

2 i t

) = x ( k t ) .

T h e n c h o o s e a n o w h e r e v a n i s h i n g s e c t i o n Z o f '

s o t h a t 0 6= Z ( z ) 2

' ( z )

. T h e

w i n d i n g n u m b e r o f ~ u i s d e n e d a s

w i n d

1

( ~u ) = w i n d

?

v j 0 ; 1 ] ; Z j 0 ; 1 ]

= w i n d ( f ) : ( 2 . 9 )

H e r e , w i n d ( f ) 2 Z i s t h e w i n d i n g n u m b e r o f t h e f u n c t i o n f : S

1

! C n f 0 g d e n e d

b y v ( t ) = f ( t ) Z ( t ) 2

x ( k t )

, w h e r e 0 t 1 . T h e c o m p l e x m u l t i p l i c a t i o n i n i s


8/23


d e n e d b y t h e a l m o s t c o m p l e x s t r u c t u r e J . I n v i e w o f i t s h o m o t o p y i n v a r i a n c e , t h e

i n t e g e r w i n d

1

( ~u ) d o e s n o t d e p e n d o n t h e c h o i c e o f t h e n o n - v a n i s h i n g s e c t i o n Z o f

'

, a n d s i n c e w e a r e o n S

3

i t i s a l s o i n d e p e n d e n t o f t h e c h o i c e o f t h e d i s c m a p '

s a t i s f y i n g ' ( e

2 i t

) = x ( k t ) . I n p a r t i c u l a r , w e c a n h o m o t o p e ' t o a s p e c i a l d i s c m a p

g i v e n b y ( z ) =

0

( z

k

) , w h e r e

0

: D ! S

3

s a t i s e s

0

( e

2 i t

) = x ( t ) . T h i s w a y

w e n d a s e c t i o n Z o f

s a t i s f y i n g , i n a d d i t i o n , Z ( t ) = Z ( t +

1

k

) . O b s e r v e t h a t ,

i n t h e l o c a l c o o r d i n a t e s ( 2 . 2 ) , w e h a v e v ( t ) = ( t ) e ( t ) w i t h 0 6= ( t ) 2 R . S i n c e

w i n d ( f ) = w i n d ( f ) w e c o n c l u d e f r o m e ( t +

1

l

) = e ( t ) a n d

1

l

= j

1

k

t h a t

w i n d ( v j 0 ; 1 ] ; Z j 0 ; 1 ] ) = l w i n d

?

v j 0 ;

1

l

] ; Z j 0 ;

1

l

]

: ( 2 . 1 0 )

T h e i n v a r i a n t s w i n d

1

( ~u ) a n d ( ~u ) c a n b e c o m p a r e d w i t h e a c h o t h e r i n a s y m p l e c t i c

t r i v i a l i s a t i o n o f '

. O n e n d s 0 w i n d

1

( ~u ) ? 1

1

2

( ~u ) ? 1 , s e e 1 4 ] . C o n s e -

q u e n t l y , t h e a s s u m p t i o n ( ~u ) 3 i m p l i e s w i n d

1

( ~u ) = 1 a n d w e c o n c l u d e t h a t b o t h

i n t e g e r s o n t h e r i g h t h a n d s i d e o f ( 2 . 1 0 ) a r e e q u a l t o 1 . I n p a r t i c u l a r , l = 1 a n d w e

h a v e p r o v e d t h a t , i f ( ~u ) 3 , t h e n

e ( t +

j

k

) 6= e ( t ) ( 2 . 1 1 )

f o r a l l t 2 R , > 0 a n d 1 j k ? 1 .

F r o m t h e a s y m p t o t i c f o r m u l a ( 2 . 2 ) o n e e a s i l y d e d u c e s f o r l a r g e R t h a t u ( C n

B

R

) \ P = ; a n d u : C n B

R

! S

3

n P i s a n i m m e r s i o n , w e r e f e r t o 1 3 ] f o r a p r o o f .

W e s h a l l s h o w t h a t u j C n B

R

i s i n j e c t i v e . A r g u i n g b y c o n t r a d i c t i o n w e a s s u m e

u ( s

j

; t

j

) = u ( s

0

j

; t

0

j

) ( 2 . 1 2 )

f o r s e q u e n c e s s a t i s f y i n g

( s

j

; t

j

) 6= ( s

0

j

; t

0

j

) a n d s

j

! 1 ; s

0

j

! 1 : ( 2 . 1 3 )

I n v i e w o f t h e p e r i o d i c i t y i n t w e m a y a s s u m e t

j

! t

2 0 ; 1 ) a n d t

0

j

! t

0

2 0 ; 1 ) .

S i n c e # ( s

j

; t

j

) = # ( s

0

j

; t

0

j

) m o d 1 w e d e d u c e f r o m ( 2 . 2 ) , a s j ! 1 , t h a t k ( t

? t

0

) =

0 m o d 1 s o t h a t

t

? t

0

=

j

k

a n d j 2 f 0 ; 1 ; : : : ; k ? 1 g :

S i n c e z ( s

j

; t

j

) = z ( s

0

j

; t

0

j

) w e c o n c l u d e f r o m ( 2 . 2 ) , a s j ! 1 , t h a t e ( t

) = e ( t

+

j

k

) ,

f o r s o m e > 0 . C o n s e q u e n t l y , b y ( 2 . 1 1 ) , w e n d j = 0 a n d = 1 s o t h a t t

= t

0

.

T a k i n g n o r m s , k z ( s

j

; t

j

) k = k z ( s

0

j

; t

0

j

) k , w e d e d u c e f r o m ( 2 . 2 ) t h a t s

j

? s

0

j

! 0 .

S u m m a r i z i n g ,

s

j

? s

0

j

! 0 a n d t

j

? t

0

j

! 0 : ( 2 . 1 4 )

S i n c e u i s a n i m m e r s i o n o n e c o n c l u d e s f r o m ( 2 . 2 ) , ( 2 . 1 4 ) a n d u ( s

j

; t

j

) = u ( s

0

j

; t

0

j

)

t h a t ( s

j

; t

j

) = ( s

0

j

; t

0

j

) , i f j i s l a r g e , c o n t r a d i c t i n g ( 2 . 1 3 ) . W e h a v e p r o v e d t h a t

u : C n B

R

! S

3

n P i s a n i n j e c t i v e i m m e r s i o n f o r R s u c i e n t l y l a r g e . I n v i e w o f

t h e a s y m p t o t i c b e h a v i o u r ( 2 . 2 ) i t m u s t b e a n e m b e d d i n g . T h e p r o o f o f L e m m a 2 . 2

i s c o m p l e t e .

L e m m a 2 . 3 . A s s u m e ~u : = ( a ; u ) : C ! R S

3

i s a n i n j e c t i v e , n o n - d e g e n e r a t e

n i t e e n e r g y p l a n e s a t i s f y i n g ( ~u ) 3 . T h e n

~u

c

( C ) \ ~u ( C ) = ; ; c 6= 0 ;

w h e r e ~u

c

( z ) = ( a ( z ) + c ; u ( z ) ) .


9/23


P r o o f . G i v e n 0 < r

0

< r

1

t h e r e e x i s t s a n R

1

> 0 s u c h t h a t f o r a l l R R

1

t h e

f o l l o w i n g h o l d s t r u e . I f z ; z

0

2 C s a t i s f y j z j = R , j z

0

j R , t h e n ~ u

c

( z ) 6= ~u ( z

0

) f o r

e v e r y c 2 R i n r

0

j c j r

1

. I n d e e d , a r g u i n g i n d i r e c t l y w e n d a s e q u e n c e c

j

i n

r

0

j c

j

j r

1

, s e q u e n c e s z

j

; z

0

j

w i t h j z

0

j

j j z

j

j a n d j z

j

j ! 1 s a t s i f y i n g

~u

c

j

( z

j

) = ~u ( z

0

j

) : ( 2 . 1 5 )

O u t s i d e a l a r g e b a l l B

R

0

t h e m a p u i s a n e m b e d d i n g , i n v i e w o f L e m m a 2 . 2 . T h e r e -

f o r e , w e m a y a s s u m e t h a t j z

0

j

j R

0

. R e c a l l a ( z ) ! 1 a s j z j ! 1 . S i n c e j z

j

j ! 1

a n d c

j

i s b o u n d e d w e c o n c l u d e f r o m ( 2 . 1 5 ) t h a t a ( z

0

j

) = a ( z

j

) + c

j

! 1 . T h i s ,

h o w e v e r , i s n o t p o s s i b l e s i n c e t h e s e q u e n c e z

0

j

i s b o u n d e d , a n d t h e c l a i m i s p r o v e d .

