guion de la practicas laboratorio física i

GRADOS EN INGENIERÍA DE TECNOLOGÍAS

INDUSTRIALES E INGENIERÍA QUÍMICA

CURSO 2014-2015

PRÁCTICAS DE FÍSICA I

1. Estática y dinámica: principio de Arquímedes y ley de Stokes.

2. Leyes de la dinámica: 2ª ley de Newton.

3. Oscilaciones mecánicas: péndulo de Pohl.

4. Coeficiente adiabático del aire: oscilador de Flammersfeld.

Apéndice: Ajuste por el método de mínimos cuadrados.

ESCUELA DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA

UNIVERSIDAD DE ZARAGOZA

C/ MARÍA DE LUNA, 3

E-50018 ZARAGOZA

ESPAÑA

Prácticas de Física I (1er

curso, Grados en Ing. de Tecnologías Industriales y Química)

2

PRÁCTICA 1

PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES Y LEY DE STOKES.

OBJETIVO:

La práctica trata del estudio experimental de la ley de Stokes, que relaciona la fuerza de

fricción viscosa que produce un fluido sobre un objeto que se mueve en él (fuerza de

arrastre).

Se va a manejar también el principio de Arquímedes. Más concretamente, se utilizará el

concepto de fuerza de empuje que experimenta un objeto al sumergirse en un fluido

para aplicarlo a la medida de la densidad de la glicerina utilizando una balanza

mecánica.

FUNDAMENTO TEÓRICO:

El principio de Arquímedes establece que todo cuerpo sumergido en un fluido

experimenta un empuje FE, vertical hacia arriba de valor igual al peso de fluido

desplazado:

Empuje = FE = gV,

donde es la densidad del fluido y V el volumen del cuerpo que está sumergido en el

fluido. Es decir, medir el empuje permite obtener el valor de la densidad del fluido,

conocidos la gravedad y el volumen del cuerpo sumergido.

Cuando un objeto se mueve dentro de un fluido a poca velocidad (o es el fluido el que

se mueve estando el objeto fijo inmerso en él), sufre una fuerza viscosa o de arrastre que

es proporcional al tamaño del mismo y a su velocidad y se opone a ésta. En el caso de

un objeto esférico la fuerza está dada por:

F v 6 R , (1)

donde es una constante característica del fluido que se llama viscosidad y que indica

de una forma intuitiva lo “pastoso” que es el fluido. La unidad de viscosidad en el

sistema CGS (en toda esta práctica los números son más simples si se utiliza el sistema



3

CGS, por ejemplo g = 980 cm/s2) es el poise = dyns/cm

2 = g/scm. Por ejemplo, el

aceite de oliva es muy viscoso mientras que el agua lo es menos (aunque el aceite es

menos denso que el agua). Los gases son también viscosos aunque mucho menos que

los líquidos. La viscosidad disminuye muchísimo con el aumento de la temperatura, la

experiencia diaria nos dice que los líquidos viscosos (como el aceite) se hacen más

fluidos al calentarlos.

En esta práctica vamos a estudiar experimentalmente si la ley de Stokes se cumple o no.

Para ello dejaremos caer bolas de acero de distinto radio en un tubo lleno de glicerina

(que es un líquido viscoso). El movimiento de una bola vendrá regulado por las leyes de

la Mecánica. Las fuerzas que actúan son (ver figura):

- la gravedad:

F mg V g R gg 4

3

3 ( = densidad del acero = 7.86 g/cm3)

- Empuje, según Arquímedes, igual al peso del fluido desalojado:

F V g R ge f 0

3

0

4

3, siendo 0 la densidad del fluido.

- fuerza de fricción viscosa: F 6 R vv

La ecuación del movimiento (consideramos sentido positivo hacia abajo) es:

F F F ma mdv

dtg e v , es decir:

4

36

4

3

3

0

3 R g R v Rdv

dt (2)

Si dejamos caer libremente una bola sin velocidad inicial en un fluido, al principio la

fuerza viscosa es cero y, si la densidad es mayor que la del fluido, se acelerará debido a

que la fuerza de la gravedad es mayor que el empuje. Pero no descenderá con

movimiento uniformemente acelerado porque conforme la velocidad aumenta aparece la

fuerza de rozamiento viscoso y la aceleración es cada vez menor. Finalmente se

alcanzará una velocidad límite cuando la suma de las tres fuerzas sea cero y a partir de

ese momento la bola se moverá con aceleración nula. La velocidad límite v0 se obtiene

poniendo en la ecuación (2) la aceleración cero:



4

4

36 0

2

9

3

0 0 0

2

0

R g R v v

R g

(3)

, es decir, es proporcional al radio al cuadrado de la bola.

El tiempo T que tardará la bola en alcanzar la velocidad límite es del orden de 4 ó 5

veces el valor:

T

R

R

R

4

3

6

2

9

32

. (4)

En nuestro caso, la velocidad límite se alcanza en pocos centímetros.

MÉTODO OPERATIVO:

I. Principio de Arquímedes: determinación de la densidad de la glicerina.

Se dispone de: una balanza mecánica, cilindros de 10 cm3 de volumen (inmersores) y

una probeta que contiene glicerina.

