h c cÙng vietjack y trần xuân trườ · khoảng cách giữa hai đường thẳng song song...

HỌC CÙNG VIETJACK Thầy Trần Xuân Trường – facebook /instagram: xuantruong.teacher

Đăng Ký Khóa Học Tại http:// khoahoc.vietjack.com youtube: Học cùng Vietjack

KHOẢNG CÁCH – GÓC TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN

① Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng là ,

với là hình chiếu của trên đường thẳng .

Kí hiệu: .

② Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng là , với

là hình chiếu của trên mặt phẳng .

Kí hiệu: .

③ Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song.

Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là khoảng

cách từ một điểm bất kì thuộc đường này đến đường kia.

④ Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song.

Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song với

nhau là khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc đường đến

mặt phẳng :

⑤ Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ

một điểm bất kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.

⑥ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.

- Đường thẳng c cắt hai đường thẳng và cùng vuông góc với mỗi đường thẳng ấy gọi

là đƣờng vuông góc chung của . gọi là đoạn vuông góc chung của .

- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của hai

đường thẳng đó.

B. KỸ NĂNG CƠ BẢN

1. Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng, mặt phẳng

a. Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng cho trước

M a MH

H M a

,d M a MH

M MH

H M

,d M MH

, ,d a b d M b MH M a

a

M a

, ,d a d M MH M a

, , A, ,d d a d AH a A a

,a b

,a b IJ ,a b

M d

a

b

c

J

Ia

bJ

I

H

M

M

Ha

M

Ha

b

M

H

a

AB

H K

a



Các bước thực hiện:

Bước 1. Trong mặt phẳng hạ với .

Bước 2. Thực hiện việc xác định độ dài dựa trên hệ thức lượng trong tam giác, tứ giác,

đường tròn, …

Chú ý:

Nếu tồn tại đường thẳng qua và song song với thì:

.

Nếu , thì: .

b. Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Các bước thực hiện:

Bước 1. Tìm hình chiếu của lên .

- Tìm mặt phẳng qua O và vuông góc với .

- Tìm .

- Trong mặt phẳng , kẻ tại H.

H là hình chiếu vuông góc của O lên .

Bước 2. Khi đó là khoảng cách từ O đến .

Chú ý:

Chọn mặt phẳng sao cho dễ tìm giao tuyến với .

Nếu đã có đường thẳng thì kẻ cắt tại H.

Nếu thì: .

Nếu cắt tại I thì:

2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau

Trường hợp a b:

- Dựng mặt phẳng chứa a và vuông góc với b tại B.

- Trong dựng BA a tại A.

là đoạn vuông góc chung.

Trường hợp a và b không vuông góc với nhau.

Cách 1: (Hình a)

- Dựng mp chứa a và song song với b.

- Lấy điểm M tùy ý trên b dựng MM () tại M

,M d MH d H d

MH

a A d

, ,d M d d A d AK A d

MA d I,

,

d M d MI

AId A d

O

H O

OH

OH

d / /Ox d

//OA , ,d O d A

OAO,

,

d OI

AId A

,a b

AB

M

Ha

a M A

Kd

A

Kd

I H

M

O

H

H

O d

H

O A

K

H

O

A

KI

b

aB

A

(Hình a)

A

B M

M'

a

b

b'



- Từ M dựng b// b cắt a tại A.

- Từ A dựng cắt b tại B.

AB là đoạn vuông góc chung.

Cách 2: (Hình b)

- Dựng mặt phẳng tại O, cắt b tại I

- Dựng hình chiếu vuông góc b của b lên

- Trong mp , vẽ OH b tại H.

- Từ H dựng đường thẳng song song với a cắt b tại B

- Từ B dựng đường thẳng song song với cắt a tại A.

AB là đoạn vuông góc chung.

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Cách 1. Dùng đường vuông góc chung:

- Tìm đoạn vuông góc chung AB của .

-

Cách 2. Dựng mặt phẳng chứa a và song song với b. Khi đó:

Cách 3. Dựng 2 mặt phẳng song song và lần lượt chứa a và b. Khi đó:

3. Phƣơng pháp tọa độ trong không gian

a) Phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm :

+ Mặt phẳng đi qua điểm có vtpt có dạng:

+ Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng :

Công thức tính nhanh:

b) Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau là:

c) Góc giữa hai đường thẳng theo công thức:

d) Góc giữa hai mặt phẳng và :

có vecto pháp tuyến ; có vtpt , khi đó:

//AB MM

a

OH

,a b

,a b

,d a b AB

, ,d a b d b

, ,d a b d

MNP ; y ; ,N ;y ; ,P ;y ;M M M N N N P P P

M x z x z x z

MNP ; y ;M M M

M x z A;B;Cn MN MP

0 z 0M M M

A x x B y y C z z Ax By C D

; y ;I I I

I x z MNP

2 2 2,( ) I I I

Ax By Cz DIH d I MNP

A B C

.,( )

MN MP MId I MNP

MN MP

,AB CD.

,AB CD AC

d AB CDAB CD

,AB CD.

cos ,.

ABCDAB CD

AB CD

ABC MNP

ABC1n AB AC MNP

2n MN MP

(Hình b)

b'

a bA

O

I H

B



e) Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng :

Tính và có vtpt , thì:

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

LĂNG TRỤ XIÊN

Câu 1. Cho hình lăng trụ có mặt đáy là tam giác đều cạnh . Hình chiếu vuông góc

của lên mặt phẳng trùng với trung điểm của cạnh . Biết góc giữa cạnh bên và

mặt đáy bằng . Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng theo là:

A. . B. . C. . D. .



mặt đáy bằng . Tính khoảng cách hai đường chéo nhau và theo là:

A. . B. . C. . D. .




A. . B. . C. . D. .



mặt đáy bằng . Gọi là góc giữa hai đường thẳng và . Khi đó :

A. . B. . C. . D. .



mặt đáy bằng . Tính góc giữa hai đường thẳng và là:

A. . B. . C. . D. .

1 2

1 2

.cos ,

.

n nABC MNP

n n

1 2 1 2 1 2

2 2 2 2 2 21 1 1 2 2 2

,.