A s a c o n s e q u e n c e , t h e r e i s a w e l l d e n e d i n t e r s e c t i o n n u m b e r i n t ( ~ u

c

; ~u ) i f c 6= 0 .

I t i s d e n e d b y r e s t r i c t i n g t h e m a p s t o s u c i e n t l y l a r g e b a l l s . B y t h e e x c i s i o n

a n d t h e h o m o t o p y p r o p e r t y o f t h e i n t e r s e c t i o n n u m b e r , t h e i n t e g e r i n t ( ~ u

c

; ~u ) i s

i n d e p e n d e n t o f c f o r c 6= 0 . B y t h e p o s i t i v i t y o f t h e l o c a l i n t e r s e c t i o n n u m b e r s o f

p s e u d o h o l o m o r p h i c c u r v e s , i n t ( ~ u

c

; ~u ) 0 . M o r e o v e r , ~ u

c

( C ) \ ~u ( C ) = ; f o r c 6= 0

i f a n d o n l y i f i n t ( ~ u

c

; ~u ) = 0 . W e s h a l l p r o v e t h a t i n t ( ~ u

c

; ~u ) = 0 . A r g u i n g b y

c o n t r a d i c t i o n w e n d a s e q u e n c e c

j

! 0 , c

j

6= 0 a n d s e q u e n c e s z

j

; z

0

j

s u c h t h a t

~u

c

j

( z

j

) = ~u ( z

0

j

) : ( 2 . 1 6 )

S i n c e o u t s i d e a b a l l u i s a n e m b e d d i n g ( L e m m a 2 . 2 ) w e m a y a s s u m e t a k i n g a

s u i t a b l e s u b s e q u e n c e , t h a t z

0

j

! z

0

0

. S i n c e ( ~u ) 3 , t h e m a p u : C ! S

3

i s a n

i m m e r s i o n i n v i e w o f C o r o l l a r y 4 . 2 i n 1 3 ] . T h e r e f o r e , j z

0

0

? z

j

j " i f j i s l a r g e , f o r

a s u i t a b l e " > 0 . S i n c e a ( z

j

) = a ( z

j

) ? c

j

i s b o u n d e d , a l s o t h e s e q u e n c e z

j

m u s t b e

b o u n d e d . H e n c e , f o r a s u b s e q u e n c e , z

j

! z

0

, s o t h a t b y ( 2 . 1 6 ) ~ u ( z

0

) = ~u ( z

0

0

) . S i n c e

z

0

6= z

0

0

t h i s c o n t r a d i c t s o u r a s s u m p t i o n t h a t ~ u i s i n j e c t i v e . T h e p r o o f o f L e m m a

2 . 3 i s c o m p l e t e .

I n o r d e r t o c o m p l e t e t h e p r o o f o f t h e o r e m 2 . 1 w e o b s e r v e t h a t L e m m a 2 . 3 i m -

p l i e s t h a t t h e m a p u : C ! S

3

i s i n j e c t i v e . W e h a v e s e e n t h a t t h e a s s u m p t i o n

( ~u ) 3 i m p l i e s w i n d

1

( ~u ) = 1 a n d c o n c l u d e , u s i n g C o r o l l a r y 4 . 2 i n 1 4 ] , t h a t

d i m

R

T u ( z ) ( C ) = 2 f o r e v e r y z 2 C . R e c a l l i n g T S

3

= R X w i t h t h e p r o -

j e c t i o n : T S

3

! a l o n g X , t h e m a p u i s a n i m m e r s i o n t r a n s v e r s a l t o t h e R e e b

v e c t o r e l d X . I f f o l l o w s t h a t u ( C ) \ P = ; . I n d e e d a r g u i n g i n d i r e c t l y w e a s s u m e

u ( z

0

) 2 P . T h e n u ( C ) i n t e r s e c t s t h e s o l u t i o n P o f X t r a n s v e r s a l l y i n u ( z

0

) . D e n -

i n g t h e l o o p s S

R

b y S

R

( t ) = u ( R e

2 i t

) w e k n o w t h a t S

R

( t ) ! x ( T t ) a s R ! 1 i n

C

1

( S

1

) . H e n c e t h e r e i s a n o p e n n e i g h b o r h o o d B

"

( z

0

) s a t i s f y i n g u ( B

"

( z

0

) ) \ S

R

6= ;

i f R > 0 i s l a r g e . T h i s c o n t r a d i c t s t h e i n j e c t i v i t y o f u . I n v i e w o f t h e a s y m p t o t i c

b e h a v i o u r o f u a s j z j ! 1 i t f o l l o w s t h a t t h e i n j e c t i v e i m m e r s i o n u : C ! S

3

n P i s

a n e m b e d d i n g . T h i s n i s h e s t h e p r o o f o f t h e o r e m 2 . 1 . 2

T h e o r e m 2 . 4 . L e t ~u = ( a ; u ) : C ! R S

3

b e a n o n - c o n s t a n t n i t e e n e r g y p l a n e .

A s s u m e

u : C ! S

3

i s a n i n j e c t i v e i m m e r s i o n . T h e n e v e r y a s y m p t o t i c l i m i t ( x ; T ) o f ~u i s s i m p l y c o v e r e d ,

c o v ( x ; T ) = 1 . I n a d d i t i o n , P

x

= x ( R ) i s u n k n o t t e d a n d h a s s e l f - l i n k i n g n u m b e r

s l ( x ; T ) = ? 1 .

W e p o i n t o u t t h a t t h e t h e o r e m d o e s n o t r e q u i r e t h e c o n t a c t f o r m t o b e n o n -

d e g e n e r a t e .


10/23

1 0 H . H O F E R , K . W Y S O C K I , A N D E . Z E H N D E R

P r o o f . R e c a l l i n g t h e p r o j e c t i o n : T S

3

= R X ! w e c o n c l u d e f r o m t h e

d i e r e n t i a l e q u a t i o n ( 1 . 1 0 ) f o r ~ u t h a t

T u

i = J ( u )

T u : ( 2 . 1 7 )

H e n c e

T u ( z ) : C !

u ( z )

i s c o m p l e x l i n e a r a n d s i n c e u i s a n i m m e r s i o n w e h a v e

T u ( z ) 6= 0 f o r e v e r y z 2 C : ( 2 . 1 8 )

W e s h a l l u s e t h i s t o s h o w t h a t u d o e s n o t i n t e r s e c t a n y o f i t s a s y m p t o t i c l i m i t s .

A s s u m e ( x ; T ) i s a n a s y m p t o t i c l i m i t o f ~ u . T h e n t h e r e e x i s t s a s e q u e n c e R

k

! 1 ,

s o t h a t

u ( R

k

e

2 i t

) ! x

T

( t ) = x ( T t ) ( 2 . 1 9 )

i n C

1

( R ) a s k ! 1 . S e t t i n g P

x

= x ( R ) w e c l a i m t h a t

u ( C ) \ P

x

= ; : ( 2 . 2 0 )

A r g u i n g i n d i r e c t l y w e a s s u m e t h a t u ( z

0

) 2 P

x

. T h e n u i n t e r s e c t s P

x

a t u ( z

0

)

t r a n s v e r s a l l y i n v i e w o f ( 2 . 1 8 ) . I f k i s l a r g e w e t h e r e f o r e c o n c l u d e f r o m ( 2 . 1 9 ) t h a t

S

k

( R ) \ u ( B

"

( z

0

) ) 6= ; , w i t h S

k

( t ) = u ( R

k

e

2 i t

) . T h i s c o n t r a d i c t s t h e p o s t u l a t e d

i n j e c t i v i t y o f u a n d p r o v e s t h e c l a i m ( 2 . 2 0 ) .