La balanza consta de un soporte (15) con un tornillo que permite el equilibrado de la

balanza (16), y de una pieza metálica que se apoya sobre él (brazo de la balanza). Dicho

brazo dispone de dos escalas graduadas y dos pesas deslizantes (5) y (6). La mayor de

las pesas desliza sobre una escala graduada en gramos, y la menor sobre una escala



5

graduada en centésimas de grado. La balanza estará en equilibrio cuando los punteros

del brazo (11) y del soporte (12) queden perfectamente enfrentados.

Se comienza haciendo un ajuste a cero con el tornillo (16) teniendo las pesas deslizantes

en la posición 0. Cuando la balanza está equilibrada, se coloca en el platillo el cuerpo

que se quiere pesar y se desplazan las pesas sobre las escalas hasta recuperar la posición

de equilibrio de la balanza (se mueve la pesa grande manteniendo la pesa pequeña en

cero, para finalmente ajustar la posición de la pesa pequeña). En estas condiciones,

bastará con sumar los valores de las posiciones en que descansen las pesas para obtener

la masa buscada.

La balanza está preparada para pesar utilizando un platillo (1) y su soporte (2). No es

posible equilibrar la balanza sin ellos, pero resulta más cómodo retirarlos para la

realización de la práctica. Por este motivo se equilibrará la balanza con estos accesorios

y habrá que tener en cuenta que cualquier medida posterior tendrá descontada su masa,

en adelante M. Al obtenerse el empuje como una diferencia de pesos, no será necesario

conocer el valor de M.

Sean maire la masa medida al colgar el inmersor del gancho de la balanza, y mglicerina la

obtenida al sumergir completamente el inmersor en la glicerina. El cilindro no debe

tocar las paredes de la probeta. Al sumergirlo por completo (incluido el tornillo),

experimentará un empuje que se podrá calcular restando al peso del inmersor el

obtenido tras introducirlo en el fluido:

FE = (maire + M) g – (mglicerina + M) g = (maire – mglicerina) g

Aplicando el principio de Arquímedes, se obtiene la siguiente expresión:

(maire – mglicerina) g = Vg

Sólo queda despejar la densidad y obtener su valor (¡no olvidar sus unidades!).

II. Ley de Stokes:

Se trata de dejar caer bolas de acero calibradas en un límite de tubo vertical lleno de

glicerina, que es un líquido muy viscoso. Se lanzarán bolas de distintos radios

(previamente conocidos) y se determinará experimentalmente la velocidad caída de cada

una midiendo con un cronómetro el tiempo que tardan en recorrer la distancia entre dos



6

marcas hechas con cinta aislante. Finalmente se representará en papel milimetrado el

cociente R

v

2

0 como función de R, que según la fórmula (2) debe ser constante e igual a

9

2 0

g si la ley de Stokes es válida. De todas formas recuérdese que la ley de

Stokes sólo es válida para pequeñas velocidades, por lo que los puntos se desviarán para

velocidades (y radios) grandes.

1) Se dispondrá de bolas de distinto radio, desde 0.5 mm a 2.5 mm Se dispondrá de un

palmer o calibrador para medir su diámetro o bien estará previamente medido y

anotado.

2) Lanzar 6 bolas de cada tamaño y determinar su velocidad límite de caída (= v0)

midiendo el tiempo que tardan en recorrer la distancia entre dos marcas del tubo. Anotar

en una tabla los datos obtenidos para cada bola. Calcular los valores de R

v

2

0 que resultan

para cada bola.

3) Hacer el promedio de los resultados de R2/v0 que corresponden a bolas del mismo

radio y representarlos en papel milimetrado tomando los valores de R como abscisas.

4) Decir si se cumple la ley de Stokes o no. Obtener la viscosidad de la glicerina de la

extrapolación a R 0.

La viscosidad de la glicerina no puede darse con un único valor. Utilizando un reómetro

de la Facultad de Ciencias, se ha medido la viscosidad de la glicerina que utilizamos en

el laboratorio para diferentes temperaturas en el rango de 10 a 40 ºC.

Medir con un termómetro la temperatura de la sala y comparar el resultado con los datos

obtenidos con el reómetro, que se muestran en la siguiente tabla:

T(ºC) (poise)

================

10 18,2

15 13,6

20 8,0

25 6,3

30 4,5

35 3,3

40 2,5



7

5) En este rango de temperaturas, el logaritmo neperiano de es aproximadamente

lineal con la temperatura. Representar gráficamente y ln ((T) / (20ºC) ) frente a T

(en ºC).

Ajustar los datos de la tabla a una recta por mínimos cuadrados y representar en la

misma gráfica los datos, la recta de ajuste y con un punto el dato medido en esta

práctica. ¿Coincide con lo esperado?



8

CCUUEESSTTIIOONNAARRIIOO PPRRÁÁCCTTIICCAA 11::

PPRRIINNCCIIPPIIOO DDEE AARRQQUUÍÍMMEEDDEESS YY LLEEYY DDEE SSTTOOKKEESS

I. Principio de Arquímedes:

Medidas con la balanza: maire=……………… mglicerina=………………

Valor obtenido para la densidad: =………..

II. Ley de Stokes. Tabla de datos (apartado 2):

R(mm) t(s) v0(cm/s) R

v

2

0

(cms) R(mm) t(s) v0(cm/s) R

v

2

0

(cms)

3) y 4) En el papel milimetrado.

Viscosidad : Temperatura:

5) Datos de la tabla de viscosidad para distintas temperaturas.

