guy van leemput sint-jozefcollege turnhout (belgië)
TRANSCRIPT
![Page 1: Guy Van Leemput Sint-Jozefcollege Turnhout (België)](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022110118/5551a0f04979591f3c8bb0e1/html5/thumbnails/1.jpg)
Guy Van Leemput
Sint-Jozefcollege Turnhout (België)
Pythagoreïsche drietallen
![Page 2: Guy Van Leemput Sint-Jozefcollege Turnhout (België)](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022110118/5551a0f04979591f3c8bb0e1/html5/thumbnails/2.jpg)
32 + 42 = 52
We noemen ( 3 , 4 , 5 ) een Pythagoreïsch drietal ( een PD )
![Page 3: Guy Van Leemput Sint-Jozefcollege Turnhout (België)](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022110118/5551a0f04979591f3c8bb0e1/html5/thumbnails/3.jpg)
Volgorde?
34 5
![Page 4: Guy Van Leemput Sint-Jozefcollege Turnhout (België)](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022110118/5551a0f04979591f3c8bb0e1/html5/thumbnails/4.jpg)
volgorde
- het grootste getal achteraan- het kleinste vooraan
![Page 5: Guy Van Leemput Sint-Jozefcollege Turnhout (België)](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022110118/5551a0f04979591f3c8bb0e1/html5/thumbnails/5.jpg)
Plimpton 322, ca 1900BC < 1600BC
![Page 6: Guy Van Leemput Sint-Jozefcollege Turnhout (België)](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022110118/5551a0f04979591f3c8bb0e1/html5/thumbnails/6.jpg)
Babylonische getallen
![Page 7: Guy Van Leemput Sint-Jozefcollege Turnhout (België)](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022110118/5551a0f04979591f3c8bb0e1/html5/thumbnails/7.jpg)
Lijst met kwadraten
1 4 9 16 25 36 49 64 81 100121 144 169 196 225 256 289 324361 400 441 484 529 576 625 676729 784 841 900
seq( x2 , x , 1 , 30 )
![Page 8: Guy Van Leemput Sint-Jozefcollege Turnhout (België)](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022110118/5551a0f04979591f3c8bb0e1/html5/thumbnails/8.jpg)
Lijst met kwadraten
seq( x2 , x , 1 , 30 )
1 4 9 16 25 36 49 64 81 100121 144 169 196 225 256 289 324361 400 441 484 529 576 625 676729 784 841 900
![Page 9: Guy Van Leemput Sint-Jozefcollege Turnhout (België)](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022110118/5551a0f04979591f3c8bb0e1/html5/thumbnails/9.jpg)
Het kwadraat van een oneven getal
(2v)2 = 4v2 = 4v’
(2v + 1)2 = 4v2 + 4v + 1 = 4v’ + 1
Het kwadraat van een even getalis een viervoud
is een viervoud + 1
![Page 10: Guy Van Leemput Sint-Jozefcollege Turnhout (België)](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022110118/5551a0f04979591f3c8bb0e1/html5/thumbnails/10.jpg)
Zelf op zoek naar PD
Clear all ListsSTAT edit L1 = seq ( x , x , 1 , 99 )L2 = seq (x2 , x , 1 , 99 )L3 = seq ( x2 , x , 2 , 100)
L4 = √( L2 + L3 )
Lijst van de kwadraten van 1 tot 99
Lijst van de kwadraten van 2 tot 100
dus b = a + 1
Bijvoorbeeld met GRM TI-84(+)
Is de wortel van de som van deze twee opeenvolgende kwadraten een natuurlijk
getal?
![Page 11: Guy Van Leemput Sint-Jozefcollege Turnhout (België)](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022110118/5551a0f04979591f3c8bb0e1/html5/thumbnails/11.jpg)
Voor welke a is a2 + (a+1)2 terug een kwadraat?
( 3 , 4 , 5 )
( 20 , 21 , 29 )
![Page 12: Guy Van Leemput Sint-Jozefcollege Turnhout (België)](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022110118/5551a0f04979591f3c8bb0e1/html5/thumbnails/12.jpg)
c = b + 2
L1 = seq ( x , x , 1 , 99 )L2 = seq (x2 , x , 1 , 99 )
L3 = seq ( x2 , x , 3 , 101)
L4 = √( L2 + L3 )
Lijst van de kwadraten van 1 tot 99
Lijst van de kwadraten van 3 tot 101
![Page 13: Guy Van Leemput Sint-Jozefcollege Turnhout (België)](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022110118/5551a0f04979591f3c8bb0e1/html5/thumbnails/13.jpg)
Voor welke a is a2 + (a + 2)2 terug een kwadraat?