AA B B C CABC MNP

A B C A B C

AB MNP

u AB MNP n MN MP.

sin , ,.

u nAB MNP AB MNP

u n

.ABC A B C 2AB a

A ABC H AB

060 B ACC A a

39

13a

15

5a

2 21

7a

2 15

5a

.ABC A B C 2AB a

A ABC H AB

060 AC BB a

15

5a

2 15

5a

2 21

7a

39

13a

.ABC A B C 2AB a

A ABC H AB

060 BC AA a

2 15

5a

15

5a

2 21

7a

39

13a

.ABC A B C 2AB a

A ABC H AB

060 AC BB cos

1cos

4

1cos

3

2cos

5

2cos

3

.ABC A B C 2AB a

A ABC H AB

060 A C ABC

4

6

3

1arcsin

4





mặt đáy bằng . Tính góc giữa hai mặt phẳng và là:

A. . B. . C. . D. .

Câu 7. Cho hình lăng trụ có mặt đáy đáy là tam giác vuông tại ,

Hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng trùng với trung điểm của cạnh . Biết

góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng . Tính khoảng cách từ điểm đến là:

A. . B. . B. . D. .

Câu 8. Cho hình lăng trụ có mặt đáy đáy là tam giác vuông cân tại , .


góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

và là:

A. . B. . C. . D. .

Câu 9. Cho hình lăng trụ có mặt đáy là tam giác đều cạnh . Hình chiếu

vuông góc của lên mặt phẳng trùng với trọng tâm của tam giác , biết

. Tính góc giữa hai mặt phẳng và là:

A. . B. . C. . D. .

Câu 10. Cho lăng trụ có đáy là hình chữ nhật tâm có . Gọi

lần lượt là trung điểm của . Hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng

trùng với điểm . Biết góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng . Tính khoảng cách từ điểm

đến mặt phẳng :

A. . B. . C. . D. .

CHỦ ĐỀ TỔNG HỢP

Câu 11. Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại , đỉnh cách đều các điểm

Biết , góc giữa đường thẳng và bằng . Tính khoảng cách từ

trung điểm của đến theo .

A. . B. . C. . D. .

Câu 12. Cho hình chóp có đáy là hình thoi tâm cạnh , .

Tính khoảng cách giữa và

.ABC A B C 2AB aA ABC H AB

060 BCC B ABC

1arctan

4arctan 2 arctan 4 arctan 2

.ABC A B C ABC A , 2AB a AC a

A ABC H BC

030 C ABB A

3 5

2a

5

5a

2 85

17a

2 13

3a

.ABC A B C ABC A 3AC a

A ABC H BC

030 AA

BC

6

4a

2

2a

2 7

7a

5 29

7a

.ABC A B C ABC 2AB a

A ABC G ABC

3AA a ABB A ABC

2arccos

3

1arccos

3

3arccos

5

6arccos

12

.ABCD A B C D ABCD O , 2AB a BC a

,H M ,OA AA A ABCD

H 060 M

CDD C

2 29

13a

2 85

17a

2 285

19a

2 21

7a

.S ABC ABC B S , ,A B C

2 ,AC a BC a SB mp ABC 060

M SC mp SAB a

39

13

a 3 13

13

a 39

26

a 13

26

a

.S ABCD O a 060 , 2ABC SA SB SC a

AB SC



A. . B. . C. . D. .

Câu 13. Cho tứ diện có đôi một vuông góc và , là trung điểm

của . Tính góc giữa hai đường thẳng và .

A. . B. . C. . D. .

Câu 14. Cho hình chóp đều có đáy là hình vuông tâm cạnh , cạnh bên bằng . Gọi

lần lượt là trung điểm và . Tính góc giữa và mặt phẳng .

A. . B. . C . D. .

Câu 15. Cho hình lăng trụ có đáy là tam giác đều cạnh , cạnh bên bằng và

. Tính giá trị với là góc giữa hai mặt phẳng và mặt phẳng

.

A. . B. . C. . D. .

Câu 16. Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật với , cạnh bên

vuông góc với mặt phẳng đáy và cạnh bên tạo với đáy một góc . Gọi là trung điểm

các cạnh bên và Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng .

A. . B. . C. . D. .

Câu 17. Cho hình chóp đều có đáy là hình vuông cạnh , tâm . Góc giữa và mặt

phẳng bằng . Gọi là trung điểm của . Tính khoảng cách giữa và .

A. . B. . C. . D. .

Câu 18. Cho hình lập phương có cạnh bằng . Gọi lần lượt là trung điểm

và . Tính khoảng cách giữa và

A. . B. . C. . D. .

Câu 19. Cho hình chóp có đáy là hình thang cân , , . Biết

. Tính góc giữa hai đường thẳng và .

A. . B. . C. . D. .

Câu 20. Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại , , cạnh bên

, . Tính góc giữa và .

A. . B. . C. . D. .

11

12

a 11

4

a 2 11

8

a 3 11

4

a

OABC , ,OA OB OC OA OB OC a I

BC AI OB

arctan 5 arctan51

arctan5

1arctan

5

.S ABCD ABCD O a a

,M N SB CD MN SAC

arctan 2 arctan 2 arctan 2 21

arctan2

. ' ' 'ABC A B C ABC a 2a

' ' 'A A A B A C tan 'A BC

ABC

2 11 2 5 2 11a 2 5a

.S ABCD ABCD , 2AB a AD a SA

SC 060 ,M N

SA .SB S DMN

31

2 5

a 31

60

a 60

31

a 2 5

31

a

.S ABCD ABCD a O SB

SAC 060 M SB AM CD

2

a 2

2

a

4

aa 2

. ' ' ' 'ABCD A B C D a ,M N AB

CD 'A C MN

2

4

a 2

2

a

2

a2a

.S ABCD ABCD //AD BC 2AD a BC CD a

, 3SA ABCD SA a cosin SC AD

3 1

2

3

2

3

4

.S ABC ABC A AB CA a

SA ABC SA a SA SBC

arctan 2 2 arctan 22

arctan2

arctan 2



HƢỚNG DẪN GIẢI

LĂNG TRỤ XIÊN



mặt đáy bằng . Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng theo là:

A. . B. . C. . D. .

Hƣớng dẫn giải

[Cách 1]: Phƣơng pháp dựng hình

Ta có: là hình chiếu vuông góc của lên nên: .