Representar

ln20º

yC

frente a ºx T C . Ajustar los datos a una recta

y a bx por mínimos cuadrados y representarla junto con los datos.

Coeficientes del ajuste: a=..................... b=.......................

Valor de obtenido del ajuste a la temperatura de trabajo: ............................

Representar también en la misma gráfica el valor encontrado experimentalmente en la

práctica.



9

PRÁCTICA 2

LEYES DE LA DINÁMICA:

2ª LEY DE NEWTON.

OBJETIVO:

En esta práctica se van a manejar las magnitudes básicas de la dinámica de una

partícula y se va a estudiar la relación entre la fuerza que actúa sobre una partícula y la

aceleración que le comunica.


Según la segunda Ley de Newton, la fuerza total F que actúa sobre un cuerpo es la

derivada temporal de su momento lineal p, /F dp dt . Si la masa del cuerpo, m,

permanece constante durante el movimiento, la ecuación anterior es equivalente a:

F ma , siendo a la aceleración de la partícula. Partiendo de ésta, puede demostrarse

que las ecuaciones de movimiento de un objeto que se mueve bajo la acción de una

fuerza constante en una trayectoria recta son: 2

0 / 2S v t at y 2 2

0 2fv v aS , donde S

es el espacio recorrido, 0v y fv son las velocidades en los instantes inicial y final

respectivamente y t es el tiempo transcurrido.

Se va a estudiar el movimiento de un carrito de masa mc que puede desplazarse sobre

un carril metálico. Una cuerda que pasa por una polea tira del carrito. La cuerda se

mantiene a una tensión T que puede modificarse colgando pesas de distinta masa (mp)

de un soporte (ms) en el otro extremo de la cuerda.

Como el movimiento del carrito es unidimensional prescindimos de la notación

vectorial de las magnitudes. Si puede despreciarse la acción del rozamiento, las

ecuaciones de movimiento para las masas involucradas son:

p s p s

c

m m g T m m a

T m a

(1)

Cuando se introduce el rozamiento entre el carrito y el carril metálico, la última

ecuación se convierte en:

T – Froz = mca



10

ESQUEMA DEL MONTAJE EXPERIMENTAL Y MATERIAL NECESARIO:

Material necesario:

- Reloj

- Carrito, mc; Pesas, mp.

- Puertas 1 y 2.

- Soporte guía para el movimiento del Carrito.

Algunos de los elementos de la práctica son bastante delicados. En particular los carritos

y la polea deben ser manejados con mucho cuidado.

Un aspecto importante de esta práctica consiste en la medida precisa de intervalos de

tiempo, para lo que se usan unas puertas fotoeléctricas (dos por montaje) conectadas a

un reloj.

Sobre el carrito móvil se coloca una pieza de cartón (C) con altura suficiente para ser

detectada por la célula (y disparar el reloj) y que permite caracterizar el movimiento del

carrito. Estos medidores tienen varios modos de funcionamiento, que se seleccionan con

el mando correspondiente. En esta práctica vamos a utilizar dos.

Modo “pulso”: El medidor nos proporciona directamente el tiempo que tarda el

carrito en recorrer la distancia entre las dos puertas.



11

Modo “gate”: Mide el tiempo durante el que un obstáculo bloquea la célula de

cada una de las puertas. En este caso el obstáculo es la pieza de cartulina colocada sobre

el carrito. Conociendo su longitud (se mide) puede hacerse un cálculo de la velocidad

del carrito cuando atraviesa cada puerta. Es importante tener en cuenta que en este

modo la primera medida de tiempo (durante el que la célula de la primera puerta está

bloqueada) queda almacenada en la línea de abajo (t-1) del medidor. La lectura de la

línea de arriba corresponde al tiempo acumulado de los dos pasos bajo las puertas

fotoeléctricas.

Además del mando que permite seleccionar el modo de medida, hay un botón de “reset”

que permite llevar a cero el reloj en cualquier momento.

Es importante familiarizarse con las diferentes medidas de tiempo que habrá que

realizar antes de comenzar la toma de datos propiamente dicha.

MÉTODO OPERATIVO:

El objetivo es determinar la aceleración del carrito sometido a fuerzas distintas. La

aceleración se determinará de forma indirecta, a partir de la medida de tiempos (célula

fotoeléctrica + reloj) y longitudes (regla). Será necesario medir la masa del soporte y de

las distintas pesas que se cuelguen para tensar la cuerda.

Para cada valor de fuerza aplicada sobre el carrito (distintos valores de la tensión) su

aceleración se va a medir por dos métodos:

Método 1. Partiendo del reposo, se medirá el tiempo que el carrito tarda en

recorrer una determinada distancia. Para ello, trabajando en modo “pulso” dejaremos

suelto al carrito en la posición más próxima posible a la puerta 1, sin que llegue a

dispararse el reloj y dejaremos que pase bajo la puerta 2, situada a una distancia S. Se

repetirá el proceso varias veces y se calculará la aceleración despejando en la ecuación

2

0 / 2S v t at .