L e t D = f z j j z j 1 g . G i v e n a d i s c m a p v : D ! S

3

s a t i s f y i n g

v ( e

2 i t

) = x

T

( t ) ;

t h e s e l f - l i n k i n g n u m b e r o f ( x ; T ) i s d e n e d b y

s l ( x ; T ) = i n t ( v ; y

T

) ; ( 2 . 2 1 )

w h e r e t h e l o o p y

T

i s o b t a i n e d b y p u s h i n g x

T

i n t o t h e d i r e c t i o n o f a n o w h e r e v a n -

i s h i n g s e c t i o n Z o f v

! D , s o t h a t x

T

( R ) \ y

T

( R ) = ; . I n t r o d u c i n g D

R

k

=

f z j j z j R

k

g w e d e n e t h e m a p s w

k

: D

R

k

! S

3

b y w

k

( z ) = v (

z

R

k

) . C l e a r l y

i n t ( w

k

; y

T

) = i n t ( v ; y

T

) s o t h a t s l ( x ; T ) = i n t ( w

k

; y

T

) f o r e v e r y k . F o r l a r g e k t h e

m a p s w

k

a n d u

k

: = u j D

R

k

: D

R

k

! S

3

a r e h o m o t o p i c t h r o u g h m a p s n o t i n t e r -

s e c t i n g y

T

o n t h e i r b o u n d a r i e s . C o n s e q u e n t l y , b y t h e h o m o t o p y p r o p e r t y o f t h e

i n t e r s e c t i o n n u m b e r w e o b t a i n f o r k l a r g e e n o u g h

s l ( x ; T ) = i n t ( u

k

; y

T

) ; u

k

= u j D

R

k

: ( 2 . 2 2 )

C o n s i d e r n o w t h e n o w h e r e v a n i s h i n g s e c t i o n Z

k

o f u

k

! D

R

k

d e n e d b y

Z

k

( z ) =

T u ( z ) (

@

@ s

) ; z = s + i t ;

a n d t h e s e c t i o n W

k

a l o n g @ D

R

k

d e n e d b y

W

k

( z ) =

T u ( z ) (

@

@ r

) ; j z j = R

k

w h e r e r i s t h e r a d i a l c o o r d i n a t e z = r e

i '

2 C . F o r k l a r g e e n o u g h W

k

i s h o m o t o p i c ,

a s v e c t o r e l d n o t t a n g e n t i a l t o u

k

( @ D

R

k

) , t o t h e o u t w a r d p o i n t i n g t a n g e n t v e c t o r

t o t h e e m b e d d e d d i s c u

k

( D

R

k

) a t i t s b o u n d a r y . A l o n g @ D

R

k

w e c a n w r i t e , u s i n g

t h e c o m p l e x m u l t i p l i c a t i o n i n d e n e d b y t h e a l m o s t c o m p l e x s t r u c t u r e J ,

W

k

( z ) = f

k

( z ) Z

k

( z ) ; j z j = R

k

; ( 2 . 2 3 )

w i t h a f u n c t i o n f

k

: @ D

R

k

! C n f 0 g h a v i n g w i n d i n g n u m b e r

w i n d ( f

k

) = 1 : ( 2 . 2 4 )


11/23

U N K N O T T E D P E R I O D I C O R B I T S F O R R E E B F L O W S O N T H E T H R E E - S P H E R E 1 1

W e c l a i m t h a t f o r k l a r g e e n o u g h t h e r e e x i s t s a C

1

- s m a l l d e f o r m a t i o n o f u

k

=

u j D

R

k

: D

R

k

! S

3

t h r o u g h i m m e r s i o n s i n t o t h e d e f o r m e d m a p v

k

: D

R

k

! S

3

s a t i s f y i n g t h e f o l l o w i n g p r o p e r t i e s :

v

k

( @ D

R

k

) = P

x

v

k

: @ D

R

k

! P

x

h a s d e g r e e c o v ( x ; T )

v

k

i s a n i m m e r s i o n

v

k

(

_

D

R

k

) \ P

x

= ; :

( 2 . 2 5 )

T o p r o v e t h i s c l a i m w e i d e n t i f y a c l o s e d t u b u l a r n e i g h b o r h o o d U o f P

x

= P w i t h

P D a n d d e n e b y ,

: S

1

D ! P D ; ( t ; z ) 7! ( x ( T t ) ; z ) ( 2 . 2 6 )

t h e c o v ( x ; T ) - f o l d c o v e r i n g m a p . D e n i n g t h e s u b s e t A

k

= f z 2 C j j z j

R

k

a n d u

k

( z ) 2 U g w e c a n l i f t t h e m a p u

k

j A

k

t o t h e m a p ^ u

k

: A

k

! S

1

D

s o t h a t u

k

=

u

k

. I n v i e w o f ( 2 . 2 0 )

u

k

( A

k

) \ ( S

1

f 0 g ) = ; : ( 2 . 2 7 )

F o r k l a r g e e n o u g h , t h e l o o p s

k

: t 7! u

k

( R

k

e

2 i t

) a n d : t 7! ( t ; 0 ) ; t 2 0 ; 1 ] a r e

C

1

- c l o s e . H e n c e w e n d a f a m i l y

; 2 0 ; 1 ] , o f d i e o m o r p h i s m s o f S

1

D ,

w h i c h a r e C

1

- c l o s e t o t h e i d e n t i t y m a p , c o m p a c t l y s u p p o r t e d i n t h e i n t e r i o r o f

S

1

D a n d s a t i s f y i n g

1

(

k

) = . N o t e t h a t c o r r e s p o n d s t o x

T

i n o u r t u b u l a r

n e i g h b o r h o o d . S i n c e

1

i s a d i e o m o r p h i s m w e c o n c l u d e

( S

1

f 0 g ) \

1

u

k

( A

k

n @ D

R

k

) = ; :

W e n o w d e n e a C

1

- s m a l l i s o t o p y o f i m m e r s i o n s

~

: D

R

k

! S

3

, 2 0 ; 1 ] b y

~

( z ) = u

k

( z ) ; z 2 D

R

k

n A

k

~

( z ) =

u

k

( z ) ; z 2 A

k

:

( 2 . 2 8 )

T h e n v

k

( z ) =

~

1

( z ) ; z 2 D

R

k

h a s t h e d e s i r e d p r o p e r t i e s .

A l o n g t h e a b o v e d e f o r m a t i o n

~

o f u

k

, t h e s e c t i o n s Z

k

r e s p . W

k

c a n b e d e f o r m e d

a s n o w h e r e v a n i s h i n g s e c t i o n s o f a l o n g v

k

r e s p . i t s b o u n d a r y . W e s h a l l d e n o t e

t h e s e n e w s e c t i o n s b y t h e s a m e l e t t e r s . W e m a y a s s u m e t h a t W

k

i s a n o u t w a r d

p o i n t i n g t a n g e n t v e c t o r e l d t o t h e i m m e r s e d d i s c v

k

a t t h e b o u n d a r y v

k

( @ D

R

k

) .

I n v i e w o f t h e c o n t i n u o u s d e f o r m a t i o n w e s t i l l h a v e W

k

= f

k

Z

k

a n d w i n d ( f

k

) = 1 .

S i n c e Z

k

i s a n o w h e r e v a n i s h i n g s e c t i o n o f v

k

, t h e l o o p y

T

i s h o m o t o p i c i n t h e

c o m p l e m e n t o f P

x

t o t h e l o o p o b t a i n e d f r o m x

T

b y p u s h i n g i t i n t o t h e d i r e c t i o n

o f Z

k

. T h e r e f o r e , w e m a y a s s u m e t h a t y

T

i s o b t a i n e d f r o m x

T

b y p u s h i n g s l i g h t l y

i n t o t h e d i r e c t i o n o f Z

k

, s o t h a t , b y d e n i t i o n o f t h e s e l f - l i n k i n g n u m b e r ,

s l ( x ; T ) = i n t ( v

k

; y

T

) : ( 2 . 2 9 )

S i n c e , b y ( 2 . 2 5 ) , v

k

(

_

D

R

k

) \ P

x

= ; , t h e c u r v e c

k

: = v

k

j @ D

R

k

? "

k

f o r s o m e s m a l l

"

k

> 0 i s h o m o t o p i c i n S

3

n P

x

t o a c o n s t a n t m a p . T h e c u r v e c

k

m a y b e v i e w e d

a s o b t a i n e d f r o m x

T

b y p u s h i n g i t i n t o t h e d i r e c t i o n o f ? W

k

. F o r t h e h o m o l o g y

c l a s s e s y

T

] a n d c

k

] i n H

1

( S

3

; P

x

; Z ) w e h a v e t h e r e l a t i o n

c

k

] = y

T

] + w i n d ( f

k

) @

k

] ; ( 2 . 3 0 )