( 6 , 8 , 10)
( 3 , 4 , 5 )
( 40 , 42 , 58 )
( 20 , 21 , 29 )
![Page 14: Guy Van Leemput Sint-Jozefcollege Turnhout (België)](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022110118/5551a0f04979591f3c8bb0e1/html5/thumbnails/14.jpg)
PD en PPD
( 9 , 12 , 15 )
( 3 , 4 , 5 )
: 3
![Page 15: Guy Van Leemput Sint-Jozefcollege Turnhout (België)](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022110118/5551a0f04979591f3c8bb0e1/html5/thumbnails/15.jpg)
PPD
We noemen ( a , b , c ) een PPD als ( a , b , c ) een PD is en a , b , c onderling ondeelbaar zijn
![Page 16: Guy Van Leemput Sint-Jozefcollege Turnhout (België)](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022110118/5551a0f04979591f3c8bb0e1/html5/thumbnails/16.jpg)
Dan zijn de drie getallen alle even en dus niet PPD
(2v)2 = 4v2 = 4v’
Bij een PPD zullen nooit de rechthoekszijden beide even zijn
Het kwadraat van een even getal is een viervoud
De som van twee viervouden is terug een viervoud
Als het kwadraat een viervoud is dan moet het een kwadraat zijn van een even getal
![Page 17: Guy Van Leemput Sint-Jozefcollege Turnhout (België)](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022110118/5551a0f04979591f3c8bb0e1/html5/thumbnails/17.jpg)
Tegenspraak want een kwadraat is steeds een viervoud of een viervoud + 1
(2v+1)2 = 4v’+ 1
4v’+ 1 + 4v”+ 1 = 4v + 2
Bij een PPD zullen nooit de rechthoekszijden beide oneven zijn
Het kwadraat van een oneven getal is een viervoud + 1
De som van twee kwadraten (van oneven getallen) is dan een viervoud + 2
![Page 18: Guy Van Leemput Sint-Jozefcollege Turnhout (België)](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022110118/5551a0f04979591f3c8bb0e1/html5/thumbnails/18.jpg)
Dus als ( a , b , c ) een PPD ismet c de schuine zijde, dan is a even en b oneven of omgekeerd
![Page 19: Guy Van Leemput Sint-Jozefcollege Turnhout (België)](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022110118/5551a0f04979591f3c8bb0e1/html5/thumbnails/19.jpg)
b = a + 3
( 9 , 12 , 15 )
( 3 , 4 , 5 )
: 3
( 60 , 63, 87 )
( 20 , 21 , 29 )
: 3
L3= seq ( x2 , x , 4 , 102 )
![Page 20: Guy Van Leemput Sint-Jozefcollege Turnhout (België)](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022110118/5551a0f04979591f3c8bb0e1/html5/thumbnails/20.jpg)
Zoek x en y zodat ( 5 , x , y ) PPD is
€
52 = y 2 − x 2
€
52 = y − x( ) y + x( )
€
y − x =1
y + x = 25
⎧ ⎨ ⎩
€
y − x = 5
y + x = 5
⎧ ⎨ ⎩
€
y = 5 en x = 0
€
y =13 en x =12
( 5 , 12 , 13 ) is PPD
![Page 21: Guy Van Leemput Sint-Jozefcollege Turnhout (België)](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022110118/5551a0f04979591f3c8bb0e1/html5/thumbnails/21.jpg)
Zoek x en y zodat ( 7 , x , y ) PPD is
€
72 = y 2 − x 2
€
72 = y − x( ) y + x( )
€
y− x = 1
y+ x = 49
⎧ ⎨ ⎩
€
y− x = 7
y+ x = 7
⎧ ⎨ ⎩
€
y = 7 en x = 0
€
y = 25 en x = 24
( 7 , 24 , 25 ) is PPD
![Page 22: Guy Van Leemput Sint-Jozefcollege Turnhout (België)](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022110118/5551a0f04979591f3c8bb0e1/html5/thumbnails/22.jpg)
Zoek x en y zodat ( 9 , x , y ) PPD is
€
92 = y 2 − x 2
€
92 = y − x( ) y + x( )
€
y − x =1
y + x = 81
⎧ ⎨ ⎩
€
y − x = 9
y + x = 9
⎧ ⎨ ⎩
€
y = 9 en x = 0
€
y = 41 en x = 40
( 9 , 40 , 41 ) is PPD €
y − x = 3
y + x = 27
⎧ ⎨ ⎩
€
y =15 en x =12( 9 , 12 , 15 )
( 3 , 4 , 5 )
![Page 23: Guy Van Leemput Sint-Jozefcollege Turnhout (België)](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022110118/5551a0f04979591f3c8bb0e1/html5/thumbnails/23.jpg)
Zoek x en y zodat ( p , x , y ) PPD is
€
p2 = y 2 − x 2
€
p2 = y − x( ) y + x( )
€
y − x =1
y + x = p2
⎧ ⎨ ⎩
€