12

Método 2. La aceleración del carrito también puede calcularse a partir de los

valores de su velocidad medidos en dos puntos separados una distancia S y usando la

ecuación 2 2

0 2fv v aS . Para calcular esas velocidades pondremos el medidor de

tiempo en modo “gate” y dejaremos en libertad el carrito desde una posición inicial de

manera que atraviese las dos puertas. Sabiendo la longitud del obstáculo utilizado (lo

medimos) y el tiempo durante el que dicho obstáculo bloquea la célula (lo da el reloj)

podemos calcular la velocidad del carrito al pasar bajo cada una de las dos puertas: v0 y

vf.

Parte 1: Medidas sin rozamiento

Recordar que para cada valor de tensión, (se proponen varios valores para la masa que

cuelga, a título indicativo) habrá que hacer varias medidas de los tiempos (al menos 5)

para obtener un resultado más fiable, mediante promediado. Escoger 3 valores de masas

en los rangos 5-10 g, 30-40 g, 60-70 g.

Parte 2: Medidas con rozamiento

Para aumentar el rozamiento con el carril, se puede acoplar a la parte inferior del carrito

una plaquita con un adhesivo de fieltro. Para la mayor de las masas usadas en el

apartado anterior, se repetirán las medidas que permiten calcular la aceleración por el

método 2 y se compararán los valores de aceleración obtenidos sin y con rozamiento.

Parte 3: Plano inclinado

En esta última parte se va a inclinar el carril convirtiéndolo así en un plano inclinado.

Utilizando una de las masas anteriores para tensar la cuerda, se repetirá la medida de la

aceleración del carrito tal y como se ha hecho antes y se comparará su valor con el

obtenido sin inclinar el carril.



13

CCUUEESSTTIIOONNAARRIIOO PPRRÁÁCCTTIICCAA 22::

LLEEYYEESS DDEE LLAA DDIINNAAMMIICCAA:: 22ªª LLEEYY DDEE NNEEWWTTOONN..

1) Medidas sin rozamiento:

Determinar la aceleración del carrito, por los dos métodos descritos, para tres valores de

tensión.

Método 1:

m

p t

1 t

2 t

3 t

4 t

5 <t> a

Fórmula usada:

Método 2:

m

p t

01 t

02 t

03 t

04 t

05 < t

0> t

f1 t

f2 t

f3 t

f4 t

f5 < t

f> a

Fórmula usada:

Conociendo la aceleración y la masa de las pesas que cuelgan puede calcularse la

tensión de la cuerda T (ecuaciones en (1)). Hacer los cálculos necesarios para rellenar la

tabla:

m

p a (método 2) (m

S +m

P)(g-a) m

ca



14

¿Son iguales las dos últimas columnas? En caso de que no lo sean, discutir las posibles

causas de la discrepancia.

2) Medidas con rozamiento:

Masa utilizada mp= Aceleración del carrito a=

Con los datos de que dispones, ¿es posible calcular el valor de la fuerza de rozamiento

que actúa sobre el carrito?

3) Medidas en el plano inclinado:

Masa utilizada mp= Aceleración del carrito a=

¿Es posible calcular el ángulo del plano inclinado a partir de esa medida de la

aceleración teniendo en cuenta los resultados anteriores?

En caso afirmativo, comparar ese ángulo con el valor que puede determinarse

geométricamente.



15

PRÁCTICA 3

OSCILACIONES MECÁNICAS:

PÉNDULO DE POHL.

OBJETIVO:

Estudio experimental de las oscilaciones amortiguadas libres y forzadas de un péndulo

de torsión y comparación de los datos experimentales con los calculados.


El péndulo de Pohl (ver dibujo) es un sistema oscilante en el que, para pequeñas

oscilaciones, el ángulo respecto a la posición de equilibrio varía de forma armónica

con el tiempo. Por tanto, todo el tratamiento descrito en las clases de teoría para el

movimiento libre y forzado (con y sin amortiguamiento) es válido.

PÉNDULO LIBRE AMORTIGUADO

La ecuación de movimiento de este sistema es:

KBI (1)

donde I es el momento de inercia del péndulo, B es una constante de proporcionalidad

que depende de la magnitud del amortiguamiento y K es la constante recuperadora del

muelle de torsión.

Dividiendo por I, nos encontramos con la ecuación característica de un oscilador libre:

02

0 (2)

donde B

I es la constante de amortiguamiento y

I

K 0 es la frecuencia angular

propia (natural) de las oscilaciones libres. En función de cuál sea la relación entre 0 y

pueden darse tres situaciones:

1. 02

2

4 Sobreamortiguamiento: el péndulo, tras sacarlo de su posición de

equilibrio, vuelve a ella sin oscilar.

2. 02

2

4 Amortiguamiento crítico: la vuelta al equilibrio se produce lo más

rápidamente posible sin oscilar.



16

3. 02

2

4 Oscilador amortiguado. El péndulo oscila siguiendo la ecuación:

tet

A

120 cos (3)

donde A0 es la amplitud angular inicial del movimiento y 4

2

12

0

NOTA: Si se utiliza la constante de amortiguamiento definida como =b/2m (o

=B/2I en el péndulo de la práctica), hay que sustituir por 2 en todas las

expresiones que aparecen en este guión.