12/23


w h e r e

k

i s a n y s u c i e n t l y s m a l l d i s c t r a n s v e r s a l t o P

x

w i t h o r i e n t a t i o n i n d u c e d

b y . S i n c e c

k

] = 0 w e d e d u c e f r o m ( 2 . 3 0 )

i n t ( v

k

; y

T

) = ? w i n d ( f

k

) i n t ( v

k

; @

k

] ) : ( 2 . 3 1 )

R e c a l l t h a t w i n d ( f

k

) = 1 a n d o b s e r v e t h a t i n t ( v

k

; @

k

] ) = c o v ( x ; T ) f o r a s u f -

c i e n t l y s m a l l d i s c

k

. S i n c e s l ( x ; T ) = i n t ( v

k

; y

T

) , i n v i e w o f ( 2 . 2 9 ) , w e h a v e

p r o v e d

s l ( x ; T ) = ? c o v ( x ; T ) : ( 2 . 3 2 )

I f T

0

i s t h e m i n i m a l p e r i o d o f ( x ; T ) s u c h t h a t T = c o v ( x ; T ) T

0

w e h a v e , s i n c e w e

a r e o n S

3

, t h e f o r m u l a

s l ( x ; T ) = c o v ( x ; T )

2

s l ( x ; T

0

) : ( 2 . 3 3 )

C o n s e q u e n t l y , i n v i e w o f ( 2 . 3 2 ) ,

? c o v ( x ; T ) = c o v ( x ; T )

2

s l ( x ; T

0

) ;

i m p l y i n g t h a t c o v ( x ; T ) = 1 a n d s l ( x ; T ) = ? 1 . I n p a r t i c u l a r ( x ; T ) = ( x ; T

0

)

i s s i m p l y c o v e r e d . S i n c e ( x ; T

0

) i s t h e C

1

- l i m i t o f u n k n o t t e d l o o p s , i t m u s t b e

u n k n o t t e d a s w e l l . T h i s c o m p l e t e s t h e p r o o f o f t h e o r e m 2 . 4 .

3 . P r o o f f o r o v e r t w i s t e d c o n t a c t s t r u c t u r e s

W e c o n s i d e r S

3

e q u i p p e d w i t h t h e c o n t a c t f o r m w h i c h d e t e r m i n e s t h e c o n t a c t

s t r u c t u r e a n d t h e R e e b v e c t o r e l d X . W e h a v e t o d i s t i n g u i s h t w o c l a s s e s o f

c o n t a c t f o r m s a c c o r d i n g t o t h e i r i n d u c e d s t r u c t u r e s w h i c h c a n b e e i t h e r t i g h t o r

o v e r t w i s t e d , s e e 5 , 6 , 8 ] . R e c a l l t h a t a c o n t a c t s t r u c t u r e i s c a l l e d o v e r t w i s t e d , i f

t h e r e e x i s t s a n e m b e d d e d d i s c D S

3

s u c h t h a t T

m

D 6

m

f o r a l l m 2 @ D a n d

T @ D j @ D . I f n o s u c h d i s c e x i s t s , t h e c o n t a c t s t r u c t u r e i s c a l l e d t i g h t . W e

m e n t i o n t h a t t h e c o n t a c t s t r u c t u r e s o n S

3

h a v e b e e n c l a s s i e d b y Y a . E l i a s h b e r g i n

4 , 6 ] . I n t h i s s e c t i o n w e s h a l l p r o v e t h e o r e m 1 . 4 f o r o v e r t w i s t e d c o n t a c t s t r u c t u r e s .

B y a s s u m p t i o n , i s a n o n - d e g e n e r a t e c o n t a c t f o r m i n d u c i n g a n o v e r t w i s t e d

c o n t a c t s t r u c t u r e . H e n c e , a r g u i n g a s i n 1 0 ] w e n d a n o v e r t w i s t e d d i s c D

S

3

w h o s e c h a r a c t e r i s t i c f o l i a t i o n T D \ c o n t a i n s p r e c i s e l y o n e s i n g u l a r i t y , e 2

i n t e r i o r ( D ) , w h i c h i s p o s i t i v e l y e l l i p t i c . M o r e o v e r , t h e b o u n d a r y @ D i s t h e o n l y

l i m i t c y c l e f o r t h e c h a r a c t e r i s t i c f o l i a t i o n o f D . I n a d d i t i o n , w e m a y a s s u m e t h a t

D d o e s n o t c o n t a i n a p e r i o d i c o r b i t f o r X . T h i s c a n b e a c h i e v e d b y a C

1

- s m a l l

p e r t u r b a t i o n d i s j o i n t f r o m @ D . W e c h o o s e a n a l m o s t c o m p l e x s t r u c t u r e J

0

o n

c o m p a t i b l e w i t h d a n d t a k e t h e a s s o c i a t e d R - i n v a r i a n t a l m o s t c o m p l e x s t r u c t u r e

~

J

0

o n R S

3

d e n e d b y ( 1 . 9 ) . I t i s d e t e r m i n e d b y a n d J

0

.

W e s t u d y d i s c m a p s ~ u = ( a ; u ) : D ! R S

3

, w i t h t h e c l o s e d d i s c D : = f z 2 C j

j z j 1 g , s a t i s f y i n g , i n t h e c o o r d i n a t e s z = s + i t , t h e p a r t i a l d i e r e n t i a l e q u a t i o n

~u

s

+

~

J

0

( ~u ) ~u

t

= 0 o n D ( 3 . 1 )

a n d t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s

~u ( @ D ) f 0 g ( D n f e g ) R S

3

T h e w i n d i n g n u m b e r o f u j @ D : @ D ! D n f e g

i s e q u a l t o 1 .

( 3 . 2 )


13/23


T h e d i s c D i s o r i e n t e d i n s u c h a w a y t h a t t h e u n i q u e s i n g u l a r i t y e o f t h e c h a r -

a c t e r i s t i c f o l i a t i o n i s p o s i t i v e . F o r a s u i t a b l e c h o i c e o f J

0

n e a r e w e c a n a c h i e v e

t h a t t h e a s s o c i a t e d s t r u c t u r e

~

J

0

i s i n t e g r a b l e n e a r ( 0 ; e ) 2 R S

3

, h e n c e a c o m p l e x

s t r u c t u r e . T h e r e f o r e , b y a c l a s s i c a l r e s u l t d u e t o B i s h o p , t h e r e i s a 1 - p a r a m e t e r

f a m i l y o f e m b e d d e d h o l o m o r p h i c d i s c s s a t i s f y i n g ( 3 . 1 ) a n d ( 3 . 2 ) e m e r g i n g f r o m t h e

s i n g u l a r i t y ( 0 ; e ) , w h i c h h a v e t h e p r o p e r t y t h a t t h e d i s c s ~ u ( D ) a r e m u t u a l l y d i s j o i n t

a n d t h e b o u n d a r i e s ~ u ( @ D ) = ( 0 ; u ( @ D ) ) f o l i a t e a p u n c t u r e d n e i g h b o r h o o d o f e i n

D , s e e 1 , 2 , 5 , 1 0 ] .