Gọi là trung điểm của và là trung điểm của .

Kẻ . Khi đó:

Ta có:

Xét tam giác vuông tại có:

Mặt khác: .

[Cách 2]: Phƣơng pháp dùng thể tích

Ta có: .

.

có: .

Suy ra: . Vậy .

[Cách 3]: Chọn hệ trục tọa độ

Chọn hệ trục tọa độ sao cho:

, .

.ABC A B C 2AB a

A ABC H AB

060 B ACC A a

39

13a

15

5a

2 21

7a

2 15

5a

AH AA ABC 0A , , 60A ABC AA AH

I AC M IA

HK A M3

3; 3;2

aA H a BI a HM

,HK ACC A d H ACC A HK

A HM H2 2

. 15

5

A H HMHK a

A H HM

, 1 2 15

, 22 5,

d H ACC A HAd B ACC A HK a

BAd B ACC A

.3, , BACA ABC A B C

ACA ACA

V Vd B ACC A d B ACA

S S

3

. . 3ABC A B C ABCV A H S a

ACA 2 22 ; 2 ;AC a AA AH A H a 2 2 6A C A H CH a

215

2ACAS a ,d B ACC A

2 15

5a

Oxyz

0;0;0H ;0;0 , ;0;0 , 0; 3;0 , 0;0; 3B a A a C a A a

A

A

B

H

I

C

C

BK

M

x

y

z

A

A

B

H

I

C

C

BK

M



Ta có: ; ; .

Vậy .




A. . B. . C. . D. .



Ta có: là hình chiếu vuông góc của lên nên: .

Khi đó:

Gọi là trung điểm của và là trung điểm của .

Kẻ .

Ta có:

Xét tam giác vuông tại có:

Mặt khác:

Chọn và có .

nên: .

[Cách 2]: Phƣơng pháp tọa độ


,

Vì . Ta có:

; 3;0AC a a ;0; 3AA a a ; ;0AB a a

,AC AA AB

d B ACC AAC AA

2 15

5a

.ABC A B C 2AB a

A ABC H AB

060 AC BB a

15

5a

2 15

5a

2 21

7a

39

13a

AH AA ABC 0A , , 60A ABC AA AH

33; 3;

2

aA H a BI a HM

I AC M IA

HK A M

,HK ACC A d H ACC A HK

A HM H2 2

. 15

5

A H HMHK a

A H HM

, 1 2 15

, 22 5,

d H ACC A HAd B ACC A HK a

BAd B ACC A

AC ACC A //BB ACC A

2 15

, , ,5

d AC BB d BB ACC A d B ACC A a

Oxyz

0;0;0H ;0;0 , ;0;0 , 0; 3;0 , 0;0; 3B a A a C a A a

2 ;0; 3BB AA B a a

x

y

z

A

A

B

H

I

C

C

BK

M

A

A

B

H

I

C

C

BK

M



; ;

.




A. . B. . C. . D. .



Ta có: nên:

Gọi là điểm đối xứng với qua điểm ta có: và .

Vì: . Nên: .

Kẻ ; . Chứng minh được: .

Xét tam giác vuông tại và ta có: .

Xét tam giác vuông tại ta có: .

Vậy .


Ta có:

.

có: ; .

Suy ra: . Vậy .

; 3;0AC a a ;0; 3BB a a ; ;0AB a a

. 2 15

,5

AC BB ABd AC BB a

AC BB

.ABC A B C 2AB a

A ABC H AB

060 BC AA a

2 15

5a

15

5a

2 21

7a

39

13a

//AA BB , , ,d AA BC d AA BCC B d A BCC B

E H B //A H B E B E ABC

,2

E,

d A BCC B AB

EBd BCC B

,d AA BC 2 ,d E BCC B

EK BC EF B K ,EF BCC B d E BCC B EF

KEB K 060KBE 0 3

sin 602

EK BE a

B EK E2 2

. 15

5

EK B EEF a

EK B E

2 15

, 2 =5

d AA BC EF a

.3, , , , ABCB ABC A B C

BCB BCB

V Vd AA BC d AA BCC B d A BCC B d A BCB

S S

3

. . 3ABC A B C ABCV A H S a

BCB 2 22 ; 2BC a BB AA AH A H a 2 2 6B C B E CE a

215

2BCBS a

2 15, =

5d AA BC a





, .

Ta có: ; ;

Vậy .



mặt đáy bằng . Gọi là góc giữa hai đường thẳng và . Khi đó :

A. . B. . C. . D. .


[Cách 1]: Phƣơng pháp cổ điển

Ta có:

nên:

Tính được: ,

Áp dụng định lý cosin trong tam giác ta được:

. Vậy .



, , .

Vì . Ta có: ; .

Ta có: . Vậy .

Oxyz

0;0;0H ;0;0 , ;0;0 , 0; 3;0 , 0;0; 3B a A a C a A a

; 3;0BC a a ;0; 3AA a a ; ;0AB a a

. 2 15,

5

AA BC ABd AA BC a

AA BC

.ABC A B C 2AB a

A ABC H AB

060 AC BB cos

1cos

4

1cos

3

2cos

5

2cos

3

// ABB A

cos , cos , A cosAC BB AC A A AC

2AA a 2 , 6AC a A C a

A AC

2 2 2 2 . .cosA C A A AC A A AC A AC

1cos

4A AC

1cos

4

Oxyz

0;0;0H ;0;0 , ;0;0B a A a 0; 3;0 , 0;0; 3C a A a

2 ;0; 3BB AA B a a ; 3;0AC a a ;0; 3BB a a

. 1

cos ,. 4

AC BBAC BB

AC BB

1cos

4

x

y

z

A

A

B

H

I

C

C

BK

M

A C

B

A

E

C

K

FH

B

B

C

A

H

B

C

x

y

zA





mặt đáy bằng . Tính góc giữa hai đường thẳng và là:

A. . B. . C. . D. .


[Cách 1]: Phƣơng pháp cổ điển

Ta có: nên: là hình chiếu vuông góc của lên

Khi đó: .