PÉNDULO FORZADO AMORTIGUADO

Cuando sobre el péndulo se ejerce un momento externo periódico, dado por la

expresión: tMM E cos0 , la ecuación de movimiento en este caso es (siendo

0F 0M

I):

tF cos02

0 (4)

cuya solución será suma de la solución general vista arriba para las oscilaciones libres

más una solución particular, que caracterizará el estado estacionario de movimiento

descrita por:

)cos( tAF (5)

donde la amplitud del movimiento forzado AF depende de la magnitud del momento

aplicado y de la frecuencia externa

2220

2 2

0

)(

FAF (6)

y el desfase entre el momento externo y la oscilación viene dado por:

arctg

202



17


Material necesario:

- Péndulo de torsión (PPTT)

- Caja de control, que incluye:

-Motor impulsor (MM)

-Fuente de alimentación (FF) y amperímetro (A) para controlar la intensidad del

circuito

-Cronómetro (CCrr)

MÉTODO OPERATIVO:

En este montaje, el amortiguamiento del sistema se controla variando la intensidad que

circula por el circuito (leída en el amperímetro A). La intensidad se varía con el mando

del frontal de la fuente: a mayor intensidad, mayor amortiguamiento.

Por otra parte, el momento impulsor externo actúa sobre el extremo del muelle espiral.

La frecuencia angular del momento externo puede variarse mediante los dos mandos

del motor (M) situados en la parte inferior del frontal de la fuente. El de la derecha

permite variaciones más pequeñas de la frecuencia (ajuste fino).

En la práctica se trata de:

1 a) Determinar el periodo de las oscilaciones libres del péndulo de torsión. Se aconseja

medir el tiempo que le cuesta al péndulo realizar N oscilaciones (por ejemplo 5) tN y

calcular el periodo: T=tN/N. Hay que realizar varias medidas para disminuir el error.

Conexiones

del circuito

de amortig.

PT OO:OO 0 0 : 0 0 Cr

M

A

Control de la

intensidad de

amortiguamiento

Control de la

velocidad del

motor

F



18

Repetir el procedimiento para distintos valores de amortiguamiento (distintos valores de

intensidad del circuito). Hay que controlar cuidadosamente la intensidad de

amortiguamiento ya que puede ir disminuyendo en el transcurso de la medida y puede

ser necesario retocar el mando correspondiente.

b) Para uno de los valores de amortiguamiento, determinar la constante . Para

ello, observad el decrecimiento de la amplitud (A) de la oscilación en función del

tiempo, siendo A0 la amplitud inicial: An=A0exp(-t/2)=A0exp(-nT/2). (n indica el

número de oscilaciones contabilizadas y T es el periodo de la oscilación). Haced una

tabla de la amplitud de oscilación An en función de n y representad el log(A0/An) frente

a n. Trazad la recta que de forma aproximada mejor se ajuste a los datos que habéis

representado y obtened el valor de a partir de la pendiente de la recta.

2 a) Para el mismo valor de amortiguamiento utilizado en el apartado anterior y

haciendo actuar el momento impulsor, observad que la amplitud de las oscilaciones

forzadas depende de la frecuencia con que se impulsa. Obtened la curva de resonancia

de amplitud variando la frecuencia del impulso externo.

b) Sabiendo que la anchura a altura mitad de la curva de resonancia de

amplitud está relacionada con la constante de amortiguamiento mediante la expresión:

= /3, obtened el valor de y compararlo con el obtenido en el apartado 1b).

c) Observad el desfase entre la oscilación y el momento externo.



19

CCUUEESSTTIIOONNAARRIIOO PPRRÁÁCCTTIICCAA 33

OOSSCCIILLAACCIIOONNEESS MMEECCÁÁNNIICCAASS:: PPÉÉNNDDUULLOO DDEE PPOOHHLL

1) OSCILACIONES LIBRES AMORTIGUADAS

a) ¿Cuál es la frecuencia de las oscilaciones libres en ausencia de amortiguamiento?

b) Para los valores indicados de intensidad del circuito de amortiguamiento, indicad

cuáles son las frecuencias de oscilación.

INTENSIDAD (A) FRECUENCIA(rad/s)

0,4

0,6

0,9

c) Para un valor de amortiguamiento elegido, medid las amplitudes (decrecientes)

An de las oscilaciones sucesivas. Obtened la constante de amortiguamiento a partir de

la pendiente de la representación de log(A0/An) frente a n.

2) OSCILACIONES FORZADAS

a) Manteniendo el valor del amortiguamiento del apartado 1c), haced una tabla de

valores de amplitud AF de las oscilaciones forzadas para distintas frecuencias de la

fuerza externa (). Dibujad en la hoja de papel milimetrado adjunta la gráfica de AF

frente a (curva de resonancia).

b) Una vez obtenida la curva de resonancia, determinad la constante a partir de la

anchura de dicha curva.

c) Observad el desfase entre la oscilación y el momento externo para

valores de la frecuencia externa mayores y menores que 0.



20

OBJETIVO:

Determinar el coeficiente adiabático del aire a partir de la oscilación periódica de una

masa m sobre un volumen V de ese gas.


En esta práctica observaremos la oscilación de un cilindro de material plástico en el

interior de un tubo de vidrio (colocado verticalmente) en cuya parte central se ha

practicado un pequeño orificio.