S t i l l f o l l o w i n g 1 0 ] , t h i s l o c a l f a m i l y c a n b e c o n t i n u e d b y m e a n s o f a n i m p l i c i t

f u n c t i o n t h e o r e m t o a ( e s s e n t i a l l y u n i q u e ) m a x i m a l 1 - p a r a m e t e r f a m i l y B o f e m -

b e d d e d , m u t u a l l y d i s j o i n t d i s c m a p s s a t i s f y i n g ( 3 . 1 ) a n d ( 3 . 1 ) . T h e b o u n d a r y

u ( @ D ) D f o r e v e r y ~ u = ( a ; u ) 2 B i s t r a n s v e r s a l t o t h e s i n g u l a r f o l i a t i o n o f D

b y t h e m a x i m u m p r i n c i p l e . B , h o w e v e r , i s n o t a c o m p a c t f a m i l y , s i n c e o t h e r w i s e

t h e r e w o u l d b e a d i s c i n B t o u c h i n g t h e b o u n d a r y @ D w h i c h i s a l e a f o f t h e s i n g u -

l a r f o l i a t i o n o n D . T h i s w o u l d c o n t r a d i c t t h e m a x i m u m p r i n c i p l e . A n a l y s i n g t h e

f a i l u r e o f c o m p a c t n e s s o n e c o n c l u d e s t h a t e v e n a r e p a r a m e t r i s a t i o n o f t h e d i s c s i n

B b y M o e b i u s t r a n s f o r m a t i o n s d o e s n o t p r e v e n t t h e g r a d i e n t s j r ~u j o f ~u 2 B f r o m

e x p l o d i n g . I n v i e w o f t h e g r a d i e n t b o u n d s n e a r t h e b o u n d a r y @ D , t h e g r a d i e n t s

b l o w u p a t n i t e l y m a n y p o i n t s ? i n t e r i o r ( D ) . A b u b b l i n g o a n a l y s i s o f t h e s e

s i n g u l a r i t e s b a s e d o n r e s c a l i n g m e t h o d s , a n d c a r r i e d o u t i n d e t a i l i n 1 0 ] a n d 1 1 ] ,

e s t a b l i s h e s t h e e x i s t e n c e o f a c o m p l i c a t e d s t r u c t u r e o f v a r i o u s k i n d s o f n i t e e n e r g y

s u r f a c e s ~ u = ( a ; u ) i n t o R S

3

a l l h a v i n g n o t i d e n t i c a l l y v a n i s h i n g

T u . T h e


14/23


g e o m e t r i c r e a l i s a t i o n i n S

3

i s i l l u s t r a t e d b y t h e f o l l o w i n g p i c t u r e t o g e t h e r w i t h i t s

a s s o c i a t e d g r a p h .

T h e t o p p a r t o f t h e g r a p h r e p r e s e n t s a m a p ~ u : = ( a ; u ) : D n ? ! R S

3

, w h e r e

? 6= ; i s a n i t e s e t o f p o i n t s i n i n t e r i o r ( D ) , w h i c h s o l v e s t h e f o l l o w i n g p r o b l e m :

~u

s

+

~

J

0

( ~u ) ~u

t

= 0 o n D n ?

a j @ D = 0

u : @ D ! D n f e g h a s w i n d i n g n u m b e r 1

0 < E ( ~u )


15/23


W e s h a l l p r o v e n o w t h a t a t l e a s t o n e o f t h e b o t t o m n i t e e n e r g y p l a n e s ~ u h a s a n

a s y m p t o t i c l i m i t ( x ; T ) w i t h i n d e x ( ~u ) = 2 . F r o m ( 1 . 1 3 ) w e r e c a l l t h a t ( ~u ) 2 .

A r g u i n g i n d i r e c t l y w e s h a l l t h e r e f o r e a s s u m e t h a t ( ~u ) 3 f o r a l l b o t t o m n i t e

e n e r g y p l a n e s . W e c a n c e l n o w i n t h e g r a p h a l l e l e m e n t s a t t h e b o t t o m r e p r e s e n t i n g

a n i t e e n e r g y p l a n e a n d w r i t e a t t h e l o w e r e n d s o f t h e r e m a i n i n g g r a p h t h e i n d e x

o f t h e c o r r e s p o n d i n g a s y m p t o t i c l i m i t w h i c h , b y a s s u m p t i o n i s a t l e a s t 3 . W e n o w

s t u d y t h e b o t t o m e l e m e n t s o f t h e n e w g r a p h . T h e s e e l e m e n t s a r e t r e e s w i t h o n e

p o s i t i v e p u n c t u r e h a v i n g a n i n d e x

+

a n d a p o s i t i v e n u m b e r o f n e g a t i v e p u n c t u r e s

h a v i n g c o r r e s p o n d i n g i n d i c e s 3 . T o t h i s s i t u a t i o n w e c a n a p p l y t h e f o l l o w i n g

s p e c i a l c a s e o f T h e o r e m 5 . 8 i n 1 4 ] f o r m u l a t e d a s

L e m m a 3 . 1 . L e t ~u :

_

S ! R S

3

b e a p u n c t u r e d n i t e e n e r g y s p h e r e w i t h n o t

i d e n t i c a l l y v a n i s h i n g

T u . T h e n

( ~u ) =

+

?

?

w i n d

( ~u ) + 4 ? 2 # ?

0

? # ?

1

: ( 3 . 4 )

H e r e

+

i s t h e s u m o f a l l - i n d i c e s o f t h e p o s i t i v e p u n c t u r e s i n ? w h i l e

?

i s

t h e s u m o v e r a l l n e g a t i v e p u n c t u r e s . F u r t h e r m o r e , w i n d

( ~u ) 0 i s a n o n - n e g a t i v e

i n t e g e r i n t r o d u c e d i n 1 4 ] . F i n a l l y , ?

0

i s t h e s e t o f p u n c t u r e s i n ? h a v i n g e v e n

- i n d e x , w h i l e ?

1

i s t h e s e t h a v i n g o d d - i n d e x , ? = ?

0

?

1

. A p p l y i n g L e m m a 3 . 1

t o o u r s i t u a t i o n , o b s e r v i n g t h a t

?

3 ( # ? ? 1 ) , w e e s t i m a t e t h e - i n d e x o f t h e

p o s i t i v e p u n c t u r e b y

+

?

+ 4 ? 2 # ?

3 ( # ? ? 1 ) + 4 ? 2 # ?

# ? + 1

2 + 1

= 3 :

W e n o w i t e r a t e t h e p r o c e d u r e s t a r t i n g i n t h e n e x t r o u n d a g a i n w i t h n e g a t i v e p u n c -

t u r e s h a v i n g a l l - i n d i c e s 3 .

A f t e r a n i t e n u m b e r o f s t e p s o n l y t h e t o p p i e c e o f t h e g r a p h r e m a i n s , n a m e l y

t h e p i e c e r e p r e s e n t i n g t h e s o l u t i o n ~ u : D n ? ! R S

3

o f t h e p r o b l e m ( 3 . 3 ) . W e

r e c a l l t h a t i t i s a n e m b e d d i n g . B y t h e i n d u c t i v e c o n s t r u c t i o n , i t s p u n c t u r e s ? a r e

n e g a t i v e a n d h a v e - i n d i c e s a t l e a s t 3 . N o t e t h a t o u r c o n s t r u c t i o n i s i n d e p e n d e n t

o f t h e c h o i c e o f t h e a l m o s t c o m p l e x s t r u c t u r e J

0

o n . C h o o s i n g n o w a g e n e r i c

s t r u c t u r e J w e h a v e a r r i v e d a t a c o n t r a d i c t i o n w i t h t h e f o l l o w i n g r e s u l t f r o m 1 5 ] ,


16/23


T h e o r e m 1 . 1 5 , p r o v e d b y m e a n s o f F r e d h o l m t h e o r y . D e n o t e b y J t h e s e t o f a l l

a l m o s t c o m p l e x s t r u c t u r e s o n c o m p a t i b l e w i t h d .

L e m m a 3 . 2 . G i v e n a n a l m o s t c o m p l e x s t r u c t u r e J

0

2 J a n d a n e m b e d d e d d i s c

D a s a b o v e . T h e n t h e r e e x i s t s a J 2 J i n e v e r y C

1

n e i g h b o r h o o d o f J

0

, w h o s e

a s s o c i a t e d a l m o s t c o m p l e x s t r u c t u r e

~

J o n R S

3

d e n e d b y ( 1 . 9 ) h a s t h e f o l l o w i n g

p r o p e r t y . T h e r e e x i s t s n o e m b e d d e d s o l u t i o n

~u = ( a ; u ) : D n ? ! R S

3

o f t h e m i x e d b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m ( 3 . 3 ) s a t i s f y i n g

T u ( z ) 6= 0 f o r s o m e z ,

i f ? 6= ; a n d i f a l l t h e c o r r e s p o n d i n g a s y m p t o t i c l i m i t s ( x

j

; T

j

) a r e n o n - d e g e n e r a t e

a n d h a v e i n d i c e s

( x

j

; T

j

) 3 :

W i t h t h i s c o n t r a d i c t i o n w e h a v e e s t a b l i s h e d t h e e x i s t e n c e o f a n i t e e n e r g y p l a n e

~u : = ( a ; u ) : C ! R S

3

h a v i n g a n a s y m p t o t i c l i m i t w i t h i n d e x ( x ; T ) = 2 . N o w , a

n i t e e n e r g y p l a n e ~ u i s e i t h e r s o m e w h e r e i n j e c t i v e o r ~ u = ~v

P , w i t h a s o m e w h e r e

i n j e c t i v e n i t e e n e r g y p l a n e ~ v a n d a h i g h e r d e g r e e c o m p l e x p o l y n o m i a l P , s e e 1 4 ] .