y − x = p
y + x = p
⎧ ⎨ ⎩
€
y = p en x = 0
€
y =p2 +1
2 en x =
p2 −1
2
€
p,p2 −1
2,p2 +1
2
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ PD want
…
Het kwadraat van een oneven
getal is een 4v+1
stel p priem
want p is priem
Pis
![Page 24: Guy Van Leemput Sint-Jozefcollege Turnhout (België)](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022110118/5551a0f04979591f3c8bb0e1/html5/thumbnails/24.jpg)
Zoek x en y zodat ( p , x , y ) PPD is
€
p2 = y 2 − x 2
€
p2 = y − x( ) y + x( )
€
y − x =1
y + x = p2
⎧ ⎨ ⎩
€
y − x = p
y + x = p
⎧ ⎨ ⎩
€
y = p en x = 0
€
y =p2 +1
2 en x =
p2 −1
2
€
p,p2 −1
2,p2 +1
2
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ Is PD want …
Het kwadraat van een oneven
getal is een 4v+1
stel p oneven
![Page 25: Guy Van Leemput Sint-Jozefcollege Turnhout (België)](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022110118/5551a0f04979591f3c8bb0e1/html5/thumbnails/25.jpg)
Lijst van PPDa b c
3 4 5
5 12 13
7 24 25
9 40 41
11 60 61
13 84 85
20 21 29
€
p,p2 −1
2,p2 +1
2
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
![Page 26: Guy Van Leemput Sint-Jozefcollege Turnhout (België)](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022110118/5551a0f04979591f3c8bb0e1/html5/thumbnails/26.jpg)
Zoek x en y zodat ( 8 , x , y ) PPD is
€
82 = y 2 − x 2
€
82 = y − x( ) y + x( )
€
y − x =1
y + x = 64
⎧ ⎨ ⎩
€
y − x = 8
y + x = 8
⎧ ⎨ ⎩
€
y = 8 en x = 0
€
y = 32,5 en x = 31,5
€
y − x = 2
y + x = 32
⎧ ⎨ ⎩
€
y =10 en x = 6
( 6 , 8 , 10 )
( 3 , 4 , 5 )€
y − x = 4
y + x =16
⎧ ⎨ ⎩
€
y =17 en x =15
( 8 , 15 , 17 )
![Page 27: Guy Van Leemput Sint-Jozefcollege Turnhout (België)](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022110118/5551a0f04979591f3c8bb0e1/html5/thumbnails/27.jpg)
Zoek x en y zodat ( 2v , x , y ) PPD is
€
(2v)2 = y 2 − x 2
€
2 . 2v 2 = y − x( ) y + x( )
€
y = v 2 +1 en x = v 2 −1
( 2v , v2 -1 , v2 +1) is PD€
y − x = 2
y + x = 2v 2
⎧ ⎨ ⎩
Ook PPD ?
Als v oneven is dan is v2 een viervoud +1
Als v even is dan is v2 een viervoud
![Page 28: Guy Van Leemput Sint-Jozefcollege Turnhout (België)](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022110118/5551a0f04979591f3c8bb0e1/html5/thumbnails/28.jpg)
2v v2 -1 V2+1
4 3 5
8 15 17
12 35 37
16 63 65
20 99 101
met v even
![Page 29: Guy Van Leemput Sint-Jozefcollege Turnhout (België)](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022110118/5551a0f04979591f3c8bb0e1/html5/thumbnails/29.jpg)
a b c
3 4 5
5 12 13
7 24 25
9 40 41
11 60 61
13 84 85
20 21 29
2v v2 -1 V2+1
4 3 5
8 15 17
12 35 37
16 63 65
20 99 101
![Page 30: Guy Van Leemput Sint-Jozefcollege Turnhout (België)](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022110118/5551a0f04979591f3c8bb0e1/html5/thumbnails/30.jpg)
Volgorde?
34 5
- achteraan het grootste getal- vooraan het kleinste / het even getal / het oneven getal
![Page 31: Guy Van Leemput Sint-Jozefcollege Turnhout (België)](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022110118/5551a0f04979591f3c8bb0e1/html5/thumbnails/31.jpg)
Eerste getal oneven of eerste getal even
a b c
3 4 5
5 12 13
7 24 25
9 40 41
11 60 61
13 84 85
15 8 17
21 20 29
35 12 37
a b c
4 3 5
8 15 17
12 5 13
12 35 37
16 63 65
20 21 29
24 7 25
40 9 41
60 11 61
a b c
3 4 5
5 12 13
7 24 25
8 15 17
9 40 41
11 60 61
12 35 37
13 84 85
20 21 29
![Page 32: Guy Van Leemput Sint-Jozefcollege Turnhout (België)](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022110118/5551a0f04979591f3c8bb0e1/html5/thumbnails/32.jpg)
a , b , c met a2 + b2 = c2
a , b , b+k met a2 + b2 = (b + k)2
a2 + b2 = b2 + 2bk + k2
a2 = 2bk + k2
2bk = a2 – k2
b = …