Para mantener una oscilación estable, no amortiguada, se introduce de forma continuada

aire (el gas bajo estudio) en dicho tubo. Supongamos que el oscilador está situado

inicialmente por debajo del orificio del tubo. El gas que fluye hacia el sistema causa una

ligera sobrepresión que mueve al oscilador hacia arriba. Cuando

el cilindro sube por encima de la abertura practicada en el tubo,

el aire se escapa por dicha abertura (y a través de la holgura entre

el tubo de vidrio y el cilindro) provocando una caída de presión

que conlleva la bajada del cuerpo oscilante. Una vez que el

cilindro vuelva a bloquear la salida de aire por el orificio, el flujo

de aire provocará un nuevo aumento de presión que elevará el

cilindro, iniciándose así un nuevo ciclo.

Consideremos la aplicación de la 2ª Ley de Newton al movimiento del cilindro en el

tubo de vidrio. De acuerdo con el esquema de la figura, puede expresarse como:

2

0 2

( )y in out peso

i

d y tF F F F P A P A mg m

dt (1)



21

donde P y P0 son, respectivamente, la presión del aire en el interior y el exterior del

recipiente. En la situación de equilibrio, la resultante de fuerzas se anula y la presión en

el interior del recipiente toma el valor P = Peq :

0 0 0 2

0eq eq

mg mgP A P A mg P P P

A r (2)

Puesto que el cilindro se separa poco de su posición de equilibrio, el valor de la presión

del gas en el interior del recipiente tampoco se separará mucho de Peq. Definiendo esa

diferencia como P = P - Peq , la ecuación (1) se simplifica a la forma

2

2

2

( )d y tP A P r m

dt (3)

Pero, ¿cómo podemos expresar P en función de y? Dado que el proceso oscilatorio

tiene lugar de forma relativamente rápida, se puede considerar adiabático. La ecuación

de estado de un proceso adiabático para el aire en el interior del recipiente establece que:

1PV C (4)

donde V es el volumen de aire, el coeficiente adiabático que queremos hallar y C1 un

valor constante. La diferenciación de la ecuación (4) nos proporciona la siguiente

relación:

1 1

1 1 ( )dP d P

CV CV PV VdV dV V

(5)

De este modo, P

P VV

. Pero como la variación del volumen V respecto a la

situación de equilibrio es precisamente Ay, concluimos que P

P AyV

.

Reemplazando en (3) llegamos a la nueva expresión

2

2

2

( )d y t Pm A y

dt V (6)

…que aún no sabemos resolver porque P y V también dependen de y. Sin embargo, por

hallarnos en el régimen de pequeñas oscilaciones no es mala aproximación suponer que



22

eq

eq

PP

V V , lo que convierte a (6) en la ecuación de un oscilador armónico en el que la

fuerza es proporcional al desplazamiento

2

2

2

( ) eq

eq

Pd y tm A y

dt V (7)

y la frecuencia natural de oscilación toma el valor 0

eq

eq

PA

mV

En consecuencia, el cuadrado del periodo de oscilación es inversamente proporcional al

coeficiente adiabático del gas:

2

4

4 eq

eq

mVT

r P (8)

Y así podremos determinar a partir de la medición del periodo T.

Por otro lado, el coeficiente adiabático se puede predecir a partir de la teoría cinética de

los gases - con independencia del tipo de gas – considerando únicamente el número de

grados de libertad (f) de las moléculas del gas. Los grados de libertad de las moléculas

de un gas dependen del número de átomos que las componen. Así, un gas monoatómico

tiene solamente 3 grados de libertad, los de la traslación a lo largo de los tres ejes del

espacio, f=3; un gas diatómico tiene 2 grados adicionales debido a su capacidad de

rotación entorno a dos ejes principales de inercia, f=5; y finalmente, los gases

triatómicos tienen 3 grados de libertad por rotación y los 3 de traslación, haciendo que

f=6. Esto significa que a partir de la teoría cinética de los gases, y con independencia

del tipo de gas, el coeficiente adiabático será: 2f

f

.

Para gases monoatómicos, f=3 y =1.67.

Para gases diatómicos, f=5 y =1.40.

Para gases triatómicos, f=6 y =1.33.

Con unos valores típicos de m = 4.59 10-3

kg, V = 1.14 10-3

m3, P0 = 99.56 10

3 Pa y r

= 5.95 10-3

m, y tras unas diez medidas de unas 300 oscilaciones cada una, dan un

coeficiente adiabático del aire =1.38±0.08.



23


Material necesario:

Cilindro (oscilador) de masa m y radio r.

Tubo de vidrio donde oscila el cilindro, con una ranura. Está colocado sobre un

matraz.

Soporte y pinza que sujetan lo anterior.

Bomba de aire y tubos de goma para conducir el gas.

Botella “amortiguadora” de la presión de gas.

Llave reguladora del flujo de aire.

Tubo capilar que introduce el aire en el matraz que soporta el tubo de vidrio.

Balanza para pesar el cilindro oscilador, y calibre o micrómetro para medir su

diámetro (se utiliza un cilindro idéntico al del montaje para no manipular éste).

La presión necesaria de aire se genera con una pequeña bomba de aire. Se coloca una

botella entre el oscilador y la bomba de gas para actuar como un amortiguador de la

presión del gas. El aire pasa a través de una válvula reductora para conseguir un ajuste

adecuado de la presión en la zona del montaje que nos interesa. En el tubo que conduce

el aire se inserta un tubito de vidrio con una bolita de algodón en su interior para atrapar

la humedad.