I f ( ~u ) = 2 , t h e l a t t e r i s n o t p o s s i b l e s i n c e t h e a s y m p t o t i c l i m i t o f ~ v w o u l d h a v e a n

i n d e x a t l e a s t 2 i n v i e w o f ( 1 . 1 3 ) , a n d c o n s e q u e n t l y ~ u w o u l d h a v e a n i n d e x a t l e a s t

2 d e g ( P ) 4 . H e n c e ~ u i s s o m e w h e r e i n j e c t i v e a n d w e c a n a p p l y L e m m a 3 . 1 t o t h e

n i t e e n e r g y p l a n e ~ u : C = S

2

n f 1 g ! R S

3

. W e h a v e ?

1

= ; a n d # ?

0

= 1 s o

t h a t

( ~u ) = 2 w i n d

( ~u ) + 2 : ( 3 . 5 )

H e n c e , i n v i e w o f w i n d

0 , w e c o n c l u d e w i n d

( ~u ) = 0 . T h i s i m p l i e s , i n v i e w o f

t h e p r o p e r t i e s o f w i n d

i n 1 4 ] t h a t u : C ! S

3

i s a n i m m e r s i o n . C o n s e q u e n t l y ~ u

i s a n i m m e r s i o n . N e a r f 1 g i t i s a n e m b e d d i n g b y L e m m a 2 . 2 . A s s u m e t h a t ~ u h a s

s e l n t e r s e c t i o n s . T h e n t h e y a r e n e c e s s a r i l y i s o l a t e d a n d m o r e o v e r h a v e p o s i t i v e i n -

t e r s e c t i o n i n d i c e s , s i n c e w e a r e d e a l i n g w i t h p s e u d o h o l o m o r p h i c c u r v e s , s e e 1 8 , 2 0 ] .

B y t h e b u b b l i n g o a n a l y s i s , ~ u c a n b e a p p r o x i m a t e d b y a r e s c a l e d f a m i l y o f d i s c

m a p s a n d w e c o n c l u d e t h a t a l s o t h e d i s c s i n t h i s f a m i l y p o s s e s s s e l n t e r s e c t i o n s i f

t h e y a r e s u c i e n t l y c l o s e t o ~ u , b y t h e p o s i t i v i t y o f t h e i n t e r s e c t i o n i n d e x . T h i s ,

h o w e v e r , c o n t r a d i c t s t h e f a c t , t h a t , b y o u r c o n s t r u c t i o n b a s e d o n t h e B i s h o p f a m i l y

B , t h e d i s c s a r e a l l e m b e d d e d . W e h a v e p r o v e d t h a t ~ u i s a n i n j e c t i v e i m m e r s i o n . I n

v i e w o f i t s a s y m p t o t i c b e h a v i o u r d e s c r i b e d i n L e m m a 2 . 2 t h e m a p ~ u i s a n e m b e d -

d i n g . S i n c e ( ~u ) = 2 , t h e o r e m 1 . 4 i s n o w a n i m m e d i a t e c o n s e q u e n c e o f t h e o r e m 1 . 6

a n d t h e o r e m 1 . 7 . T h i s n i s h e s t h e p r o o f o f t h e o r e m 1 . 4 i n t h e o v e r t w i s t e d c a s e .

2

F o r l a t e r u s e w e p o i n t o u t a n a - p r i o r i b o u n d f o r t h e p e r i o d T o f t h e d i s t i n g u i s h e d

p e r i o d i c s o l u t i o n o f X f o u n d a b o v e , n a m e l y

T = E ( ~u ) =

Z

C

u

d

1

2

Z

D

j d j : ( 3 . 6 )

T h e b o u n d f o l l o w s f r o m t h e b u b b l i n g o a n a l y s i s , t h e p r o o f i s c o n t a i n e d i n 1 0 ] .

4 . P r o o f f o r t i g h t c o n t a c t s t r u c t u r e s

O n S

3

t h e t i g h t c o n t a c t s t r u c t u r e s a r e w e l l u n d e r s t o o d d u e t o t h e w o r k o f

Y a . E l i a s h b e r g a n d E . G i r o u x s e e 5 , 6 , 7 , 8 , 9 ] . C o n s i d e r t h e r o u n d s p h e r e


17/23


S

3

= f z 2 C

2

j j z j

2

= 1 g e q u i p p e d w i t h i t s s t a n d a r d c o n t a c t f o r m

0

=

~

0

j S

3

,

w h e r e t h e L i o u v i l l e { f o r m

~

0

o n C

2

i s , i n t h e c o o r d i n a t e s z

j

= a

j

+ i p

j

g i v e n b y

~

0

=

1

2

2

X

j = 1

( q

j

d p

j

? p

j

d q

j

) : ( 4 . 1 )

I f i s a n y t i g h t c o n t a c t f o r m o n S

3

s u c h t h a t t h e v o l u m e f o r m d i s c o m p a t i b l e

w i t h t h e g i v e n o r i e n t a t i o n S

3

, t h e n t h e r e e x i s t s a n o r i e n t a t i o n p r e s e r v i n g d i e o -

m o r p h i s m : S

3

! S

3

s u c h t h a t

= f

0

f o r a s m o o t h f u n c t i o n f : S

3

! ( 0 ; 1 ) .

T h i s i s p r o v e d i n E l i a s h b e r g 6 ] .

I n o r d e r t o p r o v e t h e o r e m 1 . 4 i n t h e t i g h t c a s e , w e c a n t h e r e f o r e a s s u m e t h a t

o u r t i g h t c o n t a c t f o r m o n S

3

i s g i v e n b y

= f

0

; ( 4 . 2 )

f o r a s m o o t h p o s i t i v e f u n c t i o n f o n S

3

. W e a s s u m e , i n a d d i t i o n , t o b e n o n -

d e g e n e r a t e a n d d e n o t e b y X

t h e a s s o c i a t e d R e e b v e c t o r e l d . U s i n g a m o d i c a t i o n

o f a c o n s t r u c t i o n i n 1 2 ] w e s h a l l e s t a b l i s h a n e m b e d d e d n i t e e n e r g y p l a n e ~ u w h o s e

a s y m p t o t i c l i m i t h a s a n i n d e x ( ~u ) 2 f 2 ; 3 g .

W e c h o o s e a f u n c t i o n f

E

o n S

3

, d e n e d b y

f

E

( z ) =

?

2

X

j = 1

j z

j

j

2

r

2

j

?

1

2

; ( 4 . 3 )

w i t h p o s i t i v e r e a l n u m b e r s 0 < r

1

< r

2

s u c h t h a t r

2

1

= r

2

2

i s i r r a t i o n a l a n d

f ( z ) < f

E

( z ) ; z 2 S

3

; ( 4 . 4 )

w h e r e f i s g i v e n i n ( 4 . 2 ) . W e d e n o t e b y X

E

t h e R e e b v e c t o r e l d d e n e d b y t h e

c o n t a c t f o r m

E

= f

E

0

: ( 4 . 5 )

T h e v e c t o r e l d X

E

h a s p r e c i s e l y 2 n o n - d e g e n e r a t e , i n f a c t e l l i p t i c , p e r i o d i c o r b i t s

P

0

a n d P

1

h a v i n g m i n i m a l p e r i o d s T

0

< T

1

a n d i n d i c e s

( P

0

) = 3 a n d ( P

1

) = 2 k + 1 5 ; ( 4 . 6 )

w h e r e t h e i n t e g e r k 2 i s d e t e r m i n e d b y k 0 i f j a j 1 :

( 4 . 7 )

F o r e v e r y a 2 R , t h e c o n t a c t f o r m

a

: = h ( a ; )

0

o n S

3

d e t e r m i n e s t h e a s s o c i a t e d

R e e b v e c t o r e l d X

a

. B y c o n s t r u c t i o n ,

a

= ; X

a

= X

i f a ? 2 a n d

a

=

E

; X

a

= X

E

i f a 2 . T h e c o n t a c t s t r u c t u r e i s , o f c o u r s e , i n d e p e n d e n t o f a . W e

n e x t c h o o s e a s m o o t h f a m i l y a 7! J

a

o f a l m o s t c o m p l e x s t r u c t u r e s o f , c o m p a t i b l e


18/23


w i t h d

a

a n d s u c h t h a t J

a

d o e s n o t d e p e n d o n a i n j a j 2 . W i t h

J w e d e n o t e t h e

a s s o c i a t e d a l m o s t c o m p l e x s t r u c t u r e o n R S

3

d e n e d b y

J ( a ; z ) ( ; k ) = ( ?