Xét tam giác vuông tại ta có: .

Vậy .



, .

Mặt phẳng có vtpt .

VTCP của đường thẳng là: .

Khi đó: . Vậy .



mặt đáy bằng . Tính góc giữa hai mặt phẳng và là:

A. . B. . C. . D. .


Cách 1: [Phƣơng pháp dựng hình]

Gọi là điểm đối xứng với qua điểm ta có:

.ABC A B C 2AB aA ABC H AB

060 A C ABC

4

6

3

1arcsin

4

A H ABC CH A C ABC

, ,A C ABC A C CH A CH

A CH H tan 1A H

A CHCH

,4

A C ABC

Oxyz

0;0;0H ;0;0 , ;0;0 , 0; 3;0 , 0;0; 3B a A a C a A a

: 0ABC z 0;0;1k

A C 0; 3; 3u A C a

. 2

sin ,2.

u kA C ABC

u k ,

4A C ABC

.ABC A B C 2AB a

A ABC H AB

060 BCC B ABC

1arctan

4arctan 2 arctan 4 arctan 2

E H B

A

B

C

A

H

B

C

x

y

zA

B

C

A

H

B

C



và .

Kẻ ; . Ta có: .

Khi đó:

Xét tam giác vuông tại và ta có:

Xét tam giác vuông tại có: .

Vậy .

Cách 2: [Phƣơng pháp tọa độ]

Chọn hệ trục tọa độ sao cho: ,

Mặt phẳng có vtpt .

Mặt phẳng có vtpt: .

.

Vậy .

Câu 7. Cho hình lăng trụ có mặt đáy đáy là tam giác vuông tại ,


góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng . Tính khoảng cách từ điểm đến là:

A. . B. . B. . D. .



Tam giác vuông tại có: . ; .

Vì nên là hình chiếu vuông góc của lên , khi đó:

//A H B E B E ABC 3B E A H a

EK BC EF B K BC B EK BC B K

, ,BCC B ABC B K EK B KE

KEB K 060KBE 0 3

sin 602

EK BE a

B EK E3

tan E 23

2

B E aB K

EK a

, arctan 2BCC B ABC

Oxyz 0;0;0H ;0;0 , ;0;0 , 0; 3;0 , 0;0; 3B a A a C a A a

: 0ABC z 0;0;1k

BCB 2 3 3;1; 1n BC BB a

. 5

cos ,5.

n kBCC B ABC

n k tan , 2BCC B ABC

, arctan 2BCC B ABC

.ABC A B C ABC A , 2AB a AC a

A ABC H BC

030 C ABB A

3 5

2a

5

5a

2 85

17a

2 13

3a

ABC A 2

ABCS a 5BC a5

2

aAH

A H ABC AH AA ABC

A

B

C

A

H

B

C

x

y

z

A C

B

A

E

C

K

FH

B



. Suy ra, .

Ta có: nên: .

Vì: nên: .

Kẻ ; . Chứng minh được: .

Ta có:

Xét tam giác vuông tại ta có:

Vậy .


Ta có: .

có: ; .

Suy ra: . Vậy .


Chọn hệ trục tọa độ sao cho: ,

. Vì .

Phương trình mặt phẳng là: .

Vậy .

Câu 8. Cho hình lăng trụ có mặt đáy đáy là tam giác vuông cân tại , .


0, , 30AA ABC AA A H 0 15.tan 30

6A H AH a

||CC BB , ,d C ABB A d C ABB A

,2

,

d C ABB A CB

CHd H ABB A

,d C ABB A 2 ,d H ABB A

HE AB HI A E ,IH ABB A d H ABB A IH

2

ACEH a

A EH H2 2

. 85

17

EH A HIH a

EH A H

2 85

, 2 =17

d C ABB A IH a

.3, , , C ABA ABC A B C

ABA ABA

V Vd C ABB A d C ABB A d C ABA

S S

3

.

15.

6ABC A B C ABCV A H S a

A AB 2 2 15;

3AB a AA AH A H a 2 2 15

3A B A H BH a

251

12ABAS a

2 85,

17d C ABB A a

Oxyz 0;0;0A ;0;0 , 0;2 ;0 ,B a C a

15; ;0 , ; ;

2 2 6

a aH a A a a

15;3 ;

2 6

aCC AA C a a

ABB A 15. 6 0y z

2 85

, , ,17

d C ABB A d C ABB A d C ABA a

.ABC A B C ABC A 3AC a

A ABC H BC

A

B

C

CA

Bz

x

y

H

A

B

C

A

B

C

HE

I



góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

và là:

A. . B. . C. . D. .



Tam giác vuông cân tại có: . ; .

Vì nên là hình chiếu vuông góc của lên , khi đó:

. Suy ra, .

Kẻ , ta có: nên: . Suy ra, .


Vậy .


Chọn hệ trục tọa độ sao cho: , ,

. Ta có: ;

; . Vậy .

Câu 9. Cho hình lăng trụ có mặt đáy là tam giác đều cạnh . Hình chiếu

vuông góc của lên mặt phẳng trùng với trọng tâm của tam giác , biết

. Tính góc giữa hai mặt phẳng và là:

A. . B. . C. . D. .



030 AA

BC

6

4a

2

2a

2 7

7a

5 29

7a

ABC A 23

2ABCS a 6BC a

6

2

aAH

A H ABC AH AA ABC

0, , 30AA ABC AA A H 0 2.tan 30

2A H AH a

HK AA HK AA HK AA ,d AA BC HK

A AH H2 2

. 6

4

AH A HHK a

AH A H

6

,4

d AA BC a

Oxyz 0;0;0A 3;0;0 , 0; 3;0B a C a

3 3 3 3 2; ;0 , ; ;

2 2 2 2 2

a a a aH A a

3 3 2; ;

2 2 2

a aAA a

3; 3;0BC a a 3;0;0AB a

. 6,

4

AA BC ABd AA BC a

AA BC

.ABC A B C ABC 2AB a

A ABC G ABC

3AA a ABB A ABC

2arccos

3

1arccos

3

3arccos

5

6arccos

12

A

B

C

A

B

C

H

K

A

B

C

CA

Bz

x

y

H



Tính được: ; . Kẻ . Ta có:

; . Vậy

Xét tam giác vuông tại ta được:

Vậy .