24

Con la válvula reductora se debe regular la velocidad de flujo del gas de modo que el

cilindro oscile simétricamente alrededor de la marca. Si el centro de oscilación se

encuentra claramente por encima de la hendidura, si la oscilación no comienza, o si ésta

cesa cuando la presión del gas se reduce ligeramente, entonces lo más probable es que

haya entrado polvo en el sistema y el tubo de vidrio se debe limpiar de nuevo (avisar al

profesor*).

*Importante: El oscilador es una pieza de precisión y debe ser tratada con cuidado. Si

el oscilador está fuera del tubo, primero se establecerá el flujo de aire y después se

insertará el cilindro. Si el cilindro ya está dentro no hay que sacarlo, sino poner en

marcha la bomba. En ambos casos y ante cualquier modificación de la presión, debéis

colocar una mano sobre la abertura del tubo hasta que se obtenga una amplitud de

oscilación estable. La mano evitará una posible expulsión del cilindro del tubo de vidrio

por exceso de presión. Si el cilindro cae podría deformarse y dejar de ser válido para

oscilar dentro del tubo. Si el oscilador queda atascado en el extremo inferior del tubo,

hay que retirar el tubo de vidrio y aflojar cuidadosamente el oscilador con el extremo

romo de un lápiz. Además debéis ser cuidadosos con el material de vidrio,

especialmente con el tubo de oscilación.

MÉTODO OPERATIVO:

Medid la masa m del oscilador mediante una balanza.

Medid el diámetro 2r del oscilador testigo con un calibre. Tomad el valor medio de

varias mediciones en diferentes posiciones, ya que de este resultado depende en gran

medida la exactitud del objetivo de esta práctica.

Considerad g=9,8 m/s2 y medid la presión atmosférica P0 en el laboratorio con un

barómetro para obtener el valor de Peq.

El volumen de aire Veq (medido hasta la ranura del tubo) ha sido determinado

previamente para cada montaje, y aparece anotado sobre el matraz.

La parte experimental más delicada de esta práctica es la determinación del período T

de oscilación. Se utiliza el mismo cronómetro que en la práctica 2, pero esta vez en

modo “péndulo”. No obstante este modo está diseñado para otro tipo de medidas, con lo



25

que habrá que hacer una pequeña adaptación de los resultados obtenidos. Si observáis el

piloto rojo que se enciende y apaga en el cronómetro (no en la puerta detectora)

comprobaréis que no mide en todas las oscilaciones (se registran dos de cada cuatro

oscilaciones), y además podréis observar que considera que ha transcurrido una

oscilación cuando el detector se bloquea y libera dos veces. En nuestro caso cada paso

del cilindro será una oscilación, con lo que el número de ciclos que leeréis en la pantalla

del cronómetro será la mitad del número de oscilaciones que deberéis anotar. ¡No

olvidéis multiplicar por dos el número de ciclos! Una vez hecha esta cuenta, el tiempo

que aparece en la pantalla será el transcurrido durante el número de ciclos calculado, de

donde puede obtenerse fácilmente el período T.

Es importante saber que la posición del detector es crítica: la altura del detector deberá

ser tal que el oscilador pase por ella y la vuelva a dejar libre en cada oscilación, porque

en caso contrario nos saltaremos oscilaciones. Por otra parte, para que el detector

funcione deberéis colocarlo de forma que la línea que une la célula fotoeléctrica y el

emisor sea casi tangente al tubo. Os puede llevar algo de tiempo encontrar la posición

adecuada. Sabréis que lo habéis conseguido cuando se encienda y apague el piloto rojo

incluido en el detector con cada oscilación.

Los valores medidos no dejarán de ser una aproximación al valor real de la magnitud

medida. Como en prácticas anteriores, intentaremos aproximarnos al valor real

realizando una serie de medidas y calculando el valor promedio de todas ellas, pero en

esta práctica daremos un pequeño paso más y calcularemos el error relativo. Nunca

basta con hacer una única medida, porque cualquier equivocación estropearía el

resultado del experimento. Haréis los siguientes cálculos:

1. Cálculo de la media.

Se tomará como valor de la magnitud la media aritmética de los diversos valores

obtenidos. Si se realizan n medidas x1, x2,..., xn, el mejor valor que podemos dar de la

magnitud medida es la media x :

n

iixx

n 1

1



26

2. Cálculo del error absoluto x:

El error absoluto se define a partir del error en cada medición: i = |X − xi|, donde X es

el valor real de la magnitud, imposible de conocer. Sustituiremos el valor real por la

media obtenida en el apartado anterior, y la diferencia entre los valores medidos y dicha

media nos permitirá obtener x. Se aplica la siguiente definición:

x = (a+b)/2, donde a=max{i} y b=min{i}.

Llamaremos error absoluto a x. Puesto que tiene las mismas dimensiones que x, la

forma correcta de expresar cualquier magnitud es la siguiente:

(número ± error) unidades = (x ± x) unidades

3. Cálculo del error relativo x:

El error relativo se define como la relación entre el error absoluto y el valor real de la

magnitud

= /|X|. Tampoco puede evaluarse exactamente, pero se utiliza su cota superior: x

x/|X|. Este error suele expresarse en %, multiplicando x por 100, y carece de

unidades.

Desechando medidas: A veces se obtienen medidas muy distintas al resto, que influyen

negativamente en los resultados desviando la media y aumentando el error. Si uno está

seguro de que un determinado valor “extraño” es debido a un error de medida y que no

refleja un efecto físico no previsto, se puede desechar y trabajar únicamente con el resto.