a

( z ) k ; J

a

( z )

a

k + X

a

( z ) ) : ( 4 . 8 )

F i n a l l y , w e d e n e t h e s p e c i a l a l m o s t c o m p l e x s t r u c t u r e

~

J o n R S

3

a s f o l l o w s . W e

s e t

~

J ( a ; z ) =

J ( a ; z ) i f j a j 1 . I f j a j


19/23


e n e r g y p l a n e s w h i c h a r e , a s j z j ! 1 , a l l a s y m p t o t i c t o t h e s a m e p e r i o d i c o r b i t P

0

o f X

E

. T h e f a m i l y F i s n o n - c o m p a c t a n d c o n t a i n s e l e m e n t s ~ u = ( a ; u ) : C ! R S

3

h a v i n g a r b i t r a r y n e g a t i v e R - c o m p o n e n t s a :

s u p

~u 2 B

?

m a x

z

j r ~u ( z ) j

= 1 ; i n f

~u 2 B

( m i n

z

a ( z ) ) = ? 1 : ( 4 . 1 0 )

A b u b b l i n g o a n a l y s i s o f t h e s i n g u l a r i t i e s o f F , c a r r i e d o u t i n 1 2 ] , g i v e s r i s e t o a

t r e e o f g e n e r a l i z e d e n e r g y s p h e r e s w h i c h i s i l l u s t r a t e d i n t h e f o l l o w i n g p i c t u r e :

T h e t o p p a r t o f t h e g r a p h r e p r e s e n t s a n e m b e d d e d ( s i n c e P

0

i s s i m p l y c o v e r e d )

g e n e r a l i z e d e n e r g y s p h e r e

~u = ( a ; u ) : S

2

n ? ! R S

3

( 4 . 1 1 )

w i t h o n e p o s i t i v e p u n c t u r e , 1 , a s y m p t o t i c t o t h e d i s t i n g u i s h e d p e r i o d i c s o l u t i o n

P

0

o f X

E

, a n d a p o s i t i v e n u m b e r o f n e g a t i v e p u n c t u r e s w h i c h a r e a l l a s y m p t o t i c t o

n o n - d e g e n e r a t e p e r i o d i c s o l u t i o n s o f X

. T h e b o t t o m p a r t s o f t h e g r a p h r e p r e s e n t

n i t e e n e r g y p l a n e s ( n o t n e c e s s a r i l y e m b e d d e d ) ~ u : ( a ; u ) : C = S

2

n f 1 g ! R S

3

,

f o r t h e - e q u a t i o n , h e n c e a s y m p t o t i c t o p e r i o d i c s o l u t i o n s o f X

. A l l i n t e r m e d i a t e

p a r t s r e p r e s e n t n i t e e n e r g y s p h e r e s ~ u : S

2

n ? ! R S

3

f o r t h e - e q u a t i o n , h a v i n g

o n e p o s i t i v e p u n c t u r e a n d a p o s i t i v e n u m b e r o f n e g a t i v e p u n c t u r e s , a l l a s y m p t o t i c

t o p e r i o d i c s o l u t i o n s o f X

.

W e s h a l l p r o v e n o w t h a t t h e r e i s a t l e a s t o n e n i t e e n e r g y p l a n e a t t h e b o t t o m

o f t h e g r a p h w h o s e - i n d e x i s e i t h e r 2 o r 3 . A r g u i n g i n d i r e c t l y w e c a n a s s u m e

t h a t a l l t h e n i t e e n e r g y p l a n e s a t t h e b o t t o m h a v e i n d i c e s 4 . S t a r t i n g a t t h e

b o t t o m w e w o r k o u r w a y u p i n t h e g r a p h a s w e a l r e a d y d i d i n t h e o v e r t w i s t e d

c a s e a n d c o n c l u d e i n d u c t i v e l y t h a t a l l t h e n e g a t i v e p u n c t u r e s o f t h e e n e r g y s p h e r e s

h a v e i n d i c e s a t l e a s t 4 . H e r e w e u s e L e m m a 3 . 1 i n o r d e r t o e s t i m a t e t h e p o s i t i v e

p u n c t u r e o f t h e m i d d l e p a r t s i n t h e g r a p h a s f o l l o w s :

+

4 ( # ? ? 1 ) + 4 ? 2 # ?

= 2 ( # ? )

4 :

A f t e r n i t e l y m a n y s t e p s w e a r r i v e a t t h e t o p p i e c e o f t h e g r a p h . I t r e p r e s e n t s t h e

g e n e r a l i z e d n i t e e n e r g y s p h e r e ~ u i n ( 4 . 1 1 ) h a v i n g o n e p o s i t i v e p u n c t u r e w i t h i n d e x

( P

0

) = 3 a n d ( a s w e j u s t h a v e p r o v e d ) a p o s i t i v e n u m b e r o f n e g a t i v e p u n c t u r e s ,

h a v i n g a l l a n i n d e x a t l e a s t 4 . T h i s w i l l l e a d t o a c o n t r a d i c t i o n . W e c a n c h o o s e t h e

a l m o s t c o m p l e x s t r u c t u r e

~

J t o b e , i n a d d i t i o n , g e n e r i c , s e e 1 5 ] . S i n c e ~ u : S

2

n ? !

R S

3

i s a n e m b e d d i n g , t h e l i n e a r i z e d m a p a l o n g ~ u i s a F r e d h o l m m a p h a v i n g a


20/23


n o n - n e g a t i v e F r e d h o l m i n d e x F r e d ( ~ u ) 0 . D e n o t i n g b y

?

( ~u ) t h e s u m o v e r a l l

- i n d i c e s a s s o c i a t e d w i t h t h e n e g a t i v e p u n c t u r e s , a n d b y ( P

0

) t h e i n d e x o f t h e

p o s i t i v e p u n c t u r e , t h e F r e d h o l m i n d e x i s g i v e n b y

F r e d ( ~ u ) = ( P

0

) ?

?

( ~u ) ? ( S

2

) + # ? 0 : ( 4 . 1 2 )

T h e f o r m u l a i s p r o v e d i n 1 5 ] . C o n s e q u e n t l y , i n v i e w o f ( S

2

) = 2 , ( P

0

) = 3 a n d

?

( ~u ) 4 ( # ? ? 1 ) w e a r r i v e a t t h e c o n t r a d i c t i o n

3

?

( ~u ) ? ( # ? ? 1 ) + 1

4 ( # ? ? 1 ) ? ( # ? ? 1 ) + 1

= 3 ( # ? ? 1 ) + 1

4 :

I n v i e w o f t h i s c o n t r a d i c t i o n , t h e r e e x i s t s a n i t e e n e r g y p l a n e ~ u f o r w i t h a s y m p -

t o t i c i n d e x ( x ; T ) 2 f 2 ; 3 g . A r g u i n g n o w a s i n t h e o v e r t w i s t e d c a s e o n e s h o w s ,

u s i n g L e m m a 3 . 1 , t h a t ~ u i s a n i m m e r s i o n . A g a i n , i n v i e w o f t h e a s y m p t o t i c b e -

h a v i o u r i n t h e n o n - d e g e n e r a t e c a s e , ~ u h a s t o b e a n e m b e d d i n g . I n d e e d , o t h e r w i s e

t h e i s o l a t e d s e l n t e r s e c t i o n s h a v e p o s i t i v e i n t e r s e c t i o n i n d i c e s . B u t , b y t h e b u b b l i n g

o a n a l y s i s i n 1 2 ] , ~ u c a n b e a p p r o x i m a t e d b y a s e q u e n c e o f r e s c a l e d g e n e r a l i z e d

n i t e e n e r g y p l a n e s , w h i c h w o u l d h a v e s e l n t e r s e c t i o n s t o o . T h i s w o u l d c o n t r a d i c t

t h e f a c t , t h a t b y t h e i r c o n s t r u c t i o n b a s e d o n e l e m e n t s o f F , t h e y a r e e m b e d d i n g s .