, , .

Mặt phẳng có vtpt

Mặt phẳng có vtpt nên:

. Vậy .

Câu 10. Cho lăng trụ có đáy là hình chữ nhật tâm có . Gọi

lần lượt là trung điểm của . Hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng

trùng với điểm . Biết góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng . Tính khoảng cách từ điểm

đến mặt phẳng :

A. . B. . C. . D. .



Do là hình chữ nhật tâm có nên:

; . Ta có:

Nên là hình chiếu vuông góc của lên , suy ra:

3AI a2 3

3AG AI a GE AB AB A E

3

3EG a 2 2 69

3A G A A AG a , ,ABB A ABC A E EG A EG

A EG G6

tan 23 cos12

A GA EG A EG

EG

6

, arccos12

ABB A ABC

Oxyz

0;0;0I 0; 3;0 , ;0;0 , ;0;0A a C a B a3 3 69

0; ;0 , 0; ;3 3 3

a aG A a

: 0ABC z 0;0;1k

ABB A 2 69 2 323; ;

3 3n AB AA a

. 6

cos ,12.

n kABB A ABC

n k

6, arccos

12ABB A ABC

.ABCD A B C D ABCD O , 2AB a BC a

,H M ,OA AA A ABCD

H 060 M

CDD C

2 29

13a

2 85

17a

2 285

19a

2 21

7a

ABCD O , 2AB a BC a

5AC a5 5

;2 4

a aOA OH A H ABCD

AH AA ABCD

0, , 60AA ABCD AA AH A AH

A

B

C

A

E

B

I

C

G

A

B

C

A

E

B

I

C

G

z

xy



Vì nên:

Dựng hình bình hành ta có: , và .

Suy ra, .

Ta có: và nên tính được: .


Vậy .


Ta có: .

.

Xét tam giác ta có: , .

. Suy ra, .

Vậy .



, .

. Vì ;

0 15.tan 60

4

aA H AH

//AA CDD C , ,d M CDD C d A CDD C

A HEC C E ABCD C E A H

,4

,

d A CDD C AC

ECd E CDD C

, 4. ,d A CDD C d E CDD C

//KE AD 4AC CE2

aKE

C KE E2 2

. 285

38

KE C EIE a

KE C E

2 285

,19

d M CDD C a

3

.

15.

2ABCD A B C D ABCDV S A H a

.3, , ,

2

ACDC ABCD A B C D

CDC CDC

V Vd M CDD C d A CDD C d A CDC

S S

CDC CD a 2 2 5

2CC AA A H AH a

2 2 2 2 2 11

2C D C E ED C E KD KE a 219

8CDCS a

2 285

,19

d M CDD C a

Oxyz

0;0;0B 0; ;0 , 2 ;0;0 ,A a C a 3

2 ; ;0 , ; ;02 4

a aD a a H

3 15 7 15; ; , ; ;

2 4 4 4 8 8

a a a aA a M a

5 15; ;

2 4 4

a aCC AA C a

A

B

B C

D

DA

C

H

M

x

zy

A D

CB

A

B

D

C

H

OI

EK

M



Ta có: ; ; .

Vậy .

CHỦ ĐỀ TỔNG HỢP

Câu 11. Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại , đỉnh cách đều các điểm

Biết , góc giữa đường thẳng và bằng . Tính khoảng cách từ

trung điểm của đến theo .

A. . B. . C. . D. .



Gọi hình chiếu của xuống mặt phẳng là . Suy ra .

Ta có : cách đều các điểm nên .

Vì (tam giác vuông có cạnh huyền bằng nhau)

nên hay là tâm đường tròn ngoại tiếp .

Mà vuông tại nên là trung điểm .

là trung điểm của nên

Gọi là trung điểm .

Kẻ tại .

Ta có : .

Mà nên .

Lại có : .

Góc giữa đường thẳng và bằng góc nhọn .

Ta có .

0; ;0CD a15

; ;2 4 4

a aCC a

7 7 15; ;

4 8 8

a aMC a

2 285

,19

CD CC MCd M CDD C a

CD CC

.S ABC ABC B S , ,A B C

2 ,AC a BC a SB mp ABC 060

M SC mp SAB a

39

13

a 3 13

13

a 39

26

a 13

26

a

S ABC H SH ABC

S , ,A B C SA SB SC

SHA SHB SHC

HA HB HC H ABC

ABC B H AC

M SC 1

, , ,2

d M SAB d C SAB d H SAB

K AB HK AB

HI SK I

,

AB SH

AB HKAB SHK

HK SH K

HK SH SHK

HI SHK AB HI

,

,

HI SK

HI ABHI SAB d H SAB HI

SK AB K

SK AB SAB

SB mp ABC 060SBH

1 1;

2 2 2

aHB AC a HK BC

A

S

CI

M

H

B

K



Xét .

Xét vuông tại suy ra .

Vậy .


Ta có : .

Tam giác vuông tại .

Mặt khác : .

Lại có : .

Tam giác vuông tại nên .

Do đó : .

Vậy : .

[Cách 3]: Phƣơng pháp toạ độ.

Chọn hệ trục toạ độ Oxyz như hình vẽ.

Khi đó , ,

, .

Suy ra: .

Vậy .

Câu 12. Cho hình chóp có đáy là hình thoi tâm cạnh , . Tính

khoảng cách giữa và

A. . B. . C. . D. .



0: tan 60 . 3SHB SH HB a

SHK H2 2 2 2 2

1 1 1 1 4

3HI HS HK a a

39

13

aHI

39

,13

ad M SAB HI

3

, MSAB

SAB

Vd M SAB

S

ABC B 2 2 2 24 3AB AC BC a a a

1 1

2 2

SAMBSAMB SABC

SABC

VV V

V

31 1 1 1. . . 3. 3.