27

CUESTIONARIO PRÁCTICA 4:

COEFICIENTE ADIABÁTICO DEL AIRE: OSCILADOR DE

FLAMMERSFELD

1. Anota los valores del radio y la masa del cilindro oscilante:

Radio = Masa=

2. Medida del período de oscilación:

Completa la siguiente tabla con las medidas de tiempo obtenidas y el error relativo

calculado:

Medida1 Medida2 Medida3 Medida4 Medida5

Número de

oscilaciones

t1 t2 t3 t4 t5 T

50

100

200

300

3. Anota el valor de la presión atmosférica que proporciona el barómetro sin olvidar

sus unidades.

P0 =

Anota el volumen de aire que cabe en el sistema (hasta la rendija).

Veq =

4. Utilizando los datos anteriores y los proporcionados en el guión, calcula el

coeficiente adiabático del aire (completar la última columna de la tabla). A la vista de

los valores obtenidos, da el valor que estimes más adecuado a deducido.

deducido =



28

APÉNDICE

Ajuste por el método de MÍNIMOS CUADRADOS

Un problema muy general es obtener el mejor valor de una magnitud a partir de varias

medidas. En muchas ocasiones la relación funcional entre dos magnitudes x e y que

pueden medirse en un experimento es una relación lineal. Cuando realizamos el ajuste

por mínimos cuadrados de N parejas (x,y) de datos experimentales, nuestro objetivo es

obtener la ecuación de la recta que mejor representa a los datos medidos. Es decir,

tenemos que calcular a partir de los datos medidos, los parámetros a y b que determinan

la ecuación de una recta: y = bx + a (1)

donde b es la pendiente de la recta y a es la ordenada en el origen, es decir la altura a la

que corta la recta al eje de ordenadas.

Para concretar, supongamos que los valores que han resultado de un experimento son

los siguientes:

xi 1 2 3 4 5 6

yi 1,3 2,5 3,9 4,1 5,9 6,1

Ante un problema de este tipo, lo primero que conviene hacer es representar

gráficamente los resultados para observar si los valores medidos se aproximan a una

recta o no.

Figura: Representación de los pares de valores xi, yi correspondientes al experimento.

Se observa que los puntos están “casi” alineados. La recta que parece representar mejor

0

1

2

3

4

5

6

7

0 1 2 3 4 5 6 7

y

x



29

la relación se ha dibujado “a ojo”. Es importante darse cuenta de que los seis puntos

dibujados no están todos sobre la misma recta. Esto es debido a los errores de las

medidas, por lo que los puntos se distribuyen de forma más o menos aleatoria en torno a

esa recta. A pesar de ello es claramente visible la tendencia lineal de los puntos.

Para determinar la recta que mejor se adapta a los puntos se emplea el llamado

método de los mínimos cuadrados. Para un valor de x determinado, la recta de ajuste

proporciona un valor diferente de y del medido en el experimento. Esta diferencia será

positiva para algunos puntos y negativa para otros, puesto que los puntos se disponen

alrededor de la recta. Por este motivo, la suma de estas diferencias para todos los puntos

es poco significativa (las diferencias negativas se compensan con las positivas). Por

ello, para medir la discrepancia entre la recta y los puntos, se emplea la suma de los

cuadrados de las diferencias, con lo que aseguramos que todos los términos son

positivos. Esta suma tiene la forma:

2

1

)( abxy ii

N

i

(2)

De todas las posibles rectas que podemos trazar, caracterizadas por los parámetros a y b,

la recta que mejor se ajusta a los puntos es la que hace mínima la suma expresada en la

ecuación (2). Esto es fácil de comprender, puesto que esta suma representa la

discrepancia entre los puntos y la recta.

Las condiciones de mínimo (primeras derivadas nulas) conducen a las ecuaciones:

N

ii

N

i

i

N

ii

N

i

ii

N

i

i

yaNxb

yxxaxb

11

1 11

2

(3)

donde N es el número de parejas de valores de que se parte para determinar la recta.

La solución de ese sistema son los valores de a y b. Dichas soluciones son:



30

N

xby

xxN

yxxxy

xx

xN

xyx

xy

a

xxN

xyyxN

xx

xN

yxx

yN

b

N

i

i

N

i

i

N

i

i

N

i

i

N

i

N

i

ii

N

i

i

N

i

ii

N

i

i

N

i

i

N

i

i

N

i

i

N

i

ii

N

i

i

N

i

i

N

i

i

N

i

i

N

i

N

i

ii

N

i

ii

N

i

i

N

i

i

N

i

i

N

i

ii

N

i

i

N

i

i

11

1

2

1

2

1 111

2

1

2

1

1

1

2

1

11

1

2

1

2

1 11

1

2

1

1

11

1

(4)

Con los datos del ejemplo y aplicando las ecuaciones anteriores, se obtiene:

53,021-91x6

5,100x2191x8,2398,0

21-91x6

21x8,235,100x622

ab

coeficientes de la recta que mejor se ajusta a los datos según este método.

El caso de una relación lineal que hemos tomado como ejemplo no es tan especial como

podría pensarse, porque muchas relaciones funcionales de interés pueden transformarse

en lineales con un cambio de variable adecuado y/o tomando logaritmos.

guion de la practicas laboratorio física i

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