T o s u m u p , w e h a v e e s t a b l i s h e d t h e e x i s t e n c e o f a n e m b e d d e d n i t e e n e r g y

p l a n e ~ u : C ! R S

3

f o r t h e - e q u a t i o n h a v i n g a n o n - d e g e n e r a t e a s y m p t o t i c l i m i t

w i t h i n d e x ( x ; T ) 2 f 2 ; 3 g . H e n c e t h e o r e m 1 . 4 i s c o n s e q u e n c e o f t h e o r e m 1 . 6 a n d

t h e o r e m 1 . 7 . T h e p r o o f o f t h e o r e m 1 . 4 i n t h e t i g h t c a s e i s c o m p l e t e .

F o r l a t e r u s e w e s h o u l d m e n t i o n t h a t t h e r e i s a n a - p r i o r i b o u n d f o r t h e m i n i m a l

p e r i o d T o f t h e s p e c i a l a s y m p t o t i c o r b i t f o u n d a b o v e i n t e r m s o f t h e p a r a m e t e r r

1

o c c u r i n g i n t h e d e n i t i o n ( 4 . 3 ) o f t h e f u n c t i o n f

E

, s e e 1 2 ] .

5 . T h e d e g e n e r a t e c a s e

T h e r e s u l t s i n t h e p r e v i o u s s e c t i o n s f o r n o n - d e g e n e r a t e c o n t a c t f o r m s o n S

3

w i l l

n o w b e u s e d i n o r d e r t o p r o v e t h e o r e m 1 . 8 b y a n a p p r o x i m a t i o n a r g u m e n t .

T h e o r e m 5 . 1 . L e t b e a c o n t a c t f o r m o n S

3

a n d J a c o m p a t i b l e a l m o s t c o m p l e x

s t r u c t u r e o n t h e a s s o c i a t e d c o n t a c t s t r u c t u r e . T h e n t h e r e e x i s t s a n i t e e n e r g y

p l a n e ~u = ( a ; u ) : C ! R S

3

s u c h t h a t u i s a n i n j e c t i v e i m m e r s i o n .

T h e m a i n r e s u l t ( t h e o r e m 1 . 1 ) f o l l o w s i m m e d i a t e l y f r o m t h e o r e m 5 . 1 i n v i e w o f

p r o p o s i t i o n 1 . 5 a n d t h e o r e m 1 . 7 .

P r o o f . L e t b e a c o n t a c t f o r m o n S

3

. B y p r o p o s i t i o n 1 . 2 w e n d a s e q u e n c e

f

k

: S

3

! ( 0 ; 1 ) o f s m o o t h f u n c t i o n s c o n v e r g i n g i n C

1

t o t h e c o n s t a n t f u n c t i o n

f

0

1 s o t h a t t h e c o n t a c t f o r m s

k

= f

k

a r e n o n - d e g e n e r a t e . T h e a s s o c i a t e d

c o n t a c t s t r u c t u r e s

k

= c o i n c i d e . C h o o s e a J o n c o m p a t i b l e w i t h a n d

c h o o s e a s e q u e n c e J

k

c o m p a t i b l e w i t h

k

s o t h a t f o r t h e a s s o c i a t e d a l m o s t c o m p l e x

s t r u c t u r e

~

J

k

o n R S

3

t h e c o n s t r u c t i o n s i n t h e s e c t i o n s 3 a n d 4 c a n b e c a r r i e d

o u t . T h e n t h e r e e x i s t s a s e q u e n c e o f e m b e d d e d n o n - d e g e n e r a t e n i t e e n e r g y p l a n e s

~u

k

= ( a

k

; u

k

) : C ! R S

3

w i t h i n d i c e s ( ~u

k

) 3 . I n v i e w o f t h e o r e m 1 . 7 , a n d t h e


21/23


a - p r i o r i e s t i m a t e s m e n t i o n e d a t t h e e n d o f s e c t i o n 3 a n d 4 w e n d a c o n s t a n t c > 0

s u c h t h a t

~

J

k

T ~u

k

= T ~u

k

i

c

? 1

E ( ~u

k

) c

u

k

: C ! S

3

i s a n e m b e d d i n g .

( 5 . 1 )

M o r e o v e r , i f P

k

i s t h e n o n - d e g e n e r a t e a s y m p t o t i c l i m i t o f ~ u

k

, w e h a v e

u

k

( C ) \ P

k

= ; : ( 5 . 2 )

D e n o t e b y

0

> 0 a c o n s t a n t s m a l l e r t h a n t h e s m a l l e s t p e r i o d o f t h e p e r i o d i c

s o l u t i o n s o f X

a n d a l s o s m a l l e r t h e n c

? 1

. R e p a r a m e t e r i z i n g t h e s o l u t i o n s ~ u

k

w e

m a y a s s u m e , i n a d d i t i o n t o ( 5 . 1 ) ,

i n f

z

a

k

( z ) = a

k

( 0 ) = 0

Z

D

u

k

d

k

=

Z

C

u

k

d

k

?

0

;

( 5 . 3 )

w h e r e D = f z j j z j 1 g . W e o b s e r v e t h a t

Z

D

u

k

d

k

" c

? 1

?

0

: ( 5 . 4 )

A s s u m e ( a t r s t ) t h a t t h e g r a d i e n t s o f ~ u

k

r e m a i n u n i f o r m l y b o u n d e d o n c o m p a c t

s u b s e t s o f C . T h e n , p o s s i b l y p a s s i n g t o a s u b s e q u e n c e , ~ u

k

! ~u i n C

1

l o c

( C ) u s i n g

t h e s t a n d a r d c o m p a c t n e s s r e s u l t s , s e e f . e . i n 1 1 ] . C l e a r l y , i n v i e w o f ( 5 . 4 ) , t h e m a p

~u = ( a ; u ) i s a n o n c o n s t a n t n i t e e n e r g y p l a n e f o r t h e s t r u c t u r e

~

J h a v i n g d - e n e r g y

a t l e a s t " a n d h e n c e a t l e a s t

0

. W e s h a l l p r o v e t h a t u i s a n i n j e c t i v e i m m e r s i o n . I n

o r d e r t o p r o v e t h a t u i s a n i m m e r s i o n w e c o n s i d e r t h e s e c t i o n

T u o f t h e b u n d l e

H o m

C

( T C ; u

) ! C : ( 5 . 5 )

B y t h e s i m i l a r i t y p r i n c i p l e , t h i s s e c t i o n e i t h e r v a n i s h e s i d e n t i c a l l y o r h a s i s o l a t e d

z e r o e s h a v i n g a l l a p o s i t i v e i n d e x . F o r n o n c o n s t a n t n i t e e n e r g y p l a n e s t h e s e c t i o n

d o e s n o t v a n i s h i d e n t i c a l l y , s e e 1 4 ] . L e t R > 0 a n d a s s u m e t h a t

T u d o e s n o t

v a n i s h o n @ D

R

. S i n c e u

k

j D

R

c o n v e r g e s i n C

1

t o u j D

R

i t f o l l o w s t h a t t h e

w i n d i n g n u m b e r s w

k

o f t h e n o w h e r e v a n i s h i n g s e c t i o n s (

k

T u

k

) j @ D

R

c o i n c i d e

w i t h t h e w i n d i n g n u m b e r w o f (

T u ) j @ D

R

. S i n c e

k

T u

k

( z ) 6= 0 f o r e v e r y

z 2 C w e c o n c l u d e w

k

= 0 a n d h e n c e w = 0 . C o n s e q u e n t l y

T u ( z ) 6= 0 f o r

z 2 D

R

, s e e 1 4 ] . T h i s a r g u m e n t s h o w s t h a t

T u ( z ) 6= 0 f o r e v e r y z 2 C .

C o n s e q u e n t l y , u : C ! S

3

i s a n i m m e r s i o n . T o p r o v e t h a t u i s i n j e c t i v e w e a r g u e b y

c o n t r a d i c t i o n a n d a s s u m e u ( z ) = u ( z

0

) f o r z 6= z

0

. H e n c e w e n d a n u m b e r c 2 R

s a t i s f y i n g

~u

c

( z ) = ~u ( z

0

) ; z 6= z

0

:

I n v i e w o f t h e s t a n d

h. hofer, k. wysocki and e. zehnder- unknotted periodic orbits for reeb flows on the three-sphere

Documents