3 3 2 6 2SABC ABC

aV SH S SH AB BC a a a

31

2 4SAMB SABC

aV V

SHK H2

2 2 2 133

4 2

a aSK SH HK a

21 1 13 39. . . 3

2 2 2 4ABC

a aS SK AB a

3 39

,13

MSAB

SAB

V ad M SAB

S

0;0;0H O ;0;02

aK

0;0; 3S a

3; ;0

2 2

a aA

3 3; ;

4 4 2

a a aM

3 3 3 3;0; 3 , ; ;0 , ; ;

2 2 4 4 3

a a a a aKS a KA a KM

, . 3 39

,1313,

KS KA KM a ad M SAB

KS KA

.S ABCD O a 060 , 2ABC SA SB SC a

AB SC

11

12

a 11

4

a 2 11

8

a 3 11

4

a

S

A

B

CH

K

M

x

y

z



O

G

K

C

A D

I

B

S

có nên đều

Gọi là trọng tâm tam giác , là trung điểm của .

Ta có : nên .

Mặt khác: .

Vì là trọng tâm đều nên hay .

Kẻ

Ta có: .

mà nên .

Lại có

hay .

đều có cạnh bằng nên

.

Tam giác vuông tại suy ra .

.

Vậy .


.

Tam giác vuông tại suy ra .

Tam giác đều có cạnh bằng nên: .

Tam giác vuông tại : .

Do đó: .

ABC 0, 60AB BC ABC ABC

G ABC K AB

SA SB SC SG ABCD

3

// , , , ,2

AB SCD d AB SC d AB SCD d B SCD d G SCD

G ABC CG AB CG CD

GI SC

,

CD SG

CD CGCD SGC

SG CG G

SG CG SCG

GI SGC CD GI

,

GI SC

GI DCGI SCD

SC CD C

SC CD SCD

,d G SCD GI

ABC a

2 2 3 3

3 3 2 3

a aCG CK

SGC G2

2 2 2 114

3 3

a aSG SC GC a

2 2 2

1 1 1 11

6

aGI

GI SG GC

3 3 11 11

, ,2 2 6 4

a ad AB SC d G SCD

3

// , , , BSCD

SCD

VAB SCD d AB SC d AB SCD d B SCD

S

SGC G2

2 2 2 114

3 3

a aSG SC GC a

ABC a3

,2 2

a aOC OB

BCO O21 1 3

. . . 32 2 2 4

BCD

a aS OC BD a

2 31 1 11 3 11. . .

3 3 4 123SBCD BCD

a a aV SG S

z

S

A

BC

OG

x y

KD



Ta có: .


Vậy .


Chọn hệ trục toạ độ như hình vẽ trong đó:

, , , ,

Suy ra: , , .

Suy ra: .

Câu 13. Cho tứ diện có đôi một vuông góc và , là trung điểm

của . Tính góc giữa hai đường thẳng và .

A. . B. . C. . D. .



Gọi là trung điểm của . Ta có

Nên góc giữa và là góc giữa và và bằng góc

Ta có : mà nên .

Lại có nên .

Xét tam giác vuông tại nên ta có:

. .

.

Vậy góc giữa hai đường thẳng và bằng .

[Cách 2]: Phƣơng pháp dùng tích vô hƣớng

Ta có:

Ta xét:

,

CD SG

CD CGCD SGC CD SC

SG CG G

SG CG SCG

SCD C 21 1. .2 .

2 2SCDS SC CD a a a

3 11

,4

BSCD

SCD

V ad AB SC

S

0;0;0G3

;0;03

aB

330;0;

3

aS

3; ;0

6 2

a aC

2 3;0;0

3

aD

3 33; ;

6 2 3

a a aCS

3; ;0

2 2

a aCD

3; ;0

2 2

a aCB

, . 11

, ,4,

CD CS CB ad AB SC d B SCD

CD CS

OABC , ,OA OB OC OA OB OC a I

BC AI OB

arctan 5 arctan51

arctan5

1arctan

5

M OC //IM OB

AI OB AI IM AIM

OB OC

OB OACOB OA

//IM OB IM OAC

AM OAC IM AM

AIM M

1

2IM OB a

2 22 2 2 2 5 5

4 4 2

a a aAM AO OM a AM

tan 5 arctan 5AM

AIM AIMIM

AI OB arctan 5

cos , cos ,AI OB AI OB

.

cos ,.

AI OBAI OB

AI OB

O

A

M

I

B

C



Có:

Do đó: .



Chọn hệ trục toạ độ như hình vẽ:

Ta có: , , ,

,

Suy ra:

Vậy góc giữa hai đường thẳng và

bằng .

Câu 14. Cho hình chóp đều có đáy là hình vuông tâm cạnh , cạnh bên bằng . Gọi

lần lượt là trung điểm và . Tính góc giữa và mặt phẳng .

A. . B. . C . D. .



Gọi lần lượt là trung điểm của

Vì hình chóp đều, là tâm của đáy nên .

Lại có là hình vuông nên .

Ta có .

Ta có : .

Lại có :

22 2

. . . . . .cos , . .2 2 2

a aAI OB AO OI OB AO OB OI OB OI OB OI OB OI OB a

2

. 1 12cos , cos , tan , 5

. 3 6 6.

2

aAI OB

AI OB AI OB AI OBAI OB a

a

AI OB1

arccos arctan 56

0;0;0O 0;0;A a ;0;0B a

0; ;0C a ; ;02 2

a aI

; ; ; ;0;02 2

a aAI a OB a

. 1cos , cos ,

. 6

tan , 5

AI OBAI OB AI OB

AI OB

AI OB

AI OB

arctan 5

.S ABCD ABCD O a a

,M N SB CD MN SAC

arctan 2 arctan 2 arctan 2 21

arctan2

,E F ,SO OC

SABCD O ABCD SO ABCD

ABCD BD AC

,

BD AC

BD SOBD SAC

SO AC O

SO AC SAC

/ /ME BDME SAC

BD SAC

NF SAC

O

A

z

B

C

I

x

yM

S

A

BC

D

O

M

N

E

I

F



Do đó : Hình chiếu của lên mặt phẳng là .

Nên góc giữa và mặt phẳng là góc giữa và bằng góc .

Vì là hình vuông cạnh nên .

là đường trung bình của tam giác

Mặt khác .

Tứ giác là hình bình hành nên hai đường chéo , cắt nhau tại trung điểm của mỗi

đường .

Tam giác vuông tại nên .

Vậy góc giữa và mặt phẳng bằng .



Ta có , ,

, ,

, ,

.

Véctơ pháp tuyến của là:

.

Câu 15. Cho hình lăng trụ có đáy là tam giác đều cạnh , cạnh bên bằng và

. Tính giá trị với là góc giữa hai mặt phẳng và mặt phẳng

.

A. . B. . C. . D. .



Gọi là tâm của đáy . Suy ra

Gọi là trung điểm . Ta có ( tam giác đều )

MN SAC EF

MN SAC MN EF NIF

ABCD a 2BD a

NF ODC 2

4

aNF

1

2 2

aEF SC

MNEF MN EF I

1

2 4

aFI EF

NFI F

2

2tan 2 2 arctan 2 2

4

aFN

NIF NIFaFI

MN SAC arctan 2 2

0;0;0O2

0;0;2

aS

20; ;0

2

aA

2;0;0

2

aB

20; ;0

2

aC

20; ;0

2

aD

2 2 2 2;0; , ; ;0

4 4 4 4

a a a aM N

2 2 2

; ;2 4 4

a a aMN

SAC 1;0;0n i

. 2 2

sin , cos ,3.

MN nMN SAC MN n

MN n tan ; 2 2MN SAC

. ' ' 'ABC A B C ABC a 2a

' ' 'A A A B A C tan 'A BC

ABC

2 11 2 5 2 11a 2 5a

O ABC 'A O ABC

I BC AI BC ABC

A

B

C

I

O

'A

'B

'C

O

S

A

z

Bx yC

D

M

N

I

E

F



Ta có : .

Mặt khác :

Nên góc giữa hai mặt phẳng và mặt phẳng bằng góc .

Có .

[Cách 2]:Phƣơng pháp toạ độ.


.

.

Véctơ pháp tuyến của là: .

Véctơ pháp tuyến của là: .

Ta có: .

Câu 16. Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật với , cạnh bên vuông

góc với mặt phẳng đáy và cạnh bên tạo với đáy một góc . Gọi là trung điểm các

cạnh bên và Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng .

A. . B. . C. . D. .



Ta có cắt tại

.

'

' ''

' , '

BC A O

BC AIBC A AI BC A I

A O AI O

A O AI A AI

'

:

' : '

A BC ABC BC

ABC AI BC

A BC A I BC

'A BC ABC 'A IA

2 2

22 2 21 1 3 3 11, ' ' 2

3 3 2 6 3 3

a a a aOI AI A O AA AO a '

tan 2 11A O

OI

3 3 3

0;0;0 , 0; ;0 , ; ;0 , ; ;03 2 6 2 6

a a a a aO A B C

2 2 33 33' ' ' 0;0;

3 3

a aA O A A AO A

3 33

' ; ; ; ;0;02 6 3

a a aA B BC a

'A BC

2 2

1

33 3' , 0; ;

3 6

a an A B BC

ABC 0;0;1n k

1

3cos cos ,

135n n tan 2 11

.S ABCD ABCD , 2AB a AD a SA

SC 060 ,M N

SA .SB S DMN

31

2 5

a 31

60

a 60

31

a 2 5

31

a

SA DMN M

,1

,

d S DMN SM

AMd A DMN

, ,d S DMN d A DMN

'A

'B

'C

A

B

CO

Ix

y

z

S

A

B C

D

M

N

H



Kẻ

Ta có : .

Mà .

Ta có: hay .

Ta có là hình chiếu của lên mặt phẳng nên góc giữa và bằng góc

.

Tam giác vuông tại suy ra: .

Xét vuông tại nên:

Vậy .


Ta có: . Ta có: .


Mặt khác .

Vậy .



AH MD

//MN ABMN SAD

AB SAD

AH SAD MN AH

,

AH MD

AH MNAH DMN

MD MN M

MD MN DMN

,d A DMN AH

AC SC ABCD SC ABCD

060SCA

SAC A 0tan 60 . 15SA AC a

MAD A2 2 2 2 2 2

1 1 1 4 1 31 60

15 4 60 31

aAH

AH AM AD a a a

60

,31

ad S DMN

3

, SMND

MND

Vd S DMN

S

//MN AB

MN SAD MN MDAB SAD

MND M21 1 31 31

. . .2 2 2 2 8

MND

a a aS MN MD

31 1 1 1 1 1 15. . . .

4 4 4 2 8 3 12

SMNDSMND SABD SABD

SABD

V SM SN aV V V SA AB AD

V SA SB

60

,31

ad S DMN

0;0;0 ; 0;0; 15 ; 0;2 ;0 ;

15 150;0; ; ;0; .

2 2 2

A S a D a

a a aM N

15 150; 2 ; ; ; 2 ; ;

2 2 2

0; 2 ; 15 .

a a aDM a DN a

DS a a

S

A

B C

D

M

N

x

y

z

H



.

Câu 17. Cho hình chóp đều có đáy là hình vuông cạnh , tâm . Góc giữa và mặt

phẳng bằng . Gọi là trung điểm của . Tính khoảng cách giữa và .

A. . B. . C. . D. .



Hình chóp đều, là tâm của đáy nên

Vì là hình vuông nên . Ta có: .

Góc giữa và là góc giữa và bằng góc .

Ta có . Mà

nên .

Gọi là trung điểm của . Kẻ .

Ta có: mà .

Lại có .

Vì là đường trung bình của tam giác nên .

Tam giác vuông tại nên ta có:

.

Vậy .

, . 60

;31,

DM DN DS ad S DMN

DM DN

.S ABCD ABCD a O SB

SAC 060 M SB AM CD

2

a 2

2

a

4

aa 2

SABCD O SO ABCD

ABCD AC BD BD AO

BD SACBD SO

SB SAC SB SO 060SOB

////

CD ABCD SAB

AB SAB

AM SAB

, , 2 ,d AM CD d CD SAB d O SAB

I AB OH SI

AB OI

AB SOIAB SO

OH SIO OH AB

,OH SI

OH SAB d O SAB OHOH AB

OI ABD 1

2 2

aOI AD

SBO O0

2 6

tan 60 62 3

OB a aSO

2 22 2 2 2

1 1 1 1 1 10

106

2 6

aOH

OH OI SO aa a

2

, , 2 , 210

ad AM CD d CD SAB d O SAB OH



[Cách 2]:Phƣơng pháp toạ độ.

Chọn hệ trục toạ độ sao cho:

Suy ra:

Câu 18. Cho hình lập phương có cạnh bằng . Gọi lần lượt là trung điểm và

. Tính khoảng cách giữa và

A. . B. . C. . D. .



Ta có

Gọi và là trung điểm của .

Ta có .

Lại có :

Do đó .


Chọn hệ trục toạ độ sao cho: .

6 2 2 2

0;0;0 ; 0;0; ; 0; ;0 ; C 0; ;0 ; ;0;06 2 2 2

a a a aO S A B

2 2 2 6; ;0 ; 0; ; ; 0; 2;0

2 2 2 6

a a a aAB AS AC a

, . 2

, ,10,

AB AS AC ad AM CD d C SAB

AB AS

. ' ' ' 'ABCD A B C D a ,M N AB

CD 'A C MN

2

4

a 2

2

a

2

a2a

// // 'BC MN MN A BC

, ' , ' , 'd MN A C d MN A BC d M A BC

' 'I A B AB H BI

//'

'

MH AIMH A B

AI A B

''

' '

MH A BMH A BC

MH BC BC ABB A

1 1 2

, ' , ' '2 4 4

ad MN A C d M A BC MH AI AB

0;0;0 ; ;0;0 ; ; ;0 ; ' 0;0; ; ;0;02

aA B a C a a A a M

S

A

BC

D

O

M

I

H

S

A

BC

D

O

M

x y

z

C

'A

A

B

D

'B 'C

'D

I

HM

N



Suy ra:

.

Câu 19. Cho hình chóp có đáy là hình thang cân , , . Biết

. Tính góc giữa hai đường thẳng và .

A. . B. . C. . D. .



Ta có nên góc giữa hai đường thẳng và là góc giữa hai đường thẳng và

BC. Vì là hình thang cân nên .

Gọi là trung điểm của .

Ta có: nên tứ giác là hình bình hành

nên .

Tam giác có

tam giác vuông tại .


.


.


.

Áp dụng định lí cosin trong tam giác :

.



Chọn hệ trục toạ độ như hình vẽ ta có:

Suy ra:

' ;0; ; 0; ;0 ; ;0;02

aBA a a BC a BM

', .

; ' ; ' ; '2 2',

BA BC BM ad MN A B d MN A BC d M A BC

BA BC

.S ABCD ABCD //AD BC 2AD a BC CD a

, 3SA ABCD SA a cosin SC AD

3 1

2

3

2

3

4

//AD BC SC AD SC

ABCD AB CD a

I AD

1

2

//

AI BC AD

AI BC

AICB

CI AB a

ACD 1

2CI AD

ACD C

ACD C

22 2 2 2 22 3 3AC AD CD a a a AC a

SAC A

222 2 2 23 3 12 2 3SC SA AC a a a SC a

SAB A

22 2 2 2 23 10 10SB SA AB a a a SB a

SBC

2 2 2 3cos

2S . 4

SC BC SBSCB

C BC

cosin SC AD3

4

0;0;0 ; 3;0;0 ; 0; ;0 ; 0;0;3C A a D a S a

3

0;0; 3a ; ; ;02 2

a aSC AB

. 3

cos , cos ,. 4

SC ABSC AD SC AD

SC AB

S

A

B C

DI

S

A

B C

ID

xy

z




Câu 20. Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại , , cạnh bên

, . Tính góc giữa và .

A. . B. . C. . D. .


[Phƣơng pháp tự luận]

Gọi là trung điểm cạnh . Kẻ . Vì tam giác vuông cân tại nên

Ta có: . Mà .

Ta có: .

Suy ra : góc giữa và là góc giữa và

bằng góc .

Tam giác vuông tại : có .

.

Vậy góc giữa và bằng .

[Cách 2]: Gán hệ trục tọa độ

Chọn hệ trục toạ độ sao cho:

Ta có :

Suy ra:

Mặt phẳng có véctơ pháp tuyến là: .

Đường thẳng có véctơ chỉ phương là: .

Suy ra:

. Vậy góc giữa và bằng .

cosin SC AD3

4

.S ABC ABC A AB CA a

SA ABC SA a SA SBC

arctan 2 2 arctan 22

arctan2

arctan 2

I BC AH SI ABC A AI BC

BC AI

BC SAIBC SA

AH SAI BC AH

AH SI

AH SBCAH BC

SA SBC SA SH

ASI

SAI A1 2

,2 2

aSA a AI BC

2tan

2

AIASI

AS

SA SBC2

arctan2

0;0;0 ; ; ;0;0 ; 0; ;0 ; 0;0;A B a C a S a

S ;0; , ; ;0B a a BC a a

2 2 2 2S, ; ; 1;1;1B BC a a a a

SBC 1;1;1n

SA 0;0;1k

1

sin ; cos ;3

SA SBC n k cot ; 2SA SBC

2

tan ,2

SA SBC SA SBC2

arctan2

S

A

B

C

I

H

B

S

z

AC

I

x

y

h c cÙng vietjack y trần xuân trườ · khoảng cách giữa hai đường thẳng song song...

Documents